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第一章集合与常用逻辑用语第一章集合与常用逻辑用语§1.1集合的概念与运算一、知识导学1.集合：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合.2.元素：集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元.3.子集：如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素（若则），则称集合A为集合B的子集，记为AB或BA；如果AB，并且AB，这时集合A称为集合B的真子集，记为AB或BA.4.集合的相等：如果集合A、B同时满足AB、BA，则A=B.5.补集：设AS，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集，记为.6.全集：如果集合S包含所要研究的各个集合，这时S可以看做一个全集，全集通常记作U.7.交集：一般地，由所有属于集合A且属于B的元素构成的集合，称为A与B的交集，记作AB.8.并集：一般地，由所有属于集合A或者属于B的元素构成的集合，称为A与B的并集，记作AB.9.空集：不含任何元素的集合称为空集，记作.10.有限集：含有有限个元素的集合称为有限集.11.无限集：含有无限个元素的集合称为无限集.12.集合的常用表示方法：列举法、描述法、图示法（Venn 图）.13.常用数集的记法：自然数集记作N，正整数集记作N+或N，整数集记作Z，有理数集记作Q，实数集记作R.二、疑难知识导析1.符号，，，，=，表示集合与集合之间的关系，其中“”包括“”和“=”两种情况，同样“”包括“”和“=”两种情况.符号，表示元素与集合之间的关系.要注意两类不同符号的区别.2.在判断给定对象能否构成集合时，特别要注意它的“确定性”，在表示一个集合时，要特别注意它的“互异性”、“无序性”.3.在集合运算中必须注意组成集合的元素应具备的性质.4.对由条件给出的集合要明白它所表示的意义，即元素指什么，是什么范围．用集合表示不等式（组）的解集时，要注意分辨是交集还是并集，结合数轴或文氏图的直观性帮助思维判断．空集是任何集合的子集，但因为不好用文氏图形表示，容易被忽视，如在关系式中，B=易漏掉的情况.5.若集合中的元素是用坐标形式表示的，要注意满足条件的点构成的图形是什么，用数形结合法解之.6.若集合中含有参数，须对参数进行分类讨论，讨论时既不重复又不遗漏.7.在集合运算过程中要借助数轴、直角坐标平面、Venn图等将有关集合直观地表示出来.8.要注意集合与方程、函数、不等式、三角、几何等知识的密切联系与综合使用.9.含有n个元素的集合的所有子集个数为：，所有真子集个数为：-1三、经典例题导讲[例1] 已知集合M={y|y=x2＋1,x∈R},N={y|y =x＋1,x∈R}，则M∩N=（）A．（0，1），（1，2）B．{（0，1），（1，2）}C．{y|y=1,或y=2}D．{y|y≥1}错解：求M∩N及解方程组得或∴选B错因：在集合概念的理解上，仅注意了构成集合元素的共同属性，而忽视了集合的元素是什么．事实上M、N的元素是数而不是实数对(x,y)，因此M、N是数集而不是点集,M、N分别表示函数y=x2＋1(x∈R)，y=x＋1(x∈R)的值域，求M∩N即求两函数值域的交集．正解：M={y|y=x2＋1,x∈R}={y|y≥1}，N={y|y=x＋1,x∈R}={y|y∈R}．∴M∩N={y|y≥1}∩{y|(y∈R)}={y|y≥1},∴应选D．注：集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分{x|y=x2＋1}、{y|y=x2＋1,x∈R}、{(x,y)|y=x2＋1,x ∈R}，这三个集合是不同的．[例2] 已知A={x|x2－3x＋2=0},B={x|ax－2=0}且A∪B=A，求实数a组成的集合C．错解：由x2－3x＋2=0得x=1或2．当x=1时，a=2，当x=2时，a=1．错因：上述解答只注意了B为非空集合，实际上，B=时，仍满足A∪B=A.当a=0时，B=，符合题设，应补上，故正确答案为C={0，1，2}．正解：∵A∪B=A ∴BA又A={x|x2－3x＋2=0}={1，2}∴B=或∴C={0，1，2}[例3]已知mA,nB, 且集合A=，B=，又C=，则有：（）A．m+nA B. m+nB C.m+nC D.m+n不属于A，B，C中任意一个错解：∵mA，∴m=2a,a,同理n=2a+1,aZ,∴m+n=4a+1,故选C错因是上述解法缩小了m+n的取值范围.正解：∵mA,∴设m=2a1,a1Z, 又∵n,∴n=2a2+1,a2 Z ,∴m+n=2(a1+a2)+1,而a1+a2 Z , ∴m+nB, 故选B.[例4］已知集合A={x|x2－3x－10≤0}，集合B={x|p＋1≤x≤2p－1}．若BA，求实数p的取值范围．错解：由x2－3x－10≤0得－2≤x≤5．欲使BA，只须∴p的取值范围是－3≤p≤3.错因：上述解答忽略了"空集是任何集合的子集"这一结论，即B=时，符合题设．正解：①当B≠时，即p＋1≤2p－1p≥2.由BA得：－2≤p＋1且2p－1≤5.由－3≤p≤3.∴2≤p≤3②当B=时，即p＋1>2p－1p＜2.由①、②得：p≤3.点评：从以上解答应看到：解决有关A∩B=、A∪B=，AB 等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题．[例5] 已知集合A={a,a＋b,a＋2b}，B={a,ac,ac2}．若A=B，求c的值．分析：要解决c的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性，无序性建立关系式．解：分两种情况进行讨论．