浙江省温州市苍南县灵溪学区2020-2021学年九年级上学期期中数学试题

2020-2021学年度九年级（上）数学期中试卷（附答案）一、选择题（每题4分，共40分）1．（4分）下列二次函数的图象，不能通过函数y＝3x2的图象平移得到的是（）A．y＝3x2+2B．y＝3（x﹣1）2C．y＝3（x﹣1）2+2D．y＝2x22．（4分）下列四组线段中，不是成比例线段的是（）A．a＝3 b＝6 c＝2 d＝4B．a＝1 b=√2c=√6d＝2√3C．a＝4 b＝6 c＝5 d＝10D．a＝2 b=√5c=√15d＝2√33．（4分）若抛物线y＝x2﹣2x+c与y轴的交点为（0，﹣3），则下列说法不正确的是（）A．抛物线的开口向上B．抛物线的对称轴是x＝1C．当x＝1时，y的最大值为﹣4D．当x≥2时，y随x增大而增大4．（4分）如图，反比例函数y=kx的图象经过点A（2，1），若y≤1，则x的范围为（）A．x≥1B．x≥2C．x＜0或0＜x≤1D．x＜0或x≥2 5．（4分）如图，△ABC中，P为AB上的一点，在下列四个条件中：①∠ACP＝∠B；②∠APC＝∠ACB；③AC2＝AP•AB；④AB•CP＝AP•CB，能满足△APC和△ACB相似的条件是（）A ．①②④B ．①③④C ．②③④D ．①②③ 6．（4分）如图，反比例函数y =2x 的图象经过矩形OABC 的边AB 的中点D ，则矩形OABC的面积为（ ）A ．2B ．4C ．5D ．87．（4分）在平面直角坐标系中，已知点A （﹣4，2），B （﹣6，﹣4），以原点O 为位似中心，相似比为12，把△ABO 缩小，则点A 的对应点A ′的坐标是（ ） A ．（﹣2，1）B ．（﹣8，4）C ．（﹣8，4）或（8，﹣4）D ．（﹣2，1）或（2，﹣1） 8．（4分）已知抛物线y =12（x ﹣1）2+k 上有三点A （﹣2，y 1），B （﹣1，y 2），C （2，y 3），则y 1，y 2，y 3的大小关系为（ ）A ．y 1＞y 2＞y 3B ．y 3＞y 2＞y 1C ．y 2＞y 3＞y 1D ．y 2＞y 1＞y 3 9．（4分）a ≠0，函数y =a x 与y ＝﹣ax 2+a 在同一直角坐标系中的大致图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．10．（4分）如图所示，已知点E，F分别是△ABC中AC、AB边的中点，BE，CF相交于点G，S△EFG＝1，则四边形BCEF的面积是（）A．7B．8C．9D．10二、填空题（每题5分，共20分）11．（5分）反比例函数y=m−1x的图象在第一、三象限，则m的取值范围是．12．（5分）赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数关系式为y=−125x2，当水面离桥拱顶的高度DO是4米时，这时水面宽度AB为米．13．（5分）如图，平面内有16个格点，每个格点小正方形的边长为1，则图中阴影部分的面积为．14．（5分）如图，点A的坐标为（1，1），点C是线段OA上的一个动点（不运动至O，A 两点），过点C作CD⊥x轴，垂足为D，以CD为边在右侧作正方形CDEF．连接AF并延长交x轴的正半轴于点B，连接OF，若以B，E，F为顶点的三角形与△OFE相似，B 点的坐标是．15．（8分）已知函数y＝3x2﹣2x﹣1，求出此抛物线与坐标轴的交点坐标．16．（8分）装卸工人往一辆大型运货车上装载货物，装完货物所需时间y（min）与装载速度x（t/min）之间的函数关系如图：（1）求y与x之间的函数关系式；（2）货车到达目的地后开始卸货，如果以1.5t/min的速度卸货，需要多长时间才能卸完货物？四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．（8分）如图所示，小明从路灯下向前走了5米，发现自己在地面上的影子长DE是2米，如果小明的身高是1.6米，那么路灯离地面的高度AB是多少米？18．（8分）如图，已知反比例函数y=6x的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于点A（1，m），B（n，2）两点．（1）求一次函数的解析式；（2）直接写出不等式6x≥kx+b的解集．19．（10分）如图，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC＝∠AGF＝90°．AF、AG与边BC的交点分别为D、E（点D不与点B重合，点E不与点C重合）．（1）图中共有对相似而不全等的三角形；（2）选取其中一对进行证明．20．（10分）如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0）（1）求抛物线的解析式和顶点E坐标；（2）该抛物线有一点D，使得S△DBC＝S△EBC，求点D的坐标．六、（本题满分12分）21．（12分）如图是3×5的网格，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点的图形叫做格点图．（1）图1中的格点△ABC与△DEF相似吗？请说明理由；（2）请在图2中选择适当的位似中心作△A1B1C1与△ABC位似，且相似比不为1；（3）请在图3中画一个格点△A2B2C2与△ABC相似（注意：△A2B2C2与△ABC、△DEF、△A1B1C1都不全等）．七、（本题满分12分）22．（12分）俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于30%．试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售．设每天销售量为y本，销售单价为x元．（1）请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；（2）将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大？最大利润是多少元？八、（本题满分14分）23．（14分）已知正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．（1）如图1，E，G分别是OB，OC上的点，CE与DG的延长线相交于点F．若DF⊥CE，求证：OE＝OG；（2）如图2，H是BC上的点，过点H作EH⊥BC，交线段OB于点E，连结DH交CE 于点F，交OC于点G．若OE＝OG，①求证：∠ODG＝∠OCE；②当AB＝1时，求HC的长．。

2020-2021学年度九年级（上）数学期中试卷（附答案）一、选择题（本题12个小题，每小题3分，共36分，每小题只有一个正确选项）1．（3分）方程3x2﹣4x﹣1＝0的二次项系数和一次项系数分别为（）A．3和4B．3和﹣4C．3和﹣1D．3和12．（3分）二次函数y＝x2﹣2x+2的顶点坐标是（）A．（1，1）B．（2，2）C．（1，2）D．（1，3）3．（3分）用配方法解方程x2+6x+4＝0，下列变形正确的是（）A．（x+3）2＝﹣4B．（x﹣3）2＝4C．（x+3）2＝5D．（x+3）2＝±√5 4．（3分）平面直角坐标系内一点P（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是（）A．（3，﹣2）B．（2，3）C．（﹣2，﹣3）D．（2，﹣3）5．（3分）如图，⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OC ＝3：5，则AB的长为（）A．√91cm B．8cm C．6cm D．4cm6．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，则∠ACB的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．90°7．（3分）如图，∠A是⊙O的圆周角，∠A＝50°，则∠BOC的度数为（）A ．40°B ．50°C ．90°D ．100°8．（3分）如图，△OAB 绕点O 逆时针旋转80°到△OCD 的位置，已知∠AOB ＝45°，则∠AOD 等于（ ）A ．55°B ．45°C ．40°D ．35°9．（3分）4张扑克牌如图（1）所示放在桌子上，小敏把其中两张旋转180°后得到如图（2）所示，那么她所旋转的牌从左起是（ ）A ．第一张、第二张B ．第二张、第三张C ．第三张、第四张D ．第四张、第一张10．（3分）在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，设有x 人参加这次聚会，则列出方程正确的是（ ）A ．x （x ﹣1）＝10B ．x(x−1)2=10C ．x （x +1）＝10D ．x(x+1)2=1011．（3分）抛物线y ＝（x +2）2﹣3可以由抛物线y ＝x 2平移得到，则下列平移过程正确的是（ ）A ．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位B ．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位C ．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位D ．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位12．（3分）函数y ＝ax 2与y ＝ax +b （a ＞0，b ＞0）在同一坐标系中的大致图象是（ ）A．B．C．D．二、填空题（本题5个小题，每小题3分，共15分）13．（3分）若x2＝16，则x＝．14．（3分）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1＝0的一个根0，则a值为．15．（3分）若一个三角形的三边长均满足方程x2﹣6x+8＝0，则此三角形的周长为．16．（3分）等腰三角形、等边三角形、矩形、正方形和圆这五个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是．17．（3分）如图，半圆的直径AB＝．三、解答题（本题4个小题，每小题6分，共24分）18．（6分）用因式分解法解方程：4x2﹣81＝0．19．（6分）解方程：2x2﹣5x﹣3＝0．20．（6分）如图，已知△ABC和点O．画出△ABC关于点O对称的△A′B′C′．21．（6分）当k为何值时，方程x2﹣6x+k﹣1＝0，（1）两根相等；（2）有一根为0．四、解答题22．（7分）某药品原价每盒25元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次的降价，现在售价每盒16元，则该药品平均每次降价的百分率是多少？23．（7分）如图，在10×10正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位．将△ABC向下平移4个单位，得到△A′B′C′，再把△A′B′C′绕点C'顺时针旋转90°，得到△A″B″C′，请你画出△A′B′C′和△A″B″C′，求出A′A″̂的长？24．（8分）已知：如图，∠P AC＝30°，在射线AC上顺次截取AD＝3cm，DB＝10cm，以DB为直径作⊙O交射线AP于E、F两点，求圆心O到AP的距离及EF的长．25．（10分）如图所示，已知二次函数经过点B（3，0），C（0，3），D（4，﹣5）（1）求抛物线的解析式；（2）求△ABC的面积；（3）若P是抛物线上一点，且S△ABP=12S△ABC，这样的点P有几个请直接写出它们的坐标．26．（13分）某经销商销售一种产品，这种产品的成本价为10元/千克，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于18元/千克，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）之间的函数关系如图所示：（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/千克）之间的函数关系式．当销售价为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（3）该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少？。

温州市初三年级数学上学期期中测试卷(含解析解析)温州市2021初三年级数学上学期期中测试卷(含答案解析)一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分）1．若x：y=6：5，则下列等式中不正确的是( )A．B．C．D．2．二次函数y=x2﹣2x﹣2与坐标轴的交点个数是( )A．0个B．1个C．2个D．3个3．如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE：CE=2：3，连结AE，BD交于点F，则S△DEF：S△ADF：S△ABF等于( ) A．2：3：5 B．4：9：25 C．4：10：25 D．2：5：254．从标有1，2，3，4的四张卡片中任取两张，卡片上的数字之和为奇数的概率是( )A．B．C．D．5．如图，一根5m长的绳子，一端拴在互相垂直的围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊A（羊只能在草地上活动），那么小羊A在草地上的最大活动区域面积是( )A．πm2 B．πm2 C．πm2 D．πm26．二次函数y=ax2﹣2x﹣3（a＜0）的图象一定不通过( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限．7．在下列命题中，正确的是( )A．三点确定一个圆B．圆的内接等边三角形只有一个C．一个三角形有且只有一个外接圆D．一个四边形一定有外接圆8．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，下列结论：（1）c＜0；（2）b＞0；（3）4a+2b+c＞0；（4）（a+c）2＜b2．其中不正确的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个9．某块面积为4000m2的多边形草坪，在嘉兴市政建设规划设计图纸上的面积为250cm2，这块草坪某条边的长度是40m，则它在设计图纸上的长度是( )A．4cm B．5cm C．10cm D．40cm10．抛物线y=﹣（x﹣2）2+1通过平移后与抛物线y=﹣（x+1）2﹣2重合，那么平移的方法能够是( )A．向左平移3个单位再向下平移3个单位B．向左平移3个单位再向上平移3个单位C．向右平移3个单位再向下平移3个单位D．向右平移3个单位再向上平移3个单位11．如图，将∠AOB放置在5×5的正方形网格中，则tan∠AOB的值是( )A．B．C．D．12．如图，等腰Rt△ABC（∠ACB=90°）的直角边与正方形DEFG 的边长均为2，且AC与DE在同一直线上，开始时点C与点D重合，让△ABC沿这条直线向右平移，直到点A与点E重合为止．设CD的长为x，△ABC与正方形DEFG重合部分（图中阴影部分）的面积为y，则y与x 之间的函数关系的图象大致是( )A．B．C．D．二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）13．已知弦AB把圆周分成1：5的两部分，则弦AB所对的圆心角的度数为__________．14．如图，将弧AC沿弦AC折叠交直径AB于圆心O，则弧AC=___ _______度．15．如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”．已知点A、B、C、D分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3，AB为半圆的直径，则那个“果圆”被y轴截得的弦C D的长为__________．16．如图，在直角三角形ABC中（∠C=90°），放置边长分别3，4，x的三个正方形，则x的值为__________．17．如图，A、D、E是⊙O上的三个点，且∠AOD=120°，B、C是弦AD上两点，BC= ，△BCE是等边三角形．若设AB=x，CD=y，则y与x的函数关系式是__________．18．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC，点D是AB的中点，连结CD，过点B作BG⊥CD，分别交CD、CA于点E，F，与过点A 且垂直于AB的直线相交于点G，连结DF．给出以下四个结论：①；②F G= FB；③AF= ；④S△ABC=5S△BDF，其中正确结论的序号是________ __．三、解答题（共8小题，满分78分）19．运算：（+1）（）﹣（﹣2021）0+2 sin45°．20．如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE=60°．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）若BD=3，CE=2，求△ABC的边长．21．如图，AB和CD是同一地面上的两座相距39米的楼房，在楼AB 的楼顶A点测得楼CD的楼顶C的仰角为45°，楼底D的俯角为30°．求楼CD的高（结果保留根号）．22．如图所示的转盘，分成三个相同的扇形，指针位置固定，转动转盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置，并相应得到一个数（指针指向两个扇形的交线时，视为无效，重新转动一次转盘），此过程称为一次操作．请用树状图或列表法，求事件“两次操作，第一次操作得到的数与第二次操作得到的数的绝对值相等”发生的概率．23．在学习圆与正多边形时，马露、高静两位同学设计了一个画圆内接正三角形的方法：（1）如图，作直径AD；（2）作半径OD的垂直平分线，交⊙O于B，C两点；（3）联结AB、AC、BC，那么△ABC为所求的三角形．请你判定两位同学的作法是否正确，假如正确，请你按照两位同学设计的画法，画出△ABC，然后给出△ABC是等边三角形的证明过程；假如不正确，请说明理由．24．如图1，在四边形ABCD的AB边上任取一点E（点E不与点A、点B重合，分别连接ED，EC，能够把四边形ABCD分成3个三角形．假如其中有2个三角形相似，我们就把点E叫做四边形ABCD的AB边上的相似点；假如这3个三角形都相似，我们就把点E叫做四边形ABCD的A B边上的强相似点．（1）若图1中，∠A=∠B=∠DEC=50°，证明点E是四边形ABCD的AB边上的相似点．（2）①如图2，画出矩形ABCD的AB边上的一个强相似点．