圆锥曲线定义应用PPT教学课件
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圆锥曲线定义的应用精选教学PPT课件
左支上的一点，P 到左准线的距离为d.
是否存在P 点使d 、|P F1 |、 |P F2|成等比数
列若存在，求双曲线的离心率e 的取值范围，
并求出P点坐标；若不存在，说明理由.
例7、 如图, 已知梯形ABCD中,|AB|=2|CD| 点E分有向线段AC所成的比为λ,双曲线过 C,D,E三点,且以A,B为焦点. 当时,求双曲线 离心率e 的范围.
点M、N ,F 为焦点且︱MF︱, 4 , ︱NF︱
成等差数列又线段MN 的中垂线恒通过定 点Q(6,0) . (1)求抛物线的方程; (2)在抛物线上求一点P ,使得以F , A(3,4)为
焦(3)点求且经M过Q点NP的的面椭积圆的的最长大轴值最. 短.
例5、在双曲线 x2 y2 1 的一支上有不同 13 12
2
（1）PA PF2 取得最小值;
（2）PA 2 PF1 取得最小值.
P
y AP
F1 o F2
x
5、 已知双曲线 x 2 y 2 1 F1，F2
4
为左、右焦点，点A(3,-1)，在双曲线上 求一点P，使
（1） PA PF2 取得最小值;
（2）5 PA 2 5 PF2 取得最小值.
y P
F1
o
P
F2
x
A P
6、若点A 的坐标为（3，2），F 为抛
物线 y2 2x 的焦点，点M 在抛物线上移
动时，求|MA|+|MF |的最小值，并求这时
M 的坐标.
y
l
dM
A
N
1 2
o
F
x
7、已知双曲线
x2 y2 a2 b2 1,
过左焦点F1 作一弦与左支相交于A,B
圆锥曲线定义的应用94111PPT精品文档18页
两点，若|AB|=m ,求ΔF2 AB 的周长 .
y
A
F1 o
F2 x
B
三、规律总结
1、在求轨迹方程时先利用定义判断曲线 形状可避免繁琐的计算. 2、涉及椭圆双曲线上的点与两个焦点构 成的三角形问题，常用第一定义结合正、 余弦定理来解决. 3、涉及焦点、准线、离心率、圆锥曲线上 的点中的三者，常用统一定义解决问题.
青并没有因为那天的小小不愉快，再表现出什么不高兴的和反常的举动来。108第三十四回 东伢子照面起风波|（兴冲冲前往 小树林，东伢子照面起风波；兴致全无扫兴归，小青耍小性真懊悔。）看到小青、耿英和耿直都不想再待在床上休息了，耿正 就对他们说：“我是一点儿也不累了。如果你们也不想再睡觉，不如和我一起到小树林那边去吧。咱们去告诉淋灰的人，来拉 他们的家伙什儿，顺便还可以在林子里边走一走呢！”大家都拍手称好。尤其是耿直，还高兴地蹦了一个高，大声说：“太好 了，到小树林里玩儿去喽，我看能不能抓到一只小兔子！”看他一边高兴地叫着，一边蹦跳着跑去开门了，小青笑着对耿英说： “直子小弟可真可爱啊，还顽皮呢！”耿英也笑着说：“他就是一个永远长不大的样子！”耿正高兴地一挥手，痛痛快快地大 声说：“小青姐，英子，咱们也走！”说着话，耿正领头出了过厅，忽然想起来没有带上那天卖石灰膏的头儿开的收据，就回 头对小青说：“对啦小青姐，你去向娘娘要上那个收据，我们好取回来押金！”小青恍然大悟，赶快回屋里跟姆妈要上收据， 出来了递给耿正，大家一起高高兴兴地出发了。不成想，四个人刚出院门儿，迎面就碰上了对门儿的东伢子正好挑着空水桶出 来。耿正和耿英同时向东伢子点点头打招呼：“嗨，东伢子，打水去啊？”东伢子憨厚地笑一笑，说：“啊，打水去。你们这 是要去哪里呀？”