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《平方根》同步练习1 课堂作业1．9的算术平方根是()A．－3B．±3C．3D2．一个数的算术平方根不可能是()A．正数B．负数C．分数D．非负数3的值在()A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间4．144的算术平方根是________；(－5)2的算术平方根是________；181的算术平方根是________．5．求下列各数的算术平方根：(1)0.64；(2)9116；(3)2.56；(4)0．6．求下列各式的值：(2)．课后作业7() A．－3B．3C．－9D．98() A．－2B．±2CD．29．下列说法正确的是() A．7是49的算术平方根B．±4是16的算术平方根C．－6是(－6)2的算术平方根D．0.01是0.1的算术平方根10．下列运算正确的是()A．(5)5=--=B1 12 =C33 2244 =+=D0.5=±11．一个自然数的算术平方根为a，则和这个自然数相邻的下一个自然数是() A．a＋1B．a2＋1CD112．用“＞”或“＜”连接下列各式：(2)(3)4-．13．若172.≈，22.84≈，则217________≈，________≈0.02284≈，则x ＝________．14．邻居张大爷家有一块正方形的花圃，面积为289m 2，张大爷要在花圃的四周围上栅栏，则至少需要栅栏的长度为________．15．求下列各式的值：16．小玉想用一张面积为900cm 2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一张面积为560cm 2的长方形纸片，使它的长、宽之比为2︰1，但不知是否能裁出来．小芳看见了说：“很明显，一定能用一张面积大的纸片裁出一张面积小的纸片．”你同意小芳的观点吗？小玉能用这张正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片吗？答案[课堂作业]1．C2．B 3．C4．12 5 195．(1)0.8 (2)54 (3)1.6 (4)0 6．(1)147 (2)－3(3)9(4)45[课后作业]7．B8．C9．A10．B11．B12．(1)＞(2)＞(3)＞13．0.2284228.40.000521714．68m15．(1)17(2)0.8(3)216．设长方形纸片的长为2xcm，宽为xcm．由题意，得2x·x＝560，解得x=280＞256，16>．∴2x＞32，即裁出的长方形纸片的长大于32cm．而已知正方形纸片的面积为900cm2，则边长只有30cm，因此，我不同意小芳的观点小玉不能用这张正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片《平方根》同步练习2课堂作业1．下列各数中，没有平方根的是()A．(－3)2B．0C．1 8D．－632．求449的平方根，下列运算过程正确的是()A4 49 =B．27 =±C2 7 =D．2 7 =3．若x的一个平方根，则另一个平方根是________，x是________．4．2.25的平方根是________；19的平方根是________；1625的平方根是________．5．求下列各数的平方根：(1)196；(2)0.16；(3)25 169；(4)729．6．有一个边长为11cm的正方形和一个长15cm、宽5cm的长方形，要做一个面积为这两个图形的面积之和的正方形，则该正方形的边长应为多少？课后作业7．下列各式正确的是()A3=-B．3=-C3=±D3=±8．下列说法正确的是()A．14是0.5的一个平方根B．正数有两个平方根，且这两个平方根之和等于0C．72的平方根是7D．负数有一个平方根9()A．±3B．3C．±9D．910．若a是(－3)2的平方根，b的一个平方根是2，则a＋b的值为________．11．若一个正数的两个平方根分别是2a－2和a－4，则a的值是________．12．求下列各式的值：(1)；(2)；(4)13．求下列各式中x的值：(1)3x2＝75；(2)292(1)8x-=；(3)2(x2＋1)＝5.38．14．已知2a－1的平方根是±3，3a＋b－1的算术平方根是4，求a＋2b的值．15．为了促进全民健身活动的开展，改善居民的生活质量，某居民小区决定在一块面积为905m2的正方形空地上建一个篮球场．已知篮球场的面积是420m2，长是宽的2815倍，篮球场的四周必须留出1m宽的空地．请你计算一下，能否按规定在这块空地上建一个篮球场．答案[课堂作业]1．D2．B3 54．±1.513±45±5．(1)±14(2)±0.4(3)513±(4)53±6．设该正方形的边长为xcm．由题意，得x2＝11×11＋15×5＝196．∵x＞0，∴14x==．∴该正方形的边长应为14cm[课后作业]7．B8．B9．A10．1或711．212．(1)±30(2)－1.7(3)7 4(4)±1113．(1)x ＝±5 (2)14x =或74x = (3)x ＝±1.314．由题意，得2a －1＝(±3)2，3a ＋b －1＝42，解得a ＝5，b ＝2．∴a ＋2b ＝5＋2×2＝915．设篮球场的宽为xm ，那么长为28m 15x ．由题意，得2842015x x = ．∴x 2＝225．∵x ＞0，∴15x ==．又∵228(2)90090515x +=<，∴能按规定在这块空地上建一个篮球场 《平方根》同步练习3同步练习：一、基础训练1．若一个偶数的立方根比2大，算术平方根比4小，则这个数是_______．2．下列计算不正确的是（ ）A ±2B 9C =0.4D 63．下列说法中不正确的是（ ）A ．9的算术平方根是3B 2C ．27的立方根是±3D ．立方根等于-1的实数是-14 ）A ．±8B ．±4C ．±2 D5．-18的平方的立方根是（ ） A ．4 B ．18 C ．-14 D ．146_______；9的立方根是_______．7______________（保留4个有效数字）8．求下列各数的平方根．（1）100；（2）0；（3）925；（4）1；（5）11549；（6）0．09．9．计算：（1）（2（3（4二、能力训练10．一个自然数的算术平方根是x，则它后面一个数的算术平方根是（）A．x+1B．x2+1C1D11．若2m-4与3m-1是同一个数的平方根，则m的值是（）A．-3B．1C．-3或1D．-112．已知x，y（y-3）2=0，则xy的值是（）A．4B．-4C．94D．-94参考答案1．13．10，12，14 点拨：23<这个数<42，即8<这个数<16．2．A 2．3．C4．C =4，故4的平方根为±2．5．D 点拨：（-18）2=164，故164的立方根为14．6．±237．6.403，12.61 8．（1）±10 （2）0 （3）±35 （4）±1 （5）±87 （6）±0.3 9．（1）-3 （2）-2 （3）14（4）±0.510．D 点拨：这个自然数是x 2，所以它后面的一个数是x 2+1，则x 2+1．12．B 点拨：3x +4=0且y -3=0．。
算术平方根练习题和答案精品文档算术平方根练习题和答案6.1 平方根第1课时算术平方根要点感知1 一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x叫做a的__________,记作“__________”,读作“__________”,a叫做__________.预习练习1-1 2的算术平方根是A.C.?4D.4要点感知规定:0的算术平方根为__________.预习练习2-1 若一个数的算术平方根等于它本身，则这个数是A.1B.-1C.0D.0或1要点感知被开方数越大,对应的算术平方根也__________.预习练习3-1知识点1 算术平方根1.若x是64的算术平方根，则x=A.8B.-8C.6D.-642.0.49的算术平方根的相反数是A.0.B.-0.C.?0.7D.03.2的算术平方根是1 / 24精品文档A.B.? C.-2D.4.下列各数没有算术平方根的是A.0B.-1C.10D.1025.求下列各数的算术平方根:144;1;6.求下列各数的算术平方根.0.062; 2;知识点估算算术平方根7.设n为正整数，且nn+1，则n的值为A. B.6C.D.16;0.001;0.5225; 108. 1218.