高数课后习题答案第8章

习题 8.11. 设函数22(,)tanxf x y x y xy y=+-,求(,).f tx ty 解: (,)f tx ty =222222222tan(tan )(,).tx xt x t y t xy t x y xy t f x y ty y+-=+-= 2. 设函数(,)ln ln F x y x y =⋅,试证:(,)(,)(,)(,)(,)F xy uv F x u F x v F y u F y v =+++.证明: (,)ln()ln()(ln ln )(ln ln )F xy uv xy uv x y u v =⋅=++(ln ln )(ln ln )ln ln ln ln ln ln ln ln x y u v x u x v y u y v =++=+++ (,)(,)(,)(,)F x u F x v F y u F y v =+++3. 求下列各函数的定义域:(1) 2ln(21)z y x =-+; (2) 11z x y x y=++-; (3) 2224ln(1)x y z x y -=--; (4) 111u x y z=++; (5) z x y =-; (6) arcsin y z x =; (7) 22ln()1x z y x x y=-+--; (8) 222222194u x y z x y z =---+++-;解 (1)要使函数2ln(21)z y x =-+有意义,必须2210,y x -+>所以,函数的定义域为:2{(,)\210};D x y y x =-+> (2) 要使函数11z x y x y=++-有意义,必须 0,0.x y x y +>⎧⎨->⎩ 即x y x -<<,或y x <.所以,函数的定义域为:{(,)\};D x y y x =<(3) 要使函数2224ln(1)x y z x y -=--有意义,必须 22240,10.x y x y ⎧-≥⎨-->⎩ 即2224,1.y x x y ⎧≤⎨+<⎩ 所以,函数的定义域为:222{(,)\1,4};D x y x y y x =+<≤ (4) 要使函数111u x y z=++有意义,必须 0,0,0.x y z >⎧⎪>⎨⎪>⎩所以,函数的定义域为:{(,,)\0,0,0};D x y z x y z =>>>(5) 要使函数z x y =-有意义,必须0,0.x y y ⎧-≥⎪⎨≥⎪⎩ 即20,0,x y y x ≥≥≤.所以,函数的定义域为:2{(,)\0,0};D x y x y x =≥≤≤ (6) 要使函数arcsinyz x=有意义,必须 11,0.y x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪≠⎩ 即,0,x y x x -≤≤>或,0x y x x ≤≤-<.所以,函数的定义域为:{(,)\,0}{(,)\,0}D x y x y x x x y x y x x =-≤≤>≤≤-<;(7) 要使函数22ln()1x z y x x y=-+--有意义,必须220,0,10.y x x x y ->⎧⎪≥⎨⎪-->⎩即0x y ≤<且221x y +<.所以,函数的定义域为:22{(,)\0,1};D x y x y x y =≤<+< (8) 要使函数222222194u x y z x y z =---+++-有意义,必须22222290,40.x y z x y z ⎧---≥⎨++->⎩ 即22249x y z <++≤.所以,函数的定义域为:22{(,,)\49};D x y z x y =<+≤ 4. 求下列各极限: (1) 22101lim;x y xy x y →→-+ (2) 22001lim;x y x y →→+ (3) 221lim ;x y x y →∞→∞+(4) 0024lim;x y xy xy →→-+ (5) 00lim ;11x y xy xy →→+- (6) 00sin lim ;x y xyx →→(7) 2200lim;x y xy x y→→+ (8) 222222300sin lim.()x y x y x y x y →→+-++解 (1) 222210110lim1;10x y xy x y→→--==++(2) 22001lim;x y x y→→=+∞+ (3) 221lim0;x y x y →∞→∞=+(4) 00000024(24)(24)11limlim lim ;4(24)24x x x y y y xy xy xy xy xy xy xy →→→→→→-+-+++==-=-++++(5) 0000(11)limlim11(11)(11)x x y y xy xy xyxy xy xy →→→→++=+-+-++000(11)limlim(11)2;x x y y xy xy xy xy →→→→++==++= (6) 00000000sin sin sin limlim[]lim lim 010;x x x x y y y y xy xy xyy y x xy xy →→→→→→→→=⋅=⋅=⨯=(7) 因为222x y x y +≥,所以有222202x y x y x y+≤≤+. 由于2200lim 02x y x y →→+=,00lim 00x y →→=,所以,2200lim0x y x y x y→→=+.因此,2200lim0;x y xy x y→→=+(8)令22r x y =+,则22223222300000sin sin 1cos sin 1limlim lim lim .366()x r r r y x y x yr r r r r r r x y +++→→→→→+-+--====+ 5. 证明下列极限不存在:(1) 00lim ;x y x yx y→→+- (2) 2222200lim .()x y x y x y x y →→+- 证明: (1)当点(,)x y 沿着直线y x =趋于(0,0)时,0()limx y x x yx y →=+=∞-; 当点(,)x y 沿着直线12y x =趋于(0,0)时,001()212lim lim312x x y x x x x y x y x x →→=++==--.因此, 00lim x y x y x y →→+-不存在; (2)当点(,)x y 沿着x 轴(0y =)趋于(0,0)时,22222200(0)0lim lim 0()x x y x y x y x y x →→===+-; 当点(,)x y 沿着直线y x =趋于(0,0)时, 224222400()lim lim 1()x x y x x y x x y x y x →→===+-.