（1）若a＋b=ac且a＋2b=ac2，消去b得：a＋ac2－2ac=0，a=0时，集合B中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故a≠0．∴c2－2c＋1=0，即c=1，但c=1时，B中的三元素又相同，此时无解．（2）若a＋b=ac2且a＋2b=ac，消去b得：2ac2－ac－a=0，∵a≠0，∴2c2－c－1=0，即(c－1)(2c＋1)=0，又c≠1，故c=－．点评：解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验.[例6] 设A是实数集，满足若a∈A，则A，且1?A.⑴若2∈A，则A中至少还有几个元素？求出这几个元素.⑵A能否为单元素集合？请说明理由.⑶若a∈A，证明：1－∈A.⑷求证：集合A中至少含有三个不同的元素.解：⑴2∈A ? －1∈A ? ∈A ? 2∈A∴A中至少还有两个元素：－1和⑵如果A为单元素集合，则a＝即＝0该方程无实数解，故在实数范围内，A不可能是单元素集⑶a∈A ? ∈A ? ∈A?A，即1－∈A⑷由⑶知a∈A时，∈A，1－∈A.现在证明a,1－, 三数互不相等.①若a=,即a2-a+1=0，方程无解，∴a≠②若a=1－，即a2-a+1=0，方程无解∴a≠1－③若1－=，即a2-a+1=0，方程无解∴1－≠.综上所述，集合A中至少有三个不同的元素.点评：⑷的证明中要说明三个数互不相等，否则证明欠严谨. [例7] 设集合A={|=,∈N+}，集合B={|=,∈N+}，试证：AB．证明：任设∈A，则==(＋2)2－4(＋2)＋5(∈N+),∵n∈N*，∴n＋2∈N*∴a∈B故①显然，1，而由B={|=,∈N+}={|=，∈N+}知1∈B，于是A≠B②由①、②得AB．点评：（1）判定集合间的关系，其基本方法是归结为判定元素与集合之间关系．（2）判定两集合相等，主要是根据集合相等的定义．四、典型习题导练1．集合A={x|x2－3x－10≤0，x∈Z}，B={x|2x2－x－6＞0，x∈Z}，则A∩B的非空真子集的个数为（）A．16B．14C．15 D．322．数集{1，2，x2－3}中的x不能取的数值的集合是（）A．{2，-2 } B．{－2，－}C．{±2，±} D．{，－}3.若P={y|y=x2,x∈R}，Q={y|y=x2＋1,x∈R}，则P∩Q等于（）A．P B．QC．D．不知道4. 若P={y|y=x2,x∈R}，Q={(x，y)|y=x2,x∈R}，则必有（）A．P∩Q=B．P Q C．P=QD．P Q5．若集合M＝｛｝，N＝{|≤}，则MN＝（）A．B．C．D．6.已知集合A={x|x2＋(m＋2)x＋1=0,x∈R}，若A∩R＋=，则实数m的取值范围是_________．7.（06高考全国II卷）设，函数若的解集为A，，求实数的取值范围.8.已知集合A=和B=满足A∩B=，A∩B=，I=R，求实数a,b的值.§1.2．常用逻辑用语一、知识导学1．逻辑联结词：“且”、“或”、“非”分别用符号“”“”“”表示.2．命题：能够判断真假的陈述句．3．简单命题：不含逻辑联结词的命题4．复合命题：由简单命题和逻辑联结词构成的命题，复合命题的基本形式：p或q；p且q；非p5．四种命题的构成：原命题：若p则q；逆命题：若q则p；否命题：若p 则q ；逆否命题：若q 则p.6．原命题与逆否命题同真同假，是等价命题，即“若p则q”“若q 则p ”.7．反证法：欲证“若p则q”，从“非q”出发，导出矛盾，从而知“若p则非q”为假，即“若p则q”为真.8．充分条件与必要条件：①pq：p是q的充分条件；q是p的必要条件；②pq：p是q的充要条件.9．常用的全称量词：“对所有的”、“对任意一个”“对一切”“对每一个”“任给”等；并用符号“”表示.含有全称量词的命题叫做全称命题.10．常用的存在量词：“存在一个”、“至少有一个”、“有些”、“有一个”、“有的”、“对某个”；并用符号“”表示.含有存在量词的命题叫做特称命题.二、疑难知识导析1．基本题型及其方法（1）由给定的复合命题指出它的形式及其构成；（2）给定两个简单命题能写出它们构成的复合命题，并能利用真值表判断复合命题的真假；（3）给定命题，能写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并能运用四种命题的相互关系，特别是互为逆否命题的等价性判断命题的真假.注意：否命题与命题的否定是不同的. （4）判断两个命题之间的充分、必要、充要关系；方法：利用定义（5）证明的充要条件是；方法：分别证明充分性和必要性（6）反证法证题的方法及步骤：反设、归谬、结论.反证法是通过证明命题的结论的反面不成立而肯定命题的一种数学证明方法，是间接证法之一.注：常见关键词的否定：关键词是都是（全是）（）至少有一个至多有一个任意存在否定不是不都是（全是）（）一个也没有至少有两个存在任意。
第一章 集合与常用逻辑用语第一节 集 合一、基础知识1．集合的有关概念(1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性．元素互异性，即集合中不能出现相同的元素，此性质常用于求解含参数的集合问题中． (2)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法． (3)元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为∉. (4)五个特定的集合及其关系图：N *或N ＋表示正整数集，N 表示自然数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集．2．集合间的基本关系(1)子集：一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，则称A 是B 的子集，记作A ⊆B (或B ⊇A )．