习题33-1．求下列齐次线性方程组的通解：（1）⎪⎩⎪⎨⎧=--=--=+-087305302z y x z y x z y x .解 对系数矩阵施行行初等变换，得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=1440720211873153211A)(000720211阶梯形矩阵B =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−0002720211)(000271021101行最简形矩阵C =⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−→−， 与原方程组同解的齐次线性方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+0270211z y z x ， 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=z y z x 27211（其中z 是自由未知量）， 令1=z ，得到方程组的一个基础解系T)1,27,211(--=ξ, 所以，方程组的通解为,)1,27,211(Tk k --=ξk 为任意常数． （2）⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=++++086530543207224321432154321x x x x x x x x x x x x x .解 对系数矩阵施行行初等变换，得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21202014101072211086530543272211A)(7000014101072211阶梯形矩阵B =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−70000141010211201)(100000101001201行最简形矩阵C =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−→−，与原方程组同解的齐次线性方程组为⎪⎩⎪⎨⎧==+=++0002542431x x x x x x ， 即⎪⎩⎪⎨⎧=-=--=02542431x x x x x x （其中43,x x 是自由未知量）， 令34(,)T x x =(1,0)T ，(0,1)T，得到方程组的一个基础解系T)0,0,1,0,2(1-=ξ，T)0,1,0,1,1(2--=ξ，所以，方程组的通解为=+2211ξξk k T T k k )0,1,0,1,1()0,0,1,0,2(21--+-，21,k k 为任意常数．（3）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-+=-++-=-+-=--+0742420436240203543215432143215421x x x x x x x x x x x x x x x x x x ．解 对系数矩阵施行行初等变换，得11031112104263424247A --⎛⎫ ⎪--⎪= ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭11031022210003100000--⎛⎫⎪- ⎪−−→⎪- ⎪⎪⎝⎭)(阶梯形矩阵B =)(0000031100065011067011行最简形矩阵C =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----−→−，与原方程组同解的齐次线性方程组为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=--=-+03106506754532531x x x x x x x x ， 即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+-=54532531316567x x x x x x x x （其中53,x x 是自由未知量）， 令=T x x ),(53(1,0)T ，(0,1)T，得到方程组的一个基础解系T )0,0,1,1,1(1-=ξ，T )1,31,0,65,67(2=ξ，所以，方程组的通解为=+2211ξξk k T T k k )1,31,0,65,67()0,0,1,1,1(21+-，21,k k 为任意常数．3-2．当λ取何值时，方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+-=++z z y x y z y x x z y x λλλ6774334 有非零解？解 原方程组等价于⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=++-=++-0)6(707)4(303)4(z y x z y x z y x λλλ, 上述齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是它的系数行列式0671743134=-----λλλ，即0)756(2=-+λλλ，从而当0=λ和2123±-=λ时方程组有非零解．3-3．求解下列非齐次线性方程组：（1）⎪⎩⎪⎨⎧=++--=-+-=++-5521212432143214321x x x x x x x x x x x x .