新人教版初中数学九年级上册《第二十四章圆：24.1圆的有关性质》公开课获奖教案_1

“24.1.1圆”的教学设计教学目标：知识技能：经历圆的概念的形成过程，理解圆、弦、弧等与圆有关的概念，了解等圆、同心圆、等弧的概念。

过程方法：经历探索圆的形成过程和发现其有关结论的过程，发展学生的数学思考能力。

利用圆的概念解决一些简单问题，形成几何直观，增强学生应用意识。

情感态度：体会圆在生产、生活中的应用，感受数学价值，体会图形的匀称美，培养学生的审美意识。

教学重难点：重点：经历形成圆的概念的过程，理解圆及其有关的概念。

难点：理解圆的概念的形成过程和圆的集合定义。

教学过程：一、创设情境展示一些生活的给我们以圆的形象的物体，引导学生找出图中共同的特点。

（图中都有圆）从而引入本节课所要学习的圆。

二、探索新课活动一：认识圆1、圆的动态定义如何画圆？（用圆规画）如果没有圆规，能画出一个圆吗？播放动画，再现圆的形成过程。

通过画图体验和观察，你能描述圆的形成过程吗？学生归纳，教师加以小结。

在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。

其中固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径，以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”.2、圆的特点几何画板展示，观看并思考小组讨论下面两个问题：问题（1）：圆上各点到定点（圆心O）的距离有什么规律？问题（2）：到定点的距离等于定长的点有什么特点？小组代表发言，教师点评小结。

圆的特点：（1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）；（2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上。

思考：在一个平面内，如果把所有到定点的距离等于定长的点都集合在一起会是什么？3、圆的静态定义圆心为O，半径为r的圆是所有到定点O的距离等于定长r 的点的集合。

在古代，人们就已经对圆有所了解，并给出了定义。

（链接课本上一个视频。

）在日常生活中，我们经常圆形的物体，如汽车的轮子。

大家思考一下“车轮为什么做成圆形的？”如果把轮子做成方形会怎样？（观看视频，体会方形轮子的车会怎样?）活动二：了解圆利用几何画板来了解与圆有关的概念，（1）弦和直径：连接圆上任意两点的线段（如图AB）叫做弦。

第二十四章圆教案教案是教师进行教学活动的有计划、有步骤的指导与实施方案。

教案的编写对于教师的教学工作具有重要的指导作用。

本文将为您介绍一份关于第二十四章圆的教案，以帮助教师们更好地进行教学设计。

一、教学目标：1. 知识目标：学生能够掌握圆的定义、圆心、半径、直径的概念。

2. 能力目标：能够计算圆的面积和周长。

3. 情感目标：培养学生对数学的兴趣，增强他们的数学思维能力。

二、教学重点：1. 理解圆的定义和基本概念。

2. 掌握计算圆的面积和周长的方法。

三、教学难点：1. 确定关于圆的面积和周长的公式。

2. 应用所学知识解决实际问题。

四、教学过程：1. 导入（约5分钟）- 引导学生回顾前面学过的有关图形的知识，如矩形、三角形等，并提问：“你们知道什么是圆吗？”- 学生回答后，教师简要介绍圆的定义和基本概念。