（要求：画图工具不限，不写画法，保留画图痕迹或有必要的说明）②关于任意的一个矩形，是否一定存在强相似点？假如一定存在，请说明理由；假如不一定存在，请举出反例．（3）如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，∠B=90°，点E是四边形ABCD的AB边上的一个强相似点，判定AE与BE的数量关系并说明理由．25．某蔬菜经销商到蔬菜种植基地采购一种蔬菜，经销商一次性采购蔬菜的采购单价y（元/千克）与采购量x（千克）之间的函数关系图象如图中折线AB﹣﹣BC﹣﹣CD所示（不包括端点A）．（1）当100＜x＜200时，直截了当写y与x之间的函数关系式：____ ______．（2）蔬菜的种植成本为2元/千克，某经销商一次性采购蔬菜的采购量不超过200千克，当采购量是多少时，蔬菜种植基地获利最大，最大利润是多少元？（3）在（2）的条件下，求经销商一次性采购的蔬菜是多少千克时，蔬菜种植基地能获得418元的利润？26．在平面直角坐标系xOy中，一块含60°角的三角板作如图摆放，斜边AB在x轴上，直角顶点C在y轴正半轴上，已知点A（﹣1，0）．（1）请直截了当写出点B、C的坐标：B__________、C__________；并求通过A、B、C三点的抛物线解析式；（2）现有与上述三角板完全一样的三角板DEF（其中∠EDF=90°，∠DEF=60°），把顶点E放在线段AB上（点E是不与A、B两点重合的动点），并使ED所在直线通过点C．现在，EF所在直线与（1）中的抛物线交于点M．①设AE=x，当x为何值时，△OCE∽△OBC；②在①的条件下探究：抛物线的对称轴上是否存在点P使△PEM是等腰三角形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．温州市2021初三年级数学上学期期中测试卷(含答案解析)参考答案一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分）1．若x：y=6：5，则下列等式中不正确的是( )A．B．C．D．考点：比例的性质．分析：依照比例设x=6k，y=5k，然后分别代入对各选项进行运算即可判定．解答：解：∵x：y=6：5，∴设x=6k，y=5k，A、= = ，故本选项错误；B、= = ，故本选项错误；C、= =6，故本选项错误；D、= =﹣5，故本选项正确．故选D．点评：本题考查了比例的性质，利用“设k”法表示出x、y能够使运算更加简便．2．二次函数y =x2﹣2x﹣2与坐标轴的交点个数是( )A．0个B．1个C．2个D．3个考点：抛物线与x轴的交点．分析：先运算根的判别式的值，然后依照b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数进行判定．解答：解：∵△=（﹣2）2﹣4×1×（﹣2）=12＞0，∴二次函数y=x2﹣2x﹣2与x轴有2个交点，与y轴有一个交点．∴二次函数y=x2﹣2x﹣2与坐标轴的交点个数是3个．故选D．点评：本题考查了抛物线与x轴的交点：求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax2+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系：△=b2﹣4 ac决定抛物线与x轴的交点个数；△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．3．如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE：CE=2：3，连结AE，BD交于点F，则S△DEF：S△ADF：S△ABF等于( ) A．2：3：5 B．4：9：25 C．4：10：25 D．2：5：25考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．分析：依照平行四边形性质得出DC=AB，DC∥AB，求出DE：AB=2：5，推出△DEF∽△BAF，求出=（）2= ，= = ，依照等高的三角形的面积之比等于对应边之比求出= = = ，即可得出答案．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC=AB，DC∥AB，∵DE：CE=2：3，∴DE：AB=2：5，∵DC∥AB，∴△DEF∽△BAF，∴=（）2= ，= = ，∴= = = （等高的三角形的面积之比等于对应边之比），∴S△DEF：S△ADF：S△ABF等于4：10：25，故选C．点评：本题考查了平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质的应用，注意：相似三角形的面积之比等于相似比的平方．4．从标有1，2，3，4的四张卡片中任取两张，卡片上的数字之和为奇数的概率是( )A．B．C．D．考点：列表法与树状图法．分析：列举出所有情形，看卡片上的数字之和为奇数的情形数占总情形数的多少即可．解答：解：1 2 3 41 3 4 52 3 5 63 4 5 74 5 6 7由列表可知：共有3×4=12种可能，卡片上的数字之和为奇数的有8种．因此卡片上的数字之和为奇数的概率是．故选C．点评：本题考查求随机事件概率的方法．注意：任意取两张，相当于取出不放回．用到的知识点为：概率=所求情形数与总情形数之比．5．如图，一根5m长的绳子，一端拴在互相垂直的围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊A（羊只能在草地上活动），那么小羊A在草地上的最大活动区域面积是( )A．πm2 B．πm2 C．πm2 D．πm2考点：扇形面积的运算．专题：压轴题．分析：小羊A在草地上的最大活动区域是一个扇形+一个小扇形的面积．解答：解：大扇形的圆心角是90度，半径是5，因此面积= = m2；小扇形的圆心角是180°﹣120°=60°，半径是1m，则面积= = （m2），则小羊A在草地上的最大活动区域面积= + = （m2）．故选D．点评：本题的关键是从图中找到小羊的活动区域是由哪几个图形组成的，然后分别运算即可．6．二次函数y=ax2﹣2x﹣3（a＜0）的图象一定不通过( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限．考点：二次函数的性质．分析：先依照题意判定出二次函数的对称轴方程，再令x=0求出y的值，进而可得出结论．解答：解：∵二次函数y=ax2﹣2x﹣3（a＜0）的对称轴为直线x=﹣=﹣= ＜0，∴其顶点坐标在第二或三象限，∵当x=0时，y=﹣3，∴抛物线一定通过第四象限，∴此函数的图象一定不通过第一象限．故选A．点评：本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的对称轴方程是解答此题的关键．7．在下列命题中，正确的是( )A．三点确定一个圆B．圆的内接等边三角形只有一个C．一个三角形有且只有一个外接圆D．一个四边形一定有外接圆考点：命题与定理．分析：利用确定圆的条件、圆内接三角形的定义、外接圆的定义分别判定后即可确定正确的选项．解答：解：A、不在同一直线上的三点确定一个圆，故错误；B、圆内接等边三角形有许多个，故错误；C、一个三角形有且只有一个外接圆，正确；D、并不是所有的四边形一定有外接圆，故错误，故选C．点评：本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解确定圆的条件、圆内接三角形的定义、外接圆的定义等知识，难度不大．8．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，下列结论：（1）c＜0；（2）b＞0；（3）4a+2b+c＞0；（4）（a+c）2＜b2．其中不正确的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个考点：二次函数图象与系数的关系．分析：由抛物线的开口方向判定a的符号，由抛物线与y轴的交点得出c的值，然后依照图象通过的点的情形进行推理，进而对所得结论进行判定．解答：解：抛物线的开口向上，则a＞0；对称轴为x=﹣=1，即b=﹣2a，故b＜0，故（2）错误；抛物线交y轴于负半轴，则c＜0，故（1）正确；把x=2代入y=ax2+bx+c得：y=4a+2b+c＜0，故（3）错误；把x=1代入y=ax2+bx+c得：y=a+b+c＜0，把x=﹣1代入y=ax2+bx+c 得：y=a﹣b+c＜0，则（a+b+c）（a﹣b+c）＞0，故（4）错误；不正确的是（2）（3）（4）；故选C．点评：本题考查二次函数图象与二次函数系数之间的关系，二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．会利用专门值代入法求得专门的式子，如：y=a+b+c，y=4a+2b+c，然后依照图象判定其值．9．某块面积为4000m2的多边形草坪，在嘉兴市政建设规划设计图纸上的面积为250cm2，这块草坪某条边的长度是40m，则它在设计图纸上的长度是( )A．4cm B．5cm C．10cm D．40cm考点：相似多边形的性质．分析：第一设这块草坪在设计图纸上的长度是xcm，依照题意可得这两个图形相似，依照相似图形的面积比等于相似比的平方，可列方程=（）2，解此方程即可求得答案，注意统一单位．解答：解：设这块草坪在设计图纸上的长度是xcm，4000m2=400000 00m2，40m=4000cm，依照题意得：=（）2，解得：x=10，即这块草坪在设计图纸上的长度是10cm．故选C．点评：此题考查了相似图形的性质．此题难度不大，注意相似图形的面积比等于相似比的平方的应用与方程思想的应用．10．抛物线y=﹣（x﹣2）2+1通过平移后与抛物线y=﹣（x+1）2﹣2重合，那么平移的方法能够是( )A．向左平移3个单位再向下平移3个单位B．向左平移3个单位再向上平移3个单位C．向右平移3个单位再向下平移3个单位D．向右平移3个单位再向上平移3个单位考点：二次函数图象与几何变换．分析：依照平移前后的抛物线的顶点坐标确定平移方法即可得解．解答：解：∵抛物线y=﹣（x﹣2）2+1的顶点坐标为（2，1），抛物线y=﹣（x+1）2﹣2的顶点坐标为（﹣1，﹣2），∴顶点由（2，1）到（﹣1，﹣2）需要向左平移3个单位再向下平移3个单位．故选A．点评：本题考查了二次函数图象与几何变换，此类题目，利用顶点的变化确定抛物线解析式更简便．11．如图，将∠AOB放置在5×5的正方形网格中，则tan∠AOB的值是( )A．B．C．D．考点：锐角三角函数的定义．专题：网格型．分析：认真读图，在以∠AOB的O为顶点的直角三角形里求tan∠AO B的值．解答：解：由图可得tan∠AOB= ．故选B．点评：本题考查了锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正切等于对边比邻边．12．如图，等腰Rt△ABC（∠ACB=90°）的直角边与正方形DEFG 的边长均为2，且AC与DE在同一直线上，开始时点C与点D重合，让△ABC沿这条直线向右平移，直到点A与点E重合为止．设CD的长为x，△ABC与正方形DEFG重合部分（图中阴影部分）的面积为y，则y与x 之间的函数关系的图象大致是( )A．B．C．D．考点：动点问题的函数图象．专题：几何图形问题；压轴题．分析：此题可分为两段求解，即C从D点运动到E点和A从D点运动到E点，列出面积随动点变化的函数关系式即可．解答：解：设CD的长为x，△ABC与正方形DEFG重合部分（图中阴影部分）的面积为y∴当C从D点运动到E点时，即0≤x≤2时，y= = ．当A从D点运动到E点时，即2＜x≤4时，y= =∴y与x之间的函数关系由函数关系式可看出A中的函数图象与所求的分段函数对应．故选：A．点评：本题考查的动点变化过程中面积的变化关系，重点是列出函数关系式，但需注意自变量的取值范畴．二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）13．已知弦AB把圆周分成1：5的两部分，则弦AB所对的圆心角的度数为60°．考点：圆心角、弧、弦的关系．专题：运算题．分析：由于弦AB把圆周分成1：5的两部分，依照圆心角、弧、弦的关系得到弦AB所对的圆心角为周角的．解答：解：∵弦AB把圆周分成1：5的两部分，∴弦AB所对的圆心角的度数= ×360°=60°．故答案为60°．点评：本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，假如两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．14．如图，将弧AC沿弦AC折叠交直径AB于圆心O，则弧AC=120度．考点：翻折变换（折叠问题）；等边三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系．分析：过O点作OD⊥AC交AC于D，交弧AC于E，连结OC，BC．依照垂径定理可得OD= OE，AD=CD，依照三角形中位线定理可得OD= BC，再依照等边三角形的判定和性质，以及邻补角的定义即可求解．解答：解：过O点作OD⊥AC交AC于D，交弧AC于E，连结OC，BC．∴OD= OE，AD=CD，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，OD= BC，又∵OC=OB，∴△OBC是等边三角形，∴∠BOC=60°，∴∠AOC=180°﹣60°=120°，即弧AC=120度．故答案为：120．点评：考查了翻折变换（折叠问题），垂径定理，三角形中位线定理，等边三角形的判定和性质，以及邻补角的定义，综合性较强，难度中等．15．如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”．已知点A、B、C、D分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3，AB为半圆的直径，则那个“果圆”被y轴截得的弦C D的长为3+ ．考点：二次函数综合题．分析：连接AC，BC，有抛物线的解析式可求出A，B，C的坐标，进而求出AO，BO，DO的长，在直角三角形ACB中，利用射影定理可求出CO的长，进而可求出CD的长．解答：解：连接AC，BC，∵抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3，∴点D的坐标为（0，﹣3），∴OD的长为3，设y=0，则0=x2﹣2x﹣3，解得：x=﹣1或3，∴A（﹣1，0），B（3，0）∴AO=1，BO=3，∵AB为半圆的直径，∴∠ACB=90°，∵CO⊥AB，∴CO2=AO?BO=3，∴CO= ，∴CD=CO+OD=3+ ，故答案为：3+ ．点评：本题是二次函数综合题型，要紧考查了抛物线与坐标轴的交点问题、解一元二次方程、圆周角定理、射影定理，读明白题目信息，明白得“果圆”的定义是解题的关键．16．如图，在直角三角形ABC中（∠C=90°），放置边长分别3，4 ，x的三个正方形，则x的值为7．考点：相似三角形的判定与性质；正方形的性质．分析：依照已知条件能够推出△CEF∽△OME ∽△PFN然后把它们的直角边用含x的表达式表示出来，利用对应边的比相等，即可推出x的值答题解答：解：如图∵在Rt△ABC中∠C=90°，放置边长分别3，4，x 的三个正方形，∴△CEF∽△OME∽△PFN，∴OE：PN=OM：PF，∵EF=x，MO=3，PN=4，∴OE=x﹣3，PF=x﹣4，∴（x﹣3）：4=3：（x﹣4），∴（x﹣3）（x﹣4）=12，∴x1=0（不符合题意，舍去），x2=7．故答案为：7．点评：本题要紧考查相似三角形的判定和性质、正方形的性质，解题的关键在于找到相似三角形，用x的表达式表示出对应边．17．如图，A、D、E是⊙O上的三个点，且∠AOD=120°，B、C是弦AD上两点，BC= ，△BCE是等边三角形．若设AB=x，CD=y，则y与x的函数关系式是y= ．考点：相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质；圆周角定理．专题：运算题．分析：由圆周角定理得出∠AED=120°，得出∠EAD+∠EDC=60°，由等边三角形的性质得出∠BEC=∠EBC=∠ECB=60°，BE=CE=BC= ，得出∠ABE=∠ECD=120°，证出∠AEB=∠EDC，证明△ABE∽△ECD，得出对应边成比例，即可得出结果．解答：解：连接AE、DE，如图所示：∵∠AOD=120°，∴360°﹣120°=240°，∴∠AED= ×240°=120°，∴∠EAD+∠EDC=60°，∵△BCE是等边三角形，∴∠BEC=∠EBC=∠ECB=60°，BE=CE=BC= ，∴∠ABE=∠ECD=120°，∠EAD+∠AEB=60°，∴∠AEB=∠EDC，∴△ABE∽△ECD，即，∴y= ．故答案为：y= ．点评：本题考查了圆周角定理、等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质；熟练把握圆周角定理和等边三角形的性质，并能进行推理论证与运确实是解决问题的关键．18．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC，点D是AB的中点，连结CD，过点B作BG⊥CD，分别交CD、CA于点E，F，与过点A 且垂直于AB的直线相交于点G，连结DF．给出以下四个结论：①；②F G= FB；③AF= ；④S△ABC=5S△BDF，其中正确结论的序号是①②③．考点：相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形．分析：依照同角的余角相等求出∠ABG=∠BCD，然后利用“角边角”证明△ABC和△BCD全等，依照全等三角形对应边相等可得AG=BD，然后求出AG= BC，再求出△AFG和△CFB相似，依照相似三角形对应边成比例可得= ，从而判定出①正确；由AG= BC，因此FG= FB，故②正确；依照相似三角形对应边成比例求出= ，再依照等腰直角三角形的性质可得AC= AB，然后整理即可得到AF= AB，判定出③正确；过点F作MF⊥A B于M，依照三角形的面积整理即可判定出④错误．解答：解：∵∠ABC=90°，BG⊥CD，∴∠ABG+∠CBG=90°，∠BCD+∠CBG=90°，∴∠ABG=∠BCD，在△ABC和△BCD中，∴△ABG≌△BCD（ASA），∴AG=BD，∵点D是AB的中点，∴BD= AB，∴AG= BC，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∴AB⊥BC，∵AG⊥AB，∴AG∥BC，∴△AFG∽△CFB，∵BA=BC，故①正确；∵△AFG∽△CFB，∴FG= FB，故②正确；∵△AFG∽△CFB，∴AF= AC，∵AC= AB，∴AF= AB，故③正确；过点F作MF⊥AB于M，则FM∥CB，∴= = = = ，故④错误．