12.3 等腰三角形(第1课时)同步作业(含答案)1

八年级数学上册《13.3等腰三角形》同步达标测评一．选择题（共8小题，满分32分）1．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是36°，则此等腰三角形的两个相等底角的度数大小是（）A．54°B．63°C．27°D．27°或63°2．已知等腰三角形的一个外角等于140°，则这个三角形的三个内角的度数分别是（）A．20°、20°、140°B．40°、40°、100°C．70°、70°、40°D．40°、40°、100°或70°、70°、40°3．如图，△ABC中，DE∥BC，FB，FC分别平分∠ABC和∠ACB，已知BC＝20，AB＝18，AC＝16，则△ADE的周长是（）A．30B．32C．34D．364．如图钢架BAC中，焊上等长的钢条来加固钢架，若P1A＝P1P2，量得∠BP5P4＝100°，则∠A＝（）度．A．10B．20C．15D．255．如图，为了加固屋顶的钢架，焊上等长的钢条（P1P2、P2P3等）．若∠A＝15°，AP1＝P1P2，则这样的钢条最多只能焊上（）条．A．4B．5C．6D．76．如图，AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FG，则∠A的范围是（）A．0°＜∠A＜15°B．0°＜∠A＜18°C．0°＜∠A＜20°D．0°＜∠A＜22.5°7．如图，已知∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM 上；△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形．若OA1＝1，则△A2021B2021A2022的边长为（）A．4044B．4046C．22020D．220218．如图，直线AB⊥CD，垂足为O，点P在∠BOC的平分线上，点E在直线AB上，且△EOP是等腰三角形，则这样的点P有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共7小题，满分28分）9．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．则下列结论：①AD＝BE；②PQ∥AE；③AP＝BQ；④DE＝DP．其中正确的是．10．如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且CE＝1，∠E＝30°，则BC＝．11．如图，在第1个△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，则第n个三角形中以A n为顶点的底角度数是．12．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAD＝30°，AE＝AD，则∠EDC的度数是．13．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则这个等腰三角形顶角为°．14．如图，线段OP的一个端点O在直线a上，以OP为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直线a上，这样的等腰三角形能有个．15．如果△ABM和△ACN分别是以△ABC的边AB、AC为边的形外等边三角形，MC交BN 于P，连P A，则∠APN＝．三．解答题（共9小题，满分60分）16．如图，在△ABC中，已知AD平分∠BAC，过AD上一点P作EF⊥AD，交AB于E、交AC于F，交BC延长线于M，则有正确结论：∠M＝（∠ACB﹣∠B）．请说明理由．17．如图，在△ABC中，∠B＝60°，延长BC到D，延长BA到E，使AE＝BD，连接CE、DE，使EC＝DE，求证：△ABC是等边三角形．18．如图，已知△ABC中，AB＝AC，DE⊥AB，DF⊥AC，BG⊥AC．