实数(平方根、算术平方根、 立方根的概念及基本运算)

实数学习目标1.理解并掌握算术平方根、平方根、立方根等概念及性质，并会用根号表示它们.2.会求算术平方根、平方根和立方根.3.理解有理数、无理数以及实数的概念，知道这些数和数轴上的点的对应关系.4.会进行实数的运算.知识精讲1.算术平方根.（1）概念：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个正数x 叫作a 的算术平方根.其中a 叫作被开方数.a 的算术平方根记作)0(≥a a ，读作“根号a ”.（2）性质：正数的算术平方根是正数；0的算术平方根是0；负数没有算术平方根.注意：非负数a 的算术平方根a 有双重非负性：①被开方数a 是非负数；②算术平方根a 本身也是非负数.2.平方根.（1）概念：如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫作a 的平方根（或二次方根）.即如果a x =2，那么x 叫作a 的平方根，记作)0(≥±a a .（2）开平方：求一个数a 的平方根的运算，叫作开平方.注意：开平方运算与平方的运算互为逆运算.（3）性质：正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根. 注意：①求某数的平方根，先要看这个数是不是非负数.②要判断一个数是不是另一个数的平方根，只需验证这个数的平方是否等于另一个数.③一个正数的正的平方根即为算术平方根.a 表示a 的算术平方根，a ±表示a 的平方根. ④在求一个数的平方根时，只要求出它的算术平方根，就可直接写出它的另一个平方根. ⑤要熟记1至20之间的整数的平方.3.立方根.（1）概念：一般地，如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫作a 的立方根或三次方根.即如果a x =3，那么x 叫作a 的立方根，记作3a ，读作“三次根号a ”.注意：这里的根指数3不能省略.（2）开立方：求一个数a 的立方根的运算叫作开立方，其中a 叫作被开方数.注意：开立方运算与立方根运算互为逆运算.（3）性质：正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0.注意：①任何数的立方根都只有一个，其符号与它本身的符号一致. ②3a -=-3a ，a a a ==3333)(.4.实数.（1）无理数：无限不循环小数叫作无理数.注意：无理数常见的三种形式：①开方开不尽的数；②有规律的无限的不循环小数；③含π的数.（2）有理数和无理数统称为实数.（3）实数的分类. 实数 有理数：有限小数或无限循环小数 无理数：无限不循环小数正实数 正有理数 正无理数实数 0负实数 负有理数 负无理数（4）实数与数轴上的点是一一对应的，即数轴上的点都表示实数；反之，实数都可以用数轴上的点来表示.5.实数的运算：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行.另外，有理数的运算律在实数范围内任然适用.方法提炼1.平方根的相关结论.（1）当被开方数扩大(或缩小)2n 倍时，它的算术平方根相应地扩大（或缩小）n 倍（0≥n ）.（2）平方根和算术平方根与被开方数之间的关系：①)0()(2≥=a a a ；②==a a 2 )0()0(＜a a a a -≥ （3）若一个非负数a 介于另外两个非负数1a 、2a 之间，它的算术平方根介于21a a 、之间，即当210a a a ＜＜≤时，则210a a a ＜＜≤.利用这个结论我们可以估算一个非负数的算术平方根的大致范围.2.立方根的相关结论.（1）当被开方数扩大(或缩小)3n 倍时，它的立方根相应地扩大（或缩小）n 倍（0≥n ）.（2）a a =33，a a =33)(.（3）若一个数a 介于另外两数1a 、2a 之间，它的立方根介于3231a a 、之间，即当21a a a ＜＜时，则32331a a a ＜＜.利用这个结论我们可以估算一个数的立方根的大致范围.3.三种非负数：，02≥a ，0≥b )0(0≥≥c c .根据非负数的性质.若其中两个或三个非负数的和为0，则每一个非负数均为0，即若02=++c b a ，则.0,0,0===c b a4.对于绝对值与平方根问题一般需分类讨论. 典例精析例1 给出下列说法：(1)正数都有平方根和立方根，负数没有平方根和立方根. (2)一个数的平方根和立方根相等，这个数是0 或1. (3)任何实数都有立方根. (4)一个正数的算术平方很和一个负数的算术平方根互为相反数. (5)一个数的立方根和这个数的相反数的立方根互为相反数.其中正确的有（ ）个.A.2B.3C.4D.5例2 已知12-a 的平方根为3±，12-+b a 的立方根为2，求b a 2+的平方根.典例精练1.下列语句中正确的是（ ）A.49的算术平方根是7B.49的平方根是-7C.-49的平方根是7D.49的算术平方根是7±2.下列实数3π，71-，0，2，-3.15，9，33中，无理数有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个3.（1）9-的平方根与-8的立方根的和是（ ）A.1B.-5C.3±D.1或-5（2）一个数的算术平方根是a ，则比这个数大8的数是（ ）A.a +8B.a -4C.82-aD.82+a4.若0)3(122=++-++c b a ，则c b a -+2等于（ ）A.0B.1C.2D.35.给出下列说法：(1)无理数就是开方开不尽的数.（2）无理数是无限u 循环小数.（3）无理数包括正无理数、0、负无理数.（4）实数都可以用数轴上的点来表示.其中正确的个数为（ ）个.A.1B.2C.3D.4 6.75-的相反数是____________，绝对值是____________.7.当x __________时，1-x 有意义.8.比较大小：72___________24.9.(1)若36.25=5.036，6.253=15.906，则253600=___________.(2)已知351.1=1.147，472.21.153=，5325.0151.03=，则31510的值是___________. 10.(1)52233221-+-+-+- (2)3201564321691541)1(21+-++--+-+ (3)327)21()4()4()2(323323-÷--⨯-+-⨯-11.求下列各式中的x .(1)01642=-x (2)0125273=-x12.若15+a 和19-a 是正数m 的平方根，求m 的值.13.已知m 是313的整数部分，n 是13的小数部分，求n m -的值.14.已知实数c b a 、、在数轴上对应点的位置如图所示，化简：3322)()(a b b c b c b a ----+-+-.中考真题1.（湖北鄂州）4的算术平方根为__________.2.（安徽）设n 为正整数，且1n 65+＜＜n ，则n 的值为（）. A.5 B.6 C.7 D.8。