故答案为：①②③．点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟练把握相似三角形的判定方法和相似三角形对应边成比例的性质是解题的关键．三、解答题（共8小题，满分78分）19．运算：（+1）（）﹣（﹣2021）0+2 sin45°．考点：二次根式的混合运算；零指数幂；专门角的三角函数值．分析：分别进行二次根式的乘法、零指数幂、专门角的三角函数值等运算，然后合并．解答：解：原式=6﹣1﹣1+2=6．点评：本题考查了二次根式的混合运算，涉及了二次根式的乘法、零指数幂、专门角的三角函数值等知识，属于基础题．20．如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE=60°．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）若BD=3，CE=2，求△ABC的边长．考点：相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质．分析：（1）由∠ADE=60°，可证得△ABD∽△DCE；（2）可用等边三角形的边长表示出DC的长，进而依照相似三角形的对应边成比例，求得△ABC的边长．解答：（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，∴∠BAD+∠ADB=120°∵∠ADE=60°，∴∠ADB+∠EDC=120°，∴∠DAB=∠EDC，又∵∠B=∠C=60°，∴△ABD∽△DCE；（2）解：∵△ABD∽△DCE，∵BD=3，CE=2，解得AB=9．点评：此题要紧考查了等边三角形的性质和相似三角形的判定和性质，能够证得△ABD∽△DCE是解答此题的关键．21．如图，AB和CD是同一地面上的两座相距39米的楼房，在楼AB 的楼顶A点测得楼CD的楼顶C的仰角为45°，楼底D的俯角为30°．求楼CD的高（结果保留根号）．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．分析：在题中两个直角三角形中，明白已知角和其邻边，只需依照正切值求出对边后相加即可．解答：解：延长过点A的水平线交CD于点E，则有AE⊥CD，四边形ABDE是矩形，AE=BD=39米．∵∠CAE=45°，∴△AEC是等腰直角三角形，∴CE=AE=39米．在Rt△AED中，tan∠EAD= ，∴ED=39×tan30°=13 米，∴CD=CE+ED=（39+13 ）米．答：楼CD的高是（39+13 ）米．点评：本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，涉及到专门角的三角函数值及等腰三角形的判定，熟知以上知识是解答此题的关键．22．如图所示的转盘，分成三个相同的扇形，指针位置固定，转动转盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置，并相应得到一个数（指针指向两个扇形的交线时，视为无效，重新转动一次转盘），此过程称为一次操作．请用树状图或列表法，求事件“两次操作，第一次操作得到的数与第二次操作得到的数的绝对值相等”发生的概率．考点：列表法与树状图法．分析：依照题意，用列表法列举出所有情形，看所求的情形与总情形的比值即可得答案．解答：解：画树状图如下：所有可能显现的结果共有9种，其中满足条件的结果有5种．因此P（所指的两数的绝对值相等）= ．点评：考查了列表法与树状图法求概率的知识，树状图法适用于两步或两部以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情形数与总情形数之比．23．在学习圆与正多边形时，马露、高静两位同学设计了一个画圆内接正三角形的方法：（1）如图，作直径AD；（2）作半径OD的垂直平分线，交⊙O于B，C两点；（3）联结AB、AC、BC，那么△ABC为所求的三角形．请你判定两位同学的作法是否正确，假如正确，请你按照两位同学设计的画法，画出△ABC，然后给出△ABC是等边三角形的证明过程；假如不正确，请说明理由．考点：正多边形和圆；垂径定理．分析：利用锐角三角函数关系得出∠BOE=60°，进而得出∠COE=∠B OE=60°，再利用圆心角定理得出答案．解答：解：两位同学的方法正确．连BO、CO，∵BC垂直平分OD，∴直角△OEB中．cos∠BOE= = ，∠BOE=60°，由垂径定理得∠COE=∠BOE=60°，由于AD为直径，∴∠AOB=∠AOC=120°，∴AB=BC=CA，即△ABC为等边三角形．点评：此题要紧考查了垂径定理以及圆心角定理和等边三角形的判定等知识，得出∠AOB=∠AOC=120°是解题关键．24．如图1，在四边形ABCD的AB边上任取一点E（点E不与点A、点B重合，分别连接ED，EC，能够把四边形ABCD分成3个三角形．假如其中有2个三角形相似，我们就把点E叫做四边形ABCD的AB边上的相似点；假如这3个三角形都相似，我们就把点E叫做四边形ABCD的A B边上的强相似点．（1）若图1中，∠A=∠B=∠DEC=50°，证明点E是四边形ABCD的AB边上的相似点．（2）①如图2，画出矩形ABCD的AB边上的一个强相似点．（要求：画图工具不限，不写画法，保留画图痕迹或有必要的说明）②关于任意的一个矩形，是否一定存在强相似点？假如一定存在，请说明理由；假如不一定存在，请举出反例．（3）如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，∠B=90°，点E是四边形ABCD的AB边上的一个强相似点，判定AE与BE的数量关系并说明理由．考点：相似形综合题．分析：（1）要证明点E是四边形ABCD的AB边上的相似点，只要证明有一组三角形相似就行，专门容易证明△ADE∽△EBC，因此问题得解；（2）①以CD为直径画弧，取该弧与AB的一个交点即为所求．②不一定存在强相似点，如正方形；（3）因为点E是梯形ABCD的AB边上的一个强相似点，因此就有相似三角形显现，依照相似三角形的对应线段成比例，能够判定出AE和BE 的数量关系，从而可求出解．解答：解：（1）理由：∵∠A=50°，∴∠ADE+∠DEA=130°，∵∠DEC=50°，∴∠BEC+∠DEA=130°，∴∠ADE=∠BEC，∵∠A=∠B，∴△ADE∽△BEC，∴点E是四边形ABCD的AB边上的相似点；（2）①以CD为直径画弧，取该弧与AB的一个交点即为所求，如图2所示：连接FC，DF，∵CD为直径，∴∠DFC=90°，∵CD∥AB，∴∠DCF=∠CFB，∵∠B=90°，∴△DFC∽△CBF，同理可得出：△DFC∽△FAD，②关于任意的一个矩形，不一定存在强相似点，如正方形．（3）第一种情形：∠A=∠B=∠DEC=90°，∠ADE=∠BEC=∠EDC，即△ADE∽△BEC∽△EDC，∵点E是梯形ABCD的边AB上的强相似点，∴△ADE，△BEC以及△CDE是两两相似的，∵△ADE是直角三角形，∴△DEC也是直角三角形，当∠DEC=90°时，①∠CDE=∠DEA，∴DC∥AE，这与四边形ABCD是梯形相矛盾，不成立；②∠CDE=∠EDA，∵∠ECD+∠EDC=90°，∠ADE+∠AED=90°，∴∠AED=∠ECD，∵∠AED+∠BEC=90°，∠BEC+∠BCE=90°，∴∠AED=∠BCE，∴∠AED=∠BCE=∠ECD，。

2023-2024学年度第一学期温州市九年级数学期中训练试卷一、选择题（本大题共有10个小题，每小题4分，共40分）1．若，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．如图，点A 、B 、C 是上的点，，则的度数是（ ）A ．B ．C ．D ．3．随机抛一枚硬币两次，两次都是正面朝上的概率是（ ）A ．1B ．C ．D ．4．抛物线y ＝﹣2x 2经过平移得到y ＝﹣2（x -1）2+5，平移方法是（ ）A ．向左平移1个单位，再向下平移5个单位B ．向左平移1个单位，再向下平移5个单位C ．向右平移1个单位，再向下平移5个单位D ．向右平移1个单位，再向上平移5个单位5．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，若AB =20，AE =2，则弦CD 的长是（ ）A ．6B ．8C ．10D ．126．抛物线上有三点，则的大小关系是（）A ．B ．C ．D ．7．如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于E ，已知CD=12，BE=2，则⊙O 的半径为（ ）34b a =a ba +=47377374O 50AOB ∠=︒ACB ∠25︒30︒35︒70︒13121421(2)3y x m =-+12315(3,),(,),(,)22A y B y C y --123y y y ，，123y y y >>321y y y >>231y y y >>213y y y >>A ．8B ．10C ．16D ．208．在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y （米）与水平距离x （米）之间的关系式为，由此可知小宇此次实心球训练的成绩为（ ）A ．6米B ．8米C ．10米D ．12米9.如图，在三角形纸片ABC 中，AB =6，BC =8，AC =4．沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC 相似的是（ ）A. B. C. D.10.二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图所示，则下列结论：①abc ＜0，②b>a+c ，③，④，⑤a+b ＜m （am+b ）（其中m 为任意实数）其中正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题（本大题共有6个小题，每小题5分，共30分）21381055y x x =-++420a b c ++＞23c b >11.抛物线y ＝2（x +4）2+3的顶点坐标是_________12．如果关于的一元二次方程的一个根为1，则另一为 ．13 .如图所示，，交于点O ，且，，，当___ __时，．14 .如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AD 是⊙O 的直径，∠ABC =50°，则∠CAD = ．15.如图，平行四边形中，为延长线上的一点，且，交于点．若，则的长为 ．16.如图是二次函数y =ax 2+bx +c 的图象，下列结论：①二次三项式ax 2+bx +c 的最大值为4；②4a +2b +c ＜0；③使y ≤3成立的x 的取值范围是x ≥0．其中正确的结论有： ．（填上序号即可）三、解答题（本大题共有8个小题，共80分）17．如图，，且，，求的长．x 250x x m -+=AB CD 45OC =30OD =36OB =OA =AOC BOD ∽ABCD E AD 2BC DE =BE DC F 2CF =DF DE BC ∥:2:3EC BD =6AD =AE18．如图，圆中两条弦、相交于点E ，且，求证：．19.已知抛物线的顶点坐标为(-1，3)，且图像经过点(1，0)，求该抛物线的解析式．20.“一寸光阴不可轻，最是书香能致远．”阅读是美好的，阅读是快乐的．某校社团将《西游记》中的四位人物的肖像制成编号为 A 、B 、C 、D 的四张卡片（除编号和人物肖像外其余完全相同），活动时学生根据所抽取的卡片来讲述他们在书中的故事．游戏规则如下：先将四张卡片背面朝上，洗匀放好，小东先从中随机抽取一张，记卡片上的人物为，再把剩下的3张卡片洗匀后，背面向上放好，小华再从3张卡片中随机抽取一张，记卡片上的人物为．若他们取出的两张卡片上对应的人物为师徒关系，则由小东讲，否则由小华讲．(1)用列表法或画树状图法中的一种方法，列出所有可能出现的结果．(2)你认为这个游戏是否公平？请说明理由．21．某网店销售一种儿童玩具，进价为每件30元，物价部门规定每件儿童玩具的销售利润不高于进价的．在销售过程中发现，这种儿童玩具每天的销售量y （件）与销售单价x （元）满足函数关系．AB CD AB CD =EB EC =x y (,)x y 60%10700y x =-+(1)求该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润w （元）与x 之间的函数关系式；(2)当销售单价为多少时，该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大，最大利润是多少？22．如图，AB 是的直径，弦于点M ，连结CO ，CB ．（1）若，，求CD 的长度；（2）若平分，求证：．23.已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A (－1，0)、B (3，0)、C (0，3)三点，直线l 是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的函数关系式；(2)设点P 是直线l 上的一个动点，当△PAC 的周长最小时，求点P 的坐标；(3)在直线l 上是否存在点M ，使△MAC 为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．24 .（1）问题：如图1，在四边形ABCD 中，点P 为AB 上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°．求证：AD·BC=AP·BP ．（2）探究：如图2，四边形ABCD ，点P 为AB 上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ时，上述结论是否依然成立？说明理由．（3）应用：请利用（1）（2）获得的经验解决问题：如图3，在△ABD 中，AB=6，AD=BD=5．点P 以每秒1个单位长度的速度，O CD AB ⊥2AM =8BM =CO DCB ∠CD CB =由点A 出发，沿边AB 向点B 运动，且满足∠DPC=∠A ．设点P 的运动时间为t （秒），当DC 的长与△ABD 底边上的高相等时，求t 的值．参考答案二、选择题（本大题共有10个小题，每小题4分，共40分）1．若，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D2．如图，点A 、B 、C 是上的点，，则的度数是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A3．随机抛一枚硬币两次，两次都是正面朝上的概率是（ ）A ．1B ．C ．D ．【答案】D4．抛物线y ＝﹣2x 2经过平移得到y ＝﹣2（x -1）2+5，平移方法是（ ）A ．向左平移1个单位，再向下平移5个单位B ．向左平移1个单位，再向下平移5个单位C ．向右平移1个单位，再向下平移5个单位34b a =a ba +=47377374O 50AOB ∠=︒ACB ∠25︒30︒35︒70︒131214D ．向右平移1个单位，再向上平移5个单位【答案】D5．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，若AB =20，AE =2，则弦CD 的长是（ ）A ．6B ．8C ．10D ．12【答案】D 6．抛物线上有三点，则的大小关系是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 7．如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于E ，已知CD=12，BE=2，则⊙O 的半径为（ ）A ．8B ．10C ．16D ．20【答案】B 9．在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y （米）与水平距离x （米）之间的关系式为，由此可知小宇此次实心球训练的成绩为（ ）A ．6米B ．8米C ．10米D ．12米【答案】B 9.如图，在三角形纸片ABC 中，AB =6，BC =8，AC =4．沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC 相似的是（ ）21(2)3y x m =-+12315(3,),(,),(,)22A y B y C y --123y y y ，，123y y y >>321y y y >>231y y y >>213y y y >>21381055y x x =-++A. B. C. D.【答案】B10.二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图所示，则下列结论：①abc ＜0，②b>a+c ，③，④，⑤a+b ＜m （am+b ）（其中m 为任意实数）其中正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 四、填空题（本大题共有6个小题，每小题5分，共30分）11.抛物线y ＝2（x +4）2+3的顶点坐标是_________【答案】（﹣4，3）12．如果关于的一元二次方程的一个根为1，则另一为 ．【答案】413 .如图所示，，交于点O ，且，，，当___ __时，．【答案】14 .如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AD 是⊙O 的直径，∠ABC =50°，则∠CAD =．420a b c ++＞23c b >x 250x x m -+=AB CD 45OC =30OD =36OB =OA =AOC BOD ∽54【答案】40°15.如图，平行四边形中，为延长线上的一点，且，交于点．若，则的长为 ．【答案】116.如图是二次函数y =ax 2+bx +c 的图象，下列结论：①二次三项式ax 2+bx +c 的最大值为4；②4a +2b +c ＜0；③使y ≤3成立的x 的取值范围是x ≥0．其中正确的结论有： ．（填上序号即可）【答案】①②五、解答题（本大题共有8个小题，共80分）17．如图，，且，，求的长．解：∵，，ABCD E AD 2BC DE =BE DC F 2CF =DF DE BC ∥:2:3EC BD =6AD =AE DE BC ∥23AE EC AD BD ∴==即，解得：．18．如图，圆中两条弦、相交于点E ，且，求证：．证明：如图，连接，∵，∴，∴，即，∴，∴，又∵，∴．19.