因此,2222200lim ()x y x y x y x y →→+-不存在; 6. 讨论下列函数的连续性:(1) 222(,)2y xf x y y x+=-; (2) 22(,)ln().f x y xy x y =+解 (1) 由于函数222(,)2y xf x y y x+=- 是一个二元初等函数,在抛物线22y x =上没有定义,所以该函数在抛物线22y x =上的每一点都是不连续的. (2) 由于函数22(,)ln()f x y xy x y =+是一个二元初等函数,在原点(0,0)处没有定义,所以该函数在(0,0)不连续的. 习题8.2 1. 求下列函数的偏导数:(1) 33z x y xy =+ ; (2) 22x y z xy+=; (3) ln()z xy =;(4) 2sin()cos ()z xy xy =+ ; (5) 22x z x y =+; (6) ln tanx z y=; (7) ()z x u y= ; (8) arctan()zu x y =-; (9) yz u x =.解 (1)23323,3.z zx y y x y xy x y∂∂=+=+∂∂ (2) 2222322222222()()21,()z x xy x y y x y x y y x y y x xy x y x y y x∂-+---====-∂2223222222222()()21.()z y xy x y x xy x xy y x x y xy x y xy x y∂-+---====-∂ (3)11[ln()],2ln()2ln()2ln()x z y xy x xy xy xy x xy ∂'===∂ 11[ln()].2ln()2ln()2ln()y z x xy y xy xy xy y xy ∂'===∂(4)cos()2cos()(sin()[cos()sin(2)],zy xy xy xy y y xy xy x∂=+-=-∂ cos()2cos()(sin()[cos()sin(2)].zx xy xy xy x x xy xy y∂=+-=-∂ (5) 222222222322,()xx y xx y z y xx y x y +-+∂==∂++ 2232231(2).2()()z x y xyx x y x y ∂=-=-∂++(6)21122sec ()csc ,tan sin cosz x x xx x x x y x y y y y y y y ∂∂===∂∂222122sec ()csc .tan sin cosz x x x x x x x x y y x y y y y y y y∂∂==-=-∂∂(7)1111()()()()(),z z z u x x x z xz z x y x y y y y y ---∂∂===∂∂ 11122()()()()(),z z z u x x x x xz xz z y y x y y y y y ---∂∂==-=-∂∂ ()ln .z u x x z y y∂=∂ (8) 112221()1()(),1()1()1()z z z z z zu x y z x y z x y x x y x x y x y --∂∂--==⋅-=∂+-∂+-+- 112221()1()(),1()1()1()z z z z z zu x y z x y z x y y x y y x y x y --∂∂--==-⋅-=-∂+-∂+-+- 2221()1()1()ln()()ln().1()1()zz zzz zu x y z x y zx y x y x y x y x y x y ∂∂-=∂+-∂--=⋅--=+-+-(9) 121,ln ,ln .y y y z zz u y u y u y y x x x x z y z z z z z-∂∂∂===-∂∂∂2. 设2lT gπ=,试证:0T T l g l g ∂∂+=∂∂. 证明:()1112,2l T g l l g l l glg gπππ∂∂===∂∂ 2()112(),2l T l lg g g g g gl lg gπππ∂∂==-=-∂∂ ()0.T T l l lg l g g gπ∂∂∴+=-=∂∂3. 设11()x yz e-+=,试证:222z z xy z x y∂∂+=∂∂. 证明:1111()()211[()]1,x yx y zx ye e xx x-+-+∂-+∂==∂∂1111()()211[()]1,x yx y zx ye e yy y-+-+∂-+∂==∂∂111111()()()2222.x y x y x y z z x y e e e z x y-+-+-+∂∂∴+=+==∂∂4. 设(,)(1)arcsinxf x y x y y =+-,求(,1)x f x '. 解1111(,)1(1)1(0),2()12x y f x y y y y x x x y x y y-'=+-⋅⋅=+>--(,1) 1.x f x '∴=5. 求下列函数的二阶偏导数:(1) 44224z x y x y =+- ; (2) arctany z x=; (3) x z y =;解 (1)3248,z x xy x ∂=-∂3248.z y x y y∂=-∂ 2222128,z x y x ∂=-∂2216,z z xy x y y x ∂∂==-∂∂∂∂2222128.z y x y∂=-∂ (2)222222211()(),11xzy y yy y xx x x y x x ∂'==-=-∂+++ 222222111()(),11yz y xy y yx x x y x x∂'==⋅=∂+++ 2222222222,()()z y xyx x x y x y ∂=⋅=∂++ 2222222222222,()()z z x y y y y x x y y x x y x y ∂∂+-⋅-==-=∂∂∂∂++ 2222222222()()z x xyy y x y x y ∂=-⋅=-⋅∂++ (3)ln ,x z y y x ∂=∂1,x zxy y-∂=∂ 222[ln ](ln ),x x z y y y y x x∂∂==∂∂22111[ln ]ln (ln 1),x x x x z z y y xy y y y x y x y y x y y --∂∂∂===+⋅=+∂∂∂∂∂ 2122[](1).x x z xy x x y y y--∂∂==-∂∂ 6. 