《实数》复习课教案一、教学目标1．理解平方根、算术平方根、立方根的概念，能用平方或立方运算求某些数的平方根或立方根；2．会用计算器进行数的加、减、乘、除、乘方及开方运算；3．了解无理数的意义，会对实数进行分类，了解实数的相反数和绝对值的意义；4．了解实数与数轴上的点一一对应，了解有理数的运算律适用于实数范围．会按结果所要求的精确度用近似的有限小数代替无理数进行实数的四则运算．二、教学重难点1．平方根和算术平方根的概念、性质，无理数与实数的意义；2．算术平方根的意义及实数的性质．三、教学准备课件、计算器．四、教学过程一、知识疏理,形成体系（课前要求学生对本章知识进行总结）师：本章的主要内容是开方运算．从定义出发解题是解本章有关题目的基本方法，我们注意掌握用计算器进行数的计算的方法的同时，还必须注意区分清楚有理数与无理数的概念，掌握实数的四则运算．下面，我们以组为单位小结一下本章的知识点．生：我们认为这一章主要学习了一种新的运算——开方，开方与乘方是互为逆运算的关系．开方包括开平方与开立方．通过开平方可求一个非负实数的平方根；通过开立方可求一个实数的立方根．依据这一思路，我们画出的知识结构图是：()⎩⎨⎧−−−−−→←立方根开立方算术平方根平方根开平方开方乘方互为逆运算________ 师：好!他们组是以运算为线索总结的，侧重总结了开方运算，还有补充吗？ 生：我们认为平方根、算术平方根、立方根的定义、性质也都非常重要．因此我们是这样总结的：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧−−−−−→←.00;;___00;.;00:,的立方根是方根负数有一个负的立方根正数有一个正的立性质定义立方根开立方的算术平方根是的正的平方根正数性质定义算术平方根负数没有平方根的平方根是们互为相反数根一个正数有两个平方性质定义平方根开平方开方乘方互为逆运算a 师：当求一个非负数的平方根时，可能会出现无理数，使得数的范围从有理数扩大到实数，所以实数的意义、分类以及相关的内容也需总结．生：我们是这样总结的：1．分类⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负无理数正无理数无理数负有理数正有理数有理数实数02．每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反之，数轴上的每一个点又都可以表示成一个实数，它们之间是一一对应的．师：有理数都可以表示成有限小数或无限循环小数．无理数是无限不循环小数，它不能表示成分数形式，任何一个无理数，都可以用给定精确度的有理数来近似地表示．二、强化基础，巩固拓展．（也可以由学生提出典型薄弱题型进行讲解） 1．求下列各数的平方根：（1）972；（2）25；（3）252⎪⎭⎫ ⎝⎛-． 师：本题要审清是求哪个实数的平方根，只有非负实数才有平方根． 生：（1）是求925的平方根；（2）是求5的平方根；（3）是求254的平方根． 由学生独立完成．2．x 取何值时，下列各式有意义．（1）x -2； （2）12+x ．师：a 在什么情况下有意义？生：对于a ，必须满足a ≥0，它才有意义，所以被开方数必须是非负数． （1）2－x ≥0；（2）x 2＋1≥0．师：如何求出x 的范围呢？生：我们讨论后，得出如下结论：（1）x ≤2；（2）不论x 取什么实数，x 2≥0，x 2＋1＞0，即x 的取值范围是：x 为全体实数．3．求下列各数的值：（1）()23π-；（2）122+-x x （x ≥1）．师：如何化简2a 呢？生：我们认为首先应考虑2a 中a 的范围．（1）当a ≥0时，2a ＝a ；（2）当a ＜0时，2a ＝－a ．师：求下列各数的值，必须先确定a 的范围．生：因为3－π＜0，所以()23π-＝－（3－π）＝π－3．师：如何化简122+-x x 呢？生：将122+-x x 化为2a 的形式，即()22112-=+-x x x再考虑x －1的范围，由学生独立完成．4．已知：|x －2|＋3-y ＝0，求：x ＋y 的值．师：认真审题，考虑一下所给的这些数有什么特点．生：|x －2|和3-y 都是非负数．师：两个非负数的和可能是0吗？生：只有当两个非负数都取0时，其和才为0，其他情况下，都大于0． 由学生独立完成．师：哪些数为非负数呢？生：实数a 的绝对值，表示为|a |，|a |是非负数；实数a 的平方，表示为a 2，a 2是非负数；非负实数a 的算术平方根表示为a ，a 是非负数．师：非负数有什么特点？生：（1）几个非负数的和仍为非负数；（2）若几个非负数的和为0，则每一个非负数都必须为0．师：绝对值、平方数、算术平方根都是非负数，解题时要注意这一隐含条件，不可把0漏掉．5．计算：32725-+（精确到0.01）． 师：无理数是开方开不尽的数，那么如何计算呢？生：在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出结果的近似值时，可以按照所要求的精确度用相应的近似有限小数去代替无理数，再进行计算．因为精确到0.01，所以在计算过程中可用2.236代替、5，1.732代替3． 由学生独立完成．6．在实数2-、13.0 、3π、71、0.80108中，无理数的个数为_______个． 师：如何判断一个数是无理数？生：一个无理数不能表示成分数形式，或者说成数位无限，且不循环． 7．|x |＜2π，x 为整数，求x师：|x |＝2π，x 的值是多少？生：当x ＝2π，x ＝－2π时，|x |＝2π，所以|x |＜2π时，x ＝±2π．师：|x |＝2π的含义？生：实数x在数轴上所对应点到原点的距离等于2π．师：|x|＜2π的含义呢？生：实数x在数轴上所对应点到原点的距离小于2π．师：结合数轴，你能说出满足|x|＜2π这一条件的点在数轴的什么位置上吗？生：→在如图所示的范围内，因为x为整数，所以x＝6、5、4、3、2、1、0、－1、－2、－3、－4、－5、－6．师：非常好!三、查缺补漏，归纳提升．1．通过今天的探究学习，你们有哪些收获？2．非负数的和等于零的条件是：当且仅当每个非负数的值都等于零．此性质在解题时经常会被用到．3．对于本章的内容你还有那些疑问？四、作业1．教科书第19页复习题A组五、板书设计第6章实数1．知识疏理2．巩固训练3．归纳提升六、教学反思（略）七、课堂小卷（1）填一填:1.16的平方根记作_______,等于________.16________.3.31-2-3(1)_______.55.两个无理数的和为有理数,这两个无理数可以是______和_______.6.若│x 2-则x=_______,y=_______.7.已知x 的平方根是±8，则x 的立方根是________.（2）选一选:8.4的平方根是（ ）A.2B.-2C.±29.下列各式中,无意义的是（ ）B. 10.下列各组数中,互为相反数的一组是（ ）A.-2与B.-2C.-2与-12D.│-2│与2 11. 下列说法正确的是 （ ）A.1的平方根是1;B.1的算术平方根是1;C.-2是2的平方根;D.-1的平方根是-1（3）做一做：12. 求下列各数的平方根:（1）81;（2）1625;（3）1.44;（4）214; （513. 求下列各式中的x:①x 2=1.21; ②27（x+1）3+64=0.14. a≥0a 的算术平方根.由此你会求下列各式有意义时x 的取值范围吗？试试看:（1 （2; （3 （415.已知2a-1的平方根是±3,3a+b-1的平方根是±4,求a+2b 的平方根.。

