第1章集合章末检测教师版

第一章集合章末检测班级__________ 姓名__________ 考号__________ 分数__________本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部份．第Ⅰ卷60分，第Ⅱ卷90分，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．下列表示①{0}＝∅，②{3}∈{3,4,5}，③∅{0}，④0∈{0}中，正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案：B解析：③④正确．2．设全集U ＝R ，M ＝{x |x ≥1}，N ＝{x |0≤x <5}，则(∁U M )∪(∁U N )为( )A ．{x |x ≥0)B ．{x |x <1或x ≥5}C ．{x |x ≤1或x ≥5} D．{x |x <0或x ≥5}答案：B解析：借助数轴直观选择．3．已知集合A ＝{0,1,2,3,4,5}，B ＝{1,3,6,9}，C ＝{3,7,8}，则(A ∩B )∪C 等于( )A ．{0,1,2,6}B ．{3,7,8}C ．{1,3,7,8}D ．{1,3,6,7,8}答案：C解析：直接进行交并运算．4．若集合M ＝{a ，b ，c }中的元素是△ABC 的三边长，则△ABC 必然不是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形答案：D解析：由集合中元素的互异性可知．5．设集合A ＝{0,1}，集合B ＝{1,2,3}，概念A *B ＝{z |z ＝xy ＋1，x ∈A ，y ∈B }，则A *B 集合中真子集的个数是( )A ．14B ．15C ．16D ．17答案：B解析：A *B ＝{1,2,3,4}，故集合中有4个元素，则真子集有24－1＝15个．6．设集合A ＝{(x ，y )|x －y ＝1}，B ＝{(x ，y )|2x ＋y ＝8}，则A ∩B ＝( )A ．{(3,2)}B ．{3,2}C ．{(2,3)}D ．{2,3}答案：A解析：解⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝12x ＋y ＝8得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3y ＝2.7．已知集合A ＝{x ∈R |x <5－2}，B ＝{1,2,3,4}，则(∁R A )∩B 等于( )A ．{1,2,3,4}B ．{2,3,4}C ．{3,4}D ．{4}答案：D解析：借助数轴直观判断．8．设集合P ＝{1,2,3,4,5,6}，Q ＝{x ∈R |2≤x ≤6}，那么下列结论正确的是( )A ．P ∩Q ＝PB ．P ∩Q QQ P。

第1章 集 合(A)(时间：120分钟 满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．设集合M ＝{1,2,4,8}，N ＝{x |x 是2的倍数}，则M ∩N ＝________.2．若集合A ＝{x ||x |≤1，x ∈R }，B ＝{y |y ＝x 2，x ∈R }，则A ∩B ＝________.3．已知集合A {1,2,3}，且A 中至少含有一个奇数，则这样的集合有________个． 4．已知A ，B 均为集合U ＝{1,3,5,7,9}的子集，且A ∩B ＝{3}，(∁U B )∩A ＝{9}，则A ＝________.5．已知集合A ＝{x |x 2＋mx ＋1＝0，m ≥0}，若A ∩R ＝∅，则m 的取值范围是________． 6．设U 为全集，M 、N 是U 的两个子集，用适当的符号填空： (1)若M ⊆N ，则∁U M ________∁U N ； (2)若∁U M ＝N ，则M ________∁U N .7．设全集U ＝{1,2,3,4,5}，集合M ＝{1,4}，N ＝{1,3,5}，则N ∩(∁U M )＝________. 8．已知全集U ＝{x |－2 008≤x ≤2 008}，A ＝{x |0<x <a }，若∁U A ≠U ，则实数a 的取值范围是______________．9．已知U ＝R ，A ＝{x |x >0}，B ＝{x |x ≤－1}，则(A ∩∁U B )∪(B ∩∁U A )等于________． 10．已知集合A ＝{x |x <1或x >5}，B ＝{x |a ≤x ≤b }，且A ∪B ＝R ，A ∩B ＝{x |5<x ≤6}，则2a －b ＝________.11．已知集合A ＝{－2，－1,1,2,3,4}，B ＝{x |x ＝t 2，t ∈A }，用列举法表示集合B ＝________.12．下列各组集合中，满足P ＝Q 的有________．(填序号) ①P ＝{(1,2)}，Q ＝{(2,1)}； ②P ＝{1,2,3}，Q ＝{3,1,2}；③P ＝{(x ，y )|y ＝x －1，x ∈R }，Q ＝{y |y ＝x －1，x ∈R }．13．已知集合A {2,3,7}，且A 中至多有1个奇数，则这样的集合共有________个． 14．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_____________________． 二、解答题(本大题共6小题，满分90分)15．(14分)已知集合A ＝{a ＋2,2a 2＋a }，若3∈A ，求a 的值．16．(14分)若a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝{0，b a，b }，求b －a 的值．17．(14分)已知集合A ＝{x |x 2＋ax ＋12b ＝0}和B ＝{x |x 2－ax ＋b ＝0}，满足(∁U A )∩B ＝{2}，A ∩(∁U B )＝{4}，U ＝R ，求实数a ，b 的值．18．(16分)设集合A ＝{x |x 2－ax ＋a 2－19＝0}，B ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}，C ＝{x |x 2＋2x －8＝0}．(1)若A ＝B ，求a 的值；(2)若∅A ∩B ，且A ∩C ＝∅，求a 的值； (3)若A ∩B ＝A ∩C ≠∅，求a 的值．19．(16分)已知集合A ＝{x |0<ax ＋1≤5}，集合B ＝{x |－12<x ≤2}．若B ⊆A ，求实数a的取值范围．20．(16分)向50名学生调查对A ，B 两事件的态度，有如下结果：赞成A 的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成B 的比赞成A 的多3人，其余的不赞成；另外，对A，B都不赞成的学生数比对A，B都赞成的学生数的三分之一多1人．问对A，B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？第1章集合(A)1．{2,4,8}解析因为N＝{x|x是2的倍数}＝{…，0,2,4,6,8，…}，故M∩N＝{2,4,8}．2．{x|0≤x≤1}解析A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{y|y≥0}，解得A∩B＝{x|0≤x≤1}．3．5解析若A中有一个奇数，则A可能为{1}，{3}，{1,2}，{3,2}，若A中有2个奇数，则A＝{1,3}．4．.{3,9}解析借助于Venn图解，因为A∩B＝{3}，所以3∈A，又因为(∁U B)∩A＝{9}，所以9∈A.5．0≤m<4解析∵A∩R＝∅，∴A＝∅，∴方程x2＋mx＋1＝0无解，即Δ＝m－4<0.∴m<4.又m≥0，∴0≤m<4.6．(1)⊇(2)＝解析(1)由题意，如图所示，可知∁U M⊇∁U N.(2)由∁U M＝N，如图所示，可知M＝∁U N.7．{3,5}解析∁U M＝{2,3,5}，N＝{1,3,5}，则N∩(∁U M)＝{1,3,5}∩{2,3,5}＝{3,5}．8．0<a≤2 008解析由全集定义知A⊆U，从而a≤2 008，又∁U A≠U，∴A≠∅，从而a>0，综上可知0<a≤2 008.9．{x|x>0或x≤－1}解析∵∁U B＝{x|x>－1}，∴A∩∁U B＝{x|x>0}．又∵∁U A＝{x|x≤0}，∴B∩∁U A＝{x|x≤－1}．∴(A∩∁U B)∪(B∩∁U A)＝{x|x>0或x≤－1}．10．－4解析 如图所示，可知a ＝1，b ＝6,2a －b ＝－4. 11．{1,4,9,16}解析 B ＝{x |x ＝t 2，t ∈A }＝{1,4,9,16}． 12．②解析 ①中P 、Q 表示的是不同的两点坐标；②中P ＝Q ；③中P 表示的是点集，Q 表示的是数集． 13．6解析 (1)若A 中有且只有1个奇数，则A ＝{2,3}或{2,7}或{3}或{7}； (2)若A 中没有奇数，则A ＝{2}或∅. 14．12解析 设全集U 为某班30人，集合A 为喜爱篮球运动的15人，集合B 为喜爱乒乓球运动的10人，如图．设所求人数为x ，则x ＋10＝30－8⇒x ＝12.15．解 ∵3∈A ，∴a ＋2＝3或2a 2＋a ＝3. 当a ＋2＝3时，解得a ＝1.当a ＝1时，2a 2＋a ＝3. ∴a ＝1(舍去)．当2a 2＋a ＝3时，解得a ＝－32或a ＝1(舍去)．当a ＝－32时，a ＋2＝12≠3，∴a ＝－32符合题意．∴a ＝－32.16．解 由{1，a ＋b ，a }＝{0，ba，b }可知a ≠0， 则只能a ＋b ＝0，是有以下对应法则：⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝0，ba ＝a ，b ＝1①或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，b ＝a ，b a ＝1.②由①得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1，符合题意；②无解．所以b －a ＝2.17．解 ∵(∁U A )∩B ＝{2}， ∴2∈B ，但2∉A .∵A ∩(∁U B )＝{4}，∴4∈A ，但4∉B .∴⎩⎪⎨⎪⎧42＋4a ＋12b ＝022－2a ＋b ＝0，∴a ＝87，b ＝－127.18．解 B ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2,3}， C ＝{x |x 2＋2x －8＝0}＝{－4,2}．(1)若A ＝B ，由根与系数的关系可得a ＝5和a 2－19＝6同时成立，即a ＝5. (2)由于∅A ∩B ，且A ∩C ＝∅，故只可能3∈A .此时a 2－3a －10＝0，也即a ＝5或a ＝－2. 当a ＝5时，A ＝B ＝{2,3}，A ∩C ≠∅，舍去；当a ＝－2时，A ＝{－5,3}，满足题意，故a ＝－2. (3)当A ∩B ＝A ∩C ≠∅时，只可能2∈A ，有a 2－2a －15＝0，也即a ＝5或a ＝－3，经检验知a ＝－3. 19.解 当a ＝0时，显然B ⊆A ； 当a <0时，若B ⊆A ，如图，则⎩⎪⎨⎪⎧4a ≤－12，－1a>2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－8，a >－12.∴－12<a <0；当a >0时，如图，若B ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧－1a ≤－12，4a ≥2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，a ≤2.∴0<a ≤2.综上知，当B ⊆A 时，－12<a ≤2.20．解 赞成A 的人数为50×35＝30，赞成B 的人数为30＋3＝33， 记50名学生组成的集合为U ， 赞成事件A 的学生全体为集合M ； 赞成事件B 的学生全体为集合N .设对事件A ，B 都赞成的学生人数为x ，则对A ，B 都不赞成的学生人数为x3＋1，赞成A而不赞成B 的人数为30－x ，赞成B 而不赞成A 的人数为33－x .则Venn 图如图所示：依题意(30－x )＋(33－x )＋x ＋(x3＋1)＝50，解得x ＝21.所以对A，B都赞成的同学有21人，都不赞成的有8人．。

第一章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.下面给出的四类对象中,能构成集合的是()A.速度特别快的汽车B.聪明的人C.的近似值的全体D.倒数等于它本身的实数解析:A,B,C中所指的对象都不确定,故不能构成集合;而D中倒数等于它本身的实数为±1是确定的,故能构成集合.答案:D2.已知全集U=R,集合M={x|-1≤x≤3},则∁U M=()A.{x|-1<x<3}B.{x|-1≤x≤3}C.{x|x<-1或x>3}D.{x|x≤-1或x≥3}答案:C3.以下命题中正确的是()A.所有正数组成的集合可表示为{x|x2>0}B.大于2 010小于2 012的整数组成的集合为{x|2 010<x<2 012}C.全部三角形组成的集合可以写成{全部三角形}D.N中的元素比N+中的元素只多一个元素0,它们都是无限集解析:所有正数的集合应表示为{x|x>0},大于2 010小于2 012的整数的集合应表示为{x|2010<x<2 012,x∈Z}或{2 011};全部三角形组成的集合应表示为{三角形}或{x|x是三角形}.答案:D4.M={1,2,m2-3m-1},N={-1,3},M∩N={3},则m的值为()A.4B.-1C.4或-1D.-4或1解析:由题意知,3∈M,∴m2-3m-1=3,解得m=-1或4.经检验m=-1或4均满足M∩N={3},∴m的值为4或-1.答案:C5.设集合M={x|x≤2},a=,其中b∈(0,1),则下列关系中正确的是()A.a⫋MB.a∉MC.{a}∈MD.{a}⫋M解析:由题意可知,且2,显然D正确;由集合与集合及元素与集合之间的关系知,A,C显然不对;a∈M,故B也不对.答案:D6.(2016山东济宁高一检测)若A,B,C为三个集合,A∪B=B∩C,则一定有()A.A⊆CB.C⊆AC.A≠CD.A=⌀解析:因为A⊆A∪B且B∩C⊆C,由题意,得A⊆C.答案:A7.已知集合M=,N={x|x≤-3},则集合{x|x≥1}等于()A.M∩NB.M∪NC.∁R(M∩N)D.∁R(M∪N)解析:∵M={x|-3<x<1},N={x|x≤-3},∴M∪N={x|x<1}.∴∁R(M∪N)={x|x≥1}.答案:D8.已知M,N都是U的子集,则图中的阴影部分表示()A.M∪NB.∁U(M∪N)C.(∁U M)∩ND.∁U(M∩N)解析:图中的阴影部分为M∪N的补集.答案:B9.满足M⊆{a1,a2,a3,a4},且M∩{a1,a2,a3}={a1,a2}的集合M的个数是()A.1B.2C.3D.4解析:集合M必须含有元素a1,a2,并且不能含有元素a3,故M={a1,a2}或{a1,a2,a4}.答案:B10.导学号91000033(2016河北唐山一中高一期中)设全集U是实数集R,M={x|x>2或x<-2},N={x|x≥3或x<1}都是U 的子集,则图中阴影部分所表示的集合是()A.{x|-2≤x<1}B.{x|-2≤x≤2}C.{x|1<x≤2}D.{x|x<2}解析:∵图中阴影部分表示:x∈N且x∉M,∴x∈N∩∁U M.∴∁U M={x|-2≤x≤2},∴N∩∁U M={x|-2≤x<1}.故选A.答案:A11.设集合A={x|a-1<x<a+1,x∈R},B={x|1<x<5,x∈R}.若A∩B=⌀,则实数a的取值范围是()A.{a|0≤a≤6}B.{a|a≤2或a≥4}C.{a|a≤0或a≥6}D.{a|2≤a≤4}解析:∵A={x|a-1<x<a+1,x∈R},∴A≠⌀.又A∩B=⌀,如图可知a+1≤1或a-1≥5.故a≤0或a≥6.答案:C12.(2016河北衡水高中过程检测)已知集合A满足条件:若a∈A,则∈A,那么集合A中所有元素的乘积为()A.-1B.1C.0D.±1解析:当a∈A时,∈A,则=-∈A,则∈A,则=a∈A,a·=1.故选B.答案:B二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上)13.集合A={(x,y)|y=6-x2,x∈N,y∈N},用列举法表示A为.解析:根据题意x可能取的值为0,1,2.当x=0时,y=6,符合题意;当x=1时,y=5,符合题意;当x=2时,y=2,符合题意.故A={(0,6),(1,5),(2,2)}.答案:{(0,6),(1,5),(2,2)}14.设全集I={1,3,5,7,9},集合A={1,|a-5|,9},∁I A={5,7},则a的值为.解析:∵∁I A={5,7},∴A={1,3,9}.∴|a-5|=3,解得a=2或8.答案:2或815.集合A={x|x2+ax-2≥0,a∈Z},若-4∈A,2∈A,则满足条件的a组成的集合为.解析:由题意知解得-1≤a≤.又∵a∈Z,∴满足条件的a组成的集合为{-1,0,1,2,3}.答案:{-1,0,1,2,3}16.某班共30人,其中15人喜爱篮球运动,10人喜爱乒乓球运动,8人对这两项运动都不喜爱,则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为.