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(完整版)椭圆形状的应用总结简介本文档主要总结了椭圆形状在各个领域应用的情况，探讨了其重要性以及应用中的一些注意事项。
椭圆形状的基本特征椭圆是一种平面上的几何形状，与圆形类似具有中心点和半径。
椭圆的特点在于它有两个主轴，即长轴和短轴，分别表示椭圆的长度和宽度。
椭圆的形状由其离心率决定，离心率越接近0，椭圆越接近于圆形。
椭圆形状在实践中的应用1. 天文学领域：椭圆轨道是描述天体运动的一种常见形式，如行星绕太阳运动的椭圆轨道。
2. 电子学领域：椭圆天线在通信系统中具有重要作用，可以实现天线的方向性控制和波束聚焦。
3. 工程领域：椭圆形状常用于设计和建造桥梁、隧道、船舶等结构，具有良好的抗震性能和稳定性。
4. 统计学领域：椭圆形状可以用于描述数据集的离散程度，如椭圆散点图可以直观地反映数据的分布情况。
5. 图形图像处理领域：椭圆形状在边缘检测、图像分割等任务中广泛应用，如椭圆拟合算法可以用于识别出图像中的椭圆对象。
椭圆形状应用中的注意事项1. 椭圆的参数选择：在应用过程中需要合理选择椭圆的参数，如长轴和短轴的长度、离心率的大小等。
2. 边界条件的考虑：在实际应用中，椭圆形状可能受到各种边界条件的限制，需要对边界条件进行适当的处理。
3. 精度要求的控制：部分应用场景中对椭圆的精度要求较高，需要采用精确的计算方法或增加采样点数量进行处理。
结论椭圆形状作为一种重要的几何形状，在各个领域具有广泛的应用。
它的独特特征和形状使得它在雷达、信号处理、图像处理、工程建筑等领域起到了重要的作用。
在应用中需要注意选择合适的参数、合理处理边界条件，并注意精度要求，以确保最佳的应用效果。
生活中椭圆的实例：
1.鸡蛋：鸡蛋的形状接近椭圆形，一头钝另一头略尖。
由于钝端气室的存在，会使蛋
的重心向小头偏移发生滚动。
所以，一般情况下将鸡蛋放置于桌面上，鸡蛋很难保持站立不倒。
2.橄榄球：橄榄球的形状也是椭圆形，两头钝另一头略尖。
由于钝端气室的存在，会
使蛋的重心向小头偏移发生滚动。
所以，一般情况下将鸡蛋放置于桌面上，鸡蛋很难保持站立不倒。
3.卫星轨道：卫星的轨道形状也是椭圆形，地球位于椭圆的一个焦点上。
4.椭圆形的镜子：椭圆形的镜子在日常生活中也很常见，比如化妆镜、理发镜等。
5.椭圆形的车轮：椭圆形的车轮可以使汽车更加稳定地行驶，因为椭圆形的车轮可以
更好地适应路面的起伏和变化。
6.椭圆形的建筑：一些建筑物的设计也会采用椭圆形的形状，比如一些大型体育场馆、
会展中心等。
第1讲 椭圆的定义及其应用整理：广东阳江曾广荣一、问题综述本讲梳理椭圆的定义及其应用．椭圆的考题中，对椭圆定义的考查一直都是热点． （一）椭圆的定义平面内到两个定点1F 、2F 的距离之和等于定值2a ()122a F F >的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距．（二）椭圆定义的应用主要有下面几方面的应用：1．求标准方程；2．焦点三角形中的计算问题；3．求离心率；4．求最值或范围． 二、典例分析类型一：利用椭圆的定义求轨迹方程【例1】 ABC ∆的底边16BC =，AC 和AB 两边上中线长之和为30，求此三角形重心G 的轨迹方程． 【解析】以BC 所在的直线为x 轴，BC 中点为原点建立直角坐标系．设G 点坐标为()x y ，，由20GC GB +=，知G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因10a =，8c =，有6b =，故其方程为()221010036x y y +=≠．【方法小结】由已知可得20GC GB +=，再利用椭圆定义求解，要注意剔除不合要求的点． 【例2】已知动圆P 过定点()30A -，，并且在定圆()22364B x y -+=：的内部与其相内切，求动圆圆心P 的轨迹方程．【解析】如图所示，设动圆P 和定圆B 内切于点M ．动点P 到两定点，即定点()03，-A 和定圆圆心()03，B 距离之和恰好等于定圆半径，即86PA PB PM PB BM AB +=+==>=．∴点P 的轨迹是以A ，B 为两焦点，半长轴为4，半短轴长为73422=-=b 的椭圆，P 的轨迹方程为：221167x y +=．【例3】已知圆()22:3100C x y -+=及点()3,0A -，P 是圆C 上任意一点，线段PA 的垂直平分线l 与PC 相交于点Q ，求点Q 的轨迹方程。
【解析】如图所示．∵l 是线段PA 的垂直平分线， ∴AQ PQ =．∴10AQ CQ PQ CQ CP +=+==，且10>6． ∴点Q 的轨迹是以A 、C 为焦点的椭圆， 且210a =，3c =，即5a =，4b =．∴点Q 的轨迹方程为2212516x y+=．【方法小结】是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程．结合定义求轨迹方程是一种重要的思想方法．【变式训练】1．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点分别是()1,0F c -、()2,0F c ，Q 是椭圆外的动点，满足12FQ a =．点P 是线段1F Q 与该椭圆的交点，点T 在线段2F Q 上，并且满足20PT TF ⋅=，20TF ≠．求点T 的轨迹C 的方程．【解析】当0PT =时，点(),0a 和点(),0a -在轨迹上．当0PT ≠0PT ≠且2||0TF ≠时，由20PT TF ⋅=，得2PT TF ⊥． 由12FQ a =，得12PF PQ a +=， 又122PF PF a +=，所以2PQ PF =，所以T 为线段2F Q 的中点．连接OT ，则OT 为12QF F △的中位线，所以()1121122OT FQ PF PF a ==+=， 设点T 的坐标为(),x y ，则222x y a +=．故点T 的轨迹C 的方程是222x y a +=．【方法小结】定义法求轨迹（方程）的关键是条件的转化——转化成某一基本轨迹的定义条件。