求证：DE+DF＝BG．19．如图，已知∠EAC是△ABC的外角，AD平分∠EAC，AD∥BC，点F为BC中点．求证：AF⊥BC．20．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，BD为∠ABC平分线，延长BC到点E，使CE＝CD，作DH⊥BE于H，求证：H为BE的中点．21．已知：如图，在等边三角形ABC的三边上，分别取点D，E，F，使AD＝BE＝CF．求证：△DEF是等边三角形．22．如图，已知△ABC是等边三角形，E是AC延长线上一点，选择一点D，使得△CDE是等边三角形，如果M是线段AD的中点，N是线段BE的中点，求证：△CMN是等边三角形．23．如图，等边△ABC的边长为12cm，D为AC边上一动点，E为AB延长线上一动点，DE 交CB于点P，点P为DE中点（1）求证：CD＝BE；（2）若DE⊥AC，求BP的长．24．如图，过等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，且P A＝CQ，连PQ交AC边于D．（1）求证：PD＝DQ；（2）若△ABC的边长为1，求DE的长．参考答案一．选择题（共8小题，满分32分）1．解：在三角形ABC中，设AB＝AC，BD⊥AC于D．①若是锐角三角形，∠A＝90°﹣36°＝54°，底角＝（180°﹣54°）÷2＝63°；②若三角形是钝角三角形，∠BAC＝36°+90°＝126°，此时底角＝（180°﹣126°）÷2＝27°．所以等腰三角形底角的度数是63°或27°．故选：D．2．解：（1）当40°角是顶角时，另两个底角度数为70°，70°；（2）当40°角是底角时，另两个角度数为40°，100°．故选：D．3．解：∵DE∥BC，∴∠BFD＝∠FBC，∠EFC＝∠BCF，∵FC分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠DBF＝∠FBC，∠ECF＝∠BCF，∴∠BFD＝∠DBF，∠EFC＝∠ECF，∴DF＝DB，EF＝EC，∵△ADE的周长＝AD+AE+DE，DE＝DF+EF，∴△ADE的周长＝AD+BD+AE+EC＝AB+AC，∵AB＝18，AC＝16，∴△ADE的周长＝34．故选：C．4．解：∵AP1＝P1P2，P1P2＝P2P3，P3P4＝P2P3，P3P4＝P4P5，∴∠A＝∠P1P2A，∠P2P1P3＝∠P2P3P1，∠P3P2P4＝∠P3P4P2，∠P4P3P5＝∠P4P5P3，∴∠P3P5P4＝4∠A，∵∠P3P5P4+∠BP5P4＝180°，∠BP5P4＝100°，∴∠P3P5P4＝80°，∴∠A＝20°．故选：B．5．解：∵∠A＝∠P1P2A＝15°∴∠P2P1P3＝30°，∠P1P3P2＝30°∴∠P1P2P3＝120°∴∠P3P2P4＝45°∴∠P3P2P4＝45°∴∠P2P3P4＝90°∴∠P4P3P5＝60°∴∠P3P5P4＝60°∴∠P3P4P5＝60°∴∠P5P4P6＝75°∴∠P4P6P5＝75°∴∠P4P5P6＝30°∴∠P6P5P7＝90°，此时就不能在往上焊接了，综上所述总共可焊上5条．故选：B．6．解：采用排除法：①∵AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FG，当∠A＝15°，∴∠BCA＝∠A＝15°，∴∠CBD＝∠BDC＝∠BCA+∠A＝15°+15°＝30°，∴∠BCD＝180°﹣（∠CBD+∠BDC）＝180°﹣60°＝120°，∴∠ECD＝∠CED＝180°﹣∠BCD﹣∠BCA＝180°﹣120°﹣15°＝45°，∴∠CDE＝180°﹣（∠ECD+∠CED）＝180°﹣90°＝90°，∴∠EDF＝∠EFD＝180°﹣∠CDE﹣∠BDC＝180°﹣90°﹣30°＝60°，∴∠FGE＝∠GEF＝∠EFD+∠A＝60°+15°＝75°，即此时符合；①当∠A＝18°时，同法求出∠FEG＝∠FGE＝90°，此时△FEG不存在，此时不符合，同样，当∠A取大于18°的角都不符合，当∠A＝小于18°的数时，△FEG存在，即选项A、C、D错误，只有选项B正确；故选：B．