解析:由Venn图可知,喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为12.答案:12三、解答题(本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(12分)用另一种形式表示下列集合:(1){绝对值不大于3的整数};(2){所有被3整除的数};(3){x|x=|x|,x∈Z且x<5};(4){x|(3x-5)(x+2)(x2+3)=0,x∈Z}.解:(1)绝对值不大于3的整数还可以表示为{x||x|≤3,x∈Z},也可表示为{-3,-2,-1,0,1,2,3};(2){x|x=3n,n∈Z}(说明:{被3除余1的整数}可表示为{x|x=3n+1,n∈Z});(3)∵x=|x|,∴x≥0.又∵x∈Z且x<5,∴{x|x=|x|,x∈Z且x<5}还可表示为{0,1,2,3,4};(4){-2}.(特别注意x∈Z这一约束条件)18.(12分)已知全集U为R,集合A={x|0<x≤2},B={x|x<-3或x>1}.求:(1)A∩B;(2)(∁U A)∩(∁U B);(3)∁U(A∪B).解:结合数轴可得,∁U A={x|x≤0或x>2},∁U B={x|-3≤x≤1},A∪B={x|x<-3,或x>0}.∴(1)A∩B={x|1<x≤2};(2)(∁U A)∩(∁U B)={x|-3≤x≤0};(3)∁U(A∪B)={x|-3≤x≤0}.19.(12分)已知全集U={x|x<10,x∈N+}且(∁U A)∩B={1,9},(∁U A)∩(∁U B)={6,8},A∩B={2,4},求集合A和B.解:依题意U={1,2,3,4,5,6,7,8,9},作出韦恩图,如图所示,易知A={2,3,4,5,7},B={1,2,4,9}.20.导学号91000034(12分)已知集合A={x|x2-5x+6=0},B={x|mx+1=0},且A∪B=A,求由实数m的值组成的集合.解:A={x|x2-5x+6=0}={2,3},A∪B=A,∴B⊆A.①m=0时,B=⌀,B⊆A;②m≠0时,由mx+1=0,得x=-.∵B⊆A,∴-∈A.∴-=2或-=3,得m=-或m=-.∴满足题意的m的集合为.21.(12分)(2016四川成都六校高一联考)设A={x|2x2+ax+2=0},B={x|x2+3x+2a=0},A∩B={2}.(1)求a的值及A,B;(2)设全集I=A∪B,求(∁I A)∪(∁I B);(3)写出(∁I A)∪(∁I B)的所有子集.解:(1)∵A∩B={2},∴8+2a+2=0,∴a=-5,∴A=,B={-5,2}.(2)∵I=,∴(∁I A)∪(∁I B)=.(3)由(2)知(∁I A)∪(∁I B)的所有子集有⌀,,{-5},.22.(14分)已知集合A={x∈R|ax2-3x+2=0,a∈R}.(1)若A是空集,求a的取值范围;(2)若A中只有一个元素,求a的值,并把这个元素写出来;(3)若A中至多有一个元素,求a的取值范围.解:集合A是方程ax2-3x+2=0在实数范围内的解组成的集合.(1)A是空集,即方程ax2-3x+2=0无解,得∴a>,即实数a的取值范围是.(2)当a=0时,方程只有一解,方程的解为x=;当a≠0且Δ=0,即a=时,方程有两个相等的实数根,A中只有一个元素,∴当a=0或a=时,A中只有一个元素,分别是.(3)A中至多有一个元素,包括A是空集和A中只有一个元素两种情况,根据(1),(2)的结果,得a=0或a≥,即a的取值范围是.。

第一章 集合章末测评1.对于集合M 、N,定义M-N={x|x ∈M,且x ∉N},M ⊕N=(M-N)∪(N-M).设A={y|y=x 2-3x,x ∈R },B={y|y=-2x ,x ∈R },那么A ⊕B 等于〔 〕A.(-49,0] B.［-49,0) C.(-∞,-49)∪［0,+∞) D.(-∞,-49]∪(0,+∞)思路解析：由题意,A=［-49,+∞),B=(-∞,0),A-B=［0,+∞),B-A=(-∞,-49).∴A ⊕B=(A-B)∪(B-A)=(-∞,-49)∪［0,+∞),选C. 答案:C2.集合A={x|x 2-2x-3≤0},B={x|x 2+px+q<0}满足A ∩B={x|-1≤x<2},那么p 与q 关系为〔 〕 A.p-q=0B.p+q=0C.p+q=-5D.2p+q=-4 思路解析：A={x|-1≤x ≤3}.∵A ∩B 非空,∴B 非空.设B={x|x 1<x<x 2},观察数轴,有x 1<-1,x 2=2, 即x=2是方程x 2+px+q=0一个根,把x 2=2代入x 2+px+q=0,有4+2p+q=0.选D. 答案:D 3.假设f(x)=x1定义域为M,g(x)=|x|定义域为N,令全集I=R ,那么M∩N等于〔〕A.MB.NC.MD.N1>0,得M=(0,+∞).思路解析：由x又N=(-∞,+∞),∴M∩N=M.应选择A.答案:A4.集合U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,5,7},B={3,4,5},那么(A)∪(B)等于( )A.{1,6}B.{4,5}C.{2,3,4,5,7}D.{1,2,3,6,7}思路解析：由题意可得A∩B={4,5}.又(A)∪(B)=(A∩B),∴D正确.答案:D5.P=｛x｜｜x｜≤3｝，Q=｛x｜x＞a｝，P∩Q=∅，那么实数a取值范围是〔〕A.〔-∞，-3〕B.〔-∞，3〕C.［3，+∞)D.〔3，+∞〕思路解析：∵P=｛x｜｜x｜≤3｝=｛x｜-3≤x≤3｝，Q=｛x｜x＞a｝，又P∩Q=∅，∴a≥3．答案:C6.如以下图所示，阴影局部表示集合是〔〕∩［〔A∪C〕］ B.〔A∪B〕∪〔B∪C〕C.〔A∪C〕∩〔B〕D.［〔A∩C〕］∪B思路解析：阴影局部元素x∈B，但x∉A，x∉C，所以阴影局部表示集合为B∩［〔A∪C〕］.答案:A=｛正方形｝，M2=｛平行四边形｝，M3=｛四边形｝，M4=｛矩形｝，1那么以下结论正确是〔〕1⊆M2⊆M3⊆M4 1⊆M4⊆M3⊆M21⊆M2⊆M4⊆M3 1⊆M4⊆M2⊆M3思路解析：此题研究是四个集合之间包含关系，而对于集合中四个概念，四边形外延最大，平行四边形外延列第二，正方形外延最小，矩形外延列第三，应选D．答案:Ｄ8.设全集U=R,集合M={x|x＞1},P={x|x2＞1}，那么以下关系中正确是〔〕∩(M)=∅思路解析：∵x2＞1,∴x＞1或x＜-1.∵P={x|x2＞1},∴P={x|x＞1,或x＜-1}.又∵M={x|x＞1},∴M P.答案:C9.在200名学生中，数学成绩优秀173名，英语成绩优秀151名，假设数学与英语成绩都优秀m名，那么m可能取到最小值是( )A.124B.173 C思路解析：分别用card(s)、card(y)表示数学、英语成绩优秀学生数.依题意,得card(s ∪y)=card(s)+card(y)-card(s ∩y).依集合运算性质得m 最小值为173+151-200=124. 答案:A10.集合M=｛x ｜x=2k+41，k ∈Z ｝，N=｛x ｜x=4k +21，k ∈Z ｝，那么〔 〕∩N ≠∅思路解析：∵M=｛x ｜x=2k +41，k ∈Z ｝=｛x ｜x=41〔2k+1〕，k ∈Z ｝，N=｛x ｜x=4k +21，k ∈Z ｝=｛x ｜x=41〔k+2〕，k ∈Z ｝，又2k+1只可取为奇数，k+2可取任意整数，对任意x ∈M ⇒x ∈N ；而对任意x ∈N ，不一定推出x ∈M ．故M N ． 答案:B11.设A=｛〔x ，y 〕｜x ＞0，y ＜0｝，B=｛〔x ，y 〕｜x-y ＞0，且xy ＜0｝，那么以下关系正确是〔 〕 思路解析：A=B ．答案:C12.假设集合M=｛x ｜x=m+61，m ∈Z ｝，N=｛x ｜x=，n ∈Z ｝，P=｛x ｜x=2p +61，p ∈Z ｝，那么M 、N 、P 关系是( ) A.M=NN思路解析：因为M=｛x ｜x=，m ∈Z ｝，N=｛x ｜x=，n ∈Z ｝=｛x ｜x=，n∈Z｝，P=｛x｜x=，p∈Z｝，又6m+1只可取除以6余1整数,而3n-2,3p+1可取所有除以6余1或4整数,故M N=P，应选择C．答案:C13.用列举法表示集合A=｛x｜∈N*，x∈Z｝=_________________.思路解析：由∈N*,知5-x为12约数,即5-x=1,2,3,4,6,12.解得x=4,3,2,1,-1,-7.∴A=｛-7，-1，1，2，3，4｝．答案:A=｛-7，-1，1，2，3，4｝．14.设全集S=｛三角形｝，A=｛钝角三角形｝，B=｛锐角三角形｝，在以下空格处填上适当集合.①A∪B=____________________________________；②〔A〕∩〔B〕=_________________________；③〔A〕∩B=_______________________________；④A∩B______________________________________；⑤〔A〕∪〔B〕=_________________________.思路解析：此题考察用集合关系来描述三角形分类. 三角形按角分成三类：钝角三角形、直角三角形、锐角三角形.答案:①｛斜三角形｝②｛直角三角形｝③｛锐角三角形｝④⑤｛三角形｝15.全集U={2，0，3-a2}，子集P={2，a2-a-2}且P={-1}，那么实数a=________________.思路解析：如以下图所示.由题意,得解由①②组成方程组得a=2.答案:216.全集U=｛〔x，y〕｜y=x+1｝，A=｛〔x，y〕｜y=x+1，-1＜x＜0｝，那么点集A表示_________________〔图形〕.思路解析：如以下图，集合U表示直线y=x+1，集合A表示以A〔-1，0〕、B〔0，1〕为端点线段AB〔除去A、B两点〕．∴A即直线上分别以A、B为端点向下、向上延伸射线AD、BC．答案:两条射线17.设全集U=｛x｜x为小于20质数｝，A∩B={5，11}，〔A〕∩B=｛7，13｝，〔A〕∩〔B〕=｛7，19｝，求A、B.思路解析：做出Venn图来帮助求解.解答：∵U=｛2，3，5，7，11，13，17，19｝．由题设作出Venn图易知:A=｛2，3，5，11｝，B=｛2，3，7，13｝．18.现有小说、数学、英语三本新书，至少读过其中一本有18人，读过小说、数学、英语分别有9、8、11人，同时读过小说、数学有5人，同时读过数学、英语有3人，同时读过小说、英语有4人，问小说、数学、英语全部读过有几人.思路解析：设A=｛读过小说人｝，B=｛读过数学人｝，C=｛读过英语人｝于是将此题由实际问题转化为关于集合数学问题之后再利用公式card〔A∪B∪C〕=card〔A〕+card〔B〕+card〔C〕-card〔A ∩B〕-card〔A∩C〕-card〔B∩C〕+card〔A∩B∩C〕列式求解.解答:设A=｛读过小说人｝，B=｛读过数学人｝，C=｛读过英语人｝，A∩B=｛同时读过小说、数学人｝，A∩C=｛同时读过小说、英语人｝，B∩C=｛同时读过数学、英语人｝．由以下图可知，card〔A∪B∪C〕=card〔A〕+card〔B〕+card 〔C〕-card〔A∩B〕-card〔A∩C〕-card〔B∩C〕+card〔A∩B ∩C〕,所以card〔A∩B∩C〕=18-9-8-11+5+3+4=2，即小说、数学、英语全部读过有2人．19.设集合P=｛x｜x=m2+n2，m、n∈Z｝，求证：x1、x2∈P时，均有x1·x2∈P.思路解析：要证明x1·x2∈P,就是要证明x1·x2能写成m2+n2形式.证明：任取x1、x2∈P，那么可设x1=m12+n12，x2=m22+n22，其中m1，m2，n1，n2∈Z，于是x1·x2=〔m12+n12〕·〔m22+n22〕=m12m22+n12 n22+m12n22+n12 m22=〔m12m22+2m1m2n1n2+n12n22〕+〔m12n22-2m1n2 m2n1+m22n12〕=〔m1m2+n1n2〕2+〔m1 n2-m2n1〕2.∵m 1，m 2，n 1，n 2∈Z ，∴m 1m 2+n 1n 2，m 1 n 2-m 2n 1∈Z , ∴x 1·x 2∈P ．20.集合A 元素是满足方程4a 2+1+b =4a-1a 、b 值，a 、b ∈R ，集合B=｛x ｜x 〔x 2-1〕〔4x 2-1〕=0｝，求A ∩B.思路解析：此题关键要将方程4a 2+1+b =4a-1变形求解以得到A 全部元素.解答：将方程4a 2+1+b =4a-1配方，得〔2a-1〕2+1+b =0． 由于(2a-1)2≥0,1+b ≥0,∴2a-1=b+1=0.∵a ，b ∈R ，∴a=21且b=-1．∴A=｛21，-1｝．解方程x 〔x 2-1〕〔4x 2-1〕=0，得x=0或x=±1或x=±21， ∴B=｛-1，-21，0，21，1｝．∴A ∩B={-1,21}．。

学 习 资 料 专 题第一章 导数及其应用[对应学生用书P31]一、导数的概念 1．导数函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有定义，x 0∈(a ，b )，当Δx 无限趋近于0时，比值ΔyΔx＝f x 0＋Δx －f x 0Δx无限趋近于一个常数A ，则称f (x )在点x ＝x 0处可导，称常数A 为函数f (x )在点x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)．2．导函数若f (x )对于区间(a ，b )内任一点都可导，则f ′(x )在各点的导数中随着自变量x 的变化而变化，因而也是自变量x 的函数，该函数称为f (x )的导函数．记作f ′(x )．二、导数的几何意义1．f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x 0处切线的斜率，这是导数的几何意义． 2．求切线方程： 常见的类型有两种：一是函数y ＝f (x )“在点x ＝x 0处的切线方程”，这种类型中(x 0，f (x 0))是曲线上的点，其切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．二是函数y ＝f (x )“过某点的切线方程”，这种类型中，该点不一定为切点，可先设切点为Q (x 1，y 1)，则切线方程为y －y 1＝f ′(x 1)(x －x 1)，再由切线过点P (x 0，y 0)得y 0－y 1＝f ′(x 1)(x 0－x 1)，又y 1＝f (x 1)，由上面两个方程可解得x 1，y 1的值，即求出了过点P (x 0，y 0)的切线方程．三、导数的运算 1．基本初等函数的导数(1)f (x )＝C ，则f ′(x )＝0(C 为常数)； (2)f (x )＝x α，则f ′(x )＝α·xα－1(α为常数)；(3)f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，则f ′(x )＝a xln a ； (4)f (x )＝log a x (a ＞0，且a ≠1)，则f ′(x )＝1x ln a； (5)f (x )＝sin x ，则f ′(x )＝cos x ； (6)f (x )＝cos x ，则f ′(x )＝－sin x . 2．导数四则运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝fx g x －f x gxg 2x(g (x )≠0)．四、导数与函数的单调性 利用导数求函数单调区间的步骤： (1)求导数f ′(x )；(2)解不等式f ′(x )>0或f ′(x )<0； (3)写出单调增区间或减区间．特别注意写单调区间时，区间之间用“和”或“，”隔开，绝对不能用“∪”连接． 五、导数与函数的极值 利用导数求函数极值的步骤： (1)确定函数f (x )的定义域； (2)求方程f ′(x )＝0的根；(3)检验f ′(x )＝0的根的两侧的f ′(x )的符号，若左正右负，则f (x )在此根处取得极大值．若左负右正，则f (x )在此根处取得极小值，否则此根不是f (x )的极值点． 六、求函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的最大值、最小值的方法与步骤 (1)求f (x )在(a ，b )内的极值；(2)将(1)求得的极值与f (a )、f (b )相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值．特别地，①当f (x )在[a ，b ]上单调时，其最小值、最大值在区间端点取得；②当f (x )在(a ，b )内只有一个极值点时，若在这一点处f (x )有极大(或极小)值，则可以判断f (x )在该点处取得最大(或最小)值，这里(a ，b )也可以是(－∞，＋∞)．七、导数的实际应用利用导数求实际问题的最大(小)值时，应注意的问题：(1)求实际问题的最大(小)值时，一定要从问题的实际意义去考查，不符合实际意义的值应舍去．(2)在实际问题中，由f ′(x )＝0常常仅解到一个根，若能判断函数的最大(小)值在x 的变化区间内部得到，则这个根处的函数值就是所求的最大(小)值．八．定积分(1)定积分是一个数值．定积分的定义体现的基本思想是：先分后合、化曲为直(以不变代变)．定积分的几何意义是指相应直线、曲线所围曲边梯形的面积．要注意区分⎠⎛a b f (x )d x ，⎠⎛ab|f (x )|d x 及⎪⎪⎪⎪⎠⎛a bf xx 三者的不同．(2)微积分基本定理是计算定积分的一般方法，关键是求被积函数的原函数．