2.2.2直线方程的几种形式

2.2.2 直线方程的几种形式整体设计教学分析教材利用斜率公式推导出了直线的点斜式方程，利用直线的点斜式方程推导出了直线的斜截式方程，让学生讨论得出直线的两点式方程，在练习B中给出了直线的截距式方程．值得注意的是本节所讨论直线方程的四种形式中，点斜式方程是基础是一个“母方程”，其他方程都可以看成是点斜式方程的“子方程”．因此在教学中要突出点斜式方程的教学，其他三种方程形式可以让学生自己完成推导．三维目标1．掌握直线的点斜式方程和斜截式方程；了解直线的斜截式方程是点斜式方程的特例，培养普遍联系的辩证思维能力．2．理解直线的两点式方程和截距式方程，并能探讨直线方程不同形式的适用范围，提高学生思维的严密性．3．会求直线方程，提高学生分析问题和解决问题的能力．重点难点教学重点：直线方程的四种形式及应用．教学难点：求直线方程．课时安排1课时教学过程导入新课设计1.我们知道两点确定一条直线，除此之外，在平面直角坐标系中，一个定点和斜率也能确定一条直线，那么怎样求由一点和斜率确定的直线方程呢？教师引出课题．设计2.上一节我们已经学习了直线方程的概念，其中直线y＝kx＋b就是我们本节所要进一步学习的内容，教师引出课题．推进新课新知探究提出问题(1)如左下图所示，已知直线l过P0(x0，y0)，且斜率为k，求直线l的方程．(2)已知直线l 过点P (0，b )，且斜率为k (如右上图)，求直线l 的方程． (3)已知两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1≠x 2，y 1≠y 2，求直线AB 的方程．(4)已知直线l 在x 轴上的截距是a ，在y 轴上的截距是b ，且a ≠0，b ≠0.求证直线l 的方程可写为x a ＋yb ＝1.(这种形式的直线方程，叫做直线的截距式方程)讨论结果：(1)设点P (x ，y )为直线l 上不同于P 0(x 0，y 0)的任意一点，则直线l 的斜率k 可由P 和P 0两点的坐标表示为k ＝y －y 0x －x 0.即y －y 0＝k (x －x 0)．①方程①就是点P (x ，y )在直线l 上的条件．在l 上的点的坐标都满足这个方程，坐标满足方程①的点也一定在直线l 上．方程①是由直线上一点P 0(x 0，y 0)和斜率k 所确定的直线方程，我们把这个方程叫做直线的点斜式方程．特别地，当k ＝0时，直线方程变为y ＝y 0.这时，直线平行于x 轴或与x 轴重合． (2)直线l 的点斜式方程为y －b ＝k (x －0)．整理，得y ＝kx ＋b .这个方程叫做直线的斜截式方程．其中k 为斜率，b 叫做直线y ＝kx ＋b 在y 轴上的截距，简称为直线的截距．这种形式的方程，当k 不等于0时，就是我们熟知的一次函数的解析式． (3)设P (x ，y )是直线AB 上任一点，则k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1，所以直线AB 的点斜式方程为y －y 1＝y 2－y 1x 2－x 1(x －x 1)，整理得y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1(x 1≠x 2，y 1≠y 2)，这种形式的方程叫做直线的两点式方程．(4)直线l 过点(a ,0)，(0，b )，则直线l 的两点式方程为y －0b －0＝x －a 0－a，整理得x a ＋yb ＝1.这种形式的直线方程，叫做直线的截距式方程．应用示例思路1例1 求下列直线的方程： (1)直线l 1：过点(2,1)，k ＝－1； (2)直线l 2：过点(－2,1)和点(3，－3)．解：(1)直线l 1过点(2,1)，斜率k ＝－1.由直线的点斜式方程，得y －1＝－1(x －2)，整理，得l 1的方程为x ＋y －3＝0. (2)我们先求出直线的斜率，再由点斜式写出直线方程． 直线l 2的斜率k ＝－3－13－(－2)＝－45，又因为过点(－2,1)，由直线的点斜式方程，得y －1＝－45[x －(－2)]，整理，得l 2的方程4x ＋5y ＋3＝0.另解：直线l 2的两点式方程为y －1－3－1＝x ＋23＋2，整理，得4x ＋5y ＋3＝0.