圆锥曲线圆锥曲线分三大部分：椭圆，双曲线和抛物线 （一）椭圆椭圆分三大部分：基本量的应用、利用椭圆的基本量解决焦点三角形问题、直线和椭圆的相交问题一、椭圆的知识梳理二、椭圆的标准方程和统一方程三、椭圆的离心率 e= c/a ( 0<e<1)说明：1、同学们要牢记椭圆的定义，这是同学们经常想不到要用的，要记住。
对于求焦点三角形的面积，或者给了焦点弦之差、之积这些情况，第一想到的要用椭圆的定义。
例题：（1）已知△ABC 的三边长|CB|，|AB|，|CA|成等差数列，若点A ，B 的坐标分别为（-1，0），（1，0）．求顶点C 的轨迹W 的方程解析：1、等差数列 得到，线段之和为定值，为椭圆方程、利用椭圆的定义来求解方程，确定a 2 、确定焦点在哪个轴3、列出椭圆标准方程，带值整理2、若椭圆两个焦点为12(40)(40)F F -，，，，椭圆的弦的AB 过点1F ，且2ABF △的周长为20，那么该椭圆的方程为 ． 出现周长，想到定义。
2、求椭圆的方程，1.、确定焦点在哪个轴，用标准方程、不确定焦点在哪个轴，用统一方程。
2.一．设方程、二、带点、三、解法方程得解得结论、{}无轨迹时点的轨迹是线段时点得轨迹是椭圆是点椭圆的定义：P a P a a )22(2|)1(212121c F F c P c a c F F a MF MFM P <=><==+=22222222222c b a c 2 b 2 a 2c -0c ,0y )0(10c -0,c x )0(1+====>>=+>>=+焦距短轴长轴），）和（轴上（焦点坐标在），）和（轴上（焦点坐标在椭圆的方程：b a b x a y b a b y a x 轴上时焦点在轴上时焦点在x y ),0,0(122B A B A B A B A By Ax <>≠>>=+1、求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）两个焦点的坐标分别是（-4，0），（4，0），椭圆上一点P 到两焦点距离之和等于10；（2）两个焦点的坐标分别是（0，-2）、（0，2），并且椭圆经过点（- 32，52）．（3） 焦点在y 轴且经过两个点（0、2）（1、0）（4） 经过p （-23、1）q （3、2）（5） 方程my x ++16m -2522=1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是 ( )(A)-16<m<25 (B)-16<m<29 (C)29<m<25 (D)m>29（6） 与椭圆9x 2+4y 2=36有相同焦点，且短轴长为45的椭圆方程是 _______________（7） 椭圆的一焦点与两顶点为等边三角形的三个顶点，则椭圆的长轴长是短轴长的( )(A)3倍 (B)2倍 (C)2倍 (D)32倍9)、对于求离心率问题，重要的应用abc 三者的平方关系，导出a 与c 的关系。
第5讲 椭圆的性质及应用一、知识梳理1x 2y 2y 2x 22（1）一类是与坐标系无关的椭圆本身故有的性质：长轴长、短轴长、焦距、离心率等. （2）一类是与坐标系有关的性质：顶点坐标、焦点坐标等.在解题时要特别注意第二类性质，应根据椭圆方程的形式，首先判断椭圆的焦点在哪条坐标轴上，然后再进行求解.问题 为什么椭圆的离心率决定椭圆的扁平程度？提示：椭圆的离心率反映了焦点远离中心的程度，e 的大小决定了椭圆的形状，反映了椭圆的圆扁程度．因为a 2＝b 2＋c 2，所以b a ＝1－e 2，因此，当e 越趋近于1时，ba越接近于0，椭圆越扁；当e 越趋近于0时，ba越接近于1，椭圆越接近于圆． 题型（一） 求椭圆的离心率例1 （1）下列椭圆中最扁的一个是（ ） A ．B ．C ．D ．【解答】解：椭圆的离心率越小，椭圆越圆，越大，离心率越大，椭圆越扁，越小， A 中＝，B 中＝，C 中＝，D 中＝，故选：B ．（2）若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为________． 解析： 依题意，△BF 1F 2是正三角形，∵在Rt △OBF 2中，|OF 2|＝c ，|BF 2|＝a ，∠OF 2B ＝60°，∴a cos 60°＝c ，∴c a ＝12，即椭圆的离心率e ＝12.，答案： 12（3）如图，设椭圆的右顶点为A ，右焦点为F ，B 为椭圆在第二象限上的点，直线BO 交椭圆于C 点，若直线BF 平分线段AC 于M ，则椭圆的离心率是（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：如图，设AC 中点为M ，连接OM ，则OM 为△ABC 的中位线， ∴OM ∥AB ，于是△OF A ∽△AFB ，且＝＝，即＝，可得e ＝＝．