已知抛物线的顶点坐标为(-1，3)，且图像经过点(1，0)，求该抛物线的解析式．解：∵抛物线的顶点坐标为(-1，3)，设抛物线的解析式为，∵抛物线经过点(1，0)，∴，解得a =，∴抛物线的解析式为，263AE =4AE =AB CD AB CD =EB EC =AD AB CD = AB CD = AB AD CD AD -=- BD AC =BAD CDA ∠=∠AE DE =AB CD =EB EC =2(1)3y a x =++20(11)3a =++34-23(1)34y x =-++即．20.“一寸光阴不可轻，最是书香能致远．”阅读是美好的，阅读是快乐的．某校社团将《西游记》中的四位人物的肖像制成编号为 A 、B 、C 、D 的四张卡片（除编号和人物肖像外其余完全相同），活动时学生根据所抽取的卡片来讲述他们在书中的故事．游戏规则如下：先将四张卡片背面朝上，洗匀放好，小东先从中随机抽取一张，记卡片上的人物为，再把剩下的3张卡片洗匀后，背面向上放好，小华再从3张卡片中随机抽取一张，记卡片上的人物为．若他们取出的两张卡片上对应的人物为师徒关系，则由小东讲，否则由小华讲．(1)用列表法或画树状图法中的一种方法，列出所有可能出现的结果．(2)你认为这个游戏是否公平？请说明理由．解：（1）方法一：列表如下：X y A B C DA B C D∴由上表可知，所有等可能出现的结果为：，，，，，，，，，，，，它们出现的可能性相等，一共有12种．方法二：2339424y x x =--+x y (,)x y (),B A (),C A (),D A (),A B (),C B (),D B (),A C (),B C (),D C (),A D (),B D (),C D (),x y (),A B (),A C (),A D (),B A (),B C (),B D (),C A (),C B (),C D (),D A (),D B (),D C∴所有等可能出现的结果为：，，，，，，，，，，，，它们出现的可能性相等，一共有12种．（2）解：这个游戏公平．理由如下：由（1）可知，所有可能出现的结果共有12种，这些结果出现可能性的大小相等．其中两人恰好是师徒关系的有6种．故，，∵，∴该游戏公平．21．某网店销售一种儿童玩具，进价为每件30元，物价部门规定每件儿童玩具的销售利润不高于进价的．在销售过程中发现，这种儿童玩具每天的销售量y （件）与销售单价x （元）满足函数关系．(1)求该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润w （元）与x 之间的函数关系式；(2)当销售单价为多少时，该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大，最大利润是多少？（1）解：根据题意，得：，∵每件儿童玩具的销售利润不高于进价的，即，∴x 的取值范围是．即；（2）解：，∵，对称轴为直线，(),x y (),A B (),A C (),A D (),B A (),B C (),B D (),C A (),C B (),C D (),D A (),D B (),D C ()61122P ==两张卡片上对应的人物关系是师徒关系()61122P ==两张卡片上对应的人物关系不是师徒关系1122=60%10700y x =-+2(30)(10700)10100021000w x x x x =--+=-+-60%30306048%+⨯=3048x <≤()21010002100030<48=-+-≤w x x x ()221010002100010504000w x x x =-+-=--+100-<50x =∴当时，w 随x 的增大而增大．∴当时，w 取得最大值，最大值为：（元）．答：当销售单价为48元，该商店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大，最大利润是3960元．22．如图，AB 是的直径，弦于点M ，连结CO ，CB ．（1）若，，求CD 的长度；（2）若平分，求证：．解：（1）∵AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，∴CM ＝DM ，∵AM ＝2，BM ＝8，∴AB ＝10，∴OA ＝OC ＝5，在Rt △OCM 中，OM 2+CM 2＝OC 2，∴CM 4，∴CD ＝8；（2）过点O 作ON ⊥BC ，垂足为N ，∵CO 平分∠DCB ，∴OM ＝ON ，∵CO =CO∴Rt △COM ≌Rt △CON3048x <≤48x =()210485040003960--+=O CD AB ⊥2AM =8BM =CO DCB ∠CD CB===∴CM =CN∴CB ＝CD ．23.已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A (－1，0)、B (3，0)、C (0，3)三点，直线l 是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的函数关系式；(2)设点P 是直线l 上的一个动点，当△PAC 的周长最小时，求点P 的坐标；(3)在直线l 上是否存在点M ，使△MAC 为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解:（1）∵A (－1，0)、B (3，0)经过抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c ，∴可设抛物线为y ＝a （x ＋1）（x －3）．又∵C (0，3) 经过抛物线，∴代入，得3＝a （0＋1）（0－3），即a =-1．∴抛物线的解析式为y ＝-（x +1）（x -3），即y ＝-x 2+2x +3．（2）连接BC ，直线BC 与直线l 的交点为P ． 则此时的点P ，使△PAC 的周长最小．设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋b ，将B (3，0)，C (0，3)代入，得：，解得：．∴直线BC 的函数关系式y ＝－x ＋3．当x －1时，y ＝2，即P 的坐标(1，2)．303k b b +=⎧⎨=⎩13k b =-⎧⎨=⎩（3）存在．点M 的坐标为(1，(1，(1，1)，(1，0)．∵抛物线的对称轴为： x =1，∴设M (1，m )．∵A (－1，0)、C (0，3)，∴MA 2＝m 2＋4，MC 2＝m 2－6m ＋10，AC 2＝10．若MA ＝MC ，则MA 2＝MC 2，得：m 2＋4＝m 2－6m ＋10，得：m ＝1．②若MA ＝AC ，则MA 2＝AC 2，得：m 2＋4＝10，得：m ．③若MC ＝AC ，则MC 2＝AC 2，得：m 2－6m ＋10＝10，得：m ＝0，m ＝6，当m ＝6时，M 、A 、C 三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去．综上可知，符合条件的M 点，且坐标为(1)，(1)，(1，1)，(1，0)．24 .（1）问题：如图1，在四边形ABCD 中，点P 为AB 上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°．求证：AD·BC=AP·BP ．（3）探究：如图2，四边形ABCD ，点P 为AB 上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ时，上述结论是否依然成立？说明理由．（3）应用：请利用（1）（2）获得的经验解决问题：如图3，在△ABD 中，AB=6，AD=BD=5．点P 以每秒1个单位长度的速度，由点A 出发，沿边AB 向点B 运动，且满足∠DPC=∠A ．设点P 的运动时间为t （秒），当DC 的长与△ABD 底边上的高相等时，求t 的值．解：（1）证明：如图1 ∵∠DPC=∠A=∠B=90°，∴∠ADP+∠APD=90°，∠BPC+∠APD=90°，∴∠ADP =∠BPC∴△ADP ∽△BPC ．∴即AD·BC=AP·BP ．（2）结论AD·BC=AP·BP 仍成立．理由：如图2，∵∠BPD=∠DPC+∠BPC ．又∵∠BPD=∠A+∠ADP ．∴∠DPC+∠BPC =∠A+∠ADP ．∵∠DPC =∠A=θ．∴∠BPC =∠ADP又∵∠A=∠B=θ．∴△ADP ∽△BPC ．∴∴AD·BC=AP·BP ．(1) 如图3，过点D 作DE ⊥AB 于点E ．(2) ∵AD=BD=5，AB=6．(3) ∴AE=BE=3．由勾股定理得DE=4．(4) ∴DC=DE=4．(5) ∴BC=5-4=1，又∵AD=BD ，∴∠A=∠B ．由已知，∠DPC =∠A ，AD BP =APBC .ADBP =APBC .∴∠DPC =∠A=∠B．由（1）（2）可得：AD·BC=AP·BP．又AP=t，BP=6-t，∴t（6-t）=5×1．解得t1=1，t2=5．∴t的值为1秒或5秒．。

浙江省温州市苍南县2022-2023学年九年级上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．与“新冠肺炎”患者接触过程中， 下列哪种情况被传染的可能性最大（ ） A ．戴口罩与患者近距离交谈B ．不戴口罩与患者近距离交谈C ．戴口罩与患者保持社交距离交谈D ．不戴口罩与患者保持社交距离交谈2．已知⊙O 的半径是4，OP ＝3，则点P 与⊙O 的位置关系是（ ） A ．点P 在圆上 B ．点P 在圆内 C ．点P 在圆外 D ．不能确定 3．抛物线22y x x =-的对称轴是（ ）A ．直线2x =B ．直线2x =-C ．直线=1x -D ．直线1x =4．如图， 在O e 中， 100AOB ∠=o ， 则弧AB 的度数为（ ）A ．50︒B ．80︒C ．100︒D ．200︒ 5．欢欢将自己的核酸检测二维码打印在面积为2900cm 的正方形纸上， 如图所示， 为了估计图中黑色部分的面积， 他在纸内随机掷点， 经过大量重复试验， 发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，据此可以估计黑色部分的面积约为（ ）5457二、填空题11．抛物线y=（x+1）2 - 2的顶点坐标是 ______ ．12．已知每1000个盲盒中常规款有980个，“小隐藏” 15个，“大隐藏” 5个． 现随机抽取1盒， 抽取到的是“大隐藏”的概率为____________．13．已知点()4,A a -和点()2,B b 是抛物线22y x x c =+-上的两点，则a b 、的大小关系是a _______b (填“>”或“<”或“=”)．14．如图，ABC V 内接于O CD e ，是O e 的直径， 连结AD ， 若2,6CD AD AB BC ===， 则O e 的半径____________．15．如图，在直角坐标系中，抛物线242(0)y ax ax a =-+>交y 轴于点A ，点B 是点A 关三、解答题(1)求该拋物线的解析式；(2)用关于t 的代数式表示线段PM ，求PM 的最大值及此时点M 的坐标；(3)过点C 作CH PN ⊥于点,9BMN CHM H S S =V V ，①求点P 的坐标；②连接CP ，在y 轴上是否存在点Q ，使得CPQ V 为直角三角形，若存在，求出点Q 的坐标； 若不存在， 请说明理由．。

2020-2021学年度九年级（上）数学期中试卷（附答案）一、选择题（每小题只有一个正确选项，每小题3分，共18分）1．（3分）如下图所示，下列四组图形中，左边图形与右边图形成中心对称的是（）A．B．C．D．2．（3分）如图，A、B、C三点在圆O上，∠B＝36°，则∠A O C的度数为（）A．36°B．54°C．72°D．90°3．（3分）在直角坐标系中，将点（﹣2，3）关于原点的对称点向左平移2个单位长度得到的点的坐标是（）A．（4，﹣3）B．（﹣4，3）C．（0，﹣3）D．（0，3）4．（3分）如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为8，点P在AP上运动，则OP的最小值是（）A．2B．3C．4D．55．（3分）已知函数y＝x2+bx+c的图象与x轴只有一个交点，（x，2017）、（x，2017）是12该函数图象上的两个点，则当x=122时，函数值y＝（A．﹣2017B．c C．0）D．c﹣20176．（3分）下表中所列x，y的数值是某二次函数y＝ax2+bx+c图象上的点所对应的坐标，其中x＜x＜x＜x＜x＜x＜x，根据表中所提供的信息，以下判断正确的是（）①a 1234567＞0；②9＜m＜16；③k≤9；④b2≤4a（c﹣k）x… (x1x2)mx3x4kx5x6mx7……y169916 A．①②B．③④C．①②④D．①③④二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）7．（3分）函数y=√3−中，自变量x的取值范围是．8．（3分）如图，将正三角形绕其对称中心O旋转后，恰好能与原来的正三角形重合，那么旋转的角度至少是度．9．（3分）已知一元二次方程x2﹣4x+2＝0的两根分别是x，x，那么（1+x）（1+x）的值1212是．10．（3分）如图，将△AB C绕点A逆时针方向旋转到△A DE的位置，点B落在AC边上的点D处，设旋转角为α（0°＜α＜90°）．若∠B＝125°，∠E＝30°，则∠α＝°．11．（3分）已知函数y＝（k﹣3）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围为12．（3分）如图所示的是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，有下列结论：．①二次三项式ax2++的最大值为4；②4+2+＜0；③一元二次方程2++＝1的bx c a b c ax bx c 两根之和为﹣1；④使y≤3成立的x的取值范围是x≥0或x≤﹣2．其中正确结论的序号是．（把所有正确结论的序号都填在横线上）三、本大题共6小题，每小题6分，共30分）13．x2﹣2x﹣15＝0．̂̂14．（6分）如图，在⊙O中，=A40D，∠＝°，求∠的度数．15．（6分）如图，某旅游景点要在长、宽分别为20米、12米的矩形水池的正中央建一个与矩形的边互相平行的正方形观赏亭，观赏亭的四边连接四条与矩形的边互相平行的且宽1度相等的道路，已知道路的宽为正方形边长的．若道路与观赏亭的面积之和是矩形水池41面积的，求道路的宽．616．（6分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′．若点B′落到BC边上，∠B＝50°．求∠CB′C′的度数．17．（6分）已知二次函数y＝ax2﹣4x+c的图象经过点A（﹣1，﹣1）和B（3，﹣9）．（1）求该二次函数的解析式；（2）填空：该抛物线的对称轴是；顶点坐标是；当x＝时，y随x的增大而减小．18．（6分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BA D是它的个外角，OP⊥B C交⊙O于点P，仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图．（1）在图1中，画出△ABC的角平分线AF；（2）在图2中，画出△ABC的外角∠BA D的角平分线A G．四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）19．（8分）已知关于x的一元二次方程ax2﹣（a+2）x+2＝0．（1）不解方程，判别方程的根的情况；（2）方程有两个不相等的正整数根时，求整数a的值．20．（8分）如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且O D∥B C，O D与AC 交于点E．（1）若∠B＝70°，求∠CA D的度数；（2）若AB＝4，A C＝3，求DE的长．21．（8分）如图，△OB D中，O D＝B D，△OB D绕点O逆时针旋转一定角度后得到△OA C，此时B，D，C三点正好在一条直线上，且点D是B C的中点．（1）求∠C O D度数；（2）求证：四边形O D A C是菱形．五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）．22．（9分）某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格出售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．（1）求平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）（x＞50）之间的函数关系式．（2）求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式．（3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？123．（9分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于23点C．抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是x=−且经过A、C两点，与x轴的另一交点为点2B．（1）直接写出点B的坐标；（2）求抛物线解析式．（3）若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，连接PA，PC．求△PA C的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．六、（本题12分）24．（12分）已知△ABC和△A D E为等边三角形，M，N分别为EB，C D的中点．（1）如图1，试证C D＝BE时，△A M N是等边三角形；（2）当把△A D E绕点A旋转到图2的位置时C D＝BE吗？若相等，请证明；若不相等，请说明理由；（3）当把△A D E绕点A旋转到图3的位置时，△AM N还是等边三角形吗？若是，请证明；若不是，请说明理由（可用第（1）问结论）．五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）．22．（9分）某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格出售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．（1）求平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）（x＞50）之间的函数关系式．（2）求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式．（3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？123．（9分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于23点C．抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是x=−且经过A、C两点，与x轴的另一交点为点2B．（1）直接写出点B的坐标；（2）求抛物线解析式．（3）若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，连接PA，PC．求△PA C的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．六、（本题12分）24．（12分）已知△ABC和△A D E为等边三角形，M，N分别为EB，C D的中点．（1）如图1，试证C D＝BE时，△A M N是等边三角形；（2）当把△A D E绕点A旋转到图2的位置时C D＝BE吗？若相等，请证明；若不相等，请说明理由；（3）当把△A D E绕点A旋转到图3的位置时，△AM N还是等边三角形吗？若是，请证明；若不是，请说明理由（可用第（1）问结论）．。