的值在A.2到3之间B.3到4之间C.4到5之间D.5到6之间9.某公司要设计一块面积为10平方米的正方形广告牌，公司在设计广告时，必须知道这个正方形的边长.这个正方形的边长是多少,估计边长的值.知识点用科学计算器求一个正数的算术平方根10.用计算器比较与3.4的大小正确的是D.不能确定2 / 24精品文档11.我们可以利用计算器求一个正数a的平方根，其操作方法的顺序进行按键输入:显示的结果为4，则他按键输入12.用计算器求下列各式的值:13.A.100B.10C. D.?1014.A. B.C.6D.715.A.?B.C.?D.216.下列说法中:?一个数的算术平方根一定是正数;?100的算术平方根是10,;?2的算术平方根是6;?a2的算术平方根是a.正确的有A.1个B.2个C.3个D.4个17.已知a、b为两个连续的整数，且18.用计算器求值，填空:__________;__________;3 / 24精品文档__________; .小明按键输入后显示的结果为__________.__________.19.=22.84,填空:.在一次3米板的训练中,运动员在跳板上跳起至高出跳板1.2米处下落,那么运动员在下落过程中最多有多长时间完成动作,挑战自我24.国际比赛的足球场长在100 m到110 m之间,宽在6m到7m之间,为了迎接某次奥运会,某地建设了一个长方形的足球场,其长是宽的1.5倍,面积是560 m2,请你判断这个足球场能用作国际比赛吗,并说明理由.13.1平方根习题精选班级: 姓名: 学号1(正数a的平方根是A(B(?C(?D(?a;??4 / 24精品文档都是32(下列五个命题:?只有正数才有平方根;??2是4的平方根;?5的平方根是2的平方根;?的平方根是?2;其中正确的命题是A(B(C(??D(??3(若=.291，=.246，那么=A(22.91B(2.46C(229.1D(724.64(一个自然数的算术平方根是a，则下一个自然数的算术平方根是A(a+1B(a+1C( (下列命题中，正确的个数有1的平方根是1 ;?1是1的算术平方根;?的平方根是?1;?0的算术平方根是它本身A(1个B(2个 C(3个D(4个(若=.449，=.746，5 / 24精品文档=44.9，= 0.7746，则x、y的值分别为22+1 D(A(x =0000，y = 0.6B(x =00，y = 0.6C(x =000，y = 0.06D(x =0000，y = 0.06二、填空题1(?若m的平方根是?3，则m =______;?若5x+4的平方根是?1，则x=______2(要做一个面积为π米的圆形桌面，那么它的半径应该是______23(在下列各数中，?2，，?3， (在(若和22，?，有平方根的数的个数为:______之间的整数是____________的算术平方根是3，则a =________三、求解题1(求下列各式中x的值x =61; 81x4= 0; 49 =0; =6 / 24精品文档222222(小刚同学的房间地板面积为16米2，恰好由64块正方形的地板砖铺成，求每块地板砖的边长是多少,数的开方1、如果一个数的等于a，那么这个数叫做a的平方根，正数的平方根有系是，0的平方根是，负数。
第六章实数教材简析本章的内容包括：平方根、立方根、实数．在学习了有理数的基础上，加强与实际的联系，从现实世界中抽象出一种不同于有理数的数，即无理数，开平方运算与开立方运算也是实际中经常用到的两种运算；注意将新旧知识进行联系与类比，数的范围由有理数扩充到实数，与有理数有关的运算法则、运算律、运算顺序在实数范围内都仍然适用．在中考中，本章的考点有平方根、立方根的定义及运算，实数的运算及大小比较等，考查基本概念及基本计算．教学指导【本章重点】平方根、算术平方根、立方根、无理数、实数的有关概念和运算．【本章难点】对无理数意义的理解、用有理数估计无理数的方法及实数与数轴上点的对应关系．【本章思想方法】1．体会分类的数学思想，如：对实数进行分类．2．掌握分类讨论思想，如：由于一个正数的平方根有两个，且这两个数互为相反数，因此与平方根有关的题目往往需要进行分类讨论．3．掌握转化思想，如：学习了平方根和立方根后，运用转化思想将某些二次方程、三次方程转化为求平方根、立方根的问题求解．4．体会数形结合思想，如：数的范围由有理数扩充到实数，实数与数轴上的点建立了一一对应关系，这样可以通过观察“形”的特点，解答一些关于实数的比较抽象的问题．课时计划6．1平方根3课时6．2立方根1课时6．3实数1课时6．1 平方根第1课时算术平方根教学目标一、基本目标【知识与技能】1．了解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根．2．根据算术平方根的概念求出非负数的算术平方根．3．了解算术平方根的性质．【过程与方法】加强概念形成过程的教学，提高学生的思维水平，鼓励学生进行探索和交流，培养他们的创新意识和合作精神．【情感态度与价值观】通过对实际生活中问题的解决，让学生体验数学与生活实际是紧密联系着的，通过探究活动培养动手能力和激发学生学习数学的兴趣．二、重难点目标【教学重点】算术平方根的概念．【教学难点】根据算术平方根的概念正确求出非负数的算术平方根．教学过程环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P40的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．a的算术平方根记为a，读作“根号a”，a叫做被开方数.2．规定：0的算术平方根是0.3．算术平方根具有双重非负性：(1)a≥0；(2)a≥0.4．求下列各数的算术平方根：(1)81；(2)0.25；(3)23.解：(1)9.(2)0.5.(3)23.环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】求下列各数的算术平方根：(1)64；(2)0.36；(3)214；(4)412－402.【互动探索】(引发学生思考)如何根据算术平方根的定义求非负数的算术平方根？ 【解答】(1)∵82＝64，∴64的算术平方根是8. (2)∵0.62＝0.36，∴0.36的算术平方根是0.6. (3)∵⎝⎛⎭⎫322＝94＝214，∴214的算术平方根是32. (4)∵412－402＝81，92＝81，∴81＝9.∵32＝9， ∴412－402的算术平方根是3.【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)求一个数的算术平方根时，首先要弄清是求哪个数的算术平方根，分清求81与81的算术平方根的不同意义，不要被表面现象迷惑．(2)求一个非负数的算术平方根常借助平方运算，因此熟记常用平方数对求一个数的算术平方根十分有用．活动2 巩固练习(学生独学) 1．5的算术平方根为( A ) A.5 B ．25 C ．±25D ．±52．一个数的算术平方根是34，这个数是( C )A.32 B ．34C.916D ．不能确定3．要切一块面积为0.81 m 2的正方形钢板，它的边长是0.9m. 4.4的算术平方根是 2.5．已知3＋a 的算术平方根是5，求a 的值．解：因为52＝25，所以25的算术平方根是5，即3＋a ＝25，所以a ＝22. 活动3 拓展延伸(学生对学)【例2】已知x 、y 为有理数，且x －1＋3(y －2)2＝0，求x －y 的值．【互动探索】算术平方根和平方式都具有非负性，即a ≥0，a 2≥0，由几个非负数相加和为0，可得出什么结论？【解答】由题意，得x －1＝0，y －2＝0， 所以x ＝1，y ＝2. 所以x －y ＝1－2＝－1.【互动总结】(学生总结，老师点评)算术平方根、绝对值和平方式都具有非负性，即a ≥0，|a |≥0，a 2≥0，当几个非负数的和为0时，各数均为0.环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)算术平方根⎩⎨⎧概念：非负数a 的算术平方根记作a性质：双重非负性⎩⎨⎧a ≥0a ≥0练习设计请完成本课时对应练习！第2课时 估算算术平方根教学目标 一、基本目标 【知识与技能】1．会比较两个数的算术平方根的大小．2．会估算一个数的算术平方根的大致范围，掌握估算的方法，形成估算的意识． 3．会用计算器求一个数的算术平方根． 【过程与方法】体验“无限不循环小数”的含义，感受存在着不同于有理数的一类新数． 【情感态度与价值观】培养学生的探究能力和归纳问题的能力． 