§4.4微分方程应用举例

微分方程的应用 The document was finally revised on 2021数学建模——微分方程的应用举例微分方程在物理学、力学、经济学和管理科学等实际问题中具有广泛的应用，本节我们将集中讨论微分方程的实际应用，尤其是微分方程经济学中的应用. 读者可从中感受到应用数学建模的理论和方法解决实际问题的魅力.内容分布图示★衰变问题 ★逻辑斯谛方程 ★价格调整问题 ★人才分配问题模型 ★追迹问题 ★返回内容要点： 一、衰变问题镭、铀等放射性元素因不断放射出各种射线而逐渐减少其质量, 这种现象称为放射性物质的衰变. 根据实验得知, 衰变速度与现存物质的质量成正比, 求放射性元素在时刻t 的质量.用x 表示该放射性物质在时刻t 的质量, 则dtdx表示x 在时刻t 的衰变速度, 于是“衰变速度与现存的质量成正比”可表示为.kx dtdx-=这是一个以x 为未知函数的一阶方程, 它就是放射性元素衰变的数学模型, 其中0>k 是比例常数, 称为衰变常数, 因元素的不同而异. 方程右端的负号表示当时间t 增加时, 质量x 减少.解方程得通解.kt Ce x -=若已知当0t t =时, ,0x x =代入通解kt Ce x -=中可得,00kt e x C -= 则可得到方程特解,)(00t t k e x x --=它反映了某种放射性元素衰变的规律.注: 物理学中, 我们称放射性物质从最初的质量到衰变为该质量自身的一半所花费的时间为半衰期, 不同物质的半衰期差别极大. 如铀的普通同位素(U 238)的半衰期约为50亿年;通常的镭(Ra 226)的半衰期是上述放射性物质的特征, 然而半衰期却不依赖于该物质的初始量, 一克Ra 226衰变成半克所需要的时间与一吨Ra 226衰变成半吨所需要的时间同样都是1600年, 正是这种事实才构成了确定考古发现日期时使用的着名的碳-14测验的基础.二、 逻辑斯谛方程:逻辑斯谛方程是一种在许多领域有着广泛应用的数学模型, 下面我们借助树的增长来建立该模型.设树生长的最大高度为H (m), 在t (年)时的高度为h (t ), 则有)]()[()(t h H t kh dtt dh -= 其中0>k 是比例常数. 这个方程为Logistic 方程. 它是可分离变量的一阶常数微分方程.下面来求解方程. 分离变量得,)(kdt h H h dh=-两边积分 ,)(⎰⎰=-kdt h H h dh得 ,)]ln([ln 11C kt h H h H+=-- 或,21kHt H C kHt e C e hH h ==-+ 故所求通解为,11)(22kHtkHt kHt Ce H e C He C t h -+=+=其中的⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>==-0112HC e C C C 是正常数. 函数)(t h 的图象称为Logistic 曲线. 图8-8-1所示的是一条典型的Logistic 曲线, 由于它的形状, 一般也称为S 曲线. 可以看到, 它基本符合我们描述的树的生长情形. 另外还可以算得.)(lim H t h t =+∞→这说明树的生长有一个限制, 因此也称为限制性增长模式.注: Logistic 的中文音译名是“逻辑斯谛”. “逻辑”在字典中的解释是“客观事物发展的规律性”, 因此许多现象本质上都符合这种S 规律. 除了生物种群的繁殖外, 还有信息的传播、新技术的推广、传染病的扩散以及某些商品的销售等. 例如流感的传染、在任其自然发展(例如初期未引起人们注意)的阶段, 可以设想它的速度既正比于得病的人数又正比于未传染到的人数. 开始时患病的人不多因而传染速度较慢; 但随着健康人与患者接触, 受传染的人越来越多, 传染的速度也越来越快; 最后, 传染速度自然而然地渐渐降低, 因为已经没有多少人可被传染了.下面举两个例子说明逻辑斯谛的应用.人口阻滞增长模型 1837年, 荷兰生物学家Verhulst 提出一个人口模型00)(),(y t y by k y dtdy=-=其中b k ,的称为生命系数.我们不详细讨论这个模型, 只提应用它预测世界人口数的两个有趣的结果. 有生态学家估计k 的自然值是. 利用本世纪60年代世界人口年平均增长率为2%以及1965年人口总数亿这两个数据, 计算得,2=b 从而估计得:(1)世界人口总数将趋于极限亿. (2)到2000年时世界人口总数为亿.后一个数字很接近2000年时的实际人口数, 世界人口在1999年刚进入60亿.新产品的推广模型 设有某种新产品要推向市场, t 时刻的销量为),(t x 由于产品性能良好, 每个产品都是一个宣传品, 因此, t 时刻产品销售的增长率,dtdx与)(t x 成正比, 同时, 考虑到产品销售存在一定的市场容量N , 统计表明dtdx与尚未购买该产品的潜在顾客的数量)(t x N -也成正比, 于是有)(x N kx dt dx-=其中k 为比例系数. 分离变量积分, 可以解得kNtCe Nt x -+=1)(由,)1()1(,)1(2322222kNt kNt kNt kNt kNt Ce Ce e N Ck dt x d Ce ke CN dt dx -----+-=+= 当N t x <)(*时, 则有,0>dt dx 即销量)(t x 单调增加. 当2)(*N t x =时, ;022=dt x d 当2)(*N t x >时, ;022<dt x d 当2)(*Nt x <时, 即当销量达到最大需求量N 的一半时, 产品最为畅销, 当销量不足N 一半时, 销售速度不断增大, 当销量超过一半时, 销售速度逐渐减少.国内外许多经济学家调查表明. 许多产品的销售曲线与公式的曲线(逻辑斯谛曲线)十分接近. 