(2)真子集：如果集合A 是集合B 的子集，但集合B 中至少有一个元素不属于A ，则称A 是B 的真子集，记作A B 或B A .A B ⇔⎩⎪⎨⎪⎧A ⊆B ，A ≠B .既要说明A 中任何一个元素都属于B ，也要说明B 中存在一个元素不属于A .(3)集合相等：如果A ⊆B ，并且B ⊆A ，则A ＝B .两集合相等：A ＝B ⇔⎩⎪⎨⎪⎧A ⊆B ，A ⊇B .A 中任意一个元素都符合B 中元素的特性，B 中任意一个元素也符合A 中元素的特性．(4)空集：不含任何元素的集合．空集是任何集合A 的子集，是任何非空集合B 的真子集．记作∅.∅∈{∅}，∅⊆{∅}，0∉∅，0∉{∅},0∈{0}，∅⊆{0}．3．集合间的基本运算(1)交集：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B，即A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．(2)并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B，即A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．(3)补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁U A，即∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}．求集合A的补集的前提是“A是全集U的子集”，集合A其实是给定的条件.从全集U中取出集合A的全部元素，剩下的元素构成的集合即为∁U A.二、常用结论(1)子集的性质：A⊆A，∅⊆A，A∩B⊆A，A∩B⊆B.(2)交集的性质：A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.(3)并集的性质：A∪B＝B∪A，A∪B⊇A，A∪B⊇B，A∪A＝A，A∪∅＝∅∪A＝A.(4)补集的性质：A∪∁U A＝U，A∩∁U A＝∅，∁U(∁U A)＝A，∁A A＝∅，∁A∅＝A.(5)含有n个元素的集合共有2n个子集，其中有2n－1个真子集，2n－1个非空子集．(6)等价关系：A∩B＝A⇔A⊆B；A∪B＝A⇔A⊇B.第二节命题及其关系、充分条件与必要条件一、基础知识1．命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.一个命题要么是真命题，要么是假命题，不能模棱两可.2．四种命题及其相互关系3．充分条件、必要条件与充要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件；①A是B的充分不必要条件是指：A⇒B且B A；②A的充分不必要条件是B是指：B⇒A且A B，在解题中要弄清它们的区别，以免出现错误．(2)如果q⇒p，则p是q的必要条件；(3)如果既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q，则p是q的充要条件．充要关系与集合的子集之间的关系设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，①若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．②若A B，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件．③若A＝B，则p是q的充要条件．二、常用结论1．四种命题中的等价关系原命题等价于逆否命题，否命题等价于逆命题，所以在命题不易证明时，往往找等价命题进行证明．2．等价转化法判断充分条件、必要条件p是q的充分不必要条件，等价于非q是非p的充分不必要条件．其他情况以此类推．第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词一、基础知识1．简单的逻辑联结词(1)命题中的“且”“或”“非”❶叫做逻辑联结词．①用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，得到复合命题“p且q”，记作p∧q；②用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，得到复合命题“p或q”，记作p∨q；③对命题p的结论进行否定，得到复合命题“非p”，记作非p.❷❶“且”的数学含义是几个条件同时满足，“且”在集合中的解释为“交集”；“或”的数学含义是至少满足一个条件，“或”在集合中的解释为“并集”；“非”的含义是否定，“非p”只否定p的结论，“非”在集合中的解释为“补集”.❷“命题的否定”与“否命题”的区别(1)命题的否定只是否定命题的结论，而否命题既否定其条件，也否定其结论．(2)命题的否定与原命题的真假总是相对立的，即一真一假，而否命题与原命题的真假无必然联系．(2)命题真值表：命题真假的判断口诀p∨q→见真即真，p∧q→见假即假，p与非p→真假相反.2．全称量词与存在量词3.全称命题与特称命题4．全称命题与特称命题的否定二、常用结论含逻辑联结词命题真假的等价关系(1)p∨q真⇔p，q至少一个真⇔(非p)∧(非q)假．(2)p∨q假⇔p，q均假⇔(非p)∧(非q)真．(3)p∧q真⇔p，q均真⇔(非p)∨(非q)假．(4)p∧q假⇔p，q至少一个假⇔(非p)∨(非q)真．。