故选：C ．（4）《九章算术）是我国古代内容极为丰富的数学名著第九章“勾股”，讲述了“勾股定理及一些应用．直角三角形的两直角边与斜边的长分别称“勾”“股”“弦”，且“勾2+股2＝弦2”．设F 是椭圆＝1（a ＞b ＞0）的左焦点，直线y ＝x 交椭圆于A 、B 两点，若|AF |，|BF |恰好是Rt △ABF 的”勾”“股”，则此椭圆的离心率为（ ） A ．B ．C ．D ．【解答】解：∵|AF |，|BF |恰好是Rt △ABF 的”勾”“股”，∴AF 1⊥BF 1，∴OA ＝OB ＝OF 1＝c ． ∴A （，），∴⇒，，⇒，e 2＝1﹣＝4﹣2，∴﹣1．故选：A ．变式训练：1、美学四大构件是：史诗、音乐、造型（绘画、建筑等）和数学．素描是学习绘画的必要一步，它包括了明暗素描和结构素描，而学习几何体结构素描是学习素描最重要的一步．某同学在画“切面圆柱体”（用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱，底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体）的过程中，发现“切面”是一个椭圆，若“切面”所在平面与底面成60°角，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：椭圆的长轴为2a，短轴的长为2b，“切面”是一个椭圆，若“切面”所在平面与底面成60°角，可得，即a＝2b，所以e＝＝＝．故选：C．2、己知椭圆C：（a＞b＞0）的右焦点为F，过点F作圆x2+y2＝b2的切线，若两条切线互相垂直，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，由题意可得，，则2b2＝c2，即2（a2﹣c2）＝c2，则2a2＝3c2，∴，即e＝．故选：D．[题后感悟] (1)求离心率e 时，除用关系式a 2＝b 2＋c 2外，还要注意e ＝的代换，通过方程思想求离心率． (2) 在椭圆中涉及三角形问题时，要充分利用椭圆的定义、正弦定理及余弦定理、全等三角形、相似三角形等知识． 例21、设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，若在直线x ＝a 2c上存在点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，22 B.⎝⎛⎦⎤0，33C.⎣⎡⎭⎫22，1D.⎣⎡⎭⎫33，1解法一：由题意知F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，P ⎝⎛⎭⎫a2c ，y ，∵PF 1的中垂线过点F 2，∴|F 1F 2|＝|F 2P|，即2c ＝⎝⎛⎭⎫a 2c －c 2＋y 2，整理得y 2＝3c 2＋2a 2－a 4c 2.∵y 2≥0，∴3c 2＋2a 2－a 4c 2≥0，即3e 2－1e 2＋2≥0，解得e ≥33.∴e 的取值范围是⎣⎡⎭⎫33，1.解法二：设直线x ＝a 2c 与x 轴交于M 点，则|F 1F 2|＝|F 2P |≥|MF 2|，即2c ≥a 2c －c ，整理得13≤e 2<1，33≤e <1.∴椭圆离心率的取值范围是⎣⎡⎭⎫33，1.故选D.2、已知椭圆的标准方程为，F 1，F 2为椭圆的左右焦点，椭圆上存在一点P ，使得21PF F ∠为直角，求椭圆的离心率的取值范围 3、椭圆C 的两个焦点分别是F 1，F 2若C 上的点P 满足21123F F PF =，则椭圆C 的离心率e 的取值范围是A.21≤eB.41≥eC.2141≤≤eD.410≤<e 或121<≤e【答案】C 解析：∵12233,2PF F F c ==∴，由三角形中，两边之和大于第三边得，故选C.点拨：（1）对于参数的取值范围问题，要能从几何特征的角度去分析参数变化引起的图形的变化.在学习中，要能主动的研究几何特征变化的根本性原因.（2）对几何对象的本质属性的把握越准确，代数化就越容易.（3）整个图形都随着P 点的变化而变化，P 点的变化使得线段||PF 2的长度也在变化，进而||PF 2与||MF 2的长度关系也在变化.正确的描述这一变化中量与量之间的数量关系是解题的关键所在.（4）求椭圆的离心率通常要构造关于a ，c 的齐次式，再转化为关于e 的方程或不等式.题型二 直线与椭圆位置关系1、直线和椭圆位置关系判定方法概述①直线斜率存在时221y kx b mx ny =+⎧⎨+=⎩⇒222()210m k n x kbnx b +++-= 当0∆>时 直线和椭圆相交 当0∆=时 直线和椭圆相切当0∆<时 直线和椭圆相离②直线斜率不存在时22221x x y a bλ=⎧⎪⎨+=⎪⎩判断y 有几个解注：1︒无论直线斜率存在与否，关键是看联立后的方程组有几组解，而不是看""∆。
椭圆定义的应用一．定义定义Ⅰ：若F 1，F 2是两定点，P 为动点，且21212F F a PF PF >=+ （a 为常数）则P 点的轨迹是椭圆。
定义Ⅱ：若F 1为定点，l 为定直线，动点P 到F 1的距离与到定直线l 的距离之比为常数e （0<e<1），则P 点的轨迹是椭圆。
