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矢量分析与场论矢量分析是矢量代数和微机分运算的结合和推广，主要研究矢性函数的极限、连续、导数、微分、积分等。
而场论则是借助于矢量分析这个工具，研究数量场和矢量场的有关概念和性质。
通过这一部分的学习，可使读者掌握矢量分析和场论这两个数学工具，并初步接触到算子的概念及其简单用法，为以后学习有关专业课程和解决实际问题，打下了必要的数学基础。
第1章 矢量分析在矢量代数中，曾经讨论过模和方向都保持不变的矢量，这种矢量称为常矢。
然而，在科学和技术的许多问题中，也常遇到模和方向改变或其中之一会改变的矢量，这种矢量称为变矢。
如非等速及非直线运动物体的速度就是变矢量的典型例子。
变矢量是矢量分析研究的重要对象。
本章主要讨论变矢与数性变量之间的对应关系——矢函数及微分、积分和它们的一些主要性质。
§1.1 矢函数与普通数量函数的定义类似，我们引进矢性函数（简称矢函数）的概念，进而结出矢函数的极限与连续性等概念。
1、矢函数的概念定义1.1.1 设有数性变量t 和变矢A ，如果对于t 在某个范围D 内的每一个数值，A 都以一个确定的矢量和它对应，则称A 为数性变量t 的矢量函数，记作A =A )(t （1.1.1）并称D 为矢函数A 的定义域。
在Oxyz 直角坐标系中，用矢量的坐标表示法，矢函数可写成A {})(),(),()(t A t A t A t z y x = （1.1.2） 其中)(),(),(t A t A t A z y x 都是变量t 的数性函数，可见一个矢函数和三个有序的数性函数构成一一对应关系。
即在空间直角坐标系下，一个矢函数相当于三个数性函数。
本章所讲的矢量均指自由矢量，所以，以后总可以把A )(t 的起点取在坐标原点。
这样当t 变化时，A )(t 的终点M 就描绘出一条曲线l （图1.1），这样的曲线称为矢函数A )(t 的矢端曲线，也称为矢函数A )(t 的图形。
同时称（1.1.1）式或（1.1.2）式为此曲线的矢量方程。
矢量分析与场论矢量分析与场论第一章矢理分析1.1 矢性函数1．矢性函数的定义：数性变量t 在一范围G 内，对于任意的t 都有唯一确定的矢量A与其对应则称A 是t 的矢性函数，并称G 为A 的定义域，记作：()A A t =2．矢性函数的极限和连续性（1）矢性函数极限的定义：()A t在0t 某领域内有定义，对于0ε?>，0δ?>，常矢量0A ，只要为0<0t t δ-<就有0()A t A ε-< ，则称0A 为()A t 当0t t →的极限，记作：00lim ()t t A t A →=；极限的性质：（有界性）若00lim ()t t A t A →=,则0δ?>，M>0，0(;)t U t δ?∈ 都有()A t M <。
证明：0lim ()1,0,..(;)t t A t A s t t U t εδδ→=∴=?>?∈都有0()1A t A ε-<= ，00()()1A t A A t A ∴-<-<，0()1A t A ∴<+ ，取M=01A +极限的则运算：0lim ()()lim ()lim ()t t t t t t u t A t u t A t →→→=?000l i m (()())l i m ()l i m()t tt tt tA tB t A t B t →→→±=±lim(()())lim ()lim ()t t t t t t A t B t A t B t →→→?=?lim(()())lim ()lim ()t t t t t t A t B t A t B t →→→?=?其中()u t ，()A t ，()B t当0t t →时极限均存在。