而求被积函数的原函数和求函数的导函数恰好互为逆运算，要注意它们在计算和求解中的不同，避免混淆．⎣⎢⎡⎦⎥⎤对应阶段质量检测一 见8开试卷 一、填空题(本大题共14个小题，每小题5分，共70分，把答案填在题中横线上) 1．已知函数f (x )＝ax 2＋c ，且f ′(1)＝2，则a 的值为________． 解析：∵f (x )＝ax 2＋c ，∴f ′(x )＝2ax ， ∴f ′(1)＝2a ， 又∵f ′(1)＝2，∴a ＝1. 答案：12．曲线y ＝x 3－4x 在点(1，－3)处的切线的倾斜角为________． 解析：∵y ′＝3x 2－4，∴当x ＝1时，y ′＝－1，即tan α＝－1. 又∵α∈(0，π)，∴α＝34π.答案：34π3．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－x ＋18在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意得f ′(x )＝－3x 2＋2ax －1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立，因此Δ＝4a 2－12≤0⇒－3≤a ≤3，所以实数a 的取值范围是[－3，3]．答案：[－3，3]4．y ＝2x 3－3x 2＋a 的极大值为6，则a ＝________. 解析：y ′＝6x 2－6x ＝6x (x －1)， 令y ′＝0，则x ＝0或x ＝1.当x ＝0时，y ＝a ，当x ＝1时，y ＝a －1. 由题意知a ＝6. 答案：65．函数y ＝sin xx的导数为________．解析：y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x x ′＝x x－xxx2＝x cos x －sin xx 2.答案：x cos x －sin xx 26．若⎠⎛01(x －k )d x ＝32，则实数k 的值为________． 解析：⎠⎛01(x －k )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－kx |10＝12－k ＝32， 解得k ＝－1. 答案：－17．函数f (x )＝x 2－ln x 的单调递减区间是________． 解析：∵f ′(x )＝2x －1x ＝2x 2－1x.令f ′(x )<0，因为x ∈(0，＋∞)，∴2x 2－1<0，即0<x <22， ∴函数f (x )＝x 2－ln x 的单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 8．函数f (x )＝3x －4x 3在[0,1]上的最大值为________． 解析：f ′(x )＝3－12x 2，令f ′(x )＝0，则x ＝－12(舍去)或x ＝12，f (0)＝0，f (1)＝－1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝32－12＝1 ∴f (x )在[0,1]上的最大值为1. 答案：19．(山东高考改编)直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为________．解析：由4x ＝x 3，解得x ＝0或x ＝2或x ＝－2(舍去)，根据定积分的几何意义可知，直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为⎠⎛02－x3d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－14x 4|20＝4.答案：410．若f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋，－，则⎠⎛1－1f(x)d x ＝________. 解析：因为⎠⎛1－1f(x)d x ＝⎠⎛0－1(－x)d x ＋⎠⎛10(x 2＋3)d x. 因为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x 2′＝－x ，⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋3x ′＝x 2＋3，所以⎠⎛1－1f(x)d x ＝－12x 2|0－1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋3x |10＝236. 答案：23611．设曲线y ＝xn ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n ＝lg x n ，则a 1＋a 2＋…＋a 99＝________.解析：由于y ′| x ＝1＝n ＋1，∴曲线在点(1,1)处的切线为y －1＝(n ＋1)(x －1)，令y＝0，得x ＝x n ＝nn ＋1，∴a n ＝lgnn ＋1，∴原式＝lg 12＋lg 23＋…＋lg 99100＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×23×…×99100＝lg 1100＝－2.答案：－212．若函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是________．解析：∵f ′(x )＝4x －1x ＝4x 2－1x ，x >0，∴当0<x <12时，f ′(x )<0，f (x )为减函数，当x >12时，f ′(x )>0，f (x )为增函数，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧0≤k －1<12，12<k ＋1，k －1<k ＋1.∴1≤k <32.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，3213．周长为20 cm 的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为________． 解析：设矩形一边长为x cm ，则邻边长为(10－x )cm ； 体积V ＝πx 2(10－x )＝π(10x 2－x 3)， 由V ′＝π(20x －3x 2)＝0得x ＝0(舍去)，x ＝203可以判断x ＝203时，V max ＝4 00027π(cm 3)． 答案：4 00027π cm 314．已知f (x )定义域为(0，＋∞)，f ′(x )为f (x )的导函数，且满足f (x )＜－xf ′(x )，则不等式f (x ＋1)＞(x －1)·f (x 2－1)的解集是________．解析：令g (x )＝x ·f (x ) 则g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )＜0. ∴g (x )在(0，＋∞)上为减函数． 又∵f (x ＋1)＞(x －1)f (x 2－1)， ∴(x ＋1)f (x ＋1)＞(x 2－1)f (x 2－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，x 2－1＞0，x ＋1＜x 2－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＞－1，x ＜－1或x ＞1，x ＜－1或x ＞2.∴x ＞2.答案：{x |x ＞2}二、解答题(本大题共6个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝ax 2－43ax ＋b ，f (1)＝2，f ′(1)＝1.(1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在(1,2)处的切线方程． 解：(1)f ′(x )＝2ax －43a ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧f＝2a －43a ＝1，f＝a －43a ＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝52.所以f (x )＝32x 2－2x ＋52.(2)函数f (x )在(1,2)处的切线方程为y －2＝x －1， 即x －y ＋1＝0.16．(本小题满分14分)求下列定积分． (1)⎠⎛1－2(1－t 3)d t ； (2)⎠⎛0－π(cos x ＋e x)d x ； (3)⎠⎛42x 3－3x 2＋5x2d x . 解：(1)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫t －14t 4′＝1－t 3，∴⎠⎛1－2(1－t 3)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －14t 4|1－2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14－(－2－4)＝34. (2)∵(sin x ＋e x )′＝cos x ＋e x， ∴⎠⎛0－π(cos x ＋e x )d x ＝(sin x ＋e x )|0－π＝1－e－π＝1－1eπ.(3)⎠⎛42x 3－3x 2＋5x 2d x ＝⎠⎛42⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3＋5x 2d x 取F (x )＝12x 2－3x －5x ，则F ′(x )＝x －3＋5x2，⎠⎛42x 3－3x 2＋5x2d x ＝F (4)－F (2) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12×42－3×4－54－⎝ ⎛⎭⎪⎫12×22－3×2－52＝54. 17．(本小题满分14分)已知x ＝1是函数f (x )＝13ax 3－32x 2＋(a ＋1)x ＋5的一个极值点．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若曲线y ＝f (x )与直线y ＝2x ＋m 有三个交点，求实数m 的取值范围． 解：(1)依题意f ′(x )＝ax 2－3x ＋a ＋1， 由f ′(1)＝0得a ＝1，∴函数f (x )的解析式为f (x )＝13x 3－32x 2＋2x ＋5.(2)曲线y ＝f (x )与直线y ＝2x ＋m 有三个交点， 即13x 3－32x 2＋2x ＋5－2x －m ＝0有三个实数根， 令g (x )＝13x 3－32x 2＋2x ＋5－2x －m ＝13x 3－32x 2＋5－m ，则g (x )有三个零点．由g ′(x )＝x 2－3x ＝0得x ＝0或x ＝3.令g ′(x )>0得x <0或x >3；令g ′(x )<0得0<x <3.∴函数g (x )在(－∞，0)上为增函数，在(0,3)上为减函数，在(3，＋∞)上为增函数． ∴函数在x ＝0处取得极大值，在x ＝3处取得极小值．要使g (x )有三个零点，只需⎩⎪⎨⎪⎧g，g，解得12<m <5.∴实数m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，5.18．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝x ln x ，g (x )＝－x 2＋ax －2(e≈2.71，a ∈R )． (1)判断曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与曲线y ＝g (x )的公共点个数； (2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 时，若函数y ＝f (x )－g (x )有两个零点，求a 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝ln x ＋1，所以斜率k ＝f ′(1)＝1. 又f (1)＝0，曲线在点(1,0)处的切线方程为y ＝x －1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2＋ax －2y ＝x －1⇒x 2＋(1－a )x ＋1＝0.由Δ＝(1－a )2－4＝a 2－2a －3可知：当Δ＞0时，即a ＜－1或a ＞3时，有两个公共点； 当Δ＝0时，即a ＝－1或a ＝3时，有一个公共点； 当Δ＜0时，即－1＜a ＜3时，没有公共点． (2)y ＝f (x )－g (x )＝x 2－ax ＋2＋x ln x ， 由y ＝0得a ＝x ＋2x＋ln x .令h (x )＝x ＋2x＋ln x ，则h ′(x )＝x －x ＋x 2.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e ，由h ′(x )＝0得x ＝1. 所以h (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，1上单调递减，在[1，e]上单调递增， 故h min (x )＝h (1)＝3.由h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝1e＋2e －1，h (e)＝e ＋2e ＋1，比较可知h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＞h (e)．所以，当3＜a ≤e＋2e＋1时，函数y ＝f (x )－g (x )有两个零点．19．(本题满分16分)某公司将进货单价为a 元(a 为常数，3≤a ≤6)一件的商品按x 元(7≤x ≤10)一件销售，一个月的销售量为(12－x )2万件．(1)求该公司经销此种商品一个月的利润L (x )(万元)与每件商品的售价x (元)的函数关系式；(2)当每件商品的售价为多少元时，L (x )取得最大值？并求L (x )的最大值． 解：(1)L (x )＝(x －a )(12－x )2(7≤x ≤10)．(2)L ′(x )＝(12－x )2＋(x －a )(2x －24)＝(12－x )(12＋2a －3x )． 令L ′(x )＝0得x ＝2a ＋123或x ＝12.由a ∈[3,6]得2a ＋123∈[6,8]．当2a ＋123∈[6,7]，即3≤a ≤92时， L (x )在[7,10]上是减函数， L (x )的最大值为L (7)＝25(7－a )；当2a ＋123∈(7,8]，即92<a ≤6时， L (x )在⎝⎛⎭⎪⎫7，2a ＋123上是增函数， 在[2a ＋123，10]上是减函数．L (x )的最大值为L ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋123＝－a 327综上可知，若3≤a ≤92，则当x ＝7时，L (x )取得最大值，最大值是25(7－a )；若92<a ≤6，则当x ＝2a ＋123时，L (x )取得最大值，最大值是－a327.20．(本小题满分16分)(山东高考)设函数f (x )＝a ln x ＋x －1x ＋1，其中a 为常数． (1)若 a ＝0，求曲线y ＝f (x )在点 (1，f (1))处的切线方程； (2)讨论函数f (x )的单调性． 解：(1)由题意知a ＝0时，f (x )＝x －1x ＋1，x ∈(0，＋∞)． 此时f ′(x )＝2x ＋2.可得f ′(1)＝12，又f (1)＝0，所以曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程为x －2y －1＝0.唐玲 (2)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝a x ＋2x ＋2＝ax 2＋a ＋x ＋a x x ＋2.当a ≥0时，f ′(x )＞0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增． 当a ＜0时，令g (x )＝ax 2＋(2a ＋2)x ＋a ，由于Δ＝(2a ＋2)2－4a 2＝4(2a ＋1)，①当a ＝－12时，Δ＝0，f ′(x )＝－12x －2x x ＋2≤0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减．②当a ＜－12时，Δ＜0，g (x )＜0， f ′(x )＜0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减．③当－12＜a ＜0，Δ＞0. 设x 1，x 2(x 1＜x 2)是函数g (x )的两个零点，则x 1＝－a ＋＋2a ＋1a ，x 2＝－a ＋－2a ＋1a .由x 1＝a ＋1－2a ＋1－a ＝a 2＋2a ＋1－2a ＋1－a＞0， 所以x ∈(0，x 1)时，g (x )＜0，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减， x ∈(x 1，x 2)时，g (x )＞0，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增， x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )＜0，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减， 综上可得： 当a ≥0时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ≤－12时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减； 当－12＜a ＜0时，f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，－a ＋＋2a ＋1a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋－2a ＋1a ，＋∞上单调递减，在⎝⎛⎭⎪⎫－a ＋＋2a ＋1a ，－a ＋－2a ＋1a 上单调递增．。