二．定义的运用（一） 直接运用定义例1（2005年四川高考题）设椭圆的两个焦点分别为F 1、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若 △F 1PF 2为等腰直角三角形 ，则椭圆的离心率是（ ）（A ）2 （B ）12（C ）2 （D 1分析：椭圆定义、性质的直接应用是高考的常考点，求解时，应掌握椭圆第一、第二定义，参数a ，b ，c ，e ，2a c的几何意义及其相互关系。
解：如图1，设|PF 2|=m ，则由题设得|PF 1m ，2c =|F 1F 2|=m. 由椭圆第一定义，得2a =|PF 1|+|PF 21)m ∴e=1c a ==.故选D 。
例2：设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的焦点坐标1F )0,()0,(2c F c 和-，),(00y x P 是椭圆上的任一点，求证：0201||,||ex a PF ex a PF -=+=，其中e 是椭圆的离心率。
分析：椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的焦点1F )0,()0,(2c F c 和- ，相应的准线方程是c x c x =-=和 ，又椭圆的第二定义得，e x c a PF e c a x PF =-=+022201||||， 化简得： 0201||,||ex a PF ex a PF -=+=xA上面两个例题分别从圆锥曲线的第一定义或第二定义着手解决了问题，可见两种定 义在圆锥曲线中的重要性。
（二） 交错运用定义例3：P 为椭圆1162522=+y x 上的一点，它到右焦点的距离为522，求P 到左准线距离。
椭圆的定义在解题中的应用通过研究一类与椭圆定义有关的数学问题，体会椭圆上点与焦点距离的联系与相互转化关系，引导学生思考利用掌握的椭圆定义等相关数学知识探究问题本质，意在引起老师和学生对数学定义的重视，注重概念教学。
一：椭圆定义：平面内到两定点的距离和等于常数2a(大于|F 1F 2|)的点的集合叫椭圆。
其中两个定点F 1、F 2叫作椭圆的焦点，|F 1F 2|叫作椭圆的焦距.说明：1、椭圆定义体现了椭圆上任一点与两个焦点距离间的密切联系 ，在变化中存在一个等量关系，这种‘距离的动’与‘和的静’结合的数学之美将会在今天的学习中逐步体味。
2、椭圆定义中包括的定点，定量等多方面联系，利用这种联系可以将椭圆上任一点到两定点的距离有机联系在一起，可将其中一个数量转化为另外一个量研究。
二：思维拓展类型一：由定义求轨迹（方程）应用定义求方程是求曲线方程的一种重要方法，它是在根据题意判断出已知曲线形状的情况下确定量的关系进而得出方程的形式，需要注意在求出方程后验证是否有不符合条件的点存在例1：已知⊙O 1：16)2(22=++y x ，⊙O 2：1)2(22=+-y x 动圆P与⊙O 1内切，与点⊙O 2外切，求动圆圆心P 的轨迹方程？ 解：（分析：充分利用题目中的内切和外切的条件，挖掘动点与两定点的等量关系）设圆P 的半径为r,由条件知 r PO -=6||1 r PO +=1||2 7||||21=+∴PO PO∴ P 在以为o1,o 2焦点的椭圆上14/334/4922=+∴yx：方程为巩固提高：已知圆B:22(1)16x y ++=及点(1,0)A ,C 为圆B 上任一点,求AC 的垂直平分线与线段BC 的交点P 的轨迹方程.（几何画板演示）类型二：焦点三角形的应用焦点三角形的应用是椭圆定义的集中体现，围绕焦点三角形的面积、周长、焦半径、椭圆离心率等试题相对较多，教学时应引起重视，并能重视知识间的内在联系，如余弦定理、均值定理的应用。
椭圆的应用领域总结1. 数学领域椭圆是数学中的一个重要概念，在许多数学分支和应用中都有广泛的应用。
以下是几个椭圆在数学领域中的应用领域总结：- 几何学：椭圆是一个平面图形，通过其几何性质，我们可以研究和解决与椭圆相关的几何问题，如椭圆的离心率、焦点、对称性等。
- 解析几何学：椭圆在解析几何学中起着重要的作用，它们被用来描述曲线和图形的特征，以及它们之间的关系。
- 微积分：椭圆曲线在微积分中有广泛的应用，尤其是在曲线的积分和导数计算中。
- 线性代数：椭圆在线性代数中也有许多应用，如椭圆方程的矩阵表示和矩阵运算。
2. 物理学领域椭圆在物理学中也有许多应用，下面是几个例子：- 光学：光的波动在空间中可以被描述为椭圆的振动，在光学中，椭圆极化是一个重要的概念。
- 天体物理学：行星和卫星的轨道通常是椭圆形的，研究和描述它们的运动轨迹需要使用椭圆的相关理论。
- 电磁场：电磁波的传播和衍射也可以通过椭圆的参数来描述和计算。
- 力学：椭圆在力学中也有重要的应用，如行星运动的模拟和分析。
3. 工程领域椭圆在工程领域中也有广泛的应用，下面是几个例子：- 通信工程：调制解调技术中使用的星座图就是由一组椭圆形点构成的。
- 电子工程：椭圆滤波器被广泛用于信号处理和电子电路设计中。
- 机械设计：椭圆齿轮被用于传动系统中，具有较好的传力和传动特性。
- 控制系统：控制系统中的稳定性分析和控制器设计也会使用椭圆的相关理论和方法。
综上所述，椭圆在数学、物理和工程等领域中都有广泛的应用。
通过理解和应用椭圆的相关理论和方法，我们可以解决许多实际问题并推动科学技术的发展。
椭圆第二定义及其应用在新课标课本(人教A 版)《椭圆》中，有这样一道例题“例6 点),(y x M 与定点)0,4(F 的距离和它到直线425:=x l 的距离的比是常数54，求点M 的轨迹”。
