4 质数和合数

质数和合数知识要点1、自然数按因数的个数来分：质数、合数、1、0四类.1、质数或素数：只有1和它本身两个因数..2、合数：除了1和它本身还有别的因数至少有三个因数：1、它本身、别的因数..3、1：只有1个因数..“1”既不是质数;也不是合数..注：①最小的质数是2;最小的合数是4;连续的两个质数是2、3..②每个合数都可以由几个质数相乘得到;质数相乘一定得合数..③ 20以内的质数：有8个2、3、5、7、11、13、17、19④ 100以内的质数有25个：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、972、100以内找质数、合数的技巧：看是否是2、3、5、7、11、13…的倍数;是的就是合数;不是的就是质数..关系：奇数×奇数=奇数质数×质数=合数3、常见最大、最小A的最小因数是：1；最小的奇数是：1；A的最大因数是：本身；最小的偶数是：0；A的最小倍数是：本身；最小的质数是：2；最小的自然数是：0；最小的合数是：4；4、分解质因数：把一个合数分解成多个质数相乘的形式..树状图例：分析：先把36写成两个因数相乘的形式;如果两个因数都是质数就不再进行分解了；如果两个因数中海油合数;那我们继续分解;一直分解到全部因数都是质数为止..把36分解质因数是：36=2×2×3×35、用短除法分解质因数一个合数写成几个质数相乘的形式..例：分析：看上面两个例子;分别是用短除法对18;30分解质因数;左边的数字表示“商”;竖折下面的表示余数;要注意步骤..具体步骤是：6、互质数：公因数只有1的两个数;叫做互质数..两个质数的互质数：5和7两个合数的互质数：8和9一质一合的互质数：7和87、两数互质的特殊情况：⑴1和任何自然数互质；⑵相邻两个自然数互质；⑶两个质数一定互质；⑷2和所有奇数互质；⑸质数与比它小的合数互质；三、经验之谈：书写分解质因数的结果时不能把质因数相乘写在等号左边;把合数写在右边;比如36=2×2×3×3就不能写成2×2×3×3=36；短除法是除法一种简化;利用短除法分解质因数时;除数和商都不能是1;因为1不是质数一、填空..1、最小的自然数是 ;最小的质数是 ;最小的合数是 ;最小的奇数是 ..2、20以内的质数有 ;20以内的偶数有 ;20以内的奇数有 ..3、20以内的数中不是偶数的合数有 ;不是奇数的质数有 ..4、三个连续奇数的和是87;这三个连续的奇数分别是、、 ..二、判断题;对的在括号里写“√”;错的写“×”..1任何一个自然数;不是质数就是合数.. 2偶数都是合数;奇数都是质数.. 37的倍数都是合数.. 420以内最大的质数乘以10以内最大的奇数;积是171.. 5只有两个约数的数;一定是质数.. 6两个质数的积;一定是质数.. 72是偶数也是合数..81是最小的自然数;也是最小的质数.. 9除2以外;所有的偶数都是合数.. 10最小的自然数;最小的质数;最小的合数的和是7.. 111既不是质数也不是合数.. 12个位上是3的数一定是3的倍数..13所有的偶数都是合数.. 14所有的质数都是奇数.. 15两个数相乘的积一定是合数..三、下面的数中;哪些是合数;哪些是质数..1、13、24、29、41、57、63、79、87合数有：质数有：四写出两个都是质数的连续自然数 ..五写出两个既是奇数;又是合数的数 ..六在内填入适当的质数..10＝＋ 10＝× 20＝＋＋8＝× ×七两个质数的和是18;积是65;这两个质数分别是多少八一个两位质数;交换个位与十位上的数字;所得的两位数仍是质数;这个数是 ..九用10以内的质数组成一个三位数;使它能同时被3、5整除;这个数最小是 ;最大是 ..。

