山东省菏泽市2021届新高考第一次大联考数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的所有棱中最长棱的长度为（）A．2B．22C．23D．1【答案】C【解析】【分析】利用正方体将三视图还原，观察可得最长棱为AD，算出长度.【详解】几何体的直观图如图所示，易得最长的棱长为23AD=故选：C.【点睛】本题考查了三视图还原几何体的问题，其中利用正方体作衬托是关键，属于基础题.2．如图所示，三国时代数学家赵爽在《周髀算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一内角为30°，若向弦图内随机抛掷500≈），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（）颗米粒（米粒大小忽略不计，取3 1.732A ．134B ．67C ．182D ．108【答案】B 【解析】 【分析】根据几何概型的概率公式求出对应面积之比即可得到结论. 【详解】解：设大正方形的边长为1，则小直角三角形的边长为12，则小正方形的边长为122-，小正方形的面积2112S ⎫==-⎪⎪⎝⎭则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为125001500(10.866)5000.1345006711-⎛⨯=⨯≈-⨯=⨯= ⨯⎝⎭，故选：B. 【点睛】本题主要考查几何概型的概率的应用，求出对应的面积之比是解决本题的关键. 3．已知集合{}{}2340,13A x x x B x x =-->=-≤≤，则R ()A B =I ð( ) A ．()1,3- B ．[]1,3- C ．[]1,4- D ．()1,4-【答案】B 【解析】 【分析】先由2340x x -->得4x >或1x <-，再计算R ()ðA B I 即可. 【详解】由2340x x -->得4x >或1x <-，()(),14,A ∴=-∞-⋃+∞，[]R 1,4ðA =-,又{}13B x x =-≤≤，[]R ()1,3A B ∴=-I ð. 故选：B 【点睛】本题主要考查了集合的交集，补集的运算，考查学生的运算求解能力.4．甲乙丙丁四人中，甲说：我年纪最大，乙说：我年纪最大，丙说：乙年纪最大，丁说：我不是年纪最大的，若这四人中只有一个人说的是真话，则年纪最大的是（ ） A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁【答案】C 【解析】 【分析】分别假设甲乙丙丁说的是真话，结合其他人的说法，看是否只有一个说的是真话，即可求得年纪最大者，即可求得答案. 【详解】①假设甲说的是真话，则年纪最大的是甲，那么乙说谎，丙也说谎，而丁说的是真话，而已知只有一个人说的是真话，故甲说的不是真话，年纪最大的不是甲；②假设乙说的是真话，则年纪最大的是乙，那么甲说谎，丙说真话，丁也说真话，而已知只有一个人说的是真话，故乙说谎，年纪最大的也不是乙；③假设丙说的是真话，则年纪最大的是乙，所以乙说真话，甲说谎，丁说的是真话，而已知只有一个人说的是真话，故丙在说谎，年纪最大的也不是乙；④假设丁说的是真话，则年纪最大的不是丁，而已知只有一个人说的是真话，那么甲也说谎，说明甲也不是年纪最大的，同时乙也说谎，说明乙也不是年纪最大的，年纪最大的只有一人，所以只有丙才是年纪最大的，故假设成立，年纪最大的是丙. 综上所述，年纪最大的是丙 故选：C. 【点睛】本题考查合情推理，解题时可从一种情形出发，推理出矛盾的结论，说明这种情形不会发生，考查了分析能力和推理能力，属于中档题.5．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为e ，抛物线22(0)y px p =>的焦点坐标为(1,0)，若e p =，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A ．y =B ．y =±C ．2y x =± D ．2y x =±【答案】A 【解析】 【分析】求出抛物线的焦点坐标，得到双曲线的离心率，然后求解a ，b 关系，即可得到双曲线的渐近线方程． 【详解】抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点坐标为（1，0），则p ＝2，又e ＝p ，所以e ca==2，可得c 2＝4a 2＝a 2+b 2，可得：b =，所以双曲线的渐近线方程为：y ＝． 故选：A ． 【点睛】本题考查双曲线的离心率以及双曲线渐近线方程的求法，涉及抛物线的简单性质的应用．6．已知抛物线()220y px p =>经过点(M ，焦点为F ，则直线MF 的斜率为（ ）A ．B ．4C ．2D ．-【答案】A 【解析】 【分析】先求出p ，再求焦点F 坐标，最后求MF 的斜率 【详解】解：抛物线()220y px p =>经过点(M(222p =⨯，2p =，()1,0F ，MF k =故选：A 【点睛】考查抛物线的基础知识及斜率的运算公式，基础题.7．函数()3221f x x ax =-+在()0,∞+内有且只有一个零点，则a 的值为（ ） A ．3 B ．－3 C ．2 D ．－2【答案】A 【解析】 【分析】求出2()62f x x ax '=-，对a 分类讨论，求出(0,)+∞单调区间和极值点，结合三次函数的图像特征，即可求解. 【详解】2()626()3af x x ax x x '=-=-，若0a ≤，(0,),()0x f x '∈+∞>，()f x 在()0,∞+单调递增，且(0)10=>f ，()f x 在()0,∞+不存在零点；若0a >，(0,),()0,(0,),()03ax f x x f x ''∈<∈+∞>，()3221f x x ax =-+在()0,∞+内有且只有一个零点，31()10,3327a f a a =-+=∴=. 故选:A. 【点睛】本题考查函数的零点、导数的应用，考查分类讨论思想，熟练掌握函数图像和性质是解题的关键，属于中档题.8．如图，在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别为棱 AB ，BC ，1CC 的中点，M 为棱AD 的中点，设P ，Q 为底面ABCD 内的两个动点，满足1//D P 平面EFG ，117DQ =，则PM PQ +的最小值为（ ）A ．321B ．322C ．251D ．252【答案】C 【解析】 【分析】把截面EFG 画完整，可得P 在AC 上，由117DQ =Q 在以D 为圆心1为半径的四分之一圆上，利用对称性可得PM PQ +的最小值． 