章末质量评估(一)(时间：90分钟满分：120分)一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分)1．若集合M＝{－1,0,1,2}，N＝{x|x(x－1)＝0}，则M∩N等于()．A．{－1,0,1,2} B．{0,1,2}C．{－1,0,1} D．{0,1}解析N＝{0,1}，∴M∩N＝{0,1}．答案 D2．满足条件{0,1}∪A＝{0,1}的所有集合A的个数是()．A．1 B．2C．3 D．4解析由题意知A⊆{0,1}，∴A为4个．答案 D3．已知A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，定义集合M满足M＝{x|x∈A，且x∉B}，则集合M为()．A．{2,4} B．{1,3}C．{1,2,4} D．{2}解析∵A∩B＝{2}，由x∈A，且x∉B，∴M＝{1,3}．答案 B4．已知集合P＝{x|x＜3}，Q＝{x|－1≤x≤4}，那么P∪Q等于 ()．A．{x|－1≤x＜3} B．{x|－1≤x≤4}C．{x|x≤4} D．{x|x≥－1}解析结合数轴可知：P∪Q＝{x|x≤4}．答案 C5．已知集合A＝{－1,1}，B＝{x|mx＝1}，且A∪B＝A，则m的值为()．A．1 B．－1C．1或－1 D．1或－1或0解析∵A∪B＝A，∴B⊆A，∴B＝∅或B＝{－1}或B＝{1}．答案 D6．如图，I是全集，M、P、S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是()．A．(M∩P)∩S B．(M∩P)∪SC．(M∩P)∩∁I S D．(M∩P)∪∁I S解析阴影部分是M∩P的一部分，且不在S内，故选C.答案 C7．设集合A＝{x|x≤13}，a＝11，那么()．A．a A B．a∉AC．{a}∉A D．{a}A解析∵11≤13，∴a∈A，∴{a}A.答案 D8．已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|－1＜x＜2}，则A∩B等于()．A．{x|－1＜x＜2} B．{x|x＞－1}C．{x|－1＜x＜1} D．{x|1＜x＜2}解析由数轴知A∩B＝{x|1＜x＜2}．答案 D9．定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．设A＝{1,2}，B＝{0,2}，则集合A*B的所有元素之和为()．A．0 B．2C．3 D．6解析∵A*B＝{0,2,4}，∴元素之和为6.答案 D10．若P＝{x|y＝x2}，Q＝{(x，y)|y＝x2，x∈R}，则必有()．A．P∩Q＝∅B．P QC．P＝Q D．P Q解析∵P是由y＝x2的自变量x的取值组成，是数集，而Q是y＝x2上的点组成的，∴P∩Q＝∅.答案 A11．已知集合M＝{x|x＝k2＋14，k∈Z}，N＝{x|x＝k4＋12，k∈Z}，x0∈M，则x0与N的关系是()．A．x0∈NB．x0∉NC．x0∈N或x0∉ND．不能确定解析M＝{x|x＝2k＋14，k∈Z}，N＝{x|x＝k＋24，k∈Z}，对k取值列举得：M＝{…－34，－14，14，34，…}N＝{…－34，－12，－14，0，14，12，34…}∴M N，∴x0∈M，则x0∈N.答案 A12．已知集合A＝{x|a－1≤x≤a＋2}，B＝{x|3＜x＜5}，则能使A⊇B成立的实数a的范围是()．A．{a|3＜a≤4}B．{a|3≤a≤4}C．{a|3＜a＜4}D．∅解析 由于a －1≤a ＋2，∴A ≠∅，由数轴知⎩⎪⎨⎪⎧a －1≤3a ＋2≥5，∴3≤a ≤4. 答案 B二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)13．已知集合M ＝{x |x ＝4n ＋2，n ∈Z }，则 2 010________M ，2 011________M (用“∈”或“∉”填空)．解析 ∵2 010＝4×502＋2，∴2010∈M ，而2011不存在n 使2011＝4n ＋2，∴2011∉M .答案 ∈ ∉14．设集合A ＝{x |－1≤x ≤2}，B ＝{x |－1＜x ≤4}，C ＝{x |－3＜x ＜2}且集合A ∩(B ∪C )＝{x |a ≤x ≤b }，则a ＝________，b ＝________.解析 B ∪C ＝{x |－3＜x ≤4}，A ∩(B ∪C )＝{x |－1≤x ≤2}．∴a ＝－1，b ＝2.答案 －1 215．集合A ＝{1,2,3,5}，当x ∈A 时，若x －1∉A ，x ＋1∉A ，则称x 为A 的一个“孤立元素”，则A 中孤立元素的个数为________．解析 ∵x ＝5时，x －1＝4∉A ，x ＋1＝6∉A ，∴A 中的孤立元素为5. 答案 116．已知集合M ＝{－2,3x 2＋3x －4，x 2＋x －4}，若2∈M ，则满足条件的实数x 组成的集合为________．解析 ∵2∈M ，∴3x 2＋3x －4＝2或x 2＋x －4＝2，解得x ＝－2，1，－3,2经检验知，只有－3,2符合元素的互异性，故集合为{－3,2}．答案 {－3,2}三、解答题(共4小题，每小题10分，共40分)17．已知方程x 2＋px ＋q ＝0的两个不相等实根分别为α，β，集合A ＝{α，β}，B ＝{2,4,5,6}，C ＝{1,2,3,4}，A ∩C ＝A ，A ∩B ＝∅.求p ，q 的值．解 由A ∩C ＝A ，A ∩B ＝∅，可得：A ＝{1,3}． 即方程x 2＋px ＋q ＝0的两个实根为1,3. ∴⎩⎨⎧ 1＋3＝－p 1×3＝p ，∴⎩⎨⎧p ＝－4q ＝3. 18．已知集合A ＝{x |－1≤x ＜3}，B ＝{x |2x －4≥x －2}． (1)求A ∩B ；(2)若集合C ＝{x |2x ＋a ＞0}，满足B ∪C ＝C ，求实数a 的取值范围． 解 ∵B ＝{x |2x －4≥x －2}＝{x |x ≥2}． (1)A ∩B ＝{x |2≤x ＜3}，(2)∵C ＝{x |x ＞－a2}，B ∪C ＝C ，∴B ⊆C ， ∴－a2＜2，∴a ＞－4.19．已知集合A ＝{x |0<x －a ≤5}，B ＝{x |－a2<x ≤6}． (1)若A ∩B ＝A ，求a 的取值范围； (2)若A ∪B ＝A ，求a 的取值范围．解题提示 A ∩B ＝A ⇒A ⊆B ，A ∪B ＝A ⇒B ⊆A . 解A ＝{x |a <x ≤a ＋5}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－a 2<x ≤6. (1)由A ∩B ＝A 知A ⊆B ， 故⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－a 2，a ＋5≤6⇒⎩⎨⎧a ≥0，a ≤1⇒0≤a ≤1， 即实数a 的取值范围是{a |0≤a ≤1}．(2)由A ∪B ＝A 知B ⊆A ，故－a 2≥6或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－a 2，a ＋5≥6，解得a ≤－12，或⎩⎨⎧a ≤0，a ≥1，故a ≤－12.所以实数a 的取值范围是{a |a ≤－12}．20．若集合A ＝{x |x 2＋x －6＝0}，B ＝{x |x 2＋x ＋a ＝0}，且B ⊆A ，求实数a的取值范围．解A＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3,2}，对于x2＋x＋a＝0，(1)当Δ＝1－4a＜0，即a＞14时，B＝∅，B⊆A成立；(2)当Δ＝1－4a＝0，即a＝14时，B＝{－12}，B⊆A不成立；(3)当Δ＝1－4a＞0，即a＜14时，若B⊆A成立，则B＝{－3,2}，∴a＝－3×2＝－6.综上：a的取值范围为a＞14或a＝－6.。

③∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB) ④∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)
点此进入
A＝ B A⊆B A B
三、交集、并集和补集
定义
交集 并集 A∩B＝{x|x∈A且 x∈B}
性质
A∩A＝A，A∩∅＝∅， A∩B⊆A，A∩B⊆B
A∪B＝{x|x∈A或
x∈B}
A∪B＝B∪A，A∪∅＝A，
A⊆A∪B，B⊆A∪B ①A∩(∁UA)＝∅
补集 ∁UA＝{x|x∈U且x∉A}
②A∪(∁UA)＝U
元素的特征 ①确定性；②互异性；③无序性 元素与集合
特殊的数集
分类
集合的表示
列举法(适用于有限集和有规律的无限集)
描述法 x∈A，一定有 x∈B，则 A⊆B(B⊇A) 真子集 若 A⊆B 且 A≠B，则 A B(B A) ①A⊆A； ②∅ A(非空)； 性质 ③若 A⊆B，B⊆C，则 A⊆ C； ④若 A B，B C，则 A C 关系
章未 小结 知识 整合 与阶 段检 测
核心要点归纳
阶段质量检测
知识整合与阶段检测
一、集合的含义与表示 集合的含义
一般地，把研究的确定对象称为元素，把一
些元素的总体称作集合 若a属于集合A记作a∈A； 若a不属于集合A，记作a∉A. 自然数集—N，正整数集—N*或N＋ 整数集—Z，有理数集—Q，实数集—R 有限集、无限集和空集

3}{1，2，4}，{1，2，3，4}，故集合 C 的个数为 4.
第一章 集 合
9．在集合{a，b，c，d}上定义两种运算⊕和⊗如下：
那么 d⊗(a⊕c)＝( )
A．a
B．b
C．c
D．d
解析：选 A.由⊕定义知 a⊕c＝c，由⊗定义知 d⊗c＝a，
即 d⊗(a⊕c)＝d⊗c＝a.
第一章 集 合
10．设 M＝{x|x＝a2＋1，a∈N＋}，P＝{y|y＝b2－4b＋5， b∈N＋}，则下列关系正确的是( )
第一章 集 合
12．已知全集 U＝A∪B 中有 m 个元素，(∁UA)∪(∁UB)中有 n 个元素．若 A∩B 非空，则 A∩B 的元素个数为( )
A．mn
B．m＋n
C．n－m
D．m－n
解析：选 D.画出 Venn 图(图略)．
因为 U＝A∪B 中有 m 个元素．
(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B)中有 n 个元素，所以 A∩B 中有 m－n 个元素，故选 D.
第一章 集 合
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第一章 集 合
2．下列四种说法：①“所有很小的正数”能构成一个集合；
②方程(x－1)2＝0 的解的集合是{1，1}；③{1，3，5，7}与{3，
7，5，1}表示同一个集合；④集合{(x，y)|y＝x2－1}与{y|y＝x2
－1}表示同一个集合，其中正确的是( )
A．①④
B．②③
C．③
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱD．③④
解析：选 C.对①，“很小的正数”无客观标准，不能构成集合，
第一章 集 合
4．已知全集 U＝{0，1，2，3，4，5}，集合 M＝{0，3，5}，

章末检测卷(一)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，P＝M∩N，则P的子集共有()A．2个B．4个C．6个D．8个答案B解析∵M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，∴M∩N＝{1,3}．∴M∩N的子集共有4个．2．已知2a∈A，a2－a∈A，若A只含这2个元素，则下列说法中正确的是()A．a可取全体实数B．a可取除去0以外的所有实数C．a可取除去3以外的所有实数D．a可取除去0和3以外的所有实数答案D3．设集合A＝{x|x≤13}，a＝11，那么()A．a A B．a∉AC．{a}∈A D．{a}A答案D4．设全集I＝{a，b，c，d，e}，集合M＝{a，b，c}，N＝{b，d，e}，那么(∁I M)∩(∁I N)等于()A．∅B．{d}C．{b，e} D．{a，c}答案A解析∵∁I M＝{d，e}，∁I N＝{a，c}，∴(∁I M)∩(∁I N)＝{d，e}∩{a，c}＝∅.5．已知集合A＝{x|－1≤x<3}，B＝{x|2<x≤5}，则A∪B等于()A．{x|2<x<3} B．{x|－1≤x≤5}C．{x|－1<x<5} D．{x|－1<x≤5}答案B解析结合数轴分析可知，A∪B＝{x|－1≤x≤5}．6．符合条件{a}P⊆{a，b，c}的集合P的个数是()A．2 B．3C．4 D．5答案B解析集合P内除了含有元素a外，还必须含b，c中至少一个，故P＝{a，b}，{a，c}，{a，b，c}共3个．7．已知集合A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，若A∩B＝{1,3}，(∁U A)∩B＝{5}，则集合B等于()A．{1,3} B．{3,5}C．{1,5} D．{1,3,5}答案D解析画出满足题意的Venn图，由图可知B＝{1,3,5}．8．设集合M＝{m∈Z|m≤－3或m≥2}，N＝{n∈Z|－1≤n≤3}，则(∁Z M)∩N等于() A．{0,1} B．{－1,0,1}C．{0,1,2} D．{－1,0,1,2}答案B解析由已知，得∁Z M＝{－2，－1,0,1}，N＝{－1,0,1,2,3}，所以(∁Z M)∩N＝{－1,0,1}．9．已知集合A＝{x|x＜3，或x≥7}，B＝{x|x＜a}．若(∁U A)∩B≠∅，则a的取值范围为() A．a＞3 B．a≥3C．a≥7 D．a＞7答案A解析因为A＝{x|x＜3，或x≥7}，所以∁U A＝{x|3≤x＜7}，又(∁U A)∩B≠∅，则a＞3. 10．已知全集U＝R，集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{x∈R|x≥3}，下图中阴影部分所表示的集合为()A．{1} B．{1,2}C．{1,2,3} D．{0,1,2}答案B解析由题意得，A∩B＝{3,4,5}，阴影部分所表示的集合为集合A去掉集合A∩B中的元素所组成的集合，所以为{1,2}．11．设M＝{x|x＝a2＋1，a∈N*}，P＝{y|y＝b2－4b＋5，b∈N*}，则下列关系正确的是() A．M＝PB．M PC．P MD．M与P没有公共元素答案B解析∵a∈N*，∴x＝a2＋1＝2,5,10，….∵b∈N*，∴y＝b2－4b＋5＝(b－2)2＋1＝1,2,5,10，….∴M P.12．若全集U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{2,3}，N＝{1,4}，则集合{5,6}等于()A．M∪N B．M∩NC．(∁U M)∪(∁U N) D．(∁U M)∩(∁U N)答案D解析∵∁U M＝{1,4,5,6}，∁U N＝{2,3,5,6}，∴(∁U M)∩(∁U N)＝{5,6}．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．用描述法表示如图中阴影部分的点(含边界)的坐标的集合(不含虚线)为________．答案{(x，y)|－1≤x≤2，－12≤y≤1，且xy≥0}14．已知集合A＝{1,3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，且B⊆A，则a＝__________.答案－1或2解析由a2－a＋1＝3，得a＝－1或a＝2，经检验符合．由a2－a＋1＝a，得a＝1，由于集合中不能有相同元素，所以舍去．故a＝－1或2.15．集合A＝{1,2,3,5}，当x∈A时，若x－1∉A，x＋1∉A，则称x为A的一个“孤立元素”，则A中孤立元素的个数为______．答案1解析当x＝1时，x－1＝0∉A，x＋1＝2∈A；当x＝2时，x－1＝1∈A，x＋1＝3∈A；当x＝3时，x－1＝2∈A，x＋1＝4∉A；当x＝5时，x－1＝4∉A，x＋1＝6∉A；综上可知，A 中只有一个孤立元素5.16．设U ＝R ，A ＝{x |x >0}，B ＝{x |x >1}，则A ∩∁U B ＝________.答案 {x |0<x ≤1}解析 ∵∁U B ＝{x |x ≤1}，借助数轴可以求出∁U B 与A 的交集为图中阴影部分，即{x |0<x ≤1}．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知集合A ＝{x |－1≤x <3}，B ＝{x |2x －4≥x －2}．(1)求A ∩B ；(2)若集合C ＝{x |2x ＋a >0}，满足B ∪C ＝C ，求实数a 的取值范围．