2020-2021学年浙江省温州实验中学九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知⊙O的半径为4，点P在⊙O内，则OP的长可能是()A. 3B. 4C. 5D. 62.抛物线y=−(x−2)2+3的顶点坐标是()A. (−2,3)B. (2,3)C. (2,−3)D. (−2,−3)3.如图，四边形ABCD为圆内接四边形，∠A=75°，则∠C度数为()A. 115°B. 105°C. 95°D. 60°4.如图，直线a//b//c，直线AC分别交a，b，c于点A，B，C：直线DF分别交a，b，c于点D，E，F.若ABBC =23，则DEDF=()A. 23B. 25C. 35D. 325.如图，∠ACB是⊙O的圆周角，若⊙O的半径为5，∠ACB=45°，则弧AB长为()A. 5π4B. 5π2C. 25π8D. 25π46.如图，二次函数y1=−x2+bx+c与一次函数y2=kx+2的图象交于点A(−1,3)和点B(4,m)，要使y1<y2，则x的取值范围是()A. −1<x<4B. x>−1C. x<4D. x<−1或x>47.如图，把一个长方形按如图方式划分成三个全等的小长方形，每一个小长方形与原长方形相似，若原长方形的宽为4，则小长方形的宽为()A. 4√33B. √3C. 2√33D. √338.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0,a,b,c为常数)的部分对应值列表如下：x…−2−101…y…−2−3−21…则代数式9a−3b的值为()A. 3B. 4C. 5D. 69.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=7，BC=24，将它绕着BC中点D顺时针旋转一定角度后到△A′B′C′，恰好使B′C′//AB，A′C′与边AB交于点E，则A′E的长为()A. 72B. 4924C. 8425D. 912510.2020年温州市实验中学数学文化节征稿文化节LOGO，小明利用古希腊医学家希波克拉底所画图形进行设计．如图△ABC内接于一个半径为5的半圆，∠ACB=90°，分别以AB，BC，AC为直径向外作半圆．若阴影部分图形面积之和是空白部分图形面积之和的3倍，则△ABC的面积为()A. 5πB. 7.5πC. 25πD. 10π3二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）11.把抛物线y=x2向右平移4个单位，所得抛物线的解析式为______ ．12.某商场举办有奖销售活动，每张奖券获奖的可能性都相同，以每1000张奖券为一个开奖单位，设一等奖10名，二等奖20名，三等奖30名，则一张奖券中奖的概率为______．13.一个小球被抛出后，如果距离地面高度ℎ(米)和运行时间t(秒)的函数解析式为ℎ=−5t2+10t+1，那么小球达到最高点时距离地面高度是______米．14.如图，点P是△ABC的重心，过P作BC的平行线，分别交AC，AB于点D，E，作DF//EB，交CB于点F，若△ABC的面积为27cm2，则△DFC的面积为______cm2．15.如图，已知点P是抛物线y=−mx2+6mx(m>0)的顶点，过P作直线AB分别交x轴正半轴和y轴正半轴于点A、B，交抛物线于点C，且∠BAO=45°，过点C作CG⊥x轴，垂足为G，若△ACG的面积是△PCG面积的2倍，则m的值为______．16.已知半径为r的⊙O是矩形ABCD的外接圆，点E是弧AB上的一点，分别延长BE，DA交于点F，其中AD=3.如图甲，当点E是弧AB的中点时，AF=______(用含r的代数式表示)；如图乙，当点E是弧AC的中点时，且S△AEF=10，r的值为______．三、解答题（本大题共8小题，共80.0分）17.如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，点E在AB上，连结AD，DE，∠1=∠2．(1)求证：△ACD∽△DBE；(2)若BD=6，CD=2，AC=5，求AE的长．18.2020年10月30日，我校第七十届田径运动会以“行走的力量”七都环岛行活动拉开帷幕，礼仪组老师到各班挑选礼仪队成员，要求身高175cm以上，请你利用所学的知识完成下列问题．(1)老师到甲班挑选一位男生参加礼仪队，甲班包括小明在内共4名同学达到要求，小明被选中的概率是______．(2)身高满足要求的乙班有2人(记为A，B)，丙班有2人(记为D，E)，现从这4人中随机抽取2人补充到学校礼仪队，请用列表法或画树状图法，求这两人来自同一班级的概率．19.如图，若⊙O是△ABC的外接圆，AD为直径，∠ABC=60°．(1)求∠DAC的度数；(2)若AD=4，求阴影部分的面积．20.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，每个小正方形的顶点称为格点，A，B，C，M均在格点上，且BM=5，请用无刻度的直尺，分别按下列要求作图(保留作图痕迹)．(1)如图1，请在网格中找出格点N，连结MN，使得MN//AC；(2)如图2，请在线段AB上找出点N，使得MN平分△ABC的周长．x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两21.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=−12点，与y轴交于点C，对称轴与x轴交于D点，已知点A的横坐标为−1．(1)则线段OC=______；AD=______.(用含b的代数式表示)(2)平移线段BD，当点D与点C重合时，点B移动后的点恰好落在抛物线上，求二次函数的解析式．22.如图，AB是△ABC的内接圆⊙O的直径，点D在半圆上，DC与AB交于点E，∠1=∠2，过点C作CF⊥DC交DB的延长线于点F，交⊙O于点G．(1)求证：BD=BC；(2)当DF=10√5，AE：EC=1：2时，求圆O的半径；(3)在(2)的条件下，连接DG交BC于点M，则S△OMB：S△DGF=______.(直接写出答案)23.温州某大超市计划销售一种水果，已知水果的进价为每盒9元，并且水果的销售量由售价决定．经市场调查表明，当售价在10到15元之间(含10元，15元)波动时，每盒水果的销售价格每减少1元则日销售量增加80盒，当水果售价为每盒15元时，日销售量为160盒，现设每盒水果的销售价为x元．(每盒毛利润=每盒售价−每盒进价)(1)当每盒销售价为13元时，超市的当日销售量为______盒．(2)如果规定该种水果的日均销售量不低于400盒时，设销售这种水果所获得的日毛利润为y(元)，求y关于x的函数解析式，并求出日毛利润y的最大值．(3)为了提高水果的知名度，超市给当天售出的每盒苹果进行精包装，包装费每盒1元，另外从该种水果的日毛利润中提取50元作为销售员当天的额外奖励，且保证提取后日毛利润不低于750元，同时又要使顾客得到实惠，则当日水果的销售量至少是______盒．(直接写出答案)24.已知，如图1在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，点E是线段AB上的动点，连接CE，作FC⊥CE，交AD的延长线于点F，连接EF交CD于G，设BE=m．(1)求证：△FDC∽△EBC．(2)若△EGC是等腰三角形，求m的值．(3)取EF的中点O，连接OA，若OA//CE，求△CEF的面积．(4)如图2作△AEF的外接圆，点A关于EF的对称点A′落在圆上，当A′恰好落在△CEB内部(不包括边界)，直接写出m的取值范围______．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵⊙O的半径为4，点P在⊙O内，∴OP<4．故选：A．根据点在圆内，点到圆心的距离小于圆的半径进行判断．本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：点P在圆外⇔d>r；点P在圆上⇔d=r；点P在圆内⇔d<r．2.【答案】B【解析】解：∵抛物线的解析式为：y=−(x−2)2+3，∴其顶点坐标为(2,3)．故选B．直接根据二次函数的顶点式进行解答即可．本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键．3.【答案】B【解析】解：∵四边形ABCD为圆内接四边形，∴∠A+∠C=180°，∵∠A=75°，∴∠C=180°−∠A=180°−75°=105°，故选：B．根据圆内接四边形的对角互补列式计算即可．本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．4.【答案】B【解析】解：∵ABBC =23，∴ABAC =25，∵a//b//c，∴DEDF =ABAC=25，故选：B．先由ABBC =23，根据比例的性质可得ABAC=25，再根据平行线分线段成比例定理求解即可．考查了平行线分线段成比例定理，掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解题的关键．5.【答案】B【解析】解：∵∠AOB=2∠ACB，∠ACB=45°，∴∠AOB=90°，∴AB⏜的长=90⋅π×5180=5π2，故选：B．利用圆周角定理求出∠AOB，再利用弧长公式求解即可．本题考查弧长公式，圆周角定理等知识，解题的关键是记住弧长公式l=nπr180．6.【答案】D【解析】解：∵y1<y2，∴直线在抛物线的上方的部分为x的取值范围，根据图象可知当x<−1或x>4时，直线在抛物线的上方，∴x<−1或x>4，故选：D．根据图象找出直线在抛物线上方的部分即可．本题主要考查函数与不等式之间的关键，要牢记函数值较大的图象在函数值较小的图象的上方．7.【答案】A【解析】解：设小长方形的宽为x，由题意得：x4=43x，解得：x1=4√33，x2=−4√33(舍去)，故选：A．根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可．本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边的比相等是解题的关键．8.【答案】A【解析】解：∵x=0和x=−2时y的值相同都是−2，∴点(−2,2)和点(0,−2)关于二次函数的对称轴对称，∴对称轴为：x=−2+02=−1，∴点(−3,1)和点(1,1)关于二次函数的对称轴对称，∴x=−3时对应的函数值y=1，∴9a−3b+c=1，∴x=0时，y=c=−2，∴9a−3b=1+2=3，故选：A．由表格的数据可以看出，x=−2和x=0时y的值相同，所以可以判断出，点(−2,2)和点(0,−2)关于二次函数的对称轴对称，可求出对称轴；然后得到x=−3时的函数值等于x=1时的函数值，即可求得9a−3b+c=1，由抛物线经过点(0,−2)得到c=−2，即可求得9a−3b=3．本题考查了二次函数的性质，要求掌握二次函数的对称性，会利用表格中的数据规律找到对称点，确定对称轴，再利用对称轴求得对称点是解题的关键．9.【答案】D【解析】解：如图，过点D作DF⊥AB于点F，∵∠C=90°，AC=6，BC=8，∴AB=√AC2+BC2=√72+242=25，∵将Rt△ABC绕着BC中点D顺时针旋转一定角度后得到△A′B′C′，∴AC=A′C′=7，∠C=∠C′=90°，CD=BD=12，∵AB//C′B′∴∠A′EB=∠A′C′B′=90°，又∵DF⊥AB，∴四边形EFDC′是矩形，∴C′E=DF，∵∠B=∠B，∠DFB=∠ACB=90°，∴△BDF∽△BAC∴DFBD =ACAB，∴DF12=725，∴DF=C′E=8425，∴A′E=A′C′−C′E=7−8425=9125，故选：D．如图，过点D作DF⊥AB于点F，可证四边形EFDC′是矩形，可得C′E=DF，通过证明△BDF∽△BAC，可得DFBD =ACAB，可求出DF和C′E的长，即可求解．本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线是本题的关键．10.【答案】B【解析】解：设BC=a，AC=b，由题意可知：AB=10，∴a2+b2=102，由图可知：空白部分的面积为：(252π−12ab)，阴影部分的面积=12×(a2)2π+12×(b2)2π+12ab−252π+12ab=(a2+b2)π8−25π2+ab=100π8−25π2+ab=ab，∵阴影部分图形面积之和是空白部分图形面积之和的3倍，∴ab=3(252π−12ab)，解得ab=15π，∴△ABC的面积=12ab=7.5π．故选：B．设BC=a，AC=b，由题意可知：AB=10，根据勾股定理可得a2+b2=102，根据图可得空白部分的面积为：(252π−12ab)，阴影部分的面积=ab，再根据阴影部分图形面积之和是空白部分图形面积之和的3倍，列式计算可得ab=15π，进而可得△ABC的面积．本题考查了圆的面积，勾股定理，三角形的面积等知识点，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键．11.【答案】y=(x−4)2【解析】解：由“左加右减”的原则可知，将y=x2向右平移4个单位，所得函数解析式为：y=(x−4)2．故答案为：y=(x−4)2．直接根据“左加右减”的原则进行解答即可．本题考查的是函数图象平移的法则，根据“上加下减，左加右减”得出是解题关键．12.【答案】350【解析】解：∵以每1000张奖券为一个开奖单位，设一等奖10名，二等奖20名，三等奖30名，∴一张奖券中奖概率为10+20+301000=350，故答案为：350．用一等奖、二等奖、三等奖的数量除以奖券的总张数即可．本题考查了概率公式：随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．13.【答案】6【解析】解：ℎ=−5t2+10t+1=−5(t2−2t)+1=−5[(t−1)2−1]+1=−5(t−1)2+6，即小球达到最高点时距离地面高度是6米．故答案为：6．直接利用配方法得出二次函数顶点坐标，进而得出答案．此题主要考查了二次函数的应用，正确得出顶点式是解题关键．14.【答案】6【解析】解：∵点P是△ABC的重心，DE//AC，∴△BED∽△BCA，DE：AC=2：3，∴S△BEDS△BCA =(23)2=49，AD：AB=1：3，∵S△ABC=27cm2，∴S△BED=12cm2，∵DF//BC，∴△ADF∽△ABC，∴S△ADFS△ABC =(ADAB)2=(13)2=19，∵S△ABC=27cm2，∴S△ADF=3cm2，∵DE//AC，DF//BC，∴四边形DFCE是平行四边形，∴S ▱DFCE =S △ABC −S △BED −S △ADF =27−12−3=12cm 2，∴S △DFC =6cm 2，故答案为：6．由点P 是△ABC 的重心、DE//AC 得到DE ：AC =BD ：BA =2：3、AD ：AB =1：3、△BED∽△BCA ，从而得到△BDE 的面积，由DF//BC 得到△ADF∽△ABC ，进而得到△ADF 的面积，最后得到△DFC 的面积．本题考查了三角形的重心、相似三角形的判定与性质，解题的关键是通过重心与平行线得到三角形相似．15.【答案】√33【解析】解：∵y =−mx 2+6mx =−m(x −3)2+9m ，∴P(3,9m)，∵∠BAO =45°，∴OA =OB ，设直线AB 的解析式为y =−x +b ，代入点P 的坐标得：9m =−3+b ，∴b =9m +3，∴直线AB 的解析式为y =−x +9m +3，∴点A 的坐标为(9m +3,0)，联立直线AB 和抛物线的解析式，得：{y =−mx 2+6mx y =−x +9m +3， 即：−x +9m +3=−mx 2+6mx ，解得x =3或x =3m+1m ， ∴C(3m+1m,9m 2−1m )， ∴G(3m+1m ,0)，又∵△ACG 的面积是△PCG 面积的2倍，∴9m +3−3m+1m=2(3m+1m −3)， 解得m =−√33或m =√33， ∵抛物线的开口向下，∴m>0，∴m=√33，故答案为：√33．先用含m的式子表示出P，A，C的坐标，再根据△ACG的面积是△PCG面积的2倍列出关于m的式子，求出m即可．本题主要考查二次函数的图象与性质，关键是要牢记抛物线的顶点坐标公式，会用待定系数法求直线的解析式，能根据三角形的面积关系推导出三角形的顶点坐标的关系．16.【答案】2r−3√342【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，∴BC=AD=3，FA⊥AB，∠ABC=90°，∴AC是⊙O的直径，如图，连接OE交AB于点G，∵点E是弧AB的中点，∴OE⊥AB，AG=BG，∴OG//BC//DF，∴BE=EF，∴GE=12AF，∵AG=BG，AO=CO，∴OG=12BC=32，∴EG=OE−OG=r−32，∴AF=2EG=2r−3；如图乙，连接CE，过点A作AM⊥BF于点M，∵点E是弧AC的中点，AC是⊙O的直径，∴∠AEC=90°，∠EAC=∠ACE=45°，∴∠FBA=∠ACE=45°，∵∠FAB=90°，∴∠F=∠FBA=45°，∴△AFB是等腰直角三角形，BF，BA=FA，∴AM=12×EF⋅AM=10，∵S△AEF=12∴EF⋅AM=20，∴EF⋅BF=40，连接BD，∴∠AEF=∠ADB，∵∠F=∠F，∴△FAE∽△FBD，∴FA：FE=FB：FD，∴FA⋅FD=EF⋅BF=40，∴AF(AF+3)=40，解得AF=5或AF=−8(舍去)，∴CD=BA=AF=5，在Rt△ACD中，根据勾股定理，得AC=√DC2+AD2=√53+33=√34，∴⊙O的半径r=√342．