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初中数学知识归纳平移旋转和对称变换初中数学知识归纳：平移、旋转和对称变换数学是一门具有广泛应用的学科，也是培养学生逻辑思维和解决问题能力的重要学科之一。
在初中数学中，平移、旋转和对称变换是数学中常见的几何变换操作，对于学生们的几何观念理解和图形思维的培养具有重要意义。
本文将对初中数学中的平移、旋转和对称变换进行归纳和总结。
一、平移（Translation）平移是指在平面内按照一定的方向和距离将图形移动到另一个位置的几何变换操作。
平移操作不改变图形的大小和形状，只是改变了图形的位置。
在平移中，每个点都按照相同的方向和距离进行移动。
平移的基本要素有：平移向量和被平移图形。
平移向量是指平移的方向和距离，可以用箭头表示。
被平移图形是指需要进行平移操作的图形。
二、旋转（Rotation）旋转是指按照某个中心点和旋转角度将图形绕这个中心点进行旋转的几何变换操作。
旋转不改变图形的大小和形状，只是改变了图形的方向。
在旋转中，每个点都绕着中心点按照相同的角度进行旋转。
旋转的基本要素有：旋转中心、旋转角度和被旋转图形。
旋转中心是指旋转的中心点，旋转角度是指旋转的角度大小，可以用度数表示。
被旋转图形是指需要进行旋转操作的图形。
三、对称变换（Symmetry）对称变换是指通过某条线、某个点或某个面将图形镜像成另一个图形的几何变换操作。
对称变换不改变图形的大小和形状，只是改变了图形的位置或方向。
在对称变换中，每个点通过指定的对称轴或对称中心得到对应的镜像点。
常见的对称变换有关于x轴、y轴和原点的对称等。
关于x轴的对称是指图形在x轴上下对称，即图形上的每个点与其镜像点关于x轴对称；关于y轴的对称是指图形在y轴左右对称，即图形上的每个点与其镜像点关于y轴对称；关于原点的对称是指图形在原点内外对称，即图形上的每个点与其镜像点关于原点对称。
综上所述，初中数学中的平移、旋转和对称变换是数学几何中常见的几何变换操作。
通过学习和理解这些几何变换，学生们可以更好地把握图形的性质和形态，同时培养几何思维和问题解决能力。
轴对称图形1、将图形沿着一条直线对折，如果直线两侧的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形。
折痕所在的直线叫做对称轴。
注意：对称轴是直线，既不是线段，也不是射线，画时不用实线，用虚线（虚线、尺子、露头）2、轴对称图形性质：对称点到对称轴的距离相等。
3、对称点：轴对称图形沿对称轴对折后，互相重合的点叫做对称点。
4、在方格纸上补全轴对称图形关键：找出所给图形的关键点的对称点，要按照顺序将对称点连接起来。
5、不同的轴对称图形，对称轴的数量也不同，轴对称图形至少有一条对称轴。
平移1、物体在同一平面上沿直线运动，这种现象叫做平移。
注意：平移只是沿水平方向左右移动（×）平移不仅仅局限于左右运动。
2、平移二要素：（1）平移方向；（2）平移距离。
将一个图形平移时，要先确定方向，再确定平移的距离，缺一不可。
3、平移的特征：物体或图形平移后，他们的形状、大小、方向都不改变，只是位置发生改变。
4、在方格纸上平移图形的方法：（1）找出图形的关键点；（2）以关键点为参照点，按指定方向数出平移的格数，描出平移后的点；（3）把各点按原图顺序连接，就得到平移后的图形。
注意：用箭头标明平移方向（→）旋转1、旋转：物体绕某一点或轴的转动。
2、旋转方向：与时针运动方向相同的是顺时针方向；与时针运动方向相反的是逆时针方向；3、旋转三要素：旋转点（旋转中心）、旋转方向、旋转角度。
4、图形旋转的特征：图形旋转后，形状、大小都没发生变化，只是位置和方向变了。
5、图形旋转的性质：图形绕某一点旋转一定的角度，图形中的对应点、对应线段都旋转相同的角度，对应点到旋转点的距离相等。
6、旋转的叙述方法：物体是绕哪个点向什么方向旋转了多少度。
7、简单图形旋转90°的画法：（1）找出原图形的关键线段或关键点，借助三角板作关键线段的垂线，或者作关键点与旋转点所在线段的垂线；（2）从旋转点开始，在所作的垂线上量出与原线段相等的长度取点，即所找的点是原图形关键点的对应点；（3）参照原图形顺次连接所画的对应点。
第6讲平移、旋转及轴对称一、思维导图二、知识点梳理知识点一：平移在同一平面内，物体或图形沿着某一直线方向运动的现象叫做平移。
平移时物体或图形的形状、大小和方向没有变化，只是位置改变了。
知识点二：旋转物体或图形绕一个点或一个轴运动的现象叫做旋转。
旋转时物体或图形的形状和大小不变，其自身的运动方向发生了变化。
注意：旋转分为顺时针旋转和逆时针旋转。
知识点三：轴对称图形一个图形沿着一条直线对折后，折痕两边的部分能够完全重合的图形就是轴对称图形。
