《初等数论初步》

《初等数论基础》课程知识点汇总第一章z本原勾股数组（三元组）的概念z本原勾股三元组的定理及其证明第二章z整除、公因数、最大公因数的概念z欧几里得辗转相除算法z线性方程的概念z掌握线性方程定理z掌握求解线性方程ax+by=gcd(a,b)的方法第三章z素数、合数的概念z素数整除性质及其证明z算术基本定理z掌握素数分解的几种方法及其各自的优缺点第四章z同余式的概念，及其性质z求解带未知数的同余式的通用方法z掌握线性同余式定理，以及求解形如ax ≡c(mod m)同余式的方法z掌握费马小定理，及其证明基本思想和应用z欧拉Φ函数的定义z欧拉公式及其证明z欧拉Φ函数公式及其计算z中国剩余定理第六章z无穷多素数定理，及其欧几里得证明基本思想z算术级数的素数狄利克雷定理z素数计数函数π(x)的定义z函数x/ln(x)逼近π(x)的素数定理第七章z梅森素数、完全数、σ函数的定义zσ函数公式定理及其证明和应用z欧拉φ函数求和公式及其证明第八章z a模p的次数(阶)的定义，以及求次数的方法z次数整除性质及其应用z原根概念、指标的概念和法则z掌握求解一个素数所有原根的方法z二次剩余(QR)和二次非剩余(NR)的定义z二次乘法法则定理（2种版本）z掌握判断一个整数是素数p的QR还是NR的方法z佩尔方程的定义z佩尔方程定理z狄利克雷丢番图逼近定理（2种版本）第十章z高斯整数的概念z高斯整数基本运算的封闭性z高斯整数的整除性定义及性质z单位和相伴的定义z高斯素数的定义，及其判断的基本方法z高斯整数的唯一分解定理，以及高斯整数的整除性质第十一章z连分数的基本概念。

4.质因数分解-湘教版选修4-6初等数论初步教案课程目标1.引导学生了解基本的质因数分解概念和方法。

2.帮助学生掌握质因数分解的求解方法。

3.培养学生的逻辑思维和数学思维，提高分析和解决问题的能力。

教学重难点1.教学重点：了解质因数分解的概念和方法，学会使用分解的方法进行简单的数学运算。

2.教学难点：对多项式的质因数分解进行深入的理解。

教学内容1. 质因数分解的概念质因数分解是将一个正整数分解成多个质数的积的过程。

例如，正整数12可以被分解为2×2×3。

2. 质因数分解的方法质因数分解的方法主要有两种：辗转相除法和分解质因数法。

2.1 辗转相除法辗转相除法也叫欧几里得算法，是一种求最大公因数的算法。

其基本思想是，用较大的数去除以较小的数，将较小的数除以所得余数，再用余数去除之前的较小数，如此反复，直到余数为零为止。

例如，求最大公约数（gcd）的过程：gcd(2366,2736)= gcd(2736,2366 % 2736) = gcd(2736,370)= gcd(370,2736 % 370) = gcd(370,46)= gcd(46,370 % 46) = gcd(46,18)= gcd(18,46 % 18) = gcd(18,10)= gcd(10,18 % 10) = gcd(10,8)= gcd(8,10 % 8) = gcd(8,2)= gcd(2,8 % 2) = gcd(2,0)= 2可以看出，最后得出的余数为0时，前一个被除数即为最大公因数。

2.2 分解质因数法分解质因数法是将一个正整数分解成多个质数的积的过程。

该方法的基本思路是，将正整数先分解为两个不同质因数的积，然后将这两个质因数再分别分解为各自的质因数，直到无法分解。

例如，将正整数364分解为质数的积：364 ÷ 2 = 182182 ÷ 2 = 9191 ÷ 7 = 1313 ÷ 13 = 1将364分解为2×2×7×13的积。