根据对曲线性状的分析, 许多分析家认为, 在新产品推出的初期, 应采用小批量生产并加强广告宣传, 而在产品用户达到20%到80%期间, 产品应大批量生产; 在产品用户超过80%时, 应适时转产, 可以达到最大的经济效益.三、价格调整模型在本章第一节例3已经假设, 某种商品的价格变化主要服从市场供求关系. 一般情况下,商品供给量S 是价格P 的单调递增函数, 商品需求量Q 是价格P 的单调递减函数, 为简单起见, 分别设该商品的供给函数与需求函数分别为P P Q bP a P S βα-=+=)(,)(其中βα,,,b a 均为常数, 且.0,0>>βb当供给量与需求量相等时, 由可得供求平衡时的价格baP e +-=βα 并称e P 为均衡价格.一般地说, 当某种商品供不应求, 即Q S <时, 该商品价格要涨, 当供大于求, 即Q S >时, 该商品价格要落. 因此, 假设t 时刻的价格)(t P 的变化率与超额需求量S Q -成正比, 于是有方程)]()([P S P Q k dtdP-= 其中,0>k 用来反映价格的调整速度.将代入方程, 可得)(P P dtdPe -=λ 其中常数,0)(>+=k b βλ方程的通解为t e Ce P t P λ-+=)(假设初始价格,)0(0P P =代入上式, 得,0e P P C -=于是上述价格调整模型的解为t e e e P P P t P λ--+=)()(0由于0>λ知, +∞→t 时, .)(e P t P →说明随着时间不断推延, 实际价格)(t P 将逐渐趋近均衡价格e P .四、人才分配问题模型每年大学毕业生中都要有一定比例的人员留在学校充实教师队伍, 其余人员将分配到国民经济其他部门从事经济和管理工作. 设t 年教师人数为),(1t x 科学技术和管理人员数目为),(2t x 又设1外教员每年平均培养α个毕业生, 每年人教育、科技和经济管理岗位退休、死亡或调出人员的比率为βδδ),10(<<表示每年大学生毕业生中从事教师职业所占比率),10(<<δ于是有方程111x x dt dx δαβ-= 212)1(x x dtdx δβα--= 方程有通解t e C x )(11δαβ-=若设,)0(101x x =则,101x C =于是得特解 te x x )(101δαβ-=将代入方程变为tex x dtdx )(1022)1(δαββαδ--=+ 求解方程得通解t te x eC x )(122)1(δαβδββ---+=若设,)0(202x x =则,110202x x C ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=ββ于是得特解tt ex e x x x )(101020211δαβδββββ--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--= 式和式分别表示在初始人数分别为)0(),0(21x x 情况, 对应于β的取值, 在t 年教师队伍的人数和科技经济管理人员人数. 从结果看出, 如果取,1=β即毕业生全部留在教育界, 则当∞→t 时, 由于,δα>必有+∞→)(1t x 而,0)(2→t x 说明教师队伍将迅速增加. 而科技和经济管理队伍不断萎缩, 势必要影响经济发展, 反过来也会影响教育的发展. 如果将β接近于零. 则,0)(1→t x 同时也导致,0)(2→t x 说明如果不保证适当比例的毕业生充实教师选择好比率β, 将关系到两支队伍的建设, 以及整个国民经济建设的大局.五、追迹问题设开始时甲、乙水平距离为1单位, 乙从A 点沿垂直于OA 的直线以等速0v 向正北行走; 甲从乙的左侧O 点出发, 始终对准乙以)1(0>n mv 的速度追赶. 求追迹曲线方程, 并问乙行多远时, 被甲追到.建立如图8-8-2所示的坐标系, 设所求追迹曲线方程为).(x y y =经过时刻t , 甲在追迹曲线上的点为),,(y x P 乙在点).,1(0t v B 于是有,1tan 0xyt v y --='=θ 由题设, 曲线的弧长OP 为,1002t nv dx y x='+⎰解出t v 0代入, 得.11)1(02⎰'+=+'-x dx y ny y x 两边对x 求导, 整理得.11)1(2y ny x '+=''- 这就是追迹问题的数学模型.这是一个不显含y 的可降阶的方程, 设p y x p y ''=''='),(, 代入方程得211)1(p n p x +='- 或 ,)1(12x n dx pdp -=+两边积分, 得|,|ln |1|ln 1)1ln(12C x np p +--=++即 .1112nxC p p -=++ 将初始条件00||==='x x p y 代入上式, 得.11=C 于是,1112nxy y -='++' 两边同乘,12y y '+-'并化简得,112n x y y --='+-'与式相加, 得,11121⎪⎭⎫ ⎝⎛---='n n x x y两边积分, 得.)1(1)1(121211C x n n x n ny nn nn +⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++---=+-代入初始条件0|0==x y 得,122-=n nC 故所求追迹曲线方程为 ),1(11)1(1)1(2211>-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--+-=-+n n n n x n x n y n n n n甲追到乙时, 即曲线上点P 的横坐标,1=x 此时.12-=n ny 即乙行走至离A 点12-n n个单位距离时被甲追到.。

