人教版八年级数学下册专题复习(十四) 顶点在正方形顶点上的45°角

八年级数学四边形几何专题回顾一．三角形中位线定理（共4小题）1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为CA，CB的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若，则DF的长为（ ）A．B．1C．D．22．如图，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，F是BE延长线与AC的交点，若AC＝4，则AF＝（ ）A．B．C．1D．3．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD，AE分别是角平分线和中线，过点C作CF⊥AD于点F，连接EF，则线段EF的长为（ ）A．1B．2C．4D．4．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝12，AD＝5，点M、N分别为线段BC、AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E、F分别为DM、MN的中点，则EF长度的可能为（ ）A．2B．5C．7D．9二．平行四边形的性质（共2小题）5．如图，在▱ABCD 中，BE 平分∠ABC 交AD 于点E ，CF 平分∠BCD 交AD 于点F ，若BE ＝4，CF ＝3，EF ＝1，求AB 为（ ）A ．3B ．2.5C ．3.5D ．46．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，AB ＝，∠AOB ＝60°，过点O 作OE ⊥AC ，交AD 于点E ，过点E 作EF ⊥BD ，垂足为F ，则OE +2EF 的值为（ ）A ．+1B ．C ．D ．三．菱形的性质（共2小题）7．如图，菱形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，AC ＝8，BD ＝12，E 是OB 的中点，P 是CD 的中点，连接PE ，则线段PE 的长为（ ）A ．B ．C ．D ．8．在菱形ABCD 中，∠D ＝60°，CD ＝4，E 为菱形内部一点，且AE ＝2，连接CE ，点F 为CE 中点，连接BF ，取BF 中点G ，连接AG ，则AG 的最大值为 ．四．矩形的性质（共6小题）9．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，且AD ＝6，CD ＝8，P 是AB 上的动点，PM⊥AC于M，PN⊥BD于N，则PM+PN的值为（ ）A．4.8B．6.4C．9.6D．2.410．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P是AD边上的一个动点，过点P分别作PE ⊥AC于点E，PF⊥BD于点F．若AB＝6，BC＝8，则PE+PF的值为（ ）A．10B．9.6C．4.8D．2.411．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DF垂直平分OC，交AC于点E，交BC 于点F，连接AF，若AD＝3，则AF的长为（ ）A．B．C．2D．312．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥AC交BC于点F，EF⊥BD于点F，则OE+EF的值为（ ）A．B．2C．D．213．如图，四边形ABCD是矩形，点E是边AB上的一动点，连接DE，点A与点P关于DE对称，连接EP、DP、BP，若AB＝3，AD＝5，则BP的最小值为 ．14．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝5，点P在边AD上，点Q在边BC上，且AP＝CQ，连接CP，QD，则PC+QD的最小值为 ．五．矩形的判定与性质（共1小题）15．如图，矩形ABCD中，AB＝，BC＝3，AE⊥BD于E，则EC＝（ ）A．B．C．D．六．正方形的性质（共4小题）16．如图，在正方形ABCD中，点E在对角线BD上，连接AE，EF⊥AE于点E，交DC于点F，连接AF，已知BC＝4，DE＝3，则△AEF的面积为（ ）A．4B．5C．10D．517．正方形ABCD的边长为4，点E、F分别是BC，CD上的一动点，且BE＝CF，连结AE，BF，两线交于点P，连接CP，则CP的最小值是（ ）A．B．C．D．18．如图，正方形ABCD的边长为10，AG＝CH＝8，BG＝DH＝6，则线段GH的长为（ ）A．B．C．D．19．如图所示，正方形ABCD中，AB＝4，点E为BC中点，BF⊥AE于点G，交CD边于点F，连接DG，则DG长为（ ）A．B．4C．D．七．翻折变换（折叠问题）（共3小题）20．如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，AB＝1，将它沿AB翻折得到△ABD，则四边形ADBC的形状是 形，点P、E、F分别为线段AB、AD、DB的任意点，则PE+PF的最小值是 ．21．如图，在等腰△ABC中，AB＝BC＝4，把△ABC沿AC翻折得到△ADC．则（1）四边形ABCD是 形；（2）若∠B＝120°，点P、E、F分别为线段AC、AD、DC上的任意1点，则PE+PF的最小值为 ．22．如图，在△ABC中，AC＝BC＝5，AB＝6，将它沿AB翻折得到△ABD，点P、E、F分别为线段AB、AD、DB的任意点，则PE+PF的最小值是 ．八．旋转的性质（共3小题）23．如图，正方形ABCD绕点B逆时针旋转30°后得到正方形BEFG，EF与AD相交于点H，延长DA 交GF于点K．若正方形ABCD的边长为，则HD的长为（ ）A．﹣1B．﹣1C．1﹣D．1﹣24．如图，点E在正方形ABCD的边CD上，将△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，连接EF，过点A作EF的垂线，垂足为点H，与BC交于点G．若BG＝4，CG＝3，则CE的长为（ ）A．5B．5C．5D．25．如图，在边长为a正方形ABCD中，把边BC绕点B逆时针旋转60°，得到线段BM，连接AM 并延长交CD于N，连接MC，则△MNC的面积为（ ）A．B．C．D．九．旋转的性质（共1小题）26．如图，将边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AEFG的位置，则图中阴影部分的面积为（ ）A．B．C．D．参考答案与试题解析一．三角形中位线定理（共4小题）1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为CA，CB的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若，则DF的长为（ ）A．B．1C．D．2【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝2，BC＝4，由勾股定理得：AB＝＝6，∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠EBF，∵D，E分别为CA，CB的中点，∴DE∥AB，DE＝AB＝3，BE＝BC＝2，∴∠ABF＝∠EFB，∴∠EFB＝∠EBF，∴EF＝BE＝2，∴DF＝DE﹣EF＝1，故选：B．2．如图，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，F是BE延长线与AC的交点，若AC＝4，则AF＝（ ）A．B．C．1D．【解答】解：取BF的中点H，连接DH，∵BD＝DC，BH＝HF，∴DH＝FC，DH∥AC，∴∠HDE＝∠FAE，在△AEF和△DEH中，，∴△AEF≌△DEH（ASA），∴AF＝DH，∴AF＝FC，∵AC＝4，∴AF＝，故选：B．3．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD，AE分别是角平分线和中线，过点C作CF⊥AD于点F，连接EF，则线段EF的长为（ ）A．1B．2C．4D．【解答】解：延长CF交AB于G，∵AD为△ABC的角平分线，CG⊥AD，∴△ACG是等腰三角形，∴AG＝AC＝4，FG＝CF，∴BG＝AB﹣AG＝6﹣4＝2，∵AE为△ABC的中线，∴EF是△BCG的中位线，∴EF＝BG＝1，故选：A．4．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝12，AD＝5，点M、N分别为线段BC、AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E、F分别为DM、MN的中点，则EF长度的可能为（ ）A．2B．5C．7D．9【解答】解：连接DN，∵ED＝EM，MF＝FN，∴EF＝DN，∴DN最大时，EF最大，DN最小时，EF最小，∵N与B重合时DN最大，此时DN＝DB＝＝＝13，∴EF的最大值为6.5．∵∠A＝90°，AD＝5，∴DN≥5，∴EF≥2.5，∴EF长度的可能为5；故选：B．二．平行四边形的性质（共2小题）5．如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E，CF平分∠BCD交AD于点F，若BE＝4，CF ＝3，EF＝1，求AB为（ ）A．3B．2.5C．3.5D．4【解答】解：如图，过点E作EG∥FC交BC延长线于点G，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AEB＝∠EBC，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC，∴∠ABE＝∠AEB，∴AE＝AB，同理可证：DC＝DF，∵AB∥DC，∴∠ABC+∠DCB＝180°，∵BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，∴∠EBC+∠FCB＝×180°＝90°，∴BE⊥CF，∵EG∥FC，∴BE⊥EG，∵EF∥CG，∴四边形EFCG是平行四边形，∴EG＝FC，在△BEG中，BE＝4，EG＝CF＝3，根据勾股定理，得BG＝，∵AB＝AE＝CD＝DF，EF＝CG＝1，AD＝BC，∴BG＝BC+CG＝AE+DE+CG＝AE+DF﹣EF+EF＝2AB，∴5＝2AB，∴AB＝2.5．故选：B．6．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝，∠AOB＝60°，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+2EF的值为（ ）A．+1B．C．D．【解答】解：∵∠BAO＝90°，∠AOB＝60°，∴∠ABO＝30°，∴BO＝2AO，∵AB＝，∴AO＝1，BO＝2，∴S△ABO＝AO•AB＝，∵四边形ABCD为平行四边形，∴DO＝BO＝2，S△ADO＝S△ABO＝，∵OF⊥AO，EF⊥OD，∴S△ADO＝S△AEO+S△EDO＝＝＝，即OE+2EF＝．故选：B．三．菱形的性质（共2小题）7．如图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，AC＝8，BD＝12，E是OB的中点，P是CD 的中点，连接PE，则线段PE的长为（ ）A．B．C．D．【解答】解：如图，取OD的中点H，连接HP，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝CO＝4，OB＝OD＝6，∵点H是OD中点，点E是OB的中点，点P是CD的中点，∴OH＝3，OE＝3，HP＝OC＝2，HP∥AC，∴EH＝6，∠DOC＝90°，∴EP＝＝＝2，故选：A．8．在菱形ABCD中，∠D＝60°，CD＝4，E为菱形内部一点，且AE＝2，连接CE，点F为CE中点，连接BF，取BF中点G，连接AG，则AG的最大值为 ．【解答】解：如图所示：连接BD交AC于点O，连接FO，取OB的中点H，连接HG和AH，∵在菱形ABCD中，∴O为AC中点，∵F为CE中点，∴OF＝AE＝1，当C、F、E、A共线时，OF也为1，∵G为BF中点、H为OB中点，∴GH＝OF＝，∵在菱形ABCD中且∠D＝60°，∴∠ABO＝∠ABC＝∠ADC＝30°，∠BOA＝90°，∴OA＝AB＝2，，∴OB＝＝，∴OH＝，∴AH＝＝，∵AG≤AH+HG，∴AG≤，∴AG的最大值为．