2021高考数学一轮复习统考第9章平面解析几何第6讲双曲线学案北师大版

第6讲双曲线基础知识整合1．双曲线的概念平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c>0)的距离的差的绝对值为常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做01双曲线.这两个定点叫做双曲线的02焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的03焦距.集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0：(1)当04a<c时，M点的轨迹是双曲线；(2)当05a＝c时，M点的轨迹是两条06射线；(3)当07a>c时，M点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥08a或x≤09－a，y∈R x∈R，y≤10－a或y≥11a 对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)渐近线12y＝±bax 13y＝±abx离心率e＝ca，e∈14(1，＋∞)，其中c＝a2＋b2实虚轴线段A1A2叫做双曲线的15实轴，它的长|A1A2|＝162a；线段B1B2叫做双曲线的17虚轴，它的长|B1B2|＝182b；a叫做双曲线的半实轴长，b叫做双曲线的半虚轴长a，b，c的关系19c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.2．若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min ＝c－a.3．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为2b2 a；异支的弦中最短的为实轴，其长为2a.4．若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则S△PF1F2＝b2tanθ2，其中θ为∠F1PF2.5．若P是双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)右支上不同于实轴端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，I为△PF1F2内切圆的圆心，则圆心I的横坐标为定值a.6．等轴双曲线(1)定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线．(2)性质：①a＝b；②e＝2；③渐近线互相垂直；④等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项．1．(2019·浙江高考)渐近线方程为x±y＝0的双曲线的离心率是( )A．22B．1C． 2 D．2答案 C解析由题意可得ba＝1，∴e＝1＋b2a2＝1＋12＝ 2.故选C．2．(2019·北京高考)已知双曲线x2a2－y2＝1(a>0)的离心率是5，则a＝( ) A． 6 B．4C．2 D．12答案 D解析由双曲线方程x2a2－y2＝1，得b2＝1，∴c2＝a2＋1.∴5＝e2＝c2a2＝a2＋1a2＝1＋1a2.结合a >0，解得a ＝12.故选D ．3．(2019·宁夏模拟)设P 是双曲线x 216－y 220＝1上一点，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF 1|＝9，则|PF 2|等于( )A ．1B ．17C ．1或17D ．以上均不对答案 B解析 根据双曲线的定义得||PF 1|－|PF 2||＝8⇒|PF 2|＝1或17.又|PF 2|≥c －a ＝2，故|PF 2|＝17，故选B ．4．(2019·湖北荆州模拟)若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( )A ．73B ．54C ．43D ．53答案 D解析 由已知可得双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，点(3，－4)在渐近线上，∴b a ＝43，又a 2＋b 2＝c 2，∴c 2＝a 2＋169a 2＝259a 2，∴e ＝c a ＝53.故选D ．5．(2019·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2－y 2b2＝1(b >0)经过点(3,4)，则该双曲线的渐近线方程是________.答案 y ＝±2x解析 因为双曲线x 2－y 2b 2＝1(b >0)经过点(3,4)，所以9－16b2＝1(b >0)，解得b ＝2，即双曲线方程为x 2－y 22＝1，其渐近线方程为y ＝±2x .6．已知曲线方程x 2λ＋2－y 2λ＋1＝1，若方程表示双曲线，则λ的取值范围是________．答案 λ<－2或λ>－1解析 ∵方程x 2λ＋2－y 2λ＋1＝1表示双曲线，∴(λ＋2)(λ＋1)>0，解得λ<－2或λ>－1.核心考向突破考向一 双曲线的定义例1 (1)(2019·山西太原模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 24＝1(a >0)的一条渐近线方程为2x＋3y ＝0，F 1，F 2分别是双曲线C 的左、右焦点，点P 在双曲线C 上，且|PF 1|＝2，则|PF 2|＝( )A ．