一阶微分方程的应用举例

一阶微分方程的应用一阶微分方程的应用一阶微分方程的应用【1】摘要：微分方程在实际中应用广泛。

简单介绍了一阶微分方程的几种应用。

关键词：微分方程;应用;研究微分方程是与微积分一起形成并发展起来的重要的数学分支，它已成为研究自然科学和社会科学的一个强有力的工具.一阶微分方程是我院学生必修的内容，为了激发学生们学习的兴趣，让他们觉得学有所用，下面将介绍一阶微分方程在实际中的几种简单应用.一、在力学中的运用动力学是微分方程最早期的源泉之一.动力学的基本定律是牛顿第二定律F=ma，这也是微分方程来解决动力学的基本关系式.上式的右端含有加速度a，a是位移对时间的二阶导数.列出微分方程的关键在于找到合外力F和位移及其对时间的导数――速度的关系.在求解这些问题时，要特别注意问题中的定解条件，如初始条件等.例1.物体由高空下落，除受重力作用外，还受到空气阻力的作用.在速度不太大的情况下(低于音速的■)，空气阻力可看做与速度的平方成正比.试求出在这种情况下，落体存在的极限速度v1.解：设物体质量为m，空气阻力系数为k.又设在时刻t物体的下落速度为v，于是在时刻t物体所受到的合外力为F=mg-kv2由牛顿第二定律列出微分方程m■=mg-kv2因为是自由落体运动，所以有v(0)=0.求解上述微分方程的特解即得：v=■当t→+∞时，有v1=■=■.据测定，k=aρs，其中a为与物体形状有关的常数;ρ为介质的密度;s为物体在地面上的投影面积.人们正是根据上述公式，为跳伞者设计保证安全的降落伞的直径大小，在落地速度v1，m，a，ρ一定时，就可定出s来.二、流体混合问题中学数学中有这样一类问题：某容器中装有浓度为c1的含某种物质A的液体V升.从其中取出V1升后，加入浓度为c2的液体V2升，要求混合后的液体以及物质A的含量.这类问题用初等代数就可以解决.但是在生产中还经常遇到如下的问题：容器内装有含物质A的流体.设时刻t=0时，流体体积为V0，物质A的质量为x0(浓度显然已知).现在以速度v2(单位时间的流量)放出流体，而同时又以速度v1注入浓度为c1的流体.试求时刻t时容器中物质A的质量及流体的浓度.这类问题称为流体混合问题，它是不能用初等数学解决的，必须利用微分方程来计算.我们利用微元法来列方程.设在时刻t，容器内物质A的质量为x=x(t)，浓度为c2.经过时间dt后，容器内物质A的质量增加了dx.于是有dx=c1v1dt-c2v2dt=(c1v1-c2v2)dt.因为c2=■，代入上式有dx=(c1v1-■)dt，或■=-■x+c1v1.这是一个线性方程.于是求物质A在时刻t时的质量问题就归结为求上述方程满足初始条件x(0)=x0的特解问题.例2.某厂房容积为45×15×6m3，经测定，空气中含有0.2%的CO2.开动通风设备，以360m3/s的速度输入含有0.05%的CO2的新鲜空气，同时排出同等数量的室内空气.问30分钟后室内所含CO2的百分比.解：设在时刻t，车间内CO2的百分比为x(t)%.经过时间dt后，室内CO2的改变量为45×15×6×dx%=360×0.05%×dt-360×x%×dt.于是有4050dx=360(0.05-x)dt，即dx=■(0.05-x)dt，初始条件为x(0)=0.2.将方程分离变量并积分，初值解满足■■=■■dt，求出x有x=0.05+0.15e-■t.t=30分钟=1800秒代入得x=0.05.即开动通风设备30分钟后，室内CO2的含量接近0.05%，基本上已是新鲜空气了.三、牛顿冷却定律的应用牛顿冷却定律：把温度为T的物体放入处于常温T0的'介质中，T的变化速率正比于物体的瞬时温度与周围介质温度T0之差.设物体的温度为T(t)，于是可列微分方程■=-k(T-T0)，k>0.例3.某小镇发生凶杀案，法医于下午6点到达现场，测得此时尸体的温度为34度，1小时后又测得尸体的温度为32度.假设室温为常温21度，警方经过反复排查，圈定了两名犯罪嫌疑人张某和李某，但二人均辩称自己无罪，并陈述了各自当日下午的活动情况：张某称，他下午一直在办公室，5点下班后离开;李某称，下午一直上班，4点30分左右接到电话后离开.二人所说均被证实，从二人上班地点到案发现场只需要10分钟，试分析两人能否都排除嫌疑?解：设尸体在t时刻的温度为T(t)，由牛顿冷却定律可得定解问题■=-k(T-21)T(0)=34T(1)=32，解得T(t)=21+13e-0.167t.设死者死亡时为正常体温37度，即T=37，由上式求出死亡时间t=■・ln■≈-1.25小时.由此推断出，死者的死亡时间为6：00-1：15=4：45，即下午4：45左右，因此李某有作案时间不能排除嫌疑，张某无作案时间.四、医学中的应用例4.有一种医疗手段，是把示踪染色体注射到胰脏里去检查其功能，正常胰脏每分钟吸收染色的40%.现有一内科医生给某人胰脏注射了0.3克染色，30分钟后还剩下0.1克，试问此人的胰脏是否正常.解：正常情况下，设S(t)表示注射染色体后t分钟时人胰脏中的染色量，则每分钟吸收的染色为■=-0.4S，本题可知S(0)=0.3，故得到定解问题■=-0.4SS(0)=0.3，通过分离变量法，解得S(t)=0.3e-0.4t，则30分钟后剩余的染色量为S(30)=0.3-0.4×30≈0，而实际此人剩余0.1克，由此可知，此人的胰脏不正常，应该接受治疗.参考文献：[1]东北师范大数学系.常微分方程.高等教育出版社，2001，3.[2]姜启源，叶金星.数学模型.高等教育出版社，2004，12.[3]刘增玉.高等数学.天津科学技术出版社，2009，6.一阶高次微分方程的求解【2】【摘要】本文通过讨论一阶二次微分方程和一阶三次微分方程的解法的相关问题，来归纳讨论一阶高次微分方程的求解，并给出相关的例子进行说明。

