逻辑推理 命题逻辑

命题逻辑基本推理公式(1) P∧Q⇒P .(2)¬( P→Q)⇒P .(3)¬(P→Q)⇒¬Q.(4) P⇒P ∨Q.(5)¬P⇒P →Q.(6) Q⇒P →Q.(7) ¬P∧(P∨Q) ⇒Q.选言推理否定式(8) P∧(P→Q) ⇒Q. 假言推理肯定前件式(9) ¬Q∧(P→Q) ⇒¬P .假言推理否定后件式(10) (P→Q)∧(Q→R) ⇒P→R. 三段论(11) (P↔ Q)∧(Q↔R) ⇒P↔R. 双条件三段论(12) (P→R)∧(Q→R)∧( P ∨Q) ⇒R. 二难推理(13) (P→Q)∧(R→S) ∧(P ∨R)⇒Q∨S. 二难推理(14) (P→Q)∧(R→S) ∧¬(Q∨¬S)⇒¬P ∨¬R. 破坏二难推理(15) (Q→R) ⇒(( P∨Q)→(P ∨R)) .(16) (Q→R) ⇒(( P→Q)→(P→R)) .使用真值表法证明这些推理公式是容易的。

若从语义上给予直观说明也是不难的. 如公式(2), ¬(P →Q) ⇒P . 公式( 3), ¬(P →Q)⇒Q. 意思是说, 若P →Q 不成立( 取假), 必有 P 为真, 还有 Q 为假. 这从P →Q 的定义可知, 因只有当 P = T 而 Q = F 时, P →Q = F. 又如公式( 7), ¬P ∧(P ∨Q)⇒Q. 意思是说, P 不对, 而P ∨Q 又对, 必然有 Q 对.公式( 8) , P ∧(P →Q) ⇒Q 常称作假言推理, 或称作分离规则, 是最常使用的推理公式。