设ln()z x xy =,求32z x y ∂∂∂和32zx y∂∂∂. 解1ln()ln()1,z xy x y xy x xy∂=+⋅⋅=+∂ 2211[ln()1],z xy y x x xy x ∂∂=+=⋅=∂∂ 321()0;z x y y x∂∂∴==∂∂∂211[ln()1],z xy x x y y xy y ∂∂=+=⋅=∂∂∂ 32211().z x y y y y∂∂∴==-∂∂∂ 7. 验证:(1) ln()xyz e e =+满足222222()0z z z x y y x∂∂∂⋅-=∂∂∂∂;(2) arctan x u z y =满足2222220u u ux y z∂∂∂++=∂∂∂.证明:(1),x x y z e x e e ∂=∂+y x yz e y e e ∂=∂+, 2222()[],()()x x x y x x x yx y x y x y z e e e e e e e x x e e e e e e +∂∂+-⋅===∂∂+++ 222[],()x x yx y x y z z e e x y y x y e e e e +∂∂∂===-∂∂∂∂∂++ 2222()[],()()y y x y y y x yx y x y x y z e e e e e e e y y e e e e e e +∂∂+-⋅===∂∂+++ 2222222222()[]0.()()()x y x y x y x y x y x y z z z e e e x y y x e e e e e e +++∂∂∂∴⋅-=⋅--=∂∂∂∂+++ (2)222211,1u yzz x xy x y y∂=⋅=∂++ 222221(),1u x xz z x yy x y y∂=⋅-=-∂++arctan u xz y ∂=∂, 22222222[],()u yz xyzx x x y x y ∂∂==-∂∂++ 22222222[],()u xz xyzy x x y x y ∂∂=-=∂∂++ 22[arctan ]0,u xz z y∂∂==∂∂2222222222222200.()()u u u xyz xyz x y z x y x y ∂∂∂∴++=-++=∂∂∂++ 习题 8.31. 求下列函数的全微分:(1) xz xy y=+; (2) yx z e =; (3) 22y z x y=+;(4) sin(cos )z x y =; (5) yzu x =; (6) 222u x y z =++.解 (1)因为21,,z z xy z x x y y y∂∂=+==-∂∂所以 21dz ()d ()d xy x x y y y=++-. (2) 因为21(),()y y y yx x x x z y y z y e e e e x x x x y y x x∂∂∂∂==-==∂∂∂∂,所以2211dz d d (d d )y y yx x xy e x e y e y x x y x x x=-+=--.(3) 因为222232231(),2()()z y xyx y x x x y x y ∂∂-=-⋅⋅+=∂∂++222222222322()yx y yx y zx yx y x y +-+∂==∂++, 所以223d (d d )()x z y x x y x y =--+.(3) 因为cos(cos )(cos )cos cos(cos ),z x y x y y x y x x∂∂==∂∂ cos(cos )(cos )sin cos(cos ),z x y x y x y x y y y∂∂==-∂∂ 所以dz cos cos(cos )d sin cos(cos )d cos(cos )[cos d sin d ].y x y x x y x y yx y y x x y y =-=-(5) 因为1,ln(),ln(),yz yz yz u u u yzx zx yz yx yz x y z-∂∂∂===∂∂∂所以1dz d ln()d ln()d .yz yz yz yzx x zx yz y yx yz z -=++ (6) 因为222222222,,,u x u y u z x y z x y z x y z x y z∂∂∂===∂∂∂++++++所以222d d d dz .x x y y z z x y z++=++2. 求函数22ln(1)z x y =++当1,2x y ==时的全微分. 解 因为22222212(1),11z x x y x x y x x y ∂∂=⋅++=∂++∂++ 22222212(1),11z y x y y x y y x y∂∂=⋅++=∂++∂++ 从而1122211222,,11431143x x y y z zxy====∂⨯∂⨯====∂++∂++所以12dz d d .33x y =+ 3. 设(,,),zxf x y z y=求d (1,1,1)f . 解 因为11111111111,zzz zu x x x x y x x z y x y z y y yz y x xz y --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂⎛⎫==⋅== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11111122111,zzz zu x x x x x x y x y z y y y z y y y z y x yz y --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂⎛⎫==⋅-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 11211ln ln(),zzu x x x xz y y z z z y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 从而1111111111,1,0,x x x y y y z z z u u u xyz=========∂∂∂==-=∂∂∂所以d (1,1,1)d d 0d .f x y z =-+4.求函数xyz e =当1,1,0.15,0.1x y x y ==∆=∆=时的全微分.