线性代数期中考试试卷6

线性代数期中考试试卷一、选择题（每题2分，共20分）1. 设矩阵A是一个3阶方阵，如果A的行列式值为0，则下列哪个结论是正确的？A) A是可逆的B) A的秩小于3C) A的迹等于0D) A的逆矩阵存在2. 对于向量组的线性相关性，以下哪个说法是错误的？A) 非零向量组线性相关，则至少存在一个向量可以由其他向量线性表示B) 零向量与任何向量线性相关C) 一组向量线性无关，则它们不能表示为其他向量的线性组合D) 两个向量线性无关，它们可以构成一个平面3. 如果一个向量空间的基由n个向量构成，则该向量空间的维数是：A) 0B) nC) 1D) 24. 以下哪个矩阵不是正交矩阵？A) 单位矩阵B) 反射矩阵C) 对称矩阵D) 旋转矩阵5. 线性变换的核是变换的零向量，以下哪个说法是正确的？A) 核是变换的像B) 核是变换的值域C) 核是变换的零空间D) 核是变换的基二、填空题（每空1分，共10分）6. 若矩阵B是矩阵A的转置，则称矩阵B是矩阵A的_________。

7. 向量空间V中，若向量v满足Av=0，其中A是矩阵，则称v是A的_________。

8. 一个向量空间的基的向量个数称为该向量空间的_________。

9. 若矩阵A的秩等于其行数，则称矩阵A是_________的。

10. 线性变换的像空间是变换的_________。

三、解答题（每题15分，共30分）11. 证明如果矩阵A和矩阵B可交换，则它们的迹相等。

12. 给定两个向量v1和v2，证明它们线性无关的充分必要条件是它们构成的矩阵的行列式不为零。

四、应用题（每题15分，共30分）13. 已知矩阵A和向量b，求解线性方程组Ax=b。

14. 给定一个线性变换T: R^3 → R^2，其矩阵表示为T，求T的核和像，并证明核和像的直和等于R^3。

五、附加题（10分）15. 讨论矩阵的特征值和特征向量，并给出一个3阶方阵A的特征值和特征向量的计算方法。

2011级材料 学院《线性代数》期中考试试卷时间：120分钟 满分：100分一、单项选择题 (共10小题，每小题3分，共30分)1. 在下列构成5阶行列式展开式的各项中，取“－”的为 ( )(A) 5144322315a a a a a (B) 5344322511a a a a a (C) 3442155321a a a a a (D) 2544133251a a aa a2. 已知矩阵34 6 2 4 2 1 6 3 1 1 2 3- 0 21 1 1 1 1 =A ，则.)(=A r；1 )(A；2 )(B；3 )(C5 )(D3. 设四阶行列式111201110011111------=x D ，则其中x 的一次项的系数为 ( )(A) 1 (B) －1 (C) 2 (D) －24. 行列式0=nD 的一个必要条件是 ( )(A) D n 中各行元素之和等于零 (B) D n 中有一行(列)元素全为零(C) D n 中有两行(列)元素对应成比例 (D) 系数行列式为D n 的齐次线性方程组有非零解5. 设A , B 皆为n 阶方阵，且A 可逆，则下列运算一定正确的是 ( ) (A)kk kBA AB =)( (B)AA -=- (C)))((22A B A B AB-+=- (D)1**1)()(--=A A6. 设A , B 皆为n 阶方阵，则必有 ( )(A)BAAB = (B)AB B A -=- (C)BA B A +=+ (D)BA B A ⋅=⋅7. 设分块矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=231A AO AA ，其中的子块A 1, A 2为方阵，O 为零矩阵，若A 可逆，则 ( )(A) A 1可逆，A 2不一定可逆 (B) A 2可逆，A 1不一定可逆 (C) A 1,A 2都可逆(D) A 1,A 2都不一定可逆 8. 用初等矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛01100001左乘矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=642113112A ，相当于对A 进行如下何种初等变换( )(A)21r r ↔ (B)32r r ↔ (C)21c c ↔ (D)32c c ↔9. 设A 为5×3矩阵，且2)(=A R ，下三角矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=424212347437221P ，则)(PA R 等于 ( )(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 5 10. 非齐次线性方程组bx A=⨯55在以下哪种情形下有无穷多解. ( )(A)5),( ,4)(==b A A R R (B)4),( ,3)(==b A A R R (C)4),( ,4)(==b A A R R (D)5),( ,5)(==b A A R R二、填空题 (共5小题，每空3分，共15分)1. 设x 1,x 2,x 3,x 4是四次方程0234=+++c bxaxx的根，则行列式=0752340000014321x x x x ________.2. 若n 阶下三角行列式1111111111=nD)2(≥n ，则所有．．元素的代数余子式之和等于_____.3. 设A , B 皆为n 阶方阵，2=A ，3=B，则=-1*3BA_____.4. 设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=004300002000010A ，则=-1A.5. 设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a212221212111A ，且02121≠n n b b b a aa ，则________)(=A R .三、计算题 (共5小题，每小题6分，共30分)1.yy x x x y y xyy x =+++x2. 设五次多项式1111111111111111111111111)(+++++=x x x x x x f ，求：①x 5的系数；②x 4的系数；③常数项.3. 设四阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1612841296386424321A ，求A 99=__________4. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=21110001A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=322154B ，利用矩阵的初等变换．．．．．．．求矩阵X ，使得AX =B .5. 已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=k k 12115210611A 的秩等于2，求k 的值.四、证明题 (共2小题，每小题6分，共12分)1. 已知TTA ααββ=+，Tα为α的转置，Tβ为β的转置.（1）求证2≤)(A R ；（2）若,αβ线性相关，则2<)(A R .2. 设A 为n 阶矩阵，且AA =2，证明：n R R =-+)()(A E A .五、解答题 (13分)用克莱姆法则解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++-=----=+-+=+++01123253224254321432143214321x xx x x x x x x x x x x x x x一、单项选择题 (10×3=30分) 1. (D)；解：选项(A)和(B)的行标排列为标准次序，列标排列的逆序数分别为8和4(偶排列)；选项(C)的行标、列标排列都不是标准次序，调整相乘元素的次序，使行标排列为标准次序，则列标排列的逆序数为6(偶排列)；选项(D)的列标排列为标准次序，行标排列的逆序数分别为7(奇排列)，故选项(D)正确。