故答案为：．四．矩形的性质（共6小题）9．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AD＝6，CD＝8，P是AB上的动点，PM ⊥AC于M，PN⊥BD于N，则PM+PN的值为（ ）A．4.8B．6.4C．9.6D．2.4【解答】解：连接PO，∵在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，∴AD＝BC＝6，∠DAB＝90°，BO＝OD，由勾股定理得：BD＝＝＝10，∴BO＝DO＝5，∴S△DAB＝×AD×AB＝×8×6＝24，∴S△AOB＝S△DAB＝12，∴×AO×PM+×BO×PN＝12，∴PM+PN＝4.8．故选：A．10．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P是AD边上的一个动点，过点P分别作PE ⊥AC于点E，PF⊥BD于点F．若AB＝6，BC＝8，则PE+PF的值为（ ）A．10B．9.6C．4.8D．2.4【解答】解：连接OP，∵矩形ABCD的两边AB＝6，BC＝8，∴S矩形ABCD＝AB•BC＝48，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，AC＝＝10，∴S△AOD＝S矩形ABCD＝12，OA＝OD＝5，∴S△AOD＝S△AOP+S△DOP＝OA•PE+OD•PF＝OA（PE+PF）＝×5×（PE+PF）＝12，∴PE+PF＝＝4.8．故选：C．11．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DF垂直平分OC，交AC于点E，交BC 于点F，连接AF，若AD＝3，则AF的长为（ ）A．B．C．2D．3【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝3，OA＝OB＝OC＝OD，∵DF垂直平分OC，∴OD＝OC，∴△OCD是等边三角形，设CD＝x，则AC＝2x，在Rt△ACD中，由勾股定理得可知：AD2+CD2＝AC2，即32+x2＝（2x）2，解得x＝，∴，∴，∵△OCD是等边三角形，DF⊥OC，∴，设CF＝y，则DF＝2y，在Rt△CDF中，由勾股定理可知：CF2+CD2＝DF2，即，解得y＝1，∴CF＝1，BF＝2，在Rt△ABF中，由勾股定理可知：AB2+BF2＝AF2，即，∴，故选：B．12．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥AC交BC于点F，EF⊥BD于点F，则OE+EF的值为（ ）A．B．2C．D．2【解答】解：∵AB＝2，BC＝4，∴矩形ABCD的面积为8，AC＝＝＝2，∴BO＝CO＝AC＝，∵对角线AC，BD交于点O，∴△BOC的面积为2，∵EO⊥AO，EF⊥DO，∴S△BOC＝S△BOE+S△COE，2＝CO×EO+BO×EF，∴2＝××EO+×EF，∴（EO+EF）＝4，∴EO+EF＝，故选：A．13．如图，四边形ABCD是矩形，点E是边AB上的一动点，连接DE，点A与点P关于DE对称，连接EP、DP、BP，若AB＝3，AD＝5，则BP的最小值为　﹣5　．【解答】解：如图，连接BD，AP，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，∵AB＝3，AD＝5，∴BD＝＝＝，∵点A与点P关于DE对称，∴DE垂直平分AP，∴PD＝AD＝5，∵BP+PD≥BD，∴BP+5≥，∴BP≥﹣5，∴BP的最小值为﹣5，故答案为：﹣5．14．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝5，点P在边AD上，点Q在边BC上，且AP＝CQ，连接CP，QD，则PC+QD的最小值为　13　．【解答】解：如图，连接BP，在矩形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，∵AP＝CQ，∴AD﹣AP＝BC﹣CQ，∴DP＝QB，DP∥BQ，∴四边形DPBQ是平行四边形，∴PB∥DQ，PB＝DQ，则PC+QD＝PC+PB，则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，在BA的延长线上截取AE＝AB＝6，连接PE，∵PA⊥BE，∴PA是BE的垂直平分线，∴PB＝PE，∴PC+PB＝PC+PE，连接CE，则PC+QD＝PC+PB＝PC+PE≥CE，∵BE＝2AB＝12，BC＝AD＝5，∴CE＝＝13．∴PC+PB的最小值为13．故答案为：13．五．矩形的判定与性质（共1小题）15．如图，矩形ABCD中，AB＝，BC＝3，AE⊥BD于E，则EC＝（ ）A．B．C．D．【解答】解：作EF⊥BC于F，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝3，AB＝CD＝，∠BAD＝90°．∴tan∠ADB＝＝，∴∠ADB＝30°，∴∠ABE＝60°，∴在Rt△ABE中cos∠ABE＝＝＝，∴BE＝，∴在Rt△BEF中，cos∠FBE＝＝＝，∴BF＝，∴EF＝＝，∴CF＝3﹣＝，在Rt△CFE中，CE＝＝．故选：D．六．正方形的性质（共4小题）16．如图，在正方形ABCD中，点E在对角线BD上，连接AE，EF⊥AE于点E，交DC于点F，连接AF，已知BC＝4，DE＝3，则△AEF的面积为（ ）A．4B．5C．10D．5【解答】解：过E作GH∥AD交AB于G，交DC于H，如图：，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABD＝∠BDC＝45°，AB＝CD＝BC＝4，∴△BGE、△DHE是等腰直角三角形，BD＝BC＝4，∴EH＝DE＝×3＝3，BE＝BD﹣DE＝4﹣3＝，∴BG＝GE＝BE＝1，∴AG＝AB﹣BG＝3＝EH，∴AE＝＝＝，∵AE⊥EF，∴∠AEG＝90°﹣∠FEH＝∠EFH，又∠AGE＝∠EHF＝90°，∴△AGE≌△EHF（AAS），∴AE＝EF＝，∴△AEF的面积为AE•EF＝××＝5，故选：B．17．正方形ABCD的边长为4，点E、F分别是BC，CD上的一动点，且BE＝CF，连结AE，BF，两线交于点P，连接CP，则CP的最小值是（ ）A．B．C．D．【解答】解：在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠BCD，在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（SAS），∴∠BAE＝∠CBF，∵∠CBF+∠ABF＝90°，∴∠BAE+∠ABF＝90°，∴∠APB＝90°，∴点P在以AB为直径的圆上，设AB的中点为G，当CPG在同一直线上时，CP有最小值，如图所示：∵正方形ABCD的边长为4，∴BC＝4，BG＝2，∴CG＝＝＝2，∵PG＝AG＝BG＝2，∴CP＝2﹣2，故选：A．18．如图，正方形ABCD的边长为10，AG＝CH＝8，BG＝DH＝6，则线段GH的长为（ ）A．B．C．D．【解答】解：如图，延长BG交CH于点E，∵AB＝CD＝10，BG＝DH＝6，AG＝CH＝8，∴AG2+BG2＝AB2，∴△ABG和△DCH是直角三角形，在△ABG和△CDH中，，∴△ABG≌△CDH（SSS），∴∠1＝∠5，∠2＝∠6，∴∠1+∠2＝90°，∠5+∠6＝90°，又∵∠2+∠3＝90°，∠4+∠5＝90°，∴∠1＝∠3＝∠5，∠2＝∠4＝∠6，在△ABG和△BCE中，，∴△ABG≌△BCE（ASA），∴BE＝AG＝8，CE＝BG＝6，∠BEC＝∠AGB＝90°，∴GE＝BE﹣BG＝8﹣6＝2，同理可得HE＝2，在Rt△GHE中，GH＝＝＝2，故选：A．19．如图所示，正方形ABCD中，AB＝4，点E为BC中点，BF⊥AE于点G，交CD边于点F，连接DG，则DG长为（ ）A．B．4C．D．【解答】解：如图，作DL⊥AE于点H，交AB于点L，∵BF⊥AE，∴DL∥BF，∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，AB＝BC＝CD，∠ABE＝∠C＝90°，∴BL∥DF，∴四边形BFDL是平行四边形，∵∠AGB＝90°，∠BAE＝90°﹣∠ABG＝∠CBF，在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（ASA），∴BE＝CF，∵E为BC中点，∴BE＝CF＝BC＝CD，∴DF＝CF＝CD，∴BL＝DF＝CD＝AB，∴AL＝BL＝AB，∴＝＝1，∴AH＝GH，∵DA＝AB＝4，∴DG＝DA＝4，故选：B．七．翻折变换（折叠问题）（共3小题）20．如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，AB＝1，将它沿AB翻折得到△ABD，则四边形ADBC的形状是　菱　形，点P、E、F分别为线段AB、AD、DB的任意点，则PE+PF的最小值是　　．【解答】解：∵△ABC沿AB翻折得到△ABD，∴AC＝AD，BC＝BD，∵AC＝BC，∴AC＝AD＝BC＝BD，∴四边形ADBC是菱形，故答案为菱；如图作出F关于AB的对称点M，再过M作ME⊥AD，交AB于点P，此时PE+PF最小，此时PE+PF ＝ME，过点A作AN⊥BC，∵AD∥BC，∴ME＝AN，作CH⊥AB，∵AC＝BC，∴AH＝，由勾股定理可得，CH＝，∵，可得，AN＝，∴ME＝AN＝，∴PE+PF最小为，故答案为．21．如图，在等腰△ABC中，AB＝BC＝4，把△ABC沿AC翻折得到△ADC．则（1）四边形ABCD是　菱　形；（2）若∠B＝120°，点P、E、F分别为线段AC、AD、DC上的任意1点，则PE+PF的最小值为 ．【解答】解：（1）∵AB＝BC，△ABC沿AC翻折得到△ADC，∴AB＝BC＝AD＝CD，∴四边形ABCD是菱形．故答案为菱．（2）作CM⊥AD交AD的延长线于M，连接PD．当PE⊥AD，PF⊥CD时，PE+PF最短，∵∠B＝∠ADC＝120°，∴∠CDM＝60°，∵CD＝AB＝4，∠CMD＝90°，∴sin60°＝，∴CM＝2，∵S△ADC＝S△ADP+S△CDP＝•AD•PE+•CD•PF＝•AD•CM，∴PE+PF＝CM＝2，∴PE+PF的最小值为2．故答案为2．22．如图，在△ABC中，AC＝BC＝5，AB＝6，将它沿AB翻折得到△ABD，点P、E、F分别为线段AB、AD、DB的任意点，则PE+PF的最小值是 ．【解答】解：作出F关于AB的对称点M，再过M作ME′⊥AD，交AB于点P′，此时P′E′+P ′F最小，此时P′E′+P′F＝ME′，过点A作AN⊥BC，CH⊥AB于H，∵△ABC沿AB翻折得到△ABD，∴AC＝AD，BC＝BD，∵AC＝BC，∴AC＝AD＝BC＝BD，∴四边形ADBC是菱形，∵AD∥BC，∴ME′＝AN，∵AC＝BC，∴AH＝AB＝3，由勾股定理可得，CH＝＝4，∵×AB×CH＝×BC×AN，可得，AN＝，∴ME′＝AN＝，∴PE+PF最小为，故答案为．八．旋转的性质（共3小题）23．如图，正方形ABCD绕点B逆时针旋转30°后得到正方形BEFG，EF与AD相交于点H，延长DA 交GF于点K．若正方形ABCD的边长为，则HD的长为（ ）A．﹣1B．﹣1C．1﹣D．1﹣【解答】解：连接BH，如图所示：∵四边形ABCD和四边形BEFG是正方形，∴∠BAH＝∠ABC＝∠BEH＝∠F＝90°，由旋转的性质得：AB＝EB，∠CBE＝30°，∴∠ABE＝60°，在Rt△ABH和Rt△EBH中，，∴Rt△ABH≌△Rt△EBH（HL），∴∠ABH＝∠EBH＝∠ABE＝30°，AH＝EH，∴AH＝AB•tan∠ABH＝×＝1，∴HD＝AD﹣AH＝﹣1．故选：A．24．如图，点E在正方形ABCD的边CD上，将△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，连接EF，过点A作EF的垂线，垂足为点H，与BC交于点G．若BG＝4，CG＝3，则CE的长为（ ）A．5B．5C．5D．【解答】解：如图所示，连接EG，由旋转可得，△ADE≌△ABF，∴AE＝AF，DE＝BF，又∵AG⊥EF，∴H为EF的中点，∴AG垂直平分EF，∴EG＝FG，设CE＝x，则DE＝7﹣x＝BF，FG＝CF﹣CG＝11﹣x，∴EG＝11﹣x，∵∠C＝90°，∴Rt△CEG中，CE2+CG2＝EG2，即x2+32＝（11﹣x）2，解得x＝，∴CE的长为，故选：C．25．如图，在边长为a正方形ABCD中，把边BC绕点B逆时针旋转60°，得到线段BM，连接AM 并延长交CD于N，连接MC，则△MNC的面积为（ ）A．B．C．D．【解答】解：作MG⊥BC于G，MH⊥CD于H，则BG＝GC，AB∥MG∥CD，∴AM＝MN，∵MH⊥CD，∠D＝90°，∴MH∥AD，∴NH＝HD，由旋转变换的性质可知，△MBC是等边三角形，∴MC＝BC＝a，由题意得，∠MCD＝30°，∴MH＝MC＝a，CH＝a，∴DH＝a﹣a，∴CN＝CH﹣NH＝a﹣（a﹣a）＝（﹣1）a，∴△MNC的面积＝××（﹣1）a＝a2，故选：C．九．旋转的性质（共1小题）26．如图，将边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AEFG的位置，则图中阴影部分的面积为（ ）A．B．C．D．【解答】解：作MH⊥DE于H，如图，∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD＝1，∠B＝∠BAD＝∠ADC＝90°，∵正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AEFG的位置，∴AE＝AB＝1，∠1＝30°，∠AEF＝∠B＝90°，∴∠2＝60°，∴△AED为等边三角形，∴∠3＝∠4＝60°，DE＝AD＝1，∴∠5＝∠6＝30°，∴△MDE为等腰三角形，∴DH＝EH＝，在Rt△MDH中，MH＝DH＝×＝，∴S△MDE＝×1×＝．故选：D．。