点评：为了统一答案的形式，如没有特别要求，直线方程都化为ax ＋by ＋c ＝0的形式． 变式训练分别求出通过点P (3,4)且满足下列条件的直线方程，并画出图形： (1)斜率k ＝2；(2)与x 轴平行；(3)与x 轴垂直．解：(1)这条直线经过点P (3,4)，斜率k ＝2，点斜式方程为y －4＝2(x －3)， 可化为2x －y －2＝0.如图(1)所示．图(1)(2)由于直线经过点P (3,4)且与x 轴平行，即斜率k ＝0，所以直线方程为y ＝4. 如图(2)所示．图(2)(3)由于直线经过点P (3,4)且与x 轴垂直，所以直线方程为x ＝3. 如图(3)所示．图(3)例2 已知三角形三个顶点分别是A (－3,0)，B (2，－2)，C (0,1)，求这个三角形三边各自所在直线的方程．解：如下图，因为直线AB 过A (－3,0)，B (2，－2)两点，由两点式，得y －0x －(－3)＝－2－02－(－3)，整理，得2x ＋5y ＋6＝0，这就是直线AB 的方程；直线AC 过A (－3,0)，C (0,1)两点，由两点式，得y －0x －(－3)＝1－00－(－3)，整理，得x －3y ＋3＝0， 这就是直线AC 的方程；直线BC 的斜率是k ＝1－(－2)0－2＝－32，过点C (0,1)，由点斜式，得y －1＝－32(x －0)，整理得3x ＋2y －2＝0， 这就是直线BC 的方程．例3 求过点(0,1)，斜率为－12的直线的方程．解：直线过点(0,1)，表明直线在y 轴上的截距为1，又直线斜率为－12，由直线的斜截式方程，得y ＝－12x ＋1.即x ＋2y －2＝0. 变式训练1．直线l ：y ＝4x －2在y 轴上的截距是______，斜率k ＝______.【答案】－2 42．已知直线l ：y ＝kx ＋b 经过第二、三、四象限，试判断k 和b 的符号． 解：如下图所示因为直线l 与x 轴的正方向的夹角是钝角，与y 轴交点位于y 轴的负半轴上，所以k <0，b <0.思路2例4 过两点(－1,1)和(3,9)的直线l 在x 轴上的截距是______，在y 轴上的截距是______． 【解析】直线l 的两点式方程是x ＋13＋1＝y －19－1，当x ＝0时，y ＝3；当y ＝0时，x ＝－32.即直线l 在x 轴上的截距等于－32，在y 轴上的截距等于3.【答案】－323点评：已知直线的截距式方程，可以直接观察得出在两坐标轴上的截距；已知直线的非截距式方程时，令x ＝0，解得y 的值即是在y 轴上的截距，令y ＝0，解得x 的值即是在x 轴上的截距． 变式训练已知直线过点P (－2,3)，且与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线的方程． 解：因为直线与x 轴不垂直，所以可设直线的方程为y －3＝k (x ＋2)． 令x ＝0，得y ＝2k ＋3； 令y ＝0，得x ＝－3k－2.∴由题意，得12|(2k ＋3)(－3k －2)|＝4.若(2k ＋3)(－3k －2)＝－8，无解；若(2k ＋3)(－3k －2)＝8，解得k ＝－12，k ＝－92.∴所求直线的方程为y －3＝－12(x ＋2)和y －3＝－92(x ＋2)，即x ＋2y －4＝0和 9x ＋2y ＋12＝0.例5 设△ABC 的顶点A (1,3)，边AB 、AC 上的中线所在直线的方程分别为x －2y ＋1＝0，y ＝1，求△ABC 中AB 、AC 各边所在直线的方程．【解析】为了搞清△ABC 中各有关元素的位置状况，我们首先根据已知条件， 画出图形，帮助思考问题．解：如下图，设AC 的中点为F ，则AC 边上的中线BF 为y ＝1.AB 边的中点为E ，则AB 边上中线CE 为x －2y ＋1＝0.设C 点坐标为(m ，n )．在A 、C 、F 三点中A 点已知，C 点未知，F 虽然为未知但其在中线BF 上，满足y ＝1这一条件． 这样用中点公式⎩⎨⎧m ＋12＝F 点横坐标，n ＋32＝F 点纵坐标1.解出n ＝－1.又C 点在中线CE 上，应当满足CE 的方程，则m －2n ＋1＝0. ∴m ＝－3.∴C 点为(－3，－1)．用同样的思路去求B 点．设B 点为(a ，b )，显然b ＝1. 又B 点、A 点、E 点中，E 为中点，B 点为(a ,1)， E 点坐标为(1＋a 2，3＋12)，即(1＋a2，2)．