轴对称图形沿对称轴对折后，两边能够完全重合，即对称的点、对称的线段都能够完全重合，对称点到对称轴的距离相等。
三、例题精讲考点一：平移和旋转1．能够通过下图平移得到的图形是（）。
A．B．C．D．2．在括号中填“平移”或“旋转”。
（1）小明进教室开门时，门的运动是()。
（2）小丽拧开纯净水瓶盖，瓶盖的运动是()。
（3）小红拉开窗帘，窗帘的运动是()。
（4）老师将课桌拖到最后一排，桌子的运动是()。
3．观察下面的图形，然后填空。
(1)小汽车向()平移了()格。
(2)小船向()平移了()格。
(3)飞机向()平移了()格。
4．如图所示。
（1）小狗先向左走4格，再向下走6格，它能吃到肉骨头吗？如果能，请你把小狗的行走过程在方格中画出来；如果不能，请你帮小狗设计一个正确的行走方案。
（2）小狗吃完肉骨头后接着想去吃大鸡腿，它应该怎么走？考点二：轴对称图形5．图形是从（）对折的纸上剪下来的。
A．B．C．D．6．如图，一个大正方形被分成16个大小相同的小正方形，其中四个小正方形已涂成阴影，若再将一个小正方形涂成阴影，使所有阴影区域构成轴对称图形，则这个小正方形的编号为()。
7．拿一张长纸条，将它一反一正折叠起来，并画出字母E。
用小刀把画出的字母E挖去，拉开就可以得到一条以字母E为图案的花边，如图。
观察整条花边，左起和右起的三个图案各为一组，这两组图案有什么关系？8．（1）下面五个图形中，是轴对称图形的有（）。
对称平移旋转知识点一、对称对称是指在一些中心或条轴线上，图形的两个相互对应的点、线、面或者物体的位置互换，使其保持不变。
对称可以分为以下几种类型：1.轴对称：图形在条轴线上对称，比如正方形的对角线、长方形的中心对称轴等。
2.点对称：图形以一些点为中心对称，比如圆形的中心点。
3.旋转对称：图形以一些旋转中心旋转一定角度后与原图重合。
对称的性质：1.对称图形与原图形有相同的形状和大小；2.图形中任意两点关于对称轴对称的点的距离相等；3.以对称轴为界，若一个点在轴上的一侧，则与该点关于对称轴对称的点必在轴上的另一侧。
二、平移平移是指在几何空间中，通过将图形在同一平面内的各点按照相同且给定的方向和距离进行平移，使图形保持形状和大小不变。
平移可以基于以下要素进行操作：1.平移向量：平移向量是指从图形的每个点指向其平移后的对应位置的向量。
2.平移轴：平移轴是指平移向量的方向。
平移的性质：1.图形的每一点平移后仍在同一平面上；2.图形的平移前后点之间的距离保持不变；3.平移不改变图形的形状和大小。
三、旋转旋转是指在平面或者空间中按照一些中心或条轴线，将图形围绕旋转中心或轴线进行旋转，使图形在平面或者空间中绕旋转中心或轴线旋转一定角度。
旋转的参数：1.旋转角度：旋转的角度可以是顺时针或逆时针方向。
2.旋转中心：旋转中心是指旋转轴线上的一个点，图形按照该点为中心进行旋转。
旋转的性质：1.旋转不改变图形的形状和大小；2.旋转后图形中任意两点之间的距离保持不变；3.旋转后图形的对称性质可能会发生变化。
在实际应用中，对称、平移和旋转经常被用于图形的变换、模式识别、计算机图形学等各个领域。
比如，在计算机动画中，通过对图像进行平移和旋转操作，可以实现各种图形效果和动画效果；在建筑设计中，对称性和对称变换被广泛运用于设计美学和结构均衡等方面。
总之，对称、平移和旋转是几何学中的重要概念和操作，它们的理论和应用对于提高空间想象力、解决实际问题具有重要意义。
《对称平移和旋转》知识点对称平移和旋转知识点
1、画图形的另一半：
找对称轴找对应点连成图形。
2、正三边形有3条对称轴，正四边形有4条对称轴，正五边形有条对称轴，……正n变形有n条对称轴。
3、图形的平移，先画平移方向，再把关键的点平移到指定的地方，最后连接成图。
4、图形的旋转，先找点，再把关键的边旋转到指定的地方，再连线。
练习题
1、如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这样的图形就叫图形，那条直线就是。
2、正方形有条对称轴。
3、这些现象哪些是“平移”现象，哪些是“旋转”现象：
张叔叔在笔直的公路上开车，方向盘的运动是现象。
升国旗时，国旗的升降运动是现象。
妈妈用拖布擦地，是现象。
自行车的车轮转了一圈又一圈是现象。
参考答案
1、如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够
完全重合，这样的图形就叫图形，那条直线就是。
2、正方形有条对称轴。
3、这些现象哪些是“平移”现象，哪些是“旋转”现象：
张叔叔在笔直的公路上开车，方向盘的运动是现象。
升国旗时，国旗的升降运动是现象。
妈妈用拖布擦地，是现象。
自行车的车轮转了一圈又一圈是现象。