解 因为,xy z ye x ∂=∂,xy z xe y ∂=∂从而1111x x y y z z e xy====∂∂==∂∂,所以dz 0.25.e x e y e =∆+∆= 5. 计算 1.05(1.97)的近似值.( ln 20.693.≈)解 设函数(,).yf x y x =显然,要计算的值就是函数在 1.97,0.05x y ==时的函数值(1.97,1.05)f .取2,1,0.03,0.05.x y x y ==∆=-∆=由于(2,1)2f =,且1(,),(,)ln ,y y x y f x y yx f x y x x -''== (2,1)1,(2,1)2ln 2,x y f f ''==所以,利用公式(8.9)得1.05(1.97)21(0.03)2ln 20.0520.0320.6930.05 2.039.≈+⨯-+⨯≈-+⨯⨯≈6. 计算33(1.02)(1.97)+的近似值.解 设函数33(,).f x y x y =+显然,要计算的值就是函数在 1.02, 1.97x y ==时的函数值(1.02,1.97)f .取1,2,0.02,0.03.x y x y ==∆=∆=-由于(1,2)3f =,且22333333(,),(,),22x y x y f x y f x y x yx y''==++1(1,2),(1,2)2,2x y f f ''==所以,利用公式(8.9)得331(1.02)(1.97)30.022(0.03) 2.95.2+≈+⨯+⨯-=7. 设y z x =,而2,1t tx e y e ==-，求d d z t. 解 直接利用链式法则,得d d d d d d z z x z yt x t y t∂∂=+∂∂222221(2)(2)(12)().t t tt t t t t t y e e e y xe x x xe e e e e --=-+-=-+=--+=-+ 8. 设2x yz e-=,而3sin ,x t y t ==，求d d z t. 解 直接利用链式法则,得d d d d d d z z x z yt x t y t∂∂=+∂∂ 322222sin 22cos (2)3(cos 6)(cos 6).x y x y x yt t e t e t et t et t ----=⋅+-⋅=-=-9. 设arctan()z xy =,而xy e =，求d d z x. 解 直接利用链式法则,得d d d d z z z y t x y x∂∂=+∂∂ 22222222222211d ()()11d (1).1111xxxxyxy xy x y x x y y x y x y xe x e e x y x y x y x e∂∂=⋅+⋅⋅+∂+∂++=+⋅==++++10. 设2ln z u v =,而,32xu v x y y==-，求,z z x y ∂∂∂∂.解 直接利用链式法则,得2112ln 3z z u z v u v u x u x v x y v∂∂∂∂∂=+=⋅+⋅∂∂∂∂∂ 2222233ln(32)[2ln(32)](32)32x x x x x y x y y y x y y x y=-+=-+--, z z u z v y u y v y ∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂2212ln ()(2)x u v u y v=⋅-+⋅- 222323222ln(32)[ln(32)].(32)32x x x y x y x y y y x y y x y=---=--+--11. 设2(2)x yz x y +=+，求,z zx y∂∂∂∂. 解 令2,2,u x y v x y =+=+则.vz u =利用链式法则,得1(2)ln (2)v v z z u z v vu x y u u x y x u x v x x x-∂∂∂∂∂∂∂=+=+++∂∂∂∂∂∂∂ 11222ln 2(ln )2(2)[1ln(2)],v v v x y vu u u u v u u x y x y --+=+=+=+++z z u z v y u y v y ∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂1(2)ln (2)v v vu x y u u x y y y-∂∂=+++∂∂ 112ln (ln )(2)[1ln(2)].v v v x y vu u u u v u u x y x y --+=+=+=+++12. 设arctanxz y=,而,x u v y u v =+=-，求证:22z z u v u v u v ∂∂-+=∂∂+. 证明: 利用链式法则,得22222221111()1,11z z x z yx y xx x u x u y uy y x y y y∂∂∂∂∂-=+=⋅⋅+⋅-⋅=∂∂∂∂∂+++ 22222221111()(1),11z z x z yx y xx x v x v y vy y x y y y∂∂∂∂∂+=+=⋅⋅+⋅-⋅-=∂∂∂∂∂+++ 所以22222222().()()z z y u v u vu v x y u v u v u v ∂∂--+===∂∂+++-+ 13. 求下列函数的一阶偏导数(其中f 具有一阶连续偏导数):(1) 22(,)u f x y xy =-; (2) (,)x y u f y z=; (3) (,,)u f x xy xyz =.解 (1)令22,,u x y v xy =-=则(,).z f u v =利用链式法则,得1222,z f u f v f f x y xf yf x u x v x u v∂∂∂∂∂∂∂''=+=+=+∂∂∂∂∂∂∂ 1222.z f u f v f f y x yf xf y u y v y u v∂∂∂∂∂∂∂''=+=-+=-+∂∂∂∂∂∂∂ (2) 令,,x yv w y z==则(,).u f v w =利用链式法则,得1110,u f v f w f f f x v x w x y v w y∂∂∂∂∂∂∂'=+=+⋅=∂∂∂∂∂∂∂122211,u f v f w x f f x f f y v y w y y v z w y z ∂∂∂∂∂∂∂''=+=-+=-+∂∂∂∂∂∂∂ 2220.u f v f w f y f y f z v z w z v z w z∂∂∂∂∂∂∂'=+=⋅-=-∂∂∂∂∂∂∂ (3) 令,,v xy w xyz ==则(,,).u f x v w =利用链式法则,得123,u f f v f w f f f y yz f yf yzf x x v x w x x v w∂∂∂∂∂∂∂∂∂'''=++=++=++∂∂∂∂∂∂∂∂∂ 23,u f v f w f f x xz xf xzf y v y w y v w ∂∂∂∂∂∂∂''=+=+=+∂∂∂∂∂∂∂ 30.u f v f w f f xy xyf z v z w z v w∂∂∂∂∂∂∂'=+=⋅+=∂∂∂∂∂∂∂ 14.