7．解：∵△A1B1A2是等边三角形，∴A1B1＝A2B1，∵∠MON＝30°，∴OA1＝A1B1＝1，∴A2B1＝1，∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，∴A2B2＝2B1A2，B3A3＝2B2A3，∴A3B3＝4B1A2＝4，A4B4＝8B1A2＝8，A5B5＝16B1A2＝16，以此类推：△A2021B2021A2022的边长为22020．故选：C．8．解：如图，①当OP＝OE时，这样的点E由2个，②当PE＝OE时，这样的点E由1个，③当OP＝PE时，这样的点E由1个，∴这样的点P有4个，故选：D．二．填空题（共7小题，满分28分）9．解：∵等边△ABC和等边△CDE，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠ECD＝60°，∴180°﹣∠ECD＝180°﹣∠ACB，即∠ACD＝∠BCE，在△ACD与△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，故①小题正确；∵△ACD≌△BCE（已证），∴∠CAD＝∠CBE，∵∠ACB＝∠ECD＝60°（已证），∴∠BCQ＝180°﹣60°×2＝60°，∴∠ACB＝∠BCQ＝60°，在△ACP与△BCQ中，，∴△ACP≌△BCQ（ASA），∴AP＝BQ，故③小题正确；PC＝QC，∴△PCQ是等边三角形，∴∠CPQ＝60°，∴∠ACB＝∠CPQ，∴PQ∥AE，故②小题正确；∵AD＝BE，AP＝BQ，∴AD﹣AP＝BE﹣BQ，即DP＝QE，∠DQE＝∠ECQ+∠CEQ＝60°+∠CEQ，∠CDE＝60°，∴∠DQE≠∠CDE，故④小题错误．综上所述，正确的是①②③．故答案为：①②③．10．解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，BA＝BC，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠E＝30°，BD⊥AC，∴∠BDC＝90°，∴BC＝2DC，∵∠ACB＝∠E+∠CDE，∴∠CDE＝∠E＝30°，∴CD＝CE＝1，∴BC＝2CD＝2，故答案为211．解：∵在△CBA1中，∠B＝30°，A1B＝CB，∴∠BA1C＝＝75°，∵A1A2＝A1D，∠BA1C是△A1A2D的外角，∴∠DA2A1＝∠BA1C＝×75°；同理可得∠EA3A2＝（）2×75°，∠F A4A3＝（）3×75°，∴第n个三角形中以A n为顶点的内角度数是（）n﹣1×75°．故答案为：（）n﹣1×75°．12．解：设∠EDC＝x，∠B＝∠C＝y，∠AED＝∠EDC+∠C＝x+y，又因为AD＝AE，所以∠ADE＝∠AED＝x+y，则∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝2x+y，又因为∠ADC＝∠B+∠BAD，所以2x+y＝y+30，解得x＝15，所以∠EDC的度数是15°．故答案是：15°．13．解：当高在三角形内部时（如图1），顶角是60°；当高在三角形外部时（如图2），顶角是120°．故答案为：60或120．14．解：△AOP，△BOP，△COP，△DOP就是所求的三角形．15．解：∵△ABM和△ACN都是等边三角形，∴AB＝AM，AN＝AC，∠BAM＝∠CAN＝60°，∴∠BAM+∠BAC＝∠CAN+∠BAC，即∠CAM＝∠BAN，在△ABN与△AMC中，，∴△ABN≌△AMC（SAS），∴∠ANP＝∠ACP，又∵∠AEN＝∠PEC（对顶角相等），∵∠AEP＝∠NEC（对顶角相等），∴∠APN＝∠ACN＝60°．故答案为：60°．三．解答题（共9小题，满分60分）16．