中考数学专题复习平行四边形之与正方形与45度角模型学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________评卷人得分一、单选题1．如图，在正方形有ABCD中，E是AB上的动点，（不与A、B重合），连结DE，点A关于DE的对称点为F，连结EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EH⊥DE 交DG的延长线于点H，连接BH，那么BHAE的值为（）A．1B．2C．3D．22．如图，在正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE，将△ADE沿AE 对折至△AFE，延长EF交BC于点G，连结AG，CF，下列结论：⊥△ABG⊥△AFG；⊥BG=CG；⊥S△AGE=18；⊥△GAE=45°，其中正确的是（）A．⊥⊥⊥B．⊥⊥⊥C．⊥⊥⊥D．⊥⊥⊥3．如图，正方形ABCD中，点E、F分别在线段BC、CD上运动，且满足⊥EAF＝45°，AE、AF分别与BD相交于点M、N，下列说法中：⊥BE+DF＝EF；⊥点A到线段EF的距离一定等于正方形的边长；⊥BE＝2，DF＝3，则S△AEF＝15；⊥若AB＝62，BM＝3，则MN＝5．其中结论正确的个数是（）4．如图，有一正方形的纸片ABCD，边长为6，点E是DC边上一点且DC＝3DE，把ADE沿AE折叠使ADE落在AFE的位置，延长EF交BC边于点G，连接BF有以下四个结论：⊥⊥GAE＝45°；⊥BG+DE＝GE；⊥点G是BC的中点；⊥连接FC，则BF⊥FC；其中正确的结论序号是（）A．⊥⊥⊥⊥B．⊥⊥⊥C．⊥⊥D．⊥⊥评卷人得分二、填空题5．如图，在Rt⊥ABC中，⊥ACB=90°，BC=32，AC=42，⊥CAB与⊥CBA的平分线交于点P，点D、E分别是边AC、BC上的点（均不与点C重合），且满足⊥DPE=45°，则点P到边AB的距离是__________，⊥CDE的周长是__________．6．如图，在正方形ABCD中，点O是对角线BD的中点，点P在线段OD上，连接AP并延长交CD于点E，过点P作PF⊥AP交BC于点F，连接AF、EF，AF交BD于G，现有以下结论：⊥AP＝PF；⊥DE+BF＝EF；⊥PB﹣PD＝2BF；⊥S△AEF为定值；⊥S四边形PEFG＝S△APG，以上结论正确的有___（填入正确的序号）．7．如图，在直角梯形ABCD中，//(),90,12AD BC BC AD B AB BC >∠=︒==， E 是AB 上一点，且45,4DCE BE ︒∠==，则DE =__________．8．如图，正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上运动（不与点A ，B 重合），45DAM ∠=︒，点F 在射线AM 上，且2AF BE =，CF 与AD 相交于点G ，连接EC 、EF 、EG ．则下列结论：⊥45ECF ∠=︒；⊥FE 平分AFG ∠；⊥BE DG EG +=；⊥EAF △的面积的最大值是16；其中正确的结论是______．9．如图，在正方形ABCD 中，E 是线段CD 上一点，连接AE ，将ADE 沿AE 翻折至AEF ，连接BF 并延长BF 交AE 延长线于点P ，当PF ＝22BF 时，DE CD ＝_____．评卷人得分三、解答题10．（1）如图⊥，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、DC上的点，且45EAF∠=︒，连接EF，探究BE、DF、EF之间的数量关系，并说明理由；（2）如图⊥，在四边形ABCD中，AB AD=，180B D∠+∠=︒，E、F分别是BC、DC上的点，且12EAF BAD∠=∠，此时（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．11．已知四边形ABCD是正方形，一个等腰直角三角板的一个锐角顶点与A点重合，将此三角板绕A点旋转时，两边分别交直线BC，CD于M，N．(1)如图1，当M，N分别在边BC，CD上时，求证：BM+DN=MN(2)如图2，当M，N分别在边BC，CD的延长线上时，请直接写出线段BM，DN，MN 之间的数量关系(3)如图3，直线AN与BC交于P点，MN=10，CN=6，MC=8，求CP的长．12．综合与实践：如图1，在正方形ABCD中，连接对角线AC，点O是AC的中点，点E是线段OA上任意一点（不与点A，O重合），连接DE，BE．过点E作EF DE⊥交直线BC于点F．（1）试猜想线段DE与EF的数量关系，并说明理由；（2）试猜想线段,,CE CD CF之间的数量关系，并说明理由；（3）如图2，当E在线段CO上时（不与点C，O重合），EF交BC延长线于点F，保持其余条件不变，直接写出线段,,CE CD CF之间的数量关系．13．如图，正方形ABCO的边长为4cm，点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿从点A向终点O运动，点Q从点O同时出发，以相同的速度沿射线AO方向运动，规定点P到达点O时，点Q也停止运动，连接BP，过点P作BP的垂线，与过点Q平行于OC的直线l相交于点D，BD与y轴交于点E，连接PE，设点P运动的时间为t （秒）（1）PBD∠的度数为（2）点D的运动总路径长为______cm：（3）探索线段PE、AP、CE的数量关系，并说明理由；（4）当PBE△为等腰三角形时，求t的值．14．如图．在正方形ABCD 中，点E 在BC 边上，点F 在CD 延长线上，BE DF =，连接EF 交BD 于点H ，连接AH ．（1）求证HE HF =； （2）求AHEF的值； （3）探究AB 、BE 、BH 三条线段之间的数量关系，并证明．15．在正方形ABCD 和正方形DEFG 中，1,5AB DG ==，连接BF ，H 是BF 的中点．（1）如图1，若点B 、D 、F 在同一直线上，求BH 的长；（2）在（1）条件下，连接,AH GH ．求线段AH 和GH 的数量关系和位置关系，并证明；（3）如图2，正方形DEFG 绕点D 旋转，使得点H 在线段AD 的延长线上，连接EH ，求EH 的长度．16．已知正方形ABCD ，45MAN ∠=︒，MAN ∠绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB 、DC于点M 、N ，AH MN ⊥于点H ．（1）如图⊥，当BM DN =时，可以通过证明≌ADN ABM ，得到AH 与AB 的数量关系，这个数量关系是___________；（2）如图⊥，当BM DN ≠时，（1）中发现的AH 与AB 的数量关系还成立吗？说明理由；（3）如图⊥，已知AMN 中，45MAN ∠=︒，AH MN ⊥于点H ，3MH =，7=NH ，求AH 的长．17．将正方形ABCD 放置在平面直角坐标系中，B 与原点重合，点A 的坐标为（0，a ），点E 的坐标为（b ，0），并且实数a ，b 使式子12263b a a =-+-+成立， （1）直接写出点D 、E 的坐标；（2）⊥AEF =90°，且EF 交正方形外角的平分线CF 于点F ， ⊥如图⊥，求证AE =EF ；⊥如图⊥，连接AF 交DC 于点G ，作GM ⊥AD 交AE 于点M ，作EN ⊥AB 交AF 于点N ，连接MN ，求四边形MNGE 的面积；（3）如图⊥，连接正方形ABCD 的对角线AC ，若点P 在AC 上，点Q 在CD 上，且AP =CQ ，请直接写出2()BP BQ +的最小值_____________________．18．四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）如图，求证：矩形DEFG是正方形；（2）若AB＝4，CE＝22，求CG的长度；（3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是40°时，直接写出⊥EFC的度数．19．已知正方形ABCD 中，⊥MAN ＝45°，⊥MAN 绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB ，DC （或它们的延长线）于点M ，N ，AH ⊥MN 于点H ．（1）如图⊥，当⊥MAN 绕点A 旋转到BM ＝DN 时，请你直接写出AH 与AB 的数量关系： ；（2）如图⊥，当⊥MAN 绕点A 旋转到BM ≠DN 时，（1）中发现的AH 与AB 的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；（3）如图⊥，已知⊥MAN ＝45°，AH ⊥MN 于点H ，且MH ＝2，AH ＝6，求NH 的长．（可利用（2）得到的结论）20．如图1，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，F 是AD 延长线上一点，且DF BE =．（1）求证：CE CF =；（2）在图1中，若G 在AD 上，且45GCE ∠=︒，则GE BE GD =+成立吗？为什么？ （3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：⊥如图2，在直角梯形ABCD 中，()//AD BC BC AD >，90B ∠=︒，12AB BC ==，E 是AB 上一点，且45DCE ∠=︒，4BE =，求DE 的长．____（直接写出结果，不需要写出计算过程）21．如图，点M ，N 分别在正方形ABCD 的边BC ，CD 上，45MAN ∠=︒，点E 在CB 的延长线上，连接AE ，BE DN =． （1）求证：AE AN =；（2）若3CM =，4CN =，求EM 的长．22．已知正方形ABCD ，⊥EAF ＝45°，将⊥EAF 绕顶点A 旋转，角的两边始终与直线CD 交于点E ，与直线BC 交于点F ，连接EF．（1）如图⊥，当BF ＝DE 时，求证：△ABF ⊥⊥ADE ； （2）若⊥EAF 旋转到如图⊥的位置时，求证：⊥AFB ＝⊥AFE ；（3）若BC ＝4，当边AE 经过线段BC 的中点时，在AF 的右侧作以AF 为腰的等腰直角三角形AFP ，直接写出点P 到直线AB 的距离．参考答案：1．B【解析】【分析】作辅助线，构建全等三角形，证明⊥DAE ⊥⊥ENH ，得AE =HN ，AD =EN ，再说明⊥BNH 是等腰直角三角形，可得结论．