设222(,)u f x y z x y z =++++, 其中f 具有二阶连续偏导数,求222222u u uu x y z∂∂∂∆=++∂∂∂.解 令222,,v x y z w x y z =++=++则(,).z f v w =利用链式法则,得1222,u f v f w f fx f xf x v x w x v w∂∂∂∂∂∂∂''=+=+=+∂∂∂∂∂∂∂ 1222,u f v f w f f y f yf y v y w y v w ∂∂∂∂∂∂∂''=+=+=+∂∂∂∂∂∂∂ 1222.u f v f w f f z f zf z v z w z v w∂∂∂∂∂∂∂''=+=+=+∂∂∂∂∂∂∂ 21122122211222221112221221112222(2)22()222(2)2224424,f f f f u v w v w f xf f x x x v x w x v x w xf f f f x f x x v w v w f xf f xf x f f xf f x f ''''∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂'''=+=++++∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂''''∂∂∂∂'=++++∂∂∂∂''''''''''''''''=++++=+++ 同理,221211122222(2)424,u f yf f yf f y f y y∂∂'''''''''=+=+++∂∂ 221211122222(2)424.u f zf f zf f z f z z∂∂'''''''''=+=+++∂∂ 因此,222222u u u u x y z∂∂∂∆=++∂∂∂222111222234()64().f x y z f f x y z f '''''''=+++++++ 15.求下列函数的二阶偏导数22222,,z z zx x y y∂∂∂∂∂∂∂ (其中f 具有二阶连续偏导数):(1) (,)z f xy y = ; (2) 2(,)y z f x y x=. 解 (1) 令u xy =则(,).z f u y =利用链式法则,得1,z f u f y yf x u x u∂∂∂∂'===∂∂∂∂ 12,z f u f f f x xf f y u y y u y∂∂∂∂∂∂''=+=+=+∂∂∂∂∂∂ 222111111112()(),f f z u yf f y f y f y f x x u x w''∂∂∂∂∂''''''==+=+=+∂∂∂∂∂ 2111111112()(),f f z u yf f y f xyf yf x y y u y y ''∂∂∂∂∂'''''''==++=++∂∂∂∂∂∂ 2112212221122111222()()()2.f f f f z u u xf f x y y u x y u y yf f f f x x x x f xf f u y u y''''∂∂∂∂∂∂∂∂''=+=+++∂∂∂∂∂∂∂∂''''∂∂∂∂''''''=+++=++∂∂∂∂(2) 令2,,yu v x y x==则(,).z f u v =利用链式法则,得122222,z f u f v y f f y xy f xyf x u x v x x u v x∂∂∂∂∂∂∂''=+=-+=-+∂∂∂∂∂∂∂ 221211,z f u f v f f x f x f y u y v y x u v x ∂∂∂∂∂∂∂''=+=+=+∂∂∂∂∂∂∂ 21222(2)z yf xyf x x x∂∂''=-+∂∂ 112212322()22()f f f f y y u vu v f yf xy x x u x v x u x v x''''∂∂∂∂∂∂∂∂''=-++++∂∂∂∂∂∂∂∂ 11221232222(2)22(2)f f f f y y y y f xy yf xy xy x x x u v x u v''''∂∂∂∂''=--+++-+∂∂∂∂ 222211112222342424,y y y f f f yf x y f x x x''''''''=+-++ 2122(2)z yf xyf x y y x∂∂''=-+∂∂∂112212221()22()f f f f y u vu v f xf xy x x u y v y u y v y''''∂∂∂∂∂∂∂∂''=--++++∂∂∂∂∂∂∂∂ 2211221222111()22()f f f f y f x xf xy x x x x u v x u v ''''∂∂∂∂''=--++++∂∂∂∂ 31111222223122,yf f yf xf x yf x x''''''''=--+++ 221221()z f x f y y x∂∂''=+∂∂ 211221()()f f f f u vu v x x u y v y u y v y ''''∂∂∂∂∂∂∂∂=+++∂∂∂∂∂∂∂∂ 2221122111()()f f f f x x x x x u v x u v ''''∂∂∂∂=+++∂∂∂∂ 4111222212.f xf x yf x''''''=++ 16.设()()u x x y y x y ϕφ=+++, 其中,ϕφ具有二阶连续导数,求证2222220u u ux x y y ∂∂∂-+=∂∂∂∂. 证明: 令,v x y =+则(,,)()()u f x y v x v y v ϕφ==+.