证明：∵EF⊥AD，AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2，∠APE＝∠APF＝90°，又∵∠AEF＝180°﹣∠1﹣∠APE，∠AFE＝180°﹣∠2﹣∠APF，∴∠AEF＝∠AFE，∵∠CFM＝∠AFE，∴∠AEF＝∠AFE＝∠CFM，∵∠AEF＝∠B+∠M，∠MFC＝∠ACB﹣∠M，∴∠B+∠M＝∠ACB﹣∠M，即：∠M＝（∠ACB﹣∠B）．17．证明：延长BD至F，使DF＝BC，连接EF，∵EC＝ED，∴∠ECD＝∠EDC，∴∠ECB＝∠EDF，∴△ECB≌△EDF（SAS），∴BE＝EF，∠B＝60°，∴△BEF为等边三角形，∴BE＝BF，∵AE＝BD，∴DF＝AB，BC＝DF，∴AB＝BC，∴△ABC是等边三角形．18．证明：连接AD．则△ABC的面积＝△ABD的面积+△ACD的面积，AB•DE+AC•DF＝AC•BG，∵AB＝AC，∴DE+DF＝BG．19．证明：∵AD∥BC，∴∠EAD＝∠B，∠DAC＝∠C，∵AD平分∠EAC，∴∠EAD＝∠DAC，∴∠B＝∠C，∴AB＝AC，∵点F为BC中点，∴AF⊥BC．20．证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠SCB，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵CE＝CD，∴∠CDE＝∠E，∵∠ACB＝∠E+∠CDE＝2∠DBC，∴∠DBC＝∠E，∴△BDE为等腰三角形，BD＝ED，∵DH垂直于BE，∴H为BE中点（三线合一）．21．证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∵AD＝BE＝CF，∴AF＝BD，在△ADF和△BED中，，∴△ADF≌△BED（SAS），∴DF＝DE，同理DE＝EF，∴DE＝DF＝EF．∴△DEF是等边三角形．22．证明：∵△ABC是等边三角形，△CDE是等边三角形，M是线段AD的中点，N是线段BE的中点，∴∠ACB＝∠ECD＝60°，∴∠ACB+∠BCD＝∠ECD+∠BCD，即∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE，∴AD＝BE，AM＝BN；∴AC＝BC，∠CAD＝∠CBE，AM＝BN，∴△AMC≌△BNC（SAS），∴CM＝CN，∠ACM＝∠BCN；又∵∠NCM＝∠BCN﹣∠BCM，∠ACB＝∠ACM﹣∠BCM，∴∠NCM＝∠ACB＝60°，∴△CMN是等边三角形．23．（1）证明：作DF∥AB交BC于F，如图所示：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠ABC＝∠C＝60°，∵DF∥AB，∴∠CDF＝∠A＝60°，∠DFC＝∠ABC＝60°，∠DFP＝∠EBP，∴△CDF是等边三角形，∴CD＝DF，∵点P为DE中点，∴PD＝PE，在△PDF和△PEB中，，∴△PDF≌△PEB（AAS），∴DF＝BE，∴CD＝BE；（2）解：∵DE⊥AC，∴∠ADE＝90°，∴∠E＝90°﹣∠A＝30°，∴AD＝AE，∠BPE＝∠ACB﹣∠E＝30°＝∠E，∴BP＝BE，由（1）得：CD＝BE，∴BP＝BE＝CD，设BP＝x，则BE＝CD＝x，AD＝12﹣x，∵AE＝2AD，∴12+x＝2（12﹣x），解得：x＝4，即BP的长为4．24．（1）证明：如图，过P做PF∥BC交AC于点F，∴∠AFP＝∠ACB，∠FPD＝∠Q，∠PFD＝∠QCD ∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠ACB＝60°，∴∠A＝∠AFP＝60°，∴△APF是等边三角形；∵AP＝PF，AP＝CQ，∴PF＝CQ∴△PFD≌△QCD，∴PD＝DQ．（2）△APF是等边三角形，∵PE⊥AC，∴AE＝EF，△PFD≌△QCD，∴CD＝DF，DE＝EF+DF＝AC，∵AC＝1，DE＝．。