4B ．6C ．8D ．10答案 C解析 由题意得2a ＝23，解得a ＝3.因为|PF 1|＝2，所以点P 在双曲线的左支上．所以|PF 2|－|PF 1|＝2a ，解得|PF 2|＝8.故选C ．(2)(2019·河南濮阳模拟)已知双曲线x 2－y 2＝4，F 1是左焦点，P 1，P 2是右支上的两个动点，则|F 1P 1|＋|F 1P 2|－|P 1P 2|的最小值是( )A ．4B ．6C ．8D ．16答案 C解析 设双曲线的右焦点为F 2，∵|F 1P 1|＝2a ＋|F 2P 1|，|F 1P 2|＝2a ＋|F 2P 2|，∴|F 1P 1|＋|F 1P 2|－|P 1P 2|＝2a ＋|F 2P 1|＋2a ＋|F 2P 2|－|P 1P 2|＝8＋(|F 2P 1|＋|F 2P 2|－|P 1P 2|)≥8(当且仅当P 1，P 2，F 2三点共线时，取等号)，∴|F 1P 1|＋|F 1P 2|－|P 1P 2|的最小值是8.故选C ．(1)①抓住“焦点三角形PF 1F 2”中的数量关系是求解本题的关键；②利用定义求动点的轨迹方程，要分清是差的绝对值为常数，还是差为常数，即是双曲线还是双曲线的一支．(2)利用双曲线定义求方程，要注意三点：①距离之差的绝对值；②2a <|F 1F 2|；③焦点所在坐标轴的位置．[即时训练] 1.已知动点M (x ，y )满足x ＋22＋y 2－x －22＋y 2＝4，则动点M的轨迹是( )A ．射线B ．直线C ．椭圆D ．双曲线的一支答案 A解析 设F 1(－2,0)，F 2(2,0)，由题意知动点M 满足|MF 1|－|MF 2|＝4＝|F 1F 2|，故动点M 的轨迹是射线，故选A ．2．已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，A (1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|PA |的最小值为________.答案 9解析 设双曲线的右焦点为F 1，则由双曲线的定义，可知|PF |＝4＋|PF 1|，所以当|PF 1|＋|PA |最小时满足|PF |＋|PA |最小．由双曲线的图象，可知当点A ，P ，F 1共线时，满足|PF 1|＋|PA |最小，|AF 1|即|PF 1|＋|PA |的最小值．又|AF 1|＝5，故所求的最小值为9.考向二 双曲线的标准方程例2 (1)已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( )A ．x 2－y 28＝1B.x 28－y 2＝1 C ．x 2－y 28＝1(x ≥1)D ．x 2－y 28＝1(x ≤－1)答案 D解析 如图所示，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于点A 和B .根据两圆外切的条件，得|MC 1|－|AC 1|＝|MA |，|MC 2|－|BC 2|＝|MB |，因为|MA |＝|MB |，所以|MC 1|－|AC 1|＝|MC 2|－|BC 2|，即|MC 2|－|MC 1|＝|BC 2|－|AC 1|＝2，所以点M 到两定点C 2，C 1的距离的差是常数且小于|C 1C 2|.又根据双曲线的定义，得动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 到C 2的距离大，到C 1的距离小)，其中a ＝1，c ＝3，则b 2＝8.故点M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1)．(2)(2020·河北石家庄毕业班摸底)已知双曲线过点(2,3)，渐近线方程为y ＝±3x ，则该双曲线的标准方程是( )A.7x 216－y212＝1 B.y 23－x 22＝1 C ．x 2－y 23＝1D.3y 223－x223＝1 答案 C解析 因为双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，所以可设双曲线的方程为x 2－y 23＝λ(λ≠0)，将点(2,3)代入其中，得λ＝1，所以该双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1，故选C.求双曲线的标准方程的方法(1)定义法：由题目条件判断出动点的轨迹是双曲线，由双曲线定义，确定2a,2b 或2c ，从而求出a 2，b 2，写出双曲线方程．(2)待定系数法：先确定焦点是在x 轴还是在y 轴，设出标准方程，再由条件确定a 2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为x 2m 2－y 2n 2＝λ(λ≠0)，再根据条件求λ的值．注意：①双曲线与椭圆标准方程均可设为mx 2＋ny 2＝1(mn ≠0)，其中m >0且n >0，且m ≠n 时表示椭圆；mn <0时表示双曲线，合理使用这种形式可避免讨论．②常见双曲线设法：(ⅰ)已知a ＝b 的双曲线，可设为x 2－y 2＝λ(λ≠0)； (ⅱ)已知过两点的双曲线，可设为Ax 2－By 2＝1(AB >0)；(ⅲ)已知渐近线为x m ±y n ＝0的双曲线，可设为x 2m 2－y 2n2＝λ(λ≠0)．③双曲线的焦点位置仅靠渐近线是确定不了的，必须结合其他已知条件综合判断． ④判断清楚所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支．