二、重难点目标 【教学重点】夹值法及估计一个(无理)数的大小． 【教学难点】夹值法及估计一个(无理)数的大小的思想． 教学过程环节1 自学提纲，生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P41～P44的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】1．无限不循环小数是指小数位数无限，且小数部分不循环的小数．实际上，许多正有理数的算术平方根(例如3，5，7)都是无限不循环小数．2．被开方数扩大(或缩小)与它的算术平方根扩大(或缩小)的规律：当被开方数扩大(或缩小)到原来的100倍⎝⎛⎭⎫1100，10000倍⎝⎛⎭⎫110000…时，其算术平方根相应地扩大(或缩小)到原来的10倍⎝⎛⎭⎫110，100倍⎝⎛⎭⎫1100… 3．用计算器求一个正有理数的算术平方根的方法： 大多数计算器都有 键，用它可以求出任意一个正有理数的算术平方根(或其近似值)．先按ON 键开机，再按键、“被开方数”、＝，即可显示“算术平方根”． 4．与37最接近的整数是( B ) A ．5 B ．6 C ．7D ．8环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学)【例1】通过估算比较下列各组数的大小： (1)5与1.9； (2)6＋12与1.5. 【互动探索】(引发学生思考)(1)估算5的大小，或先求1.9的平方，再比较5与1.92的大小；(2)先估算6的大小，再比较6与2的大小，从而进一步比较6＋12与1.5的大小．【解答】(1)(方法一)因为5>4，所以5>4，即5>2，所以5>1.9. (方法二)因为1.92＝3.61,3.61＜5，所以5>1.9.(2)因为6>4，所以6>4，所以6>2，所以6＋12>2＋12＝1.5，即6＋12>1.5.【互动总结】(学生总结，老师点评)比较两个数的大小常用方法有：①作差比较法；②作商比较法；③移因数于根号内，再比较大小；④利用平方法比较无理数的大小等．比较无理数与有理数的大小时要先估算无理数的近似值，再比较它与有理数的大小．活动2 巩固练习(学生独学)1．估计5＋1的值，应在(C)A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间2．估算19－2的值(B)A．在1和2之间B．在2和3之间C．在3和4之间D．在4和5之间3．计算：(1)1225；(2)36.42(精确到0.001)；(3)13(精确到0.001)．解：(1)1225＝35.(2)36.42≈6.035.(3)13≈3.606.活动3拓展延伸(学生对学)【例2】全球气候变暖导致一些冰川融化并消失，在冰川消失12年后，一种低等植物苔藓开始在岩石上生长．每个苔藓都会长成近似圆形，苔藓的直径和冰川消失的时间近似地满足如下关系式：d＝7×t－12(t≥12)．其中d代表苔藓的直径，单位是厘米；t代表冰川消失的时间，单位是年．(1)计算冰川消失16年后苔藓的直径；(2)如果测得一些苔藓的直径是35厘米，则冰川约是在多少年前消失的？【互动探索】(1)根据题意可知是求当t＝16时d的值，直接把对应数值代入关系式即可求解；(2)根据题意可知是求当d＝35时t的值，直接把对应数值代入关系式即可求解．【解答】(1)当t＝16时，d＝7×16－12＝7×2＝14.即冰川消失16年后苔藓的直径是14厘米．(2)当d＝35时，即7×t－12＝35，所以t－12＝25，解得t＝37.即冰川约是在37年前消失的．【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查算术平方根的实际应用，注意实际问题中涉及开平方通常取算术平方根．环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)1．夹值法及估计一个(无理)数的大小．2．用计算器求一个正数的算术平方根．练习设计请完成本课时对应练习！第3课时平方根教学目标一、基本目标【知识与技能】掌握数的开方的意义、平方根的意义、平方根的表示方法．【过程与方法】通过带领学生探究一个数的平方根，使学生理解数的开方、平方根的概念．【情感态度与价值观】培养学生的探究能力和归纳问题的能力．二、重难点目标【教学重点】平方根的概念．【教学难点】求一个数的平方根．教学过程环节1自学提纲、生成问题【5 min阅读】阅读教材P44～P46的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．一般地，如果一个数x的平方等于a，那么这个数x就叫做a的平方根或叫二次方根．也就是说，如果x2＝a，那么x叫做a的平方根．2．一个正数有两个平方根，且它们互为相反数；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．3．求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算．4．下列说法不正确的是(C)A．－2是2的平方根B.2是2的平方根C ．2的平方根是 2D ．2的算术平方根是 2 5．求下列各数的平方根： 16,0，49，242.解：16的平方根是±4. 0的平方根是0. 49的平方根是±23. 242的平方根是±24. 环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生对学) 【例1】求下列各数的平方根： (1)12425； (2)0.0001； (3)(－4)2； (4)81.【互动探索】(引发学生思考)把带分数化为假分数，含有乘方运算先求出它的幂．注意正数有两个互为相反数的平方根．【解答】(1)∵12425＝4925，⎝⎛⎭⎫±752＝4925，∴12425的平方根是±75，即±12425＝±75. (2)∵(±0.01)2＝0.0001，∴0.0001的平方根是±0.01，即±0.0001＝±0.01. (3)∵(±4)2＝(－4)2，∴(－4)2的平方根是±4，即±(－4)2＝±4. (4)∵(±3)2＝9＝81，∴81的平方根是±3.【互动总结】(学生总结，老师点评)正确理解平方根的概念，明确是求哪一个数的平方根．如(4)中就是求9的平方根．【例2】已知一个正数的两个平方根分别是2a ＋1和a －4，求这个数．【互动探索】(引发学生思考)一个正数的平方根有两个，它们之间有什么关系呢？ 【解答】由于一个正数的两个平方根分别是2a ＋1和a －4，则有2a ＋1＋a －4＝0. 即3a －3＝0，解得a ＝1.所以这个数为(2a ＋1)2＝(2＋1)2＝9.【互动总结】(学生总结，老师点评)一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，即它们的和为零．活动2 巩固练习(学生独学)1．关于平方根，下列说法正确的是( B ) A ．任何一个数有两个平方根，并且它们互为相反数 B ．负数没有平方根C ．任何一个数只有一个算术平方根D ．以上都不对2．如果a 、b 分别是16的两个平方根，那么ab ＝－16. 3．若25x 2＝16，则x 的值为±45.4．求下列各数的平方根：(1)196； (2)10－4； (3)144169； (4)3625.解：(1)±14. (2)±10－2. (3)±1213. (4)±95.活动3 拓展延伸(学生对学) 【例3】求下列各式中x 的值． (1)x 2＝361； (2)81x 2－49＝0； (3)(3x －1)2＝(－5)2.【互动探索】上述方程都可以化成一个数或代数式的平方的形式，结合平方根的定义，你能算出x 的值吗？【解答】(1)∵x 2＝361，∴开平方，得x ＝±361＝±19. (2)整理，得x 2＝4981，∴开平方，得x ＝±4981＝±79. (3)∵(3x －1)2＝(－5)2，∴开平方，得3x －1＝±5. 当3x －1＝5时，x ＝2；当3x －1＝－5时，x ＝－43.综上所述，x ＝2或－43.【互动总结】(学生总结，老师点评)利用平方根的定义进行开平方解方程，从而求出未知数的值，一个正数的平方根有两个，它们互为相反数；开平方时，不要漏掉负平方根．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)平方根⎩⎪⎨⎪⎧平方根的概念平方根的性质开平方及相关运算练习设计请完成本课时对应练习！。