【详解】如图，分别取11111,,C D D A A A 的中点,,H I J ，连接,,,GH HI IJ JE ，易证,,,,,E F G H I J 共面，即平面EFG 为截面EFGHIJ ，连接11,,AD D C AC ，由中位线定理可得//AC EF ，AC ⊄平面EFG ，EF ⊂平面EFG ，则//AC 平面EFG ，同理可得1//AD 平面EFG ，由1AC AD A =I 可得平面1AD C //平面EFG ，又1//D P 平面EFG ，P 在平面ABCD 上，∴P AC ∈． 正方体中1DD ⊥平面ABCD ，从而有1DD DQ ⊥，∴22111DQ D Q DD =-=，∴Q 在以D 为圆心1为半径的四分之一圆（圆在正方形ABCD 内的部分）上， 显然M 关于直线AC 的对称点为E ，22421251PM PQ PE PQ PE PD DQ ED DQ +=+≥+-≥-=+=，当且仅当,,,E P Q D 共线时取等号，∴所求最小值为251． 故选：C ． 【点睛】本题考查空间距离的最小值问题，解题时作出正方体的完整截面求出P 点轨迹是第一个难点，第二个难点是求出Q 点轨迹，第三个难点是利用对称性及圆的性质求得最小值． 9．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若111,,tan tan tan A B C依次成等差数列，则（ ） A ．,,a b c 依次成等差数列 B ,,a b c C ．222,,a b c 依次成等差数列 D ．333,,a b c 依次成等差数列【答案】C 【解析】 【分析】由等差数列的性质、同角三角函数的关系以及两角和的正弦公式可得2sin 2cos sin sin BB A C=，由正弦定理可得22cos a B b =，再由余弦定理可得2222a c b +=，从而可得结果.111,,tan tan tan A B CQ依次成等差数列，()sin +112cos sin sin cos sin 2cos ,==tan tan tan sin sin sin sin sin sin sin A C A C A C B BA CB AC A C A C B+∴+==， 2sin 2cos sin sin BB A C=正弦定理得22cos a B b =， 由余弦定理得2222a c b b +-= ，2222a c b +=，即222,,a b c 依次成等差数列，故选C. 【点睛】本题主要考查等差数列的定义、正弦定理、余弦定理，属于难题. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到． 10．若i 为虚数单位，则复数22sin cos 33z i ππ=-+的共轭复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 【解析】 【分析】由共轭复数的定义得到z ，通过三角函数值的正负，以及复数的几何意义即得解 【详解】 由题意得22sincos 33z i ππ=--，因为2sin03π-=<，21cos032π-=>， 所以z 在复平面内对应的点位于第二象限． 故选：B 【点睛】本题考查了共轭复数的概念及复数的几何意义，考查了学生概念理解，数形结合，数学运算的能力，属于基础题.11．已知命题p ：“a b >”是“22a b >”的充要条件；:q x ∃∈R ，|1|x x +≤，则（ ） A ．()p q ⌝∨为真命题 B ．p q ∨为真命题 C ．p q ∧为真命题 D ．()p q ∧⌝为假命题【答案】B【分析】由2xy =的单调性，可判断p 是真命题；分类讨论打开绝对值，可得q 是假命题，依次分析即得解 【详解】由函数2xy =是R 上的增函数，知命题p 是真命题． 对于命题q ，当10x +≥，即1x ≥-时，11x x x +=+>； 当10x +<，即1x <-时，11x x +=--， 由1x x --≤，得12x =-，无解，因此命题q 是假命题．所以()p q ⌝∨为假命题，A 错误；p q ∨为真命题，B 正确；p q ∧为假命题，C 错误；()p q ∧⌝为真命题，D 错误．故选：B 【点睛】本题考查了命题的逻辑连接词，考查了学生逻辑推理，分类讨论，数学运算的能力，属于中档题. 12．函数()()()sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的图象如图所示，为了得到()cos g x x ω=的图象，可将()f x 的图象（ ）A ．向右平移6π个单位 B ．向右平移12π个单位C ．向左平移12π个单位D ．向左平移6π个单位 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦型函数的图象得到()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，结合图像变换知识得到答案.由图象知：7212122T T ππππ=-=⇒=，∴2ω=. 又12x π=时函数值最大，所以2221223k k πππϕπϕπ⨯+=+⇒=+.又()0,ϕπ∈， ∴3πϕ=，从而()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，()cos 2sin 2sin 22123g x x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==+=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 只需将()f x 的图象向左平移12π个单位即可得到()g x 的图象，故选C. 【点睛】已知函数()sin (0,0)y A x B A ωϕω=++>>的图象求解析式 (1)max min max min ,22y y y y A B -+==.(2)由函数的周期T 求2,.T πωω= (3)利用“五点法”中相对应的特殊点求ϕ，一般用最高点或最低点求． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
