有理数(基础篇)(Word版 含解析)

一、初一数学有理数解答题压轴题精选（难）1．认真阅读下面的材料，完成有关问题：材料：在学习绝对值时，我们已了解绝对值的几何意义，如|5-3|表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；又如|5+3|=|5-（-3）|，所以|5+3|表示5、-3在数轴上对应的两点之间的距离。

因此，一般地，点A,B在数轴上分别表示有理数a,b，那么A,B之间的距离（也就是线段AB的长度）可表示为|a-b|。

因此我们可以用绝对值的几何意义按如下方法求的最小值；即数轴上x与1对应的点之间的距离，即数轴上x与2对应的点之间的距离，把这两个距离在同一个数轴上表示出来，然后把距离相加即可得原式的值.设A、B、P三点对应的数分别是1、2、x.当1≤x≤2时，即P点在线段AB上，此时；当x＞2时，即P点在B点右侧，此时＝ PA＋PB＝AB＋2PB＞AB；当x ＜1时，即P点在A点左侧，此时＝PA＋PB＝AB＋2PA＞AB；综上可知，当1≤x≤2时（P点在线段AB上），取得最小值为1.请你用上面的思考方法结合数轴完成以下问题：（1）满足的x的取值范围是________。

（2）求的最小值为________，最大值为________。

备用图：【答案】（1）当x<-3或x＞4（2）-3；3【解析】【解答】解：（1）由，在数轴上表示-3和4两点，当x<-3时， >7;当-3≤x≤4时， .当x＞4时， .故当x<-3或x＞4时 .（ 2 ）当x＜-1，当-1≤x≤2，，此时当x=2时，取得最大值3，当x=-1时，取得最小值-3；当x＞2时， .故的最小值为-3，最大值为3.【分析】（1）此题实质就是求表示x的点与-3的对应点的距离及表示x的点与4的对应点的距离和大于7时，x的取值范围，从而分当x<-3时、当-3≤x≤4时、当x＞4时三种情况根据绝对值的意义分别去绝对值符号后一一判断即可得出答案；（2）此题实质就是求表示x的点与-1的对应点的距离及表示x的点与2的对应点的距离差最小值与最大值，从而分当x＜-1、当-1≤x≤2、当x＞2时三种情况根据绝对值的意义分别去绝对值符号考虑即可得出答案.2．阅读下面的材料：点A、B在数轴上分别表示实数a，b，A，B两点之间的距离表示为|AB|当A、B两点中有一点在原点时，设点A在原点，如图①|AB|=|OB|=|b|=|a﹣b|当A、B两点都不在原点时，（ 1 ）如图②，点A，B都在原点的右边，|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=b﹣a=|a﹣b|（2 ）如图③，点A、B都在原点的左边，|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=﹣b﹣（﹣a）=|a ﹣b|（ 3 ）如图④，点A、B在原点的两边，|AB|=|OA|+|OB|=|a|+|b|=a+（﹣b）=|a﹣b|综上所述，数轴上A、B两点之间的距离|AB|=|a﹣b|请用上面的知识解答下面的问题：（1）数轴上表示﹣2和﹣4的两点之间的距离是________，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是________.（2）数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是________，如果|AB|=2，那么x为________.（3）当|x+1|+|x﹣2|=5时的整数x的值________.（4）当|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是________.【答案】（1）2；4（2）x+1；1或-3（3）-2或3（4）-1≤ x≤2【解析】【解答】（1）数轴上表示﹣2和﹣4的两点之间的距离是|﹣2﹣（﹣4）|=2；数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是|1﹣（﹣3）|=4故答案为:2，4（2）数轴上x与-1的两点间的距离为|x-（-1）|=|x+1|，如果|AB|=2，则x+1=±2，解得x=1或-3；故答案为：|x+1|，1或-3（3）解方程|x+1|+|x﹣2|=5，且x为整数.