第一章集合与常用逻辑用语第1讲集合的概念及运算1集合的基本概念(1)集合元素的性质：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系：属于记为∈，不属于记为∉.(3)常见集合的符号集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N*或N＋Z Q R(4)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．2集合间的基本关系表示关系文字语言符号语言相等集合A与集合B中的所有元素相同A⊆B且B⊆A⇔A＝B子集A中任意一个元素均为B中的元素A⊆B或B⊇A真子集A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素A B或B A空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集∅⊆A∅B(B≠∅)注意点元素互异性的应用(1)利用集合元素的互异性找到解题的切入点．(2)在解答完毕时，注意检验集合的元素是否满足互异性以确保答案正确.1．思维辨析(1){1,2,3}＝{2,3,1}．()(2)空集中只有一个元素0.()(3)集合{x2＋x,0}中实数x可取任意值．()(4)任何集合都至少有两个子集．()(5)集合{x|y＝x－1}与集合{y|y＝x－1}是同一个集合．()(6)若A＝{0,1}，B＝{(x，y)|y＝x＋1}，则A⊆B.()答案(1)√(2)×(3)×(4)×(5)×(6)×2．若集合A＝{x∈N|x≤10}，a＝22，则下面结论中正确的是()A．{a}⊆A B．a⊆AC．{a}∈A D．a∉A答案 D解析A＝{x∈N|x≤10}＝{0,1,2,3}而a＝22，∴a∉A.3．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，集合A＝{1,3,5,6}，则∁U A＝()A．{1,3,5,6} B．{2,3,7}C．{2,4,7} D．{2,5,7}答案 C解析由U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{1,3,5,6}，∴∁U A＝{2,4,7}，故选C.4．已知集合A＝{x|x2－5x－6<0}，B＝{x|2x<1}，则图中阴影部分表示的集合是()A．{x|2<x<3}B．{x|－1<x≤0}C．{x|0≤x<6}D．{x|x<－1}答案 C解析由x2－5x－6<0，解得－1<x<6，所以A＝{x|－1<x<6}．由2x<1，解得x<0，所以B＝{x|x<0}．又图中阴影部分表示的集合为(∁B)∩A，因为∁U B＝{x|x≥0}，所以(∁U B)∩A＝{x|0≤x<6}，故选C. U[考法综述]集合元素的三大特性是理解集合概念的关键，一般涉及集合与元素之间的关系及根据集合中元素的特性(特别是集合中元素的互异性)，来确定集合中元素的个数，或求参数的取值范围，属于基础题．命题法1 集合的基本概念典例1 (1)已知集合A ＝{0,1,2}，则集合B ＝{x －y |x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是( )A ．1B ．3C ．5D ．9(2)若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝( )A.92B.98 C ．0D ．0或98 [解析] (1)当x ＝0，y ＝0,1,2时，x －y 的值分别为0，－1，－2；当x ＝1，y ＝0,1,2时，x －y 的值分别为1,0，－1；当x ＝2，y ＝0,1,2时，x －y 的值分别为2,1,0；∴B ＝{－2，－1，0,1,2}．∴集合B 中元素的个数是5个．(2)集合A 是方程ax 2－3x ＋2＝0在实数范围内的解集，且A 中只有一个元素，所以方程ax 2－3x ＋2＝0只有一个实数根．若a ＝0，则方程为－3x ＋2＝0，解得x ＝23，满足条件；若a ≠0，则二次方程ax 2－3x ＋2＝0有两个相等的实数根，即Δ＝(－3)2－8a ＝0，解得a ＝98，所以a ＝0或a ＝98.[答案] (1)C (2)D【解题法】 解决集合概念问题的一般思路研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么．命题法2 集合之间的关系典例2已知集合A＝{x|x<－3或x>7}，B＝{x|x<2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围是________．[解析]由题意知2m－1≤－3，m≤－1，∴m的取值范围是(－∞，－1]．[答案](－∞，－1]【解题法】利用集合关系求参数取值范围及集合相等问题(1)根据两集合的关系求参数，其关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图帮助分析，而且常要对参数进行讨论．注意点：注意区间端点的取舍．(2)若两个集合相等，首先分析某一集合的已知元素在另一个集合中与哪一个元素相等，有几种情况，然后列方程(组)求解．1．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3}，则()A．A＝B B．A∩B＝∅C．A B D．B A答案 D解析由真子集的概念知B A，故选D.2．若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，则a＝()A．4 B．2C．0 D．0或4答案 A解析ax2＋ax＋1＝0只有一个根，当a＝0时方程无解，当a≠0，Δ＝0时，即a2－4a＝0，a＝4，故选A.3.已知集合A＝{x|ax＝1}，B＝{x|x2－1＝0}，若A⊆B，则a的取值构成的集合是()A．{－1} B．{1}C．{－1,1} D．{－1,0,1}答案 D解析 B ＝{x |(x ＋1)(x －1)＝0}＝{－1,1}．若A ⊆B ，则有以下情况：当a ＝0时，A ＝∅，满足A ⊆B ；当a ≠0时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝1a ，若A ⊆B ，则A ＝{－1}时，a ＝－1；A ＝{1}时，a ＝1；故当a ＝0，－1,1时满足A ⊆B .4．