公式(10) , (P →Q) ∧(Q→R)⇒P →R 常称作三段论。

日常语言运用：(1) 此人既呆又笨为真，则此人笨为真。

(2)(3)并非“犯错蕴涵失败“，即是说，”如果犯错，那么失败“为假命题,则必有犯错且不失败的例子。

数学问题的逻辑推理在数学领域中，逻辑推理是解决问题的关键步骤之一。

逻辑推理可以帮助我们理解和解决各种数学问题，无论是代数、几何还是概率。

本文将探讨数学问题中的逻辑推理，并介绍一些常见的推理方法。

一、命题逻辑推理命题逻辑是逻辑推理的基础，它主要研究命题之间的关系。

在数学问题中，我们常常需要通过命题逻辑推理来得出结论。

以下是一些常见的命题逻辑推理方法：1. 演绎推理：演绎推理是通过已知前提得出结论的推理方法。

例如，如果已知"A等于B"且"B等于C"，则可以演绎出"A等于C"的结论。

2. 归谬法：归谬法是通过否定前提得出矛盾结论的推理方法。

例如，如果已知"如果A成立，则B成立"，但我们发现B不成立，则可以推断出"A不成立"。

3. 假设法：假设法是通过假设某个条件成立来推断结论的方法。

例如，如果我们需要证明"A蕴含B"，可以先假设"A成立"，然后根据这个假设来推断"B成立"，如果能够得出"B成立"的结论，则证明了"A蕴含B"。

二、数学问题中的演绎推理演绎推理在解决数学问题中起着重要的作用。

通过逻辑上的演绎推理，我们可以从已知条件出发，逐步推导出问题的答案。

以下是一些常见的数学问题中的演绎推理例子：例1：已知a + b = 5，b + 2c = 10，求解a、b、c的值。

解：我们可以通过演绎推理来解决这个问题。

首先，根据第一个等式a + b = 5，我们可以得出a = 5 - b。

然后，将a的表达式代入第二个等式b + 2c = 10中，得到(5 - b) + 2c = 10。

通过整理，可以得到2c - b= 5。

至此，我们得到了两个方程式，通过解方程组，可以求解出a、b、c的值。

例2：已知a + b = 7，a - b = 3，求解a、b的值。

11．自然推理·命题自然推理的基本规则·归谬规则什么是自然推理自然推理是判定推理形式有效性的又一种方法。

自然推理的基本思想是确定一些推理规则，这些规则具有保真性，也就是说，依据这些规则，从真前提只会推出真结论。

因此，从所要判定的推理的前提出发，依据这些规则，如果能形式地推出预期的结论，这就说明该推理如果前提真，结论就一定真，因而是有效的。

当然，如果不能如此地推出预期的结论，尚不能就此断定推理是无效的，要判定推理的无效，还要用其他的方法。

因此，自然推理不是一种能行方法。

自然推理区别于一般公理化推理之处在于，作为推理依据的只有推理规则，没有公理。

这似乎更符合人们日常思维的自然习惯，因此，称之为自然推理。

本章只讨论用自然推理判定命题推理，因此，称之为命题自然推理。

命题自然推理的基本规则命题白然推理包括三条基本规则：规则P 在一个推导的任意—步，都可以引人任意一个真值形式作为前提。

规则T 在一个推导中．如果有一些先行出现的真值形式的合取重言地蕴涵A ，则可以在该推导中引人A 。

规则D 在一个推导中，，如果从一前提集和A 能推出B ，则从该前提集能推出A →B 。

所谓A 重言地蕴涵B ，就是指A →B 是重言式；自然，所谓n A A ,,1 的合取重言地蕴涵B ，就是指→∧∧n A A 1B 是重言式。

在求合取范式时，前面列出的常用重言式是被确认的基础；规则T 的运用，同样以这些常用重言式为基础。

不难证明，基于这三条基本规则的命题自然推理具有保真性，即从真前提不会推出假结论。

下面通过实例来说明如何构造命题自然推理。

[例1] 如果工资提高(p)，或者物价提高(q)，则将有通贷膨胀(r)。

如果通货膨胀，则或者国家将采取紧缩政策(s)，或者人民将遭受损失(t)。

如果人民遭受损失，改革就会失去人心 (u)。

国家将不采取紧缩政策，并且改革不会失去人心。

因此，物价不会提高。

构造上述推理的自然推理如下：(1) {}1 ()r q p →∨ P(2) {}2 ()t s r ∨→ P(3) {}3 u t → P(4) {}4 u s ⌝∧⌝ P(5) {}4 s ⌝ T(4)(6) {}4 u ⌝ T(4)(7) {}4,3 t ⌝ T(3)（6）(8) {}4,3 t s ⌝∧⌝ T(5)（7）(10) {}4,3,2 r ⌝ T （2）（9）(11) {}4,3,2,1 )(q p ∨⌝ T （1）（10） (12) {}4,3,2,1 q p ⌝∧⌝ T （11）(13) {}4,3,2,1 q ⌝ T （12）最后一行即为顶期的结论。

逻辑学基础理论逻辑学是哲学的一门分支，研究的是思维和推理的规律。

由于其广泛的应用和严密的体系，逻辑学成为了现代哲学的重要组成部分之一。

逻辑学的基础理论主要包括五个方面：命题逻辑、谓词逻辑、模态逻辑、范畴逻辑和演绎推理。

下面将对这些方面进行具体阐述。

命题逻辑是逻辑学的基础，它研究的是命题之间的关系和推理规律。

在命题逻辑中，命题是真假性已被确定的陈述句，可以用逻辑符号进行表示。

逻辑符号有否定符号、合取符号、析取符号、条件符号和双条件符号等。

命题逻辑的推理规律主要有三大原则：同一律、排中律和矛盾律。

同一律指的是一个命题等价于它本身；排中律指的是任何命题或者为真或者为假；矛盾律指的是任何命题和它的否定命题不可能同时为真。

谓词逻辑是命题逻辑的发展和扩展，它研究的是一般陈述句中的谓词和量词。

在谓词逻辑中，谓词是一种含有变量的陈述句，量词是用来指定谓词变量范围的符号。

谓词逻辑的重要性在于它可以表达更加复杂的推理关系，例如存在量词和全称量词的使用可以表达存在性和普遍性的情况。

模态逻辑是研究命题的可能性和必然性。

在模态逻辑中，常用的符号包括必然符号和可能符号等。

必然符号表示命题为真的必要性，可能符号表示命题为真的可能性。

模态逻辑的重要性在于它可以研究社会、政治、法律等领域中的问题，并且可以解释一些哲学问题，例如自由意志问题等。

范畴逻辑是研究命题之间的类别和关系。

范畴逻辑的主要概念包括类别和关系，类别是一个范畴中的所有元素的集合，关系是两个类别之间的关联。

范畴逻辑可以用来分析一个问题或者研究一个领域的范畴和关系。

演绎推理是逻辑学最重要的研究领域之一。

它研究的是从前提到结论之间的推理规律。

演绎推理可以通过推理规则来判断论证的有效性。

常用的推理规则包括假言蕴涵规则、等价规则、假言拆分规则、析取移项规则等。

演绎推理的重要性在于它可以帮助我们进行有有效性的推理，并且可以减少一些误判或者不必要的知识论证。

总之，逻辑学的基础理论包括了命题逻辑、谓词逻辑、模态逻辑、范畴逻辑和演绎推理。