当x+1＞0，x-2＞0，则（x+1）+（x-2）=5，解得x=3当x+1＜0，x-2＜0，则-（x+1）-（x-2）=5，解得x=-2当x+1与x-2异号，则等式不成立.故答案为：3或-2.（ 4 ）根据题意得x+1≥0且x-2≤0，则-1≤x≤2；【分析】（1）直接根据数轴上A、B两点之间的距离|AB|＝|a−b|，代入数值运用绝对值的意义即可求解；（2）直接根据数轴上A、B两点之间的距离|AB|＝|a−b|，列出方程，求解即可；（3）由数轴上A、B两点之间的距离|AB|＝|a−b|可知，|x＋1|＋|x−2|表示点x到−1与2两点距离之和，由于,2与-1之间的距离是3小于5，故表示数x的点，不可能在-1与2之间，然后分数轴上表示x的点在数轴上表示数字1的点的右边及数轴上表示x的点在数轴上表示数字-2的点的左边两种情况考虑即可解决问题；（4）由数轴上A、B两点之间的距离|AB|＝|a−b|可知，|x＋1|＋|x−2|表示点x到−1与2两点距离之和，根据两点之间线段最短即可得出x的取值范围.3．通过学习绝对值,我们知道的几何意义是数轴上表示数在数轴上的对应点与原点的距离,如：表示在数轴上的对应点到原点的距离. ,即表示、在数轴上对应的两点之间的距离,类似的, ，即表示、在数轴上对应的两点之间的距离；一般地，点，在数轴上分别表示数、，那么，之间的距离可表示为 .请根据绝对值的几何意义并结合数轴解答下列问题：（1）数轴上表示和的两点之间的距离是________；数轴上、两点的距离为，点表示的数是，则点表示的数是________.（2）点，，在数轴上分别表示数、、 ,那么到点 .点的距离之和可表示为_ (用含绝对值的式子表示)；若到点 .点的距离之和有最小值，则的取值范围是_ __.（3）的最小值为_ __.【答案】（1）2；1或7（2）|x+1|+|x-2||-1≤x≤2（3）3【解析】【解答】解：（1）数轴上表示2和4的两点之间的距离是4-2=2；数轴上P、Q两点的距离为3，点P表示的数是4，则点Q表示的数是4-3=1或4+3=7；（ 2 ）A到B的距离与A到C的距离之和，可表示为|x+1|+|x-2|，∵|x-3|+|x+2|=7，当x＜-1时，|x+1|+|x-2|=2-x-x-1=1-2x无最小值，当-1≤x≤2时，|x+1|+|x-2|=x+1+2-x=3，当x＞2时，x+1+x-2=2x-1＞3，故若A到点B、点C的距离之和有最小值，则x的取值范围是-1≤x≤2；（3）原式=|x-1|+|x-4|.当1≤x≤4时，|x-1|+|x-4|有最小值为|4-1|=3故答案为：（1）2，1或7；（2）|x+1|+|x-2|，-1≤x≤2；（3）3【分析】（1）根据数轴上两点间的距离的求法“数轴上两点间的距离即数轴上表示两个点的数的差的绝对值．”可求解；（2）同理可求解；（3）由（2）中求得的x的取值范围去绝对值，然后合并同类项即可求解.4．阅读填空，并完成问题：“绝对值”一节学习后，数学老师对同学们的学习进行了拓展.数学老师向同学们提出了这样的问题：“在数轴上，一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离.那么，如果用P（a）表示数轴上的点P表示有理数a，Q（b）表示数轴上的点Q表示有理数b，那么点P与点Q的距离是多少？”（1）聪明的小明经过思考回答说：这个问题应该有两种情况.一种是点P和点Q在原点的两侧，此时点P与点Q的距离是a和b的绝对值的和，即∣a∣＋∣b∣.例如：点A（－3）与点B（5）的距离为∣－3∣＋∣－5∣=________；另一种是点P和点Q在原点的同侧，此时点P与点Q的距离的a和b中，较大的绝对值减去较小的绝对值，即∣a∣－∣b∣或∣b∣－∣a∣.例如：点A（－3）与点B（－5）的距离为∣－5∣－∣－3∣=________；你认为小明的说法有道理吗？