若是双曲线的一支，则需确定是哪一支．[即时训练] 3.(2018·天津高考)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为( )A ．x 24－y 212＝1B ．x 212－y 24＝1 C ．x 23－y 29＝1D ．x 29－y 23＝1答案 C解析 ∵双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，∴e 2＝1＋b 2a 2＝4，∴b 2a2＝3，即b 2＝3a 2，∴c 2＝a 2＋b 2＝4a 2，由题意可设A (2a,3a )，B (2a ，－3a )，∵b 2a2＝3，∴渐近线方程为y ＝±3x ， 则点A 与点B 到直线3x －y ＝0的距离分别为d 1＝|23a －3a |2＝23－32a ，d 2＝|23a ＋3a |2＝23＋32a ，又d 1＋d 2＝6，∴23－32a ＋23＋32a ＝6，解得a ＝3，∴b 2＝9.∴双曲线的方程为x 23－y 29＝1，故选C ．4．已知圆C ：(x －3)2＋y 2＝4，定点A (－3,0)，则过定点A 且和圆C 外切的动圆圆心M 的轨迹方程为__________.答案 x 2－y 28＝1(x ≤－1)解析 设动圆M 的半径为R ，则|MC |＝2＋R ，|MA |＝R ，所以|MC |－|MA |＝2，由双曲线的定义知，M 点的轨迹是以A ，C 为焦点的双曲线的左支，且a ＝1，c ＝3，所以b 2＝8，则动圆圆心M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1)．精准设计考向，多角度探究突破 考向三 双曲线的几何性质角度1 例3 (1)(2019·全国卷Ⅲ)设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2交于P ，Q 两点．若|PQ |＝|OF |，则C 的离心率为( )A ． 2B ． 3C ．2D ． 5答案 A解析 令双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 的坐标为(c,0)，则c ＝a 2＋b 2.如图所示，由圆的对称性及条件|PQ |＝|OF |可知，PQ 是以OF 为直径的圆的直径，且PQ ⊥OF .设垂足为M ，连接OP ，则|OP |＝a ，|OM |＝|MP |＝c2，由|OM |2＋|MP |2＝|OP |2，得⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＝a 2，∴ca＝2，即离心率e ＝ 2.故选A ．(2)若斜率为2的直线与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1恒有两个公共点，则双曲线离心率的取值范围是( )A ．(1,2)B ．(2，＋∞)C ．(1，3)D ．(3，＋∞)答案 D解析 因为斜率为2的直线与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1恒有两个公共点，所以b a >2，则e ＝ca ＝1＋b 2a2>1＋2＝3，所以双曲线离心率的取值范围是(3，＋∞)，故选D ．求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a ，b ，c 的方程或不等式，利用b 2＝c 2－a 2和e ＝ca转化为关于e 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．[即时训练] 5.双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，过F 1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M 点，若MF 2⊥x 轴，则双曲线的离心率为( )A ． 6B ． 3C ． 2D ．33答案 B解析 如图所示，在Rt △MF 1F 2中，∠MF 1F 2＝30°，|F 1F 2|＝2c ，∴|MF 1|＝2c cos30°＝433c ，|MF 2|＝2c ·tan30°＝233c ，∴2a ＝|MF 1|－|MF 2|＝433c －233c ＝233c ⇒e ＝ca＝ 3.6．已知点F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过点F 1且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABF 2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是( )A ．(1，3)B ．(3，22)C ．(1＋2，＋∞)D ．(1,1＋2)答案 D解析 依题意，0<∠AF 2F 1<π4，故0<tan ∠AF 2F 1<1，则b 2a 2c ＝c 2－a22ac <1，即e －1e<2，e 2－2e－1<0，(e －1)2<2，所以1<e <1＋2，故选D ．角度2 双曲线的渐近线问题例4 (1)(2020·贵州综合测试一)若双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线与圆(x －2)2＋y 2＝1相切，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±13xB ．