耿正和耿英还没有来得及回答呢，耿直就抢着说：“我们要去小树林里玩儿！”耿正也笑一笑，说：“我们 去小树林那边叫淋灰的人来拉他们的家伙什儿，顺便在林子里边走一走。”东伢子说：“小树林里是挺不错呢。天儿暖和了， 树上已经长出了新叶子，树下也有了小草小花儿的。走一走好哇，叫什么来着？”看他那可爱的憨厚样子，耿英忍不住笑了， 说：“你是想说‘踏青’吧？”东伢子说：“啊，对对对，踏青，踏青。春日里踏青，挺有意思的，我也很喜欢呢！”看耿正 兄妹三人和东伢子聊得很热乎，小青不乐意了。她偷偷地拽一拽耿英的衣角，大声说：“咱们快走啊，怎么说起来还没完了 呢！”耿正不解地看着小青，问：“小青姐，你这是怎么了？”小青赌气地一扭头，说：“没什么。你们去吧，我不去了，回 家去！”说着转身就要走，耿英赶快伸手拉住她，陪着笑脸说：“小青姐，这就是你的不对了。说好了一起去走一走的。你这 样赌气不去了，我们也玩儿不好啊！”抬头一看，东伢子已经很识趣儿地走了，就继续低声对她说：“人家东伢子又没有惹你， 你干吗要那样对待人家呢？”耿直也眨巴着眼睛说：“我也觉得刚才是小青姐姐不对。我很喜欢这个东伢子，他很像我们的大 壮哥哥呢！”耿直的后半句话让耿英心里一
圆锥曲线定义的应用课件
双曲线
• 双曲线的定义及性质 • 双曲线的标准方程 • 双曲线的渐近线
抛物线
• 抛物线的定义及性质 • 抛物线的标准方程 • 抛物线的焦点和准线
应用
• 圆锥曲线在工程、物理、化学等领域的应用 • 圆锥曲线在艺术中的应用
结语
• 圆锥曲线的重要性 • 继续深入研究圆锥曲线的意义与益处
圆锥曲线定义的应用ppt 课件
本课件介绍圆锥曲线的定义及其广泛的应用领域。探讨直线、椭圆、双曲线 和抛物线的性质、方程和应用。深入了解这一重要数学概念。
概述
• 圆锥曲线的定义 • 不同种类的圆锥曲线
直线的方程
• 直线的一般式方程和截距式方程 • 直线与圆锥曲线的交点
椭圆
• 椭圆的定义及性质 • 椭ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的标准方程 • 椭圆的焦点和准线
第2部分 专题5 第2讲 圆锥曲线的定义、方程及性质 课件(共67张PPT)
2．[双曲线的几何性质]双曲线C：
x2 4
－
y2 2
＝1的右焦点为F，点P在双
曲线C的一条渐近线上，O为坐标原点，则下列说法不正确的是( )
A．双曲线C的离心率为
6 2
B．双曲线y42－x82＝1与双曲线C的渐近线相同
C．若PO⊥PF，则△PFO的面积为 2
D．|PF|的最小值为2
D [对于A，因为a＝2，b＝ 2，所以c＝ a2＋b2＝ 6，所以双
x2 4
＋y2＝1的
左、右焦点为F1，F2，P是C上的动点，则下列结论正确的是( )
A．离心率e＝
5 2
B．|P→F2|的最大值为3
C．△PF1F2的面积最大为2 3
D．|P→F1＋P→F2|的最小值为2
D
[由椭圆C：
x2 4
＋y2＝1，得a＝2，b＝1，∴c＝
a2－b2 ＝
3
，则e＝
c a
＝
3 2
∴2 AE ＝ AC ，
即3＋3a＝6，
从而得a＝1，FC＝3a＝3.
∴p＝FG＝21FC＝23，因此抛物线方程为y2＝3x，故选C．
1234
法二：由法一可知∠CBD＝60°， 则由|AF|＝1－cpos 60°＝3可知p＝31－12＝32， ∴2p＝3， ∴抛物线的标准方程为y2＝3x.]
1234
y＝± 3x [ba＝ c2－a2a2＝ e2－1＝ 3， 故双曲线C的渐近线方程为y＝± 3x.]