第3讲 实数的有关概念及性质【学习目标】掌握算术平方根、平方根、立方根、实数的概念及性质【教学重难点】算术平方根、平方根、立方根、实数的概念及性质考点1：平方根知识点与方法技巧梳理：1．平方根：一个数x 的平方等于a ，即x2＝a （a ≥0），那么这个数x 叫做a 的平方根． 2．平方根的表示方法：①当a ≥0时，a 的平方根记为±a（特别地，0＝0）； ②当a ＜0时，a 没有平方根． 3．平方根的性质：①一个正数a 有两个平方根，一个是a 的算术平方根a，另一个是－a，它们互为相反数； ②0有一个平方根，它就是0本身； ③负数没有平方根．【例1】判断下列说法是否正确： （1）25的平方根是±5（ ） （2）|－9|的平方根是3（ ） （3）－8是64的平方根（ ） 【变式】填空：（1）0.04的平方根是_________．（2）若a 是x 的一个平方根，则x 的另一个平方根是_________． （3）若a2＝(－7)2，则a ＝_________． （4）平方根是它本身的数是_________． 【例2】求下列各数的平方根：（1）1.44 （2）2249（3）10－4 （4）|－3116| （5）292－202【变式】求下列各数的平方根：（1）2.89 （2）3625（3）0.000001 （4）|－24164| （5）852－362考点2：算术平方根知识点与方法技巧梳理：1．算术平方根：①正数a 的正的平方根，叫做a 的算术平方根，记作a； ②特别地，0的算术平方根是0．2．算术平方根的性质：非负数的算术平方根是非负数，即当a ≥0时，a≥0．3．（1）(a)2＝a （a ≥0）；（2）a2＝| a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a （a ＞0）a （a ＝0）－a （a ＜0）【例1】判断下列说法是否正确：（1）361＝±19；（ ） （2）27是(－27)2的算术平方根；（ ）（3）4的算术平方根是2．（ ）【变式1】下列说法错误的是（ ）A ．4是16的平方根B ．1的平方根是1C ．(－3)2的平方根是±3 D ．10－100的算术平方根是10－50 【变式2】填空：（1）49的平方根是_________，225的算术平方根是_________． （2）若a 2＝m ，则a ＝_________． （3）(a)2＝_________（a ≥0）； a 2＝_________．（4）算术平方根是它本身的数是________；________的算术平方根等于它的平方根．（5x ＋11的平方根是_________，算术平方根是_________． （6）a2的算术平方根是_________，(3－π)2的算术平方根是_________．（73b +＝0，则20172017a b +＝_________．（8）若4a ＋1的平方根是±5，则a2的算术平方根是__________． 【例2】求下列各数的算术平方根：（1）179（2）(－35)2 （3）8－2 （4）64（5）0.01 （6）262－102【变式】求下列各数的算术平方根：（1）3625（2）－(－19)3 （3）14－4 （4）81（5）1210- （6）372－122考点3：平方根和算术平方根的运用 知识点与方法技巧梳理：1．开平方：①求一个非负数a 的平方根的运算，叫做开平方，其中a 叫被开方数．开平方和平方互为逆运算． ②开平方与加、减、乘、除、乘方一样，都是一种运算． ③平方与开平方互为逆运算．2．被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位． 【例1】计算：（1）(－7)2（2）(5.7)2【变式】计算：（1）1 40.64－1 5100（2） 2.56×25 64【例2】利用平方根解方程：（1）16( x 2＋1 )＝41 （2）( 5x －1)2＝49【变式】利用平方根解方程：（1）25(x2＋2)＝86 （2）(3x －2)2＝(－7)2【例3】若|2x ＋3|＋4x －y＝0，求x 、y 的值．【变式】已知|3a －2|＋2a ＋3b＝0，求a ＋b 的值．考点4：无理数知识点与方法技巧梳理：无理数：无限不循环小数叫做无理数，如3、π．【例】在①0，②10，③－π5，④32，⑤3.14中，是无理数的有____________．【变式】下列各数中，是无理数的是（ ）A ．47B ．225C ．3πD ．4925考点5：立方根知识点与方法技巧梳理：1．立方根的概念：如果x3＝a ，则x 叫做a 的立方根（也叫做三次方根） 2．立方根的性质：①正数有一个立方根，仍为正数．如：64的立方根是44；0；③负数有一个立方根，仍为负数，如：－8的立方根为－22=-．任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同． 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数． 【例1】下列说法正确的是（ ）A －2B ．1的立方根是±1C ．若x ＜0xD ．0没有立方根【变式】下列说法正确的是（ ）A ．－4没有立方根B ．8的立方根是±2C ．136的立方根是16D ．－5的立方根是【例2】求下列各数的立方根： ①－216 ②0.125 ③61164- ④9【变式】求下列各数的立方根：①343 ②－0.216 ③－1558④3(11)-考点6：立方根的运算知识点与方法技巧梳理：1．开立方：①求一个数a的立方根的运算，叫做开立方，其中a叫被开方数．②正如开平方是平方的逆运算一样，开立方运算也是立方运算的逆运算．2．=②3a=③a=第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题．3．被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位．【例1】求下列各式的值：【变式】求下列各式的值：①【例2】0.30.03，则x∶y＝_________．【变式1】a__________m=．【例3】利用立方根解方程：①27x3＝－64 ②(－3＋x)3＝216＝－5 ④64(x＋1)3＋125＝0【变式】利用立方根解方程：①334364x-＝0 ②(4x＋3)3＝－8－6 ④1000－27(x－2)3＝0考点7：实数知识点与方法技巧梳理：1．实数：有理数和无理数统称为实数．2．实数的分类：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧无限不循环小数负无理数正无理数无理数小数数有限小数或无限循环小正分数、负分数分数正整数、零、负整数整数有理数实数)()()(3．实数大小的比较：在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大．4．实数和数轴上点的对应关系：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，即实数和数轴上的点是一一对应的关系．5．实数的几个概念：①相反数；②倒数；③绝对值都和有理数范围内的概念相同． 【例1】把下列各数分别填入相应的集合中：2，1311，8，π2，－2，－7.77，00.121221222……（相邻两个1之间的2的个数逐次增加1）【变式】请把例1中的各数填入相应的集合中：正实数集合：{____________________________________________________…}；分数集合{____________________________________________________…}．【例2【变式A ．－1和0之间 B ．0和11和2之间D ．2和3之间【变式2】比较下列各组数的大小：（1（2）－π______－【变式3】3－－【例4】实数a 、b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则的大小关系为____________． 【变式】如图，在数轴上表示2、3的对应点分别为A 、B ，点B 关于点A 的对称点为C ，则点C 表示的实数为____________．【家庭作业】1a __________m =__________；2．若正数A 的平方根是3x －2和x －6，求x A 的算术平方根．3．已知有理数a 、b 满足a2＋2b ＋2b ＝17－42，求a ＋b 的值．4．已知实数a 、b 满足条件b ．（1）求a 、b 的值；（2）求1111(1)(1)(2)(2)(2017)(2017)ab ab a b a b ++++++++++的值． C 0 A B有理数集合 无理数集合。