12.3 等腰三角形第1课时◆名师导航本课重点内容是等腰三角形的两个重要性质：性质1，等腰三角形的两个底角相等；性质2，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．实际上，由于等腰三角形是轴对称图形，可以发现等腰三角形中许多相等的线段或角，如两底角平分线、两腰的中线、两腰的高，以及教科书安排的“讨论”栏目中提到的一些线段和角等，这些结论用全等三角形和等腰三角形的性质可以比较容易的证明．◆典例精析【例1】（2007年重庆市）已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1∶4，则这个等腰三角形顶角的度数为（）（A）200（B）1200（C）200或1200（D）360【思路点拨】结合等腰三角形底角相等的性质，要分类讨论该三角形三个内角的比可能为1：1：4或1：4：4，于是这个三角形顶角可为200或1200．【简解】C．【规律总结】本题是一道经典考题，主要考查三角形内角和定理及分类讨论的思想意识．【例2】如图所示，Rt△ABC中，∠BC A是直角，D是AB上的一点，BD=BC，过D⊥．点作AB的垂线交AC于点．，CD、B．交于点F，求证：C D BECEFA D B【思路点拨】由已知得△BDC是等腰三角形，要证C D BE⊥，只要证BF是顶角∠C BD 的平分线或是底边CD上的中线，所以只要证，或证DF=FC即可．已EDCABHFG知DE BD CE BC EB EB ⊥⊥=，，，可从证Rt ED B Rt ECB ∆∆≅入手．【证明】 D E AB ⊥∴∠=∠===∴≅∴∠=∠=∴∴⊥E D B B C A BD BC BE BE Rt EBD Rt EC B EBD EBC BD BCBD C BE C D 90°，是等腰三角形∆∆∆【规律总结】本题主要考查三角形全等、等腰三角形三线合一等知识的综合运用．在运用三线合一性质时，通常是证明在等腰三角形中，顶角的平分线、底边上的中线，底边上的高三条中具有一条性质时，则它必同时具有另两条性质，而不是证这三条线段重合，在证题时不能混淆． ◆跟踪训练1．等腰三角形的对称轴是（ ）A ．顶角的平分线B ．底边上的高C ．底边上的中线D ．底边上的高所在的直线 2．等腰三角形有两条边长为4cm 和9cm ，则该三角形的周长是（ ） A ．17cm B ．22cm C ．17cm 或22cm D ．18cm 3．等腰三角形的顶角是80°，则一腰上的高与底边的夹角是（ ） A ．40° B ．50° C ．60° D ．30° 4．等腰三角形的一个外角是80°，则其底角是（ ）A ．100°B ．100°或40°C ．40°D ．80° 5．如图，C 、E 和B 、D 、F 分别在∠GAH 的两边上，且AB=BC=CD=DE=EF ，若∠A=18°，则∠GEF 的度数是（ ） A ．80° B ．90° C ．100° D ．108°6．等腰△ABC 的底角是60°，则顶角是________度．ED CABF7．等腰三角形“三线合一”是指___________．8．等腰三角形的顶角是n °，则两个底角的角平分线所夹的钝角是_________． 9．如图，△ABC 中AB=AC ，EB=BD=DC=CF ，∠A=40°，则∠EDF•的度数是_____． 10．△ABC 中，AB=AC ．点D 在BC 边上. （1）∵AD 平分∠BAC ，∴_______=________；________⊥_________； （2）∵AD 是中线，∴∠________=∠________；________⊥________；（3）∵AD ⊥BC ，∴∠________=∠_______；_______=_______．参考答案1．D 2．B 3．A 4．C 5．B 6．607．等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合 8．（90+ 12n ）° 9．70° 10．略12.3 等腰三角形第2课时◆名师导航本课的重点是探究了等腰三角形的判定方法：等角对等边．这也是证明两条线段相等的重要方法，它是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，同学们注意掌握这个技能，这也是全章重点所在．另外还要注意体会的是“等边对等角”与“等角对等边”是不一样的两个结论，它们的题设与结论正好相反，实际上是互逆命题，也前面平行线的判定与性质及全等三角形的判定与性质类似，具体应用时要注意不能混淆，这也是一个难点．◆典例精析【例题】如图，△ABC中，AB=AC，过BC上一点D作BC的垂线，交BA的延长线于P，交AC于Q，试判断△APQ的形状，并证明你的结论.【思路点拨】判断三角形的形状，其探索思路是根据图形结合我们学习过的特殊的三角形（如等腰三角形，等边三角形，直角三角形等）进行探究.