复习高中数学微分方程的应用与相关题型微分方程是高中数学中的一个重要部分，它在实际生活和科学研究中具有广泛的应用。

本文将重点讨论高中数学微分方程的应用，并解析相关的题型。

一、微分方程的定义和基本概念微分方程是包含未知函数及其导数的方程，通常用y表示未知函数，x表示自变量。

微分方程的解是使得方程成立的函数。

我们首先来了解一些基本概念：1.1 常微分方程常微分方程是只含有未知函数的一阶或高阶微分项的微分方程。

例如，dy/dx=2x是一阶常微分方程。

1.2 初值问题初值问题是给定微分方程在某一点上的初始条件，求解该方程的解。

例如，求解dy/dx=2x，y(0)=1这个初值问题。

1.3 线性微分方程线性微分方程是指未知函数y及其导数的线性组合，即含有y及y的导数的一次项的方程。

例如，(d^2y/dx^2)+2(dy/dx)=x是一个线性微分方程。

二、微分方程的应用举例微分方程在实际问题的模型建立和解决中起着重要的作用，下面列举几个常见的应用：2.1 天平倾斜问题设天平两端的质量分别为m1和m2，天平平衡时，m1g=m2g，其中g是重力加速度。

若m1和m2同时向右移动x1和x2，则m1g(x+x1)=m2g(x2-x)，根据牛顿第二定律可得m1(d^2x1/dt^2)=m2(d^2x2/dt^2)，进而得到m1(d^2x1/dt^2)+m2(d^2x2/dt^2)=0，这是一个二阶线性微分方程，用于描述天平倾斜时的运动规律。