山东省菏泽市2021届高三第一次模拟考试数学试卷一、选择题1.若()1+i 2i z ⋅=，则z 的虚部是（ ） A ．-1B ．1C ．iD ．-i2.设集合{}{}123,10x A x x x B x e -=<>=-<或，则A B ⋂=（ ） A ．(),1-∞B ．(21)－，C ．(2)1，D ．(3)+∞，3.命题“2,0x R x ∀∈≥”的否定是（ ） A ．2,0x R x ∃∈≥B ．2,0x R x ∀∈<C ．2,0x R x ∃∈<D ．2,0x R x ∃∈≤4.2020年5月我国抗击新冠肺炎疫情工作取得阶段性胜利，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，下列说法正确的是（ ）A ．这11天复工指数和复产指数均逐日增加B ．这11天期间，复产指数的极差大于复工指数的极差C ．第3天至第11天复工复产指数均超过80％D ．第9天至第11天复工指数的增量大于复产指数的增量 5.函数sin xxx x y e e -+=+的图象大致为 （ ）A. B.C. D.6.菏泽万达商场在春节前开展商品促销活动，顾客凡购物金额满50元，则可以从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，若有4名顾客都领取一件礼品，则他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同的概率是（ ） A ．59B ．49 C ．89D ．9167.在地球公转过程中，太阳直射点的纬度随时间周而复始不断变化，太阳直射点回归运动的一个周期就是一个回归年．某科研小组以某年春分(太阳直射赤道且随后太阳直射点逐渐北移的时间)为初始时间，统计了连续400天太阳直射点的纬度值(太阳直射北半球时取正值，直射南半球时取负值)．设第x 天时太阳直射点的纬度值为y ，该科研小组通过对数据的整理和分析，得到y 与x 近似满足23.439y = 291 1sin 0.017 202 79x ．则每400年中，要使这400年与400个回归年所含的天数最为接近，应设定闰年的个数为(精确到1)（ ） 参考数据0.01720279π≈182.621 1 A ．95B ．96C ．97D ．988.在等比数列{}n a 中．()12341231ln .1a a a a a a a a +++=++>若，则（ ） A ．12a a < B ．23a a < C ．34a a < D ．14a a <二、填空题9.()52x x y ++的展开式中，52x y 的系数为________．10.设,a b 为单位向量，且1-=a b ，则2+=a b _________．11.在抛物线24y x =上任取一点A (不为原点)，F 为抛物线的焦点，连接AF 并延长交抛物线于另一点B ，过A B ，分别作准线的垂线，垂足分别为C D ，．记线段CD 的中点为T ，则ATB ∆面积的最小值为_______.12.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且()()()01,1f g x f x ==-是奇函数，则()2021f =________，()411n i f i -==∑________．三、解答题13.在ABC ∆中，角A B C ，，所对的边分别为,,a b c ，已知1b =，面积28sin a S A=．再从以下两个条件中选择其中一个作为已知，求三角形的周长． (1) π=6B ； (2)BC =．14.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且122n n a S +=+，数列{}n b 满足()112,2n n b n b nb +=+=，其中n N *∈．(1)分别求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)在n a 与1n a +之间插入n 个数，使这2n +个数组成一个公差为n c 的等差数列，求数列{}n n b c 的前行项和n T ．15.如图，三棱锥P ABC -中，侧棱PA ⊥底面ABC C ，点在以AB 为直径的圆上．(1)若PA AC =，且E 为PC 的中点，证明：AE PB ⊥； (2)若PA AC BC ==，求二面角C BP A --的大小．16.共享单车进驻城市,绿色出行引领时尚.某市有统计数据显示,2020年该市共享单车 用户年龄等级分布如图1所示,一周内市民使用单车的频率分布扇形图如图2所示. 若将共享单车用户按照年龄分为“年轻人”(20岁-39岁)和“非年轻人”(19岁及 以下或者40岁及以上)两类,将一周内使用的次数为6次或6次以上的称为“经常 使用单车用户”,使用次数为5次或不足5次的称为“不常使用单车用户”.已知在“经常使用单车用户”中有56是“年轻人”.(1)现对该市市民进行“经常使用共享单车与年龄关系”的调查,采用随机抽样的方 法,抽取一个容量为200的样本,请你根据图表中的数据,补全下列22⨯列联表, 并根据列联表的独立性检验,判断是否有85%的把握认为经常使用共享单车与年 龄有关？单车的“非年轻人”人数为随机变量X ,求X 的分布列与期望.其中,2,()()()()K n a b c d a b c d a c b d ==+++++++17.已知椭圆()22122:10y x C a b a b +=>>的左右焦点分别为12,F F ，点12A ⎫⎪⎭在椭圆上；直线1AF 交y 轴于点B ，且22AF OB =-，其中O 为坐标原点． (1)求椭圆1C 的方程；(2)直线l 斜率存在，与椭圆1C 交于D E ，两点，且与椭圆()22222:01y x C a b λλ+=<<有公共点，求DOE ∆面积的最大值．18.已知函数()()()()ln ,2x f x x kx k R g x x e =-∈=-． (1)若()f x 有唯一零点，求k 的取值范围； (2)若()()1g x f x -≥恒成立，求k 的取值范围．参考答案1.答案：B解析：(1i)(1i)2i(1i)222i 1i z z z ⋅+-=-⇒=+⇒=+,选B. 2.答案：A解析：1e 101x x --<⇒<,则(,1)A B ⋂=-∞，选A. 3.答案：C 解析： 4.答案：C 解析： 5.答案：B 解析： 6.答案：B 解析：2114324C C C 1493⨯=,选B. 7.答案：C 解析：2182.62112365.2422,400(365)96.880.01720279T T π=≈⨯≈-≈,选C.8.答案：B解析：当1q >时，()1234123123ln a a a a a a a a a a +++>++>++，不满足题意；当1q <-时，等式左边12310,a a a a <++>，所以等式右边()1231ln ln 0a a a a =++>>，所以10q -<<，选B. 9.答案：30 解析：10.解析： 11.答案：4解析：取AB 的中点为22111,||||1124444A B ATBA B A B y y M STM y y AB y y ⎛=-=-=+++ ⎝12442A B y y ⎛+= ⎝，其中22444041A B y x y my y y x my ⎧=⇒--=⇒=-⎨=+⎩， 故2A B y y ==时面积最小为4. 12.答案：0;-1 解析：13.