自学资料一、平方根【知识探索】1．如果一个正数x的平方等于a，即，如果x2＝a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根（arithmetic square root）．a的算术平方根记为“”，读作“根号a”，a叫做被开方数．【说明】规定：0的算术平方根是0．2．开平方与平方互为逆运算．【说明】（1）一个正数的平方根的平方等于这个数；（2）一个正（负）数的平方的正平方根等于这个数（这个数的相反数）．3．正数a的两个平方根可以用“”表示，其中“”表示a的正平方根（又叫算数平方根），读作“根号a”；“”表示a的负平方根，读作“负根号a”．零的平方根记作“”，．【总结】（1）一个正数有两个平方根，它们互为相反数；（2）零的平方根是零；（3）负数没有平方根．【说明】负数没有平方根，或者说负数不能进行开平方运算，这个结论只是在实属范围内正确．【错题精练】例1．若（k是整数），则k=（）第1页共6页自学七招之日计划护体神功：每日计划安排好，自学规划效率高非学科培训A. 6B. 7C. 8D. 9例2．已知m的平方根是a+3与2a﹣15，求m的值．例3．已知（2x+y）2+=0，求x﹣2y的平方根．例4．一个正偶数的算术平方根是a，那么与这个正偶数相邻的下一个正偶数的算术平方根是（）A. a+2B.C.D.例5．求下列式子中的x28x2-63=0．【举一反三】1．下列计算正确的是（）A.B. =﹣2C.D. （﹣2）3×（﹣3）2=722．一个正方形的面积是9平方单位，则这个正方形的边长是（）长度单位A. 3B.C. ±第2页共6页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训D. ±3．下列判断正确的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则4．的平方根是（）A.B.C.D.5．已知边长为a的正方形的面积为8，则下列说法中，错误的是A. a是无理数B. a是方程x2﹣8=0的解C. a是8的算术平方根D. a满足不等式组6．9的平方根是__________ ，9的算术平方根是__________7．求x值：（x﹣1）2=258．已知，则a﹣b的值是__________ ．9．观察数表：第3页共6页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训根据数阵排列的规律，第10行从左向右数第8个数是__________ ．二、立方根【知识探索】1．任意一个数都有立方根，而且只有一个立方根．（1）正数的立方根是一个正数；（2）零的立方根是零；（3）负数的立方根是一个负数．2．一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根（cube root）或三次方根．即，如果x3＝a，那么x就叫做a的立方根．用“”表示，读作“三次根号a”．中的“a”叫做被开方数，“3”叫做根指数．【错题精练】例1．我们知道a+b=0时，a3+b3=0也成立，若将a看成a3的立方根，b看成b3的立方根，我们能否得出这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数．（1）试举一个例子来判断上述猜测结论是否成立；（2）若与互为相反数，求的值．例2．一个正方体木块的体积是125cm3，现将它锯成8块同样大小的正方体小木块，求每个小正方体木块的表面积。

实数知识点总结一、平方根（1）平方根的定义：如果一个数x 的平方等于a ，那么这个数x 就叫做a 的平方根．即：如果a x =2，那么x 叫做a 的平方根．记作：±√a 2或±√a a 叫做被开方数，2叫做根指数，可以省略不写。

（2）开平方的定义：求一个数的平方根的运算，叫做开平方．开平方运算的被开方数必须是非负数才有意义。

（3）平方与开平方互为逆运算：（±3）=9，9的平方根是±3， 记作±√9=±3. （4）一个正数有两个平方根，即正数进行开平方运算有两个结果；一个负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算； 0的平方根是0。

（5）符号：正数a 的正的平方根可用a 表示，a 也是a 的算术平方根；正数a 的负的平方根可用-a 表示．（6）a x =2 <—> a x ±=a 是x 的平方 x 的平方是a x 是a 的平方根 a 的平方根是x题型一;求下列各数的平方根 36 0.00493625-（-169）36121（−10）6214题型二：利用平方根解方程1、（1）（2x-1）2-169=0； （2）12142=x题型三：正数有两个平方根，它们互为相反数的考核1、一个正数a 的平方根是3x ―4与2―x ，则a 是多少？2、若5a ＋1和a －19是数m 的平方根，求m 的值。

二、算术平方根（1）算术平方根的定义： 一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根．a 的算术平方根记为a ，读作“根号a”，a 叫做被开方数．规定：0的算术平方根是0.也就是，在等式a x =2 (x≥0)中，规定a x =。

（2）a 的结果有两种情况：当a 是完全平方数时，a 是一个有限数；当a 不是一个完全平方数时，a 是一个无限不循环小数。

（3）当被开方数扩大时，它的算术平方根也扩大；当被开方数缩小时与它的算术平方根也缩小。

《实数》期末复习教案二中苏元实验学校 陈颍【教学分析】《实数》一章概念较多，且比较抽象，主要是学生对于无理数的认知还缺乏实际经验的积累，算术平方根和平方根概念混淆。