设集合P ＝{x |x >1}，Q ＝{x |x 2－x >0}，则下列结论正确的是( )A ．P ⊆QB ．Q ⊆PC ．P ＝QD ．P ∪Q ＝R答案 A解析 ∵Q ＝{x |x 2－x >0}＝{x |x >1或x <0}， 又P ＝{x |x >1}，∴P ⊆Q ，故选A. 1 集合的运算及性质 名称 交集 并集 补集 符号 A ∩B A ∪B ∁U A 数学语言 A ∩B ＝{x |x ∈A 且x ∈B }A ∪B ＝{x |x ∈A 或x ∈B }∁U A ＝{x |x ∈U 且x ∉A } 图形运算性质A ∩B ⊆A ， A ∩B ⊆B ， A ∩∅＝∅B ⊆A ∪B ， A ⊆A ∪B ， A ∪∅＝AA ∪(∁U A )＝U ， A ∩(∁U A )＝∅， ∁U (∁U A )＝A2 集合间运算性质的重要结论 (1)A ∪B ＝A ⇔B ⊆A . (2)A ∩B ＝A ⇔A ⊆B . (3)A ∩B ＝A ∪B ⇔A ＝B .(4)狄摩根定律：∁U (A ∪B )＝(∁U A )∩(∁U B )； ∁U (A ∩B )＝(∁U A )∪(∁U B )． 注意点 空集的特殊性在解题中，若未指明集合非空时，要考虑空集的可能性，如A ⊆B ，则有A ＝∅和A ≠∅两种可能，此时应分类讨论.1．思维辨析(1){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．()(2)若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.()(3)对于任意两个集合A，B，关系(A∩B)⊆(A∪B)恒成立．()(4)若A∩B＝A∩C，则B＝C.()(5)已知集合M＝{1,2,3,4}，N＝{2,3}，则M∩N＝N.()(6)若全集U＝{－1,0,1,2}，P＝{x∈Z|x2<4}，则∁U P＝{2}．()答案(1)×(2)×(3)√(4)×(5)√(6)√2．已知集合A＝{x|x2－x－2≤0}，集合B为整数集，则A∩B＝()A．{－1,0,1,2} B．{－2，－1,0,1}C．{0,1} D．{－1,0}答案 A解析A＝{x|(x－2)(x＋1)≤0}＝{x|－1≤x≤2}，又B为整数集，所以A∩B＝{－1,0,1,2}，故选A.3．已知集合A＝{0,1,2}，集合B满足A∪B＝{0,1,2}，则集合B 有________个．答案8解析由A∪B＝{0,1,2}得B⊆A，所以B是A的子集．由A中有3个元素知B有23＝8个．[考法综述]集合的基本运算是历年高考的热点，常与函数、不等式、方程等知识综合考查，主要以选择题形式出现．命题法求交集、并集和补集典例(1)已知集合A＝{x|x2－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x<2}，则A∩B＝()A．[－2，－1] B．[－1,1]C．[－1,2) D．[1,2)(2)已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝()A．{x|x≥0} B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1} D．{x|0<x<1}[解析](1)由不等式x2－2x－3≥0解得x≥3或x≤－1，因此集合A＝{x|x≤－1或x≥3}，又集合B＝{x|－2≤x<2}，所以A∩B＝{x|－2≤x≤－1}，故选A.(2)利用数轴分析求解．∵A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，∴A∪B＝{x|x≤0，或x≥1}．在数轴上表示，如图所示．∴∁U(A∪B)＝{x|0<x<1}．[答案](1)A(2)D【解题法】解决集合运算问题的方法在进行集合运算时，要尽可能地利用数形结合的思想使抽象问题直观化．(1)用列举法表示的集合进行交、并、补的运算，常采用Venn图法解决，此时要搞清Venn图中的各部分区域表示的实际意义．(2)用描述法表示的数集进行运算，常采用数轴分析法解决，此时要注意“端点”能否取到．(3)若给定的集合是点集，常采用数形结合法求解．1．已知集合A＝{－2，－1,0,1,2}，B＝{x|(x－1)(x＋2)<0}，则A∩B ＝()A．{－1,0} B．{0,1}C．{－1,0,1} D．{0,1,2}答案 A解析因为B＝{x|(x－1)(x＋2)<0}＝{x|－2<x<1}，A＝{－2，－1,0,1,2}，故A∩B＝{－1,0}．选A.2．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{2,3,5,6}，集合B＝{1,3,4,6,7}，则集合A∩(∁U B)＝()A．{2,5} B．{3,6}C．{2,5,6} D．{2,3,5,6,8}答案 A解析由已知得∁U B＝{2,5,8}，∴A∩(∁U B)＝{2,5}．3．已知集合P＝{x|x2－2x≥0}，Q＝{x|1<x≤2}，则(∁R P)∩Q＝()A．[0,1) B．(0,2]C．(1,2) D．[1,2]答案 C解析∵P＝{x|x≥2或x≤0}，∴∁R P＝{x|0<x<2}，∴(∁R P)∩Q＝(1,2)．4．若集合A＝{i，i2，i3，i4}(i是虚数单位)，B＝{1，－1}，则A∩B 等于()A．{－1} B．{1}C．{1，－1} D．∅答案 C解析A＝{i，－1，－i,1}，B＝{1，－1}，所以A∩B＝{1，－1}，故选C.5．设集合M＝{x|x≥0，x∈R}，N＝{x|x2<1，x∈R}，则M∩N ＝()A．[0,1] B．[0,1)C．(0,1] D．(0,1)答案 B解析∵M＝{x|x≥0，x∈R}．N＝{x|x2<1，x∈R}＝{x|－1<x<1，x∈R}．∴M∩N＝{x|0≤x<1}，即M∩N＝[0,1)．