解 (1)∵B ＝{x |x ≥2}，∴A ∩B ＝{x |2≤x <3}．(2)∵C ＝{x |x >－a 2}，B ∪C ＝C ⇔B ⊆C ， ∴－a 2<2，∴a >－4. 18．(12分)设集合A ＝{x |2x 2＋3px ＋2＝0}，B ＝{x |2x 2＋x ＋q ＝0}，其中p 、q 为常数，x ∈R ，当A ∩B ＝{12}时，求p 、q 的值和A ∪B . 解 ∵A ∩B ＝{12}，∴12∈A . ∴2×(12)2＋3p ×(12)＋2＝0. ∴p ＝－53.∴A ＝{12，2}． 又∵A ∩B ＝{12}，∴12∈B . ∴2×(12)2＋12＋q ＝0.∴q ＝－1. ∴B ＝{12，－1}． ∴A ∪B ＝{－1，12，2}． 19．(12分)已知A ＝{x |－1<x ≤3}，B ＝{x |m ≤x <1＋3m }．(1)当m ＝1时，求A ∪B ；(2)若B ⊆∁R A ，求实数m 的取值范围．解 (1)m ＝1，B ＝{x |1≤x <4}，A ∪B ＝{x |－1<x <4}．(2)∁R A ＝{x |x ≤－1或x >3}．当B ＝∅，即m ≥1＋3m 时得m ≤－12， 满足B ⊆∁R A ，当B ≠∅时，要使B ⊆∁R A 成立，则⎩⎪⎨⎪⎧ m <1＋3m ，1＋3m ≤－1或⎩⎪⎨⎪⎧m <1＋3m ，m >3，解之得m >3. 综上可知，实数m 的取值范围是m >3或m ≤－12. 20．(12分)某班50名同学参加一次智力竞猜活动，对其中A ，B ，C 三道知识题作答情况如下：答错A 者17人，答错B 者15人，答错C 者11人，答错A ，B 者5人，答错A ，C 者3人，答错B ，C 者4人，A ，B ，C 都答错的有1人，问A ，B ，C 都答对的有多少人？解 由题意，设全班同学为全集U ，画出Venn 图，A 表示答错A 的集合，B 表示答错B 的集合，C 表示答错C 的集合，将其集合中元素数目填入图中，自中心区域向四周的各区域数目分别为1,2,3,4,10,7,5，因此A ∪B ∪C 中元素数目为32，从而至少错一题的共32人，因此A ，B ，C 全对的有50－32＝18(人)．21．(12分)已知集合A ＝{x |1<x <3}，B ＝{x |2≤x ≤4}．(1)试定义一种新的集合运算Δ，使A ΔB ＝{x |1<x <2}；(2)按(1)的运算，求B ΔA .解 A ＝{x |1<x <3}，B ＝{x |2≤x ≤4}．(1)∵A ΔB ＝{x |1<x <2}，由上图可知A ΔB 中的元素都在A 中但不在B 中，∴定义A ΔB ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }．(2)由(1)可知B ΔA ＝{x |x ∈B ，且x ∉A }＝{x |3≤x ≤4}．22．(12分)已知集合A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{x |a ≤x ≤a ＋3}．(1)若(∁R A )∪B ＝R ，求a 的取值范围．(2)是否存在a 使(∁R A )∪B ＝R 且A ∩B ＝∅？解 (1)A ＝{x |0≤x ≤2}，∴∁R A ＝{x |x <0或x >2}．∵(∁R A )∪B ＝R .∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0，a ＋3≥2，∴－1≤a ≤0. (2)由(1)知(∁R A )∪B ＝R 时， －1≤a ≤0，而a ＋3∈[2,3]，∴A ⊆B ，这与A ∩B ＝∅矛盾．即这样的a 不存在．。

第1章集合章末检测试卷(一)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知集合M＝{x|－2<x<3}，则下列结论正确的是( )A．2.5∈M B．0⊆MC．∅∈M D．集合M是有限集考点元素与集合的关系题点判断元素与集合的关系答案 A解析A显然正确；0不是集合，不能用符号“⊆”，B错；∅不是M中的元素，C错；M为无限集，D错．2．已知集合A＝{0,2,3}，B＝{x|x＝a·b，a，b∈A}，则集合B的子集的个数是( ) A．4 B．8 C．15 D．16考点子集个数题点求已知集合的子集个数答案 D解析∵B＝{0,4,6,9}，∴B的子集的个数为24＝16.3．若集合A＝{x|x<0或x>1，x∈R}，B＝{x|x>2，x∈R}，则( )A．A⊇B B．A＝BC．A⊆B D．A∩B＝∅考点集合的包含关系题点集合的包含关系判定答案 A解析任意x∈B，有x>2，所以x>1，从而x∈A，所以A⊇B.4．已知全集I＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合M＝{3,4,5}，集合N＝{1,3,6}，则集合{2,7,8}是( )A．M∪N B．M∩NC ．(∁I M )∪(∁I N )D ．(∁I M )∩(∁I N )考点 交并补集的综合问题 题点 有限集合的并交补运算 答案 D解析 ∵(∁I M )∩(∁I N )＝∁I (M ∪N )， 而{2,7,8}＝∁I (M ∪N )，故选D.5．设集合M ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋x }，N ＝{(x ，y )|y ＝x ＋16}，则M ∩N 等于( ) A ．(4,16)或(－4,12) B ．{4,20，－4,12} C ．{(4,12)，(－4,20)} D ．{(4,20)，(－4,12)}考点 交集的概念及运算 题点 无限集合的交集运算 答案 D解析 两个集合的交集其实就是曲线和直线的交点，注意结果是两对有序实数对． 6．若集合A ＝{x |x ≥1}，B ＝{0,1,2}，则下列结论正确的是( ) A ．A ∪B ＝{x |x ≥0} B ．A ∩B ＝{1,2} C ．(∁R A )∩B ＝{0,1} D ．A ∪(∁R B )＝{x |x ≥1} 考点 交并补集的综合问题 题点 无限集合的交并补运算 答案 B解析 A ∪B ＝{x |x ＝0或x ≥1}，A 错；A ∩B ＝{1,2}，B 对；(∁R A )∩B ＝{x |x <1}∩B ＝{0}，C 错；A ∪(∁RB )＝{x |x ≠0}，D 错．7．设全集U 是实数集R ，M ＝{x |x 2>4}，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2x －1≥1，则图中阴影部分所表示的集合是( )A ．{x |－2≤x <1}B ．{x |－2≤x ≤2}C ．{x |1<x ≤2}D ．{x |x <2}考点 交并补集的综合问题题点 有限集合的并交补运算 答案 C解析 题图中阴影部分可表示为(∁U M )∩N ，集合M 为{x |x >2或x <－2}，集合N 为{x |1<x ≤3}，由集合的运算，知(∁U M )∩N ＝{x |1<x ≤2}．8．已知全集U ＝N ＋，集合M ＝{x |x ＝2n ，n ∈N ＋}，N ＝{x |x ＝4n ，n ∈N ＋}，则( ) A ．U ＝M ∪N B ．U ＝(∁U M )∪N C ．U ＝M ∪(∁U N )D ．U ＝∁U (M ∩N )考点 交并补集的综合问题 题点 无限集合的交并补运算 答案 C解析 由于N M ，由Venn 图(图略)可知选C.9．设集合P ＝{x |x ＝n ，n ∈Z }，Q ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝n2，n ∈Z，S ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝12＋n ，n ∈Z，则下列各项中正确的是( ) A ．Q P B ．Q S C ．Q ＝(P ∪S )D ．Q ＝(P ∩S )考点 集合各类问题的综合 题点 集合各类问题的综合 答案 C解析 P ＝{x |x ＝n ，n ∈Z }，Q ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝n2，n ∈Z，S ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝12＋n ，n ∈Z.由Q ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝n2，n ∈Z，可知x ＝n2，n ∈Z .当n ＝2m ，m ∈Z 时，则x ＝m ，m ∈Z ；当n ＝2m ＋1，m ∈Z时，则x ＝m ＋12，m ∈Z .∴P ∪S ＝Q .10．已知U ＝R ，A ＝{x |x >0}，B ＝{x |x ≤－1}，则(A ∩∁U B )∪(B ∩∁U A )等于( ) A ．∅ B ．{x |x ≤0} C ．{x |x >－1}D ．{x |x >0或x ≤－1}考点 交并补集的综合问题 题点 无限集合的并交补运算 答案 D解析 ∵∁U B ＝{x |x >－1}，∴A ∩∁U B ＝{x |x >0}． 又∵∁U A ＝{x |x ≤0}，∴B ∩∁U A ＝{x |x ≤－1}． ∴(A ∩∁U B )∪(B ∩∁U A )＝{x |x >0或x ≤－1}．11．已知U为全集，A，B，C是U的子集，(A∪C)⊆(A∪B)，(A∩C)⊇(A∩B)，则下列正确命题的个数是( )①∁U(A∩C)⊆∁U(A∩B)；②(∁U A∩∁U C)⊇(∁U A∩∁U B)；③C⊆B.A．0 B．1 C．2 D．3考点集合各类问题的综合题点集合各类问题的综合答案 C解析①∵(A∩C)⊇(A∩B)，∴∁U(A∩C)⊆∁U(A∩B)，∴①为真命题．②∵(A∪C)⊆(A∪B)，∴∁U(A∪C)⊇∁U(A∪B)，即(∁U A∩∁U C)⊇(∁U A∩∁U B)，∴②为真命题．由Venn图可知，③为假命题．故选C.12．在集合{a，b，c，d}上定义两种运算和⊗如下：那么d⊗(a c)等于( )A．a B．b C．c D．d考点集合各类问题的综合题点集合各类问题的综合答案 A解析a c＝c，d⊗c＝a.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知集合A＝{－2，－1,1,2,3,4}，B＝{x|x＝t2，t∈A}，用列举法表示集合B＝________. 考点用列举法表示集合题点用列举法表示集合答案{1,4,9,16}解析B＝{x|x＝t2，t∈A}＝{1,4,9,16}．14．设集合A＝{3,3m2}，B＝{3m,3}，且A＝B，则实数m的值是________．考点集合的关系题点由集合关系求参数的值答案0解析依题意，3m＝3m2，所以m＝0或m＝1.当m＝1时，违反元素互异性(舍去)．15．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x∈R|x2－ax＋1＝0，a∈A}，则A∩B＝B时，a的值是________．考点 交并补集的综合问题 题点 有限集合的并交补运算 答案 1或2解析 A ∩B ＝B ，即B ⊆A ，当B 中只有一个元素时，Δ＝a 2－4＝0，a ＝±2， 又a ∈A ，∴a ＝2，此时B ＝{1}⊆A ，符合题意． 当B 中有2个元素时，Δ＝a 2－4>0，a >2，且a ∈A ， ∴a ＝3，此时B ⊈A ，不符合题意．当B ＝∅时，Δ＝a 2－4<0，－2<a <2，且a ∈A ， ∴a ＝1，此时B ⊆A . ∴a ＝1或2.16．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________． 考点 题点 答案 12解析 设全集U 为某班30人，集合A 为喜爱篮球运动的15人，集合B 为喜爱乒乓球运动的10人，如图．设所求人数为x ，则只喜爱乒乓球运动的人数为10－(15－x )＝x －5， 故15＋x －5＝30－8⇒x ＝12.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知集合A ＝{a ＋2,2a 2＋a }，若3∈A ，求a 的值． 考点 题点解 ∵3∈A ，∴a ＋2＝3或2a 2＋a ＝3. 当a ＋2＝3时，解得a ＝1.当a ＝1时，2a 2＋a ＝3.∴a ＝1(舍去)． 当2a 2＋a ＝3时，解得a ＝－32或a ＝1(舍去)．当a ＝－32时，a ＋2＝12≠3，3 2符合题意．∴a＝－32.∴a＝－18．(12分)设全集U ＝R ，集合A ＝{x |－1≤x <1}，B ＝{x |0<x ≤2}． (1)求(∁U A )∩B ； (2)求∁U (A ∩B )． 考点 题点解 (1)∵∁U A ＝{x |x <－1或x ≥1}， ∴(∁U A )∩B ＝{x |1≤x ≤2}． (2)∵A ∩B ＝{x |0<x <1}， ∴∁U (A ∩B )＝{x |x ≤0或x ≥1}．19．(12分)已知A ＝{x |x 2＋(2＋p )x ＋1＝0，x ∈Z }，若A ∩{x |x >0}＝∅，求p 的取值范围． 考点 题点解 ①若A ＝∅，则Δ＝(p ＋2)2－4<0，得－4<p <0. ②若方程的两个根为非正实数，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，x 1＋x 2＝－(p ＋2)≤0，x 1x 2＝1>0.解得p ≥0.综上所述，p 的取值范围是{p |p >－4}．20．(12分)设集合A ＝{x |x 2－ax ＋a 2－19＝0}，B ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}，C ＝{x |x 2＋2x －8＝0}．(1)若A ＝B ，求a 的值；(2)若∅A ∩B ，且A ∩C ＝∅，求a 的值； (3)若A ∩B ＝A ∩C ≠∅，求a 的值． 考点 题点解 B ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2,3}，C ＝{x |x 2＋2x －8＝0}＝{－4,2}．(1)若A ＝B ，由根与系数的关系可得a ＝5和a 2－19＝6同时成立，即a ＝5. (2)由于∅A ∩B ，且A ∩C ＝∅，故只可能3∈A . 此时a 2－3a －10＝0，得a ＝5或a ＝－2. 当a ＝5时，A ＝B ＝{2,3}，A ∩C ≠∅，舍去； 当a ＝－2时，A ＝{－5,3}，满足题意，故a ＝－2. (3)当A ∩B ＝A ∩C ≠∅时，只可能2∈A ， 有a 2－2a －15＝0，得a ＝5或a ＝－3，经检验知a ＝－3.21．(12分)已知集合A ＝{x |a －1≤x ≤2a ＋3}，B ＝{x |－2≤x ≤4}，全集U ＝R . (1)当a ＝2时，求A ∪B 和(∁R A )∩B ； (2)若A ∩B ＝A ，求实数a 的取值范围． 考点 题点解 (1)当a ＝2时，A ＝{x |1≤x ≤7}，A ∪B ＝{x |－2≤x ≤7}，∁R A ＝{x |x <1或x >7}，(∁R A )∩B ＝{x |－2≤x <1}． (2)∵A ∩B ＝A ，∴A ⊆B .①若A ＝∅，则a －1>2a ＋3，解得a <－4；②若A ≠∅，∵A ⊆B ，则⎩⎪⎨⎪⎧a －1≤2a ＋3，a －1≥－2，2a ＋3≤4，解得－1≤a ≤12.综上可知，a 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪a <－4或－1≤a ≤12. 22．(12分)某班有学生50人，学校开设了甲、乙、丙三门选修课，选修甲的有38人，选修乙的有35人，选修丙的有31人，兼选甲、乙两门的有29人，兼选甲、丙两门的有28人，兼选乙、丙两门的有26人，甲、乙、丙三门均选的有24人，那么这三门均未选的有多少人？ 考点 题点解 设选修甲、乙、丙三门课的同学分别组成集合A ，B ，C ，全班同学组成的集合为U ，则由已知可画出Venn 图如图所示．选甲、乙而不选丙的有29－24＝5(人)， 选甲、丙而不选乙的有28－24＝4(人)， 选乙、丙而不选甲的有26－24＝2(人)， 仅选甲的有38－24－5－4＝5(人)， 仅选乙的有35－24－5－2＝4(人)， 仅选丙的有31－24－4－2＝1(人)， 所以至少选一门的人数为38＋4＋2＋1＝45， 所以三门均未选的人数为50－45＝5.。