E 点在CE 上，应当满足CE 的方程1＋a2－4＋1＝0，解出a ＝5.∴B 点为(5,1)．由两点式，即可得到AB ，AC 所在直线的方程．l AC ：x －y ＋2＝0.l AB ：x ＋2y －7＝0. 点评：此题思路较为复杂，应从中领悟到两点： (1)中点公式要灵活应用；(2)如果一个点在直线上，则这点的坐标满足这条直线的方程，这一观念必须牢牢地树立起来． 变式训练已知点M (1,0)，N (－1,0)，点P 为直线2x －y －1＝0上的动点，则|PM |2＋|PN |2的最小值为多少？解：∵P 点在直线2x －y －1＝0上， ∴设P (x 0,2x 0－1)．∴|PM |2＋|PN |2＝(2x 0－1)2＋(x 0－1)2＋(2x 0－1)2＋(x 0＋1)2＝2(2x 0－1)2＋2x 20＋2 ＝10x 20－8x 0＋4＝10(x 0－25)2＋125≥125. ∴最小值为125.例6 经过点A (1,2)并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条？请求出这些直线的方程．解：当截距为0时，设y ＝kx ，过点A (1,2)，则得k ＝2，即y ＝2x . 当截距不为0时，设x a ＋y a ＝1或x a ＋y－a ＝1，过点A (1,2)，则得a ＝3，或a ＝－1，即x ＋y －3＝0或x －y ＋1＝0.综上，所求的直线共有3条：y ＝2x ，x ＋y －3＝0或x －y ＋1＝0.点评：本题易漏掉直线y ＝2x ，其原因是忽视了直线方程的截距式满足的条件之一：在两坐标轴上的截距均不为零． 变式训练过点P (4，－3)的直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程．解：直线l 在两坐标轴上的截距相等都为0时，直线过(0,0)、(4，－3)，由两点式得直线方程为y ＝－34x ；当直线l 在两坐标轴上的截距相等且不为0时，可以设截距为a ，直线方程为x a ＋ya＝1，过点(4，－3)，解得直线的方程为x ＋y ＝1. 知能训练1．经过点(－2，2)，倾斜角是30°的直线的方程是( ) A ．y ＋2＝33(x －2) B ．y ＋2＝3(x －2) C ．y －2＝33(x ＋2) D ．y －2＝3(x ＋2) 【答案】C2．已知直线方程y －3＝3(x －4)，则这条直线经过的已知点，倾斜角分别是( ) A ．(4,3)，60° B ．(－3，－4)，30° C ．(4,3)，30° D ．(－4，－3)，60°【答案】A3．直线方程可表示成点斜式方程的条件是( )A ．直线的斜率存在B ．直线的斜率不存在C ．直线不过原点D ．不同于上述答案 【答案】A4．直线y ＝－3(x －2)绕点(2,0)按顺时针方向旋转30°所得的直线方程是______． 【解析】直线y ＝－3(x －2)的倾斜角为120°，绕点(2,0)按顺时针方向旋转30°后，倾斜角为120°－30°＝90°，则所得直线方程是x ＝2，即x －2＝0. 【答案】x －2＝05．已知△ABC 的顶点坐标为A (－1,5)、B (－2，－1)、C (4,3)，M 是BC 边上的中点． (1)求AB 边所在的直线方程； (2)求中线AM 的长； 解：(1)由两点式写方程，得y －5－1－5＝x ＋1－2＋1，即6x －y ＋11＝0. (2)设M 的坐标为(x 0，y 0)，则由中点坐标公式，得x 0＝－2＋42＝1，y 0＝－1＋32＝1，故M (1,1)，AM ＝(1＋1)2＋(1－5)2＝2 5.6．已知如下图，正方形边长是4，它的中心在原点，对角线在坐标轴上，求正方形各边及对称轴所在直线的方程．【解析】由于正方形的顶点在坐标轴上，所以可用截距式求正方形各边所在直线的方程．而正方形的对称轴PQ 、MN 、x 轴、y 轴则不能用截距式，其中PQ 、MN 应选用斜截式，x 轴，y 轴的方程可以直接写出． 解：因为|AB |＝4，所以|OA |＝|OB |＝42＝2 2. 因此A 、B 、C 、D 的坐标分别为(22，0)、(0,22)、(－22，0)、(0，－22)． 