2.2 放射性衰变问题放射性元素的衰变遵循指数规律，放射性元素的质量M随时间t变化的关系可以表示为dM/dt=-kM，其中k是衰变常数。

这是一个一阶线性微分方程，可以求解得到放射性物质的衰变规律。

2.3 鱼塘问题假设一个鱼塘中的鱼的数量随时间的变化满足dN/dt=rN(1-N/K)，其中N是鱼的数量，t是时间，r是鱼的繁殖率，K是鱼塘的最大容量。

这是一个一阶非线性微分方程，用于描述鱼的数量的增长和饱和的现象。

微分方程的求解方法与应用案例分享微分方程是数学中重要的一门分支，它描述了自然界和社会现象中的变化规律。

微分方程的求解方法多种多样，本文将介绍常见的几种求解方法，并结合实际应用案例进行分享。

一、常微分方程的求解方法1. 可分离变量法可分离变量法是求解一阶常微分方程的常用方法。

首先将方程中的变量分离，然后进行积分得到结果。

例如，对于形如dy/dx=f(x)g(y)的方程，可以将其化简为dy/g(y)=f(x)dx，再对两边同时进行积分即可得到解析解。

2. 齐次方程法齐次方程法适用于形如dy/dx=F(y/x)的方程。

通过令v=y/x，将方程转化为dv/dx=F(v)-v/x，再进行变量分离和积分即可求解。

3. 线性方程法线性方程法适用于形如dy/dx+p(x)y=q(x)的一阶线性微分方程。

通过乘以一个积分因子，可以将方程化为d(μy)/dx=μq(x)，再对两边同时积分得到解析解。

4. 变量替换法变量替换法是一种常用的求解微分方程的方法。

通过引入新的变量替换原方程中的变量，可以将方程化为更简单的形式。

例如，对于形如dy/dx=f(ax+by+c)的方程，可以通过引入新的变量u=ax+by+c来进行变量替换，从而简化求解过程。

二、微分方程的应用案例分享1. 放射性衰变问题放射性衰变是微分方程在物理学中的一个重要应用。

以放射性核素的衰变为例，其衰变速率与核素的数量成正比，可以用微分方程dy/dt=-ky来描述，其中y表示核素的数量，t表示时间，k为比例常数。

通过求解这个微分方程，可以得到核素的衰变规律，进而预测未来的衰变情况。

2. 振动问题微分方程在工程学中的应用也非常广泛，例如振动问题。

以简谐振动为例，可以通过微分方程m(d²x/dt²)+kx=0来描述，其中m为质量，k为弹性系数。

通过求解这个微分方程，可以得到振动的解析解，进而研究振动的频率、幅度等特性。

3. 生物种群模型微分方程在生态学中的应用也非常重要，例如生物种群模型。

微分方程的求解方法应用与实例微分方程是数学中的重要分支之一，广泛应用于各个领域，如物理、工程、经济等。

解微分方程是研究微分方程的核心问题之一，掌握微分方程的求解方法对于解决实际问题至关重要。

本文将介绍微分方程的求解方法，并结合实例进行详细说明。

一、初等解法初等解法是解微分方程最常用的方法之一，主要包括分离变量法、参数法、齐次法和常系数线性齐次微分方程方法等。

分离变量法适用于可分离变量的微分方程。

通过将方程中的变量分离并进行分别积分的方式，最终得到微分方程的解。

参数法适用于可以利用某些特定的参数化代换将微分方程化简的情况。

通过给定参数化代换，将原微分方程转化为更简单的形式，并求解得到解。

齐次法适用于齐次线性微分方程。

通过将微分方程中的变量进行替换，使之变为齐次线性微分方程，并通过相应的解法求解得到原微分方程的解。

常系数线性齐次微分方程方法适用于常系数线性齐次微分方程。

通过特征方程的求解，找到微分方程的通解。

二、变量分离法变量分离法是解微分方程常用的方法之一，适用于将微分方程中的未知函数和自变量分离的情况。

以一阶可分离变量的形式为例，设微分方程为dy/dx=f(x)g(y)，其中f(x)和g(y)是关于x和y的函数。

首先将方程两边同时乘以dx和1/g(y)，得到dy/g(y)=f(x)dx。

之后对方程两边同时积分，得到∫dy/g(y)=∫f(x)dx。

最后将等式两边积分得到微分方程的解。

三、常微分方程的解法常微分方程是微分方程中的一种重要类型，是指微分方程中未知函数与变量的最高导数只有一阶，没有更高阶的情况。

常微分方程的解法多种多样，如一阶常微分方程、二阶常微分方程等。

以一阶常微分方程为例，设方程为dy/dx=f(x,y)，其中f(x,y)是已知函数。