图形的对称、平移与旋转1、轴对称：（1）轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做，这条直线叫做。
也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。
（通俗地讲轴对称图形是本身．．图形）．．的一个．．具有特殊形状（2）轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形，这条直线叫做，折叠后重合的点是对应点，叫做。
（通俗地讲轴对称是两．个．具有特殊位置．．的全等图形）．．关系（3）轴对称的性质：①轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的。
②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的。
③两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上。
（4）轴对称的判定：如果两个图形的对应点连线被同一条直线，那么这两个图形关于这条直线对称。
（5）关于坐标轴对称的点的坐标特征：①两个点关于x轴对称时，它们的坐标中，x相等，y的符号相反，即点P（x，y）关于x轴的对称点为P’（x，—y）②两个点关于y轴对称时，它们的坐标中，y相等，x的符号相反，即点P（x，y）关于y轴的对称点为P’（—x，y）2、中心对称：（1）把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做，这个点叫做。
（通俗地讲中心对称图形是本身．．图形）．．具有特殊形状．．的一个（2）把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形或。
（通俗地讲中心对称是两个．．．．的全等．．图形）．．具有特殊位置关系（3）中心对称性质：①中心对称的两个图形，任意一对对称点所连线段都经过，而且被对称中心。
②中心对称的两个图形是图形。
（4）关于原点对称的点的坐标特征：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为P’（—x，—y）。
3、平移：（1）在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做，它不改变图形的和。
一、旋转旋转是指将平面图形绕着一个确定的点旋转一定的角度，使原来的图形变为位置相对于原来的图形。
1.旋转的概念旋转是平面上一个点以另一个点为中心旋转一定角度所形成的点的运动。
2.旋转的主要要素旋转有三个主要要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度。
3.旋转的性质(1)旋转是一个点分别以一个中心为圆心旋转，那么旋转时产生的点都在同一个圆上。
(2)旋转角度为360°时，即为一周。
4.旋转的表示方法以旋转中心为原点，建立直角坐标系，用点的坐标表示旋转的位置。
二、平移平移是指在平面上将一个图形全部向一个方向移动一定的距离，而不改变图形的形状和方向。
1.平移的概念平移是指一个图形的每一点都按照同一方向和距离进行移动。
2.平移的性质(1)平移前后的图形大小、形状和方向都是不变的。
(2)平移前后对应的两条线段是平行的。
(3)平移前后的两个点的距离保持不变。
3.平移的表示方法以平移向量作为平移的中心，以向量的始点为原点建立直角坐标系。
三、对称对称是指由一个物体通过中心对称轴或面对称面对折后，两侧对应点重合。
1.对称的概念对称是指图形按照其中一种规律以其中一线为中心分割成两个相同的部分。
2.对称图形的基本要素对称图形有三个基本要素：对称中心、对称轴和对称面。
3.对称的性质(1)对称图形的对称中心、对称轴或对称面所分割的部分是完全相同的。
(2)两个对称点的连线与对称轴或对称面垂直。
4.对称图形的表示方法对称图形可以通过对称中心、对称轴或对称面分析得出对称点的位置。
以上是对2024年初中数学中旋转、平移、对称知识点的总结。
这些知识点在初中数学中是非常重要和常见的，对于理解几何图形的变化和性质有很大帮助。
通过掌握这些知识点，可以更好地解决与旋转、平移和对称相关的数学问题。