什么是质数和合数在数学的奇妙世界里，质数和合数是两个非常重要的概念。

它们就像是数学大厦中的基石，虽然看似简单，却蕴含着无尽的奥秘和规律。

那到底什么是质数呢？简单来说，质数就是一个大于 1 的自然数，除了 1 和它自身外，不能被其他自然数整除的数。

比如说，2、3、5、7、11 等等，这些都是质数。

我们以 7 为例，它只能被 1 和 7 整除，没有其他的数能够将其整除得整。

再比如 13，你去尝试用其他数除它，会发现除了 1 和 13 外，都不能得到整数的结果。

质数有一些很独特的性质。

首先，质数的个数是无穷的。

无论我们找到多少个质数，总会有新的质数等待被发现。

这就像是一个永远探索不完的宝藏。

而且，质数在密码学中有着非常重要的应用。

因为它们的独特性质，使得加密和解密的过程变得更加安全可靠。

接下来，我们再说说合数。

合数与质数恰恰相反，它是指一个大于1 的整数，除了能被 1 和本身整除外，还能被其他数（0 除外）整除的数。

比如 4、6、8、9、10 等等。

以 6 为例，它不仅能被 1 和 6 整除，还能被 2 和 3 整除。

合数也有它自己的特点。

合数都可以分解成若干个质数相乘的形式，这个过程叫做分解质因数。

比如 12 是一个合数，我们可以把它分解为2×2×3，其中 2 和 3 都是质数。

通过分解质因数，我们可以更清楚地了解一个合数的构成。

质数和合数在数学中有着广泛的应用。

在数论中，它们是研究整数性质的基础；在实际生活中，比如在计算机科学、通信技术等领域，质数和合数的概念也发挥着重要的作用。

我们来通过一些具体的例子加深对质数和合数的理解。

假设我们有数字 15，它可以被 1、3、5、15 整除，所以 15 是合数。

再看 17，它只能被 1 和 17 整除，所以 17 是质数。

那怎么判断一个数是质数还是合数呢？对于较小的数，我们可以通过试除法，就是用比这个数小的数依次去除它，看是否能整除。

但对于较大的数，这种方法就不太实用了，这时候就需要用到更复杂的数学方法和算法。

质数和合数知识要点1、自然数按因数的个数来分：质数、合数、1、0四类.1、质数或素数：只有1和它本身两个因数;2、合数：除了1和它本身还有别的因数至少有三个因数：1、它本身、别的因数;3、1：只有1个因数;“1”既不是质数,也不是合数;注：①最小的质数是2,最小的合数是4,连续的两个质数是2、3;②每个合数都可以由几个质数相乘得到,质数相乘一定得合数;③ 20以内的质数：有8个2、3、5、7、11、13、17、19④ 100以内的质数有25个：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、972、100以内找质数、合数的技巧：看是否是2、3、5、7、11、13…的倍数,是的就是合数,不是的就是质数;关系：奇数×奇数=奇数质数×质数=合数3、常见最大、最小A的最小因数是：1；最小的奇数是：1；A的最大因数是：本身；最小的偶数是：0；A的最小倍数是：本身；最小的质数是：2；最小的自然数是：0；最小的合数是：4；4、分解质因数：把一个合数分解成多个质数相乘的形式;树状图例：分析：先把36写成两个因数相乘的形式,如果两个因数都是质数就不再进行分解了；如果两个因数中海油合数,那我们继续分解,一直分解到全部因数都是质数为止;把36分解质因数是：36=2×2×3×35、用短除法分解质因数一个合数写成几个质数相乘的形式;例：分析：看上面两个例子,分别是用短除法对18,30分解质因数,左边的数字表示“商”,竖折下面的表示余数,要注意步骤;具体步骤是：6、互质数：公因数只有1的两个数,叫做互质数;两个质数的互质数：5和7两个合数的互质数：8和9一质一合的互质数：7和87、两数互质的特殊情况：⑴1和任何自然数互质；⑵相邻两个自然数互质；⑶两个质数一定互质；⑷2和所有奇数互质；⑸质数与比它小的合数互质；三、经验之谈：书写分解质因数的结果时不能把质因数相乘写在等号左边,把合数写在右边,比如36=2×2×3×3就不能写成2×2×3×3=36；短除法是除法一种简化,利用短除法分解质因数时,除数和商都不能是1,因为1不是质数一、填空;1、最小的自然数是 ,最小的质数是 ,最小的合数是 ,最小的奇数是 ;2、20以内的质数有 ,20以内的偶数有 ,20以内的奇数有 ;3、20以内的数中不是偶数的合数有 ,不是奇数的质数有 ;4、三个连续奇数的和是87,这三个连续的奇数分别是、、 ;二、判断题,对的在括号里写“√”,错的写“×”;1任何一个自然数,不是质数就是合数; 2偶数都是合数,奇数都是质数; 37的倍数都是合数; 420以内最大的质数乘以10以内最大的奇数,积是171; 5只有两个约数的数,一定是质数; 6两个质数的积,一定是质数; 72是偶数也是合数;81是最小的自然数,也是最小的质数; 9除2以外,所有的偶数都是合数; 10最小的自然数,最小的质数,最小的合数的和是7; 111既不是质数也不是合数; 12个位上是3的数一定是3的倍数;13所有的偶数都是合数; 14所有的质数都是奇数; 15两个数相乘的积一定是合数;三、下面的数中,哪些是合数,哪些是质数;1、13、24、29、41、57、63、79、87合数有：质数有：四写出两个都是质数的连续自然数 ;五写出两个既是奇数,又是合数的数 ;六在内填入适当的质数;10＝＋ 10＝× 20＝＋＋8＝× ×七两个质数的和是18,积是65,这两个质数分别是多少八一个两位质数,交换个位与十位上的数字,所得的两位数仍是质数,这个数是 ;九用10以内的质数组成一个三位数,使它能同时被3、5整除,这个数最小是 ,最大是 ;。

