2017-2018学年江苏省常州市九年级上期末数学试卷附答案解析

2017-2018学年第二学期初三年级质量检测数学(2018年2月)本试卷分为第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第I 卷为1-12题,共36分,第Ⅱ卷为13-23题,共64分。

全卷共计100分。

考试时间为90分钟。

第I 卷(本卷共计36分)一、单项选择题(本部分共12小题,每小题3分,共36分)1.方程3x 2-8x-10=0的二次项系数和一次项系数分别为( )A.3和8B.3和10C.3和-10D.3和-82.如图所示的工件,其俯视图是（ ）3.若点A(a,b)在双曲线y=x 3上,则代数式ab-4的值为 A.-12 B.-7 C.-1 D.14.在一个不透明的布袋中,红色、黑色、白色的玻璃球共有40个,除颜色外其他完全相同.小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色球、黑色球的频率分别稳定在0.15和0.45,则口袋中白色球的个数可能是( )A.28B.24C.16D.65.如图,四边形ABCD 是平行四边形,下列说法不正确的是( )第5题 第6题 第7题A.当AC=BD 时,四边形ABCD 是矩形B.当AB=BC 时,四边形ABCD 是菱形C.当AC ⊥BD 时,四边形ABCD 是菱形D.当∠DAB=90°时,四边形ABCD 是正方形6.如图,△ABC 是△ABC 以点O 为位似中心经过位似变换得到的,若△A ′B ′C ′的面积与△ABC 的面积比是4:9，则0B ′:OB 为（ ）A.2:3B.3:2C.4:5D.4:97.如图,在平行四边形ABCD 中,EF ∥AB,DE:EA=2:3,EF=4,则CD 的长为（ ）A.6B.8C.10D.128.某小区2014年屋顶绿化面积为2000平方米,计划2016年屋顶绿化面积要达到2880平方米,若设屋顶绿化面积的年平均增长率为x,则依题意所列方程正确的是（ ）A.2000(1+x)2=2880B.200(1-x)2=2880C.2000(1+2x)=2880D.2000x 2=28809.二次函数y=x 2-3x+2的图像不经过（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限10.如图,从点A 看一山坡上的电线杆PQ,观测点P 的仰角是45°,向前走6m 到达B 点,测得顶端点P 和杆底端点Q 的仰角分别是60°和30°,则该电线杆PQ 的高度( )A.326+B.36+C.310-D.38+11.如图,抛物线的顶点为P(-2,2),与y 轴交于点A(0,3).若平移该抛物线使其顶点P 沿直线移动到点P ′(2,-2),点A 的对应点为A ′,则抛物线上PA 段扫过的区域(阴影部分)的面积为（ ）第11题 第12题A.10B.12C.24D.1612.如图,正方形ABCD 中,O 为BD 中点,以BC 为边向正方方形内作等边△BCE,连接并延长AE 交CD 于F,连接BD 分别交CE 、AF 于G 、H,下列结论:①∠CEH=45°；②GF ∥DE ；③2OH+DH=BD ；④BG=2DG ；⑤213+=BGC BEC S S △△：。

人教版2018-2019学年九年级上学期期末考试数学试题(解析版）一、单选题：(每题只有一个正确答案，将正确答案序号填在表格中每题3分，共30分). 1．方程x2=3x的解为（）A．x=3 B．x=0 C．x1=0，x2=﹣3 D．x1=0，x2=32．矩形、菱形、正方形都具有的性质是（）A．对角线相等B．对角线互相垂直; C．对角线互相平分D．对角线平分对角3．在一个不透明的口袋中，装有5个红球和2个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出有一个球，摸到红球的概率是（）A．B．C．D．4．长度为下列各组数据的线段（单位：cm）中，成比例的是（）A．1，2，3，4 B．6，5，10，15 C．3，2，6，4 D．15，3，4，105．已知x1、x2是一元二次方程x2﹣4x+1=0的两个根，则+等于（）A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．46．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=6，DB=3，AE=4，则EC的长为（）A．1 B．2 C．3 D．47．某果园2017年水果产量为100吨，2019年水果产量为196吨，求该果园水果产量的年平均增长率．设该果园水果产量的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为（）A．196（1﹣x）2B．100（1﹣x）2=196;C．196（1+x）2=100;D．100（1+x）2=196 8．如图，CD是Rt△ABC的中线，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，则CD的长是（）A．2.5 B．3 C．4 D．59．如图，在▱ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF：FC等于（）A．3：2 B．3：1 C．1：1 D．1：2 10．如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为（）A．2 B．C．D．二．填空题(每题3分,共15分)11．在一个不透明的口袋中，装有A，B，C，D4个完全相同的小球，随机摸取一个小球然后放回，再随机摸取一个小球，两次摸到同一个小球的概率是．12．方程2x﹣4=0的解也是关于x的方程x2+mx+2=0的一个解，则m的值为．13．如图：在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，已知∠AOB=60°，AC=16，则图中长度为8的线段有条．（填具体数字）14．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BED的度数是．15．矩形的两条邻边长分别是6cm和8cm，则顺次连接各边中点所得的四边形的面积是．三、解答题(共55分)16．解方程：（1）（x+1）（x﹣3）=32 （2）2x2+3x﹣1=0（用配方法）17．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线BF分别与AC、AD交于点E、F．（1）求证：AB=AF；（2）当AB=6，BC=10时，求的值．18．一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯D的高度．如图，当李明走到点A处时，张龙测得李明直立时身高AM与影子长AE正好相等；接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB=1.25m，已知李明直立时的身高为1.75m，求路灯的高CD的长．（结果精确到0.1m）．19．将如图所示的牌面数字分别是1，2，3，4的四张扑克牌背面朝上，洗匀后放在桌面上．（1）从中随机抽出一张牌，牌面数字是偶数的概率是；（2）从中随机抽出二张牌，两张牌牌面数字的和是5的概率是；（3）先从中随机抽出一张牌，将牌面数字作为十位上的数字，然后将该牌放回并重新洗匀，再随机抽取一张，将牌面数字作为个位上的数字，请用画树状图或列表的方法求组成的两位数恰好是4的倍数的概率．20．如图，一次函数y=﹣x+4的图象与反比例y=（k为常数，且k≠0）的图象交于A（1，a），B（b，1）两点，（1）求反比例函数的表达式及点A，B的坐标（2）在x轴上找一点，使P A+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标．参考答案与试题解析一.单选题：每题只有一个正确答案，将正确答案序号填在表格中每题3分，共30分. 1．方程x2=3x的解为（）A．x=3 B．x=0 C．x1=0，x2=﹣3 D．x1=0，x2=3【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．【分析】因式分解法求解可得．【解答】解：∵x2﹣3x=0，∴x（x﹣3）=0，则x=0或x﹣3=0，解得：x=0或x=3，故选：D．2．矩形、菱形、正方形都具有的性质是（）A．对角线相等B．对角线互相垂直C．对角线互相平分D．对角线平分对角【考点】多边形．【分析】根据正方形的性质，菱形的性质及矩形的性质分别分析各个选项，从而得到答案．【解答】解：A、对角线相等，菱形不具有此性质，故本选项错误；B、对角线互相垂直，矩形不具有此性质，故本选项错误；C、对角线互相平分，正方形、菱形、矩形都具有此性质，故本选项正确；D、对角线平分对角，矩形不具有此性质，故本选项错误；故选：C．3．在一个不透明的口袋中，装有5个红球和2个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出有一个球，摸到红球的概率是（）A．B．C．D．【考点】概率公式．【分析】先求出袋子中球的总个数及红球的个数，再根据概率公式解答即可．【解答】解：袋子中球的总数为5+2=7，而红球有5个，则摸出红球的概率为．故选D．4．长度为下列各组数据的线段（单位：cm）中，成比例的是（）A．1，2，3，4 B．6，5，10，15 C．3，2，6，4 D．15，3，4，10【考点】比例线段．【分析】根据如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段，对每一项进行分析即可．【解答】解：A、1×4≠2×3，故本选项错误；B、5×15≠6×10，故本选项错误；C、2×6=3×4，故选项正确；D、3×15≠4×10，故选项错误．故选C．5．已知x1、x2是一元二次方程x2﹣4x+1=0的两个根，则+等于（）A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．4【考点】根与系数的关系．【分析】根据根与系数的关系可得x1+x2=4、x1•x2=1，将+通分后可得，再代入x1+x2=4、x1•x2=1即可求出结论．【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程x2﹣4x+1=0的两个根，∴x1+x2=4，x1•x2=1，+===4．故选D．6．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=6，DB=3，AE=4，则EC的长为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】平行线分线段成比例．【分析】根据平行线分线段成比例可得，代入计算即可解答．【解答】解：∵DE∥BC，∴，即，解得：EC=2，故选：B．7．某果园2017年水果产量为100吨，2019年水果产量为196吨，求该果园水果产量的年平均增长率．设该果园水果产量的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为（）A．196（1﹣x）2B．100（1﹣x）2=196 C．196（1+x）2=100 D．100（1+x）2=196【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【分析】2019年的产量=2017年的产量×（1+年平均增长率）2，把相关数值代入即可．【解答】解：2014年的产量为100（1+x），2015年的产量为100（1+x）（1+x）=100（1+x）2，即所列的方程为100（1+x）2=196，故选：D．8．如图，CD是Rt△ABC的中线，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，则CD的长是（）A．2.5 B．3 C．4 D．5【考点】直角三角形斜边上的中线；勾股定理．【分析】利用勾股定理列式求出AB，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．【解答】解：∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，∴AB===10，∵CD是Rt△ABC的中线，∴CD=AB=×10=5．故选D．9．如图，在▱ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF：FC等于（）A．3：2 B．3：1 C．1：1 D．1：2【考点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质．【分析】根据题意得出△DEF∽△BCF，进而得出=，利用点E是边AD的中点得出答案即可．【解答】解：∵▱ABCD，故AD∥BC，∴△DEF∽△BCF，∴=，∵点E是边AD的中点，∴AE=DE=AD，∴=．故选：D．10．如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为（）A．2 B．C． D．【考点】轴对称﹣最短路线问题；菱形的性质．【分析】根据轴对称确定最短路线问题，作点P关于BD的对称点P′，连接P′Q与BD的交点即为所求的点K，然后根据直线外一点到直线的所有连线中垂直线段最短的性质可知P′Q⊥CD时PK+QK的最小值，然后求解即可．【解答】解：如图，菱形ABCD中，∵AB=2，∠A=120°，∴AD=2，∠ADC=60°，过A作AE⊥CD于E，则AE=P′Q，∵AE=AD•cos60°=2×=，∴点P′到CD的距离为，∴PK+QK的最小值为．故选B．二．填空题11．在一个不透明的口袋中，装有A，B，C，D4个完全相同的小球，随机摸取一个小球然后放回，再随机摸取一个小球，两次摸到同一个小球的概率是．【考点】列表法与树状图法；概率公式．【分析】可以根据画树状图的方法，先画树状图，再求得两次摸到同一个小球的概率．【解答】解：画树状图如下：∴P（两次摸到同一个小球）==故答案为：【点评】本题主要考查了概率，解决问题的关键是掌握树状图法．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．12．方程2x﹣4=0的解也是关于x的方程x2+mx+2=0的一个解，则m的值为﹣3．【考点】一元二次方程的解．【分析】先求出方程2x﹣4=0的解，再把x的值代入方程x2+mx+2=0，求出m的值即可．【解答】解：2x﹣4=0，解得：x=2，把x=2代入方程x2+mx+2=0得：4+2m+2=0，解得：m=﹣3．故答案为：﹣3．【点评】此题主要考查了一元二次方程的解，先求出x的值，再代入方程x2+mx+2=0是解决问题的关键，是一道基础题．13．如图：在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，已知∠AOB=60°，AC=16，则图中长度为8的线段有6条．（填具体数字）【考点】矩形的性质；等边三角形的判定与性质．【分析】根据矩形性质得出DC=AB，BO=DO=BD，AO=OC=AC=8，BD=AC，推出BO=OD=AO=OC=8，得出△ABO是等边三角形，推出AB=AO=8=D C．【解答】解：∵AC=16，四边形ABCD是矩形，∴DC=AB，BO=DO=BD，AO=OC=AC=8，BD=AC，∴BO=OD=AO=OC=8，∵∠AOB=60°，∴△ABO是等边三角形，∴AB=AO=8，∴DC=8，即图中长度为8的线段有AO、CO、BO、DO、AB、DC共6条，故答案为：6．【点评】本题考查了矩形性质和等边三角形的性质和判定的应用，注意：矩形的对角线互相平分且相等，矩形的对边相等．14．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BED的度数是45°．【考点】正方形的性质；等边三角形的性质．【分析】根据正方形的性质，可得AB与AD的关系，∠BAD的度数，根据等边三角形的性质，可得AE与AD的关系，∠AED的度数，根据等腰三角形的性质，可得∠AEB与∠ABE 的关系，根据三角形的内角和，可得∠AEB的度数，根据角的和差，可得答案．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°．∵等边三角形ADE，∴AD=AE，∠DAE=∠AED=60°．∠BAE=∠BAD+∠DAE=90°+60°=150°，AB=AE，∠AEB=∠ABE=（180°﹣∠BAE）÷2=15°，∠BED=∠DAE﹣∠AEB=60°﹣15°=45°，故答案为：45°．【点评】本题考查了正方形的性质，先求出∠BAE的度数，再求出∠AEB，最后求出答案．15．矩形的两条邻边长分别是6cm和8cm，则顺次连接各边中点所得的四边形的面积是24cm2．【考点】正方形的判定与性质；三角形中位线定理；矩形的性质．【专题】计算题．【分析】根据题意，先证明四边形EFGH是菱形，然后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，解答出即可．【解答】解：如图，连接EG、FH、AC、BD，设AB=6cm，AD=8cm，∵四边形ABCD是矩形，E、F、G、H分别是四边的中点，∴HF=6cm，EG=8cm，AC=BD，EH=FG=BD，EF=HG=AC，∴四边形EFGH是菱形，∴S菱形EFGH=×FH×EG=×6×8=24cm2．故答案为24cm2．【点评】本题考查了矩形的性质、三角形的中位线定理，证明四边形EFGH是菱形及菱形面积的计算方法，是解答本题的关键．三、解答题(共55分)16．解方程：（1）（x+1）（x﹣3）=32（2）2x2+3x﹣1=0（用配方法）【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；解一元二次方程﹣配方法．【分析】（1）根据因式分解法可以解答本题；（2）根据配方法可以求得方程的解．【解答】解：（1）（x+1）（x﹣3）=32去括号，得x2﹣2x﹣3=32移项及合并同类项，得x2﹣2x﹣35=0∴（x﹣7）（x+5）=0∴x﹣7=0或x+5=0，解得，x1=7，x2=﹣5；（2）2x2+3x﹣1=0（用配方法）∴∴，∴．17．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线BF分别与AC、AD交于点E、F．（1）求证：AB=AF；（2）当AB=6，BC=10时，求的值．【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【分析】（1）由在▱ABCD中，AD∥BC，利用平行线的性质，可求得∠FBC=∠AFB，又由BF是∠ABC的平分线，易证得∠ABF=∠AFB，利用等角对等边的知识，即可证得AB=AF；（2）易证得△AEF∽△CEB，利用相似三角形的对应边成比例，即可求得的值．【解答】（1）证明：∵BF平分∠ABC，∴∠CBF=∠AFB，∴∠ABF=∠CBF，∴∠ABF=∠AFB，∵平行四边形ABCD，∴AB=AF，∴∠ABF=∠CBF，∴∠ABF=∠AFB，∵平行四边形ABCD，∴AB=AF，（2）解：∵AB=6，∴AF=6，∵AF∥BC，∴△AEF∽△CEB，∴===，∴．18．一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯D的高度．如图，当李明走到点A处时，张龙测得李明直立时身高AM与影子长AE正好相等；接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB=1.25m，已知李明直立时的身高为1.75m，求路灯的高CD的长．（结果精确到0.1m）．【考点】相似三角形的应用；中心投影．【分析】根据AM⊥EC，CD⊥EC，BN⊥EC，EA=MA得到MA∥CD∥BN，从而得到△ABN∽△ACD，利用相似三角形对应边的比相等列出比例式求解即可．【解答】解：设CD长为x米，∵AM⊥EC，CD⊥EC，BN⊥EC，EA=MA，∴MA∥CD∥BN，∴EC=CD=x，∴△ABN∽△ACD，∴=，即=，解得：x=6.125≈6.1．经检验，x=6.125是原方程的解，∴路灯高CD约为6.1米19．将如图所示的牌面数字分别是1，2，3，4的四张扑克牌背面朝上，洗匀后放在桌面上．（1）从中随机抽出一张牌，牌面数字是偶数的概率是；（2）从中随机抽出二张牌，两张牌牌面数字的和是5的概率是；（3）先从中随机抽出一张牌，将牌面数字作为十位上的数字，然后将该牌放回并重新洗匀，再随机抽取一张，将牌面数字作为个位上的数字，请用画树状图或列表的方法求组成的两位数恰好是4的倍数的概率．【考点】列表法与树状图法；概率公式．【分析】依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率即可．【解答】解：（1）A，2，3，4共有4张牌，随意抽取一张为偶数的概率为=；（2）1+4=5；2+3=5，但组合一共有3+2+1=6，故概率为=；（3）根据题意，画树状图：由树状图可知，共有16种等可能的结果：11，12，13，14，21，22，23，24，31，32，33，34，41，42，43，44．其中恰好是4的倍数的共有4种：12，24，32，44．所以，P（4的倍数）=．或根据题意，画表格：由表格可知，共有16种等可能的结果，其中是4的倍数的有4种，所以，P（4的倍数）=．20．如图，一次函数y=﹣x+4的图象与反比例y=（k为常数，且k≠0）的图象交于A（1，a），B（b，1）两点，（1）求反比例函数的表达式及点A，B的坐标（2）在x轴上找一点，使P A+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；轴对称﹣最短路线问题．【分析】（1）把点A（1，a），B（b，1）代入一次函数y=﹣x+4，即可得出a，b，再把点A 坐标代入反比例函数y=，即可得出结论；（2）作点B作关于x轴的对称点D，交x轴于点C，连接AD，交x轴于点P，此时P A+PB 的值最小，求出直线AD的解析式，令y=0，即可得出点P坐标．【解答】解：（1）把点A（1，a），B（b，1）代入一次函数y=﹣x+4，得a=﹣1+4，1=﹣b+4，解得a=3，b=3，∴A（1，3），B（3，1）；点A（1，3）代入反比例函数y=得k=3，∴反比例函数的表达式y=；（2）作点B作关于x轴的对称点D，交x轴于点C，连接AD，交x轴于点P，此时P A+PB 的值最小，∴D（3，﹣1），设直线AD的解析式为y=mx+n，把A，D两点代入得，，解得m=﹣2，n=5，∴直线AD的解析式为y=﹣2x+5，令y=0，得x=，∴点P坐标（，0）．。

