变化率问题

1．1第一课时 变化率问题一、课前准备 1．课时目标(1) 认识平均变化率，掌握平均变化率的基本概念和基本公式； （2）掌握求函数平均变化率的步骤； （3）理解函数平均变化率的几何意义． 2．基础预探(1)对于函数()x f y =，当自变量x 从1x 变为2x 时，函数值从()1x f 变为()2x f ，则它的平均变化率为 ．(2) 习惯上常常把自变量的变化12x x -称作自变量的增量，记作x ∆，函数值的变化()2x f ()1x f -称做函数值的增量，记为y ∆，所以当x ∆0≠时，函数的平均变化率表示为 ．(3) 函数2x y =在0x x =附近的平均变化率为 ．二、学习引领1． 平均变化率的含义一般地，对于函数在区间[]21,x x 上的变化率()()1212x x x f x f --称为平均变化率，注意到平均变化率是反映曲线陡峭程度的“数量化”． 2．函数平均变化率的理解 ①在式子=∆∆xy()()1212x x x f x f --=()()x x f x x f ∆-∆+11，x ∆、y ∆的值可正、可负，但x ∆的值不能为0， y ∆的值可为0．若函数()x f 为常数函数时，y ∆0=．当1x 取定值，x ∆取不同的数值时，函数的平均变化率不同；当x ∆取定值，1x 取不同的数值时，函数的平均变化率也不一样．②x ∆趋于0，是指自变量的改变量越来越小，但始终不能为0，x ∆、y ∆在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数． 3． 求函数平均变化率的步骤 ①求自变量的增量：12x x x -=∆； ②求函数值的增量：()()12x f x f y -=∆； ③求函数的平均变化率：=∆∆xy()()1212x x x f x f --． 三、典例导析题型一：函数平均变化率例1：已知函数()13+=x x f ，计算它在区间[]9.0,1--上的平均变化率． 思路导析：应用()x f 在区间[]21,x x 上的平均变化率公式． 解：函数()13+=x x f 在区间[]9.0,1--上的平均变化率为()()3)1(9.019.0=------f f ． 规律总结：本题是用斜率来量化直线的倾斜程度，所以已知函数()x f y =，若0x 、1x 是定义域内不同的两点，记01x x x -=∆，01y y y -=∆=()()()()0001x f x x f x f x f -∆+=-，而当0≠∆x 时，商()()xyx x f x x f ∆∆=∆-∆+00，从而称作函数()x f y =在区间[]x x x ∆+00,上的平均变化率． 变式训练1：已知函数()2x x f =，分别计算函数()x f 在区间[]1.1,1，[]01.1,1，[]001.1,1上的平均变化率，通过计算，你能发现平均变化率有什么特点吗？题型二：割线的斜率问题例2：过曲线3()y f x x ==上两点(1,1)P 和(1,1)Q x y +∆+∆作曲线的割线，求当0.1x ∆=时割线的斜率．思路导析：割线PQ 的斜率即为函数()f x 从1到1x +∆的平均变化率y x∆∆． 解：∵323(1)(1)(1)133()()y f x f x x x x ∆=+∆-=+∆-=∆+∆+∆，∴割线PQ 的斜率为322()3()3()33y x x x x x x x∆∆+∆+∆==∆+∆+∆∆． ∴当0.1x ∆=时，割线PQ 的斜率为k ，则 2(0.1)30.13 3.31yk x∆==+⨯+=∆． 规律总结：一般地，设曲线C 是函数()y f x =的图象，00(,)P x y 是曲线上的定点，点00(,)Q x x y y +∆+∆是C 上与点P 邻近的点，有00()y f x =，00()y y f x x +∆=+∆，00()()y f x x f x ∆=+∆-，割线PQ 的斜率为00()()f x x f x y k x x+∆-∆==∆∆． 变式训练2：国家环保局在规定排污达标日期前，对甲、乙两家企业进行检查，连续的检测结果如图所示意（其中()t W 1、()t W 2分别表示甲、乙两企业的排污量），试比较两个企业的治污效果．题型三：平均速度问题例3：已知某物体作直线运动．