质数与合数所有知识点质数和合数是数学中的重要概念。

在这篇文章中，我们将深入介绍质数和合数的定义、性质以及它们之间的关系。

一、质数的定义和性质1.质数的定义：质数又称素数，指大于1且只能被1和自身整除的正整数。

换句话说，质数是不可以被其他数整除的数。

2.质数的示例：2、3、5、7、11、13等都是质数，因为它们只能被1和自身整除。

3.质数的性质：–质数大于1；–质数只有两个正因数，即1和自身；–质数不能被其他数整除。

4.质数的无穷性：质数是无穷多的，这是由欧几里得在公元前300年左右证明的。

二、合数的定义和性质1.合数的定义：除了质数以外的正整数都称为合数。

换句话说，合数是可以被除了1和自身以外的数整除的数。

2.合数的示例：4、6、8、9、10等都是合数，因为它们可以被其他数整除。

3.合数的性质：–合数大于1；–合数有至少三个正因数，包括1和自身；–合数可以被其他数整除。

三、质数和合数的关系1.质数和合数是互补的概念。

一个数要么是质数，要么是合数，二者不可兼得。

2.质数和合数之间的区别在于能否被其他数整除。

质数只能被1和自身整除，而合数可以被除了1和自身以外的数整除。

3.质数和合数之间是相对的关系。

一个数如果不是质数，那么它就是合数；反之，如果一个数不是合数，那么它就是质数。

四、如何判断一个数是质数还是合数1.判断质数：–穷举法：逐一尝试2到该数平方根之间的所有整数，看是否能整除该数。

如果都不能整除，则该数是质数。

–质数筛选法：如埃拉托斯特尼筛法，通过逐步筛选排除合数，最终得到质数。

2.判断合数：–试除法：逐一尝试2到该数平方根之间的所有整数，看是否能整除该数。

如果存在可以整除的数，则该数是合数。

五、质数和合数的应用1.加密算法：质数的大数乘法往往用于现代密码学中的公钥加密算法，如RSA算法。

2.素性测试：判断一个数是否为质数，是许多算法（如梅森素数测试、费马素性测试等）的基础。

3.因式分解：将合数表示为其质因数的乘积，有助于解决一些数论问题和化简计算。

一、质数和合数相关定义一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数）一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。

1不是质数也不是合数，自然数除了1外，不是质数就是合数。

如果把自然数按其因数的个数的不同分类，可分为质数（两个因数）、合数（大于两个因数）和1（1个因数）。

100百以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。

共25个。

所有的质数都是奇数。

除2以外任意两个质数的和都是偶数。

最小的质数是2，最小的合数是4质数×质数=合数合数×合数=合数质数×合数=合数二、补充几个易错点，同学们一定牢记。

注：①最小的质数是2，最小的合数是4，连续的两个质数是2、3。

②每个合数都可以由几个质数相乘得到，质数相乘一定得合数。

③ 20以内的质数：有8个（2、3、5、7、11、13、17、19）2、100以内找质数、合数的技巧：看是否是2、3、5、7、11、13的倍数，是的就是合数，不是的就是质数。