3．(2021·新高考卷Ⅰ)已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p ＞0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且
PQ⊥OP.若|FQ|＝6，则C的准线方程为________.
高三数学圆锥曲线定义应用 ppt课件
例题选讲
例1 、 已知两个定圆O1和O2，它们的半径分别 为1和2，且|O1O2|=4，动圆M与圆O1内切，又与 圆O2外切，建立适当的坐标系，求动圆心M的轨 迹方程，并说明轨迹是何种曲线。
[思维点拨]利用圆锥曲线定义求轨迹是一种常 用的方法
变式练习：F１、F２是椭圆
x2 y2 1（a>b>0）
例３：已知Ａ（ 11 ，３）为一定点，Ｆ为
2
x2 y2 1 双曲线的右焦点，Ｍ在双曲线右支
9 27
上移动，当|ＡＭ|＋
1
|ＭＦ|最小时，求Ｍ点
2
的坐标．
[思维点拨]距离和差最值问题，常利用三角形两边之
和差与第三边之间的关系. 1 数量关系用定义来进行
转换
2
变式：设Ｐ（x,y）是椭圆
x2 a2
y2 b2
变式：求证：以双曲线的任意焦半径为直径的圆，与 以实轴为直径的圆相切．
(2a|F1F2|)}的点的轨迹。
知识精讲：
抛物线的定义：到一个定点Ｆ的距离与到一条得直 线Ｌ的距离相等的点的轨迹．
统一定义：M={P| PF e ，}0＜e＜1为椭圆，e>1 为双曲线，e＝1为抛d物线
重点、难点：培养运用定义解题的意识
2.思维方式：等价转换思想，数形结合
特别注意：圆锥曲线各自定义的区别与联系
a2 b2
的两焦点，P是椭圆上任一点, 从任一焦点引
∠F1PF2的外角平分线的垂线，垂足为Q的轨迹 为（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
例２：已知双曲线 x2 y2 1 （a＞０，b＞
a2 b2
０），Ｐ为双曲线上任一点，∠F1PF2=θ, 求 ΔF1PF2的面积．
圆锥曲线 课件
利用线性代数知识求解圆锥曲线问题
线性方程组
线性方程组是线性代数中的基础内容， 它可以用来求解与圆锥曲线相关的问题 。例如，通过解线性方程组，可以找到 满足特定条件的点的坐标。
VS
特征值与特征向量
特征值和特征向量在解析几何中也有广泛 应用。通过计算圆锥曲线的特征值和特征 向量，可以深入了解曲线的性质，从而更 好地解决相关问题。
椭圆离心率的范围是0<e<1，双曲线的离心率范围是e>1。
圆锥曲线的光学性质
01
光线经过圆锥曲线上的点时，其 方向会发生改变，这种现象叫做 圆锥曲线的光学性质。
02
光线经过椭圆时，会沿着椭圆的 主轴方向折射；经过双曲线时， 会沿着双曲线的副轴方向折射。
圆锥曲线的对称性
圆锥曲线具有对称性，即如果将圆锥 曲线沿其对称轴旋转180度，它仍然 与原来的曲线重合。
02 圆锥曲线的性质
焦点与准线
焦点
圆锥曲线上的点到曲线的两个焦 点的距离之和等于常数，这个常 数等于椭圆的长轴长，等于双曲 线的实轴长。
准线
与圆锥的母线平行的线，在平面 内与准线相交的直线与圆锥相切 于一点，这个点叫做切点。
离心率
离心率：是描述圆锥曲线形状的一个重要参数，它等于圆锥顶点到曲线的距离与 圆锥的半径之比。离心率越大，圆锥曲线越扁平，反之则越接近于球形。
双曲线的极坐标 方程
$frac{rho^2}{a^2} frac{rho^2}{b^2} = 1$
圆锥曲线在极坐 标下的表…
将圆锥曲线问题转化为极 坐标形式，便于理解和求 解。
利用极坐标求解圆锥曲线问题
利用极坐标求解圆锥曲线问题的步骤
首先将问题转化为极坐标形式，然后利用极坐标的性质和公式进行求解。
圆锥曲线课件
标准方程：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 (a > 0, b > 0)