一、选择题1．下列表示正确的个数是（ ） （１）{}{}2100;(2)1,2;(3){(,)}3,435x y x y x y +=⎧∉∅∅⊆=⎨-=⎩；（４）若A B ⊆则A B A =A ．０B ．１C ．２D ．３2．已知集合{}11M x Z x =∈-≤≤，{}Z (2)0N x x x =∈-≤，则如图所示的韦恩图中的阴影部分所表示的集合为（ ）A ．{}0,1B ．{}1,2-C ．{}1,0,1-D ．1,0,1,23．若{}|28A x Z x =∈≤<，{}5|log 1B x R x =∈<，则R A C B ⋂的元素个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．34．已知集合{}2,,M m m a b a b Q ==+∈,则下列四个元素中属于M 的元素的个数是（ ）①12π1162+22+2323-+A ．4B ．3C ．2D ．15．集合{}2|6,y y x x ∈=-+∈N N 的真子集的个数是（ ） A ．9B ．8C ．7D ．616．设U 为全集，()UB A B =，则A B 为（ ）A ．AB ．BC ．UB D ．∅7．已知集合22{|,N ,N}A t t m n m n = =+ ∈ ∈，且x A ∈，y A ，则下列结论中正确的是（ ） A ．x y A +∈ B ．x y A -∈ C ．xy A ∈D ．xA y∈ 8．已知集合{}1A x x =>，{}1B x x =≥，则（ ） A ．A ⊆BB ．B ⊆AC ．A∩B=φD ．A ∪B=R9．已知函数()f x =M ，()ln(1)g x x =+的定义域为N ，则()R MC N =（ ）A ．{|1}<x xB ．{|1}x x ≥C ．φD ．{|11}x x -≤<10．已知非空集合M 满足：对任意x M ∈，总有2x M ∉M ，若{}0,1,2,3,4,5M ⊆，则满足条件的M 的个数是（ ）A ．11B ．12C ．15D ．1611．若{}{}0,1,2,3,|3,A B x x a a A ===∈，则A B 的子集个数是（）A ．6B ．8C ．4D ．212．从含有3个元素的集合{},,a b c 的所有子集中任取一个，所取得子集是含有2个元素的集合的概率（ ） A ．310B ．112C ．4564D ．38二、填空题13．已知集合{2,1}A =-，{|2,B x ax ==其中,}x a ∈R ，若A B B =，则a 的取值集合为___________.14．集合{(,)|||,}A x y y a x x R ==∈，{(,)|,}B x y y x a x R ==+∈，已知集合A B中有且仅有一个元素，则常数a 的取值范围是________15．已知集合1{}2A =-，，1{}0|B x mx =+＞，若A B B ⋃=，则实数m 的取值范围是________.16．若{}|224xA x ≤≤，1|1xB x a x -⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭，若A B =∅，则实数a 的取值范围为_________；17．已知集合(){}22330,,A x x a x a a R x R =+--=∈∈，集合(){}22330,,B x x a x a a a R x R =+-+-=∈∈，若,A B A B ≠⋂≠∅，则A B =_______18．已知集合2{1,9,},{1,}A x B x ==，若A B A ⋃=，则x 的值为_________. 19．设全集{|35}Ux x =-≤≤，集合1{|||1},{|0}2A x xB x x =≤=>+，则()UC A B ⋂=_____________．20．设集合{}1,2,3A =，若B ≠∅，且B A ⊆，记G(B)为B 中元素的最大值和最小值之和，则对所有的B ，G(B)的平均值是_______.三、解答题21．已知全集U =R ，集合1{|28},{22x A x B x x m =<≤=<-或2}x m >+ （1）若A {}|03R B x x ⋂=≤≤，求实数m 的值； （2）若AB =B ，求实数m 的取值范围.22．已知集合{}|2A x x a =-≤≤,{}|23,B y y x x A ==+∈,{}2|,C z z x x A ==∈，且C B ⊆,求a 的取值范围.23．已知全集U =R ，集合{|4A x x =<-或1}x >，{}312B x x =-≤-≤， （1）求AB 、()()U UA B ；（2）若集合{}2121M x k x k =-≤≤+是集合A 的子集，求实数k 的取值范围． 24．已知全集为R ，函数()()lg 1f x x =-的定义域为集合A ，集合(){}|16B x x x =->.（1）求AB ；（2）若{}|11C x m x m =-<<+，()()RC A B ⊆，求实数m 的取值范围.25．已知集合()(){}|250A x x x k =++<（1）若()53A ⊆-，，求k 的取值范围. （2）若{}2|20B x x x =-->，且{}2A B Z ⋂⋂=-（Z 为整数集合），求k 的取值范围.26．已知集合{}|2,12xA y y x ==≤≤，()(){}|20B x x a x a =---≤.（1）若3a =，求A B ；（2）若()R B C A ⊆.求实数a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】选项（1）中元素与空集的关系是不属于，正确；（2）空集是非空集的子集正确；（3）集合前后不相等，一个是方程的根构成的集合，有一个元素，一个是两个实数构成的集合，故不正确；（4）根据集合子集的意义知若A B ⊆则AB A =正确.2．B解析：B【分析】阴影部分可以用集合M N 、表示为()()M N C M N ⋃⋂，故求出M N 、、M N ⋃，M N ⋂即可解决问题． 【详解】解：由题意得，{}1,0,1M =-，{}0,1,2N ={}1,0,1,2M N ⋃=-，{}0,1M N ⋂=阴影部分为()(){}1,2M N C M N ⋃⋂=-故选B 【点睛】本题考查用韦恩图表示的集合的运算，解题时要能用集合的运算表示出阴影部分．3．D解析：D 【分析】化简集合A 、B ，根据补集与交集的定义写出RA B ，即可得出结论．【详解】集合{|28}{2A x Z x =∈<=，3，4，5，6，7}，51{||log |1}{|5}5B x R x x R x =∈<=∈<<，1{|5R B x R x ∴=∈或5}x ， {5RAB ∴=，6，7}．∴其中元素个数为3个．故选：D ． 【点睛】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．4．C解析：C 【分析】①②③都可以写成m a =+,a b 是否是有理数，④计算.【详解】①当1a +=+时，可得1,a b π==，这与,a b Q ∈矛盾，3==3a ∴+=，可得3,1a b == ，都是有理数，所以正确，2122==-，12a ∴+=-，可得11,2a b ==-，都是有理数，所以正确，④2426=+=而(22222a a b +=++，,a b Q ∈，(2a ∴+是无理数，不是集合M 中的元素，只有②③是集合M 的元素. 故选：C 【点睛】本题考查元素与集合的关系，意在考查转化与化归的思想，计算能力，属于基础题型.5．C解析：C 【分析】根据条件求解,x y 的范围，结合,x N y N ∈∈，得到集合为{2,5,6}，利用集合真子集个数的公式即得解. 【详解】由于260y N y x ∈∴=-+≥x ≤≤，又,x N ∈0,1,2x ∴=6,5,2y ∴=，即集合{}2|6,{2,5,6}y y x x ∈=-+∈=N N故真子集的个数为：3217-= 故选：C 【点睛】本题考查了集合真子集的个数，考查了学生综合分析，数学运算的能力，属于中档题.6．D解析：D 【分析】根据题意作出“韦恩图”，得出集合A 与集合B 没有公共元素，即可求解. 【详解】由题意，集合U 为全集，()UBA B =，如图所示，可得集合A 与集合B 没有公共元素，即A B =∅，故选D.【点睛】本题主要考查了集合的运算及应用，其中解答中根据题设条件，作出韦恩图确定两集合的关系是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.7．C解析：C 【分析】 设22x m n =+，22N,N N,,,N n b b ya ma ，再利用22()()xy ma nb mb na =++-，可得解.【详解】 由x A ∈，yA ，设22x m n =+，22N,N N,,,N n b b y a m a ，所以22222222222222()()()()xy m n a b m a m b n a n b ma nb mb na =++=+++=++-， 且N,N ma nb mb na +-∈∈， 所以xy A ∈， 故选：C. 【点睛】关键点点睛，本题的解题关键是2222222222()()m a m b n a n b ma nb mb na +++=++-，另外本题可以通过列举法得到集合的一些元素，进而排除选项可得解.8．A解析：A 【分析】根据数轴判断两集合之间包含关系. 【详解】因为{}1A x x =>，{}1B x x =≥，所以A ⊆B ，选A. 【点睛】本题考查集合之间包含关系，考查基本判断分析能力.9．A解析：A 【解析】 【分析】根据函数定义域的求法求得,M N ，再求得()R M C N .【详解】由210x ->解得11x -<<，由10x +>解得1x >-.所以{}|1R C N x x =≤-，故()R MC N ={|1}<x x ，故选A.【点睛】本小题主要考查函数定义域的求法，考查集合补集和并集的运算，属于基础题.10．A解析：A 【分析】可得集合M 是集合{}2,3,4,5的非空子集，且2,4不同时出现，即可得到结论. 【详解】由题意，可得集合M 是集合{}2,3,4,5的非空子集，共有42115-=个， 且2,4不能同时出现，同时出现共有4个， 所以满足题意的集合M 的个数为11个，故选A. 【点睛】本题主要考查了元素与集合的关系，以及集合的子集个数的判定及应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.11．C解析：C 【分析】先求得B 的具体元素，然后求A B ，进而确定子集的个数.【详解】依题意{}0,3,6,9B =，所以{}0,3A B ⋂=,其子集个数为224=，故选C. 【点睛】本小题主要考查集合元素的识别，考查两个集合的交集，考查集合子集的个数计算，属于基础题.12．D解析：D 【分析】含有3个元素的集合{},,a b c 共有子集个数328=，含有2个元素的子集有3个，根据古典概型即可计算. 【详解】因为含有3个元素的集合{},,a b c 共有子集个数328=，含有2个元素的子集有3个， 所以38P =,故选D. 【点睛】本题主要考查了集合子集的概念，古典概型，属于中档题.二、填空题13．【分析】根据得到之间的关系由此确定出可取的的值【详解】因为所以当时；当时若则所以；若则综上可知：的取值集合为故答案为：【点睛】本题考查根据集合间的包含关系求解参数难度一般分析集合间的子集关系时注意分 解析：{}1,0,2-【分析】 根据A B B =得到,A B 之间的关系，由此确定出可取的a 的值. 【详解】因为AB B =，所以B A ⊆，当B =∅时，0a =；当B ≠∅时，若{}2B =-，则22a -=，所以1a =-；若{}1B =，则2a =. 综上可知：a 的取值集合为{}1,0,2-， 故答案为：{}1,0,2-. 【点睛】本题考查根据集合间的包含关系求解参数，难度一般.分析集合间的子集关系时，注意分析空集的存在.14．【分析】若中有且仅有一个元素则方程有且仅有一个解进而求解即可【详解】由题因为中有且仅有一个元素则方程有且仅有一个解当时则当时则由已知得或或或解得故答案为:【点睛】本题考查由交集结果求参数范围考查分类 解析：[1,1]-【分析】 若AB 中有且仅有一个元素,则方程a x x a =+有且仅有一个解,进而求解即可【详解】 由题,因为AB 中有且仅有一个元素,则方程a x x a =+有且仅有一个解,当0x ≥时,ax x a =+,则1a x a =-, 当0x <时,ax x a -=+,则1a x a =-+, 由已知得0101a a a a ⎧≥⎪⎪-⎨⎪-≥⎪+⎩或0101aa a a ⎧<⎪⎪-⎨⎪-<⎪+⎩或101a aa =⎧⎪⎨-<⎪+⎩或011a a a ⎧≥⎪-⎨⎪=-⎩, 解得11a -≤≤, 故答案为:[]1,1-【点睛】本题考查由交集结果求参数范围,考查分类讨论思想和转化思想15．【分析】讨论和及确定集合利用列不等式求解【详解】由题意知则当时∵∴解得当时∵∴解得当时也有综上实数m 的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查集合的包含关系考查一次不等式解集注意m=0的讨论是易错题解析：1(,1)2-【分析】讨论0m >和0m <及0m =确定集合B ，利用A B ⊆列不等式求解 【详解】由题意知A B B ⋃=，则A B ⊆， 当0m >时，1{|}B x x m=>-， ∵1{}2A =-，， ∴11m-<- 解得01m <<， 当0m <时，1{|}B x x m=<-， ∵1{}2A =-，， ∴12m -> 解得102m -<<，当0m =时也有A B ⊆.综上，实数m 的取值范围是1(,1)2- 故答案为：1(,1)2-. 【点睛】本题考查集合的包含关系，考查一次不等式解集，注意m =0的讨论，是易错题16．【分析】计算集合等价于在上恒成立计算的最小值得到答案【详解】等价于在上恒成立即设易知函数在单调递减故故答案为：【点睛】本题考查了集合的关系求参数将等价于在上恒成立是解题的关键解析：13a ≤-【分析】计算集合{}12A x x =≤≤，AB =∅等价于在[]1,2上11xa x -≥+恒成立，计算 21()1x f x -++=的最小值得到答案. 【详解】{}{}|22412x A x x x =≤≤=≤≤，11x B x a x ⎧⎫-=<⎨⎬+⎩⎭A B =∅，等价于在[]1,2上11x a x -≥+恒成立，即122111x x x a --+=-+++≤ 设21()1x f x -++= 易知函数在[]1,2单调递减，min 1()(2)3f x f ==-，故13a ≤- 故答案为：13a ≤- 【点睛】本题考查了集合的关系求参数，将A B =∅等价于在[]1,2上11xa x -≥+恒成立是解题的关键.17．【分析】设公共根是代入两方程作差可得即公共根就是进一步代入原方程求解两集合即可得出答案【详解】两个方程有公共根设公共根为两式相减得:即①若则两个方程都是与矛盾;②则公共根为代入得:即解得:(舍)故答 解析：{2,3,1}--【分析】设公共根是b ,代入两方程,作差可得b a =,即公共根就是a ,进一步代入原方程求解两集合,即可得出答案. 【详解】A B ⋂≠∅∴两个方程有公共根设公共根为b∴2(23)30b a b a +--=,22(3)30b a b a a +-+-=两式相减得:20ab a -=,即()0a b a -=.①若0a =,则两个方程都是230x x -=,与A B ≠矛盾; ②0,a ≠则b a =,∴公共根为a ,代入2(23)30x a x a +--=得:2(23)30a a a a +--= 即220a a -=,解得:0a =(舍),2a ={}2|60{3,2}A x x x ∴=+-==- 2|20{1,2}Bx x x{2,3,1}A B ∴⋃=--故答案为:{2,3,1}--【点睛】本题考查了集合并集运算,能够通过,A B A B ≠⋂≠∅解读出两个集合中的方程有公共根,是解题的关键.18．或0【分析】由题意利用集合的包含关系和集合运算的互异性即可确定x的值【详解】由可知B ⊆A 则或解得：或或当时满足题意；当时满足题意；当时满足题意；当时不满足集合元素的互异性舍去综上可得：x 的值为或0故 解析：3,3-或0【分析】由题意利用集合的包含关系和集合运算的互异性即可确定x 的值.【详解】由A B A ⋃=可知B ⊆A ，则29x =或2x x =， 解得：3x =±或0x =或1x =，当3x =时，{}{}1,9,3,1,9A B ==，满足题意；当3x =-时，{}{}1,9,3,1,9A B =-=，满足题意；当0x =时，{}{}1,9,0,1,0A B ==，满足题意；当1x =时，不满足集合元素的互异性，舍去.综上可得：x 的值为3,3-或0.故答案为：3,3-或0.【点睛】本题主要考查并集的定义，集合中元素的互异性，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19．【分析】解绝对值不等式求得集合然后求得其补集解分式不等式求得集合由此求得【详解】由解得所以由解得所以故填：【点睛】本小题主要考查集合交集和补集的概念和运算考查绝对值不等式和分式不等式的解法属于基础题 解析：(2,1)(1,5]--【分析】解绝对值不等式求得集合A ，然后求得其补集.解分式不等式求得集合B ，由此求得()U C A B ⋂.【详解】 由1x ≤解得11x -≤≤，所以[)(]3,11,5U C A =--⋃.由102x >+解得2x >-，所以()U C A B ⋂(2,1)(1,5]=--.故填：(2,1)(1,5]--.【点睛】本小题主要考查集合交集和补集的概念和运算，考查绝对值不等式和分式不等式的解法，属于基础题.20．4【分析】根据题意列出所有可能的集合B 求出相应的求出平均数即可【详解】因为集合若且所以集合B 为：当时当时当时当时当时当时当时则G(B)的平均值是故答案为：【点睛】本题主要考查了集合间的包含关系考查学 解析：4【分析】根据题意列出所有可能的集合B ，求出相应的()G B ，求出平均数即可.【详解】因为集合{}1,2,3A =，若B ≠∅，且B A ⊆所以集合B 为：{}{}{}{}{}{}{}1231,21,32,31,2,3，，，，，，当{}1B =时，()112G B =+=当{}2B =时，()224G B =+=当{}3B =时，()336G B =+=当{}1,2B =时，()123G B =+=当{}1,3B =时，()134G B =+=当{}2,3B =时，()235G B =+=当{}1,2,3B =时，()134G B =+=则G(B)的平均值是246345447++++++= 故答案为：4【点睛】本题主要考查了集合间的包含关系，考查学生分析问题和解决问题的能力，属于中档题. 