利用链式法则,得()()(),u f f vv x v y v x x v xϕϕφ∂∂∂∂''=+=++∂∂∂∂ ()()(),u f f v v x v y v y y v yφϕφ∂∂∂∂''=+=++∂∂∂∂ 22[()()()]2()()(),u v x v y v v x v y v x xϕϕφϕϕφ∂∂'''''''=++=++∂∂ 2[()()()]()()()(),u v x v y v v x v v y v x y yϕϕφϕϕφφ∂∂''''''''=++=+++∂∂∂ 22[()()()]2()()(),u v x v y v v x v y v y yφϕφφϕφ∂∂'''''''=++=++∂∂ 所以2222222()()()u u uv x v y v x x y y ϕϕφ∂∂∂'''''-+=++∂∂∂∂ 2[()()()()]2()()()0v x v v y v v x v y v ϕϕφφφϕφ'''''''''''+++++++=.17. 设22lnarctany x y x +=，求d d y x. 解 设方程22ln arctan y x y x+=所确定的隐函数()y y x =,则方程两边同时对x 求导,并利用链式法则,得22222d d 2211d d ,21y y x yxyx x y x yx x+-⋅=⋅++ 故有d d ,d d y yx yx y x x+=- d d y x y x x y+=-. 18. 设220x y z xyz ++-=,求,z z x y∂∂∂∂. 解 设由方程220x y z xyz ++-=所确定的隐函数为(,)z z x y =,则方程两端同时对x 求偏导数,得10,zyz xyz x xxyz∂+∂∂+-=∂即10,yz z xy zx xxyz xyz ∂∂-+-=∂∂ 于是,1,1yz xyz yz xyz z xy x xyz xyxyz--∂==∂-- 方程两端同时对y 求偏导数,得20,z xz xyz yyxyz∂+∂∂+-=∂即20,xz z xy zy y xyz xyz∂∂-+-=∂∂22.1yz xyzxyz yz z xyyxy xyzxyz--∂==∂--19. 设2sin(23)23x y z x y z +-=+-,求证:1z z x y∂∂+=∂∂. 证明 设由方程2sin(23)23x y z x y z +-=+-所确定的隐函数为(,)z z x y =,则方程两端同时对x 求偏导数,得2cos(23)(13)13z z x y z x x∂∂+--=-∂∂, 即[2cos(23)1](13)0zx y z x∂+---=∂, 从而13z x ∂=∂或1cos(23)2x y z +-=. 而由1cos(23)2x y z +-=可得到13z x ∂=∂.因此, 13z x ∂=∂. 同理, 方程两端同时对y 求偏导数,得23z y ∂=∂.所以, 1z zx y∂∂+=∂∂. 20. 设222()z x y z yf y++=,其中f 可导,求,z zx y∂∂∂∂. 解 设由方程222()z x y z yf y++=所确定的隐函数为(,)z z x y =.记zu y=,则方程两端同时对x 求偏导数,得122()()z z z x zyf u f u x y x x∂∂∂''+=⋅⋅=⋅∂∂∂ 于是,2()2z xx f u z∂='∂-. 方程两端同时对y 求偏导数,得222()()()()()()z yzz z z yy z f u yf u f u f u y y y y∂-∂∂∂''+=+⋅=+-∂∂,22()()2()().()2[()2]zy f u f u z y yf u zf u yyf u z y f u z '-+'∂-+==''∂--21.设(,)u v Φ具有连续偏导数,证明由方程(,)0cx az cy bz Φ--=确定的隐函数(,)z f x y =满足.z zab c x y∂∂+=∂∂ 证明 设,u cx az v cy bz =-=-,方程(,)0cx az cy bz Φ--=两端同时对x 求偏导数,得0u vu x v x∂Φ∂∂Φ∂+=∂∂∂∂,即()()0z z c a b u x v x∂Φ∂∂Φ∂-+-=∂∂∂∂, 于是,czux a b u v∂Φ∂∂=∂Φ∂Φ∂+∂∂. 方程两端同时对y 求偏导数,得0u vu y v y∂Φ∂∂Φ∂+=∂∂∂∂,即()()0z z a c b u y v y∂Φ∂∂Φ∂-+-=∂∂∂∂, 于是,czvx a b u v∂Φ∂∂=∂Φ∂Φ∂+∂∂. 因此().acbc c a b z z z u v u v a b c x y x a b a b a bu v u v u v∂Φ∂Φ∂Φ∂Φ+∂∂∂∂∂∂∂+==+==∂Φ∂Φ∂Φ∂Φ∂Φ∂Φ∂∂∂+++∂∂∂∂∂∂22.由方程222(,)0F x y z x y z ++++=所确定的隐函数为(,)z f x y =,求,z z x y∂∂∂∂. 解 设222,u x y z v x y z =++=++,方程222(,)0F x y z x y z ++++=两端同时对x 求偏导数,得0F u F vu x v x∂∂∂∂+=∂∂∂∂,即(1)(22)0F z F z x z u x v x∂∂∂∂+++=∂∂∂∂, 于是,22F Fxz uv F F x z u v∂∂+∂∂∂=-∂∂∂+∂∂. 方程两端同时对y 求偏导数,得0F u F v u y v y∂∂∂∂+=∂∂∂∂,即(1)(22)0F z F z y z u y v y∂∂∂∂+++=∂∂∂∂, 于是,22F Fyz uv F F y z u v∂∂+∂∂∂=-∂∂∂+∂∂. 23.设0ze xyz -=,求22zx∂∂.解 设由方程0ze xyz -=所确定的隐函数为(,)z z x y =,则方程两端同时对x 求偏导数,得0,zz ze yz xy x x∂∂--=∂∂ 于是,z z yz x e xy∂=∂-. 对x 再一次求偏导数,得222222232233()()()()()()()()()()()[()]22.()()z z z z z z z z z z z z z z z z zz z z ye xy yz e xy z yz x x x x e xy e xy yz yz z z y e xy yz e y y e xy yz e y e xy e xy x x e xy e xy y z e xy yz e yz y e xy y ze xy z y z e e xy e xy ∂∂---∂∂∂∂==∂∂--∂∂--------∂∂==--------==-- 24. 设320z xz y -+=,求2222,z zx y∂∂∂∂.