【详解】解：如图，在线段AD 上截取AM ，使AM =AE ， ，⊥AD =AB ，⊥DM =BE ，⊥点A 关于直线DE 的对称点为F ，⊥⊥ADE ⊥⊥FDE ，⊥DA =DF =DC ，⊥DFE =⊥A =90°，⊥1=⊥2，⊥⊥DFG =90°，在Rt ⊥DFG 和Rt ⊥DCG 中，⊥DF DC DG DG =⎧⎨=⎩， ⊥Rt ⊥DFG ⊥Rt ⊥DCG （HL ），⊥⊥3=⊥4，⊥⊥ADC =90°，⊥⊥1+⊥2+⊥3+⊥4=90°，⊥2⊥2+2⊥3=90°，⊥⊥2+⊥3=45°，即⊥EDG =45°，⊥EH ⊥DE ，⊥⊥DEH =90°，⊥DEH 是等腰直角三角形，⊥⊥AED +⊥BEH =⊥AED +⊥1=90°，DE =EH ，⊥⊥1=⊥BEH ，在⊥DME 和⊥EBH 中，⊥1DM BE BEHDE EH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⊥⊥DME ⊥⊥EBH （SAS ），⊥EM =BH ，Rt ⊥AEM 中，⊥A =90°，AM =AE ，⊥2EM AE =，⊥2BH AE = ，即BHAE=2． 故选：B ．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定定理和性质定理，等知识，解决本题的关键是作出辅助线，利用正方形的性质得到相等的边和相等的角，证明三角形全等． 2．D【解析】【分析】根据正方形的性质得出AB =AD =DC =6，⊥B =⊥D =90°，求出DE =2，AF =AB ，根据HL 推出Rt ⊥ABG ⊥Rt ⊥AFG ，推出BG =FG ，设BG =x ，则CG =BC -BG =6-x ，GE =GF +EF =BG +DE=x +2，在Rt ⊥ECG 中，由勾股定理得出（6-x ）2+42=（x +2）2，求出x =3，得出BG =GF =CG ，由DE =2，得出GE =GF +EF =5，AF =AB =6，计算出S△AGE =15；根据全等得出⊥DAE =⊥F AE ，⊥BAG =⊥F AG ，即可得出△GAE .【详解】解：⊥四边形ABCD 是正方形，⊥AB =AD =DC =6，⊥B =⊥D =90°，⊥CD =3DE ，⊥DE =2，⊥⊥ADE 沿AE 折叠得到⊥AFE ，⊥DE =EF =2，AD =AF ，⊥D =⊥AFE =⊥AFG =90°，⊥AF =AB ，⊥在Rt ⊥ABG 和Rt ⊥AFG 中AG AG AB AF ==⎧⎨⎩ ，⊥Rt ⊥ABG ⊥Rt ⊥AFG （HL ）．⊥⊥正确；⊥Rt ⊥ABG ⊥Rt ⊥AFG ，⊥BG =FG ，⊥AGB =⊥AGF ．设BG =x ，则CG =BC -BG =6-x ，GE =GF +EF =BG +DE =x +2．在Rt ⊥ECG 中，由勾股定理得：CG 2+CE 2=EG 2．⊥CG =6-x ，CE =4，EG =x +2，⊥（6-x ）2+42=（x +2）2，解得：x =3．⊥BG =GF =CG =3．⊥⊥正确；⊥BG =GF =CG =3，CD =3DE ，AB =AD =DC =6，DE =EF =2， ⊥GE =GF +EF =5，AF =AB =6，⊥S△AGE =11561522GE AF ⨯=⨯⨯=， ⊥⊥错误；⊥⊥ADE 沿AE 折叠得到⊥AFE ，⊥⊥DAE ⊥⊥F AE ．⊥⊥DAE =⊥F AE ．⊥⊥ABG ⊥⊥AFG ，⊥⊥BAG =⊥F AG ．⊥⊥BAD =90°，⊥⊥EAG =⊥EAF +⊥GAF =12×90°=45°．⊥⊥正确．故选D ．【点睛】本题考查了正方形性质，折叠性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，平行线的判定等知识点的运用，依据翻折的性质找出其中对应相等的线段和对应相等的角是解题的关键．3．A【解析】【分析】根据旋转的性质得到BH ＝DF ，AH ＝AF ，⊥BAH ＝⊥DAF ，得到⊥EAH ＝⊥EAF ＝45°，根据全等三角形的性质得到EH ＝EF ，⊥AEB ＝⊥AEF ，于是得到BE +BH ＝BE +DF ＝EF ，故⊥正确；过A 作AG ⊥EF 于G ，根据全等三角形的性质得到AB ＝AG ，于是得到点A 到线段EF 的距离一定等于正方形的边长，故⊥正确；求出EF ＝BE +DF ＝5，设BC ＝CD ＝n ，根据勾股定理即可得到S △AEF ＝15，故⊥正确；把⊥ADN 绕点A 顺时针旋转90°得到⊥ABQ ，再证明⊥AMQ ⊥⊥AMN （SAS ），从而得MQ ＝MN ，再证明⊥QBM ＝⊥ABQ +⊥ABM ＝90°，设MN ＝x ，再由勾股定理求出x 即可．【详解】解：如图，把⊥ADF 绕点A 顺时针旋转90°得到⊥ABH ，由旋转的性质得，BH ＝DF ，AH ＝AF ，⊥BAH ＝⊥DAF ，⊥⊥EAF ＝45°，⊥⊥EAH ＝⊥BAH +⊥BAE ＝⊥DAF +⊥BAE ＝90°﹣⊥EAF ＝45°，⊥⊥EAH ＝⊥EAF ＝45°，在⊥AEF 和⊥AEH 中，o =45AH AF EAH EAF AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⊥⊥AEF ⊥⊥AEH （SAS ），⊥EH ＝EF ，⊥⊥AEB ＝⊥AEF ，⊥BE +BH ＝BE +DF ＝EF ，故⊥正确；过A 作AG ⊥EF 于G ，⊥⊥AGE ＝⊥ABE ＝90°，在⊥ABE 与⊥AGE 中，ABE AGEAEB AEGAE AE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⊥⊥ABE⊥⊥AGE（AAS），⊥AB＝AG，⊥点A到线段EF的距离一定等于正方形的边长；故⊥正确；⊥BE＝2，DF＝3，⊥EF＝BE+DF＝5，设BC＝CD＝n，⊥CE＝n﹣2，CF＝n﹣3，⊥EF2＝CE2+CF2，⊥25＝（n﹣2）2+（n﹣3）2，⊥n＝6（负值舍去），⊥AG＝6，⊥S△AEF＝12×6×5＝15．故⊥正确；如图，把⊥ADN绕点A顺时针旋转90°得到⊥ABQ，连接QM，由旋转的性质得，BQ＝DN，AQ＝AN，⊥BAQ＝⊥DAN，⊥ADN＝⊥ABQ＝45°，⊥⊥EAF＝45°，⊥⊥MAQ＝⊥BAQ+⊥BAE＝⊥DAN+⊥BAE＝90°﹣⊥EAF＝45°，⊥⊥MAQ＝⊥MAN＝45°，在⊥AMQ和⊥AMN中，AQ ANMAQ MANAM AM=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⊥⊥AMQ⊥⊥AMN（SAS），⊥MQ＝MN，⊥⊥QBM＝⊥ABQ+⊥ABM＝90°，⊥BQ2+MB2＝MQ2，⊥ND2+MB2＝MN2，⊥AB＝62，⊥BD＝2AB＝12，设MN＝x，则ND＝BD﹣BM﹣MN＝9﹣x，⊥32+（9﹣x）2＝x2，解得：x＝5，⊥MN＝5，故⊥正确，故选A．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理等等，解题的关键是旋转三角形ADF和三角形AND.4．A【解析】【分析】先计算出DE＝2，EC＝4，再根据折叠的性质AF＝AD＝6，EF＝ED＝2，⊥AFE＝⊥D＝90°，⊥F AE＝⊥DAE，然后根据“HL”可证明Rt⊥ABG⊥Rt⊥AFG，则GB＝GF，⊥BAG＝⊥F AG，所以⊥GAE＝12⊥BAD＝45°；GE＝GF+EF＝BG+DE；设BG＝x，则GF＝x，CG＝BC﹣BG＝6﹣x，在Rt⊥CGE中，根据勾股定理得（6﹣x）2+42＝（x+2）2，解得x＝3，则BG＝CG＝3，则点G为BC的中点；同时得到GF＝GC，根据等腰三角形的性质得⊥GFC ＝⊥GCF，再由Rt⊥ABG⊥Rt⊥AFG得到⊥AGB＝⊥AGF，然后根据三角形外角性质得⊥BGF ＝⊥GFC+⊥GCF，易得⊥AGB＝⊥GCF，根据平行线的判定方法得到CF⊥AG，再证出AG⊥BF，即可得出BF⊥FC．【详解】解：连接AG，AG和BF交于H，如图所示：⊥正方形ABCD的边长为6，DC＝3DE，⊥DE＝2，EC＝4，⊥把⊥ADE沿AE折叠使⊥ADE落在⊥AFE的位置，⊥AF＝AD＝AB＝6，EF＝ED＝2，⊥AFE＝⊥D＝90°，⊥F AE＝⊥DAE，在Rt⊥ABG和Rt⊥AFG中，AB AF AG AG=⎧⎨=⎩，⊥Rt⊥ABG⊥Rt⊥AFG（HL），⊥GB＝GF，⊥BAG＝⊥F AG，⊥⊥GAE＝⊥F AE+⊥F AG＝12⊥BAD＝45°，⊥正确；⊥GE＝GF+EF＝BG+DE，⊥正确；设BG＝x，则GF＝x，CG＝BC﹣BG＝6﹣x，在Rt⊥CGE中，GE＝x+2，EC＝4，CG＝6﹣x，⊥CG2+CE2＝GE2，⊥（6﹣x）2+42＝（x+2）2，解得x＝3，⊥BG＝3，CG＝6﹣3＝3，⊥BG＝CG，即点G为BC的中点，⊥正确；⊥GF＝GC，⊥⊥GFC＝⊥GCF，又⊥Rt⊥ABG⊥Rt⊥AFG，⊥⊥AGB＝⊥AGF，而⊥BGF＝⊥GFC+⊥GCF，⊥⊥AGB+⊥AGF＝⊥GFC+⊥GCF，⊥⊥AGB＝⊥GCF，⊥FC⊥AG，⊥AB＝AF，BG＝FG，⊥AG⊥BF，⊥BF⊥FC，⊥正确；故选：A．【点睛】本题考查了折叠的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理、正方形的性质、平行线的判定等知识；熟练掌握折叠的性质和全等三角形的判定是解题的关键．5．222【解析】【分析】如图，作辅助线，构建正方形，证明四边形PMCH是正方形，则CM=CH=PH=PM，⊥MPH=90°，证明⊥PME⊥⊥PHM'（SAS）和⊥DPM'⊥⊥DPE（SAS），则⊥CDE的周长=CH+CM，计算CH+CM=AC+BC-AB=22，可得结论．【详解】解：如图，过点P作PG⊥AB于G，PH⊥AC于H，PM⊥BC于M，在AH上取一点M'，使M'H=EM，连接PM'，⊥⊥CAB与⊥CBA的平分线交于点P，⊥PG=PM=PH，⊥⊥PMC=⊥C=⊥PHC=90°，⊥四边形PMCH是正方形，⊥CM=CH=PH=PM，⊥MPH=90°，⊥⊥DPE=45°，⊥⊥MPE +⊥DPH =45°，在⊥PME 和⊥PHM '中，90PM PH PME PHM ME HM =⎧⎪∠=∠='︒⎨='⎪⎩，⊥⊥PME ⊥⊥PHM '（SAS ），⊥PE =PM '，⊥MPE =⊥HPM '，⊥⊥HPM '+⊥DPH =⊥DPH +⊥EPM =45°=⊥DPE ，在⊥DPM '和⊥DPE 中，PD PD DPM DPE PE PM =⎧⎪∠=∠⎨⎪='⎩'，⊥⊥DPM '⊥⊥DPE （SAS ），⊥DE =DM '=DH +HM '=DH +ME ，⊥⊥CDE 的周长=CD +CE +DE=CD +CE +DH +EM=CH +CM ，⊥⊥PGB =⊥PMB =90°，⊥PBG =⊥PBM ，⊥⊥BPG =⊥BPM ，⊥BG =BM ，同理得：AG =AH ，Rt ⊥ACB 中，⊥C =90°，AC =42，BC =32，由勾股定理得：AB =()()22423252+=，⊥AG +BG =AH +BM =52，⊥AC +BC =32+42=72，⊥CH +CM =AC +BC -AH -BM =72-52=22，⊥点P 到边AB 的距离是PG =2，⊥CDE 的周长是22．故答案为：2，22．【点睛】本题考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理的应用、角平分线的性质等知识点，正确作辅助线，构建正方形PMCH是解题的关键．6．⊥⊥⊥⊥．【解析】【分析】⊥证明A，B，F，P四点共圆，推出⊥P AG=⊥PBF=45°，可得结论．⊥将⊥ADE绕点A顺时针旋转90°得到⊥ABM，利用全等三角形的性质证明即可．⊥连接PC，过点P作PQ⊥CF 于Q，过点P作PW⊥CD于W，则四边形PQCW是矩形，证明FQ=QC，由PB=2BQ，PD=2PW=2CQ=2FQ，推出PB-PD=2（BQ-FQ）=2BF．⊥由⊥AEF⊥⊥AMF，FM•AB，因为FM的长度是变化的，所以⊥AEF的面积不是定推出S△AEF=S△AMF=12值．⊥利用相似三角形的性质证明即可．【详解】解：取AF的中点T，连接PT，BT．