y ＝±33x C ．y ＝±3x D ．y ＝±3x答案 B解析 由题可知双曲线C 的渐近线方程为y ＝±b ax ，圆心为(2,0)，半径为1，易知圆心到渐近线的距离d ＝2ba 2＋b2＝1，故4b 2＝a 2＋b 2，即3b 2＝a 2，则b a ＝33，故双曲线C 的渐近线方程为y ＝±33x ，选B ． (2)(2019·全国卷Ⅰ)双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为( )A ．2sin40°B ．2cos40°C ．1sin50°D ．1cos50°答案 D解析 由题意可得－ba＝tan130°，所以e ＝1＋b 2a2＝1＋tan 2130°＝1＋sin 2130°cos 2130°＝1|cos130°|＝1cos50°.故选D ．(1)渐近线的求法：求双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线的方法是令x 2a 2－y 2b2＝0，即得两渐近线方程x a ±y b＝0⎝⎛⎭⎪⎫y ＝±b ax .(2)双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)中，离心率e 与双曲线的渐近线的斜率k ＝±b a满足关系式e 2＝1＋k 2.[即时训练] 7.(2018·全国卷Ⅱ)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±22x D ．y ＝±32x 答案 A解析 ∵e ＝c a ＝3，∴b 2a 2＝c 2－a 2a 2＝e 2－1＝3－1＝2，∴ba＝ 2.因为该双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，故选A ．8．(2019·全国卷Ⅲ)双曲线C ：x 24－y 22＝1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O为坐标原点，若|PO |＝|PF |，则△PFO 的面积为( )A ．324B ．322C ．2 2D ．3 2答案 A解析 双曲线x 24－y 22＝1的右焦点坐标为(6，0)，一条渐近线的方程为y ＝22x ，不妨设点P 在第一象限，由于|PO |＝|PF |，则点P 的横坐标为62，纵坐标为22×62＝32，即△PFO 的底边长为6，高为32，所以它的面积为12×6×32＝324.故选A ． 考向四 直线与双曲线的位置关系例5 已知双曲线Γ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)经过点P (2,1)，且其中一焦点F 到一条渐近线的距离为1.(1)求双曲线Γ的方程；(2)过点P 作两条相互垂直的直线PA ，PB 分别交双曲线Γ于A ，B 两点，求点P 到直线AB 距离的最大值．解 (1)∵双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1过点(2,1)，∴4a 2－1b2＝1.不妨设F 为右焦点，则F (c,0)到渐近线bx －ay ＝0的距离d ＝|bc |a 2＋b2＝b ，∴b ＝1，a2＝2，∴所求双曲线的方程为x 22－y 2＝1.(2)当直线AB 的斜率不存在时，设A (x 0，y 0)(y 0>0)，则B (x 0，－y 0)，PA →＝(x 0－2，y 0－1)，PB →＝(x 0－2，－y 0－1)，∵PA →·PB →＝0，∴(x 0－2)2－(y 0－1)(y 0＋1)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x 20－4x 0－y 20＋5＝0，x 202－y 20＝1，得⎩⎨⎧x 0＝6，y 0＝17或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2，y 0＝1(舍去)，即A (6，17)，B (6，－17)，此时点P 到AB 的距离为6－2＝4.当直线AB 的斜率存在时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为y ＝kx ＋m .将y ＝kx ＋m 代入x 2－2y 2＝2中， 整理得(2k 2－1)x 2＋4kmx ＋2m 2＋2＝0. ∴x 1＋x 2＝－4km2k 2－1，①x 1x 2＝2m 2＋22k 2－1.②∵PA →·PB →＝0，∴(x 1－2，y 1－1)·(x 2－2，y 2－1)＝0， ∴(x 1－2)(x 2－2)＋(kx 1＋m －1)(kx 2＋m －1)＝0， ∴(k 2＋1)x 1x 2＋(km －k －2)(x 1＋x 2)＋m 2－2m ＋5＝0.③ 将①②代入③，得m 2＋8km ＋12k 2＋2m －3＝0， ∴(m ＋2k －1)(m ＋6k ＋3)＝0. 而P ∉AB ，∴m ＝－6k －3，从而直线AB 的方程为y ＝kx －6k －3.将y ＝kx －6k －3代入x 2－2y 2－2＝0中，得(1－2k 2)x 2＋(24k 2＋12k )x －72k 2－72k －20＝0，判别式Δ＝16(17k 2＋18k ＋5)>0恒成立， ∴y ＝kx －6k －3即为所求直线．∴P 到AB 的距离d ＝|2k －6k －3－1|1＋k 2＝4|k ＋1|k 2＋1.