图形的轴对称、平移与旋转一、轴对称图形与轴对称如果一个图形沿着某条直线对折如果两个图形对折后，这两个图形1．常见的轴对称图形: 等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圆．2．折叠的性质:折叠的实质是轴对称，折叠前后的两图形全等，对应边和对应角相等．【注意】凡是在几何图形中出现“折叠”这个字眼时，第一反应即存在一组全等图形，其次找出与要求几何量相关的条件量．解决折叠问题时，首先清楚折叠和轴对称能够提供我们隐含的且可利用的条件，分析角之间、线段之间的关系，借助勾股定理建立关系式求出答案，所求问题具有不确定性时，常常采用分类讨论的数学思想方法．3．作某点关于某直线的对称点的一般步骤1）过已知点作已知直线（对称轴）的垂线，标出垂足；2）在这条直线另一侧从垂足除法截取与已知点到垂足的距离相等的线段，那么截点就是这点关于该直线的对称点．4．作已知图形关于某直线的对称图形的一般步骤1）作出图形的关键点关于这条直线的对称点；2）把这些对称点顺次连接起来，就形成了一个符合条件的对称图形．二、图形的平移1．定义：在平面内，一个图形由一个位置沿某个方向移动到另一个位置，这样的图形运动叫做平移．平移不改变图形的形状和大小．2．三大要素：一是平移的起点，二是平移的方向，三是平移的距离．3．性质：1）平移前后，对应线段平行且相等、对应角相等；2）各对应点所连接的线段平行(或在同一条直线上)且相等；3）平移前后的图形全等．4．作图步骤：1）根据题意，确定平移的方向和平移的距离；2）找出原图形的关键点；3）按平移方向和平移距离平移各个关键点，得到各关键点的对应点；4）按原图形依次连接对应点，得到平移后的图形．三、图形的旋转1．定义：在平面内，一个图形绕一个定点沿某个方向(顺时针或逆时针)转过一个角度，这样的图形运动叫旋转．这个定点叫做旋转中心，转过的这个角叫做旋转角．2．三大要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度．3．性质：1）对应点到旋转中心的距离相等；2）每对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；3）旋转前后的图形全等．4．作图步骤：1）根据题意，确定旋转中心、旋转方向及旋转角；2）找出原图形的关键点；3）连接关键点与旋转中心，按旋转方向与旋转角将它们旋转，得到各关键点的对应点；4）按原图形依次连接对应点，得到旋转后的图形．【注意】旋转是一种全等变换，旋转改变的是图形的位置，图形的大小关系不发生改变，所以在解答有关旋转的问题时，要注意挖掘相等线段、角，因此特殊三角形性质的运用、锐角三角函数建立的边角关系起着关键的作用．四、中心对称图形与中心对称如果一个图形绕某一点旋转180°后能与如果一个图形绕某点旋转180°后与平行四边形、矩形、菱形、正方形、正六边形、圆等．注意：图形的“对称”“平移”“旋转”这些变化,是图形运动及延伸的重要途径,研究这些变换中的图形的“不变性”或“变化规律”.。
初中数学知识归纳平移旋转对称平移、旋转和对称是初中数学中常见的几何变换，它们在解决几何问题和实际应用中起着重要的作用。
本文将对平移、旋转和对称进行归纳总结。
1. 平移：平移是指将图形沿着直线方向上的某个距离移动。
在平移过程中，图形的形状和大小保持不变，只是位置发生变化。
平移可以表示为向量形式，其中平移向量表示了图形沿着横坐标和纵坐标方向上的移动距离。
平移的性质：（1）平移不改变图形的大小和形状。
（2）平移保持图形的所有内角大小和相对位置不变。
（3）平移是可逆的，即可以通过相反方向的平移将图形还原到原来的位置。
2. 旋转：旋转是指将图形绕一个点或一个轴进行转动，旋转的中心点称为旋转中心。
旋转可以是顺时针或逆时针方向，旋转的角度可以为正数或负数。
旋转的性质：（1）旋转不改变图形的大小。
（2）旋转保持图形的所有内角大小和相对位置不变。
（3）旋转是可逆的，即可以通过逆向旋转将图形还原到原来的位置。
3. 对称：对称是指图形相对于某个轴、点或中心呈现镜像关系。
对称分为对称轴对称和中心对称两种类型。
对称的性质：（1）轴对称：图形相对于对称轴对称，对称轴上的任意一点与其相对称点距离对称轴的距离相等。
（2）中心对称：图形相对于中心对称，中心对称点是图形的中心，对称图形的任意一点与其相对称点之间的距离相等。
4. 平移、旋转和对称的应用：（1）平移：平移常用于几何问题的解决和图形的构造，如将一个图形精确移动到另一个位置。
（2）旋转：旋转常用于解决图形的排列、对称和判断两个图形是否相似等问题。
（3）对称：对称广泛应用于图案的设计、建筑设计等领域，通过对称可以使图案更具美感和平衡感。
在初中数学学习中，平移、旋转和对称是重要的数学概念和技巧。
通过学习和掌握这些几何变换的性质和应用，可以提高图形思维能力，解决几何问题，并在日常生活中运用数学的知识。
因此，初中数学学习中的平移、旋转和对称对培养学生的几何直观和创造力起着重要的作用。
二维形的平移旋转与对称知识点总结在几何学中，平移、旋转和对称是二维形的常见变换方式。
它们有着重要的理论和实际应用价值。