引言概述：初等数论是数学的一个重要分支，它研究整数的性质和关系，是一门基础性的课程。

本文旨在为《初等数论》课程的教学制定一份详细的大纲，以帮助教师合理安排教学内容，提高教学效果。

正文内容：一、素数与合数1.素数的定义与性质素数的定义：只能被1和自身整除的正整数。

2.合数的定义与性质合数的定义：不是素数的正整数。

二、因数与倍数1.因数的概念因数的定义：能整除一个数的整数。

因子的分类：负因数、正因数、真因数。

2.最大公因数与最小公倍数最大公因数的定义与性质：两个数公共因子中最大的一个。

最小公倍数的定义与性质：两个数公共倍数中最小的一个。

三、整数的整除性与除法算法1.整除的概念与性质整除的定义：一个数能够被另一个数整除。

整除的性质：整数除法原则、整数的对称性。

2.整数的除法算法除法算法的步骤与原理：用减法、用乘法、整数除法算法的应用。

四、余数与模运算1.余数的概念与性质余数的定义：做除法时除不尽的部分。

余数的性质：余数的范围、余数的基本性质。

2.模运算的概念与性质模运算的定义：对于整数a和正整数n，a与n的商所得的余数。

模运算的性质：模运算的加法、减法和乘法规则。

五、同余与模运算应用1.同余的定义与性质同余的定义：对于整数a、b和正整数n，当a与b对n取余相等时，称a与b模n同余。

同余的性质：同余的传递性、同余的运算性质。

2.模运算的应用模运算在代数方程中的应用：线性同余方程、模运算的性质在方程求解中的应用。

总结：本文从素数与合数、因数与倍数、整除性与除法算法、余数与模运算以及同余与模运算应用等五个大点进行阐述。

通过这些内容的学习，学生将能够了解整数的性质和关系，理解数论的基本原理，为后续数学学习打下坚实的基础。

教师在教学过程中，应注重拓展学生的数学思维、培养其解决问题的能力，并结合实际生活和其他数学知识进行应用。

通过系统的教学大纲指导，教师能够更好地组织教学内容，提高学生的学习效果。

第一节 整数的p 进位制及其应用正整数有无穷多个，为了用有限个数字符号表示出无限多个正整数，人们发明了进位制，这是一种位值记数法。

进位制的创立体现了有限与无限的对立统一关系，近几年来，国内与国际竞赛中关于“整数的进位制”有较多的体现，比如处理数字问题、处理整除问题及处理数列问题等等。

在本节，我们着重介绍进位制及其广泛的应用。

基础知识给定一个m 位的正整数A ，其各位上的数字分别记为021,,,a a a m m，则此数可以简记为：021a a a A m m （其中01 m a ）。

由于我们所研究的整数通常是十进制的，因此A可以表示成10的1m 次多项式，即012211101010a a a a A m m m m ，其中1,,2,1},9,,2,1,0{ m i a i 且01 m a ，像这种10的多项式表示的数常常简记为10021)(a a a A m m 。

在我们的日常生活中，通常将下标10省略不写，并且连括号也不用，记作021a a a A m m ，以后我们所讲述的数字，若没有指明记数式的基，我们都认为它是十进制的数字。

但是随着计算机的普及，整数的表示除了用十进制外，还常常用二进制、八进制甚至十六进制来表示。

特别是现代社会人们越来越显示出对二进制的兴趣，究其原因，主要是二进制只使用0与1这两种数学符号，可以分别表示两种对立状态、或对立的性质、或对立的判断，所以二进制除了是一种记数方法以外，它还是一种十分有效的数学工具，可以用来解决许多数学问题。

为了具备一般性，我们给出正整数A 的p 进制表示：012211a p a p a p a A m m m m ，其中1,,2,1},1,,2,1,0{ m i p a i 且01 m a 。

而m 仍然为十进制数字，简记为p m m a a a A )(021 。

典例分析例1．将一个十进制数字2004（若没有指明，我们也认为是十进制的数字）转化成二进制与八进制，并将其表示成多项式形式。

《初等数论初步》习题1贾祥雪1.1 整除1.证明：（1）若|a b ，0m ≠，则|ma mb ；（2）设,a b 为正整数，|a b 且|b a ，则a b =;*(3) 设,a b 为正整数，|a b 且|c d ，则|ac bd 。

2.证明：三个连续正整数之和是3的倍数。

3.证明：若6|()a b +，则336|()a b +。

4.设n 为正整数，证明6|[(1)(21)]n n n ++。

5.15位校友聚会，能否每个人都握手5次?6.设1n >，(1)|(11)n n -+，求n 。

1.2 素数与合数1.判断359是不是素数。

2.利用厄拉多塞筛法找出100以内的全体素数。

3.找出5个连续自然数，每个数都是合数。

4.证明：大于11的自然数可以表示成两个合数之和。

1.3带余除法1.写出2011-被17除的带余除法表示式。

2.请在503后面添加3个数字，使所得的6位数能被7,9,11整除。

3.将101表成3进制数。

4.5642⨯=是什么进制的乘法？1.4 辗转相除法与最大公约数1.求(198,252)，(1008,1260)。

2.求(1008,1260,882,1134)。

3.证明：对任意的整数,x y ，12121122(,)(,)(,)a a a a a x a a y a =+=+。

4.证明：当(,)1c a =时，有(,)(,)c ab c b =。

5.证明：当(,)1a b =时，有(,)(,)(,)c ab c a c b =。

6.证明：,1(,)(,)a b a b a b ⎛⎫= ⎪⎝⎭。

7.证明：214n +与143n +互素。

*8. 证明：当(,)1c a =且|c ab 时，有|c b 。

*9.两组整数12,,,n a a a L 与12,,,n b b b L ，第一组中任意一个与第二组中任意一个互质，则求证12n a a a L 与12n b b b L 互质。