2017—2018学年度九年级数学期末测试卷一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）. 1．如图所示的几何体的俯视图是（ ）2．菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）A ．对角线互相垂直B ．对角线相等C ．对角线互相平分D ．对角互补3．矩形的长为x ，宽为y ，面积为8，则y 与x 之间的函数关系式用图象表示大致为（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x 2﹣8x +12=0的两个根，则该三角形的周长是（ ）A ．10 B ．14 C ．10或14D ．不能确定5．如图，取一张长为a ，宽为b 的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a 、b 应满足的条件是（ ）A ．b B ．a=2b C ．b D ．a=4b6．二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如上图所示，对称轴是直线x =1，下列结论：①ab ＜0； ②b 2＞4ac ；③3a +c ＜0；④a +b +2c ＜0．其中正确的是（ ）A ．①②③④B ．②④C ．①②④D ．①④二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 7．方程x 2=2x 的解为 ．8．已知两个相似的三角形的面积之比是16：9，那么这两个三角形的周长之比是 ．CDBA正面9．某地区为估计该地区黄羊的只数，先捕捉20只黄羊给它们分别作上标志，然后放回，待有标 志的黄羊完全混合于黄羊群后，第二次捕捉60只黄羊，发现其中2只有标志．从而估计该地区有 黄羊 只． 10．如下图1，双曲线(0)ky k x=≠上有一点A ，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，△AOB 的面积为2，则该双曲线的表达式为 ______ ．11．如下图2，在A 时测得某树的影长为4m ，B 时又测得该树的影长为16m ，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为 ．12．如下图3，四边形ABCD 是菱形，∠BAD =60°，AB =6，对角线AC 与BD 相交于点O ，点E 在AC 上，若OE CE 的长为 ．三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13．(1)计算：sin 245°＋cos30°•tan60°；(2) 如图，已知：∠BAC =∠EAD ，AB =20.4，AC =48，AE =17，AD =40．求证：△ABC ∽△AED ．14．(1)如图（1），将平行四边形剪一刀，再拼成一个与其面积相等的矩形；(2)如图（2），将菱形剪两刀，再拼成一个与其面积相等的矩形.15．市某中学拟在周一至周五的五天中随机选择2天进行开展安全逃生疏散演练活动，请完成下列问题：（1）周二没有被选择的概率；（2）选择2天恰好为连续两天的概率．16．已知关于x的一元二次方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1=0．（1）若该方程有实数根，求a的取值范围．（2）若该方程一个根为﹣1，求方程的另一个根．17．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，点D是AB的中点，分别过点D作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，求证：四边形CEDF是正方形．四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18．如图，在△ABC中，∠A=30°，cos B=45，ACAB的长．19．某社区鼓励居民到社区阅览室借阅读书，该阅览室在2015年图书借阅总量是7500本，2017年图书借阅总量是10800本．（1）求该社区的图书借阅总量从2015年至2017年的年平均增长率；（2）已知2017年该社区居民借阅图书人数有1350人，预计2018年达到1440人．如果2017年至2018年图书借阅总量的增长率不低于2015年至2017年的年平均增长率，那么2018年的人均借阅量比2017年增长a%，求a的值至少是多少？20．如图（1），太极揉推器是一种常见的健身器材，基本结构包括支架和转盘.如图（2）是该太极揉推器的左视图，立柱AB的长为125cm，支架OC的长为40cm，支点C到立柱顶点B的距离为25cm，支架OC与立柱AB的夹角OCA=120°，转盘的直径DE为60cm，点O是DE的中点，支架OC与转盘直径DE垂直.求转盘最低点E离地面的高度.（结果保留根号）五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）.21．如图，已知抛物线y=x2﹣x﹣6，与x轴交于点A和B，点A在点B的左边，与y轴的交点为C．（1）用配方法求该抛物线的顶点坐标；（2）求sin∠OCB的值；（3）若点P（m，m）在该抛物线上，求m的值．（4）直接写出抛物线上一点P的坐标，使得S△PAB=S△ABC。

2017-2018学年江苏省常州市九年级（上）期末数学试卷一、选择题（共8小题，每小题2分，满分16分）1.美美专卖店专营某品牌的衬衫，店主对上一周不同尺码的衬衫销售情况统计如下：尺码39 40 41 42 43平均每天销售数量（件）10 12 20 12 12该店主决定本周进货时，增加了一些41码的衬衫，影响该店主决策的统计量是（）A. 平均数B. 众数C. 方差D. 中位数【答案】B【解析】【分析】平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；方差、标准差是描述一组数据离散程度的统计量．销量大的尺码就是这组数据的众数．【详解】由于众数是数据中出现次数最多的数，故影响该店主决策的统计量是众数．故选B．【点睛】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．2.如图，是小明的练习，则他的得分是（）A. 0分B. 2分C. 4分D. 6分【答案】C【解析】【分析】根据开平方法解一元二次方程求解判断（1）错误；可根据特殊角的三角函数值对（2）进行判断；可根据等圆的定义判断对（3）角线判断，从而根据每题的分值求解．【详解】（1）x2=1，∴x=±1，∴方程x2=1的解为±1，所以（1）错误；（2）sin30°=0.5，所以（2）正确；（3）等圆的半径相等，所以（3）正确；这三道题，小亮答对2道，得分：2×2=4（分）．故选C．【点睛】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法：形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．3.如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，已知OB=3OB′，则△A′B′C′与△ABC的面积比为（）A. 1：3B. 1：4C. 1：5D. 1：9【答案】D【解析】由位似比可得出相似比，再根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解．解：∵OB=3OB′，∴OB′：OB=1：3，∵以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，∴△A′B′C′∽△ABC，∴A′B′：AB＝OB′：OB=1：3，∴.故选D4.在△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，则cos A的值是A. B. C. D.【答案】C【解析】因为在△ABC中,∠C＝90°,AC＝1,BC＝2,根据勾股定理可得:,根据余弦三角函数的定义可得:,故选C.点睛:本题考查余弦三角函数的定义,解决本题的关键是要熟练掌握余弦三角函数的定义.5.已知圆锥的底面半径为6cm，高为8cm，则圆锥的侧面积为（）A. 36πcm2B. 48πcm2C. 60πcm2D. 80πcm2【答案】C【解析】【分析】根据圆锥的底面半径和高求出圆锥的母线长，再根据圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开扇形的弧长，最后利用扇形的面积计算方法求得侧面积．【详解】由勾股定理得：圆锥的母线长=，∵圆锥的底面周长为2πr=2π×6=12π，∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为12π，∴圆锥的侧面积为：×12π×10=60π．故选C．【点睛】本题考查了圆锥的侧面积的计算方法，解决本题的关键是根据已知条件求出圆锥的母线长和侧面展开扇形的弧长，然后用弧长与母线长乘积的一半求扇形的面积．6.已知关于x的方程x2+x﹣a=0的一个根为2，则另一个根是（）A. ﹣3B. ﹣2C. 3D. 6【答案】A【解析】试题解析：设方程的另一个根为t，根据题意得2+t=﹣1，解得t=﹣3，即方程的另一个根是﹣3．故选A．考点：根与系数的关系．7.半径为r的圆的内接正三角形的边长是（）A. 2rB.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据题意画出图形，作出辅助线，利用垂径定理及勾股定理解答即可．【详解】如图所示，OB=OA=r；，∵△ABC是正三角形，由于正三角形的中心就是圆的圆心，且正三角形三线合一，所以BO是∠ABC的平分线；∠OBD=60°×=30°，BD=r•cos30°=；根据垂径定理，BC=2×=r．故选B．【点睛】本题主要考查了正多边形和圆，正三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键，根据圆的内接正三角形的特点，求出内心到每个顶点的距离，可求出内接正三角形的边长．8.如图，在△ABC中，∠B=60°，BA=3，BC=5，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．【详解】A．阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；B．阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；C．两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误．D．两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确．故选D．【点睛】此题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．二、填空题（共8小题，每小题2分，满分16分）9.tan60°=_____．【答案】【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值直接得出答案即可．【详解】tan60°的值为．故答案为：．【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角的三角函数值是解答此题的关键．10.已知，则xy=_____．【答案】6【解析】【分析】根据内项之积等于外项之积解答即可．【详解】∵，∴xy=6．故答案为：6．【点睛】本题主要考查比例的性质，可根据比例的基本性质直接求解．11.一组数据：6，2，－1，5的极差为____．【答案】7【解析】根据极差的定义,一组数据的最大值与最小值的差为极差,所以这组数据的极差是7,故答案为:7.12.如图，若让转盘自由转动一次，停止后，指针落在阴影区域内的概率是_____．【答案】【解析】【分析】根据几何概率的定义，分别求出两圆中阴影部分所占的面积，即可求出停止后指针都落在阴影区域内的概率．【详解】指针停止后指向图中阴影的概率是：.故答案为：．【点睛】此题考查学生对简单几何概型的掌握情况，既避免了单纯依靠公式机械计算的做法，又体现了数学知识在现实生活、甚至娱乐中的运用，体现了数学学科的基础性．两步完成的事件的概率=第一步事件的概率与第二步事件的概率的积．13.如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB=32°，则∠C=_____°．【答案】58【解析】试题解析：如图，连接OB，∵OA=OB，∴△AOB是等腰三角形，∴∠OAB=∠OBA，∵∠OAB=32°，∴∠OAB=∠OAB=32°，∴∠AOB=116°，∴∠C=58°．故答案为：58°.14.某超市今年1月份的销售额是2万元，3月份的销售额是2.88万元，从1月份到3月份，该超市销售额平均每月的增长率是_____．【答案】20％【解析】【分析】设该超市销售额平均每月的增长率为x，则二月份销售额为2（1+x）万元，三月份销售额为2（1+x）2万元，由3月份的销售额是2.88万元，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】设该超市销售额平均每月的增长率为x，则二月份销售额为2（1+x）万元，三月份销售额为2（1+x）2万元，根据题意得：2（1+x）2=2.88，解得：x1=0.2=20%，x2=-2.2（不合题意，舍去）．所以，该超市销售额平均每月的增长率是20%．故答案为：20%．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．15.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC，垂足为D．给出下列四个结论：①sinα=sinB；②sinβ=sinC；③sinB=cosC；④sinα=cosβ．其中正确的结论有_____．【答案】①②③④【解析】【分析】本题主要考查锐角三角函数的定义，根据∠A=90°，AD⊥BC，可得∠α=∠B，∠β=∠C，再利用锐角三角函数的定义可列式进行逐项判断．【详解】∵∠A=90°，AD⊥BC，∴∠α+∠β=90°，∠B+∠β=90°，∠B+∠C=90°，∴∠α=∠B，∠β=∠C，∴sinα=sinB，故①正确；sinβ=sinC，故②正确；∵在Rt△ABC中sinB=，cosC=，∴sinB=cosC，故③正确；∵sinα=sinB，cos∠β=cosC，∴sinα=cos∠β，故④正确；故答案为①②③④．【点睛】本题主要考查锐角的三角函数，解题的关键是熟练掌握互余两角的三角函数间的关系．16.如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别是（0，2）、（4，0），点P是直线y=2x+2上的一动点，当以P为圆心，PO为半径的圆与△AOB的一条边所在直线相切时，点P的坐标为_____．【答案】（0，2），（﹣1，0），（﹣，1）．【解析】【分析】先求出点C的坐标，分为三种情况：圆P与边AO相切时，当圆P与边AB相切时，当圆P与边BO相切时，求出对应的P点即可．【详解】∵点A、B的坐标分别是（0，2）、（4，0），∴直线AB的解析式为y=-x+2，∵点P是直线y=2x+2上的一动点，∴两直线互相垂直，即PA⊥AB，且C（-1，0），当圆P与边AB相切时，PA=PO，∴PA=PC，即P为AC的中点，∴P（-，1）；当圆P与边AO相切时，PO⊥AO，即P点在x轴上，∴P点与C重合，坐标为（-1，0）；当圆P与边BO相切时，PO⊥BO，即P点在y轴上，∴P点与A重合，坐标为（0，2）；故符合条件的P点坐标为（0，2），（-1，0），（-，1），故答案为（0，2），（-1，0），（-，1）．【点睛】本题主要考查待定系数法确定一次函数关系式，一次函数的应用，及直角三角形的性质，直线与圆的位置关系，可分类3种情况圆与△AOB的三边分别相切，根据直线与圆的位置关系可求解点的坐标．三、解答题（共9小题，满分68分）17.（1）解方程：x（x+3）=﹣2；（2）计算:sin45°+3cos60°﹣4tan45°．【答案】(1) x1=﹣2，x2=﹣1；(2)-1.5.【解析】【分析】（1）根据因式分解法，可得答案；（2）根据特殊角三角函数值，可得答案．【详解】（1）方程整理，得x2+3x+2=0，因式分解，得（x+2）（x+1）=0，于是，得x+2=0，x+1=0，解得x1=﹣2，x2=﹣1；（2）原式==1+1.5﹣4=﹣1.5．【点睛】本题考查了解一元二次方程以及含有特殊三角函数值的计算，掌握因式分解和特殊角三角函数值是解题关键．18.体育老师对九年级甲、乙两个班级各10名女生“立定跳远”项目进行了检测，两班成绩如下：甲班13 11 10 12 11 13 13 12 13 12乙班12 13 13 13 11 13 6 13 13 13（1）分别计算两个班女生“立定跳远”项目的平均成绩；（2）哪个班的成绩比较整齐？【答案】（1）甲12分，乙12分；（2）甲班的成绩比较整齐．【解析】【分析】（1）根据平均数的定义计算可得；（2）根据方差的计算公式计算可得，再根据方差的意义比较后可得答案．【详解】（1）（13+11+10+12+11+13+13+12+13+12）=12（分），（12+13+13+13+11+13+6+13+13+13）=12（分）．故两个班女生“立定跳远”项目的平均成绩均为12分；2=×[4×（13﹣12）2+3×（12﹣12）2+2×（11﹣12）2+（10﹣12）2]=1.2，（2）S甲S乙2=×[7×（13﹣12）2+（12﹣12）2+（11﹣12）2+（6﹣12）2]=4.4，∵S甲2＜S乙2，∴甲班的成绩比较整齐．【点睛】本题主要考查平均数和方差，平均数表示一组数据的平均程度，方差是用来衡量一组数据波动大小的量．熟练掌握方差的计算公式和方差的意义是解题的关键．19.校园歌手大赛中甲乙丙3名学生进入了决赛，组委会决定通过抽签确定表演顺序．（1）求甲第一个出场的概率；（2）求甲比乙先出场的概率．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）找出甲第一个出场的情况数，即可求出所求的概率；（2）画树状图得出所有等可能的情况数，找出甲比乙先出场的情况数，即可求出所求的概率．【详解】（1）∵甲、乙、丙三位学生进入决赛，∴P（甲第一位出场）=；（2）画出树状图得：∵共有6种等可能的结果，甲比乙先出场的有3种情况，∴P（甲比乙先出场）=．【点睛】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．20.如图，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上△ABC和△DEF相似吗？为什么？【答案】△ABC和△DEF相似．【解析】【分析】利用格点三角形的知识求出AB，BC及EF，DE的长度，继而可作出判断．【详解】△ABC和△DEF相似．理由如下：由勾股定理，得AB=2，AC=2，BC=2，DE=，DF=，EF=2，∵，，，∴，∴△ABC∽△DEF．【点睛】此题主要考查学生对勾股定理和相似三角形的判定的理解和掌握，解答此题的关键是认真观察图形，得出两个三角形角和角，边和边的关系．21.已知关于x的方程（x﹣1）（x﹣4）=k2，k是实数．（1）求证：方程有两个不相等的实数根：（2）当k的值取时，方程有整数解．（直接写出3个k的值）【答案】（1）见解析；（2）﹣2、0、2.【解析】【分析】（1）将原方程变形为一般式，再根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=4k2+9＞0，此题得证；（2）将原方程变形为一般式，利用求根公式找出方程的解，由方程的解为整数，即可求出k值．【详解】（1）证明：原方程可变形为x2-5x+4-k2=0．∵△=（-5）2-4×1×（4-k2）=4k2+9＞0，∴不论k为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）解：原方程可化为x2-5x+4-k2=0．∵方程有整数解，∴x=为整数，∴k取0，2，-2时，方程有整数解．【点睛】本题考查了根的判别式以及公式法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）利用求根公式找出方程的解．22.如图，为了测得旗杆AB的高度，小明在D处用高为1m的测角仪CD，测得旗杆顶点A的仰角为45°，再向旗杆方向前进10m，又测得旗杆顶点A的仰角为60°，求旗杆AB的高度．【答案】（16+5）米．【解析】试题分析：设AG=x，分别在Rt△AFG和Rt△ACG中，表示出CG和GF的长度，然后根据DE=10m，列出方程即可解决问题．试题解析：设AG=x．在Rt△AFG中，∵tan∠AFG=，∴FG=，在Rt△ACG中，∵∠GCA=45°，∴CG=AG=x，∵DE=10，∴x﹣=10，解得：x=，∴AB=+1=（米）．答：电视塔的高度AB约为米．考点：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．23.如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，矩形DEFG的顶点D、G分别在AC、BC上，边EF在AB上．（1）求证：△AED∽△DCG；（2）若矩形DEFG的面积为4，求AE的长．【答案】（1）见解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的性质及正方形的性质可求得∠A=∠CDG，∠DEA=∠C，则可证得△AED∽△DCG；（2）设AE=x，利用矩形的性质及等腰三角形的性质可求得BF=FG=DE=AE=x，从而可表示出EF，结合矩形的面积可得到关于x的方程，则可求得x的值，即可求得AE的长．【详解】（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，∴∠B=∠A=45°，∵四边形DEFG是矩形，∴∠AED=∠DEF=90°，DG∥AB，∴∠CDG=∠A，∵∠C=90°，∴∠AED=∠C，∴△AED∽△DCG；（2）设AE的长为x，∵等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，∴∠A=∠B=45°，AB=4，∵矩形DEFG的面积为4，∴DE•FE=4，∠AED=∠DEF=∠BFG=90°，∴BF=FG=DE=AE=x，∴EF=4-2x，即x（4-2x）=4，解得x1=x2=．∴AE的长为．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定、性质及矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键，注意方程思想的应用．24.如图，AB为⊙O的直径，点E在⊙O，C为弧BE的中点，过点C作直线CD⊥AE于D，连接AC、BC．（1）试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由（2）若AD=2，AC=，求⊙O的半径．【答案】（1）直线CD与⊙O相切；（2）⊙O的半径为1.5．【解析】试题分析：（1）连接OC，由C为的中点，得到∠1=∠2，等量代换得到∠2=∠ACO，根据平行线的性质得到OC⊥CD，即可得到结论；（2）连接CE，由勾股定理得到CD的长，根据切割线定理得到=AD•DE，根据勾股定理得到CE的长，由圆周角定理得到∠ACB=90°，即可得到结论．试题解析：（1）相切，连接OC，∵C为的中点，∴∠1=∠2，∵OA=OC，∴∠1=∠ACO，∴∠2=∠ACO，∴AD∥OC，∵CD⊥AD，∴OC⊥CD，∴直线CD与⊙O相切；（2）方法1：连接CE，∵AD=2，AC=，∵∠ADC=90°，∴CD==，∵CD是⊙O的切线，∴=AD•DE，∴DE=1，∴CE==，∵C为的中点，∴BC=CE=，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴AB==3．方法2：∵∠DCA=∠B，易得△ADC∽△ACB，∴，∴AB=3．25.如图，平面直角坐标系中有4个点：A（0，2），B（﹣2，﹣2），C（﹣2，2），D（3，3）．（1）在正方形网格中画出△ABC的外接圆⊙M，圆心M的坐标是；（2）若EF是⊙M的一条长为4的弦，点G为弦EF的中点，求DG的最大值；（3）点P在直线MB上，若⊙M上存在一点Q，使得P、Q两点间距离小于1，直接写出点P横坐标的取值范围．【答案】（1）（-1,0）；（2）6；（3）﹣＜x<或﹣2﹣＜x＜﹣2+；【解析】【分析】（1）画出△ABC的外接圆即可解决问题；（2）当点G在线段DM延长线上时DG最大，此时DG=DM+GM，（3）分两种情形构建方程即可即可解决问题；【详解】（1）如图所示；M（-1，0）；故答案为（-1，0）．（2）连接MD，MG，ME，∵点G为弦EF的中点，EM=FM=，∴MG⊥EF，∵EF=4，∴EG=FG=2，∴MG==1，∴点G在以M为圆心，1为半径的圆上，∴当点G在线段DM延长线上时DG最大，此时DG=DM+GM，∵DM==5，∴DG的最大值为5+1=6；（3）设P点的横坐标为x，当P点位于线段MB及延长线上且P、Q两点间距离等于1，时，，∴或解得|x p|=2+或2-，∵此时P点在第三象限，∴x＜0，∴x=-2-或-2+，即当P、Q两点间距离小于1时点P横坐标的取值范围为-2-＜x＜-2+；当P点位于线段BM及延长线上且P、Q两点间距离等于1时，则PQ：AM=|x|：|x M|，，解得|x|=，∵此时P点在第一或二象限，∴x=±，即当P、Q两点间距离小于1时点P横坐标的取值范围为-＜x；综上所述，点P横坐标的取值范围为-＜x或-2-＜x＜-2+.【点睛】本题考查作图-应用与设计，三角形的外接圆与外心等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．。