电气工程案例在大学数学教学中的应用研究2018年7月-8月一、一阶微分方程当电路中的储能元件(电容C和电感L)的数目仅有一个，而电阻R的数目可以不论，由于描述这种电路性状的是一阶微分方程，故称为一阶电路，一阶电路可分为RC(电阻电容)电路和RL(电阻电感)电路。

从产生电路响应的原因来讲，响应可以是由独立电源的激励，即输入引起的；或者是由储能元件的初始状态引起的；也可以是由独立电源和储能元件的初始状态共同作用下产生的。

因此，按激励和响应的因果关系可划分为如下3种类型的响应。

(1)零输入响应——电路中没有电源的激励，即输入为0，响应是由初始时刻储能元件的中储存的电磁能量所产生的。

(2)零状态响应——储能元件的初始状态为0，仅由电源激励所引起的响应。

(3)全响应——由电源的输入激励与储能元件的初始能量共同作用下所产生的响应。

接下来，我们分别考虑RC电路的零输入响应和零状态响应两个案例在一阶微分方程教学中的应用。

1、一阶可分离变量微分方程(一阶齐次线性微分方程)RC电路的零输入响应(RC zero-input response)如上图(a)所示的电路中，换路前的电路是由电压源和电容C连接而成，电容电压()=，其中表示换路前的瞬间；在时，将开关从位置1改接到位置2，于是电容C将通过电阻R放电，如图(c)所示，电容C的电压由它的初始值开始，随着时间的增长而逐渐减少，最后趋近于零。

在该放电过程中电容C初始储存的电场能量，通过电阻R全总转换为热能发散出去。

此时电路中的响应仅由电容C的初始状态引起，故为零输入响应。

为定量分析电容电压和电流的变化规律需要确立微分方程。

根据上图(b)中的电流和电压的参考方向，应用基尔霍夫定律列出电压方程；；，；在和两个电路变量中，选取作为求解对象，应用上述一组关系，建立关于的一阶可分离变量的微分方程如下上述方程的本质是基尔霍夫定律，是放电过程中必须遵循的约束。