关系：奇数×奇数=奇数质数×质数=合数3、常见最大、最小A的最小因数是：1；A的最大因数是：本身；A的最小倍数是：本身；最小的奇数是：1；最小的偶数是：0；最小的质数是：2；最小的自然数是：0 最小的合数是：4；100以内质数歌二三五七和十一,十三后面是十七,还有十九别忘记,二三九,三一七,四一,四三,四十七,五三九,六一七,七一,七三,七十九,八三,八九,九十七。

四年级下册数学教案3.4 质数和合数｜青岛版（五四学制）一、教学目标1. 让学生理解质数和合数的概念，能正确判断一个数是质数还是合数。

2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

3. 培养学生合作学习、自主探究的学习习惯。

二、教学内容1. 质数和合数的定义2. 质数和合数的判断方法3. 质数和合数在实际生活中的应用三、教学重点与难点1. 教学重点：质数和合数的概念及判断方法。

2. 教学难点：质数和合数在实际生活中的应用。

四、教具与学具准备1. 教具：PPT、黑板、粉笔、教学卡片等。

2. 学具：练习本、笔、计算器等。

五、教学过程1. 导入：通过PPT展示一些自然数，让学生观察并发现其中的规律，引出质数和合数的概念。

2. 新课：讲解质数和合数的定义，以及判断方法。

通过举例让学生加深理解。

3. 练习：让学生分组进行练习，判断一些数是质数还是合数，并讨论判断过程中遇到的问题。

4. 应用：讲解质数和合数在实际生活中的应用，如密码学、加密技术等。

6. 作业布置：布置相关练习题，巩固所学知识。

六、板书设计1. 质数和合数的定义2. 质数和合数的判断方法3. 质数和合数在实际生活中的应用七、作业设计1. 判断下列数中，哪些是质数，哪些是合数：11、15、17、21、29、35。

2. 请举例说明质数和合数在实际生活中的应用。

八、课后反思1. 学生对质数和合数的概念理解程度如何，判断方法是否掌握。

2. 教学过程中是否存在不足，如何改进。

3. 学生在课堂上的参与度如何，如何提高学生的积极性。

4. 作业布置是否合理，是否达到了巩固知识的目的。

重点关注的细节：质数和合数的判断方法一、质数的判断方法1. 定义：一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除的数称为质数。

2. 判断方法：（1）试除法：从2开始，依次将这个数除以小于它的所有自然数，如果能被整除，则不是质数；如果不能被整除，则是质数。

（2）筛选法：将一定范围内的自然数列出来，先标记出2的倍数，然后标记出3的倍数，接着标记出5的倍数、7的倍数……未被标记的数即为质数。

什么是质数和合数在数学的奇妙世界里，质数和合数是两个非常重要的概念。

或许在日常生活中，我们并不会经常直接提到它们，但它们却在数学的运算和规律中起着至关重要的作用。

那到底什么是质数呢？简单来说，质数就是一个大于 1 的自然数，除了 1 和它自身外，不能被其他自然数整除的数。

比如说，2、3、5、7、11 等等这些数就是质数。

我们以 2 为例，2 只能被 1 和 2 整除，再没有其他的数能够整除它了。

再看 3，也只能被 1 和 3 整除。

5 呢，同样只能被 1 和 5 整除。

质数具有一些独特的性质。

首先，质数是构成整数的基本“砖块”。

任何一个大于 1 的整数，都可以表示为若干个质数的乘积，而且这种表示方式是唯一的。

这就是所谓的“算术基本定理”。

另外，质数的分布似乎没有明显的规律，但数学家们一直在努力探索其中的奥秘。

接下来，我们再说说合数。

合数与质数相对，是指一个大于 1 的整数，除了能被 1 和本身整除外，还能被其他数（0 除外）整除的数。

比如说 4，它除了能被 1 和 4 整除，还能被 2 整除；6 除了能被 1 和 6 整除，还能被 2 和 3 整除。

所以 4 和 6 都是合数。

合数的特点是它可以分解成多个质数的乘积。

比如12 是一个合数，它可以分解为 2×2×3。

那么，为什么要研究质数和合数呢？这可不仅仅是为了满足数学家们的好奇心。

在密码学中，质数起着关键的作用。

许多加密算法都依赖于质数的特性来保证信息的安全传输。

在数学的数论领域，对质数和合数的研究有助于我们更深入地理解整数的性质和数学的规律。

而且，在日常生活中，质数和合数的概念也会在一些场景中出现。

比如在分配物品、计算因数等方面。

判断一个数是质数还是合数，有一些方法。

对于较小的数，我们可以通过试除法，也就是用小于这个数的数依次去除它，看是否能整除。

但对于较大的数，就需要更复杂的算法和数学技巧了。

总的来说，质数和合数虽然看似简单的概念，但却蕴含着丰富的数学内涵和实际应用价值。

质数和合数的概念质数与合数的基本概念知识点拨1.质数与合数一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数(也叫做素数)。