如果没有道理，请你指出错误之处；如果有道理，请你模仿求出数轴上点M（）与N（）之间和点C（－2）与D（－7）之间的距离. ________（2）小颖在听了小明的方法后，提出了不同的方法，小颖说：我们可以不考虑点P和点Q 所在的位置，无论点P与点Q的位置如何，它们之间的距离就是数a与b的差的绝对值，即∣a－b∣.例如：点A（－3）与点B（5）的距离就是∣－3－5∣=________；点A（－3）与点B（－5）的距离就是∣（－3）－（－5）∣= ________；你认为小颖的说法有道理吗？如果没有道理，请你指出错误之处；如果有道理，请你模仿求出数轴上点M（）与N（）之间和点C（－1.5）与D（－3.5）之间的距离.________【答案】（1）解：8；2；有道理；点M与点N之间的距离为点C与点D之间的距离为（2）解：8；2；有道理；点M与点N之间的距离为点C与点的之间的距离为【解析】【分析】（1）数轴上的点，原点两侧两点之间的距离即点到原点绝对值的相加之和。

原点同侧两点之间的距离即绝对值大的减去绝对值小的。

（2）根据数轴上两点之间距离的意义，小颖说的也有意义。

列出等式代数求值即可。

5．已知：b是最小的正整数，且a、b满足，请回答问题：（1）请直接写出a、b、c的值： a=________； b=________； c=________．（2）a、b、c所对应的点分别为A、B、C，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB，试计算此时BC—AB的值．（3）在（1）（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒3个单位长度和x（x>3）个单位长度的速度向右运动，请问：是否存在x，使BC－AB的值随着时间t的变化而不变，若存在求出x；不存在请说明理由．【答案】（1）-1；1；4（2）解：BC-AB=（4-1）-（1+1）=3-2=1．故此时BC-AB的值是1（3）解：t秒时，点A对应的数为-1-t，点B对应的数为3t+1，点C对应的数为xt+4．∴BC=（xt+4）-（3t+1）=(x-3)t+3，AB=（3t+1）-（-1-t）=4t+2，∴BC-AB=(x-3)t+3-（4t+2）=（x-7）t+1，∴BC-AB的值不随着时间t的变化而改变时，其值为7【解析】【解答】解：（1）∵b是最小的正整数，∴b=1，∵|c-4|+（a+b）2=0，∴c-4=0，a+b=0，∴a=-1，c=4【分析】（1）根据b是最小的正整数，即可确定b的值，然后根据非负数的性质，几个非负数的和是0，则每个数是0，即可求得a，b，c的值；（2）根据两点间的距离公式可求BC、AB的值，进一步得到BC-AB的值；（3）先求出BC=4t+3，AB=4t+2，从而得出BC-AB，从而求解．6．如图，在数轴上点A表示的数a、点B表示数b，a、b满足|a﹣40|+（b+8）2＝0．点O是数轴原点．（1）点A表示的数为________，点B表示的数为________，线段AB的长为________．（2）若点A与点C之间的距离表示为AC，点B与点C之间的距离表示为BC，请在数轴上找一点C，使AC＝2BC，则点C在数轴上表示的数为________．（3）现有动点P、Q都从B点出发，点P以每秒1个单位长度的速度向终点A移动；当点P移动到O点时，点Q才从B点出发，并以每秒3个单位长度的速度向右移动，且当点P 到达A点时，点Q就停止移动，设点P移动的时间为t秒，问：当t为多少时，P、Q两点相距4个单位长度？【答案】（1）40；﹣8；48（2）8或﹣40（3）解：（i）当0＜t≤8时，点Q还在点B处，∴PQ＝t＝4；（ii）当8＜t≤12时，点P在点Q的右侧，∴解得：；（iii）当12＜t≤48时，点P在点Q的左侧，∴3（t﹣8）﹣t＝4，解得：t＝14，综上所述：当t为4秒、10秒和14秒时，P、Q两点相距4个单位长度．【解析】【解答】解：（1）∵|a﹣40|+（b+8）2＝0，∴a﹣40＝0，b+8＝0，解得a＝40，b＝﹣8，AB＝40﹣（﹣8）＝48．