根据上述给定的初始条件可唯一地确定的变化规律。

一阶微分方程1. 简介微分方程是数学中的一个重要分支，它描述了函数与它的导数之间的关系。

一阶微分方程是指只包含一阶导数的方程。

在物理、工程、经济等领域中，许多问题都可以通过一阶微分方程来建模和解决。

本文将介绍一阶微分方程的基本概念、求解方法以及一些应用。

2. 基本概念在介绍一阶微分方程之前，我们需要先了解一些基本概念。

2.1 导数导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。

对于函数f(x)，它的导数可以表示为：f'(x) = lim_{h->0} (f(x+h) - f(x))/h其中，h表示一个无限小的增量。

导数可以理解为函数在某一点的斜率，它的值越大，表示函数在该点的变化越快。

2.2 一阶微分方程一阶微分方程是指只包含一阶导数的方程。

通常形式为：dy/dx = f(x, y)1其中，y是未知函数，x是自变量，f(x, y)是已知的函数。

这个方程描述了未知函数y的导数与x和y之间的关系。

3. 求解方法解一阶微分方程的方法有很多种，这里介绍两种常见的方法：分离变量法和常系数线性微分方程的求解。

3.1 分离变量法分离变量法是一种常用的求解一阶微分方程的方法。

它的基本思想是将方程中的变量分离开来，分别对x和y进行积分。

具体步骤如下：1.将一阶微分方程写成dy/dx=f(x, y)的形式；2.将方程两边关于x和y进行分离；3.对两边同时进行积分，得到一个含有常数C的通解；4.如果给定了一个初始条件y(x0) = y0，则可以通过代入初始条件来确定常数C，得到一个特解。

3.2 常系数线性微分方程的求解常系数线性微分方程是指形如dy/dx + P(x)y = Q(x)的方程。

它的求解方法基于特解与齐次方程解的叠加原理。

1.首先求解对应的齐次方程dy/dx + P(x)y = 0，得到一个通解；2.再寻找一个特解，使得它满足原方程dy/dx + P(x)y = Q(x)；23.最终的通解等于齐次方程的通解与特解之和。

一阶微分方程的应用（1）数学建模列出微分方程（含初始条件）；（2）求解微分方程.步骤:利用共性建立微分方程,利用个性确定定解条件.),(y x M y xo 例1 已知某曲线经过点( 1 , 1 ),轴上的截距等于切点的横坐标, 求它的方程.提示: 设曲线上的动点为M (x,y ),令X = 0, 得截距由题意知微分方程为xx y y ='-即11-=-'y x y 定解条件为.11==x y y x x '=αtan x 此点处切线方程为它的切线在纵1、几何应用2、物理应用（1）动力学：例2跳伞运动(如图)，求伞降落速度与时间的关系，初始时刻为原点.mg)( 阻力kv f =x o kv mg F ma -==作受力分析用ma F =（2）热学例3 发动机冷却系统设计(Newton 冷却定律:冷却速度与温差成正比)dtT T k dt dT e )(-+=α.之间的关系与试建立发动机温度t T ,),(e T t T 环境温度为工作温度为),(,e T T k -降温速率为升温速率为α例4. 已知某车间的容积为的新鲜空气问每分钟应输入多少才能在30 分钟后使车间空的含量不超过0.06 % ?提示: 设每分钟应输入t 时刻车间空气中含则在],[t t t ∆+内车间内=∆x 两端除以t∆并令0→∆t 与原有空气很快混合均匀后, 以相同的流量排出)得微分方程t k ∆⋅10004.0t x k ∆⋅-54005400( 假定输入的新鲜空气输入, 的改变量为t = 30时5406.0540010006.0⨯=⨯=x 2504ln 180≈=k 25005400d d k x k t x =+5412.00⨯==t x解定解问题因此每分钟应至少输入250 3m 新鲜空气.初始条件得k = ?（3）电学例5 ~RL K)(t i tE E m ω=sin 0)(=--+iR dtdi L E ).(t i R L 串联电路，求下图为一个-（4）原子物理例6 铀的衰变规律M dtdM λ-=.,,0,)(),(0求衰变规律时成正比衰变速度与铀的现有量M M t t M t M M ===3、其它例7 种群增长模型2N N dt dN βα-=),0(),(:>=ααN t N N 出生率种群数量.)(的关系式试建立t N .,0),0(02N N t N ==>时死亡率ββ小结如何建立微分方程?(1) 利用已知规律(2) 微元法(3) 导数积分的几何意义等。