解 对增广矩阵A 施行行初等变换⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=551211112111121A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−000001100011121B =，因为()()r A r A =，所以方程组有解，继续施行行初等变换B ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-−→−000001100000121C =， 与原方程组同解的齐次线性方程组为⎩⎨⎧==+-124321x x x x , 即⎩⎨⎧=-=124321x x x x （其中32,x x 为自由未知量）， 令TT x x )0,0(),(32=，得到非齐次方程组的一个解T )1,0,0,0(0=η，对应的齐次方程组（即导出方程组）为⎩⎨⎧=-=024321x x x x （其中32,x x 为自由未知量）， 令T x x ),(32(1,0)T =，(0,1)T，得到对应齐次方程组的一个基础解系T )0,0,1,2(1=ξ，T )0,1,0,1(2-=ξ,方程组的通解为0112212(0,0,0,1)(2,1,0,0)(1,0,1,0)T T T k k k k ηηξξ=++=++-，其中21,k k 为任意常数．（2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=+--=+--=-+-810957245332231324321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x .解 对增广矩阵A 施行行初等变换⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------=810957245113322311312A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----−→−000000000039131024511B =， 因为()()r A r A =，所以方程组有解，继续施行行初等变换B ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----−→−000000000039131015801C =， 与原方程组同解的齐次线性方程组为⎩⎨⎧-=-+-=-+3913158432431x x x x x x , 即⎩⎨⎧+--=+--=4324319133581x x x x x x （其中43,x x 为自由未知量）， 令34(,)(0,0)T Tx x =，得到非齐次方程组的一个解T )0,0,3,1(0--=η,对应的齐次方程组（即导出方程组）为⎩⎨⎧+-=+-=43243191358x x x x x x （其中43,x x 为自由未知量），令34(,)T x x =(1,0)T ，(0,1)T，得到对应齐次方程组的一个基础解系T )0,1,13,8(1--=ξ，T )1,0,9,5(2-=ξ，方程组的通解为0112212(1,3,0,0)(8,13,1,0)(5,9,0,1)T T T k k k k ηηξξ=++=--+--+-,其中21,k k 为任意常数．（3）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=-+=-+-=-+10013212213321321321321x x x x x x x x x x x x ．解 对增广矩阵A 施行行初等变换⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=101400201034101311100111132112121311A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----−→−96000540034101311101400540034101311，因为3)(4)(=≠=A r A r ，所以方程组无解.3-4．讨论下述线性方程组中，λ取何值时有解、无解、有惟一解？并在有解时求出其解．⎪⎩⎪⎨⎧=++++=+-+=+++3)3()1(3)1(2)3(321321321x x x x x x x x x λλλλλλλλ． 解 方程组的系数行列式为231211(1)3(1)3A λλλλλλλλ+=-=-++.（1）当0A ≠时，即01λλ≠≠且时，方程组有惟一解． （2）当0A ＝时，即01λλ＝或＝时， (i) 当0λ＝时,原方程组为12323133200333x x x x x x x ++=⎧⎪-+=⎨⎪+=⎩， 显然无解．(ii) 当1λ＝时，原方程组为⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=++346112432131321x x x x x x x x ， 对该方程组的增广矩阵A 施行行初等变换412110111011012361430000A ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为()()23r A r A ==<，所以方程组有无穷多组解， 与原方程组同解的方程组为1323123x x x x +=⎧⎨-=-⎩， 即1323132x x x x =-⎧⎨=-+⎩（其中3x 为自由未知量）， 令30x =，得到非齐次方程组的一个解0(1,3,0)T η=-，对应的齐次方程组（即导出方程组）为13232x x x x =-⎧⎨=⎩（其中3x 为自由未知量）， 令31x =，得到对应齐次方程组的一个基础解系(1,2,1)T ξ=-，方程组的通解为0(1,3,0)(1,2,1)T T k k ηηξ=+=-+-，其中k 为任意常数．3-5．写出一个以1222341001x c c -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪- ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为通解的齐次线性方程组．