我们知道，点M 的轨迹是长轴、短轴长分别为10、6的椭圆，如果对这道例题进行推广，就得到椭圆的第二定义（比值定义）.定义：平面内与一个定点F 的距离和一条定直线的距离之比为常数)10(<<e e 的点的轨迹是椭圆. 定点F 称为椭圆的焦点,定直线叫做椭圆的准线,常数e 是椭圆的离心率.椭圆第二定义的巧妙运用可以使题目化繁为简,下面举例如下: 一、求距离［例1］椭圆的方程为16410022=+y x 上有一点P ，它到椭圆的左准线的距离等于10，求点P 到它的右焦点的距离.解：∵64,10022==b a ，∴66410022=-=-=b ac ，∴a c e ==53106= 依椭圆第二定义，设P 点到椭圆左焦点的距离为d ，则5310=d ,∴6=d ∴点P 到椭圆右焦点距离为2×10－6=14评述：椭圆第二定义的巧妙运用可以使题目化繁为简，熟练掌握椭圆第二定义灵活地将它应用到解题当中，是我们在学习中的重要训练对象.二、求最值［例2］已知定点A （－2，3），点F 为椭圆1121622=+y x 的右焦点，点M 在该椭圆上移动时，求|MA |+2|FM |的最小值，并求出此时点M 的坐标.分析：设M （x ,y ），则有⎪⎩⎪⎨⎧=++-+-++=+11216)2(2)3()2(2222222y x y x y x FM MA 由①可将y 用x 表示出来，将其代入②，则式子|MA |+2|FM |可转化成一个关于x 的一元函数，再求其最小值.以上解法，思路可行，计算量却很繁琐，不妨换一种思考方法.解：∵a =4,b =23,c =2∴e =21 右焦点F （2，0），右准线方程l :x =8设点M 到右准线l 的距离为d ，则21==e dFM 得2|MF |=d ∴|MA |+2|MF |=|MA |+d由于点A 在椭圆内，过A 作A K ⊥l ，K 为垂足，易证|A K|为|MA |+d 的最小值，其值为8+2=10∵M 点的纵坐标为3，得横坐标为23① ②∴|MA |+|2MF |的最小值为10，点M 的坐标为（23，3）评述：（1）以上解法就是椭圆第二定义的巧用，将问题转化成点到直线的距离去求，就可以使题目变得简单易解了.（2）一般地，如果遇到一个定点到定直线问题应联想到椭圆第二定义. 三、推导公式［例3］设P （x 0,y 0）是离心率为e 的椭圆，方程为12222=+by a x 上的一点，P 到左焦点F 1和右焦点F 2的距离分别为1r 和2r .求证：0201,ex a r ex a r -=+=证明：由椭圆第二定义，得e ca x PF =+201∴|PF 1|=e ca x 20+=e )(20c a x +,∴|PF 1|=0ex a +又e cax PF =-202,∴|PF 2|=e ca x 20-=e )(20c a x -, ∴|PF 2|=0ex a -，综上所述0201,ex a r ex a r -=+= 注意：|PF 1|=0ex a +,|PF 2|=0ex a -，称为(00,y x )点椭圆的焦半径，焦半径公式在解题中的作用应引起我们广大师生的注意.［例4］已知椭圆1922=+y x ，过左焦点F 作倾斜角为30°的直线交椭圆于A 、B 两点，求弦AB 的长. 解法一：∵a =3,b =1,c =22,∴F (－22,0)∴直线方程为y =)22(31+x 与1922=+y x 联立消元，得4x 2+122x +15=0 ①设A （x 1,y 1）,B (x 2,y 2)则依韦达定理，得x 1+x 2=－32,x 1x 2=415∴|AB |=21221214)(32311x x x x x x -+=-+,∴|AB |=2解法二：由于所求线段AB 是椭圆的“焦点弦”，故也可用“焦半径”公式计算：|AB |=|AF |+|BF |=2a +e (x 1+x 2)=2评述：一般地，遇到点到椭圆焦点的距离问题，可采用“焦半径”公式处理.。
椭圆的定义及应用椭圆是数学上的一个几何图形，由两个焦点F1和F2和所有距离这两个焦点的距离和等于一常数2a的点构成。
椭圆的形状可以用长轴2a和短轴2b来描述，焦距为2c，满足c^2 = a^2 - b^2。
椭圆最早由希腊数学家焦尼斯发现并研究，它在数学和各个领域中有广泛的应用。
以下是一些主要的应用领域：1. 天文学：椭圆在天文学中起着重要的作用。
根据开普勒的第一定律，行星和彗星的轨道是椭圆形的，太阳位于焦点的一个焦点。
这个定律为我们提供了更深入研究太阳系和行星运动的基础。
2. 工程学：椭圆在工程学中的应用非常广泛。
例如，在光学设计和电磁波传播中，椭圆是设计反射镜、天线、声呐和显微镜的重要基础。
椭圆形状的天线能够产生方向性辐射模式，这对于通信和无线传输非常重要。
3. 地理学：地理学中的某些地球轨迹也是椭圆形的。
地球绕太阳运行时，其轨道在三个维度上可能有一些摆动和倾斜，但总体上其轨道更接近椭圆。
这个特征对我们研究气候变化以及计算地球与太阳之间的距离和位置非常重要。
4. 密码学：椭圆曲线密码学（Elliptic Curve Cryptography，ECC）是一种现代加密算法。
椭圆曲线的数学性质使其成为构建安全密钥交换和数字签名的基础。
相较于传统的RSA算法，ECC具有更高的安全性和更短的密钥长度，这在保护数据传输的过程中具有重要意义。