⊥AP⊥PF，四边形ABCD是正方形，⊥⊥ABF=⊥APF=90°，⊥ABD=⊥CBD=45°，⊥AT=TF，⊥BT=AT=TF=PT，⊥A，B，F，P四点共圆，⊥⊥P AF=⊥PBF=45°，⊥⊥P AF=⊥PF A=45°，⊥P A=PF，故⊥正确，将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABM，⊥⊥ADE=⊥ABM=90°，⊥ABC=90°，⊥⊥ABC+⊥ABM=180°，⊥C，B，M共线，⊥⊥EAF=45°，⊥⊥MAF=⊥F AB+⊥BAM=⊥F AB+⊥DAE=45°，⊥⊥F AE=⊥F AM，在△F AM和△F AE中，FA FA FAM FAE AM AE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，⊥⊥F AM ⊥⊥F AE （SAS ），⊥FM =EF ，⊥FM =BF +BM =BF +DE ，⊥EF =DE +BF ，故⊥正确，连接PC ，过点P 作PQ ⊥CF 于Q ，过点P 作PW ⊥CD 于W ，则四边形PQCW 是矩形， 在△PBA 和PCB 中，PB PB PBA PBC BA BC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，⊥⊥PBA ⊥⊥PBC （SAS ），⊥P A =PC ，⊥PF =P A ，⊥PF =PC ，⊥PQ ⊥CF ，⊥FQ =QC ，⊥PB =2BQ ，PD =2PW =2CQ =2FQ ，⊥PB -PD =2（BQ -FQ ）=2BF ，故⊥正确，⊥⊥AEF ⊥⊥AMF ，⊥S △AEF =S △AMF =12FM •AB ，⊥FM 的长度是变化的，⊥⊥AEF 的面积不是定值，故⊥错误，⊥A ，B ，F ，P 四点共圆，⊥⊥APG =⊥AFB ，⊥⊥AFE ⊥⊥AFM ，⊥⊥AFE =⊥AFB ，⊥⊥APG =⊥AFE ，⊥⊥P AG =⊥EAF ，⊥221()()22APG AFE S PA PA S AF PA∆∆===， ⊥S 四边形PEFG =S △APG ，故⊥正确，故答案为：⊥⊥⊥⊥．【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，四点共圆，圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．7．10【解析】【分析】过C 作CG ⊥AD ，交AD 延长线于G ，先证四边形ABCG 是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）．再设DE ＝x ，在Rt △AED 中利用勾股定理可求出DE ．【详解】解：过C 作CG ⊥AD 于G ，并延长DG ，使GF ＝BE ，在直角梯形ABCD 中，⊥AD ⊥BC ，⊥A ＝⊥B ＝90°，⊥CGA ＝90°，AB ＝BC ，⊥四边形ABCG 为正方形，⊥AG ＝BC ＝GC =12，⊥⊥ECB +⊥GCD=45°，⊥BE ＝GF ，⊥B ＝⊥FGC=90°，BC ＝GC ，⊥⊥EBC ⊥⊥FGC ，⊥⊥ECB ＝⊥FCG ，⊥⊥FCG +⊥GCD=⊥DCF =45°=⊥DCE ，⊥CE ＝CF ，⊥DCF ＝⊥DCE ，DC ＝DC ，⊥⊥ECD ⊥⊥FCD ，⊥ED ＝DF ，⊥DE ＝GF ＋DG ＝BE ＋GD ，设DE ＝x ，则DG ＝x −4，⊥AD ＝16−x ，在Rt △AED 中，⊥DE 2＝AD 2＋AE 2，⊥x 2＝（16−x ）2＋82，⊥x ＝10，即DE ＝10．故答案为：10【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、勾股定理的应用，掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题的关键．8．⊥⊥【解析】【分析】⊥正确，如图1中，在BC 上截取BH BE =，连接EH ．证明()FAE EHC SAS △≌△即可解决问题；⊥错误，由（1）可得45EFC ∠=︒，45EFA CEH ∠=∠<︒，由此即可判定FE 不平分AFG ∠； ⊥正确，如图2中，延长AD 到H ，使得DH BE =，连接CH ，则()CBE CDH SAS △≌△，再证明()GCE GCH SAS △≌△即可解决问题．⊥错误，如图1，设BE BH x ==，则1AE CH x ==-，利用三角形的面积公式构建二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题．【详解】解：如图1中，在BC 上截取BH BE =，连接EH ．BE BH =，90EBH ∠=︒，2EH BE ∴=，45BEH ∠=︒，2AF BE =，AF EH ∴=，45DAM EHB ∠=∠=︒，90BAD ∠=︒，135FAE EHC ∴∠=∠=︒，BA BC =，BE BH =，AE HC ∴=， ⊥()FAE EHC SAS △≌△，EF EC ∴=，AEF ECB ∠=∠，90ECH CEB ∠+∠=︒，90AEF CEB ∴∠+∠=︒，90FEC ∴∠=︒，45ECF EFC ∴∠=∠=︒，故⊥正确；⊥在Rt BEC △中，90B ∠=︒，⊥90BEC ∠<︒，⊥90BEH CEH ∠+∠<︒，⊥4590CEH ︒+∠<︒，即45CEH ∠<︒，⊥FAE EHC △≌△，⊥45EFA CEH ∠=∠<︒，又⊥45EFC ∠=︒，⊥EFA EFC ∠≠∠，⊥FE 不平分AFG ∠，故⊥错误；如图2中，延长AD 到H ，使得DH BE =，连接CH ，又⊥BC DC =，90B HDC ∠=∠=︒，⊥()CBE CDH SAS △≌△，ECB DCH ∴∠=∠，CE CH =，90ECH BCD ∴∠=∠=︒，45ECG GCH ∴∠=∠=︒， 又CG CG =，CE CH =，()GCE GCH SAS ∴△≌△，EG GH ∴=，GH DG DH =+，EG BE DG ∴=+，故⊥正确；如图1，设BE BH x ==，则1AE CH x ==-，12AEF HCE S S CH BE ∴==⋅△△ 1(1)2x x =-⋅ 21122x x =-+ 2111()244x x =--+- 2111()228x =--+，12-<，⊥当12x=时，AEF的面积取得最大值，最大值为18，故⊥错误，故答案为：⊥⊥．【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，二次函数的应用等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．9．2﹣1【解析】【分析】如图，过点A作AM⊥BP于M，过点E作EN⊥BP于N．首先证明△AMP是等腰直角三角形，设BF＝2a，则PF＝22BF＝2a，BM＝MF＝a，利用相似三角形的性质求出FN：EN＝1+2，再想办法求出EN（用a表示），即可解决问题．【详解】解：如图，过点A作AM⊥BP于M，过点E作EN⊥BP于N．⊥四边形ABCD是正方形，⊥AD＝AB，⊥BAD＝90°，由翻折的性质可知，AD＝AF，⊥DAE＝⊥EAF，⊥AB＝AF，⊥AM⊥BF，⊥BM＝FM，⊥BAM＝⊥F AM，⊥⊥P AM＝⊥P AF+⊥F AM＝12⊥BAD＝45°，⊥⊥AMP＝90°，⊥⊥P＝⊥P AM＝45°，⊥AM＝MP，设BF ＝2a ，则PF ＝22BF ＝2a ，BM ＝MF ＝a ， ⊥AM ＝PM ＝FM +PF ＝a +2a ，⊥⊥AMF ＝⊥AFE ＝⊥ENF ＝90°，⊥⊥AFM +⊥EFN ＝90°，⊥EFN +⊥FEN ＝90°，⊥⊥AFM ＝⊥FEN ，⊥⊥AMF ⊥⊥FNE ，⊥212AM FN a a FM EN a+===+， 设EN ＝PN ＝x ，则FN ＝（1+2）x ，⊥（1+2）x +x ＝2a ，⊥x ＝（2﹣1）a ，⊥EN ＝（2﹣1）x ，⊥EF EN AF FM =＝(21)a a-＝2﹣1， ⊥CD ＝AD ＝AF ，DE ＝EF ，⊥DE CD＝2﹣1． 故答案为：2﹣1．【点睛】 本题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．10．（1）EF BE DF =+，理由见解析；（2）成立，理由见解析【解析】【分析】（1）典型的“夹半角模型”，延长CB 到M 使得BM DF =，先证ADF ABM ≌，再证EAM EAF ≌，最后根据边的关系即可证明；（2）图形变式题可以参考第一问的思路，延长CB 到M 使得BM DF =，先证 ADF ABM ≌，再证EAM EAF ≌，最后根据边的关系即可证明；【详解】解：（1）EF BE DF =+证明：延长CB 到M ，使得BM DF =连接AM⊥四边形ABCD 是正方形⊥AB AD =，D ABM ∠=∠又⊥BM DF =⊥()ADF ABM SAS ≌⊥AF AM =，12∠=∠⊥45EAF ∠=︒⊥1345∠+∠=︒⊥2345MAE EAF ∠+∠=∠=︒=∠又⊥AE AE =⊥()EAM EAF SAS ≌⊥EF EM BE BM ==+又⊥BM DF =⊥EF EB DF =+（2）EF BE DF =+证明：延长CB 到M ，使得BM DF =连接AM⊥180ABC D ∠+∠=︒，4180ABC ∠+∠=︒⊥4D ∠=∠又⊥AB AD =，BM DF =⊥()ADF ABM SAS ≌⊥AF AM =，12∠=∠⊥12EAF BAD ∠=∠⊥13EAF ∠+∠=∠⊥23MAE EAF ∠=∠+∠=∠又⊥AE AE =⊥()EAM EAF SAS ≌⊥EF EM BE BM ==+又⊥BM DF =⊥EF EB DF =+【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，正确的根据“夹半角模型”作出辅助线是解题的关键．11．（1）见解析；（2）BM DN MN -=；（3）3【解析】【分析】（1）延长CB 到G 使BG DN =，连接AG ，先证明AGB AND ≅△△，由此得到AG AN =，GAB DAN∠=∠，再根据45MAN∠=︒，90BAD∠=︒，可以得到45GAM NAM∠=∠=︒，从而证明AMN AMG△≌△，然后根据全等三角形的性质即可证明BM DN MN+=；（2）在BM上取一点G，使得BG DN=，连接AG，先证明AGB AND≅△△，由此得到AG AN=，GAB DAN∠=∠，由此可得90GAN BAD∠=∠=︒，再根据45MAN∠=︒可以得到45GAM NAM∠=∠=︒，从而证明AMN AMG△≌△，然后根据全等三角形的性质即可证明BM DN MN-=；（3）在DN上取一点G，使得DG BM=，连接AG，先证明ABM ADG≌，再证明AMN AGN△≌△，设DG BM x==，根据DC BC=可求得2x=，由此可得6AB BC CD CN====，最后再证明ABP NCP△≌△，由此即可求得答案．【详解】（1）证明：如图，延长CB到G使BG DN=，连接AG，⊥四边形ABCD是正方形，⊥AB AD=，90ABG ADN BAD∠=∠=∠=︒，在ABG与ADN△中，AB ADABG ADNBG DN=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AGB AND SAS∴△≌△，AG AN∴=，GAB DAN∠=∠，45MAN∠=︒，90BAD∠=︒，⊥45DAN BAM BAD MAN∠+∠=∠-∠=︒，45GAM GAB BAM DAN BAM∴∠=∠+∠=∠+∠=︒，GAM NAM∴∠=∠，在AMN与AMG中，AM AM GAM NAM AN AG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AMN AMG SAS ∴△≌△，MN GM ∴=，又⊥BM GB GM +=，BG DN =，BM DN MN ∴+=；（2）BM DN MN -=，理由如下：如图，在BM 上取一点G ，使得BG DN =，连接AG ，⊥四边形ABCD 是正方形，⊥AB AD =，90ABG ADN BAD ∠=∠=∠=︒， 在ABG 与ADN △中，AB AD ABG ADN GB DN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AGB AND SAS ∴△≌△，AG AN ∴=，GAB DAN ∠=∠，⊥GAB GAD DAN GAD ∠+∠=∠+∠，⊥90GAN BAD ∠=∠=︒，又45MAN ∠=︒，45GAM GAN MAN MAN ∴∠=∠-∠=︒=∠，在AMN 与AMG 中，AM AM GAM NAM AN AG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AMN AMG SAS ∴△≌△，MN GM ∴=，又⊥BM BG GM -=，BG DN =，⊥BM DN MN -=，故答案为：BM DN MN -=；（3）如图，在DN 上取一点G ，使得DG BM =，连接AG ，⊥四边形ABCD 是正方形，⊥AB AD BC CD ===，90ABM ADG BAD ∠=∠=∠=︒，//AB CD ，在ABM 与ADG 中，AB AD ABM ADG BM DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABM ADG SAS ∴△≌△，AM AG ∴=，MAB GAD ∠=∠， ⊥MAB BAG GAD BAG ∠+∠=∠+∠，⊥90MAG BAD ∠=∠=︒，又45MAN ∠=︒，45GAN MAG MAN MAN ∴∠=∠-∠=︒=∠，在AMN 与AGN 中，AM AG MAN GAN AN AN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AMN AGN SAS ∴△≌△，10MN GN ∴==，设DG BM x ==，⊥6CN =，8MC =，⊥1064DC DG GN CN x x =+-=+-=+，8BC MC BM x =-=-，⊥DC BC =，⊥48x x +=-，解得：2x =，⊥6AB BC CD CN ====，⊥//AB CD ，⊥BAP CNP ∠=∠，在ABP △与NCP 中，APB NPC BAP CNP AB CN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABP NCP AAS ∴△≌△，132CP BP BC ∴===， ⊥CP 的长为3．