故选B.6．已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，则M∪N＝()A．{0,1} B．{－1,0,2}C．{－1,0,1,2} D．{－1,0,1}答案 C解析M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，M∪N＝{－1,0,1,2}，故选C.7.设集合A ＝{x ||x －1|<2}，B ＝{y |y ＝2x ，x ∈[0,2]}，则A ∩B ＝( )A ．[0,2]B ．(1,3)C ．[1,3)D ．(1,4)答案 C解析 A ＝{x ||x －1|<2}＝{x |－1<x <3}，B ＝{y |y ＝2x ，x ∈[0,2]}＝{y |1≤y ≤4}，∴A ∩B ＝{x |－1<x <3}∩{y |1≤y ≤4}＝{x |1≤x ＜3}．8．设全集U ＝R ，A ＝{x |y ＝lg (1－x )}，则∁R A ＝( ) A ．(－∞，1) B ．(0,1) C ．[1，＋∞) D ．(1，＋∞)答案 C解析 ∵y ＝lg (1－x )，∴1－x >0，即x <1，∴∁R A ＝{x |x ≥1}．9．已知集合A ＝{x |x ＝2k ＋1，k ∈Z }，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＋1x －3≤0，则A ∩B ＝( )A ．[－1,3]B ．{－1,3}C ．{－1,1}D ．{－1,1,3}答案 C解析 ∵B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＋1x －3≤0＝{x |－1≤x <3}，又集合A 为奇数集，∴A ∩B ＝{－1,1}，故选C.10.已知全集U ＝R ，A ＝{x |x >1}，B ＝{x |x 2－2x >0}，则∁U (A ∪B )＝( )A ．{x |x ≤2}B ．{x |x ≥1}C ．{x |0≤x ≤1}D ．{x |0≤x ≤2} 答案 C解析 由x 2－2x >0得x >2或x <0，即B ＝{x |x <0，或x >2}，∴A∪B＝{x|x<0，或x>1}，∴∁U(A∪B)＝{x|0≤x≤1}．11．集合M＝{2，log3a}，N＝{a，b}，若M∩N＝{1}，则M∪N＝()A．{0,1,2} B．{0,1,3}C．{0,2,3} D．{1,2,3}答案 D解析因为M∩N＝{1}，所以log3a＝1，即a＝3，所以b＝1，即M＝{2,1}，N＝{3,1}，所以M∪N＝{1,2,3}，故选D.12．已知全集U，集合A⊆B⊆U，则有()A．A∩B＝B B．A∪B＝AC．(∁U A)∩(∁U B)＝∁U B D．(∁U A)∪(∁U B)＝∁U B答案 C解析∵A⊆B⊆U，∴A∩B＝A，故选项A不正确；A∪B＝B，故选项B不正确；(∁U A)∩(∁U B)＝∁U(A∪B)＝∁U B，故选项C正确；(∁A)∪(∁U B)＝∁U(A∩B)＝∁U A，故选项D不正确．故选C.U13．设集合U＝R，A＝{x|2x(x－2)<1}，B＝{x|y＝ln (1－x)}，则图中阴影部分表示的集合为()扫一扫·听名师解题A．{x|x≥1} B．{x|1≤x<2}C．{x|0<x≤1} D．{x|x≤1}答案 B解析易知A＝{x|2x(x－2)<1}＝{x|x(x－2)<0}＝{x|0<x<2}，B＝{x|y ＝ln (1－x)}＝{x|1－x>0}＝{x|x<1}，则∁U B＝{x|x≥1}，阴影部分表示的集合为A∩(∁U B)＝{x|1≤x<2}．创新考向以集合为载体的创新问题是近几年高考命题的一个热点，这类问题以集合为依托，考查学生理解问题、解决创新问题的能力．其命题形式常见的有新概念、新法则、新运算、新性质等.创新例题已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}，B＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A⊕B＝{(x1＋x2，y1＋y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}，则A⊕B中元素的个数为()A．77 B．49C．45 D．30答案 C解析集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}，所以集合A中有5个元素(即5个点)，即图中圆内及圆上的整点．集合B＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}中有25个元素(即25个点)，即图中正方形ABCD 内及正方形ABCD上的整点．集合A⊕B＝{(x1＋x2，y1＋y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}中的元素可看作正方形A1B1C1D1内及正方形A1B1C1D1上除去四个顶点外的整点，共7×7－4＝45个．创新练习1.设集合S＝{A0，A1，A2}，在S上定义运算⊕：A i⊕A j＝A k，其中k为i＋j被3除的余数，i，j∈{1,2,3}，则使关系式(A i⊕A j)⊕A i＝A0成立的有序数对(i，j)总共有()A．1对B．2对C．3对D．4对答案 C解析i＝1时，j＝1符合要求，i＝2时，j＝2符合要求；i＝3时，j＝3符合要求，所以使关系式(A i⊕A j)⊕A i＝A0成立的有序数对(i，j)有(1,1)，(2,2)，(3,3)，共3对．2．若集合{a，b，c，d}＝{1,2,3,4}，且下列四个关系：①a＝1；②b≠1；③c＝2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a，b，c，d)的个数是________．