1. 范围：双曲线在x轴上的范围是[±a, ±∞]，在y轴上 的范围是[0, b]。
3. 渐近线：双曲线有两条渐近线，斜率分别为y=±b/a 。
抛物线
定义：抛物线是指由平面内 与一个固定点F和一条直线l
的距离相等的点的轨迹。
极坐标系的基本概念
01
极坐标系是平面坐标系的一种形式，由极点、极轴和极径等构
成。
圆锥曲线在极坐标系中的表示
02
将圆锥曲线置于极坐标系中，探究其在极坐标系中的形式及其
性质。
极坐标与直角坐标的转换
03
掌握极坐标与直角坐标的转换公式，能够将极坐标方程转化为
直角坐标方程。
圆锥曲线在实际问题中的优化方案
实际问题的数学建模
折射定律
折射定律也是光学原理中的重要内容之一，它描述了 光线在不同介质之间传播时的偏转规律。在一些复杂 的光学系统中，如望远镜、显微镜等，需要对多个曲 面进行精确的设计和加工，而这些曲面常常是按照圆 锥曲线的形状进行设计和加工的。通过对这些曲面的 精确设计和加工，我们可以更好地控制光线的折射方 向和强度，从而制造出更好的光学器材和设备。
计算坐标
根据圆锥曲线的方程，计算出各个点的坐标 。
确定圆锥曲线的形状和大小
根据圆锥曲线的性质和特点，确定形状和大 小，选择合适的参数。
绘制图形
使用绘图软件或手绘，根据计算出的坐标绘 制圆锥曲线。
焦点半径法
01
02
03
确定焦点
根据圆锥曲线的类型和方 程，确定焦点位置。
计算半径
根据圆锥曲线的方程和焦 点的位置，计算出曲线的 半径。
圆锥曲线定义(适合公开课) PPT
•圆锥曲线与方程
第三章Biblioteka 2019/09/301 圆锥曲线 前世今生
•圆锥面
•定义
两直线相交，其中一条直线
以另外一条直线为旋转轴进
行旋转所形成的曲面，称为
圆锥面。
也可以理解为两个全等的圆 锥顶点重合，高线重合，相 对放置时，两个侧面所形成 的的整体。
母线和圆锥的夹角为半顶角α。
•圆锥曲线
平面截圆锥面所得到的曲线，叫做圆锥曲线。 根据平面与圆锥轴线所成的角θ不同，所截圆锥曲线也不同。
•圆
•椭圆
大家应该也有点累了，稍作休息
大家有疑问的，可以询问和交流
•抛物线
•双曲线
2 圆锥曲线 平面定义
•圆锥曲线
•圆
平面内，到一个定点的距离为定长的点构成的集
合.
椭圆 平面内，到两个定点的距离之和为定长（大于两 定点之间的距离）的点构成的集合.
抛物线 平面内，到一个定点的距离与到一条定直线（不 过定点）的距离相等的点构成的集合.
双曲线 平面内，到两个定点的距离之差为定长（小于两 定点之间的距离）的点构成的集合.
•椭圆
•抛物线
•双曲线
3 圆锥曲线 光学性质
•椭圆
一个焦点处出发的 光，经反射后汇聚 到另一个焦点。
•抛物线
焦点处出发的光， 经反射后变成平 行光。
•双曲线
一个焦点处出发的光， 经反射后看上去就好像 是从另一个焦点处出发 的光。
其实，这哪里是什么悲伤的双曲线？ •悲伤的双曲线 渐近线，越走越近，又给了彼此空间！
词、曲、唱：王渊超 如果我是双曲线，恩~你就是那渐近线 如果我是反比例函数，你就是那坐标轴 虽然我们有缘，能够生在同一个平面 然而我们又无缘，恩~慢慢长路无交点 为何看不见，等式成立要条件 难到正如书上说的，无限接近不能达到 如果我是双曲线，恩~你就是那渐近线
第三章Biblioteka 2019/09/301 圆锥曲线 前世今生
•圆锥面
•定义
两直线相交，其中一条直线
以另外一条直线为旋转轴进
行旋转所形成的曲面，称为
圆锥面。
也可以理解为两个全等的圆 锥顶点重合，高线重合，相 对放置时，两个侧面所形成 的的整体。
母线和圆锥的夹角为半顶角α。
•圆锥曲线
平面截圆锥面所得到的曲线，叫做圆锥曲线。 根据平面与圆锥轴线所成的角θ不同，所截圆锥曲线也不同。
•圆
•椭圆
大家应该也有点累了，稍作休息
大家有疑问的，可以询问和交流
•抛物线
•双曲线
2 圆锥曲线 平面定义
•圆锥曲线
•圆
平面内，到一个定点的距离为定长的点构成的集
合.