2017—2018学年第一学期期末学业水平检测九年级数学试题参考答案各位老师：提前祝假期快乐，阅卷时请注意：评分标准仅做参考，只要学生作答正确，均可得分。

对于解答题目，答案错误原则上得分不超过分值的一半，有些题目有多种方法，只要做对，13. -3 14.-2 15. 516.2:3 17.24 18.（2，1） 19.解：（1）将x=1代入方程得：9-3a+a-1=0， 解得：a=4……………………………………………………………1分所以方程为：03x 4x 2=++，解得：3-x 1-x 21==，，所以方程的另一根为x=-3。

……………………………………3分（用根与系数的关系来解也可以）（2）证明：⊿＝a 2－4×(a －1)= (a －2)2，∵(a －2)2≥0，⊿≥0. ∴不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.………………8分20.解∶（1）21；………………………………………………2分 （2）乙家庭没有孩子，准备生两个孩子所有可能出现得结果有（男，男），（男，女），（女，男），（女，女），一共有4种结果，它们出现得可能性相同，所有结果种，满足“至少有一个是女孩”的结果有三种，所以至少有一个孩子是女孩的概率是43．………………7分 21．由题意得， 在直角ADC ∆中，∠APQ=45°，CD=60米，∴tan45°=ADCD ,即 ………2分 在直角BDC ∆中, ∠BPQ=60°，∴tan60°=CD BD ，即60BD =3， ∴BD=360………4分∴AB=BD-AD=60360-(米)。

答：海丰塔AB 的高为60360-米． ………8分22．（1）证明：连结OD ．∵EF AC ⊥∴90DFA ∠=︒，∵AB AC =，∴1C ∠=∠……………………2分∵OB OD =，∴12∠=∠，∴2C ∠=∠ ，∴OD ∥AC …………3分∴90EDO DFA ∠=∠=︒，即OD EF ⊥．∴EF 是⊙O 的切线．…………………………5分（其他方法参照本题标准）（2）解： 连结AD ．∵AB 是直径，∴AD BC ⊥.又AB AC =，∴CD=BD=5，在Rt CFD ∆中，DF=4， ∴CF=3…………………………………………6分在Rt CFD ∆中，DF AC ⊥∴CFD ∆∽ADC △ ………………………7分 ∴DC CF DA DF =，即534=DA ，∴320=DA ………………………9 根据勾股定理得：∴2222)320(5+=+=BD AD AB =325……………………10分 23. （1）∵ 四边形AMPN 是矩形，∴PN ∥AB ，PN =AM ，∴△DNP ∽△DAB . ∴ABNP DA DN =. ……………………………………………………2分 ∵AB =160，AD =100，AN =x ，AM =y ，∴160100100y x =-. ∴16058+-=x y . ………………………………………………4分 （2）设花坛AMPN 的面积为S ，则()40005058)16058(2+--=+-==x x x xy S …6分 ∵058<-，∴当50=x 时，S 有最大值, 4000=最大值S . ∴当AM =80，AN =50时，花坛AMPN 的最大面积为4000m 2 ………………8分24. 解：(1)∵直线y ＝ax ＋1与x 轴交于点A(－2，0)，∴－2a ＋1＝0，解得a ＝12，∴直线的解析式为y ＝12x ＋1，……2分 由PC ⊥x 轴，且PC ＝2，∴y ＝2＝12x ＋1，解得x ＝2， ∴点P 的坐标为(2，2)，………………………………3分∵点P 在反比例函数y ＝k x的图象上，∴k ＝2×2＝4， ∴反比例函数解析式为y ＝4x.…………………………4分 (2)∵直线y ＝12x ＋1与y 轴交于点B ，∴点B 的坐标为(0，1)，∴AO ＝2，OB ＝ 1. ) 12如解图，过点Q 作QH ⊥x 轴于点H ，连接CQ ，则∠QHC ＝∠AOB ＝90°.∵点Q 在反比例函数y ＝4x 的图象上，∴设点Q 的坐标为(t ，4t)，t ＞2， 则QH ＝4t，CH ＝t －2，……………………6分 若以点Q 、C 、H 为顶点的三角形S △AOB 相似时，则有两种可能，(ⅰ)当△QCH ∽△BAO 时，AO CH ＝OB QH ，即QH CH ＝OB AO ＝12，∴2×4t＝t －2，解得t 1＝4，t 2＝－2(舍去)， 则点Q 的坐标为(4，1)；……………………………………7分(ⅱ)当△QCH ∽△ABO 时，AO QH ＝OB CH ，即QH CH ＝AO OB ＝2，∴4t＝2(t －2)，解得t 1＝3＋1，t 2＝1－3(舍去)，则点Q 的坐标为(3＋1，23－2)．……………………………………8分 综上所述，Q 点的坐标为(4，1)或(1＋3，23－2)．………………9分25.解：（1）设抛物线解析式为y=a （x+4）（x ﹣2），将B （0，﹣4）代入得：﹣4=﹣8a ，即a=，则抛物线解析式为y=（x+4）（x ﹣2）=x 2+x ﹣4；……………………4分（2）过M 作MN ⊥x 轴，将x=m 代入抛物线得：y=m 2+m ﹣4，即M （m ， m 2+m ﹣4），∴MN=|m 2+m ﹣4|=﹣m 2﹣m+4，ON=﹣m ，………………………………6分∵A （﹣4，0），B （0，﹣4），∴OA=OB=4，∴△AMB 的面积为S=S △AMN +S 梯形MNOB ﹣S △AOB=×（4+m ）×（﹣m 2﹣m+4）+×（﹣m ）×（﹣m 2﹣m+4+4）﹣×4×4=2（﹣m 2﹣m+4）﹣2m ﹣8=﹣m 2﹣4m=﹣（m+2）2+4，当m=﹣2时，S 取得最大值，最大值为4．…………………………10分。