解 设由方程320z xz y -+=所确定的隐函数为(,)z z x y =,则方程两端同时对x 求偏导数,得23220z zz z x x x∂∂--=∂∂ 于是,2232z z x z x∂=∂-. 对x 再一次求偏导数,得22222222222222222232(32)2(32)2()32(32)2(32)2(62)42(32)(32)(32)242(32)1632.(32)(32)z z x z z x z z x x x x z x z x z z zz x z z z z x x x x z x z x zz z x xz z x z x z x ∂∂---∂∂∂∂==∂∂--∂∂∂----+∂∂∂==---+⋅-==--- 方程两端同时对y 求偏导数,得23210z zz x y y∂∂-+=∂∂ 于是,2132z y z x∂=-∂-. 对y 再一次求偏导数,得2222222222223(32)1()32(32)166()632.(32)(32)(32)z x z yy y z x z x z z z z y z x z x z x z x ∂-∂∂∂=-=∂∂--∂-∂-===----习题 8.41. 求曲线sin ,1cos ,4sin2t x t t y t z =-=-=在点(1,1,22)2π-处的切线与法平面方程. 解 因为1cos ,sin ,2cos 2t t t t x t y t z '''=-==,而点(1,1,22)2π-所对应的参数2t π=,所以001,1,2x y z '''===. 于是,得切线的方程为(1)1222112x y z π----==.法平面的方程为[(1)](1)2(22)02x y z π--+-+-=, 即 2 4.2x y z π++=+2. 求曲线21,,1t t x y z t t t+===+在对应于1t =的点处的切线与法平面方程. 解 因为222211(1)1,,2(1)(1)t t t t t t t x y z t t t t t+--+'''====-=++,而曲线对应于1t =的点为1(,2,1)2.由0001,1,24x y z '''==-=得切线的方程为 12121124x y z ---==-, 或1212148x y z ---==-. 法平面的方程为11()(2)2(1)042x y z ---+-=, 即 2816 1.x y z -+=3. 求曲线222,y mx z m x ==-在点000(,,)x y z 处的切线与法平面方程.解 因为22,21x x yy m zz ''==-,所以1,2x xm y z y z''==-.而曲线在点000(,,)x y z , 001,2x xm y z y z ''==- 得切线的方程为00000112x x y y z z m y z ---==-.法平面的方程为000001()()()02m x x y y z z y z -+---=. 4. 求出曲线23,,x t y t z t ===上的点,使在该点的切线平行于平面2 4.x y z ++= 解 因为21,2,3t t t x y t z t '''===,所以,曲线23,,x t y t z t ===上的点的切线的方向向量为2(1,2,3)t t =s .又因为切线平行于平面24x y z ++=,而该平面的法向量为(1,2,1)=n .所以21(1,2,3)201t t ⎛⎫⎪⋅== ⎪ ⎪⎝⎭s n ,即21430t t ++=,解得1211,3t t =-=-. 将1211,3t t =-=-代入曲线方程得 1(1,1,1)P --和2111(,,)3927P --. 5. 求曲面3ze z xy -+=在点(2,1,0)处的切平面与法线方程. 解 因为(,,)3zF x y z e z xy =-+-,(,,),(,,),(,,)1,z x y z F x y z y F x y z x F x y z e '''===- (2,1,0)1,(2,1,0)2,(2,1,0)0x y z F F F '''===,所以,在点(1,2,3)的切平面方程为(2)2(1)0,x y -+-=即240.x y +-=法线方程为21,120x y z--== 即21,120.x y z --⎧=⎪⎨⎪=⎩6. 求曲面2221ax by cz ++=在点000(,,)x y z 处的切平面与法线方程. 解 因为222(,,)1F x y z ax by cz =++-,(,,)2,(,,)2,(,,)2,x y z F x y z ax F x y z by F x y z cz '''=== 000000(,,)2,(,,)2,(,,)2x y z F x y z ax F x y z by F x y z cz '''===,所以,在点000(,,)x y z 的切平面方程为0000002()2()2()0,ax x x by y y cz z z -+-+-=即000 1.ax x by y cz z ++=法线方程为000000.x x y y z z ax by cz ---== 7. 求椭球面22221x y z ++=上平行于平面20x y z -+=的切平面方程. 解 因为222(,,)21F x y z x y z =++-,(,,)2,(,,)4,(,,)2,x y z F x y z x F x y z y F x y z z '''===000000(,,)2,(,,)4,(,,)2x y z F x y z x F x y z y F x y z z '''===,所以,在点000(,,)x y z 的切平面方程的方程为0002 1.x x y y z z ++=它的法向量为000(,2,)x y z =0n .又因为切平面平行于平面20x y z -+=,0000(,2,)x y z =n 与已知平面的法向量(1,1,2)-平行,所以有0002112x y z ==-, 解方程组0002220002,1122 1.x y z x y z ⎧==⎪-⎨⎪++=⎩得000212,,2112211x y z =±==±,代入切平面方程得 212221112211x y z ±±=, 即1122x y z -+=±为所求的切平面方程.8. 在曲面z xy =上求一点,使这点处的法线垂直于平面390x y z +++=,并写出这法线的方程.