椭圆 平面内，到两个定点的距离之和为定长（大于两 定点之间的距离）的点构成的集合.
抛物线 平面内，到一个定点的距离与到一条定直线（不 过定点）的距离相等的点构成的集合.
双曲线 平面内，到两个定点的距离之差为定长（小于两 定点之间的距离）的点构成的集合.
•椭圆
•抛物线
•双曲线
3 圆锥曲线 光学性质
•椭圆
一个焦点处出发的 光，经反射后汇聚 到另一个焦点。
•抛物线
焦点处出发的光， 经反射后变成平 行光。
•双曲线
一个焦点处出发的光， 经反射后看上去就好像 是从另一个焦点处出发 的光。
其实，这哪里是什么悲伤的双曲线？ •悲伤的双曲线 渐近线，越走越近，又给了彼此空间！
词、曲、唱：王渊超 如果我是双曲线，恩~你就是那渐近线 如果我是反比例函数，你就是那坐标轴 虽然我们有缘，能够生在同一个平面 然而我们又无缘，恩~慢慢长路无交点 为何看不见，等式成立要条件 难到正如书上说的，无限接近不能达到 如果我是双曲线，恩~你就是那渐近线
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变式：求证：以双曲线的任意焦半径为直径的圆，与 以实轴为直径的圆相切．
例5、求过定点（1,2），以x轴为准线，离心率为 0.5的椭圆的下顶点的轨迹方程。
三、课堂小结
1.圆锥曲线的定义是根本，对于某些问题利用圆锥 曲线的定义来求解比较简捷； 2.涉及圆锥曲线上的点与两个焦点构成的三角形， 常用第一定义结合正余弦定理；涉及焦点、准线、 圆锥曲线上的点，常用统一的定义。
二次换面把投影面平行线变成投影面垂直线。
V X
X2
a2b2 b P2
ax2
P1
a
b1
B A
a1
作图：
a1
P1
P2 X2
四、换面法的六个基本问题
1. 把一般位置直线变换成投影面平行线
例：求直线AB的实长及与H面的夹角。
空间分析：用P1面代替V面，在P1/H投影体系中，AB//P1。
a
V
b
A
P1a1
b1
B
作图：
a XV
H
b b
a
Hb
换H面行吗？ 不行！
a
.