三、解答题21．（1）m =2；（2）{5m m >或3}m ≤-..【分析】（1）分别求集合A 和B R ，根据运算结果，求实数m 的值；（2）根据运算结果，转化为A B ⊆，列不等式求m 的取值范围. 【详解】解：（1）由已知得{}13A x x =-<≤，{}22R B x m x m =-≤≤+，∵A {}|03R B x x ⋂=≤≤，∴2023m m -=⎧⎨+≥⎩，，即 2.1m m =⎧⎨≥⎩∴m =2.（2）A B B =，∴A B ⊆.∴23m ->或21m +≤-，∴5m >或3m ≤-.即实数m 的取值范围为{5m m >或3}m ≤-.【点睛】易错点点睛：1.一般涉及集合运算时，需注意端点值的开闭，以及列不等式时，需注意参数的端点值的开闭；2.根据集合交，并集的运算结果，转化为子集问题时，需注意有时有空集的情况，这点容易忽略.22．()1,2,32⎡⎤-∞-⋃⎢⎥⎣⎦【分析】先分类讨论A 是否是空集，再当A 不是空集时，分-2≤a ＜0，0≤a≤2，a ＞2三种情况分析a 的取值范围，综合讨论结果，即可得到a 的取值范围【详解】若A=∅，则a ＜-2，故B=C=∅，满足C ⊆B ；若A ≠∅，即a ≥-2，由23y x =+在[]2,a -上是增函数，得123y a -≤≤+，即{}123B y y a =-≤≤+ ①当20a -≤≤时，函数2z x =在[]2,a -上单调递减，则24a z ≤≤，即{}24C z a z =≤≤，要使C B ⊆,必须且只需234a +≥，解得12a ≥，这与20a -≤<矛盾； ②当02a ≤≤时，函数2z x =在[]2,0-上单调递减，在[]0,a 上单调递增，则04z ≤≤，即{}04C z z =≤≤，要使C B ⊆,必须且只需23402a a +≥⎧⎨≤≤⎩，解得122a ≤≤； ③当2a >时，函数2z x =在[]2,0-上单调递减，在[]0,a 上单调递增，则20z a ≤≤，即{}20C z z a =≤≤，要使C B ⊆,必须且只需2232a a a ⎧≤+⎨>⎩，解得23a <≤； 综上所述，a 的取值范围是()1,2,32⎡⎤-∞-⋃⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查了通过集合之间的关系求参数问题，考查了分类讨论的数学思想，要明确集合中的元素，对集合是否为空集进行分类讨论，做到不漏解．23．（1）{}13A B x x ⋂=<≤，()(){1U U A B x x ⋃=≤或3}x >；（2）52k <-或1k >.【分析】（1）先求出B ，U A ，U B ，再求A B ，()()U U A B 即可；（2）先分类讨论①当M φ=时，k 不存在；②当M φ≠时，解得52k <-或1k >，最后写出实数k 的取值范围即可.【详解】 解：（1）因为全集U =R ，集合{|4A x x =<-或1}x >，{}312B x x =-≤-≤， 所以{}23B x x =-≤≤，{|41}U x x A =-≤≤，{2U B x x =<-或3}x >，所以{}13A B x x ⋂=<≤，()(){1U U A B x x ⋃=≤或3}x >，（2）因为集合{}2121M x k x k =-≤≤+是集合A 的子集， 所以①当M φ=时，2121k k ，k 不存在；②当M φ≠时，214k +<-或211k ->，解得：52k <-或1k >， 综上所述：实数k 的取值范围是52k <-或1k >. 【点睛】 本题考查集合的运算、根据集合的基本关系求参数范围，是基础题.24．（1）{}|13AB x x x =<>或（2）[]1,0- 【分析】（1）解不等式得到集合A ，B ，利用并集定义求解AB ； （2）先求解,R B 再求解()R A B ，利用()()R C A B ⊆,列出不等关系，求解即可. 【详解】（1）由10x ->得，函数()()lg 1f x x =-的定义域{}|1A x x =<， 260x x -->，()()320x x -+>，得{}|32B x x x =><-或，∴{}|13AB x x x =<>或. （2）{}|23R B x x =-≤≤，∴(){}|21R A B x x =-≤<，{}|21C x x ⊆-≤<，则121011m m m -≥-⎧⇒-≤≤⎨+≤⎩， 故实数m 的取值范围为[]1,0-.【点睛】本题考查了集合运算综合，考查了学生综合分析，数学运算能力，属于中档题.25．(1)[] 3,5-；(2)5 3,?2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭.【分析】（1）对参数k 进行分类讨论，求得对应情况下不等式的解集，再根据集合之间的关系，求得k 的范围；（2）根据（1）中集合A 的解集，集合{}2A B Z ⋂⋂=-，对参数k 进行分类讨论，即可求得k 的范围.【详解】（1）对集合A ： 当52k =时，不等式的解集为空集，即A =∅，满足()53A ⊆-，； 当52k <时，不等式的解集为5,2A k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，若满足()53A ⊆-，， 只需3k -≤，解得3k ≥-，又52k <，故53,?2k ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭； 当52k >时，不等式的解集为5,2A k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，若满足()53A ⊆-，， 只需5k -≥-，解得5k ≤，又52k >，故5,52k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦ 综上所述若满足题意，则[]3,5k ∈-. （2）对集合B ：220x x -->，解得()(),12,B =-∞-⋃+∞此时B Z ⋂是小于等于2-的整数和大于等于3的整数的集合.对集合A ：由（1）知： 当52k =时，A =∅，不满足{}2A B Z ⋂⋂=-，故舍去； 当52k <时，5,2A k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，若满足{}2A B Z ⋂⋂=-， 只需3k -≤，解得3k ≥-，又52k <，故可得53,?2k ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭； 当52k >时，5,2A k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，显然不满足{}2A B Z ⋂⋂=-，故舍去. 综上所述，若满足题意，则53,?2k ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查由集合之间的关系，求参数的范围，属中档题；本题中需要注意对参数的分类讨论，要做到不重不漏.26．（1）=[3,4]A B ； （2）4a >或0a < 【分析】（1）写出集合A ，B 的区间形式，代入数值计算即可； （2）写出集合R C A ，根据边界判断a 的取值范围即可.【详解】集合{}|2,12=[2,4]x A y y x ==≤≤，()(){}|20[,2]B x x a x a a a =---≤=+ （1）若3a =，[3,5]B =，则=[3,4]A B ； （2）(,2)(4,)R C A =-∞+∞，()R B C A ⊆， 因此：4a >或22a +<故：4a >或0a <【点睛】 本题考查了集合的交并补运算，考查了学生的数学运算能力，属于基础题.。

第1章 集 合(B)(时间：120分钟 满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分) 1．下列各组对象中能构成集合的是________．(填序号)①北京尼赏文化传播有限公司的全体员工；②2010年全国经济百强县；③2010年全国“五一”劳动奖章获得者；④美国NBA 的篮球明星．2．设全集U ＝R ，集合A ＝{x ||x |≤3}，B ＝{x |x <－2或x >5}，那么如图所示的阴影部分所表示的集合为________．3．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－2x <0}，B ＝{x |x >1}，则集合A ∩∁U B ＝________.4．已知f (x )、g (x )为实数函数，且M ＝{x |f (x )＝0}，N ＝{x |g (x )＝0}，则方程[f (x )]2＋[g (x )]2＝0的解集是________．(用M 、N 表示)．5．设集合A ＝{x |－3≤x ≤2}，B ＝{x |2k －1≤x ≤2k ＋1}，且A ⊇B ，则实数k 的取值范围为________．6．定义两个数集A ，B 之间的距离是|x －y |min (其中x ∈A ，y ∈B )．若A ＝{y |y ＝x 2－1，x ∈Z }，B ＝{y |y ＝5x ，x ∈Z }，则数集A ，B 之间的距离为________．7．已知集合M ＝{－2,3x 2＋3x －4，x 2＋x －4}，若2∈M ，则满足条件的实数x 组成的集合为________．8．若A ＝{x |－3≤x ≤4}，B ＝{x |2m －1≤x ≤m ＋1}，B ⊆A ，则实数m 的取值范围为____________．9．若集合A 、B 、C 满足A ∩B ＝A ，B ∪C ＝C ，则A 与C 之间的关系是________． 10．设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合运算：P *Q ＝{z |z ＝ab (a ＋b )，a ∈P ，b ∈Q }，若P ＝{0,1}，Q ＝{2,3}，则P *Q 中元素之和为________．11．集合M 由正整数的平方组成，即M ＝{1,4,9,16,25，…}，若对某集合中的任意两个元素进行某种运算，运算结果仍在此集合中，则称此集合对该运算是封闭的．M 对下列运算封闭的是________．①加法 ②减法 ③乘法 ④除法12．设全集U ＝{(x ，y )|x ，y ∈R }，集合M ＝{(x ，y )|y －3x －2＝1}，N ＝{(x ，y )|y ≠x ＋1}，则∁U (M ∪N )＝________.13．若集合A ＝{x |x ≥3}，B ＝{x |x <m }满足A ∪B ＝R ，A ∩B ＝∅，则实数m ＝________.14．设集合A ＝{x |x 2＋x －1＝0}，B ＝{x |ax ＋1＝0}，若BA ，则实数a 的不同取值个数为________个．三、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)已知全集U ＝{1,2,3,4,5}，集合A ＝{x |x 2－5x ＋q ＝0，x ∈U }，求q 的值及∁U A .16．(14分)已知全集U＝R，集合M＝{x|x≤3}，N＝{x|x<1}，求M∪N，(∁U M)∩N，(∁U M)∪(∁U N)．17．(14分)设集合A＝{x∈R|2x－8＝0}，B＝{x∈R|x2－2(m＋1)x＋m2＝0}．(1)若m＝4，求A∪B；(2)若B⊆A，求实数m的取值范围．18．(16分)已知集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R，x∈R}．(1)若A中只有一个元素，求a的值，并求出这个元素；(2)若A中至多只有一个元素，求a的取值范围．19．(16分)设A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}，若B⊆A，求实数a的取值范围．20．(16分)已知两个正整数集合A＝{a1，a2，a3，a4}，B＝{a21，a2，a23，a24}，其中a1<a2<a3<a4.若A∩B＝{a1，a4}，且a1＋a4＝10，A∪B的所有元素之和是124，求集合A和B.第1章集合(B)1．④解析根据集合中元素的确定性来判断是否构成集合．因为①、②、③中所给对象都是确定的，从而可以构成集合；而④中所给对象不确定，原因是没有具体的标准衡量一位美国NBA球员是否是篮球明星，故不能构成集合．2．[－2,3]解析化简集合A，得A＝{x|－3≤x≤3}，集合B＝{x|x<－2或x>5}，所以A∩B＝{x|－3≤x<－2}，阴影部分为∁A(A∩B)，即为{x|－2≤x≤3}．3．{x|0<x≤1}解析由x2－2x<0，得0<x<2，∁U B＝{x|x≤1}，所以A∩∁U B＝{x|0<x≤1}．4．M∩N解析若[f(x)]2＋[g(x)]2＝0，则f(x)＝0且g(x)＝0，故[f (x )]2＋[g (x )]2＝0的解集是M ∩N .5．[－1，12]解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2k －1≥－3，2k ＋1≤2，解得：⎩⎪⎨⎪⎧k≥－1，k≤12.∴实数k 的取值范围为[－1，12]．6．0解析 集合A 表示函数y ＝x 2－1的值域，由于x ∈Z ，所以y 的值为－1,0,3,8,15,24，….集合B 表示函数y ＝5x 的值域，由于x ∈Z ，所以y 的值为0,5,10,15，….因此15∈A ∩B .所以|x －y |min ＝|15－15|＝0.7．{－3,2}解析 ∵2∈M ，∴3x 2＋3x －4＝2或x 2＋x －4＝2，解得x ＝－2,1，－3,2，经检验知，只有－3和2符合集合中元素的互异性，故所求的集合为{－3,2}．8．[－1，＋∞)解析 ∵B ⊆A ，当B ＝∅时， 得2m －1>m ＋1，∴m >2，当B ≠∅时，得⎩⎪⎨⎪⎧2m －1≤m＋1，2m －1≥－3，m ＋1≤4.解得－1≤m ≤2.综上所述，m 的取值范围为m ≥－1.9．A ⊆C解析 ∵A ∩B ＝A ，∴A ⊆B ， ∵B ∪C ＝C ，∴B ⊆C ，∴A ⊆C .10．18解析 ∵P ＝{0,1}，Q ＝{2,3}，a ∈P ，b ∈Q ，故对a ，b 的取值分类讨论．当a ＝0时，z ＝0；当a ＝1，b ＝2时，z ＝6；当a ＝1，b ＝3时，z ＝12.综上可知：P *Q ＝{0,6,12}，元素之和为18.11．③解析 设a 、b 表示任意两个正整数，则a 2、b 2的和不一定属于M ，如12＋22＝5∉M ；a 2、b 2的差也不一定属于M ，如12－22＝－3∉M ；a 2、b 2的商也不一定属于M ，如1222＝14∉M ；因为a 、b 表示任意两个正整数，a 2·b 2＝(ab )2，ab 为正整数，所以(ab )2属于M ，即a 2、b2的积属于M . 12．{(2,3)}解析 集合M 表示直线y ＝x ＋1上除点(2,3)外的点，即为两条射线上的点构成的集合，集合N 表示直线y ＝x ＋1外的点，所以M ∪N 表示直线y ＝x ＋1外的点及两条射线，∁U (M∪N )中的元素就是点(2,3)．13．3 14．3解析 注意B ＝∅的情况不要漏了．15．解 设方程x 2－5x ＋q ＝0的两根为x 1、x 2，∵x ∈U ，x 1＋x 2＝5，∴q ＝x 1x 2＝1×4＝4或q ＝x 1·x 2＝2×3＝6.当q ＝4时，A ＝{x |x 2－5x ＋4＝0}＝{1,4}，∴∁U A ＝{2,3,5}；当q ＝6时，A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2,3}，∴∁U A ＝{1,4,5}．16．解 由题意得M ∪N ＝{x |x ≤3}，∁U M ＝{x |x >3}，∁U N ＝{x |x ≥1}，则(∁U M )∩N ＝{x |x >3}∩{x |x <1}＝∅， (∁U M )∪(∁U N )＝{x |x >3}∪{x |x ≥1}＝{x |x ≥1}．17．解 (1)当m ＝4时，A ＝{x ∈R |2x －8＝0}＝{4}，B ＝{x ∈R |x 2－10x ＋16＝0}＝{2,8}，∴A ∪B ＝{2,4,8}．(2)若B ⊆A ，则B ＝∅或B ＝A .当B ＝∅时，有Δ＝[－2(m ＋1)]2－4m 2＝4(2m ＋1)<0，得m <－12；当B ＝A 时，有Δ＝[－2(m ＋1)]2－4m 2＝4(2m ＋1)＝0，且－－＋2＝4，解得m 不存在．故实数m 的取值范围为(－∞，－12)．18．解 A 中元素x 即为方程ax 2＋2x ＋1＝0(a ∈R ，x ∈R )的解．(1)∵A 中只有一个元素，∴ax 2＋2x ＋1＝0只有一解．当a ＝0时，方程为2x ＋1＝0，解得x ＝－12符合题意；当a ≠0且Δ＝4－4a ＝0即a ＝1时，方程的解x 1＝x 2＝－1，此时A 中也只有一元素 －1.综上可得：当a ＝0时，A 中的元素为－12；当a ＝1时，A 中的元素为－1.(2)若A 中只有一个元素，由(1)知a ＝0或a ＝1，若A 中没有元素，即方程ax 2＋2x ＋1＝0无解，∴⎩⎪⎨⎪⎧a≠0Δ＝4－4a<0，解得a >1，综上可得：a >1或a ＝0或a ＝1.19．解 A ＝{x |x 2＋4x ＝0}＝{x |x ＝0或x ＝－4}＝{0，－4}． ∵B ⊆A ，∴B ＝∅或B ＝{0}或B ＝{－4}或B ＝{0，－4}．当B ＝∅时，即x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0无实根，由Δ<0，即4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0，解得a <－1； 当B ＝{0}时，由根与系数的关系：0＋0＝－2(a ＋1)，0×0＝a 2－1⇒a ＝－1；当B ＝{－4}时，由根与系数的关系：－4－4＝－2(a ＋1)，(－4)×(－4)＝a 2－1⇒无解；当B ＝{0，－4}时，由根与系数的关系：0－4＝－2(a ＋1)，0×(－4)＝a 2－1⇒a ＝1. 综上所述，a ＝0或a ≤－1. 20．解 ∵1≤a 1<a 2<a 3<a 4， ∴a 21<a 2<a 23<a 24. ∵A ∩B ＝{a 1，a 4}， ∴只可能有a 1＝a 21⇒a 1＝1. 而a 1＋a 4＝10，∴a 4＝9，∴a 24≠a 4. (1)若a 2＝a 4，则a 2＝3， ∴A ∪B ＝{1,3，a 3,9，a 23，81}， ∴a 3＋a 23＋94＝124⇒a 3＝5；(2)若a23＝a4，则a3＝3，同样可得a2＝5>a3，与条件矛盾，不合题意．综上所述，A＝{1,3,5,9}，B＝{1,9,25,81}．。