5. 经济学：椭圆在经济学中的应用主要体现在利润最大化和成本最小化的优化问题上。
椭圆的形状体现了一个有效的边界条件。
例如，在分析变量间的相互关系时，利用椭圆来表示不同方案的成本和效益，以帮助决策者做出最佳选择。
总的来说，椭圆作为一个重要的数学概念在多个领域中都有广泛的应用。
从天文学、工程学到密码学和经济学，椭圆形状帮助我们理解和解决各种复杂的问题。
其优美的数学性质和多样的应用使其成为了一个重要的研究领域，并对我们生活和科技发展产生了积极的影响。
与椭圆相关的知识点椭圆是一种几何图形，它具有很多特殊的属性，被广泛应用在地理学、天文学、密码学等学科中。
本文将介绍椭圆在数学中的定义、性质以及相关的应用。
一、椭圆的定义和基本性质椭圆是由平面上到两个点 F1、F2 的距离之和恒定的点 P 形成的图形，其中距离之和为定值的线段叫做主轴，主轴的中心点与P 点所在直线的交点叫做圆心，主轴两端的交点叫做顶点。
椭圆有一些基本的性质，包括：1. 椭圆的长轴和短轴是对称的。
2. 椭圆的面积为πab，其中 a 和 b 分别是长轴和短轴的长度。
3. 椭圆上的任意两个点的距离之和等于长轴的长度。
二、椭圆的参数方程椭圆可以使用参数方程形式表示，其中：x=a cos ty=b sin t其中 a 和 b 分别代表长轴和短轴的长度，参数 t 代表椭圆上的每一个点。
这种参数方程表示形式在计算机图形学和数值计算中被广泛应用。
三、椭圆在天文学中的应用椭圆在天文学中被广泛应用，其中最著名的应用就是开普勒的第一定律，也叫“椭圆轨道定律”。
开普勒的第一定律指出，行星绕太阳的轨道是椭圆形状，而太阳处于椭圆的一个焦点位置，行星沿椭圆轨道周游的路程覆盖相等时间的面积也是相等的。
四、椭圆在密码学中的应用椭圆在密码学中也有广泛的应用，被称为“椭圆曲线密码学”。
椭圆曲线密码学是一种密钥协商协议，它可以安全地传输加密的消息。
这种密码学的优点在于密钥长度较短，且安全性强。
总结综上所述，椭圆是一种重要的几何图形，在数学、天文学、密码学等学科中都有广泛的应用。
掌握椭圆的基本定义和性质，以及它在不同领域中的应用，有助于我们更深入地理解这个几何图形，以及它的特殊性质和应用价值。
椭圆图像的原理和应用教案1. 椭圆图像的原理椭圆是一个几何图形，其形状与圆有些许差别。
椭圆由两个焦点和一条连接两个焦点的线段构成。
椭圆的图像在数学和科学的领域中具有广泛的应用。
下面将介绍椭圆图像的原理。
1.1 椭圆的定义和性质•椭圆可以通过一个固定点F1（焦点1）和一个固定点F2（焦点2）的定义。
椭圆上的每个点的到焦点1和焦点2的距离之和是一个常数。
这个常数被称为椭圆的焦距。
•椭圆的长轴是连接焦点1和焦点2的线段，短轴是连接椭圆的两个端点的线段。
•椭圆的离心率是焦距与长轴之比，取值范围为0到1。
1.2 椭圆的方程椭圆可以通过方程表示。
一般来说，椭圆的方程可以写成以下形式：(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1其中(h, k)是椭圆的中心坐标，a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴。
1.3 椭圆的图像特点•椭圆的形状比圆更加扁平。
•椭圆的面积可以通过半长轴和半短轴计算得出。
•椭圆的离心率越接近于0，形状越接近于圆；离心率越接近于1，形状越接近于扁平的椭圆。
2. 椭圆图像的应用椭圆图像在各个领域具有广泛的应用，包括数学、物理、工程等。
以下是一些椭圆图像的应用案例：2.1 天体轨道椭圆轨道是天体运动的一种常见形式。
行星、卫星等天体的轨道通常可以用椭圆来描述。
这些椭圆轨道的研究有助于我们了解宇宙中星体的运动规律。
2.2 抛物线天线抛物线是一种特殊类型的椭圆，具有类似于碗状的形状。
抛物线天线利用抛物线的特性，可以将信号集中于一个点或者一个平面，从而提高无线通信的效果。
抛物线天线被广泛用于无线通信设备、卫星接收器等。
2.3 光学器件椭圆镜是一种特殊形状的镜子，其反射特性可以将平行光线聚焦到一个点上。
椭圆镜在光学仪器、望远镜和激光设备中被广泛使用。
2.4 运动轨迹椭圆也可以用来描述物体在某些运动过程中的轨迹。
例如，天体在受到引力作用下的运动轨迹、行星绕太阳旋转的轨迹等。
选修2-1第一节 椭圆的定义与标准方程的应用解析几何在日常生活中应用广泛，行星绕太阳的轨道、人造卫星绕地球的轨道是椭圆形，古希腊的音乐厅及现代化的美国国会议厅（U.S. Capitol ）和摩门教大礼拜堂（Mormon Tabernacle ）也是椭圆形。
如何把实际问题转化为数学问题是解决应用题的关键，而建立数学模型是实现应用问题向数学问题转化的常用方法本节主要通过椭圆的应用，说明数学建模的方法，理解函数与方程、等价转化、分类讨论等数学思想【引例】 某检验员通常用一个直径为2cm 和一个直径为1cm 的标准圆柱，检测一个直径为3cm 的圆柱，为保证质量，有人建议再插入两个合适的同号标准圆柱，问这两个标准圆柱的直径是多少？简析：研究圆柱的截面，建立恰当的坐标系，找到动圆圆心的轨迹方程。
解：设直径为3,2,1的三个圆的圆心分别为O,A,B.问题转化为求两个等圆P 、Q 使它们与⊙O 相内切，与⊙A 、⊙B 相外切。