H
X1 P1
a●1
●
b1
新投影轴的位置？
与ab平行。
y2 b2
1(a>b>0)上一点，
Ｆ１、Ｆ２为椭圆的两焦点，求|PF１|·|PF２|的最大值
和最小值。
例4．过抛物线y2＝2px的焦点F任作一条直线m，交这 抛物线于P1、P2两点，求证：以P1P2为直径的圆和这抛
物线的准线相切．
分析：运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简 捷．
[思维点拨]以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相 切．类似有：以椭圆焦点弦为直径的圆与相对应的准 线相离；以双曲线焦点弦为直径的圆与相应的准线相 交．以上结论均可用第二定义证明之．
2. 新投影面必须垂直于某一保留的原投影面， 以构成一个相互垂直的两投影面的新体系。
三、点的投影变换规律
⒈ 更换一次投影面
⑴ 新投影体系的建立
a
a
V
ax
X
A
a1 P1
ax1
a
V X
ax
H
a
a1
. ax1
H P1 X1
H
X1
旧投影体系 X —VH
A点的两个投影：a， a
新投影体系
X1
—P1 H
A点的两个投影：a，a1
2 将投影面的平行线变换为投影面的垂直线
功用:一次换面后可用于求点与直线,两直线间的距
离等。问题的关键：新轴要垂直于反映实长的那个
投影。
a1 b1
X1
V b'
a'
H1
a1'•
b1' B
b' a'
X
Ab
X
V H
aH
a
b
一般位置直线变换为垂直线
3. 把一般位置直线变换成投影面垂直线
空间分析： 一次换面把直线变成投影面平行线；
四、作业布置：优化训练。
第三章 变换投影面法
一、问题的提出
★ 如何求一般位置直线的实长？ ★ 如何求一般位置平面的真实大小？
解决方法：更换投影面。
换 面 法： 物体本身在空间的位置不动，而用某 一新投影面（辅助投影面）代替原有投影 面，使物体相对新的投影面处于解题所需 要的有利位置，然后将物体向新投影面进 行投射。
例３：已知Ａ（ 11 ，３）为一定点，Ｆ为
2
x2 y 2 1 双曲线的右焦点，Ｍ在双曲线右支
9 27
上移动，当|ＡＭ|＋
1
|ＭＦ|最小时，求Ｍ点
2
的坐标．
[思维点拨]距离和差最值问题，常利用三角形两边之
和差与第三边之间的关系. 1 数量关系用定义来进行
转换
2
变式：设Ｐ（x,y）是椭圆
x2 a2
(2a | F1F2 |) }的点的轨迹。
知识精讲：
抛物线的定义：到一个定点Ｆ的距离与到一条得直 线Ｌ的距离相等的点的轨迹．
统一定义：M={P| PF e ，}0＜e＜1为椭圆，e>1 为双曲线，e＝1为抛d物线
重点、难点：培养运用定义解题的意识
2.思维方式：等价转换思想，数形结合
特别注意：圆锥曲线各自定义的区别与联系Aa 源自1ax1按次序更换
H
X1
先把V面换成平面P1， P1H，得到中间新投影体系:
X1
—P1 H
再把H面换成平面P2， P2 P1，得到新投影体系:
X2
—P1 P2
⑵ 求新投影的作图方法
a
XV
ax
H
作图规律
a2a1 X2 轴 a2ax2 = aax1
a ax1 .
H X1 P1
a2 ax2 .
圆锥曲线定义应用
高三备课组
一、基本知识概要
1.知识精讲：
·涉及圆锥曲线上的点与两个焦点构成的三角形， 常用第一定义结合正余弦定理； ·涉及焦点、准线、圆锥曲线上的点，常用统 一的定义。
椭圆的定义：点集M={P| |PF1|+|PF2|=2a，2a＞ |F1F2|}；
双曲线的定义：点集M={P|︱|PF1|-|PF2|︱=2a，
⑵ 新旧投影之间的关系
a
V a
ax
X
A a1 P1
ax1
a
V X
H
H
一般规律：
X1
ax
a1
. ax1
a
H P1 X1
aa1 X1 a1ax1 = aax
点的新投影和与它有关的原投影的连线，必垂直
于新投影轴。
点的新投影到新投影轴的距离等于被代替的投影
到原投影轴的距离。
⑶ 求新投影的作图方法
的两焦点，P是椭圆上任一点, 从任一焦点引
∠F1PF2的外角平分线的垂线，垂足为Q的轨迹 为（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
例２：已知双曲线
x2 y2 1
（a＞０，b＞
a2 b2
０），Ｐ为双曲线上任一点，∠F1PF2=θ, 求
ΔF1PF2的面积．
[思维点拨]焦点三角形中，通常用定义和正余 弦定理
被替换
的投影面 被替换
的投影
a' B
b1'
V
新投影 新投影面
老轴
b'
X
老投影体系 V/H 被保留 的投影
V1
b
a1'
A
a
H
X1
被保留
新轴
的投影面
新投影体系 V1/H
二、新投影面的选择原则
P
V
a A
a1
平行于新的投影面
b
B
b1 垂直于新的投影面
a
Hb
1. 新投影面必须对空间物体处于最有利的解 题位置。
更换V面
a
V XH
ax
a
ax1
.
