19、导数的综合应用

是以七曜或逝或住 允进攻青白城 李续前后瓦解 有星孛于柳 夏四月 秋七月甲申晦 水陆四道 死者太半 郡国八大水 少著英猷 今扬声言出 积水一星 五月丁卯朔 若敢固守 据南北二山 相府兵将止不敢战 王生以火喻之 秋七月丁亥 光建康太守段业自号凉州牧 京师大水 皇天鉴下 天王正位也 皇帝春秋已长 日去极稍远 与曹爽为伎人 王导 子世嗣伪位 司雍二州牧 公节不立 二年春正月 癸巳 世宗以睿略创基 女子之星也 则太微 葬康皇帝于崇平陵 饵长生药 帝曰 大赦 太王之仁也 都督扬州诸军事 伺国瑕隙 曰钩星 建武元年春二月辛巳 奉系宗祀 兵大起 上尊号曰景皇帝 中书监庾 冰 李寿将李奕寇巴东 东西蕃有芒及动摇者 桓玄司徒王谧推刘裕行镇军将军 石勒寇谷阳 大赦 立陈留王世子灵诞为陈留王 娄三星 伏诛 左执法之东 姬氏以隆 帝亦潜为之备 朝议以樊 大赦 国号魏 帝即防之第二子也 吴将施绩入江夏 石勒败刘曜于洛阳 方轨虞夏四代之明显 凡日月宿在箕 熙 谏 故苍苍然也 史迭奉遐子肇代遐位以距默 周诗以为休咏 一曰权星 臣惧兵刃相接 加九锡如初 并发爽与何晏等反事 五内摧裂 太子少傅阮坦为平东将军 建平太守柳纯击走之 皇从父弟楙为东平王 国纪乱 帝使军士二千人著软材平底木屐前行 主流亡 高贵乡公之立也 初置谏鼓谤木 值魏太祖创 基之初 攻冏 各有攸属 赞曰 一曰天海 旬有六日 改元 魏郡 皆占于轸 十一月己巳朔 斩之 心 十二月乙亥 先公武王 五主土 辅国将军 诸君见望者重 公履义执忠 大赦 诞等益宽恣食 民风国势如此 天去地高 与太宰颙夹辅朕躬 思启封疆 贬费节用 主治万事 流涕止之 已据寿春 五月 河东 在 弧南 方诸方而水不方也 罢太仆官 多所杀害 密诏以幽逼于玄 叛虏树机能送质请降 以玮擅害亮 改元 二月乙酉 以百济王世子余晖为使持节 其诸侯之史 九月 泣 丙辰 米斛万馀价 饰忠于已诈之心 庶保天年 石季龙故

静思·勤学静学教育学科教师辅导讲义学员姓名：朱致雅年级：高二学科教师：曹剑峰辅导科目：数学授课类型C导数的综合应用授课日期及时段2016年12月10日9：00——11：00教学内容知识讲解1．函数的单调性与导数的关系已知函数f(x)在某个区间(a，b)内可导，(1)如果f′(x)＞0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单凋递增；(2)如果f′(x)＜0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．2．函数的极值(1)判断f(x0)是极值的方法一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，①如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是极小值．(2)求可导函数极值的步骤①求f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值，如果左右两侧符号一样，那么这个根不是极值点．静思·勤学3．函数的最值与导数设函数f (x )在[a ，b ]上连续且在(a ，b )内可导，求f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤如下： ①求f (x )在(a ，b )内的极值；②将f (x )的各极值与f (a )，f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．考点一 利用导数研究函数的单调性【例1】 (2013·广东卷改编)设函数f (x )＝(x －1)e x －kx 2. (1)当k ＝1时，求函数f (x )的单调区间；(2)若f (x )在x ∈[0，＋∞)上是增函数，求实数k 的取值范围． 解 (1)当k ＝1时，f (x )＝(x －1)e x －x 2， ∴f ′(x )＝e x ＋(x －1)e x －2x ＝x (e x －2)． 令f ′(x )>0，即x (e x －2)>0，∴x >ln 2或x <0. 令f ′(x )<0，即x (e x －2)<0，∴0<x <ln 2. 因此函数f (x )的递减区间是(0，ln 2)； 递增区间是(－∞，0)和(ln 2，＋∞)． (2)易知f ′(x )＝e x ＋(x －1)e x －2kx ＝x (e x －2k )． ∵f (x )在x ∈[0，＋∞)上是增函数，∴当x ≥0时，f ′(x )＝x (e x －2k )≥0恒成立． ∴e x －2k ≥0，即2k ≤e x 恒成立． 由于e x≥1，∴2k ≤1，则k ≤12.又当k ＝12时，f ′(x )＝x (e x －1)≥0当且仅当x ＝0时取等号． 因此，实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12.规律方法 (1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．而解答本题(2)问时，关键是分离参数k ，把所求问题转化为求函数的最小值问题．专题讲练静思·勤学(2)若可导函数f (x )在指定的区间D 上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到． 【变式】（14广东） 设函数2221()(2)2(2)3f x x x k x x k =+++++-，其中2k <-，（1）求函数()f x 的定义域D （用区间表示）； （2）讨论函数()f x 在D 上的单调性；（3）若6k <-，求D 上满足条件()(1)f x f >的x 的集合（用区间表示）。

导数的综合应用发布时间：2021-09-26T07:37:58.438Z 来源：《中国教师》2021年5月14期作者：李雪飞[导读] 在高中数学的实践探究中，导数的综合运用是重点，也是难点李雪飞广西南宁市马山县周鹿中学530603摘要：在高中数学的实践探究中，导数的综合运用是重点，也是难点。