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，能够作出正确的辅助线并能灵活运用全等三角形的判定与性质是解决本题的的关键．12．（1）DE EF =，理由见解析；（2）2CE CD CF =+，理由见解析；（3）2CE CD CF =-，理由见解析【解析】【分析】（1）先根据正方形的性质可证得BCE DCE ≌，由此可得CBE CDE ∠=∠，BE DE =，再根据同角的补角相等证得CDE EFB ∠=∠，等量代换可得CBE EFB ∠=∠，由此可得BE EF =，再等量代换即可得证；（2）过点E 作EG EC ⊥交CB 的延长线于点G ，先证明EG EC =，利用勾股定理可得2CG CE =，再证明EGF ECB △≌△，由此可得GF CB CD ==，最后再等量代换即可得证；（3）仿照（1）和（2）的证明即可证得2CE CD CF =-．【详解】解：（1）DE EF =，理由如下：⊥四边形ABCD 是正方形，⊥BC CD AD ==，90BCD ADC ∠=∠=︒，⊥180452ADC DAC DCA ︒-∠∠=∠==︒， ⊥45BCE BCD DCA ∠=∠-∠=︒，⊥BCE DCE ∠=∠，在BCE 与DCE 中，BC DC BCE DCE CE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩⊥()BCE DCE SAS ≌，⊥CBE CDE ∠=∠，BE DE =，⊥EF DE ⊥，⊥90FED ∠=︒，⊥360EFC BCD CDE FED ∠+∠+∠+∠=︒，⊥180CDE EFC ∠+∠=︒，⊥180EFC EFB ∠+∠=︒，⊥CDE EFB ∠=∠，⊥CBE EFB ∠=∠，⊥BE EF =，⊥DE EF =；（2）2CE CD CF =+，理由如下：如图，过点E 作EG EC ⊥交CB 的延长线于点G ，⊥90CEG∠=︒，由（1）知：45BCE∠=︒，⊥45EGC BCE∠=∠=︒，⊥EG EC=，⊥在Rt GEC△中，222CG CE EG CE=+=，在EGF△与ECB中，EGF ECBEFG EBCEF EB∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩⊥()EGF ECB AAS△≌△，⊥GF CB CD==，又⊥CG GF CF CD CF=+=+，⊥2CE CD CF=+；（3）2CE CD CF=-，理由如下：如图，过点E作EG EC⊥交BC于点G，设CD与EF的交点为点P，⊥90CEG∠=︒，由（1）可知：45BCE∠=︒，⊥45EGC BCE∠=∠=︒，⊥EG EC=，⊥在Rt GEC△中，222CG CE EG CE=+=，⊥EF DE⊥，⊥90FED∠=︒，⊥90CDE EPD∠+∠=︒，⊥18090DCF BCD∠=︒-∠=︒，⊥90CFE CPF ∠+∠=︒，又⊥EPD CPF ∠=∠，⊥CDE CFE ∠=∠，由（1）可知：CBE CDE ∠=∠，⊥CBE CFE ∠=∠，在EGF △与ECB 中，EGF ECB EFG EBC EG EC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩⊥()EGF ECB AAS △≌△，⊥GF CB CD ==，又⊥CG GF CF CD CF =-=-，⊥2CE CD CF =-．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，作出正确的辅助线并能灵活运用相关图形的性质是解决本题的关键．13．（1）45°；（2）42；（3）PE AP CE =+，见解析；（4）4或424-【解析】【分析】（1）易证△BAP ⊥⊥PQD ，从而得到BP =PD ，由⊥BPD =90°，从而可以求出⊥PBE 的度数； （2）由△BAP ⊥⊥PQD ，从而得到DQ =AP =t ，点D 运动路径的长是⊥COQ 的平分线； （3）将△BCE 绕点B 顺时针旋转90°得到△BAG ，只要证明△PBG ⊥⊥PBE ，推出PE =PG ，推出PE =P A +AG =P A +CE ；（4）分三种情况讨论：⊥若PB =PE ，得⊥BPE =90°，则Q 与O 重合，不成立； ⊥若EB =EP ，则△POE ⊥⊥ECB ，得BC =OE ，则点E 与点C 重合（EC =0），点P 与点O 重合（PO =0），则t =4； ⊥若BP =BE ，延长OA 到F ，使得AF =CE ，连接BF ，如图2，证明△BAP ⊥⊥BCE 和△FBP ⊥⊥EBP ，用t 表示PE 的长，然后列方程求出t 的值.【详解】解：（1）如图，由题可得：AP =OQ =1×t=t （秒）⊥AO =PQ ，⊥四边形OABC是正方形，⊥AO=AB=BC=OC，⊥BAO=⊥AOC=⊥OCB=⊥ABC=90°，⊥DP⊥BP，⊥⊥BPD=90°，⊥⊥BP A=90°-⊥DPQ=⊥PDQ，⊥AO=PQ，AO=AB，⊥AB=PQ，在△BAP和△PQD中，⊥⊥BAP＝⊥PQD，⊥BP A＝⊥PDQ，AB＝PQ，⊥⊥BAP⊥⊥PQD（AAS），⊥BP=PD，⊥⊥BPD=90°，BP=PD，⊥⊥PBD=⊥PDB=45°；（2）⊥⊥BAP⊥⊥PQD，⊥DQ=AP，⊥AP=t，⊥DQ=t，⊥点D坐标为（t，t），⊥点D运动路径的长为⊥COQ的平分线，即42；（3）如图，数量关系：PE=P A+CE理由：将△BCE绕点B顺时针旋转90°得到△BAG，⊥⊥PBE=45°，⊥ABC=90°，⊥⊥ABP+⊥CBE=⊥ABP+⊥ABG=45°，⊥⊥PBG=⊥PBE，在△PBG和△PBE中，⊥PB＝PB，⊥PBG＝⊥PBF，BG＝BE，⊥⊥PBG⊥⊥PBE（SAS），⊥PE=PG，⊥PE=P A+AG=P A+CE，⊥PE=P A+CE；（4）⊥若PB=PE，则⊥PBE=⊥PEB=45°，⊥⊥BPE=90°，⊥⊥BPD=90°，⊥⊥BPE=⊥BPD，⊥点E与点D重合，⊥点Q与点O重合，与条件“DQ⊥y轴”矛盾，⊥这种情况不成立，⊥若EB=EP，则⊥PBE=⊥BPE=45°，⊥⊥BEP=90°，⊥⊥PEO=90°-⊥BEC=⊥EBC，⊥⊥POE⊥⊥ECB，⊥OE=BC，OP=EC，⊥OE=OC，⊥点E与点C重合（EC=0），⊥点P与点O重合（PO=0），⊥B（-4，4），⊥AO=CO=4，此时t=AP=AO=4；⊥若BP=BE，则⊥BAP⊥⊥BCE，⊥AP=CE，⊥AP=t，⊥PO=EO=4-t，⊥⊥POE=90°，⊥PE=22PO EO+，延长OA到F，使得AF=CE，连接BF，可证得⊥F AB⊥⊥ECB，⊥FB=EB，⊥FBA=⊥EBC，⊥⊥EBP=45°，⊥ABC=90°，⊥⊥ABP+⊥EBC=45°，⊥⊥FBP=⊥FBA+⊥ABP=⊥EBC+⊥ABP=45°，⊥⊥FBP=⊥EBP，⊥⊥FBP⊥⊥EBP，⊥FP=EP，⊥EP=FP=F A+AP=CE+AP，⊥EP=t+t=2t，⊥ 2（4-t）=2t，t=42-4，⊥当t=4秒或（42-4）秒时，⊥PBE为等腰三角形；【点睛】本题是正方形与动点问题的综合题，考查了动点问题的正方形，等腰直角三角形的性质，全等三角形，解题关键是深刻理解动点的路程、时间，理解两动点的完整运动过程，同时，采用了分类讨论一个三角形是等腰三角形的三种情况．14．（1）见解析；（2）12AHEF=；（3）2BE AB BH+=，理由见解析【分析】（1）过E 作EM BC ⊥交BD 于点M ，证明HME HDF △≌△即可； （2）连接AE ，AF ，证明ABE ADF ≌，则易得⊥EAF 是等腰直角三角形，从而可求得结果；（3）连接AE ，AF ，过H 作HG BH ⊥交BC 延长线于G ，易得AHB EHG △≌△，可得EG =AB ，由勾股定理即可求得BE 、AB 、BH 的关系．【详解】（1）过E 作EM BC ⊥交BD 于点M ，如图1， ⊥四边形ABCD 是正方形，⊥45CBD ∠=︒，⊥EM BC ⊥，⊥BEM △为等腰直角三角形，⊥EM BE DF ==，⊥EM BC ⊥，⊥//EM FC ，⊥HME HDF ∠=∠，又⊥MHE DHF ∠=∠．⊥()HME HDF AAS △≌△，⊥HE HF =；（2）连接AE ，AF ，如图2，⊥四边形ABCD 是正方形，⊥AB AD=，90ABE ADC ADF∠=∠=∠=︒，⊥BE DF=，⊥()ABE ADF SAS≌，⊥AE AF=，BAE DAF∠=∠，⊥90EAF BAD∠=∠=︒，⊥EAF△是等腰直角三角形，又⊥H为EF中点，⊥12AHEF=；（3）2BE AB BH+=．理由如下：连接AE，AF，过H作HG BH⊥交BC延长线于G，如图3．⊥45DBC∠=︒，GH BH⊥，⊥BHG为等腰直角三角形，⊥BH GH=，2BG BH=，由（2）得，AEF为等腰直角三角形，H为EF中点，⊥AH EF⊥，⊥90AHE BHG∠=∠=︒，⊥AHB EHG∠=∠，又⊥AH EH=，⊥()AHB EHG SAS△≌△，⊥EG AB=，⊥2BG BH =，⊥2BE EG BH +=，⊥2BE AB BH +=．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判官与性质，勾股定理等知识，有一定的综合性，关键是作辅助线证明三角形全等．15．（1）2102+；（2）AH =GH ，AH ⊥GH ，理由见解析；（3）2 【解析】【分析】（1）先利用勾股定理求出BD ，DF 的长，然后根据H 为BF 的中点求解即可；（2）连接AC 交BD 于P ，连接EG 交DF 于Q ，证明⊥APH ⊥⊥HQG 即可得到答案； （3）过点F 作FP ⊥AH 交AH 的延长线于P ，连接AG ，GP ，先证明⊥ABH ⊥⊥PFH ，然后证明⊥AGP 为等腰直角三角形，利用勾股定理求出225BH AH AB FH DE FG =+====，最后证明⊥BDH ⊥⊥EHD 即可得到答案．