线性代数期中考试试题+答案.⼀、填空题（共30分，每填对⼀空得3分）1、函数23u xy z =在点(1,1,1)P 处沿⽅向(1,2,3)有最⼤⽅向导数，最⼤⽅向导数等于．2、设arctan x y z x y -=+，则 z x ?=?22y x y+， 22z x ?=?()2222xyx y -+．.3、函数(,)z z x y =由⽅程230zx y z e ++-=确定；则 z x ?=?21z x e -， z y ?=?231z y e -．4、微分⽅程d 2d y xy x=的通解为2x y ce =；0d ()d yx y x xx -=>的通解为 ln y x x cx =+．.5、设函数(,)f x y 连续，(,)(,)d d Df x y xy f u v u v =+??，其中D 由直线0y =，1x =和y x =所围，则(,)d d Df u v u v =??14，(,)f x y =14xy +．⼆、单项选择题（共20分，每题4分）=+，则点=的全微分d d dz f x yO(D) ．(0,0)(A) 不是(,)f x y的连续点；(B) 不是(,)f x y的极值点；(C) 是(,)f x y的极⼤值点；(D) 是(,)f x y的极⼩值点．..2、设函数(,)f x y =，则 (B) ．(A) (0,0)x f '存在，(0,0)y f '不存在； (B) (0,0)x f '不存在，(0,0)y f '存在； (C) (0,0)x f '和(0,0)y f '都存在； (D) (0,0)x f '和(0,0)y f '都不存在．.3、设积分域D ：221x y +≤，221sin()d d DI x y x y =+??，332sin()d d DI x y x y =+??，443sin()d d DI x y x y =+??，则 (B) ． (A) 123I I I >>； (B) 132I I I >>； (C) 213I I I >>； (D) 231I I I >>．.4、设函数()f u 连续，D ={}22(,)2x y x y y +≤，则()d d D．(A)11d ()d x f xy y -??； (B) 2002d ()d y f xy x ??；(C) 2sin 20d (sin cos )d f r r πθθθθ??； (D)2sin 2d (sin cos )d r f r r πθθθθ??．.5、函数(,)f x y 在点(0,0)O 处可微的⼀个充分条件是 (D) ． (A) (,)(0,0)lim(,)(0,0)x y f x y f →=；(B) 0(,0)(0,0)lim 0x f x f x →-=, 0(0,)(0,0)lim 0y f y f y→-=；(C) 0lim (,0)(0,0)x x x f x f →''= 且 0lim (0,)(0,0)y y y f y f →''=；(D) (,)(0,0)(,)(0,0)0x y f x y f →-=．.三、（10分）求微分⽅程 2(34)xy y x e ''-=+ 通解．解特征⽅程 210λ-=，特征根 121,1λλ=-=；------2分对应的齐次⽅程的通解 12x xy c e c e -=+ -----5分设原⽅程的特解* 2()xy ax b e =+并代⼊原⽅程，解得: *2xy xe = -----9分原⽅程的通解: 212xxxy c e c e xe -=++ -----10分四、（10分）求曲线L：2226x y zx y z++=++=在点(1,2,1)P-处的切线和法平⾯⽅程．解对x求导，得2220 10x yy zzy z''++=?''在点(1,2,1)P-处，211y zy z''-+=-''+=-，得0y'=，1z'=-------6分切线⽅程：121101x y z-+-==------8分法平⾯⽅程：0x z-=-----10分..五、（10分）计算⼆重积分 2(3)d d DI x y x y =+??，其中D ：221x y +≤．22(96)d d (9)d d DDI x y xy x y x y x y =++=+（奇偶性+对称性）-------2分2222221(9)(9)d d 5()d d 2D Dx y x y x y x y x y ??=+++=+ （轮换对称性） -------4分213055d d 2r r πθπ==?------10分.六、（10分）在曲⾯S ：22221x y z ++=上求距离平⾯26x y z +-=的最近点、最远点．解点(,,)x y z 到平⾯的距离26x y z +--，---2分设 2222(,,,)(26)(21)L x y z x y z x y z λλ=+--+++-------2分.令 2224(26)402(26)202(26)20210xyz L x y z x L x y z y L x y z z L x y z λλλλ'=+--+=??'=+--+=??'=-+--+=??'=++-=? ------6分解得最近点1111(,,)222P -，最远点2111(,,)222P -- -----10分.六、（10分）在曲⾯S ：22221x y z ++=上求距离平⾯∏：26x y z +-=的最近点、最远点．解令 0000(,,)P x y z S ∈, 椭球⾯S 过0P 切平⾯⽅程1000:2 1.x x y y z z ∏++=令12//∏∏，有:0002211x y z ==-， (1)⼜： 22221x y z ++=， (2)解得最近点1111(,,)222P -，最远点2111(,,)222P --.定理设0000(,,)P x y z S ∈，⽽S 为实⼆次曲⾯22222 2 A x B xy C x z Dy E y z F z +++++2 2 20,G x H y I z J ++++=若 Ax 0 + By 0 + Cz 0 + G,Bx 0 + Dy 0 + Ez 0 + H, Cx 0 + Ey 0 + Fz 0 + I ,不全为零, P 0 称为S 的寻常点. 则⼆次曲⾯S 在0000(,,)P x y z 处的切平⾯⽅程为:()()()00000000 A x x B x y xy C x z x z Dy y E y z y z +++++++()()()0000 0.F z z G x x H y y I z z J ++++++++=.七、（10分）设函数()f u 在(0,)+∞内⼆阶连续可微，(1)0f =，(1)1f '=，且z f =满⾜22220z zx y+=，求()f u ．解u =，则()z xf u x u'=，222232()()z y x f u f u x u u ?'''=+?； ()z y f u y u'=，222232()()z x y f u f u y u u ?'''=+?. --4分.代⼊原⽅程并化简，得 1()()0f u f u u'''+=，即()()(())0u f u f u u f u '''''+==， ------5分从⽽ 1()u f u c '=。