本节为复习课，学生有一定的知识储备，但是预计因理解不到位容易出错，所以这节课定位在：帮助学生构筑知识体系，通过学生自主学习和合作学习暴露学习中的知识性问题，加强理解，归纳典型问题的方法，领会数学思想在解决问题中的作用。

【复习目标】1. 进一步巩固算术平方根，平方根，立方根和实数的的相关概念及性质2. 熟练用根号表示并求数的平方根，立方根3. 能进行实数的简单四则运算，对实数的大小进行比较4. 掌握估算的方法，加强估算能力的培养5. 领会分类思想、类比迁移、数形结合等数学思想方法的运用【教学重点】平方根、算术平方根、立方根及实数的概念与性质，以及实数的运算，大小比较【教学难点】平方根和实数的概念，对符号的认识【教学准备】学案【教学过程】环节一：引导回顾，构筑知识框架师：在《实数》这一章，我们认识了哪些关于数的新知识？学生回忆，师生共同构筑知识线：()⎩⎨⎧−−−−−→←立方根开立方算术平方根平方根开平方开方乘方互为逆运算________ ⎩⎨⎧无理数有理数实数 （设计意图：本节概念较多，先建立知识框架，后面以题带点覆盖知识点）环节二：强化基础，巩固拓展，完善知识框架题组（一）：基本概念过关先让学生独立思考完成，老师巡视发现问题，然后学生小组讨论交流，找出易错点，消化部分呈现问题，接着先请每个小组派代表展示错点，归纳总结易错点，师生一起归纳和完善知识体系。

1. 16的算术平方根是______________.2. 2)9(-的平方根是x , 64的立方根是y ，则y x +=________.3. 式子1-x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是________.4. 下列计算中：①2)7(-=－7；②2)2(2=-；③196=±14；④39-=－3；⑤25425=--；⑥2581-=59-；⑦）21)21(33±=，⑧5)5(2±=，正确的是 .（填序号即可） 5. 已知一个正数的平方根分别是13+a 和11+a ，则a 的值是_______.6. 下列实数：4-，3，113，2π，•7.1，38-，0.3737737773…(相邻两个3之间的7的个数逐次加1)，其中属于无理数的是_____________________________________________________.7. 数轴上的点与______一一对应。

思源个性化学习讲义学生姓名 在读年级 初一 辅导课目 数学 辅导日期 任课老师班主任课次课程主题实数的概念和数的开方教学目标1、通过实际问题，认识到数的扩充的必要性2、了解无理数和实数的概念，3、会对实数按照一定的标准进行分类，培养分类能力4、了解平方根、开平方根的概念，立方根和开立方的概念 教学安排一览 事项 时间 实数 15分钟 平方根 25分钟 立方根 10分钟 n 次方根 10分钟 夹逼法 10分钟 课堂巩固练习 30分钟课堂小结10分钟【知识精要】 一、实数1. __________无限不循环__________叫做无理数。

____有理数_____和_无理数________统称为实数2. 实数的分类{}⎧⎧⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎭⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数零负整数有理数有尽小数或无尽循环小数正分数实数分数负分数正无理数无理数无尽不循环小数负无理数二、平方根1. 平方根定义： 一个数的平方等于a ，那么我们把这个数叫做a 的平方根2. 平方根的性质：○1一个正数的平方根有 2 个，它们 ； ○20只有 1 个平方根，就是 0 ； ○3负数 没有 平方根。

3. 算术平方根（1）定义： 一个数的正平方根 （2）正数a 的算术平方根表示为： a （3）算术平方．．．．根的性质．．．．：a 具有双重非负性：（1） （2）0的算术平方根是0；一个非负数的算术平方根有且仅有．．．．一个 三、立方根1. 立方根的定义： 一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根 记作： ，读作 2．立方根的性质．．．．．．： （1）（2）33a = a ；()=33a a ；（3）立方根等于本身的数是 0,1，-1 ； 四、n 次方根1.概念：如果一个数的n 次方（n 是大于1的整数）等于a ，那么这个数叫做a 的n 次方根2.性质：○1实数a 的奇次方根有且只有一个，用“na ”表示. ○2正数a 的偶次方根有两个，它们互为相反数，正n 次方根用“n a ”表示，负n 次方根用“-n a ”表示（a >0，n 是正偶数）○3负数的偶次方根不存在 _____)_____(____,_____________)(22==a a ）（○4零的n 次方根等于零，表示为“00=n” 五、夹逼法对于带根号的无理数的近似值可以通过平方运算或立方运算采用“夹逼法”，即两边无限逼近，逐级夹逼，首先确定其整数部分的范围，再确定十分位，百分位等小数部分。

板块一 平方根、立方根、实数实数可按下图进行详细分类：0⎧⎧⎫⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎩⎪⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎪⎪⎫⎧⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩正整数整数负整数有理数有限小数或无限循环小数正分数实数分数负分数正无理数无理数无限不循环小数负无理数 实数与数轴上的点一一对应.(以下概念均在实数域范围内讨论) 平方根的定义及表示方法：如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根． 也就是说，若2x a =，则x 就叫做a 的平方根． 一个非负数a 的平方根可用符号表示为“a ±”．算术平方根：一个正数a 有两个互为相反数的平方根，其中正的平方根叫做a 的算术平方根，可用符号表示为“a ”；0有一个平方根，就是0，0的算术平方根也是0，负数没有平方根，当然也没有算术平方根.（负数的平方根在实数域内不存在，具体内容高中将进学习研究）一个非负数的平方根不一定是非负数，但它的算术平方根一定是非负数，即若0a ≥，则0a ≥.平方根的计算：求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方．开平方与平方是互逆运算，可以通过平方运算来求一个数的平方根或算术平方根，以及检验一个数是不是另一个数的平方根或算术平方根．通过验算我们可以知道：⑴当被开方数扩大(或缩小)2n 倍，它的算术平方根相应地扩大(或缩小)n 倍(0n ≥)． ⑵平方根和算术平方根与被开方数之间的关系：①若0a ≥，则2()a a =；②不管a 为何值，总有2(0)||(0)a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩注意二者之间的区别及联系．⑶若一个非负数a 介于另外两个非负数1a 、2a 之间，即120a a a ≤<<时，它的算术平方根也介于1a 、2a 之实数基本概念及化简立方根的定义及表示方法：如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根，也就是说，若3,x a =则x 就叫做a 的立方根， 一个数a 的立方根可用符号表，其中“3”叫做根指数，不能省略. 前面学习的其实省略了根指数“2”“三次根号a ”“二次根号a ”“根号a ”.任何一个数都有立方根，且只有一个立方根，正数的立方根为正数，负数的立方根为负数，0的立方根为0.立方根的计算：求一个数的立方根的运算，叫做开立方，开立方与立方是互逆运算，可以通过立方运算来求一个数的立方根，以及检验一个数是不是另一个数的立方根．通过归纳我们可以知道：⑴当被开方数(大于0)扩大(或缩小)3n 倍，它的立方根相应地扩大(或缩小)n 倍．a，3a =⑶若一个数a 介于另外两个数1a 、2a 之间，即12a a a <<，利用这个结论我们可以来估算一个数的立方根的大致范围．一、实数的概念【例1】在实数010.1235中无理数的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【例2】22π 3.140.614140.10010001000017，，，，这7个实数中，无理数的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【例3】 有一个数值转换器原理如图所示，则当输入x 为64时，输出的y 是（ ）输出y输入xA ．8 B． C． D．【例4】【例5】 说明边长为1。