欧拉法计算一元一阶微分方程例题欧拉法是一种用于求解微分方程数值解的数值方法。

在实际应用中，我们常常会遇到一些复杂的微分方程，这时候就需要借助欧拉法等数值方法来求得其数值解。

在本文中，我将以一元一阶微分方程的例题为案例，通过欧拉法来进行计算和求解，并探讨其相关原理和应用。

1. 问题描述假设我们有一个一元一阶微分方程:dy/dx = x + y并且已知其初始条件为 y(0) = 1，我们希望利用欧拉法来求出在 x = 0.1 时的近似解。

2. 欧拉法原理欧拉法是一种基本的数值解微分方程的方法，其核心思想是利用微分方程的定义，通过有限步长的逼近来求得微分方程的数值解。

具体来说，欧拉法是通过在给定的初始条件下，利用微分方程的斜率来进行不断的累加，从而逼近微分方程的解析解。

3. 计算过程根据欧拉法的原理，我们可以按照以下步骤来求解本例题:- 根据初始条件 y(0) = 1，确定初始点 (0, 1)。

- 利用微分方程 dy/dx = x + y，计算在 x = 0 时的斜率，即 k1 = 0+ 1 = 1。

- 根据步长 h = 0.1，计算下一点的 y 值，即 y(0.1) = y(0) + k1 * h = 1 + 1 * 0.1 = 1.1。

- 重复上述步骤，直至求得 x = 0.1 时的近似解。

4. 计算结果经过上述步骤，我们得到在 x = 0.1 时的近似解为 y(0.1) = 1.1。

5. 总结回顾通过本例题的求解过程，我们可以看到欧拉法作为一种数值解微分方程的方法，能够通过简单的累加和逼近来求得微分方程的数值解。

当然，在实际应用中，欧拉法也存在着一定的局限性，例如步长选择、数值稳定性等问题，需要我们在使用时进行合理的考量和处理。

6. 我的观点个人认为欧拉法作为一种基本的数值解微分方程的方法，具有简单易懂、易于实现的特点，对于一些简单的微分方程求解是很有用的。

但是在处理复杂的微分方程时，可能需要结合其他更高级的数值方法来进行求解，以提高求解的准确性和稳定性。

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2用几何、物理知识建立微分方程举例用微元法建立微分方程举例
1主要内容
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2用几何、物理知识建立微分方程举例用微元法建立微分方程举例
1主要内容
(2) 根据方程的类型，用适当的方法求出通解，并根据定解条件确定特解；(3) 对所得结果进行具体分析，解释它的实际意义. 如果它与实际相差甚远，就应该修改模型，重新求解.
利用微分方程解决实际问题的一般步骤:
（数学建模）
（模型求解）
（模型检验与修正）
(1) 根据问题的实际意义和已知条件，利用数学和有关学科的知识，建立微分方程和定解条件；1 用几何、物理知识建立微分方程举例
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2用几何、物理知识建立微分方程举例用微元法建立微分方程举例
1主要内容
克的。