第1课时 算术平方根【学习目标】1、理解数的算术平方根的概念，并会用符号表示。
2、理解平方与开平方是互为逆运算。
3、会求一些非负数的算术平方根。
【学习重点和难点】1.学习重点：算术平方根的概念。
2.学习难点：算术平方根的概念。
【学习过程】 一、自主探究学校要举行美术作品比赛，小鸥很高兴.他想裁出一块面积为25平方分米的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少分米？ （一）说这块正方形画布的边长应取多少分米？你是怎么算出来的？答：因为52＝25，所以这个正方形画布的边长应取5分米。
这个实例中的问题、填表中的问题实际上是一个问题，什么问题？它们都是已知正方形面积求边长的问题.通过解决这个问题，我们就有了算术平方根的概念. 正数3的平方等于9，我们把正数3叫做9的算术平方根. 正数4的平方等于16，我们把正数4叫做16的算术平方根. 说说6和36这两个数？说说1和1这两个数？ 同桌之间互相说一说5和25这两个数.（同桌互相说）说了这么多，同学们大概已经知道了算术平方根的意思.那么什么是算术平方根呢？还是先在小组里讨论讨论，说说自己的看法.（三）什么是算术平方根呢？如果一个正数的平方等于a ，那么这个正数叫做a 的算术平方根请大家把算术平方根概念默读两遍.（生默读）如果一个正数的平方等于a ，那么这个正数叫做a 的算术平方根.为了书写方便，我们把a （板书：a 的.（指准上图）看到没有？这根钓鱼杆似的符号叫做根号，a a 的算术平方根.根号被开方数a二、边学边练1、 求下列各数的算术平方根： (1)4964； (2)0.0001. （要注意解题格式，解题格式要与课本第40页上的相同） 精练 2、填空：(1)因为_____2=64，所以64的算术平方根是____________；(2)因为_____2=0.25，所以0.25的算术平方根是____________；(3)因为_____2=1649，所以1649的算术平方根是____________.3、求下列各式的值：＝______；＝______；______；______；＝______；______. 4、根据112＝121，122＝144，132＝169，142＝196，152＝225，162＝256，172＝289，182＝324，192＝361，填空并记住下列各式：＝_______，＝_______，＝_______，＝_______，_______，_______，_______，_______，_______.（学生记住没有，教师可以利用卡片进行检查，并要求学生课后记熟）5、辨析题：卓玛认为，因为(－4)2＝16，所以16的算术平方根是－4.你认为卓玛的看法对吗？为什么？三、我的感悟这节课我的最大收获是： 我不能解决的问题是：四、课后反思第2课时用计算器求算术平方根及其大小比较【学习目标】1.感受无理数，初步了解无限不循环小数的特点.2.会用计算器求算术平方根.【学习重点和难点】1.学习重点：感受无理数。
人教版七年级数学下册教案6.1 第3课时《算术平方根和平方根》一. 教材分析《算术平方根和平方根》是人教版七年级数学下册第六章第一节的内容。
本节课主要介绍了平方根和算术平方根的概念，以及它们的性质和运算。
通过学习本节课，学生能够理解平方根和算术平方根的概念，掌握它们的性质和运算，并为后续学习二次根式打下基础。
二. 学情分析学生在之前的学习中已经掌握了有理数的乘方，对数的认识，以及一些基本的代数运算。
但是，对于平方根和算术平方根的概念和性质可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要通过具体例子和实际操作，帮助学生理解和掌握这些概念和性质。
三. 教学目标1.理解平方根和算术平方根的概念。
2.掌握平方根和算术平方根的性质和运算。
3.能够运用平方根和算术平方根解决实际问题。
四. 教学重难点1.平方根和算术平方根的概念。
2.平方根和算术平方根的性质和运算。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。
通过具体例子和实际操作，引导学生主动探索、积极思考，培养学生的动手操作能力和团队协作能力。
六. 教学准备1.教学PPT。
2.练习题。
3.教学道具（如平方根和算术平方根的模型）。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例或数学故事，引出平方根和算术平方根的概念。
例如，讲解勾股定理时，提到直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，从而引出平方根和算术平方根的概念。
2.呈现（10分钟）通过PPT展示平方根和算术平方根的定义，以及它们的性质和运算。
让学生观察和思考，引导他们发现其中的规律。
3.操练（10分钟）让学生分组进行讨论，运用平方根和算术平方根的性质和运算，解决实际问题。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）出示一些练习题，让学生独立完成。
题目难度可以适当调整，以保证大部分学生能够成功。
教师选取部分学生的作业进行点评，指出其中的错误和不足。
5.拓展（10分钟）引导学生运用平方根和算术平方根解决更复杂的问题，如二次方程的求解、实际生活中的测量等。
平方根和算术平方根练习题课件精品文档平方根和算术平方根练习题课件一、填空1、如果一个__________平方等于a，即x=a，那么________叫做a的算术平方根。
注:? 数a的算术平方根记作________，其中a_____0;? 0的算术平方根为________; ? 只有当a_____0时，数a才有算术平方根。
2、如果一个__________平方等于a，即x=a，那么______叫做a的平方根。
注:? 一个正数a有_________个平方根，且它们互为________，记为________; ? 0有一个平方根，就是_________;?负数没有平方根。
3、4的平方根是,,,,;算术平方根是_____________。
9224、3有个平方根，它们是;它们的和是;它们互为 ;5、0.04的算术平方根是_________,开平方等于?5的数是_______.6、的平方根是的平方根是___________。
7、算术平方根等于它本身的数_________;平方根等于它本身的数是___________。
8、若5x+4的平方根为?1，则x= ;若m—4没有平方根，则|m—4|=1 / 11精品文档9、已知2a?1的平方根是?4，3a+b-1的平方根是?4，则a+2b的平方根是。
210、若实数x，y满足x?2+2=0，则代数式xy?x的值为。
11、在小于或等于100的非负整数中，其平方根是整数的共有个。
12xy=________。
13、因为没有什么数的平方会等于，所以数没有平方根，因此被开方数一定是或者。
14、当m 时，3?m有意义.二、选择题15、2的平方根是A.3B.-C.?D.?916、9的算术平方根是A(-B( C(?D(8117、下列个数没有平方根的是2A(- B. C.D. 11.118、如果3x?5有意义，则x可以取的最小整数为A. 0B. 1C.D.19、x是16的算术平方根,那么x的算术平方根是A. B. C.? D.?42 / 11精品文档20、下列计算不正确的是A(??B0.9?0.D. ?.44??1.21、64的平方根是A(? B(? C(?2D22、4的平方的倒数的算术平方根是A(B(111C(-D(4423、设 x、y为实数，且y?4?5?x?x?5则x?y的值是A. 1B.C.D.三、解答题24、求下列各数的算术平方根?121 ?14 ? ?? 0.09?11 1694225、求下列各数的平方根?48?26、求下列各式中的x.x?17; x?22252? 0.0196? ?9121?0;169x2?100; x2?5?0927、已知2a,1的平方根是?3，4a，2b，1的平方根是?5，求a,2b的平方根。
