2019年湖南省娄底市中考数学试题(含答案解析)

专题09.反比例函数一、单选题1．（2021·山西中考真题）已知反比例函数6y x=，则下列描述不正确的是（ ） A ．图象位于第一，第三象限 B ．图象必经过点34,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．图象不可能与坐标轴相交D ．y 随x 的增大而减小2．（2021·四川达州市·中考真题）在反比例函数21k y x+=（k 为常数）上有三点()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，若1230x x x <<<，则1y ，2y ，3y 的大小关系为（ ）A ．123y y y <<B ．213y y y <<C ．132y y y <<D ．321y y y <<3．（2021·浙江杭州市·中考真题）已知1y 和2y 均是以x 为自变量的函数，当x m =时，函数值分别为1M 和2M ，若存在实数m ，使得120M M +=，则称函数1y 和2y 具有性质P ．以下函数1y 和2y 具有性质P 的是（ ）A ．212y x x =+和21y x =--B ．212y x x =+和21y x =-+C ．11y x =-和21y x =-- D ．11y x=-和21y x =-+ 4．（2021·天津中考真题）若点()()()1235,,1,,5,A y B y C y -都在反比例函数5y x=-的图象上，则123,,y y y 的大小关系是（ ） A ．123y y y <<B ．231y y y <<C ．132y y y <<D ．312y y y <<5．（2021·四川乐山市·中考真题）如图，直线1l 与反比例函数3(0)y x x=>的图象相交于A 、B 两点，线段AB 的中点为点C ，过点C 作x 轴的垂线，垂足为点D ．直线2l 过原点O 和点C ．若直线2l 上存在点(,)P m n ，满足APB ADB ∠=∠，则m n +的值为（ ）A ．3B ．3或32C ．3+或3-D ．36．（2021·重庆中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的顶点D 在第二象限，其余顶点都在第一象限，AB ∥X 轴，AO ⊥AD ，AO =A D ．过点A 作AE ⊥CD ，垂足为E ，DE =4CE ．反比例函数()0ky x x=>的图象经过点E ，与边AB 交于点F ，连接OE ，OF ，EF ．若118EOFS =，则k 的值为（ ） A ．73B ．214C ．7D ．2127．（2021·江苏扬州市·中考真题）如图，点P 是函数()110,0k y k x x=>>的图像上一点，过点P 分别作x 轴和y 轴的垂线，垂足分别为点A 、B ，交函数()220,0k y k x x=>>的图像于点C 、D ，连接OC 、OD 、CD 、AB ，其中12k k >，下列结论：①//CD AB ；②122OCDk kS-=；③()21212DCPk k Sk -=，其中正确的是（ ） A ．①②B ．①③C ．②③D ．①8．（2021·浙江宁波市·中考真题）如图，正比例函数()1110y k x k =<的图象与反比例函数()2220k y k x=<的图象相交于A ，B 两点，点B 的横坐标为2，当12y y >时，x 的取值范围是（ ）A ．2x <-或2x >B ．20x -<<或2x >C ．2x <-或02x <<D ．20x -<<或02x << 9．（2021·浙江金华市·中考真题）已知点()()1122,,,A x y B x y 在反比例函数12y x=-的图象上．若120x x <<，则（ ） A ．120y y <<B ．210y y <<C ．120y y <<D ．210y y <<10．（2021·江苏连云港市·中考真题）关于某个函数表达式，甲、乙、丙三位同学都正确地说出了该函数的一个特征．甲：函数图像经过点(1,1)-；乙：函数图像经过第四象限； 丙：当0x >时，y 随x 的增大而增大．则这个函数表达式可能是（ ） A ．y x =-B ．1y x=C ．2yx D ．1y x=-11．（2021·浙江温州市·中考真题）如图，点A ，B 在反比例函数ky x=（0k >，0x >）的图象上，AC x ⊥轴于点C ，BD x ⊥轴于点D ，BE y ⊥轴于点E ，连结AE ．若1OE =，23OC OD =，AC AE =，则k的值为（ ）A ．2B ．2C ．94D ．12．（2021·浙江嘉兴市·中考真题）已知三个点()11,x y ，()22,x y ，()33,x y 在反比例函数2y x=的图象上，其中1230x x x <<<，下列结论中正确的是（ ） A ．2130y y y <<< B ．1230y y y <<< C ．3210y y y <<<D ．3120y y y <<<13．（2021·重庆中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的顶点A ，B 在x 轴的正半轴上，反比例函数(0,0)ky k x x=>>的图象经过顶点D ，分别与对角线AC ，边BC 交于点E ，F ，连接EF ，AF ．若点E 为AC 的中点，AEF 的面积为1，则k 的值为（ ） A ．125B ．32C ．2D ．314．（2021·四川自贡市·中考真题）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流O （单位：A ）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．下列说法正确的是（ ） A ．函数解析式为13I R=B ．蓄电池的电压是18VC ．当10A I ≤时， 3.6R ≥ΩD ．当6R =Ω时，4A I = 15．（2021·浙江丽水市·中考真题）一杠杆装置如图，杆的一端吊起一桶水，水桶对杆的拉力的作用点到支点的杆长固定不变．甲、乙、丙、丁四位同学分别在杆的另一端竖直向下施加压力 F F F F 丁乙甲丙、、、，将相同重量的水桶吊起同样的高度，若 F F F F <<<甲丁丙乙，则这四位同学对杆的压力的作用点到支点的距离最远的是（ ） A ．甲同学B ．乙同学C ．丙同学D ．丁同学16．（2020·西藏中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝x 与反比例函数y ＝4x（x ＞0）的图象交于点A ，将直线y ＝x 沿y 轴向上平移b 个单位长度，交y 轴于点B ，交反比例函数图象于点C ．若OA ＝2BC ，则b 的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．417．（2020·辽宁铁岭市·）如图，矩形ABCD 的顶点D 在反比例函数(0)ky x x=>的图象上，点(1,0)E 和点(0,1)F 在AB 边上，AE EF =，连接,//DF DF x 轴，则k 的值为（ ）A ．B ．3C ．4D ．18．（2020·山东烟台市·中考真题）如图，正比例函数y 1＝mx ，一次函数y 2＝ax+b 和反比例函数y 3＝kx的图象在同一直角坐标系中，若y 3＞y 1＞y 2，则自变量x 的取值范围是（ ）A ．x ＜﹣1B ．﹣0.5＜x ＜0或x ＞1C ．0＜x ＜1D ．x ＜﹣1或0＜x ＜119．（2020·黑龙江大庆市·中考真题）已知正比例函数1y k x =和反比例函数2k y x=，在同一直角坐标系下的图象如图所示，其中符合120k k ⋅>的是（ ）A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④20．（2020·山东威海市·中考真题）如图，点(,1)P m ，点(-2,)Q n 都在反比例函数4y x=的图象上，过点P 分别向x 轴、y 轴作垂线，垂足分别为点M ，N ．连接OP ，OQ ，PQ ．若四边形OMPN 的面积记作1S ，POQ △的面积记作2S ，则（ ）A ．12:2:3S S =B ．12:1:1S S =C ．12:4:3S S =D ．12:5:3S S =21．（2020·广西中考真题）如图，点,A B 是直线y x =上的两点，过,A B 两点分别作x 轴的平行线交双曲线()10y x x=>于点,C D．若AC =，则223OD OC -的值为（ ） A ．5B．C ．4D．22．（2020·湖南郴州市·中考真题）在平面直角坐标系中，点A 是双曲线11(0)k y x x=>上任意一点，连接AO ，过点O 作AO 的垂线与双曲线22(0)k y x x=<交于点B ，连接AB ．已知2AOBO =，则12k k =（ ） A ．4B ．4-C ．2D ．2-23．（2020·江苏徐州市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，函数4y x=()0x >与1y x =-的图像交于点(),P a b ，则代数式11a b-的值为（ ） A ．12-B ．12C ．14-D ．1424．（2020·湖北中考真题）如图，菱形ABCD 的顶点分别在反比例函数1k y x =和2ky x=的图象上，若120BAD ∠=︒，则12k k =（ ） A ．13B ．3CD25．（2020·湖北武汉市·中考真题）若点()11,A a y -，()21,B a y +在反比例函数(0)ky k x=<的图象上，且12y y >，则a 的取值范围是（ ） A ．1a <-B ．11a -<<C ．1a >D ．1a <-或1a >26．（2020·湖北咸宁市·中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，对于横、纵坐标相等的点称为“好点”．下列函数的图象中不存在．．．“好点”的是（ ） A ．y x =-B ．2y x =+C ．2y x=D ．22y x x =-27．（2020·湖北鄂州市·中考真题）如图，点123,,A A A 在反比例函数1(0)y x x=>的图象上，点123,,n B B B B 在y 轴上，且11212323B OA B B A B B A ∠=∠=∠=，直线y x =与双曲线1y x=交于点111122123322,,A B A OA B A B A B A B A ⊥⊥⊥，，则n B （n 为正整数）的坐标是（ ） A．B．C． D．28．（2020·湖南湘西土家族苗族自治州·中考真题）已知正比例函数1y 的图象与反比例函数2y 的图象相交于点(2,4)A -，下列说法正确的是（ ）A ．正比例函数1y 的解析式是12y x =B ．两个函数图象的另一交点坐标为()4,2-C ．正比例函数1y 与反比例函数2y 都随x 的增大而增大D ．当2x <-或02x <<时，21y y < 29．（2020·天津中考真题）若点()()()123,5,,2,,5A x B x C x -都在反比例函数10y x=的图象上，则123,,x x x 的大小关系是（ ） A ．123x x x <<B ．231x x x <<C ．132x x x <<D ．312x x x <<30．（2020·湖南衡阳市·中考真题）反比例函数ky x=经过点(2,1)，则下列说法错误．．的是（ ） A ．2k =B ．函数图象分布在第一、三象限C ．当0x >时，y 随x 的增大而增大D ．当0x >时，y 随x 的增大而减小31．（2019·湖南娄底市·中考真题）将1y x=的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度所得图象如图，则所得图象的解析式为( ) A ．111y x =++ B ．111y x =-+ C ．111y x =+- D ．111y x =--32．（2019·湖南娄底市·中考真题）如图，⊙O 的半径为2，双曲线的解析式分别为1y x =和1y x=-，则阴影部分的面积是( ) A ．4π B ．3πC ．2πD ．π二、填空题目33．（2021·浙江绍兴市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的顶点A 在x 轴正半轴上，顶点B ，C 在第一象限，顶点D 的坐标5(,2)2． 反比例函数ky x=（常数0k >，0x >）的图象恰好经过正方形ABCD 的两个顶点，则k 的值是_______． 34．（2021·湖南中考真题）在反比例函数3m y x-=的图象的每一支曲线上，函数值y 随自变量x 的增大而增大，则m 的取值范围是________．35．（2021·湖北武汉市·中考真题）已知点()1,A a y ，()21,B a y +在反比例函数21m y x+=（m是常数）的图象上，且12y y <，则a 的取值范围是__________．36．（2021·湖南株洲市·中考真题）点()11,A x y 、()121,B x y +是反比例函数ky x=图像上的两点，满足：当1>0x 时，均有12y y <，则k 的取值范围是__________． 37．（2021·陕西中考真题）若()11,A y ，()23,B y 是反比例函数2112m y m x -⎛⎫=< ⎪⎝⎭图象上的两点，则1y 、2y 的大小关系是1y ______2y （填“>”、“=”或“<”）38．（2021·浙江宁波市·中考真题）在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点(),A x y ，我们把点11,B x y ⎛⎫⎪⎝⎭称为点A 的“倒数点”．如图，矩形OCDE 的顶点C 为()3,0，顶点E 在y 轴上，函数()20=>y x x 的图象与DE 交于点A ．若点B 是点A 的“倒数点”，且点B 在矩形OCDE 的一边上，则OBC 的面积为_________．39．（2021·云南中考真题）若反比例函数的图象经过点()1,2-，则该反比例函数的解析式（解析式也称表达式）为_________．40．（2020·山东日照市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，▱ABCD 的顶点B 位于y 轴的正半轴上，顶点C ，D 位于x 轴的负半轴上，双曲线y ＝kx（k ＜0，x ＜0）与▱ABCD 的边AB ，AD 交于点E 、F ，点A 的纵坐标为10，F （﹣12，5），把△BOC 沿着BC 所在直线翻折，使原点O 落在点G 处，连接EG ，若EG ∥y 轴，则△BOC 的面积是_____．41．（2020·湖北荆门市·中考真题）如图，矩形OABC 的顶点A 、C 分别在x 轴、y 轴上，()2,1B -，将OAB 绕点O 顺时针旋转，点B 落在y 轴上的点D 处，得到OED ，OE 交BC 于点G ，若反比例函数(0)ky x x=<的图象经过点G ，则k 的值为______． 42．（2020·广西中考真题）反比例函数y ＝kx（x ＜0）的图象如图所示，下列关于该函数图象的四个结论：①k ＞0；②当x ＜0时，y 随x 的增大而增大；③该函数图象关于直线y ＝﹣x 对称；④若点（﹣2，3）在该反比例函数图象上，则点（﹣1，6）也在该函数的图象上．其中正确结论的个数有_____个．43．（2020·内蒙古呼伦贝尔市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的顶点O 与坐标原点重合，点C 的坐标为（0,3），点A 在x 轴的正半轴上．直线1y x =-分别与边,AB OA 相交于,D M 两点，反比例函数(0)ky x x=>的图象经过点D 并与边BC 相交于点N ，连接MN ．点P 是直线DM 上的动点，当CP MN =时，点P 的坐标是________________．44．（2020·江苏宿迁市·中考真题）如图，点A 在反比例函数y ＝kx（x ＞0）的图象上，点B 在x 轴负半轴上，直线AB 交y 轴于点C ，若AC BC＝12，△AOB 的面积为6，则k 的值为_____． 45．（2020·辽宁锦州市·中考真题）如图，平行四边形ABCD 的顶点A 在反比例函数(0)ky x x=>的图象上，点B 在y 轴上，点C ，点D 在x 轴上，AD 与y 轴交于点E ，若3BCES=，则k 的值为_______．46．（2020·江苏南通市·中考真题）将双曲线y ＝3x向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新双曲线与直线y ＝kx ﹣2﹣k （k ＞0）相交于两点，其中一个点的横坐标为a ，另一个点的纵坐标为b ，则（a ﹣1）（b +2）＝_____．47．（2020·湖南永州市·中考真题）如图，正比例函数y x =-与反比例函数6y x=-的图象交于A ，C 两点，过点A 作AB x ⊥轴于点B ，过点C 作CD x ⊥轴于点D ，则ABD △的面积为_________．48．（2020·山东东营市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知直线1y x =+和双曲线1y x=-，在直线上取一点，记为1A ，过1A 作x 轴的垂线交双曲线于点1B ，过1B 作y 轴的垂线交直线于点2A ，过2A 作x 轴的垂线交双曲线于点2B ，过2B 作y 轴的垂线交直线于点3,A ······，依次进行下去，记点n A 的横坐标为n a ，若12,a =则2020a =______．49．（2020·广东深圳市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，ABCO 为平行四边形，O （0，0），A （3，1），B （1，2），反比例函数(0)ky k x=≠的图象经过OABC 的顶点C ，则k =___．50．（2020·广西玉林市·中考真题）已知函数1y x =与函数21y x=的部分图像如图所示，有以下结论： ①当0x <时，12,y y 都随x 的增大而增大；②当1x <-时， 12y y >；③12,y y 的图像的两个交点之间的距离是2；④函数12y y y =+的最小值为2；则所有正确的结论是_________．51．（2020·辽宁抚顺市·中考真题）如图，在ABC ∆中，AB AC =，点A 在反比例函数ky x=（0k >，0x >）的图象上，点B ，C 在x 轴上，15OC OB =，延长AC 交y 轴于点D ，连接BD ，若BCD ∆的面积等于1，则k 的值为_________．52．（2020·江苏盐城市·中考真题）如图，已知点()5,2,54()(),81A B C ，，，直线l x ⊥轴，垂足为点0(),M m ，其中52m <，若A B C '''与ABC 关于直线l 对称，且A B C '''有两个顶点在函数(0)k y k x=≠的图像上，则k 的值为：_______________________．53．（2020·江苏淮安市·中考真题）如图，等腰ABC ∆的两个顶点(1,4)A --、(4,1)B --在反比例函数1k y x=（0x <）的图象上，AC BC =．过点C 作边AB 的垂线交反比例函数1k y x =（0x <）的图象于点D ，动点P 从点D 出发，沿射线CD 方向运动到达反比例函数2ky x=（0x >）图象上一点，则2k =__________．54．（2020·湖北鄂州市·中考真题）如图，点A 是双曲线1(0)y x x=<上一动点，连接OA ，作OB OA ⊥，且使3OB OA =，当点A 在双曲线1y x =上运动时，点B 在双曲线k y x=上移动，则k 的值为___________．55．（2020·河北中考真题）如图是8个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作m T （m 为1~8的整数）．函数ky x=（0x <）的图象为曲线L ．（1）若L 过点1T ，则k =_________；（2）若L 过点4T ，则它必定还过另一点m T ，则m =_________； （3）若曲线L 使得18~T T 这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，则k 的整数值有_________个．56．（2020·四川自贡市·中考真题）如图， 直线y b =+与y 轴交于点A ，与双曲线ky x=在第三象限交于B C 、两点，且 ⋅=AB AC 16；下列等边三角形11OD E ，122E D E ，233E D E ，……的边1OE ，12E E ，23E E ，……在x 轴上，顶点123D ,D ,D ,……在该双曲线第一象限的分支上，则k = ____，前25个等边三角形的周长之和为 _______．57．（2019·贵州安顺市·中考真题）如图，直线l x ⊥轴于点P ，且与反比例函数11k y x=（0x >）及22ky x =（0x >）的图象分别交于A 、B 两点，连接OA 、OB ，已知OAB ∆的面积为4，则12k k =﹣________．59．（2019·湖南长沙市·中考真题）如图，函数ky x=(k 为常数，k ＞0)的图象与过原点的O 的直线相交于A ，B 两点，点M 是第一象限内双曲线上的动点（点M 在点A 的左侧），直线AM 分别交x 轴，y 轴于C ，D 两点，连接BM 分别交x 轴，y 轴于点E ，F ．现有以下四个结论：①△ODM 与△OCA 的面积相等；②若BM⊥AM 于点M ，则∠MBA ＝30°；③若M 点的横坐标为1，△OAM 为等边三角形，则2k =+25MF MB =，则MD ＝2MA ．其中正确的结论的序号是_______．60．（2019·四川南充市·中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，点(3,2)A m n 在直线1y x =-+上，点(,)B m n 在双曲线ky x=上，则k 的取值范围为___________. 三、解答题61．（2021·湖北随州市·中考真题）如图，一次函数1y kx b =+的图象与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，与反比例函数2my x=（0m >）的图象交于点()1,2C ，()2,D n ． （1）分别求出两个函数的解析式；（2）连接OD ，求BOD 的面积．62．（2021·湖北恩施土家族苗族自治州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，Rt ABC 的斜边BC 在x 轴上，坐标原点是BC 的中点，30ABC ∠=︒，4BC =，双曲线ky x=经过点A ．（1）求k ；（2）直线AC 与双曲线y =D ．求ABD △的面积．63．（2021·四川广安市·中考真题）如图，一次函数()1y kx b k 0=+≠的图象与反比例函数()2my m 0x=≠的图象交于()1,A n -，()3,2B -两点．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）点P 在x 轴上，且满足ABP △的面积等于4，请直接写出点P 的坐标．64．（2021·浙江杭州市·中考真题）在直角坐标系中，设函数11k y x=（1k 是常数，10k >，0x >）与函数22y k x =（2k 是常数，20k ≠）的图象交于点A ，点A 关于y 轴的对称点为点B ．（1）若点B 的坐标为()1,2-，①求1k ，2k 的值．②当12y y <时，直接写出x 的取值范围． （2）若点B 在函数33k y x=（3k 是常数，30k ≠）的图象上，求13k k +的值．65．（2021·山东临沂市·中考真题）已知函数()()()31 31131x x y x x x x⎧≤-⎪⎪=-⎨⎪⎪≥⎩＜＜（1）画出函数图象；列表：描点，连线得到函数图象：（2）该函数是否有最大或最小值？若有，求出其值，若没有，简述理由； （3）设1122(,),(,)x y x y 是函数图象上的点，若120x x +=，证明：120y y +=．66．（2021·安徽中考真题）已知正比例函数(0)y kx k =≠与反比例函数6y x=的图象都经过点A （m ，2）．（1）求k ，m 的值；（2）在图中画出正比例函数y kx =的图象，并根据图象，写出正比例函数值大于反比例函数值时x 的取值范围．67．（2021·浙江中考真题）已知在平面直角坐标系xOy 中，点A 是反比例函数1(0)y x x=>图象上的一个动点，连结,AO AO 的延长线交反比例函数(0,0)ky k x x=><的图象于点B ，过点A 作AE y ⊥轴于点E ．（1）如图1，过点B 作BF x ⊥轴于点F ，连结EF ．①若1k =，求证：四边形AEFO 是平行四边形； ②连结BE ，若4k =，求BOE △的面积．（2）如图2，过点E 作//EP AB ，交反比例函数(0,0)ky k x x=><的图象于点P ，连结OP ．试探究：对于确定的实数k ，动点A 在运动过程中，POE △的面积是否会发生变化？请说明理由．68．（2021·四川乐山市·中考真题）通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标y 随时间x （分钟）变化的函数图象如图所示，当010x ≤<和1020x ≤<时，图象是线段；当2045x ≤≤时，图象是反比例函数的一部分．（1）求点A 对应的指标值；（2）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要17分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由．69．（2021·重庆中考真题）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．以下是我们研究函数|26|y x x m =+-++性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．（1）写出函数关系式中m 及表格中a ，b 的值：m =________，a =_________，b =__________； （2）根据表格中的数据在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并根据图象写出该函数的一条性质：__________；（3）已知函数16y x=的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式16|26|x x m x+-++>的解集．70．（2021·四川自贡市·中考真题）函数图象是研究函数的重要工具．探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，然后观察分析图象特征，概括函数性质的过程．请结合已有的学习经验，画出函数28xy =-的图象，并探究其性质．列表如下：（1）直接写出表中a 、b 的值，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象；（2）观察函数284xy x =-+的图象，判断下列关于该函数性质的命题： ①当22x -≤≤时，函数图象关于直线y x =对称；②2x =时，函数有最小值，最小值为2-；③11x -<<时，函数y 的值随x 的增大而减小．其中正确的是_________．（请写出所有正确命题的序号） （3）结合图象，请直接写出不等式284xx x >+的解集_________．71．（2021·四川遂宁市·中考真题）如图，一次函数1y ＝k x ＋ b （k ≠0）与反比例函数2my x=（m ≠0）的图象交于点A （1，2）和B （－2，a ），与y 轴交于点M ．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）在y 轴上取一点N ，当△AMN 的面积为3时，求点N 的坐标； （3）将直线1y 向下平移2个单位后得到直线y 3，当函数值123y y y >>时，求x 的取值范围．72．（2021·四川凉山州·中考真题）如图，AOB 中，90∠=︒ABO ，边OB 在x 轴上，反比例函数(0)ky x x=>的图象经过斜边OA的中点M，与AB相交于点N，912,2AOBS AN==．（1）求k的值；（2）求直线MN的解析式．73．（2021·四川泸州市·中考真题）一次函数y=kx+b（k≠0）的图像与反比例函数myx=的图象相交于A(2，3)，B(6，n)两点（1）求一次函数的解析式（2）将直线AB沿y轴向下平移8个单位后得到直线l，l与两坐标轴分别相交于M，N，与反比例函数的图象相交于点P，Q，求PQMN的值74．（2020·柳州市柳林中学中考真题）如图，平行于y轴的直尺（部分）与反比例函数myx=（x＞0）的图象交于A、C两点，与x轴交于B、D两点，连接AC，点A、B对应直尺上的刻度分别为5、2，直尺的宽度BD＝2，OB＝2．设直线AC的解析式为y＝kx+b．（1）请结合图象，直接写出：①点A的坐标是；②不等式mkx bx+>的解集是；（2）求直线AC的解析式．75．（2020·山东济南市·中考真题）如图，矩形OABC的顶点A，C分别落在x轴，y轴的正半轴上，顶点B（2，），反比例函数kyx=（x>0）的图象与BC，AB分别交于D，E，BD＝12．（1）求反比例函数关系式和点E的坐标；（2）写出DE与AC的位置关系并说明理由；（3）点F在直线AC上，点G是坐标系内点，当四边形BCFG为菱形时，求出点G的坐标并判断点G是否在反比例函数图象上．76．（2020·江苏镇江市·中考真题）如图，正比例函数y＝kx（k≠0）的图象与反比例函数y＝﹣8x的图象交于点A(n，2)和点B．（1）n＝，k＝；（2）点C在y轴正半轴上．∠ACB＝90°，求点C的坐标；（3）点P（m，0）在x轴上，∠APB为锐角，直接写出m的取值范围．77．（2020·内蒙古赤峰市·中考真题）阅读理解：材料一：若三个非零实数x ，y ，z 满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x ，y ，z 构成“和谐三数组”.材料二：若关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c = 0(a ≠0)的两根分别为1x ，2x ，则有12b x x a +=-，12cx x a⋅=． 问题解决：（1）请你写出三个能构成“和谐三数组”的实数 ；（2）若1x ，2x 是关于x 的方程ax 2+bx +c = 0 (a ，b ，c 均不为0)的两根，3x 是关于x 的方程bx +c =0(b ，c 均不为0)的解．求证：x 1，x 2，x 3可以构成“和谐三数组”；（3）若A (m ，y 1) ，B (m + 1，y 2) ，C (m +3，y 3)三个点均在反比例函数4y x=的图象上，且三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”，求实数m 的值．78．（2020·四川绵阳市·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数的图象与反比例函数y ＝k x（k ＜0）的图象在第二象限交于A （﹣3，m ），B （n ，2）两点．（1）当m ＝1时，求一次函数的解析式； （2）若点E 在x 轴上，满足∠AEB ＝90°，且AE ＝2﹣m ，求反比例函数的解析式．79．（2020·云南昆明市·中考真题）为了做好校园疫情防控工作，校医每天早上对全校办公室和教室进行药物喷洒消毒，她完成3间办公室和2间教室的药物喷洒要19min ；完成2间办公室和1间教室的药物喷洒要11min ．（1）校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要多少时间？（2）消毒药物在一间教室内空气中的浓度y （单位：mg /m 3）与时间x （单位：min ）的函数关系如图所示：校医进行药物喷洒时y 与x 的函数关系式为y ＝2x ，药物喷洒完成后y 与x 成反比例函数关系，两个函数图象的交点为A （m ，n ）．当教室空气中的药物浓度不高于1mg /m 3时，对人体健康无危害，校医依次对一班至十一班教室（共11间）进行药物喷洒消毒，当她把最后一间教室药物喷洒完成后，一班学生能否进入教室？请通过计算说明．80．（2020·四川眉山市·中考真题）已知一次函数y kx b =+与反比例函数my x=的图象交于(3,2)A -、(1,)B n 两点．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）求AOB 的面积；（3）点P 在x 轴上，当PAO 为等腰三角形时，直接写出点P 的坐标．81．（2020·湖北荆州市·中考真题）九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图像和性质后，进一步研究了函数2y x=的图像与性质，其探究过程如下： （1）绘制函数图像，如图1①列表；下表是x 与y 的几组对应值，其中______m =；②描点：根据表中各组对应值(x ，y)在平面直角坐标系中描出了各点；③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图像，请你把图像补充完整；（2）通过观察图1，写出该函数的两条性质：①_______________；②_______________； （3）①观察发现：如图2，若直线y=2交函数2y x=的图像于A ，B 两点，连接OA ，过点B 作BC//OA 交x 轴于点C ，则________OABC S =；②探究思考：将①的直线y=2改为直线y=a(a>0)，其他条件不变，则________OABC S =； ③类比猜想：若直线y=a(a>0)交函数(0)ky k x=>的图像于A ，B 两点，连接OA ，过点B 作BC//OA 交x 轴于C ，则________OABC S =；82．（2020·湖南郴州市·中考真题）为了探索函数1(0)y x x x=+>的图象与性质，我们参照学习函数的过程与方法．列表：描点：在平面直角坐标系中，以自变量x 的取值为横坐标，以相应的函数值y 为纵坐标，描出相应的点，如图1所示：（1）如图1，观察所描出点的分布，用一条光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象； （2）已知点1122(,),(,)x y x y 在函数图象上，结合表格和函数图象，回答下列问题：若1201x x <<≤，则1y 2y ；若121x x <<，则1y 2y ；若121x x ⋅=，则1y 2y （填“>”，“=”，“<”）． （3）某农户要建造一个图2所示的长方体形无盖水池，其底面积为1平方米，深为1米．已知底面造价为1千元/平方米，侧面造价为0.5千元/平方米，设水池底面一边的长为x 米，水池总造价为y 千元．①请写出y 与x 的函数关系式；②若该农户预算不超过3.5千元，则水池底面一边的长x 应控制在什么范围内?83．（2020·甘肃天水市·中考真题）如图所示，一次函数()0y mx nm =+≠的图象与反比例函数()0ky k x=≠的图象交于第二、四象限的点()2,A a -和点(),1B b -，过A 点作x 轴的垂线，垂足为点C ，AOC △的面积为4．（1）分别求出a 和b 的值；（2）结合图象直接写出kmx n x +>中x 的取值范围； （3）在y 轴上取点P ，使PB PA -取得最大值时，求出点P 的坐标．84．（2019·江苏泰州市·中考真题）已知一次函数()10y kx n n =+<和反比例函数()20,0my m x x=>>．（1）如图1，若2n =-，且函数1y 、2y 的图象都经过点()3,4A ． ①求m ，k 的值；②直接写出当12y y >时x 的范围；（2）如图2，过点()1,0P 作y 轴的平行线l 与函数2y 的图象相交于点B ，与反比例函数()30ny x x=>的图象相交于点C ．①若2k =，直线l 与函数1y 的图象相交点D ．当点B 、C 、D 中的一点到另外两点的距离相等时，求m n -的值；②过点B 作x 轴的平行线与函数1y 的图象相交于点E ．当m n -的值取不大于1的任意实数时，点B 、C 间的距离与点B 、E 间的距离之和d 始终是一个定值．求此时k 的值及定值d ．祝你考试成功!祝你考试成功!。