解 由已知，1(2,3,1,0)Tξ=-和2(2,4,0,1)T ξ=-是齐次线性方程组AX O =的基础解系，即齐次线性方程组AX O =的基础解系所含解向量的个数为2，而未知数的个数为4，所以齐次线性方程组AX O =的系数矩阵A 的秩为422-=，故可设系数矩阵1112131421222324a a a a A a a a a ⎛⎫=⎪⎝⎭, 由AX O =可知()111121314,,,a a a a α=和()221222324,,,a a a a α=满足方程组()12342234,,,1001x x x x O -⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 即方程组123124230240x x x x x x -+=⎧⎨-++=⎩的线性无关的两个解即为12,αα,方程组的系数矩阵2310204324010111-⎛⎫⎛⎫→ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭,该方程组等价于134234243x x x x x x =--⎧⎨=--⎩（其中43,x x 为自由未知量）， 令34(,)T x x =(1,0)T ，(0,1)T，得到该齐次方程组的一个基础解系1(2,1,1,0)T α=--，23(,1,0,1)2T ξ=--，故要求的齐次线性方程组为AX O =，其中211031012A --⎛⎫⎪= ⎪--⎝⎭,即12312420302x x x x x x --+=⎧⎪⎨--+=⎪⎩. 3-6．设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=++0022111212111n mn m m n n x a x a x a x a x a x a， 的解都是02211=+++n n x b x b x b 的解，试证Tn b b b ),,,(21 =β是向量组T n a a a ),,,(112111 =α,T n a a a ),,,(222212 =α, ,),,,(21mn m m m a a a =α的线性组合．证 把该线性方程组记为（*），由已知，方程组（*）的解都是02211=+++n n x b x b x b 的解，所以方程组（*）与方程组111122111221122000n n m m mn n n n a x a x a x a x a x a x b x b x b x ++=⎧⎪⎪⎨+++=⎪⎪+++=⎩, 同解，从而有相同的基础解系，于是二者有相同的秩，则它们系数矩阵的行向量组12,,,m ααα和12,,,,m αααβ的秩相同，故β可由12,,,m ααα线性表示．3-7．试证明：()()r AB r B =的充分必要条件是齐次线性方程组O ABX =的解都是O BX =的解．证 必要性.因为()()r AB r B =，只须证O ABX =与O BX =的基础解系相同．O ABX =与O BX =的基础解系都含有()n r B -个线性无关的解向量．又因为O BX =的解都是O ABX =得解．所以O BX =的基础解系也是O ABX =的基础解系．即O ABX =与O BX =有完全相同的解．所以O ABX =的解都是O BX =的解．充分性.因O ABX =的解都是O BX =的解，而O BX =的解都是ABX O =的解，故O ABX =与O BX =有完全相同的解，则基础解系也完全相同，故()()n r AB n r B -=-，所以()()r AB r B =．3-8．证明()1r A =的充分必要条件是存在非零列向量a 及非零行向量Tb ，使T A ab =．证 充分性.若存在列向量12m a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭及行向量()12T n b b b b =，其中,i j a b 不全为零1,,i m =，1,,j n =，则有()1111212212221212n n T n m m m m n a a b a b a b aa b a b a b A ab b b b a a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 显然矩阵A 的各行元素对应成比例，所以()1r A =．必要性.若()1r A =，则A 经过一系列的初等变换可化为标准形100000000D ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 而矩阵D 可以表示为()100100001,0,,0000D ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则存在可逆矩阵P ，Q 使得1P AQ D -=，从而()11101,0,,00A PDQ P Q --⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，其中1,P Q -均可逆，记100a P ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， ()11,0,,0T b Q -=，又因为P 可逆，则P 至少有一行元素不全为零，故列向量a 的分量不全为零，同理，因为1Q -可逆，所以行向量Tb 的分量不全为零．因此，存在非零列向量a 及非零行向量Tb ，使TA ab =．补充题B3-1.设A 是m n ⨯矩阵，AX O =是非其次线性方程组AX b =所对应齐次线性方程组，则下列结论正确的是（ D ）.（A ） 若AX O =仅有零解，则AX B =有惟一解； （B ） 若AX O =有非零解，则AX B =有无穷多个解； （C ） 若AX B =有无穷多个解，则AX O =仅有零解；（D ） 若AX B =有无穷多个解，则AX O =有非零解．B3-2.设A 为n 阶实矩阵，T A 是A 的转置矩阵，则对于线性方程组 （ⅰ）AX O =； （ⅱ）TA AX O =，必有（ D ）． （A ）（Ⅱ）的解是（Ⅰ）的解，（Ⅰ）的解也是（Ⅱ）的解； （B ）（Ⅱ）的解是（Ⅰ）的解，但（Ⅰ）的解不是（Ⅱ）的解； （C ）（Ⅰ）的解不是（Ⅱ）的解，（Ⅱ）的解也不是（Ⅰ）的解； （Ｄ）（Ⅰ）的解是（Ⅱ）的解，但（Ⅱ）的解不是（Ⅰ）的解．B3-3．