第3课时 平方根关键问答①正数的平方根之间有什么关系？②请用符号表示正数a 的平方根及算术平方根．1．①25的平方根是( )A ．5B ．－5C ．±5D ．±52．②“3625的平方根是±65”用数学式表示为( ) A.3625＝±65B ．±3625＝±65 C.3625＝65D ．－3625＝－65命题点 1 平方根的意义 [热度：90%]3．若x －3是4的平方根，则x 的值为( )A ．2B ．±2C ．1或5D ．16 4．若x ＋2＝2，则2x ＋5的平方根是( )A ．2B ．±2C ．3D ．±35.③(－6)2的平方根是________．易错警示③先计算(－6)2的值，再求这个数的平方根.6.81的平方根是________．命题点 2 平方根的性质 [热度：92%]7.④如果一个正数的两个平方根为x ＋1和x －3，那么x 的值是( )A ．4B ．2C ．1D ．±2解题突破④一个正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根.8．⑤若m ，n 是一个正数的两个平方根，则3m ＋3n －5＝__________．方法点拨⑤一个正数的两个平方根互为相反数．9．已知2a ＋3的平方根是±3，5a ＋2b －1的平方根是±4.求3a ＋2b 的平方根．10.⑥王老师给同学们布置了这样一道习题：一个数的算术平方根为2m －6，它的平方根为±(m －2)．求这个数．小张的解法如下：依题意可知2m －6是m －2或者－(m －2)两数中的一个．(1)当2m －6＝m －2时，解得m ＝4.(2)2m －6＝2×4－6＝2.(3)这个数为4.当2m －6＝－(m －2)时，解得m ＝83.(4) 2m －6＝2×83－6＝－23.(5) 这个数为49. 综上可得，这个数为4或49.(6) 王老师看了小张的解法后，说他的解法是错误的．你知道小张错在哪里吗？请改正．易错警示⑥算术平方根具有非负性，因此m 的取值需保证算术平方根大于或等于0.命题点 3 开平方 [热度：94%]11．下列结论中，正确的个数是( ) ①0.4＝0.2；②179＝±43；③－20192的平方根是－2019； ④（－5）2的算术平方根是－5；⑤±76是11336的平方根． A ．1 B ．2 C ．3 D ．412.⑦若x 能使(x －1)2＝4成立，则x 的值是( )A ．3B ．－1C ．3或－1D ．±2易错警示⑦容易丢掉4的其中一个平方根－2，从而误选A.13．图6－1－4是一台数值转换机的运算程序，若输出的结果为－32，则输入的x 的值为________．图6－1－414.⑧已知4，9和a 三个数，使这三个数中的一个数是另外两个数乘积的一个平方根，写出所有符合条件的a 的值．解题突破⑧本题需分情况进行讨论，使其中任意一个数是另外两个数乘积的平方根.15．求下列各式的值： (1)225； (2)－0.0004； (3)±1214；(4)－（－0.1）2； (5)0.81－0.04； (6)412－402.16.求下列式子中x 的值：⑨(1)49(5－3x )2＝121; (2)2(x －1)2－8＝0.解题突破⑨若把5－3x 看作一个整体，你能利用平方根的定义求出5－3x 的值吗？进而能求出x 的值吗？命题点 4 新定义问题 [热度：96%]17.⑩用“★”规定新运算：对于任意数a ，b ，都有a ★b ＝a 2－b ，如果x ★13＝2，那么x 等于( )A ．15B.15C ．－15D ．±15方法点拨⑩根据新定义，转化成平方根的意义来求解.18．定义一种叫做“@ ”的运算，对于任意两个数m ，n ，有m @n ＝m 2－n 2.请你解方程：x @(－1)＝4@2.19.⑪一天，蚊子落在狮子的身上对它说：“狮子，别看你高大威猛，而实际上我们俩的体重相同！”狮子不屑一顾地对蚊子说：“别瞎说了，那怎么可能！”蚊子不慌不忙地说：“不信，我给你证明一下．”说着，蚊子便在地上写出了证明过程：证明：设蚊子重m 克，狮子重n 克．又设m ＋n ＝2a ，则有m －a ＝a －n .两边平方，即(m －a )2＝(a －n )2.∵(a －n )2＝(n －a )2，∴(m －a )2＝(n －a )2， 两边开平方，即（m －a ）2＝（n －a ）2，∴m －a ＝n －a ，∴m ＝n ，即蚊子与狮子一样重．蚊子的证法对吗？为什么？模型建立 ⑪a 2＝⎩⎪⎨⎪⎧a （a ≥0），－a （a ＜0）.典题讲评与答案详析1．D 2.B3．C [解析] 因为4的平方根是±2，所以x －3＝2或x －3＝－2，解得x ＝5或x ＝1.4．D [解析] 因为x ＋2＝2，所以x ＝2，所以2x ＋5＝9，所以2x ＋5的平方根是±3.5．±6 6.±37．C [解析] 由一个正数的平方根是互为相反数的两个数，得x ＋1＋x －3＝0，解得 x ＝1.8．－59．解：由2a ＋3的平方根是±3，得2a ＋3＝9，所以a ＝3.由5a ＋2b －1的平方根是±4，得5a ＋2b －1＝16，所以b ＝1，所以3a ＋2b ＝11，所以3a ＋2b 的平方根是±11.10．解：小张错在没有确定m 的取值范围．∵2m －6是某数的算术平方根，∴2m －6≥0，即m ≥3.当m ＝83时，2m －6＜0，∴应舍去．故这个数为4. 11．A [解析] 因为0.22＝0.04，所以①错；因为179表示179，即169的算术平方根，结果为43，所以②错；因为负数没有平方根，所以③错；因为（－5）2的算术平方根是5，所以④错；因为11336＝4936，它的平方根是±76，所以⑤正确．所以正确的有1个． 12．C [解析] 由(x －1)2＝4，得x －1＝2或x －1＝－2，解得x ＝3或x ＝－1.13．±4 [解析] 由题意，得－2x 2＝－32，所以x ＝±4.14．解：若a 是36的平方根，则a ＝±6；若9是4a 的平方根，则a ＝814；若4是9a 的平方根，则a ＝169. 综上，a 的值可以是±6，814，169. 15．(1)15 (2)－0.02 (3)±72(4)－0.1 (5)0.7 (6)9 16．解：(1)整理得(5－3x )2＝12149，则5－3x ＝±12149，所以5－3x ＝117或5－3x ＝－117， 解得x ＝87或x ＝4621. (2)整理得(x －1)2＝4，开方得x －1＝2或x －1＝－2，解得x ＝3或x ＝－1.17．D [解析] 因为x ★13＝2，所以x 2＝15，所以x ＝±15.故选D.18．解：x @(－1)＝4@ 2可以转化成x 2－12＝42－22，即x 2＝13，所以x ＝±13.19．解：不对．理由如下：由题设，应有关系式：m ＜a ＜n ，则m －a ＜0，n －a ＞0， ∴（m －a ）2＝a －m ，（n －a ）2＝n －a ，∴蚊子的证法不对．【关键问答】①它们是互为相反数的两个数．②正数a 的平方根是±a ，正数a 的算术平方根是 a.。
6.1 平方根第1课时 算术平方根课前预习1.一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个正数x 叫做a 的 算术平方根 .a 的算术平方根记为 a ，读作“ 根号a ”，a 叫做 被开方数 .2.规定：0的算术平方根是 0 .注意：（1）在算术平方根a 中，①被开方数a 是非负数，即a ≥ 0，②算术平方根a 的值 ≥ 0；（2）只有正数和0有算术平方根，负数没有算术平方根.3.被开方数越大，对应的算术平方根也 越大 .4.估算：在确定一个正数的算术平方根时，可以通过每次增加一位小数计算平方与被开方数比较大小，如此进行下去，在精确度范围内逐步确定出正数的算术平方根的取值范围，这种方法称为夹逼法.课堂练习知识点1 算术平方根1.9的算术平方根是 3 .2.计算16的结果是（ C ）A.-4B.2C.4D.±43.（2020 玉溪红塔区期末）41的算术平方根是（ B ） A.±2 B.21 C.±21 D.2知识点2 估算算术平方根4.比较大小：（1）12 ＜ 4；（2）213 ＜ 21.5.如图，在数轴上表示7的点在哪两个点之间（ A ）A.C 与DB.A 与BC.A 与CD.B 与C知识点3 用科学计算器求一个正数的算术平方根6.用计算器求下列各式的值（结果精确到0.01）：（1）75； 解：75≈8.66.（2）8.28； 解：8.28≈5.37.（3）8000. 解：8000≈89.44.课时作业练基础 1.81的算术平方根是 3 .2.若x-3的算术平方根是3，则x= 12 .3.（2019 昭通期末）已知a 为17的整数部分，b-1是400的算术平方根，则b a +的值为 5 .4.若a ，b 为实数，且满足|a-2|+b -3=0，则a-b 的值为 -1 .5.（2020 巍山期末）一个正方形的面积是15，估计它的边长大小在（ B ）A.2与3之间B.3与4之间C.4与5之间D.5与6之间6.