可以通过变量分离、齐次、恰当微分方程以及一些特殊的解法等方法求解常微分方程。

四、实例分析下面通过一个实例来详细说明微分方程的求解方法。

假设有一辆汽车的速度满足以下条件：在0时刻，汽车的初速度为10m/s，经过1小时，汽车的速度下降到5m/s。

微分方程应用微分方程是数学中的重要分支，它有着广泛的应用。

本文将介绍微分方程在不同领域的应用，包括物理学、生物学和经济学等。

通过这些应用实例，我们将看到微分方程在解决实际问题中的重要性和价值。

一、物理学中的物理学是微分方程的一个主要应用领域。

许多自然现象可以通过微分方程来描述和解释。

例如，牛顿第二定律将物体的运动与其所受的力联系在一起，可以用微分方程表示为：$$m\frac{{d^2x}}{{dt^2}} = F(x)$$其中，$m$代表物体的质量，$x$代表物体的位置，$t$代表时间，$F(x)$代表作用在物体上的力。

通过解这个微分方程，我们可以预测物体随时间的变化和轨迹。

二、生物学中的微分方程在生物学中也有广泛的应用。

许多生物过程可以用微分方程建模，如人口增长、药物动力学和神经元的激活等。

以人口增长为例，我们可以用以下微分方程描述：$$\frac{{dN}}{{dt}} = rN(1-\frac{{N}}{{K}})$$其中，$N$代表人口数量，$t$代表时间，$r$代表人口的增长率，$K$代表环境的承载能力。

通过解这个微分方程，我们可以了解人口随时间的变化趋势，从而制定相应的政策措施。

三、经济学中的微分方程在经济学中也有重要的应用。

例如，经济增长模型可以用以下微分方程表示：$$\frac{{dY}}{{dt}} = sY - c$$其中，$Y$代表经济产出，$t$代表时间，$s$代表储蓄率，$c$代表消费。

通过解这个微分方程，我们可以预测经济增长的速度和趋势，为经济政策的制定提供依据。

总结：微分方程是数学中的重要工具，具有广泛的应用领域。

无论是在物理学、生物学还是经济学中，微分方程都能用来描述和解释自然现象，并从中得出有用的结论。

通过研究微分方程的应用，我们可以更好地理解和预测现实世界中的各种问题，为解决这些问题提供有效的方法和方案。

在实际应用中，需要根据具体问题选择合适的微分方程模型，并结合相关领域的知识和数据进行求解和验证。

高考数学中的微分方程分析及应用实例微分方程是数学的一个分支，可以用来描述物理世界中的许多现象和规律。

在高中数学中，微分方程也是一个非常重要的知识点，尤其是在高考数学中，微分方程的考查频率也很高。

本文将从微分方程的定义、解法以及应用实例三个方面进行阐述，帮助大家更好地理解和应用微分方程。

一、微分方程的定义微分方程是描述一个未知函数及其导数之间关系的数学方程。

简而言之，微分方程就是“导数方程”。

形式化地表述，设$ y=f(x)$ ，则微分方程一般可以写成如下形式：$$F(x,y,y',y'',\cdots,y^{(n)})=0$$其中，$ y^{(i)} $表示$ y $的$i$阶导数，$ F $是关于$ x,y,y',y'',\cdots,y^{(n)} $的函数。

二、微分方程的解法微分方程的解法主要有三种方法：分离变量法、齐次方程和一阶线性微分方程。

1. 分离变量法所谓“分离变量”，就是把方程中的$ x $和$ y $分别独立出来。

具体来说，就是在微分方程两边同时乘上$ dx $，然后把所有包含$ y $的项移到等号右边，所有包含$ x $的项移到等号左边，形如：$$F(y)dy=G(x)dx$$然后两边同时积分即可求得$ y $的解。

需要注意的是，这个方法只适用于能够分离变量的微分方程。

2. 齐次方程所谓“齐次方程”，就是系数和次数都相同的微分方程。

对于这类方程，我们可以进行一些变换，将其转化为可分离变量的形式。

具体方法是令$ y=vx $，然后把微分方程中的$ y $用$ v $和$ x $表示出来，形如：$$ y'=v+xv'$$将其代入微分方程中，消去$ v $得到一个可分离变量的方程。

3. 一阶线性微分方程所谓“一阶线性微分方程”，就是可以写成如下形式的微分方程：$$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$$其中，$ P(x) $和$ Q(x) $都是已知函数。