建立如图坐标系，并设⊙P 的半径为r ，则 |PA|+|PO|=1+r+1.5-r=2.5∴点P 在以A 、O 为焦点，长轴长为2.5的椭圆上，其方程为22116()241253x y ++= ①同理点P 在以O 、B 为焦点，长轴长为2的椭圆上，其方程为2214()123x y -+= ② 由①②得P 912(,)1414，Q 912(,)1414，3327r ∴=-=故所求圆的直径为67。
一、椭圆的定义：1、 第一定义：平面里到2、 第二定义3、 椭圆的标准方程： 一、类型1：椭圆定义的应用例1.（2010·湖南高考文科·Ｔ19）为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川山上相距8Km 的A 、B 两点各建一个考察基地，视冰川面为平面形，以过A 、B 两点的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系（图4）。
考察范围到A 、B 两点的距离之和不超过10Km 的区域。
（I ） 求考察区域边界曲线的方程：（II ） 如图4所示，设线段12P P 是冰川的部分边界线（不考虑其他边界），当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0.2km ，以后每年移动的距离为前一年的2倍。
问：经过多长时间，点A 恰好在冰川边界线上？【命题立意】把直线和圆锥曲线的关系问题放在生活实际中考查充分体现了知识的应用性。
能很好的体现学生应用知识的能力，而且打破了解析几何的固定命题模式。
【思路点拨】题目的阐述比较新颖，把求曲线的方程阐述成求区域的边界。
不受表面阐述所干扰，还是利用定义法求轨迹即可。
第二问是数列问题，巧妙地把解析几何和数列的求和结合起来。
【规范解答】 (1) 设边界曲线上点P 的坐标为（x,y ），则由|PA|+|PB|=10知，点P 在以A,B 为焦点，长轴为2a=10的椭圆上。
此时短半轴长34522=-=b .所以考察区域边界曲线（如图）的方程为192522=+y x .(2) 易知过点P 1,P 2的直线方程为04734=+-y x ，因此点A 到直线P 1P 2的距离为531)3(4|4716|22=-++-=d设经过n 年，点A 恰好落在冰川边界线上，则利用等比数列求和公式可得53112)12(2.0=--n解得n=5，即经过5年，点A 恰好在冰川边界线上。
例2 设有一颗彗星沿一椭圆轨道绕地球运行，地球恰好位于椭圆轨道的焦点处，当此彗星离地球相距m 万千米和34m 万千米时，经过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角分别为2π和3π，求该彗星与地球的最近距离 分析：本题的实际意义是求椭圆上一点到焦点的距离，一般的思路：由直线与椭圆的关系，列方程组解之；或利用定义法抓住椭圆的第二定义求解同时，还要注意结合椭圆的几何意义进行思考仔细分析题意，由椭圆的几何意义可知：只有当该彗星运行到椭圆的较近顶点处时，彗星与地球的距离才达到最小值即为a －c ，这样把问题就转化为求a ，c 或a －c解：建立如下图所示直角坐标系，设地球位于焦点F （－c ，0）处，椭圆的方程为22a x +22b y =1，当过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角为3π时，由椭圆的几何意义可知，彗星A 只能满足∠xFA =3π（或∠xFA ′=3π）作AB ⊥Ox 于B ，则｜FB ｜=21｜FA ｜=32m ，故由椭圆的第二定义可得m =a c （c a 2－c ）① 且34m =a c（c a 2－c +32m ）②两式相减得31m =a c ·32m ，∴a =2c 代入①，得m =21（4c －c ）=23c ，∴c =32m ∴a －c =c =32m答：彗星与地球的最近距离为32m 万千米点评： （1）在天体运行中，彗星绕恒星运行的轨道一般都是椭圆，而恒星正是它的一个焦点，该椭圆的两个端点，一个是近地点，另一个则是远地点，这两点到恒星的距离一个是a －c ，另一个是a +c（2）以上给出的解答是建立在椭圆的概念和几何意义之上的，以数学概念为根基充分体现了数形结合的思想另外，数学应用问题的解决在数学化的过程中也要时刻不忘审题，善于挖掘隐含条件，有意识地训练数学思维的品质例3 如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22 m ，要求通行车辆限高45 m ，隧道全长25 km ，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状（1）若最大拱高h 为6 m ，则隧道设计的拱宽l 是多少？（2）若最大拱高h 不小于6 m ，则应如何设计拱高h 和拱宽l ，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小？