故答案为：2r−3；√342．连接OE交AB于点G，如图甲，由垂径定理可得OE⊥AB，AG=BG，进一步可得EG和OG 是△ABF和△ABC的中位线，然后根据矩形的性质和三角形中位线定理即可求出AF；连接CE，过点A作AM⊥BF于点M，如图乙，根据已知条件和圆周角定理的推论可得△AFB是等腰直角三角形，可得AM=12BF，BA=AF，由S△AEF=10，可得EF⋅BF=40，连接BD，证明△FAE∽△FBD，然后根据相似三角形的性质可得关于AD的一元二次方程，解方程即可求出AF，即为CD，再根据勾股定理即可求出答案．本题属于圆的综合题，主要考查了圆的有关性质，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，三角形中位线定理，矩形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，一元二次方程的解法等知识点，综合性较强，具有相当的难度，正确添加辅助线，熟练掌握上述知识是解题的关键．17.【答案】(1)证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，又∵∠1=∠2，∴△ACD∽△DBE；(2)解：∵△ACD∽△DBE，∴ACBD =CDBE，∵BD=6，CD=2，AC=5，∴56=2BE，∴BE=125，∴AE=AB−BE=5−125=135．【解析】(1)由等腰三角形的性质可得∠B=∠C，即可得结论；(2)由相似三角形的性质可得ACBD =CDBE，可求BE的长，即可求解．本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，证明三角形相似是解题的关键．18.【答案】14【解析】解：(1)∵甲班包括小明在内共4名同学达到要求，∴小明被选中的概率是14．故答案为：14；(2)根据题意画图如下：共有12种等可能的情况数，其中这两人来自同一班级的有4种，则这两人来自同一班级的概率412=13．(1)直接根据概率公式求解即可；(2)根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式求解即可．本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．19.【答案】解：(1)如图，连接OC，CD，∵AD是直径，∴∠ACD=90°，∵∠ABC=∠ADC=60°，∴∠DAC=30°；(2)∵AD=4，∠DAC=30°，∠ACD=90°，∴∠DOC=2∠DAC=60°，CD=2，AC=√3CD=2√3，∴S△ACD=12×CD×AC=2√3，∴阴影部分的面积=S扇形OCD +S△AOC=60×π×2360+12×2√3=π3+√3．【解析】(1)由圆周角定理可得∠ACD=90°，∠ABC=∠ADC=60°，即可求解；(2)先求出△ACD的面积，由面积和差关系可求解．本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，扇形的面积公式灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．20.【答案】解：(1)如图所示，即为所求，(2)如图所示，即为所求，∵AE//BC，∴△AEN∽△BFN，∴AEBF =ANBN，∵AE=1，BF=4，∴ANBN =AEBF=14，∵AB=5，AC=5，∴AN=1，BN=4，∵BM=5，CM=3，∴BN+BM=9，AN+AC+CM=1+5+3=9，∴BN+BM=AN+AC+CM，∴MN平分△ABC的周长．【解析】(1)根据平行线的定义，画出图形即可；(2)取格点E、F，连接EF交AB于点N，则点N即为所求．本题考查了作图−应用与设计作图，勾股定理，相似三角形的判定与性质，网格中平行线的画法等知识，利用相似三角形的判定与性质找到点n的位置是解题的关键．21.【答案】b+12b+1【解析】解：(1)∵点A的横坐标为−1，∴当x=−1时，y=0，∴−12−b+c=0，∴c=b+12，∴OC=b+12；∵抛物线的对称轴为x=b，∴OD=b，∴AD=b+1，故答案为b+12；b+1；(2)当y=c时，−12x2+bx+c=c，∴x=0或x=2b，∵点B移动后的点恰好落在抛物线上，∴BD=2b，∴OB=OD+BD=3b，∴B(3b,0)，∴−12×(3b)2+b⋅3b+b+12=0，∴b=1或b=−13(舍去)，∴二次函数的解析式为y=−12x2+x+32．(1)由点A的横坐标为−1可知当x=−1时，y=0，可得出c=b+12，由抛物线的对称轴为x=b可求出AD的长；(2)由y=c可求出x=0或x=2b，求出B点的坐标(3b,0)，代入抛物线的解析式可求出b的值．本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数解析式的求法，用b表示线段OC和AD的长是解题的关键．22.【答案】544【解析】(1)证明：∵∠1=∠2，∴AD⏜=AC⏜，∵AB是△ABC的内接圆⊙O的直径，∴BD⏜=BC⏜，∴BD=BC；(2)解：如图，连接OD，∵AD⏜=AC⏜，∴AB⊥CD，∴∠AEC=90°，∵DC⊥CF，∴∠DCF=90°，∴∠AEC=∠DCF，∵∠A=∠D，∴△AEC∽△DCF，∴AE DC =CE CF ，∵AE ：EC =1：2，∴DC ：CF =1：2，∵DF =10√5，∴DC =10，∵OA ⊥CD ，∴DE =CE =5，AE =52，设⊙O 的半径为r ，则OE =r −52，OD =r ，在Rt △ODE 中，由勾股定理得：OD 2=DE 2+OE 2，∴r 2=52+(r −52)2， 解得：r =254， 答：圆O 的半径为254；(3)解：如图，连接BG ，∵∠DCG =90°，∴DG 是⊙O 的直径，∴∠DBG =90°，由(2)知：CD =10，DG =252，由勾股定理得：CG =√DG 2−CD 2=√(252)2−102=152， ∴FG =CF −CG =20−152=252=DG ， ∵BG ⊥DF ，∴BD =BF ，∴S △DBG =S △BGF ，∵S △DGF =12FG ⋅CD =12×252×10=1252， ∴S △DGB =1254，∵∠DEB=∠DCG=90°，∴OB//CG，∴△OBM∽△GCM，∴OMMG =OBCG=254152=56，∴OD：OM：MG=11：5：6，∴S△OMB=522×1254=62588，∴S△OMB：S△DGF=62588：1252=544．故答案为：544．(1)根据圆周角相等，可得所对的弧相等，由半圆相等可得BD⏜=BC⏜，从而得BD=BC；(2)连接OD，先证明△AEC∽△DCF，可得DC=10，DE=CE=5，AE=52，设⊙O的半径为r，则OE=r−52，OD=r，根据勾股定理列方程可解答；(3)如图，连接BG，根据圆周角定理可得DG是⊙O的直径，根据勾股定理计算CG的长，得FG的长，知FG=DG，根据等腰三角形三线合一的性质得BD=BF，证明△OBM∽△GCM，得OD：OM：MG=11：5：6，根据同高三角形面积的关系可得结论．本题考查垂径定理，圆周角定理，相似三角形的性质和判定，三角形面积，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形和等腰三角形解决问题，属于中考常考题型．23.【答案】320320【解析】解：(1)由题意，得：160+(15−13)×80=160+160=320(盒)，故答案为：320；(2)y=(x−9)×[(15−x)×80+160]=(x−9)(−80x+1360)=−80x2+2080x−12240=−80(x−13)2+1280，∵−80x+1360≥440，∴x≤11.5，∴10≤x≤11.5且x为整数，∵−80<0，∴当x<13时，y随x的增大而增大，∴当x=11时，y有最大值，最大值为960，∴y关于x的函数解析式为y=−80x2+2080x−12240，日毛利润y的最大值为960元；(3)设该超市调整方案后日利润为w元，由题意，得：w=−80x2+2080x−12240−50−[(15−x)×80+160]=−80x2+2160x−13650=−80(x−13.5)2+930，∵−80<0，对称轴为x=13.5，∴当x=13时，y=930>750，当x=13时，y=930>750，当x=15时，y=750，当x=12时，y=750，∵日毛利润不低于750元，同时又要使顾客得到实惠，∴售价之多为13元，此时销售−80×13+1360=320(盒)，故答案为：320．(1)根据当水果售价为每盒15元时，日销售量为160盒和售价在10到15元之间(含10元，15元)波动时，每盒水果的销售价格每减少1元则日销售量增加80盒，写出当售价为13元时日销售量；(2)根据(1)种方法求出日销售量，再根据日利润=每盒毛利润×销售量写出函数关系式，在自变量的取值范围由函数的性质求函数最值；(3)设该超市调整方案后日利润为w元，由题意协创述关系式，再根据函数的性质以及毛利润不低于750元，同时又要使顾客得到实惠得出结论．本题考查二次函数的应用，关键是找到等量关系写出函数关系式．<m<424.【答案】74【解析】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠DCB=∠DCE+∠BCE=90°，∵FC⊥CE，∴∠FCD+∠DCE=90°，∴∠FCD=∠ECB，∵∠FDC=∠B=90°，∴△FDC∽△EBC；(2)解：过点E作EP⊥CD于P，如图，∵△EGC是等腰三角形，∴GP=PC，∵BE=m，∴GP=CP=m，AE=8−m，∵∠AFE=∠GEH，∠A=∠DPE，∴△FAE∽△CEB，∵△FDC∽△CEB，∴BEFD =mFD=68，∴FD=43m，∵△FAE∽△EPG，∴GPAE =PEAF，即m8−m=643m+6，整理得：(m+12)(m−3)=0 m1=3，m2=−12(舍)，故m为3；(3)∵OA//OE，OC//AE，∴四边形AOCE为平行四边形，∵点O是EF中点，∴AO=OE=CE，∴△CEO是等腰三角形，由(2)可知m=3，∴FD=43m=43×3=4，∴FC=√FD2+DC2=4√5，∴CE=√BE2+BC2=√32+62=3√5，∴S△CEF=12CE⋅FC=12×3√5×4√5=30；(4)连接A′E，由已知得：AE=EA′=8−m，∵∠FAE=∠FCE=90°，∴EF为圆直径，∴C一直在圆上，要使A′落在△CEB内，则EB<EA′<EC，即m<8−m<√m2+62，解得，74<m<4，故答案为：74<m<4．(1)由四边形ABCD是矩形，易知△FDC，△EBC为直角三角形，由FC⊥CE，得出∠FCD+∠DCE=90°，从而得出∠FCD=∠ECB，从而根据相似三角形的判定方法可得结论；(2)过点E作EP⊥CD，等腰三角形EGC可得CP=BE=m，AE=8−m，由(1)得△FDC∽△EBC，求出FD，再由△FAE∽△EPG找到对应边的比值列出等量关系，求出m的值；(3)由平行四边形的判定与性质可得OA=CE，在直角三角形AEF中，根据直角三角形的性质可得OA的长，由(2)中得出m=3，分别求出CE，CF的值即可得到答案；(4)根据对称性质可得AE=A′E=8−m，再根据圆周角定理及点的位置可得不等式，求解可得答案．此题考查的是相似三角形性质和判定、等腰三角形的性质、平行四边形的判定、矩形的性质、勾股定理及圆的相关知识，熟悉相关知识并能运用是解决此题关键．。

2023_2024学年浙江省温州市九年级上册期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1. 下列事件中，随机事件是（ ）A ．掷一枚硬币，正面朝上B ．如果，那么a b =a c b c-=-C ．对于实数a ，D ．两直线平行，同位角相等20a <2.如图，点A 、B 、C 在上，若，则的度数为（ ）O 68AOB ∠=︒ACB ∠A ．B ．C ．D ．34︒42︒54︒68︒3.某校举行安全系列教育活动主题手抄报的评比活动，学校共设置了“交通安全”“消防安全”“饮食安全”“校园安全”四个主题内容．一班推荐李明与张颖参加手抄报评比，他们两人选取同一个主题的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．131416184．已知，，是拋物线上的点，则（ ）()13y -，()20y ，()33y ，()222y x k =++A ．B ．C ．D ．123y y y <<132y y y <<312y y y <<213y y y <<5.如图，，是的两条直径，点是劣弧的中点，连接，．AB CD O E BC BC DE若，则的度数为（ ）32ABC ∠=︒CDE ∠A ．B ．C ．D ．34︒29︒32︒24︒6．二次函数的图象如下左图，则一次函数与反比例函数2y ax bx c =++24y ax b ac =+-．b cy x +=在同一坐标系内的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．7. 同一平面内，一个点到圆的最小距离为6cm ，最大距离为8cm ，则该圆的半径为（ ）A. 1cmB. 7cmC. 2cm 或14cmD. 1cm 或7cm8.将进货单价为70元的某种商品按零售价100元/个售出时每天能卖出20个，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1个，为了获得最大利润，则应降价（ ）A ．5元B ．10元C ．15元D ．20元9. 《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就．它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用．书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸（ED=1寸），锯道长1尺（AB=1尺=10寸）”，问这块圆形木材的直径是多少？”如图所示，请根据所学知识计算：圆形木材的直径AC 是（ ）A. 13寸B. 20寸C. 26寸D. 28寸10．如图，抛物线与抛物线交于点，2122y ax ax a =+++2245y x x =-+-()1,2B -且分别与轴交于点，．过点作轴的平行线，分别交两条抛物线于点，，则以y D E B x A C 下结论：①无论取何值，恒小于0：②将向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度得x 2y 1y 到；2y ③当时，随着的增大，的值先增大后减小；④四边形的面积为18．2<<1x -x 12y y -AECD 其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）11.如果将抛物线y ＝（x ﹣1）2先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，那么所得的新抛物线的解析式为__________________12. 已知圆弧的度数为，圆弧的半径为4，则弧长为 _____．(结果用表示)60︒π13.一个口袋中放有除颜色外，形状大小都相同的黑白两种球，黑球6个，白球10个．现在往袋中放入m 个白球和4个黑球，使得摸到白球的概率为，则m ＝__．3514. 一个小球被抛出后，如果距离地面高度（米）和运行时间（秒）的函数解析式为h t ，那么小球达到最高点时距离地面高度是______米．25101h t t =-++15.如图1，水车又称孔明车，是我国最古老的农业灌溉工具，是珍贵的历史文化遗产．如图2，圆心O 在水面上方，且被水面截得的弦AB 长为8米，半径为5米，O 则圆心O 到水面AB 的距离为 米．16．如图，二次函数与反比例函数的图象相交于点2y ax bx c =++ky x =三个点，则不等式的解是 ．()()()1231,1,3,A y B y C y -、、2kax bx c x ++>17. 如图，半圆O 以AB 为直径，四边形ABCD 是半圆O 的内接四边形，延长BC ，AD 交于点E ，DC =BC =4，AD =14，求AB 的长 ．18. 如图，抛物线与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 的右侧），与y 轴交于点223y x x =-++C ，是的外接圆．点D 在抛物线的对称轴上，且，则点D 的坐标是 P ABC =90BDC ∠︒．三、解答题（本大题共6小题，共46分，写出必要的文字说明， 证明过程或演算步骤）19.已知抛物线经过点．求抛物线的函数表达式和顶点坐()2280y ax ax a =--≠()2,0-标．20. 如图，在中，．是的外接圆，为弧的中点，为延ABC AB AC =O ABC D AC E BA 长线上一点．(1)求证：；2B ACD ∠=∠(2)若，求的度数．35ACD ∠=︒DAE ∠21.某校在践行以“安全在我心中，你我一起行动”为主题的手抄报评比活动中，共设置了“交通安全、消防安全、饮食安全、校园安全”四个主题内容，推荐甲和乙两名学生参加评比，若他们每人从以上四个主题内容中随机选择一个，每个主题被选择的可能性相同．(1)甲选择“校园安全”主题的概率为______；(2)请用画树状图法或列表法求甲和乙选择不同主题的概率．22.如图，在足够大的空地上有一段长为a 米的旧墙，MN 某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园，其中，已知矩形菜园的一边靠墙，ABCD AD MN ≤另三边一共用了100米木栏．若设的长度为x 米，矩形菜园面积为S 平方米．AD ABCD(1)写出S 与x 的关系式（不要求写出自变量的取值范围）；(2)若，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙的长；20a =AD (3)求矩形菜园面积的最大值．ABCD 23. 如图，⊙O 是△ABD 的外接圆，AB 为直径，点C 是弧AD 的中点，连接OC ，BC 分别交AD 于点F ，E ．（1）求证：∠ABD ＝2∠C ．（2）若AB ＝10，BC ＝8，求BD 的长．24.在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），24y x x c =--+x A B A B 与轴交于点，且点的坐标为．