答案：（1）由正弦定理知，211sin sin 228sin a S ab C ab C A=∴=，整理得4sin sin b A C a =，由正弦定理得4sin sin sin sin ,4sin sin 1B A C A B C =∴=， 1sin sin 4B C ∴=，若选择条件（1），由6B π=；得1sin 2B =，则1sin 2C =， 又因为,,A B C 为三角形的内角，6B C π==∴， 23A π=∴，由正弦定理得sin sin sin a b c A B C==，代入1b c ==，解得a =2+（2）由B C =得sin sin B C =， 又11sin sin ,sin sin 42B C B C =∴==，又因为,,A B C 为三角形的内角，6B C π==∴， 23A π=∴，由正弦定理得sin sin sin a b c A B C==，代入1b c ==，解得a =2+解析：.14.答案：（1）设等比数列{}n a 的公比为q,由已知122n n a S +=+，可得122(2)n n a S n -=+， 相减可得1122n n n n a a S S +--=-， 即12n n n a a a +-=，整理得13n n a a +=，可知3q =，已知122n n a S +=+，令1n =，得2122a a =+，即1122a q a =+，解得12a =， 故等比数列{}n a 的通项公式为()1*23n n a n -=⋅∈N ，由()*112,(2),n n b n b nb n +=+=∈N 得12n n b n b n++=，那么3124123213451,,,,,12321n n n n b b b b b n n b b b b n b n ---+=====--， 以上n 个式子相乘，可得1(1)3451123212n b n n n n b n n ++=⨯⨯⨯=--， (1)(2)n b n n n =+，又12b =满足上式，所以{}n b 的通项公式()*(1)n b n n n =+∈N .（2）若在n a 与1n a +之间插入n 个数，使这2n +个数组成一个公差为n c 的等差出列，则1(1)n n n a a n c +-=+，即为12323(1)n n n n c -⋅-⋅=+，整理得，1431n n c n -⋅=+，所以143n n n b c n -=⋅⋅，11223311n n m n m T b c b c b c b c b c --=+++++012214134234334(1)343n n n n --=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅++⋅-+⋅⋅()012214132333(1)33n n n n --=⋅+⋅+⋅++-+⋅121341323(1)33n n n T n n -⎡⎤=⋅+⋅++-+⋅⎣⎦，两式相减得： ()01211324333334313n n nn n T n n -⎛⎫--=++⋅++-⋅=-⋅ ⎪-⎝⎭，所以()*13231(21)32n nn n T n n n ⎛⎫-=⋅+=+-∈ ⎪⎝⎭N . 解析：15.答案：（1）易知当,PA AC E =为PC 的中点时，AE PC ⊥；且由C 点在以AB 为直径的圆上，可得AC BC ⊥，另外PA ⊥底面ABC ，且BC ⊂面ABC ，则PA BC ⊥， 而PA ⊂面,PAC AC ⊂面,PAC PA AC A ⋂=，可知BC ⊥面PAC ， 因为AE ⊂面PAC ，所以BC AE ⊥，又PC ⊂面,PBC BC ⊂面PBC ，且PC BC C ⋂=，可知AE ⊥面PBC ，又PB ⊂平面PBC ，故AE PB ⊥.（2）如图，过点E 作EF PB ⊥交PB 于点F ，由,AE PB EF PB ⊥⊥可知AFE ∠为二面角C BP A --的平面角，若设PA a =，则可得,,AF AE a EF ===， 由余弦定理知2221cos 22AF EF AE AFE AF EF +-∠==⋅，则二面角C BP A --的大小为60°. 解析：16.答案：(1)补全的列联表如下：22200(100206020) 2.083 2.0721208016040K ⨯⨯-⨯=⨯>⨯⨯⨯∴即有85%的把握可以认为经常使用共享单车与年龄有关.(2)由(1)的列联表可知，经常使用共享单车的“非年轻人”占样本总数的频率为20100%10%200⨯=，即在抽取的用户中出现经常使用单车的“非年轻人”的概率为0.1， (3,0.1),0,1,2,3,X B X ~=3(0)(10.1)0.729,(1)0.243P X P X ==-===∴ 3(2)0.027,(3)0.10.001P X P X ===== ∴X 的分布列为∴的数学期望. 解析：17.答案：（1）由22AF OB =-可得20)F，即c =，另外12A ⎫⎪⎭在椭圆上，因此223114a b +=，即()2231143a a +=-，解得24a =，或294a =（舍）， 故椭圆1C 的方程2214x y +=.（2）设直线l 的方程为y kx m =+，原点到直线l的距离为d =，联立方程组2244x y y kx m⎧+=⎨=+⎩，并化简得()222148440k x kmx m +++-=，设()()1122,,,D x y E x y ，则2121222844,1414km m x x x x k k --+==++，DE ==故11||22DDESd DE m =⋅====， 而由2244x y y kx mλ⎧+=⎨=+⎩，可得()222148440k x kmx m λ+++-=，则()()22222(8)414440, ?´ 14m km kmk λλ-+-+， 故①当102λ<<时，则221214m k λ<+，故221214m kλ=<+，即直线与椭圆22222:y x C a b λ+=相切时面积最大为（2）当112λ<时，易知221214m k =+时，DOE 面积最大为1， 综上可得()max10211,12DOESλλ⎧<<⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩.解析：18.答案：（1）由()ln f x x kx =-有唯一零点， 可得，方程ln 0x kx -=有唯一实根， 即得ln x k x =，令ln ()x h x x =，则21ln ()xh x x '-=，由'()0h x >，得0x e <<， 由'()0h x <，得e,()x h x >∴在(0,)e 上单调增，在(,)e +∞上单调递减，1()(e)eh x h ∴=，又(1)0h =，所以01x <<时，()0h x <，另x e >时，ln ()0xh x x=>， 综上可得1k e=或0k ≤.