设线性方程组AX B =有n 个未知量，m 个方程组，且()r A r =，则此方程组（ A ）．（Ａ）r m =时，有解； （Ｂ）r n =时，有惟一解；（Ｃ）m n =时，有惟一解； （Ｄ）r n <时，有无穷多解．B3-4．讨论λ取何值时，下述方程组有解，并求解：⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++21λλλλλz y x z y x z y x ． 解 （法一）方程组的系数行列式21111(1)(2)11A λλλλλ==-+，（1）当0A ≠时，即12λλ≠≠-且时，方程组有惟一解211(1),,222x y z λλλλλ++=-==+++．（2）当0A ＝时，即12λλ-＝或＝时 (i) 当λ＝1时,原方程组为1x y z ++=，因为()()1r A r A ==，所以方程组有无穷多组解，其通解为0112212(1,0,0)(1,1,0)(1,0,1)T T T k k k k ηηξξ=++=+-+-,其中21,k k 为任意常数． (ii) 当λ＝-2时，原方程组为212224x y z x y z x y z -++=⎧⎪-+=-⎨⎪+-=⎩， 对该方程组的增广矩阵A 施行行初等变换2111112412120112112400015A --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，因为()2()3r A r A =≠=，所以方程组无解．解 （法二）对该方程组的增广矩阵A 施行行初等变换2211111111111111A λλλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2223110110111λλλλλλλλλ⎛⎫⎪→--- ⎪ ⎪---⎝⎭22223110110021λλλλλλλλλλλ⎛⎫ ⎪→--- ⎪⎪--+--⎝⎭2221101100(1)(2)(1)(1)B λλλλλλλλλλ⎛⎫ ⎪→---= ⎪ ⎪-+-+⎝⎭，(1)当12λλ≠≠-且时, ()()3r A r A ==，方程组有惟一解211(1),,222x y z λλλλλ++=-==+++.(2) 当λ＝1时， ()()1r A r A ==，方程组有无穷多组解，其通解为0112212(1,0,0)(1,1,0)(1,0,1)T T T k k k k ηηξξ=++=+-+-,其中21,k k 为任意常数．(3) 当λ＝-2时，由B 知，()2()3r A r A =≠=，所以方程组无解．B3-5.若321,,ηηη是某齐次线性方程组的一个基础解系，证明：122331,,ηηηηηη+++也是该方程组的一个基础解系．证 设有三个数123,,k k k 使得112223331()()()0k k k ηηηηηη+++++=,则有131122233()()()0k k k k k k ηηη+++++=,因为321,,ηηη是某齐次线性方程组的一个基础解系，所以321,,ηηη线性无关，故131223000k k k k k k +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩, 该方程组的系数行列式10111020011=≠, 所以该方程组只有零解．即1230k k k ===．即122331,,ηηηηηη+++线性无关． 又由齐次线性方程组的性质知122331,,ηηηηηη+++都是方程组的解．所以122331,,ηηηηηη+++构成方程组的一个基础解系．B3-6.设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知321,,ξξξ是它的三个解向量，且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=54321ξ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+432132ξξ，求该方程组的通解．解 因为4,3n r ==，故原方程组的导出组的基础解系含有1n r -=个解向量，所以只须找出其导出组的一个非零解向量即可． 由解的性质知，1213,ξξξξ--均为导出组的解，所以1213123()()2()ξξξξξξξ-+-=-+为导出组的解，即123342()56ηξξξ⎛⎫⎪ ⎪=-+= ⎪ ⎪⎝⎭,为导出组的解．故原方程组的通解为123344556k k ξξη⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，k 为任意常数．B3-7. 设*ξ是非齐次线性方程组B AX =的一个解，r n -ηηη,,,21 是它对应的齐次线性方程组的一个基础解系，证明：（1）,*ξr n -ηηη,,,21 线性无关；（2）r n -+++ηξηξηξξ*2*1**,,,, 线性无关．证 （１）反证法.设,*ξr n -ηηη,,,21 线性相关，由r n -ηηη,,,21 是对应的齐次线性方程组的一个基础解系知r n -ηηη,,,21 线性无关，故*ξ可由r n -ηηη,,,21 线性表示，即*ξ是对应的齐次线性方程组的解，与题设矛盾．故,*ξr n -ηηη,,,21 线性无关．（2）反证法.设r n -+++ηξηξηξξ*2*1**,,,, 线性相关，则存在不全为零的数012,,,,n r k k k k -，使得****01122()()()0n r n r k k k k ξξηξηξη--+++++++=,即*0121122()0n r n r n r k k k k k k k ξηηη---++++++++=,由（１）知，,*ξr n -ηηη,,,21 线性无关，则0120n r k k k k -++++=，10k =，20k =，．．．，0n r k -=,从而00k =，这与012,,,,n r k k k k -不全为零矛盾,故r n -+++ηξηξηξξ*2*1**,,,, 线性无关．B3-8．