y C A ()5,0-(1)求点的坐标；C (2)如图1，若点是第二象限内抛物线上一动点，求三角形面积的最大值；P ACPM N(3)如图2，若点是抛物线上一点，点是抛物线对称轴上一点，M A C M N是否存在点使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？M若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．答案和解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1. 下列事件中，随机事件是（ ）A ．掷一枚硬币，正面朝上B ．如果，那么a b =a c b c -=-C ．对于实数a ，D ．两直线平行，同位角相等20a <【正确答案】A2.如图，点A 、B 、C 在上，若，则的度数为（ ）O 68AOB ∠=︒ACB ∠A ．B ．C ．D ．34︒42︒54︒68︒【正确答案】A3.某校举行安全系列教育活动主题手抄报的评比活动，学校共设置了“交通安全”“消防安全”“饮食安全”“校园安全”四个主题内容．一班推荐李明与张颖参加手抄报评比，他们两人选取同一个主题的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．13141618【正确答案】B4．已知，，是拋物线上的点，则（ ）()13y -，()20y ，()33y ，()222y x k =++A ．B ．C ．D ．123y y y <<132y y y <<312y y y <<213y y y <<【正确答案】A5.如图，，是的两条直径，点是劣弧的中点，连接，．AB CD O E BC BC DE 若，则的度数为（ ）32ABC ∠=︒CDE ∠A ．B ．C ．D ．34︒29︒32︒24︒【正确答案】B7．二次函数的图象如下左图，则一次函数与反比例函数2y ax bx c =++24y ax b ac =+-．b cy x +=在同一坐标系内的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【正确答案】C 7. 同一平面内，一个点到圆的最小距离为6cm ，最大距离为8cm ，则该圆的半径为（ ）A. 1cmB. 7cmC. 2cm 或14cmD. 1cm 或7cm【正确答案】D8.将进货单价为70元的某种商品按零售价100元/个售出时每天能卖出20个，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1个，为了获得最大利润，则应降价（ ）A ．5元B ．10元C ．15元D ．20元【正确答案】A10. 《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就．它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用．书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸（ED=1寸），锯道长1尺（AB=1尺=10寸）”，问这块圆形木材的直径是多少？”如图所示，请根据所学知识计算：圆形木材的直径AC 是（ ）A. 13寸B. 20寸C. 26寸D. 28寸【正确答案】C 11．如图，抛物线与抛物线交于点，2122y ax ax a =+++2245y x x =-+-()1,2B -且分别与轴交于点，．过点作轴的平行线，分别交两条抛物线于点，，则以y D E B x A C 下结论：①无论取何值，恒小于0：②将向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度得x 2y 1y 到；2y ③当时，随着的增大，的值先增大后减小；④四边形的面积为18．2<<1x -x 12y y -AECD 其中正确的结论有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【正确答案】C 二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）11.如果将抛物线y ＝（x ﹣1）2先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，那么所得的新抛物线的解析式为__________________【正确答案】y ＝（x +1）2+1　．12. 已知圆弧的度数为，圆弧的半径为4，则弧长为 _____．(结果用表示)60︒π【正确答案】43π13.一个口袋中放有除颜色外，形状大小都相同的黑白两种球，黑球6个，白球10个．现在往袋中放入m 个白球和4个黑球，使得摸到白球的概率为，则m ＝__．35【正确答案】514. 一个小球被抛出后，如果距离地面高度（米）和运行时间（秒）的函数解析式为h t ，那么小球达到最高点时距离地面高度是______米．25101h t t =-++【正确答案】615.如图1，水车又称孔明车，是我国最古老的农业灌溉工具，是珍贵的历史文化遗产．如图2，圆心O 在水面上方，且被水面截得的弦AB 长为8米，半径为5米，O 则圆心O 到水面AB 的距离为 米．【正确答案】316．如图，二次函数与反比例函数的图象相交于点2y ax bx c =++ky x =三个点，则不等式的解是 ．()()()1231,1,3,A y B y C y -、、2kax bx c x ++>【正确答案】或10x -<<13x <<19. 如图，半圆O 以AB 为直径，四边形ABCD 是半圆O 的内接四边形，延长BC ，AD 交于点E ，DC =BC =4，AD =14，求AB 的长 ．【正确答案】1620. 如图，抛物线与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 的右侧），与y 轴交于点223y x x =-++C ，是的外接圆．点D 在抛物线的对称轴上，且，则点D 的坐标是 P ABC =90BDC ∠︒．【正确答案】或(1,1)(1,2)三、解答题（本大题共6小题，共46分，写出必要的文字说明， 证明过程或演算步骤）19.已知抛物线经过点．求抛物线的函数表达式和顶点坐()2280y ax ax a =--≠()2,0-标．解： 把代入得，解得，()2,0-()2280y ax ax a =--≠()()202228a a =⨯--⨯--1a =∴抛物线解析式为；228y x x =--∵，()22y x 2x 8x 19=--=--∴抛物线的顶点坐标为．()1,9-20. 如图，在中，．是的外接圆，为弧的中点，为延ABC AB AC =O ABC D AC E BA 长线上一点．(1)求证：；2B ACD ∠=∠(2)若，求的度数．35ACD ∠=︒DAE ∠解：（1）∵为弧的中点，D AC ∴，，AD CD = 2AC AD =∴；2B ACD ∠=∠（2）∵，，35ACD ∠=︒2B ACD ∠=∠∴，23570B ∠=⨯︒=︒∵，AB AC =∴，70B ACB ∠=∠=︒∴，7035105BCD ∠=︒+︒=︒∵四边形为的内接四边形，ABCD O ∴，18075BAD BCD ∠=︒-∠=︒∴．18075105EAD ∠=︒-︒=︒21.某校在践行以“安全在我心中，你我一起行动”为主题的手抄报评比活动中，共设置了“交通安全、消防安全、饮食安全、校园安全”四个主题内容，推荐甲和乙两名学生参加评比，若他们每人从以上四个主题内容中随机选择一个，每个主题被选择的可能性相同．(1)甲选择“校园安全”主题的概率为______；(2)请用画树状图法或列表法求甲和乙选择不同主题的概率．解：（1）由题意，甲选择“校园安全”主题的概率为，14故；14（2）设交通安全、消防安全、饮食安全、校园安全分别为A 、B 、C 、D ，画树状图为：共有16种等可能的结果，其中甲和乙选择不同主题的结果有12种，则甲和乙选择不同主题的概率为．123164=22.如图，在足够大的空地上有一段长为a 米的旧墙，MN 某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园，其中，已知矩形菜园的一边靠墙，ABCD AD MN ≤另三边一共用了100米木栏．若设的长度为x 米，矩形菜园面积为S 平方米．AD ABCD(1)写出S 与x 的关系式（不要求写出自变量的取值范围）；(2)若，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙的长；20a =AD (3)求矩形菜园面积的最大值．ABCD 解：（1）设．则，m AD x =1002x BC m -=∴；1(100)2S x x =-（2）由（1）得，1(100)2S x x =-则1450(100)2x x =-解得，（舍去），110x =290x =∴的长为；AD 10m （3）①当时，由（1）得，50a ≥211(100)(50)125022S x x x =-=--+∵，50a ≥∴时，S 的最大值为1250．50x =②当时，则，S 随的增大而增大，050a <<0x a <≤a 当时，的最大值为；x a =S 21502a a -+综上所述，当时，矩形菜园面积的最大值为平方米，050a <<ABCD 21(50)2a a -+当时，最大值为1250平方米．50a ≥24. 如图，⊙O 是△ABD 的外接圆，AB 为直径，点C 是弧AD 的中点，连接OC ，BC 分别交AD 于点F ，E ．（1）求证：∠ABD ＝2∠C ．（2）若AB ＝10，BC ＝8，求BD 的长．解：（1）证明：∵C 是的中点，AD ∴，AC CD =∴∠ABC ＝∠CBD ，∵OB ＝OC ，∴∠ABC ＝∠C ，∴∠ABC ＝∠CBD ＝∠C ，∴∠ABD ＝∠ABC +∠CBD ＝2∠C ；（2）解：连接AC ，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∴AC ＝6，=∵C 是的中点，AD∴，22222OA OF AF AC CF -==-∴，222256(5)OF OF -=--∴OF ＝1.4，又∵O 是AB 的中点，F 是AD 的中点，∴OF 是△ABD 的中位线，∴BD ＝2OF ＝2.8．24.在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），24y x x c =--+x A B A B 与轴交于点，且点的坐标为．y C A ()5,0-(1)求点的坐标；C (2)如图1，若点是第二象限内抛物线上一动点，求三角形面积的最大值；P ACP (3)如图2，若点是抛物线上一点，点是抛物线对称轴上一点，M N 是否存在点使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？M A C M N 若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．M 解：（1）（1）∵点在抛物线的图象上，(5,0)A -24y x x c =--+∴，20545c =-+⨯+即抛物线解析式为：，245y x x =--+当时，有，0x =5y =∴点的坐标为；C (0,5)（2）过作于点，过点作轴交于点，垂足为F ，如图：P PE AC ⊥E P PF x ⊥AC H∵，(5,0)A -(0,5)C∴，OA OC =AC ==∴，12APC S AC PE PE =⨯⨯= 当取最大值时，三角形面积为最大值．PE ACP ∵，OA OC =∴是等腰直角三角形，AOC ∴，45CAO ∠=︒∵轴，PF x ⊥∴，45AHF PHE ∠=︒=∠∴是等腰直角三角形，PHE∴，PE =∴当最大时，最大，PH PE 设直线解析式为，AC y kx b =+将、代入，(5,0)A -(0,5)C 得：，505k b b -+=⎧⎨=⎩∴，15k b =⎧⎨=⎩∴直线解析式为，AC 5y x =+设，，则，()2,45P m m m --+(50)m -<<(,5)H m m +∴，()22252545(5)524PH m m m m m m ⎛⎫=--+-+=--=-++ ⎪⎝⎭∵，10a =-<∴当时，最大为，52m =-PH 254∴此时最大为PE PE==∴ 面积的最大值：，ACP△1258APC S PE === 即面积最大值为：；1258（3）存在．∵，2245(2)9y x x x =--+=-++∴抛物线的对称轴为直线，2x =-设点N 的坐标为，点M 的坐标为()2,m -()2,45x x x --+分三种情况：①当为平行四边形的对角线时，如图，AM ANMC∵、，(5,0)A -(0,5)C ∴，即，C A M N x x x x -=-(2)0(5)x --=--解得，.3x =∴，2245=343516x x --+--⨯+=-∴点M 的坐标为()3,16-②当为平行四边形的对角线时，如图，AN ANMC方法同①可得，，7x =-∴，2245=(7)4(7)516x x --+---⨯-+=-∴点M 的坐标为；(7,16)--③当AC 为平行四边形的对角线时，如图，ANMC∵、，(5,0)A -(0,5)C ∴线段的中点H 的坐标为，即H ，AC 5005,22-++⎛⎫ ⎪⎝⎭55,22⎛⎫- ⎪⎝⎭∴，解得，，(2)522x +-=-3x =-∴，2245=(3)4(3)58x x --+---⨯-+=∴点M 的坐标为，()3,8-综上，点的坐标为：或或．M ()3,8-()3,16-(7,16)--。

学易金卷：2020-2021学年九年级数学上学期期中测试卷03【浙教版】姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分120分，试题共24题，选择10道．填空6道、解答8道 .答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2019春•西湖区校级月考）二次函数y ＝2x 2﹣3的二次项系数、一次项系数和常数项分別是（ ）A ．2、0、﹣3B ．2、﹣3、0C ．2、3、0D ．2、0、3【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如y ＝ax 2+bx +c （a 、b 、c 是常数，a ≠0）的函数，叫做二次函数．其中x 、y 是变量，a 、b 、c 是常量，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项可得二次项系数是2，一次项系数是0，常数项是﹣3．【解析】二次函数y ＝2x 2﹣3的二次项系数是2，一次项系数是0，常数项是﹣3，故选：A ．2．（2019秋•内江期末）下列说法正确的是（ ）A ．25人中至少有3人的出生月份相同B ．任意抛掷一枚均匀的1元硬币，若上一次正面朝上，则下一次一定反面朝上C ．天气预报说明天降水的概率为10%，则明天一定是晴天D ．任意抛掷一枚均匀的骰子，掷出的点数小于3的概率是12 【分析】根据概率的意义对各选项分析判断后利用排除法求解．【解析】A 、25人中至少有3人的出生月份相同，原说法正确，故这个选项符合题意；B 、任意抛掷一枚均匀的1元硬币，若上一次正面朝上，则下一次可能正面朝上，可能反面朝上，原说法错误，故这个选项不符合题意；C 、天气预报说明天的降水概率为10%，则明天不一定是晴天，原说法错误，故这个选项不符合题意；D 、任意抛掷一枚均匀的骰子，掷出的点数小于3的概率是13，原说法错误，故这个选项不符合题意； 故选：A ．3．（2019秋•思明区校级期中）平面上一点P 与⊙O 的点的距离的最小值是2，最大值是8，则⊙O 的直径是（ ）A ．6或10B ．3或5C ．6D ．5【分析】点P 应分为位于圆的内部位于外部两种情况讨论．当点P 在圆内时，点到圆的最大距离与最小距离的和是直径；当点P 在圆外时，点到圆的最大距离与最小距离的差是直径，由此得出答案．【解析】当点P 在圆内时，因为点P 与⊙O 的点的距离的最小值是2，最大值是8，所以圆的直径为10， 当点P 在圆外时，因为点P 与⊙O 的点的距离的最小值是2，最大值是8，所以圆的直径为6．故选：A ．4．（2019秋•石景山区期末）为了测量一个铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得的有关数据如图所示（单位：cm ），则该铁球的直径为（ ）A ．12cmB ．10cmC ．8cmD ．6cm【分析】连接AB 、CD 交于点D ，根据垂径定理求出AD ，根据勾股定理计算即可．【解析】连接AB 、CD 交于点D ，由题意得，OC ⊥AB ，则AD ＝DB =12AB ＝4，设圆的半径为Rcm ，则OD ＝（R ﹣2）cm ，在Rt △AOD 中，OA 2＝AD 2+OD 2，即R 2＝42+（R ﹣2）2，解得，R ＝5，则该铁球的直径为10cm ，故选：B ．5．（2019秋•海淀区期末）若扇形的半径为2，圆心角为90°，则这个扇形的面积为（）A ．π2B ．πC ．2πD ．4π【分析】直接利用扇形的面积公式计算．【解析】这个扇形的面积=90⋅π⋅22360=π．故选：B．6．（2020•沙坪坝区校级三模）如图，在⊙O中，AB为直径，C，E在圆周上，若∠COB＝100°，则∠AEC 的度数为（）A．30°B．20°C．40°D．50°【分析】根据等腰三角形的性质和圆周角定理即可得到结论．【解析】∵OC＝OB，∠COB＝100°，∴∠B＝∠BCO=12（180°﹣100°）＝40°，∴∠AEC＝∠B＝40°，故选：C．7．（2020•路北区一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1．下列结论：①abc ＞0；②2a+b＝0；③b2﹣4ac＜0；④4a+2b+c＞0．其中正确的是（）A．①③B．②C．②④D．③④【分析】①根据抛物线的开口方向、抛物线对称轴位置、抛物线与y轴交点位置判定a、b、c的符号；②根据对称轴的x＝1来判断对错；③由抛物线与x轴交点的个数判断对错；④根据对称轴x＝1来判断对错．【解析】①抛物线开口方向向上，则a＞0，b＝﹣2a＜0．抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0，所以abc＜0，故①错误；②如图所示，对称轴x=−b2a=1，则b＝﹣2a，则2a+b＝0，故②正确；③如图所示，抛物线与x轴有2个交点，则b2﹣4ac＞0，故③错误；④对称轴x＝1，当x＝0与x＝2时的点是关于直线x＝1的对应点，所以x＝2与x＝0时的函数值相等，所以4a+2b+c＞0，故④正确；综上所述，正确的结论为②④．故选：C．8．