娄底市2023年初中毕业学业考试试题卷数学温馨提示：1．本学科试卷分试题卷和答题卡两部分，数学卷面满分120分，考试时量120分钟．2．请你将姓名、准考证号等相关信息按要求填涂在答题卡上．3．请你在答题卡规定区域内作答，答在本试题卷上无效．一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡上相应题号下的方框里）1. 2023的倒数是（ ）A. 2023- B. 2023C.12023D. 12023-【答案】C 【解析】【分析】直接利用倒数的定义，即若两个不为零的数的积为1，则这两个数互为倒数，即可一一判定．【详解】解：2023的倒数为12023．故选C ．【点睛】此题主要考查了倒数的定义，熟练掌握和运用倒数的求法是解决本题的关键．2. 下列运算正确的是（ ）A. 248a a a ⋅= B. 2234a a a +=C. ()()2222a a a +-=- D. ()326328a ba b -=-【答案】D 【解析】【分析】根据同底数幂的乘法运算可判断A ，根据合并同类项可判断B ，根据平方差公式可判断C ，根据积的乘方运算可判断D ，从而可得答案．【详解】解：246a a a ⋅=，故A 不符合题意；2a ，3a 不是同类项，不能合并，故B 不符合题意；()()2224a a a +-=-，故C 不符合题意；()326328a b a b -=-，运算正确，故D 符合题意；故选D【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法运算，合并同类项，平方差公式的应用，积的乘方运算，熟记以上基础的运算法则是解本题的关键．3. 新时代我国教育事业取得了历史性成就，目前我国已建成世界上规模最大的教育体系，教育现代化发展总体水平跨入世界中上国家行列，其中高等教育在学总规模达到4430万人，处于高等教育普及化阶段．4430万用科学记数法表示为（ ）A. 544310´ B. 74.4310´ C. 84.4310´ D. 80.44310´【答案】B 【解析】【分析】科学记数法的表示形式为10n a ´的形式，其中110a £<，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值10³时，n 是正整数，当原数绝对值1<时，n 是负整数．【详解】解：4430万744300000 4.4310==´， 故选：B ．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为10n a ´的形式，其中110a £<，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．4. 一个小组7名同学的身高（单位：cm ）分别为：175，160，158，155，168，151，170．这组数据的中位数是（ ）A. 151 B. 155C. 158D. 160【答案】D 【解析】【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．【详解】解：由于此数据按照从小到大的顺序排列为151，155，158，160，168，170，175．发现160处在第4位．所以这组数据的中位数是160，故选：D ．【点睛】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数的能力．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；如果是偶数个，则找中间两位数的平均数．5. 不等式组35220x x -+<ìí-£î的解集在数轴上表示正确的是（ ）A.B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】先分别求出各不等式的解集，再利用数轴表示解集的公共部分即可．详解】解：35220x x -+<ìí-£î①②，由①得：2x >-，由②得：1x £，在数轴上表示两个不等式的解集如下：∴不等式组的解集为：21x -<£；故选：C【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知大于向右拐，小于向左拐的原则是解答此题的关键．6. 将直线 21y x =+向右平移2个单位所得直线的表达式为（ ）A. 21y x =- B. 23y x =- C. 23y x =+ D. 25y x =+【答案】B 【解析】【分析】直接根据“左加右减，上加下减” 的平移规律求解即可.【详解】解：将直线 21y x =+向右平移2个单位，所得直线的解析式为 2(2)1y x =-+，即 23y x =-，故选：B.【【点睛】本题考查一次函数图象与几何变换，在平面直角坐标系中，平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”.7. 从367，3.1415926，3.3& ）A.27B.37C.47D.57【答案】A 【解析】2=，2=-，∴367，3.1415926，3.3&∴从367，3.1415926，3.3&27；故选A【点睛】本题考查的是求解一个数的算术平方根，立方根，无理数的含义，利用概率公式求解简单随机事件的概率，掌握以上基础知识是解本题的关键．8. 一个长方体物体的一顶点所在A 、B 、C 三个面的面积比是3:2:1，如果分别按A 、B 、C 面朝上将此物体放在水平地面上，地面所受的压力产生的压强分别为A P 、B P 、C P （压强的计算公式为F P S=），则::A B C P P P =（ ）A. 2:3:6B. 6:3:2C. 1:2:3D. 3:2:1【答案】A 【解析】【分析】首先根据长方体的性质，得出相对面的面积相等，再根据物体的压力不变，结合反比例函数的性质进行分析，即可得出答案．【详解】解：∵长方体物体的一顶点所在A 、B 、C 三个面的面积比是3:2:1，∴长方体物体的A 、B 、C 三面所对的与水平地面接触的面积比也为3:2:1，∵FP S=，0F >，且F 一定，∴P 随S 的增大而减小，∴111::::2:3:6321A B C P P P ==．故选：A ．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，解本题的关键在熟练掌握反比例函数的性质．9. 如图，正六边形ABCDEF 的外接圆O e 的半径为2，过圆心O 的两条直线1l 、2l 的夹角为60°，则图中的阴影部分的面积为（ ）A.43p - B.43p C.23p - D.23p 【答案】C 【解析】【分析】如图，连接AO ，标注直线与圆的交点，由正六边形的性质可得：A ，O ，D 三点共线，COD △为等边三角形，证明扇形AOQ 与扇形COG 重合，可得COD COD S S S =-V 阴影扇形，从而可得答案．【详解】解：如图，连接AO ，标注直线与圆的交点，由正六边形的性质可得：A ，O ，D 三点共线，COD △为等边三角形，∴AOQ DOH Ð=Ð，60COD GOH Ð=Ð=°，∴COG DOH AOQ Ð=Ð=Ð，∴扇形AOQ 与扇形COG 重合，∴COD COD S S S =-V 阴影扇形，∵COD △为等边三角形，2OC OD ==，过O 作OK CD ^于K ，∴60COD Ð=°，1CK DK ==，OK ==∴260212236023COD COD S S S p p ´=-==´=V 阴影扇形故选C【点睛】本题考查的是正多边形与圆，扇形面积的计算，勾股定理的应用，熟记正六边形的性质是解本题的关键．10. 已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，给出下列结论：①0abc <；②420a b c -+>；③()a b m am b ->+（m 为任意实数）；④若点()13,y -和点()23,y 在该图象上，则12y y >．其中正确的结论是（ ）A. ①②B. ①④C. ②③D. ②④【答案】D 【解析】【分析】由抛物线的开口向下，与y 轴交于正半轴，对称轴在y 轴的左边，可得a<0，0c >， 0b <，故①不符合题意；当0x =与2x =-时的函数值相等，可得420a b c c -+=>，故②符合题意；当=1x -时函数值最大，可得()a b m am b -³+，故③不符合题意；由点()13,y -和点()23,y 在该图象上，而()()()314132--=>---=，且离抛物线的对称轴越远的点的函数值越小，可得④符合题意．【详解】解：∵抛物线的开口向下，与y 轴交于正半轴，对称轴在y 轴的左边，∴a<0，0c >，02bx a=-<，∴0b <，∴0abc >，故①不符合题意；∵对称轴为直线=1x -，∴当0x =与2x =-时的函数值相等，∴420a b c c -+=>，故②符合题意；∵当=1x -时函数值最大，∴2a b c am bm c -+³++，∴()a b m am b -³+；故③不符合题意；∵点()13,y -和点()23,y 在该图象上，而()()()314132--=>---=，且离抛物线的对称轴越远的点的函数值越小，∴12y y >．故④符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查的是二次函数的图象与性质，熟记二次函数的开口方向，与y 轴的交点坐标，对称轴方程，增减性的判定，函数的最值这些知识点是解本题的关键．11. 从n 个不同元素中取出()m m n £个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符号m nC 表示，()()()()12111m nn n n n m C m m --⋅⋅⋅-+=-⋅⋅⋅（n m ³，n 、m 为正整数）；例如：255421C ´=´，38876321C ´´=´´，则4599C C +=（ ）A. 69C B. 410C C. 510C D. 610C 【答案】C 【解析】【分析】根据新定义分别进行计算比较即可得解．【详解】解：∵()()()()12111mn n n n n m C m m --⋅⋅⋅-+=-⋅⋅⋅，∴4599987698765126126252432154321C C ´´´´´´´+=+=+=´´´´´´´，A 选项，6998765484654321C ´´´´´==´´´´´，B 选项，410109872104321C ´´´==´´´，C 选项，51010987625254321C ´´´´==´´´´，D 选项，6101098765210654321C ´´´´´=´´´´=´，故选C ．【点睛】本题考查了新定义运算以及求代数式的值．正确理解新定义是解题的关键．12.a 、b 、c 的ABC V 的面积为ABCS =△．ABC V 的边a 、b 、c 所对的角分别是∠A 、∠B 、∠C ，则111sin sin sin 222ABC S ab C ac B bc A ===△．下列结论中正确的是（ ）A. 222cos 2a b c C ab +-=B. 222cos 2a b c C ab +-=-C. 222cos 2a b c C ac+-=D. 222cos 2a b c C bc+-=【答案】A 【解析】，1sin 2ABC S ab C =V ，即222222222sin 2a b c a b a b C æö+--=ç÷èø，()22222221sin 2a b c a b C æö+--=ç÷èø，22222cos 2a b c C ab æö+-=ç÷èø，222cos 2a b c C ab+-=故选：A ．【点睛】本题考查等式利用等式的性质解题化简，熟悉22sin cos 1C C +=是解题的关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）13. 函数y 的自变量x 的取值范围为____________．【答案】x≥－1【解析】【详解】由题意得，x+1≥0，解得x≥﹣1．故答案为x≥﹣1．14. 若m 是方程2210x x --=的根，则221m m+=______．【答案】6【解析】【分析】由m 是方程2210x x --=的根，可得221m m =+，把221m m +化为12121m m +++，再通分变形即可．【详解】解：∵m 是方程2210x x --=的根，∴2210m m --=，即221m m =+，∴22112121m m m m +=+++()221121m m ++=+244221m m m ++=+844221m m m +++=+()62121m m +=+6=；【点睛】本题考查的是一元二次方程的解的含义，分式的化简求值，准确的把原分式变形，再求值是解本题的关键．15. 如图，点E 在矩形ABCD 的边CD 上，将ADE V 沿AE 折叠，点D 恰好落在边BC 上的点F 处，若10BC =．4sin 5AFB Ð=，则DE =______．【答案】5【解析】【分析】利用矩形的性质及折叠的性质可得10AD AF ==，EF ED =，可得4sin 1085AB AF AFB =⋅Ð=´=，6BF ==，设DE x =，则8CE CD DE x =-=-，利用勾股定理可得222EF CF CE =+，进而可得结果．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴90B C D Ð=Ð=Ð=°，AB CD =，10AD BC ==，根据折叠可知，可知10AD AF ==，EF ED =，则，在Rt ABF V 中，4sin 1085AB AF AFB =⋅Ð=´=，则8CD =，∴6BF ==，则4CF BC BF =-=，设DE x =，则8CE CD DE x =-=-，在Rt CEF △中，222EF CF CE =+，即：()22284x x =-+，解得：5x =，即：5DE =，故答案为：5．【点睛】本题考查矩形的性质、折叠的性质、解直角三角形，灵活运用折叠的性质得到相等线段是解决问题的关键．16. 如图，在ABC V 中，3AC =，4AB =，BC 边上的高2AD =，将ABC V 绕着BC 所在的直线旋转一周得到的几何体的表面积为______．【答案】14p 【解析】【分析】由圆锥的侧面展开图是扇形，可得圆锥的侧面积公式12S lr =，再根据题干数据进行计算即可．【详解】解：由题意可得：旋转后的几何体是两个共底面的圆锥，∵BC 边上的高2AD =，∴底面圆的周长为：224p p ´=，∵3AC =，4AB =，∴几何体的表面积为1134+44=1422p p p ´´´´．故答案为：14p ．【点睛】本题考查的是圆锥的侧面积的计算，几何体的形成，熟记圆锥的侧面积公式是解本题的关键．17. 如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴相交于点()1,0A 、点()3,0B ，与y 轴相交于点C ，点D 在抛物线上，当CD x ∥轴时，CD =______．【答案】4【解析】【分析】与抛物线2y ax bx c =++与x 轴相交于点()1,0A 、点()3,0B ，可得抛物线的对称轴为直线1322x +==，由CD x ∥轴，可得C ，D 关于直线2x =对称，可得()4,D c ，从而可得答案．【详解】解：∵抛物线2y ax bx c =++与x 轴相交于点()1,0A 、点()3,0B ，∴抛物线的对称轴为直线1322x +==，∵当0x =时，y c =，即()0,C c ，∵CD x ∥轴，∴C ，D 关于直线2x =对称，∴()4,D c ，∴404CD =-=；故答案为：4【点睛】本题考查的是利用抛物线上两点的坐标求解对称轴方程，熟练的利用抛物线的对称性解题是关键．18. 若干个同学参加课后社团——舞蹈活动，一次排练中，先到的n 个同学均匀排成一个以O 点为圆心，r 为半径的圆圈（每个同学对应圆周上一个点），又来了两个同学，先到的同学都沿各自所在半径往后移a 米，再左右调整位置，使这()2+n 个同学之间的距离与原来n 个同学之间的距离（即在圆周上两人之间的圆弧的长）相等．这()2+n 个同学排成圆圈后，又有一个同学要加入队伍，重复前面的操作，则每人须往后移______米（请用关于a 的代数式表示），才能使得这()3+n 个同学之间的距离与原来n 个同学之间的距离相等．【答案】2a 【解析】【分析】由第一次操作可得：()222r a r n n p p +=+，则2r n a =，设第二次操作时每位同学向后移动了x 米，可得()()2223r a r a x n n p p +++=++，解得2r a x n +=+，再代入化简即可．【详解】解：由第一次操作可得：()222r a r n n p p +=+，∴2r n a=，设第二次操作时每位同学向后移动了x 米，则()()2223r a r a x n n p p +++=++，∴()()22222a r a r a r a a x r n a r a +++====+++，故答案为：2a【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，分式的化简，准确的理解题意确定相等关系是解本题的关键．三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）19. 计算：()020231tan60p-+-°．【答案】【解析】【分析】先计算零次幂，化简绝对值，化简二次根式，求解特殊角的正切，再合并即可．【详解】解：()020231tan60 p-+--°11=+=【点睛】本题考查是含特殊角的三角函数值的混合运算，零次幂的含义，化简绝对值，二次根式，熟记相关概念与运算法则是解本题的关键．20. 先化简，再求值：221111xx x xæö-¸ç÷+--èø，其中x满足2340x x--=．【答案】232x x--；2【解析】【分析】先计算括号内的分式的减法运算，再把除法化为乘法运算，得到化简的结果，再整体代入计算即可．【详解】解：221111xx x xæö-¸ç÷+--èø()()()()222=1111x x xx xx x---⋅+-+-232x x=--；∵2340x x--=，∴234x x-=，其中1x¹-，∴原式422=-=．【点睛】本题考查是分式的化简求值，熟练的化简分式并整体代入进行计算是解本题的关键．的的四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）21. 某区教育局为了了解某年级学生对科学知识的掌握情况，在全区范围内随机抽取若干名学生进行科学知识测试，按照测试成绩分优秀、良好、合格与不合格四个等级，并绘制了如下两幅不完整统计图．（1）参与本次测试的学生人数为______，m =______．（2）请补全条形统计图．（3）若全区该年纪共有5000名学生，请估计该年级对科学知识掌握情况较好（测试成绩能达到良好及以上等级）的学生人数．【答案】（1）150人，30（2）补全图形见解析（3）3500人．【解析】【分析】（1）由良好60人除以其占比40%可得总人数，由优秀的45人除以总人数可得m 的值；（2）先利用总人数减去优秀，良好，不合格，得到合格的人数，再补全统计图即可；（3）由5000乘以测试成绩能达到良好及以上等级学生人数的占比可得答案．【小问1详解】解：6040%=150¸（人），∴参与本次测试的学生人数为150人，45100%=30%150´，∴30m =；故答案为：150人；30；【小问2详解】∵1504560540---=（人），的补全图形如下：．【小问3详解】45+6050003500150´=（人）；∴全区该年纪共有5000名学生，请估计该年级对科学知识掌握情况较好（测试成绩能达到良好及以上等级）的学生人数有3500人．【点睛】本题考查的是从条形图与扇形图中获取信息，利用样本估计总体，能够正确的读图是解本题的关键．22. 几位同学在老师的指导下到某景区进行户外实践活动，在登山途中发现该景区某两座山之间风景优美，但路陡难行，为了便于建议景区管理处在这两山顶间建观光索道，他们分别在两山顶上取A 、B 两点，并过点B 架设一水平线型轨道CD （如图所示），使得ABC a Ð=，从点B 出发按CD 方向前进20米到达点E ，即20BE =米，测得AEB b Ð=．已知24sin 25a =，tan 3b =，求A 、B 两点间的距离．【答案】A 、B 两点间的距离为500米．【解析】【分析】如图，过A 作AQ CD ^于Q ，由2425AQ AB =，设24AQ x =，则25AB x =，可得7BQ x ==，而20BE =，可得720QE QB BE x =+=+，结合3AQ QE=，即3AQ QE =，再建立方程求解即可．【详解】解：如图，过A 作AQ CD ^于Q ，∵24sin 25a =，即2425AQ AB =，设24AQ x =，则25AB x =，∴7BQ x ==，而20BE =，∴720QE QB BE x =+=+，∵tan 3b =，∴3AQ QE=，即3AQ QE =，∴()243720x x =+，解得：20x =，∴252520500AB x ==´=（米），答：A 、B 两点间的距离为500米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的实际应用，作出合适的辅助线构建直角三角形是解本题的关键．五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）23. 为落实“五育并举”，绿化美化环境，学校在劳动周组织学生到校园周边种植甲、乙两种树苗．已知购买甲种树苗3棵，乙种树苗2棵共需12元，；购买甲种树苗1棵，乙种树苗3棵共需11元．（1）求每棵甲、乙树苗的价格．（2）本次活动共种植了200棵甲、乙树苗，假设所种的树苗若干年后全部长成了参天大树，并且平均每棵树的价值（含生态价值，经济价值）均为原来树苗价的100倍，要想获得不低于5万元的价值，请问乙种树苗种植数量不得少于多少棵？【答案】（1）每棵甲种树苗的价格为2元，每棵乙种树苗的价格3元；（2）乙种树苗种植数量不得少于100棵．【解析】【分析】（1）设每棵甲种树苗的价格为x 元，每棵乙种树苗的价格y 元，由“购买甲种树苗3棵，乙种树苗2棵共需12元，；购买甲种树苗1棵，乙种树苗3棵共需11元”列出方程组，可求解；（2）设乙种树苗种植数量为m 棵，则甲种树苗数量为()200m -棵，根据“获得不低于5万元的价值”列不等式解题即可．【小问1详解】解：设每棵甲种树苗的价格为x 元，每棵乙种树苗的价格y 元， 由题意可得：3212311x y x y +=ìí+=î， 解得：23x y =ìí=î， 答：每棵甲种树苗的价格为2元，每棵乙种树苗的价格3元；【小问2详解】设乙种树苗种植数量为m 棵，则甲种树苗数量为()200m -棵，∴()20020030050000m m -+³，解得：100m ³，∴m 的最小整数解为100．答：乙种树苗种植数量不得少于100棵．【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，熟练的确定相等关系与不等关系是解本题的关键．24. 如图1，点G 为等边ABC V 的重心，点D 为BC 边的中点，连接GD 并延长至点O ，使得DO DG =，连接GB ，GC ，OB ，OC（1）求证：四边形BOCG 为菱形．（2）如图2，以O 点为圆心，OG 为半径作Oe ①判断直线AB 与O e 的位置关系，并予以证明．②点M 为劣弧BC 上一动点（与点B 、点C 不重合），连接BM 并延长交AC 于点E ，连接CM 并延长交AB 于点F ，求证：AE AF +为定值．【答案】（1）见解析；（2）①直线AB 是O e 的切线；②见解析．【解析】【分析】（1）如图1，延长BG 交AC 于点H ，连接AD ，由ABC V 是等边三角形，G 是重心，点D 为BC 边的中点，得AD ⟂BC ，DB DC =，进而证明四边形BOCG 是平行四边形，于是即可得四边形BOCG 为菱形；（2）①延长BG 交AC 于点H ，连接AD ，先证BG 为ABC Ð的角平分线，进而求得30ABG GBO ÐÐ==°，又由菱形的性质得30CBO GBC ÐÐ==°，从而有90ABO ABG GBC CBO ÐÐÐÐ=++=°，于是根据切线的判定即可得出结论；②在优弧BC 上取一点N ，连接BN 、CN ，由①得30OBC Ð=°，进而求得N Ð=1260BOC Ð=°，再由圆内接四边形的性质求得180120BMC N ÐÐ=°-=°，从而根据角的和差关系求得ACF CBE ÐÐ=，于是证明()BEC CFA ASA V V ≌得AF CE =，即可证明结论成立．【小问1详解】证明：如图1，延长BG 交AC 于点H ，连接AD ，∵ABC V 是等边三角形，G 是重心，点D 为BC 边的中点，∴中线AD 过点G ，即A 、G 、D 三点共线，60BAC ABC ÐÐ==°，AB AC BC ==，∴AD ⟂BC ，DB DC =，∵DO DG =，∴四边形BOCG 是平行四边形，∵AD ⟂BC ，∴四边形BOCG 为菱形；【小问2详解】①解：直线AB 是O e 的切线，理由如下：延长BG 交AC 于点H ，连接AD ，∵ABC V 是等边三角形，G 是重心，点D 为BC 边的中点，∴中线AD 过点G ，即A 、G 、D 三点共线，60BAC ABC ACB ÐÐÐ===°，AB AC BC ==，AH CH =，∴BG 为ABC Ð的角平分线，∴30ABG GBO ÐÐ==°，∵四边形BOCG 是菱形，∴30CBO GBC ÐÐ==°，∴90ABO ABG GBC CBO ÐÐÐÐ=++=°，∴AB OB ^，∴直线AB 是O e 的切线；②证明：在优弧BC 上取一点N ，连接BN 、CN ，由①得30OBC Ð=°，∵OB OC =，∴30OBC OCB ÐÐ==°，∴180120BOC OBC OCB ÐÐÐ=°--=°，∴N Ð=1260BOC Ð=°，∵四边形BNCM 内接于O e ，∴180120BMC N ÐÐ=°-=°，∴18060CBE BCM BMC ÐÐÐ+=°-=°，∵60ACB ACF BCM ÐÐÐ=+=°，∴ACF BCM CBE BCM ÐÐÐÐ+=+，∴ACF CBE ÐÐ=，∵BC AC =，60BCE A ÐÐ==°，∴()ASA BEC CFA V V ≌∴AF CE=∵AE CE AC+=∴AE AF AE CE AC +=+=，即AE AF +为定值．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质，重心的性质，切线的判定以及菱形的判定，熟练掌握菱形的判定，全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质，重心的性质以及切线的判定定理是解题的关键．六、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）25. 鲜艳的中华人民共和国国旗始终是当代中华儿女永不褪色的信仰，国旗上的每颗星都是标准五角星．为了增强学生的国家荣誉感、民族自豪感等．数学老师组织学生对五角星进行了较深入的研究．延长正五边形的各边直到不相邻的边相交，得到一个标准五角星．如图，正五边形ABCDE 的边BA DE 、的延长线相交于点F ，EAF Ð的平分线交EF 于点M ．（1）求证：2AE EF EM =⋅．（2）若1AF =，求AE 的长．（3）求ABCDEAEF S S 正五边形△的值．【答案】（1）见解析 （2）AE = （3【解析】【分析】（1）根据正多边形的性质可以得到72FAE FEA Ð=Ð=°，再利用三角形的内角和以及角平分线的定义得到MAE F Ð=Ð，再根据FEA AEM Ð=Ð，可得到AEM FEA V V ∽，进而得到结论；（2）根据等角对等边可以得到1AF FE ==，AE AM FM ==，再由（1）得结论得到()211AE AE =´-，解方程可以求出结果；（3）设AEF S S =V ，AF a =连接AD ，AC ，根据正多边形可以推导出AFE ACD V V ≌，ABC AED V V ≌，则可表示出ABCDE S 正五边形，然后求出比值．【小问1详解】证明：∵ABCDE 是正五边形，∴360725FAE FEA °Ð=Ð==°，∴180180727236F FAE FEA Ð=°-Ð-Ð=°-°-°=°，又∵EAF Ð的平分线交EF 于点M ，∴11723622FAM MAE FAE Ð=Ð=Ð=´°=°，∴MAE F Ð=Ð，又∵FEA AEM Ð=Ð，∴AEM FEA V V ∽，∴AE ME FE AE=，即2AE EF EM =⋅；【小问2详解】解：∵36F FAM Ð=Ð=°，∴72AME Ð=°，∴1AF FE ==，AE AM FM ==，∵2AE EF EM =⋅，∴()211AE AE =´-，解得：AE =或AE =（舍去），∴AE =；小问3详解】设AEF S S =V ，AF a =，连接AD ，AC ，则根据（2）中计算可得AE =，∵ABCDE 是正五边形，∴108AB BC CD DE EA BAE AED EDC DCB CBA =====Ð=Ð=Ð=Ð=Ð=°，，∴36BAC BCA EDA EAD Ð=Ð=Ð=Ð=°，∴72ACD ADC Ð=Ð=°，∴AFE ACD V V ≌，ABC AED V V ≌，∴ADE AEF S ED S EF ==V V ，∴ADE S =V ，【∴ADE ADC ABC ABCDE S S S S S S =++=++=V V V 正五边形，∴ABCDEAEF S S ==V 正五边形． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，全等三角形的判定和性质，正多边形的性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．26. 如图，抛物线2y x bx c =++过点()1,0A -、点()5,0B ，交y 轴于点C ．（1）求b ，c 的值．（2）点()()000,05P x y x <<是抛物线上的动点①当0x 取何值时，PBC V 的面积最大？并求出PBC V 面积的最大值；②过点P 作PE x ^轴，交BC 于点E ，再过点P 作PF x ∥轴，交抛物线于点F ，连接EF ，问：是否存在点P ，使PEF !为等腰直角三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）4b =-，5c =-（2）①当052x =时，PBC V 的面积由最大值，最大值为1258；②当点P的坐标为或()4,5-时，PEF !为等腰直角三角形【解析】【分析】（1）将将()1,0A -、()5,0B 代入抛物线2y x bx c =++即可求解；（2）①由（1）可知：245y x x =--，得()0,5C -，可求得BC 的解析式为5y x =-，过点P 作PE x ^轴，交BC 于点E ，交x 轴于点Q ，易得20005E PE y y x x =-=-+，根据PBC V 的面积PECPEB S S =+△△，可得PBC V 的面积()()001122C B PE x x PE x x =⋅-+⋅-2055125228x æö=--+ç÷èø，即可求解；②由题意可知抛物线的对称轴为4221x -=-=´对，则04F x x =-，分两种情况：当点P 在对称轴左侧时，即002x <<时，当点P 在对称轴右侧时，即025x <<时，分别进行讨论求解即可．【小问1详解】解：将()1,0A -、()5,0B 代入抛物线2y x bx c =++中，可得：102550b c b c -+=ìí++=î，解得：45b c =-ìí=-î，即：4b =-，5c =-；【小问2详解】①由（1）可知：245y x x =--，当0x =时，5y =-，即()0,5C -，设BC 的解析式为：y kx b =+，将()5,0B ，()0,5C -代入y kx b =+中，可得505k b b +=ìí=-î，解得：15k b =ìí=-î，∴BC 的解析式为：5y x =-，过点P 作PE x ^轴，交BC 于点E ，交x 轴于点Q ，∵()()000,05P x y x <<，则200045y x x =--，∴点E 的横坐标也为0x ，则纵坐标为05E y x =-，∴()()220000005455E PE y y x x x x x =-=----=-+，PBC V 的面积PEC PEBS S =+△△()()001122C B PE x x PE x x =⋅-+⋅-()12B C PE x x =⋅-()200552x x =-+2055125228x æö=--+ç÷èø，∵502-<，∴当052x =时，PBC V 的面积有最大值，最大值为1258；②存在，当点P的坐标为或()4,5-时，PEF !为等腰直角三角形．理由如下：由①可知2005PE x x =-+，由题意可知抛物线的对称轴为直线4221x -=-=´对，∵PF x ∥轴，∴90EPF Ð=°，022F x x x +==对，则04F x x =-，当点P 在对称轴左侧时，即002x <<时，0042F PF x x x =-=-，当PE PF =时，PEF !为等腰直角三角形，即：2000254x x x -+=-，整理得：200740x x -+=，解得：0x =（02x =>，不符合题意，舍去）此时200045y x x =--=P ；当点P 在对称轴右侧时，即025x <<时，0024F PF x x x =-=-，当PE PF =时，PEF !为等腰直角三角形，即：2000452x x x -+=-，整理得：200340x x --=，解得：04x =（012x =-<，不符合题意，舍去）此时：2044455y =-´-=-，即点()4,5P -；综上所述，当点P的坐标为或()4,5-时，PEF !为等腰直角三角形．【点睛】本题二次函数综合题，考查了利用待定系数法求函数解析式，二次函数的性质及图象上的点的特点，等腰直角三角形的性质，解本题的关键是表示出点的坐标，进行分类讨论．。

中考数学真题知识分类练习试卷：代数式（含解析）【一】单项选择题1．以下运算：①a2•a3=a6，②〔a3〕2=a6，③a5÷a5=a，④〔ab〕3 =a3b3，其中结果正确的个数为〔〕A. 1B. 2C. 3D. 4【来源】山东省滨州市2019年中考数学试题2．计算的结果是〔〕A. B. C. D.【来源】江苏省南京市2019年中考数学试卷【解析】分析：根据幂的乘方的性质和同底数幂的乘法计算即可.详解：应选：B.点睛：此题主要考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握运算法那么和性质是解题的关键.3．以下计算结果等于的是〔〕A. B. C. D.【来源】2019年甘肃省武威市〔凉州区〕中考数学试题4．以下运算正确的选项是〔〕A. B.C. D.【来源】湖南省娄底市2019年中考数学试题【解析】【分析】根据同底数幂的乘法、积的乘方、完全平方公式、多项式乘法的法那么逐项进行计算即可得.【详解】A. ，故A选项错误，不符合题意；B. ，故B选项错误，不符合题意；C. ，故C选项错误，不符合题意；D. ，正确，符合题意，应选D.【点睛】此题考查了整式的运算，熟练掌握同底数幂的乘法、积的乘方、完全平方公式、多项式乘法的运算法那么是解题的关键.5．以下运算正确的选项是〔〕A. B. C. D.【来源】山东省德州市2019年中考数学试题6．我国南宋数学家杨辉所著的«详解九章算术»一书中，用以下图的三角形解释二项式的展开式的各项系数，此三角形称为〝杨辉三角〞．A. 84B. 56C. 35D. 28【来源】山东省德州市2019年中考数学试题7．以下运算正确的选项是〔〕A. B. C. D.【来源】安徽省2019年中考数学试题【解析】【分析】根据幂的乘方、同底数幂乘法、同底数幂除法、积的乘方的运算法那么逐项进行计算即可得.【详解】A. ，故A选项错误；B. ，故B选项错误；C. ，故C选项错误；D. ，正确，应选D.【点睛】此题考查了有关幂的运算，熟练掌握幂的乘方，同底数幂的乘法、除法，积的乘方的运算法那么是解题的关键.8．据省××局发布，2019年我省有效发明专利数比2019年增长22.1%假定2019年的平均增长率保持不变，2019年和2019年我省有效发明专利分别为a万件和b万件，那么〔〕A. B.C. D.【来源】安徽省2019年中考数学试题【解析】【分析】根据题意可知2019年我省有效发明专利数为〔1+22. 1%〕a万件，2019年我省有效发明专利数为〔1+22.1%〕•〔1+22.1%〕a，由此即可得.【详解】由题意得：2019年我省有效发明专利数为〔1+22.1%〕a万件，2019年我省有效发明专利数为〔1+22.1%〕•〔1+22.1%〕a万件，即b=〔1+22.1%〕2a万件，应选B.【点睛】此题考查了增长率问题，弄清题意，找到各量之间的数量关系是解题的关键.9．以下运算正确的选项是〔〕A. B. C. D.【来源】山东省泰安市2019年中考数学试题10．按如下图的运算程序,能使输出的结果为的是〔〕A. B. C. D.【来源】【全国省级联考】2019年重庆市中考数学试卷〔A卷〕11．以下运算正确的选项是〔〕A. B. C. D.【来源】江苏省宿迁市2019年中考数学试卷12．以下运算正确的选项是〔〕A. x﹣2x=﹣xB. 2x﹣y=xyC. x2+x2=x4D. 〔x﹣1〕2=x2﹣1【来源】江苏省连云港市2019年中考数学试题13．以下运算正确的选项是〔〕A. B. C. D.【来源】江苏省盐城市2019年中考数学试题14．以下计算正确的选项是〔〕A. B.C. D.【来源】湖北省孝感市2019年中考数学试题详解：A、，正确；B、〔a+b〕2=a2+2ab+b2，故此选项错误；C、2+，无法计算，故此选项错误；D、〔a3〕2=a6，故此选项错误；应选：A、点睛：此题主要考查了完全平方公式以及二次根式加减运算和幂的乘方运算，正确掌握相关运算法那么是解题关键．15．假设单项式am﹣1b2与的和仍是单项式，那么nm的值是〔〕A. 3B. 6C. 8D. 9【来源】山东省淄博市2019年中考数学试题【解析】分析：首先可判断单项式am﹣1b2与是同类项，再由同类项的定义可得m、n的值，代入求解即可．详解：∵单项式am﹣1b2与的和仍是单项式，∴单项式am﹣1b2与是同类项，∴m﹣1=2，n=2，∴m=3，n=2，∴nm=23=8．应选：C、点睛：此题考查了合并同类项的知识，解答此题的关键是掌握同类项中的两个相同．16．以下运算正确的选项是( )A. B. C. D.【来源】广东省深圳市2019年中考数学试题17．以下运算结果正确的选项是A. 3a3·2a2=6a6B. (-2a)2= -4a2C. tan45°=D. cos3 0°=【来源】湖北省黄冈市2019年中考数学试题【解析】分析：根据同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、特殊角的三角函数值进行计算．详解：A、原式=6a5，故本选项错误；B、原式=4a2，故本选项错误；C、原式=1，故本选项错误；D、原式=，故本选项正确．应选D、点睛：考查了同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、特殊角的三角函数值，属于基础计算题．18．以下计算正确的选项是〔〕A. B.C. D.【来源】四川省成都市2019年中考数学试题19．以下计算正确的选项是( )A. B. C. D.【来源】山东省潍坊市2019年中考数学试题【解析】分析】根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减；合并同类项法那么，把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；积的乘方法那么：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；对各选项分析判断后利用排除法求解．详解：A、a2•a3=a5，故A错误；B、a3÷a=a2，故B错误；C、a-〔b-a〕=2a-b，故C正确；D、〔-a〕3=-a3，故D错误．应选C、点睛：此题考查合并同类项、积的乘方、同底数幂的乘除法，熟练掌握运算性质和法那么是解题的关键．20．计算〔﹣a〕3÷a结果正确的选项是〔〕A. a2B. ﹣a2C. ﹣a3D. ﹣a4【来源】浙江省金华市2019年中考数学试题详解：〔-a〕3÷a=-a3÷a=-a3-1=-a2，应选B、点睛：此题主要考查了幂的乘方运算以及同底数幂的除法运算，正确掌握运算法那么是解题关键．21．把三角形按如下图的规律拼图案，其中第①个图案中有4个三角形，第②个图案中有6个三角形，第③个图案中有8个三角形，…，按此规律排列下去，那么第⑦个图案中三角形的个数为〔〕A. 12B. 14C. 16D. 18【来源】【全国省级联考】2019年重庆市中考数学试卷〔A卷〕22．下面是一位同学做的四道题：①.②.③.④.其中做对的一道题的序号是〔〕A. ①B. ②C. ③D. ④【来源】2019年浙江省绍兴市中考数学试卷解析【二】填空题23．将从1开始的自然数按以下规律排列，例如位于第3行、第4列的数是12，那么位于第45行、第8列的数是__________．【来源】山东省淄博市2019年中考数学试题∴第45行、第8列的数是2025﹣7=2019，点睛：此题考查规律型﹣数字问题，解题的关键是学会观察，探究规律，利用规律解决问题．24．我国古代数学家杨辉发现了如下图的三角形，我们称之为〝杨辉三角〞，从图中取一列数：1，3，6，10，…，记，，，，…，那么的值是__________．【来源】湖北省孝感市2019年中考数学试题25．假设a-=，那么a2+值为_______________________.【来源】湖北省黄冈市2019年中考数学试题详解：∵a-=，∴〔a-〕2=6，∴a2-2+=6，∴a2+=8.点睛：此题考查完全平方公式的变形运算，解题的关键是熟练运用完全平方公式．26．，，，，，，…〔即当为大于1的奇数时，；当为大于1的偶数时，〕，按此规律，__________.【来源】四川省成都市2019年中考数学试题27．计算的结果等于__________．【来源】天津市2019年中考数学试题【解析】分析：依据单项式乘单项式的运算法那么进行计算即可．详解：原式=2x4+3=2x7．点睛：此题主要考查的是单项式乘单项式，掌握相关运算法那么是解题的关键．28．假设是关于的完全平方式，那么__________．【来源】贵州省安顺市2019年中考数学试题详解：∵x2+2〔m-3〕x+16是关于x的完全平方式，∴2〔m-3〕=±8，解得：m=-1或7，点睛：此题主要考查了完全平方公式，正确掌握完全平方公式的基本形式是解题关键．29．化简〔x﹣1〕〔x+1〕的结果是_____．【来源】浙江省金华市2019年中考数学试题30．观察以下各式：请利用你所发现的规律，计算+++…+，其结果为_______．【来源】山东省滨州市2019年中考数学试题详解：由题意可得：=+1++1++ (1)=9+〔1﹣+﹣+﹣+…+﹣〕=9+=9．点睛：此题主要考查了数字变化规律，正确将原式变形是解题关键．【来源】湖南省娄底市2019年中考数学试题32．如图是一个运算程序的示意图，假设开始输入的值为625，那么第2019次输出的结果为__________．【来源】2019年甘肃省武威市〔凉州区〕中考数学试题【三】解答题33．先化简，再求值：a〔a+2b〕﹣〔a+1〕2+2a，其中．【来源】山东省淄博市2019年中考数学试题【解析】分析：先计算单项式乘以多项式与和的完全平方，再合并同类项，最后代入计算即可．详解：原式=a2+2ab﹣〔a2+2a+1〕+2a=a2+2ab﹣a2﹣2a﹣1+2a=2ab﹣1，当，时，原式=2〔+1〕〔-1〕﹣1=2﹣1=1．点睛：此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，能正确根据整式的运算法那么进行化简是解此题的关键．34．〔1〕计算：；〔2〕化简：(m+2)2 +4(2-m)【来源】浙江省温州市2019年中考数学试卷35．我们常用的数是十进制数，如，数要用10个数码〔又叫数字〕：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，在电子计算机中用的二进制，只要两个数码：0和1，如二进制中等于十进制的数6，等于十进制的数53.那么二进制中的数101011等于十进制中的哪个数？【来源】四川省凉山州2019年中考数学试题【解析】分析：利用新定义得到101011=1×25+0×24+1×23+0×22+1×21+1×20，然后根据乘方的定义进行计算．详解：101011=1×25+0×24+1×23+0×22+1×21+1×20=43，所以二进制中的数101011等于十进制中的43．点睛：此题考查了有理数的乘方：有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方．36．〔1〕计算：；〔2〕解不等式：【来源】江西省2019年中等学校招生考试数学试题37．计算或化简.〔1〕；〔2〕.【来源】江苏省扬州市2019年中考数学试题【解析】分析：〔1〕根据负整数幂、绝对值的运算法那么和特殊三角函数值即可化简求值．〔2〕利用完全平方公式和平方差公式即可．详解：〔1〕〔〕-1+|−2|+tan60°=2+〔2-〕+=2+2-+=4〔2〕〔2x+3〕2-〔2x+3〕〔2x-3〕=〔2x〕2+12x+9-[〔2x2〕-9]=〔2x〕2+12x+9-〔2x〕2+9=12x+18点睛：此题考查实数的混合运算和乘法公式，负整数指数幂的运算和相反数容易混淆，运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．38．观察以下等式：第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，第4个等式：，第5个等式：，按照以上规律，解决以下问题：〔1〕写出第6个等式：；〔2〕写出你猜想的第n个等式：(用含n的等式表示)，并证明.【来源】安徽省2019年中考数学试题【解析】【分析】〔1〕根据观察到的规律写出第6个等式即可；〔2〕根据观察到的规律写出第n个等式，然后根据分式的运算对等式的左边进行化简即可得证.39．计算：〔1〕〔2〕【来源】【全国省级联考】2019年重庆市中考数学试卷〔A卷〕40．对任意一个四位数n,如果千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，那么称n为〝极数〞.〔1〕请任意写出三个〝极数〞；并猜想任意一个〝极数〞是否是99的倍数，请说明理由；〔2〕如果一个正整数a是另一个正整数b的平方，那么称正整数a 是完全平方数，假设四位数m为〝极数〞，记D〔m〕=.求满足D〔m〕是完全平方数的所有m.【来源】【全国省级联考】2019年重庆市中考数学试卷〔A卷〕41．有一张边长为a厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加b厘米，木工师傅设计了如下图的三种方案：小明发现这三种方案都能验证公式：a2+2ab+b2=〔a+b〕2，对于方案一，小明是这样验证的：a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=〔a+b〕2请你根据方案【二】方案三，写出公式的验证过程．方案二：方案三：【来源】浙江省衢州市2019年中考数学试卷。