一阶微分方程的初等解法及其应用摘 要:本文介绍一阶微分方程的初等解法及其若干应用,把微分方程的求解问题化为积分问题,应用到实际中.用理论指导实践,由抽象总结出具体规律,加深对所学知识的理解.关键词:变量分离方程;恰当微分方程;常数变易法;积分因子.The Solution of First-order Differential EquationsAbstract :This article focuses on the solution of first-order differential equations and its several applications,through different methods to solve this important technology for the application of integration. Theories to guide practice,From the abstract into concrete laws,so as to enhance the understanding of the knowledge.Keywords :separable equations;exact equations;constant variation ;integrating factor.引言一阶微分方程的解法与很多,而且技巧性也很强,本文仅介绍了一些简单的方法和其应用.如变量变换法,常数变易法,恰当微分方程的求法及一阶隐式微分方程的参数表示法.1.变量分离法1.1变量分离方程的解法 形如()()dyf x y dxϕ= （1） 的方程,称为变量分离方程,这里()f x ,()y ϕ分别是,x y 的连续函数.如果()0,y ϕ≠我们可将（1）改写成(),()dyf x dx y ϕ=这样,变量就"分离"开来了.两边积分,得到()()dyf x dx c y ϕ=+⎰⎰. （2）这里我们把积分常数c 明确写出来,而把()dyy ϕ⎰,()f x dx ⎰分别理解为1,()()f x y ϕ的原函数.常数c 的取值必须保证（2）有意义,如无特别声明,以后也作这样理解.把（2）理解为,,y x c 的隐函数关系式(,,)0y x c Φ=或y 的,x c 函数关系式(,)y y x c =.微分（2）两边,知对任意常数c ,由（2）所确定的函数关系式(,)y y x c =满足（1）,因而（2）是（1）的通解.因（2）式不适合()0y ϕ=的情形.但如果存在0y 使0()0y ϕ=,则直接验证知0y y =也是（1）的解.因此,还必须寻求()0y Φ=的解0y ,当0y y =不包括在方程的通解（2）中时,必须补上特解0y y =. 1.2变量分离法的应用例1 求一曲线族,使它的切线介于坐标轴的部分被切点分成相等的两部分. 解 设所求的曲线方程为()y y x =,过曲线上任一点(,)P x y 的切线交ox 轴于A 点,交oy 轴于B 点.由题意,P 为的AB 中点,不妨设(2,0)A x ,(0,2)B y ,则切线的斜率为x y -,另一方面,曲线在P 点的斜率为dydx,因此 dy y dx x=-, 将变量分离,得到1dy dx y x=-, 两边积分得1ln ln y x c =-+.因此方程的通解为xy c =,即得所求的曲线族为xy c =,这里c 为任意常数.1.3可化为变量分离方程的类型 这里只是介绍一种简单的情形. 形如()dy yg dx x= （3） 的方程,称为齐次微分方程,这里()g u 是u 的连续函数.作变量变换yu x= （4） 即y ux =,于是dy du x u dx dx=+ （5） 将（4）,（5）代入（3）,则原方程变为()duxu g u dx+=. 整理后,得到()du g u udx x-=. （6） 方程（6）是一个变量分离方程.可按分离变量的方法求解,然后代回原来的变量,便得方程的解.1.4可化为变量分离方程的一类方程的应用例2 tanyxy y x x'-=. 解 将方程改写成tan ,dy y y dx x x=+ 这是齐次方程.作变换y xu =,代入原方程得到tan duu xu u dx+=+. 即cot (sin 0).dxudu u x=≠ 两边积分得sin ,u cx =代回原变量,得通解sinycx x=.此外,方程还有解sin 0,u =它包含在通解中. 2.线性微分方程与常数变易法2.1常数变易法 一阶线性微分方程()()dyP x y Q x dx=+ （7） 其中(),()P x Q x 在考虑的区间上是x 的连续函数.