故点A表示的数为40，点B表示的数为﹣8，线段AB的长为48；（2）点C在线段AB 上，∵AC＝2BC，∴AC＝48× ＝32，点C在数轴上表示的数为40﹣32＝8；点C在射线AB上，∵AC＝2BC，∴AC＝40×2＝80，点C在数轴上表示的数为40﹣80＝﹣40．故点C在数轴上表示的数为8或﹣40；【分析】（1）根据偶次方以及绝对值的非负性即可求出a、b的值，可得点A表示的数，点B表示的数，再根据两点间的距离公式可求线段AB的长；（2）分两种情况：点C在线段AB上，点C在射线AB上，进行讨论即可求解；（3）分0＜t≤8、8＜t≤12，12＜t≤48三种情况考虑，根据P，Q移动的路程结合PQ＝4即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论．7．点P，Q在数轴上分别表示的数分别为p，q，我们把p，q之差的绝对值叫做点P，Q之间的距离，即．如图，在数轴上，点A，B，O，C，D的位置如图所示，则；；．请探索下列问题：（1）计算 ________，它表示哪两个点之间的距离？ ________（2）点M为数轴上一点，它所表示的数为x，用含x的式子表示PB=________；当PB=2时，x=________；当x=________时，|x+4|+|x-1|+|x-3|的值最小．（3）|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-2018|+|x-2019|的最小值为________．【答案】（1）5；A与C（2）x+2；-4或0；1（3）1019090【解析】【解答】解：（1）|1−（−4）|＝|1＋4|＝|5|＝5，|1−（−4）|表示点A与C之间的距离，故答案为：5，点A与C；（2）∵点P为数轴上一点，它所表示的数为x，点B表示的数为−2，∴PB＝|x−（−2）|＝|x＋2|，当PB＝2时，|x＋2|＝2，得x＝0或x＝−4，当x≤−4时，|x＋4|＋|x−1|＋|x−3|＝−x−4＋1−x＋3−x＝−x≥4；当−4＜x＜1时，|x＋4|＋|x−1|＋|x−3|＝x＋4＋1−x＋3−x＝8−x，当1≤x≤3时，|x＋4|＋|x−1|＋|x−3|＝x＋4＋x−1＋3−x＝6＋x，当x＞3时，|x＋4|＋|x−1|＋|x−3|＝x＋4＋x−1＋x−3＝3x＞9，∴当x＝1时，|x＋4|＋|x−1|＋|x−3|有最小值；故答案为：|x＋2|；−4或0；1（3）|x−1|＋|x−2019|≥|1−2019|＝2018，当且仅当1≤x≤2019时，|x−1|＋|x−2019|＝2018，当且仅当2≤x≤2018时，|x−2|＋|x−2018|≥|2−2018|＝2016，…同理，当且仅当1009≤x≤1011时，|x−1009|＋|x−1011|≥|1009−1011|＝2，|x−1010|≥0，当x＝1010时，|x−1010|＝0，∴|x−1|＋|x−2|＋|x−3|＋…＋|x−2018|＋|x−2019|≥0＋2＋4＋…＋2018＝1019090，∴|x−1|＋|x−2|＋|x−3|＋…＋|x−2018|＋|x−2019|的最小值为1019090；故答案为1019090．【分析】（1）由所给信息，结合绝对值的性质可求；（2）由绝对值的性质，分段去掉绝对值符号，在不同的x范围内确定|x＋4|＋|x−1|＋|x−3|的最小值；（3）由所给式子的对称性，结合绝对值的性质，将所求绝对值式子转化为求0＋2＋4＋…＋2018的和．8．已知点在数轴上对应的数为，点对应的数为，且 G 为线段上一点，两点分别从点沿方向同时运动，设点的运动速度为点的运动速度为，运动时间为 .（1）点对应的数为________，点对应的数为________；（2）若，试求为多少时，两点的距离为；（3）若，点为数轴上任意一点，且，请直接写出的值. 【答案】（1）-4；11（2）解：∵，且 ,∴，①即解得：②即解得： ,（3）解：①当点H在点B的左侧时，如图：设，∵，，∴，，∵，∴，∴，∴，②当点H在点B的右侧时，如图：∵，而∴∴，故答案为：或【解析】【解答】（1）∵，∴，，∴，，故答案为：；；【分析】（1）根据平方与绝对值的和为0，可得平方、绝对值同时为0，可得答案；（2）分两种情况讨论：① ，② 分别列式计算即可；（3）也分两种情况讨论：①当点H在点B的左侧时，设，列式计算即可；②当点H在点B的右侧时，直接列式计算即可；9．