湖南省2019年、2020年数学中考试题分类（11）——圆一．选择题（共8小题）1．（2020•永州）如图，已知PA，PB是O的两条切线，A，B为切点，线段OP交O于点M．给出下列四种说法：①PA PB=；②OP AB⊥；③四边形OAPB有外接圆；④M是AOP∆外接圆的圆心．其中正确说法的个数是()A．1B．2C．3D．42．（2020•张家界）如图，四边形ABCD为O的内接四边形，已知BCD∠的度数为(∠为120︒，则BOD)A．100︒B．110︒C．120︒D．130︒3．（2020•湘西州）如图，PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O于点D．下列结论不一定成立的是()A．BPA∆为等腰三角形B．AB与PD相互垂直平分C．点A、B都在以PO为直径的圆上D．PC为BPA∆的边AB上的中线4．（2020•株洲）如图所示，点A、B、C对应的刻度分别为0、2、4、将线段CA绕点C按顺时针方向旋A，则此时线段CA扫过的图形的面积为()转，当点A首次落在矩形BCDE的边BE上时，记为点1A ．4πB ．6C ．43D ．83π 5．（2020•常德）一个圆锥的底面半径10r =，高20h =，则这个圆锥的侧面积是( ) A ．1003π B ．2003π C ．1005π D ．2005π6．（2019•娄底）如图，边长为23的等边ABC ∆的内切圆的半径为( )A ．1B ．3C ．2D ．237．（2019•益阳）如图，PA 、PB 为圆O 的切线，切点分别为A 、B ，PO 交AB 于点C ，PO 的延长线交圆O 于点D ，下列结论不一定成立的是( )A ．PA PB = B ．BPD APD ∠=∠C ．AB PD ⊥ D ．AB 平分PD8．（2019•长沙）一个扇形的半径为6，圆心角为120︒，则该扇形的面积是( )A ．2πB ．4πC ．12πD ．24π二．填空题（共14小题）9．（2020•永州）已知圆锥的底面周长是2π分米，母线长为1分米，则圆锥的侧面积是 平方分米． 10．（2020•邵阳）如图①是山东舰徽的构图，采用航母45度破浪而出的角度，展现山东舰作为中国首艘国产舰母横空出世的气势，将舰徽中第一条波浪抽象成几何图形，则是一条长为10π的弧，若该弧所在的扇形是高为12的圆锥侧面展开图（如图②)，则该圆锥的母线长AB 为 ．11．（2020•娄底）如图，四边形ABDC中，3==，则将它以AD为轴旋转180︒后所BD CD==，2AB AC得分别以AB、BD为母线的上下两个圆锥的侧面积之比为．12．（2020•娄底）如图，公路弯道标志表示圆弧道路所在圆的半径为m（米)，某车在标有300R=处的弯道上从点A行驶了100π米到达点B，则线段AB=米．13．（2020•益阳）小明家有一个如图所示的闹钟，他观察发现圆心角90∠=︒，测得ACB的长为36cm，AOB则ADB的长为cm．14．（2020•株洲）一个蜘蛛网如图所示，若多边形ABCDEFGHI为正九边形，其中心点为点O，点M、N 分别在射线OA、OC上，则MON∠=度．15．（2020•湘西州）观察下列结论：（1）如图①，在正三角形ABC 中，点M ，N 是AB ，BC 上的点，且AM BN =，则AN CM =，60NOC ∠=︒；（2）如图2，在正方形ABCD 中，点M ，N 是AB ，BC 上的点，且AM BN =，则AN DM =，90NOD ∠=︒；（3）如图③，在正五边形ABCDE 中点M ，N 是AB ，BC 上的点，且AM BN =，则AN EM =，108NOE ∠=︒； ⋯根据以上规律，在正n 边形1234n A A A A A ⋯中，对相邻的三边实施同样的操作过程，即点M ，N 是12A A ，23A A 上的点，且12A M A N =，1A N 与n A M 相交于O ．也会有类似的结论，你的结论是 ．16．（2020•株洲）据《汉书律历志》记载：“量者，龠(yu è)、合、升、斗、斛(h ú)也”斛是中国古代的一种量器，“斛底，方而圜(hu án )其外，旁有庣(ti āo )焉”．意思是说：“斛的底面为：正方形外接一个圆，此圆外是一个同心圆”，如图所示．问题：现有一斛，其底面的外圆直径为两尺五寸（即2.5尺），“庣旁”为两寸五分（即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.25尺），则此斛底面的正方形的周长为 尺．（结果用最简根式表示）17．（2020•湘潭）如图，在半径为6的O 中，圆心角60AOB ∠=︒，则阴影部分面积为 ．18．（2020•长沙）已知圆锥的母线长为3，底面半径为1，该圆锥的侧面展开图的面积为 ．19．（2019•湘潭）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积12=（弦⨯矢+矢2)．弧田是由圆弧和其所对的弦围成（如图中的阴影部分），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，运用垂径定理（当半径OC ⊥弦AB 时，OC 平分)AB 可以求解．现已知弦8AB =米，半径等于5米的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积为 平方米．20．（2019•娄底）如图，C 、D 两点在以AB 为直径的圆上，2AB =，30ACD ∠=︒，则AD = ．21．（2019•株洲）如图所示，AB 为O 的直径，点C 在O 上，且OC AB ⊥，过点C 的弦CD 与线段OB 相交于点E ，满足65AEC ∠=︒，连接AD ，则BAD ∠= 度．22．（2019•衡阳）已知圆的半径是6，则圆内接正三角形的边长是 ．三．解答题（共20小题）23．（2020•邵阳）如图，在等腰ABC ∆中，AB AC =，点D 是BC 上一点，以BD 为直径的O 过点A ，连接AD ，CAD C ∠=∠．（1）求证：AC 是O 的切线；（2）若4AC =，求O 的半径．24．（2020•益阳）如图，OM 是O 的半径，过M 点作O 的切线AB ，且MA MB =，OA ，OB 分别交O于C ，D ．求证：AC BD =．25．（2020•娄底）如图，点C 在以AB 为直径的O 上，BD 平分ABC ∠交O 于点D ，过D 作BC 的垂线，垂足为E ．（1）求证：DE 与O 相切；（2）若5AB=，4BE=，求BD的长；（3）请用线段AB、BE表示CE的长，并说明理由．26．（2020•株洲）AB是O的直径，点C是O上一点，连接AC、BC，直线MN过点C，满足BCM BACα∠=∠=．（1）如图①，求证：直线MN是O的切线；（2）如图②，点D在线段BC上，过点D作DH MN⊥于点H，直线DH交O于点E、F，连接AF并延长交直线MN于点G，连接CE，且53CE=，若O的半径为1，3cos4α=，求AG ED的值．27．（2020•湘西州）如图，AB是O的直径，AC是O的切线，BC交O于点E．（1）若D为AC的中点，证明：DE是O的切线；（2）若6CA=， 3.6CE=，求O的半径OA的长．28．（2020•张家界）如图，在Rt ABC∆中，90ACB∠=︒，以AB为直径作O，过点C作直线CD交AB的延长线于点D，使BCD A∠=∠．（1）求证：CD为O的切线；（2）若DE平分ADC∠，且分别交AC，BC于点E，F，当2CE=时，求EF的长．29．（2020•郴州）如图，ABC∆内接于O，AB是O的直径．直线l与O相切于点A，在l上取一点D使得DA DC =，线段DC ，AB 的延长线交于点E ．（1）求证：直线DC 是O 的切线；（2）若2BC =，30CAB ∠=︒，求图中阴影部分的面积（结果保留)π．30．（2020•长沙）如图，半径为4的O 中，弦AB 的长度为43，点C 是劣弧AB 上的一个动点，点D 是弦AC 的中点，点E 是弦BC 的中点，连接DE 、OD 、OE ．（1）求AOB ∠的度数；（2）当点C 沿着劣弧AB 从点A 开始，逆时针运动到点B 时，求ODE ∆的外心P 所经过的路径的长度；（3）分别记ODE ∆，CDE ∆的面积为1S ，2S ，当221221S S -=时，求弦AC 的长度． 31．（2020•湘潭）如图，在ABC ∆中，AB AC =，以AB 为直径的O 交BC 于点D ，过点D 作DE AC ⊥，垂足为点E ．（1）求证：ABD ACD ∆≅∆；（2）判断直线DE 与O 的位置关系，并说明理由．32．（2020•怀化）定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形．（1）下面四边形是垂等四边形的是 ；（填序号）①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形（2）图形判定：如图1，在四边形ABCD 中，//AD BC ，AC BD ⊥，过点D 作BD 垂线交BC 的延长线于点E ，且45DBC ∠=︒，证明：四边形ABCD 是垂等四边形．（3）由菱形面积公式易知性质：垂等四边形的面积等于两条对角线乘积的一半．应用：在图2中，面积为24的垂等四边形ABCD 内接于O 中，60BCD ∠=︒．求O 的半径．33．（2020•长沙）如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，AD 与过C 点的直线互相垂直，垂足为D ，AC 平分DAB ∠．（1）求证：DC 为O 的切线． （2）若3AD =，3DC =，求O 的半径．34．（2020•衡阳）如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，过点A 和点D 的圆，圆心O 在线段AB 上，O 交AB 于点E ，交AC 于点F ．（1）判断BC 与O 的位置关系，并说明理由；（2）若8AD =，10AE =，求BD 的长．35．（2019•永州）如图，已知O 是ABC ∆的外接圆，且BC 为O 的直径，在劣弧AC 上取一点D ，使CD AB =，将ADC ∆沿AD 对折，得到ADE ∆，连接CE ．（1）求证：CE 是O 的切线；（2）若3CE CD =，劣弧CD 的弧长为π，求O 的半径．36．（2019•邵阳）如图1，已知O 外一点P 向O 作切线PA ，点A 为切点，连接PO 并延长交O 于点B ，连接AO 并延长交O 于点C ，过点C 作CD PB ⊥，分别交PB 于点E ，交O 于点D ，连接AD ．（1）求证：~APO DCA ∆∆；（2）如图2，当AD AO =时①求P ∠的度数；②连接AB ，在O 上是否存在点Q 使得四边形APQB 是菱形．若存在，请直接写出PQ CQ的值；若不存在，请说明理由．37．（2019•张家界）如图，AB 为O 的直径，且43AB =C 是AB 上的一动点（不与A ，B 重合），过点B 作O 的切线交AC 的延长线于点D ，点E 是BD 的中点，连接EC ．（1）求证：EC是O的切线；（2）当30∠=︒时，求阴影部分面积．D38．（2019•邵阳）如图，在等腰ABC∠的角平分线，且6AD=，以点A为BAC∆中，120∠=︒，AD是BAC圆心，AD长为半径画弧EF，交AB于点E，交AC于点F．（1）求由弧EF及线段FC、CB、BE围成图形（图中阴影部分）的面积；（2）将阴影部分剪掉，余下扇形AEF，将扇形AEF围成一个圆锥的侧面，AE与AF正好重合，圆锥侧面无重叠，求这个圆锥的高h．39．（2019•郴州）如图，已知AB是O的直径，CD与O相切于点D，且//AD OC．（1）求证：BC是O的切线；（2）延长CO交O于点E．若30CEB∠=︒，O的半径为2，求BD的长．（结果保留)π40．（2019•常德）如图，O与ABCDE OA，∆的AC边相切于点C，与AB、BC边分别交于点D、E，//CE是O的直径．（1）求证：AB是O的切线；（2）若4BD=，6EC=，求AC的长．41．（2019•益阳）如图，在Rt ABC∆中，M是斜边AB的中点，以CM为直径作圆O交AC于点N，延长MN至D ，使ND MN =，连接AD 、CD ，CD 交圆O 于点E ．（1）判断四边形AMCD 的形状，并说明理由；（2）求证：ND NE =；（3）若2DE =，3EC =，求BC 的长．42．（2019•株洲）四边形ABCD 是O 的圆内接四边形，线段AB 是O 的直径，连结AC 、BD ．点H 是线段BD 上的一点，连结AH 、CH ，且ACH CBD ∠=∠，AD CH =，BA 的延长线与CD 的延长线相交于点P ．（1）求证：四边形ADCH 是平行四边形；（2）若AC BC =，5PB PD =，2(51)AB CD +=+ ①求证：DHC ∆为等腰直角三角形；②求CH 的长度．湖南省2019年、2020年数学中考试题分类（11）——圆一．选择题（共8小题）1．（2020•永州）如图，已知PA，PB是O的两条切线，A，B为切点，线段OP交O于点M．给出下列四种说法：①PA PB=；②OP AB⊥；③四边形OAPB有外接圆；④M是AOP∆外接圆的圆心．其中正确说法的个数是()A．1B．2C．3D．4【解答】解：PA，PB是O的两条切线，A，B为切点，∴=，所以①正确；PA PB=，OA OB=，PA PB∴垂直平分AB，所以②正确；OPPA，PB是O的两条切线，A，B为切点，⊥，∴⊥，OB PBOA PA∴∠=∠=︒，90OAP OBP∴点A、B在以OP为直径的圆上，∴四边形OAPB有外接圆，所以③正确；只有当30=，此时PM OM=，∠=︒时，2OP OAAPO∴不一定为AOPM∆外接圆的圆心，所以④错误．故选：C．2．（2020•张家界）如图，四边形ABCD为O的内接四边形，已知BCD∠的度数为(∠为120︒，则BOD)A．100︒B．110︒C．120︒D．130︒【解答】解：四边形ABCD是O的内接四边形，18060∴∠=︒-∠=︒，A BCD由圆周角定理得，2120∠=∠=︒，BOD A故选：C ．3．（2020•湘西州）如图，PA 、PB 为圆O 的切线，切点分别为A 、B ，PO 交AB 于点C ，PO 的延长线交圆O 于点D ．下列结论不一定成立的是( )A ．BPA ∆为等腰三角形B ．AB 与PD 相互垂直平分C ．点A 、B 都在以PO 为直径的圆上D ．PC 为BPA ∆的边AB 上的中线【解答】解：（A ）PA 、PB 为圆O 的切线，PA PB ∴=，BPA ∴∆是等腰三角形，故A 选项不符合题意．（B ）由圆的对称性可知：PD 垂直平分AB ，但AB 不一定平分PD ，故B 选项符合题意．（C ）连接OB 、OA ， PA 、PB 为圆O 的切线，90OBP OAP ∴∠=∠=︒，∴点A 、B 、P 在以OP 为直径的圆上，故C 选项不符合题意．（D ）BPA ∆是等腰三角形，PD AB ⊥，PC ∴为BPA ∆的边AB 上的中线，故D 选项不符合题意．故选：B ．4．（2020•株洲）如图所示，点A 、B 、C 对应的刻度分别为0、2、4、将线段CA 绕点C 按顺时针方向旋转，当点A 首次落在矩形BCDE 的边BE 上时，记为点1A ，则此时线段CA 扫过的图形的面积为( )A ．4πB ．6C ．3D ．83π 【解答】解：由题意，知4AC =，422BC =-=，190A BC ∠=︒．由旋转的性质，得14AC AC ==． 在Rt △1A BC 中，111cos 2BC ACA AC ∠==．160ACA ∴∠=︒．∴扇形1ACA 的面积为260483603ππ⨯⨯=． 即线段CA 扫过的图形的面积为83π． 故选：D ．5．（2020•常德）一个圆锥的底面半径10r =，高20h =，则这个圆锥的侧面积是( )A ．1003πB ．2003πC ．1005πD ．2005π【解答】解：这个圆锥的母线长221020105=+=，这个圆锥的侧面积121010510052ππ=⨯⨯⨯=． 故选：C ．6．（2019•娄底）如图，边长为23的等边ABC ∆的内切圆的半径为( )A ．1B ．3C ．2D ．23【解答】解：设ABC ∆的内心为O ，连接AO 、BO ，CO 的延长线交AB 于H ，如图，ABC ∆为等边三角形，CH ∴平分BCA ∠，AO 平分BAC ∠，ABC ∆为等边三角形，60CAB ∴∠=︒，CH AB ⊥，30OAH ∴∠=︒，132AH BH AB ===， 在Rt AOH ∆中，tan tan30OH OAH AH∠==︒， 3313OH ∴=⨯=， 即ABC ∆内切圆的半径为1．故选：A ．7．（2019•益阳）如图，PA 、PB 为圆O 的切线，切点分别为A 、B ，PO 交AB 于点C ，PO 的延长线交圆O 于点D ，下列结论不一定成立的是( )A ．PA PB = B ．BPD APD ∠=∠C ．AB PD ⊥ D ．AB 平分PD【解答】解：PA ，PB 是O 的切线，PA PB ∴=，所以A 成立；BPD APD ∠=∠，所以B 成立；AB PD ∴⊥，所以C 成立； PA ，PB 是O 的切线，AB PD ∴⊥，且AC BC =，只有当//AD PB ，//BD PA 时，AB 平分PD ，所以D 不一定成立．故选：D ．8．（2019•长沙）一个扇形的半径为6，圆心角为120︒，则该扇形的面积是( )A ．2πB ．4πC ．12πD ．24π【解答】解：2120612360S ππ⨯⨯==， 故选：C ．二．填空题（共14小题）9．（2020•永州）已知圆锥的底面周长是2π分米，母线长为1分米，则圆锥的侧面积是 4π 平方分米． 【解答】解：圆锥的侧面积11224ππ=⨯⨯=平方分米． 故答案为4π． 10．（2020•邵阳）如图①是山东舰徽的构图，采用航母45度破浪而出的角度，展现山东舰作为中国首艘国产舰母横空出世的气势，将舰徽中第一条波浪抽象成几何图形，则是一条长为10π的弧，若该弧所在的扇形是高为12的圆锥侧面展开图（如图②)，则该圆锥的母线长AB 为 13 ．【解答】解：圆锥底面周长=侧面展开后扇形的弧长10π=，1052OB ππ∴==， 在Rt AOB ∆中，222212513AB AO BO =++，所以该圆锥的母线长AB 为13．故答案为：13．11．（2020•娄底）如图，四边形ABDC 中，3AB AC ==，2BD CD ==，则将它以AD 为轴旋转180︒后所得分别以AB 、BD 为母线的上下两个圆锥的侧面积之比为 3:2 ．【解答】解：两个圆锥的底面圆相同，∴可设底面圆的周长为l ，∴上面圆锥的侧面积为：12l AB ， 下面圆锥的侧面积为：12l BD ， 3AB AC ==，2BD CD ==，:3:2S S ∴=下上，故答案为：3:2．12．（2020•娄底）如图，公路弯道标志表示圆弧道路所在圆的半径为m （米)，某车在标有300R =处的弯道上从点A 行驶了100π米到达点B ，则线段AB = 300 米．【解答】解：设线段AB 对应的圆心角度数为n ，300100180180n R n πππ==， 60n ∴=︒，又AO BO =，AOB ∴∆是等边三角形，300AB AO BO ∴===（米)，故答案为：300．13．（2020•益阳）小明家有一个如图所示的闹钟，他观察发现圆心角90AOB ∠=︒，测得ACB 的长为36cm ，则ADB 的长为 12 cm ．【解答】解： 法一：ACB 的长为36cm ， ∴27036180OA π=， 18036270OA π⨯∴=， 则ADB 的长为：90901803612()180180270OA cm πππ⨯=⨯=； 法二：ACB 与ADB 所对应的圆心角度数的比值为270:903:1︒︒=，∴ACB 与ADB 的弧长之比为3:1，∴ADB 的弧长为36312()cm ÷=，故答案为：12．14．（2020•株洲）一个蜘蛛网如图所示，若多边形ABCDEFGHI 为正九边形，其中心点为点O ，点M 、N 分别在射线OA 、OC 上，则MON ∠= 80 度．【解答】解：根据正多边形性质得，中心角为：360940AOB ∠=︒÷=︒，280MON AOB ∴∠=∠=︒．故答案为：80．15．（2020•湘西州）观察下列结论：（1）如图①，在正三角形ABC 中，点M ，N 是AB ，BC 上的点，且AM BN =，则AN CM =，60NOC ∠=︒；（2）如图2，在正方形ABCD 中，点M ，N 是AB ，BC 上的点，且AM BN =，则AN DM =，90NOD ∠=︒；（3）如图③，在正五边形ABCDE 中点M ，N 是AB ，BC 上的点，且AM BN =，则AN EM =，108NOE ∠=︒； ⋯根据以上规律，在正n 边形1234n A A A A A ⋯中，对相邻的三边实施同样的操作过程，即点M ，N 是12A A ，23A A 上的点，且12A M A N =，1A N 与n A M 相交于O ．也会有类似的结论，你的结论是 1n A N A M =，(2)180n n NOA n-⨯︒∠= ．【解答】解：（1）如图①，在正三角形ABC 中，点M ，N 是AB ，BC 上的点，且AM BN =，则AN CM =，(32)180603NOC -⨯︒∠==︒； （2）如图2，在正方形ABCD 中，点M ，N 是AB ，BC 上的点，且AM BN =，则AN DM =，(42)180904NOD -⨯︒∠==︒； （3）如图③，在正五边形ABCDE 中点M ，N 是AB ，BC 上的点，且AM BN =，则AN EM =，(52)1801085NOE -⨯︒∠==︒； ⋯根据以上规律，在正n 边形1234n A A A A A ⋯中，对相邻的三边实施同样的操作过程，即点M ，N 是12A A ，23A A 上的点，且12A M A N =，1A N 与n A M 相交于O ．也有类似的结论是1n A N A M =，(2)180n n NOA n-⨯︒∠=． 故答案为：1n A N A M =，(2)180n n NOA n-⨯︒∠=． 16．（2020•株洲）据《汉书律历志》记载：“量者，龠(yu è)、合、升、斗、斛(h ú)也”斛是中国古代的一种量器，“斛底，方而圜(hu án )其外，旁有庣(ti āo )焉”．意思是说：“斛的底面为：正方形外接一个圆，此圆外是一个同心圆”，如图所示．问题：现有一斛，其底面的外圆直径为两尺五寸（即2.5尺），“庣旁”为两寸五分（即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.25尺），则此斛底面的正方形的周长为 42 尺．（结果用最简根式表示）【解答】解：如图， 四边形CDEF 为正方形，90D ∴∠=︒，CD DE =，CE ∴为直径，45ECD ∠=︒，由题意得 2.5AB =，2.50.2522CE ∴=-⨯=， 2cos 222CD CE ECD ∴=∠=⨯=， ∴正方形CDEF 周长为42尺． 故答案为：42．17．（2020•湘潭）如图，在半径为6的O 中，圆心角60AOB ∠=︒，则阴影部分面积为 6π ．【解答】解：阴影部分面积为26066360ππ⨯=， 故答案为：6π．18．（2020•长沙）已知圆锥的母线长为3，底面半径为1，该圆锥的侧面展开图的面积为 3π ．【解答】解：圆锥的侧面展开图是扇形，313S rl πππ∴==⨯⨯=侧，∴该圆锥的侧面展开图的面积为3π．故答案为：3π．19．（2019•湘潭）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积12=（弦⨯矢+矢2)．弧田是由圆弧和其所对的弦围成（如图中的阴影部分），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，运用垂径定理（当半径OC ⊥弦AB 时，OC 平分)AB 可以求解．现已知弦8AB =米，半径等于5米的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积为 10 平方米． 【解答】解：弦8AB =米，半径OC ⊥弦AB ，4AD ∴=，223OD OA AD ∴=-=，2OA OD ∴-=，∴弧田面积12=（弦⨯矢+矢221)(822)102=⨯⨯+=， 故答案为：10．20．（2019•娄底）如图，C 、D 两点在以AB 为直径的圆上，2AB =，30ACD ∠=︒，则AD = 1 ．【解答】解：AB 为直径，90ADB ∴∠=︒，30B ACD ∠=∠=︒， 112122AD AB ∴==⨯=． 故答案为1．21．（2019•株洲）如图所示，AB 为O 的直径，点C 在O 上，且OC AB ⊥，过点C 的弦CD 与线段OB 相交于点E ，满足65AEC ∠=︒，连接AD ，则BAD ∠= 20 度．【解答】解：连接OD ，如图：OC AB ⊥，90COE ∴∠=︒，65AEC ∠=︒，906525OCE ∴∠=︒-︒=︒，OC OD =，25ODC OCE ∴∠=∠=︒，1802525130DOC ∴∠=︒-︒-︒=︒，40BOD DOC COE ∴∠=∠-∠=︒，1202BAD BOD ∴∠=∠=︒， 故答案为：20．22．（2019•衡阳）已知圆的半径是6，则圆内接正三角形的边长是 63 ．【解答】解：如图，圆半径为6，求AB 长．3603120AOB ∠=︒÷=︒连接OA ，OB ，作OC AB ⊥于点C ，OA OB =，2AB AC ∴=，60AOC ∠=︒，3sin 606332AC OA ∴=⨯︒=⨯=， 263AB AC ∴==，故答案为：63．三．解答题（共20小题）23．（2020•邵阳）如图，在等腰ABC ∆中，AB AC =，点D 是BC 上一点，以BD 为直径的O 过点A ，连接AD ，CAD C ∠=∠．（1）求证：AC 是O 的切线；（2）若4AC =，求O 的半径．【解答】（1）证明：如图：连接OA ，OA OB =，OBA OAB ∴∠=∠，AB AC =，OBA C ∴∠=∠，OAB C ∴∠=∠，CAD C ∠=∠，OAB CAD ∴∠=∠， BD 是直径，90BAD ∴∠=︒，90OAC BAD OAB CAD ∠=∠-∠+∠=︒，AC ∴是O 的切线；（2）解：由（1）可知AC 是O 的切线，90OAC ∴∠=︒，2AOD B ∠=∠，AB AC =，B C ∴∠=∠，2390AOC C B C C ∴∠+∠=∠+∠=∠=︒，30B C ∴∠=∠=︒，在Rt ABD ∆中，483cos cos303AB BD B ===︒， 433OB ∴=， O ∴的半径为433． 24．（2020•益阳）如图，OM 是O 的半径，过M 点作O 的切线AB ，且MA MB =，OA ，OB 分别交O于C ，D ．求证：AC BD =．【解答】证明：OM 是O 的半径，过M 点作O 的切线AB ，OM AB∴⊥，MA MB=，ABO∴∆是等腰三角形，OA OB∴=，OC OD=，OA OC OB OD∴-=-，即：AC BD=．25．（2020•娄底）如图，点C在以AB为直径的O上，BD平分ABC∠交O于点D，过D作BC的垂线，垂足为E．（1）求证：DE与O相切；（2）若5AB=，4BE=，求BD的长；（3）请用线段AB、BE表示CE的长，并说明理由．【解答】（1）证明：连接OD，OD OB=，ODB OBD∴∠=∠，BD平分ABC∠，OBD CBD∴∠=∠，ODB CBD∴∠=∠，//OD BE∴，BE DE⊥，OD DE∴⊥，DE∴与O相切；（2）解：AB是O的直径，90ADB∴∠=︒，BE DE⊥，90ADB BED∴∠=∠=︒，BD平分ABC∠，OBD CBD∴∠=∠，ABD DBE∴∆∆∽，∴AB BD BD BE=，∴54BD BD=，25 BD∴=；（3）解：结论CE AB BE=-，理由：过D作DH AB⊥于H，BD平分ABC∠，DE BE⊥，DH DE∴=，在Rt BED∆与Rt BHD∆中，DE DH BD BD=⎧⎨=⎩，Rt BED Rt BHD(HL)∴∆≅∆，BH BE ∴=，DCE A ∠=∠，90DHA DEC ∠=∠=︒，()ADH CDE AAS ∴∆≅∆，AH CE ∴=，AB AH BH =+，AB BE CE ∴=+，CE AB BE ∴=-．26．（2020•株洲）AB 是O 的直径，点C 是O 上一点，连接AC 、BC ，直线MN 过点C ，满足BCM BAC α∠=∠=．（1）如图①，求证：直线MN 是O 的切线；（2）如图②，点D 在线段BC 上，过点D 作DH MN ⊥于点H ，直线DH 交O 于点E 、F ，连接AF 并延长交直线MN 于点G ，连接CE ，且53CE =，若O 的半径为1，3cos 4α=，求AG ED 的值． 【解答】（1）证明：连接OC ，如图①， AB 是O 的直径，90ACB ∴∠=︒，90A B ∴∠+∠=︒，OC OB =，B OCB ∴∠=∠，BCM A ∠=∠，90OCB BCM ∴∠+∠=︒，即OC MN ⊥，MN ∴是O 的切线；（2）解：如图②，AB 是O 的直径，O 的半径为1，2AB ∴=，3cos cos 4AC BAC AB α∠===，即324AC =，∴32AC=，AFE ACE∠=∠，GFH AFE∠=∠，GFH ACE∴∠=∠，DH MN⊥，90GFH AGC∴∠+∠=︒，90ACE ECD∠+∠=︒，ECD AGC∴∠=∠，又DEC CAG∠=∠，EDC ACG∴∆∆∽，∴ED EC AC AG=，∴355232 AG DE AC CE==⨯=．27．（2020•湘西州）如图，AB是O的直径，AC是O的切线，BC交O于点E．（1）若D为AC的中点，证明：DE是O的切线；（2）若6CA=， 3.6CE=，求O的半径OA的长．【解答】（1）证明：连接AE，OE，AB是O的直径，且E在O上，90AEB∴∠=︒，90AEC∴∠=︒，D为AC的中点，AD DE∴=，DAE AED∴∠=∠，AC是O的切线，90CAE EAO CAB∴∠+∠=∠=︒，OA OE=，OAE OEA∴∠=∠，90DEA OEA∴∠+∠=︒，即90DEO∠=︒，DE∴是O的切线；（2）解：90AEC CAB∠=∠=︒，C C∠=∠，AEC BAC∴∆∆∽，∴AC ECBC AC=，6CA=， 3.6CE=，∴6 3.66 BC=，10BC∴=，90CAB∠=︒，222AB AC BC∴+=，221068AB∴=-=，4OA∴=，即O的半径OA的长是4．28．（2020•张家界）如图，在Rt ABC∆中，90ACB∠=︒，以AB为直径作O，过点C作直线CD交AB的延长线于点D，使BCD A∠=∠．（1）求证：CD为O的切线；（2）若DE平分ADC∠，且分别交AC，BC于点E，F，当2CE=时，求EF的长．【解答】（1）证明：如图，连接OC，AB为O的直径，90ACB∴∠=︒，即90A ABC∠+∠=︒，又OC OB=，ABC OCB∴∠=∠，BCD A∠=∠，90BCD OCB∴∠+∠=︒，即90OCD∠=︒，OC是圆O的半径，CD∴是O的切线；（2）解：DE平分ADC∠，CDE ADE∴∠=∠，又BCD A∠=∠，A ADE BCD CDF∴∠+∠=∠+∠，即CEF CFE∠=∠，90ACB∠=︒，2CE=，2CE CF∴==，2222EF CE CF∴=+=．29．（2020•郴州）如图，ABC∆内接于O，AB是O的直径．直线l与O相切于点A，在l上取一点D 使得DA DC=，线段DC，AB的延长线交于点E．（1）求证：直线DC是O的切线；（2）若2BC=，30CAB∠=︒，求图中阴影部分的面积（结果保留)π．【解答】（1）证明：连接OC，AB是O的直径．直线l与O相切于点A，90DAB∴∠=︒，DA DC=，OA OC=，DAC DCA∴∠=∠，OAC OCA∠=∠，DCA ACO DAC CAO∴∠+∠=∠+∠，即90DCO DAO∠=∠=︒，OC CD∴⊥，∴直线DC是O的切线；（2）解：30CAB∠=︒，260BOC CAB∴∠=∠=︒，OC OB=，COB∴∆是等边三角形，2OC OB BC∴===，323CE OC∴==∴图中阴影部分的面积2160222232323603 OCE COBS Sππ∆⋅⨯=-=⨯⨯=扇形．30．（2020•长沙）如图，半径为4的O 中，弦AB 的长度为43，点C 是劣弧AB 上的一个动点，点D 是弦AC 的中点，点E 是弦BC 的中点，连接DE 、OD 、OE ．（1）求AOB ∠的度数；（2）当点C 沿着劣弧AB 从点A 开始，逆时针运动到点B 时，求ODE ∆的外心P 所经过的路径的长度；（3）分别记ODE ∆，CDE ∆的面积为1S ，2S ，当221221S S -=时，求弦AC 的长度． 【解答】解：（1）如图1中，过点O 作OH AB ⊥于H ．4OA OB ==，OH AB ⊥，1232AH HB AB ∴===，AOH BOH ∠=∠， 3sin 2AH AOH AO ∴∠==， 60AOH ∴∠=︒，2120AOB AOH ∴∠=∠=︒．（2）如图2中，连接OC ，取OC 的中点P ，连接DP ，OA OC OB ==，AD DC =，CE EB =，OD AC ∴⊥，OE CB ⊥，90ODC OEC ∴∠=∠=︒，180ODC OEC ∴∠+∠=︒，O ∴，D ，C ，E 四点共圆，OC ∴是直径，OC ∴的中点P 是OED ∆的外接圆的圆心， 122OP OC ∴==， ∴点P 在以O 为圆心，2为半径的圆上运动，120AOB ∠=︒，∴点P 的运动路径的长120241803ππ==．（3）当点C 靠近A 点时，如图3中，当AC BC <时，连接OC 交AB 于J ，过点O 作OH AB ⊥于H ，过点C 作CK AB ⊥于K ．AD CD =，CE EB =， //DE AB ∴，2AB DE =，CDE CAB ∴∆∆∽，∴21()4CDE CAB S DE S AB ∆∆==， 24ABC S S ∆∴=，ADO ODC S S ∆∆=，OBE OEC S S ∆∆=，12ODCE OACB S S ∴=四边形四边形， 12221(443)2232S S S S ∴+=+=+ 123S S ∴=+，221221S S -=，2222231221S S S ∴++-=，233S ∴， 1332ABC S AB CK ∆∴=⨯⨯， 32CK ∴=， OH AB ⊥，CK AB ⊥，//OH CK ∴，CKJ OHJ ∴∆∆∽，∴CK CJ OH OJ=， ∴33224CJ OJ ==， 312477CJ ∴=⨯=，416477OJ =⨯=，2222123315()()7214JK CJ CK ∴=-=-=，222216215()277JH OJ OH =-=-=， 152KH ∴=， 15232AK AH KH ∴=-=-， 2222153(23)()186515322AC AK CK ∴=+=-+=-=-． 当AC BC >时，同法可得153AC =+， 同理，当点C 靠近B 点时，可知22153(23)()15322AC =++=+． 综上所述，满足条件的AC 的值为153±．31．（2020•湘潭）如图，在ABC ∆中，AB AC =，以AB 为直径的O 交BC 于点D ，过点D 作DE AC ⊥，垂足为点E ．（1）求证：ABD ACD ∆≅∆；（2）判断直线DE 与O 的位置关系，并说明理由．【解答】（1）证明：AB 为O 的直径，AD BC ∴⊥，在Rt ADB ∆和Rt ADC ∆中AD AD AB AC =⎧⎨=⎩， Rt ABD Rt ACD(HL)∴∆≅∆；（2）直线DE 与O 相切，理由如下：连接OD ，如图所示：由ABD ACD ∆≅∆知：BD DC =，又OA OB =，OD ∴为ABC ∆的中位线，//OD AC ∴，DE AC ⊥，OD DE ∴⊥，OD 为O 的半径，DE ∴与O 相切．32．（2020•怀化）定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形．（1）下面四边形是垂等四边形的是 ④ ；（填序号）①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形（2）图形判定：如图1，在四边形ABCD 中，//AD BC ，AC BD ⊥，过点D 作BD 垂线交BC 的延长线于点E ，且45DBC ∠=︒，证明：四边形ABCD 是垂等四边形．（3）由菱形面积公式易知性质：垂等四边形的面积等于两条对角线乘积的一半．应用：在图2中，面积为24的垂等四边形ABCD 内接于O 中，60BCD ∠=︒．求O 的半径．【解答】解：（1）①平行四边形的对角线互相平分但不垂直和相等，故不是垂等四边形；②矩形对角线相等但不垂直，故不是垂等四边形；③菱形的对角线互相垂直但不相等，故不是垂等四边形；④正方形的对角线互相垂直且相等，故正方形是垂等四边形；故选：④；（2）AC BD ⊥，ED BD ⊥，//AC DE ∴，又//AD BC ，∴四边形ADEC 是平行四边形，AC DE ∴=，又45DBC ∠=︒，BDE ∴∆是等腰直角三角形，BD DE ∴=，BD AC ∴=，又BD AC ⊥，∴四边形ABCD 是垂等四边形；（3）如图，过点O 作OE BD ⊥， 四边形ABCD 是垂等四边形，AC BD ∴=， 又垂等四边形的面积是24， ∴1242AC BD =， 解得，43AC BD ==又60BCD ∠=︒，60DOE ∴∠=︒，设半径为r ，根据垂径定理可得：在ODE ∆中，OD r =，23DE =234sin 603DE r ∴===︒，O ∴的半径为4．33．（2020•长沙）如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，AD 与过C 点的直线互相垂直，垂足为D ，AC 平分DAB ∠．（1）求证：DC 为O 的切线．（2）若3AD =，3DC =，求O 的半径．【解答】解：（1）如图，连接OC ，OA OC =，OAC OCA ∴∠=∠，AC 平分DAB ∠，DAC OAC ∴∠=∠，OCA DAC ∴∠=∠， //AD OC ∴， AD DC ⊥，OC DC ∴⊥，又OC 是O 的半径，DC ∴为O 的切线；（2）过点O 作OE AC ⊥于点E ， 在Rt ADC ∆中，3AD =，3DC = 3tan DC DAC AD ∴∠=， 30DAC ∴∠=︒， 223AC DC ∴==OE AC ⊥，根据垂径定理，得132AE EC AC ===， 30EAO DAC ∠=∠=︒，2cos30AE OA ∴==︒， O ∴的半径为2．34．（2020•衡阳）如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，过点A 和点D 的圆，圆心O 在线段AB 上，O 交AB 于点E ，交AC 于点F ．（1）判断BC 与O 的位置关系，并说明理由；（2）若8AD =，10AE =，求BD 的长．【解答】解：（1）BC 与O 相切，理由：连接OD ，OA OD =，OAD ODA ∴∠=∠， AD 平分BAC ∠，BAD CAD ∴∠=∠，ODA CAD ∴∠=∠，//OD AC ∴，90C ∠=︒，90ODC ∴∠=︒，OD BC ∴⊥， OD 为半径，BC ∴是O 切线；（2）连接DE ， AE 是O 的直径，90ADE ∴∠=︒，90C ∠=︒，ADE C ∴∠=∠，EAD DAC ∠=∠，ADE ACD ∴∆∆∽， ∴AE AD AD AC =， 1088AC =， 325AC ∴=， 222232248()55CD AD AC ∴=-=-=， OD BC ⊥，AC BC ⊥，//OD AC ∴，OBD ABC ∴∆∆∽，∴OD BD AC BC=， ∴5322455BD BD =+， 1207BD ∴=．35．（2019•永州）如图，已知O 是ABC ∆的外接圆，且BC 为O 的直径，在劣弧AC 上取一点D ，使CD AB =，将ADC ∆沿AD 对折，得到ADE ∆，连接CE ．（1）求证：CE 是O 的切线；（2）若3CE CD =，劣弧CD 的弧长为π，求O 的半径．【解答】解：（1）CD AB =，CAD BCA EAD α∴∠=∠==∠，设：DCA DEA β∠=∠=，DCE DEC γ∠=∠=，则ACE ∆中，根据三角形内角和为180︒，222180αβγ∴++=︒，90αβγ∴++=︒，CE ∴是O 的切线；（2）过点A 作AM BC ⊥，延长AD 交CE 于点N ，则DN CE ⊥，∴四边形AMCN 为矩形，设：AB CD x ==，则3CE x =， 则132CN CE AM ==，而AB x =， 则3sin ABM ∠，60ABM ∴∠=︒， OAB ∴∆为等边三角形，即60AOB ∠=︒，602360CD AB r ππ︒==⨯=︒， 解得：3r =，故圆的半径为3．36．（2019•邵阳）如图1，已知O 外一点P 向O 作切线PA ，点A 为切点，连接PO 并延长交O 于点B ，连接AO 并延长交O 于点C ，过点C 作CD PB ⊥，分别交PB 于点E ，交O 于点D ，连接AD ．（1）求证：~APO DCA ∆∆；（2）如图2，当AD AO =时①求P ∠的度数；②连接AB ，在O 上是否存在点Q 使得四边形APQB 是菱形．若存在，请直接写出PQ CQ的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）证明：如图1，PA 切O 于点A ，AC 是O 的直径，90PAO CDA ∴∠=∠=︒CD PB ⊥90CEP ∴∠=︒CEP CDA ∴∠=∠//PB AD ∴POA CAO ∴∠=∠~APO DCA ∴∆∆（2）如图2，连接OD ，①AD AO =，OD AO =OAD ∴∆是等边三角形60OAD ∴∠=︒//PB AD60POA OAD ∴∠=∠=︒90PAO ∠=︒90906030P POA ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒②存在．如图2，过点B 作BQ AC ⊥交O 于Q ，连接PQ ，BC ，CQ ， 由①得：60POA ∠=︒，90PAO ∠=︒60BOC POA ∴∠=∠=︒OB OC =60ACB ∴∠=︒30BQC BAC ∴∠=∠=︒BQ AC ⊥，CQ BC ∴=BC OB OA ==()CBQ OBA AAS ∴∆≅∆BQ AB ∴=30OBA OPA ∠=∠=︒AB AP ∴=BQ AP ∴=PA AC ⊥//BQ AP ∴∴四边形ABQP 是平行四边形AB AP =∴四边形ABQP 是菱形PQ AB ∴= ∴tan tan 603PQ AB ACB CQ BC==∠=︒=AB=，点C是AB上的一动点（不与A，B重合），37．（2019•张家界）如图，AB为O的直径，且43过点B作O的切线交AC的延长线于点D，点E是BD的中点，连接EC．（1）求证：EC是O的切线；（2）当30∠=︒时，求阴影部分面积．D【解答】解：（1）如图，连接BC，OC，OE，AB为O的直径，ACB∴∠=︒，90在Rt BDC=，∆中，BE ED∴==，DE EC BEOC OB=，=，OE OE∴∆≅∆，()OCE OBE SSS∴∠=∠，OCE OBEBD是O的切线，∴∠=︒，ABD90∴∠=∠=︒，90OCE ABDOC 为半径，EC ∴是O 的切线；（2）OA OB =，BE DE =，//AD OE ∴，D OEB ∴∠=∠，30D ∠=︒，30OEB ∴∠=︒，60EOB ∠=︒， 120BOC ∴∠=︒，43AB =，23OB ∴=， ∴2336BE ==．∴四边形OBEC 的面积为1226231232OBE S ∆=⨯⨯⨯=， ∴阴影部分面积为2120(23)1231234360OBEC BOC S S ππ⋅⨯-=-=-四边形扇形． 38．（2019•邵阳）如图，在等腰ABC ∆中，120BAC ∠=︒，AD 是BAC ∠的角平分线，且6AD =，以点A 为圆心，AD 长为半径画弧EF ，交AB 于点E ，交AC 于点F ． （1）求由弧EF 及线段FC 、CB 、BE 围成图形（图中阴影部分）的面积； （2）将阴影部分剪掉，余下扇形AEF ，将扇形AEF 围成一个圆锥的侧面，AE 与AF 正好重合，圆锥侧面无重叠，求这个圆锥的高h ．【解答】解：在等腰ABC ∆中，120BAC ∠=︒，30B ∴∠=︒，AD 是BAC ∠的角平分线，AD BC ∴⊥，BD CD =，363BD AD ∴=， 2123BC BD ∴==∴由弧EF 及线段FC 、CB 、BE 围成图形（图中阴影部分）的面积2112066123363122360ABC EAF S S ππ∆⋅⋅=-=⨯⨯=扇形； （2）设圆锥的底面圆的半径为r ，根据题意得12062180r ππ=，解得2r =， 这个圆锥的高226242h =-=39．（2019•郴州）如图，已知AB 是O 的直径，CD 与O 相切于点D ，且//AD OC ．（1）求证：BC 是O 的切线；（2）延长CO 交O 于点E ．若30CEB ∠=︒，O 的半径为2，求BD 的长．（结果保留)π【解答】（1）证明：连接OD ， CD 与O 相切于点D ，90ODC ∴∠=︒，OD OA =，OAD ODA ∴∠=∠，//AD OC ，COB OAD ∴∠=∠，COD ODA ∠=∠，COB COD ∴∠=∠，在COD ∆和COB ∆中OD OB COD COB OC OC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()COD COB SAS ∴∆≅∆，90ODC OBC ∴∠=∠=︒，BC ∴是O 的切线；（2）解：30CEB ∠=︒，60COB ∴∠=︒，COB COD ∠=∠，120BOD ∴∠=︒，∴BD 的长：120241803ππ=． 40．（2019•常德）如图，O 与ABC ∆的AC 边相切于点C ，与AB 、BC 边分别交于点D 、E ，//DE OA ，CE 是O 的直径．（1）求证：AB 是O 的切线；（2）若4BD =，6EC =，求AC 的长．【解答】（1）证明：连接OD ，OD OE =，OED ODE ∴∠=∠，//DE OA ，ODE AOD ∴∠=∠，DEO AOC ∠=∠，AOD AOC ∴∠=∠， AC 是切线，90ACB ∴∠=︒，在AOD ∆和AOC ∆中OD OC AOD AOC OA OA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AOD AOC SAS ∴∆≅∆，90ADO ACB ∴∠=∠=︒， OD 是半径，AB ∴是O 的切线；（2）解：连接OD ，CD ， BD 是O 切线，90ODB ∴∠=︒，90BDE ODE ∴∠+∠=︒， CE 是O 的直径，90CDE ∴∠=︒，90ODC ODE ∴∠+∠=︒，BDE ODC ∴∠=∠，OC OD =，OCD ODC ∴∠=∠，BDE OCD ∴∠=∠，B B ∠=∠，BDE BCD ∴∆∆∽， ∴BD BE BC BD= 2BD BE BC ∴=，设BE x =，4BD =，6EC =，24(6)x x ∴=+，解得2x =或8x =-（舍去），2BE ∴=，8BC BE EC ∴=+=， AD 、AC 是O 的切线，AD AC ∴=，设AD AC y ==，在Rt ABC ∆中，222AB AC BC =+，222(4)8y y ∴+=+，解得6y =，6AC ∴=，故AC 的长为6．41．（2019•益阳）如图，在Rt ABC ∆中，M 是斜边AB 的中点，以CM 为直径作圆O 交AC 于点N ，延长MN至D ，使ND MN =，连接AD 、CD ，CD 交圆O 于点E ．（1）判断四边形AMCD 的形状，并说明理由；（2）求证：ND NE =；（3）若2DE =，3EC =，求BC 的长．【解答】（1）解：四边形AMCD 是菱形，理由如下： M 是Rt ABC ∆中AB 的中点，CM AM ∴=， CM 为O 的直径，90CNM ∴∠=︒，MD AC ∴⊥，AN CN ∴=，ND MN =，∴四边形AMCD 是菱形．（2）四边形CENM 为O 的内接四边形，180CEN CMN ∴∠+∠=︒，180CEN DEN ∠+∠=︒，CMN DEN ∴∠=∠，四边形AMCD 是菱形，CD CM ∴=，CDM CMN ∴∠=∠，DEN CDM ∴∠=∠，ND NE ∴=．（3）CMN DEN ∠=∠，MDC EDN ∠=∠，MDC EDN ∴∆∆∽， ∴MD DC DE DN=，。

2019年湖南省娄底市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．【解答】解：2019的相反数是：﹣2019．故选：A．2．【解答】解：A．（﹣2）3＝﹣8，故选项A不合题意；B．（a2）3＝a6，故选项B符合题意；C．a2•a3＝a5，故选项C不合题意；D.4x2与x不是同类项，故不能合并，所以选项D不合题意．故选：B．3．【解答】解：如图，∵E、F分别是AB、BC的中点，∴EF∥AC且EF＝AC，同理，GH∥AC且GH＝AC，∴EF∥GH且EF＝GH，∴四边形EFGH是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，又根据三角形的中位线定理，EF∥AC，FG∥BD，∴EF⊥FG，∴平行四边形EFGH是矩形．故选：C．4．【解答】解：这组数据的众数为1，从小到大排列：﹣2，0，1，1，1，2，中位数是1，故选：C．5．【解答】解：7nm用科学记数法表示为7×10﹣9m．故选：B．6．【解答】解：A、到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，正确，是真命题；B、等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，错误，是假命题；C、n边形（n≥3）的内角和是180°n﹣360°，正确，是真命题；D、旋转不改变图形的形状和大小，正确，是真命题，故选：C．7．【解答】解：双曲线y＝的图象关于x轴对称，根据图形的对称性，把第二象限和第四象限的阴影部分的面积拼到第一和第三象限中的阴影中，可以得到阴影部分就是一个扇形，并且扇形的圆心角为180°，半径为2，所以：S阴影＝＝2π．故选：C．8．【解答】解：设△ABC的内心为O，连接AO、BO，CO的延长线交AB于H，如图，∵△ABC为等边三角形，∴CH平分∠BCA，AO平分∠BAC，∵△ABC为等边三角形，∴∠CAB＝60°，CH⊥AB，∴∠OAH＝30°，AH＝BH＝AB＝，在Rt△AOH中，∵tan∠OAH＝＝tan30°，∴OH＝×＝1，即△ABC内切圆的半径为1．故选：A．9．【解答】解：由“左加右减”的原则可知，y＝的图象向右平移1个单位所得函数图象的关系式是：y＝；由“上加下减”的原则可知，函数y＝的图象向上平移1个单位长度所得函数图象的关系式是：y＝+1．故选：C．10．【解答】解：∵直线y＝x+b和y＝kx+2与x轴分别交于点A（﹣2，0），点B（3，0），∴解集为﹣2＜x＜3，故选：D．11．【解答】解：由函数图象可知a＜0，对称轴﹣1＜x＜0，图象与y轴的交点c＞0，函数与x轴有两个不同的交点，∴b﹣2a＞0，b＜0；△＝b2﹣4ac＞0；abc＞0；当x＝1时，y＜0，即a+b+c＜0；当x＝﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0；∴（a+b+c）（a﹣b+c）＜0，即（a+c）2＜b2；∴只有④是正确的；故选：A．12．【解答】解：点运动一个用时为÷π＝2秒．如图，作CD⊥AB于D，与交于点E．在Rt△ACD中，∵∠ADC＝90°，∠ACD＝∠ACB＝60°，∴∠CAD＝30°，∴CD＝AC＝×2＝1，∴DE＝CE﹣CD＝2﹣1＝1，∴第1秒时点P运动到点E，纵坐标为1；第2秒时点P运动到点B，纵坐标为0；第3秒时点P运动到点F，纵坐标为﹣1；第4秒时点P运动到点G，纵坐标为0；第5秒时点P运动到点H，纵坐标为1；…，∴点P的纵坐标以1，0，﹣1，0四个数为一个周期依次循环，∴第2019秒时点P的纵坐标为是﹣1．故选：B．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）13．【解答】解：根据题意得，x﹣3≥0，解得x≥3．故答案为：x≥3．14．【解答】解：用树状图表示所有可能出现的结果有：∴能让灯泡发光的概率：P＝，故答案为：．15．【解答】解：∵AC∥BD，∴∠1＝∠A，∵AB∥CD，∴∠2＝∠A，∴∠2＝∠1＝28°，故答案为：28°．16．【解答】解：∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∵∠B＝∠ACD＝30°，∴AD＝AB＝×2＝1．故答案为1．17．【解答】解：设方程的另一个根为c，∴c＝﹣．故答案为：﹣．18．【解答】解：当x＝0时，y＝x＝0，即点（0，0）在直线y＝x上，因为点（0，0）到直线y＝x﹣4的距离为：d＝＝＝2，因为直线y＝x和y＝x﹣4平行，所以这两条平行线之间的距离为2．故答案为2．三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）19．【解答】解：原式＝1﹣2+﹣2×＝1﹣2+﹣＝﹣1．20．【解答】解：÷（﹣）＝＝＝ab，当a＝﹣1，b＝+1时，原式＝（﹣1）×（+1）＝1．四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）21．【解答】解：（1）根据上述统计图表，可得此次采访的人数为100÷0.5＝200（人），m＝200×0.4＝80（人），n＝1﹣0.4﹣0.5＝0.1；故答案为200，80，0.4；（2）补全图中的条形统计图（3）高度关注新高考政策的人数：1500×0.4＝600（人），答：高度关注新高考政策的约有600人．22．【解答】解：如图，作AF⊥CD于F．设AE＝x米．∵斜坡AB的坡度为i＝1：1，∴BE＝AE＝x米．在Rt△BDC中，∵∠C＝90°，CD＝96米，∠DBC＝∠β，∴BC＝＝＝24（米），∴EC＝EB+BC＝（x+24）米，∴AF＝EC＝（x+24）米．在Rt△ADF中，∵∠AFD＝90°，∠DAF＝∠α，∴DF＝AF•tanα＝2（x+24）米，∵DF＝DC﹣CF＝DC﹣AE＝（96﹣x）米，∴2（x+24）＝96﹣x，解得x＝16．故山顶A的高度AE为16米．五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）23．【解答】解：（1）设购进甲矿泉水x箱，购进乙矿泉水y箱，依题意，得：，解得：．答：购进甲矿泉水300箱，购进乙矿泉水200箱．（2）（35﹣25）×300+（48﹣35）×200＝5600（元）．答：该商场售完这500箱矿泉水，可获利5600元．24．【解答】证明：（1）连接OD，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD，∵OA＝OB，∴∠BAD＝∠ADO，∴∠CAD＝∠ADO，∴AC∥OD，∵CD⊥AC，∴CD⊥OD，∴直线CD是⊙O的切线；（2）连接BD，∵BE是⊙O的切线，AB为⊙O的直径，∴∠ABE＝∠BDE＝90°，∵CD⊥AC，∴∠C＝∠BDE＝90°，∵∠CAD＝∠BAE＝∠DBE，∴△ACD∽△BDE，∴＝，∴CD•BE＝AD•DE．六、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）25．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠C．∴在△AEH与△CGF中，，∴△AEH≌△CGF（SAS）；（2）∵由（1）知，△AEH≌△CGF，则EH＝GF，同理证得△EBF≌△GDH，则EF＝GH，∴四边形EFGH是平行四边形；（3）四边形EFGH的周长一半等于矩形ABCD一条对角线长度．理由如下：如图，连接AC，BD．∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD．∵E、H分别是边AB，AD的中点，∴EH是△ABD的中位线，∴EH＝BD．同理，FG＝BD，EF＝HG＝AC．∴（EH+HG+GF+EF）＝（AC+BD）＝AC．∴四边形EFGH的周长一半等于矩形ABCD一条对角线长度．26．【解答】解：（1）函数的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3），将点D坐标代入上式并解得：a＝1，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3…①；（2）设直线PD与y轴交于点G，设点P（m，m2﹣2m﹣3），将点P、D的坐标代入一次函数表达式：y＝sx+t并解得：直线PD的表达式为：y＝mx﹣3﹣2m，则OG＝3+2m，S△POD＝×OG（x D﹣x P）＝（3+2m）（2﹣m）＝﹣m2+m+3，∵﹣1＜0，故S△POD有最大值，当m＝时，其最大值为；（3）∵OB＝OC＝3，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∵∠ABC＝∠OBE，故△OBE与△ABC相似时，分为两种情况：①当∠ACB＝∠BOQ时，AB＝4，BC＝3，AC＝，过点A作AH⊥BC与点H，S△ABC＝×AH×BC＝AB×OC，解得：AH＝2，则sin∠ACB＝＝，则tan∠ACB＝2，则直线OQ的表达式为：y＝﹣2x…②，联立①②并解得：x＝（舍去负值），故点Q（，﹣2）②∠BAC＝∠BOQ时，tan∠BAC＝＝3＝tan∠BOQ，则直线OQ的表达式为：y＝﹣3x…③，联立①③并解得：x＝，故点Q（，）；综上，点Q（，﹣2）或（，）．。

三角形、四边形的内切圆和外接圆一、选择题1. (2017 山东省滨州市) 2017山东滨州）若正方形的外接圆半径为2，则其内切圆半径为（）A．2B．22C．2D．12. (2017 山东省泰安市) 如图，圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O，过点C的切线与边AD所在直线垂直于点M，若∠ABC=55°，则∠ACD等于（）A．20°B．35°C．40°D．55°3. (2018 辽宁省沈阳市) （2分）如图，正方形ABCD内接于⊙O，AB=2，则的长是（）A．π B．πC．2πD．π4. (2018 山东省烟台市) （3.00分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC 的内心，∠AIC=124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE的度数为（）１２A ．56°B ．62°C ．68°D ．78°5. (2018 陕西省) （3.00分）如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB=AC ，∠BCA=65°，作CD ∥AB ，并与⊙O 相交于点D ，连接BD ，则∠DBC 的大小为（ ）A ．15°B ．35°C ．25°D ．45°6. (2018四川省自贡市) （4分）如图，若△ABC 内接于半径为R 的⊙O ，且∠A=60°，连接OB 、OC ，则边BC 的长为（ ）A ．B ．C ．D ．7. (2017 山东省潍坊市) 如图，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形．延长AB 与DC 相交于点G ，AO ⊥CD ，垂足为E ，连接BD ，∠GBC=50°，则∠DBC 的度数为（ ）３A ．50°B ．60°C ．80°D ．90°8. (2019 湖北省荆门市) （3分）如图，△ABC 内心为I ，连接AI 并延长交△ABC 的外接圆于D ，则线段DI 与DB 的关系是（ ）A ．DI ＝DBB ．DI ＞DBC ．DI ＜DBD ．不确定9. (2019 湖南省娄底市) （3分）如图，边长为23的等边ABC 的内切圆的半径为( )A ．1B 3C ．2D ．2310. (2019 云南省) （4分）如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB＝5，BC＝13，CA＝12，则阴影部分（即四边形AEOF）的面积是（）A．4 B．6.25 C．7.5 D．9二、填空题11. (2015 四川省成都市) 如图，在半径为5的⊙O中，弦AB=8，P是弦AB所对的优弧上的动点，连接AP，过点A作AP的垂线交射线PB于点C，当△PAB是等腰三角形时，线段BC的长为．12. (2017 青海省西宁市) （2分）（2017•西宁, 17, 2分）如图，四边形ABCD 内接于⊙O，点E在BC的延长线上，若∠BOD=120°，则∠DCE= 60°．４13. (2018 江苏省扬州市) （3分）如图，已知⊙O的半径为2，△ABC内接于⊙O，∠ACB=135°，则AB= ．14. (2018 江苏省镇江市) （2分）如图，AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，若∠BAD=50°，则∠ACB= °．15. (2018 内蒙古呼和浩特市) （3分）同一个圆的内接正方形和正三角形的边心距的比为．16. (2018 山东省泰安市) （3.00分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A=45°，BC=4，则⊙O的直径为．17. (2018 浙江省湖州市) （4分）如图，已知△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D，连结OB，OD．若∠ABC=40°，则∠BOD的度数是．５18. (2018 云南省曲靖市) （3分）如图：四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点，若∠A=n°，则∠DCE= °．19. (2019 黑龙江省绥化市) （3分）半径为5的⊙O是锐角三角形ABC的外接圆，AB＝AC，连接OB、OC，延长CO交弦AB于点D．若△OBD是直角三角形，则弦BC的长为．20. (2019 江苏省南京市) （2分）在△ABC中，AB＝4，∠C＝60°，∠A＞∠B，则BC的长的取值范围是．21. (2019 江苏省宿迁市) （3分）直角三角形的两条直角边分别是5和12，则它的内切圆半径为．22. (2018 四川省内江市) （6分）已知△ABC的三边a，b，c，满足a+b2+|c ﹣6|+28=4+10b，则△ABC的外接圆半径= ．６三、解答题23. (2019 湖北省襄阳市) （8分）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆⊙O相交于点D，过D作直线DG∥BC．（1）求证：DG是⊙O的切线；（2）若DE＝6，BC＝6，求优弧的长．24. (2019 湖北省孝感市) （10分）如图，点I是△ABC的内心，BI的延长线与△ABC的外接圆⊙O交于点D，与AC交于点E，延长CD、BA相交于点F，∠ADF 的平分线交AF于点G．（1）求证：DG∥CA；（2）求证：AD＝ID；（3）若DE＝4，BE＝5，求BI的长．７25. (2015 湖南省怀化市) 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，AB=2 （1）求作⊙O，使它过点A、B、C（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）所作的圆中，求出劣弧的长l．26. (2016 福建省福州市) （12分）如图，正方形ABCD内接于⊙O，M 为AD(⌒)⌒AD 中点，连接BM，CM．（1）求证：BM＝CM；（2）当⊙O的半径为2 时，求BM(⌒)⌒BM的长．８27. (2016 四川省凉山州) 阅读下列材料并回答问题：材料1：如果一个三角形的三边长分别为a，b ，c，记，那么三角形的面积为．①古希腊几何学家海伦（Heron，约公元50年），在数学史上以解决几何测量问题闻名．他在《度量》一书中，给出了公式①和它的证明，这一公式称海伦公式．我国南宋数学家秦九韶（约1202﹣﹣约1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式：．②下面我们对公式②进行变形：=====．这说明海伦公式与秦九韶公式实质上是同一公式，所以我们也称①为海伦﹣﹣秦九韶公式．问题：如图，在△ABC中，AB=13，BC=12，AC=7，⊙O内切于△ABC，切点分别是D、E、F．（1）求△ABC的面积；（2）求⊙O的半径．９１０28. (2016 浙江省湖州市) 如图，已知四边形ABCD内接于圆O ，连结BD ，∠BAD=105°，∠DBC=75°．（1）求证：BD=CD ；（2）若圆O 的半径为3，求的长．29. (2017 山东省临沂市) 如图，BAC ∠的平分线交ABC V 的外接圆于点D ，ABC ∠的平分线交AD 于点E .（1）求证：DE DB =；（2）若90BAC ∠=︒，4BD =，求ABC V 外接圆的半径.30. (2017 浙江省台州市) 如图，已知等腰直角三角形ABC ，点P 是斜边BC 上一点（不与B ，C 重合），PE 是△ABP 的外接圆⊙O 的直径．（1）求证：△APE 是等腰直角三角形；（2）若⊙O 的直径为2，求PC 2+PB 2的值．参考答案一、选择题1. 答案：A。