【解析】△APQ是等腰三角形.证明：因为AB=AC，所以∠B=∠C，又PD⊥BC，所以∠BDP=∠PDC，所以∠P=∠DQC，又因为∠DQC=∠AQP，所以∠AQP=∠P，所以△APQ为等腰三角形.【规律总结】解决和等腰三角形有关的探索型试题，需要根据等腰三角形的特征，结合已知条件进行.◆跟踪训练1．如图1，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD=3cm，则CD等于（）A．3cm B．4cm C．1.5cm D．2cmD CABEDABFEDCA BHF（1） (2) (3)2．△ABC中AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于D，则图中的等腰三角形有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．如图2，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE=BD+CE；•③△ADE 的周长等于AB与AC的和；④BF=CF．其中正确的有（）A．①②③ B．①②③④ C．①② D．①4．如图3，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，角平分线AE交CD于H，EF⊥AB于F，则下列结论中不正确的是（）A．∠ACD=∠B B．CH=CE=EF C．CH=HD D．AC=AF二、填空题5．△ABC中，∠A=65°，∠B=50°，则AB：BC=_________．6．已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，要使AD•∥BC，•则△ABC•的边一定满足________．7．△ABC中，∠C=∠B，D、E分别是AB、AC上的点，•AE=•2cm，•且DE•∥BC，•则AD=________．8．一灯塔P在小岛A的北偏西25°，从小岛A沿正北方向前进30海里后到达小岛，•此时测得灯塔P在北偏西50°方向，则P与小岛B相距________．三、解答题9．如图，已知AB=AC，E、D分别在AB、AC上，BD与CE交于点F，•且∠ABD=•∠ACE，求证：BF=CF．E DAF10．如图，△ABC 中BA=BC ，点D 是AB 延长线上一点，DF ⊥AC 于F 交BC 于E ，•求证：△DBE 是等腰三角形．ED CABF参考答案1．A 2．C 3．A 4．C 5．1 6．AB=AC 7．2cm 8．30海里9．连接BC ，∵AB=AC ，∴∠ABC=∠ACB ，又∵∠ABD=∠ACE ，∴∠FBC=∠FCB ，∴FB=FC 10．证明∠D=∠BED12.3 等腰三角形第3课时◆名师导航本课重点是等边三角形的性质、判定方法及直角三角形的一个性质．等边三角形是一种特殊的等腰三角形，它的性质实际上也是等边对等角问题，由于它三条边都相等，于是它的三个角都相等为60度；第一个判定正三角形的方法也是等角对等边的问题，只是三个角都相等，所对的三个边都相等，从而它是等边三角形，第2个判定方法告诉我们，在等腰三角形中，只要有一个角为60度，不论这个角是顶角还是底角，这个三角形就是等边三角形，这也给证明三角形中边相等带来方便．◆典例精析【例题】已知△ABC为等边三角形，在图①中，点M是线段BC上任意一点，点N 线段CA上任意一点，且BM=CN，直线BN与AM相交于Q点．（1）请猜一猜：图①中∠BQM等于多少度？（2）若M、N两点分别在线段BC、CA的延长线上，其它条件不变，如图②所示，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请加以证明；如不成立，请说明理由．【思路点拨】（1）题通过猜想、测量或证明等方法不难发现∠BQM=60°，而且这一结论在图形发生变化后仍然成立．【简解】（1）∠BQM=60°；（2）题的证明思路如下：先证△ACM≌△BAN，得到∠M=∠N，所以∠BQM=∠N+∠QAN=∠M+∠CAM=∠ACB=60°．【规律总结】随着几何学习的深入，经常会出现规律探究题，要求同学们在运动变化中探求图形某些不变的性质或变化的规律，培养同学们运动变化的观念，以及发现和解决问题的能力．◆跟踪训练1．正△ABC的两条角平分线BD和CE交于点I，则∠BIC等于（）A．60° B．90° C．120° D．150°2．下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；•③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；•④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（）A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②③④3．