（2020春•惠安县期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝55°，∠C＝20°，将△ABC绕点A逆时针旋转α角度（0＜α＜180°）得到△ADE，若DE∥AB，则α的值为（）A．65°B．75°C．85°D．130°【分析】根据三角形内角和定理求出∠ABC，根据旋转得出∠EDA＝∠ABC＝105°，根据平行线的性质求出∠DAB即可．【解析】∵在△ABC中，∠BAC＝55°，∠C＝20°，∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠C═180°﹣55°﹣20°＝105°，∵将△ABC绕点A逆时针旋转α角度（0＜α＜180°）得到△ADE，∴∠ADE＝∠ABC＝105°，∵DE∥AB，∴∠ADE+∠DAB＝180°，∴∠DAB＝180°﹣∠ADE＝75°∴旋转角α的度数是75°，故选：B．9．（2020•泰兴市模拟）如图，△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝2，以A为圆心AB为半径作圆A，延长BC交圆A于点D，则CD长为（）A．5B．4C．92D．2√5【分析】如图，过点A作AE⊥BD于点E，连接AD，可得AD＝AB＝5，根据垂径定理可得DE＝BE，得CE＝BE﹣BC＝DE﹣2，再根据勾股定理即可求得DE的长，进而可得CD的长．【解析】如图，过点A作AE⊥BD于点E，连接AD，∴AD＝AB＝5，根据垂径定理，得DE＝BE，∴CE＝BE﹣BC＝DE﹣2，根据勾股定理，得AD2﹣DE2＝AC2﹣CE2，∴52﹣DE2＝42﹣（DE﹣2）2，解得DE=13 4，∴CD＝DE+CE＝2DE﹣2=9 2．故选：C．10．（2020•武汉模拟）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点P是BC边上的一个动点（点P不与点B、C重合），现将△PCD沿直线PD折叠，使点C落到点C′处；作∠BPC′的角平分线交AB于点E．设BP＝x，BE＝y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】连接DE，根据折叠的性质可得∠CPD＝∠C′PD，再根据角平分线的定义可得∠BPE＝∠C′PE，然后证明∠DPE＝90°，从而得到△DPE是直角三角形，再分别表示出AE、CP的长度，然后利用勾股定理进行列式整理即可得到y与x的函数关系式，根据函数所对应的图象即可得解．【解析】如图，连接DE，∵△PC′D是△PCD沿PD折叠得到，∴∠CPD＝∠C′PD，∵PE平分∠BPC′，∴∠BPE＝∠C′PE，∴∠EPC′+∠DPC′=12×180°＝90°，∴△DPE是直角三角形，∵BP＝x，BE＝y，AB＝3，BC＝5，∴AE＝AB﹣BE＝3﹣y，CP＝BC﹣BP＝5﹣x，在Rt△BEP中，PE2＝BP2+BE2＝x2+y2，在Rt△ADE中，DE2＝AE2+AD2＝（3﹣y）2+52，在Rt△PCD中，PD2＝PC2+CD2＝（5﹣x）2+32，在Rt△PDE中，DE2＝PE2+PD2，则（3﹣y）2+52＝x2+y2+（5﹣x）2+32，整理得，﹣6y＝2x2﹣10x，所以y=−13x2+53x（0＜x＜5），纵观各选项，只有D选项符合．故选：D．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2019秋•阳江期末）如图，已知⊙O的半径为1，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝135°，则AB＝√2．【分析】根据圆内接四边形对角互补和同弧所对的圆心角是圆周角的二倍，可以求得∠AOB的度数，然后根据勾股定理即可求得AB的长．【解析】连接AD、AE、OA、OB，∵⊙O的半径为1，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝135°，∴∠ADB＝45°，∴∠AOB＝90°，∵OA＝OB＝1，∴AB=√2，故答案为：√2．12．（2020•杭州）一个仅装有球的不透明布袋里共有4个球（只有编号不同），编号分别为1，2，3，5．从中任意摸出一个球，记下编号后放回，搅匀，再任意摸出一个球，则两次摸出的球的编号之和为偶数的概率是58．【分析】画树状图展示所有16种等可能的结果数，再找出两次摸出的球的编号之和为偶数的结果数，然后根据概率公式求解．【解析】根据题意画图如下：共有16种等情况数，其中两次摸出的球的编号之和为偶数的有10种，则两次摸出的球的编号之和为偶数的概率是1016=58． 故答案为：58． 13．（2019秋•赣州期中）已知抛物线y ＝ax 2+2ax +a +1（a ≠0）过点A （m ，3），B （n ，3）两点，若线段AB 的长不大于2，则代数式a 2﹣a ﹣2的最小值是 0 ．【分析】根据题意得a +1≥3，解不等式求得a ≥2，把x ＝2代入代数式即可求得．【解析】∵抛物线y ＝ax 2+2ax +a +1＝a （x +1）2+1（a ≠0），∴顶点为（﹣1，1），过点A （m ，3），B （n ，3）两点，∴a ＞0，∴对称轴为直线x ＝﹣1，线段AB 的长不大于2，∴a +1≥3∴a ≥2，∴a 2﹣a ﹣2的最小值为：（2）2﹣2﹣2＝0；故答案为0．14．（2020•温州三模）如图，CD 是以AB 为直径的⊙O 的一条弦，CD ∥AB ，∠CAD ＝40°，若⊙O 的半径为9cm ，则阴影部分的面积为 18π cm 2．【分析】连接OC ，OD ，判断出阴影部分的面积＝扇形OCD 的面积，根据扇形的面积公式即可求解．【解析】连接OC ，OD ，∵∠CAD ＝40°，∴∠COD＝80°，∵AB∥CD，∴△ACD的面积＝△COD的面积，∴阴影部分的面积＝扇形OCD的面积=80⋅π×92360=18π．故答案为：18π．15．（2020•硚口区校级模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＞0；③8a+c＞0；④9a+3b+c＜0．其中，正确结论的有①②③④．【分析】①由图象与x轴的交点可以判断；②根据开口方向可以判断a的正负，根据顶点坐标所在的位置可以判断b的正负，根据与y轴的交点可以判断c的正负，从而可以解答本题；③根据对称轴可以确定a、b的关系，由x＝﹣2对应的函数图象，可以判断该结论是否正确；④根据对称轴和二次函数具有对称性可以判断该结论是否正确．【解析】由二次函数的图象与x轴两个交点可知，b2﹣4ac＞0，故①正确；由二次函数的图象可知，开口向上，则a＞0，顶点在y轴右侧，则b＜0（左同右异），图象与y轴交于负半轴，则c＜0，故abc＞0，故②正确；由图象可知：−b2a=1，则b＝﹣2a，当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＞0，则y＝4a﹣2×（﹣2a）+c＞0，即8a+c＞0，故③正确；由图象可知：此函数的对称轴为x＝1，当x＝﹣1时和x＝3时的函数相等并且都小于0，故x＝3时，y ＝9a+3b+c＜0，故④正确；故答案为：①②③④．16．（2018秋•莆田期中）如图，一段抛物线C1：y＝﹣x（x﹣3）（0≤x≤3）与x轴交于点O，A；将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；如此进行下去，若P（28，m）在其中一段抛物线上，则m＝﹣2．【分析】点O到点A2是一个循环，长度为6，28÷6＝4…余4，故点P在A1右侧1个单位的位置，即可求解．【解析】点O到点A2是一个循环，长度为6，28÷6＝4 (4)故点P在A1右侧1个单位的位置，将C1绕点A1旋转180°得C2，则C2的表达式为：y＝x（x﹣3），当x＝1时，y＝﹣2＝m，故答案为：﹣2．三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（2019秋•余杭区期末）如图，某科技馆展大厅有A，B两个入口，C，D，E三个出口，小钧的任选一个入口进入展宽大厅，参观结束后任选一个出口离开．（1）若小钧已进入展览大厅，求他选择从出口C离开的概率．（2）求小购选择从入口A进入，从出口E离开的概率，（请用列表或画树状图求解）【分析】（1）直接利用概率公式计算可得；（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果，可求得小购选择从入口A进入，从出口E离开的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．【解析】（1）他选择从出口C 离开的概率为13；（2）画树形图如图得：由树形图可知所有可能的结果有6种，其中选择从入口A 进入，从出口E 离开的只有1种结果， ∴选择从入口A 进入，从出口E 离开的概率为16．18．（2019秋•萧山区期中）如图所示，△ABC 的各顶点都在8×8的网格中的格点（即各个小正方形的顶点）上．（1）将线段BC 绕图中F 、G 、H 、M 、N 五个格点中的其中一个点可旋转到线段B 2C 2（点B 的对应点为B 2）．则旋转中心是点 G ．（2）将△ABC 绕点A 顺时针旋转90°得后到的△AB 1C 1．在图中画出△AB 1C 1．【分析】（1）利用网格特点作BB 2和CC 2的垂直平分线，它们的交点为G ，从而得到旋转中心； （2）利用网格特点和旋转的性质画出B 、C 的对应点B 1、C 1即可． 【解析】（1）旋转中心是点G ； （2）如图，△AB 1C 1为所作．19．（2020春•海淀区校级期末）已知二次函数y ＝ax 2+bx +c ，自变量x 与函数y 的部分对应值如下表：x…﹣2﹣101234…y…50﹣3﹣4﹣30m…（1）二次函数图象的开口方向向上，顶点坐标是（1，﹣4），m的值为5；（2）点P（﹣3，y1）、Q（2，y2）在函数图象上，y1＞y2（填＜、＞、＝）；（3）当y＜0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3；（4）关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝5的解为x＝﹣2或4．【分析】根据表格数据确定函数的对称轴，根据函数图象对称性即可求解．【解析】（1）由表格可见，函数的对称轴为x＝1，对称轴右侧，y随x的增大而增大，故抛物线开口向上，顶点坐标为（1，﹣4），根据函数的对称性m＝5；故答案为：向上；（1，﹣4）；5；（2）从P、Q的横坐标看，点Q离函数的对称轴近，故y1＞y2；故答案为：＞；（3）从表格看，当y＜0时，x的取值范围是：﹣1＜x＜3，故答案为：﹣1＜x＜3；（4）从表格看，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝5的解为：x＝﹣2或4，故答案为：x＝﹣2或4．̂上运动（点P不与点A、B重合），20．（2019秋•玄武区期末）如图，AB是⊙O的弦，AB＝4，点P在AmB且∠APB＝30°，设图中阴影部分的面积为y．（1）⊙O的半径为4；（2）若点P到直线AB的距离为x，求y关于x的函数表达式，并直接写出自变量x的取值范围．【分析】（1）利用圆周角定理得到∠AOB＝60°，然后证明△OAB为等边三角形得到OA＝AB即可；（2）过点O作OH⊥AB，垂足为H，如图，则AH＝BH=12AB＝2，OH＝2√3，利用扇形的面积公式，根据阴影部分的面积等于弓形AB的面积加上△P AB的面积进行计算．【解析】（1）∵∠AOB＝2∠APB＝2×30°＝60°，而OA＝OB，∴△OAB为等边三角形，∴OA＝AB＝4，即⊙O的半径为4；故答案为4；（2）过点O作OH⊥AB，垂足为H，如图，则∠OHA＝∠OHB＝90°∵∠APB＝30°∴∠AOB＝2∠APB＝60°，∵OA＝OB，OH⊥AB，∴AH＝BH=12AB＝2，在Rt△AHO中，∠AHO＝90°，AO＝4，AH＝2，∴OH=√42−22=2√3，∴y=60⋅π⋅42360−12×4×2√3+12×4×x＝2x+83π﹣4√3（0＜x≤2√3+4）．21．（2020•攀枝花）如图，开口向下的抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）、B（2，0），与y轴交于点C（0，4），点P是第一象限内抛物线上的一点．（1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）设四边形CABP的面积为S，求S的最大值．【分析】（1）设二次函数表达式为y＝a（x+1）（x﹣2），再将点C代入，求出a值即可；（2）连接OP，设点P坐标为（m，﹣2m2+2m+4），m＞0，利用S四边形CABP＝S△OAC+S△OCP+S△OPB得出S关于m的表达式，再求最值即可．【解析】（1）∵A（﹣1，0），B（2，0），C（0，4），设抛物线表达式为：y＝a（x+1）（x﹣2），将C代入得：4＝﹣2a，解得：a＝﹣2，∴该抛物线的解析式为：y＝﹣2（x+1）（x﹣2）＝﹣2x2+2x+4；（2）连接OP，设点P坐标为（m，﹣2m2+2m+4），m＞0，∵A（﹣1，0），B（2，0），C（0，4），可得：OA＝1，OC＝4，OB＝2，∴S＝S四边形CABP＝S△OAC+S△OCP+S△OPB=12×1×4+12×4m+12×2×（﹣2m2+2m+4）＝﹣2m2+4m+6＝﹣2（m﹣1）2+8，当m＝1时，S最大，最大值为8．22．（2019春•西湖区校级月考）如图所示，AB＝AC，AB为⊙O的直径，AC，BC分别交⊙O于E，D，连结ED，BE．（1）试判断DE与BD是否相等，并说明理由；（2）如果BC＝6，AB＝5，求BE的长．【分析】（1）可通过连接AD，AD就是等腰三角形ABC底边上的高，根据等腰三角形三线合一的特点，可得出∠CAD＝∠BAD，根据圆周角定理即可得出∠DEB＝∠DBE，便可证得DE＝DB．（2）本题中由于BE⊥AC，那么BE就是三角形ABC中AC边上的高，可用面积的不同表示方法得出AC •BE＝CB•AD．进而求出BE的长．【解析】（1）相等，DE＝BD，理由如下：连接AD，则AD⊥BC，在等腰三角形ABC中，AD⊥BC，∴∠CAD＝∠BAD（等腰三角形三线合一），∴，ED̂=BD̂∴DE＝BD；（2）∵AB＝5，BD=12BC＝3，∴AD＝4，∵AB＝AC＝5，而△ABC的面积=12BC•AD=12AC•BE，∴AC•BE＝CB•AD，∴BE＝4.8．23．（2020•泉州模拟）二次函数y＝x2+px+q的顶点M是直线y=−12x和直线y＝x+m的交点．（1）用含m 的代数式表示顶点M 的坐标；（2）①当x ≥2时，y ＝x 2+px +q 的值均随x 的增大而增大，求m 的取值范围； ②若m ＝6，且x 满足t ﹣1≤x ≤t +3时，二次函数的最小值为2，求t 的取值范围．（3）试证明：无论m 取任何值，二次函数y ＝x 2+px +q 的图象与直线y ＝x +m 总有两个不同的交点． 【分析】（1）已知直线y =−12x 和直线y ＝x +m ，列出方程求出x ，y ，即可求出点M 的坐标； （2）①根据题意得出−2m3≤2，解不等式求出m 的取值；②当t ﹣1≤﹣4时，当﹣4≤t +3时，二次函数y 最小值＝2，解不等式组即可求得t 的取值范围； （3）根据一元二次方程根的判别式进行判断．【解析】（1）由题意得{y =−12x ，y =x +m ，解得{x =−2m 3，y =m3， ∴M(−2m 3，m3)； （2）①根据题意得−2m3≤2，解得m ≥﹣3， ∴m 的取值范围为m ≥﹣3；②当m ＝6时，顶点为M （﹣4，2），∴抛物线为y ＝（x +4）2+2，函数的最小值为2， ∵x 满足t ﹣1≤x ≤t +3时，二次函数的最小值为2， ∴{t −1≤−4，t +3≥−4， 解得﹣7≤t ≤﹣3； （3）{y =x 2+px +q y =x +m ，得x 2+（p ﹣1）x +q ﹣m ＝0，△＝（p ﹣1）2﹣4（q ﹣m ）＝p 2﹣2p +1﹣4q +4m ，∵抛物线的顶点坐标既可以表示为M(−2m 3，m 3)，又可以表示为M(−p 2，4q−p 24)．∴p =43m ，4q =43m +p 2，∴△=p 2−2p +1−(43m +p 2)+4m =−2p +1−43m +4m ， △=−2p +1−43m +4m =−2(43m)+1−43m +4m =1， ∴△＞0，∴无论m 取任何值，二次函数y ＝x 2+px +q 的图象与直线y ＝x +m 总有两个不同的交点．24．（2019秋•诸暨市期中）定义：如图1，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交于A ，B 两点，点P 在该抛物线上（P 点与A ．B 两点不重合），如果△ABP 中，P A 与PB 两条边满足其中一边是另一边的2√2倍，则称点P 为抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的“好”点．（1）命题：P （0，3）是抛物线y ＝﹣x 2+2x +3的“好”点．该命题是 假 （真或假）命题． （2）如图2，已知抛物线C ：y ＝ax 2+bx （a ＜0）与x 轴交于A ，B 两点，点P （1，2）是抛物线C 的“好”点，求抛物线C 的函数表达式．（3）在（2）的条件下，点Q 在抛物线C 上，求满足条件S △ABQ ＝S △ABP 的Q 点（异于点P ）的坐标． 【分析】（1）y ＝﹣x 2+2x +3＝0，则x ＝3或﹣1，即点A 、B 的坐标分别为：（﹣1，0）、（3，0），即可求解；（2）分P A ＝2√2PB 、PB ＝2√2P A 两种情况，分别求解即可； （3）S △ABQ ＝S △ABP ，则点P 、Q 关于抛物线对称轴对称，即可求解．【解析】（1）y ＝﹣x 2+2x +3＝0，则x ＝3或﹣1，即点A 、B 的坐标分别为：（﹣1，0）、（3，0）， 则P A =√1+9=√10，PB ＝3√2，则P A 与PB 两条边满足其中一边是另一边的2√2倍，则该命题是假命题， 故答案为：假；（2）将点P 的坐标代入抛物线表达式得：a +b ＝2， 点A （0，0），则点B （a−2a ，0），点P （1，2），则P A 2＝5，PB 2＝4+（a−2a−1）2＝4+（2a）2，①当P A ＝2√2PB 时，即5＝8[4+（2a ）2]，解得：方程无解；②当PB ＝2√2P A 时，4+（2a）2＝5×8＝40，解得：a =−13，则b =73，故抛物线的表达式为：y =−13x 2+73x ； （3）S △ABQ ＝S △ABP ，则|y Q |＝y P ＝2， 则±2=−13x 2+73x ， 解得：x ＝1（舍去）或6或7±√732， 则点Q 的坐标为：（6，2）或（7+√732，﹣2）或（7−√732，﹣2）．。