2. 理解圆的定义和基本概念（约10分钟）- 展示一些圆的图片，帮助学生直观地理解圆的形状和特点。

- 与学生一起讨论圆的定义，引导他们明确掌握圆心、半径、直径的概念。

3. 掌握计算圆的面积和周长的方法（约20分钟）- 引导学生回忆计算矩形和三角形面积的方法，并与圆形面积进行对比。

- 解释圆的面积公式：S = πr²，并引导学生理解公式中的每个符号的含义。

- 指导学生进行一些练习，加深他们对圆的面积计算方法的掌握。

- 解释圆的周长公式：C = 2πr，并引导学生理解公式中的每个符号的含义。

- 指导学生进行一些练习，加深他们对圆的周长计算方法的掌握。

4. 应用所学知识解决实际问题（约15分钟）- 设计一些实际问题，让学生应用所学知识计算圆的面积和周长。

- 引导学生分析问题，提醒他们注意问题的要求和给定条件。

- 学生个别或小组合作解决问题，教师逐一指导并及时给予反馈。

5. 总结与拓展（约10分钟）- 总结圆的定义、基本概念及计算方法，并进行复习。

- 带领学生展开一些拓展性的思考，如探究圆与其他图形之间的关系。

人教版九年级上册数学《24.1.1圆（1）》教学设计一、教学分析【教学内容分析】本章在学习了直线图形有关性质得基础上，研究一种特殊的曲线图形——圆的有关性质.圆是常见的几何图形之一，不仅在日常生活中有许多圆形物体，而且在生产、交通、建筑等方面都可以看到圆的形象.圆的有关性质被广泛应用.圆不仅在几何中有重要地位，而且是进一步学习数学和其他科学重要的基础，它比较集中反映事物量变与质变、一般与特殊等关系.本章在小学学过圆的基础上，系统研究圆的概念和性质，圆中有关的角，点和圆、直线和圆、正多边形和圆的位置和数量关系.本节主要内容是圆的有关概念和有关性质，它是进一步研究圆与其他图形关系的主要依据，是全章的基础.【教学对象分析】圆是学生学习的第一个曲线形.由直线形到曲线形，在认识上是一个飞跃.学生在小学学过圆的知识，从学生学习的规律出发，加强新旧知识的联系，发挥知识的迁移作用，同时利用圆与实际联系紧密的特征，注重情境铺垫，使新知在学生眼中不陌生，容易接受.从培养学生的逻辑思维能力来说，“圆”这一阶段处于学生初步掌握了推理论证方法的基础上进一步巩固和提高的阶段.许多内容、研究方法相同或相近，学生可采用类比学习获得新知，采用探索式的证明方法发展思维提高推理能力.【教学环境分析】本课采用“活动教学”理念.利用课件，几何画板，白板呈现，化静为动，即时互动；利用QQ群的文字、语音、图片、视频的传送和互动功能实现课堂内外的延伸和拓展；利用录像记录开展数学课外实践活动的过程，为课堂提供鲜活的学习素材，实现多媒体与教育教学的深度融合.二、目标分析【教学目标】1.掌握圆的定义，了解与圆有关的的概念，能根据性质解决简单问题，培养学生的合情推理能力；2.经历从特殊到一般的活动过程，渗透类比、集合思想，逐步形成解决问题的能力；3.在探索学习的过程中培养学生的独立自学和合作探究的意识和习惯，使学生在数学学习活动中获得成功的体验.【教学重点】理解圆的定义及相关概念.【教学难点】理解圆的“集合法”的概念.三、教学过程前置学习1．数学兴趣小组的同学录制套圈游戏视频.2．圆是常见的几何图形，生活中许多物体都给我们以圆的形象.请同学们收集4～5张有代表性的圆形实物图片，制作一张ppt，配上文字并署名发qq群，根据同学的点赞数评选前三甲制作人.3．预习课本P79-80，通过qq的语音录制功能，说说你知道了圆的哪些相关概念，有什么疑惑.同学们即时互动，对同伴的语音内容进行补充、纠偏、答疑、解惑.根据同学们的互动频率评选十佳学习能手.【设计意图：套圈游戏的录制把静态描述，画面想象转化为生活场景的原生态呈现，学生亲自参与，把生活经验凝结成几何知识，自然生成.