2023年湖南娄底中考数学试卷（附答案）温馨提示：1．本学科试卷分试题卷和答题卡两部分，数学卷面满分120分，考试时量120分钟．2．请你将姓名、准考证号等相关信息按要求填涂在答题卡上．3．请你在答题卡规定区域内作答，答在本试题卷上无效．一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡上相应题号下的方框里）1．2023的倒数是（）A．2023-B．2023C．12023D．12023-2．下列运算正确的是（）A．248a a a ⋅=B．2234a a a +=C．()()2222a a a +-=-D．()326328a b a b -=-3．新时代我国教育事业取得了历史性成就，目前我国已建成世界上规模最大的教育体系，教育现代化发展总体水平跨入世界中上国家行列，其中高等教育在学总规模达到4430万人，处于高等教育普及化阶段．4430万用科学记数法表示为（）A．544310⨯B．74.4310⨯C．84.4310⨯D．80.44310⨯4．一个小组7名同学的身高（单位：cm ）分别为：175，160，158，155，168，151，170．这组数据的中位数是（）A．151B．155C．158D．1605．不等式组35220x x -+<⎧⎨-≤⎩的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．6．将直线 21y x =+向右平移2个单位所得直线的表达式为（）A．21y x =-B．23y x =-C．23y x =+D．25y x =+A．433π-B．4310．已知二次函数2y ax bx =+②420a b c -+>；③a b m ->图象上，则12y y >．其中正确的结论是（A．①②B．①④11．从n 个不同元素中取出(m m 中取出m 个元素的组合数，用符号中，AC16．如图，在ABC在的直线旋转一周得到的几何体的表面积为18．若干个同学参加课后社团——舞蹈活动，一次排练中，先到的个以O 点为圆心，r 为半径的圆圈（每个同学对应圆周上一个点）先到的同学都沿各自所在半径往后移距离与原来n 个同学之间的距离（即在圆周上两人之间的圆弧的长）相等．这同学排成圆圈后，又有一个同学要加入队伍，（请用关于a 的代数式表示），才能使得这间的距离相等．三、解答题（本大题共2小题，每小题19．计算：()02023138π-+-+-20．先化简，再求值：211xx x ⎛⎫- ⎪+-⎝⎭四、解答题（本大题共2小题，每小题21．某区教育局为了了解某年级学生对科学知识的掌握情况，干名学生进行科学知识测试，按照测试成绩分优秀、良好、合格与不合格四个等级，并绘制了如下两幅不完整统计图．五、解答题（本大题共2小题，每小题23．为落实“五育并举”，绿化美化环境，学校在劳动周组织学生到校园周边种植甲、乙两种树苗．已知购买甲种树苗乙种树苗3棵共需11元．(1)求每棵甲、乙树苗的价格．(2)本次活动共种植了200树，并且平均每棵树的价值（含生态价值，经济价值）均为原来树苗价的(1)求证：四边形BOCG 为菱形．(2)如图2，以O 点为圆心，OG 为半径作O ①判断直线AB 与O 的位置关系，并予以证明．②点M 为劣弧BC 上一动点（与点B 、点C 不重合），连接BM 并延长交AC 于点接CM 并延长交AB 于点F ，求证：AE AF +为定值．六、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）25．鲜艳的中华人民共和国国旗始终是当代中华儿女永不褪色的信仰，国旗上的每颗星都是标准五角星．为了增强学生的国家荣誉感、民族自豪感等．数学老师组织学生对五角星进行了较深入的研究．延长正五边形的各边直到不相邻的边相交，得到一个标准五角星．如图，正五边形ABCDE 的边BA DE 、的延长线相交于点F ，EAF ∠的平分线交于点M ．(1)求证：2AE EF EM =⋅．(2)若1AF =，求AE 的长．(3)求ABCDEAEFS S 正五边形△的值．26．如图，抛物线2y x bx c =++过点()1,0A -、点()5,0B ，交y 轴于点C ．(1)求b ，c 的值．(2)点()()000,05P x y x <<是抛物线上的动点①当0x 取何值时，PBC 的面积最大？并求出PBC 面积的最大值；②过点P 作PE x ⊥轴，交BC 于点E ，再过点P 作PF x ∥轴，交抛物线于点F ，连接EF ，问：是否存在点P ，使PEF !为等腰直角三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．．（3）45+6050003500150⨯=（人）；∴全区该年纪共有5000名学生，请估计该年级对科学知识掌握情况较好（测试成绩能达到良好及以上等级）的学生人数有3500人．【点睛】本题考查的是从条形图与扇形图中获取信息，利用样本估计总体，是解本题的关键．22．A 、B 两点间的距离为500米．【分析】如图，过A 作AQ CD ⊥于Q ，由2425AQ AB =，设227BQ AB AQ x =-=，而20BE =，可得QE QB BE =+3AQ QE =，再建立方程求解即可．【详解】解：如图，过A 作AQ CD ⊥于Q ，∵24sin 25α=，即2425AQ AB =，设24AQ x =，则25AB x =，是等边三角形，∵ABC∴中线AD过点G，即=∴AD⟂BC，DB DC=，∵DO DG∴四边形BOCG是平行四边形，∵AD⟂BC，∴四边形BOCG为菱形；（2）①解：直线AB∵ABC 是等边三角形，G 是重心，点D 为BC 边的中点，∴中线AD 过点G ，即A 、G 、D 三点共线，60BAC ABC ACB ∠∠∠===︒，AB AC BC ==，AH CH =，∴BG 为ABC ∠的角平分线，∴30ABG GBO ∠∠==︒，∵四边形BOCG 是菱形，∴30CBO GBC ∠∠==︒，∴90ABO ABG GBC CBO ∠∠∠∠=++=︒，∴AB OB ⊥，∴直线AB 是O 的切线；②证明：在优弧BC 上取一点N ，连接BN 、CN ，由①得30OBC ∠=︒，∵OB OC =，∴30OBC OCB ∠∠==︒，∴180120BOC OBC OCB ∠∠∠=︒--=︒，【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，全等三角形的判定和性质，正多边形的性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．26．(1)4b =-，5c =-(2)①当052x =时，PBC ②当点P 的坐标为72⎛ ⎝-【分析】（1）将将(1,0A -（2）①由（1）可知：y P 作PE x ⊥轴，交BC 于点面积PEC PEB S S =+△△，可得()(01122C PE x x PE =⋅-+⋅②由题意可知抛物线的对称轴为轴左侧时，即002x <<时，当点可．【详解】（1）解：将(A -∵()()000,05P x y x <<，则∴点E 的横坐标也为0x ，则纵坐标为∴()005E PE y y x =-=--PBC 的面积PEC S S =+△△()(01122C PE x x PE =⋅-+⋅()12B C PE x x =⋅-()200552x x =-+2055125228x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，0042F PF x x x =-=-，当PE 即：2000254x x x -+=-，整理得：解得：07332x -=（07x =此时200033452y x x -=--=当点P 在对称轴右侧时，即0024F PF x x x =-=-，当PE 即：2000452x x x -+=-，整理得：解得：04x =（012x =-<，不符合题意，舍去）此时：204445y =-⨯-=-综上所述，当点P 的坐标为。

1. （2019年湖南省娄底市）某商场用14500元购进甲、乙两种矿泉水共 500箱，矿泉水的成求：（1）购进甲、乙两种矿泉水各多少箱？（2）该商场售完这500箱矿泉水，可获利多少元？【分析】（1）设购进甲矿泉水 x 箱，购进乙矿泉水y 箱，根据该商场用14500元购进甲、 乙两种矿泉水共500箱，即可得出关于 x , y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）根据总利润=单箱利润X 销售数量，即可求出结论. 【解答】解：（1）设购进甲矿泉水 x 箱，购进乙矿泉水 y 箱， 依题意，得：严尸500 ,[2氐+35尸14500解得：仟呷ly=200答：购进甲矿泉水 300箱，购进乙矿泉水 200箱.（2） （35 - 25）X 300+ （ 48 - 35）X 200 = 5600 （元）. 答：该商场售完这 500箱矿泉水，可获利 5600元.【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组 是解题的关键.2. （2019年广西百色市）一艘轮船在相距90千米的甲、乙两地之间匀速航行，从甲地到乙地顺流航行用6小时，逆流航行比顺流航行多用4小时.（1） 求该轮船在静水中的速度和水流速度；（2） 若在甲、乙两地之间建立丙码头，使该轮船从甲地到丙地和从乙地到丙地所用的航 行时间相同，问甲、丙两地相距多少干米？【分析】（1）设该轮船在静水中的速度是 x 千米/小时，水流速度是y 千米/小时，根据路程=速度X 时间，即可得出关于x , y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设甲、丙两地相距 a 千米，则乙、丙两地相距（90- a ）千米，根据时间=路程* 速度，即可得出关于 a 的一元一次方程，解之即可得出结论.【解答】解：（1）设该轮船在静水中的速度是x 千米/小时，水流速度是 y 千米/小时，'6（x+y ）=90,（6+4）（x-y ）=9C ，K =12y=3答：该轮船在静水中的速度是12千米/小时，水流速度是 3千米/小时.（2）设甲、丙两地相距 a 千米，则乙、丙两地相距（90 - a ）千米,依题意，得:225解得：a =——.4答：甲、丙两地相距 一；一千米.【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用,依题意，得:解题的关键是:（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程.3.（2019年内蒙古呼和浩特市）滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表：小王与小张各自乘坐满滴快车，在同一地点约见，已知到达约见地点时他们的实际行车里程分别为6公里与8.5公里，两人付给滴滴快车的乘车费相同.（1 ）求这两辆滴滴快车的实际行车时间相差多少分钟；（2 ）实际乘车时间较少的人，由于出发时间比另一人早，所以提前到达约见地点在大厅等候.已知他等候另一人的时间是他自己实际乘车时间的 1.5倍，且比另一人的实际乘车时间的一半多8.2019年内蒙古呼和浩特市钟，计算俩人各自的实际乘车时间.【分析】（1）设小王的实际行车时间为x分钟，小张的实际行车时间为y分钟，根据两人付给滴滴快车的乘车费相同列方程求解即可；（2）根据“等候另一人的时间是他自己实际乘车时间的 1.5倍，且比另一人的实际乘车时间的一半多8.2019年内蒙古呼和浩特市钟”列二元一次方程，将其与（1）中的二元一次方程联立即可求解.【解答】解：（1）设小王的实际行车时间为x分钟，小张的实际行车时间为y分钟，由题意得：1.8X 6+0.3x= 1.8X 8.5+0.3y+0.8 x（8.5- 7）10.8+0.3x= 16.5+0.3y0.3 （x-y）= 5.7x- y= 19•••这两辆滴滴快车的实际行车时间相差12019年内蒙古呼和浩特市钟.x-y=19（2 ）由（1）及题意得：“11. 5化简得'，：①+②得2y= 36• y= 18 ③将③代入①得x= 37•••小王的实际行车时间为32019年内蒙古呼和浩特市钟，小张的实际行车时间为12019年内蒙古呼和浩特市钟.【点评】本题考查了二元一次方程和二元一次方程组在实际问题中的应用，根据等量关系列方程或方程组是解题的关键.4. （2019年山东省烟台市）亚洲文明对话大会召开期间，大批的大学生志愿者参与服务工作.某大学计划组织本校全体志愿者统一乘车去会场，若单独调配36座新能源客车若干辆，则有2人没有座位；若只调配22座新能源客车，则用车数量将增加4辆，并空出2个座位.（1 ）计划调配36座新能源客车多少辆？该大学共有多少名志愿者？（2）若同时调配36座和22座两种车型，既保证每人有座，又保证每车不空座，则两种车型各需多少辆？【分析】（1）设计划调配36座新能源客车x 辆，该大学共有 y 名志愿者，则需调配 22 座新能源客车（x+4 ）辆，根据志愿者人数=36 X 调配36座客车的数量+2及志愿者人数 =22 X 调配22座客车的数量-2，即可得出关于x , y 的二元一次方程组，解之即可得出 结论；（2 ）设需调配36座客车m 辆，22座客车n 辆，根据志愿者人数=36 X 调配36座客车的数量+22 X 调配22座客车的数量，即可得出关于 m , n 的二元一次方程，结合 m , n 均 为正整数即可求出结论.【解答】解：（1）设计划调配36座新能源客车x 辆，该大学共有y 名志愿者，则需调配22座新能源客车（x+4）辆，r36x+2=yL 22（x+4）-2=y ，y=218答：计划调配36座新能源客车6辆，该大学共有218名志愿者. （2）设需调配36座客车m 辆，22座客车n 辆，依题意，得：36m+22n = 218,•n =1二-U• :又••• m , n 均为正整数，.firp3••片.卫二5答：需调配36座客车3辆，22座客车5辆.【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用， 解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程.2x+y=4【分析】方程组利用加减消元法求出解即可. y-y=5®L 2x+y=4 ②’①+②得：3x = 9,即x = 3, 把x = 3代入①得：y =- 2, t y=-2【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元 法与加减消兀法.6. （2019年海南省）时下正是海南百香果丰收的季节，张阿姨到“海南爱心扶贫网”上选购百香果，若购买2千克“红土”百香果和 1千克“黄金”百香果需付 80元，若购买1千 克“红土”百香果和3千克“黄金”百香果需付 115元.请问这两种百香果每千克各是 多少元？【分析】设“红土”百香果每千克 x 元，“黄金”百香果每千克 y 元，由题意列出方程组， 解方程组即可. 【解答】解：设“红土”百香果每千克x 元，“黄金”百香果每千克 y 元，依题意，得:解得:5. （2019年福建省）解方程组“【解答】解:则方程组的解为由题意得：®+R0 ,1肝3尸115解得：严的；I 尸30答：“红土”百香果每千克 25元，“黄金”百香果每千克 30元.【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程组的解法；根据题意列出 方程组是解题的关键.7.（ 2019年吉林省）问题解决糖葫芦一般是用竹签串上山楂，再蘸以冰糖制作而成•现将一些山楂分别串在若干根竹签上.如果每根竹签串5个山楂，还剩余4个山楂；如果每根竹签串8个山楂，还剩余7 根竹签•这些竹签有多少根？山楂有多少个？ 反思归纳现有a 根竹签，b 个山楂.若每根竹签串c 个山楂，还剩余d 个山楂，则下列等式成立的 是 （2） （填写序号）.（1） bc+d = a ; （2） ac+d = b ; （3） ac - d = b .显0【分析】问题解决 设竹签有x 根，山楂有y 个，由题意得出方程组: 円E ，解l8（i-7）=y方程组即可；反思归纳 由每根竹签串c 个山楂，还剩余 d 个山楂，得出ac+d = b 即可. 【解答】问题解决 反思归纳解：•••每根竹签串c 个山楂，还剩余d 个山楂, 贝U ac+d = b , 故答案为：（2）.【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程组的解法；根据题意列出方程组是解题的关键.8.求解即可；【解答】解：设每节火车车皮装物资x 吨，每辆汽车装物资 y 吨,解：设竹签有x 根，山楂有 5z+4=y 卫（K -7）二/\=20尸 104，由题意得：-解得：答：竹签有20根，山楂有 y 个,104 个;【分析】设每节火车车皮装物资x 吨，每辆汽车装物资 y 吨，根据题意,ZB f2x+5y=130得£1虹+3尸218根据题意，得严鮎尸130, •妝二 50 (尸6•每节火车车皮装物资 50吨，每辆汽车装物资 6吨；【点评】本题考查二元一次方程组的应用；能够根据题意列出准确的方程组，并用加减 消元法解方程组是关键.【分析】用加减法进行解答便可. 【解答】(2)①+②得，4x = — 8,• - x =— 2, 把x = — 2代入①得,—6 — 2y =— 8, • y = 1,.9-2••片-1尸1【点评】本题是解答题的基本计算题，主要考查了实数的计算，解二元一次方程组，是 基础题，要求100%得分，不能有失误.10 ( 2019年广西河池市)在某体育用品商店，购买30根跳绳和60个毽子共用720元，购买10根跳绳和50个毽子共用360元. (1) 跳绳、毽子的单价各是多少元？(2) 该店在“五？四”青年节期间开展促销活动，所有商品按同样的折数打折销售•节 日期间购买100根跳绳和100个毽子只需1800元，该店的商品按原价的几折销售？【分析】(1 )设跳绳的单价为 x 元/条，毽子的单件为 y 元/个，根据：购买 30根跳绳和 60个毽子共用720元，购买10根跳绳和50个毽子共用360元，列方程组求解即可；(2)设该店的商品按原价的 x 折销售，根据：购买 100根跳绳和100个毽子只需1800 元，列出方程求解可得.【解答】解：(1)设跳绳的单价为x 元/条,毽子的单件为y 元/个,可得：E6答：跳绳的单价为16元/条，毽子的单件为 5元/个;(2)设该店的商品按原价的 x 折销售，可得：(100 X 16+100 X 4)X 〒一=1800, 解得：x = 9, 答：该店的商品按原价的 9折销售.【点评】本题主要考查二元一次方程组及一元一次方程的应用，理解题意找到相等关系 是解题关键.9.( 2019年山西省)解方程组:r3x-2y=-8,① x+2y=0,②30x+60y=720L 10x+50y=360,解得：11 ( 2019年广东省广州市)解方程组:'x-y=LL r+3y 二9【分析】运用加减消元解答即可. ②-①得，4y = 2，解得y = 2,把y = 2代入①得，x - 2 = 1，解得x = 3, 故原方程组的解为〔芷=,【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元 法与加减消兀法.12. （2019年湖南省益阳市）为了提高农田利用效益，某地由每年种植双季稻改为先养殖小龙虾再种植一季水稻的 “虾？稻”轮作模式.某农户有农田20亩，去年开始实施“虾？稻” 轮作，去年出售小龙虾每千克获得的利润为 32元（利润=售价-成本）.由于开发成本 下降和市场供求关系变化，今年每千克小龙虾的养殖成本下降25%，售价下降10%，出售小龙虾每千克获得利润为 30元. （1）求去年每千克小龙虾的养殖成本与售价；（2） 该农户今年每亩农田收获小龙虾 100千克，若今年的水稻种植成本为 600元/亩， 稻谷售价为25元/千克，该农户估计今年可获得“虾？稻”轮作收入不少于 8万元，则稻 谷的亩产量至少会达到多少千克？ 【分析】（1）设去年每千克小龙虾的养殖成本与售价分别为 x 元、y 元，由题意列出方程组，解方程组即可；（2 ）设今年稻谷的亩产量为 z 千克，由题意列出不等式，就不等式即可. 【解答】解：（1）设去年每千克小龙虾的养殖成本与售价分别为 y^x=32(l-10%)y-(l-25») i=3C解得:答：去年每千克小龙虾的养殖成本与售价分别为 8元、40元;（2 ）设今年稻谷的亩产量为 z 千克，由题意得：20X 100 X 30+20 X 2.5z - 20X 600 > 80000, 解得：z > 640; 答：稻谷的亩产量至少会达到 640千克.【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用；根据题意列出方 程组或不等式是解题的关键.13（2019年山东省淄博市）“一带一路”促进了中欧贸易的发展， 我市某机电公司生产的 A , B 两种产品在欧洲市场热销.今年第一季度这两种产品的销售总额为2060万元，总利润问该公司这两种产品的销售件数分别是多少？【分析】设A , B 两种产品的销售件数分别为 x 件、y 件；由题意列出方程组，解方程组 即可. 【解答】解：设 A , B 两种产品的销售件数分别为 x 件、y 件；【解答】解:曲+3尸9②x 元、y 元,由题意得：(2x+4y^2060-1020解得：’「「；ly=180答：A , B 两种产品的销售件数分别为160件、180件.【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程组的解法；根据题意列出 方程组是解题的关键.14 ( 2019年浙江省丽水市)解方程组‘'x^2y =l -【分析】根据二元一次方程组的解法，先将式子 ①化简，再用加减消元法(或代入消元法)求解；将①化简得：-x+8y = 5③, ②+③，得y = 1,将y = 1代入②，得x = 3,【点评】本题考查二元一次方程组的解法；熟练掌握加减消元法或代入消元法解方程组 是解题的关键.15 ( 2019年江苏省盐城市)体育器材室有 A 、B 两种型号的实心球，1只A 型球与1只B 型球的质量共7千克，3只A 型球与1只B 型球的质量共13千克. (1) 每只A 型球、B 型球的质量分别是多少千克？(2) 现有A 型球、B 型球的质量共17千克，则A 型球、B 型球各有多少只？【分析】(1 )直接利用1只A 型球与1只B 型球的质量共7千克，3只A 型球与1只B 型球的质量共13千克得出方程求出答案；(2)利用分类讨论得出方程的解即可.【解答】解：(1)设每只A 型球、B 型球的质量分别是 x 千克、y 千克，根据题意可得：\+y=7 3x+y=13(x =3解得：*,Ly=4答：每只A 型球的质量是3千克、B 型球的质量是4千克；(2)•••现有A 型球、B 型球的质量共17千克， .•.设A 型球1个，设B 型球a 个，则3+4a = 17,7解得：a = __ (不合题意舍去)，设A 型球2个，设B 型球b 个，则6+4b = 17,解得：b =丄-(不合题意舍去)，由题意得：.5x+7y=2O6O 【解答】解:(x-2y)=5t ①L x-2y= 1②-4 ---------- -设A 型球3个，设B 型球c 个，则9+4c = 17,解得：c = 2,设A 型球4个，设B 型球d 个，则12+4d = 17, 解得：d = _ （不合题意舍去），4设A 型球5个，设B 型球e 个，则15+4e = 17, 解得：a = L_ （不合题意舍去），2综上所述：A 型球、B 型球各有3只、2只.【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确分类讨论是解题关键.16.（ 2019年湖南省怀化市）解二元一次方组:【分析】直接利用加减消元法进而解方程组即可. 【解答】解：卩+3円①，x-3y< ②①+②得：2x = 8, 解得：x = 4, 贝 V 4 - 3y = 1, 解得：y = 1, 故方程组的解为：戸".【点评】此题主要考查了解二元一次方程组，正确掌握解题方法是解题关键.k 的取值范围.【分析】先用加减法求得 x -y 的值（用含k 的式子表示），然后再列不等式求解即可. ①-②得：x - y = 5 - k ,••• x > y , ••• x - y>0. 5 - k > 0.解得：k v 5.【点评】本题主要考查的是二元一次方程组的解，求得 x -y 的值（用含k 的式子表示）是解题的关键.18. （2019年浙江省温州市）某旅行团32人在景区A 游玩，他们由成人、少年和儿童组成.已 知儿童10人，成人比少年多12人. （1）求该旅行团中成人与少年分别是多少人？（2） 因时间充裕，该团准备让成人和少年（至少各 1名）带领10名儿童去另一景区 B 游玩.景区B 的门票价格为100元/张，成人全票，少年 8折，儿童6折，一名成人可以 免费携带一名儿童. ① 若由成人8人和少年5人带队，则所需门票的总费用是多少元？② 若剩余经费只有1200元可用于购票，在不超额的前提下， 最多可以安排成人和少年共x+3y=7, x-3y=l .17. （2019年山东省潍坊市）己知关于x , y 的二元一次方程组” x-2y=k的解满足x > y ,求【解答】解:多少人带队？求所有满足条件的方案，并指出哪种方案购票费用最少. 【分析】（1）根据题意可以列出相应的方程组，本题得以解决；（2）①根据题意可以求得由成人 8人和少年5人带队，所需门票的总费用; ②利用分类讨论的方法可以求得相应的方案以及花费，再比较花费多少即可解答本题. 【解答】解：（1）设成人有x 人，少年y 人，\+y+10=32 \^y+12 '解得，I 尸5答：该旅行团中成人与少年分别是 17人、5人；（2）①由题意可得，由成人8人和少年5人带队，则所需门票的总费用是：100X 8+5X 100X 0.8+ （10 -8）X 100X 0.6= 1320 （元）,答：由成人8人和少年5人带队，则所需门票的总费用是 1320元；②设可以安排成人a 人，少年b 人带队，则 K a w 17, K b <5, 当 10w a w 17 时，若 a = 10,则费用为 100 X 10+100 X b X 0.8w 1200，得 b w 2.5,••• b 的最大值是2,此时a+b = 12,费用为1160元；r若 a = 11,则费用为 100 X 11+100X b x 0.8w 1200，得 b w 二411人，少年1人；成人9人，少年3人；其中成人10人，少年2人时购票费用最少. 【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质 和分类讨论的数学思想解答.19. （2019年甘肃省武威市、陇南市）小甘到文具超市去买文具•请你根据如图中的对话信 息，求中性笔和笔记本的单价分别是多少元？【分析】根据对话分别利用总钱数得出等式求出答案.• b 的最大值是1,此时a+b = 12,费用为1180元；若a > 12, 100a 》1200，即成人门票至少是 1200元，不合题意, 当 1 wa v 10 时，若a = 9,则费用为 •- b 的最大值是3, 若a = 8,则费用为 •- b 的最大值是3, 同理，当a v 8时， 舍去;综上所述，最多安排成人和少年100X 9+100b X 0.8+100 X 1 X 0.6w 1200，得 a+b = 12,费用为1200元；100X 8+100b X 0.8+100 X 2 X 0.6w 1200，得 a+b = 11v 12,不合题意，舍去； a+b v 12,不合题意，舍去；12人带队，有三个方案：成人b w 3,b w 3.5, 10人，少年2人；成人支申性建和20丰笔记 亭.是不是一我1L2 无・ I 珂—哦，我躺1E 本的单労垂反了【解答】解：设中性笔和笔记本的单价分别是x元、y元，根据题意可得:r12y+20x=112\12x+20y=144，解得：',ly=6答：中性笔和笔记本的单价分别是2元、6元.【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确得出等量关系是解题关键.20( 2019年山东省枣庄市)对于实数a、b，定义关于“ ？”的一种运算：a? b = 2a+b，例如3? 4= 2X 3+4= 10.(1 )求4? (- 3)的值；(2 )若x? (- y)= 2, (2y) ? x=- 1，求x+y 的值. 【分析】(1)原式利用题中的新定义计算即可求出值；(2)已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出所求.【解答】解：(1)根据题中的新定义得：原式= 8- 3= 5;2 K-y=-2© x+4y=-l②(2)根据题中的新定义化简得:① + ②得：3x+3y=- 3,贝U x+y=- 1.【点评】此题考查了解二元一次方程组，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.。

有理数一、单选题1．【湖南省娄底市2019年中考数学试题】2019的相反数是（）A. B. 2019 C. -2019 D.【答案】C2．【山东省德州市2019年中考数学试题】3的相反数是（）A. 3B.C. -3D.【答案】C分析：根据相反数的定义，即可解答．详解：3的相反数是﹣3．故选C．点睛：本题考查了相反数，解决本题的关键是熟记相反数的定义．3．【山东省淄博市2019年中考数学试题】计算的结果是（）A. 0B. 1C. ﹣1D.【答案】A【解析】分析：先计算绝对值，再计算减法即可得．详解：=﹣=0，故选：A．点睛：本题主要考查绝对值和有理数的减法，解题的关键是掌握绝对值的性质和有理数的减法法则．4．【山东省潍坊市2019年中考数学试题】( )A. B. C. D.【答案】B分析：根据绝对值的性质解答即可．详解：|1-|=．故选B．点睛：此题考查了绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．5．【江西省2019年中等学校招生考试数学试题】﹣2的绝对值是A. B. C. D.【答案】B6．【浙江省金华市2019年中考数学试题】在0，1，﹣，﹣1四个数中，最小的数是（）A. 0B. 1C.D. ﹣1【答案】D分析：根据有理数的大小比较法则（正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数，其绝对值大的反而小）比较即可．详解：∵-1＜-＜0＜1，∴最小的数是-1，故选D．点睛：本题考查了对有理数的大小比较法则的应用，用到的知识点是正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数，其绝对值大的反而小．7．【浙江省金华市2019年中考数学试题】在0，1，﹣，﹣1四个数中，最小的数是（）A. 0B. 1C.D. ﹣1【答案】D8．【江苏省连云港市2019年中考数学试题】地球上陆地的面积约为150 000 000km2．把“150 000 000”用科学记数法表示为（）A. 1.5×108B. 1.5×107C. 1.5×109D. 1.5×106【答案】A分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．详解：150 000 000=1.5×108，故选：A．点睛：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．9．【江苏省盐城市2019年中考数学试题】盐通铁路沿线水网密布，河渠纵横，将建设特大桥梁6座，桥梁的总长度约为146000米，将数据146000用科学记数法表示为（）A. B. C.D.【答案】A分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．详解：将146000用科学记数法表示为：1.46×105．故选：A．点睛：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．10．【湖北省孝感市2019年中考数学试题】的倒数是（）A. 4B. -4C.D. 16【答案】B分析：根据乘积是1的两个数互为倒数解答．详解：∵-×(-4)=1,∴的倒数是-4.故选：B．点睛：此题考查的知识点是倒数，关键掌握求一个数的倒数的方法．注意：负数的倒数还是负数．11．【安徽省2019年中考数学试题】的绝对值是（）A. B. 8 C. D.【答案】B【分析】根据绝对值的定义“一个数的绝对值是数轴上表示这个数的点到原点的距离”进行解答即可.【详解】数轴上表示数-8的点到原点的距离是8，所以-8的绝对值是8，故选B.【点睛】本题考查了绝对值的概念，熟记绝对值的概念是解题的关键. 12．【2019年重庆市中考数学试卷（A卷）】的相反数是（）A. B. C. D.【答案】A【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行求解即可得.【详解】2与-2只有符号不同，所以2的相反数是-2，故选A.【点评】本题考查了相反数的定义，属于中考中的简单题13．【浙江省衢州市2019年中考数学试卷】﹣3的相反数是（）A. 3B. ﹣3C.D. ﹣【答案】A14．【2019年浙江省绍兴市中考数学试卷】如果向东走记为，则向西走可记为（）A. B. C. D.【答案】C分析首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答．详解：如果向东走2m时，记作+2m，那么向西走3m应记作−3m.故选Ｃ．点睛：考查了相反意义的量，相反意义的量用正数和负数来表示．15.【天津市2019年中考数学试题】计算的结果等于（）A. 5B.C. 9D.【答案】C分析：根据有理数的乘方运算进行计算．详解：（-3）2=9，故选C．点睛：本题考查了有理数的乘方，比较简单，注意负号．16．【山东省滨州市2019年中考数学试题】若数轴上点A、B分别表示数2、﹣2，则A、B两点之间的距离可表示为（）A. 2+（﹣2）B. 2﹣（﹣2）C. （﹣2）+2D. （﹣2）﹣2【答案】B17．【江苏省连云港市2019年中考数学试题】﹣8的相反数是（）A. ﹣8B.C. 8D. ﹣【答案】C分析：根据相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数可得答案．详解：-8的相反数是8，故选：C．点睛：此题主要考查了相反数，关键是掌握相反数的定义．18．【江苏省盐城市2019年中考数学试题】-2019的相反数是（）A. 2019B. -2019C.D.【答案】A分析：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．详解：-2019的相反数是2019．故选：A．点睛：本题主要考查的是相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键．19．【湖北省黄冈市2019年中考数学试题】-的相反数是（）A. -B. -C.D.【答案】C分析：根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．详解：-的相反数是．故选C．点睛：本题考查了相反数，关键是在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．学科&网20．【四川省宜宾市2019年中考数学试题】3的相反数是（）A. B. 3 C. ﹣3 D. ±【答案】C分析：根据相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数可得答案．详解：3的相反数是﹣3，故选C．点睛：此题主要考查了相反数，关键是掌握相反数的定义．【广东省深圳市2019年中考数学试题】260000000用科学计数法表示为( ) 21．A. B. C. D.【答案】B22．【四川省成都市2019年中考数学试题】2019年5月21日，西昌卫星发射中心成功发射探月工程嫦娥四号任务“鹊桥号”中继星，卫星进入近地点高度为200公里、远地点高度为40万公里的预定轨道.将数据40万用科学记数法表示为（）A. B. C. D.【答案】B分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．1万=10000=104．详解：40万=4×105，故选B．点睛：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．23．【天津市2019年中考数学试题】今年“五一”假期，我市某主题公园共接待游客77800人次，将77800用科学计数法表示为（）A. B. C. D.【答案】B二、填空题24．【山东省德州市2019年中考数学试题】计算:=__________．【答案】1分析：根据有理数的加法解答即可．详解：|﹣2+3|=1．故答案为：1．点睛：本题考查了有理数的加法，关键是根据法则计算．25．【湖北省黄冈市2019年中考数学试题】实数16 800 000用科学计数法表示为______________________.【答案】1.68×107分析：用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n 为整数，据此判断即可．详解：16800000=1.68×107．故答案为：1.68×107．点睛：此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．26.【江苏省南京市2019年中考数学试卷】写出一个数，使这个数的绝对值等于它的相反数：__________．【答案】（答案不唯一）分析：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等．又根据绝对值的定义，可以得到答案.详解：设|a|=-a，|a|≥0，所以-a≥0，所以a≤0，即a为非正数．故答案为:-1（答案不唯一）.点睛：本题综合考查绝对值和相反数的应用和定义.27．【江苏省南京市2019年中考数学试卷】写出一个数，使这个数的绝对值等于它的相反数：__________．【答案】（答案不唯一）三、解答题28．【江苏省南京市2019年中考数学试卷】如图，在数轴上，点、分别表示数、.（1）求的取值范围.（2）数轴上表示数的点应落在（）A．点的左边 B．线段上 C．点的右边【答案】（1）.（2）B.。