若()0,Q x =（7）变为()dyP x y dx=, （8） （8）称为一阶齐次线性微分方程.若()0,Q x ≠(7)称为一阶非齐次线性微分方程.（8）是变量分离方程,它的通解为()P x dxy ce ⎰= (9)这里c 是任意常数.现在讨论非齐次线性微分方程(7)通解的求法.不难看出,(8)是(7)的特殊情形,可以设想:在(9)中,将常数c 变易为x 的待定函 数()x c .令()()P x dxy c x e⎰= ()10微分之,得到()()()()()P x dxP x dx dy dc x e c x p x edxdx ⎰⎰=+ (11) (10),(11)代入(7),得()()()()()()()()(),P x dxP x dx P x dx dc x e c x p x e c x p x e q x dx⎰⎰⎰+=+ 即()()(),P x dx dc x q x e dx-⎰= 积分后得到()()(),P x dxc x eq x dx c -⎰=+⎰这里c 是任意常数.将上式代入(10),得到方程(7)的通解()()(())P x dxP x dxy e eq x dx c -⎰⎰=+⎰. (12)这种将常数变易为待定函数的方法,我们通常称为常数变易法.常数变易法实际上也是一种变量变换的方法,通过变换(10)可将方程(7)化为变量分离方程.若方程不能化为(7)形式,可以将x 看作是y 的函数,再看是否为(7)形式. 2.2常数变易法的应用 例324.dyxy x dx=-+ 解 首先求线性齐次方程20dyxy dx+=的通解.分离变量得 2(0).dyxdx y y=-≠ 两边积分,化简后得到2.x y ce -=再应用常数变易法求线性非齐次方程的通解,为此在上式中把常数c 变易成待定函数()c x .令2()x y c x e -=.代入原方程,得到222()2()2()4,x x x c x e xc x e xc x e x ---'-=-+化简得2()4,x c x e x -'=上式两边积分得2()2,x c x e c =+于是原方程的通解为22.x y ce -=+3.恰当微分方程与积分因子3.1 恰当微分方程 我们可以将一阶方程(,)dyf x y dx= 写成微分的形式(,)0f x y dx dy -=或把,x y 平等看待,写成下面具有对称形式的一阶微分方程(,)(,)0M x y dx N x y dy += (13)这里假设(,),(,)M x y N x y 在某矩形域内是,x y 的连续函数,且具有连续的一阶偏导数.这样的形式有时便于探求方程的通解.如果方程(13)的左端恰好是某个二元函数(,)U x y 的全微分,即(,)(,)(,)u uM x y dx N x y dy dU x y dx dy x y∂∂+==+∂∂ (14) 则称(13)为恰当微分方程.容易验证,(13)的通解就是(,)U x y c =,这里c 是任意常数. 3.2恰当微分方程解法的应用 例43(ln ).ydx y x dy o x++= 解 这里3(,),(,)ln ,yM x y N x y y x x==+ 于是(,)1(,).M x y N x y y x x∂∂==∂∂ 因此这是一个恰当微分方程.把方程重新分项组合,得到3(ln )0,ydx xdy y dy x+++ 即41(ln )04d y x dy +=. 所以方程的通解为41ln 4y x y c +=. 3.3积分因子如果存在连续可微的函数 (,)0,u u x y =≠ 使得(,)(,)(,)(,)0u x y M x y dx u x y N x y +=为一恰当微分方程,即存在函数v 使uMdx uNdy dv +≡ (15)则称(,)u x y 为方程(13)的积分因子.这时(,)v x y c =是(15)的通解,因而也就是(13)的通解.3.4积分因子解法的应用例5 432422(22)(3)0y y xy e xy y dx x y e x y x dy +++--=. 解 4322,y M xy e xy y =++ 24223,y N x y e x y x =--342826 1.y y M xy e xy e xy y ∂=+++∂4222 3.y Nxy e xy x∂=--∂ 所以4,M Ny xM y ∂∂-∂∂=--得到方程的积分因子为441().dy y u y ye -⎰== 原方程可化为22324213(2)()0yyx x x xe dx x e dy y y y y+++--=.