九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．同学们参加综合实践活动时，看到木工师傅用“三弧法”在板材边角处作直角，其作法是：如图： （1）作线段AB ，分别以点A ，B 为圆心，AB 长为半径作弧，两弧交于点C ； （2）以点C 为圆心，仍以AB 长为半径作弧交AC 的延长线于点D ； （3）连接BD ，BC ．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）A ．∠ABD ＝90°B ．CA ＝CB ＝CDC ．sinA 3D ．cosD ＝12【答案】D【分析】由作法得CA ＝CB ＝CD ＝AB ，根据圆周角定理得到∠ABD ＝90°，点C 是△ABD 的外心，根据三角函数的定义计算出∠D ＝30°，则∠A ＝60°，利用特殊角的三角函数值即可得到结论． 【详解】由作法得CA ＝CB ＝CD ＝AB ，故B 正确； ∴点B 在以AD 为直径的圆上， ∴∠ABD ＝90°，故A 正确； ∴点C 是△ABD 的外心， 在Rt △ABC 中，sin ∠D ＝AB AD ＝12， ∴∠D ＝30°，∠A ＝60°， ∴sinA 3C 正确；cosD 3D 错误， 故选：D ． 【点睛】本题考查了解直角三角形，三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理和解直角三角形． 2．如图，AB 是O 的直径，AC ，CD 是O 的两条弦，CD AB ⊥，连接OD ，若20CAB ∠=︒，则BOD ∠的度数是（ ）A．10°B．20°C．30°D．40°【答案】D【分析】连接AD，由AB是⊙O的直径及CD⊥AB可得出弧BC=弧BD，进而可得出∠BAD=∠BAC，利用圆周角定理可得出∠BOD的度数．【详解】连接AD，如图所示：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∴弧BC=弧BD，∴∠BAD=∠BAC=20°．∴∠BOD=2∠BAD=40°，故选：D．【点睛】此题考查了圆周角定理以及垂径定理．此题难度不大，利用圆周角定理求出∠BOD的度数是解题的关键．3．若△ABC∽△DEF，且S△ABC：S△DEF=3：4，则△ABC与△DEF的周长比为A．3：4 B．4：3C3：2 D．23【答案】C【分析】根据相似三角形面积比等于相似比的平方，周长的比等于相似比解答.【详解】解：∵△ABC∽△DEF，且S△ABC：S△DEF=3：4，∴△ABC与△DEF32，∴△ABC与△DEF3 2.故选C【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，即相似三角形面积的比等于相似比的平方，周长的比等于相似比．4．如图，点O是△ABC内一点、分别连接OA、OB、OC并延长到点D、E、F，使AD＝2OA，BE＝2OB，CF＝2OC，连接DE，EF，FD．若△ABC的面积是3，则阴影部分的面积是（）A ．6B ．15C ．24D ．27【答案】C【解析】根据三边对应成比例，两三角形相似，得到△ABC ∽△DEF ，再由相似三角形的性质即可得到结果． 【详解】∵AD ＝2OA ，BE ＝2OB ，CF ＝2OC ， ∴OA OD ＝OB OE ＝OC OF ＝13， ∴△ABC ∽△DEF ，∴ABC DEF S S ∆∆＝21()3＝19， ∵△ABC 的面积是3， ∴S △DEF ＝27，∴S 阴影＝S △DEF ﹣S △ABC ＝1． 故选：C ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 5．已知x 2-2x=8，则3x 2-6x-18的值为（ ）A ．54B ．6C ．-10D ．-18 【答案】B【解析】所求式子前两项提取3变形后，将已知等式变形后代入计算即可求出值． 【详解】∵x 2−2x ＝8，∴3x 2−1x−18＝3（x 2−2x ）−18＝24−18＝1． 故选：B ． 【点睛】此题考查了代数式求值，利用了整体代入的思想，是一道基本题型． 6．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠OCB ＝40°，则∠A 的大小为（ ）A ．40°B ．50°C ．80°D ．100°【答案】B【解析】试题分析：∵OB ＝OC ，∠OCB ＝40°， ∴∠BOC ＝180°－2∠OCB ＝100°， ∴由圆周角定理可知：∠A ＝12∠BOC ＝50°． 故选B ．7．下列方程中，为一元二次方程的是（ ） A ．x=2 B ．x+y=3C ．2x 2x 4-=D ．12x= 【答案】C【解析】本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．【详解】A 、x=2是一元一次方程，故A 错误； B 、x+y=3是二元一次方程，故B 错误； C 、2x 2x 4-=是一元二次方程，故C 正确； D 、12x=是分式方程，故D 错误； 故选：C ． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是关键．8．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点O 是这段弧所在圆的圆心，40AB m =，点C 是AB 的中点,D 是AB 的中点，且10CD m =，则这段弯路所在圆的半径为（ ）A ．25mB ．24mC ．30mD ．60m【答案】A【分析】根据题意，可以推出AD ＝BD ＝20，若设半径为r ，则OD ＝r ﹣10，OB ＝r ，结合勾股定理可推出半径r 的值． 【详解】解：OC AB ⊥，20AD DB m ∴==，在Rt AOD ∆中，222OA OD AD =+， 设半径为r 得：()2221020r r =-+，解得：25r m =，∴这段弯路的半径为25m故选A ． 【点睛】本题主要考查垂径定理的应用、勾股定理的应用，关键在于设出半径为r 后，用r 表示出OD 、OB 的长度． 9．如图，△ABC 在边长为1个单位的方格纸中，它的顶点在小正方形的顶点位置．如果△ABC 的面积为10，且sinA ＝5，那么点C 的位置可以在（ ）A ．点C 1处B ．点C 2处 C ．点C 3处D ．点C 4处【答案】D 【解析】如图：∵AB=5,10ABC S =△, ∴D 4C =4, ∵5sin 5A =, ∴545DC AC AC ==,∴5∵在RT △AD 4C 中，D 44C =,AD=8, ∴A 4C 228445+=故答案为D. 10．一元二次方程2310x x -+=的两根之和为（ ） A ．13B ．2C ．3-D ．3【答案】D【分析】直接利用根与系数的关系求得两根之和即可． 【详解】设x 1，x 2是方程x 2-1x-1=0的两根，则 x 1+x 2=1． 故选：D ． 【点睛】此题考查根与系数的关系,解题关键在于掌握运算公式 . 11．下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各个选项进行判断，即可得到答案. 【详解】解：A 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A 错误； B 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故B 错误； C 、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C 正确； D 、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D 错误； 故选：C. 【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，解题的关键是熟练掌握概念进行分析判断. 12．已知抛物线y ＝x 2+（2a+1）x+a 2﹣a ，则抛物线的顶点不可能在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【分析】求得顶点坐标，得出顶点的横坐标和纵坐标的关系式，即可求得． 【详解】抛物线y ＝x 2+（2a+1）x+a 2﹣a 的顶点的横坐标为：x ＝﹣212a +＝﹣a ﹣12， 纵坐标为：y ＝()()224214a a a --+＝﹣2a ﹣14， ∴抛物线的顶点横坐标和纵坐标的关系式为：y ＝2x+34， ∴抛物线的顶点经过一二三象限，不经过第四象限， 故选：D ． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，得到顶点的横纵坐标的关系式是解题的关键． 二、填空题（本题包括8个小题）13．若方程2410x x -+=的两根12,x x ，则122(1)x x x 的值为__________． 【答案】1【分析】根据根与系数的关系求出12x x +，12x x ⋅代入即可求解． 【详解】∵12,x x 是方程2410x x -+=的两根 ∴12x x +=-b a =4，12x x ⋅=c a=1 ∴122(1)x x x =1122x x x x ++=1212x x x x ++=4+1=1，故答案为：1． 【点睛】此题主要考查根与系数的关系，解题的关键是熟知12x x +=-b a ，12x x ⋅=ca的运用． 14．汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝.如图所示的弦图中，四个直角三角形都是全等的，它们的两直角边之比均为2:3，现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为__________.【答案】1213【解析】分析：设勾为2k ，则股为3k 13，由此求出大正方形面积和阴影区域面积，由此能求出针尖落在阴影区域的概率．详解：设勾为2k ，则股为3k 13， ∴大正方形面积13132， 中间小正方形的面积S′=（3−2）k•（3−2）k=k 2， 故阴影部分的面积为：13 k 2-k 2=12 k 2∴针尖落在阴影区域的概率为:2212121313k k =． 故答案为1213． 点睛：此题主要考查了几何概率问题，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比． 15．因式分解：34a a -=_______________________． 【答案】(2)(2)a a a +-【分析】先提公因式，再用平方差公式分解. 【详解】解：()3244(2)(2)a a a a a a a -=-=+- 【点睛】本题考查因式分解，掌握因式分解方法是关键.16．如图，已知圆周角∠ACB=130°，则圆心角∠AOB=______．【答案】100゜【分析】根据圆周角定理，由∠ACB=130°，得到它所对的圆心角∠α=2∠ACB=260°，用360°-260°即可得到圆心角∠AOB ． 【详解】如图，∵∠α=2∠ACB ， 而∠ACB=130°， ∴∠α=260°，∴∠AOB=360°-260°=100°． 故答案为100°．17．如图，△ABC 是等腰直角三角形，BC 是斜边，P 为△ABC 内一点，将△ABP 绕点A 逆时针旋转后与△ACP′重合，若AP=1，那么线段PP′的长等于_____．2．【解析】解：∵△ABP 绕点A 逆时针旋转后与△ACP′重合， ∴∠PAP′=∠BAC=90°，AP=AP′=1， ∴2 2.18．抛物线21(5)33y x =--+的顶点坐标是_______． 【答案】 (5,3)【分析】根据二次函数顶点式2()y a x h k =-+的性质直接求解． 【详解】解：抛物线21(5)33y x =--+的顶点坐标是（5，3）故答案为：（5，3）． 【点睛】本题考查二次函数性质2()y a x h k =-+其顶点坐标为（h ，k ），题目比较简单． 三、解答题（本题包括8个小题）19．在一次数学兴趣小组活动中，阳光和乐观两位同学设计了如图所示的两个转盘做游戏（每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并在每个扇形区域内标上数字）．游戏规则如下：两人分别同时转动甲、乙转盘，转盘停止后，若指针所指区域内两数和小于12，则阳光获胜，反之则乐观获胜（若指针停在等分线上，重转一次，直到指针指向某一份内为止）．（1）请用列表或画树状图的方法表示出上述游戏中两数和的所有可能的结果； （2）游戏对双方公平吗？请说明理由．【答案】（1）见解析，两数和共有12种等可能结果；（2）游戏对双方公平，见解析 【分析】（1）根据题意列出表格，得出游戏中两数和的所有可能的结果数；（2）根据（1）得出两数和共有的情况数和其中和小于12的情况数，再根据概率公式分别求出阳光和乐观获胜的概率，然后进行比较即可得出答案． 【详解】解：（1）根据题意列表如下： 6 7 8 9 3 9 10 11 12 4 10 11 12 13 511121314可见，两数和共有12种等可能结果；（2）∵两数和共有12种等可能的情况，其中和小于12的情况有6种，∴阳光获胜的概率为61122= ∴乐观获胜的概率是12，∵12=12， ∴游戏对双方公平． 【点睛】解决游戏公平问题的关键在于分析事件发生的可能性，即比较游戏双方获胜的概率是否相等，若概率相等，则游戏公平，否则不公平．20．已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点A(﹣2，0)，B(3，0)，与y轴负半轴交于点C，且OC＝OB．（1）求抛物线的解析式；（2）在y轴负半轴上存在一点D，使∠CBD＝∠ADC，求点D的坐标；（3）点D关于直线BC的对称点为D′，将抛物线y＝ax2+bx+c向下平移h个单位，与线段DD′只有一个交点，直接写出h的取值范围．【答案】（1）y＝12x2﹣12x﹣3；（2）D(0，﹣6)；（3）3≤h≤1【分析】（1）OC＝OB，则点C（0，﹣3），抛物线的表达式为：y＝a（x+2）（x﹣3）＝a（x2﹣x﹣6），﹣6a＝﹣3，解得：a＝12，即可求解；（2）CH＝HD＝22m，tan∠ADC＝23m+＝tan∠DBC＝222322mHDBHm=+，解得：m＝3或﹣4（舍去﹣4），即可求解；（3）过点C作x轴的平行线交DH的延长线于点D′，则D′（﹣3，﹣3）；当平移后的抛物线过点C时，抛物线与线段DD′有一个公共点，此时，h＝3；当平移后的抛物线过点D′时，抛物线与线段DD′有一个公共点，即可求解．【详解】解：（1）OC＝OB，则点C（0，﹣3），抛物线的表达式为：y＝a（x+2）（x﹣3）＝a（x2﹣x﹣6），﹣6a＝﹣3，解得：a＝12，故抛物线的表达式为：y＝12x2﹣12x﹣3；（2）设CD＝m，过点D作DH⊥BC交BC的延长线于点H，则CH＝HD＝22m，tan∠ADC＝23m+＝tan∠DBC＝222322HDBHm=+，解得：m＝3或﹣4（舍去﹣4），故点D（0，﹣6）；（3）过点C作x轴的平行线交DH的延长线于点D′，则D′（﹣3，﹣3）；平移后抛物线的表达式为：y＝12x2﹣12x﹣3﹣h，当平移后的抛物线过点C时，抛物线与线段DD′有一个公共点，此时，h＝3；当平移后的抛物线过点D′时，抛物线与线段DD′有一个公共点，即﹣3＝12×9+32﹣h，解得：h＝1，故3≤h≤1．【点睛】此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知待定系数法求解析式、三角函数的定义及二次函数平移的特点.21．四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD相交于点O．（1）如图1，点P是正方形ABCD外一点，连接OP，以OP为一边，作正方形OPMN，且边ON与边BC 相交，连接AP，BN．①依题意补全图1；②判断AP与BN的数量关系及位置关系，写出结论并加以证明；（2）点P在AB延长线上，且∠APO=30°，连接OP，以OP为一边，作正方形OPMN，且边ON与BC的延长线恰交于点N，连接CM，若AB=2，求CM的长（不必写出计算结果，简述求CM长的过程）【答案】（1）①图形见解析②AP=BN，AP⊥BN（2）答案见解析.【分析】(1)①根据题意作出图形即可；②结论：AP=BN，AP⊥BN，只要证明△APO≌△BNO即可；(2)在RT△CMS中，求出SM，SC即可解决问题．【详解】解：(1)①补全图形如图1所示，②结论：AP=BN ，AP⊥BN．理由：延长NB 交AP 于H ，交OP 于K ．∵四边形ABCD 是正方形，∴OA=OB ，AO ⊥BO ，∴∠1+∠2=90°，∵四边形OPMN 是正方形，∴OP=ON ，∠PON=90°，∴∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3，在△APO 和△BNO 中12OA OB OP ON =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△APO ≌△BNO ，∴AP=BN ，∴∠4=∠5，在△OKN 中，∠5+∠6=90°，∵∠7=∠6，∴∠4+∠7=90°，∴∠PHK=90°，∴AP ⊥BN ．(2) 作OT⊥AB 于T ，MS⊥BC 于S ，由题意可证△APO≌△BNO，AP=BN，∠OPA=ONB．由题意可知AT=TB=1，由∠APO=30°，可得PT= 3，BN=AP= 3+1，可得∠POT=∠MNS=60°．由∠POT=∠MNS=60°，OP=MN，可证，△OTP≌△NSM，∴PT=MS= 3，∴CN=BN﹣BC= 3﹣1，∴SC=SN﹣CN=2﹣3，在RT△MSC中，CM2=MS2+SC2，∴CM=22+-=-，可求．(3)(23)1043【点睛】本题考查四边形综合题、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．22．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，ABC的0,2.顶点均在格点上，点A的坐标为()()1以点B为位似中心，在y轴的左侧将ABC放大得到11A BC，使得A BC的面积是ABC面积11的4倍，在网格中画出图形，并直接写出点A C 、所对应的点11A C 、的坐标.()2在网格中，画出ABC 绕原点O 顺时针旋转90︒的222A B C △.【答案】（1）见解析，点1A 的坐标为()6,1--，点1C 的坐标为()4,3--；（2）见解析.【分析】（1）根据位似图形的性质：位似图形面积的比等于相似比的平方，即可得出相似比，画出图形；根据格点即可写出坐标；（2）根据图形的旋转的性质：图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕着某个固定点旋转固定角度的位置移动，其中对应点到旋转中心的距离相等，对应线段的长度、对应角的大小相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变，画出图形即可.【详解】()111 A BC 如图所示:点1A 的坐标为()6,1--，点1C 的坐标为()4,3--()2222A B C △如图所示.【点睛】此题主要考查位似图形以及图形旋转的性质，熟练掌握，即可解题.23．在大课间活动中，同学们积极参加体育锻炼，小明就本班同学“我最喜爱的体育项目”进行了一次调查统计，下面是他通过收集数据后，绘制的两幅不完整的统计图．请你根据图中提供的信息，解答以下问题：（1）该班共有 名学生；（2）补全条形统计图；（3）在扇形统计图中，“乒乓球”部分所对应的圆心角度数为 ；（4）学校将举办体育节，该班将推选5位同学参加乒乓球活动，有3位男同学(A ，B ，C)和2位女同学(D ，E)，现准备从中选取两名同学组成双打组合，用树状图或列表法求恰好选出一男一女组成混合双打组合的概率．【答案】（1）50；（2）答案见解析；（3）115.2°；（4）35．【分析】（1）根据统计图数据，直接求解，即可；（2）先求出足球项目和其他项目的人数，再补全条形统计图，即可；（3）由“乒乓球”部分所对应的圆心角度数=360°×“乒乓球”部分所占的百分比，即可求解；（4）先画出树状图，再根据概率公式，即可得到答案．【详解】（1）由题意得：该班的总人数=15÷30%=50(名)，故答案为：50；（2）足球项目的人数=50×18%=9(名)，其它项目的人数=50﹣15﹣9﹣16=10(名)，补全条形统计图如图所示：（3）“乒乓球”部分所对应的圆心角度数=360°1650⨯=115.2°．故答案为：115.2°；（4）画树状图如图：由图可知，共有20种等可能的结果，两名同学恰为一男一女的有12种情况，∴P(恰好选出一男一女)123 205 ==．【点睛】本题主要考查扇形统计图和条形统计图以及概率，掌握扇形统计图和条形统计图的特征以及画树状图，是解题的关键．24．在平行四边形ABCD中，点E是AD边上的点，连接BE．（1）如图1，若BE平分∠ABC，BC＝8，ED＝3，求平行四边形ABCD的周长；（2）如图2，点F是平行四边形外一点，FB＝CD．连接BF、CF，CF与BE相交于点G，若∠FBE+∠ABC＝180°，点G是CF的中点，求证：2BG+ED＝BC．【答案】（1）26；（2）见解析【分析】（1）由平行四边形的性质得出AD＝BC＝8，AB＝CD，AD∥BC，由平行线的性质得出∠AEB＝∠CBE，由BE平分∠ABC，得出∠ABE＝∠CBE，推出∠ABE＝∠AEB，则AB＝AE，AE＝AD﹣ED＝BC﹣ED＝5，得出AB＝5，即可得出结果；（2）连接CE，过点C作CK∥BF交BE于K，则∠FBG＝∠CKG，由点G是CF的中点，得出FG＝CG，由AAS证得△FBG≌△CKG，得出BG＝KG，CK＝BF＝CD，由平行四边形的性质得出∠ABC＝∠D，∠BAE+∠D ＝180°，AB＝CD＝CK，AD∥BC，由平行线的性质得出∠DEC＝∠BCE，∠AEB＝∠KBC，易证∠EKC＝∠D，∠CKB＝∠BAE，由AAS证得△AEB≌△KBC，得出BC＝BE，则∠KEC＝∠BCE，推出∠KEC＝∠DEC，由AAS 证得△KEC≌△DEC，得出KE＝ED，即可得出结论．【详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝8，AB＝CD，AD∥BC，∴∠AEB＝∠CBE，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∴∠ABE＝∠AEB，∴AB＝AE，∵AE＝AD﹣ED＝BC﹣ED＝8﹣3＝5，∴AB＝5，∴平行四边形ABCD的周长＝2AB+2BC＝2×5+2×8＝26；（2）连接CE，过点C作CK∥BF交BE于K，如图2所示：则∠FBG＝∠CKG，∵点G是CF的中点，∴FG＝CG，在△FBG和△CKG中，∵FBG CKGBGF KGC FG CG∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△FBG≌△CKG（AAS），∴BG＝KG，CK＝BF＝CD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠D，∠BAE+∠D＝180°，AB＝CD＝CK，AD∥BC，∴∠DEC＝∠BCE，∠AEB＝∠KBC，∵∠FBE+∠ABC＝180°，∴∠FBE+∠D＝180°，∴∠CKB+∠D＝180°，∴∠EKC＝∠D，∵∠BAE+∠D＝180°，∴∠CKB＝∠BAE，在△AEB和△KBC中，∵BAE CKBAEB KBC AB CK∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEB≌△KBC（AAS），∴BC＝EB，∴∠KEC＝∠BCE，∴∠KEC＝∠DEC，在△KEC和△DEC中，∵KEC DECEKC DCK CD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△KEC≌△DEC（AAS），∴KE＝ED，∵BE＝BG+KG+KE＝2BG+ED，∴2BG+ED＝BC．【点睛】本题主要考查三角形全等的判定和性质定理和平行四边形的性质定理的综合应用，添加合适的辅助线，构造全等三角形，是解题的关键.25．如图，AC是我市某大楼的高，在地面上B点处测得楼顶A的仰角为45，沿BC方向前进18米到达D点，测得5tan3ADC∠=．现打算从大楼顶端A点悬挂一幅庆祝建国60周年的大型标语，若标语底端距地面15m，请你计算标语AE的长度应为多少？【答案】标语AE的长度应为30米．【解析】首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及到两个直角三角形，即△ABC和△ADC．根据已知角的正切函数，可求得BC与AC、CD与AC之间的关系式，利用公共边列方程求AC后，AE即可解答．【详解】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=45°，∴Rt△ABC是等腰直角三角形，AC=BC．在Rt△ADC中，∠ACD=90°，tan∠ADC=ACDC＝53，∴DC=35 AC，∵BC-DC=BD，即AC-35AC=18，∴AC=45，则AE=AC-EC=45-15=1．答：标语AE的长度应为1米．【点睛】本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．26．如图，已知反比例函数y＝kx的图象与一次函数y＝x+b的图象交于点A(1，4)，点B(﹣4，n)．(1)求n和b的值；(2)求△OAB的面积；(3)直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量x的取值范围．【答案】（1）-1；（2）7.5；（3）x ＞1或﹣4＜x ＜0.【分析】（1）把A 点坐标分别代入反比例函数与一次函数解析式，求出k 和b 的值，把B 点坐标代入反比例函数解析式求出n 的值即可；（2）设直线y ＝x+3与y 轴的交点为C ，由S △AOB=S △AOC+S △BOC ，根据A 、B 两点坐标及C 点坐标，利用三角形面积公式即可得答案；（3）利用函数图像，根据A 、B 两点坐标即可得答案.【详解】（1）把A 点（1，4）分别代入反比例函数y ＝k x ，一次函数y ＝x+b ， 得k ＝1×4，1+b ＝4，解得k ＝4，b ＝3， ∵点B （﹣4，n ）也在反比例函数y ＝4x 的图象上， ∴n ＝44-＝﹣1； （2）如图，设直线y ＝x+3与y 轴的交点为C ，∵当x ＝0时，y ＝3，∴C （0，3），∴S △AOB ＝S △AOC +S △BOC ＝12×3×1+12×3×4＝7.5， （3）∵B （﹣4，﹣1），A （1，4），∴根据图象可知：当x ＞1或﹣4＜x ＜0时，一次函数值大于反比例函数值．【点睛】本题主要考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式和反比例函数y ＝k x 中k 的几何意义，这里体现了数形结合的思想．27．已知：如图，在半径为4的O 中，AB 、CD 是两条直径，M 为OB 的中点，CM 的延长线交O 于点E ，且EM MC >，连接DE 。