实数中的平方根和立方根一、平方根【学习目标】1．了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求百以内整数的平方根2．了解算术平方根、平方根的概念，会用根号表示数的算术平方根、平方根【知识点】1．正数a的两个平方根可以用“”表示，其中“”表示a的正平方根（又叫算数平方根），读作“根号a”；“”表示a的负平方根，读作“负根号a”．零的平方根记作“”，．【总结】（1）一个正数有两个平方根，它们互为相反数；（2）零的平方根是零；（3）负数没有平方根．【说明】负数没有平方根，或者说负数不能进行开平方运算，这个结论只是在实属范围内正确．【经典例题】1．若√x+2在实数范围内有意义，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（）A.；B.；C. ；D. ．2．要使二次根式√x−3有意义，则x的取值范围是（）A. x≠3；B. x>3；C. x≤3；D. x≥3．3．下列各式中，正确的是（）A. √42=−4；B. √(−4)2=−4；C. −√42=4；D. √(−4)2=44．如图，两个正方形的面积分别为16，9，两阴影部分的面积分别为a，b（a＞b），则(a−b)等于（）A. 7；B. 6；C. 5；D. 4．5．下列说法正确的是（）①−√2是2的一个平方根；②(−2)2的算术平方根是—2；③√16的平方根是±2；【知识点】【经典例题】例1．实数－2，0.4，17，√2，−π中，无理数的个数是（ ） A. 2个；B. 3个；C. 4个；D. 5个．例2．将下列有理数分类17，﹣1，12，0，﹣3.01，0.62，﹣15，−812，180，﹣15% （1）正数集合：{ }；（2）整数集合：{ }；（3）分数集合：{ }；（4）非负数集合：{ }．例3．有下列说法：①任何实数都可以用分数表示；②实数与数轴上的点一一对应；③在1和3之间的无理数有且只有√2，√3，√5，√7这4个；④π2是分数，它是有理数．其中正确的个数是（ ）A. 1；B. 2；C. 3；D. 4．例4．把下列各实数填在相应的大括号内π2，−|−3|，√−127，0，227，−3.，√5，1−√2，1.1010010001…（两个1之间依次多1个0）．整数 { …}；分数 { …}；无理数 {… }；负数 { …}．四、实数比较大小【知识点】1.数轴比较法2.作差法3.作商法4.倒数比较法，5.平发法6.比较被开方数7.特殊值法，－2，√5表示在数轴上，并用“＜”将它们从小到大连接起来．例1．把112例2．如图所示，数轴上点A表示的数是−1，O是原点，以AO为边作正方形AOBC，以A为圆心、AB长为半径画弧交数轴于P1、P2两点，则点P1表示的数是，点P2表示的数是．例3．若实数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列判断正确的是（）A. a＞0；B. ab＞0；C. a＜b；D. a，b互为倒数．例4．比较大小：－3__________ .(填“>””<”或“=”号)例5．已知a=（﹣1）2016，b=﹣（﹣1.2），c=﹣32，则a，b，c的大小关系是（）A. a＞b＞cB. a＞c＞bC. c＞a＞bD. b＞a＞c例6．已知M=a﹣1，N=a2﹣a（a为任意实数），则M、N的大小关系为（）A. M＜NB. M=NC. M＞ND. 不能确定例7．当时，的大小顺序是__________例8．比较两实数的大小：与【经典例题】例1．若x−1是125的立方根，则x−7的立方根是．例2．已知x，y为实数，且满足=0，那么x3-y3=__________．例3．下列命题：①负数没有立方根；②一个实数的立方根不是正数就是负数；③一个正数或负数的立方根与这个数的符号一致；④如果一个数的立方根等于它本身，那么它一定是1或0．其中正确有（）个A. 1B. 2C. 3D. 4 例4．已知，且与互为相反数，求的平方根．例5．（1）一个正数的平方根是a+3与2a﹣15，求a的值．（2）已知，求的立方根．（3）已知x、y为实数，且．求的值．例6．问题：（1）；（2）；（3）．探究1，判断上面各式是否成立．（1）______（2）______（3）______探究2：并猜想=______。

6.1平方根、算术平方根、立方根例题讲解第一部分：知识点讲解1、学前准备【旧知回顾】2.平方根（ 1）平方根的定义：一般的，若是一个数的平方等于a ，那么这个数叫做 a 的平方根，也叫做二次方根。

即若 x2 a ，( a0) ，则x叫做a的平方根。

即有 x a ，（a0 ）。

（ 2）平方根的性质：（ 3）注意事项：x a ， a 称为被开方数，这里被开方数必然是一个非负数（a0 ）。

（ 4）求一个数平方根的方法：（5）开平方：求一个数平方根的运算叫做开平方。

它与平方互为逆运算。

3.算术平方根（ 1）算术平方根的定义：若x2 a ， (a 0) ，则x叫做a的平方根。

即有x a ，（ a 0 ）。

其中x a 叫做 a 的算术平方根。

（ 2）算术平方根的性质：（ 3）注意点：在今后的计算题中，像22， 5 分别指的是 2 和25 （ - 2），其中5的算术平方根。

4.几种重要的运算：①ab a ? b a 0, b 0, a ? b ab a 0,b0②a a0),a a0,b0) b(a 0,bb(ab b③(a )2a ( a 0) ,2，2aaa（ - a）★★★ 若 a b 0，则(a b)2 a b a b a b5.立方根（1）立方根的定义：一般地，若是一个数的立方等于 a ，那么这个数叫做 a 的立方根，也叫做三次方根。