（2）()e 2(ln )1x x x kx ---恒成立，且0x >，1ln e 2x xkx+∴-+， 令1ln ()e 2xx x x ϕ+=-+，则22ln e ()x x x x x ϕ'--=， 令2()ln e x x x x μ=--，则()0,()x x μμ'<∴在(0,)+∞单调递减，又12e 11e 0,(1)e 0e μμ-⎛⎫=->=-< ⎪⎝⎭，由零点存在性定理知，有唯一零点01,1e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使()00x μ=，即0200ln x x x e -=， 两边取对数可得()000ln ln 2ln x x x -=+，即()()0000ln ln ln ln x x x x -+-=+， 由函数ln y x x =+为单调增函数，可得00ln x x =-，由以上分析知，()x ϕ在0(0,)x 单调递增，在0(,)x +∞单调递减， ()00000001ln 11()e 221x x x x x x x x ϕϕ+-∴=-+=-+=， ()01k x ϕ=，即k 的取值范围为1k ≥.。
山东省菏泽市2021届新高考第一次大联考数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的所有棱中最长棱的长度为（ ）A．2 B．22 C．23 D．1【答案】C【解析】【分析】利用正方体将三视图还原，观察可得最长棱为AD，算出长度.【详解】AD=几何体的直观图如图所示，易得最长的棱长为23故选：C.【点睛】本题考查了三视图还原几何体的问题，其中利用正方体作衬托是关键，属于基础题.2．如图所示，三国时代数学家赵爽在《周髀算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一内角为30°，若向弦图内随机抛掷500颗米粒（米粒大小忽略不计，取3 1.732≈），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（ ）A ．134B ．67C ．182D ．108【答案】B 【解析】 【分析】根据几何概型的概率公式求出对应面积之比即可得到结论. 【详解】解：设大正方形的边长为1，则小直角三角形的边长为13,22，则小正方形的边长为3122-，小正方形的面积23131222S ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭， 则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为31325001500(10.866)5000.134********-⎛⎫⨯=-⨯≈-⨯=⨯= ⎪ ⎪⨯⎝⎭，故选：B. 【点睛】本题主要考查几何概型的概率的应用，求出对应的面积之比是解决本题的关键. 3．已知集合{}{}2340,13A x x x B x x =-->=-≤≤，则R ()A B =I ð( )A ．()1,3-B ．[]1,3-C ．[]1,4-D ．()1,4-【答案】B 【解析】 【分析】先由2340x x -->得4x >或1x <-，再计算R ()ðA B I 即可. 【详解】由2340x x -->得4x >或1x <-，()(),14,A ∴=-∞-⋃+∞，[]R 1,4ðA =-,又{}13B x x =-≤≤，[]R ()1,3A B ∴=-I ð. 故选：B 【点睛】本题主要考查了集合的交集，补集的运算，考查学生的运算求解能力.4．甲乙丙丁四人中，甲说：我年纪最大，乙说：我年纪最大，丙说：乙年纪最大，丁说：我不是年纪最大的，若这四人中只有一个人说的是真话，则年纪最大的是（ ） A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁【答案】C 【解析】 【分析】分别假设甲乙丙丁说的是真话，结合其他人的说法，看是否只有一个说的是真话，即可求得年纪最大者，即可求得答案. 【详解】①假设甲说的是真话，则年纪最大的是甲，那么乙说谎，丙也说谎，而丁说的是真话，而已知只有一个人说的是真话，故甲说的不是真话，年纪最大的不是甲；②假设乙说的是真话，则年纪最大的是乙，那么甲说谎，丙说真话，丁也说真话，而已知只有一个人说的是真话，故乙说谎，年纪最大的也不是乙；③假设丙说的是真话，则年纪最大的是乙，所以乙说真话，甲说谎，丁说的是真话，而已知只有一个人说的是真话，故丙在说谎，年纪最大的也不是乙；④假设丁说的是真话，则年纪最大的不是丁，而已知只有一个人说的是真话，那么甲也说谎，说明甲也不是年纪最大的，同时乙也说谎，说明乙也不是年纪最大的，年纪最大的只有一人，所以只有丙才是年纪最大的，故假设成立，年纪最大的是丙. 综上所述，年纪最大的是丙 故选：C. 【点睛】本题考查合情推理，解题时可从一种情形出发，推理出矛盾的结论，说明这种情形不会发生，考查了分析能力和推理能力，属于中档题. 5．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为e ，抛物线22(0)y px p =>的焦点坐标为(1,0)，若e p =，则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A ．3y x =± B ．22y x =± C ．52y x =±D ．22yx =±【答案】A 【解析】 【分析】求出抛物线的焦点坐标，得到双曲线的离心率，然后求解a ，b 关系，即可得到双曲线的渐近线方程． 【详解】抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点坐标为（1，0），则p ＝2， 又e ＝p ，所以e ca==2，可得c 2＝4a 2＝a 2+b 2，可得：b 3=a ，所以双曲线的渐近线方程为：y ＝±3x ． 故选：A ． 【点睛】本题考查双曲线的离心率以及双曲线渐近线方程的求法，涉及抛物线的简单性质的应用．6．已知抛物线()220y px p =>经过点()2,22M ，焦点为F ，则直线MF 的斜率为（ ）A ．22B ．24C ．22D ．22-【答案】A 【解析】 【分析】先求出p ，再求焦点F 坐标，最后求MF 的斜率 【详解】解：抛物线()220y px p =>经过点()2,22M()22222p =⨯，2p =，()1,0F ，22MF k =，故选：A 【点睛】考查抛物线的基础知识及斜率的运算公式，基础题. 7．函数()3221f x x ax =-+在()0,∞+内有且只有一个零点，则a 的值为（ ） A ．3 B ．－3 C ．2 D ．－2【答案】A 【解析】 【分析】求出2()62f x x ax '=-，对a 分类讨论，求出(0,)+∞单调区间和极值点，结合三次函数的图像特征，即可求解. 