2017-2018学年江苏省常州市九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共8小题，每小题2分，满分16分）1．（2分）下列轴对称图形中，对称轴最少的图形的是（）A．B．C．D．2．（2分）一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的根的情况为（）A．只有一个实数根 B．有两个不相等的实数根C．有两个相等的实数根D．没有实数根3．（2分）下列语句中，正确的是（）A．长度相等的两条弧是等弧B．相等的圆周角所对的弧相等C．相等的弧所对的圆心角相等D．平分弦的直径垂直于弦4．（2分）正三角形的中心是该三角形的（）A．三条高线的交点 B．三条角平分线的交点C．三边垂直平分线的交点D．以上说法都正确5．（2分）已知⊙O的半径是6，圆心O到直线l的距离是3，则直线l与⊙O的位置关系是（）A．相切B．相交C．相离D．无法确定6．（2分）一个长方形的面积为210cm2，宽比长少7cm．设它的宽为xcm，则可得方程（）A．2（x+7）+2x=210 B．x+（x+7）=210 C．x（x﹣7）=210 D．x（x+7）=210 7．（2分）已知正方形的周长为8，那么该正方形的外接圆的半径长为（）A．2 B．C．4 D．8．（2分）有两个一元二次方程：①ax2+bx+c=0，②cx2+bx+a=0，其中a+c=0（）A．如果方程①有两个不相等的实数根，那么方程②也有两个不相等的实数根B．如果方程①和方程②有一个相同的实数根，那么这个根必是x=1C．如果4是方程①的一个根，那么是方程②的一个根D．如果方程①有两根符号相异，那么方程②的两根符号也相异二、填空题（共10小题，每小题2分，满分20分）9．（2分）将一元二次方程（2﹣x）（x+1）=3化成一般形式，且使得二次项系数为正数，则化成一般形式后的一元二次方程是．10．（2分）已知⊙O的半径长为10cm，OP=16cm，那么点P在⊙O．（填“上”、“内部”或“外部”）11．（2分）一个数的平方等于这个数的三倍这个数是．12．（2分）若扇形的半径为3cm，该扇形的弧长为，则此扇形的面积是cm2．（结果保留π）13．（2分）已知关于x的方程x2+3x+a=0的一个根为﹣4，则另一个根为．14．（2分）如图，AB是⊙O的直径，点D是⊙O上一点，且∠ADC=40°，则∠BAC的度数为．15．（2分）如图，⊙O的半径长为6，∠ACB=60°，则AB的长为．16．（2分）某药品原价每盒64元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒36元，则该药品平均每次降价的百分率是．17．（2分）△ABC中，AB=AC=10，BC=12，则△ABC的内切圆的半径长为．18．（2分）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点．当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长为．三、解答题（共7小题，满分64分）19．（16分）解下列方程：（1）2（x﹣3）2=5（2）2x2﹣4x+1=0（3）2x2﹣3x﹣3=0（4）（x﹣3）2﹣x+3=0．20．（6分）如图，已知△ABC是锐角三角形．（1）利用直尺与圆规画出△ABC的外接圆⊙O．（保留作图痕迹）（2）利用直尺与圆规画出（1）中经过点B的⊙O的切线l．（保留作图痕迹）21．（7分）已知关于x的方程x2+8x+12﹣a=0有两个不相等的实数根．（1）求a的取值范围；（2）当a取满足条件的最小整数时，求出方程的解．22．（8分）如图，△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=4．点P、Q分别从点A、B 同时出发，点P沿A→C的方向以每秒1个单位长的速度向点C运动，点Q沿B→C的方向以每秒2个单位长的速度向点C运动．当其中一个点先到达点C时，点P、Q停止运动．当四边形ABQP的面积是△ABC面积的一半时，求点P运动的时间．23．（8分）如图，△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，点E为BC的中点，连接OD、DE．（1）求证：OD⊥DE．（2）若∠BAC=30°，AB=8，求阴影部分的面积．24．（9分）某工厂设计了一款工艺品，每件成本40元，为了合理定价，现投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是80元时，每天的销售量是50件，若销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于65元．如果降价后销售这款工艺品每天能盈利3000元，那么此时销售单价为多少元？25．（10分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点O，点A（0，6），经过点A、O、B三点的⊙P与直线l相交于点C（7，7），且CA=CB．（1）求点B的坐标；（2）如图2，将△AOB绕点B按顺时针方向旋转90°得到△A′O′B．判断直线A′O′与⊙P的位置关系，并说明理由．2017-2018学年江苏省常州市九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题2分，满分16分）1．（2分）下列轴对称图形中，对称轴最少的图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、有三条对称轴，B、有三条对称轴，C、有一条对称轴，D、有四条对称轴，综上所述，对称轴条数最少的是C选项图形．故选：C．2．（2分）一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的根的情况为（）A．只有一个实数根 B．有两个不相等的实数根C．有两个相等的实数根D．没有实数根【解答】解：∵a=1，b=﹣2，c=﹣1，∴△=b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）=8＞0，所以原方程有两个不相等的实数．故选：B．3．（2分）下列语句中，正确的是（）A．长度相等的两条弧是等弧B．相等的圆周角所对的弧相等C．相等的弧所对的圆心角相等D．平分弦的直径垂直于弦【解答】解：A、长度相等的两条弧不一定为等弧，所以A选项错误；B、在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，所以B选项错误；C、相等的弧所对的圆心角相等，所以C选项正确；D、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，所以D选项错误．故选：C．4．（2分）正三角形的中心是该三角形的（）A．三条高线的交点 B．三条角平分线的交点C．三边垂直平分线的交点D．以上说法都正确【解答】解：正三角形的中心是该三角形的三条高的交点，也是三条角平分线的交点，也是三边垂直平分线的交点，故选：D．5．（2分）已知⊙O的半径是6，圆心O到直线l的距离是3，则直线l与⊙O的位置关系是（）A．相切B．相交C．相离D．无法确定【解答】解：∵⊙O的半径是6，圆心O到直线l的距离是3，6＞3，∴直线l与⊙O相交．故选：B．6．（2分）一个长方形的面积为210cm2，宽比长少7cm．设它的宽为xcm，则可得方程（）A．2（x+7）+2x=210 B．x+（x+7）=210 C．x（x﹣7）=210 D．x（x+7）=210【解答】解：根据长方形的宽为xcm，可得长为（x+7）cm，根据题意得：x（x+7）=210．故选：D．7．（2分）已知正方形的周长为8，那么该正方形的外接圆的半径长为（）A．2 B．C．4 D．【解答】解：∵正方形的周长为8，∴边长AB=2，∵四边形是正方形，∴∠AOB=90°，∴OA=AB×sin45°=，故选：B．8．（2分）有两个一元二次方程：①ax2+bx+c=0，②cx2+bx+a=0，其中a+c=0（）A．如果方程①有两个不相等的实数根，那么方程②也有两个不相等的实数根B．如果方程①和方程②有一个相同的实数根，那么这个根必是x=1C．如果4是方程①的一个根，那么是方程②的一个根D．如果方程①有两根符号相异，那么方程②的两根符号也相异【解答】解：A、方程①有两个不相等的实数根，则△=b2﹣4ac＞0，所以方程②也有两个不相等的实数根，所以A选项的结论正确；B、因为方程①和方程②有一个相同的根，则（a﹣c）x2=a﹣c，解得x=±1，所以B选项的结论错误；C、因为4是方程①的一个根，则16a+4b+c=0，即c+b+a=0，所以是方程②的一个根，所以C选项的结论正确；D、方程①有两根符号相异，则＜0，所以＜0，所以方程②的两根符号也相异，所以D选项的结论正确．故选：B．二、填空题（共10小题，每小题2分，满分20分）9．（2分）将一元二次方程（2﹣x）（x+1）=3化成一般形式，且使得二次项系数为正数，则化成一般形式后的一元二次方程是x2﹣x+1=0．【解答】解：将一元二次方程（2﹣x）（x+1）=3化成一般形式，且使得二次项系数为正数，则化成一般形式后的一元二次方程是x2﹣x+1=0，故答案为：x2﹣x+1=0．10．（2分）已知⊙O的半径长为10cm，OP=16cm，那么点P在⊙O外部．（填“上”、“内部”或“外部”）【解答】解：∵OP=16＞10，∴点P在⊙O外部．故答案为：外部11．（2分）一个数的平方等于这个数的三倍这个数是0或3．【解答】解：设这个数是x，根据题意，得x2=3x，即x2﹣3x=0，x（x﹣3）=0解得x=0或x=3．即这个数是0或3，故答案为0或3．12．（2分）若扇形的半径为3cm，该扇形的弧长为，则此扇形的面积是πcm2．（结果保留π）【解答】解：∵扇形的半径为3cm，该扇形的弧长为，∴扇形的面积=3×=π（cm2），故答案为：π．13．（2分）已知关于x的方程x2+3x+a=0的一个根为﹣4，则另一个根为1．【解答】解：设方程的另一个根为x1，根据题意得：x1+（﹣4）=﹣3，解得：x1=1．故答案为：1．14．（2分）如图，AB是⊙O的直径，点D是⊙O上一点，且∠ADC=40°，则∠BAC的度数为50°．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°．又∵∠B=∠D=40°，∴∠BAC=50°．故答案为：50°．15．（2分）如图，⊙O的半径长为6，∠ACB=60°，则AB的长为6．【解答】解：连接OA，OB，过O点作OE⊥AB于E，∵∠ACB=60°，∴∠AOB=120°，∴∠AOE=60°，∵OE⊥AB，OA=6，∴OE=3，AE=3，∴AB=6，16．（2分）某药品原价每盒64元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒36元，则该药品平均每次降价的百分率是15%．【解答】解：设该药品平均每次降价的百分率是x，根据题意得64×（1﹣x）（1﹣x）=36，整理得64×（1﹣x）2=36，解得x=0.15或1.75（不合题意，舍去）；即该药品平均每次降价的百分率是15%．故答案为：15%．17．（2分）△ABC中，AB=AC=10，BC=12，则△ABC的内切圆的半径长为3．【解答】解：设△ABC的内切圆为⊙O，切点分别为E，D，F，AD为BC边上的高，∵AB=AC=10，BC=12，∴AD==8，则AD×BC=r（AB+AC+BC）×8×12=r（10+10+12），解得：r=3．故答案为：3．18．（2分）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点．当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长为π．【解答】解：取AB的中点O、AC的中点E、BC的中点F，连结OC、OP、OM、OE、OF、EF，如图，∵在等腰Rt△ABC中，AC=BC=4，∴AB=BC=4，∴OC=AB=2，OP=AB=2，∵M为PC的中点，∴OM⊥PC，∴∠CMO=90°，∴点M在以OC为直径的圆上，点P点在A点时，M点在E点；点P点在B点时，M点在F点，易得四边形CEOF为正方形，EF=OC=2，∴M点的路径为以EF为直径的半圆，∴点M运动的路径长=•2π•=π．故答案为π．三、解答题（共7小题，满分64分）19．（16分）解下列方程：（1）2（x﹣3）2=5（2）2x2﹣4x+1=0（3）2x2﹣3x﹣3=0（4）（x﹣3）2﹣x+3=0．【解答】解：（1）（x﹣3）2=，∴x﹣3=±，∴x1=3+，x2=3﹣．（2）∵a=2，b=﹣4，c=1，∴△=16﹣8=8＞0，∴x==x1=，x2=（3）∵a=2，b=﹣3，c=﹣3，∴△=9+24=33＞0，∴x=x1=，x2=（4）（x﹣3）（x﹣3﹣1）=0，∴x﹣3=0或x﹣4=0，∴x1=3，x2=4．20．（6分）如图，已知△ABC是锐角三角形．（1）利用直尺与圆规画出△ABC的外接圆⊙O．（保留作图痕迹）（2）利用直尺与圆规画出（1）中经过点B的⊙O的切线l．（保留作图痕迹）【解答】解：（1）如图⊙O即为所求．（2）如图直线l，即为⊙O的切线．21．（7分）已知关于x的方程x2+8x+12﹣a=0有两个不相等的实数根．（1）求a的取值范围；（2）当a取满足条件的最小整数时，求出方程的解．【解答】解：（1）∵一元二次方程x2+8x+12﹣a=0有两个不相等的实数根，∴△=82﹣4（12﹣a）=4a+16＞0，∴a＞﹣4；（2）a满足条件的最小值为a=﹣3，此时方程为x2+8x+15=0，解得x1=﹣3，x2=﹣5．22．（8分）如图，△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=4．点P、Q分别从点A、B 同时出发，点P沿A→C的方向以每秒1个单位长的速度向点C运动，点Q沿B→C的方向以每秒2个单位长的速度向点C运动．当其中一个点先到达点C时，点P、Q停止运动．当四边形ABQP的面积是△ABC面积的一半时，求点P运动的时间．【解答】解：设点P运动的时间为t秒，则PC=4﹣t，CQ=6﹣2t，根据题意得：×（4﹣t）×（6﹣2t）=××4×6，整理得：t2﹣7t+6=0，解得：t1=1，t2=6．∵6﹣2t≥0，∴t≤3，∴t=1．答：点P运动的时间为1秒．23．（8分）如图，△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，点E为BC的中点，连接OD、DE．（1）求证：OD⊥DE．（2）若∠BAC=30°，AB=8，求阴影部分的面积．【解答】（1）证明：连接DB．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠CDB=90°，∵点E是BC的中点，∴DE=CE=BC，∴∠EDC=∠C，∵OA=OD，∴∠A=∠ADO，∵∠ABC=90°，∴∠A+∠C=90°，∴∠ADO+∠EDC=90°，∴∠ODE=90°，∴OD⊥DE；（2）∵AB=8，∠BAC=30°，∴AD=4，阴影部分的面积=﹣×4×2=π﹣4．24．（9分）某工厂设计了一款工艺品，每件成本40元，为了合理定价，现投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是80元时，每天的销售量是50件，若销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于65元．如果降价后销售这款工艺品每天能盈利3000元，那么此时销售单价为多少元？【解答】解：设此时销售单价为（80﹣x）元/件，则每天的销售量为（50+5x）件，根据题意得：（80﹣x﹣40）（50+5x）=3000，整理得：x2﹣30x+200=0，解得：x1=10，x2=20，∵80﹣x≥65，∴x≤15，∴x=10，∴80﹣x=80﹣10=70．答：此时销售单价为70元/件．25．（10分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点O，点A（0，6），经过点A、O、B三点的⊙P与直线l相交于点C（7，7），且CA=CB．（1）求点B的坐标；（2）如图2，将△AOB绕点B按顺时针方向旋转90°得到△A′O′B．判断直线A′O′与⊙P的位置关系，并说明理由．【解答】（1）过点C作CE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥y轴于点F，∴∠CFO=∠CEO=∠AOB=90°，∴四边形FOEC是矩形，∴∠FCE=90°，∴∠ACE+∠ACF=90°由点C（7，7）得：CF=CE=7，∴∠AOC=∠BOC=45°，OF=CE=7，OE=CF=7，∴∠CBA=∠COA=45°，∠CAB=∠COB=45°，∴∠CAB=∠CBA，∴AC=BC，∵点A（0，6），∴OA=6，∴AF=OF﹣OA=7﹣6=1，∵∠AOB=90°，∴AB为⊙P的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACE+∠BCE=90°，∴∠ACF=∠BCE，在Rt△ACF和Rt△BCE中，，∴Rt△ACF≌Rt△BCE，∴BE=AF=1，∴OB=OE+EB=7+1=8，∴点B（8，0）；（2）直线A′O′与⊙P相切．如图2，由AB是⊙P的直径可知：AB的中点即为圆心P，取OB的中点R，连接RP并延长交A′O′的延长线于点Q，∴PR∥OA，PR=OA=3，∵∠AOB=90°，∴∠QRB=90°，∵△A′O′B′由△AOB绕点B按顺时针方向旋转90°得到，∴∠OBO′=90°，BO′=BO=8，∵∠AO′B=90°，∴∠BO′Q=90°，即RP⊥A′O′，∴四边形RBO′Q是矩形，∴∠O′QR=90°，RQ=BO′=8，∴PQ=RQ﹣PR=8﹣3=5，∵⊙P的直径AB=10，∴圆心P到直线A′O′的距离等于半径长5，∴直线A′O′与⊙P相切．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。