所以AB 所在直线的方程是x22＋y 22＝1，即x ＋y －22＝0.BC 所在直线的方程是x －22＋y22＝1，即x －y ＋22＝0.CD 所在直线的方程是x －22＋y－22＝1，即x ＋y ＋22＝0.DA 所在直线的方程是x22＋y －22＝1，即x －y －22＝0. 对称轴方程分别为x ±y ＝0，x ＝0，y ＝0.拓展提升如下图，要在土地ABCDE 上划出一块长方形地面(不改变方向)，问如何设计才能使占地面积最大？并求出最大面积(单位：m)．解：如下图，建立直角坐标系，在线段AB 上任取一点P 分别向CD 、DE 作垂线，划得一矩形土地．∵AB 方程为x 30＋y 20＝1，∴P (x ,20－2x3)(0≤x ≤30)，则S 矩形＝(100－x )[80－(20－2x 3)]＝－23(x －5)2＋6 000＋503(0≤x ≤30)，∴当x ＝5，y ＝503，即P (5，503)时，(S 矩形)max ＝18 0503(m 2)．课堂小结本节课学习了：1．直线方程的四种形式； 2．会求直线方程；3．注意直线方程的使用条件，尤其关注直线的斜率是否存在从而分类讨论．设计感想本节教学设计，以课程标准为指南，对直线方程的四种形式放在一起集中学习，这样有利于对比方程的适用范围，比教材中分散学习效果要好，特别是应用示例思路2的总体难度较大，适用于基础扎实、学习有余力的同学．。

2.2.2 直线方程的几种形式(二)【学习要求】1．理解直线方程的一般式的特点及与方程其它形式的区别与联系．2．会进行直线方程的一般式与其它几种形式之间的相互转化，进一步掌握求直线方程的方法． 【学法指导】通过探究二元一次方程与直线的关系，掌握直线方程的一般式；通过直线方程五种形式间的相互转化，学会用分类讨论的思想方法解决问题，认识事物之间的普遍联系与相互转化. 填一填：知识要点、记下疑难点1.直线的方程都是关于x ，y 的二元一次方程；关于x ，y 的二元一次图象又都是一条直线．我们把关于x ，y 的二元一次方程 Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0) 叫做直线的一般式方程，简称一般式． 研一研：问题探究、课堂更高效 [问题情境]前面我们学习了直线方程的四种表达形式，它们都含有x ，y 这两个变量，并且x ，y 的次数都是一次的，即它们都是关于x ，y 的二元一次方程，那么直线的方程与二元一次方程有怎样的关系？本节我们就来研究这个问题． 探究点 直线与二元一次方程的关系问题1 前面我们学习了直线方程哪几种形式？分别写出其方程？答： 点斜式：已知直线上一点P 1(x 1，y 1)的坐标，和直线的斜率k ，则直线的方程是y －y 1＝k(x －x 1)； 斜截式：已知直线的斜率k ，和直线在y 轴上的截距b ，则直线方程是y ＝kx ＋b ；两点式：已知直线上两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则直线的方程是y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1；截距式：已知直线在x 轴、y 轴上的截距为a 、b ，则直线的方程是x a ＋yb＝1.问题2 上述四种直线方程，能否写成 Ax ＋By ＋C ＝0的统一形式？答： 都能写成Ax ＋By ＋C ＝0的形式，点斜式：y －y 1＝k(x －x 1)，可化为kx ＋(－1)y ＋y 1－kx 1＝0；斜截式：y ＝kx ＋b ，可化为kx ＋(－1)y ＋b ＝0；当k 不存在时，直线为y 轴或平行于y 轴的直线，方程为x ＝x 1， 它可化为x ＋0·y －x 1＝0，此方程也是关于x ，y 的二元一次方程； y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1可化为(y 2－y 1)x ＋(x 1－x 2)y ＋x 1(y 1－y 2)＋y 1(x 2－x 1)＝0； x a ＋yb＝1可化为bx ＋ay －ab ＝0. 小结：直线的方程都是关于x ，y 的二元一次方程． 问题3 关于x ，y 的二元一次方程的一般形式是什么？答：关于x ，y 的二元一次方程的一般形式是Ax ＋By ＋C ＝0，其中A ，B 不同时为零．