【详解】解：（1）⊥四边形ABCD 和四边形DEFG 都是正方形，⊥AB =AD =1，5CG DE ==，⊥A =⊥G =90°，⊥222BD AB AD =+=，2210DF DG GF =+=，⊥H 为BF 的中点，⊥1210222BD DF BH BF ++===；（2）AH =GH ，AH ⊥GH ，理由如下：如图所示，连接AC交BD于P，连接EG交DF于Q，⊥四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，⊥112222BP AP AC BD====，1110222DQ GQ GE FD====，⊥APH=⊥GQH=90°，⊥⊥GHQ+⊥HGQ=90°，⊥210210222PH BH BP+=-=-=，1021022222HQ BQ BH BD DQ BH+=-=+-=+-=，⊥AP HQ=，GQ PH=，⊥⊥APH⊥⊥HQG（SAS），⊥AH=GH，⊥AHP=⊥HGQ，⊥⊥AHP+⊥GHQ=90°，⊥⊥AHG=90°，⊥AH⊥GH；（3）如图，过点F作FP⊥AH交AH的延长线于P，连接AG，GP⊥AB⊥AH，⊥AB⊥PF，⊥⊥ABH=⊥PFH，在⊥ABH和⊥PFH中=ABH PFHBH FHAHB PHF∠∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩⊥⊥ABH⊥⊥PFH（AAS），⊥AH=PH，AB=PF，又⊥AB =AD ，⊥AD =PF ，⊥⊥HPF =⊥FGD =90°，180,GDP PEG GDP ADG ∴∠+∠=︒=∠+∠⊥⊥ADG =⊥PFG ，⊥⊥ADG ⊥⊥PFG （SAS ），⊥AG =PG ，⊥PGF =⊥AGD ，⊥⊥PGF +⊥PGD =90°，⊥⊥AGD +⊥PGD =90°，⊥⊥AGP 为等腰直角三角形，⊥AH =GH ，AH ⊥GH ，设DH =x ，则AH =GH =1+x ，在Rt ⊥DHG 中222DH GH DG +=，⊥()2215x x ++=，解得1x =，⊥DH =1，AH =GH =2，⊥225BH AH AB FH DE FG =+====，⊥⊥FHG =⊥FGH ，⊥⊥AHB +⊥FHG =⊥FHP +⊥FHG =90°，⊥FGH +⊥DGH =90°，⊥⊥AHB =⊥DGH ，又⊥⊥EDH +⊥GDH =⊥DGH +⊥GDH =90°，⊥⊥AHB =⊥DGH =⊥EDH ，连接BD ，在⊥BDH 和⊥EHD 中， DH HD DHB HDE BH ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⊥⊥BDH ⊥⊥EHD （SAS ）⊥EH =BD =2．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．16．（1）AB AH =；（2）AB AH =成立，理由见解析；（3）5+46AH =【解析】【分析】（1）由“SAS ”可证Rt ⊥ABM ⊥Rt ⊥ADN ，从而可证⊥BAM ＝⊥MAH ＝22.5°，由AAS 可证Rt ⊥ABM ⊥Rt ⊥AHM ，即可得AB ＝AH ；（2）延长CB 至E ，使BE ＝DN ，由Rt ⊥AEB ⊥Rt ⊥AND 得AE ＝AN ，⊥EAB ＝⊥NAD ，从而可证⊥AEM ⊥⊥ANM ，根据全等三角形对应边上的高相等即可得AB ＝AH ；（3）分别沿AM ，AN 翻折⊥AMH 和⊥ANH ，得到⊥ABM 和⊥AND ，分别延长BM 和DN 交于点C ，可证四边形ABCD 是正方形，设AH ＝x ，在Rt ⊥MCN 中，由勾股定理列方程即可得答案．【详解】解：（1）⊥正方形ABCD ，⊥AB ＝AD ，⊥B ＝⊥D ＝⊥BAD ＝90°，在Rt ⊥ABM 和Rt ⊥ADN 中，AB AD B D BM DN ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ⊥Rt ⊥ABM ⊥Rt ⊥ADN （SAS ），⊥⊥BAM ＝⊥DAN ，AM ＝AN ，⊥⊥MAN ＝45°，⊥⊥BAM＋⊥DAN＝45°，⊥⊥BAM＝⊥DAN＝22.5°，⊥⊥MAN＝45°，AM＝AN，AH⊥MN，⊥⊥MAH＝⊥NAH＝22.5°，⊥⊥BAM＝⊥MAH，在Rt⊥ABM和Rt⊥AHM中，BAM MAHB AHMAM AM∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝⊥Rt⊥ABM⊥Rt⊥AHM（AAS），⊥AB＝AH，故答案为：AB＝AH；（2）AB＝AH成立，理由如下：延长CB至E，使BE＝DN，如图：⊥四边形ABCD是正方形，⊥AB＝AD，⊥D＝⊥ABE＝90°，在Rt⊥AEB和Rt⊥AND中，AB ADABE DBE DN⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝⊥Rt⊥AEB⊥Rt⊥AND（SAS），⊥AE＝AN，⊥EAB＝⊥NAD，⊥⊥DAN＋⊥BAM＝45°，⊥⊥EAB＋⊥BAM＝45°，⊥⊥EAM＝45°，⊥⊥EAM＝⊥NAM＝45°，在⊥AEM和⊥ANM中，AE ANEAM MANAM AM⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝⊥⊥AEM⊥⊥ANM（SAS），⊥AB，AH是⊥AEM和⊥ANM对应边上的高，⊥AB＝AH．（3）分别沿AM，AN翻折⊥AMH和⊥ANH，得到⊥ABM和⊥AND，分别延长BM和DN交于点C，如图：⊥沿AM，AN翻折⊥AMH和⊥ANH，得到⊥ABM和⊥AND，⊥AB＝AH＝AD，⊥BAD＝2⊥MAN＝90°，⊥B＝⊥AHM＝90°＝⊥AHN＝⊥D，⊥四边形ABCD是正方形，⊥AH＝AB＝BC＝CD＝AD．由折叠可得BM＝MH＝3，NH＝DN＝7，设AH＝AB＝BC＝CD＝x，在Rt⊥MCN中，由勾股定理，得MN2＝MC2＋NC2，⊥()()()2227+3=37x x-+-，解得546x=+或546x=-（舍去），⊥5+46AH=．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，正方形性质及应用，勾股定理等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．17．（1）（6，6），（3，0）；（2）⊥见解析；⊥252；（3）72362+【解析】【分析】（1）由算术平方根的意义可得出a=6，b=3，则可得出答案；（2）⊥取OA的中点K，连接KE，证明△AKE⊥△ECF（ASA），由全等三角形的性质可得出AE=EF；⊥延长CD，并在延长线上截取DH=OE，连接AH，证明△AOE⊥△ADH （SAS），由全等三角形的性质得出⊥OAE=⊥DAH，AE=AH，⊥AEO=⊥AHD，证明△AEG⊥△AHG（SAS），得出EN=EG，同理可得GM=GE，设DG=x，则CG=6-x，由勾股定理得出32+（6-x）2=（x+3）2，解得x=2，则可求出答案；（3）在外角平分线上取点E，使CF=AO，证明△APB⊥△CQF（SAS），得出PB=QF，当B，Q，F三点共线时，值最小，即为OF的长，过点F作FR⊥x轴于点R，由勾股定理求出OF2，则可得出答案．【详解】解：⊥实数a，b使式子12263b a a=-+-+成立，⊥122060aa-≥⎧⎨-≥⎩，⊥a=6，b=3，⊥OA=6，⊥在正方形ABCD中，⊥D（6，6），E（3，0）；故答案为：（6，6），（3，0）；（2）⊥取OA的中点K，连接KE，。

初中数学复习几何模型专题讲解专题13 正方形与45°角的基本图一、单选题1．如图，已知正方形ABCD 的边长为12，BE=EC ，将正方形边CD 沿DE 折叠到DF ，延长EF 交AB 于G ，连接DG ，现在有如下4个结论：①AG+EC=GE ；②GDE 45∠=︒；③BGE △的周长是一个定值；④连结FC ，BFC △的面积等于12BF FC ．在以上4个结论中，正确的是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【分析】 根据正方形的性质和折叠的性质可得AD=DF ，∠A=∠GFD=90°，于是根据“HL ”判定Rt ADG Rt FDG ≌，再由GE GF EF AG CE =+=+，从而判断①，由对折可得：,CDE FDE ∠=∠ 由Rt ADG Rt FDG ≌，可得：,ADG FDG ∠=∠从而可判断②， 设,,AG a CE b == 则12,12,,,BG a BE b GF a EF b =-=-==利用三角形的周长公式可判断③，如图，连接CF ， 证明BCF △是直角三角形，从而可判断④，从而可得本题的结论．【详解】解：由正方形ABCD 与折叠可知，DF=DC=DA ，∠DFE=∠C=90°，,EC EF =∴∠DFG=∠A=90°，,DG DG =∴()Rt ADG Rt FDG HL ≌，,AG GF ∴=,AG EC GF FE GE ∴+=+=故①正确；由对折可得：,CDE FDE ∠=∠Rt ADG Rt FDG ≌，,ADG FDG ∴∠=∠1452ADG CDE GDF EDF ADC ∴∠+∠=∠+∠=∠=︒， 45GDE ∴∠=︒，故②正确；设,,AG a CE b ==则12,12,,,BG a BE b GF a EF b =-=-==121224,BGE C BG BE GE a b a b ∴=++=-+-++=所以：BGE △的周长是一个定值，故③正确，如图，连接CF ，由对折可得：,EF EC =,EFC ECF ∴∠=∠,BE CE =BE EF ∴=，,EBF EFB ∴∠=∠1180902BFC EFB EFC ∴∠=∠+∠=⨯︒=︒， 1.2BFC S BF FC ∴= 故④正确．综上：①②③④都正确．故选.D【点睛】本题考查的是正方形的性质，三角形全等的判定与性质，轴对称的性质，直角三角形的判定，掌握以上知识是解题的关键．2．如图，正方形ABCO 和正方形DEFO 的顶点,,A E О在同一直线l 上，且3EF AB ==，给出下列结论：45COD ∠=︒①，5AE =②，CF BD COF ==③④△的面积3S COF =△，其中正确的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【分析】①根据正方形的性质和平角的定义可求∠COD；②根据正方形的性质可求OE，再根据线段的和差关系可求AE的长；③作DH⊥AB于H，作FG⊥CO交CO的延长线于G，根据含45°的直角三角形的性质可求FG，根据勾股定理可求CF，BD，即可求解；④根据三角形面积公式即可求解．【详解】解：①∵∠AOC=90°，∠DOE=45°，∴∠COD=180°-∠AOC-∠DOE=45°，故正确；②∵，∴OE=2．∵AO=AB=3，∴AE=AO+OE=2+3=5，故正确；③作DH⊥AB于H，作FG⊥CO交CO的延长线于G，则FG=1，BH=3-1=2，DH=3+1=4，=④△COF的面积S△COF=12×3×1=32，故错误；故选：B．【点睛】本题考查了正方形的性质，含45°的直角三角形的性质，三角形面积，勾股定理，平角的定义，综合性较强，有一定的难度，正确作出辅助线是解题的关键．3．如图，在正方形有ABCD中，E是AB上的动点，（不与A、B重合），连结DE，点A关于DE的对称点为F，连结EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EH⊥DE 交DG的延长线于点H，连接BH，那么些的值为（）A．1 B．C D．2【答案】B【分析】作辅助线，构建全等三角形，证明△DAE≌△ENH，得AE=HN，AD=EN，再说明△BNH 是等腰直角三角形，可得结论．【详解】如图，在线段AD上截取AM，使AM=AE，，∵AD=AB，∴DM=BE，∵点A关于直线DE的对称点为F，∴△ADE≌△FDE，∴DA=DF=DC，∠DFE=∠A=90°，∠1=∠2，∴∠DFG=90°，在Rt△DFG和Rt△DCG中，∵DF DC DG DG⎧⎨⎩＝＝，∴Rt△DFG≌Rt△DCG（HL），∴∠3=∠4，∵∠ADC=90°，∴∠1+∠2+∠3+∠4=90°，∴2∠2+2∠3=90°，∴∠2+∠3=45°，即∠EDG=45°，∵EH⊥DE，∴∠DEH=90°，△DEH 是等腰直角三角形，∴∠AED+∠BEH=∠AED+∠1=90°，DE=EH ，∴∠1=∠BEH ，在△DME 和△EBH 中，∵1DM BE BEH DE EH ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△DME ≌△EBH （SAS ），∴EM=BH ，Rt △AEM 中，∠A=90°，AM=AE ，∴EM =，∴BH =，即BH AE =故选：B.【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定定理和性质定理，等知识，解决本题的关键是作出辅助线，利用正方形的性质得到相等的边和相等的角，证明三角形全等．4．如图，在正方形ABCD 内作45EAF ∠=︒，AE 交BC 于点E ，AF 交CD 于点F ，连接EF ，过点A 作AH EF ⊥，垂足为点H ，将ADF 绕点A 顺时针旋转90︒得到ABG ，若4,6BE DF ==，则以下结论：①ADF AHF ≅△△，②AH EF =，③3AE AF =，④24CEF S =，正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】 利用正方形的性质与旋转的性质证明,GAE FAE ≌再证明,AFH AFD ≌判断①，利用全等三角形的性质与勾股定理先求解正方形的边长，再分别求解,EF AH ，判断②，再利用勾股定理计算,AE AF ，判断③，通过计算CEF S △，判断④．