2017-2018学年江苏省常州市初三上学期期末数学试卷一、选择题（共8小题，每小题2分，满分16分）1．（2分）美美专卖店专营某品牌的衬衫，店主对上一周不同尺码的衬衫销售情况统计如下：尺码39 40 41 42 43平均每天销售数量（件）1012201212该店主决定本周进货时，增加了一些41码的衬衫，影响该店主决策的统计量是（ ） A ．平均数B ．众数C ．方差D ．中位数2．（2分）如图，是小明的练习，则他的得分是（ ）A ．0分B ．2分C ．4分D ．6分3．（2分）如图，以点O 为位似中心，将△ABC 缩小后得到△A′B′C′，已知OB=3OB′，则△A′B′C′与△ABC 的面积比为（ ）A ．1：3B ．1：4C ．1：5D ．1：94．（2分）在△ABC 中，∠C=90°，AC=1，BC=2，则cosA 的值是（ ） A ．B ．C ．D ．5．（2分）已知圆锥的底面半径为6cm ，高为8cm ，则圆锥的侧面积为（ ）A．36πcm2B．48πcm2C．60πcm2D．80πcm2 6．（2分）已知关于x的方程x2+x﹣a=0的一个根为2，则另一个根是（）A．﹣3B．﹣2C．3D．67．（2分）半径为r的圆的内接正三角形的边长是（）A．2r B．C．D．8．（2分）如图，在△ABC中，∠B=60°，BA=3，BC=5，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）A．B．C．D．二、填空题（共8小题，每小题2分，满分16分）9．（2分）tan60°=．10．（2分）已知，则xy=．11．（2分）一组数据6，2，﹣1，5的极差为．12．（2分）如图，若让转盘自由转动一次，停止后，指针落在阴影区域内的概率是．13．（2分）如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB=32°，则∠C=°．14．（2分）某超市今年l月份的销售额是2万元，3月份的销售额是2.88万元，从1月份到3月份，该超市销售额平均每月的增长率是．15．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC，垂足为D．给出下列四个结论：①sinα=sinB；②sinβ=sinC；③sinB=cosC；④sinα=cosβ．其中正确的结论有．16．（2分）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别是（0，2）、（4，0），点P是直线y=2x+2上的一动点，当以P为圆心，PO为半径的圆与△AOB的一条边所在直线相切时，点P的坐标为．三、解答题（共9小题，满分68分）17．（8分）（1）解方程：x（x+3）=﹣2；（2）计算：sin45°+3cos60°﹣4tan45°．18．（8分）体育老师对九年级甲、乙两个班级各10名女生“立定跳远”项目进行了检测，两班成绩如下：甲班13 11 10 12 11 13 13 12 13 12乙班12 13 13 13 11 13 6 13 13 13（1）分别计算两个班女生“立定跳远”项目的平均成绩；（2）哪个班的成绩比较整齐？19．（8分）校园歌手大赛中甲乙丙3名学生进入了决赛，组委会决定通过抽签确定表演顺序．（1）求甲第一个出场的概率；（2）求甲比乙先出场的概率．20．（6分）如图，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上△ABC 和△DEF相似吗？为什么？21．（6分）已知关于x的方程（x﹣1）（x﹣4）=k2，k是实数．（1）求证：方程有两个不相等的实数根：（2）当k的值取时，方程有整数解．（直接写出3个k的值）22．（6分）如图，为了测得旗杆AB的高度，小明在D处用高为1m的测角仪CD，测得旗杆顶点A的仰角为45°，再向旗杆方向前进10m，又测得旗杆顶点A 的仰角为60°，求旗杆AB的高度．23．（8分）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，矩形DEFG的顶点D、G 分别在AC、BC上，边EF在AB上．（1）求证：△AED∽△DCG；（2）若矩形DEFG的面积为4，求AE的长．24．（8分）如图，AB为⊙O的直径，点E在⊙O，C为的中点，过点C作直线CD⊥AE于D，连接AC、BC．（1）试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由（2）若AD=2，AC=，求⊙O的半径．25．（10分）如图，平面直角坐标系中有4个点：A（0，2），B（﹣2，﹣2），C （﹣2，2），D（3，3）．（1）在正方形网格中画出△ABC的外接圆⊙M，圆心M的坐标是；（2）若EF是⊙M的一条长为4的弦，点G为弦EF的中点，求DG的最大值；（3）点P在直线MB上，若⊙M上存在一点Q，使得P、Q两点间距离小于1，直接写出点P横坐标的取值范围．2017-2018学年江苏省常州市初三上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题2分，满分16分）1．（2分）美美专卖店专营某品牌的衬衫，店主对上一周不同尺码的衬衫销售情况统计如下：尺码39 40 41 42 43平均每天销售数量（件）1012201212该店主决定本周进货时，增加了一些41码的衬衫，影响该店主决策的统计量是（ ） A ．平均数B ．众数C ．方差D ．中位数【解答】解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故影响该店主决策的统计量是众数． 故选：B ．2．（2分）如图，是小明的练习，则他的得分是（ ）A ．0分B ．2分C ．4分D ．6分【解答】解：（1）x 2=1， ∴x=±1，∴方程x 2=1的解为±1，所以（1）错误； （2）sin30°=0.5，所以（2）正确； （3）等圆的半径相等，所以（3）正确；这三道题，小亮答对2道，得分：2×2=（4分）． 故选：C ．3．（2分）如图，以点O 为位似中心，将△ABC 缩小后得到△A′B′C′，已知OB=3OB′，则△A′B′C′与△ABC的面积比为（）A．1：3B．1：4C．1：5D．1：9【解答】解：∵OB=3OB′，∴，∵以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，∴△A′B′C′∽△ABC，∴=．∴=，故选：D．4．（2分）在△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=2，则cosA的值是（）A．B．C．D．【解答】解：在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=1，BC=2，∴AB===，∴cosA===，故选：C．5．（2分）已知圆锥的底面半径为6cm，高为8cm，则圆锥的侧面积为（）A．36πcm2B．48πcm2C．60πcm2D．80πcm2【解答】解：由勾股定理得：圆锥的母线长==10，∵圆锥的底面周长为2πr=2π×6=12π，∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为12π，∴圆锥的侧面积为：×12π×10=60π．故选：C．6．（2分）已知关于x的方程x2+x﹣a=0的一个根为2，则另一个根是（）A．﹣3B．﹣2C．3D．6【解答】解：设方程的另一个根为t，根据题意得2+t=﹣1，解得t=﹣3，即方程的另一个根是﹣3．故选：A．7．（2分）半径为r的圆的内接正三角形的边长是（）A．2r B．C．D．【解答】解：如图所示，OB=OA=r；，∵△ABC是正三角形，由于正三角形的中心就是圆的圆心，且正三角形三线合一，所以BO是∠ABC的平分线；∠OBD=60°×=30°，BD=r•cos30°=r•；根据垂径定理，BC=2×r=r．故选：B．8．（2分）如图，在△ABC中，∠B=60°，BA=3，BC=5，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）A．B．C．D．【解答】解：A．阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；B．阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；C．两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误．D．两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确．故选：D．二、填空题（共8小题，每小题2分，满分16分）9．（2分）tan60°=．【解答】解：tan60°的值为．故答案为：．10．（2分）已知，则xy=6．【解答】解：∵=，∴xy=6．故答案为：6．11．（2分）一组数据6，2，﹣1，5的极差为7．【解答】解：极差=6﹣（﹣1）=7．故答案为7．12．（2分）如图，若让转盘自由转动一次，停止后，指针落在阴影区域内的概率是．【解答】解：指针停止后指向图中阴影的概率是：=；故答案为：．13．（2分）如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB=32°，则∠C=58°．【解答】解：如图，连接OB，∵OA=OB，∴△AOB是等腰三角形，∴∠OAB=∠OBA，∵∠OAB=32°，∴∠OAB=∠OBA=32°，∴∠AOB=116°，∴∠C=58°．故答案为58．14．（2分）某超市今年l月份的销售额是2万元，3月份的销售额是2.88万元，从1月份到3月份，该超市销售额平均每月的增长率是20%．【解答】解：设该超市销售额平均每月的增长率为x，则二月份销售额为2（1+x）万元，三月份销售额为2（1+x）2万元，根据题意得：2（1+x）2=2.88，解得：x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（不合题意，舍去）．答：该超市销售额平均每月的增长率是20%．故答案为：20%．15．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC，垂足为D．给出下列四个结论：①sinα=sinB；②sinβ=sinC；③sinB=cosC；④sinα=cosβ．其中正确的结论有①②③④．【解答】解：∵∠A=90°，AD⊥BC，∴∠α+∠β=90°，∠B+∠β=90°，∠B+∠C=90°，∴∠α=∠B，∠β=∠C，∴sinα=sinB，故①正确；sinβ=sinC，故②正确；∵在Rt△ABC中sinB=，cosC=，∴sinB=cosC，故③正确；∵sinα=sinB，cos∠β=cosC，∴sinα=cos∠β，故④正确；故答案为①②③④．16．（2分）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别是（0，2）、（4，0），点P是直线y=2x+2上的一动点，当以P为圆心，PO为半径的圆与△AOB的一条边所在直线相切时，点P的坐标为（0，2），（﹣1，0），（﹣，1）．【解答】解：∵点A、B的坐标分别是（0，2）、（4，0），∴直线AB的解析式为y=﹣x+2，∵点P是直线y=2x+2上的一动点，∴两直线互相垂直，即PA⊥AB，且C（﹣1，0），当圆P与边AB相切时，PA=PO，∴PA=PC，即P为AC的中点，∴P（﹣，1）；当圆P与边AO相切时，PO⊥AO，即P点在x轴上，∴P点与C重合，坐标为（﹣1，0）；当圆P与边BO相切时，PO⊥BO，即P点在y轴上，∴P点与A重合，坐标为（0，2）；故符合条件的P点坐标为（0，2），（﹣1，0），（﹣，1），故答案为（0，2），（﹣1，0），（﹣，1）．三、解答题（共9小题，满分68分）17．（8分）（1）解方程：x（x+3）=﹣2；（2）计算：sin45°+3cos60°﹣4tan45°．【解答】解：（1）方程整理，得x2+3x+2=0，因式分解，得（x+2）（x+1）=0，于是，得x+2=0，x+1=0，解得x1=﹣2，x2=﹣1；（2）原式=×+3×﹣4×1=1+1.5﹣4=﹣1.5．18．（8分）体育老师对九年级甲、乙两个班级各10名女生“立定跳远”项目进行了检测，两班成绩如下：甲班13 11 10 12 11 13 13 12 13 12乙班12 13 13 13 11 13 6 13 13 13（1）分别计算两个班女生“立定跳远”项目的平均成绩；（2）哪个班的成绩比较整齐？【解答】解：（1）=（13+11+10+12+11+13+13+12+13+12）=12（分），=（12+13+13+13+11+13+6+13+13+13）=12（分）．故两个班女生“立定跳远”项目的平均成绩均为12分；（2）S甲2=×[4×（13﹣12）2+3×（12﹣12）2+2×（11﹣12）2+（10﹣12）2]=1.2，S乙2=×[7×（13﹣12）2+（12﹣12）2+（11﹣12）2+（6﹣12）2]=4.4，∵S甲2＜S乙2，∴甲班的成绩比较整齐．19．（8分）校园歌手大赛中甲乙丙3名学生进入了决赛，组委会决定通过抽签确定表演顺序．（1）求甲第一个出场的概率；（2）求甲比乙先出场的概率．【解答】解：（1）∵甲、乙、丙三位学生进入决赛，∴P（甲第一位出场）=；（2）画出树状图得：∵共有6种等可能的结果，甲比乙先出场的有3种情况，∴P（甲比乙先出场）==．20．（6分）如图，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上△ABC 和△DEF相似吗？为什么？【解答】解：△ABC和△DEF相似．理由如下：由勾股定理，得AB=2，AC=2，BC=2，DE=，DF=，EF=2，∵=，==，==，∴==，∴△ABC∽△DEF．21．（6分）已知关于x的方程（x﹣1）（x﹣4）=k2，k是实数．（1）求证：方程有两个不相等的实数根：（2）当k的值取﹣2、0、2时，方程有整数解．（直接写出3个k的值）【解答】（1）证明：原方程可变形为x2﹣5x+4﹣k2=0．∵△=（﹣5）2﹣4×1×（4﹣k2）=4k2+9＞0，∴不论k为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）解：原方程可化为x2﹣5x+4﹣k2=0．∵方程有整数解，∴x=为整数，∴k取0，2，﹣2时，方程有整数解．22．（6分）如图，为了测得旗杆AB的高度，小明在D处用高为1m的测角仪CD，测得旗杆顶点A的仰角为45°，再向旗杆方向前进10m，又测得旗杆顶点A 的仰角为60°，求旗杆AB的高度．【解答】解：设AG=x．在Rt△AFG中，∵tan∠AFG=，∴FG=，在Rt△ACG中，∵∠GCA=45°，∴CG=AG=x，∵DE=10，∴x﹣=10，解得：x=15+5，∴AB=15+5+1=16+5．答：电视塔的高度AB约为（16+5）米．23．（8分）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，矩形DEFG的顶点D、G 分别在AC、BC上，边EF在AB上．（1）求证：△AED∽△DCG；（2）若矩形DEFG的面积为4，求AE的长．【解答】（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，∴∠B=∠A=45°，∵四边形DEFG是正方形，∴∠AED=∠DEF=90°，DG∥AB，∴∠CDG=∠A，∵∠C=90°，∴∠AED=∠C，∴△AED∽△DCG；（2）解：设AE的长为x，∵等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，∴∠A=∠B=45°，AB=4，∵矩形DEFG的面积为4，∴DE•F E=4，∠AED=∠DEF=∠BFG=90°，∴BF=FG=DE=AE=x，∴EF=4﹣2x，即x（4﹣2x）=4，解得x1=x2=．∴AE的长为．24．（8分）如图，AB为⊙O的直径，点E在⊙O，C为的中点，过点C作直线CD⊥AE于D，连接AC、BC．（1）试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由（2）若AD=2，AC=，求⊙O的半径．【解答】解：（1）相切，连接OC，∵C为的中点，∴∠1=∠2，∵OA=OC，∴∠1=∠ACO，∴∠2=∠ACO，∴AD∥OC，∵CD⊥AD，∴OC⊥CD，∴直线CD与⊙O相切；（2）连接CE，∵AD=2，AC=，∵∠ADC=90°，∴CD==，∵CD是⊙O的切线，∴CD2=AD•DE，∴DE=1，∴CE==，∵C为的中点，∴BC=CE=，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴AB==3．∴⊙O的半径为1.5．25．（10分）如图，平面直角坐标系中有4个点：A（0，2），B（﹣2，﹣2），C （﹣2，2），D（3，3）．（1）在正方形网格中画出△ABC的外接圆⊙M，圆心M的坐标是（﹣1，0）；（2）若EF是⊙M的一条长为4的弦，点G为弦EF的中点，求DG的最大值；（3）点P在直线MB上，若⊙M上存在一点Q，使得P、Q两点间距离小于1，直接写出点P横坐标的取值范围．【解答】解：（1）如图所示；M（﹣1，0）；故答案为（﹣1，0）．（2）连接MD，MG，ME，∵点G为弦EF的中点，EM=FM=，∴MG⊥EF，∵EF=4，∴EG=FG=2，∴MG=1，∴点G在以M为圆心，1为半径的圆上，∴当点G在线段DM延长线上时DG最大，此时DG=DM+GM，∵DM==5，∴DG的最大值为5+1=6；（3）设P点的横坐标为x，当P点位于线段MB及延长线上且P、Q两点间距离等于1，时，=，∴=或=解得|x p|=2+或2﹣，∵此时P点在第三象限，∴x＜0，∴x=﹣2﹣或﹣2+，即当P、Q两点间距离小于1时点P横坐标的取值范围为﹣2﹣＜x＜﹣2+；当P点位于线段BM及延长线上且P、Q两点间距离等于1时，则PQ：AM=|x|：|x M|，=，解得|x|=，∵此时P点在第一或二象限，∴x=±，即当P、Q两点间距离小于1时点P横坐标的取值范围为﹣＜x；综上所述，点P横坐标的取值范围为﹣＜x或﹣2﹣＜x＜﹣2+；。