证明：设00lim ()t t A t A →= ，00lim ()t t u t u →=，00lim ()t t B t B →=；000000()()()()()()u t A t u A u t A t u A t u A t u A -=-+-，00000000000()()()()()()()()()()()u t A t u A t u A t u A u t A t u A t u A t u A u t u A t u A t A -+-≤-+-=-?+?- 00000()()()()()u t A t u A u t u A t u A t A ∴-≤-?+?-而11010,0,..(;)M s t t U t δδ?>>?∈有1()A t M <；对于任意给定的ε>o ，101010,..(;),()2s t t U t u t u M εδδ''?>?∈-<; 同理20,s tt U t δδ?>?∈有00()2A t A u ε-<所以取{}112m i n ,,δδδδ'=，则有0(;)t U t δ?∈，00()()u t A t u A -<10122M u M u εε+?=ε其他证明方法类似，可参看数学分析中相关证明。
第一章 矢量分析与场论实数域内任一代数即一个只有大小的量称之为标量，而一个既有大小又有方向特性的量称之为矢量。
无论是标量还是矢量，一旦被赋予物理单位，则成为一个具有物理意义的量即所谓的物理量。
物理量数值的无穷集合称为场。
如果这个物理量是标量，就称其为标量场；如果物理量是矢量就称这个场为矢量场。
场的一个重要属性是它占有一个空间，而且在该空间域内，除有限个点或表面外它是处处连续的。
如果场中各处物理量不随时间变化，则称该场为静态场，不然，则称为动态场或时变场。
本章从定义标量和矢量出发，讨论矢量在直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系三种坐标系中的表示法及其代数运算和相互关系；然后介绍了矢量及标量的微分和积分几及其性质；最后引入亥姆霍兹定理，它是矢量场共同性质的总结。
1.1 矢量及其代数运算一、标量和矢量电磁场中遇到的绝大多数物理量，能够容易地区分为标量（scalar ）和矢量(vector)。
一个仅用大小就能够完整地描述的物理量称为标量，例如，电压、温度、时间、质量、电荷等。
实际上，所有实数都是标量。
一个有大小和方向的物理量称为矢量，电场、磁场、力、速度、力矩等都是矢量。
例如，矢量A 可以写成A a A = A Aa =（1-1-1）其中A 是矢量A 的大小，a 的大小等于1，代表矢量A 的方向。
一个大小为零的矢量称为空矢（null vector ）或零矢（zero vector ），一个大小为1的矢量称为单位矢量（unit vector ）。
在直角坐标系中，用单位矢量x a 、y a 和z a 表征矢量分别沿x 、y 和z 轴分量的方向。
空间的一点()Z Y X P ,,能够用它在三个相互垂直的轴线上的投影唯一地被确定如图1-1所示。
从原点指向点P 的矢量r 称为位置矢量(position vector)，它在直角坐标系中表示为Z Y X z y x a a a r ++= （1-1-2）式中，Y X ,和Z 是r 在x 、y 和z 轴上的标投影。
矢量分析与场论简介矢量分析与场论是研究物理学中的重要分支，广泛应用于电磁学、流体力学、力学等领域。
矢量分析用于描述和分析具有大小和方向的物理量，例如力、速度、加速度等。
场论则将物理量看作空间中的场，并通过场的分布和变化来描述物理现象。
本文将介绍矢量分析的基本概念和常见运算，并探讨场论的基本原理和应用。
矢量分析矢量的定义和表示矢量是具有大小和方向的物理量。
在二维空间中，矢量可以表示为有序对(x, y)，其中x和y分别表示矢量在x轴和y轴上的分量。
在三维空间中，矢量可以表示为有序三元组(x, y, z)，其中x、y和z分别表示矢量在x轴、y轴和z轴上的分量。
通常将矢量用粗体字母如A表示。
矢量的运算矢量之间可以进行加法、减法和数量乘法等运算。
矢量的加法两个矢量A和B的加法定义为将它们的相应分量相加，即：A +B = (Ax + Bx, Ay + By)两个矢量A和B的减法定义为将B的相应分量取负后与A相加，即：A -B = (Ax - Bx, Ay - By)数量乘法将矢量的每个分量乘以一个实数称为数量乘法，表示为：c A = (cAx, cAy)矢量的模和方向矢量的模表示矢量的大小，矢量的方向表示矢量的指向。