2019年数学中考试卷(附答案)一、选择题1．地球与月球的平均距离为384 000km ，将384 000这个数用科学记数法表示为（ ） A ．3.84×103 B ．3.84×104 C ．3.84×105 D ．3.84×1062．在同一坐标系内，一次函数y ax b =+与二次函数2y ax 8x b =++的图象可能是A ．B ．C ．D ．3．一个正多边形的内角和为540°，则这个正多边形的每一个外角等于（ ） A ．108°B ．90°C ．72°D ．60°4．下表是某学习小组一次数学测验的成绩统计表： 分数/分 70 80 90100 人数/人13x1已知该小组本次数学测验的平均分是85分，则测验成绩的众数是（ ） A ．80分B ．85分C ．90分D ．80分和90分5．老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示：接力中，自己负责的一步出现错误的是（ ） A ．只有乙B ．甲和丁C ．乙和丙D ．乙和丁6．如图，由5个完全相同的小正方体组合成一个立体图形，它的左视图是( )A ．B ．C ．D ．7．如图，矩形纸片ABCD 中，4AB =，6BC =，将ABC V 沿AC 折叠，使点B 落在点E 处，CE 交AD 于点F ，则DF 的长等于（ ）A ．35B ．53C ．73D ．548．方程21(2)304m x mx ---+=有两个实数根，则m 的取值范围（ ） A ．52m >B ．52m ≤且2m ≠ C ．3m ≥ D ．3m ≤且2m ≠9．如图中的几何体是由一个圆柱和个长方体组成的，该几何体的俯视图是( )A ．B ．C ．D ．10．如图，已知⊙O 的半径是2，点A 、B 、C 在⊙O 上，若四边形OABC 为菱形，则图中阴影部分面积为（ ）A ．23π﹣3B ．13π3 C ．43π﹣3 D ．43π3 11．51-是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面，请51的值（ ） A ．在1.1和1.2之间B ．在1.2和1.3之间C．在1.3和1.4之间D．在1.4和1.5之间12．为了帮助市内一名患“白血病”的中学生，东营市某学校数学社团15名同学积极捐款，捐款情况如下表所示，下列说法正确的是（）捐款数额10203050100人数24531A．众数是100B．中位数是30C．极差是20D．平均数是30二、填空题13．已知a，b，c是△ABC的三边长，a，b满足|a﹣7|+（b﹣1）2=0，c为奇数，则c=_____．14．如图，△ABC的三个顶点均在正方形网格格点上，则tan∠BAC=_____________．15．如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千.拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为米.16．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝3， BC＝2，tanA＝43，则CD＝_____．17．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的面积为12，点B在y轴上，点C在反比例函数y=kx的图象上，则k的值为________.18．计算：2cos45°﹣（π+1）0+111()42-+=______． 19．如图，将矩形ABCD 沿CE 折叠，点B 恰好落在边AD 的F 处，如果AB 2BC 3=，那么tan ∠DCF 的值是____．20．如图是两块完全一样的含30°角的直角三角尺，分别记做△ABC 与△A′B′C′，现将两块三角尺重叠在一起，设较长直角边的中点为M ，绕中点M 转动上面的三角尺ABC ，使其直角顶点C 恰好落在三角尺A′B′C′的斜边A′B′上．当∠A ＝30°，AC ＝10时，两直角顶点C ，C′间的距离是_____．三、解答题21．两个全等的直角三角形 ABC 和 DEF 重叠在一起，其中∠A=60°，AC=1．固定△ABC 不动，将△DEF 进行如下操作：（1）如图，△DEF 沿线段 AB 向右平移（即 D 点在线段 AB 内移动），连接 DC 、CF 、FB ，四边形 CDBF 的形状在不断的变化，但它的面积不变化，请求出其面积．（2）如图，当 D 点移到 AB 的中点时，请你猜想四边形CDBF 的形状，并说明理由．（3）如图，△DEF 的 D 点固定在 AB 的中点，然后绕 D 点按顺时针方向旋转△DEF，使DF 落在 AB 边上，此时 F 点恰好与 B 点重合，连接 AE，请你求出sinα的值．22．“安全教育平台”是中国教育学会为方便学长和学生参与安全知识活动、接受安全提醒的一种应用软件.某校为了了解家长和学生参与“防溺水教育”的情况，在本校学生中随机抽取部分学生作调查，把收集的数据分为以下4类情形：A．仅学生自己参与；B．家长和学生一起参与；C．仅家长自己参与； D．家长和学生都未参与.请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）在这次抽样调查中，共调查了________名学生；（2）补全条形统计图，并在扇形统计图中计算C类所对应扇形的圆心角的度数；（3）根据抽样调查结果，估计该校2000名学生中“家长和学生都未参与”的人数.23．某公司推出一款产品，经市场调查发现，该产品的日销售量y（个）与销售单价x （元）之间满足一次函数关系．关于销售单价，日销售量，日销售利润的几组对应值如下表：销售单价x（元）8595105115日销售量y（个）17512575m日销售利润w87518751875875（元）（注：日销售利润=日销售量×（销售单价﹣成本单价））（1）求y关于x的函数解析式（不要求写出x的取值范围）及m的值；（2）根据以上信息，填空：该产品的成本单价是元，当销售单价x=元时，日销售利润w最大，最大值是元；（3）公司计划开展科技创新，以降低该产品的成本，预计在今后的销售中，日销售量与销售单价仍存在（1）中的关系．若想实现销售单价为90元时，日销售利润不低于3750元的销售目标，该产品的成本单价应不超过多少元？24．对垃圾进行分类投放，能提高垃圾处理和再利用的效率，减少污染，保护环境．为了检查垃圾分类的落实情况，某居委会成立了甲、乙两个检查组，采取随机抽查的方式分别对辖区内的A，B，C，D四个小区进行检查，并且每个小区不重复检查．（1）甲组抽到A小区的概率是多少；（2）请用列表或画树状图的方法求甲组抽到A小区，同时乙组抽到C小区的概率．25．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的⊙O分别交AB，AC于点E，F，连接OF交AD于点G．(1)求证：BC是⊙O的切线；(2)设AB＝x，AF＝y，试用含x，y的代数式表示线段AD的长；(3)若BE＝8，sinB＝513，求DG的长，【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【解析】试题分析：384 000=3.84×105．故选C．考点：科学记数法—表示较大的数．2．C解析：C【解析】【分析】x=0，求出两个函数图象在y轴上相交于同一点，再根据抛物线开口方向向上确定出a＞0，然后确定出一次函数图象经过第一三象限，从而得解．【详解】x=0时，两个函数的函数值y=b，所以，两个函数图象与y轴相交于同一点，故B、D选项错误；由A、C选项可知，抛物线开口方向向上，所以，a＞0，所以，一次函数y=ax+b经过第一三象限，所以，A选项错误，C选项正确．故选C．3．C解析：C【解析】【分析】首先设此多边形为n边形，根据题意得：180（n-2）=540，即可求得n=5，再由多边形的外角和等于360°，即可求得答案．【详解】解：设此多边形为n边形，根据题意得：180（n-2）=540，解得：n=5，∴这个正多边形的每一个外角等于：3605=72°．故选C．【点睛】此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．注意掌握多边形内角和定理：（n-2）•180°，外角和等于360°．4．D解析：D【解析】【分析】先通过加权平均数求出x的值，再根据众数的定义就可以求解．【详解】解：根据题意得：70+80×3+90x+100=85（1+3+x+1），x=3∴该组数据的众数是80分或90分．故选D．【点睛】本题考查了加权平均数的计算和列方程解决问题的能力，解题的关键是利用加权平均数列出方程．通过列方程求出x是解答问题的关键．5．D解析：D【解析】【分析】根据分式的乘除运算步骤和运算法则逐一计算即可判断．【详解】∵22211x x x x x -÷--=2221·1x x x x x ---=() 2212·1xx xx x----=()()221·1x x xx x----=()2xx --=2xx-，∴出现错误是在乙和丁，故选D．【点睛】本题考查了分式的乘除法，熟练掌握分式乘除法的运算法则是解题的关键.6．B解析：B【解析】试题分析：从左面看易得第一层有2个正方形，第二层最左边有一个正方形．故选B．考点：简单组合体的三视图．7．B解析：B【解析】【分析】由折叠的性质得到AE=AB，∠E=∠B=90°，易证Rt△AEF≌Rt△CDF，即可得到结论EF=DF；易得FC=FA，设FA=x，则FC=x，FD=6-x，在Rt△CDF中利用勾股定理得到关于x的方程x2=42+（6-x）2，解方程求出x即可．【详解】∵矩形ABCD沿对角线AC对折，使△ABC落在△ACE的位置，∴AE=AB，∠E=∠B=90°，又∵四边形ABCD为矩形，∴AB=CD，∴AE=DC，而∠AFE=∠DFC，∵在△AEF与△CDF中，AFE CFD E DAE CD ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ， ∴△AEF ≌△CDF （AAS ）， ∴EF=DF ；∵四边形ABCD 为矩形， ∴AD=BC=6，CD=AB=4， ∵Rt △AEF ≌Rt △CDF ， ∴FC=FA ，设FA=x ，则FC=x ，FD=6-x ，在Rt △CDF 中，CF 2=CD 2+DF 2，即x 2=42+（6-x ）2，解得x ＝133， 则FD ＝6-x=53. 故选B ． 【点睛】考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应边相等．也考查了矩形的性质和三角形全等的判定与性质以及勾股定理．8．B解析：B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义、二次根式有意义的条件和判别式的意义得到20m -≠，30m -≥，(()214204m ∆=--⨯≥，然后解不等式组即可．【详解】 解：根据题意得20m -≠， 30m -≥，(()214204m ∆=--⨯≥，解得m ≤52且m ≠2． 故选B ． 9．D解析：D 【解析】 【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．【详解】解：从上边看是一个圆形，圆形内部是一个虚线的正方形.故选：D．【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．10．C解析：C【解析】分析：连接OB和AC交于点D，根据菱形及直角三角形的性质先求出AC的长及∠AOC 的度数，然后求出菱形ABCO及扇形AOC的面积，则由S菱形ABCO﹣S扇形AOC可得答案．详解：连接OB和AC交于点D，如图所示：∵圆的半径为2，∴OB=OA=OC=2，又四边形OABC是菱形，∴OB⊥AC，OD=12OB=1，在Rt△COD中利用勾股定理可知：22213-=，3∵sin∠COD=3 CDOC=∴∠COD=60°，∠AOC=2∠COD=120°，∴S菱形ABCO=12B×AC=12×2×33S扇形AOC=2120243603ππ⨯⨯=，则图中阴影部分面积为S菱形ABCO﹣S扇形AOC=423 3π-故选C．点睛：本题考查扇形面积的计算及菱形的性质，解题关键是熟练掌握菱形的面积=12 a•b（a、b是两条对角线的长度）；扇形的面积=2360n rπ，有一定的难度．11．B 解析：B【解析】【分析】根据4.84<5<5.29，可得答案．【详解】∵4.84<5<5.29，∴，∴，故选B．【点睛】是解题关键．12．B解析：B【解析】分析：根据中位数、众数和极差的概念及平均数的计算公式，分别求出这组数据的中位数、平均数、众数和极差，得到正确结论．详解：该组数据中出现次数最多的数是30，故众数是30不是100，所以选项A不正确；该组共有15个数据，其中第8个数据是30，故中位数是30，所以选项B正确；该组数据的极差是100-10=90，故极差是90不是20，所以选项C不正确；该组数据的平均数是102204305503100100245313⨯+⨯+⨯+⨯+=++++不是30，所以选项D不正确．故选B．点睛：本题考查了中位数、平均数、众数和极差的概念．题目难度不大，注意勿混淆概念．二、填空题13．7【解析】【分析】根据非负数的性质列式求出ab的值再根据三角形的任意两边之和大于第三边两边之差小于第三边求出c的取值范围再根据c是奇数求出c的值【详解】∵ab满足|a﹣7|+（b﹣1）2=0∴a﹣7解析：7【解析】【分析】根据非负数的性质列式求出a、b的值，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出c的取值范围，再根据c是奇数求出c的值．【详解】∵a，b满足|a﹣7|+（b﹣1）2=0，∴a﹣7=0，b﹣1=0，解得a=7，b=1，∵7﹣1=6，7+1=8，∴68c <<，又∵c 为奇数，∴c=7，故答案为7．【点睛】本题考查非负数的性质：偶次方，解题的关键是明确题意，明确三角形三边的关系．14．【解析】分析：在图形左侧添加正方形网格分别延长ABAC 连接它们延长线所经过的格点可构成直角三角形利用正切的定义即可得出答案详解：如图所示由图形可知∴tan∠BAC=故答案为点睛：本题考查了锐角三角函 解析：13【解析】分析：在图形左侧添加正方形网格，分别延长AB 、AC ，连接它们延长线所经过的格点，可构成直角三角形，利用正切的定义即可得出答案.详解：如图所示，由图形可知，90AFE ∠=︒，3AF AC =，EF AC =，∴tan ∠BAC =133EF AC AF AC ==. 故答案为13. 点睛：本题考查了锐角三角函数的定义. 利用网格构建直角三角形进而利用正切的定义进行求解是解题的关键.15．5【解析】【分析】根据题意运用待定系数法建立适当的函数解析式代入求值即可解答【详解】以左边树与地面交点为原点地面水平线为x 轴左边树为y 轴建立平面直角坐标系由题意可得A(025)B(225)C(051解析：5【解析】【分析】根据题意，运用待定系数法，建立适当的函数解析式，代入求值即可解答．【详解】以左边树与地面交点为原点，地面水平线为x 轴，左边树为y 轴建立平面直角坐标系，由题意可得A(0,2.5),B(2,2.5),C(0.5,1)设函数解析式为y=ax2+bx+c把A. B. C三点分别代入得出c=2.5同时可得4a+2b+c=2.5，0.25a+0.5b+c=1解得a=2，b=−4，c=2.5.∴y=2x2−4x+2.5=2(x−1)2+0.5.∵2>0∴当x=1时,y min=0.5米.16．【解析】【分析】延长AD和BC交于点E在直角△ABE中利用三角函数求得BE 的长则EC的长即可求得然后在直角△CDE中利用三角函数的定义求解【详解】如图延长ADBC相交于点E∵∠B=90°∴∴BE=∴解析：6 5【解析】【分析】延长AD和BC交于点E，在直角△ABE中利用三角函数求得BE的长，则EC的长即可求得，然后在直角△CDE中利用三角函数的定义求解．【详解】如图，延长AD、BC相交于点E，∵∠B=90°，∴4 tan3BEAAB==，∴BE=44 3AB⋅=，∴CE=BE-BC=2，225AB BE+=，∴3 sin5ABEAE==，又∵∠CDE=∠CDA=90°，∴在Rt △CDE 中，sin CD E CE =， ∴CD=36sin 255CE E ⋅=⨯=. 17．-6【解析】因为四边形OABC 是菱形所以对角线互相垂直平分则点A 和点C 关于y 轴对称点C 在反比例函数上设点C 的坐标为(x)则点A 的坐标为(－x)点B 的坐标为(0)因此AC=－2xOB=根据菱形的面积等解析：-6【解析】因为四边形OABC 是菱形,所以对角线互相垂直平分,则点A 和点C 关于y 轴对称,点C 在反比例函数上,设点C 的坐标为(x ,k x ),则点A 的坐标为(－x ,k x ),点B 的坐标为(0,2k x ),因此AC=－2x,OB=2K X,根据菱形的面积等于对角线乘积的一半得: ()OABC 122122k S x x=⨯-⨯=菱形,解得 6.k =- 18．【解析】解：原式==故答案为：32． 【解析】解：原式=121222⨯-++3232． 19．【解析】【分析】【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形∴AB ＝CD ∠D ＝90°∵将矩形ABCD 沿CE 折叠点B 恰好落在边AD 的F 处∴CF ＝BC ∵∴∴设CD ＝2xCF ＝3x ∴∴tan ∠DCF ＝故答案为：【点【解析】【分析】【详解】 解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ，∠D ＝90°，∵将矩形ABCD 沿CE 折叠，点B 恰好落在边AD 的F 处，∴CF ＝BC ， ∵AB 2BC 3=，∴CD 2CF 3=．∴设CD ＝2x ，CF ＝3x ，∴．∴tan ∠DCF ＝DF =CD 2x 2=．故答案为：5．【点睛】本题考查翻折变换(折叠问题)，翻折对称的性质，矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数定义．20．5【解析】【分析】连接CC1根据M是ACA1C1的中点AC=A1C1得出CM=A1M=C1M=AC=5再根据∠A1=∠A1CM=30°得出∠CMC1=60°△MCC1为等边三角形从而证出CC1=CM解析：5【解析】【分析】连接CC1，根据M是AC、A1C1的中点，AC=A1C1，得出CM=A1M=C1M=12AC=5，再根据∠A1=∠A1CM=30°，得出∠CMC1=60°，△MCC1为等边三角形，从而证出CC1=CM，即可得出答案．【详解】解：如图，连接CC1，∵两块三角板重叠在一起，较长直角边的中点为M，∴M是AC、A1C1的中点，AC=A1C1，∴CM=A1M=C1M=12AC=5，∴∠A1=∠A1CM=30°，∴∠CMC1=60°，∴△CMC1为等边三角形，∴CC1=CM=5，∴CC1长为5．故答案为5．考点：等边三角形的判定与性质．三、解答题21．（1）过点C作CG⊥AB于G 在Rt△ACG中∵∠A＝60°∴sin60°＝∴……………1分在Rt△ABC中∠ACB＝90°∠ABC＝30°∴AB=2 …………………………………………2分∴………3分（2）菱形………………………………………4分∵D是AB的中点∴AD=DB=CF=1在Rt△ABC中，CD是斜边中线∴CD=1……5分同理 BF=1 ∴CD=DB=BF=CF∴四边形CDBF是菱形…………………………6分（3）在Rt△ABE中∴……………………………7分过点D作DH⊥AE 垂足为H则△ADH∽△AEB ∴即∴ DH=……8分在Rt△DHE中sinα==…=…………………9分【解析】（1）根据平移的性质得到AD=BE，再结合两条平行线间的距离相等，则三角形ACD的面积等于三角形BEF的面积，所以要求的梯形的面积等于三角形ABC的面积．根据60度的直角三角形ABC中AC=1，即可求得BC的长，从而求得其面积；（2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和平移的性质，即可得到该四边形的四条边都相等，则它是一个菱形；（3）过D点作DH⊥AE于H，可以把要求的角构造到直角三角形中，根据三角形ADE的面积的不同计算方法，可以求得DH的长，进而求解．22．（1）400；（2）补全条形图见解析；C类所对应扇形的圆心角的度数为54°；（3）该校2000名学生中“家长和学生都未参与”有100人.【解析】分析：（1）根据A 类别人数及其所占百分比可得总人数；（2）总人数减去A 、C 、D 三个类别人数求得B 的人数即可补全条形图，再用360°乘以C 类别人数占被调查人数的比例可得；（3）用总人数乘以样本中D 类别人数所占比例可得．详解：（1）本次调查的总人数为80÷20%=400人； （2）B 类别人数为400-（80+60+20）=240，补全条形图如下：C 类所对应扇形的圆心角的度数为360°×60400=54°； （3）估计该校2000名学生中“家长和学生都未参与”的人数为2000×0N F N ==100人． 点睛：本题考查了条形统计图、扇形统计图及用样本估计总体的知识，解题的关键是从统计图中整理出进一步解题的信息．23．（1）25；（2）80，100，2000；（3）该产品的成本单价应不超过65元．【解析】分析：（1）根据题意和表格中的数据可以求得y 关于x 的函数解析式；（2）根据题意可以列出相应的方程，从而可以求得生产成本和w 的最大值；（3）根据题意可以列出相应的不等式，从而可以取得科技创新后的成本．详解；（1）设y 关于x 的函数解析式为y=kx+b ，8517595125k b k b +⎧⎨+⎩＝＝，得5600k b ＝＝-⎧⎨⎩， 即y 关于x 的函数解析式是y=-5x+600，当x=115时，y=-5×115+600=25，即m 的值是25；（2）设成本为a 元/个，当x=85时，875=175×（85-a ），得a=80，w=（-5x+600）（x-80）=-5x 2+1000x-48000=-5（x-100）2+2000，∴当x=100时，w 取得最大值，此时w=2000，（3）设科技创新后成本为b 元，当x=90时，（-5×90+600）（90-b ）≥3750，解得，b≤65，答：该产品的成本单价应不超过65元．点睛：本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用、不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数和数形结合的思想解答．24．（1）甲组抽到A小区的概率是14；（2）甲组抽到A小区，同时乙组抽到C小区的概率为1 12．【解析】【分析】（1）直接利用概率公式求解可得；（2）画树状图列出所有等可能结果，根据概率公式求解可得．【详解】（1）甲组抽到A小区的概率是14，故答案为：14．（2）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中甲组抽到A小区，同时乙组抽到C小区的结果数为1，∴甲组抽到A小区，同时乙组抽到C小区的概率为1 12．【点睛】此题考查列表法与树状图法，解题关键在于根据题意画出树状图.25．(1)证明见解析；xy(3)DG=3013 23．【解析】【分析】（1）连接OD，由AD为角平分线得到一对角相等，再由等边对等角得到一对角相等，等量代换得到内错角相等，进而得到OD与AC平行，得到OD与BC垂直，即可得证；（2）连接DF，由（1）得到BC为圆O的切线，由弦切角等于夹弧所对的圆周角，进而得到三角形ABD与三角形ADF相似，由相似得比例，即可表示出AD；（3）连接EF，设圆的半径为r，由sinB的值，利用锐角三角函数定义求出r的值，由直径所对的圆周角为直角，得到EF与BC平行，得到sin∠AEF=sinB，进而求出DG的长即可．【详解】(1)如图，连接OD，∵AD为∠BAC的角平分线，∴∠BAD=∠CAD，∵OA=OD ，∴∠ODA=∠OAD ，∴∠ODA=∠CAD ，∴OD ∥AC ，∵∠C=90°，∴∠ODC=90°，∴OD ⊥BC ，∴BC 为圆O 的切线；(2)连接DF ，由(1)知BC 为圆O 的切线，∴∠FDC=∠DAF ，∴∠CDA=∠CFD ，∴∠AFD=∠ADB ，∵∠BAD=∠DAF ，∴△ABD ∽△ADF ， ∴AB AD AD AF=，即AD 2=AB•AF=xy ，则；(3)连接EF ，在Rt △BOD 中，sinB=513OD OB =， 设圆的半径为r ，可得5813r r =+， 解得：r=5，∴AE=10，AB=18，∵AE 是直径，∴∠AFE=∠C=90°，∴EF ∥BC ，∴∠AEF=∠B ，∴sin ∠AEF=513AF AE =， ∴AF=AE•sin ∠AEF=10×513=5013， ∵AF ∥OD ， ∴501013513AG AF DG OD ===，即DG=1323AD ，∴13==，则DG=133033013 231323⨯=．【点睛】圆的综合题，涉及的知识有：切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，勾股定理，以及平行线的判定与性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．。

专题11 二次函数（解答题）1．（2021·湖南怀化市·中考真题）某超市从厂家购进A 、B 两种型号的水杯，两次购进水杯的情况如下表：（1）求A 、B 两种型号的水杯进价各是多少元？（2）在销售过程中，A 型水杯因为物美价廉而更受消费者喜欢．为了增大B 型水杯的销售量，超市决定对B 型水杯进行降价销售，当销售价为44元时，每天可以售出20个，每降价1元，每天将多售出5个，请问超市应将B 型水杯降价多少元时，每天售出B 型水杯的利润达到最大？最大利润是多少？（3）第三次进货用10000元钱购进这两种水杯，如果每销售出一个A 型水杯可获利10元，售出一个B 型水杯可获利9元，超市决定每售出一个A 型水杯就为当地“新冠疫情防控”捐b 元用于购买防控物资．若A 、B 两种型号的水杯在全部售出的情况下，捐款后所得的利润始终不变，此时b 为多少？利润为多少？ 【答案】（1）A 型号水杯进价为20元，B 型号水杯进价为30元；（2）超市应将B 型水杯降价5元后，每天售出B 型水杯的利润达到最大，最大利润为405元；（3）A ，B 两种杯子全部售出，捐款后利润不变，此时b 为4元，利润为3000元． 【分析】（1）主要运用二元一次方程组，设A 型号水杯为x 元，B 型号水杯为y 元，根据表格即可得出方程组，解出二元一次方程组即可得A 、B 型号水杯的单价；（2）主要运用二次函数，由题意可设：超市应将B 型水杯降价z 元后，每天售出B 型水杯的利润达到最大，最大利润为w ，每个水杯的利润为()4430z --元；每降价1元，多售出5个，可得售出的数量为()205z +个，根据：利润=（售价-进价）×数量，可确定函数关系式，依据二次函数的基本性质，开口向下，在对称轴处取得最大值，即可得出答案；（3）根据（1）A 型号水杯为20元，B 型号水杯为30元．设10000元购买A 型水杯m 个，B 型水杯n 个，所得利润为W 元，可列出方程组，利用代入消元法化简得到利润W 的函数关系式，由于利润不变，所以令未知项的系数为0，即可求出b ，W ． 【详解】（1）解：设A 型号水杯进价为x 元，B 型号水杯进价为y 元，根据题意可得：100200800020030013000x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：2030x y =⎧⎨=⎩，∴A 型号水杯进价为20元，B 型号水杯进价为30元．（2）设：超市应将B 型水杯降价z 元后，每天售出B 型水杯的利润达到最大，最大利润为w ， 根据题意可得：()()4430205w z z =--+， 化简得：2550280w z z =-++， 当()505225b z a =-=-=⨯-时， 255505280405max w =-⨯+⨯+=，∴超市应将B 型水杯降价5元后，每天售出B 型水杯的利润达到最大，最大利润为405元． （3）设购买A 型水杯m 个，B 型水杯n 个，所得利润为W 元，根据题意可得：()203010000109m n W b m n +=⎧⎨=-+⎩①② 将①代入②可得：()100002010930mW b m -=-+⨯，化简得：()()106300043000W b m b m =--+=-+， 使得A ，B 两种杯子全部售出后，捐款后所得利润不变， 则40b -=，得4b =， 当4b =时，3000W =，∴A ，B 两种杯子全部售出，捐款后利润不变，此时b 为4元，利润为3000元． 【点睛】题目主要考察二元一次方程、一元二次函数的以及一次函数的应用，难点是对题意的理解及对函数和方程的综合运用．2．（2021·湖南中考真题）某商店从厂家以每件2元的价格购进一批商品，在市场试销中发现，此商品的月销售量y （单位：万件）与销售单价x （单位：元）之间有如下表所示关系：（1）根据表中的数据，在图中描出实数对(,)x y 所对应的点，并画出y 关于x 的函数图象； （2）根据画出的函数图象，求出y 关于x 的函数表达式； （3）设经营此商品的月销售利润为P （单位：万元）． ①写出P 关于x 的函数表达式；②该商店计划从这批商品获得的月销售利润为10万元（不计其它成本），若物价局限定商品的销售单价不．得超过．．．进价的200%，则此时的销售单价应定为多少元？ 【答案】（1）图象见详解；（2）216y x =-+；（3）①222032P x x =-+-；②销售单价应定为3元． 【分析】（1）由题意可直接进行作图；（2）由图象可得y 与x 满足一次函数的关系，所以设其关系式为y kx b =+，然后任意代入表格中的两组数据进行求解即可；（3）①由题意易得()2P x y =-，然后由（2）可进行求解；②由①及题意可得22203210x x -+-=，然后求解，进而根据销售单价不得超过进价的200％可求解． 【详解】解：（1）y 关于x 的函数图象如图所示：（2）由（1）可设y 与x 的函数关系式为y kx b =+，则由表格可把()()4,8,5,6代入得：4856k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：216k b =-⎧⎨=⎩， ∴y 与x 的函数关系式为216y x =-+； （3）①由（2）及题意可得：()()()22221622032P x y x x x x =-=--+=-+-； ∴P 关于x 的函数表达式为222032P x x =-+-； ②由题意得：2200x ≤⨯％，即4x ≤， ∴22203210x x -+-=， 解得：123,7x x ==， ∴3x =；答：此时的销售单价应定为3元． 【点睛】本题主要考查二次函数与一次函数的应用，熟练掌握二次函数与一次函数的应用是解题的关键．3．（2021·湖南永州市·中考真题）已知关于x 的二次函数21y x bx c =++（实数b ，c 为常数）．（1）若二次函数的图象经过点(0,4)，对称轴为1x =，求此二次函数的表达式； （2）若20b c -=，当3b x b -≤≤时，二次函数的最小值为21，求b 的值；（3）记关于x 的二次函数222y x x m =++，若在（1）的条件下，当01x ≤≤时，总有21y y ≥，求实数m 的最小值．【答案】（1）2124y x x -=+；（2）4；（3）4． 【分析】（1）将点(0,4)代入二次函数的解析式可得c 的值，根据二次函数的对称轴可得b 的值，由此即可得； （2）先求出二次函数的对称轴为2bx =-，再分0b ≤，02b <<和2b ≥三种情况，分别利用二次函数的性质可得一个关于b 的一元二次方程，解方程即可得；（3）先根据21y y ≥可得2340x x m ++-≥，令2334y x x m =++-，再根据二次函数的性质列出不等式，求解即可得． 【详解】解：（1）将点(0,4)代入21y x bx c =++得：4c =， 二次函数的对称轴为1x =，12b∴-=，解得2b =-， 则此二次函数的表达式为2124y x x -=+； （2）20b c -=，即2c b =，222213()24b y x bx b x b =++=++∴，则此二次函数的对称轴为2bx =-，由题意，分以下三种情况： ①当2bb ≤-，即0b ≤时， 在3b x b -≤≤内，1y 随x 的增大而减小， 则当x b =时，1y 取得最小值， 因此有22221b b b ++=，解得b =0b =>（不符题设，舍去）； ②当32bb b -<-<，即02b <<时，在32b b x -≤≤-内，1y 随x 的增大而减小；在2bx b -<≤内，1y 随x 的增大而增大， 则当2bx =-时，1y 取得最小值， 因此有23214b =，解得2b =>或0b =-（均不符题设，舍去）； ③当32bb -≥-，即2b ≥时， 在3b x b -≤≤内，1y 随x 的增大而增大， 则当3x b =-时，1y 取得最小值，因此有223(3)2124b b b -++=， 解得4b =或12b =-<（不符题设，舍去），综上，b 的值为4；（3）由（1）可知，2124y x x -=+，由21y y ≥得：22224x x m x x ++≥-+，即2340x x m ++-≥， 令2334y x x m =++-，在01x ≤≤内，3y 随x 的增大而增大，要使得当01x ≤≤时，总有23340y x x m =++-≥，则只需当0x =时，30y ≥即可，因此有40m -≥， 解得4m ≥，则实数m 的最小值为4． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、解一元二次方程等知识点，较难的是题（2），正确分三种情况讨论是解题关键．4．（2021·湖南长沙市·中考真题）我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于y 轴对称，则把该函数称之为“T 函数”，其图象上关于y 轴对称的不同两点叫做一对“T 点”．根据该约定，完成下列各题．（1）若点()1,A r 与点(),4B s 是关于x 的“T 函数”()()240,0,0,.x x y tx x t t ⎧-<⎪=⎨⎪≥≠⎩是常数的图象上的一对“T 点”，则r =______，s =______，t =______（将正确答案填在相应的横线上）；（2）关于x 的函数y kx p =+（k ，p 是常数）是“T 函数”吗？如果是，指出它有多少对“T 点”；如果不是，请说明理由；（3）若关于x 的“T 函数”2y ax bx c =++（0a >，且a ，b ，c 是常数）经过坐标原点O ，且与直线:l y mx n =+（0m ≠，0n >，且m ，n 是常数）交于()11,M x y ，()22,N x y 两点，当1x ，2x 满足()11211x x --+=时，直线l 是否总经过某一定点？若经过某一定点，求出该定点的坐标；否则，请说明理由．【答案】（1）4,1,4-；（2）当0k ≠时，关于x 的函数y kx p =+（,k p 是常数）不是“T 函数”，理由见解析；当0k =时，关于x 的函数y kx p =+（,k p 是常数）是“T 函数”，它有无数对“T 点”；（3）直线l 总经过一定点，该定点的坐标为(1,0)． 【分析】（1）先根据关于y 轴对称的点坐标变换规律可得,r s 的值，从而可得点A 的坐标，再将点A 的坐标代入“T 函数”即可得；（2）分0k ≠和0k =两种情况，当0k ≠时，设点000(,)(0)x y x ≠与点00(,)x y -是一对“T 点”，将它们代入函数解析式可求出0k =，与0k ≠矛盾；当0k =时，y p =是一条平行于x 轴的直线，是“T 函数”，且有无数对“T 点”；（3）先将点(0,0)O 代入2y ax bx c =++可得0c，再根据“T 函数”的定义可得0b =，从而可得2y ax =，与直线y mx n =+联立可得12,x x 是方程20mx n ax --=的两实数根，然后利用根与系数的关系可得1212,m n x x x x a a+==-，最后根据()11211x x --+=化简可得n m =-，从而可得y mx m =-，由此即可得出答案． 【详解】解：（1）由题意得：点()1,A r 与点(),4B s 关于y 轴对称，4,1r s ∴==-，()1,4A ∴， 10>，∴将点()1,4A 代入2y tx =得：4t =，故答案为：4,1,4-；（2）由题意，分以下两种情况： ①当0k ≠时，假设关于x 的函数y kx p =+（k ，p 是常数）是“T 函数”，点000(,)(0)x y x ≠与点00(,)x y -是其图象上的一对“T 点”，则0000kx p y kx p y +=⎧⎨-+=⎩，解得0k =，与0k ≠相矛盾，假设不成立，所以当0k ≠时，关于x 的函数y kx p =+（,k p 是常数）不是“T 函数”； ②当0k =时，函数y kx p p =+=是一条平行于x 轴的直线，是“T 函数”，它有无数对“T 点”；综上，当0k ≠时，关于x 的函数y kx p =+（,k p 是常数）不是“T 函数”；当0k =时，关于x 的函数y kx p =+（,k p 是常数）是“T 函数”，它有无数对“T 点”；（3）由题意，将(0,0)O 代入2y ax bx c =++得：0c，2y ax bx ∴=+，设点333(,)(0)x y x ≠与点33(,)x y -是“T 函数”2y ax bx =+图象上的一对“T 点”，则23332333ax bx y ax bx y ⎧+=⎨-=⎩，解得0b =， 2(0)y ax a ∴=>，联立2y ax y mx n⎧=⎨=+⎩得：20mx n ax --=，“T 函数”2y ax =与直线y mx n =+交于点()11,M x y ，()22,N x y ，12,x x ∴是关于x 的一元二次方程20mx n ax --=的两个不相等的实数根，1212,m n x x x x a a ∴+==-， ()11211x x --+=，2211x x x x +=∴，即m na a=-， 解得n m =-，则直线l 的解析式为y mx m =-， 当1x =时，0y m m =-=，因此，直线l 总经过一定点，该定点的坐标为(1,0)． 【点睛】本题考查了关于y 轴对称的点坐标变换规律、二次函数与一次函数的综合、一元二次方程根与系数的关系等知识点，掌握理解“T 函数”和“T 点”的定义是解题关键．5．（2021·湖南株洲市·中考真题）已知二次函数()20y ax bx c a =++>．（1）若12a =，2b c ==-，求方程20ax bx c ++=的根的判别式的值； （2）如图所示，该二次函数的图像与x 轴交于点()1,0A x 、()2,0B x ，且120x x <<，与y 轴的负半轴交于点C ，点D 在线段OC 上，连接AC 、BD ，满足 ACO ABD ∠=∠，1bc x a-+=． ①求证：AOC DOB ≅；②连接BC ，过点D 作DE BC ⊥于点E ，点()120,F x x -在y 轴的负半轴上，连接AF ，且ACO CAF CBD ∠=∠+∠，求1cx 的值． 【答案】（1）=8∆ （2）①证明见解析；②1c x =2【分析】（1）根据判别式公式代入求解即可．（2）①通过条件，得到OC=OB ，再根据ASA 即可得到两个三角形角形全等． ②通过分析条件，证明AOF DEB △△，得到AO OFDE EB=，再根据相关的线段转换长度，代入求解即可. 【详解】解：（1）当12a =，2b c ==-时，方程为：212202x x --=， ()()2214242=82b ac ∆=-=--⨯⨯-，（2）①证明：∵12b x x a +=-，且1bc x a-+=，∴2x c =-， ∴OC OB c ==， 在AOC △与DOB 中，90ACO ABDOC OBAOC DBO ⎧∠=∠⎪=⎨⎪∠=∠=⎩， ∴()AOC DOB ASA ≅△△．②解：ACO CAF CBD ∠=∠+∠，ACO CFA CAF ∠=∠+∠， ∴CFA CBD ∠=∠， ∵DE BC ⊥， ∴90DEB ∠=， 又∵90AOF ∠=， ∴AOF DEB △△， ∴AO OFDE EB=， ∵OC OB c ==，且90COB ∠=， ∴45OCB ∠=,BC =， 在DEC Rt △中，45OCB ∠=，∴DC ==，又∵AOC DOB ≅△△，∴1OD OA x ==-，又∵OC OD DC =+，∴1DC c x =-+，)122DE CE DC c x ===-+，∴))1122EB BC CE c x c x =-=--+=-+， ∵AO OF DE EB=，1122x x --= ， 即：21120c c x x ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，∴1c x =2或1c x =-1（舍）， 【点睛】本题考查的是二次函数与一元二次方程的关系，韦达定理，以及一元二次方程的解法，三角形全等和相似等相关知识点，根据题意能够找见相关等量关系是解题关键 .6．（2021·湖南娄底市·中考真题）如图，在直角坐标系中，二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴相交于点(1,0)A -和点(3,0)B ，与y 轴交于点C ．（1）求b c 、的值；（2）点(,)P m n 为抛物线上的动点，过P 作x 轴的垂线交直线:l y x =于点Q ．①当03m <<时，求当P 点到直线:l y x =的距离最大时m 的值；②是否存在m ，使得以点O C P Q 、、、为顶点的四边形是菱形，若不存在，请说明理由；若存在，请求出m 的值．【答案】（1）b =2-，c =3-；（2）①32m =；②不存在，理由见解析 【分析】（1）将A （-1，0），B （3，0）代入y =x 2+bx +c ，可求出答案；（2）①设点P （m ，m 2-2m -3），则点Q （m ，m ），再利用二次函数的性质即可求解；②分情况讨论，利用菱形的性质即可得出结论．【详解】解：（1）∵抛物线y =-x 2+bx +c 与x 轴交于点A （-1，0），B （3，0）， ∴10930b c b c -+=⎧⎨++=⎩， 解得：23b c =-⎧⎨=-⎩， ∴b =2-，c =3-；（2）①由（1）得，抛物线的函数表达式为：y =x 223x --，设点P （m ，m 2-2m -3），则点Q （m ，m ），∵0<m <3，∴PQ =m -( m 2-2m -3)=-m 2+3m +3=-232m ⎛⎫- ⎪⎝⎭+214， ∵-1<0， ∴当32m =时，PQ 有最大值，最大值为214； ②∵抛物线的函数表达式为：y =x 2-2x -3，∴C （0，-3），∴OB =OC =3，由题意，点P （m ，m 2-2m -3），则点Q （m ，m ），∵PQ ∥OC ，当OC 为菱形的边，则PQ =OC =3，当点Q 在点P 上方时，∴PQ =2333m m -++=，即230m m -+=，∴()30m m -=，解得0m =或3m =，当0m =时，点P 与点O 重合，菱形不存在，当3m =时，点P 与点B 重合，此时BC OC =≠，菱形也不存在；当点Q 在点P 下方时，若点Q 在第三象限，如图，∵∠COQ=45°，根据菱形的性质∠COQ=∠POQ=45°，则点P与点A重合，此时OA=1≠OC=3，菱形不存在，若点Q在第一象限，如图，同理，菱形不存在，综上，不存在以点O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形．【点睛】本题是二次函数综合题，考查的是二次函数的性质，菱形的判定和性质等知识，其中，熟练掌握方程的思想方法和分类讨论的思想方法是解题的关键．7．（2021·湖南衡阳市·中考真题）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁1,1,2021,2021……都是“雁点”．点”．例如()()（1）求函数4y x=图象上的“雁点”坐标； （2）若抛物线25y ax x c =++上有且只有一个“雁点”E ，该抛物线与x 轴交于M 、N 两点（点M 在点N 的左侧）．当1a >时．①求c 的取值范围；②求EMN ∠的度数；（3）如图，抛物线2y x 2x 3=-++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），P 是抛物线2y x 2x 3=-++上一点，连接BP ，以点P 为直角顶点，构造等腰Rt BPC △，是否存在点P ，使点C 恰好为“雁点”？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）(2,2)和(2,2)--；（2）①04c <<；②45°；（3）存在，P 点坐标为315,24⎛⎫ ⎪⎝⎭或3122⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭或312⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【分析】（1）根据“雁点”的定义可得y =x ，再联立4y x=求出 “雁点”坐标即可； （2）根据25y ax x c =++和y =x 可得240ax x c ++=，再利用根的判别式得到4c a =，再求出a 的取值范围；将点c 代入解析式求出点E 的坐标，令y =0，求出M 的坐标，过E 点向x 轴作垂线，垂足为H 点，如图所示，根据EH =MH 得出EM H 为等腰直角三角形，∠EMN 的度数即可求解；（3）存在，根据图1，图2，图3进行分类讨论，设C （m ，m ），P （x ，y ），根据三角形全等得出边相等的关系，再逐步求解，代入解析式得出点P 的坐标．【详解】解：（1）联立4y x y x⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得22x y =⎧⎨=⎩或22x y =-⎧⎨=-⎩ 即：函数4y x=上的雁点坐标为(2,2)和(2,2)--． （2）① 联立25y x y ax x c =⎧⎨=++⎩得240ax x c ++=∵ 这样的雁点E 只有一个，即该一元二次方程有两个相等的实根，∴ 2440ac ∆=-=∵ 4c a= ∵ 1a >∴ 04c <<② 将4c a =代入，得2440E E ax x a++= 解得2k x a =-，∴ 22,E a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭对于245y x x aα=++，令0y = 有2450ax x a++= 解得41,N M x x a a=-=-∴ 4,0M a ⎛⎫- ⎪⎝⎭过E 点向x 轴作垂线，垂足为H 点，EH =2a ，MH =242()a a a---= ∴2EH MH a ==∴ EM H 为等腰直角三角形，45EMN ∠=︒（3）存在，理由如下：如图所示：过P 作直线l 垂直于x 轴于点k ，过C 作CH ⊥PK 于点H设C （m ，m ），P （x ，y ）∵ △CPB 为等腰三角形，∴PC =PB ，∠CPB =90°，∴∠KPB +∠HPC =90°，∵∠HPC +∠HCP =90°，∴∠KPB =∠HCP ，∵∠H =∠PKB =90°，∴△CHP ≌△PKB ，∴CH =PK ，HP =KB ，即3m x y m y x-=⎧⎨-=-⎩ ∴3232x y m ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩当32x =时，23315()23224y =-+⨯+= ∴ 315()24P ，如图2所示，同理可得：△KCP ≌△JPB∴ KP =JB ，KC =JP设P （x ，y ），C （m ，m ）∴KP =x -m ，KC =y -m ，JB =y ，JP =3-x ，即3x m y y m x -=⎧⎨-=-⎩解得3232x m y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩令23-232x x ++=解得12222x x ==∴3)2P或3)2P如图3所示，∵△RCP ≌△TPB∴RC =TP ，RP =TB设P （x ，y ），C （m ，m ）即3y m x x m y -=-⎧⎨-=⎩解得3232x m y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩令23-232x x ++=解得122=22x x = ∴ 此时P 与第②种情况重合综上所述，符合题意P 的坐标为315()24，或3)2，或3)2，【点睛】本题考查了利用待定系数法求函数解析式，图形与坐标，等腰三角形的判定与性质，二次函数的综合运用，理解题意和正确作图逐步求解是解题的关键．8．（2021·湖南张家界市·中考真题）如图，已知二次函数2y ax bx c =++的图象经过点(2,3)C -且与x 轴交于原点及点(8,0)B ．（1）求二次函数的表达式；（2）求顶点A 的坐标及直线AB 的表达式；（3）判断ABO 的形状，试说明理由；（4）若点P 为O 上的动点，且O的半径为E 从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段AP 匀速运动到点P ，再以每秒1个单位长度的速度沿线段PB 匀速运动到点B 后停止运动，求点E 的运动时间t 的最小值．【答案】（1）2124y x x -=；（2）()4,4A -，8y x =-；（3）等腰直角三角形，理由见解析；（4）【分析】（1）根据已知条件，运用待定系数法直接列方程组求解即可；（2）根据（1）中二次函数解析式，直接利用顶点坐标公式计算即可，再根据点A 、B 坐标求出AB 解析式即可；（3）根据二次函数对称性可知ABO 为等腰三角形，再根据O 、A 、B 三点坐标，求出三条线段的长，利用勾股定理验证即可；（4）根据题意可知动点E 的运动时间为12t AP PB =+，在OA 上取点D ，使OD =可证明APO △∽PDO △，根据相似三角形比例关系得12PD AP =，即12t AP PB PD PB =+=+，当B 、P 、D 三点共线时，PD PB +取得最小值，再根据等腰直角三角形的性质以及勾股定理进一步计算即可．【详解】解：（1）二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象经过(2,3)C -，且与x 轴交于原点及点()8,0B ∴0c ，二次函数表达式可设为：()20y ax bx a =+≠将(2,3)C -，()8,0B 代入2y ax bx =+得：3420648a b a b -=+⎧⎨=+⎩解这个方程组得142a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ ∵二次函数的函数表达式为2124y x x -= （2）∵点A 为二次函数图像的顶点， ∴421224b x a =-=-⨯=-，22140(2)4414444ac b y a ⨯⨯---===-⨯ ∴顶点坐标为：()4,4A -，设直线AB 的函数表达式为y kx m =+，则有：4408k m k m -=+⎧⎨=+⎩解之得：18k m =⎧⎨=-⎩∴直线AB 的函数表达式为8y x =-（3）ABC 是等腰直角三角形，过点A 作AF OB ⊥于点F ，易知其坐标为(4,0)F∵ABC 的三个顶点分别是()0,0O ，()4,4A -，()8,0B，∴808OB =-=，OA ===AB ===且满足222OB OA AB =+∴ABC 是等腰直角三角形（4）如图，以O 为圆心，P 在圆周上，依题意知：动点E 的运动时间为12t AP PB =+在OA 上取点D ，使OD =连接PD ，则在APO △和PDO △中，满足：2PO AO OD OP==，AOP POD ∠=∠， ∴APO △∽PDO △，∴2AP PO AO PD OD OP===，从而得：12PD AP = ∴12t AP PB PD PB =+=+ 显然当B 、P 、D 三点共线时，PD PB +取得最小值，过点D 作DG OB ⊥于点G ，由于OD =且ABO 为等腰直角三角形，则有1DG =，45DOG ∠=︒，∴动点E 的运动时间t 的最小值为：t DB ==== 【点睛】 本题主要考查待定系数法求函数解析式，抛物线顶点坐标，等腰直角三角形的性质与判定，相似三角形的判定与性质等知识点，将运动时间的最小值转换为线段长度的最小值是解题的关键．9．（2021·湖南常德市·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，平行四边形ABCD 的AB 边与y 轴交于E 点，F 是AD 的中点，B 、C 、D 的坐标分别为()()()2,0,8,0,13,10-．（1）求过B 、E 、C 三点的抛物线的解析式；（2）试判断抛物线的顶点是否在直线EF 上；（3）设过F 与AB 平行的直线交y 轴于Q ，M 是线段EQ 之间的动点，射线BM 与抛物线交于另一点P ，当PBQ △的面积最大时，求P 的坐标．【答案】（1）213442y x x =-++；（2）顶点是在直线EF 上，理由见解析；（3）P 点坐标为（9，114-）． 【分析】 （1）先求出A 点坐标，再求出直线AB 的解析式，进而求得E 的坐标，然后用待定系数法解答即可； （2）先求出点F 的坐标，再求出直线EF 的解析式，然后根据抛物线的解析式确定顶点坐标，然后进行判定即可；（3）设P 点坐标为（p ，()()1-p+284p -），求出直线BP 的解析式，进而求得M 的坐标；再求FQ 的解析式，确定Q 的坐标，可得|MQ |=()182p -+6，最后根据S △PBQ = S △MBQ + S △PMQ 列出关于p 的二次函数并根据二次函数的性质求最值即可．【详解】解：（1）∵平行四边形ABCD ，B 、C 、D 的坐标分别为()()()2,0,8,0,13,10-∴A （3，10），设直线AB 的解析式为y =kx +b ，则10302k b k b =+⎧⎨=-+⎩ ，解得24k b =⎧⎨=⎩， ∴直线AB 的解析式为y =2x +4，当x =0时，y =4，则E 的坐标为（0,4），设抛物线的解析式为：y =ax 2+bx +c ，()()220220884a b c a b c c ⎧=-+-+⎪=⋅++⎨⎪=⎩ ，解得14324a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩， ∴过B 、E 、C 三点的抛物线的解析式为213442y x x =-++； （2）顶点是在直线EF 上，理由如下：∵F 是AD 的中点，∴F （8,10），设直线EF 的解析式为y =mx +n ，则4108n m n =⎧⎨=+⎩，解得344m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴直线EF 的解析式为y =34x +4， ∵213442y x x =-++， ∴抛物线的顶点坐标为（3，254）， ∵254=34×3+4， ∴抛物线的顶点是否在直线EF 上；（3）∵()()21314=-x+28424y x x x =-++-，则设P 点坐标为（p ，()()1-p+284p -），直线BP 的解析式为y =dx +e ， 则()()021-p+284d e p pd e =-+⎧⎪⎨-=+⎪⎩ ，解得()()184182d p e p ⎧=--⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， ∴直线EF 的解析式为y =()184p --x +()182p -， 当x =0时，y =()182p -，则M 点坐标为（0，()182p -）， ∵AB //FQ ， ∴设FQ 的解析式为y =2x +f ，则10=2×8+f ，解得f =-6，∴FQ 的解析式为y =2x -6 ，∴Q 的坐标为（0，-6），∴|MQ |=()182p -+6， ∴S △PBQ = S △MBQ + S △PMQ =1122QM OB QM PN +=()12QM OB PN + =()()1186222p p ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦ =219842p p -++ ∴当p =9时，PBQ △的面积最大时，∴P 点坐标为（9，114-）．【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求函数解析式、二次函数求最值等知识点，灵活求得所需的函数解析式成为解答本题的关键．10．（2021·湖南中考真题）已知函数2(0)(0)x x y x x -≤⎧=⎨>⎩的图象如图所示，点()11,A x y 在第一象限内的函数图象上．（1）若点()22,B x y 也在上述函数图象上，满足21x x <．①当214y y ==时，求12,x x 的值； ②若21x x =，设12=-w y y ，求w 的最小值；（2）过A 点作y 轴的垂线AP ，垂足为P ，点P 关于x 轴的对称点为P '，过A 点作x 轴的线AQ ，垂足为Q ，Q 关于直线'AP 的对称点为Q '，直线AQ '是否与y 轴交于某定点？若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由．【答案】（1）①122,4x x ==-；②14-；（2）直线AQ '与y 轴交于定点，定点的坐标为10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【分析】（1）①先确定20x ≤，再根据214y y ==代入求解即可得；②先确定2210,x x x <-=，从而可得21122,y x y x ==-，再代入w 可得一个关于1x 的二次函数，利用二次函数的性质即可得；（2）先分别求出点,,P P Q '的坐标，再利用待定系数法求出直线,AP QQ ''的解析式，从而可得点Q '的坐标，然后利用待定系数法求出直线AQ '的解析式，由此即可得出结论．【详解】解：（1）①对于二次函数2y x ，在0x >内，y 随x 的增大而增大，21211,40,x x x y y <>==，20x ∴≤，则当14y =时，214x =，解得12x =或120x =-<（舍去），当24y =时，24x -=，解得24x =-； ②21121,0,x x x x x <>=，2210,x x x ∴<-=，21122,y x y x ∴==-，则22121211()w y y x x x x =-=--=-， 化成顶点式为2111()24w x =--， 由二次函数的性质可知，在1>0x 内，当112x =时，w 取最小值，最小值为14-； （2）由题意，设'AP 与QQ '交于点B ，画图如下，11(x ,)A y 在已知函数的第一象限内的图象上，211y x ∴=，即211(,)A x x ，AP y ⊥轴，AQ x ⊥轴，点P 关于x 轴的对称点为P '，22111(0,),(0,),(,0)P P Q x x x '∴-，设直线'AP 的解析式为11y k x b =+，将点22111(,),(0,)P A x x x '-代入得：21111211k x b x b x ⎧+=⎨=-⎩，解得112112k x b x =⎧⎨=-⎩， 则直线'AP 的解析式为2112y x x x =-， Q 关于直线'AP 的对称点为Q '，QQ AP ''∴⊥，∴设直线QQ '的解析式为2112b x y x +=-， 将点1(,0)Q x 代入得：121201x b x -+=，解得212b =， 则直线QQ '的解析式为11212x y x +=-， 联立211121122y x x x y x x ⎧=-⎪⎨=-+⎪⎩，解得211212121(12)4141x x x x x y x ⎧+=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩，即22111221141(12),41x x x B x x ⎛⎫+ ⎪++⎝⎭， 设点Q '的坐标为(,)Q m n '， 则2111212121(12)2410241m x x x x x n x ⎧++=⎪+⎪⎨+⎪=⎪+⎩，解得121212141241x m x x n x ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩，即21122114142,1x x Q x x ⎛⎫' ⎪++⎝⎭， 设直线AQ '的解析式为33y k x b =+， 将点22111122112(,),1,414x x A x x Q x x ⎛⎫' ⎪++⎝⎭代入得：2313121133221124141k x b x x x k b x x ⎧+=⎪⎨+=⎪++⎩， 解得2131314414x k x b ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则直线AQ '的解析式为21144114x y x x -=-+，当0x =时，14y =， 即直线AQ '与y 轴交于定点10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【点睛】 本题考查了二次函数与一次函数的综合、轴对称等知识点，熟练掌握待定系数法是解题关键．11．（2021·湖南邵阳市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线C ：()20y ax bx c a =++≠经过点()1,1和()4,1．（1）求抛物线C 的对称轴．（2）当1a =-时，将抛物线C 向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线1C ． ①求抛物线1C 的解析式．②设抛物线1C 与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的右侧），与y 轴交于点C ，连接BC ．点D 为第一象限内抛物线1C 上一动点，过点D 作DE OA ⊥于点E ．设点D 的横坐标为m ．是否存在点D ，使得以点O ，D ，E 为顶点的三角形与BOC 相似，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）x =2.5；（2）①()()=-+1-2y x x ；②1或4【分析】 （1）根据函数图像所过的点的特点结合函数性质，可知两点中点横坐标即为对称轴；（2）①根据平移可得已知点平移后点的坐标，平移过程中a 的值不发生改变，所以利用交点式可以求出函数解析式；②根据条件求出A 、B 、C 、D 四点的坐标，由条件可知三角形相似有两种情况，分别讨论两种情况，根据相似的性质可求出m 的值．【详解】解：（1）因为抛物线图像过（1,1）、（4,1）两点，这两点的纵坐标相同，根据抛物线的性质可知，对称轴是x =（1+4）÷2=2.5,；（2）①将点（1,1）、（4,1）向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到（-1,0），（2,0），将点（-1,0），（2,0），a=-1，根据交点式可求出C 1二次函数表达式为()()=-+1-2y x x ；②根据①中的函数关系式，可得A （2,0），B （-1,0），C （0,2），D （m ，2-++2m m ），且m ＞0 由图像可知∠BOC =∠DEO =90°，则以点O ，D ，E 为顶点的三角形与BOC 相似有两种情况，（i ）当△ODE ∽△BCO 时， 则OE DE OB OC =，即2-++2=12m m m ， 解得m =1或-2（舍），（ii ）当△ODE ∽△CBO 时， 则OE DE OC OB =，即2-++2=21m m m ，解得m所以满足条件的m 的值为1 【点睛】本题主要考查了一元二次函数图形的平移、表达式求法、相似三角形等知识点，熟练运用数形结合是解决问题的关键．12．（2021·湖南湘西土家族苗族自治州·中考真题）如图，已知抛物线24y ax bx =++经过(1,0)A -，(4,0)B 两点，交y 轴于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）连接BC ，求直线BC 的解析式；（3）请在抛物线的对称轴上找一点P ，使AP PC +的值最小，求点P 的坐标，并求出此时AP PC +的最小值；（4）点M 为x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N ，使得以A 、C 、M 、N 四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）234y x x =-++；（2）直线BC 的解析式为4y x =-+；（3）35,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，此时AP PC +的最小值为（4）存在，()3,4N 或4⎫-⎪⎪⎝⎭．【分析】（1）把点A 、B 的坐标代入求解即可；（2）设直线BC 的解析式为y kx b =+，然后把点B 、C 的坐标代入求解即可；（3）由题意易得点A 、B 关于抛物线的对称轴对称，根据轴对称的性质可得AP PC BP PC +=+，要使AP PC +的值为最小，则需满足点B 、P 、C 三点共线时，即为BC 的长，然后问题可求解；（4）由题意可设点()()2,0,,34M m N n n n -++，然后可分①当AC 为对角线时，②当AM 为对角线时，③当AN 为对角线时，进而根据平行四边形的性质及中点坐标公式可进行求解．【详解】解：（1）∵抛物线24y ax bx =++经过()1,0A -，()4,0B 两点，∴4016440a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得：13a b =-⎧⎨=⎩， ∴抛物线的解析式为234y x x =-++；（2）由（1）可得抛物线的解析式为234y x x =-++，∵抛物线与y 轴的交点为C ，∴()0,4C ，设直线BC 的解析式为y kx b =+，把点B 、C 的坐标代入得：404k b b +=⎧⎨=⎩，解得：14k b =-⎧⎨=⎩， ∴直线BC 的解析式为4y x =-+；（3）由抛物线234y x x =-++可得对称轴为直线322b x a =-=，由题意可得如图所示：连接BP 、BC ，∵点A 、B 关于抛物线的对称轴对称，∴AP BP =，∴AP PC BP PC +=+，要使AP PC +的值为最小，则需满足点B 、P 、C 三点共线时，即为BC 的长，此时BC 与对称轴的交点即为所求的P 点，∵4OC OB ==，∴BC =∴AP PC +的最小值为∵点P 在直线BC 上， ∴把32x =代入得：35422y =-+=， ∴35,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭； （4）存在，理由如下：由题意可设点()()2,0,,34M m N n n n -++，()()1,0,0,4A C -，当以A 、C 、M 、N 四点为顶点的四边形是平行四边形，则可分：①当AC 为对角线时，如图所示：连接MN ，交AC 于点D ，∵四边形ANCM 是平行四边形，∴点D 为AC 、MN 的中点，∴根据中点坐标公式可得：A C M N A C M N x x x x y y y y +=+⎧⎨+=+⎩，即21004034m n n n -+=+⎧⎨+=-++⎩， 解得：43m n =-⎧⎨=⎩，∴()3,4N ；②当AM 为对角线时，同理可得：A M C N A M C N x x x x y y y y +=+⎧⎨+=+⎩，即21000434m n n n -+=+⎧⎨+=-++⎩，解得：n =，∴4N ⎫-⎪⎪⎝⎭；③当AN 为对角线时，同理可得：A N M C A N M C x x x x y y y y +=+⎧⎨+=+⎩，即21003440n m n n -+=+⎧⎨-++=+⎩， 解得：3n =，∴()3,4N ；∴综上所述：当以A 、C 、M 、N 四点为顶点的四边形是平行四边形，点N 的坐标为()3,4或4⎫-⎪⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的性质与图象是解题的关键．13．（2021·湖南岳阳市·中考真题）如图，抛物线22y ax bx =++经过()1,0A -，()4,0B 两点，与y 轴交于点C ，连接BC ．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）如图2，直线l ：3y kx =+经过点A ，点P 为直线l 上的一个动点，且位于x 轴的上方，点Q 为抛物线上的一个动点，当//PQ y 轴时，作QM PQ ⊥，交抛物线于点M （点M 在点Q 的右侧），以PQ ，QM 为邻边构造矩形PQMN ，求该矩形周长的最小值；（3）如图3，设抛物线的顶点为D ，在（2）的条件下，当矩形PQMN 的周长取最小值时，抛物线上是否存在点F ，使得CBF =∠DQM ∠？若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）213222y x x =-++；（2）314；（3）存在，()1,0F -或52839F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 【分析】（1）直接将()1,0A -，()4,0B 两点坐标代入抛物线解析式之中求出系数的值即可；（2）先利用待定系数法求出直线的解析式，再设出点P 的坐标，接着表示出Q 点和M 点的坐标后，求出线段PQ 和QM 的表达式，再求出它们和的两倍，利用配方法即可求出其最小值；（3）先利用锐角三角函数证明出CBA ∠=DQM ∠，进而得到F 点的其中一个位置，在BC 另一侧，通过构造直角三角形，利用勾股定理建立方程组，即可求出BF 与y 轴的交点，进而求出BF 的解析式，与抛物线的解析式联立，即可确定F 点的坐标．【详解】解：（1）∵抛物线22y ax bx =++经过()1,0A -，()4,0B 两点， ∴2016420a b a b -+=⎧⎨++=⎩， 解得：1232a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴该抛物线的函数表达式为：213222y x x =-++； （2）∵3y kx =+经过点A ，∴30k -+=，∴3k =，。