将原方程重新分项得22234213(2)()()0,yyx x xxe dx x e dy dx dy dx dy y y y y++-+-=即223()0.yx xd xe y y++=因此,方程的通解为223.yx xx e c y y++=另外,0y =也是方程的解.4 .一阶隐式微分方程与参数表示一阶隐式微分方程的一般形式可表示为(,,)0.F x y y '=如果能从此方程中解出导数,y '其表达式为(,),y f x y '=则可依(,)f x y 的具体形状如何而选择前面所介绍的某一方法求解.但如果难以从方程中解出y '或即使解出y ',而其表达式相当复杂的情况下,则宜采用引进参数的办法使之变为导数已解出的方程类型,这正是本部分讨论的主要思想.这里主要介绍以下四种类型的求解方法:(1) (,);y f x y '= (2) (,);x f y y '=(3) (,)0;F x y '= (4) (,)0.F y y '=4.1可解出y 的方程 讨论形如),(dxdyx f y = (16) 的方程的解法.这里假设函数有连续的偏导数.引进参数,dyp dx=则(16)变为 (,)y f x p =, (17)将(17)两边对x 求导数,并以dyp dx=代入,得到 f f dp p x p dx∂∂=+∂∂, (18) 方程(18)是关于,x p 的一阶微分方程,但它的导数已解出,于是可按前面的方法求出它的解.若已求得(18)的通解的形式为(,),p x c ϕ=将它代入(17)得(,(,),y f x x c ϕ= 这就是(16)的通解.若求得(18)的通解的形式为()c p x ,ψ=则得到(16)的参数形式的通解为⎩⎨⎧==)),,((),(p c p f y c p x ψψ 其中p 是参数,c 是任意常数.若求得(18)的通解的形式为(,,)0,x p c Φ=则得到(16)的参数形式的通解为()⎩⎨⎧==),(0,,p x f g c p x φ 其中p 是参数,c 为任意常数. 4.2可解出y 的方程解法的应用例6 2ln ().y xy x xy ''=+ 解 设,dyp dx=则原方程写为 2ln ()y xp x xp =+ (19)两边关于x 求到导,得22ln ln 22,dp dp p x x p x p xp xp dx dx=++++ 化简到(ln 2)()0,dpx xp xp dx++= 由此得到ln 2x p x =-或.dpx p dx=- 把ln 2xp x=-代入(19),得原方程的一个特解 21(ln ).4y x =-由方程.dpxp dx=- 解得,cp x=代入(19),得到原方程的通解 2ln .y c x c =+4.3不显含y 的方程. 形如(,)0F x y '= (20)的方程的解法.记.dyp y dx'==从几何的观点看,(,)0F x p =代表oxp 平面上的条曲线.设把这曲线表为适当的参数形式{()()x t p t ϕψ== (21)这里t 为参数.再注意到,沿方程(20)的任何一条积分曲线上,恒满足基本关系式.dy pdx =以(21)代入上式得()(),dy t t dt ψϕ'=两边积分,得到()(),y t x t dt c ψϕ'=+⎰于是得到方程(21)的参数形式的通解为{()()(),x t y t x t dt c ϕψϕ='=+⎰其中c 为任意常数.4.4不显含y 的方程的解法的应用例7 2.y y y e ''=解 令,y p '=则原方程化为2.yp y p e =对x 求导数,即得11 ()dxdp e p p p p 22+= 积分之,即得()c e p x p ++=1所以,方程的通解为{2(1)p p x p e c y p e =+⋅+=另外,0y =也是方程的解. 小结：熟悉各种类型方程的解法,正确而又敏捷地判断一个给定的方程属于何种类型,从而按照所介绍的方法进行求解,这是必须做到的.然而我们所遇到的方程未必都恰好是本文所介绍过的几种类型,因此,还需要注意解题技巧,从中总结经验,培养自己的机智和灵活性.还有一点很重要,就是要善于根据方程的特点, 引进适当的变换,将方程化为能求解的新类型,从而求解.参考文献:[1] 胡健伟,汤怀民.微分方程数值方法[M].北京:北京科学出版社,1999.[2] 尤秉礼.常微分方程补充教程[M].北京:人民教育出版社,1981.[3] 丁同仁,李承治.常微分方程[M].北京:高等教育出版社,1985.[4] 许凇庆.常微分方程稳定性理论[M].上海:上海科技出版社,1964.[5] 周义仓.常微分方程及其应用[M].北京:科学出版社,2005.。