数轴上A、B两点对应的数分别是﹣4、12，线段CE在数轴上运动，点C在点E的左边，且CE＝8，点F是AE的中点．（1）如图1，当线段CE运动到点C、E均在A、B之间时，若CF＝1，则AB＝________，AC＝________，BE＝________；（2）当线段CE运动到点A在C、E之间时,①设AF长为 x，用含 x 的代数式表示BE的值（结果需化简）；②求BE与CF的数量关系；（3）当点C运动到数轴上表示数﹣14的位置时，动点P从点E出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动，抵达B后，立即以原来一半速度返回，同时点Q从A出发，以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，设它们运动的时间为t秒（t≤8），求t为何值时，P、Q 两点间的距离为1个单位长度．【答案】（1）16；6；2（2）解：∵点F是AE的中点，∴AF=EF，设AF=EF=x,∴CF=8﹣x，∴BE=16﹣2x=2（8﹣x），∴BE=2CF.故答案为① 16-2x，② BE=2CF.（3）解：①当0＜t≤6时，P对应数：-6+3t，Q对应数-4+2t，，解得：t=1或3；②当6＜t≤8时，P对应数， Q对应数-4+2t，，解得：或；故答案为t=1或3或或【解析】【解答】（1）数轴上A、B两点对应的数分别是-4、12，∴AB=16，∵CE=8，CF=1，∴EF=7，∵点F是AE的中点，∴AF=EF=7，,∴AC=AF﹣CF=6，BE=AB﹣AE=16﹣7×2=2，故答案为16，6，2；【分析】(1)由数轴上A、B两点对应的数分別是-4、12，可得AB的长;由CE＝8，CF＝1，可得EF的长，由点F是AE的中点，可得AF的长，用AB的长减去2倍的EF的长即为BE 的长；(2)设AF＝FE＝x，则CF＝8-x，用含x的式子表示出BE，即可得出答案(3)分①当0＜t≤6时；②当6＜t≤8时，两种情况讨论计算即可得解10．（阅读理解）：A，B，C为数轴上三点，若点C到A的距离CA是点C到B的距离CB 的2倍，我们就称点C是（A，B）的好点.例如，如图1，点A表示的数为－1，点B表示的数为2.表示1的点C到点A的距离CA是2，到点B的距离CB是1，那么点C是（A，B）的好点；又如，表示0的点D到点A的距离DA是1，到点B的距离DB是2，那么点D就不是（A，B)的好点，但点D是（B，A)的好点.（知识运用）：（1)如图1，表示数______和_______的点是（A，B）的好点；【答案】1|5（1）如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为－2，点N所表示的数为4.①表示数________的点是（M，N)的好点；②表示数________的点是（N，M)的好点；（2）如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为－20，点B所表示的数为40.现有一只电子蚂蚁P从点B出发，以2个单位每秒的速度向左运动.当t为何值时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的好点?【答案】（1）2或10；0或（2）解：设点P表示的数为n，则①P为（A，B）的好点时，有：，解得：，则秒；②P为（B，A）好点时，有两种情况：当点P在A、B之间时，有：，解得：，则秒；当点P在A点左边时，有：，解得：，则秒；③点B是（A、P）的好点时，有：，解得：，则秒；④点A是（B，P）的好点时，有：，解得：，则秒；⑤点A是（P，B）的好点时，有：，解得：，则秒.综合上述，当t为10秒或15秒或20秒或50秒或60秒或80秒时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的好点.