第一章 集合章末测评1.如图，U 是全集，M 、P 、S 是U 的3个子集，则阴影部分所表示的集合是( )A.（M ∩P ）∩SB.（M ∩P ）∪SC.（M ∩P ）∩S D.（M ∩P ）∪S思路解析:符号语言、图形语言、文字语言三者的转译能力是高考命题的一个侧重点，应力求熟练准确.题图中阴影部分的元素x 的属性是:x ∈M 且x ∈P ，但x ∉S.故选C. 答案:C2.若集合M={1，3，x}，N={x 2，1}且M ∪N={1，3，x}，那么满足条件的x 值的个数是…( ) A.1 B.2 C.3 D.4 思路解析:∵M ∪N=M ，∴N ⊆M.∴x 2=3或x 2=x ⇒x=±3或x=0，其中x=1舍去.答案:C 3.集合A={x|y=312+x ，x ∈Z ，y ∈Z }的元素个数为( ) A.4 B.5 C.10 D.12 思路解析:这里不要漏掉的是负整数. 因为x 、y ∈Z ，所以x+3=±1，±2，±3，±4，±6，±12. 所以x 的值有12个. 答案:D4.已知集合A={-1，2}，B={x|mx ＋1=0}，若A ∪B=A ，则实数m 的值是( )A.-21B.1C.- 21或1D.0或1或-21 思路解析:由A ∪B=A ，得B ⊆A.∵A={-1，2}，∴B=∅或{-1}或{2}.∴方程mx ＋1=0的根的情况可以是（1）无实根；（2）x=-1；（3）x=2.相应解得m=0或1或-21. 答案:D5.（2006安徽高考理）设集合A={x||x-2|≤2,x ∈R },B={y=-x 2,-1≤x ≤2},则(A ∩B)等于( ) A.R B.{x|x ∈R ,x ≠0} C.{0} D.∅ 思路解析:A=［0,2］,B=［-4,0］, 所以 {A ∩B}= {0}. 答案:B6.设M、P是两个非空集合，定义M与P的差集为M-P={x|x∈M且x∉P}，则M-（M-P）等于( )A.PB.MC.M∩PD.M∪P思路解析:这是一道新定义的集合运算，关键是将M-P用我们熟悉的交、并、补运算来表示.根据定义，“x∈M且x∉P”等价于“x∈M∩（P）”，为此，可设全集为U，则M-P=M∩（P）. 于是有M-（M-P）=M-［M∩（P）］=M∩（M∪P）=（M∩M）∪（M∩P）=∅∪（M∩P）=M∩P.答案:C7.已知集合M={（x，y）|x+y=2}，集合N={（x，y）|x-y=4}，则M∩N等于( )A.x=3,y=-1B.(3,-1)C.{3,-1}D.{(3,-1)}思路解析:本题考查集合的表示方法，两个集合都是点集，因此两个集合的交集也应该是点集，据此本题就只有D符合要求.当然，解题过程中最好还是验证一下x、y的值.答案:D8.U是全集，A、B是非空集合且A B⊆U，那么下列集合中为空集的是( )A.A∩(B)B.( A)∩BC.A∩BD.( A)∩(B)思路解析:画出Venn图，易得A∩（B）=∅.答案:A9.已知集合M={x|x=3n，n∈Z}，N={x|x=3n＋1，n∈Z}，P={x|x=3n-1，n∈Z}，且a∈M，b∈N，c∈P.设d=a-b＋c，则( )A.d∈B.d∈NC.d∈PD.d∈M∪P思路解析:∵a∈M，b∈N，c∈P，d=a-b＋c，∴可设a=3m，b=3n＋1，c=3k-1，其中m、n、k∈Z.∴d=a-b＋c=3m-（3n＋1）＋3k-1=3（m-n＋k）-2=3（m-n＋k-1）＋1.∵m-n＋k-1∈Z，∴d∈N.答案:B10.某单位有青年员工85人，其中68人会骑自行车，62人会游泳，如果既会骑自行车又会游泳的有57人，则既不会骑自行车又不会游泳的有( )A.10人B.12人C.14人D.17人思路解析:画图分析会更直观（略）.令既不会骑自行车又不会游泳的人数为x.则由集合运算关系，有85=68+62-57+x，∴x=12.故选B.答案:B11.已知集合A={x|x2-2x-3=0}，集合B={x|ax-1=0}.若B是A的真子集，则a的值为________. 思路解析:因集合A是确定的，所以先求出集合A={-1，3}.B是A的真子集，需考虑两种情况:（1）B 是空集时，a=0； （2）B 不是空集时，a=-1或a=31. 答案:0或-1或31 12.集合{（x ，y ）|2x ＋3y=12，x ∈N ，y ∈N *}，用列举法表示为_____________.思路解析:∵2x ＋3y=12，x ∈N ，y ∈N *， ∴x=0，y=4或x=3，y=2.∴原集合用列举法表示为{（0，4），（3，2）}. 答案:{（0，4），（3，2）} 13.已知全集U={不大于30的质数}，A 、B 是U 的两个子集，且A ∩（B ）={5，13，23}，A ∪（B ）={2，3，5，7，13，17，23}，（A ）∩（B ）={3，7}，则A =_________，B=_________.思路解析:U={不大于30的质数}={2，3，5，7，11，13，17，19，23}，而（A ）∩（B ）=（A ∪B ），画出韦恩图，标出三个集合A ∩（B ），A ∪（B ），（A ∪B ），易得A ∩B={2，17}.∴A={2，5，13，17，23}，B={2，11，17，19，29}.答案:{2，5，13，17，23} {2，11，17，19，29}14.已知集合A={x|x 2+（m+2）x+1=0}，若A ∩R +=∅，则实数m 的取值范围为___________. 思路解析:本题综合考查方程的根与系数的关系以及集合的运算，同时此题还需特别注意空集的特殊性.A ∩R +=∅，所以方程x 2+（m+2）x+1=0有两负根或无实数根，即⎩⎨⎧<+-≥-+=∆0)2(,04)2(2m m 或Δ=（m+2）2-4<0.综上可得m>-4. 答案:m>-415.已知全集I=R ，集合A={x|x 2+ax+12b=0}，B={x|x 2-ax+b=0}，满足（A ）∩B={2}，（B ）∩A={4}，求实数a 、b 的值.思路解析:根据题意列出关于a 、b 的方程组,求解即可.解:（A ）∩B={2}，则2∈B 且2∉A ，由此可得4-2a+b=0. ① （B ）∩A={4}，则4∈A 且4∉B ，由此可得16+4a+12b=0. ② 解①②可得a=78，b=-712.16.某班有学生50人，解甲、乙两道数学题.已知解对甲题者有34人，解对乙题者有28人，两题均解对者有20人，问：（1）至少解对其中一题者有多少人？ （2）两题均未解对者有多少人？解:（1）设全集为U ，A ＝{只解对甲题的学生}，B ＝{只解对乙题的学生}，C ＝{甲、乙两题都解对的学生}，则 A ∪C ＝{解对甲题的学生}，B ∪C ＝{解对乙题的学生}， A ∪B ∪C ＝{至少解对一题的学生}， （A ∪B ∪C ）＝{两题均未解对的学生}. 因此A ∪B ∪C 有N 1=34+28-20=42（人）. ∴至少解对其中一题者有42个人. （2）由（1）得（A ∪B ∪C ）有N 2=50-42=8（人）,∴两题均未解对者有8个人.17.设集合A={x|2x 2＋3px ＋2=0}，B={x|2x 2＋x ＋q=0}，其中p 、q 、x ∈R ，当A ∩B={21}时，求p 的值及A ∪B. 思路解析:∵A ∩B={21}，∴21∈A ，且21∈B. ∴21既是方程2x 2＋3px ＋2=0的根，又是方程2x 2＋x ＋q=0的根. 代入易求得p 、q 的值，从而得集合A 、B ，求得A ∪B.解:∵A ∩B={21}，∴21∈A. ∴2（21）2＋3p （21）＋2=0.∴p=-35.∴A={21，2}.又∵A ∩B={21}，∴21∈B.∴2（21）2＋21＋q=0.∴q=-1.∴B={21，-1}.∴A ∪B={-1，21，2}.18.已知集合A={x|-2≤x ≤5}，集合B={x|m+1≤x ≤2m-1}，若A ∪B=A ，求实数m 的取值范围.思路解析:本题考查集合的交、并运算以及空集的特殊性,可以通过画数轴分析. 解:由A ∪B=A 得B ⊆A ，但需注意B=∅和B ≠∅两种情况. （1）B=∅时，由m+1>2m-1可得m<2；（2）B ≠∅时，则⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤--≤+,512,12,121m m m m 解得2≤m ≤3.综上可得m ≤3.19.设有两个集合A 和B,A={x|x 2-8x+15=0},B={x|ax-1=0}，若B A ，求a 的取值范围. 思路解析:本题主要考查子集、真子集的定义,集合的概念.B A 的意义,即B 是A 的真子集,而当B=∅时也适合题意. 解:由已知A={3,5},∵B A,当B=∅时,a=0;当B ≠∅时,则a ≠0,此时有a 1=3或a1=5,即a=31或a=51, ∴a 的取值范围是{0,31,51}. 20.设集合M={A|a=x 2-y 2，x 、y ∈Z }，求证： （1）一切奇数属于M ；（2）4k-2（k ∈Z ）不属于M ；（3）M 中任意两个数的乘积仍属于M.证明:（1）设奇数a=2k-1，则a=2k-1=k 2-（k-1）2，其中k 、k-1∈Z . 所以一切奇数属于M.（2）可利用反证法.假设4k-2∈M （k ∈Z ），则存在x 、y ∈Z ，使得4k-2=x 2-y 2， 即2（2k-1）=（x+y ）（x-y ），则（x+y ）与（x-y ）中必有一个奇数、一个偶数. 但是（x+y ）与（x-y ）有相同的奇偶性，得出矛盾. 所以4k-2（k ∈Z ）不属于M.（3）设a=x 12-y 12，b=x 22-y 22（x 1、x 2、y 1、y 2∈Z ），则ab=（x 22-y 22）（x 12-y 12）=（x 12x 22+y 12y 22）-（x 12y 22+y 12x 22）=（x 1x 2-y 1y 2）2-（x 1y 2-y 1x 2）2，其中（x 1x 2-y 1y 2），（x 1y 2-y 1x 2）∈Z ，所以ab ∈M.。

第一章 章末复习课一、选择题1．如果集合A ＝{x |ax 2－2x －1＝0}只有一个元素则a 的值是( ) A ．0 B ．0或1 C ．－1D ．0或－12．集合M ＝{12，3,2m －1}，N ＝{－3,5}，若M ∩N ≠∅，则实数m 的值为( )A ．3或－1B ．3C ．3或－3D ．－13．已知U ＝{2,3,4,5,6,7}，M ＝{3,4,5,7}，N ＝{2,4,5,6}，则( ) A ．M ∩N ＝{4,6} B ．M ∪N ＝U C ．(∁U N )∪M ＝UD ．(∁U M )∩N ＝N4．集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1≥02x －4≤0，B ＝{x |x －1＜0}，则A ∩(∁R B )＝( ) A ．{x |x ＞1} B ．{x |x ≥1} C ．{x |1＜x ≤2}D ．{x |1≤x ≤2}5．设A 、B 、C 为三个集合，A ∪B ＝B ∩C ，则一定有( ) A ．A ⊆C B ．C ⊆A C ．A ≠CD ．A ＝∅6．设P ＝{3,4}，Q ＝{5,6,7}，集合S ＝{(a ，b )|a ∈P ，b ∈Q }，则S 中元素的个数为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6二、填空题7．设集合A ＝{x |－1≤x ＜2}，B ＝{x |x ≤a }，且A ∩B ≠∅，则实数a 的取值集合为________． 8．U ＝{1,2}，A ＝{x |x 2＋px ＋q ＝0}，∁U A ＝{1}，则p ＋q ＝________.9．已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝2x －1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x ＋3}，若m ∈A ，m ∈B ，则m 为________． 三、解答题10．已知全集U ＝R ，A ＝{x |2≤x <5}，B ＝{x |3≤x <7}，求： (1)(∁R A )∩(∁R B ) (2)∁R (A ∪B ) (3)(∁R A )∪(∁R B ) (4)∁R (A ∩B )11．集合A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}，B＝{x|x2－5x＋6＝0}，C＝{x|x2＋2x－8＝0}，若A∩B≠∅，A∩C＝∅，求实数a的值．12．设全集U＝R，集合A＝{x|－5<x<4}，集合B＝{x|x<－6或x>1}，集合C＝{x|x－m<0}，求实数m的取值范围，使其分别满足下列两个条件：①C⊇(A∩B)；②C⊇(∁U A)∩(∁B)．U第一章章末复习课1.[答案] D[解析] 若a ＝0则方程只有一根－12若a ≠0则方程只有一根应满足Δ＝0即4＋4a ＝0.∴a ＝－1，故选D.2.[答案] A[解析] ∵M ∩N ≠∅，∴2m －1＝5或2m －1＝－3，∴m ＝3或－1，故选A. 3.[答案] B[解析] ∵U ＝{2,3,4,5,6,7}，M ＝{3,4,5,7}，N ＝{2,4,5,6}，∴M ∩N ＝{4,5}，M ∪N ＝{2,3,4,5,6,7}，(∁U N )∪M ＝{3,4,5,7}，(∁U M )∩N ＝{2,6}．4.[答案] D[解析] ∵B ＝{x |x <1}，∴∁R B ＝{x |x ≥1}． ∴A ∩(∁R B )＝{x |1≤x ≤2}． 5.[答案] A[解析] ∵A ∪B ＝B ∩C ⊆B ， 又B ⊆A ∪B ，∴A ∪B ＝B ，∴A ⊆B ， 又B ⊆A ∪B ＝B ∩C ，且B ∩C ⊆B ， ∴B ∩C ＝B ，∴B ⊆C ，∴A ⊆C . 6.[答案] D[解析] S ＝{(3,5)，(3,6)，(3,7)，(4,5)，(4,6)，(4,7)}共6个元素，故选D. 7.[答案] {a |a ≥－1}[解析] 利用数轴标出两集合可直接观察得到． 8.[答案] 0[解析] 由∁U A ＝{1}，知A ＝{2}即方程x 2＋px ＋q ＝0有两个相等根2，∴p ＝－4，q ＝4， ∴p ＋q ＝0. 9.[答案] (4,7)[解析] 由m ∈A ，m ∈B 知m ∈A ∩B ，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x －1y ＝x ＋3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y ＝7，∴A ∩B ＝{(4,7)}． 10.[分析] 在进行集合运算时，充分利用数轴工具是十分有效的手段，此例题可先在数轴上画出集合A 、B ，然后求出A ∩B ，A ∪B ，∁R A ，∁R B ，最后可逐一写出各小题的结果．[解析] 如图所示，可得A ∩B ＝{x |3≤x <5}，A ∪B ＝{x |2≤x <7}．∁R A＝{x|x<2或x≥5}，∁R B＝{x|x<3或x≥7}．由此求得(1)(∁R A)∩(∁R B)＝{x|x<2或x≥7}．(2)∁R(A∪B)＝{x|x<2或x≥7}．(3)(∁R A)∪(∁R B)＝{x|x<2或x≥5}∪{x<3或x≥7}＝{x|x<3或x≥5}．(4)∁R(A∩B)＝{x|x<3或x≥5}．[点评]求解集合的运算，利用数轴是有效的方法，也是数形结合思想的体现．11.[解析]B＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{x|(x－2)(x－3)＝0}＝{2,3}，C＝{x|x2＋2x－8＝0}＝{x|(x－2)(x＋4)＝0}＝{2，－4}，∵A∩B≠∅，A∩C＝∅，∴3∈A，将x＝3代入x2－ax＋a2－19＝0得：a2－3a－10＝0解得a＝5或－2当a＝5时A＝{x|x2－5x＋6}＝0＝{2,3}与A∩C＝∅矛盾当a＝－2时，A＝{x|x2＋2x－15＝0}＝{3，－5}符合题意综上a＝－2.12.[解析]∵A＝{x|－5<x<4}，B＝{x|x<－6或x>1}，∴A∩B＝{x|1<x<4}．又∁U A＝{x|x≤－5或x≥4}，∁U B＝{x|－6≤x≤1}，∴(∁U A)∩(∁U B)＝{x|－6≤x≤－5}．而C＝{x|x<m}，∵当C⊇(A∩B)时，m≥4，当C⊇(∁U A)∩(∁U B)时，m>－5，∴m≥4.。