即若x3 a ，则x叫做a的立方根。

即有x 3 a。

（2）立方根的性质：（3）开立方求一个数的立方根的运算叫做开立方，它与立方互为逆运算。

6.几个重要公式：3ab 33,33b3ab③ a ?b a ?a 33a a3a(b 0),3(b 0) b33b bb④3333，33( a ) a (a可以为任何数）,a a（- a）-a 第二部分：例题讲解题型 1：求一个数的平方根、算术平方根、立方根。

1.求平方根、算术平方根、立方根。

（1） 0 的平方根是，算术平方根是.（2） 25 的平方根是，算术平方根是.（3）1的平方根是，算术平方根是. 64（4）(9) 2的平方根是，算术平方根是.（5） 23 的平方根是，算术平方根是.（6）16的平方根是，算术平方根是.(6)（2，算术平方根是. 16）的平方根是(8)- 9的平方根是，算术平方根是.（9）8。

实数第六章实数 平方根与立方根1. 算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根注：1）算术平方根是非负数，具有非负数的性质；2）若两数的平方根相等或互为相反数时，这两数相等；反之，若两非负数相等时，它们的平方根相等或互为相反数；3)平方根等于本身的数只有0，算术平方根等于本身的数有0、1.算术平方根的表示：_________________________________________________ 算术平方根的性质：2. 平方根：一般地，如果一个数x 的平方等于a ，那么这个数x 叫做a 的平方根 平方根的表示：______________________________________________________平方根的性质：A 一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数 B 零有一个平方根，它是零本身 C 负数没有平方根开平方：求一个非负数的平方根的运算叫做开平方。

例题：一个数的平方等于9,这个数是几呢？又如一个数的平方等于425，这个数是几呢？若x 2=a （x ≥0），那么x 叫做a 的__________________。

记作：_______________4.立方根的定义：如果x 3＝a ，那么x 叫做a 的立方根，记作例如：8的立方根，记作任何数都有立方根：①正数的立方根是________数； ②负数的立方根是________数； ③ 0的立方根是________； 立方和开立方互为________运算. 综上所述，有a (a ≥0)2a =│a │=-a (a<0)两个重要的公式为任何数）为任何数）a a a a a (()a (3333==.x知识点1： 算术平方根，平方根的， 立方根的概念 求一个数的算术平方根，平方根，立方根 1.下列说法正确的有______个.①(−3)2的算术平方根是√3②81的算术平方根是9③a 2的算术平方根是a ④ -1的算术平方根是1 ⑤ 0的算术平方根是02.下列说法正确的有______个. ①√81=±9②0.01算术平方根是0.1 ③49的算术平方根是7 ④2是4的算术平方根 ⑤正数的算术平方根是正数3.下列说法错误的有______个. ①36的平方根是6 ②|−5|的平方根是5③(−4)2的平方根是±4 ④a 的平方根是±√a4.下列说法错误的是( )A 立方根等于它本身的数有-1,0,1B 立方根等于其绝对值的数只有0C 如果−∛a =b,那么a=−b3D 立方根等于平方根的数只有0 5.36的平方根是______；的平方根是_______；的平方根是_______；9的算术平方根是_______；16的算术平方根的平方根是____________.＝________________；－________；知识点2. 算术平方根--求字母的值--被开方数的非负性--结果的非负性1.4的算术平方根为2m −2，则3m 的算术平方根等于___2.若y=x -1+1-x +4，则x+y=______.4.21++a 的最小值是________，此时a 的取值是________．知识点3：平方根的性质--求字母的值--解方程 平方根与算术平方根的区别与联系1.若一个正数的两个平方根为2m −6与3m+1，则这个数是______；若a+3与2a −15是x 的平方根，则x=______.2.若某一个数的正的平方根为2m+6，它的平方根为±(m −2)，则这个数是_____3.已知13(1−2x)2+6＝9．则x=_____（写过程）4.已知25(x+2)2﹣36＝0，则x=_____（写过程）5.下列语句错误的有______个. ①36的平方根是6； ②±9的平方根是±3； ③√16＝±4；④0.01是0.1的平方根； ⑤42的平方根是4； ⑥81的算术平方根是±96.下列语句正确的有______个.①4的算术平方根是±2②负数一定没有平方根③平方根等于它本身的数有0和1④0.9的算术平方根是0.3⑤任何数都有算术平方根⑥一个正数的平方根仍然是正数知识点4：立方根的性质--求相关式子的值--解方程平方根与立方根的区别与联系立方根与平方根的运算0,1，-1的平方根和立方根4.解方程：(1) (x－1)3＝8；(2)8.平方根等于本身的数______立方根等于本身的数______知识点5.平方根，立方根--规律探究根据算术平方根的意义，被开方数的小数点每向左（或向右）移动两位，其结果的小数点也向左（或向右）移动一位如果被开方数的小数点向左（或向右）每移动三位，立方根的小数点就向左（或向右）移动一位．1. 若√3.2104≈1.792,√3210.4≈56.66，则√32104≈______；√32.104≈______.2. 若3√0.3670=0.7160，3√3.670=1.542，则3√367=______，3√−0.003670=______．33 3.8x-=答案卷1.a2.平方根有三种表示形式：±a，a，－a，它们的意义分别是在此处键入公式。

平方根和立方根的概念及计算在数学中，平方根和立方根是常见的数学运算，用以计算一个数的平方和立方。

平方根指的是一个数的平方等于该数的正根。

而立方根则是一个数的立方等于该数的正根。

在本文中，我们将探讨平方根和立方根的概念以及如何计算。

一、平方根的概念及计算1.1 平方根的定义平方根是指一个数的平方等于该数的正根。

以数学符号表示，若一个非负实数x的平方等于一个非负实数a，即x²=a ，则x为a的平方根。

1.2 平方根的计算方法计算平方根有多种方法，以下是几种常用的方法：1.2.1 借助计算器借助计算器，可以直接输入要计算平方根的数，并按下对应的函数键，如√x或x^(1/2)，计算器会给出平方根的值。