如图，D、E、F分别是等边△ABC各边上的点，且AD=BE=CF，则△DEF•的形状是（） A．等边三角形 B．腰和底边不相等的等腰三角形C．直角三角形 D．不等边三角形DA B F21EDCAB第3题第5题4．Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B=30°，AD=2cm，则AB的长度是（）A．2cm B．4cm C．8cm D．16cm5．如图，E是等边△ABC中AC边上的点，∠1=∠2，BE=CD，则对△ADE的形状最准备的判断是（）A．等腰三角形 B．等边三角形 C．不等边三角形 D．不能确定形状6．△ABC中，AB=AC，∠A=∠C，则∠B=_______．7．已知AD是等边△ABC的高，BE是AC边的中线，AD与BE交于点F，则∠AFE=______．8．等边三角形是轴对称图形，它有______条对称轴，分别是_____________．9．△ABC中，∠B=∠C=15°，AB=2cm，CD⊥AB交BA的延长线于点D，•则CD•的长度是_______．10．已知D、E分别是等边△ABC中AB、AC上的点，且AE=BD，求BE与CD•的夹角是多少度？参考答案1．C 2．D 3．A 4．C 5．B 6．60° 7．60°8．三；三边的垂直平分线 9．1cm 10．60°或120°AB P Q C12.3 等腰三角形第4课时◆名师导航本课安排一节习题课，综合应用等腰三角形的性质、判定与等边三角形的性质与判定，还有直角三角形的一个重要性质，灵活地选择性质进行求解． ◆典例精析【例题】如图所示，P 、Q 是△ABC 边BC 上的两点， 且BP=PQ=QC=AP=AQ ，求∠B A C 的度数．【思路点拨】由已知△APQ 为等边三角形，故可求得它的外角的度数，又由等腰三角形的性质求得底角的度数．【解析】 PA PQ AQ ==（已知）∴∠=∠=∠=APQ PQA QAP 60°（等边三角形三个角都为60°） PA PB =∴∠=∠B PAB （等边对等角）又°∠+∠=B PAB 60（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和）．∴∠=∠=∠=∴∠=∠+∠+∠=++=PBA PAB Q AC BAC BAP PAQ Q AC 3030306030120°，同理°°°°°【规律总结】（1）几何计算的目的通常是找量与量的关系，等腰三角形的两底角相等，等边三角形三内角均为60°，等腰三角形三线合一的性质等都是建立量与量的关系的依据．（2）几何计算通常用列方程（组）来解决． ◆跟踪训练1．如图，等腰三角形ABC 中，A B A C =，∠A =44°，C D ⊥A B 于D ，则∠D C B 等于（ ）A ．44°B ．68°C ．46°D ．22°BEAB DC第1题 第3题 第4题2．已知∠AOB=30°，点P 在∠AOB 内部，P 1与P 关于OB 对称，P 2与P 关于OA 对称，则P 1，O ，P 2三点所构成的三角形是（ ） A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形3．如图所示，在等腰三角形ABC 中，12cm A B A C ==，30ABC = ∠，那么底边上的高AD = cm ．4．（教材变型题）如图,是屋架设计图的一部分,点D 是斜梁AB 的中点,立柱BC 、DE 垂直于横梁AC,BC=4m,∠A=30°,则DE 等于 ( ) (A)1m (B) 2m (C)3m (D) 4m5．如图，ABC △中，A B A C =，30A ∠= ，D E 垂直平分A C ，则BCD ∠的度数为（ ）Ａ．80Ｂ．75 Ｃ．65 Ｄ．45第5题 第7题6． 一个等腰三角形的两边分别为8cm 和6cm ，则它的周长为 cm ．7．聪明的亮亮用含有30的两个完全相同的三角板拼成如图所示的图案，并发现图中有等ＡＢ ＤＣD腰三角形，请你帮他找出两个等腰三角形 ．8．已知等腰三角形ABC 中，AB AC D ，为B C 边上一点，连接A D ，若A C D △和ABD △都是等腰三角形，则C ∠的度数是 ．9．小明将两个全等且有一个角为60 的直角三角形拼成如图所示的图形，其中两条较长直角边在同一直线上，则图中有 个等腰三角形．10．如图所示，A ，B 是4×5网格中的格点，网格中的每个小正方形的边长都是1．请在图中清晰标出使以A ，B ，Ｃ为顶点的三角形是等腰三角形的所有格点Ｃ的位置．参考答案1．D 2．D 3．6 4．B 5．Ｄ 6．22或20 7．ABE BEC CED ，，△△△ 8．36 或459．3 10．AFCDH BMEG BAB。