【详解】2()626()3af x x ax x x '=-=-，若0a ≤，(0,),()0x f x '∈+∞>，()f x 在()0,∞+单调递增，且(0)10=>f ，()f x 在()0,∞+不存在零点；若0a >，(0,),()0,(0,),()03ax f x x f x ''∈<∈+∞>，()3221f x x ax =-+在()0,∞+内有且只有一个零点，31()10,3327af a a =-+=∴=. 故选:A. 【点睛】本题考查函数的零点、导数的应用，考查分类讨论思想，熟练掌握函数图像和性质是解题的关键，属于中档题.8．如图，在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别为棱 AB ，BC ，1CC 的中点，M 为棱AD 的中点，设P ，Q 为底面ABCD 内的两个动点，满足1//D P 平面EFG ，117DQ =，则PM PQ +的最小值为（ ）A ．321-B ．322-C ．251-D ．252-【答案】C 【解析】 【分析】把截面EFG 画完整，可得P 在AC 上，由117DQ =知Q 在以D 为圆心1为半径的四分之一圆上，利用对称性可得PM PQ +的最小值． 【详解】如图，分别取11111,,C D D A A A 的中点,,H I J ，连接,,,GH HI IJ JE ，易证,,,,,E F G H I J 共面，即平面EFG 为截面EFGHIJ ，连接11,,AD D C AC，由中位线定理可得//AC EF ，AC ⊄平面EFG ，EF ⊂平面EFG ，则//AC 平面EFG ，同理可得1//AD 平面EFG ，由1AC AD A =I 可得平面1AD C //平面EFG ，又1//D P 平面EFG ，P 在平面ABCD 上，∴P AC ∈． 正方体中1DD ⊥平面ABCD ，从而有1DD DQ ⊥，∴22111DQ D Q DD =-=，∴Q 在以D 为圆心1为半径的四分之一圆（圆在正方形ABCD 内的部分）上， 显然M 关于直线AC 的对称点为E ，22421251PM PQ PE PQ PE PD DQ ED DQ +=+≥+-≥-=+-=-，当且仅当,,,E P Q D 共线时取等号，∴所求最小值为251-． 故选：C ．【点睛】本题考查空间距离的最小值问题，解题时作出正方体的完整截面求出P 点轨迹是第一个难点，第二个难点是求出Q 点轨迹，第三个难点是利用对称性及圆的性质求得最小值． 9．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若111,,tan tan tan A B C依次成等差数列，则（ ）A ．,,a b c 依次成等差数列B ．,,a b c 依次成等差数列C ．222,,a b c 依次成等差数列D ．333,,a b c 依次成等差数列【答案】C 【解析】 【分析】由等差数列的性质、同角三角函数的关系以及两角和的正弦公式可得2sin 2cos sin sin BB AC =，由正弦定理可得22cos a B b =，再由余弦定理可得2222a c b +=，从而可得结果.111,,tan tan tan A B C Q依次成等差数列，()sin +112cos sin sin cos sin 2cos ,==tan tan tan sin sin sin sin sin sin sin A C A C A C B BA CB AC A C A C B +∴+==， 2sin 2cos sin sin B B A C=正弦定理得22cos a B b =，由余弦定理得2222a cb b +-= ，2222a c b +=，即222,,a b c 依次成等差数列，故选C. 【点睛】本题主要考查等差数列的定义、正弦定理、余弦定理，属于难题. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到． 10．若i 为虚数单位，则复数22sin cos 33z i ππ=-+的共轭复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 【解析】 【分析】由共轭复数的定义得到z ，通过三角函数值的正负，以及复数的几何意义即得解 【详解】 由题意得22sin cos33z i ππ=--，因为23sin032π-=-<，21cos032π-=>，所以z 在复平面内对应的点位于第二象限． 故选：B 【点睛】本题考查了共轭复数的概念及复数的几何意义，考查了学生概念理解，数形结合，数学运算的能力，属于基础题.11．已知命题p ：“a b >”是“22a b >”的充要条件；:q x ∃∈R ，|1|x x +≤，则（ ） A ．()p q ⌝∨为真命题 B ．p q ∨为真命题 C ．p q ∧为真命题 D ．()p q ∧⌝为假命题【答案】B【分析】由2x y =的单调性，可判断p 是真命题；分类讨论打开绝对值，可得q 是假命题，依次分析即得解 【详解】由函数2xy =是R 上的增函数，知命题p 是真命题．对于命题q ，当10x +≥，即1x ≥-时，11x x x +=+>； 当10x +<，即1x <-时，11x x +=--， 由1x x --≤，得12x =-，无解，因此命题q 是假命题．所以()p q ⌝∨为假命题，A 错误；p q ∨为真命题，B 正确；p q ∧为假命题，C 错误；()p q ∧⌝为真命题，D 错误．故选：B 【点睛】本题考查了命题的逻辑连接词，考查了学生逻辑推理，分类讨论，数学运算的能力，属于中档题. 12．函数()()()sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的图象如图所示，为了得到()cos g x x ω=的图象，可将()f x 的图象（ ）A ．向右平移6π个单位B ．向右平移12π个单位C ．向左平移12π个单位D ．向左平移6π个单位【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦型函数的图象得到()sin 23f x xπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，结合图像变换知识得到答案.【详解】由图象知：7212122T T ππππ=-=⇒=，∴2ω=.又12x π=时函数值最大，所以2221223k k πππϕπϕπ⨯+=+⇒=+.又()0,ϕπ∈，∴3πϕ=，从而()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()cos 2sin 2sin 22123g x x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==+=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 只需将()f x 的图象向左平移12π个单位即可得到()g x 的图象，故选C. 