H P1 X1
作图规律：
更换H面
X1 H
P1
a1
. ax1
a ● a1
XV ax H
a
由点的不变投影向新投影轴作垂线，
并在垂线上量取一段距离，使这段距离等 于被代替的投影到原投影轴的距离。
⒉ 更换两次投影面
⑴ 新投影体系的建立
V a
ax
X
X2
a2
P2
ax2 P1
例题选讲
例1 、 已知两个定圆O1和O2，它们的半径分别 为1和2，且|O1O2|=4，动圆M与圆O1内切，又与 圆O2外切，建立适当的坐标系，求动圆心M的轨 迹方程，并说明轨迹是何种曲线。
[思维点拨]利用圆锥曲线定义求轨迹是一种常 用的方法
变式练习：F１、F２是椭圆
x2 y2
a2 b2
1（a>b>0）
例5、求过定点（1,2），以x轴为准线，离心率为 0.5的椭圆的下顶点的轨迹方程。
三、课堂小结
1.圆锥曲线的定义是根本，对于某些问题利用圆锥 曲线的定义来求解比较简捷； 2.涉及圆锥曲线上的点与两个焦点构成的三角形， 常用第一定义结合正余弦定理；涉及焦点、准线、 圆锥曲线上的点，常用统一的定义。
二次换面把投影面平行线变成投影面垂直线。
V X
X2
a2b2 b P2
ax2
P1
a
b1
B A
a1
作图：
a1
P1
P2 X2
四、换面法的六个基本问题
1. 把一般位置直线变换成投影面平行线
例：求直线AB的实长及与H面的夹角。
空间分析：用P1面代替V面，在P1/H投影体系中，AB//P1。
a
V
b
A
P1a1
b1
B
作图：
a XV
H
b b
a
Hb
换H面行吗？ 不行！
a
.
H
X1 P1
a●1
●
b1
新投影轴的位置？
与ab平行。
y2 b2
1(a>b>0)上一点，
Ｆ１、Ｆ２为椭圆的两焦点，求|PF１|·|PF２|的最大值
和最小值。
例4．过抛物线y2＝2px的焦点F任作一条直线m，交这 抛物线于P1、P2两点，求证：以P1P2为直径的圆和这抛
物线的准线相切．
分析：运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简 捷．
[思维点拨]以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相 切．类似有：以椭圆焦点弦为直径的圆与相对应的准 线相离；以双曲线焦点弦为直径的圆与相应的准线相 交．以上结论均可用第二定义证明之．
2. 新投影面必须垂直于某一保留的原投影面， 以构成一个相互垂直的两投影面的新体系。
三、点的投影变换规律
⒈ 更换一次投影面
⑴ 新投影体系的建立
a
a
V
ax
X
A
a1 P1
ax1
a
V X
ax
H
a
a1
. ax1
H P1 X1
H
X1
旧投影体系 X —VH
A点的两个投影：a， a
新投影体系
X1
—P1 H
A点的两个投影：a，a1
2 将投影面的平行线变换为投影面的垂直线
功用:一次换面后可用于求点与直线,两直线间的距
离等。问题的关键：新轴要垂直于反映实长的那个
投影。
a1 b1
X1
V b'
a'
H1
a1'•
b1' B
b' a'
X
Ab
X
V H
aH
a
b
一般位置直线变换为垂直线
3. 把一般位置直线变换成投影面垂直线
空间分析： 一次换面把直线变成投影面平行线；
四、作业布置：优化训练。
第三章 变换投影面法
一、问题的提出
★ 如何求一般位置直线的实长？ ★ 如何求一般位置平面的真实大小？
解决方法：更换投影面。
换 面 法： 物体本身在空间的位置不动，而用某 一新投影面（辅助投影面）代替原有投影 面，使物体相对新的投影面处于解题所需 要的有利位置，然后将物体向新投影面进 行投射。