下列计算正确的是（ C ） A.9=±3 B.|-3|=-3 C.4=2 D.-32=97.下列说法正确的是（ D ）A.2是-4的算术平方根B.±4是16的算术平方根C.-6是（-6）2的算术平方根D.1的算术平方根是它本身8.计算下列各式的值：（1）0016.0；解：（1）0016.0=0.04.（2）431-； 解：431-=41=21.（3）2)4(-. 解：2)4(-=16=4.9.求下列各数的算术平方根.（1）49；解：因为72=49，所以49的算术平方根是7，即49=7.（2）2516； 解：因为（54）2=2516，所以2516的算术平方根是54，即2516=54.（3）0.36； 解：因为（0.6）2=0.36，所以0.36的算术平方根是0.6，即36.0=0.6.（4）972； 解：因为972=925=（35）2，所以972的算术平方根是35，即972=35. （5）（-83）2. 解：因为（-83）2=649=（83）2，所以（-83）2的算术平方根是83，即2)83( =83.10．求下列代数式的值.（1）如果a 2=4，b 的算术平方根为3，求a+b 的值.解：∵a 2=4，b 的算术平方根为3，∴a=±2，b=9.∴a+b=-2+9=7或a+b=2+9=11.（2）已知x 是25的算术平方根，|y|=6，且x ＜y ，求x-y 的值.解：∵x 是25的算术平方根，|y|=6，∴x=5，y=±6.∵x＜y ，∴y=6.∴x -y=5-6=-1.11.若一个正方形的面积增加56 cm 2就能与一个边长为15 cm 的正方形面积相等，求原正方形的边长.解：设原正方形的边长为x cm.根据题意，得x 2+56=152.解得x=13.答：原正方形的边长为13 cm.12.【核心素养·理性思维】已知25=x ，y =2，z 是9的算术平方根，求2x+y-5z 的值. 解：∵25=x ，y =2，z 是9的算术平方根，∴x=5，y=4，z=3.∴2x+y -5z=2×5+4-5×3=10+4-15=-1.提能力13.【核心素养·勇于探究】（1）先完成下列表格：（2）由上表你发现的规律是： 被开方数扩大或缩小100倍，则算术平方根扩大或缩小10倍 ；（3）根据你发现的规律填空：①已知3≈1.732，则300≈ 17.32 ，03.0≈ 0.173 2 ； ②已知003136.0≈0.056，则313600≈ 560 .14.根据图所示的程序计算，若输入x 的值为64，则输出结果为 -25 .15.【核心素养·理性思维】已知a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，x 是9的算术平方根.试求x 2-（a+b+cd ）x+（a+b ）2 021+（-cd ）2 021的值.解：根据题意，得a+b=0，cd=1，x=3；∴原式=32-（0+1）×3+02 021+（-1）2 021=5.第2课时平方根课前预习1.一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根.这就是说，如果x2=a，那么x叫做a的平方根.a的平方根记作±2.求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.其中a叫做被开方数.3.正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是 0 ；负数没有平方根.课堂练习知识点1 平方根的定义1.【核心素养·批判质疑】下列说法正确的是（D）A.任何非负数都有两个平方根B.一个正数的平方根仍然是正数C.只有正数才有平方根D.负数没有平方根2.若一个数的平方根等于它本身，则这个数是（A）A.0B.1C.0或1D.0或±1知识点2 开平方3.（2020 西山区期末）4的平方根是±2 .4.求下列各数的平方根：（1）144；解：∵（±12）2=144，∴144的平方根是±12.（2）0.000 1；解：∵（±0.01）2=0.000 1，∴0.000 1的平方根是±0.01.（3）1613； 解：∵1613=1649，（±47）2=1649， ∴1613的平方根是±47. （4）（-119）2. 解：∵（±119）2=（-119）2， ∴（-119）2的平方根是±119.知识点3 平方根的性质5.若2a-1和a-5是一个正数m 的两个平方根，则m= 9 .6.下列各数中，没有平方根的是（ B ）A.（-3）2B.-|-1|C.0D.47.若x 的算术平方根是2，则x 的平方根是（ C ）A.-4B.-2C.±2D.±4课时作业练基础1.（2020巍山期末）49的平方根是 ±23 .2.已知一个数的一个平方根是-3，则这个数的另一个平方根是 3 .3.已知03.54=7.35，则0.005 403的平方根是 ±0.073 5 .4.已知x ，y 满足（x 2+y 2）2-9=0，则x 2+y 2= 3 .5.实数9的平方根（ D ）A.3B.-3C.±3D.±36.（2020 云大附中期末）下列说法错误的是（ C ）A.5是25的算术平方根B.1是1的一个平方根C.（-4）2的平方根是4D.0的平方根与算术平方根都是07.如果x 是4的算术平方根，那么x 的平方根是（ C ）A.4B.2C.±2D.±48.若8x m y 与6x 3y n 的和是单项式，则（m+n ）3的平方根为（ D ）A ．4B ．8C ．±4 D．±89.求下列各式的值：（1）±1000000；解：∵1 0002=1 000 000，∴±1000000=±1 000.（2）-1691+； 解：∵1+169=1625=（45）2， ∴-1691+=-45.（3）2021)1(--；解：∵-（-1）2 021=1=12，∴2021)1(--=1；（4）±2)7221(-. 解：∵（1-722）2=（-715）2=（715）2， ∴±2)7221(-=±715. 10.求下列各式中x 的值：（1）4x 2=9； 解：等式两边同乘41，得x 2=49. 等式两边开平方，得x=±23.（2）（x-2）2-5=0；解：移项，得（x-2）2=5.等式两边开平方，得x-2=±5.则x-2=5，或x-2=-5.解得x=2+5，或x=2-5.（3）（2x-1）2=25.解：等式两边开平方，得2x-1=±5.则2x-1=5，或2x-1=-5.解得x=3，或x=-2.11.已知x=1-a ，y=2a-5.若x 的值为4，求a 的值及x+y+16的平方根. 解：∵x 的值为4，∴1-a=4.∴a=-3.∴y=2a -5=2×（-3）-5=-11.∴x+y+16=4-11+16=9.∴x+y+16的平方根为±3.12.（1）已知m+5的平方根是±3，n-2的平方根是±5，求m+n 的平方根； 解：根据题意，得m+5=（±3）2，n-2=（±5）2.解得m=4，n=27.∴m+n=31.∴m+n 的平方根为±31；（2）若2a-4与3a+1是同一个正数x 的两个平方根，求a 的值. 解：根据同一个正数的两个平方根互为相反数，得2a-4+3a+1=0. ∴5a=3.∴a=35.提能力13.下列表示方法正确的是（ C ）A.49的平方根是±7，可表示为49=±7B.49开方能得到49的算术平方根，即49=±7C.±7是49的平方根，可表示为±49=±7D.-7是49的一个平方根，可表示为49=-714.一个自然数的正的平方根为m ，则下一个自然数的正的平方根为（ B ） A.m +1 B.12+m C.m+1 D.m 2+115.若a ，b ，c 满足|a-3|+2)5(b ++14+c =0，求a cb -的平方根. 解：根据题意，得a-3=0，5+b=0，c+14=0.解得a=3，b=-5，c=-14. ∴a cb -=3，即ac b -的平方根为±3.。
6.1 平方根一、选择题。
1、9 的算术平方根是（ ）A ．3B ．－3C ．±3D ．812．若1x -xy 的值为（ ）A ．6-B ．5-C ．5D ．63、方程x 2﹣5＝0的实数解为（ ）A．BC．D ．±54、若2022的两个平方根是m 和n ，则2m mn n ++的值是（ ）A ．0B ．4044-C ．2022D ．405、一个正数x ，的平方根分别是3a+2与4-a,则这个正数x 的值为（ ）A ．3B ．7C ．9D ．496A ．1与2B ．2 与3C ．3与4D ．4与57．算术平方根等于它本身的数是（ ）A ．0B ．-1C ．1D ．0和18．交通事故统计发现，每年的汽车追尾事故占所有事故的30％左右．造成追尾事故的主要原因是刹车距离把握不当，研究发现，在柏油路面上，刹车距离s 与车速v 的关系式是s ＝22v g μ（其中100.9g μ==，），当刹车距离增加一倍时，车速增加（ ）． A ．1倍BC1倍 D ．2倍二、填空题。