问题4 每一个关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为零)都表示一条直线吗？为什么？ 答： 都表示一条直线，原因如下：当B ≠0时，方程Ax ＋By ＋C ＝0可变形为y ＝－A B x －C B ，它表示过点(0，－C B )，斜率为－AB的直线．当B ＝0时，方程Ax ＋By ＋C ＝0变成Ax ＋C ＝0，即x ＝－CA，它表示与y 轴平行或重合的一条直线．小结：关于x ，y 的二元一次方程都表示一条直线． 问题5 直线与二元一次方程具有什么样的关系？答：直线方程都是关于x ，y 的二元一次方程；关于x ，y 的二元一次方程又都表示一条直线．我们把关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为零)叫做直线的一般式方程，简称一般式． 问题6 直线方程的一般式与其他几种形式的直线方程相比，它有什么优点？答：直线的一般式方程能够表示平面上的所有直线，而点斜式、斜截式、两点式方程，都不能表示与x 轴垂直的直线． 问题7 在方程Ax ＋By ＋C ＝ 0(A ，B 不同时为零)中，A ，B ，C 为何值时，方程表示的直线(1)平行于x 轴；(2)平行于y 轴；(3)与x 轴重合；(4)与y 轴重合．答：当A ＝0时，方程变为y ＝－CB ，当C ≠0时表示的直线为平行于x 轴，当C ＝0时与x 轴重合；当B ＝0时，方程变为x ＝－CA，当C ≠0时表示的直线为平行于y 轴，当C ＝0时与y 轴重合．例1 已知直线通过点(－2,5)，且斜率为－34，求此直线的一般式方程．解：由直线方程的点斜式，得y －5＝－34(x ＋2)，整理，得所求直线方程为3x ＋4y －14＝0.小结：对于直线方程的一般式，一般作如下约定：一般按含x 项、含y 项、常数项顺序排列；x 项的系数为正；x ，y 的系数和常数项一般不出现分数；无特殊要求时，求直线方程的结果写成一般式．跟踪训练1 若方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m)y －4m ＋1＝0表示一条直线，求实数m 的取值范围．解：方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m)y －4m ＋1＝0表示一条直线，则2m 2＋m －3＝0与m 2－m ＝0不能同时成立．解⎩⎪⎨⎪⎧2m 2＋m －3＝0，m 2－m ＝0， 得m ＝1. 故m 的取值范围为(－∞，1)∪(1，＋∞)． 例2 求直线l ：2x －3y ＋6＝0的斜率及在y 轴上的截距．解：已知直线方程可化为y ＝23x ＋2，所以直线l 的斜率k ＝23，在y 轴上的截距是2.小结：求直线方程，表面上需求A 、B 、C 三个系数，由于A 、B 不同时为零，若A≠0，则方程化为x ＋B A y ＋CA＝0，只需确定B A 、C A 的值；若B≠0，则方程化为A B x ＋y ＋C B ＝0，只需确定A B 、CB的值．因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程．这样在以后求直线方程时会有章可循．跟踪训练2 利用直线方程的一般式，求过点(0,3)并且与坐标轴围成三角形面积是6的直线方程．解：设直线为Ax ＋By ＋C ＝0，∵直线过点(0,3)代入直线方程得3B ＝－C ，B ＝－C 3，由三角形面积为6，得⎪⎪⎪⎪C 2AB ＝12，∴A ＝±C 4，∴方程为±C 4x －C3y ＋C ＝0， 所求直线方程为3x －4y ＋12＝0或3x ＋4y －12＝0.例3 已知直线l ：5ax －5y －a ＋3＝0.(1)求证：不论a 为何值，直线l 恒过第一象限； (2)为使直线不经过第二象限，求a 的取值范围．(1)证明：将直线l 的方程整理得y －35＝a(x －15)， ∴l 的斜率为a ，且过定点A(15，35)，而点A ⎝⎛⎭⎫15，35在第一象限，故直线l 恒过第一象限．(2)解：直线OA 的斜率为k ＝35－015－0＝3.而直线l 的方程整理得y －35＝a ⎝⎛⎭⎫x －15， ∵l 不经过第二象限，∴k ＝a ≥3. 