在二维空间中，矢量(x, y)的模可以通过勾股定理求得：||A|| = sqrt(x2 + y2)在三维空间中，矢量(x, y, z)的模可以通过类似的方法求得：||A|| = sqrt(x2 + y2 + z2)矢量的方向可以用一个角度来表示，通常用与x轴的夹角来表示，记为θ。
矢量的点积和叉积矢量的点积和叉积是矢量分析中常用的运算。
两个矢量A和B的点积定义为两个矢量的模相乘再乘以它们夹角的余弦值，表示为A·B：A·B = ||A|| ||B|| cos(θ)点积的结果是一个标量，即一个没有方向的量。
点积还满足交换律和分配律。
矢量的叉积两个矢量A和B的叉积定义为一个新的矢量，其模等于两个矢量模的乘积再乘以它们夹角的正弦值，表示为A×B：A×B = ||A|| ||B|| sin(θ) n其中n是一个垂直于A和B的单位矢量，它的方向由右手法则确定。
a ,
b 的点乘也称标量积)
1122b a b ++cos a b =a ,b 的叉乘1
1
a a
b a =⨯
sin a b 方向：既垂直于a
，又垂直于与b a ,满足右手螺旋关系。
=()()(2133113223321b a c b a b a c b a b a c -+-+-若只把两个矢量对调,混合积反号。
若矢量位置不变只交换点乘号叉乘号,混合积不变—但必须先做1
232
3113
1221
e c c a b a b a b a b a b =
---(c a b =-223)()c b b c a ⋅-⋅
()()c b a c a b =⋅-⋅ ()()()a b c c a b c b a ⨯⨯=⋅-⋅
()
F x
=（）T T x
((),(x l y l dl φ=x φ∂∂=
+方向上的方向余弦。
其余三个数
∂可视为某一矢量的坐标从该式可以看出梯度是方向导数的一种，方向为标量函数
叫做矢量场F 向积分所沿一侧穿过曲面s
⎰正方向，穿出曲面为正，穿入曲面为负，相切为零。
根据通量的正负可以得知S 内有产生通量。
但仅此还不能了解源在s
s
F dS V ⋅⎰
散度表示在场中一点处通量对体积的变化率，又称为通量体密度。
也就是在该点处对一个单位体积来说所穿过的通量，称之为该点处divf 就相应的表
l
F dl ⋅⎰
称为此矢量场按积分所取方向沿曲线我们已知磁场中有l
H dl I ⋅=⎰
由上式可以知道，磁场面积S 的总的电流强度。
显然，仅此还不能了解磁场中任一点构成右手螺旋关系。
则矢之正向的环量∆Γ与面积点时，若∆Γ的极限存在，则称其为
n μ，即，l
S
∆∆⎰
H 所构成的磁场中的一点lim
l
S S
∆∆→=∆⎰
又如在流速场v 中的一点M lim l
S M v dl
S
∆∆→⋅=∆⎰
M 处与n 成右手螺旋方向的环流对面积的变化率，
R ，则称矢量rotF ，即 rotF R =
lim
l
rotF S
∆=∆⎰
1:在磁场H 中，旋度rotH 是在给定处，它的方向乃是最大电流其模即为最大电流密度的数值，
影，就给出该方向上的环流密度。
x z
x y
e e x y z y
f f ∂
=
∂∂∂∂一个线速度场。
由运动学知道，矢径为12()j y x k ωω+-，求线速度解：由速度场的雅可比（
这说明，在刚体转动的线速度场中，任一点z z f x
⎪∂ ∂
（由方向导数的公式0l dl
φ=∇⋅，
得d (S
V
⎰⎰S 为V 的表面，s d 等于ds 乘以外法线方向单位矢量。
（在矢量场中任取体积V 坐标轴的三组平行面把体积s
s
F dS V ⋅⎰可知，
f fdV ∇⋅=∇⋅∑⎰，在S 所围中，小六面体的表面可以分成两种：一种是内部的面，它们s
⎰
(S
V
⎰⎰3.斯托克斯（stokes ）公式
(L
S
⎰⎰S 的边界。
S 方向与L 成右手螺旋关系。
A 中，任取一个非闭合面l
S
∆∆⎰
，
()n i
n e l F dl e dS rotF rotF dS ⋅=⋅=⎰()()n n i
e e l s