一阶微分方程典型例题例1 在某一人群中推广新技术是通过其中掌握新技术的人进行的.设该人群的总人数为N ，在0=t 时刻已掌握新技术的人数为0x ，在任意时刻t 已掌握新技术的人数为)(t x (将)(t x 视为连续可微变量)，其变化率与已掌握新技术的人数和未掌握新技术人数之积成正比，比例常数0>k ，求)(t x .解 由题设知未掌握新技术人数为)(t x N −，且有)(x N kx dtdx −=，00x x t == 变量分离后，有 kdt x N x dx =−)(，积分之，kNtkNtce cNe x +=1，由00x x t ==，求得 00x N x c −= 例2 求2sin 2sin y x y x y −=++′的通解. 解：利用三角公式将方程改写为2sin 2cos 2y x y −=′.当02sin ≠y 时，用它除方程的两端，得变量分离方程dx x y dy 2cos 22sin −=, 积分之，得通积分 2sin 44tan ln x c y −=. 对应于02sin =x ，再加特解 ),2,1,0(2"±±==n n y π. 在变量分离时，这里假设02sin≠y ，故所求通解中可能会失去使 02sin =y 的解.因此，如果它们不能含于通解之中的话，还要外加上这种形式的特解. 例3 求微分方程 x xe y y x =+′ 满足条件11==x y的特解.解法1 把原方程改写为x e y xy =+′1，它是一阶线性方程，其通解为 ()11()()1()1dx dx p x dx p x dx x x x x y e q x e c e e e dx c x e c x −−⎛⎞∫∫⎛⎞∫∫⎡⎤=+=⋅+=−+⎜⎟⎜⎟⎣⎦⎝⎠⎝⎠∫∫ 用1,1==y x 代入，得 1=c ，所以特解为xe x x y x 11+−=. 解法2 原方程等价于x xe xy dxd =)(，积分后，得ce x xy x +−=)1(. 当 1,1==y x 时， 1=c 故所求特解为xe x x y x 11+−=. 例4 求方程 0)cos 2()1(2=−+−dx x xy dy x 满足初始条件 10==x y 之特解. 解 将原方程改写为1cos 1222−=−+x x y x x dx dy . 于是，通解为 ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+∫−∫=∫−−−c dx e x x e y dx x x dx x x 12212221cos 即 1sin 2−+=x c x y ， 由01x y ==，得1c =−，故特解为2sin 11x y x −=−. 例5 求方程 4yx y dx dy +=的通解. 解 将原方程改写成以 为未知函数的方程31y x y dx dy =−. 于是，由一阶线性方程的通解公式，得⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+∫∫=∫−c y y c dy e y e x dy y dy y 313131 在判断方程的类型时，不能只考虑以y 为因变量的情况.因有些方程在以 x 为因变量时方能为线性方程或伯努利方程，解题时必须全面分析.例6 求方程22y xy y x =+′满足初始条件11==x y 的特解. 解法1 将原方程写成对称形式0)(22=+−dy x dx y xy 记 22)(,),(x x q y xy y x p =−=.由于),(),(),,(),(22y x q t ty tx q y x p t ty tx p ==，因此原方程是齐次方程. 令xu y =则u x u y ′+=′，代入原方程，得u u u x 22−=′ 分离变量后，有x dx u u du =−22 积分得22cx u u =−，即22cx y x y =−.再由 11==x y ，得1−=c ，故特解为212x x y +=. 解法2 将原方程改写为 122=+′y x y yx ，这是伯努利方程. 因为 111222=+′⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=+′y x y x y x y y x ，故令 z y =1，于是有211x z x z −=−′ 解之，得cx x c dx x x z +=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=∫2113，即2212cx x y +=.再由 11==x y ，得 21=c ，于是 212x x y +=. 例7 设有连接点)0,0(O 和)1,1(A 的一段向上凸的曲线弧p OA对于上任一点(,)P x y ，曲线弧p OP 与有向线段OP 所围图形的面积为 ，求曲线弧p OA 的方程. 解：设曲线弧p OA 的方程为)(x y y =，p OA上任一点改写为),(00y x P ，则p OP 与OP 所围图形的面积可表为00 000 0 001()()2x x y y t t dt y t dt y x ⎡⎤−=−⎢⎥⎣⎦∫∫. 然后再将00,y x 换为 y x ,.据题意得)0(,21)(20>=−∫x x xy dt t y x两端对x 求导，得x y x y y 22121=′−−，即41−=−′y xy ，其通解为)(ln 4c x x y +=−. 由初始条件 11==x y 得1=c 得出，故所求曲线弧p OA的方程为 ⎩⎨⎧=≤<+=−0010)1(ln 4x x x x y。

单元1：一阶微分方程及其应用
特定目标：
1. 学习解某些特定一阶微分方程技巧。

2. 在实际的情况下应用有关建立及解一阶微分方程的技巧。

3. 能够理解一阶微分方程的解。

学生亦应能识别函数内任意常数的数目。

例如，函数两个任意常数，但事x x e ce =，其中 可由一个任意常数取代，所以最终只有一个任意常数。

对于能力较佳的学生，教们讨论方程的奇解。

例21c c e 1+ 中，1c y cx =+ 是一般解而 本节的重点在于怎样由实际情况建立微分方程，立的方程则可留待以后的章节。

教师可提供学生一些例子，指。