∵⎝ ⎛⎭⎪⎫d 42＝k 2＋1＋2k k 2＋1＝1＋2k k 2＋1≤2. ∴d ≤42，即此时点P 到直线AB 距离的最大值为4 2. ∵42>4，故点P 到直线AB 距离的最大值为4 2.求解双曲线综合问题的主要方法双曲线的综合问题主要为直线与双曲线的位置关系．解决这类问题的常用方法是： (1)设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程组成方程组，消元后转化成关于x (或y )的一元二次方程，利用根与系数的关系及整体代入的思想解题．(2)利用点差法．[即时训练] 9.设双曲线C ：x 2a2－y 2＝1(a >0)与直线l ：x ＋y ＝1相交于两个不同点A ，B ．(1)求双曲线C 的离心率e 的取值范围；(2)设直线l 与y 轴的交点为P ，取PA →＝512PB →，求a 的值．解 (1)将y ＝－x ＋1代入双曲线x 2a2－y 2＝1(a >0)中，得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0.所以⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2≠0，4a 4＋8a 21－a 2>0，解得0<a <2且a ≠1.又双曲线的离心率e ＝1＋a2a＝1a 2＋1，所以e >62且e ≠2，即e ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫62，2∪(2，＋∞)． (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (0,1)，因为PA →＝512PB →，所以(x 1，y 1－1)＝512(x 2，y 2－1)，由此得x 1＝512x 2.由于x 1，x 2是方程(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0的两根，且1－a 2≠0，所以x 1＋x 2＝1712x 2＝－2a21－a2， x 1x 2＝512x 22＝－2a 21－a2，消去x 2得－2a 21－a 2＝28960，由a >0，解得a ＝1713.直线l ：y ＝kx ＋1与双曲线C ：2x 2－y 2＝1的右支交于不同的两点A ，B . (1)求实数k 的取值范围；(2)是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．解 (1)将直线l 的方程y ＝kx ＋1代入双曲线C 的方程2x 2－y 2＝1后， 整理得(k 2－2)x 2＋2kx ＋2＝0.①依题意，直线l 与双曲线C 的右支交于不同两点，故⎩⎪⎨⎪⎧k 2－2≠0，Δ＝2k 2－8k 2－2>0，－2k k 2－2>0，2k 2－2>0，解得k 的取值范围是－2<k <－ 2.(2)设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则由①式得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2k2－k2，x 1x 2＝2k 2－2.②假设存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F (c,0)，则由FA ⊥FB ，得(x 1－c )(x 2－c )＋y 1y 2＝0.即(x 1－c )(x 2－c )＋(kx 1＋1)(kx 2＋1)＝0.整理得(k 2＋1)x 1x 2＋(k －c )(x 1＋x 2)＋c 2＋1＝0.③ 把②式及c ＝62代入③式化简得5k 2＋26k －6＝0. 解得k ＝－6＋65或k ＝6－65∉(－2，－2)(舍去)．可知存在k ＝－6＋65使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F .答题启示(1)以双曲线为背景，探究是否存在符合条件的直线，题目难度不大，思路也很清晰，但结论却不一定正确．错误原因是忽视对直线与双曲线是否相交的判断，从而导致错误，因为所求的直线是基于假设存在的情况下所得的．(2)关于这种探索性问题．若存在，可用点差法求出直线的斜率，进而求方程；也可以设直线斜率为k ，利用待定系数法求方程．(3)求得的方程是否符合要求，一定要注意检验．对点训练已知双曲线x 2－y 22＝1，过点P (1,1)能否作一条直线l ，与双曲线交于A ，B 两点，且点P是线段AB 的中点？解 设交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且线段AB 的中点为(x 0，y 0)，若直线l 的斜率不存在，显然不符合题意．设经过点P 的直线l 的方程为y －1＝k (x －1)， 即y ＝kx ＋1－k .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1－k ，x 2－y 22＝1，得(2－k 2)x 2－2k (1－k )x －(1－k )2－2＝0(2－k 2≠0)．① 则x 0＝x 1＋x 22＝k 1－k2－k2. 由题意，得k 1－k2－k2＝1，解得k ＝2. 当k ＝2时，方程①成为2x 2－4x ＋3＝0.Δ＝16－24＝－8<0，方程①没有实数解．故不能作一条直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且点P (1,1)是线段AB 的中点．。