设线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a22112222212*********， 的系数矩阵的秩等于矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛02121222221111211nn nn n n n n b b b b a a a b a a a b a a a 的秩，试证这个方程组有解．证 令111212122212n n n n nn a a a aa a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 11121121222212n n n n nn n a a a b a a a b A a a a b ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 11121121222212120n n n n nn n na a ab a a a b B a a a b b b b ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 因为A 比A 多一列，B 比A 多一行，故()()()r A r A r B ≤≤,而由题设()()r A r B =，所以()()r A r A =，所以原方程组有解．B-9．设A 是n 阶方阵，*A 是A 的伴随矩阵，证明：⎪⎩⎪⎨⎧-<-===*1,01,1,n r n r nr n r A A A A 当当当. 证 若A r n =，因为0A ≠，而**AA A A A E ==，1*0n A A-=≠，故A r n *=．若1A r n =-，因为0A =，所以*AA A E O ==，又因为A AA A r r r n **≥+-，而0AA r *=，所以1A r *≤；又因为1A r n =-，所以至少有一个代数余子式0ij A ≠，从而1A r *≥，故1A r *=．若1A r n <-，则A 的任一个代数余子式0ij A =，故*0A =，所以0A r *=．B3-10．设A 是m n ⨯阶方阵，证明：AX AY =，且A r n =，则X Y =． 证 因为AX AY =，所以()A X Y O -=，又因为A r n =，所以方程组()A X Y O -=只有零解，即X Y O -=，所以X Y =．。
线性代数练习册第三章部分答案（本）第三章⾏列式及其应⽤§3-1 ⾏列式的定义⼀、填空题。
1、⾏列式a bc d=__ad bc -___;112213141---=____-24____. 2、⾏列式111112121200000a a a ab bc cd d =______0_____. 3、已知⾏列式1111111111111111D -=-----,则32M =___4__;32A =___-4__. 4、已知排列2145697m n 为奇排列，则m =__8_;n =__3_. 5、4阶⾏列式中含1331a a 且符号为负的项是____13223144a a a a -____.⼆、选择题。
1、⽅程0110001x x x=的实根为__C___. （A ）0; （B ）1; （C ）-1; （D ）2.（A ）18; （B ）19; （C ）20; （D ）21 4、n 阶⾏列式00102000D n = 的值为__D ___.（A ）!n ; （B ）!n -; （C ）(1)!nn -; （D ）(1)2(1)!n n n --.5、⾏列式312111321111x x x x x--中4x 的系数为__A____.(A ）-1; （B ）1; （C ）2; （D ）3.三、计算下列⾏列式1、12110001- 解：3331212110(1)(1)111001r +--=-按展开2、1010120012301234解：44432101010112004(1)120123012312341014120243、1132101123011002-- 解：414113211310111013223012303100210001300133033c c --------=--按r 展开四、设排列12n a a a 的逆序数为k ，证明排列11n n a a a - 的逆序数为(1)2n n k --. 证明：设i a 在排列12n a a a 的逆序数为i k ，则12n k k k k +++= ，且i a 在排列11n n a a a - 的逆序数为i t ，则i i i k t n a +=-，所以，i i i t n a k =--，所以，排列11n n a a a - 的逆序数为12112122122(1)()()2n n n n n n a k n n n t t t n a k n a k a a k k a k k ---=--+++=--+--++++++++=-（另解：因为12n a a a 中的任两个不同的元素,i j a a 必在排列12n a a a或排列11n n a a a - 中构成逆序且只能在其中⼀个中构成逆序，所以排列12n a a a 和11n n a a a - 的逆序数之和等于从n 个元素中任取两个不同数的组合数kn C ，即11n n a a a - 的逆序数为(1)§3-2 ⾏列式的性质与计算⼀、填空题。