解 因为,,x y z xy z y z x ''===,所以在点000(,,)x y z 的法线方程的方程为000001x x y y z z y x ---==- 它的方向向量为000(,,1)y x =-s .又因为法线与平面390x y z +++=垂直, 000(,,1)y x =-s 与已知平面的法向量(1,3,1)平行,所以有001131y x -==, 得003,1x y =-=-,将它们代入曲面z xy =得03z =.于是,所求的曲线上的点为(3,1,3)--. 再0003,1,3x y z =-=-=代入法线方程,得133311x y z ++-==---, 即133311x y z ++-== 为所求的法线方程.9. 求旋转椭球面222316x y z ++=上点(1,2,3)--处的切平面与xOy 面的夹角的余弦. 解 因为222(,,)316F x y z x y z =++-,(,,)6,(,,)2,(,,)2,x y z F x y z x F x y z y F x y z z '''=== (1,2,3)6,(1,2,3)4,(,,)6x y z F F F x y z '''--=---=-=,所以,在点(1,2,3)--的切平面的法向量为0(6,4,6)=--n .切平面与xOy 面的夹角的余弦为63cos .36163622γ==++习题 8.51. 求函数 22z x y =+在点(1,2)处沿从点(1,2)到点(2,23)+的方向的方向导数. 解 因为2,2z zx y x y∂∂==∂∂, 所以,11222,4x x y y z z xy====∂∂==∂∂.又因为从点(1,2)到点(2,23)+的方向数为(1,3),方向余弦为1133cos ,sin 221313αα====++.所以,132cos 4sin 2412 3.22f l αα∂=+=⨯+⨯=+∂ 2. 求函数u xyz =在点(5,1,2)处沿从点(5,1,2)到点(9,4,14)的方向的方向导数. 解 因为,,u u uyz xz xy x y z∂∂∂===∂∂∂, 所以,在点(5,1,2)处,2,10,5u u u x y z∂∂∂===∂∂∂. 又因为从点(5,1,2)到点(9,4,14)的方向数为(4,3,12),方向余弦为4312cos ,cos ,cos 131313αβγ===. 所以,4312982cos 10cos 5cos 2105.13131313f l αβγ∂=++=⨯+⨯+⨯=∂ 3. 求函数22221x y z a b ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在点(,)22a b处沿曲线22221x y a b +=在这点的内法线方向的方向导数.解 因为2222,z x z y x a y b∂∂-=-=∂∂, 所以,在点(,)22a b处22,z z x a y b∂∂=-=-∂∂. 又因为点(,)22a b处,曲线22221x y a b +=的内法线方向的方向数为 22222222(,)(,)a ba b a b ⋅--=--,方向余弦为2222222222cos ,sin 2222b a aba ba ba b a b αα--==-==-++++.所以,222222222222()()()()2()22.f b a l a b a b a b a b b a aba ab b a b ∂=-⋅-+-⋅-∂+++=+=++4. 设222(,,)23326f x y z x y z xy x y z =++++--,求grad (0,0,0)f 及grad (1,1,1)f . 解 因为23,42,66,f f fx y y x z x y z∂∂∂=++=+-=-∂∂∂ 在点(0,0,0)处3,2,6,f f fx y z∂∂∂==-=-∂∂∂ 所以grad (0,0,0)326f =-+i j k .在点(1,1,1)处6,3,0,f f fx y z∂∂∂===∂∂∂ 所以grad (1,1,1)63f =-i j .5. 设,u v 都是,,x y z 的函数, ,u v 的偏导数都存在且连续,证明: (1) grad()grad grad ;u v u v +=+ (2) grad()grad grad ;uv v u u v =+ (3) 2g r a d ()2g r a d .u u u = 证明 (1) grad()u v +()()()u v u v u v x y z∂+∂+∂+=++∂∂∂i j k()()()u v u v u v x x y y z z∂∂∂∂∂∂=+++++∂∂∂∂∂∂i j k ()()u u u v v v x y z x y z ∂∂∂∂∂∂=+++++∂∂∂∂∂∂i j k i j k grad grad ;u v =+ (2) grad()uv ()()()uv uv uv x y z∂∂∂=++∂∂∂i j k ()()()u v u v u vvu v u v u x x y y z z∂∂∂∂∂∂=+++++∂∂∂∂∂∂i j k ()()u u u v v v v u x y z x y z∂∂∂∂∂∂=+++++∂∂∂∂∂∂i j k i j k grad grad ;v u u v =+ (3) 2grad()u 222()()()u u u x y z∂∂∂=++∂∂∂i j k 222u u u u uu x y z ∂∂∂=++∂∂∂i j k 2()u u uu x y z∂∂∂=++∂∂∂i j k 2grad .u u = 习题 8.61. 求下列函数的极值:(1) 33(,)3f x y x y xy =--; (2) 22(,)4()f x y x y x y =---; (3)22(,)(6)(4)f x y x x y y =--; (4) 22(,)(2)x f x y e x y y =++. 解 (1) 先解方程组22(,)330,(,)330,x yf x y x y f x y y x '⎧=-=⎪⎨'=--=⎪⎩ 求得驻点(0,0),(1,1).-再求出二阶导数:(,)6,(,)3,(,)6.xxxy yy A f x y x B f x y C f x y y ''''''====-==- 在点(0,0)处, 29090,B AC -=-=>所以函数在(0,0)处没有极值;在点(1,1)-处, 29(6)(6)0,B AC -=--⨯-<又60A =-<,所以函数在(1,1)-处有极大值(1,1) 1.f -= (2) 先解方程组。