学生收集圆形实物的过程，能感受圆与我们生活息息相关，体会圆给我们带来的独特美感，从而形成对美的追求，制作出布局和谐的ppt.qq互动是学生们时尚的交流方式，引领他们交流的话题可以涵盖学习，开发qq的互相学习、交流的功能，提高预习兴趣.】课堂教学教学环节一：生活情境，引入新课教师活动：古希腊数学家毕达哥拉斯认为：一切平面图形最美的是圆.圆象征着圆满、和谐.圆形物体在生活中随处可见，我们一起来欣赏入围前三甲的同学收集的图片. （ppt课件界面）圆在我们日常的生产生活中有着及其广泛的应用.同学们有没有发现，因为圆具有独特的对称性，因此也常被用来设计精美的图案.比如：学生齐答奥运五环、清华大学、北京大学.师顺势引导：希望同学们有朝一日能佩戴他们的校徽，实现人生理想.在小学，我们就已经认识了圆，从本节课起，我们将系统研究圆.回忆我们学习三角形和四边形的过程，同学们想想，我们将会学到圆的哪些知识？学生答，圆的概念、性质，判定等.师补充：以及圆和其他图形的位置关系和数量关系等. 今天，我们一起来学习圆的定义及相关概念.师板书课题.学生活动学生欣赏来自日常生活、工农业生产、交通运输、土木建筑、图案设计等方面的图片,感知圆的对称美，特别是名校校徽，激发自己积极上进努力考上名校的斗志.结合小学已有学习基础，回忆初中几何研究三角形和四边形的框架，初步感知九年级这个学段还需要学习圆的哪些知识.【设计意图：情景引入使用学生的制作更能达到入境的效果，产生共鸣；ppt的动画设计效果让名校校徽华丽登场，过目不忘，发挥学科的育人功能；利用已有学习经验自主构建新知学习脉络，强化类比学习方法.】教学环节二：动态情境，捕获新知教师活动既然生活离不开数学，我们就一起来看一段我班数学兴趣小组的同学录制的一段套圈游戏的视频，请同学们思考其中用到的数学知识.（师打开ppt界面上的视频链接）带着你的思考，小组交流，先登录qq，浏览视频，选择蕴含数学知识的画面截取上传，并说说用到的数学知识.（师打开qq界面显示学生交流的画面）学生汇报展示（师切换到ppt课件界面）第一个定格画面：学生整齐地站在一直线上，前方某处放有礼物.数学知识：直线外一点到直线上任意一点的所连线段中，垂线段最短.第二个定格画面：学生在齐心用跳绳画圆.数学知识：画一个圆必须具备两个要素：圆心和半径，两者缺一不可.教师演示画圆过程（师打开链接，用几何画板动态呈现），如图，已知线段OA，以O为圆心，OA长为半径画圆.引导学生从画圆的过程归纳出圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆. 请同学们在课堂笔记本上也画一个圆.类比三角形和平行四边形表示方法，我们把以点O为圆心的圆，记作⊙O，读作“圆O”.观察圆的变化，我们发现，半径确定了圆的大小，圆心确定了圆的位置.师板书.第三个定格画面：学生们都站在圆上.插“主持人语言：现在公平了吧！”数学知识：圆上各点到圆心的距离都相等，也就是半径长. 师板书.第四个定格画面：老师想加入游戏，站在了圆圈内. 插“众学生语言：不公平！”数学知识：（师打开链接，用几何画板动态呈现）到圆心（定点）的距离等于半径（定长）的点都在同一个圆上. 师板书.老师提问：如果还有许多同学要加入到这个游戏中来，如果把他们的脚印抽象成一个点，那么这些点应该落在哪儿呢？学生齐答点在圆上，由此，你能从集合的角度说说圆可以看成是满足什么条件的点的集合呢？小组交流，组织好语言，形成共识，班级汇报. 师板书.第五个定格画面：礼物揭晓，自行车模型.老师提问：现在，谁能解释“车轮为什么设计成圆形？”（师打开链接用几何画板动态呈现）学生答：用了圆的半径相等的性质，所以当车轮在平坦地面上行驶时会感觉非常平稳.在古代，墨子就道出了圆这种图形的内核，他说：“圜，一中同长也。