1.已知x 、y都是实数，且3y =，则xy =______________．2_______；9的平方根是_______． 3.介于整数 和 之间 ，它的小数部分是4．平方根等于它本身的数是 ；算术平方根等于它本身的数是 。
5．观察等式2；3；4；…；根据规律写出第（n ﹣381）个等式为 （n 为自然数，且n ≥2）．三、解答题。
1．定义：若A B m -=，则称A 与B 是关于m 的关联数．例如：若2A B -=，则称A 与B 是关于2的关联数．(1)若49与a 是关于2的关联数，则=a ________；(2)若21x -与53x -是关于2的关联数，求51x +的平方根；(3)若M 与N 是关于m 的关联数，53M mn n =++，N 的值与m 无关，求N 的值．2、求满足下列条件的未知数x ：（1）x 2=49 （2）x 2=81253、当12x -<<4.已知：051)n (38m 2=-+-求，m+n 的算术平方根 5、已知x -1的平方根为±2，3x +y -1的平方根为±4，求3x +5y 的算术平方根．5.已知一块长方形木板，长为 7.5 dm ，宽为 5 dm ，能否采用如图的方式，在这块木板上截出两个面积分别是 8 dm 2 和 18 dm 2 的正方形木板?。
第3课时 平方根关键问答①正数的平方根之间有什么关系？②请用符号表示正数a 的平方根及算术平方根．1．①25的平方根是( )A ．5B ．－5C ．±5D ．±52．②“3625的平方根是±65”用数学式表示为( ) A.3625＝±65B ．±3625＝±65 C.3625＝65D ．－3625＝－65命题点 1 平方根的意义 [热度：90%]3．若x －3是4的平方根，则x 的值为( )A ．2B ．±2C ．1或5D ．16 4．若x ＋2＝2，则2x ＋5的平方根是( )A ．2B ．±2C ．3D ．±35.③(－6)2的平方根是________． 易错警示③先计算(－6)2的值，再求这个数的平方根.6.81的平方根是________．命题点 2 平方根的性质 [热度：92%]7.④如果一个正数的两个平方根为x ＋1和x －3，那么x 的值是( )A ．4B ．2C ．1D ．±2解题突破④一个正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根.8．⑤若m ，n 是一个正数的两个平方根，则3m ＋3n －5＝__________．方法点拨⑤一个正数的两个平方根互为相反数．9．已知2a ＋3的平方根是±3，5a ＋2b －1的平方根是±4.求3a ＋2b 的平方根．10.⑥王老师给同学们布置了这样一道习题：一个数的算术平方根为2m －6，它的平方根为±(m －2)．求这个数．小张的解法如下：依题意可知2m －6是m －2或者－(m －2)两数中的一个．(1)当2m －6＝m －2时，解得m ＝4.(2)2m －6＝2×4－6＝2.(3)这个数为4.当2m －6＝－(m －2)时，解得m ＝83.(4) 2m －6＝2×83－6＝－23.(5) 这个数为49. 综上可得，这个数为4或49.(6) 王老师看了小张的解法后，说他的解法是错误的．你知道小张错在哪里吗？请改正．易错警示⑥算术平方根具有非负性，因此m 的取值需保证算术平方根大于或等于0.命题点 3 开平方 [热度：94%]11．下列结论中，正确的个数是( ) ①0.4＝0.2；②179＝±43；③－20192的平方根是－2019； ④（－5）2的算术平方根是－5；⑤±76是11336的平方根． A ．1 B ．2 C ．3 D ．412.⑦若x 能使(x －1)2＝4成立，则x 的值是( ) A ．3 B ．－1 C ．3或－1 D ．±2易错警示⑦容易丢掉4的其中一个平方根－2，从而误选A.13．图6－1－4是一台数值转换机的运算程序，若输出的结果为－32，则输入的x 的值为________．图6－1－414.⑧已知4，9和a 三个数，使这三个数中的一个数是另外两个数乘积的一个平方根，写出所有符合条件的a 的值．解题突破⑧本题需分情况进行讨论，使其中任意一个数是另外两个数乘积的平方根.15．求下列各式的值： (1)225； (2)－0.0004； (3)±1214；(4)－（－0.1）2； (5)0.81－0.04； (6)412－402.16.求下列式子中x 的值：⑨(1)49(5－3x )2＝121; (2)2(x －1)2－8＝0.解题突破⑨若把5－3x 看作一个整体，你能利用平方根的定义求出5－3x 的值吗？进而能求出x 的值吗？命题点 4 新定义问题 [热度：96%]17.⑩用“★”规定新运算：对于任意数a ，b ，都有a ★b ＝a 2－b ，如果x ★13＝2，那么x 等于( )A ．15B.15D．±15方法点拨⑩根据新定义，转化成平方根的意义来求解.18．定义一种叫做“@ ”的运算，对于任意两个数m，n，有m@n＝m2－n2.请你解方程：x@(－1)＝4@2.19.⑪一天，蚊子落在狮子的身上对它说：“狮子，别看你高大威猛，而实际上我们俩的体重相同！”狮子不屑一顾地对蚊子说：“别瞎说了，那怎么可能！”蚊子不慌不忙地说：“不信，我给你证明一下．”说着，蚊子便在地上写出了证明过程：证明：设蚊子重m克，狮子重n克．又设m＋n＝2a，则有m－a＝a－n.两边平方，即(m－a)2＝(a－n)2.∵(a－n)2＝(n－a)2，∴(m－a)2＝(n－a)2，两边开平方，即（m－a）2＝（n－a）2，∴m－a＝n－a，∴m＝n，即蚊子与狮子一样重．蚊子的证法对吗？为什么？⑪a 2＝⎩⎪⎨⎪⎧a （a ≥0），－a （a ＜0）.典题讲评与答案详析1．D 2.B3．C [解析] 因为4的平方根是±2，所以x －3＝2或x －3＝－2，解得x ＝5或x ＝1.4．D [解析] 因为x ＋2＝2，所以x ＝2，所以2x ＋5＝9，所以2x ＋5的平方根是±3.5．±6 6.±37．C [解析] 由一个正数的平方根是互为相反数的两个数，得x ＋1＋x －3＝0，解得 x ＝1.8．－59．解：由2a ＋3的平方根是±3，得2a ＋3＝9，所以a ＝3.由5a ＋2b －1的平方根是±4，得5a ＋2b －1＝16，所以b ＝1，所以3a ＋2b ＝11，所以3a ＋2b 的平方根是±11.10．解：小张错在没有确定m 的取值范围．∵2m －6是某数的算术平方根，∴2m －6≥0，即m ≥3.当m ＝83时，2m －6＜0，∴应舍去．故这个数为4. 11．A [解析] 因为0.22＝0.04，所以①错；因为179表示179，即169的算术平方根，结果为43，所以②错；因为负数没有平方根，所以③错；因为（－5）2的算术平方根是5，所以④错；因为11336＝4936，它的平方根是±76，所以⑤正确．所以正确的有1个． 12．C [解析] 由(x －1)2＝4，得x －1＝2或x －1＝－2，解得x ＝3或x ＝－1.13．±4 [解析] 由题意，得－2x 2＝－32，所以x ＝±4.14．解：若a 是36的平方根，则a ＝±6；若9是4a 的平方根，则a ＝814；若4是9a 的平方根，则a ＝169.综上，a 的值可以是±6，814，169. 15．(1)15 (2)－0.02 (3)±72(4)－0.1 (5)0.7 (6)9 16．解：(1)整理得(5－3x )2＝12149，则5－3x ＝±12149，所以5－3x ＝117或5－3x ＝－117， 解得x ＝87或x ＝4621. (2)整理得(x －1)2＝4，开方得x －1＝2或x －1＝－2，解得x ＝3或x ＝－1.17．D [解析] 因为x ★13＝2，所以x 2＝15，所以x ＝±15.故选D.18．解：x @(－1)＝4@ 2可以转化成x 2－12＝42－22，即x 2＝13，所以x ＝±13.19．解：不对．理由如下：由题设，应有关系式：m ＜a ＜n ，则m －a ＜0，n －a ＞0， ∴（m －a ）2＝a －m ，（n －a ）2＝n －a ，∴蚊子的证法不对．【关键问答】①它们是互为相反数的两个数．②正数a 的平方根是±a ，正数a 的算术平方根是 a.。