F dl rotF dS rotF dS ⋅==∑⎰⎰，沿小面积元
的边界取线积分时，内部沿每两个面积元的边线都计算了两次，积分的方向相反，在求和时这两部分互相抵消，合部分的积分值，因而得到i
l l
F dl F dl
⋅=
⋅⎰⎰(L
S
dS ⎰⎰）
4.标量场本质上可以由该场的梯度确定，矢量场本质上由该场的散度、旋度确定。
)f⎛∂
∇⨯=
()f
∇⋅∇⨯≡
如果某一矢量A的散度为零（
称为矢量场A的矢量势
∂∂
++
4）2
f f f
∇⨯∇⨯=∇∇⋅-∇
()()
⨯=⋅-⋅=
()()()(
a b c b a c a b a c
)()()()
f f f f f
∇⨯=∇∇⋅-∇⋅∇=∇∇⋅-∇
∇
(I.20)
(I.21)
(I.22)
(I.23)
(I.21)()
f g ∇⋅⨯根据∇的微分性质，应分别作用到()f f g ∇⋅⨯=∇质，可通过矢量混合积的性质改写，使其分别直接作用到()()(f f f g f g ⨯=∇⨯⋅=∇⨯)
f g ⨯不能写成()g f g ∇⨯⋅， 因g ∇要作用在)(
()g g g g =-∇⋅∇⨯=)()()g g f f g ⨯=⋅∇⨯-⋅∇⨯
()()
()f g f g f g f g ∇⨯⨯=∇⨯⨯+∇⨯⨯ ()()
a c
b a b
c =⋅-⋅ 因而由矢量性得
()()()(f f f f g g f g f ⨯⨯=⋅∇-∇⋅=())g f g f =⋅∇， 因f ∇只作用在f 上 ]
()()g g f g f g ∇⨯⨯=∇⋅-)()()()()g f f g f g g f =⋅∇+∇⋅-⋅∇-∇⋅
()()()
f g f g f g f g ⋅=∇⋅+∇⋅ （ 由微分性） )()()a b c c a b c b a ⨯⨯=⋅-⋅ ()()()
b c a c b a b c ⋅=⋅-⨯⨯
()()()f f f f g g f f g ⋅=⋅∇-∇⨯⨯=
，然后根据三个矢量叉乘进行运算分析即可。
⋅=⨯∇⨯+⋅∇+⨯∇⨯+⋅∇
)()()()(
g f g f g g f g
δ
点，()x
选择性(f⎰附近的连
选择性(
f⎰
V
通常电荷密度是与空间位置有关的有限连续函数。
如果不是有限
i
()x 函数的导数是奇函数，以电偶极子)2y z y e z e ''∆+∆，于是当
()()()
x x x x ρδδ∂'其中'∇=-∇.)
④在曲线坐标系中用δ2()()(x x y y z ''-+-+
r （如果积分面所包含的体积包含原点）；或等于零，（如果积分面所包这个式子的意义仅是原来的这个式子是有实际用途的。
处，30r
r
∇⋅=，但在0r =点为中心，34S dS r ⋅=-⎰由关于δ函数的定义，有
4dV π=（当x
严谨证明
二阶张量可以写为
从上面公式可以看出，212122222323A B e e A B e e A B e e A ++++。
通常称标量为零阶张量，称矢量为一阶张量，称并矢
2.单位张量3e 称为单位张量，它的三个对角分
）张量与标量的乘法
)B C ⋅
()()C AB C A B ⋅=⋅
因此并矢与矢量的点乘是一个矢量。
并且一般有（2）张量T →→和矢量f 的点乘ij l i T f e δ∑i ij j T f T e =∑
f T T →→→→
⋅≠（不满足交换律）（3）两个二阶张量点乘
kl k l ij i j ki ij k j e e T e e R T e e ⋅=∑∑
（不满足交换律）
张量与矢量的矢量积（叉乘）)()AB C A B C ⨯=⨯
()()C AB AB C ⨯≠⨯
）张量与矢量的矢量积
()i jk j k i T f f T e e e ≠=⨯∑
双点乘（张量的收缩或缩并，二次点乘）:()()CD B =
即先把靠近的两个矢量点乘，再把剩下的两个矢量点乘。
（满足交换律）
)()f g f g ⋅+⋅∇
I =
)()Ar A r A =∇⋅+
)()Arr A rr Ar rA =∇⋅++ S V ⎝⎰⎰(()S V
dS fg ⋅=⎰⎰V S AdV dSA ∇=⎰⎰。