【解析】【解答】解：（1）设所求数为x，则①当好点在A、B之间时，有：，解得：；②当好点在B的右边时，有：，解得：；∴表示数1和数5的点是（A，B）的好点；故答案为：1；5.当好点在M、N之间时，有：，解得：；当好点在N的右边时，有：，解得：；∴表示数2或10的点是（M，N)的好点；故答案为：2或10；②设所求数为z，则当好点在M、N之间时，有：，解得：；当好点在M的左边时，有：，解得：；∴表示数0或的点是（N，M)的好点；故答案为：0或；【分析】（1）设所求数为x，可分为：①当好点在A、B之间；②当好点在B点右边，根据好点的定义，列出方程，解方程即可；（2）①与（1）同理，可分为好点在M、N之间和N的右边，两种情况进行计算即可；②与（1）同理，可分为好点在M、N之间和点M 的左边，两种情况进行计算即可；（3）根据好点的定义可知分五种情况：①P为（A，B）的好点；②P为（B，A）的好点；③点B是（A、P）的好点；④点A是（B，P）的好点；⑤点A是（P，B）的好点；设点P表示的数为n，根据好点的定义列出方程，进而得出t的值．11．已知数轴上，点A和点B分别位于原点O两侧，AB=14，点A对应的数为a，点B对应的数为b.（1）若b＝－4，则a的值为________.（2）若OA＝3OB，求a的值.（3）点C为数轴上一点，对应的数为c.若O为AC的中点，OB＝3BC，直接写出所有满足条件的c的值.【答案】（1）10（2）解：当A在原点O的右侧时（如图）：设OB=m,列方程得：m+3m=14，解这个方程得，，所以，OA= ，点A在原点O的右侧，a的值为 .当A在原点的左侧时（如图)，a=－综上，a的值为± .（3）解：当点A在原点的右侧，点B在点C的左侧时（如图), c=－ .当点A在原点的右侧，点B在点C的右侧时（如图), c=－8.当点A在原点的左侧，点B在点C的右侧时，图略，c= .当点A在原点的左侧，点B在点C的左侧时,图略，c=8.综上，点c的值为：±8，± .【解析】【分析】(1)根据题意画出数轴，由已知条件得出AB=14,OB=4,则OA=10,得出a的值为10.(2)分两种情况,点A在原点的右侧时,设OB=m,列一元一次方程求解,进一步得出OA 的长度,从而得出a的值.同理可求出当点A在原点的左侧时,a的值.(3)画数轴,结合数轴分四种情况讨论计算即可.12．如图，已知数轴上点A表示的数为﹣3，B是数轴上位于点A右侧一点，且AB＝12.动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向点B方向匀速运动，设运动时间为t秒.（1）数轴上点B表示的数为________；点P表示的数为________（用含t的代数式表示）. （2）动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向点A方向匀速运动；点P、点Q同时出发，当点P与点Q重合后，点P马上改变方向，与点Q继续向点A方向匀速运动（点P、点Q在运动过程中，速度始终保持不变）；当点P返回到达A点时，P、Q 停止运动.设运动时间为t秒.①当点P返回到达A点时，求t的值，并求出此时点Q表示的数.②当点P是线段AQ的三等分点时，求t的值.【答案】（1）9；（2）解：①根据题意，得：（1+2）t＝12，解得：t＝4，∴P回到A需8s，当t＝8时，点P与点A重合，此时点Q表示的数为1；②P与Q重合前（即t<4）：当2AP＝PQ时，有2t+4t+t＝12，解得t＝；当AP＝2PQ时，有2t+t+t＝12，解得t＝3；P与Q重合后（即4<t<8）：当AP＝2PQ时，有2（8﹣t）＝2（t﹣4），解得t＝6；当2AP＝PQ时，有4（8﹣t）＝t﹣4，解得t＝；综上所述，当t＝秒或3秒或6秒或秒时，点P是线段AQ的三等分点.【解析】【解答】解：（1）由题意知，点B表示的数是﹣3+12＝9，点P表示的数是﹣3+2t，故答案为：9，﹣3+2t；【分析】（1）根据两点间的距离求解可得；（2）①根据重合前两者的路程和等于AB的长度列方程求解可得；②分点P与点Q重合前和重合后，依据点P是线段AQ的三等分点线段间的数量关系，并据此列出方程求解可得.。