答案 6解析因为①正确，②也正确，所以只有①正确是不可能的；若只有②正确，①③④都不正确，则符合条件的有序数组为(2,3,1,4)，(3,2,1,4)；若只有③正确，①②④都不正确，则符合条件的有序数组为(3,1,2,4)；若只有④正确，①②③都不正确，则符合条件的有序数组为(2,1,4,3)，(3,1,4,2)，(4,1,3,2)．综上，符合条件的有序数组的个数是6.3．设集合S n ＝{1,2,3，…，n }，若X ⊆S n ，把X 的所有元素的乘积称为X 的容量(若X 中只有一个元素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为0)．若X 的容量为奇(偶)数，则称X 为S n 的奇(偶)子集．则S 4的所有奇子集的容量之和为________．答案 7解析 根据题意，S 4的所有奇子集为{1}、{3}、{1,3}，分析可得{1}的容量为1，{3}的容量为3，{1,3}的容量为3，则其容量之和为1＋3＋3＝7.创新指导1.准确转化：解决集合创新问题时，一定要读懂题目的本质含义，紧扣题目所给条件，结合题目要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆．2．方法选取：对于集合创新问题，可恰当选用特例法、筛选法、一般逻辑推理等方法，并结合集合的相关性质求解，同时注意培养学生领悟新信息、运用新信息的能力．已知集合A ＝{x |ax －1＝0}，B ＝{x |1<log 2x ≤2，x ∈N }，且A ∩B ＝A ，则a 的所有可能值组成的集合是( )A ．∅B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫13 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，14 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，14，0 [错解][错因分析] 集合A 为方程ax －1＝0的实数解构成的集合，由A ∩B ＝A ，知A ⊆B ，A 可以为非空集合，也可以是空集．在解题中，很容易漏掉对A ＝∅的讨论，导致误选C.[正解] 由A ∩B ＝A ，得A ⊆B .因为B ＝{x |1<log 2x ≤2，x ∈N }＝{x |2<x ≤4，x ∈N }＝{3,4}，当A ＝∅时，则方程ax －1＝0无实数解，所以a ＝0，此时显然有A ⊆B ，符合题意．当A ≠∅时，则由方程ax －1＝0，得x ＝1a . 要使A ⊆B ，则1a ＝3或1a ＝4，即a ＝13或a ＝14.综上所述，a 的所有可能取值组成的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，13，14.故选D. [答案] D [心得体会]………………………………………………………………………………………………时间：45分钟基础组1.[2016·武邑中学模拟]已知集合A ＝{0,1}，B ＝{x |x ⊆A }，则下列集合A 与B 的关系正确的是( )A ．A ⊆B B ．A BC ．B AD ．A ∈B答案 D解析 因为x ⊆A ，所以B ＝{∅，{0}，{1}，{0,1}}，则集合A ＝{0,1}是集合B 中的元素，所以A ∈B .故选D.2．[2016·枣强中学一轮检测]已知集合A ⊆B ，A ⊆C ，B ＝{0,1,2,3,5,9}，C ＝{2,4,8,10}，则A 可以是( )A ．{1,2}B ．{2,4}C ．{4}D ．{2} 答案 D解析 解法一：因为A ⊆B ，A ⊆C ，所以A ⊆(B ∩C )，故集合A 可以是{2}，故选D.解法二：逐项验证，可知当A ＝{1,2}时，不满足A ⊆C ；同理可知当A ＝{2,4}和A ＝{4}时，不满足A ⊆B ，故选D.3．[2016·衡水中学周测]若集合A ＝{2,3,4}，B ＝{x |x ＝m ＋n ，m ，n ∈A ，m ≠n }，则集合B 的非空子集的个数是( )A ．4B ．7C ．8D ．15答案 B解析 解法一：因为x ＝m ＋n ，m ，n ∈A ，m ≠n ，所以B ＝{5,6,7}，故B 的非空子集有{5}，{6}，{7}，{5,6}，{5,7}，{6,7}，{5,6,7}，共7个．解法二：因为x ＝m ＋n ，m ，n ∈A ，m ≠n ，所以B ＝{5,6,7}，根据公式可得集合B 的非空子集的个数是23－1＝7.4．[2016·冀州中学月考]已知集合A ＝{x |y ＝lg (x －x 2)}，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}，若A ⊆B ，则实数c 的取值范围是( )A ．(0,1]B ．[1，＋∞)C ．(0,1)D ．(1，＋∞)答案 B解析 因为A ＝{x |y ＝lg (x －x 2)}＝{x |x －x 2>0}＝(0,1)，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}＝(0，c )．因为A ⊆B ，画出数轴，如图所示，得c ≥1.故选B.5．[2016·武邑中学周测]设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，则b －a ＝( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2答案 C解析 因为{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，a ≠0，所以a ＋b ＝0，从而ba ＝－1，所以有a ＝－1，b ＝1，所以b －a ＝2，故选C.6．[2016·衡水中学月考]已知集合A ＝(－2,5]，B ＝[m ＋1,2m －1]．若B ⊆A ，则m 的取值范围是( )A ．(－3,3]B ．