在本文中，我们将对平移、旋转和对称的概念、性质以及应用进行详细总结。
一、平移变换平移是指将一个图形在平面上沿着固定方向进行移动，移动的距离和方向保持不变。
平移变换可以通过向量表示。
设有向量v=(a,b)，则平移变换Tv可以表示为：Tv: (x,y) → (x+a,y+b)其中，(x,y)是图形上的一个点，(x+a,y+b)是平移后该点的位置。
平移变换具有以下性质：1. 形状保持不变：平移变换不会改变图形的形状，只是将其移动到新的位置上。
2. 距离和角度保持不变：平移变换不会改变图形中点与点之间的距离和角度关系。
3. 平移向量可加性：若有两个平移变换Tv和Tu，对应的平移向量分别为v=(a,b)和u=(c,d)，则它们的合成变换为：T(v+u) = Tv + Tu = (x+a+c,y+b+d)平移变换的应用广泛，如地图的平移、物体的移动等。
二、旋转变换旋转是指将一个图形绕固定点进行旋转，旋转的角度可以为正也可以为负。
旋转变换可以通过矩阵表示。
设有旋转角度θ，则旋转变换Rθ可以表示为：Rθ: (x,y) → (x′,y′) = (x*cosθ - y*sinθ, x*sinθ + y*cosθ)其中，(x,y)是图形上的一个点，(x′,y′)是旋转后该点的位置。
旋转变换具有以下性质：1. 形状保持不变：旋转变换不会改变图形的形状，只是将其绕着某个点旋转一定角度。
2. 中心点不变：旋转变换不会改变旋转中心点的位置。
3. 旋转角度可叠加性：若有两个旋转变换Rθ和Rφ，对应的旋转角度分别为θ和φ，则它们的合成变换为：R(θ+φ) = Rθ ∘ Rφ = (x*cos(θ+φ) - y*sin(θ+φ), x*sin(θ+φ) +y*cos(θ+φ))旋转变换在计算机图形学、工程设计等领域中有着广泛应用。
形的旋转平移与对称知识点总结形的旋转平移与对称是几何学中的重要概念，它们广泛应用于物理、工程、计算机图形学等领域。
本文将对形的旋转平移与对称的知识点进行总结，并介绍其在实际应用中的意义。
一、形的旋转1. 旋转的基本概念旋转是指物体围绕某一中心点按一定角度旋转的运动。
在二维空间中，一个点的旋转可以由其对应的坐标进行变换得到。
旋转可以按顺时针或逆时针方向进行。
2. 旋转的性质旋转的性质包括保持形状和大小不变、保持线段长度和角度不变等。
具体而言，对于一个图形，经过旋转后，其各个点之间的距离和角度关系保持不变。
3. 旋转的表示方法旋转可以通过矩阵表示进行描述。
对于二维平面上的一个点P(x, y)，绕原点逆时针旋转θ度后的新坐标P'(x', y')可以用以下矩阵表示：```x' = x * cosθ - y * sinθy' = x * sinθ + y * cosθ```二、形的平移1. 平移的基本概念平移是指物体沿着某一方向移动一段距离的运动。
在二维空间中，一个点的平移可以通过其对应的坐标进行变换得到。
平移可以沿任意方向进行。
2. 平移的性质平移的性质包括保持形状和大小不变、保持线段长度和角度不变等。
具体而言，对于一个图形，经过平移后，其各个点之间的距离和角度关系保持不变。
3. 平移的表示方法平移可以通过矩阵表示进行描述。
对于二维平面上的一个点P(x, y)，平移(dx, dy)后的新坐标P'(x', y')可以用以下矩阵表示：```x' = x + dxy' = y + dy```三、形的对称1. 对称的基本概念对称是指物体围绕某一中心轴或中心点发生镜像对称的变换。
在二维空间中，一个点关于某一轴或点的对称可以通过其对应的坐标进行变换得到。
2. 对称的性质对称的性质包括保持形状和大小不变、保持线段长度和角度不变等。
具体而言，对于一个图形，经过对称后，其各个点之间的距离和角度关系保持不变。
平移旋转对称的知识点归纳一、平移平移是指在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动。
1. 平移的性质平移后图形的形状和大小不变，只是位置发生了变化。
例如，一个正方形平移后还是正方形，边长和角度都不会改变。
对应点所连的线段平行且相等。
比如，一个三角形平移后，原来三角形的顶点和它平移后对应顶点所连的线段是平行且相等的。
2. 平移的应用在建筑设计中，经常会用到平移。
比如平移窗户的位置，来调整房间的采光和通风。
在图案设计中，通过平移可以创造出很多美丽的图案。
像一些地砖的图案，就是通过平移一个基本图形得到的。
二、旋转旋转是指在平面内，一个图形绕着一个定点旋转一定的角度得到另一个图形的变化。
1. 旋转的性质旋转前后图形的形状和大小不变。
例如，一个圆形旋转后还是圆形，半径不会改变。
对应点到旋转中心的距离相等。
比如，一个正多边形旋转后，它的各个顶点到旋转中心的距离都相等。