九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．抛物线y=（x﹣2）2﹣3的顶点坐标是（）A．（2，﹣3）B．（﹣2，3）C．（2，3）D．（﹣2，﹣3）【答案】A【解析】已知抛物线解析式为顶点式，可直接写出顶点坐标．【详解】：∵y=（x﹣2）2﹣3为抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，∴抛物线的顶点坐标为（2，-3）．故选A.．【点睛】本题考查了将解析式化为顶点式y=a（x-h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h．2．如图，矩形草坪ABCD中，AD＝10 m，AB＝103m．现需要修一条由两个扇环构成的便道HEFG，扇环的圆心分别是B，D．若便道的宽为1 m，则这条便道的面积大约是（）（精确到0.1 m2）A．9.5 m2B．10.0 m2C．10.5 m2D．11.0 m2【答案】C【分析】由四边形ABCD为矩形得到△ADB为直角三角形，又由AD＝10，AB＝3理求出BD＝20，又由cos∠ADB＝12ADDB=，得到∠ADB＝60°，又矩形对角线互相平分且相等，便道的宽为1m，所以每个扇环都是圆心角为30°且外环半径为10.1，内环半径为9.1．这样可以求出每个扇环的面积．【详解】∵四边形ABCD为矩形，∴△ADB为直角三角形，又∵AD＝10，AB＝3∴BD22AD AB+又∵cos∠ADB＝12 ADDB=，∴∠ADB＝60°．又矩形对角线互相平分且相等，便道的宽为1m，所以每个扇环都是圆心角为30°，且外环半径为10.1，内环半径为9.1．∴每个扇环的面积为223010.5309.553603603πππ⨯⨯⨯⨯-=．∴当π取3.14时整条便道面积为53π×2＝10.4666≈10.1m2．便道面积约为10.1m2．故选：C．【点睛】此题考查内容比较多，有勾股定理、三角函数、扇形面积，做题的关键是把实际问题转化为数学问题．3．如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的实验结果．随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在某个数字附近，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是（）A．0.620 B．0.618 C．0.610 D．1000【答案】B【解析】结合给出的图形以及在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，解答即可．【详解】由图象可知随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.1附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.1．故选B．【点睛】考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．4．下列命题中正确的是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形【答案】C【解析】试题分析：A 、对角线相等的平行四边形是矩形，所以A 选项错误；B 、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以B 选项错误；C 、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，所以C 选项正确；D 、一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，所以D 选项错误．故选C ．考点：命题与定理．5．在一幅长60 cm 、宽40 cm 的长方形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅长方形挂图，如图.如果要使整个挂图的面积是2816 cm 2，设金色纸边的宽为x cm ，那么x 满足的方程是( )A ．(60＋2x)(40＋2x)＝2816B ．(60＋x)(40＋x)＝2816C ．(60＋2x)(40＋x)＝2816D ．(60＋x)(40＋2x)＝2816【答案】A【解析】根据题意可知，挂画的长和宽分别为（60+2x ）cm 和(40＋2x)cm ，据此可列出方程(60＋2x)(40＋2x)＝2816【详解】若设金色纸边的宽为x cm ，则挂画的长和宽分别为（60+2x ）cm 和(40＋2x)cm ，可列方程(60＋2x)(40＋2x)＝2816故答案为A.【点睛】本题考查一元二次方程的应用，找出题中的等量关系是解题关键.6．如图，AB 是O 的直径，BC 是O 的弦，已知40ABC ∠=︒，则AOC ∠的度数为（ ）A ．60︒B ．70︒C ．80︒D ．90︒【答案】C 【分析】根据圆周角定理即可解决问题．【详解】∵AC AC =，∴224080AOC ABC ∠∠==⨯︒=︒．故选：C ．【点睛】本题考查圆周角定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．7．关于x 的一元二次方程x 2﹣（k+3）x+2k+2＝0的根的情况，下面判断正确的是（ ）A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．有两个实数根D ．无实数根【答案】C【分析】判断一元二次方程根的判别式的大小即可得解.【详解】由题意可可知：△＝（﹣k ﹣3）2﹣4（2k+2）＝k 2﹣2k+1＝（k ﹣1）2≥0，故选：C ．【点睛】本题考查一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)根的判别式：（1）当△=b 2﹣4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）当△=b 2﹣4ac=0时，方程有有两个相等的实数根；（3）当△=b 2﹣4ac ＜0时，方程没有实数根.8．如图，线段AB 两个端点的坐标分别为A(6，6)，B(8，2)．以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB 缩小后得到线段CD ，且D(4，1)，则端点C 的坐标为（ ）A ．(3，1)B ．(4，1)C ．(3，3)D ．(3，4)【答案】C 【分析】利用位似图形的性质，结合两图形的位似比，即可得出C 点坐标．【详解】解：∵线段AB 的两个端点坐标分别为A （6，6），B （8，2），以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB 缩小后得到线段CD ，且D （4，1），∴在第一象限内将线段AB 缩小为原来的12后得到线段CD ， ∴点C 的横坐标和纵坐标都变为A 点的一半，∴点C 的坐标为：（3，3）．故选：C ．【点睛】此题主要考查了位似图形的性质，利用两图形的位似比得出对应点横纵坐标关系是解题关键．在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或−k ． 9．已知二次函数221y ax ax =--(a 是常数)，下列结论正确的是（ ）A ．当1a =-时，函数图象经过点()1,1-B ．当1a =-时，函数图象与x 轴没有交点C ．当2a <时，函数图象的顶点始终在x 轴下方D ．当0a >时，则1x ≥时，y 随x 的增大而增大．【答案】D【分析】将1a =-和点()1,1-代入函数解析式即可判断A 选项；利用24b ac =-⊿可以判断B 选项；根据顶点公式可判断C 选项；根据抛物线的增减性质可判断D 选项．【详解】A. 将1a =-和1x =-代入221y ax ax =--41=-≠，故A 选项错误；B. 当1a =-时，二次函数为221y x x =-+-， ()()22424110b ac =-=-⨯-⨯-=⊿，函数图象与x 轴有一个交点，故B 选项错误；C. 函数图象的顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，即()11a --，， 当2a <时，1a --不一定小于0，则顶点不一定在x 轴下方，故C 选项错误；D. 当0a >时，抛物线开口向上，由C 选项得，函数图象的对称轴为1x =，所以1x ≥时，y 随x 的增大而增大，故D 选项正确；故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、根的判别式以及抛物线与x 轴的交点，掌握抛物线的对称轴、开口方向与系数a b c 、、之间的关系是解题的关键．10．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 为（0，3），点B 为（2，1），点C 为（2，-3）．则经画图操作可知：△ABC 的外心坐标应是（ ）A ．()0,0B ．()1,0C ．()2,1--D ．()2,0【答案】C 【解析】外心在BC 的垂直平分线上，则外心纵坐标为-1.故选C.11．如图，水平地面上有一面积为30πcm 2的灰色扇形OAB ，其中OA=6cm ，且OA 垂直于地面.将这个扇形向右滚动(无滑动)至点B 刚好接触地面为止，则在这个滚动过程中，点O 移动的距离是( )A ．10πcmB ．20πcmC ．24πcmD ．30πcm【答案】A 【解析】如下图，在灰色扇形OAB 向右无滑动滚动过程中，点O 移动的距离等于线段A 1B 1的长度，而A 1B 1的长度等于灰色扇形OAB 中弧的长度l ，∵S 扇形=113022l r l OA π⋅=⨯=，OA=6， ∴10l π=（cm ），即点O 移动的距离等于：10πcm.故选A.点睛：在扇形沿直线无滑动滚动的过程中，由于圆心到圆上各点的距离都等于半径，所以此时圆心作的是平移运动，其平移的距离就等于扇形沿直线滚动的路程.12．某超市一天的收入约为450000元，将450000用科学记数法表示为（ ）A ．4.5×106B ．45×105C ．4.5×105D ．0.45×106【答案】C【分析】根据科学记数法的表示方法表示即可．【详解】将150000用科学记数法表示为1．5×2．故选：C ．【点睛】本题考查科学记数法的表示,关键在于牢记科学记数法的表示方法．二、填空题（本题包括8个小题）13．某种植基地2016年蔬菜产量为100吨，2018年蔬菜实际产量为121吨，则蔬菜产量的年平均增长率为____．【答案】10%【分析】2016年到2018年是2年的时间，设年增长率为x ，可列式100×()21x +=121，解出x 即可．【详解】设平均年增长率为x ，可列方程100×()21x +=121解得x=10％故本题答案应填10％．【点睛】本题考查了一元二次函数的应用问题．14．在某一个学校的运动俱乐部里面有三大筐数量相同的球，甲每次从第一个大筐中取出9个球；乙每次从第二个大筐中取出7个球；丙则是每次从第三个大筐中取出5个球.到后来甲、乙、丙三人都记不清各自取过多少次球了，于是管理人员查看发现第一个大筐中还剩下7个球，第二个大筐还剩下4个球，第三个大筐还剩下2个球，那么根据上述情况可以推知甲至少取了______次.【答案】2【分析】设每框球的总数为k ，甲取了a 次，乙取了b 次，丙取了c 次．根据题意得可列方程k=9a+7=7b+4=5c+2(k ，a ，b ，c 都是正整数)，然后根据整除的性质解答即可．【详解】设每框球的总数为k ，甲取了a 次，乙取了b 次，丙取了c 次．根据题意得：k=9a+7=7b+4=5c+2(k ，a ，b ，c 都是正整数)∴9a+7=5c+2，∴9a=5(c-1)，∴a 是5的倍数．不妨设a=5m(m 为正整数)，∴k=45m+7=7b+4，∴b=4533(1)677m m m ++=+， ∵b 和m 都是正整数，∴m 的最小值为1．∴a=5m=2．故答案为：2．【点睛】本题考查了三元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的者方程，会根据整除性进一步设未知数．15．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h （米）与小球运动时间t （秒）的关系式是h ＝30t ﹣5t 2，小球运动中的最大高度是_____米．【答案】1【分析】首先理解题意，先把实际问题转化成数学问题后，知道解此题就是求出h ＝30t ﹣5t 2的顶点坐标即可．【详解】解：h ＝﹣5t 2+30t＝﹣5（t 2﹣6t+9）+1＝﹣5（t ﹣3）2+1，∵a ＝﹣5＜0，∴图象的开口向下，有最大值，当t ＝3时，h 最大值＝1．故答案为：1．【点睛】本题考查了二次函数的应用，解此题的关键是把实际问题转化成数学问题，利用二次函数的性质就能求出结果．16．已知m 是方程x 2﹣3x ﹣1＝0的一个根，则代数式2m 2﹣6m ﹣7的值等于_____．【答案】﹣1．【分析】根据一元二次方程的解的概念可得关于m 的方程，变形后整体代入所求式子即得答案.【详解】解：∵m 是方程x 2﹣3x ﹣1＝0的一个根，∴m 2﹣3m ﹣1＝0，∴m 2﹣3m ＝1，∴2m 2﹣6m ﹣7＝2（m 2﹣3m ）﹣7＝2×1﹣7＝﹣1．故答案为：﹣1．【点睛】本题考查了一元二次方程的解的概念和代数式求值，熟练掌握整体代入的数学思想和一元二次方程的解的概念是解题关键.17．75°的圆心角所对的弧长是2.5πcm ，则此弧所在圆的半径是_____cm ．【答案】1 【分析】由弧长公式：180n R l π=计算． 【详解】解：由题意得：圆的半径()180 2.5756R cm ππ=⨯÷=．故本题答案为：1．【点睛】本题考查了弧长公式．18．反比例函数m y x=（0m ≠）的图象如图所示，点A 为图象上的一点，过点A 作AB x ⊥轴，AC y ⊥轴，若四边形ACOB 的面积为4，则m 的值为______.【答案】4 【分析】根据反比例函数的性质得出4m =，再结合图象即可得出答案. 【详解】m 表示的是x 与y 的坐标形成的矩形的面积4m ∴= 反比例函数m y x=（0m ≠）的图象在第一象限 0m ∴>4m ∴=故答案为：4.【点睛】 本题考查了反比例函数的性质，反比例函数k y x=中，k 的绝对值表示的是x 与y 的坐标形成的矩形的面积.三、解答题（本题包括8个小题）19．把下列多项式分解因式：（1）()()131x x --+．（2）()222x x -+-． 【答案】（1）2(2)x -；（2）(2)(1)x x -+【分析】（1）原式整理后利用完全平方公式分解即可；（2）原式提取公因式即可得到结果．【详解】（1）(1)(3)1x x --+ 2331x x x =--++244x x =-+2(2)x =-；（2）22(2)x x x -+- (2)(2)x x x -+-=(2)(1)x x-=+．【点睛】本题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键．20．计算：（1）sin30°-（5- tan75°）0；（2）3 tan230°-2sin45°＋3sin60°．【答案】（1）﹣12（2）32【分析】（1）根据特殊角的三角函数值和非零的数的零次幂，即可求解；（2）根据特殊角的三角函数值，即可求解．【详解】（1）sin30°-（5- tan75°）0=12－1=﹣12；（2） 3 tan230°-2sin45°＋3sin60°=3×（3）2－2×2＋3×3=1－1＋3 2=32．【点睛】本题主要考查特殊角的三角函数值和非零的数的零次幂，掌握特殊角的三角函数值，是解题的关键．21．问题呈现：如图1，在边长为1 小的正方形网格中，连接格点A、B 和C、D，AB 和CD 相交于点P，求tan ∠CPB 的值方法归纳：求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出(或构造出)一个直角三角形，观察发现问题中∠ CPB不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题，比如连接格点B、E，可得BE∥CD，则∠ABE=∠CPB，连接AE，那么∠CPB 就变换到Rt△ABE 中．问题解决：（1）直接写出图1 中tan ∠CPB 的值为______；（2）如图2，在边长为 1 的正方形网格中，AB 与CD 相交于点P，求cos ∠CPB 的值．【答案】（1）2；（22【分析】（1）根据平行四边形的判定及平行线的性质得到∠CPB=∠ABE，利用勾股定理求出AE，BE，AB，证明△ABE 是直角三角形，∠AEB=90°，即可求出tan ∠CPB= tan ∠ABE ；（2）如图2中，取格点D ，连接CD ，DM ．通过平行四边形及平行线的性质得到∠CPB=∠MCD ，利用勾股定理的逆定理证明△CDM 是直角三角形，且∠CDM=90°，即可得到cos ∠CPB=cos ∠MCD ．【详解】解：（1）连接格点 B 、 E ，∵BC ∥DE ，BC=DE ，∴四边形BCDE 是平行四边形，∴DC ∥BE ，∴∠CPB=∠ABE ，∵AE=222222+=，BE=22112+=，AB=221310+=222AE BE AB +=，∴△ABE 是直角三角形，∠AEB=90°，∴tan ∠CPB= tan ∠ABE=2222AE BE ==， 故答案为：2；（2）如图2所示，取格点M ，连接CM ，DM ，∵CB ∥AM ，CB=AM ，∴四边形ABCM 是平行四边形，∴CM ∥AB ，∴∠CPB=∠MCD ，∵CM=221310+=，CD=22125+=，MD=22125+=， 222CD MD CM +=，∴△CDM 是直角三角形，且∠CDM=90°，∴cos ∠CPB=cos ∠MCD=52210CD CM ==．【点睛】本题考查三角形综合题、平行线的性质、勾股定理及勾股定理逆定理、直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，学会用转化的思想思考问题．22．如图1，在Rt △ABC 中，∠B=90°，BC=2AB=8，点D ，E 分别是边BC ，AC 的中点，连接DE ，将△EDC绕点C 按顺时针方向旋转，记旋转角为α.（1）问题发现① 当0α︒=时，AE BD = ；② 当时，AE BD = （2）拓展探究试判断：当0°≤α＜360°时，AE DB 的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明. （3）问题解决当△EDC 旋转至A 、D 、E 三点共线时，直接写出线段BD 的长.【答案】（1）55.（2）无变化；理由参见解析.（3）4555. 【分析】（1）①当α=0°时，在Rt △ABC 中，由勾股定理，求出AC 的值是多少；然后根据点D 、E 分别是边BC 、AC 的中点，分别求出AE 、BD 的大小，即可求出AE BD的值是多少． ②α=180°时，可得AB ∥DE ，然后根据AC BC AE BD =，求出AE BD 的值是多少即可． （2）首先判断出∠ECA=∠DCB ，再根据52EC AC DC BC ==，判断出△ECA ∽△DCB ，即可求出AE BD 的值是多少，进而判断出AE BD的大小没有变化即可． （3）根据题意，分两种情况：①点A ，D ，E 所在的直线和BC 平行时；②点A ，D ，E 所在的直线和BC 相交时；然后分类讨论，求出线段BD 的长各是多少即可．【详解】（1）①当α=0°时，∵Rt △ABC 中，∠B=90°，∴2222(82)845AB BC +=÷+∵点D 、E 分别是边BC 、AC 的中点，∴455AE ==,BD=8÷2=4， ∴255AE BD ==． ②如图1，，当α=180°时，可得AB ∥DE ， ∵AC BC AE BD =， ∴45582AE AC BD BC === （2）如图2，，当0°≤α＜360°时，AE BD 的大小没有变化， ∵∠ECD=∠ACB ，∴∠ECA=∠DCB ，又∵52EC AC DC BC ==， ∴△ECA ∽△DCB ，∴52AE EC BD DC ==． （3）①如图3，，∵5CD=4，CD ⊥AD ，∴2222(45)480168AC CD ---=∵AD=BC ，AB=DC ，∠B=90°，∴四边形ABCD 是矩形，∴BD=AC=5②如图4，连接BD ，过点D 作AC 的垂线交AC 于点Q ，过点B 作AC 的垂线交AC 于点P ，，∵AC=45，CD=4，CD ⊥AD ， ∴AD=2222(45)480168AC CD -=-=-=，∵点D 、E 分别是边BC 、AC 的中点，∴DE=111(82)4222AB =⨯÷=⨯=2， ∴AE=AD-DE=8-2=6，由（2），可得52AE BD =， ∴BD=1255=．综上所述，BD 的长为45或1255． 23．如图，抛物线2y x bx c =-++经过A （﹣1，0），B （3，0）两点，交y 轴于点C ，点D 为抛物线的顶点，连接BD ，点H 为BD 的中点．请解答下列问题：（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）在y 轴上找一点P ，使PD+PH 的值最小，则PD+PH 的最小值为【答案】（1） 2y x 2x 3=-++，D （1，4）；（2） PD+PH 13【分析】（1）根据题意把已知两点的坐标代入，求出b 、c 的值，就可以确定抛物线的解析式，配方或用公式求出顶点坐标；（2）由题意根据B 、D 两点的坐标确定中点H 的坐标，作出H 点关于y 轴的对称点点H ′，连接H ′D 与y 轴交点即为P ，求出H ′D 即可.【详解】解：（1）∵抛物线2y x bx c =-++过点A （-1，0），B （3，0）,∴10930b c b c ⎩--+-++⎧⎨＝＝,解得23b c ⎧⎨⎩=＝, ∴所求函数的解析式为：2y x 2x 3=-++,化为顶点式为：2y x 2x 3=-++=-（x-1）2+4，∴顶点D （1，4）;（2）∵B （3，0），D （1，4）,∴中点H 的坐标为（2，2）其关于y 轴的对称点H ′坐标为（-2，2）,连接H ′D 与y 轴交于点P ，则PD+PH 最小且最小值为：22(12)(42)13++-=.【点睛】本题考查用待定系数法确定二次函数的解析式和最短路径的问题，熟练掌握待定系数法是关键． 24．如图①，若抛物线1L 的顶点A 在抛物线2L 上，抛物线2L 的顶点B 在抛物线1L 上，（点A 与点B 不重合），我们把这样的两条抛物线1L 和2L ，互称为“友好”抛物线．（1）一条抛物线的“友好”抛物线有 条；（2）如图②，已知抛物线238:24L y x x =-+与y 轴相交于点C ，点C 关于抛物线3L 的对称轴的对称点为点D ，求以点D 为顶点的3L 的“友好”抛物线4L 的表达式；（3）若抛物线21()y a x m n =-+的“友好”抛物线的解析式为22()y a x h k =-+，请直接写出1a 与2a 的关系式．【答案】（1）无数；（2）22(4)4y x =--+；（3）120a a +=【分析】(1)根据题目给的定义即可判断一条抛物线有无数条”友好”抛物线.(2)先设出L 4的解析式,求出L 3的坐标轴和顶点坐标,再将顶点坐标代入L 4的解析式中即可求解.(3)根据两个抛物线的顶点都在对方抛物线上,列式求解即可.【详解】（1）根据“友好”抛物线的定义,只需要确定原函数顶点和抛物线任意一点做“友好”抛物线的顶点即可作出“友好”抛物线,因此有无数条.∴答案为:无数.（2）把238:24L y x x =-+化为顶点式，得22(2)4y x =--∴顶点坐标为(2,4)-，对称轴为2x = C 点坐标为(0,4)，C ∴点关于对称轴2x =的对称点的坐标为(4,4)，设4L 的解析式为2(4)4y a x =-+， 把(2,4)-代入，得444a -=+.解得2a =-.3L ∴的“友好”抛物线4L 的表达式为：22(4)4y x =--+.（3）由题意可得:()()2221n a m h k k a h m n⎧=-+⎪⎨=-+⎪⎩,整理得,(a 1+a 2)(m-h)2=0, ∵顶点不重合,∴m≠h,∴120a a +=.【点睛】本题考查二次函数的性质运用,关键在于根据题意规定的方法代入求解.25．如图，AB 为半圆O 的直径，点C 在半圆上，过点O 作BC 的平行线交AC 于点E ，交过点A 的直线于点D ，且∠D =∠BAC（1）求证：AD是半圆O的切线；（2）求证：△ABC∽△DOA；（3）若BC=2，CE2，求AD的长．AD【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）6【分析】（1）要证AD是半圆O的切线只要证明∠DAO=90°即可；（2）根据两组角对应相等的两个三角形相似即可得证；（3）先求出AC、AB、AO的长，由第（2）问的结论△ABC∽△DOA，根据相似三角形的性质：对应边成比例可得到AD的长．【详解】（1）证明：∵AB为直径，∴∠ACB=90°，又∵OD∥BC，∴∠AEO=∠ACB=90°，∴∠AOD+∠BAC=90°，又∵∠D=∠BAC，∴∠AOD+∠D=90°，∴∠OAD=90°，∴AD⊥OA，∴AD是半圆O的切线；（2）证明：由（1）得∠ACB=∠OAD=90°，又∵∠D=∠BAC，∴△ABC∽△DOA；（3）解：∵O为AB中点，OD∥BC，∴OE是△ABC的中位线，则E为AC中点，∴AC=2CE，∵BC=2，2，∴AC=22∴==∴OA=12 由（2）得：△ABC ∽△DOA ， ∴=AC BC AD OA，=∴AD =【点睛】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．同时考查了相似三角形的判定与性质，难度适中．26．某地2016年为做好“精准扶贫”，投入资金1000万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2018年在2016年的基础上增加投入资金1250万元．（1）从2016年到2018年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？（2）在2018年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于400万元用于优先搬迁租房奖励，规定前1000户（含第1000户）每户每天奖励8元，1000户以后每户每天补助5元，按租房400天计算，试求今年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励？【答案】（1）从2016年到2018年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为50%；（2）今年该地至少有1400户享受到优先搬迁租房奖励．【分析】（1）根据”2016年投入资金⨯212018+=（年增长率）年投入资金”列方程求解即可;（2）根据题意，享受奖励的搬迁户分为前1000户和1000户之后的部分，可以设搬迁户总数为a ，则有前1000户享受奖励总额+1000户之后享受奖励综合≥400万元，据此可解.【详解】解：（1）设该地投入异地安置资金的年平均增长率为x ，根据题意，得：1000（1+x ）2＝1250+1000，解得：x ＝0.5或x ＝﹣2.5（舍），答：从2016年到2018年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为50%；（2）设今年该地有a 户享受到优先搬迁租房奖励，根据题意，得：1000×8×400+（a ﹣1000）×5×400≥4000000，解得：a≥1400，答：今年该地至少有1400户享受到优先搬迁租房奖励．【点睛】本题主要考查了一元二次方程和一元一次不等式的应用，认真审题，找准数量关系列出方程是解答关键. 27．综合与实践问题背景：综合与实践课上，同学们以两个全等的三角形纸片为操作对象，进行相一次相关问题的研究． 下面是创新小组在操作过程中研究的问题， 如图一，△ABC ≌△DEF ， 其中∠ACB=90°，BC=2，∠A=30°．操作与发现：（1）如图二，创新小组将两张三角形纸片按如图示的方式放置，四边形ACBF 的形状是 ，CF= ；（2）创新小组在图二的基础上，将△DEF 纸片沿AB 方向平移至图三的位置，其中点E 与AB 的中点重合．连接CE ，BF ．四边形BCEF 的形状是 ，CF= ．操作与探究 ：（3）创新小组在图三的基础上又进行了探究，将△DEF 纸片绕点E 逆时针旋转至DE 与BC 平行的位置，如图四所示，连接AF ， BF ． 经过观察和推理后发现四边形ACBF 也是矩形，请你证明这个结论．【答案】（1）矩形，4 ；（2）菱形，23；（3）详见解析．【分析】（1）由题意及图形可直接解答；（2）根据题意及图形，结合直角三角形的性质定理可直接得到答案；（3）根据旋转的性质及题意易得AE EF BC ==，然后得到四边形ACBF 为平行四边形，最后问题得证．【详解】（1）如图所示：△ABC ≌△DEF ， 其中∠ACB=90°，BC=2，∠A=30°，∴60,2ABC FED BC EF ∠=∠=︒==，∴90C F FAC ∠=∠=∠=︒，∴四边形ACBF 是矩形，AB=4∴，∴AB=CF=4；故答案为：矩形，4 ；（2）如图所示：△ABC ≌△DEF ， 其中∠ACB=90°，BC=2，∠A=30°， ∴60,2ABC FED BC EF ∠=∠=︒==，∴//BC EF ，∴四边形ECBF 是平行四边形，点E 与AB 的中点重合，∴CE=BE ，∴CBE △是等边三角形， ∴EC=BC ，∴四边形ECBF 是菱形，∴CF 与EB 互相垂直且平分， ∴332OC EC ==，∴23CF =， 故答案为：菱形，23； （3）证明：如图所示：∵90,3060C A ABC ∠=︒∠=︒∴∠=︒∵//,DE BC DEF ABC ≌∴60DEB DEF ABC ∠=∠=∠=︒∴60AEF ∠=︒∵24,2AB BC AE ==∴=∵2EF BC AE EF ==∴=∴AEF ∆为等边三角形∴60FAE ABC ∠=︒=∠∴//BC AF∵AE EF BC ==。