房间有个，小房间有个A. B. C. D.【来源】广东省深圳市2019年中考数学试题【分析】大房间有个，小房间有个，根据等量关系：大小共【详解】大房间有个，小房间有个，由题意得：，A.【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，弄清题意，找出等量关系列出方程组是解此类问题的关键．学校八年级师生共466人准备参加社会实践活动，现已预备了49座和37座两种客车共10辆，刚好坐49座客车x辆，37座客车y辆，根据题意可列出方程组（）A. B. C. D.【来源】浙江省温州市2019年中考数学试卷【答案】A．方程组的解是（A. B. C. D.【来源】天津市2019年中考数学试题详解：，①，原方程组的解为．故选点睛：本题考查了解二元一次方程组，利用加减消元法是解题关键．．夏季来临，某超市试销、两种型号的风扇，两周内共销售元，型风扇每台元，型风扇每台元，问、两种型号的风扇分别销售了多少台？若设型风扇销售了台，型风扇销售了台，则根据题意列出方程组为（）A. B.C. D.【来源】山东省泰安市2019年中考数学试题【答案】C点睛：本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确得出等量关系是解题的关键．．已知一元二次方程x2+kx-3=0有一个根为1，则k的值为（）B. 2C. -4D. 4【来源】江苏省盐城市2019年中考数学试题【答案】B．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，若,则的值=，=，结合，即可求出点睛：本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的定义以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据二-、两根之积等于．旅游收入约为．一元二次方程x2﹣2x=0的两根分别为x1和x2，则x1x2为（ ）2 B. 1 C. 2 D. 0【来源】四川省宜宾市2019年中考数学试题【答案】D【解析】分析：根据根与系数的关系可得出x1x2=0，此题得解．详解：∵一元二次方程x2﹣2x=0的两根分别为x1和x2，=0．．点睛：本题考查了根与系数的关系，牢记两根之积等于是解题的关键．学科#网．关于的一元二次方程的根的情况是（）有两不相等实数根 B. 有两相等实数根无实数根 D. 不能确定【来源】湖南省娄底市2019年中考数学试题【详解】，．关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（A. B. C. D.【点评】考查一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根.当时，方程有两个相等的实数根.当时，方程没有实数根.．欧几里得的《原本》记载，形如的方程的图解法是：画，使，，，再在斜边上截取.则该方程的一个正根是（）A. 的长B. 的长C. 的长D. 的长【来源】2019年浙江省舟山市中考数学试题．若关于的一元二次方程x(x+1)+ax=0有两个相等的实数根，则实数a的值为（）A. B. 1 C. D.【来源】安徽省2019年中考数学试题【答案】A【解析】【分析】整理成一般式后，根据方程有两个相等的实数根，可得△=0，得到关于a的方程，解方程.【详解】x(x+1)+ax=0，+(a+1)x=0，由方程有两个相等的实数根，可得△=（a+1）2-4×1×0=0，a1=a2=-1，A.【点睛】本题考查一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；△=0⇔方程有两个相等的实数根；．一元二次方程根的情况是（+＞﹣，故有两个正A. B.C. D.【来源】山东省淄博市2019年中考数学试题【答案】C点睛：考查了由实际问题抽象出分式方程．找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．．分式方程的解是（）A. B. C. D.详解：，去分母，方程两边同时乘以．分式方程的解为（A. B. C.【来源】山东省德州市2019年中考数学试题【答案】D点睛：本题考查了分式方程的解，始终注意分母不为0这个条件．．若数使关于x的不等式组有且只有四个整数解，且使关于y的方程的解为非负数，则符合条件的所有整数的和为（）A. B. C. 1 D. 2【来源】【全国省级联考】2019年重庆市中考数学试卷（A卷）【答案】C【解析】【分析】先求出不等式的解集，根据只有四个整数解确定出a的取值范围，解分式方程后根据解【详解】解不等式，得，由于不等式组只有四个整数解，即只有∴，∴；解分式方程，得，【点睛】本题考查含有参数的不等式和含有参数的分式方程的应用，熟练掌握不等式组的解法、分式方程的解法以及解分式方程需要注意的事项是解题的关键.二、填空题．若关于x、y的二元一次方程组的解是，则关于a、b的二元一次方程组的解是_______．【来源】山东省滨州市2019年中考数学试题【答案】【解析】分析：利用关于x、y的二元一次方程组的解是可得m、n的数值，代入关于的方程组即可求解，利用整体的思想找到两个方程组的联系再求解的方法更好．详解：∵关于x、y的二元一次方程组的解是，∴将解代入方程组m=﹣1，的二元一次方程组整理为：解得：点睛：本题考查二元一次方程组的求解，重点是整体考虑的数学思想的理解运用在此题体现明显．．中国的《九章算术》是世界现代数学的两大源泉之一，其中有一问题：问牛、羊每头各值金多少？设牛、羊每头各值金两、两，依题意，可列出方程为【答案】【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，弄清题意，找出等量关系列出方程组是关键.．对于实数a，b，定义运算“◆”：a◆b=，例如4◆3，因为4＞3．所以4◆3==5．若x，y满足方程组，则x◆y=_____________.【来源】山东省德州市2019年中考数学试题【答案】60【解析】分析：根据二元一次方程组的解法以及新定义运算法则即可求出答案．详解：由题意可知：，解得：．x＜y，∴原式=5×12=60．千克粗粮，千克粗粮，千克粗粮；乙种粗粮每袋装有千克粗粮，千克粗粮，粗粮甲、乙两种袋装粗粮每袋成本价分别为袋中三种粗粮的成本价之和已知粗粮每千克成本价为（）【来源】【全国省级联考】2019年重庆市中考数学试卷（【答案】甲乙311212由题意可得甲的成本价为：=45（元），的成本为：3×6=18（元），B、C的成本之和为：45-18=27（元），根据乙的组成则可得乙的成本价为：6+27×2=60（元），设甲销售袋，乙销售袋使总利润率为24%，则有45a+60b）×24%=(58.5-45)a+(72-60)b，故答案为：.【点评】本题考查了方程的应用，难度较大，根据题意求出甲、乙两种包装的成本价是解题的关键【答案】2015______________.【来源】湖北省黄冈市2019年中考数学试题【答案】16【解析】分析：首先求出方程的根，再根据三角形三边关系定理，确定第三边的长，进而求其周长．详解：解方程x2-10x+21=0得x1=3、x2=7，＜第三边的边长＜9，∴第三边的边长为7．∴这个三角形的周长是3+6+7=16．故答案为：16．点睛：本题考查了解一元二次方程和三角形的三边关系．已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．．一元二次方程的两根为, ,则的值为____________ .【来源】江西省2019年中等学校招生考试数学试题【答案】2．若是方程的一个根，则的值为故答案为：2019点睛：本题考查一元二次方程的解，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的定义，本题属于基础题．关于的方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是__________．【来源】江苏省扬州市2019年中考数学试题【答案】且【解析】分析：根据一元二次方程的定义以及根的判别式的意义可得△=4-12m＞0且m≠0，求出m的取值范围即可．详解：∵一元二次方程mx2-2x+3=0有两个不相等的实数根，0且m≠0，4-12m＞0且m≠0，＜且m≠0，故答案为：m＜且m≠0．点睛：本题考查了一元二次方程．设、是一元二次方程的两个根，且，则__________，__________，点睛：本题考查了根与系数的关系：若、是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，=-，=.28．若是一元二次方程的两个实数根，则=__________．【来源】山东省德州市2019年中考数学试题【答案】-3【解析】分析：根据根与系数的关系即可求出答案．详解：由根与系数的关系可知：x1+x2=﹣1，x1x2=﹣2，x1+x2+x1x2=﹣3故答案为：﹣3．点睛：本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型．．为了改善生态环境，防止水土流失，红旗村计划在荒坡上种树960棵，由于青年志愿者支援，实际每天种树的棵数是原计划的2倍，结果提前4天完成任务，则原计划每天种树的棵数是________.【来源】江苏省宿迁市2019年中考数学试卷．当____________解分式方程会出现增根．年中考数学试题时，3-5=-m，解得m=2，故答案为：2．点睛：本题考查了分式方程的增根．增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．．甲、乙两个机器人检测零件，甲比乙每小时多检测20个，甲检测300个比乙检测200个所用的时间少，若设甲每小时检测个，则根据题意，可列出方程：__________．【来源】2019年浙江省舟山市中考数学试题【答案】【解析】【分析】若设甲每小时检测个，检测时间为，乙每小时检测个，检测时间为，根据甲检测300个比乙检测200个所用的时间少，列出方程即可.【解答】若设甲每小时检测个，检测时间为，乙每小时检测个，检测时间为，根据题意.故答案为：【点评】考查分式方程的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，弄清题意，找出等量关系列方程进行求解是关键.．解方程组：【来源】江苏省宿迁市2019年中考数学试卷【答案】原方程组的解为【解析】【分析】利用代入法进行求解即可得.【详解】，由①得：x=-2y ③将③代入②得：3（-2y）+4y=6，y=-3，y=-3代入③得：x=6，∴原方程组的解为.【点睛】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键）设购置蓝色地砖x块，则购置红色地砖（12000-x）块，所需的总费用为y元，由题意可得：x≥（12000-x），x≥4000，点睛：此题主要考查了一次函数的应用以及二元一次方程组的应用，正确得出函数关系式是解题关键．．在端午节来临之际，某商店订购了A型和B型两种粽子.A型粽子28元/千克，B型粽子24元/千克型粽子的数量比A型粽子的2倍少20千克，购进两种粽子共用了2560元，求两种型号粽子各多少千【来源】湖北省黄冈市2019年中考数学试题【答案】A型粽子40千克，B型粽子60千克.【解析】分析】订购了A型粽子x千克，B型粽子y千克．根据B型粽子的数量比A型粽子的2倍少千克，购进两种粽子共用了2560元列出方程组，求解即可．详解：设订购了A型粽子x千克，B型粽子y千克，根据题意，得，解得．答：订购了A型粽子40千克，B型粽子60千克．点睛：本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合方施工任务．该工程队有两种型号的挖掘机台型和台型挖掘机同时施工一小时挖土台型和台型挖掘机同时施工一小时挖土立方米．每台型挖掘机一小时的施工费用为每台型挖掘机一小时的施工费用为分别求每台型, 型挖掘机一小时挖土多少立方米若不同数量的型和型挖掘机共）每台型挖掘机一小时挖土每台型挖据机一小时挖土型挖据机台,型挖掘机型挖掘机台,型挖掘机型挖掘机台,型挖掘机型挖掘机设型挖掘机有台,总费用为元,则型挖据机有台．根据题意,得，因为，解得，又因为,解得,所以．共有三种调配方案．:当时, ,即型挖据机7台,型挖掘机5台；:当时, ,即型挖掘机8台,型挖掘机4台；:当时, ,即型挖掘机9台,型挖掘机3台．,由一次函数的性质可知,随的减小而减小,当时，，此时型挖掘机, 型挖掘机【点评】考查二元一次方程组的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系，列方程.学科#网．用消元法解方程组时，两位同学的解法如下：）反思：上述两个解题过程中有无计算错误？若有误，请在错误处打“×”.）请选择一种你喜欢的方法，完成解答.【来源】2019年浙江省舟山市中考数学试题【答案】（1）解法一中的计算有误；（2）原方程组的解是.【解析】【分析】根据加减消元法和代入消元法进行判断即可.【解答】（1）解法一中的计算有误（标记略）.）用消元法解方程组时，两位同学的解法如下：②，得，解得，把代入①，得，解得，所以原方程组的解是.【点评】考查加减消元法和代入消元法解二元一次方程组，熟练掌握两种方法是解题的关键．用消元法解方程组时解法二由②，得,得. 把①代入③，得.“”.点睛：本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．．一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件.）若降价3元，则平均每天销售数量为________件；）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？【来源】江苏省盐城市2019年中考数学试题【答案】（1）26；（2）每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为1200元.【解析】分析：（1）根据销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，可得若降价3元，则平均每天可多售出2×3=6件，即平均每天销售数量为20+6=26件；）利用商品平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种商品利润列出方程解答即可．．已知关于的一元二次方程.）试证明：无论取何值此方程总有两个实数根；）若原方程的两根，满足，求的值，由此即可证出：无论p取何值此方程总有两个实数根；）根据根与系数的关系可得出x1+x2=5、x1x2=6-p2-p，结合x12+x22-x1x2=3p2+1，即可求出p值．详解：（1）证明：原方程可变形为x2-5x+6-p2-p=0．（-5）2-4（6-p2-p）=25-24+4p2+4p=4p2+4p+1=（2p+1）2≥0，p取何值此方程总有两个实数根；）∵原方程的两根为x1、x2，=5，x1x2=6-p2-p．22+x22-x1x2=3p2+1，+x2）2-3x1x2=3p2+1，（6-p2-p）=3p2+1，25-18+3p2+3p=3p2+1，3p=-6，．点睛：本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，求的取值范围【答案】．某地年为做好，投入资金万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，年在年的基础上增加投入资金万元）从年到年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？）在年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于万元用于优先搬迁租房奖励，规定前户（含第户）每户每天奖励元，户以后每户每天奖励元，按租房天计算，求年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励.【来源】贵州省安顺市2019年中考数学试题【答案】（1）从年到年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为；（2）年该地至少有户享受到优先搬迁租房奖励.【解析】分析：（1）设年平均增长率为x，根据：2015年投入资金给×（1+增长率）2=2017年投入资金，列出方程求解可得；）设今年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励，根据：前1000户获得的奖励总数+1000户以后获得的奖励总和≥500万，列不等式求解可得．详解：（1）设该地投入异地安置资金的年平均增长率为，根据题意得，解得：或（舍），答：从年到年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为；）设年该地有户享受到优先搬迁租房奖励，根据题意得，∵，∴，，解得：.答：年该地至少有户享受到优先搬迁租房奖励计算：.解方程：.），.点睛：此题主要考查了实数的运算和一元二次方程的解法，关键是熟练掌握特殊角的三角函数、二次根式的化简、零次幂、负整数指数幂以及一元二次方程的求根公式．学科#网．为积极响应新旧动能转换.提高公司经济效益.某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元,经过市场调研发现,每台售价为40万元时,年销售量为600台;每台售价为45万元时550台.假定该设备的年销售量y(单位:台)和销售单价(单位:万元)成一次函数关系.求年销售量与销售单价的函数关系式;根据相关规定,此设备的销售单价不得高于70万元,如果该公司想获得10000万元的年利润.则该设备的销）；（2）设此设备的销售单价为x万元/台，则每台设备的利润为（x﹣30）万元，销售数量为x+1000）台，根据题意得：30）（﹣10x+1000）=10000，整理，得：x2﹣130x+4000=0，x1=50，x2=80．∵此设备的销售单价不得高于70万元，∴x=50．答：该设备的销售单价应是50万元/台．点睛：本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．．在美丽乡村建设中，某县通过政府投入进行村级道路硬化和道路拓宽改造.原计划是今年1至5月，村级道路硬化和道路拓宽的里程数共50千米，其中道路硬化的里程数至少是道路拓宽的里程数的4倍，那么，原计划今年1至5月，道路硬化和里程数至少是多少千米？）由题意得：年：道路硬化经费为：13万/千米，里程为：30km道路拓宽经费为：26万/千米，里程为：15km6月起：道路硬化经费为：13（1+a%）万/千米，里程数：40（1+5a%）km，道路拓宽经费为：26（1+5a%）万/千米，里程数：10（1+8a%）km，又∵政府投入费用为：780（1+10a%）万元，∴列方程：13(1+a%)×40(1+5a%)+26(1+5a%)×10(1+8a%)=780(1+10a%)，a%=t，方程可整理为：13(1+t)×40(1+5t)+26(1+5t)×10(1+8t)=780(1+10t)，520(1+t)(1+5t)+260(1+5t)(1+8t)=780(1+10t)，化简得：，2(1+t)(1+5t)+(1+5t)(1+8t)=3 (1+10t)，10-t=0，∴，∴综上所述： a = 10，）计算：.）解方程：.），.【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力以及解一元二次方程，是各地中考题中常见的计算题型．解决实数的综合运算题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．．解方程：﹣=0【来源】江苏省连云港市2019年中考数学试题【答案】x=2【解析】分析：根据等式的性质去分母，可得整式方程，然后解这个整式方程，最后检验可得答案．详解：方程两边同乘以x（x-1），去分母得，x-1）=0，x=-2，经检验：x=-2是原分式方程的解．）设第一批饮料进货单价为元，根据等量关系第二批饮料的数量是第一批的）设销售单价为元，根据两批全部售完后，获利不少于【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，弄清题意，找出等量关系与不等关系是关学科#网．我市经济技术开发区某智能手机有限公司接到生产300万部智能手机的订单，为了尽快交货，增开了一条生产线，实际每月生产能力比原计划提高了50%，结果比原计划提前5个月完成交货，求每月实际生产智能手机多少万部．【来源】四川省宜宾市2019年中考数学试题【答案】每月实际生产智能手机30万部．【解析】分析：设原计划每月生产智能手机x万部，则实际每月生产智能手机（1+50%）x万部，根据工作根据题意得：，．京沪铁路是我国东部沿海地区纵贯南北的交通大动脉，全长，是我国最繁忙的铁路干线之一倍，客车比货车少用，那么货车的速度是多少？（精确到）货车的速度是千米点睛：本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．．刘阿姨到超市购买大米，第一次按原价购买，用了元.几天后，遇上这种大米折出售，她用元又买了一些，两次一共购买了kg.这种大米的原价是多少？【来源】江苏省南京市2019年中考数学试卷【答案】这种大米的原价为每千克元.【解析】分析：设这种大米的原价是x元，打8折后是0.8x元,根据两次一共购买了kg，列出算式，求,最后要检验.设这种大米的原价为每千克元，根据题意，得.解这个方程，得.经检验，是所列方程的解答：这种大米的原价为每千克元详解：（1）设乙种图书售价每本元，则甲种图书售价为每本元．由题意得：，解得：．经检验，是原方程的解．所以，甲种图书售价为每本元，答：甲种图书售价每本28元，乙种图书售价每本20元．）设甲种图书进货本，总利润元，则．又∵，解得：．∵随的增大而增大，∴当最大时最大，。

湖南省娄底市2020年中考数学试卷一、单选题（共12题；共24分）1.−2020的倒数是（）A. −2020B. 2020C. 12020D. −12020【答案】 D【考点】有理数的倒数【解析】【解答】解：∵1÷(−2020)=−12020,∴−2020的倒数是：−12020，故答案为：D．【分析】由乘积为1的两个数互为倒数，可得答案．2.下列运算正确的是（）A. a2⋅a3=a6B. (a+b)2=a2+b2C. (−2a)3=−8a3D. a2+a2=a4【答案】C【考点】整式的加减运算，同底数幂的乘法，合并同类项法则及应用，积的乘方【解析】【解答】A、a2⋅a3=a2+3=a5，此项不符合题意B、(a+b)2=a2+2ab+b2，此项不符合题意C、(−2a)3=−8a3，此项符合题意D、a2+a2=2a2，此项不符合题意故答案为：C．【分析】根据同底数幂的乘法、完全平方公式、积的乘方、整式的加法：合并同类项逐项判断即可．3.如图，将直尺与三角尺叠放在一起，如果∠1=28°，那么∠2的度数为（）A. 62°B. 56°C. 28°D. 72°【答案】A【考点】余角、补角及其性质，平行线的性质【解析】【解答】解：如图，标注字母，由题意得：∠EBD=90°,∠1=28°,AB//CD，∴∠ABD=90°−28°=62°,∴∠2=∠ABD=62°,故答案为：A．【分析】利用两锐角互余求解∠ABD,再利用平行线的性质可得答案．4.一组数据7，8，10，12，13的平均数和中位数分别是（）A. 7、10B. 9、9C. 10、10D. 12、11【答案】C【考点】平均数及其计算，中位数(7+8+10+12+13)=10,【解析】【解答】解：这组数据的平均数是：15把这些数从小到大排列为：7，8，10，12，13，最中间的数是10，则中位数是10；故答案为：C．【分析】先根据平均数的算法进行计算，求得这组数据的平均数，再将这组数据按从小到大排列的顺序排列，找出最中间的数即可得出答案．5.我国汽车工业迅速发展，国产汽车技术成熟，下列汽车图标是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】B【考点】中心对称及中心对称图形【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形．故不符合题意；B、是中心对称图形．故符合题意；C、不是中心对称图形．故不符合题意；D、不是中心对称图形．故不符合题意．故答案为：B．【分析】根据中心对称图形的概念求解．6.2020年中央财政下达义务教育补助经费1695.9亿元，比上年增长8.3%．其中1695.9亿元用科学记数法表示为（）A. 16.959×1010元B. 1695.9×108元C. 1.6959×1010元D. 1.6959×1011元【答案】 D【考点】科学记数法—表示绝对值较大的数【解析】【解答】科学记数法：将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，这种记数的方法叫做科学记数法则1695.9亿=1.6959×103×108=1.6959×1011故答案为：D．【分析】根据科学记数法的定义即可得．7.正多边形的一个外角为60°，则这个多边形的边数为（）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】B【考点】正多边形的性质【解析】【解答】解：正多边形的一个外角等于60°，且外角和为360°，则这个正多边形的边数是：360°÷60°=6，故答案为：B．【分析】根据正多边形的外角和以及一个外角的度数，求得边数．8.如图，撬钉子的工具是一个杠杆，动力臂L1=L⋅cosα，阻力臂L2=l⋅cosβ，如果动力F的用力方向始终保持竖直向下，当阻力不变时，则杠杆向下运动时的动力变化情况是（）A. 越来越小B. 不变C. 越来越大D. 无法确定【答案】A【考点】反比例函数的性质【解析】【解答】解：∵动力×动力臂=阻力×阻力臂，∴当阻力及阻力臂不变时，动力×动力臂为定值，且定值＞0，∴动力随着动力臂的增大而减小，∵杠杆向下运动时α的度数越来越小，此时cosα的值越来越大，又∵动力臂L1=L⋅cosα，∴此时动力臂也越来越大，∴此时的动力越来越小，故答案为：A．【分析】根据杠杆原理及cosα的值随着α的减小而增大结合反比例函数的增减性即可求得答案．9.如图，平行于y轴的直线分别交y=k1x 与y=k2x的图象（部分）于点A、B，点C是y轴上的动点，则△ABC的面积为（）A. k 1−k 2B. 12(k 1−k 2)C. k 2−k 1D. 12(k 2−k 1)【答案】 B【考点】反比例函数的性质，三角形的面积，反比例函数图象上点的坐标特征【解析】【解答】解：设A 的坐标为（x ，k 1x ），B 的坐标为（x ， k 2x ）， ∴S △ABC = 12x(k 1x −k 2x ) = 12(k 1−k 2) ， 故答案为：B ．【分析】设A 的坐标为（x ， k 1x ），B 的坐标为（x ， k 2x ），然后根据三角形的面积公式计算即可． 10.下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，x 的值为（ ）A. 135B. 153C. 170D. 189【答案】 C【考点】探索数与式的规律【解析】【解答】解：由观察分析：每个正方形内有：2×2=4,2×3=6,2×4=8,∴2b =18,∴b =9,由观察发现： a =8,又每个正方形内有：2×4+1=9,3×6+2=20,4×8+3=35,∴18b +a =x,∴x =18×9+8=170.故答案为：C ．【分析】由观察发现每个正方形内有： 2×2=4,2×3=6,2×4=8, 可求解 b ，从而得到 a ，再利用 a,b,x 之间的关系求解 x 即可．11.函数的零点是指使函数值等于零的自变量的值，则下列函数中存在零点的是（ ）A. y =x 2+x +2B. y =√x +1C. y =x +1x D. y =|x|−1【答案】 D【考点】代数式求值，定义新运算【解析】【解答】解：当 y =x 2+x +2=0,∵a =1,b =1,c =2,∴△=b 2−4ac =1−4×1×2=−7 ＜ 0 ，∴ 原方程没有实数解，∴ y =x 2+x +2 没有零点，故 A 不符合题意，当 y =√x +1=0,∴√x=−1,显然，方程没有解，所以y=√x+1没有零点，故B不符合题意，=0,当y=x+1x∴x2+1=0,显然方程无解，没有零点，故C不符合题意，所以y=x+1x当y=|x|−1=0,∴|x|=1,∴x=±1,所以y=|x|−1有两个零点，故D符合题意，故答案为：D.【分析】把y=0代入四个函数解析式，解方程即可得到答案．12.二次函数y=（x﹣a）（x﹣b）﹣2，（a＜b）的图象与x轴交点的横坐标为m，n，且m＜n，则a，b，m，n的大小关系是（）A. a＜m＜n＜bB. a＜m＜b＜nC. m＜a＜b＜nD. m＜a＜n＜b【答案】C【考点】二次函数图象的几何变换，二次函数图象与坐标轴的交点问题【解析】【解答】解：二次函数y=（x-a）（x-b）与x轴交点的横坐标为a、b，将其图象往下平移2个单位长度可得出二次函数y=（x-a）（x-b）-2的图象，如图所示．观察图象，可知：m＜a＜b＜n．故答案为：C．【分析】根据抛物线的几何变换规律可知：二次函数y=（x-a）（x-b）的图象往下平移2个单位长度可得出二次函数y=（x-a）（x-b）-2的图象，而二次函数y=（x-a）（x-b）与x轴交点的横坐标为a、b，二次函数y=（x﹣a）（x﹣b）﹣2，（a＜b）的图象与x轴交点的横坐标为m，n，根据示意图即可做出判断。

实数一、单选题1．若实数m、n满足，且m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC 的周长是、、A. 12B. 10C. 8D. 6【来源】江苏省宿迁市中考数学试卷【答案】B2．与最接近的整数是（）A. 5B. 6C. 7D. 8【来源】山东省淄博市中考数学试题【答案】B【解析】分析：由题意可知36与37最接近，即与最接近，从而得出答案．详解：∵36＜37＜49，∴＜＜，即6＜＜7，∵37与36最接近，∴与最接近的是6．故选：B．点睛：此题主要考查了无理数的估算能力，关键是整数与最接近，所以=6最接近．3．给出四个实数、2、0、-1，其中负数是（、A. B. 2 C. 0 D. -1【来源】浙江省温州市中考数学试卷【答案】D【解析】分析: 根据负数的定义，负数小于0 即可得出答案.详解: 根据题意：负数是-1，故答案为：D.点睛: 此题主要考查了实数，正确把握负数的定义是解题关键.4．实数在数轴上对应的点的位置如图所示，这四个数中最大的是（、A. B. C. D.【来源】四川省成都市中考数学试题【答案】D【解析】分析：根据实数的大小比较解答即可．详解：由数轴可得：a＜b＜c＜d，故选D．点睛：此题考查实数大小比较，关键是根据实数的大小比较解答．5．估计的值在（、A. 5和6之间B. 6和7之间C. 7和8之间D. 8和9之间【来源】天津市中考数学试题【答案】D6．的算术平方根为（、A. B. C. D.【来源】贵州省安顺市中考数学试题【答案】B【解析】分析：先求得的值，再继续求所求数的算术平方根即可．详解：∵=2，而2的算术平方根是，∴的算术平方根是，故选B．点睛：此题主要考查了算术平方根的定义，解题时应先明确是求哪个数的算术平方根，否则容易出现选A的错误．学科&网7．的值等于（、A. B. C. D.【来源】江苏省南京市中考数学试卷【答案】A8．下列无理数中，与最接近的是（、A. B. C. D.【来源】江苏省南京市中考数学试卷【答案】C【解析】分析：根据无理数的定义进行估算解答即可.详解：4=,与最接近的数为,故选:C.点睛：本题考查了估算无理数的大小，解决本题的关键是估算出无理数的大小．9．已知: 表示不超过的最大整数，例: 、令关于的函数(是正整数)、例：=1，则下列结论错误．．的是（、A. B.C. D. 或1【来源】湖南省娄底市中考数学试题【答案】C10．估计的值应在、 、A. 1和2之间B. 2和3之间C. 3和4之间D. 4和5之间【来源】【全国省级联考】重庆市中考数学试卷（A卷）【答案】B【解析】【分析】先利用分配律进行计算，然后再进行化简，根据化简的结果即可确定出值的范围.【详解】=，=，而，4<<5，所以2<<3，所以估计的值应在2和3之间，故选B.，点睛，本题主要考查二次根式的混合运算及估算无理数的大小，熟练掌握运算法则以及“夹逼法”是解题的关键.11．某班要在一面墙上同时展示数张形状、大小均相同的矩形绘画作品，将这些作品排成一个矩形(作品不完全重合)，现需要在每张作品的四个角落都钉上图钉，如果作品有角落相邻，那么相邻的角落共享一枚图钉(例如，用9枚图钉将4张作品钉在墙上，如图)，若有34枚图钉可供选用，则最多可以展示绘画作品( )A. 16张B. 18张C. 20张D. 21张【来源】浙江省绍兴市中考数学试卷解析【答案】D二、填空题12．化简(-1)0+()-2-+=________________________.【来源】湖北省黄冈市中考数学试题【答案】-1【解析】分析：直接利用负指数幂的性质以及零指数幂的性质、算术平方根的性质分别化简得出答案．详解：原式=1+4-3-3=-1．故答案为：-1．点睛：此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．13．已知一个正数的平方根是和，则这个数是__________、【来源】四川省凉山州中考数学试题【答案】【解析】分析：由于一个非负数的平方根有2个，它们互为相反数．依此列出方程求解即可．详解：根据题意可知：3x-2+5x+6=0，解得x=-，所以3x-2=-，5x+6=，∴（±）2=故答案为：．点睛：本题主要考查了平方根的逆运算，平时注意训练逆向思维．14．用教材中的计算器进行计算,开机后依次按下、 把显示结果输人下侧的程序中,则输出的结果是____________、【来源】山东省潍坊市中考数学试题【答案】34+9，15．对于两个非零实数x、y，定义一种新的运算：x*y=+．若1*、、1、=2，则（﹣2、*2的值是_____、【来源】浙江省金华市中考数学试题【答案】，1【解析】分析：根据新定义的运算法则即可求出答案．详解：∵1*（-1）=2，∴，即a-b=2∴原式==−（a-b）=-1故答案为：-1点睛：本题考查代数式运算，解题的关键是熟练运用整体的思想，本题属于基础题型．16．观察下列各式：、、、……请利用你所发现的规律，计算+++…+，其结果为_______、【来源】山东省滨州市中考数学试题【答案】17．计算：__________、【来源】甘肃省武威市（凉州区）中考数学试题【答案】018．设是一列正整数，其中表示第一个数，表示第二个数，依此类推，表示第个数(是正整数)、已知、、则___________.【来源】湖南省娄底市中考数学试题【答案】403519．计算：______________、【来源】【全国省级联考】重庆市中考数学试卷（A卷）【答案】3三、解答题20．计算：（﹣2、2+0、【来源】江苏省连云港市中考数学试题【答案】，1【解析】分析：首先计算乘方、零次幂和开平方，然后再计算加减即可．详解：原式=4+1-6=-1．点睛：此题主要考查了实数的运算，关键是掌握乘方的意义、零次幂计算公式和二次根式的性质．21．计算：【来源】江苏省宿迁市中考数学试卷【答案】522．计算：【答案】0【解析】分析：先分别计算0次幂、负整数指数幂和立方根，然后再进行加减运算即可.详解：原式=1-2+2=023．、1）计算：、、2）化简：(m+2)2 +4(2-m)【答案】，1，5-，，2，m2+1224．计算.【答案】13.25．计算：.【答案】326．计算：.【答案】27．计算：+、、、0、4sin45°+|、2|、【答案】328．计算：.【答案】4.29．、1）计算：sin30°+、、、0、2﹣1+|、4|、、2）化简：（1、、÷、【答案】(1)5;(2)x+1.30．对于任意实数、，定义关于“”的一种运算如下：.例如.、1）求的值；、2）若，且，求的值.【答案】，1，，，2，.31．计算: .【答案】1032．(1)计算：.(2)解方程：.【答案】（1）2；（2），.33．计算、【答案】734．对任意一个四位数n,如果千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称n为“极数”.、1）请任意写出三个“极数”；并猜想任意一个“极数”是否是99的倍数，请说明理由；、2、 如果一个正整数a是另一个正整数b的平方，则称正整数a是完全平方数，若四位数m为“极数”，记D、m、=.求满足D、m）是完全平方数的所有m.【答案】(1)1188, 2475; 9900(符合题意即可) (2)1188 ,2673 ,4752 ,7425.35．计算：|、2|、+23、、1、π、0、【答案】6。