24.1 圆的有关性质24.1.2 垂直于弦的直径一、教学目标【知识与技能】1.通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性.2.掌握垂径定理及其推论.理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题.【过程与方法】通过探索垂径定理及其推论的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法.【情感态度与价值观】1.结合本课特点，向学生进行爱国主义教育和美育渗透.2.激发学生探究、发现数学问题的兴趣和欲望.二、课型新授课三、课时1课时。

四、教学重难点【教学重点】垂径定理及其推论，会运用垂径定理等结论解决一些有关证明，计算和作图问题.【教学难点】垂径定理及其推论.五、课前准备课件、图片、直尺等.六、教学过程（一）导入新课你知道赵州桥吗?它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？（出示课件2）（二）探索新知探究一圆的轴对称性教师问：把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？（出示课件4）学生通过自己动手操作，归纳出结论：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．出示课件5：教师问：圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？学生答：圆是轴对称图形，任意一条直径所在直线都是圆的对称轴.思考：如何来证明圆是轴对称图形呢？出示课件6:已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E．教师问：此图是轴对称图形吗？学生答：是轴对称图形．教师问：满足什么条件才能证明圆是轴对称图形呢？师生共同解答如下：（出示课件7）证明：连结OA、OB.则OA＝OB．又∵CD⊥AB，∴直径CD所在的直线是AB的垂直平分线.∴对于圆上任意一点，在圆上都有关于直线CD的对称点，即⊙O关于直线CD对称.师生进一步认知：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.探究二垂径定理及其推论出示课件8：如图，AB是⊙O的一条弦, 直径CD⊥AB, 垂足为E.你能发现图中有哪些相等的线段和劣弧?为什么?学生独立思考后口答：线段:AE=BE弧:AC⌒=BC⌒,AD⌒=BD⌒学生简述理由：把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A 与点B重合，AE与BE重合，重合．教师总结归纳：（出示课件9）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.推导格式：∵CD是直径，CD⊥AB，∴AE=BE, AC⌒=BC⌒,AD⌒=BD⌒教师强调：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？（出示课件10）学生独立思考后口答：1图是；2图不是，因为没有垂直；3图是；4图不是，因为CD没有过圆心.教师强调：垂径定理的几个基本图形：（出示课件11）出示课件12：如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真命题吗？①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？学生思考后教师总结：深化认知：（出示课件13）如图，①CD是直径；②CD⊥AB，垂足为E；③AE=BE；④AC⌒=BC⌒;⑤AD⌒=BD⌒.举例证明其中一种组合方法.学生思考后独立解决，并加以交流，教师加以指导，并举例.（出示课件14）如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE.（1）CD⊥AB吗？为什么？⑵AC⌒与BC⌒相等吗？AD⌒与BD⌒相等吗？为什么？证明：⑴连接AO,BO,则AO=BO,又AE=BE，OE=OE∴△AOE≌△BOE（SSS），∴∠AEO=∠BEO=90°，∴CD⊥AB.（2）由垂径定理可得AC⌒=BC⌒,AD⌒=BD⌒教师归纳总结：（出示课件15）垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如不能，请举出反例.教师强调：圆的两条直径是互相平分的.出示课件16：例1 如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm,OE=6cm,则AB=cm.学生思考后师生共同解答：连接OA，∵OE⊥AB，巩固练习：（出示课件17）如图，⊙O的弦AB＝8cm，直径CE⊥AB于D，DC＝2cm，求半径OC的长.学生自主思考后，独立解答如下：解：连接OA，∵CE⊥AB于D，，∴设OC=xcm，则OD=x-2,根据勾股定理，得x2=42+(x-2)2，∴22221068AE OA OE=-=-=cm.1184(cm)22AD AB==⨯=解得x=5，即半径OC的长为5cm.出示课件18：例2 已知：⊙O中弦AB∥CD,求证：学生思考后师生共同解答.证明：作直径MN⊥AB.∵AB∥CD，∴MN⊥CD.则（垂直于弦的直径平分弦所对的弧）教师强调：平行弦夹的弧相等.师生共同归纳总结：（出示课件19）解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心距（垂线段），或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.巩固练习：（出示课件20）如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证: 四边形ADOE是正方形．学生独立解答，一生板演.证明：∵OE⊥AC，OD⊥AB，AB⊥AC，∴∠OEA=∠EAD=∠ODA=90°.∴四边形ADOE为矩形，AE=12AC,AD=12AB.又∵AC=AB,∴AE=AD.∴四边形ADOE为正方形.出示课件21：例3 根据刚刚所学，你能利用垂径定理求出导入中赵州桥主桥拱半径的问题吗?教师引导学生分析题意，先把实际问题转化为数学问题，然后画出图形进行解答.解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R.经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D，与弧AB交于点C，则D是AB的中点，C 是弧AB的中点，CD就是拱高.∴AB=37m，CD=7.23m.AB=18.5m，OD=OC-CD=R-7.23.∴AD=12OA2=AD2+OD2，R2=18.52+(R-7.23)2，解得R≈27.3.即主桥拱半径约为27.3m.巩固练习:（出示课件23）如图a、b,一弓形弦长为cm，弓形所在的圆的半径为7cm，则弓形的高为_______.学生独立思考后解答：如图，分两种情况，弓形的高为5cm或12cm.教师归纳：1.涉及垂径定理时辅助线的添加方法（出示课件24）在圆中有关弦长a,半径r, 弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.2.弓形中重要数量关系弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：⑴d+h=r；⑵2 222ar d⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（三）课堂练习（出示课件25-29）1.2.已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为.3.⊙O的直径AB=20cm, ∠BAC=30°则弦AC= .4.（分类讨论题）已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥EF,且MN=12cm,EF=16cm,则弦MN和EF之间的距离为.5.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点.你认为AC和BD有什么关系？为什么？6.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD，垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.参考答案：1.C2.5cm3.4.14cm或2cm5.证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，则AE＝BE，CE＝DE.∴AE－CE＝BE－DE.即AC＝BD.6.解:连接OC.设这段弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m.,OE CD ⊥11600300(m)22CF CD ∴==⨯=，根据勾股定理，得222,OC CF OF =+ ()22230090.R R =+- 解得R=545.∴这段弯路的半径约为545m.（四）课堂小结通过这节课的学习，你有哪些收获和体会？（五）课前预习预习下节课（24.1.3）的相关内容.七、课后作业配套练习册内容八、板书设计：九、教学反思：1.这节课的教学从利用垂径定理来解决赵州桥桥拱半径问题开始，引入课题从实验入手，得到圆的轴对称性，进而推出垂径定理及推论.教学设计中，从具体、简单、特殊到抽象、复杂、一般，层层递进，以利于提高学生的数学思维能力，同时，注意加强对学生的启发和引导，培养学生们大胆猜想，小心求证的科学研究素质.2.本课的教学方法是将垂径定理和勾股定理有机结合，将圆的问题转化为直角三角形，常作的辅助线是半径或垂直于弦的直径.。