新⼈教版2017—2018学年度上学期期末教学质量监测九年级数学试卷2017—2018学年度上学期期末教学质量监测九年级数学试卷（考试时间90分钟，试卷满分120分）⼀、选择题：（每题3分，计24分）1、⼀元⼆次⽅程2280x -=的解是（）1212. 2 . 2 . 2, 2 . A x B x C x x D x x ==-==-==2、在平⾯直⾓坐标系中，点P （2，⼀ 4）关于原点对称的点的坐标是（） A.（2,4 ） B.（⼀2，4） C.（⼀2，⼀4） D.（⼀4，2） 3、下列说法中，正确的是（）A. 随机事件发⽣的概率为1B.. 概率很⼩的事件不可能发⽣C. 不可能事件发⽣的概率为0D. 投掷⼀枚质地均匀的硬币1000次，正⾯朝上的次数⼀定是500次 4、如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，连接AC ，AD,若∠ADC=55°，则∠CAB 的度数为（） A.35° B.45° C.55° D.65°5、⼀个不透明的袋中装有除颜⾊外均相同的5个红球和n 个黄球，从中随机摸出⼀个，摸到红球的概率是58，则n 是（） A.5 B.8C.3D.136、如图，⊙O 与正⽅形ABCD 的边AB,AD 相切，且DE 与⊙O 相切与点E 。

若⊙O 的半径为5，且AB=12，则DE=（）（4题图）A.5B. 6C.7D. 1727、“赶陀螺”是⼀项深受⼈们喜爱的运动，如图所⽰是⼀个陀螺的⽴体结构图，已知底⾯圆的直径AB=6cm ，圆柱体部分的⾼BC=5cm,圆锥体部分的⾼CD=4cm,则这个陀螺的表⾯积是（）A. 284cm πB.245cm πC. 274cm πD.254cm π8、已知⼆次函数221y ax ax =--（a 是常数，0a ≠），下列结论正确的是（） A.当a = 1时，函数图像经过点（⼀1，0）B. 当a = ⼀2时，函数图像与x 轴没有交点C. 若 0a ＜，函数图像的顶点始终在x 轴的下⽅D. 若 0a﹥，则当1x ≥时，y 随x 的增⼤⽽增⼤⼆、填空题（每⼩题3分，共21分）9、若m 是⽅程210x x +-=的⼀个根，则代数式22018m m +-=_______________ 10、将抛物线24y x =向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式_____________________11、在4张完全相同的卡⽚上分别画上①、②、③、④。