1.（2019年四川省雅安市）如图，△ABC内接于⊙O，BD是⊙O的直径，∠CBD＝21°，则∠A的度数为69°．【分析】直接利用圆周角定理得出∠BCD＝90°，进而得出答案．【解答】解：∵△ABC内接于⊙O，BD是⊙O的直径，∴∠BCD＝90°，∵∠CBD＝21°，∴∠A＝∠D＝90°﹣21°＝69°．故答案为：69°【点评】此题主要考查了三角形的外接圆与外心，正确掌握圆周角定理是解题关键．2.（2019年湖南省娄底市）如图，C、D两点在以AB为直径的圆上，AB＝2，∠ACD＝30°，则AD＝2．【分析】利用圆周角定理得到∠ADB＝90°，∠B＝∠ACD＝30°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系求求AD的长．【解答】解：∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∵∠B＝∠ACD＝30°，∴AD＝AB＝×2＝1．故答案为2．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．3.（2019年宁夏）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足为点C，将劣弧沿弦AB折叠交于OC的中点D，若AB＝2，则⊙O的半径为3．【分析】连接OA，设半径为x，用x表示OC，根据勾股定理建立x的方程，便可求得结果．【解答】解：连接OA，设半径为x，∵将劣弧沿弦AB折叠交于OC的中点D，∴OC＝，OC⊥AB，∴AC＝＝，∵OA2﹣OC2＝AC2，∴，解得，x＝3．故答案为：3．【点评】本题主要考查了圆的基本性质，垂径定理，勾股定理，关键是根据勾股定理列出半径的方程．4.（2019年贵州省铜仁市）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠A＝100°，则∠DCE的度数为100°；【分析】直接利用圆内接四边形的性质：外角等于它的内对角得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠DCE＝∠A＝100°，故答案为：100°【点评】考查圆内接四边形的外角等于它的内对角．5.（2019年黑龙江省绥化市）半径为5的⊙O是锐角三角形ABC的外接圆，AB＝AC，连接OB、OC，延长CO交弦AB于点D．若△OBD是直角三角形，则弦BC的长为5或5．【分析】如图1，当∠ODB＝90°时，推出△ABC是等边三角形，解直角三角形得到BC ＝AB＝5，如图2，当∠DOB＝90°，推出△BOC是等腰直角三角形，于是得到BC ＝OB＝5．【解答】解：如图1，当∠ODB＝90°时，即CD⊥AB，∴AD＝BD，∴AC＝BC，∵AB＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠DBO＝30°，∵OB＝5，∴BD＝OB＝，∴BC＝AB＝5，如图2，当∠DOB＝90°，∴∠BOC＝90°，∴△BOC是等腰直角三角形，∴BC＝OB＝5，综上所述：若△OBD是直角三角形，则弦BC的长为5或5，故答案为：5或5．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．6.（2019年黑龙江省鸡西市）如图，在⊙O中，半径OA垂直于弦BC，点D在圆上且∠ADC＝30°，则∠AOB的度数为60°．【分析】利用圆周角与圆心角的关系即可求解．【解答】解：∵OA⊥BC，∴＝，∴∠AOB＝2∠ADC，∵∠ADC＝30°，∴∠AOB＝60°，故答案为60°．【点评】此题考查了圆周角与圆心角定理，熟练掌握圆周角与圆心角的关系是解题关键．7.（2019年湖北省随州市）如图，点A，B，C在⊙O上，点C在优弧上，若∠OBA＝50°，则∠C的度数为40°．【分析】先利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠AOB的度数，然后根据圆周角定理得到∠C的度数．【解答】解：∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝50°，∴∠AOB＝180°﹣50°﹣50°＝80°，∴∠C＝∠AOB＝40°．故答案为40°．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．8.（2019年江苏省常州市）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，∠AOC＝120°，则∠CDB＝30°．【分析】先利用邻补角计算出∠BOC，然后根据圆周角定理得到∠CDB的度数．【解答】解：∵∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣120°＝60°，∴∠CDB＝∠BOC＝30°．故答案为30．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．9.（2019年山东省东营市）如图，AC是⊙O的弦，AC＝5，点B是⊙O上的一个动点，且∠ABC＝45°，若点M、N分别是AC、BC的中点，则MN的最大值是．【分析】根据中位线定理得到MN的长最大时，AB最大，当AB最大时是直径，从而求得直径后就可以求得最大值．【解答】解：∵点M，N分别是BC，AC的中点，∴MN＝AB，∴当AB取得最大值时，MN就取得最大值，当AB是直径时，AB最大，连接AO并延长交⊙O于点B′，连接CB′，∵AB′是⊙O的直径，∴∠ACB′＝90°．∵∠ABC＝45°，AC＝5，∴∠AB′C＝45°，∴AB′＝＝＝5，∴MN最大＝．故答案为：．【点评】本题考查了三角形的中位线定理、等腰直角三角形的性质及解直角三角形的综合运用，解题的关键是了解当什么时候MN的值最大，难度不大．10.（2019年四川省广元市）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，且AB是⊙O的直径，点P为⊙O上的动点，且∠BPC＝60°，⊙O的半径为6，则点P到AC距离的最大值是6+3．【分析】过O作OM⊥AC于M，延长MO交⊙O于P，则此时，点P到AC距离的最大，且点P到AC距离的最大值＝PM，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：过O作OM⊥AC于M，延长MO交⊙O于P，则此时，点P到AC距离的最大，且点P到AC距离的最大值＝PM，∵OM⊥AC，∠A＝∠BPC＝60°，⊙O的半径为6，∴OP＝OA＝6，∴OM＝OA＝×6＝3，∴PM＝OP+OM＝6+3，∴则点P到AC距离的最大值是6+3，故答案为：6+3．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．11.（2019年广西北海市）《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB＝1尺（1尺＝10寸），则该圆材的直径为26寸．【分析】设⊙O的半径为r．在Rt△ADO中，AD＝5，OD＝r﹣1，OA＝r，则有r2＝52+（r﹣1）2，解方程即可．【解答】解：设⊙O的半径为r．在Rt△ADO中，AD＝5，OD＝r﹣1，OA＝r，则有r2＝52+（r﹣1）2，解得r＝13，∴⊙O的直径为26寸，故答案为：26．【点评】本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．12.（2019年湖南省株洲市）如图所示，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且OC⊥AB，过点C的弦CD与线段OB相交于点E，满足∠AEC＝65°，连接AD，则∠BAD＝20度．【分析】由直角三角形的性质得出∠OCE＝25°，由等腰三角形的性质得出∠ODC＝∠OCE＝25°，求出∠DOC＝130°，得出∠BOD＝∠DOC﹣∠COE＝40°，再由圆周角定理即可得出答案．【解答】解：连接OD，如图：∵OC⊥AB，∴∠COE＝90°，∵∠AEC＝65°，∴∠OCE＝90°﹣65°＝25°，∵OC＝OD，∴∠ODC＝∠OCE＝25°，∴∠DOC＝180°﹣25°﹣25°＝130°，∴∠BOD＝∠DOC﹣∠COE＝40°，∴∠BAD＝∠BOD＝20°，故答案为：20．【点评】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形内角和定理；熟练掌握圆周角定理是解题的关键．13.（2019年江苏省苏州市）如图，扇形OAB中，∠AOB＝90°．P为弧AB上的一点，过点P作PC⊥OA，垂足为C，PC与AB交于点D．若PD＝2，CD＝1，则该扇形的半径长为5．【分析】连接OP，利用等腰三角形的性质可得出∠OAB＝45°，结合PC⊥OA可得出△ACD为等腰直角三角形，进而可得出AC＝1，设该扇形的半径长为r，则OC＝r﹣1，在Rt△POC中，利用勾股定理可得出关于r的方程，解之即可得出结论．【解答】解：连接OP，如图所示．∵OA＝OB，∠AOB＝90°，∴∠OAB＝45°．∵PC⊥OA，∴△ACD为等腰直角三角形，∴AC＝CD＝1．设该扇形的半径长为r，则OC＝r﹣1，在Rt△POC中，∠PCO＝90°，PC＝PD+CD＝3，∴OP2＝OC2+PC2，即r2＝（r﹣1）2+9，解得：r＝5．故答案为：5．【点评】本题考查了勾股定理、等腰直角三角形以及圆的认识，利用勾股定理，找出关于扇形半径的方程是解题的关键．14.（2019年浙江省湖州市）已知一条弧所对的圆周角的度数是15°，则它所对的圆心角的度数是30°．【分析】直接根据圆周角定理求解．【解答】解：∵一条弧所对的圆周角的度数是15°，∴它所对的圆心角的度数为2×15°＝30°．故答案为30°．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．15.（2019年浙江省台州市）如图，AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线，点D关于AC的对称点E在边BC上，连接AE．若∠ABC＝64°，则∠BAE的度数为52°．【分析】直接利用圆内接四边形的性质结合三角形外角的性质得出答案．【解答】解：∵圆内接四边形ABCD，∴∠D＝180°﹣∠ABC＝116°，∵点D关于AC的对称点E在边BC上，∴∠D＝∠AEC＝116°，∴∠BAE＝116°﹣64°＝52°．故答案为：52°．【点评】此题主要考查了圆内接四边形的性质以及三角形的外角，正确得出∠AEC的度数是解题关键．16.（2019年四川省宜宾市）如图，⊙O的两条相交弦AC、BD，∠ACB＝∠CDB＝60°，AC＝2，则⊙O的面积是16π．【分析】由∠A＝∠BDC，而∠ACB＝∠CDB＝60°，所以∠A＝∠ACB＝60°，得到△ACB为等边三角形，又AC＝2，从而求得半径，即可得到⊙O的面积．【解答】解：∵∠A＝∠BDC，而∠ACB＝∠CDB＝60°，∴∠A＝∠ACB＝60°，∴△ACB为等边三角形，∵AC＝2，∴圆的半径为4，∴⊙O的面积是16π，故答案为：16π．【点评】本题考查了圆周角定理，解题的关键是能够求得圆的半径，难度不大．17.（2019年安徽省）如图，△ABC内接于⊙O，∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，CD⊥AB于点D，若⊙O的半径为2，则CD的长为．【分析】连接CO并延长交⊙O于E，连接BE，于是得到∠E＝∠A＝30°，∠EBC＝90°，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：连接CO并延长交⊙O于E，连接BE，则∠E＝∠A＝30°，∠EBC＝90°，∵⊙O的半径为2，∴CE＝4，∴BC＝CE＝2，∵CD⊥AB，∠CBA＝45°，∴CD＝BC＝，故答案为：．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．18.（2019年江苏省盐城市）如图，点A、B、C、D、E在⊙O上，且为50°，则∠E+∠C＝155°．【分析】连接EA，根据圆周角定理求出∠BEA，根据圆内接四边形的性质得到∠DEA+∠C＝180°，结合图形计算即可．【解答】解：连接EA，∵为50°，∴∠BEA＝25°，∵四边形DCAE为⊙O的内接四边形，∴∠DEA+∠C＝180°，∴∠DEB+∠C＝180°﹣25°＝155°，故答案为：155．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．19.（2019年江苏省连云港市）如图，点A、B、C在⊙O上，BC＝6，∠BAC＝30°，则⊙O的半径为6．【分析】根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半和有一角是60°的等腰三角形是等边三角形求解．【解答】解：∵∠BOC＝2∠BAC＝60°，又OB＝OC，∴△BOC是等边三角形∴OB＝BC＝6，故答案为6．【点评】本题综合运用圆周角定理以及等边三角形的判定和性质．20.（2019年浙江省嘉兴市）如图，在⊙O中，弦AB＝1，点C在AB上移动，连结OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为．【分析】连接OD，如图，利用勾股定理得到CD，利用垂线段最短得到当OC⊥AB时，OC最小，根据勾股定理求出OC，代入求出即可．【解答】解：连接OD，如图，∵CD⊥OC，∴∠COD＝90°，∴CD＝＝，当OC的值最小时，CD的值最大，而OC⊥AB时，OC最小，此时OC＝，∴CD的最大值为＝AB＝1＝，故答案为：．【点评】本题考查了垂线段最短，勾股定理和垂径定理等知识点，能求出点C的位置是解此题的关键．21.（2019年江苏省南京市）在△ABC中，AB＝4，∠C＝60°，∠A＞∠B，则BC的长的取值范围是4＜BC≤．【分析】作△ABC的外接圆，求出当∠BAC＝90°时，BC是直径最长＝；当∠BAC＝∠ABC时，△ABC是等边三角形，BC＝AC＝AB＝4，而∠BAC＞∠ABC，即可得出答案．【解答】解：作△ABC的外接圆，如图所示：∵∠BAC＞∠ABC，AB＝4，当∠BAC＝90°时，BC是直径最长，∵∠C＝60°，∴∠ABC＝30°，∴BC＝2AC，AB＝AC＝4，∴AC＝，∴BC＝；当∠BAC＝∠ABC时，△ABC是等边三角形，BC＝AC＝AB＝4，∵∠BAC＞∠ABC，∴BC长的取值范围是4＜BC≤；故答案为：4＜BC≤．【点评】本题考查了三角形的三边关系、直角三角形的性质、等边三角形的性质；作出△ABC的外接圆进行推理计算是解题的关键．22.（2019年四川省凉山州）如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，∠A＝30°，CD＝2，则⊙O的半径是2．【分析】连接BC，由圆周角定理和垂径定理得出∠ACB＝90°，CH＝DH＝CD＝，由直角三角形的性质得出AC＝2CH＝2，AC＝BC＝2，AB＝2BC，得出BC＝2，AB＝4，求出OA＝2即可．【解答】解：连接BC，如图所示：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，∴∠ACB＝90°，CH＝DH＝CD＝，∵∠A＝30°，∴AC＝2CH＝2，在Rt△ABC中，∠A＝30°，∴AC＝BC＝2，AB＝2BC，∴BC＝2，AB＝4，∴OA＝2，即⊙O的半径是2；故答案为：2．【点评】本题考查的是垂径定理、圆周角定理、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键．23.（2019年山东省德州市）如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，＝，CE＝1，AB＝6，则弦AF的长度为．【分析】连接OA、OB，OB交AF于G，如图，利用垂径定理得到AE＝BE＝3，设⊙O 的半径为r，则OE＝r﹣1，OA＝r，根据勾股定理得到32+（r﹣1）2＝r2，解得r＝5，再利用垂径定理得到OB⊥AF，AG＝FG，则AG2+OG2＝52，AG2+（5﹣OG）2＝62，然后解方程组求出AG，从而得到AF的长．【解答】解：连接OA、OB，OB交AF于G，如图，∵AB⊥CD，∴AE＝BE＝AB＝3，设⊙O的半径为r，则OE＝r﹣1，OA＝r，在Rt△OAE中，32+（r﹣1）2＝r2，解得r＝5，∵＝，∴OB⊥AF，AG＝FG，在Rt△OAG中，AG2+OG2＝52，①在Rt△ABG中，AG2+（5﹣OG）2＝62，②解由①②组成的方程组得到AG＝，∴AF＝2AG＝．故答案为．【点评】本题考查了圆周角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理．。

娄底中考数学试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项是正确的比例关系？A. 3:4 = 6:8B. 3:4 ≠ 6:8C. 3:4 = 6:9D. 3:4 = 6:7答案：A2. 一个数的平方根是它本身的数有几个？A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个答案：C3. 如果一个圆的半径是5厘米，那么它的面积是多少平方厘米？A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π答案：C4. 下列哪个选项是不等式2x - 3 < 5的解？A. x < 4B. x > 4C. x < 2D. x > 2答案：A5. 一个等腰三角形的底边长为6厘米，高为4厘米，它的周长是多少厘米？A. 12厘米B. 16厘米C. 18厘米D. 20厘米答案：D6. 一个数的绝对值是5，这个数可能是？A. 5或-5B. 只有5C. 只有-5D. 都不是答案：A7. 一个等差数列的首项是2，公差是3，那么它的第五项是多少？A. 14B. 17C. 20D. 23答案：A8. 下列哪个函数的图像是一条直线？A. y = x^2B. y = 2x + 3C. y = 1/xD. y = sqrt(x)答案：B9. 一个长方体的长、宽、高分别是5厘米、3厘米和2厘米，它的体积是多少立方厘米？A. 30B. 45C. 60D. 75答案：A10. 一个二次函数的顶点是(2, -1)，且开口向上，那么它的对称轴是？A. x = 2B. x = -2C. x = 1D. x = 3答案：A二、填空题（每题3分，共30分）11. 一个数的立方根是它本身的数有__个。

答案：312. 如果一个三角形的两边长分别是4厘米和6厘米，那么第三边的长x的取值范围是__。

答案：2 < x < 1013. 一个数的相反数是-5，那么这个数是__。

答案：514. 一个数的倒数是1/3，那么这个数是__。

专题04.分式与分式方程一、单选题1．（2021·河北中考真题）由1122c c +⎛⎫- ⎪+⎝⎭值的正负可以比较12c A c +=+与12的大小，下列正确的是（ ）A ．当2c =-时，12A =B ．当0c 时，12A ≠C ．当2c <-时，12A > D ．当0c <时，12A <【答案】C 【分析】先计算1122c c +⎛⎫- ⎪+⎝⎭的值，再根c 的正负判断1122c c +⎛⎫- ⎪+⎝⎭的正负，再判断A 与12的大小即可．【详解】解：11=224+2c cc c +-+，当2c =-时，20c +=，A 无意义，故A 选项错误，不符合题意； 当0c 时，04+2c c=，12A =，故B 选项错误，不符合题意； 当2c <-时，04+2c c>，12A >，故C 选项正确，符合题意； 当20c -<<时，04+2c c <，12A <；当2c <-时，04+2c c>，12A >，故D 选项错误，不符合题意； 故选：C ．【点睛】本题考查了分式的运算和比较大小，解题关键是熟练运用分式运算法则进行计算，根据结果进行准确判断．2．（2021·湖南中考真题）为响应习近平总书记“坚决打赢关键核心技术攻坚战”的号召，某科研团队最近攻克了7nm 的光刻机难题，其中1nm 0.000000001m =，则7nm 用科学记数法表示为（ ） A ．80.710m ⨯ B ．8710m -⨯C ．80.710m -⨯D ．9710m -⨯【答案】D【分析】由题意易得nm 0.000000007m 7=，然后根据科学记数法可直接进行求解． 【详解】解：由题意得：nm 0.000000007m 7=， ∴7nm 用科学记数法表示为9710m -⨯；故选D ．【点睛】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键．3．（2021·四川眉山市·中考真题）化简221111a a a ⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭的结果是（ ） A ．1a + B ．1a a+ C ．1a a- D ．21a a + 【答案】B【分析】小括号先通分合并，再将除法变乘法并因式分解即可约分化简． 【详解】解：原式()()()()221111111=11a a a a a aa a a a a a+-+--++⨯=⨯=--故答案是：B ． 【点睛】本题考察分式的运算和化简、因式分解，属于基础题，难度不大．解题关键是掌握分式的运算法则．4．（2021·天津中考真题）计算33a ba b a b---的结果是（ ） A ．3 B ．33a b +C ．1D ．6aa b- 【答案】A【分析】先根据分式的减法运算法则计算，再提取公因式3，最后约分化简即可． 【详解】原式33a b a b -=-，3()a b a b-=-3=．故选A ． 【点睛】本题考查分式的减法．掌握分式的减法运算法则是解答本题你的关键． 5．（2021·山东临沂市·中考真题）计算11()()a b b a-÷-的结果是（ ）A ．ab-B ．a bC ．b a-D ．b a【答案】A【分析】根据分式的混合运算顺序和运算法则计算可得．【详解】解：11a b b a ⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=11ab ab b b a a ⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=11ab a b ab -⨯-=a b-故选A ． 【点睛】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 6．（2021·江西中考真题）计算11a a a+-的结果为（ ） A ．1 B ．1- C ．2a a+D ．2a a- 【答案】A【分析】直接利用同分母分式的减法法则计算即可． 【详解】解：11111a a aa a a a++--===．故选：A ． 【点睛】本题考查了同分母分式的减法，熟练掌握运算法则是解题的关键．7．（2021·江苏扬州市·中考真题）不论x 取何值，下列代数式的值不可能为0的是（ ） A ．1x + B ．21x -C ．11x + D ．()21x +【答案】C【分析】分别找到各式为0时的x 值，即可判断．【详解】解：A 、当x =-1时，x +1=0，故不合题意；B 、当x =±1时，x 2-1=0，故不合题意； C 、分子是1，而1≠0，则11x +≠0，故符合题意；D 、当x =-1时，()210x +=，故不合题意；故选C ． 【点睛】本题考查了分式的值为零的条件，代数式的值．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可． 8．（2021·湖北恩施土家族苗族自治州·中考真题）分式方程3111x x x +=--的解是（ ） A ．1x = B ．2x =-C ．34x =D ．2x =【答案】D【分析】先去分母，然后再进行求解方程即可． 【详解】解：3111x x x +=-- 去分母:13x x +-=，∴2x =， 经检验：2x =是原方程的解；故选D ．【点睛】本题主要考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键． 9．（2021·湖南怀化市·中考真题）定义12a b a b ⊗=+，则方程342x ⊗=⊗的解为（ ） A ．15x =B ．25x =C ．35x =D ．45x =【答案】B【分析】根据新定义,变形方程求解即可 【详解】∵12a b a b ⊗=+,∴342x ⊗=⊗变形为1123242x ⨯+=⨯+,解得25x = ，经检验25x =是原方程的根，故选B 【点睛】本题考查了新定义问题，根据新定义把方程转化一般的分式方程，并求解是解题的关键10．（2021·山东临沂市·中考真题）某工厂生产A 、B 两种型号的扫地机器人．B 型机器人比A 型机器人每小时的清扫面积多50%；清扫2100m 所用的时间A 型机器人比B 型机器人多用40分钟． 两种型号扫地机器人每小时分别清扫多少面积？若设A 型扫地机器人每小时清扫2m x ，根据题意可列方程为（ ） A ．10010020.53x x =+ B ．10021000.53x x += C ．10021003 1.5x x += D ．10010021.53x x =+ 【答案】D【分析】根据清扫100m 2所用的时间A 型机器人比B 型机器人多用40分钟列出方程即可．【详解】解：设A 型扫地机器人每小时清扫x m 2，由题意可得：10010021.53x x =+，故选D ． 【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系． 11．（2021·四川成都市·中考真题）分式方程21133x x x-+=--的解为（ ） A ．2x = B ．2x =-C ．1x =D ．1x =-【答案】A【分析】直接通分运算后，再去分母，将分式方程化为整式方程求解． 【详解】解：21133x x x -+=--，21133x x x --=--，2113x x --=-，213x x --=-，解得：2x =， 检验：当2x =时，32310x -=-=-≠，2x ∴=是分式方程的解，故选：A ．【点睛】本题考查了解分式方程，解题的关键是：去分母化为整式方程求解，最后需要对解进行检验．12．（2021·重庆中考真题）若关于x 的一元一次不等式组()322225x x a x ⎧-≥+⎨-<-⎩的解集为6x ≥，且关于y 的分式方程238211y a y y y+-+=--的解是正整数，则所有满足条件的整数a 的值之和是（ ） A ．5 B ．8C ．12D ．15【答案】B【分析】先计算不等式组的解集，根据“同大取大”原则，得到562a+<解得7a <，再解分式方程得到5=2a y +，根据分式方程的解是正整数，得到5a >-，且5a +是2的倍数，据此解得所有符合条件的整数a 的值，最后求和． 【详解】解：()322225x x a x ⎧-≥+⎨-<-⎩①②解不等式①得，6x ≥，解不等式②得，5+2ax >不等式组的解集为：6x ≥562a+∴<7a ∴< 解分式方程238211y a y y y +-+=--得238211y a y y y +--=--2(38)2(1)y a y y ∴+--=-整理得5=2a y +， 10,y -≠ 则51,2a +≠ 3,a ∴≠- 分式方程的解是正整数，502a +∴>5a ∴>-，且5a +是2的倍数，57a ∴-<<，且5a +是2的倍数，∴整数a 的值为-1, 1, 3, 5, 11358∴-+++=故选：B ．【点睛】本题考查解含参数的一元一次不等式、解分式方程等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．13．（2021·重庆中考真题）关于x 的分式方程331122ax x x x--+=--的解为正数，且使关于y 的一元一次不等式组32122y y y a-⎧≤-⎪⎨⎪+>⎩有解，则所有满足条件的整数a 的值之和是（ ）A ．5-B ．4-C ．3-D ．2-【答案】B【分析】先将分式方程化为整式方程，得到它的解为64x a =+,由它的解为正数，同时结合该分式方程有解即分母不为0，得到40a +>且43a +≠，再由该一元一次不等式组有解，又可以得到20a -<，综合以上结论即可求出a 的取值范围，即可得到其整数解，从而解决问题．【详解】解：331122ax x x x--+=--,两边同时乘以（2x -)，3213ax x x -+-=-,()46a x +=, 由于该分式方程的解为正数，∴64x a =+，其中4043a a +>+≠，;∴4a >-，且1a ≠-；∵关于y 的元一次不等式组32122y y y a -⎧≤-⎪⎨⎪+>⎩①②有解，由①得：0y ≤;由②得：2y a >-;∴20a -<，∴2a <综上可得：42a -<<,且1a ≠-;∴满足条件的所有整数a 为：32,0,1--，；∴它们的和为4-；故选B ． 【点睛】本题涉及到含字母参数的分式方程和含字母参数的一元一次不等式组等内容，考查了解分式方程和解一元一次不等式组等相关知识，要求学生能根据题干中的条件得到字母参数a 的限制不等式，求出a 的取值范围进而求解，本题对学生的分析能力有一定要求，属于较难的计算问题．14．（2020·辽宁朝阳市·中考真题）某体育用品商店出售毽球，有批发和零售两种售卖方式，小明打算为班级购买键球，如果给每个人买一个毽球，就只能按零售价付款，共需80元；如果小明多购买5个毽球，就可以享受批发价，总价是72元．已知按零售价购买40个毽球与按批发价购买50个毽球付款相同，则小明班级共有多少名学生？设班级共有x 名学生，依据题意列方程得（ ） A ．807250405x x ⨯=⨯+ B ．807240505x x ⨯=⨯+ C ．728040505x x ⨯=⨯- D ．728050405x x⨯=⨯- 【答案】B【分析】根据“按零售价购买40个毽球与按批发价购买50个毽球付款相同”建立等量关系，分别找到零售价与批发价即可列出方程．【详解】设班级共有x 名学生，依据题意列方程得，807240505x x ⨯=⨯+故选：B ． 【点睛】本题主要考查列分式方程，读懂题意找到等量关系是解题的关键．15．（2020·四川绵阳市·中考真题）甲、乙二人同驾一辆车出游，各匀速行驶一半路程，共用3小时，到达目的地后，甲对乙说：“我用你所花的时间，可以行驶180km”，乙对甲说：“我用你所花的时间，只能行驶80km”．从他们的交谈中可以判断，乙驾车的时长为（ ） A ．1.2小时 B ．1.6小时C ．1.8小时D ．2小时【答案】C【分析】设乙驾车时长为x 小时，则甲驾车时长为（3﹣x ）小时，根据两人对话可知：甲的速度为180xkm/h ，乙的速度为803x-km/h ，根据“各匀速行驶一半路程”列出方程求解即可． 【详解】解：设乙驾车时长为x 小时，则甲驾车时长为（3﹣x ）小时， 根据两人对话可知：甲的速度为180xkm/h ，乙的速度为803x -km/h ，根据题意得：()1803803x xxx-=-，解得：x 1＝1.8或x 2＝9， 经检验：x 1＝1.8或x 2＝9是原方程的解，x 2＝9不合题意，舍去，故答案为：C ．【点睛】本题考查了分式方程的应用，解决本题的关键是正确理解题意，熟练掌握速度时间和路程之间的关系，找到题意中的等量关系．16．（2020·黑龙江鹤岗市·中考真题）已知关于x 的分式方程433x kx x-=--的解为非正数，则k 的取值范围是（ ） A ．12k ≤- B ．12k -≥C ．12k >-D ．12k <-【答案】A【分析】表示出分式方程的解，由解为非正数得出关于k 的不等式，解出k 的范围即可．【详解】解：方程433x kx x-=--两边同时乘以(3)x -得：4(3)x x k --=-， ∴412x x k -+=-，∴312x k -=--，∴43kx =+，∵解为非正数，∴403k+≤，∴12k ≤-，故选：A ．【点睛】本题考查了分式方程的解及解一元一次不等式，熟练掌握分式方程的解法和一元一次不等式的解法是解题的关键．17．（2020·湖北荆门市·中考真题）已知关于x 的分式方程2322(2)(3)x kx x x +=+--+的解满足41x -<<-，且k 为整数，则符合条件的所有k 值的乘积为（ ） A ．正数 B ．负数C ．零D ．无法确定【答案】A【分析】先解出关于x 的分式方程得到x=63k-，代入41x -<<-求出k 的取值，即可得到k 的值，故可求解．【详解】关于x 的分式方程2322(2)(3)x k x x x +=+--+得x=217k -， ∵41x -<<-∴21471k --<<-解得-7＜k ＜14 ∴整数k 为-6，-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13， 又∵分式方程中x≠2且x≠-3∴k≠35且k≠0∴所有符合条件的k 中，含负整数6个，正整数13个，∴k 值的乘积为正数,故选A ． 【点睛】此题主要考查分式方程与不等式综合，解题的关键是熟知分式方程的求解方法．18．（2020·四川广元市·中考真题）按照如图所示的流程，若输出的=6M -，则输入的m 为（ ）A ．3B ．1C ．0D ．-1【答案】C【分析】根据题目中的程序，利用分类讨论的方法可以分别求得m 的值，从而可以解答本题． 【详解】解：当m 2-2m≥0时，661m =--，解得m=0， 经检验，m=0是原方程的解，并且满足m 2-2m≥0，当m 2-2m ＜0时，m -3=-6，解得m=-3，不满足m 2-2m ＜0，舍去．故输入的m 为0．故选：C ． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．19．（2020·四川成都市·中考真题）已知2x =是分式方程311k x x x -+=-的解，那么实数k 的值为（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】B【分析】将2x =代入原方程，即可求出k 值． 【详解】解：将2x =代入方程311k x x x -+=-中，得231221k +=--解得：4k = ．故选：B ． 【点睛】本题考查了方程解的概念．使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解．“有根必代”是这类题的解题通法．20．（2020·四川遂宁市·中考真题）关于x 的分式方程2mx -﹣32x-＝1有增根，则m 的值（ ） A ．m ＝2 B ．m ＝1C ．m ＝3D ．m ＝﹣3【答案】D【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，确定出m 的值即可． 【详解】解：去分母得：m +3＝x ﹣2，由分式方程有增根，得到x ﹣2＝0，即x ＝2， 把x ＝2代入整式方程得：m +3＝0，解得：m ＝﹣3，故选：D ．【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 21．（2020·浙江金华市·中考真题）分式52x x +-的值是零，则x 的值为（ ） A ．5 B ．5- C ．2-D ．2【答案】B【分析】利用分式值为零的条件可得50x +=，且20x -≠，再解即可． 【详解】解：由题意得：50x +=，且20x -≠，解得：5x =-，故选：B ．【点睛】此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．22．（2020·湖北孝感市·中考真题）已知1x =，1y =，那么代数式()32x xy x x y --的值是（ ）A ．2BC ．4D ．【答案】D【分析】先按照分式四则混合运算法则化简原式，然后将x 、y 的值代入计算即可．【详解】解：()32x xy x x y --=()()()x x y x y x x y +--11D ． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，根据分式四则混合运算法则化简分式是解答本题的关键． 23．（2020·河北中考真题）若ab ，则下列分式化简正确的是（ ）A ．22a ab b+=+B ．22a a b b -=-C ．22a a b b=D ．1212aa b b = 【答案】D【分析】根据a≠b ，可以判断各个选项中的式子是否正确，从而可以解答本题． 【详解】∵a≠b ，∴22a a b b +≠+，选项A 错误；22a ab b-≠-，选项B 错误； 22a a b b ≠，选项C 错误；1212a ab b =，选项D 正确；故选：D ． 【点睛】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法． 24．（2020·贵州贵阳市·中考真题）当1x =时，下列分式没有意义的是（ ）A ．1x x+B ．1x x -C ．1x x-D ．1x x + 【答案】B【分析】由分式有意义的条件分母不能为零判断即可. 【详解】1xx -,当x=1时,分母为零,分式无意义.故选B. 【点睛】本题考查分式有意义的条件,关键在于牢记有意义条件. 25．（2019·河北中考真题）如图，若x 为正整数，则表示()2221441x x x x +-+++的值的点落在（ ）A ．段①B ．段②C ．段③D ．段④【答案】B【分析】将所给分式的分母配方化简，再利用分式加减法化简，据x 为正整数，从所给图中可得正确答案．【详解】解∵2222(2)1(2)1441(2)1x x x x x x x ++-=-=+++++1111xx x -=++．又∵x 为正整数，∴121x x ≤+＜1，故表示22(2)1441x x x x +-+++的值的点落在②．故选B ． 【点睛】本题考查了分式的化简及分式加减运算，同时考查了分式值的估算，总体难度中等．26．（2019·湖南娄底市·中考真题）2018年8月31日，华为正式发布了全新一代自研手机SoC 麒麟980，这款号称六项全球第一的芯片，随着华为Mate 20系列、荣耀Magic 2相继搭载上市，它的强劲性能、出色能效比、卓越智慧、顶尖通信能力，以及为手机用户带来的更强大、更丰富、更智慧的使用体用，再次被市场和消费者所认可．麒麟980是全球首颗()97110nm nm m -=手机芯片．7nm 用科学记数法表示为( ) A ．8710m -⨯ B ．9710m -⨯C ．80.710m -⨯D ．10710m -⨯【答案】B【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】7nm 用科学记数法表示为9710m -⨯．故选B ．【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n ，其中1≤|a|＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．27．（2019·湖北孝感市·中考真题）已知二元一次方程组1249x y x y +=⎧⎨+=⎩，则22222x xy y x y -+-的值是（ ） A ．5- B ．5C ．6-D ．6【答案】C【分析】解方程组求出x 、y 的值，对所求式子进行化简，然后把x 、y 的值代入进行计算即可. 【详解】1249x y x y +=⎧⎨+=⎩①②，2②-①×得，27y =，解得72y =，把72y =代入①得，712x +=，解得52x =-， ∴222222()()()x xy y x y x y x y x y -+-=-+-572261x y x y ---===-+，故选C. 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，分式化简求值，正确掌握相关的解题方法是关键. 28．（2019·北京中考真题）如果1m n +=，那么代数式()22221m n m n m mn m +⎛⎫+⋅- ⎪-⎝⎭的值为（ ） A ．-3B ．-1C ．1D ．3【答案】D【分析】原式化简后，约分得到最简结果，把已知等式代入计算即可求出值． 【详解】解：原式=()22221m n m n m mn m +⎛⎫+⋅-⎪-⎝⎭2()()()()m n m n m n m n m m n m m n ⎡⎤+-=+⋅+-⎢⎥--⎣⎦ 3()()3()()mm n m n m n m m n =⋅+-=+-1m n +=∴原式=3，故选D.【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．29．（2019·四川中考真题）一辆货车送上山，并按原路下山．上山速度为a 千米/时，下山速度为b 千米/时．则货车上、下山的平均速度为（ ）千米/时． A ．1()2a b + B ．aba b+ C ．2a bab+ D ．2aba b+ 【答案】D【分析】平均速度＝总路程÷总时间，设单程的路程为s ，表示出上山下山的总时间，把相关数值代入化简即可．【详解】解：设上山的路程为x 千米，则上山的时间x a 小时，下山的时间为xb小时， 则上、下山的平均速度22xabxxa b ab=++千米/时．故选D ．【点睛】本题考查了列代数式以及分式的化简，得到平均速度的等量关系是解决本题的关键，得到总时间的代数式是解决本题的突破点．30．（2019·湖南益阳市·中考真题）解分式方程232112x x x+=--时，去分母化为一元一次方程，正确的是( ) A ．x+2＝3 B ．x ﹣2＝3 C ．x ﹣2＝3(2x ﹣1) D ．x+2＝3(2x ﹣1)【答案】C【分析】最简公分母是2x ﹣1，方程两边都乘以(2x ﹣1)，即可把分式方程便可转化成一元一次方程． 【详解】方程两边都乘以(2x ﹣1)，得x ﹣2＝3(2x ﹣1)，故选C ．【点睛】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．31．（2019·广东中考真题）定义一种新运算：1an n n bn xdx a b -⋅=-⎰，例如：222khxdx k h ⋅=-⎰，若m252mx dx --=-⎰，则m =（ ）A ．-2B ．25-C ．2D ．25【答案】B【分析】根据新定义运算得到一个分式方程，求解即可.【详解】根据题意得，5211m11(5)25m x dx m m m m---⎰-=-=-=-，则25m =-，经检验，25m =-是方程的解，故选B. 【点睛】此题考查了解分式方程，弄清题中的新定义是解本题的关键． 二、填空题32．（2021·四川资阳市·中考真题）若210x x +-=，则33x x-=_________． 【答案】3【分析】先由210x x +-=可得21x x -=，再运用分式的减法计算33x x-，然后变形将21x x -=代入即可解答．【详解】解：∵210x x +-=∴21x x -=∴()2231333333x x x x x x x x---====．故填：3． 【点睛】本题主要考查了代数式的求值、分式的减法等知识点，灵活对等式进行变形成为解答本题的关键．33．（2021·四川南充市·中考真题）若3n m n m +=-，则2222m n n m+=_________ 【答案】174【分析】先根据3n m n m +=-得出m 与n 的关系式，代入2222m n n m+化简即可； 【详解】解：∵3n mn m+=-，∴()3n m n m +=-，∴2n m =， ∴22222222417+=44m n m m n m m m +=故答案为：174 【点睛】本题考查了分式的混合运算，得出2n m =是解决本题的关键．34．（2021·四川达州市·中考真题）若分式方程22411x a x ax x --+-=-+的解为整数，则整数a =___________． 【答案】±1【分析】直接移项后通分合并同类项，化简、用a 来表示x ，再根据解为整数来确定a 的值． 【详解】解：22411x a x a x x --+-=-+，22411x a x ax x --+-=-+ (2)(1)(2)(1)4(1)(1)x a x a x x x x -+---=-+整理得：2x a=若分式方程22411x a x ax x --+-=-+的解为整数， a 为整数，当1a =±时，解得：2x =±，经检验：10,10x x -≠+≠成立；当2a =±时，解得：1x =±，经检验：分母为0没有意义，故舍去； 综上:1a =±，故答案是：±1．【点睛】本题考查了分式方程，解题的关键是：化简分式方程，最终用a 来表示x ，再根据解为整数来确定a 的值，易错点，容易忽略对根的检验．35．（2021·湖南常德市·中考真题）分式方程1121(1)x x x x x ++=--的解为__________． 【答案】3x =【分析】直接利用通分，移项、去分母、求出x 后，再检验即可．【详解】解：1121(1)x x x x x ++=--通分得：212(1)(1)x x x x x x -+=--，移项得：()301x x x -=-， 30x ∴-=，解得：3x =，经检验，3x =时，(1)60x x -=≠，∴3x =是分式方程的解，故答案是：3x =． 【点睛】本题考查了对分式分式方程的求解，解题的关键是：熟悉通分，移项、去分母等运算步骤，易错点，容易忽略对根进行检验．36．（2021·湖南衡阳市·中考真题）“绿水青山就是金山银山”．某地为美化环境，计划种植树木6000棵．由于志愿者的加入，实际每天植树的棵树比原计划增加了25%，结果提前3天完成任务．则实际每天植树__________棵． 【答案】500【分析】设原计划每天植树x 棵，则实际每天植树()125%x +，根据工作时间=工作总量÷工作效率，结合实际比原计划提前3天完成，准确列出关于x 的分式方程进行求解即可．【详解】解：设原计划每天植树x 棵，则实际每天植树()125%x +，6000600031.25x x-=，400x =，经检验，400x =是原方程的解， ∴实际每天植树400 1.25500⨯=棵，故答案是：500．【点睛】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，准确列出分式方程． 37．（2021·四川凉山彝族自治州·中考真题）若关于x 的分式方程2311x mx x-=--的解为正数，则m 的取值范围是_________． 【答案】m ＞-3且m ≠-2【分析】先利用m 表示出x 的值，再由x 为正数求出m 的取值范围即可． 【详解】解：方程两边同时乘以x -1得，()231x x m --=-，解得3x m =+， ∵x 为正数，∴m +3＞0，解得m ＞-3．∵x ≠1，∴m +3≠1，即m ≠-2． ∴m 的取值范围是m ＞-3且m ≠-2．故答案为：m ＞-3且m ≠-2．【点睛】本题考查的是分式方程的解，熟知求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解是解答此题的关键． 38．（2020·内蒙古呼和浩特市·中考真题）分式22x x -与282x x-的最简公分母是_______，方程228122-=--x x x x的解是____________． 【答案】()2x x - x=-4【分析】根据最简公分母的定义得出结果，再解分式方程，检验，得解． 【详解】解：∵()222x x x x -=-，∴分式22x x -与282x x -的最简公分母是()2x x -， 方程228122-=--x x x x，去分母得：()2282x x x -=-，去括号得：22282x x x -=-， 移项合并得：2280x x +-=，变形得：()()240x x -+=，解得：x=2或-4，∵当x=2时，()2x x -=0，当x=-4时，()2x x -≠0，∴x=2是增根，∴方程的解为：x=-4． 【点睛】本题考查了最简公分母和解分式方程，解题的关键是掌握分式方程的解法． 39．（2020·山东潍坊市·中考真题）若关于x 的分式方程33122x m x x +-=--有增根，则m 的值为_____. 【答案】3【分析】把分式方程化为整式方程，进而把可能的增根代入，可得m 的值．【详解】去分母得3x -(x -2)=m+3，当增根为x=2时，6=m+3 ∴m=3．故答案为3．【点睛】考查分式方程的增根问题；增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 40．（2020·湖北黄冈市·中考真题）计算：221yx x y x y ⎛⎫÷- ⎪-+⎝⎭的结果是____________． 【答案】1x y- 【分析】先计算括号内分式的减法、将被除式分母因式分解，再将除法转化为乘法，最后约分即可得．【详解】解：221yx x y x y ⎛⎫÷- ⎪-+⎝⎭()()y x y x x y x y x y x y ⎛⎫+=÷- ⎪+-++⎝⎭()()y y x y x y x y=÷+-+()()yx y x y x y y +=⋅+-1x y=-，故答案为：1x y -． 【点睛】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 41．（2020·山东滨州市·中考真题）观察下列各式：1234523101526,,,,,357911a a a a a =====， 根据其中的规律可得n a =________（用含n 的式子表示）．【答案】()12121n n n ++-+【分析】观察发现，每一项都是一个分数，分母依次为3、5、7，…，那么第n 项的分母是2n+1；分子依次为2，3，10，15，26，…，变化规律为：奇数项的分子是n 2+1，偶数项的分子是n 2-1，即第n 项的分子是n 2+（-1）n+1；依此即可求解．【详解】解：由分析得21(1)21n n n a n ++-=+，故答案为：21(1)21n n n a n ++-=+ 【点睛】本题考查学生通过观察、归纳、抽象出数列的规律的能力，要求学生首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案．42．（2020·山东济宁市·中考真题）已知m+n=-3.则分式222m n m n n m m ⎛⎫+--÷- ⎪⎝⎭的值是____________． 【答案】1m n -+，13【分析】先计算括号内的，再将除法转化为乘法，最后将m+n=-3代入即可.【详解】解：原式=222m n m n mn m m ⎛⎫+---÷ ⎪⎝⎭=222m n m n mn m m ⎛⎫+---÷ ⎪⎝⎭=()2m n m n m m ⎡⎤++÷-⎢⎥⎢⎥⎣⎦=()2m n m m m n ⎡⎤+⨯-⎢⎥+⎢⎥⎣⎦=1m n -+，∵m+n=-3，代入，原式=13. 【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的运算法则.43．（2019·江西中考真题）斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段A B C --横穿双向行驶车道，其中6AB BC ==米，在绿灯亮时，小明共用11秒通过AC ，其中通过BC 的速度是通过AB 速度的1.2倍，求小明通过AB 时的速度．设小明通过AB 时的速度是x 米/秒，根据题意列方程得：_____________________．【答案】66111.2x x+= 【分析】设小明通过AB 时的速度是x 米/秒，根据题意列出分式方程解答即可． 【详解】解：设小明通过AB 时的速度是x 米/秒，可得：66111.2x x +=，故答案为66111.2x x+=， 【点睛】此题考查由实际问题抽象分式方程，关键是根据题意列出分式方程解答．三、解答题44．（2021·湖北随州市·中考真题）先化简，再求值：2141122x x x -⎛⎫+÷⎪++⎝⎭，其中1x =． 【答案】22x -，-2 【分析】（1）先把括号里通分合并，括号外的式子进行因式分解，再约分，将x=1代入计算即可． 【详解】解：原式()()()21221222x x x x x x ++=⋅=++-- 当1x =时，原式2212==-- 【点睛】本题考查了分式的化简求值，用到的知识是约分、分式的加减，熟练掌握法则是解题的关键．45．（2021·山东菏泽市·中考真题）先化简，再求值：22221244m n n m m n m mn n--+÷--+，其中m ，n 满足32m n =-． 【答案】3nm n+;-6. 【分析】先变除法为乘法,后因式分解,化简计算,后变形32nm =-代入求值即可【详解】∵22221244m n n m m n m mn n--+÷--+=2(2)12()()m n m n m n n m n m --+⨯--+=21m n n m --+=3n m n +, ∵32m n =-,∴32nm =-,∴原式=332nn n -+= -6． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的基本顺序，基本计算方法是解题的关键． 46．（2021·湖北宜昌市·中考真题）先化简，再求值：2211111x x x ÷--+-，从1，2，3这三个数中选择一个你认为适合的x 代入求值． 【答案】11x -，1或12【分析】先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的x 的值代入计算即可． 【详解】解：原式21(1)(1)(1)1x x x x =⋅+--+-11x =-．∵x 2﹣1≠0，∴当2x =时，原式1=．或当3x =时，原式12=．（选择一种情况即可） 【点睛】本题考查了分式的化简求值，要了解使分式有意义的条件，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．47．（2021·四川达州市·中考真题）化简求值：231041244a a a a a --⎛⎫⎛⎫-÷ ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭，其中a 与2，3构成三角形的三边，且a 为整数． 【答案】24a -+，-2【分析】先根据分式的混合运算法则进行化简，再根据三角形三边关系确定a 的取值范围，把不合题意的a 的值舍去，最后代入求值即可求解．【详解】解：原式()22231024a a a a a ---+=⋅--()()224224a a a a ---=⋅--24a =-+； ∵2，3，a 为三角形的三边，∴3232a -<<+，∴15a <<，∵a 为整数，∴2a =，3或4，由原分式得20a -≠，40a -≠，∴2a ≠且4a ≠，∴3a =， ∴原式=242342a -+=-⨯+=-．【点睛】本题考查了分式的化简求值，正确进行分式的化简是解题关键，在把a 的值代入求值是要注意所求的a 的值保证原分式有意义．48．（2021·湖南株洲市·中考真题）先化简，再求值：2223142x x x x ⎛⎫⋅-- ⎪-+⎝⎭，其中2x =． 【答案】12x -+，2-【分析】先对分式进行化简，然后根据二次根式的运算进行求值即可．【详解】解：原式=()()223231222222x x x x x x x x x -⋅-=-=-+++-++，把2x =代入得：原式=2=-． 【点睛】本题主要考查分式的化简求值及二次根式的运算，熟练掌握分式的化简求值及二次根式的运算是解题的关键．49．（2021·四川成都市·中考真题）先化简，再求值：2269111a a a a ++⎛⎫+÷⎪++⎝⎭，其中3=a ． 【答案】13a +【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x 的值代入计算即可求出值．【详解】解：2269111a a a a ++⎛⎫+÷ ⎪++⎝⎭212(3)111a a a a a ++⎛⎫=+÷ ⎪+++⎝⎭2311(3)a a a a ++=⋅++13a =+，当3=a时，原式=== 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，二次根式的混合运算，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．50．（2021·四川资阳市·中考真题）先化简，再求值：222211111x x x x x x ⎛⎫++-÷ ⎪---⎝⎭，其中30x -=． 【答案】原式=13． 【分析】利用分式的混合运算法则进行化简，再将3x =代入原式，即可求解．【详解】解：原式=()()()22111111x x x x x x ⎡⎤+--⋅⎢⎥+--⎢⎥⎣⎦=211111x x x x x +-⎛⎫-⋅ ⎪--⎝⎭=211x x x x -⋅-=1x303x x -=∴= 将3x =代入原式，原式=13．【点睛】本题主要考查分式的混合运算．需要掌握分式的混合运算法则、完全平方公式、平方差公式、同分母分式相加减等相关知识．进行分式的混合运算时，要细心． 51．（2021·四川凉山彝族自治州·中考真题）已知112,1x y x y-=-=，求22x y xy -的值． 【答案】-4【分析】根据已知求出xy =-2，再将所求式子变形为()xy x y -，代入计算即可． 【详解】解：∵2x y -=，∴1121y x x y xy xy---===，∴2xy =-， ∴()()22224xy x x y xy y ==---⨯=-．【点睛】本题考查了代数式求值，解题的关键是掌握分式的运算法则和因式分解的应用．52．（2021·四川遂宁市·中考真题）先化简，再求值：322293443m m m m m m -⎛⎫÷++ ⎪-+-⎝⎭，其中m 是已知两边分别为2和3的三角形的第三边长，且m 是整数． 【答案】32m m --；12【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，利用三角形三边的关系，求得m 的值，代入计算即可求出值．【详解】解：322293443m m m m m m -⎛⎫÷++ ⎪-+-⎝⎭222(2)99(2)33m m m m m m ⎛⎫--÷+ ⎪---⎝⎭= 2223m m m m ÷--=2232m m m m-⋅-=32m m --=， ∵m 是已知两边分别为2和3的三角形的第三边长，∴3-2＜m ＜3+2，即1＜m ＜5， ∵m 为整数，∴m =2、3、4，又∵m ≠0、2、3∴m =4，∴原式=431422-=-． 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值以及三角形三边的关系，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．53．（2021·江苏连云港市·中考真题）解方程：214111x x x +-=--． 【答案】无解。