利用微分方程思想解决物理问题的应用举例微分方程是数学中的一个重要分支，不仅在数学中有着广泛的应用，还可以被用于解决物理中的问题。

物理学家们在对物理现象进行建模和分析时经常会遇到微分方程，例如引力、波动、热力学等方面的问题。

利用微分方程的思想，可以对这些问题进行深入研究和分析。

本文将以几个例子来说明微分方程如何被用于解决物理问题。

首先我们将考虑一个经典的物理问题 - 自由落体。

当一个物体在没有任何阻力的情况下自由落下时，它的运动可以由微分方程描述。

假设在运动的过程中，物体在高度为h的位置上以初速度v0开始自由落体。

我们可以通过分析重力的作用和牛顿第二定律来获得微分方程。

该微分方程可以写成如下形式：$$\frac{d^2s}{dt^2}=-g$$其中s是物体的下落距离，t是时间，g是重力加速度。

这个微分方程可以被解析求解，例如，可以通过积分获得物体在任意时间点的速度和位置。

通过这种方式，我们可以对自由落体的运动进行深入分析，并获得许多关于它的性质的重要信息。

下一个例子是关于弯曲的钢铁梁的问题。

当一条长的钢梁弯曲时，它的形状会发生变化，且弯曲的部位会承受压力。

因此，理解弯曲过程的数学模型对于诊断问题和设计解决方案非常重要。

我们可以通过微分方程的方法来解决这个问题。

假设一条长，圆柱形的钢梁沿其长度方向均匀受力，在其任意截面处的弯曲量可以用y(x)表示，其中x是其长度的距离。

通过平衡方程和几何关系，可以得到如下微分方程：$$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{M}{EI}$$其中M是弯矩，E是钢的弹性模量，I是截面结构的惯性矩。

这个微分方程可以用于预测钢梁弯曲的形状，并确定承受弯曲的部位。

最后一个例子是关于热传导方程的问题。

当一个材料被加热或冷却时，它的温度分布会发生变化。

我们可以通过微分方程的方法来预测材料温度随时间和空间的变化。

假设我们要研究一个均匀的材料，其平均温度可以用u(y,t)表示，其中y是其在空间中的位置，t是时间。

第五节微分方程的应用举例用微分方程解决实际问题的一般步骤：（1）建立微分方程及初始条件；（2）求通解或满足初始条件的特解；（3）根据需要，用特解解释实际意义。

一、一阶微分方程的应用例1已知一曲线过点(2, 3)，且曲线上任一点的切线介于两坐标轴间的部分恰为切点所平分，求此曲线方程。

解如图，设所求曲线方程为()y y x =，得2a x =2b y =，则切线的斜率为0202b y y a x x -=-=--又由导数的几何意义知，dy y dx x =-积分得xy C =23x y ==又因为得曲线方程为6xy =图8—2.衰变问题:衰变速度与未衰变原子含量M 成正比,已知00M M t ==,求衰变过程中铀含量)(t M 随时间t 变化的规律.,d d t M 衰变速度由题设条件,)0(d d 衰变系数>-=λλM t M ，t MM d d λ-=,d d ⎰⎰-=t M M λ00M M t ==代入,ln ln C t M +-=λ,e t C M λ-=即00e C M =得,C =t M M λ-=∴e 0衰变规律解例2解，由牛顿第二定律得F mg kv mv '=-=,（1）例3设跳伞员开始跳伞后所受的空气阻力与他下落的>k ），起跳时的速度成正比（比例系数为常数速度为0．求下落的速度与时间之间的函数关系．设下落速度为()v t 00t v ==.初始条件为k t m mg kv Ce --=,方程（1）分离变量得通解为 (1)k t m mg v e k-=-. 将初始条件代入，则特解为解例4一电动机运转后，每秒钟温度升高1度，设室内温度恒为15度，电动机温度的冷却速率和室内温差成正比。

求电动机的温度和时间的函数关系。

设电动机运转t 秒后的温度为()T T t =015t T ==.初始条件为 11()15(1)15Kt T t e K K-=+-→+. 特解为，则115dT KT K dt+=+由一阶非齐次微分方程的通解公式，得(115)[(115)][]Kt Kdt Kdt Kt K e T e K e C e C K--+⎰⎰=++=+⎰二、二阶微分方程的应用12x x y C e C e -=+通解为得曲线方程为2x x y e e -=-例5试求微分方程0y y '''-=所确定的一条积分曲线，使它在点()y y x =(0,1)处与直线31y x -=相切。