小结： 针对这个类型的题目，灵活地把一般式Ax ＋By ＋C ＝0进行变形是解决这类问题的关键．在求参量取值范围时，巧妙地利用数形结合思想，会使问题简单明了．跟踪训练3 已知直线mx ＋ny ＋12＝0在x 轴，y 轴上的截距分别是－3和4，求m ，n.解：方法一：将方程mx ＋ny ＋12＝0化为截距式得：x －12m ＋y－12n ＝1，因此有⎩⎨⎧－12m ＝－3－12n ＝4，解之得：⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4n ＝－3.方法二 由截距意义知，直线经过A(－3,0)和B(0,4)两点，因此有⎩⎪⎨⎪⎧ m·(－3)＋n·0＋12＝0m·0＋n·4＋12＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4n ＝－3. 练一练：当堂检测、目标达成落实处1．如果方程Ax ＋By ＋C ＝0表示的直线是y 轴，则A 、B 、C 满足 ( D ) A ．B·C ＝0 B ．A ≠0 C ．B·C ＝0且A ≠0 D ．A ≠0且B ＝C ＝0 2．直线l 的方程为Ax ＋By ＋C ＝0，若直线l 过原点和二、四象限，则 ( D ) A ．C ＝0，B>0 B ．A>0，B>0，C ＝0 C ．AB<0，C ＝0 D ．AB>0，C ＝0 解析： 通过直线的斜率和截距进行判断．3．直线x ＋2y －1＝0在x 轴上的截距为________． 解析： 令y ＝0，得x ＝1. 课堂小结：1．直线方程的其他形式都可以化成一般形式，一般式也可以化为斜截式．一般式化斜截式的步骤：(1)移项，By ＝－Ax －C ；(2)当B≠0时，得y ＝－A B x －CB.2．在一般式Ax ＋By ＋C ＝0 (A 2＋B 2≠0)中，若A ＝0，则y ＝－CB，它表示一条与y 轴垂直的直线；若B ＝0，则x ＝－CA，它表示一条与x 轴垂直的直线．。

2.2.2 直线方程的几种形式(一)【学习要求】1．理解直线在坐标轴上的截距的概念．掌握直线方程的点斜式，斜截式，两点式，截距式，并理解它们存在的条件．2．能根据不同的条件，从直线方程的几种形式中选取适合的一种写出直线的方程．【学法指导】通过已知直角坐标系内确定一条直线的几何要素，探研出直线的点斜式、斜截式、两点式方程；通过比较理解“截距”与“距离”的区别，体会直线的斜截式方程与一次函数的关系，进一步培养数形结合的思想.填一填：知识要点、记下疑难点1．方程y －y 0＝k(x －x 0)是由直线上一点P 0(x 0，y 0)和斜率k 所确定的，称为直线方程的 点斜式 ．2．方程y ＝kx ＋b 叫做直线方程的 斜截式 ．其中k 为斜率，b 叫做直线y ＝kx ＋b 在y 轴上的截距，简称为直线的截距．3．经过直线上两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(其中x 1≠x 2，y 1≠y 2)的直线方程 y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1 ，称为直线方程的两点式． 研一研：问题探究、课堂更高效[问题情境]给出一定点P 0和斜率k ，或给出两定点直线就可以唯一确定了．如果设直线上的任意一点P(x ，y)，那么，如何建立P 点的坐标之间的关系呢？本节我们就来研究这个问题．探究点一 直线的点斜式方程问题1 已知两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)(其中x 1≠x 2)，如何求直线AB 的斜率？答： k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1. 问题2 在直角坐标系内确定一条直线，应知道哪些条件？答： 已知直线上的一个点和直线的倾斜角(斜率)可以确定一条直线；已知两点也可以确定一条直线．问题3 已知直线l 经过点P 0(x 0，y 0)，且斜率为k ，如何来求直线l 的方程？答： 设点P(x ，y)为直线l 上不同于P 0(x 0，y 0)的任意一点，则直线l 的斜率k 可由P 和P 0两点的坐标表示为k ＝y －y 0x －x 0，即y －y 0＝k(x －x 0)．