湖南省2019年、2020年数学中考试题分类（9）——图形初步认识与三角形一．选择题（共17小题）1．（2020•衡阳）下列不是三棱柱展开图的是( )A ．B ．C ．D ．2．（2019•益阳）下列几何体中，其侧面展开图为扇形的是( )A ．B ．C ．D ．3．（2020•娄底）如图，将直尺与三角尺叠放在一起，如果128∠=︒，那么2∠的度数为( )A ．62︒B ．56︒C ．28︒D ．72︒4．（2020•邵阳）将一张矩形纸片ABCD 按如图所示操作：（1）将DA 沿DP 向内折叠，使点A 落在点1A 处， （2）将DP 沿1DA 向内继续折叠，使点P 落在点1P 处，折痕与边AB 交于点M ．若1PM AB ⊥，则1DPM ∠的大小是( )A ．135︒B ．120︒C ．112.5︒D ．115︒5．（2020•郴州）如图，直线a ，b 被直线c ，d 所截．下列条件能判定//a b 的是( )A ．13∠=∠B ．24180∠+∠=︒C ．45∠=∠D ．12∠=∠6．（2020•岳阳）如图，DA AB ⊥，CD DA ⊥，56B ∠=︒，则C ∠的度数是( )A ．154︒B ．144︒C ．134︒D ．124︒7．（2020•怀化）如图，已知直线a ，b 被直线c 所截，且//a b ，若40α∠=︒，则β∠的度数为( )A ．140︒B ．50︒C ．60︒D ．40︒8．（2020•常德）如图，已知//AB DE ，130∠=︒，235∠=︒，则BCE ∠的度数为( )A ．70︒B ．65︒C ．35︒D ．5︒9．（2019•岳阳）如图，已知BE 平分ABC ∠，且//BE DC ，若50ABC ∠=︒，则C ∠的度数是( )A ．20︒B ．25︒C ．30︒D ．50︒10．（2019•衡阳）如图，已知//AB CD ，AF 交CD 于点E ，且BE AF ⊥，40BED ∠=︒，则A ∠的度数是( )A ．40︒B ．50︒C ．80︒D ．90︒11．（2019•长沙）如图，平行线AB ，CD 被直线AE 所截，180∠=︒，则2∠的度数是( )A ．80︒B ．90︒C ．100︒D ．110︒12．（2020•永州）如图，已知AB DC =，ABC DCB ∠=∠，能直接判断ABC DCB ∆≅∆的方法是( )A ．SASB ．AASC ．SSSD ．ASA13．（2020•益阳）如图，在ABC ∆中，AC 的垂直平分线交AB 于点D ，CD 平分ACB ∠，若50A ∠=︒，则B ∠的度数为( )A ．25︒B ．30︒C ．35︒D ．40︒14．（2020•怀化）在Rt ABC ∆中，90B ∠=︒，AD 平分BAC ∠，交BC 于点D ，DE AC ⊥，垂足为点E ，若3BD =，则DE 的长为( )A ．3B ．32C ．2D ．6 15．如图，ACD ∠是ABC ∆的外角，若110ACD ∠=︒，50B ∠=︒，则(A ∠= )A ．40︒B ．50︒C ．55︒D ．60︒16．如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，8AC =，13DC AD =，BD 平分ABC ∠，则点D 到AB 的距离等于( )A ．4B ．3C ．2D ．117．（2019•益阳）已知M 、N 是线段AB 上的两点，2AM MN ==，1NB =，以点A 为圆心，AN 长为半径画弧；再以点B 为圆心，BM 长为半径画弧，两弧交于点C ，连接AC ，BC ，则ABC ∆一定是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形二．填空题（共20小题）18．（2020•永州）已知直线//a b ，用一块含30︒角的直角三角板按图中所示的方式放置，若125∠=︒，则2∠= ．19．（2020•益阳）如图，//AB CD ，AB AE ⊥，42CAE ∠=︒，则ACD ∠的度数为 ．20．（2020•湘西州）如图，直线//AE BC ，BA AC ⊥，若54ABC ∠=︒，则EAC ∠= 度．21．（2020•衡阳）一副三角板如图摆放，且//AB CD ，则1∠的度数为 ．22．（2019•娄底）如图，//AB CD ，//AC BD ，128∠=︒，则2∠的度数为 ．23．（2019•益阳）如图，直线//AB CD ，OA OB ⊥，若1142∠=︒，则2∠= 度．24．（2019•张家界）已知直线//a b ，将一块含30︒角的直角三角板ABC 按如图所示方式放置(30)BAC ∠=︒，并且顶点A ，C 分别落在直线a ，b 上，若118∠=︒，则2∠的度数是 ．25．（2020•娄底）由4个直角边长分别为a ，b 的直角三角形围成的“赵爽弦图”如图所示，根据大正方形的面积2c 等于小正方形的面积2()a b -与4个直角三角形的面积2ab 的和证明了勾股定理222a b c +=，还可以用来证明结论：若0a >、0b >且22a b +为定值，则当a b 时，ab 取得最大值．26．（2020•岳阳）如图，在Rt ABC ∆中，CD 是斜边AB 上的中线，20A ∠=︒，则BCD ∠= ︒．27．（2020•株洲）如图所示，点D 、E 分别是ABC ∆的边AB 、AC 的中点，连接BE ，过点C 作//CF BE ，交DE 的延长线于点F ，若3EF =，则DE 的长为 ．28．（2020•湘潭）如图，点P 是AOC ∠的角平分线上一点，PD OA ⊥，垂足为点D ，且3PD =，点M 是射线OC 上一动点，则PM 的最小值为 ．29．（2020•怀化）如图，在ABC ∆和ADC ∆中，AB AD =，BC DC =，130B ∠=︒，则D ∠= ︒．30．（2019•永州）已知60AOB ∠=︒，OC 是AOB ∠的平分线，点D 为OC 上一点，过D 作直线DE OA ⊥，垂足为点E ，且直线DE 交OB 于点F ，如图所示．若2DE =，则DF = ．31．（2019•永州）如图，已知点F 是ABC ∆的重心，连接BF 并延长，交AC 于点E ，连接CF 并延长，交AB于点D ，过点F 作//FG BC ，交AC 于点G ．设三角形EFG ，四边形FBCG 的面积分别为1S ，2S ，则12:S S = ．32．（2019•邵阳）公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”．如图，设勾6a =，弦10c =，则小正方形ABCD 的面积是 ．33．（2019•邵阳）如图，已知AD AE =，请你添加一个条件，使得ADC AEB ∆≅∆，你添加的条件是 ．（不添加任何字母和辅助线）34．（2019•株洲）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，在直线1x =处放置反光镜Ⅰ，在y 轴处放置一个有缺口的挡板Ⅱ，缺口为线段AB ，其中点(0,1)A ，点B 在点A 上方，且1AB =，在直线1x =-处放置一个挡板Ⅲ，从点O 发出的光线经反光镜Ⅰ反射后，通过缺口AB 照射在挡板Ⅲ上，则落在挡板Ⅲ上的光线的长度为 ．35．（2019•株洲）如图所示，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CM 是斜边AB 上的中线，E 、F 分别为MB 、BC 的中点，若1EF =，则AB = ．36．（2019•怀化）若等腰三角形的一个底角为72︒，则这个等腰三角形的顶角为 ．37．（2019•长沙）如图，要测量池塘两岸相对的A ，B 两点间的距离，可以在池塘外选一点C ，连接AC ，BC ，分别取AC ，BC 的中点D ，E ，测得50DE m =，则AB 的长是 m ．三．解答题（共3小题）38．（2020•衡阳）如图，在ABC ∆中，B C ∠=∠，过BC 的中点D 作DE AB ⊥，DF AC ⊥，垂足分别为点E 、F ．（1）求证：DE DF =；（2）若40BDE ∠=︒，求BAC ∠的度数．39．（2020•常德）已知D 是Rt ABC ∆斜边AB 的中点，90ACB ∠=︒，30ABC ∠=︒，过点D 作Rt DEF ∆使90DEF ∠=︒，30DFE ∠=︒，连接CE 并延长CE 到P ，使EP CE =，连接BE ，FP ，BP ，设BC 与DE 交于M ，PB 与EF 交于N ．（1）如图1，当D ，B ，F 共线时，求证：①EB EP =；②30EFP ∠=︒；（2）如图2，当D ，B ，F 不共线时，连接BF ，求证：30BFD EFP ∠+∠=︒．40．（2019•益阳）已知，如图，AB AE=，//∠=︒，求证：ABC EADD∆≅∆．ECBAB DE，70∠=︒，110湖南省2019年、2020年数学中考试题分类（9）——图形初步认识与三角形一．选择题（共17小题）1．（2020•衡阳）下列不是三棱柱展开图的是()A．B．C．D．【解答】解：A、C、D中间三个长方形能围成三棱柱的侧面，上、下两个三角形围成三棱柱的上、下两底面，故均能围成三棱柱，均是三棱柱的表面展开图．B围成三棱柱时，两个三角形重合为同一底面，而另一底面没有．故B不能围成三棱柱．故选：B．2．（2019•益阳）下列几何体中，其侧面展开图为扇形的是()A．B．C．D．【解答】解：A、圆柱的侧面展开图是矩形，故A错误；B、三棱柱的侧面展开图是矩形，故B错误；C、圆锥的侧面展开图是扇形，故C正确；D、三棱锥的侧面展开图是三个三角形组成的图形，故D错误．故选：C．3．（2020•娄底）如图，将直尺与三角尺叠放在一起，如果128∠的度数为()∠=︒，那么2A．62︒B．56︒C．28︒D．72︒【解答】解：如图，标注字母，由题意可得：90BAC ∠=︒，162DAC BAC ∠=∠-∠=︒，//EF AD ，262DAC ∴∠=∠=︒，故选：A ．4．（2020•邵阳）将一张矩形纸片ABCD 按如图所示操作：（1）将DA 沿DP 向内折叠，使点A 落在点1A 处，（2）将DP 沿1DA 向内继续折叠，使点P 落在点1P 处，折痕与边AB 交于点M ．若1PM AB ⊥，则1DPM ∠的大小是( )A ．135︒B ．120︒C ．112.5︒D ．115︒【解答】解：折叠，且190PMA ∠=︒， 145DMP DMA ∴∠=∠=︒，即45ADM ∠=︒，折叠，1122.52MDP ADP PDM ADM ∴∠=∠=∠=∠=︒， ∴在△1DPM 中，11804522.5112.5DPM ∠=︒-︒-︒=︒， 故选：C ．5．（2020•郴州）如图，直线a ，b 被直线c ，d 所截．下列条件能判定//a b 的是( )A ．13∠=∠B ．24180∠+∠=︒C ．45∠=∠D ．12∠=∠ 【解答】解：A 、当13∠=∠时，//c d ，故此选项不合题意； B 、当24180∠+∠=︒时，//c d ，故此选项不合题意； C 、当45∠=∠时，//c d ，故此选项不合题意； D 、当12∠=∠时，//a b ，故此选项符合题意； 故选：D ． 6．（2020•岳阳）如图，DA AB ⊥，CD DA ⊥，56B ∠=︒，则C ∠的度数是( )A ．154︒B ．144︒C ．134︒D ．124︒ 【解答】解：DA AB ⊥，CD DA ⊥， 90A D ∴∠=∠=︒， 180A D ∴∠+∠=︒， //AB CD ∴，180B C ∴∠+∠=︒， 56B ∠=︒，180124C B ∴∠=︒-∠=︒， 故选：D ． 7．（2020•怀化）如图，已知直线a ，b 被直线c 所截，且//a b ，若40α∠=︒，则β∠的度数为( )A ．140︒B ．50︒C ．60︒D ．40︒【解答】解：40α∠=︒， 140α∴∠=∠=︒， //a b ，140β∴∠=∠=︒． 故选：D ．8．（2020•常德）如图，已知//AB DE ，130∠=︒，235∠=︒，则BCE ∠的度数为( )A ．70︒B ．65︒C ．35︒D ．5︒【解答】解：作//CF AB ， //AB DE ， //CF DE ∴，////AB DE CF ∴，1BCF ∴∠=∠，2FCE ∠=∠， 130∠=︒，235∠=︒，30BCF ∴∠=︒，35FCE ∠=︒， 65BCE ∴∠=︒， 故选：B ．9．（2019•岳阳）如图，已知BE 平分ABC ∠，且//BE DC ，若50ABC ∠=︒，则C ∠的度数是( )A ．20︒B ．25︒C ．30︒D ．50︒ 【解答】解：BE 平分ABC ∠，50ABC ∠=︒， 25ABE EBC ∴∠=∠=︒， //BE DC ，25EBC C ∴∠=∠=︒． 故选：B ． 10．（2019•衡阳）如图，已知//AB CD ，AF 交CD 于点E ，且BE AF ⊥，40BED ∠=︒，则A ∠的度数是( )A ．40︒B ．50︒C ．80︒D ．90︒ 【解答】解：BE AF ⊥，40BED ∠=︒， 9050FED BED ∴∠=︒-∠=︒， //AB CD ，50A FED ∴∠=∠=︒． 故选：B ． 11．（2019•长沙）如图，平行线AB ，CD 被直线AE 所截，180∠=︒，则2∠的度数是( )A ．80︒B ．90︒C ．100︒D ．110︒【解答】解：180∠=︒， 3100∴∠=︒，//AB CD，23100∴∠=∠=︒．故选：C．12．（2020•永州）如图，已知AB DC=，ABC DCB∠=∠，能直接判断ABC DCB∆≅∆的方法是()A．SAS B．AAS C．SSS D．ASA【解答】解：AB DC=，ABC DCB∠=∠，BC CB=，()ABC DCB SAS∴∆≅∆，故选：A．13．（2020•益阳）如图，在ABC∆中，AC的垂直平分线交AB于点D，CD平分ACB∠，若50A∠=︒，则B∠的度数为()A．25︒B．30︒C．35︒D．40︒【解答】解：DE垂直平分AC，AD CD∴=，A ACD∴∠=∠又CD平分ACB∠，2100ACB ACD∴∠=∠=︒，1801805010030B A ACB∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，故选：B．14．（2020•怀化）在Rt ABC∆中，90B∠=︒，AD平分BAC∠，交BC于点D，DE AC⊥，垂足为点E，若3BD=，则DE的长为()A．3B．32C．2D．6【解答】解：90B∠=︒，DB AB∴⊥，又AD平分BAC∠，DE AC⊥，3DE BD∴==，故选：A．15．如图，ACD ∠是ABC ∆的外角，若110ACD ∠=︒，50B ∠=︒，则(A ∠= )A ．40︒B ．50︒C ．55︒D ．60︒【解答】解：ACD ∠是ABC ∆的外角， ACD B A ∴∠=∠+∠， A ACD B ∴∠=∠-∠，110ACD ∠=︒，50B ∠=︒， 60A ∴∠=︒， 故选：D ．16．如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，8AC =，13DC AD =，BD 平分ABC ∠，则点D 到AB 的距离等于( )A ．4B ．3C ．2D ．1【解答】解：如图，过点D 作DE AB ⊥于E ，8AC =，13DC AD =，18213CD ∴=⨯=+，90C ∠=︒，BD 平分ABC ∠， 2DE CD ∴==，即点D 到AB 的距离为2． 故选：C ．17．（2019•益阳）已知M 、N 是线段AB 上的两点，2AM MN ==，1NB =，以点A 为圆心，AN 长为半径画弧；再以点B 为圆心，BM 长为半径画弧，两弧交于点C ，连接AC ，BC ，则ABC ∆一定是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形 【解答】解：如图所示，4AC AN ==，3BC BM ==，2215AB =++=， 222AC BC AB ∴+=，ABC ∴∆是直角三角形，且90ACB ∠=︒， 故选：B ．二．填空题（共20小题） 18．（2020•永州）已知直线//a b ，用一块含30︒角的直角三角板按图中所示的方式放置，若125∠=︒，则2∠= 35︒ ．【解答】解：过点B 作//EF a ． //a b ，////EF a b ∴．1ABF ∴∠=∠，2FBC ∠=∠．ABC ∆是含30︒角的直角三角形， 60ABC ∴∠=︒．60ABF CBF ∠+∠=︒， 2602535∴∠=︒-=︒． 故答案为：35︒．19．（2020•益阳）如图，//AB CD ，AB AE ⊥，42CAE ∠=︒，则ACD ∠的度数为 132︒ ．【解答】解：AB AE ⊥，42CAE ∠=︒， 904248BAC ∴∠=︒-︒=︒， //AB CD ，180BAC ACD ∴∠+∠=︒， 132ACD ∴∠=︒． 故答案为：132︒． 20．（2020•湘西州）如图，直线//AE BC ，BA AC ⊥，若54ABC ∠=︒，则EAC ∠= 36 度．【解答】解：BA AC ⊥， 90BAC ∴∠=︒， 54ABC ∠=︒，905436C ∴∠=︒-︒=︒， //AE BC ，36EAC C ∴∠=∠=︒， 故答案为：36． 21．（2020•衡阳）一副三角板如图摆放，且//AB CD ，则1∠的度数为 105︒ ．【解答】解：如图，//AB CD ，45D ∠=︒， 245D ∴∠=∠=︒．123∠=∠+∠，360∠=︒，1234560105∴∠=∠+∠=︒+︒=︒． 故答案是：105︒．22．（2019•娄底）如图，//AB CD ，//AC BD ，128∠=︒，则2∠的度数为 28︒ ．【解答】解：//AC BD ，1A ∴∠=∠， //AB CD ， 2A ∴∠=∠，2128∴∠=∠=︒， 故答案为：28︒． 23．（2019•益阳）如图，直线//AB CD ，OA OB ⊥，若1142∠=︒，则2∠= 52 度．【解答】解：//AB CD ，32∴∠=∠， OA OB ⊥， 90O ∴∠=︒，13142O ∠=∠+∠=︒，211429052O ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，故答案为：52． 24．（2019•张家界）已知直线//a b ，将一块含30︒角的直角三角板ABC 按如图所示方式放置(30)BAC ∠=︒，并且顶点A ，C 分别落在直线a ，b 上，若118∠=︒，则2∠的度数是 48︒ ．【解答】解：//a b ，21183048CAB ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒， 故答案为：48︒ 25．（2020•娄底）由4个直角边长分别为a ，b 的直角三角形围成的“赵爽弦图”如图所示，根据大正方形的面积2c 等于小正方形的面积2()a b -与4个直角三角形的面积2ab 的和证明了勾股定理222a b c +=，还可以用来证明结论：若0a >、0b >且22a b +为定值，则当a = b 时，ab 取得最大值．【解答】解：如图，作斜边c 上高h ，2()0a b -，2220a b ab ∴+-，又222a b c +=，22a b +为定值，22c ab ∴， ab ∴最大值为22c ，a ，b 为直角边的直角三角形面积1122a b c h ==，∴22c c h =， 2c h ∴=，等腰直角三角形斜边上的高是斜边的一半，∴当a b =时，2ch =，故答案为：=． 26．（2020•岳阳）如图，在Rt ABC ∆中，CD 是斜边AB 上的中线，20A ∠=︒，则BCD ∠= 70 ︒．【解答】解：在Rt ABC ∆中，CD 是斜边AB 上的中线，20A ∠=︒，则70B ∠=︒，90ACB∠=︒，CD是斜边AB上的中线，BD CD AD∴==，70BCD B∴∠=∠=︒，故答案为70．27．（2020•株洲）如图所示，点D、E分别是ABC∆的边AB、AC的中点，连接BE，过点C作//CF BE，交DE的延长线于点F，若3EF=，则DE的长为32．【解答】解：D、E分别是ABC∆的边AB、AC的中点，DE∴为ABC∆的中位线，//DE BC ∴，12DE BC=，//CF BE，∴四边形BCFE为平行四边形，3BC EF∴==，∴1322 DE BC==．故答案为：32．28．（2020•湘潭）如图，点P是AOC∠的角平分线上一点，PD OA⊥，垂足为点D，且3PD=，点M是射线OC上一动点，则PM的最小值为3．【解答】解：根据垂线段最短可知：当PM OC⊥时，PM最小，当PM OC⊥时，又OP平分AOC∠，PD OA⊥，3PD=，3PM PD∴==，故答案为：3．29．（2020•怀化）如图，在ABC∆和ADC∆中，AB AD=，BC DC=，130B∠=︒，则D∠=130︒．【解答】证明：在ADC∆和ABC∆中，AD ABAC ACCD CB=⎧⎪=⎨⎪=⎩，()ABC ADC SSS∴∆≅∆，D B∴∠=∠，130B∠=︒，130D∴∠=︒，故答案为：130．30．（2019•永州）已知60AOB∠=︒，OC是AOB∠的平分线，点D为OC上一点，过D作直线DE OA⊥，垂足为点E，且直线DE交OB于点F，如图所示．若2DE=，则DF=4．【解答】解：过点D作DM OB⊥，垂足为M，如图所示．OC是AOB∠的平分线，2DM DE∴==．在Rt OEF∆中，90OEF∠=︒，60EOF∠=︒，30OFE∴∠=︒，即30DFM∠=︒．在Rt DMF∆中，90DMF∠=︒，30DFM∠=︒，24DF DM∴==．故答案为：4．31．（2019•永州）如图，已知点F是ABC∆的重心，连接BF并延长，交AC于点E，连接CF并延长，交AB 于点D，过点F作//FG BC，交AC于点G．设三角形EFG，四边形FBCG的面积分别为1S，2S，则12:S S= 18．【解答】解：点F是ABC∆的重心，2BF EF∴=，3BE EF∴=，//FG BC，EFG EBC∴∆∆∽，∴13EFBE=，2111()39EBCSS∆==，121:8S S∴=；故答案为：18．32．（2019•邵阳）公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”．如图，设勾6a=，弦10c=，则小正方形ABCD的面积是4．【解答】解：勾6a=，弦10c=，∴股221068=-=，∴小正方形的边长862=-=，∴小正方形的面积224==故答案是：433．（2019•邵阳）如图，已知AD AE=，请你添加一个条件，使得ADC AEB∆≅∆，你添加的条件是AB AC=或ADC AEB∠=∠或ABE ACD∠=∠．（不添加任何字母和辅助线）【解答】解：A A∠=∠，AD AE=，∴可以添加AB AC=，此时满足SAS；添加条件ADC AEB∠=∠，此时满足ASA；添加条件ABE ACD∠=∠，此时满足AAS，故答案为AB AC=或ADC AEB∠=∠或ABE ACD∠=∠；34．（2019•株洲）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，在直线1x=处放置反光镜Ⅰ，在y轴处放置一个有缺口的挡板Ⅱ，缺口为线段AB，其中点(0,1)A，点B在点A上方，且1AB=，在直线1x=-处放置一个挡板Ⅲ，从点O发出的光线经反光镜Ⅰ反射后，通过缺口AB照射在挡板Ⅲ上，则落在挡板Ⅲ上的光线的长度为 1.5．【解答】解：当光线沿O 、G 、B 、C 传输时，过点B 作BF GH ⊥于点F ，过点C 作CE GH ⊥于点E ，方法一：GOB ∆为等腰三角形， G ∴(1,1)，B 为CG 中点，C ∴(1,3)-，同理(1,1.5)D -，3 1.5 1.5CD ∴=-=方法二：OGH CGE α∠=∠=，设GH a =，则2GF a =-，则tan tan OGH CGE ∠=∠，即：OH BF GH GF=， 即：112a a=-，解得：1a =， 则45α=︒，2GE CE ∴==，123C y =+=，当光线反射过点A 时，同理可得： 1.5D y =，落在挡板Ⅲ上的光线的长度3 1.5 1.5CD ==-=，故答案为1.5．35．（2019•株洲）如图所示，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CM 是斜边AB 上的中线，E 、F 分别为MB 、BC 的中点，若1EF =，则AB = 4 ．【解答】解：E 、F 分别为MB 、BC 的中点，22CM EF ∴==，90ACB ∠=︒，CM 是斜边AB 上的中线，24AB CM ∴==，故答案为：4．36．（2019•怀化）若等腰三角形的一个底角为72︒，则这个等腰三角形的顶角为 36︒ ．【解答】解：等腰三角形的一个底角为72︒，∴等腰三角形的顶角180727236=︒-︒-︒=︒，故答案为：36︒．37．（2019•长沙）如图，要测量池塘两岸相对的A ，B 两点间的距离，可以在池塘外选一点C ，连接AC ，BC ，分别取AC ，BC 的中点D ，E ，测得50DE m =，则AB 的长是 100 m ．【解答】解：点D ，E 分别是AC ，BC 的中点，DE ∴是ABC ∆的中位线，2250100AB DE ∴==⨯=米．故答案为：100．三．解答题（共3小题）38．（2020•衡阳）如图，在ABC ∆中，B C ∠=∠，过BC 的中点D 作DE AB ⊥，DF AC ⊥，垂足分别为点E 、F ．（1）求证：DE DF =；（2）若40BDE ∠=︒，求BAC ∠的度数．【解答】（1）证明：DE AB ⊥，DF AC ⊥，90BED CFD ∴∠=∠=︒，D 是BC 的中点，BD CD ∴=，在BED ∆与CFD ∆中，BED CFD B CBD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()BED CFD AAS ∴∆≅∆，DE DF ∴=；（2）解：40BDE ∠=︒，50B ∴∠=︒，50C ∴∠=︒，80BAC ∴∠=︒．39．（2020•常德）已知D 是Rt ABC ∆斜边AB 的中点，90ACB ∠=︒，30ABC ∠=︒，过点D 作Rt DEF ∆使90DEF ∠=︒，30DFE ∠=︒，连接CE 并延长CE 到P ，使EP CE =，连接BE ，FP ，BP ，设BC 与DE 交于M ，PB 与EF 交于N ．（1）如图1，当D ，B ，F 共线时，求证：①EB EP =；②30EFP ∠=︒；（2）如图2，当D ，B ，F 不共线时，连接BF ，求证：30BFD EFP ∠+∠=︒．【解答】证明（1）①90ACB ∠=︒，30ABC ∠=︒，903060A ∴∠=︒-︒=︒，同理60EDF ∠=︒，60A EDF ∴∠=∠=︒，//AC DE ∴，90DMB ACB ∴∠=∠=︒，D 是Rt ABC ∆斜边AB 的中点，//AC DM ，∴12BM BD BC AB ==， 即M 是BC 的中点，EP CE =，即E 是PC 的中点，//ED BP ∴，90CBP DMB ∴∠=∠=︒，CBP ∴∆是直角三角形，12BE PC EP ∴==； ②30ABC DFE ∠=∠=︒，//BC EF ∴，由①知：90CBP ∠=︒，BP EF ∴⊥，EB EP =，EF ∴是线段BP 的垂直平分线，PF BF ∴=，30PFE BFE ∴∠=∠=︒；（2）如图2，延长DE 到Q ，使EQ DE =，连接CD ，PQ ，FQ ，EC EP=，DEC QEP ∠=∠， ()QEP DEC SAS ∴∆≅∆，则PQ DC DB ==，QE DE =，90DEF ∠=︒EF ∴是DQ 的垂直平分线，QF DF ∴=，CD AD =，60ACD A ∴∠=∠=︒，60ADC ∴∠=︒，120CDB ∴∠=︒，120120(60)6060FDB FDC EDC EDC EQP FQP ∴∠=︒-∠=︒-︒+∠=︒-∠=︒-∠=∠， ()FQP FDB SAS ∴∆≅∆，QFP BFD ∴∠=∠，EF 是DQ 的垂直平分线，30QFE EFD ∴∠=∠=︒，30QFP EFP ∴∠+∠=︒，30BFD EFP ∴∠+∠=︒．40．（2019•益阳）已知，如图，AB AE =，//AB DE ，70ECB ∠=︒，110D ∠=︒，求证：ABC EAD ∆≅∆．【解答】证明：由70ECB ∠=︒得110ACB ∠=︒ 又110D ∠=︒ACB D ∴∠=∠//AB DECAB E ∴∠=∠在ABC ∆和EAD ∆中，ACB D CAB E AB AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABC EAD AAS ∴∆≅∆．。

（2019湖南省11地市中考数学7大专题分类解析汇编专题04三角形一、选择题1．2019湖南邵阳）如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，以下说法中错误的是（）A．△ABC∽△A′B′C′B．点C、点O、点C′三点在同一直线上C．AO：AA′=1：2D．AB∥A′B′2．（2019湖南益阳）已知M、N是线段AB上的两点，AM＝MN＝2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则△ABC一定是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形3．（2019湖南益阳）南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁，小芳同学在校外实践活动中对此开展测量活动．如图，在桥外一点A测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角为α，大桥主架的顶端D的仰角为β，已知测量点与大桥主架的水平距离AB＝a，则此时大桥主架顶端离水面的高CD为（）A．asinα+asinβB．acosα+acosβC．atanα+atanβD．+4．（2019湖南张家界）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，DC＝ABC，则点D到AB的距离等于（）AD，BD平分∠A．4B．3C．2D．15．（2019湖南湘西州）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，AB的垂直平分线EF交AC于点D，连接BD，若cos∠BDC＝，则BC的长是（）A．10B．8C．4D．26．（2019湖南邵阳）如图，在△Rt ABC中，∠BAC=90°，∠B=36°，AD是斜边BC上的中线，将△ACD沿AD对折，使点C落在点F处，线段DF与AB相交于点E，则∠BED等于（）A．120°B．108°C．72°D．36°7．（2019湖南郴州）我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的三角形，如图所示，已知∠A＝90°，BD＝4，CF＝6，则正方形ADOF的边长是（）（（A．B．2C．D．48．（2019湖南常德）如图，在等腰三角形△ABC中，AB＝AC，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为△1，ABC的面积为42，则四边形DBCE的面积是（）A．20B．22C．24D．26二、填空题9．（2019湖南邵阳）如图，已知AD=AE，请你添加一个条件，使得△ADC≌△AEB，你添加的条件是_____．（不添加任何字母和辅助线）10．2019湖南怀化）若等腰三角形的一个底角为72°，则这个等腰三角形的顶角为．11．2019湖南株洲）如图所示，在△Rt ABC中，∠ACB＝90°，CM是斜边AB上的中线，E、F分别为MB、BC的中点，若EF＝1，则AB＝．（ 0（ 12．（2019 湖南常德）如图，已知△ABC 是等腰三角形，AB ＝AC ，∠BAC ＝45°，点 D 在AC 边上，将△ABD 绕点 A 逆时针旋转 45°得到△ACD ′，且点 D ′、D 、B 三点在同一条直线上，则∠ABD 的度数是．13．（2019湖南娄底）如图，小明用长为 3m 的竹竿 CD 做测量工具，测量学校旗杆 AB 的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离 DB =12m ，则旗杆 AB 的高为 m ． ACO D6m 12m B14． 2019 湖南邵阳）如图，将等边△AOB 放在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（4， ），点 B 在第一象限，将等边△AOB 绕点 O 顺时针旋转 180°得到△A′OB′，则点 B′的坐标是_______．15． 2019 湖南株洲）如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，在直线 x ＝1 处放置反光镜Ⅰ，在 y 轴处放置一个有缺口的挡板Ⅱ，缺口为线段 AB ，其中点 A （0，1），点 B 在点 A 上方，且 AB ＝1，在直线 x ＝﹣1 处放置一个挡板Ⅲ，从点 O 发出的光线经反光镜Ⅰ反射后，通过缺口 AB 照射在挡板Ⅲ上，则落在挡板Ⅲ上的光线的长度为 ．三、解答题16．（2019湖南益阳）已知，如图，AB＝AE，AB∥DE，∠ECB＝70°，∠D＝110°，求证：△ABC≌△EAD．17．（2019湖南邵阳）某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图如图所示．已知真空集热管DE与支架CB所在直线相交于点O，且OB=OE；支架BC与水平线AD垂直．AC=40cm，∠ADE=30°，DE=190cm，另一支架AB与水平线夹角∠BAD=65°，求OB的长度（结果精确到1cm；温馨提示：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）18．（2019湖南郴州）如图所示，巡逻船在A处测得灯塔C在北偏东45°方向上，距离A（处30km．在灯塔C的正南方向B处有一渔船发出求救信号，巡逻船接到指示后立即前往施救．已知B处在A处的北偏东60°方向上，这时巡逻船与渔船的距离是多少？（精确到0.01km．参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.449）19．（2019湖南怀化）如图，为测量一段笔直自西向东的河流的河面宽度，小明在南岸B处测得对岸A处一棵柳树位于北偏东60°方向，他以每秒1.5米的速度沿着河岸向东步行40秒后到达C处，此时测得柳树位于北偏东30°方向，试计算此段河面的宽度．20．2019湖南张家界）天门山索道是世界最长的高山客运索道，位于张家界天门山景区．在一次检修维护中，检修人员从索道A处开始，沿A﹣B﹣C路线对索道进行检修维护．如图：已知AB＝500米，BC＝800米，AB与水平线AA1的夹角是30°，BC与水平线BB1的夹角是60°．求：本次检修中，检修人员上升的垂直高度CA1是多少米？（结果精确到1米，参考数据：≈1.732）（B F21．（2019湖南娄底）如图，有小岛A和小岛B，轮船以45km/h的速度由C向东航行，在C处测得A的方位角为北偏东60°，测得B的方位角为南偏东45°，轮船航行2小时后到达小岛B处，在B处测得小岛A在小岛B的正北方向．求小岛A与小岛B之间的距离（结果保留整数，参考数据：2≈1．41，6≈2．45）AC60°45°B22．（2019湖南岳阳）慈氏塔位于岳阳市城西洞庭湖边，是湖南省保存最好的古塔建筑之一．如图，小亮的目高CD为1.7米，他站在D处测得塔顶的仰角∠ACG为45°，小琴的目高EF为1.5米，她站在距离塔底中心B点a米远的F处，测得塔顶的仰角∠AEH为62.3°．点D、、在同一水平线上，参考数据：sin62.3°≈0.89，cos62.3°≈0.46，tan62.3°≈1.9）（1）求小亮与塔底中心的距离BD；（用含a的式子表示）（2）若小亮与小琴相距52米，求慈氏塔的高度AB．23．（2019湖南常德）图1是一种淋浴喷头，图2是图1的示意图，若用支架把喷头固定在点A处，手柄长AB＝25cm，AB与墙壁DD′的夹角∠D′AB＝37°，喷出的水流BC与AB形成的夹角∠ABC＝72°，现在住户要求：当人站在E处淋浴时，水流正好喷洒在人体的C处，且使DE＝50cm，CE＝130cm．问：安装师傅应将支架固定在离地面多高的位置？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08，sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）．24．（2019湖南衡阳）如图，在一次综合实践活动中，小亮要测量一楼房的高度，先在坡面D处测得楼房顶部A的仰角为30°，沿坡面向下走到坡脚C处，然后向楼房方向继续行走10米到达E处，测得楼房顶部A的仰角为60°．已知坡面CD＝10米，山坡的坡度i＝1：（坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），求楼房AB高度．（结果精确到0.1米）（参考数据：≈1.73，≈1.41）25．（2019湖南株洲）小强的爸爸准备驾车外出．启动汽车时，车载报警系统显示正前方有障碍物，此时在眼睛点A处测得汽车前端F的俯角为α，且tanα＝，若直线AF与地面l1相交于点B，点A到地面l1的垂线段AC的长度为1.6米，假设眼睛A处的水平线l2与地面l1平行．（1）求BC的长度；（（2）假如障碍物上的点 M 正好位于线段 BC 的中点位置（障碍物的横截面为长方形，且线段 MN 为此长方形前端的边），MN ⊥l 1，若小强的爸爸将汽车沿直线 l 1 后退 0.6 米，通过汽车的前端 F 1 点恰好看见障碍物的顶部 N 点（点 D 为点 A 的对应点，点 F 1 为点 F 的对应点），求障碍物的高度．26．（2019 湖南常德）在等腰三角形△ABC 中，AB ＝AC ，作 CM ⊥AB 交 AB 于点 M ，BN ⊥AC 交 AC 于点 N ．（1）在图 1 中，求证：△BMC ≌△CNB ；（2）在图 2 中的线段 CB 上取一动点 P ，过 P 作 PE ∥AB 交 CM 于点 E ，作 PF ∥AC 交 BN于点 F ，求证：PE +PF ＝BM ；（3）在图 3 中动点 P 在线段 CB 的延长线上，类似（2）过 P 作 PE ∥AB 交 CM 的延长线于点 E ，作 PF ∥AC 交 NB 的延长线于点 F ，求证：AM •PF +OM •BN ＝AM •PE ．27． 2019 湖南娄底）如图甲，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =4cm ，BC=3cm ．如果点 P 由点 B 出发沿 BA 方向向点 A 匀速运动，同时点 Q 由点 A 出发沿 AC 方向向点 C 匀速运动，它们的速度均为 1cm/s ．连接 PQ ，设运动时间为 t （s ）（0＜t ＜4），解答下列问题：（1△）设 APQ 的面积为 S ，当 t 为何值时，S 取得最大值？S 的最大值是多少？（2）如图乙，连接 △PC ，将 PQC 沿 QC 翻折，得到四边形 PQP′C ，当四边形 PQP′C 为菱形时，求 t 的值；′（3）当 t 为何值时，△APQ 是等腰三角形？tB BP PAQC A Q 甲 C乙 P'28．（2019 湖南衡阳）如图，在等边△ABC 中，AB ＝6cm ，动点 P 从点 A 出发以 1cm /s 的速度沿 AB 匀速运动．动点 Q 同时从点 C 出发以同样的速度沿 BC 的延长线方向匀速运动，当点 P 到达点 B 时，点 P 、Q 同时停止运动．设运动时间为以 （s ）．过点 P 作 PE ⊥AC 于 E ，连接 PQ 交 AC 边于 D ．以 CQ 、CE 为边作平行四边形 CQFE ．（1）当 t 为何值时，△BPQ 为直角三角形；（2）是否存在某一时刻 t ，使点 F 在∠ABC 的平分线上？若存在，求出 t 的值，若不存在，请说明理由；（3）求 DE 的长；（4）取线段 BC 的中点 M ，连接 △PM ，将 BPM 沿直线 PM 翻折，得 △B ′PM ，连接 AB ′，当 t 为何值时，AB'的值最小？并求出最小值．。