1.2.2 牛顿迭代法牛顿迭代法是一种用于逼近函数零点的方法，也可以用来计算平方根。

它的基本原理是不断逼近函数的零点，直到满足精确度的要求。

1.2.3 龙贝格-勒让德法这种方法利用龙贝格-勒让德法的思想，通过递归计算和加权平均来获得平方根的值。

二、立方根的概念及计算2.1 立方根的定义立方根是指一个数的立方等于该数的正根。

以数学符号表示，若一个实数x的立方等于一个实数a，即x³=a，则x为a的立方根。

2.2 立方根的计算方法与平方根类似，计算立方根也有多种方法。

以下是几种常用的方法：2.2.1 借助计算器可以通过计算器输入要计算立方根的数，并按下对应的函数键，如³√x，计算器将给出立方根的值。

2.2.2 牛顿迭代法牛顿迭代法同样也可以用于计算立方根。

通过不断逼近函数的零点，直到满足精确度的要求，从而得到立方根的值。

2.2.3 二分法二分法是一种迭代法，它通过不断将区间一分为二，判断区间中点的立方与给定的数之间的关系来逼近立方根。

结论平方根和立方根作为数学中重要的概念，在实际生活中经常用到。

通过计算器、牛顿迭代法以及二分法等方法，我们可以准确地计算出任意数的平方根和立方根。

熟练掌握这些计算方法，对于解决各种数学问题和实际应用具有重要意义。

实数及其运算基础知识知识点一、实数的概念及分类1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数实数 负有理数正无理数无理数 无限不循环小数负无理数2、无理数在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一要点，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如32,7等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；（4）某些三角函数，如sin60o 等知识点二、实数的倒数和绝对值1、绝对值（1）一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离。

（2）零的绝对值是它本身，即|0|=0.（3）正数的绝对值是它的本身，即a ＞0，则|a|=a ，例|3|=3.（4）负数的绝对值是它的相反数，即a ＜0，则|a|=-a ，例|-3|=32、倒数如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。

倒数等于本身的数是1和-1。

零没有倒数。

知识点三、平方根、算数平方根和立方根1、（1）平方根如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根（或二次方跟）。

一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。

正数a 的平方根记做“a ±”。

（2）平方根的性质：（3）平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.，.2、算术平方根正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，记作“a ”。

正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。

a （a ≥0） 0≥a ==a a 2 ；注意a 的双重非负性：-a （a <0） a ≥03、立方根如果一个数的立方等于a ，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。

一个正数有一个正的立方根，例√83=2；一个负数有一个负的立方根，例√−83= -2；零的立方根是零。

注意：33a a -=-，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。

实数的概念、运算教学目标：1.了解算数平方根、平方根和立方根的概念，会求非负数的算数平方根和实数的立方根。

2.了解无理数与实数的概念，知道实数与数轴上的点的一一对应关系，能用有理数估计一个无理数的大致范围。

3.会用算术平方根的性质进行实数的简单四则运算，会用计算器进行近似计算。

重点难点：1.重点：用算术平方根的性质进行实数的简单四则运算。

2.难点:实数的分类及无理数的概念、近似估计。

一、复习导入1.想一想：边长为1的正方形其对角线长为 ，它是有理数吗？合作学习：（教材P71）思考1.由对角线围成的正方形面积是其边长是？如何表示正方形的边长？介于那两个相邻整数之间？2.估算2的大小，表格数据在教材P72。

因此，2既不是有限小数也不是循环小数，因此2不是分数，又2不是整数，根据有理数的分类，2不是有理数。

所以，2是无理数。

有理数与无理数统称为实数。

师生共同完成实数的分类（教材P72）。

有理数的相反数、绝对值同样适用于实数。

试一试：数轴上的任何一点与实数一一对应，试一试：你能用直尺和 圆规精确地在数轴上表示出2吗？5呢？2.练一练：16= 3064.0=41= 41×16=想一想：实数的运算与有理数的运算有什么不同？引出实数的运算。

回顾有理数的运算法则和运算律，如下表：加法 减法 乘法 除法 乘方 开方 运算法则加法法则减法法则乘法法则除法法则，除法转化为乘法法则乘方法则开方法则运算律 加法交换律，结合律乘法交换律，结合律和分配律思考有理数的运算法则和运算律在实数中是否也能成立？实数的运算与有理数的运算之间就是增加了无理数的运算，那么，这些运算法则在无理数的运算中是否也能成立呢？举例说明在实数范围中增加了开方运算，开方运算与乘方运算是同级运算。

结论：实数的运算：先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减。

如果遇到括号，则先进行括号里的运算。

试一试：1.计算：（1）38-9 （2）9-2×（4+25）2.计算：2×（3+5）+4-2×5二、知识要点复习1.平方根：一般地，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根，也叫做a 的二次方根。

“平方根”与“立方根”知识点小结一、知识要点 1、平方根：⑴、定义：如果x 2=a ，则x 叫做a 的平方根，记作“（a 称为被开方数）。

⑵、性质：正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。

⑶、算术平方根：正数a 的正的平方根叫做a 的算术平。

2、立方根：⑴、定义：如果x 3=a ，则x 叫做a 的立方根，记作（a 称为被开方数）。

⑵、性质：正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。

3、开平方（开立方）：求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。

二、规律总结：1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。

2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。

3有意义的条件是a ≥0。

4、公式：⑴)2=a （a ≥0）=（a 取任何数）。

5、非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0，则每一个非负数都为0（此性质应用很广，务必掌握）。

例1 求下列各数的平方根和算术平方根 （1）64；（2）2)3(-； （3）49151； ⑷ 21(3)- 例2 求下列各式的值（1）81±； （2）16-； （3）259； （4）2)4(-.（5）44.1，（6）36-，（7）4925±（8）2)25(-例3、求下列各数的立方根：⑴ 343； ⑵ 10227-； ⑶ 0.729二、巧用被开方数的非负性求值. 大家知道，当a ≥0时，a 的平方根是±a ，即a 是非负数. 例4、若,622=----y x x 求y x的立方根.练习：已知,21221+-+-=x x y 求y x 的值.三、巧用正数的两平方根是互为相反数求值.我们知道，当a ≥0时，a 的平方根是±a ，而.0)()(=-++a a例5、已知：一个正数的平方根是2a-1与2-a ，求a 的平方的相反数的立方根.练习：若32+a 和12-a 是数m 的平方根，求m 的值.四、巧解方程例6、解方程（1）（x+1）2=36 （2）27(x+1)3=64五、巧用算术平方根的最小值求值.我们已经知道0≥a ,即a=0时其值最小,换句话说a 的最小值是零.例4、已知：y=)1(32++-b a ,当a 、b 取不同的值时，y 也有不同的值.当y 最小时,求b a的非算术平方根.练习①已知233(2)0x y z -+-++=，求xyz 的值。