其运动规律方程为：t t S 432+=（单位：路程：m 时间：s ）求：（1）物体前3s 内的平均速率；（2）物体在2s ～3s 内的平均速率． 思路导析：结合定义求平均速率也就是平均变化率．解；（1）13303903)0()3(=-=--=S S v （s m /）（2）191203923)2()3(=-=--=S S v （s m /）． 规律总结：此题当中的平均速率其实就是)(t S （路程）的平均变化率． 变式训练3：自由落体的运动方程为212s gt =，计算t 从3s 到3.1s ，3.01s ，3.001s 各段内的平均速度（位置s 的单位为m ）． 题型四：理解平均变化率的实质例4：求函数3x y =在0x 到x x ∆+0之间的平均变化率，并计算当10=x ，21=∆x 时平均变化率的值． 思路导析：直接利用概念求平均变化率，先求出表达式，再代入数据就可以求得相应的平均变化率．解：当自变量0x 变化到x x ∆+0时，函数的平均变化率为()()()xx x x x x f x x f ∆-∆+=∆-∆+33000()202033x x x x ∆+∆+=，当10=x ，21=∆x 时，平均变化率的值为4192121131322=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⨯+⨯．规律总结：解答本题的关键是熟练掌握平均变化率的定义，只要求出平均变化率的表达式，它的值就可以很容易算出．变式训练4：若()15+-=x x f ，分别计算函数区间[]1,3--，[]1,1-上的平均变化率． 四、随堂练习1．在区间[]n m ,上，下列函数的平均变化率为定值的是（ ）A ．2x y =B ．3x y =C ．xy 1=D ．x y 2=2． 在曲线22-=x y 的图象上取一点()1,1--及邻近一点()y x ∆+-∆+-1,1，则平均变化率xy∆∆为( ) A ．21-∆+∆x x B ．21-∆-∆xx C ．2-∆x D ．x ∆2 3．在曲线2x y -=上取一点A ，它的横坐标为6-=x ，则曲线在点A 处的横坐标的增量x ∆( ) A ．大于零 B ．等于零 C ．小于零 D ．可以大于零也可以小于零4．函数2x y =，当30=x ，1.0=∆x 时，xy∆∆=________________． 5．已知函数xy 2=，当x 由2变到5.1时，函数的增量=∆y _______________． 6．甲企业用2年时间获利100万元，乙企业投产6个月时间就获利30万元，如何比较和评价甲、乙两企业的生产效益？（设两企业投产前的投资成本都是10万元）五、课后作业1．已知函数23x x y -=在20=x 处的增量为x ∆1.0=，则y ∆的值为（ ）A ．11.0-B ．1.1C ．89.3D ．29.02．在平均变化率的定义中，自变量x 在0x 处的增量x ∆( ) A ．大于零 B ．小于零 C ．等于零 D ．不等于零3．函数()522+=x x f 在[]x ∆+2,2上的平均变化率 ．4．已知一质点的运动方程为238t S -=，求该质点在[]t ∆+1,1这段时间内的平均速度为 ．5．已知函数1log 2+=x y ，（1）求函数在[]1.2,2上的平均变化率；（2）若自变量从0x 增加到x x ∆+0，则该函数的平均变化率又是多少．6．已知气球的体积为V （单位：L ）与半径r （单位：dm ）之间的函数关系是()343r r V π=，（1）求半径r 关于体积V 的函数()V r ；（2）比较体积V 从L 0增加到L 1和从L 1增加到L 2，半径r 的平均变化率，哪段半径变化比较快（精确到01.0），此结论可说明什么意义？1．1第一课时 变化率问题一、2．基础预探(1)答案：1212)()(x x x f x f --(2)答案：xy∆∆．(3)答案：x x ∆+02解：2020)(x x x y -∆+=∆，所以x x x x x y ∆-∆+=∆∆220)(x x xx x x x x ∆+=∆-∆+∆+=020202022 ．三、典例导析变式练习1． 