6.1 平方根【学习目标】1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根．2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根．【知识总结】一、平方根和算术平方根的概念1.算术平方根的定义如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；，读作“的算术平方根”，叫做被开方数.【注】有意义时，≥0，≥0.2.平方根的定义如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为是的算术平方根.二、平方根和算术平方根的区别与联系 1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：2．联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0．【注】：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．x a 2x a =x a a a a a a 2x a =x a a a a 0)a ≥a（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.三、平方根的性质四、平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位..【典型例题】【类型】一、平方根和算术平方根的概念例1．下列说法中，正确的是（ ）A ．9的平方根是3B ．25-的平方根是5-C ．任何一个非负数的平方根都是非负数D ．一个正数的平方根有2个，它们互为相反数【答案】D【解析】由一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根，即可求得答案．【详解】A 、9的平方根是±3，故本选项错误；0||000a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩()20a a =≥250=25= 2.5=0.25=B、−25的没有平方根，故本选项错误；C、任何一个非负数的算术平方根都是非负数，故本选项错误；D、一个正数的平方根有2个，它们互为相反数，故本选项正确．故选：D．【总结升华】此题考查了平方根的意义，属于基础题型．【训练】下列运算错误的是（）A＝±2B．±0.1C13D＝4 9【答案】A【解析】由算术平方根的含义判断A，由平方根的含义判断B，由算术平方根的相反数判断C，由算术平方根的含义判断D，从而可得答案．解：A2≠±，故A错误；B、0.1±，故B正确；C、13=-，故C正确；D 49，故D正确；故选：A．【思路点拨】本题考查的是平方根，算术平方根的含义，掌握以上知识是解题的关键．例2、填空：（1）是的负平方根．（2表示的算术平方根，．（3的算术平方根为．（4，则，若，则．【思路点拨】（3就是的算术平方根＝，此题求的是的算术平方根.【答案与解析】(1)16；(2)(3)(4) 9；±3【总结升华】要审清楚题意，不要被表面现象迷惑.注意数学语言与数学符号之间的转化.【训练】下列说法错误的是（）A．9的平方根是3±B．一个数的绝对值一定是正数C．单项式235x y z与232x y z-是同类项D．平方根是本身的数只有0【答案】B【分析】由平方根、绝对值、同类项的定义，分别进行判断，即可得到答案．解：A、9的平方根是3±，正确；B、一个数的绝对值一定是正数或0，故B错误；C、单项式235x y z与232x y z-是同类项，正确；D、平方根是本身的数只有0，正确；故选：B．4-=3=x=3=x=181191911;16413【思路点拨】本题考查了平方根、绝对值、同类项的定义，解题的关键是熟记定义进行判断．【训练】求下列各式的值：（1）（2（3（4【答案】（1）15；（2）15；（3）－0.3；（4） 例3的取值范围是______________．【答案】≥；【解析】＋1≥0，解得≥.有意义时，≥0，≥0.【训练】已知2(1)0x -=，则（x +y ）2的算术平方根是_____．【答案】1． 【分析】由非负性的应用，先求出x 、y 的值，然后代入计算，再计算算术平方根，即可得到答案． 解：由题意知，x ﹣1＝0，y +2＝0，解得，x ＝1，y ＝﹣2．∴（x +y ）2＝（1﹣2）2＝（﹣1）2＝1，∴（x +y ）2的算术平方根是1．故答案为：1．【思路点拨】本题考查了非负数的应用，以及算术平方根的定义，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的进行解题．655x x 1-x x 1-a a【类型】二、利用平方根解方程例4求满足条件的x 值：（1）()23112x -= （2）235x -=【答案】（1）13x =，21x =-；（2）1x =2x =-【分析】（1）方程两边同除以3，再运用直接开平方法求解即可；（2）方程移项后，再运用直接开平方法求解即可．解：（1）()23112x -= ()214x -=12x -=±解得，13x =，21x =-；（2）235x -=28x = ∴x =±∴1x =2x =-【思路点拨】本题考查了平方根的应用，解决本题的关键是熟记平方根的定义．【训练】求下列各式中的x 的值：（1）x 2=25； （2）（x -3）2=49．【答案】(1) x=±5；(2) x= -4或x=10.【分析】（1）根据开平方计算即可；（2）根据开平方计算即可．解：（1）x2=5，解得：x=±5；（2）(x-3)²=49，∴x-3=±7,解得：x= -4或x=10．【点拨】本题考查平方根的计算，关键是根据平方根的定义进行计算．【类型】三、平方根的整数部分和小数部分例5．如图，每个小正方形的边长均为1，阴影部分是一个正方形．（1）阴影部分的面积是__________，边长是____________；（2）写出不大于阴影正方形边长的所有正整数；（3）a为阴影正方形边长的小数部分，b的整数部分，求+a b的值．【答案】（1）13（21，2，3；（3）a b+=解：（1）阴影部分面积为：1554232512132⨯-⨯⨯⨯=-=，∴阴影部分是一个正方形，∴故答案为：13（21，2，3．<<，（3）∴34∴3a=，∴34<<b=∴3∴33+=+=a b【点拨】本题考查了无理数的估值及运算，解题的关键是掌握无理数的估值方法．【训练】设的整数部分和小数部分分别是x、y，试求x、y的值与x-1的算术平方根．介于哪两个整数之间，从而找到整数部分，小数部分让原数减去整数部分，然后代入求值即可．试题解析：因为4＜6＜9，所以2＜3，的整数部分是2，所以的整数部分是4，小数部分是--2，即x=4，-2=考点：1．估算无理数的大小；2．算术平方根．【类型】四、平方根的应用例6、某小区为了促进全民健身活动的开展，决定在一块面积约为1000 m2的正方形空地上建一个篮球场，已知篮球场的面积为420 m2，其中长是宽的2815倍，篮球场的四周必须留出1 m宽的空地，请你通过计算说明能否按规定在这块空地上建一个篮球场？【答案】能按规定在这块空地上建一个篮球场．【分析】先设篮球场的宽为xm，列出方程求得篮球场的长和宽，再结合题即可判断能否按规定在这块空地上建篮球场了.解：设篮球场的宽为x m，则长为2815x m，根据题意，得2815x·x=420，即x2=225，∴x为正数，=15，∴篮球场的长为28米，∴ (28+2)2=900<1000，∴能按规定在这块空地上建一个篮球场．【训练】一个长，宽之比为5∴2的长方形过道面积为102m（1）求这个长方形过道的长和宽（2）用40块大小一样的正方形地砖刚好把这个过道铺满，求这种地砖的边长【答案】（1）长和宽分别为5m、2m；（2）50cm【分析】（1）根据比的关系设未知数，根据长方形面积列等式解出即可；（2）设边长为am，根据40块大小相同的正方形的面积等于过道的总面积列方程解出即可，注意单位．解：（1）这个长方形过道的长为5xm，宽为2xm；则5x•2x=10，10x2=10，x=±1，∴x＞0，∴x=1，5x=5，2x=2，答：这个长方形过道的长和宽分别为5m、2m；（2）设这个正方形的地板砖的边长为am，则40a2=10，a2=14，a=±0.5，∴a＞0，∴a=0.5m=50cm，答：这种地板砖的边长为50cm．【点拨】本题考查算术平方根的应用，解题的关键是根据面积公式列方程，本题属于基础题型．。