小结： 方程y －y 0＝k(x －x 0)是由直线上一点P 0(x 0，y 0)和斜率k 所确定的直线方程，我们把这个方程叫做直线的点斜式方程．问题4 方程y －y 0＝k(x －x 0)，当k ＝0时，对应怎样的直线？答： 当k ＝0时，直线方程为y ＝y 0.这时，直线平行于x 轴或与x 轴重合．例1 求下列直线的方程：(1)直线l 1：过点(2,1)，k ＝－1；(2)直线l 2：过点(－2,1)和点(3，－3)．解： (1)直线l 1过点(2,1)，斜率k ＝－1.由直线的点斜式方程，得y －1＝－1(x －2)， 整理，得l 1的方程为x ＋y －3＝0.(2)我们先求出直线的斜率，再由点斜式写出直线方程．直线l 2的斜率k ＝－3－13－(－2)＝－45，又因为过点(－2,1)，由直线的点斜式方程，得y －1＝－45[x －(－2)]， 整理，得l 2的方程为4x ＋5y ＋3＝0. 小结： 由点斜式写直线方程时，由于过P(x 0，y 0)的直线有无数条，大致可分为两类：(1)斜率存在时方程为y －y 0＝k(x －x 0)；(2)斜率不存在时，直线方程为x ＝x 0.跟踪训练1 求满足下列条件的直线方程．(1)过点P(－4,3)，斜率k ＝－3； (2)过点P(3，－4)，且与x 轴平行；(3)过点P(5，－2)，且与y 轴平行； (4)过P(－2,3)，Q(5，－4)两点．解：(1)∵直线过点P(－4,3)，斜率k ＝－3，∴由直线方程的点斜式得直线方程为y －3＝－3(x ＋4)，即3x ＋y ＋9＝0.(2)与x 轴平行的直线，其斜率k ＝0，由直线方程的点斜式可得直线方程为y －(－4)＝0(x －3)，即y ＝－4.(3)与y 轴平行的直线，其斜率k 不存在，不能用点斜式方程表示，但直线上点的横坐标均为5，故直线方程为x ＝5.(4)过点P(－2,3)，Q(5，－4)的直线斜率k PQ ＝－4－35－(－2)＝－77＝－1.又∵直线过点P(－2,3)，∴由直线方程的点斜式可得直线方程为y －3＝－1(x ＋2)，即x ＋y －1＝0.探究点二 直线的斜截式方程问题1 如果一条直线通过点(0，b)，且斜率为k ，你能写出直线的点斜式方程吗？答： 由点斜式方程，得y －b ＝k(x －0)．整理，得y ＝kx ＋b.小结：方程y ＝kx ＋b 叫做直线的斜截式方程．k 为斜率，b 叫做直线y ＝kx ＋b 在y 轴上的截距，简称为直线的截距．问题2 直线y ＝kx ＋b 在x 轴上的截距是什么？它是直线与x 轴的交点到原点的距离吗？截距的值一定是正数吗？ 答：直线y ＝kx ＋b 在x 轴上的截距是直线与x 轴交点的横坐标，不是直线与x 轴的交点到原点的距离，截距的值可能是正数也可能是零或者负数．问题3 观察方程y ＝kx ＋b ，它的形式具有什么特点？答：左端y 的系数恒为1右端x 的系数k 和常数项b 均有明显的几何意义：k 是直线的斜率，b 是直线在y 轴上的截距．例2 求过点(0,1)，斜率为－12的直线的方程． 解：直线过点(0,1)，表明直线在y 轴上的截距为1，又直线斜率为－12，由直线的斜截式方程， 得y ＝－12x ＋1，即x ＋2y －2＝0. 小结： 已知直线的斜率求直线的方程，往往设直线方程的斜截式．跟踪训练2 已知直线l 的斜率为16，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求l 的方程． 解：设直线方程为y ＝16x ＋b ，则x ＝0时，y ＝b ；y ＝0时，x ＝－6b. 由已知可得12·|b|·|－6b|＝3， 即6|b|2＝6，∴b ＝±1. 故所求直线方程为y ＝16x ＋1或y ＝16x －1， 即x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0. 探究点三 直线的两点式方程导引 已知直线上两点P 1(x 1，y 1), P 2(x 2，y 2)(其中x 1≠x 2, y 1≠y 2)，如何求出过这两点的直线方程呢？问题1 能不能把上述问题转化成已经解决的问题呢？怎样转化？答：能．可以把已知两点求直线方程问题转化成用点斜式方程来求直线方程的问题，先求出直线的斜率，再选两点中的一个点，这样就具备了用点斜式求方程的条件．