解：函数()2x x f =在[]1.1,1上的平均变化率为()1.011.111.1)1(1.12-=--f f =1.2；函数()2x x f =在[]01.1,1上的平均变化率为()01.0101.1101.1)1(01.12-=--f f =01.2；函数()2x x f =在[]001.1,1上的平均变化率为()001.01001.11001.1)1(001.12-=--f f =001.2．通过计算发现函数()2x x f =的平均变化率随着()00x x x x -∆+=∆变小而变小，若x ∆变得很小时，则平均变化率与2无限接近．2． 解：分别在()t W 1、()t W 2上取区间[]x x x ∆+00,，则()()xyx x f x x f ∆∆=∆-∆+00，由图象可以知道，单位时间内()t W 1中xy∆∆大（即平均变化率大）． 观察图形，单位时间内，()t W 1中x y ∆∆大，而()t W 2中xy∆∆比较小，所企业甲比企业乙的平均治污率大，从而判定企业甲治污效果更好． 3．解：要求平均速度，就是求st∆∆的值，故求出s ∆，t ∆即可． 设在[]3,3.1内的平均速度为1v ，则1 3.130.1()t s ∆=-=，22111(3.1)(3) 3.130.305()22s s s g g g m ∆=-=⨯-⨯=． ∴1110.305 3.05(/)0.1s g v g m s t ∆===∆； 同理2220.03005 3.005(/)0.01s g v g m s t ∆===∆； 3330.0030005 3.0005(/)0.001s gv g m s t ∆===∆． 4．解：函数()15+-=x x f 在区间[]1,3--上的平均变化率为()()()()3131------f f=()()[]()()[]52135115-=+-⨯--+-⨯-．函数()15+-=x x f []1,1-上的平均变化率为()()()1111----f f =()[]()()[]52115115-=+-⨯--+⨯-． 四、随堂练习1．答案：D ． 解析：x y ∆∆=222=--mn m n 为定值． 2．答案：选C ．()[]22)1(2122-∆=∆----∆+-=∆∆x xx x y ． 3．答案：选D ．()x x ∆=--∆+-66 可能大于零也可能小于零．4．答案：1.6．=∆∆xy 1.61.031.322=-． 5．答案：31-．315.1222-=-=∆y ． 6． 解：甲企业生产效益的平均变化率为124512210100=⨯-，乙企业生产效益的平均变化率为124061030=-． 因为12401245>，则可以确定甲的生产效益好． 五、课后作业1．答案：A ．解：()()11.0223)1.02(1.02322-=-⨯-+-+=∆y ． 2．答案D ．解：可以大于零也可以小于零．3．答案：x ∆+28． 解：()()x x y ∆+=+⨯-∆+⨯=∆2852252222．4．答案：t ∆--36解：质点在[]t ∆+1,1这段时间内的平均速度t S ∆∆=()()t tf t f ∆--=∆-∆+3611．5．解：（1）()()7.01.0207.21212=-=--=∆∆x x x f x f x y ； （2）()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+=∆+=-∆+=-∆+=∆020020202001log log log log x x x xx x x x x f x x f y ， 则xx x x y∆⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+=∆∆1021log ． 6．解：（1）∵343r V π=，则π433V r =即343πV r =，则343)(πV V r =．（2）当气球体积V 从L 0增加到L 1，气球半径增加了()()=-=∆01r r r 343π)(62.00dm =-． ∴函数()V r 在区间[]1,0上的平均变化率为()())(62.00101dm r r =--． 当气球体积从L 1增加到L 2，气球半径增加了()()12r r r -=∆)(16.0dm =． ∴函数()V r 在区间[]1,0上的平均变化率为()())(16.01212dm r r =--． 说明随着气球的体积的增加，气球的半径增加得越来越慢．。