一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。

要特别记住:0和1不是质数，也不是合数。

常用的100以内的质数:2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个; 除了2其余的质数都是奇数;除了2和5，其余的质数个位数字只能是1、3、7或9考点:(1)值得注意的是很多题都会以质数2的特殊性为考点(2)除了2和5，其余质数个位数字只能是1、3、7或9 2.判断一个数是否为质数的方法根据定义如果能够找到一个小于p的质数q(均为整数)，使得q能够整除p，那么p就不是质数，所以我们只要拿所有小于p的质数去除p就可以了;但是这，我们可以先找一个大于且接近p的平方数样的计算量很大，对于不太大的p 2K，再列出所有不大于K的质数，用这些质数去除p，如没有能够除尽的，那么p就为质数。

例如:149很接近144=12x12，根据整除的性质149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是质数。

例题精讲例1:下面是主试委员会第六届“华杯赛”写的一首诗:美少年华朋会友，幼长相亲同切磋;杯赛联谊欢声响，念一笑慰来者多;九天九霄志凌云，九七共庆手相握;聚起华夏中兴力，同唱移山壮丽歌;请你将56个字第1行左边第一字逐字编为1-56号，再将号码中的质数由小到大找出来，将它们对应的字依次排成一行，组成一句话，请写出这句话。

例2:(2008年南京市青少年“科学小博士”思维训练)炎黄骄子，菲尔兹奖被誉为“数学界的诺贝尔奖”，只奖励40岁以下的数学家，华人数学家丘成桐、陶哲轩分别于1982年、2006年荣获此奖。

我们知道正整数中有无穷多个质数(素数)，陶哲轩等证明了这样一个关于质数分布的奇妙定理:对任何正整数k，存在无穷多组含有k个等间隔质数(素数)的数组。

什么是质数和合数在数学的奇妙世界里，质数和合数是两个非常重要的概念。

虽然它们看似简单，但却有着深远的意义和广泛的应用。

首先，咱们来聊聊质数。

质数啊，就是指一个大于 1 的自然数，除了 1 和它自身外，不能被其他自然数整除的数。

比如说 2、3、5、7、11 等等，这些都是质数。

咱们拿 2 来举个例子。

2 只能被 1 和 2 整除，没有其他的数能整除它了。

再看 3，除了 1 和 3 能整除它，别的数都不行。

5 呢，同样只有1 和 5 能将其整除。

质数有一个很特别的性质，那就是它的因数只有两个，就是 1 和它本身。

这使得质数在数学中具有独特的地位。

那为什么质数这么重要呢？这是因为质数在密码学中发挥着关键作用。

很多加密算法都依赖于质数的特性来保证信息的安全传输。

接下来，咱们说说合数。

合数呢，就是与质数相对的概念。

它指的是一个大于 1 的整数，除了能被 1 和本身整除外，还能被其他数（0 除外）整除的数。

比如说 4，它除了能被 1 和 4 整除，还能被 2 整除。

6 也是合数，因为它能被 1、2、3、6 整除。

合数的因数个数至少有三个。

我们可以通过一个简单的方法来判断一个数是质数还是合数。

从 2 开始，依次用小于这个数的数去除它，如果能整除，那它就是合数；如果都不能整除，那它就是质数。

再来说说质数和合数的关系。

所有大于 1 的自然数，不是质数就是合数。

而且，1 既不是质数也不是合数，这一点要特别记住哦。

质数和合数在数学的各种领域中都有着广泛的应用。

在数论中，它们是研究整数性质的基础；在数学运算中，了解一个数是质数还是合数，能帮助我们更有效地进行计算和推理。

比如，在分解质因数的时候，我们需要先找出合数的质因数。

把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，这个过程对于解决很多数学问题都非常有用。

在日常生活中，质数和合数的概念也并非遥不可及。

比如在分配物品、计算组合等方面，都可能会用到这些知识。

总的来说，质数和合数虽然是数学中的基本概念，但它们却有着无比重要的地位和广泛的用途。