第二十四章圆24．1 圆的有关性质24．1.1 圆经历圆的概念的形成过程,理解圆、弧、弦等与圆有关的概念,了解等圆、等弧的概念．重点经历形成圆的概念的过程,理解圆及其有关概念．难点理解圆的概念的形成过程和圆的集合性定义．活动1创设情境,引出课题1．多媒体展示生活中常见的给我们以圆的形象的物体．2．提出问题：我们看到的物体给我们什么样的形象？活动2动手操作,形成概念在没有圆规的情况下,让学生用铅笔和细线画一个圆．教师巡视,展示学生的作品,提出问题：我们画的圆的位置和大小一样吗？画的圆的位置和大小分别由什么决定？教师强调指出：位置由固定的一个端点决定,大小由固定端点到铅笔尖的细线的长度决定．1．从以上圆的形成过程,总结概念：在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心,线段OA叫做半径．以点O 为圆心的圆,记作“⊙O”,读作“圆O”．2．小组讨论下面的两个问题：问题1：圆上各点到定点(圆心O)的距离有什么规律？问题2：到定点的距离等于定长的点又有什么特点？3．小组代表发言,教师点评总结,形成新概念．(1)圆上各点到定点(圆心O)的距离都等于定长(半径r)；(2)到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．因此,我们可以得到圆的新概念：圆心为O,半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．(一个图形看成是满足条件的点的集合,必须符合两点：在图形上的每个点,都满足这个条件；满足这个条件的每个点,都在这个图形上．)活动3学以致用,巩固概念1．教材第81页练习第1题．2．教材第80页例1.多媒体展示例1,引导学生分析要证明四个点在同一圆上,实际是要证明到定点的距离等于定长,即四个点到O的距离相等．活动4自学教材,辨析概念1．自学教材第80页例1后面的内容,判断下列问题正确与否：(1)直径是弦,弦是直径；半圆是弧,弧是半圆．(2)圆上任意两点间的线段叫做弧．(3)在同圆中,半径相等,直径是半径的2倍．(4)长度相等的两条弧是等弧．(教师强调：长度相等的弧不一定是等弧,等弧必须是在同圆或等圆中的弧．)(5)大于半圆的弧是劣弧,小于半圆的弧是优弧．2．指出图中所有的弦和弧．活动5达标检测,反馈新知教材第81页练习第2,3题．活动6课堂小结,作业布置课堂小结1．圆、弦、弧、等圆、等弧的概念．要特别注意“直径和弦”“弧和半圆”以及“同圆、等圆”这些概念的区别和联系．等圆和等弧的概念是建立在“能够完全重合”这一前提条件下的,它将作为今后判断两圆或两弧相等的依据．2．证明几点在同一圆上的方法．3．集合思想．作业布置1．以定点O为圆心,作半径等于2厘米的圆．2．如图,在Rt△ABC和Rt△ABD中,∠C＝90°,∠D＝90°,点O是AB的中点．求证：A,B,C,D四个点在以点O为圆心的同一圆上．答案：1.略；2.证明OA＝OB＝OC＝OD即可．。