[－3,3]C ．(－∞，3]D ．(－∞，3)答案 C解析 当B ＝∅时，m ＋1>2m －1即m <2，B ⊆A . 当B ≠∅时，由题意可画数轴m ≥2且⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1>－22m －1≤5解得2≤m ≤3.综上可知m ∈(－∞，3]，故选C.7．[2016·枣强中学猜题]设集合M ＝{－1,0,1}，N ＝{a ，a 2}，则使M ∩N ＝N 成立的a 的值是( )A ．1B ．0C ．－1D ．1或－1答案 C解析 若M ∩N ＝N ，则N ⊆M .结合集合元素的互异性得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，a ＝－1，所以a ＝－1.故选C. 8．[2016·衡水中学期中]若集合A ＝{x |1≤3x ≤81}，B ＝{x |log 2(x 2－x )>1}，则A ∩B ＝( )A ．(2,4]B ．[2,4]C ．(－∞，0)∪(0,4]D ．(－∞，－1)∪[0,4]答案 A解析 因为A ＝{x |1≤3x ≤81}＝{x |30≤3x ≤34}＝{x |0≤x ≤4}，B ＝{x |log 2(x 2－x )>1}＝{x |x 2－x >2}＝{x |x <－1或x >2}，所以A ∩B ＝{x |0≤x ≤4}∩{x |x <－1或x >2}＝{x |2<x ≤4}＝(2,4]．9．[2016·武邑中学期中]已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |(x －1)(x ＋3)<0}，N ＝{x ||x |≤1}，则阴影部分表示的集合是( )A ．[－1,1)B ．(－3,1]C ．(－∞，－3)∪[－1，＋∞)D ．(－3，－1) 答案 D解析 由题意可知，M ＝(－3,1)，N ＝[－1,1]，∴阴影部分表示的集合为M ∩(∁U N )＝(－3，－1)．10．[2016·衡水中学期末]设全集U 是实数集R ，集合M ＝{x |x 2>2x }，N ＝{x |log 2(x －1)≤0}，则(∁U M )∩N 为( )A ．{x |1<x <2}B ．{x |1≤x ≤2}C ．{x |1<x ≤2}D ．{x |1≤x <2}答案 C解析 x 2>2x ⇒x >2或x <0.M ＝{x |x >2或x <0}，log 2(x －1)≤0⇒0<x －1≤1,1<x ≤2，N ＝{x |1<x ≤2}，(∁U M )∩N ＝{x |1<x ≤2}，故选C.11．[2016·冀州中学猜题]已知全集U ＝{0,1,2,3,4}，A ＝{1,2,3}，B ＝{2,4}，则下图中阴影部分表示的集合为( )A ．{0,2}B ．{0,1,3}C ．{1,3,4}D ．{2,3,4}答案 C解析 集合A ∪B ＝{1,2,3,4}，A ∩B ＝{2}，阴影部分表示的集合为{1,3,4}．12．[2016·武邑中学仿真]已知R 是实数集，M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2x <1，N ＝{y |y ＝x －1＋1}，则N ∩(∁R M )＝( )A ．(1,2)B ．[0,2]C ．∅D ．[1,2]答案 D解析 ∵2x <1，∴x －2x >0，∴x <0或x >2，∴M ＝{x |x <0或x >2}，∴∁R M ＝{x |0≤x ≤2}．∵y ＝x －1＋1，∴y ≥1，∴N ＝{y |y ≥1}，∴N ∩(∁R M )＝[1,2]，故选D.能力组13.[2016·衡水中学模拟]已知集合A ＝{0,1}，则满足条件A ∪B ＝{0,1,2,3}的集合B 共有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案 D解析 由题知B 集合必须含有元素2,3，可以是{2,3}，{2,1,3}，{2,0,3}，{2,0,1,3}，共四个，故选D.14．[2016·冀州中学期中]已知集合A ＝{x |1≤x <5}，C ＝{x |－a <x ≤a ＋3}．若C ∩A ＝C ，则a 的取值范围为( )A ．－32<a ≤－1 B ．a ≤－32 C ．a ≤－1 D ．a >－32 答案 C解析 因为C ∩A ＝C ，所以C ⊆A .①当C ＝∅时，满足C ⊆A ，此时－a ≥a ＋3， 得a ≤－32；②当C ≠∅时，要使C ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧－a <a ＋3，－a ≥1，a ＋3<5，解得－32<a ≤－1.由①②得，a ≤－1.15. [2016·衡水中学仿真]已知集合A ＝{x |2x 2－2x <8}，B ＝{x |x 2＋2mx －4<0}，若A ∩B ＝{x |－1<x <1}，A ∪B ＝{x |－4<x <3}，则实数m 等于________．答案 32解析 由2x 2－2x <8，得x 2－2x <3，解得－1<x <3，所以A ＝{x |－1<x <3}．因为A ∩B ＝{x |－1<x <1}，A ∪B ＝{x |－4<x <3}，所以B ＝{x |－4<x <1}．由不等式与方程之间的关系可得，－4,1是方程x 2＋2mx－4＝0的两根，所以－4＋1＝－2m，即－2m＝－3，解得m＝32.16．[2016·枣强中学预测]已知集合A＝{y|y＝x2＋2x，－2≤x≤2}，B＝{x|x2＋2x－3≤0}，在集合A中任意取一个元素a，则a∈B的概率是________．答案2 9解析依题意，函数y＝x2＋2x＝(x＋1)2－1(－2≤x≤2)的值域是A＝{y|－1≤y≤8}；由x2＋2x－3≤0得－3≤x≤1，即B＝{x|－3≤x≤1}，则A∩B＝{x|－1≤x≤1}，因此所求的概率等于1－(－1) 8－(－1)＝2 9.。