对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。
2. 旋转的应用在机械制造中，一些零件的设计会用到旋转。
比如齿轮的设计，就是通过旋转来实现动力的传递。
在艺术创作中，旋转可以创造出独特的视觉效果。
像一些舞蹈动作，就有旋转的元素。
三、对称对称分为轴对称和中心对称。
1. 轴对称定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
性质：对称轴是对应点连线的垂直平分线。
例如，等腰三角形的对称轴是底边上的高所在的直线，它垂直平分底边。
轴对称图形的对应线段相等，对应角相等。
应用：在服装设计中，经常会用到轴对称。
很多衣服的图案是轴对称的，这样看起来更加美观。
2. 中心对称定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。
性质：中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。
中心对称图形的对应线段相等，对应角相等。
形的旋转平移与对称（知识点总结）形的旋转平移与对称是在几何学中常见的概念，它们在各个领域都有广泛的应用。
本文将对形的旋转平移与对称的基本概念、性质以及应用进行总结。
一、形的旋转形的旋转是指将一个形状对象绕某一固定点进行旋转，使其保持形状不变。
旋转可以是顺时针或逆时针方向，并且旋转角度可以是任意的。
旋转可以通过以下几个方面来描述：1. 旋转中心：旋转的固定点，也是旋转的中心点。
2. 旋转角度：以度数或弧度来表示，表示旋转的大小。
3. 旋转方向：顺时针或逆时针方向。
形的旋转有以下几个重要性质：1. 旋转不改变形状的面积。
2. 旋转不改变形状的周长。
3. 旋转不改变形状的内角和。
形的旋转在日常生活中有很多应用，比如地球自转、电风扇的旋转等。
在数学中，形的旋转也有广泛的应用，比如解析几何、三角函数等。
二、形的平移形的平移是指将一个形状对象沿着某一方向按照一定的距离进行移动，使其保持形状不变。
平移可以通过以下几个方面来描述：1. 平移向量：用向量表示平移的方向和距离。
2. 平移前后的位置：用坐标表示。
形的平移有以下几个重要性质：1. 平移不改变形状的面积。
2. 平移不改变形状的周长。
3. 平移不改变形状的内角和。
形的平移在日常生活中也有很多应用，比如人的步行、车辆的行驶等。
在数学中，形的平移也有广泛的应用，比如向量运算、坐标系变换等。
三、形的对称形的对称是指在某一中心对称线或平面对称的情况下，一个形状对象与其镜像形状完全重合。
对称可以通过以下几个方式来描述：1. 对称中心：对称的中心点或中心线。
2. 对称轴：对称的轴线或轴面。
形的对称有以下几个重要性质：1. 对称不改变形状的面积。
2. 对称不改变形状的周长。
3. 对称不改变形状的内角和。
形的对称在日常生活中也有很多应用，比如人的面部对称、自然界中的对称花朵等。
在数学中，形的对称也有广泛的应用，比如几何图形的构造等。
综上所述，形的旋转、平移与对称是几何学中重要的概念，它们在数学、物理和生活等领域都有着广泛的应用。
新航道教育四年级寒假培优小册第一章平移、旋转、轴对称平移1物体在同一平面上沿直线运动，这种现象叫做平移。
注意：平移只是沿水平方向左右移动(X)平移不仅仅局限于左右运动。
2、平移二要素：(1)平移方向；(2)平移距离。
将一个图形平移时，要先确定方向，再确定平移的距离，缺一不可。
3、平移的特征：物体或图形平移后，他们的形状、大小、方向都不改变，只是位置发生改变。
4、在方格纸上平移图形的方法：(1)找出图形的关键点；(2)以关键点为参照点，按指定方向数出平移的格数，描出平移后的点；(3)把各点按原图顺序连接，就得到平移后的图形。
注意：用箭头标明平移方向(T)旋转1、旋转：物体绕某一点或轴的转动。
2、旋转方向：与时针运动方向相同的是顺时针方向；与时针运动方向相反的是逆时针方向；3、旋转三要素：旋转点(旋转中心) 、旋转方向、旋转角度。
4、图形旋转的特征：图形旋转后，形状、大小都没发生变化，只是位置和方向变了。
5、图形旋转的性质：图形绕某一点旋转一定的角度，图形中的对应点、对应线段都旋转相同的角度，对应点到旋转点的距离相等。
6、旋转的叙述方法：物体是绕哪个点向什么方向旋转了多少度。
7、简单图形旋转90°的画法：(1)找出原图形的关键线段或关键点，借助三角板作关键线段的垂线，或者作关键点与旋转点所在线段的垂线；(2)从旋转点开始，在所作的垂线上量出与原线段相等的长度取点，即所找的点是原图形关键点的对应点；(3 )参照原图形顺次连接所画的对应点。
关键线段：水平的、竖直的、过旋转点的线段。