第二十章 初等数论本章简要地介绍了初等数论的基础知识.共分六节.前五节讨论了整数的性质与辗转相除法,连分数与费波那奇序列,同余式与孙子定理,介绍了几种重要的数论函数和麦比乌斯变换,并列出几类不可约多项式的判别方法.最后一节对代数数等基本概念和性质作了简单的介绍.§1 整数[整数部分与分数部分] 设α为一实数,不超过α的最大整数称为α的整数部分,记作[]α.而{}[]ααα=−称为α的分数部分. 例如 [],[11=.]232=,[等等 .]−=−354 整数部分具有下列关系式: [][]ααα≤<+1[][]n n αα⎡⎣⎢⎤⎦⎥=,n 为自然数 [][ααααn n n n =⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++11L ]]，n 为自然数 [][][][][22αβααββ+≥+++ [][][]αβαβ−=− 或 []αβ−+1注意,在计算机程序中的“取整运算”与这里的“整数部分”意义是有差别的:当α≥0时是一致的;当α<0时不一致,例如[.]−=−354,但计算机上−35.取整后为−3. [整除性] 若有一整数c ,使得整数a 与b 之间适合于bc a =则称b 可整除a ,记作b a 。

这时a 称为b 的倍数,b 称为a 的因数(或约数). 若b 不能整除a ,则记作b a .整除性具有下列性质(下列各式0,0≠≠c b ): 1° 若b a ,c b , 则c a ; 2° 若b a , 则bc ac ;3° 若c d ,c e ,则对于任意整数m,n 有c d m ea +4° 若b 是a 的真因数(即b ),则a ≠1, 1<<b a[素数与爱拉托斯散筛法] 恰有1和本身两个自然数为其因数的大于1的整数称为素数,记作.除2为偶素数外,其余素数都是奇数. p 素数具有性质:1° 素数有无限多个. 如果不超过自然数n 的素数个数记作 π(n),则当时,有n ≥21812⋅≤≤⋅n n n n nlog ()log π*,进一步有 1log )(lim =∞→nnn n π*数论中通常把自然对数记作.x ln x log2° 设p 为素数,若p ab ,则p a 或pb . 3° 中含素数p 的方次数等于n ! [][][]n p n p np+++23L4° 若n N ≤为正整数,它不能被不超过N 的所有素数所整除,则n 必为素数.这种判别自然数是否为素数的方法称为爱拉托斯散筛法.由此法可建立素数表.[唯一分解定理] 大于1的自然数都可唯一地分解为素数幂的积.设n ,为自然数,则n 可唯一地表为>1s a s a a p p p n L 2121⋅= (为自然数) 0,,0,021>>>s a a a L (为素数)s p p p <<<L 21这称为n 的标准分解式。

初等数论基础初等数论是数学中的一个分支，主要研究整数及其性质。

在初等数论中，我们探讨了许多有趣的问题和定理，其中包括质数、整除性、同余等概念。

本文将介绍初等数论的基础知识，包括质数、最大公约数、同余定理等内容。

我们来介绍质数的概念。

质数是只能被1和自身整除的正整数。

例如，2、3、5、7等都是质数，而4、6、8等则不是质数。

质数在数论中有着重要的地位，许多数论问题都与质数有关。

下面是一些质数的性质。

首先，质数的个数是无穷多的，这是由欧几里得在公元前300年左右证明的。

其次，任意一个大于1的整数都可以唯一地表示为几个质数的乘积，这就是所谓的质因数分解定理。

例如，36可以表示为2的平方乘以3的平方，即36=2^2 * 3^2。

这个定理在数论中应用广泛。

最大公约数是初等数论中一个重要的概念。

两个整数a和b的最大公约数（Greatest Common Divisor，简称GCD）是能够同时整除a 和b的最大正整数。

例如，12和18的最大公约数是6。

最大公约数在数论中有着广泛的应用，例如求解线性方程、化简分数等。

初等数论中的一个重要定理是欧几里得算法。

欧几里得算法是求解两个正整数的最大公约数的一种有效方法。

它基于一个简单的观察：两个整数a和b的最大公约数等于b和a除以b的余数的最大公约数。

利用这个观察，我们可以逐步缩小问题规模，直到得到最终的结果。

欧几里得算法的时间复杂度是O(log(min(a,b)))，非常高效。

同余定理是初等数论中的另一个重要概念。

如果两个整数a和b除以正整数m所得的余数相同，我们就说a和b关于模m同余。

用数学符号表示为a≡b(mod m)。

同余定理指出，如果a≡b(mod m)，那么对于任意的整数c，都有a+c≡b+c(mod m)，以及a-c≡b-c(mod m)，a*c≡b*c(mod m)等等。

同余定理在数论和密码学中有着重要的应用。

我们来介绍一个有趣的数论问题——费马大定理。