问题2 已知直线l 经过P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2) (其中x 1≠x 2，y 1≠y 2)两点，如何求直线的点斜式方程？ 如果将求出的点斜式方程写成比例式可化为怎样的形式？答：由于x 1≠x 2，所求直线的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1. 取P 1(x 1，y 1)和k ，由点斜式方程， 得y －y 1＝y 2－y 1x 2－x 1(x －x 1)． 由y 1≠y 2，方程两边同除y 2－y 1， 得y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1. 小结：经过直线上两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(其中x 1≠x 2，y 1≠y 2)的直线方程y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1叫做直线的两点式方程，简称两点式．问题3 从两点式方程的形式上看，直线方程的两点式适用求什么样的直线方程？答： 两点式适用于求与两坐标轴不垂直的直线方程．问题4 若P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)中有x 1＝x 2或y 1＝y 2时，直线P 1P 2有没有两点式方程？如何求直线P 1P 2的方程？ 答： 没有两点式方程．当x 1＝x 2时，直线P 1P 2平行于y 轴，直线方程为x －x 1＝0，或x ＝x 1；当y 1＝y 2时，直线P 1P 2平行于x 轴，直线方程为y －y 1＝0，或y ＝y 1.例3 已知直线l 与x 轴的交点为A(a,0)，与y 轴的交点为B(0，b)，其中a ≠0，b ≠0，求l 的方程．解： 将两点A(a,0)，B(0，b)的坐标代入两点式，得y －0b －0＝x －a 0－a，即x a ＋y b ＝1. 小结：我们把直线与x 轴交点(a,0)的横坐标a 叫做直线在x 轴上的截距，此时直线在y 轴上的截距是b ，方程x a ＋y b＝1由直线l 在两个坐标轴上的截距a 与b 确定，所以叫做直线的截距式方程． 跟踪训练3 已知△ABC 的顶点A(1，－1)，线段BC 中点D ⎝⎛⎭⎫3，32，求BC 边上的中线所在直线的方程． 解：线段BC 中点D ⎝⎛⎭⎫3，32△ABC 的顶点A(1，－1) ∴由两点式可得直线AD 的方程：y ＋132＋1＝x －13－1， 即5x －4y －9＝0.练一练：当堂检测、目标达成落实处1．经过点(－2，2)，倾斜角是30°的直线的方程是 ( )A ．y ＋2＝33(x －2)B ．y ＋2＝3(x －2)C ．y －2＝33(x ＋2) D ．y －2＝3(x ＋2) 解析：由题意直线的斜率k ＝tan 30°＝33， 又因直线经过点(－2，2)， 所以直线方程为y －2＝33(x ＋2)． 2．直线l 经过点P 0(－2,3)，且倾斜角α＝45°，求直线l 的方程，并画出直线l.解： 直线l 经过点P 0(－2,3)，斜率是k ＝tan 45°＝1，代入点斜式方程得y －3＝x ＋2. 整理，得x －y ＋5＝0，画出直线l ，如图．3．已知直线l 过点P(2,1)，且直线l 的斜率为直线x －4y ＋3＝0的斜率的2倍，求直线l 的方程．解： 由x －4y ＋3＝0，得y ＝14x ＋34，其斜率为14， 故所求直线l 的斜率为12，又直线l 过点P(2,1)， 所以直线l 的方程为y －1＝12(x －2)，即x －2y ＝0. 课堂小结：1．确定直线方程需要两个条件，如点斜式需要直线斜率与直线上一点坐标；斜截式需要直线斜率与直线在y 轴上截距；两点式需要直线上两点坐标；截距式需要直线在两坐标轴上的截距．无论使用哪一种直线方程形式，都应明确其限制条件，最后没有特殊说明，应将直线方程化为Ax ＋By ＋C ＝0的形式．2．应根据题目条件，选择合适的直线方程形式，从而使求解过程简单明确．设直线方程的截距式时，应注意是否漏掉过原点的直线，设直线方程的点斜式时，应注意是否漏掉斜率不存在的直线．。