轴对称图形1将图形沿着一条直线对折，如果直线两侧的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称 图形。
折痕所在的直线叫做对称轴。
注意：对称轴是直线，既不是线段，也不是射线，画时不用实线，用虚线(虚线、尺子、露头)2、 轴对称图形性质：对称点到对称轴的距离相等。
3、 对称点：轴对称图形沿对称轴对折后，互相重合的点叫做对称点。
4、 在方格纸上补全轴对称图形关键：找出所给图形的关键点的对称点，要按照顺序将对称点连接起来。
5、不同的轴对称图形，对称轴的数量也不同，轴对称图形至少有一条对称轴。
图形正方形长方形 等腰 等边 等腰 菱形 圆形 三角形 三角形 梯形 对称轴4条2条1条3条1条2条无数条第一章平移、旋转、轴对称复习题1下面哪些是平移，哪些是旋转?( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )2、把小房图向右平移4格( ) ( )把金鱼图向左平移3格把火箭图向右平移3格把电脑图向左平移4格把下图先向右平移5格再向上平移3格把图2先向左平移5格再向上平移3格\\ \2f/ /3、5、下面哪些图形是轴对称图形，是的在（第二章认识多位数1亿以内数的认识：10个一万是十万，10个十万是一百万，10个一百万是一千万，10个一千万是一亿。
小结：相邻两个计数单位之间的进率是“十”2、亿以内数的读法：（1）、从高位数读起，一级一级往下读。
（2）、万级的数要按照个级的数的读法来读，再在后面加一个万字。
（3）、每级末尾不管有几个零都不读，其他数位有一个“零”或连续几个“零”，都只读一个“零”。
例：24960000读作：二千四百九十六万6407000 读作：六百四十万七千85000300读作：八千五百万零三佰3、亿以内数的写法：（1）、从高级写起，一级一级往下写。
（2）、当哪一位上一个计数单位也没有，就在哪一位上写0。
例：三千八百万零七百写作：38000700四百六十六万八千写作：46680004、比较亿以内数的大小（1 ）、位数多的时候，这个数就比较大。
（2）、当这两个数位数相同的时候，我们就应该从左起的第一位比起，也就是从最高位开始比，哪个数最高位上的数大，这个数就大。
（3）、如果碰到最高位上的数相同的时候，就再比下一位，以此类推， 直到我们比较出相同的数位上的那个数，哪个数大的时候，我们就可以断定这个数比较大。
随堂练习一、读一读，写一写（39分） 1读出、写出下面各数。
”门口「口pi 门「□-「门门口门门门门 .r |「|r |「|r |r |r］口写作 _______________________________ 写作 _______________________________ 写作 _______________________________ 写作 _______________________________ 3、10 个万是（），10 个"一 百万是（）。
4、 一个五位数的最高数位是 （）位。
请写出一个你喜欢的五位 （5、 2个百亿，3个百万和4个百组成的数是（）。
写作 ___________________________ 写作 读作 ___________________________ 读作 2、写出横线上的数。
_________________________ 写作 ___________________ _________________________ 读作 ___________________ 笔球蘇林从年的二十九亿六于万公 顷下降到2000年的二十八亿七千万公 顷.全球補年消失的霹林近千万公坝.中国国集图祐对讪倩曲扒赵I 匕万平方米’居tit 界第二炮■忍书二予一百夫十万 界第伍位** -6、30060005000是一个（ ）位数，6在（ ）位上，表示6个（ 位上，表示（ ）个（）。
7、在O 内填上“〉” 、“V”或“=”。
82006 O 82600900000000 O 9 亿 1234000000 O 10000023408、用6、7、& 9和三个0组成一个最小的七位数，并且这个数中一个 数是（）,省略万后面的尾数是（5、“万”做单位的数：有时候，为了读写方便，我们把整万的数改写成有“万”做单位的数。
比如：5200000可以写成：520万 6、 求近似数：常见求近似数的方法叫“四舍五入法” ，是“舍”还是“入”，要看省略的尾数部分的最高 位是小于5还是等于或大于5。
7、表示物体个数：1 2 3 4 5 6…….自然数一个物体也没有：用 0来表示。
0也是自然数。
最小的自然数是 0,没有最大的自然数，自然数的个数是无限的。
8、 十进制计数法：每相邻的两个计数单位之间的进率都是十，这种计数方法叫做十进制计 数法。