等腰三角形练习题(含答案)等腰三角形第1课时：等腰三角形的性质1.已知等腰三角形的一个底角为50°，则其顶角为80°。

2.如图，△ABC中，AB=AC，BC=6cm，AD平分∠BAC，则BD=3cm。

3.如图，△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∠BAD=35°，则∠C的度数为45°。

4.已知等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为80°。

5.如图，在△ABC中，D是BC边上一点，且AB=AD=DC，∠BAD=40°，求∠C的度数为100°。

6.如图，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，E，F分别是AB，AC上的点，且AE=AF。

证明：DE=DF。

第2课时：等腰三角形的判定1.在△ABC中，∠A=40°，∠B=70°，则△ABC为钝角三角形。

2.已知△ABC中，∠B=50°，∠A=80°，AB=5cm，则AC=5cm。

3.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，且BD=DC，则△ABC为等腰三角形。

4.如图，已知△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD为∠ABC的平分线，则图中共有2个等腰三角形。

5.如图，D是△XXX的BC边上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E，F，且DE=DF。

证明：AB=AC。

6.如图，AB∥CD，直线l交AB于点E，交CD于点F，FG平分∠EFD交直线AB于点G。

证明：△EFG是等腰三角形。

等边三角形第1课时：等边三角形的性质与判定1.如图，a∥b，等边△ABC的顶点B，C在直线b上，则∠1的度数为60°。

2.在△ABC中，∠A=60°，现有下面三个条件：①AB=AC；②∠B=∠C；③∠A=∠B。

能判定△ABC为等边三角形的有条件①、②、③。

3.如图，在等边△ABC中，BD⊥AC于D，若AB=4，则AD=2.4.如图，△ABC是等边三角形，∠CBD=90°，BD=BC，连接AD交BC于点E，求∠BAD的度数为75°。

等腰三角形知识点一：等腰三角形有两条边相等的三角形是等腰三角形．相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边．两腰所夹的角叫做顶角， 腰与底边的夹角叫做底角． 等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合． 特别的：（1）等腰三角形是轴对称图形.（2）等腰三角形两腰上的中线、角平分线、高线对应相等.简称等腰三角形三线合一.1.△ABC 中,AB=AC.(1)若∠B=50°, 则∠C=__ ,∠A=___ (2)若∠A=100°, 则∠B=__ ,∠C=__2. (1) 等腰三角形的一个内角为50°，则另两个角为 (2) 等腰三角形的一个内角为100°,则另两个角为__ . (3) 等腰三角形的一个内角为90°,则另两个角为___ 归纳：已知等腰三角形的一个内角的度数,求其它两角时, (a)若已知角为钝角或直角,则它一定是顶角； (b)若已知角为锐角,它可能是顶角,也可能是底角。

例1、等腰三角形的顶角为70°，底角为_______.。

2、在三角形ABC 中，AB=AC,BAC ∠=90°，ＡＤ是ＢＣ边上的高，则BAC ∠=_____ BD=____=______3、如图2，在△ABC 中，AB=AC ，点D 在AC 上，且BD=BC=AD 图中共有几个等腰三角形？分别写出它们的顶角和底角。

4、如图，在△ABC 中，AB=AD=DC,BAD ∠=36°，求B ∠和C ∠度数。

DCABCD B A例1 如图所示，在Rt△ABC中，∠BCA是直角,E是AC上的一点，ED⊥AB于D，BD=BC,CD、BE交于点F.求证：CD⊥BE.思路：由BD=BC知△BCD是等腰三角形，所以要证明CD⊥BE只需证明BE是△BCD的底边上的中线或者顶角的平分线即可。