【点睛】已知函数()sin (0,0)y A x B A ωϕω=++>>的图象求解析式 (1)max minmax min,22y y y y A B -+==.(2)由函数的周期T 求2,.T πωω=(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求ϕ，一般用最高点或最低点求． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021届山东省菏泽市高三第一次模拟考试数学（理）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的.1. 已知集合，则A. B.C. D.【答案】C【解析】因为集合，，所以，故选C.2. 已知复数满足（为虚数单位），则为A. 2B.C.D. 1【答案】C【解析】由，得，∴，故选C.3. 已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列正确的是A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】D【解析】若，则，D正确；分析知选项A，B，C中位置不能确定，均不正确，故选D.4. 若在区间上随机取两个数，则这两个数之和小于3的概率是A. B. C. D.【答案】A【解析】如图，在区间[0，2]上随机取两个数为x，y，则不等式组，表示的平面区域为边长是2的正方形OACE区域．又，所以所求概率.故选A5. 若双曲线的离心率，则实数的取值范围为A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意易得，则，即．故选D.6. 等比数列中，是方程的两个实数根，则的值为A. 2B. 或C.D.【答案】B【解析】是方程的根，，即或..故选B.7. 执行如图所示的程序框图，输入，若要求输出不超过500的最大奇数，则◇内应填A. B. C. D.【答案】C【解析】输入，则，不符合；，则，不符合；，则，符合.又，所以输出m的值应为5，所以空白框内应填输出．故选C8. 若的展开式中含有常数项，且的最小值为，则A. B. C. D.【答案】C【解析】展开式的通项为，因为展开式中含有常数项，所以，即为整数，故n的最小值为5．所以.故选C点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.9. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积是A. B. C. D.【答案】D【解析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，其外接球相当于以俯视图为底面侧棱长为1的直三棱柱的外接球，再由正弦定理易得底面三角形的外接圆半径，球心到底面的距离，故球半径，故球的表面积，故选D.点睛：涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解. 10. 已知，若将函数的图象向右平移个单位长度后所得图象关于轴对称，则的最小值为A. B. C. D.【答案】D【解析】由得，又，则，所以，所以．将向右平移个单位长度后得到，因为函数的图象关于y轴对称，所以，即.又，所以当时，取得最小值. 故选D.点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言.11. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过作垂直于轴的直线交椭圆于，两点，若的内切圆半径为，则椭圆的离心率A. B. 或 C. D.【答案】B【解析】如图，设内切圆圆心为C，半径为r，则.即，∴，∴.整理得，解得或.故选B.点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等......................12. 已知是定义域为的单调函数，若对任意都有，且关于的方程在区间上有两个不同实数根，则实数的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意知必存在唯一的正实数m满足，，∴，∴，∴，解得m=3．故．又关于x的方程在区间（0，3]上有两个不同实数根，即关于x 的方程在区间（0，3]上有两个不同实数根．由，得.当时，，单调递减；与时，，单调递增，∴在处取得最大值a.，．分别作出函数和函数的部分图象：两图象只有一个交点（l，0），将的图象向上平移，且经过点（3，1），由，得．综上．故选A.点睛：已知函数零点求参数的范围的常用方法，(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，作出函数的图象，然后数形结合求解．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 记表示不超过的最大整数，例如，已知则__________.【答案】【解析】∵，∴. 又∵，∴，即.14. 若实数满足，则的最小值是__________.【答案】【解析】不等式可表示为如图所示的平面区域.为该区域内的点与坐标原点连线的斜率，显然，当x=3，y=1时，取得最小值.点睛：线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.15. 已知平面向量均为单位向量，若，则的取值范围为__________.【答案】【解析】∵三个平面向量均为单位向量，，∴设，，，则，，∴.它表示单位圆上的点到定点P（2，3）的距离，其最大值是，最小值是.∴的取值范围是.16. 已知等差数列前项和为，且，若满足不等式的正整数有且仅有3个，则实数的取值范围为__________.【答案】【解析】不妨设，由，得，则，所以，令，则），易得数列在时单调递减；在n＞5时单调递增. 令，有，，. 若满足题意的正整数n只有3个，则n只能为4，5，6，故实数的取值范围为.点睛：求解数列中的最大项或最小项的一般方法先研究数列的单调性，可以用或也可以转化为函数最值问题或利用数形结合求解. 三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 第17题〜第21题为必考题，每个题目考生都必须作答. 第22题〜第23题为选考题，考生根据要求作答.17. 在中，分别是角的对边，且，.（1）求的值；（2）若，求的面积.【答案】(1) ;(2).