9、 一亿有多大？100张纸的厚度是1厘米，一亿=一百万个 100, 1 厘米X —百万=1000000厘米=1万米 典型例题 例1 •改写。
（4个0换一个“万”字，将整万的数改写成以“万”作单位的数；8个0换一个“亿”字，将整亿的数改写成以“亿”作单位的数。
） 3000000=（）万 80000000=（）万 1200000000=（）亿 50000000000=（）亿例2 •省略。
四舍五入法求近似数，见到 0、1、2、3、4舍；见到5、6、7、& 9入（向前一位进一 后省略尾数。
）省略万位后面的尾数，对千位进行四舍五入。
12678~10000439807〜440000省略百位后面的位数，对十位进行四舍五入。
12678〜12700439807〜439800是舍还是入，看省略部分的最高位是几。
）,3 在（ ）0也不读，这个）。
例3. 346709）万10599874433 ）亿分两步：（1）求近似。
（2）改写。
第二章练习题、按要求把下面各数改写成以“万”或“亿”作单位的数。
6000000=万10200000000= 亿3900000=万1300000000=亿亿7000000= 万8000000000=按要求把下面各数省略万位（或亿位）后面的尾数，求出近似数。
1284639沁万万835067800〜亿1380859〜924203490〜亿506400〜万1956531765〜亿999742〜万99970010001 疋亿10284147〜万三、在□里填上合适的数。
6口4000 〜60 万30 □ 0000=300 万9口000=10 万49□ 200~ 50 万40 □ 700 〜40 万27口700~ 27万7口4000 〜72 万□ 98000〜50 万7口9000~ 80万四、拓展。
用1、3、7、9 和二个“ 0 ”按要求组成数1、省略万后面的尾数约等于14万的数2、省略万后面的尾数约等于13万的数一3、省略万后面的尾数约等于40万的数_4、省略万后面的尾数约等于90万的数5、省略万后面的尾数约等于18万的数_6、省略万后面的尾数约等于74万的数_五、□里最大能填几？（11分）74 □ 995~ 74 万74口9950000~75 亿565050>5 □ 5049 365874 □ 021 ~ 365875 万9口999998V 99899999六.填空。
709 □ 800 〜709万□里最大能填（)709 □ 800 〜710万□里最小能填（）4口□ 9000000□里最小能填（)49 □ 0000000 ~ 5亿□里最大能填（）□ 4988^8 万□里可以填（）□ 5001^8 万□ 里可以填（）七•用四舍五入”法省略万”位或亿”位后面的数。
(1)57348000 )万⑵409269800 )亿(3)600300000 ~( )亿(4)810000000)亿⑸ 1472005000)万）亿(6) 7097344~()万(7) 60004795~() 万(8) 240000950) 万八•按要求把4个“ 6”和3个“ 0”组成七位数。
（1）一个零也不读出来：写作（），读作（）。
（2）只读出一个0 :写作（），读作（）。
（3）读出两个0:写作（），读作（）。
（4）三个0都读，写作（），读作（）。
九将下列数由小到大排列。
1、54 万539000 540005402002、 200000200 202000000 2000001000 20100000003、7053300 米、705 千米、70533 千米、7050000 米第三章三位数乘两位数1、三位数乘两位数笔算：先用两位数的个位与三位数相乘，积的末尾与个位对齐；再用两位数的十位与三位数相乘，积的末尾与十位对齐；最后把两次的积相加。
例如：详细过程：649 X 73 = 47377 （1）数位对齐：把三位数写在第一行，两位数写在第二行,个位对个位,（2）3X 6496 4 93X 4= 12进1X7 33X 6= 18在9前面与1 94 7(3) 7X 649 4 5 4 37X 4 = 28进34 7 37 77X 6 = 52十位对十位（即3与9, 7与4对齐）3 X 9= 27 在9, 3的正下方写7进2,12 + 2 （进位2）= 14在4, 7的正下方写418 + 1 （进位1 ）= 19在6的正下方写9,17 X 9=63 在4,7,4的正下方写3进6,28 + 6 （进位6）= 34在6, 9的正下方写442 + 2 （进位2）= 44在1的正下方写4,在4前面写4(4) 再把两次的积相加： 7吊下来，4 + 3= 7,在4, 3正下方写7; 9+ 4 = 13,在9, 4正 下方写3进1 ; 1 + 5+ 1 (进位1)= 7,在1, 5正下方写7; 4吊下来。