（半个椭圆的面积公式为S =4πlh ，柱体体积为底面积乘以高本题结果均精确到01 m ） （1）解：如下图建立直角坐标系，则点P （11，45），椭圆方程为22a x +22by =1将b =h =6与点P 坐标代入椭圆方程，得a =7744，此时l =2a =7788≈333 因此隧道的拱宽约为333 m（2）解法一：由椭圆方程22a x +22b y =1，得2211a +225.4b=1因为2211a +225.4b≥ab 5.4112⨯⨯，即ab ≥99，且l =2a ，h =b ，所以S =4πlh =2πab 2π99当S 取最小值时，有2211a =225.4b=21，得a =112，b l =2a =222≈311，h =b≈64故当拱高约为64 m 、拱宽约为311 m 时，土方工程量最小解法二：由椭圆方程22a x +22b y =1，得2211a +225.4b =1于是b 2=481·12122-a aa 2b 2=481（a 2－121+12112122-a +242）≥481（22121+242）=81×121，即ab ≥99，当S 取最小值时，有a 2－121=12112122-a 得a =112，b =229，以下同解法一二、类型二 构造椭圆的模型例1 解方程842++x x +2082+-x x =10．解：将原方程配方，得4)2(2++x +4)4(2+-x =10． 令y 2= 4，即有22)2(y x ++ +22)4(y x +-=10．根据椭圆定义，它表示以(－2，0)、(4，0)为焦点，长、短半轴分别为5、4的椭圆25)1(2-x +162y =1， 将y 2= 4代入椭圆方程中，解得x =1±235．经检验，x =1±235均是原方程的解． 例2 已知βα24sin cos +βα24cos sin =1 ，求证：α+β= 2π． 证明：由已知点A(cos 2α，sin 2α)、B( sin 2β ，cos 2β)都在椭圆β22sin x +β22cos y =1 上，过点B 的切线方程为 x + y = 1，而点A 又在此切点上，由切点的唯一性知 ，点A 与点B 重合．∴cos 2α= sin 2β ，且sin 2α= cos 2β， ∴cos α= sin β= cos(2π－β)， 又 α、2π－β∈(0，2π)，∴α=2π－β，即α+β=2π． 建模小结（小四黑体） 强化练习（小四黑体）1.1998年12月19日，太原卫星发射中心为摩托罗拉公司（美国）发射了两颗“铱星”系统通信卫星卫星运行的轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆，近地点为m km ，远地点为 n km ，地球的半径为R km ，则通信卫星运行轨道的短轴长等于A 2))((R n R m ++ B))((R n R m ++ C 2mn D mn解析：由题意22R n m ++－c =m +R ， ① 22Rn m +++c =n +R ， ② ∴c =2mn -，2b =222)2()22(m n R n m --++=2))((R n R m ++ 答案：A2有一种电影放映机的放映灯泡的玻璃上镀铝，只留有一个透明窗用作通光孔，它的反射面是一种曲线旋转而成的曲面的一部分，灯丝定在某个地方发出光线反射到卡门上，并且这两物体间距离为45 cm ，灯丝距顶面距离为28 cm ，为使卡门处获得最强烈的光线，在加工这种灯泡时，应使用何种曲线可使效果最佳?试求这个曲线方程分析：由于光线从灯丝发出，反射到卡门上光线应交于一点，这就是光线聚焦，只要把灯丝、卡门安在椭圆的2个焦点上，反射面采用旋转椭球面就可以使光线经反射后聚焦于卡门处，因而可获得强光解：采用椭圆旋转而成的曲面，如下图建立直角坐标系，中心截口BAC 是椭圆的一部分，设其方程为22a x +22by =1，灯丝距顶面距离为p ，由于△BF 1F 2为直角三角形，因而，|F 2B |2=|F 1B |2+|F 1F 2|2=p 2+4c 2，由椭圆性质有|F 1B |+|F 2B |=2a ，所以a =21（p +224c p +），a =21（28+225.48.2+）≈405 cm ，b =22c a -≈337 m ∴所求方程为2205.4x +2237.3y =13 2003年10月15日9时，“神舟”五号载人飞船发射升空，于9时9分50秒准确进入预定轨道，开始巡天飞行该轨道是以地球的中心F 2为一个焦点的椭圆选取坐标系如图所示，椭圆中心在原点近地点A 距地面200 km ，远地点B 距地面350 km 已知地球半径R =6371 km （如图）（1）求飞船飞行的椭圆轨道的方程； （2）飞船绕地球飞行了十四圈后，于16日5时59分返回舱与推进舱分离，结束巡天飞行，飞船共巡天飞行了约6×105 km ，问飞船巡天飞行的平均速度是多少?（结果精确到1 km/s ）（注：km/s 即千米/秒）解：（1）设椭圆的方程为22a x +22by =1由题设条件得a －c =|OA |－|OF 2|=|F 2A |=6371+200=6571， a +c =|OB |+|OF 2|=|F 2B |=6371+350=6721 解得a =6646，c =75，所以a 2=44169316，b 2=a 2－c 2=（a +c ）（a －c ）=6721×6571=44163691∴所求椭圆的方程为441693162x +441636912y =1（注：由44163691≈66455768得椭圆的方程为226646x +226.6645y =1，也是正确的）（2）从15日9时到16日6时共21个小时，即21×3600 s 减去开始的9分50 s ，即9×60+50=590（s ），再减去最后多计的1分钟，共减去590+60= 650（s ），得飞船巡天飞行的时间是21×3600－650=74950（s ），平均速度是74950600000≈8（km/s ） 所以飞船巡天飞行的平均速度是8 km/s。