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习 题 1.31．已知100210101⎛⎫ ⎪=- ⎪-⎝⎭A ,112012001-⎛⎫⎪= ⎪-⎝⎭B ,求1|()|-BA .解: 1|()|-BA 11||(||||)1--==⋅=BA B A .2．已知A 是三阶方阵,且||2=A ,求1|3|-A ,*||A 和1*1|(3)|2--A A .解: 1|3|-A 112727||27||2--===A A ,*||A 2||4==A ,1*1|(3)|2--A A 1*11||32-=-A A **11||62=-A A*1||3=-A *14||2727=-=-A .3．求线性变换11232123312322,35,323x y y y x y y y x y y y =++⎧⎪=++⎨⎪=++⎩的逆变换.解: 线性变换的系数矩阵221315323⎛⎫⎪= ⎪⎝⎭A ,其伴随矩阵为*749637324-⎛⎫⎪=-- ⎪--⎝⎭A .将||A 按第1行展开,得||272(6)1(3)1=⨯+⨯-+⨯-=-A ,因此A 可逆,且有1*7491637||324---⎛⎫ ⎪==- ⎪-⎝⎭A A A .所求逆变换为1123212331232,64,53.x y y y x y y y x y y y =-++⎧⎪=-++⎨⎪=--⎩4．利用逆矩阵求以下方程的解:（1）110200212020321002-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭X;解: 记矩阵110212321-⎛⎫⎪=- ⎪-⎝⎭A ,其伴随矩阵*312412111-⎛⎫⎪=- ⎪--⎝⎭A .将||A 按第1行展开,得||13(1)40(1)1=⨯+-⨯+⨯-=-A ,因此A 可逆,且有1*3121412||111---⎛⎫⎪==-- ⎪-⎝⎭A A A .所求解为312200624412020824111002222----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=--=-- ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭X .（2）211113210432111-⎛⎫-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭-⎝⎭X .解: 记矩阵211210111-⎛⎫⎪= ⎪-⎝⎭A ,其伴随矩阵*101232330⎛⎫ ⎪=-- ⎪-⎝⎭A .将||A 按第1行展开,得||211(2)(1)(3)3=⨯+⨯-+-⨯-=A ,因此A 可逆,且有1*10111232||3330-⎛⎫ ⎪==--⎪-⎝⎭A A A .所求解为1012211131232824325333033-⎛⎫⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪=⋅--= ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭-⎝⎭⎝⎭X .5．设101020001⎛⎫⎪= ⎪⎝⎭A ,求12(3)(9)-+-A I A I .解: 121(3)(9)(3)(3)(3)--+-=++-A I A I A I A I A I(3)=-A I 201010002-⎛⎫⎪=- ⎪-⎝⎭.6．已知101020101⎛⎫⎪= ⎪-⎝⎭A ,且2+=+AB I A B ,求B .解: 由2+=+AB I A B ,得 2-=-AB B A I ,()()()-=-+A I B A I A I .因001||0101100-==-A I ,所以1()--A I 存在,于是=+B A I 201030102⎛⎫⎪= ⎪-⎝⎭.7．设1111121113-⎛⎫⎪= ⎪⎝⎭A ,求伴随矩阵*A 的逆矩阵.解: *11*521()()220101----⎛⎫⎪==- ⎪-⎝⎭A A .8．设=AP PB ,其中1411--⎛⎫= ⎪⎝⎭P ,1002-⎛⎫= ⎪⎝⎭B ,求11A .解: 容易求得1114113-⎛⎫= ⎪--⎝⎭P .于是由=AP PB 得1-=A PBP ,21121()---==A PBP PBP PB P ,…,11111-=A PB P 1111410141102113---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭1110114141111023---⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭13111121411123⎛⎫-⎛⎫= ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭ 131311111124212423⎛⎫++= ⎪----⎝⎭27312732683684⎛⎫= ⎪--⎝⎭.9．设301110014⎛⎫⎪= ⎪⎝⎭A ,且2=+AB A B ,求B .解: 由2=+AB A B ,得(2)-=A I B A .1012110012⎛⎫ ⎪-=- ⎪⎝⎭A I ,*211(2)221111-⎛⎫⎪-=- ⎪--⎝⎭A I ,|2|1(2)0(2)111-=⨯-+⨯-+⨯=-A I ,因此2-A I 可逆,且有1*1(2)(2)|2|--=--A I A I A I 211221111--⎛⎫⎪=-- ⎪-⎝⎭.由(2)-=A I B A ,得1(2)-=-B A I A 211221111--⎛⎫ ⎪=-- ⎪-⎝⎭301110014⎛⎫⎪⎪⎝⎭522432223--⎛⎫ ⎪=-- ⎪-⎝⎭.10．设n =A O ,证明121()n ---=++++I A I A A A .证明: 由n=A O ,得21()()n n --++++=-= I A I A A A I A I ,因此121()n ---=++++I A I A A A .11．设方阵A 满足方程224--=A A I O ,证明3-A I 可逆,并求其逆矩阵.证明: 由224--=A A I O ,得2(3)()23-+=--=A I A I A A I I , 因此3-A I 可逆,且有1(3)--=+A I A I .12．设B 为可逆矩阵,A 与B 同阶,且满足22++=A AB B O ,证明A和+A B 均为可逆矩阵.证明: 因B 为可逆矩阵,所以||0≠B .由22++=A AB B O ,得2()+=-A A B B ,两边取行列式,得22||||||(1)||0n ⋅+=-=-≠A A B B B ,(n 为A 与B 的阶数).于是||0≠A ,||0+≠A B ,所以A 和+A B 均为可逆矩阵.。