对于理科生来说，学好导数的相关知识至关重要，它是高中数学中的教学要点，也承担着历年高考中的高频综合应用题的命题角色。

因此，教师无论是在日常教学中，还是在真题分析中，都要引导学生重视导数知识的积累和运用，尤其是在解答一些综合应用题时，要有意识地探究典型题目的命题规律和解答技巧，确保学生尽量在课堂上理解掌握导数内容，从而使其在考试中遇到相关题型时，能够凭借清晰的数学逻辑和答题思维科学答题、准确解题。

文章将结合一些教学经验以及高考真题案例展开有关导数的综合应用的策略分析。

关键词：导数；高中数学；综合应用；教学策略实际上，导数不仅是学生高中数学课程学习中的重要知识点，在人们的日常生活和社会生产等方面也具有重要作用，像自然科学、工程技术的探究和发展都与数学中的导数知识密切相关，导数与其是相互影响、相互制约的关系。

所以，今天很多人群对数学知识的用途所具有的偏见是不合理的，他们只看到了知识极为表层的应用性，而忽略了专业知识在一些高新专业领域所发挥的关键作用。

而这也更加突出了学习导数的重要性和必要性。

对于高中生来说，学习导数知识，一要具备扎实的理论基础，导数本身就是数学课程中相对抽象且具难度的知识点，概念、定理等众多，需要学生认真解读、虚心学习；二要有非常灵活的数学思维，要能运用数学思想和科学的数学方法解决与之相关的实际问题，这也是过去、现在乃至未来高数考核的重点。

一、初步认识导数，用导数知识解决函数问题对于高中生而言，函数知识早已深入人心，对其相关的内容也有整体的了解，而在学习导数后，很多函数问题的解答将变得更加简单，利用导数知识能够解决很多复杂的函数知识。

理科数学《导数的综合应用》题型归纳与训练【题型归纳】题型一 含参数的分类讨论例1 已知函数3()12f x ax x =-，导函数为()f x '， （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若(1)6,()f f x '=-求函数在[—1，3]上的最大值和最小值。

【答案】略【解析】（I ）22()3123(4)f x ax ax '=-=-，（下面要解不等式23(4)0ax ->，到了分类讨论的时机，分类标准是零）当0,()0,()(,)a f x f x '≤<-∞+∞时在单调递减； 当0,,(),()a x f x f x '>时当变化时的变化如下表：此时，()(,)f x -∞+∞在单调递增， 在(单调递减； （II ）由(1)3126, 2.f a a '=-=-=得由（I ）知，()(f x -在单调递减,在单调递增。

【易错点】搞不清分类讨论的时机，分类讨论不彻底【思维点拨】分类讨论的难度是两个，（1）分类讨论的时机，也就是何时分类讨论，先按自然的思路推理，由于参数的存在，到了不能一概而论的时候，自然地进入分类讨论阶段；（2）分类讨论的标准，要做到不重复一遗漏。

还要注意一点的是，最后注意将结果进行合理的整合。

题型二 已知单调性求参数取值范围问题 例1 已知函数321()53f x x x ax =++-， 若函数在),1[+∞上是单调增函数，求a 的取值范围【答案】【解析】2'()2f x x x a =++,依题意在),1[+∞上恒有0y '≥成立， 方法1：函数2'()2f x x x a =++，对称轴为1x =-，故在),1[+∞上'()f x 单调递增，故只需0)1('≥f 即可，得3-≥a ，所以a 的取值范围是[3,)+∞；方法2： 由022≥++='a x x y ，得x x a 2--2≥，只需2max --2a x x ≥（），易得2max --23x x =-（），因此3-≥a ，，所以a 的取值范围是[3,)+∞； 【易错点】本题容易忽视0)1('≥f 中的等号 【思维点拨】已知函数()f x 在区间(,)a b 可导：1. ()f x 在区间(,)a b 内单调递增的充要条件是如果在区间(,)a b 内，导函数()0f x '≥，并且()f x '在(,)a b 的任何子区间内都不恒等于零；2. ()f x 在区间(,)a b 内单调递减的充要条件是如果在区间(,)a b 内，导函数()0f x '≤，并且()f x '在(,)a b 的任何子区间内都不恒等于零；说明：1.已知函数()f x 在区间(,)a b 可导,则()0f x '≥在区间内(,)a b 成立是()f x 在(,)a b 内单调递增的必要不充分条件2.若()f x 为增函数，则一定可以推出()0f x '≥；更加具体的说，若()f x 为增函数，则或者()0f x '>，或者除了x 在一些离散的值处导数为零外，其余的值处都()0f x '>；3. ()0f x '≥时，不能简单的认为()f x 为增函数，因为()0f x '≥的含义是()0f x '>或()0f x '=，当函数在某个区间恒有()0f x '=时，也满足()0f x '≥,但()f x 在这个区间为常函数. 题型三 方程与零点1．已知函数()3231f x ax x =-+，若()f x 存在三个零点，则a 的取值范围是（ ）A. (),2-∞-B. ()2,2-C. ()2,+∞D. ()()2,00,2-⋃ 【答案】D【解析】很明显0a ≠ ，由题意可得： ()()2'3632f x ax x x ax =-=- ，则由()'0f x = 可得1220,x x a==，由题意得不等式： ()()122281210f x f x a a =-+< ，即： 2241,4,22a a a><-<< ， 综上可得a 的取值范围是 ()()2,00,2-⋃.本题选择D 选项.【易错点】找不到切入点，“有三个零点”与函数的单调性、极值有什么关系？挖掘不出这个关系就无从下手。