2014届北京体育大学附中高考数学一轮复习单元训练：《计数原理》

计数原理

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．

第Ⅰ卷(选择题 共60分)

一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．函数()sin x f x e x =的图象在点(3,(3)f )处的切线的倾斜角为( )

A ．

2

π

B ．0

C ．钝角

D ．锐角

【答案】C

2．如果说某物体作直线运动的时间与距离满足()2

()21s t t =-，则其在 1.2t =时的瞬时速度为( ) A ．4 B ．4-

C ．4.8

D ．0.8

【答案】D 3．函数()12

x x

y e e -=

+的导数是( ) A ．

()12x x e e -- B ．()1

2

x x e e -+ C ．x

x

e e --

D ．x x

e e

-+

【答案】A

4．若曲线034=--=y x P x x x f 处的切线平行于直线在点）（，则点P 的坐标为( ) A ．（1，0）

B ． (1，5）

C ．（1， 3-）

D ． (1-，2）

【答案】A

5．设)(x f 为可导函数，且满足12)21()1(lim 0-=--→x x f f x ，则过曲线)(x f y =上点(1,(1))f 处

的切线斜率为( )

A ．2

B ．－1

C ．1

D ．－2

【答案】B 6．设曲线1

n y x

+= (*N n ∈)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ,则

20111log x +20112log x + …+ 20112010log x 的值为( )

A ．2011log 2010-

B ．1-

C ．2011log 20101-

D ．1

【答案】B

7．设球的半径为时间t 的函数()R t 。若球的体积以均匀速度c 增长，则球的表面积的增长速度与球半径( )

A ．成正比，比例系数为C

B ． 成正比，比例系数为2

C C ．成反比，比例系数为C

D ． 成反比，比例系数为2C

【答案】D

8．由函数3cos ,(02)12

y x x x y ππ=≤≤==的图象与直线及的图象所围成的一个封闭图形的面积( ) A ．4 B ．

12

3+π

C ．

12

π

+

D ．π2

【答案】B

9．已知f(3)=2,f ′(3)=－2,则3

lim →x 3

)

(32--x x f x 的值为( )

A ．－4

B ．8

C ．0

D ．不存在

【答案】B 10．曲线21

x

y x =

-在点()1,1处的切线方程为( ) A ． 20x y --= B ． 20x y +-= C ．450x y +-= D ． 450x y --= 【答案】B

11．设()f x 在[]a b ，上连续，则()f x 在[]a b ，上的平均值是( )

A ．

()()

2

f a f b + B ．

()b

a

f x dx ⎰ C ．

1()2b

a

f x dx ⎰ D ．

1()b

a

f x dx b a -⎰

【答案】C

12．已知函数f (x)=3x +1，则x

f x f x ∆-∆-→∆)

1()1(lim

的值为( )

A ．3

1-

B ．

3

1 C ．3

2 D ．0

【答案】A

第Ⅱ卷(非选择题 共90分)

二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．如图，直线1y =与曲线22y x =-+所围图形的面积是 。

【答案】

3

4 14．过（0， 0）且与函数y ＝3

2123

x x - 的图象相切的直线方程为 【答案】30x y +=或0y = 15．计算

⎰

=+2

)32(dx x ．

【答案】10

16．若曲线2

1

232-+=

x x y 的某一切线与直线34+=x y 平行，则切点坐标为 ，切线方程为 ． 【答案】(1,2)，42y x =-

三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．已知函数2()(22)x f x e ax x =--，a ∈R 且0a ≠.

⑴ 若曲线()y f x =在点(2,(2))P f 处的切线垂直于y 轴，求实数a 的值； ⑵ 当0a >时，求函数(|sin |)f x 的最小值.

【答案】由题意得：22()()(22)(22)x x f x e ax x e ax x '''=⋅--+⋅--

22

(22)(22)()(2)x x x e ax x e ax ae x x a

=--+-=-+；

(1)由曲线()y f x =在点(2,(2))P f 处的切线垂直于y 轴，结合导数的几何意义得

(2)0f '=，即22(2)(22)a e a ⋅⋅-+=222

40a ae a

-⋅

=，解得1a =； (2) 设|sin |(01)x t t =≤≤，则只需求当0a >时，函数()(01)y f t t =≤≤的最小值.

令()0f x '=，解得2x a =

或2x =-，而0a >，即2

2a

>-. 从而函数()f x 在(,2)-∞-和2(,)a +∞上单调递增，在2

(2,)a

-上单调递减.

当2

1a ≥时，即02a <≤时，函数()f x 在[0,1]上为减函数，min (1)(4)y f a e ==-； 当2

01a

<<，即 2a >时，函数()f x 的极小值即为其在区间[0,1]上的最小值，

2

min

2

()2a y f e a

==-.

综上可知，当02a <≤时，函数(|sin |)f x 的最小值为(4)a e -；当2a >时，函数

(|sin |)f x 的最小值为22a

e -.

18．已知函数x a a x a x x f )()12(2

1

31)(223+++-=

. (Ⅰ）若)(x f 在1=x 处取得极大值，求实数a 的值；

(Ⅱ）若R m ∈∀，直线m kx y +=都不是曲线)(x f y =的切线，求k 的取值范围； (Ⅲ）若1->a ，求)(x f 在区间［0，1］上的最大值。