例３：已知Ａ（ 11 ，３）为一定点，Ｆ为
2
x2 y 2 1 双曲线的右焦点，Ｍ在双曲线右支
9 27
上移动，当|ＡＭ|＋
1
|ＭＦ|最小时，求Ｍ点
2
的坐标．
[思维点拨]距离和差最值问题，常利用三角形两边之
和差与第三边之间的关系. 1 数量关系用定义来进行
转换
2
变式：设Ｐ（x,y）是椭圆
x2 a2
(2a | F1F2 |) }的点的轨迹。
知识精讲：
抛物线的定义：到一个定点Ｆ的距离与到一条得直 线Ｌ的距离相等的点的轨迹．
统一定义：M={P| PF e ，}0＜e＜1为椭圆，e>1 为双曲线，e＝1为抛d物线
重点、难点：培养运用定义解题的意识
2.思维方式：等价转换思想，数形结合
特别注意：圆锥曲线各自定义的区别与联系Aa 源自1ax1按次序更换
H
X1
先把V面换成平面P1， P1H，得到中间新投影体系:
X1
—P1 H
再把H面换成平面P2， P2 P1，得到新投影体系:
X2
—P1 P2
⑵ 求新投影的作图方法
a
XV
ax
H
作图规律
a2a1 X2 轴 a2ax2 = aax1
a ax1 .
H X1 P1
a2 ax2 .
圆锥曲线定义应用
高三备课组
一、基本知识概要
1.知识精讲：
·涉及圆锥曲线上的点与两个焦点构成的三角形， 常用第一定义结合正余弦定理； ·涉及焦点、准线、圆锥曲线上的点，常用统 一的定义。
椭圆的定义：点集M={P| |PF1|+|PF2|=2a，2a＞ |F1F2|}；
双曲线的定义：点集M={P|︱|PF1|-|PF2|︱=2a，
⑵ 新旧投影之间的关系
a
V a
ax
X
A a1 P1
ax1
a
V X
H
H
一般规律：
X1
ax
a1
. ax1
a
H P1 X1
aa1 X1 a1ax1 = aax
点的新投影和与它有关的原投影的连线，必垂直
于新投影轴。
点的新投影到新投影轴的距离等于被代替的投影
到原投影轴的距离。
⑶ 求新投影的作图方法
的两焦点，P是椭圆上任一点, 从任一焦点引
∠F1PF2的外角平分线的垂线，垂足为Q的轨迹 为（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
例２：已知双曲线
x2 y2 1
（a＞０，b＞
a2 b2
０），Ｐ为双曲线上任一点，∠F1PF2=θ, 求
ΔF1PF2的面积．
[思维点拨]焦点三角形中，通常用定义和正余 弦定理
被替换
的投影面 被替换
的投影
a' B
b1'
V
新投影 新投影面
老轴
b'
X
老投影体系 V/H 被保留 的投影
V1
b
a1'
A
a
H
X1
被保留
新轴
的投影面
新投影体系 V1/H
二、新投影面的选择原则
P
V
a A
a1
平行于新的投影面
b
B
b1 垂直于新的投影面
a
Hb
1. 新投影面必须对空间物体处于最有利的解 题位置。
更换V面
a
V XH
ax
a
ax1
.
H P1 X1
作图规律：
更换H面
X1 H
P1
a1
. ax1
a ● a1
XV ax H
a
由点的不变投影向新投影轴作垂线，
并在垂线上量取一段距离，使这段距离等 于被代替的投影到原投影轴的距离。
⒉ 更换两次投影面
⑴ 新投影体系的建立
V a
ax
X
X2
a2
P2
ax2 P1
例题选讲
例1 、 已知两个定圆O1和O2，它们的半径分别 为1和2，且|O1O2|=4，动圆M与圆O1内切，又与 圆O2外切，建立适当的坐标系，求动圆心M的轨 迹方程，并说明轨迹是何种曲线。
[思维点拨]利用圆锥曲线定义求轨迹是一种常 用的方法
变式练习：F１、F２是椭圆
x2 y2
a2 b2
1（a>b>0）