4． 阶行列式 D = b ． n
－24
b a L b
的值为多少？ 的值为多少？ (a + ( n − 1)b )(a − b )
n −1
M
M
M
M
b b b L a n× n 5． 如果非齐次线性方程组 Ax = b （ b ≠ 0 ）中方程个数少于未知数个数，那 中方程个数少于未知数个数， ．
么 (a) Ax = b 必有无穷多解； 必有无穷多解； (b) Ax = 0 必有非零解； 必有非零解； (c) Ax = 0 仅有零解； 仅有零解； (d) Ax = b 一定无解。 一定无解。 因为秩(A)< 未知数个数 请说明理由 (b) 因为秩
答案将于今日中午12点在公共邮箱公布 答案将于今日中午 点在公共邮箱公布 下次上课点评 xxdaishu@ 密码： 密码： cumtdaishu
5
答案
6
1．已知 a = [1 , 1 , 3] , b = [2, 0 , 2] , 则 (ba ) ．
T T T
2008
2 2 6 = 8 2007 0 0 0 2 2 6
2
=?
−1
=?
3．设 3 阶方阵的列分块矩阵 A = [a1 , a 2 , a 3 ] ，且 det A = 3 ，若三阶方 ． 阵 B = [ a1 ,−2a 2 ,3a 3 ] ，则 A + B =?
a b b L b b a b L b 4．n 阶行列式 D = b b a L b ．
的值为多少？ 的值为多少？
（3）有无穷多解 ）
2 A=λ 4
λ
−1 5
−1
1 = 0 且 R( A) = R([A, b])