【解析】试题分析：（1）先根据正弦定理将边角关系化为边的关系，再根据余弦定理得B，根据正弦定理得，由同角关系得，最后根据三角形内角关系以及两角和正弦公式求的值；（2）根据三角形面积公式求面积.试题解析：（1）∵，由正弦定理得.∴，∴.又，∴.∵，∴，∴，由3a=2b知，a＜b，∴A为锐角，∴.∴（2）∵b=6，，∴a=4.∴.18. 如图，在几何体中，四边形是边长为2的菱形，平面，平面，，.（1）当长为多少时，平面平面？（2）在（1）的条件下，求二面角的余弦值.【答案】(1)见解析；（2）二面角E-AC-F的余弦值为.【解析】试题分析：（1）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量垂直列方程组，解得各面法向量，根据平面垂直得两法向量数量积为零，解得长，（2）利用方程组先解出各面法向量，根据向量数量积求两法向量夹角，再根据二面角与向量夹角关系求结果.试题解析：（1）连接BD交AC于点O，则AC⊥BD.取EF的中点G，连接OG，则OG∥DE.∵DE⊥平面ABCD，∴OG⊥平面ABCD.∴OG，AC，BD两两垂直.∴以AC，BD，OG所在直线分别作为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系（如图），设，由题意，易求，∴，设平面AEF，平面CEF的法向量分别为，由，，得，∴解得. 令，∴. 同理可求.若平面AEF⊥平面CEF，则，∴，解得或（舍），即BF长为时，平面AEF⊥平面CEF.（2）当时，，∴，，∴EF⊥AF，EF⊥CF，∴EF⊥平面AFC，∴平面AFC的一个法向量为，设平面AEC的一个法向量为，则，∴，得，令，得，∴.从而.故所求的二面角E-AC-F的余弦值为.19. 在一次诗词知识竞赛调查中，发现参赛选手分为两个年龄（单位:岁）段：，，其中答对诗词名句与否的人数如图所示.（1）完成下面2×2列联表；年龄段正确错误合计合计（2）是否有90%的把握认为答对诗词名句与年龄有关，请说明你的理由；（3）现按年龄段分层抽样选取6名选手，若从这6名选手中选取3名选手，求3名选手中年龄在岁范围人数的分布列和数学期望.【答案】(1)见解析；（2）有90%的把握认为答对诗词名句与年龄有关；（3）见解析.【解析】试题分析：（1）将数据对应填入列联表即可，（2）根据卡方公式计算，再与参考数据比较，求出把握率的多少，（3）先根据分层抽样得各层次人数，再确定随机变量取法，利用组合数求出对应概率，列表可得分布列，最后根据数学期望公式求期望.试题解析：（1）2×2列联表：年龄段正确错误合计[20，30）10 30 40[30，40] 10 70 80合计20 100 120（2）.∵3＞2.706，∴有90%的把握认为答对诗词名句与年龄有关.（3）按年龄段分层抽取6人中，在范围[20，30）岁的人数是2（人），在[30，40]岁范围的人数是4（人）. 现从6名选手中选取3名选手，设3名选手中在范围[20，30）岁的人数为，则的可能取值为0，1，2 ，，，∴的分布列为0 1 2P故的数学期望为.20. 已知抛物线的顶点为平面直角坐标系的坐标原点，焦点为圆的圆心.经过点的直线交抛物线于两点，交圆于两点，在第一象限，在第四象限.（1）求抛物线的方程；（2）是否存在直线使是与的等差中项？若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）抛物线E的方程为；（2）存在满足要求的直线或直线.【解析】试题分析：（1）先根据圆的标准方程得圆心，再根据抛物线性质得p，即得抛物线的方程；（2）由题意得，再根据条件得.设直线方程，并与抛物线方程联立，利用韦达定理以及弦长公式求，解出斜率k.试题解析：（1）∵圆F的方程为，∴圆心F的坐标为（2，0），半径r=1.根据题意设抛物线E的方程为，∴，解得p=4.∴抛物线E的方程为.（2）∵是与的等差中项，∴.∴.讨论：若垂直于x轴，则的方程为x=2，代入，解得.此时|AD|=8，不满足题意；若不垂直于x轴，则设的斜率为k（k≠0），此时的方程为，由，得.设，则.∵拋物线E的准线方程为x=-2，∴∴，解得.当时，化为.∵，∴有两个不相等实数根.∴满足题意.∴存在满足要求的直线或直线.21. 已知函数.（1）若关于的方程在区间上有解，求实数的取值范围；（2）若对恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1) m的取值范围是;(2)实数a的取值范围是.【解析】试题分析：（1）即求函数在区间上值域，先求导数，再求导函数零点，列表分析导数符号变化规律，确定单调性，进而根据单调性求值域，（2）先参变分离，转化为求对应函数最值：的最小值，利用二次求导可得函数单调性，再根据单调性确定其最小值取法，最后根据最小值得实数的取值范围.试题解析：（1）方程即为.令，则.令，则（舍），.当x∈[1， 3]时，随x变化情况如表:x 1 3＋0 －极大值∴当x∈[1，3]时，.∴m的取值范围是.（2）据题意，得对恒成立.令，则.令，则当x＞0时，，∴函数在上递增.∵，∴存在唯一的零点c∈（0，1），且当x∈（0，c）时，；当时，.∴当x∈（0，c）时，；当时，.∴在（0，c）上递减，在上递增，从而.由得，即，两边取对数得，∴.∴，即所求实数a的取值范围是.点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.22. 在平面直角坐标系中，曲线，（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程和曲线的普通方程；（2）若分别为曲线上的动点，求的最大值.【答案】(1) 的普通方程为,;(2) 的最大值为.【解析】试题分析：（1）先根据将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，再根据三角同角关系将曲线参数方程化为普通方程，（2）先求圆心到椭圆上点最大值，再加半径得的最大值.试题解析：（1）的普通方程为.∵曲线的极坐标方程为，∴曲线的普通方程为，即.（2）设为曲线上一点，则点到曲线的圆心的距离.∵，∴当时，d有最大值.又∵P，Q分别为曲线，曲线上动点，∴的最大值为.23. 已知函数.（1）求不等式的解集；（2）设，若对任意不等式成立，求实数的取值范围.【答案】(1) 不等式的解集为;(2)实数m的取值范围是.【解析】试题分析：（1）先根据绝对值定义将不等式转化为两个不等式组，分别求解，最后求并集，（2）先分离得，再利用绝对值三角不等式求最大值，最后解不等式可得实数的取值范围.试题解析：（1）因为，所以即为，整理得.讨论：①当时，，即，解得.又，所以.②当时，，即，解得.又，所以.综上，所求不等式的解集为.（2）据题意，得对任意恒成立，所以恒成立.又因为，所以.所以，解得.所以所求实数m的取值范围是.。