【详解】解：由旋转的性质可知：AF=AG ，∠DAF=∠BAG ．∵四边形ABCD 为正方形，∴∠BAD=90°．又∵∠EAF=45°，∴∠BAE+∠DAF=45°．∴∠BAG+∠BAE=45°．∴∠GAE=∠FAE ．在△GAE 和△FAE 中AG AF GAE FAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，,GAE FAE ∴≌,G AFE ∴∠=∠,G AFD ∠=∠,AFE AFD ∴∠=∠90,,AHF ADF AF AF ∠=∠=︒=,AFH AFD ∴≌故①正确，,AH AD ∴=,GAE FAE ≌,GE FE =4,6,,BE DF GB DF ===10,GE EF ∴==设正方形的边长为x ，则4,6,CE x CF x =-=-由勾股定理得：()()2224610,x x -+-=解得：1212,2x x ==-（舍去） 12,AH AD BC ∴===,AH EF ∴≠ 故②错误，,AFH AFD ≌6,4,FH FD EH EB ∴====,3AE AF ∴==== 故③正确， 48,66,CE x CF x =-==-=118624.22CEF S CE CF ∴=•=⨯⨯= 故④正确． 综上：①③④正确，故选C ．【点睛】本题考查的是旋转的性质，正方形的性质，三角形的全等的判定与性质，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．二、解答题5．已知：四边形ABCD 为正方形，AMN ∆是等腰Rt ∆，90AMN ∠=︒．（1）如图：当Rt AMN ∆绕点A 旋转时，若边AM 、AN 分别与BC 、CD 相交于点E 、F ，连接EF ，试证明：EF DF BE =+．（2）如图，当Rt AMN ∆绕点A 旋转时，若边AM 、AN 分别与BC 、CD 的延长线相交于点E 、F ，连接EF ．①试写出此时三线段EF 、DF 、BE 的数量关系并加以证明．②若6CE =，2DF =，求：正方形ABCD 的边长以及AEF ∆中AE 边上的高．【答案】（1）证明见解析；（2）①EF BE DF =-，证明见解析；②【分析】（1）延长CB 到G ，使BG=DF ，连接AG ，根据正方形性质得出AD=AB ，∠D=∠ABG ，根据全等三角形的判定推出即可；（2）①EF=BE-DF ，理由是：在BC 上取BG=DF ，连接AG ，证△ABG ≌△ADF ，△FAE ≌△EAG 即可；②过F 作FH ⊥AE 于H ，设正方形ABCD 的边长是x ，则BC=CD=x ，EF=GE=BC-BG+CE=x+4，在Rt △FCE 中，由勾股定理得出方程（x+4）2=（x+2）2+62，求出x 后再求出FH 即可．【详解】（1）证明：如图1，延长CB 到G ，使BG=DF ，连接AG ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠D=∠ABC=∠DAB=∠ABG=90°，AD=AB ，在△ADF 和△ABG 中，AD AB D ABG DF BG ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ADF ≌△ABG （SAS ），∴AG=AF ，∠DAF=∠BAG ，∵∠EAF=45°，∴∠EAG=∠EAB+∠BAG=∠EAB+∠DAF=45°，∴∠EAF=∠EAG ，∵AE=AE ，∴△EAF ≌△EAG ，∴EF=EG=EB+BG=EB+DF ．（2）①三线段EF 、DF 、BE 的数量关系是：EF BE DF =-，理由如下:如图2，在BC 上取一点G ，使BG DF =连接AG ，同(1)可证ABG ADF ∆∆≌，∴AG=AF ，∠DAF=∠BAG ，∵AMN ∆是等腰直角三角形，∴45MNA N ∠=∠=︒，∴45FAD DAE ∠+∠=︒，∴45DAE BAG ∠+∠=︒，∵90DAB ∠=︒，∴904545GAE FAE ∠=︒-︒=︒=∠，在FAE ∆和GAE ∆中，AF AG FAE GAF AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()FAE GAE SAS ∆∆≌，∴EF EG BE BG ==-，∵BG DF =，∴EF BE DF =-．②如图2，过F 作FH ⊥AE 于H ，设正方形ABCD 的边长是x ，则BC=CD=x ，∵CE=6，DF=BG=2，∴EF=GE=CG+CE=BC-BG+CE=x-2+6=x+4，在Rt △FCE 中，由勾股定理得：EF 2=FC 2+CE 2，∴（x+4）2=（x+2）2+62，解得：x=6，∴=∵∠FAM=45°，∴FH=2AF=2⨯，即△AEF 中AE 边上的高为【点睛】本题考查旋转综合题、正方形的性质、全等三角形的性质和判定、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．6．如图，AB AD BC DC ===，90C D ABE BAD ∠=∠=∠=∠=︒，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，45EAF ∠=︒，过点A 作GAB FAD ∠=∠，且点G 在CB 的延长线上．（1）GAB ∆与FAD ∆全等吗？为什么？（2）若2DF =，3BE =，求EF 的长．【答案】（1）△GAB ≌△F AD ，理由见解析；（2）EF =5【分析】（1）由题意可得∠ABG =∠D =90°，进一步即可根据ASA 证得△GAB ≌△F AD ； （2）由（1）的结论可得AG =AF ，GB =DF ，易得∠BAE +∠DAF =45°，进而可推出∠GAE =∠EAF ，然后利用SAS 即可证明△GAE ≌△F AE ，可得GE =EF ，进一步即可求出结果．【详解】解：（1）∵90D ABE ∠=∠=︒，点G 在CB 的延长线上，∴∠ABG =∠D =90°，在△GAB 和△F AD 中，∵GAB FAD ∠=∠，AB =AD ，∠ABG =∠D ，∴△GAB ≌△F AD （ASA ）；（2）∵△GAB ≌△F AD ，∴AG =AF ，GB =DF ，∵90BAD ∠=︒，45EAF ∠=︒，∴∠BAE +∠DAF =45°，∴∠BAE +∠GAB =45°，即∠GAE =45°，∴∠GAE =∠EAF ，在△GAE 和△F AE 中，∵AG =AF ，∠GAE =∠EAF ，AE =AE ，∴△GAE ≌△F AE （SAS ），∴GE =EF ，∵GE =GB +BE =DF +BE =2+3=5，∴EF =5．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，属于常考题型，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．7．如图，在矩形ABCD 中，BAD ∠的平分线交BC 于点E ，EF AD ⊥于点F ，DG AE ⊥于点G ，DG 与EF 交于点O ．（1）求证：四边形ABEF是正方形；=；（2）若AD AE=，求证：AB AG（3）在（2）的条件下，已知1AB=，求OD的长．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）2-【分析】（1）首先证明ABEF是矩形，然后找到一组邻边相等即可证明四边形ABEF是正方形；=，由（1）知，四边形ABEF是正方形，（2）主要证明AGD AFE≅，从而得出AG AF=；=，等量代换即可证明AB AGAB AF（3）已知1≅，求出AD的长度，DF=AD-AF，AB=，可知AE=又因为AGD AFE△为等腰直角三角形，OD DF即可求解．根据等式关系求出DF的长，最后证明ODF【详解】（1）在矩形ABCD中，90∠=∠=，BAF B⊥，EF AD∴90∠=，AFE∴90∠=∠=∠=，BAF B AFE∴四边形ABEF是矩形，又AE平分BAF∠，∴45∠=，BAE∴45AEB ∠=，∴AEB △为等腰直角三角形，∴BE =AB ，∴四边形ABEF 是正方形（邻边相等的矩形为正方形）；（2）DG AE ⊥，∴90AGD AFE ∠=∠=， 又DAG EAF ∠=∠，AD =AE ，∴AGD AFE ≅（AAS ），∴AG AF =，由（1）知，四边形ABEF 是正方形，∴AB AF =，∴AB AG =；（3）在正方形ABEF 中，45AEF ∠=，1AB AF ==，AE =由（2）知：AGD AFE ≅，∴AD =AE 45ADG AEF ∠=∠=，∴DF =AD -AF -1， 又EF AD ⊥，45ADG ∠=，∴ODF △为等腰直角三角形，∴OD DF【点睛】本题主要考查了矩形与正方形的判定与性质、证明三角形全等等知识点，熟练掌握特殊四边形的判定与性质是解题的关键．8．正方形ABCD的边长为6，E，F分别是AB，BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE 绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．（1）求证：EF＝CF+AE；（2）当AE＝2时，求EF的长．【答案】（1）见解析；（2）5，详见解析．【分析】（1）由旋转可得DE＝DM，∠EDM为直角，可得出∠EDF+∠MDF＝90°，由∠EDF＝45°，得到∠MDF为45°，可得出∠EDF＝∠MDF，再由DF＝DF，利用SAS可得出三角形DEF与三角形MDF全等，由全等三角形的对应边相等可得出EF＝CF+AE；（2）由（1）的全等得到AE＝CM＝2，正方形的边长为6，用AB﹣AE求出EB的长，再由BC+CM求出BM的长，设EF＝MF＝x，可得出BF＝BM﹣FM＝BM﹣EF＝8﹣x，在直角三角形BEF中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为EF的长．【详解】（1）证明：∵△DAE 逆时针旋转90°得到△DCM ，∴∠FCM ＝∠FCD+∠DCM ＝180°，AE ＝CM ，∴F 、C 、M 三点共线，∴DE ＝DM ，∠EDM ＝90°，∴∠EDF+∠FDM ＝90°，∵∠EDF ＝45°，∴∠FDM ＝∠EDF ＝45°，在△DEF 和△DMF 中，∵DE DM EDF MDF DF DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DEF ≌△DMF （SAS ），∴EF ＝MF ，∴EF ＝CF+AE ；（2）解：设EF ＝MF ＝x ，∵AE ＝CM ＝2，且BC ＝6，∴BM ＝BC+CM ＝6+2＝8，∴BF ＝BM ﹣MF ＝BM ﹣EF ＝8﹣x ，∵EB ＝AB ﹣AE ＝6﹣2＝4，在Rt △EBF 中，由勾股定理得222EB BF EF +=，即()22248x x +-=，解得：x ＝5，则EF ＝5．【点睛】本题主要考查正方形的性质、旋转的性质、三角形全等及勾股定理，关键是根据半角旋转得到三角形的全等，然后利用勾股定理求得线段的长．9．已知A（m，n），且满足|m﹣2|+（n﹣2）2=0，过A作AB⊥y轴，垂足为B．（1）求A点坐标．（2）如图1，分别以AB，AO为边作等边△ABC和△AOD，试判定线段AC和DC的数量关系和位置关系，并说明理由．（3）如图2，过A作AE⊥x轴，垂足为E，点F、G分别为线段OE、AE上的两个动点（不与端点重合），满足∠FBG=45°，设OF=a，AG=b，FG=c，试探究2ca b﹣a﹣b的值是否为定值？如果是求此定值；如果不是，请说明理由．【答案】（1）A（2，2）；（2）AC=CD，AC⊥CD.证明见解析；（3）0.【分析】（1）根据非负数的性质可得m、n的值；（2）连接OC，由AB=BO知∠BAO=∠BOA=45°，由△ABC，△OAD为等边三角形知∠BAC=∠OAD=∠AOD=60°、OA=OD，继而由∠BAC-∠OAC=∠OAD-∠OAC得∠DAC=∠BAO=45°，根据OB=CB=2、∠OBC=30°知∠BOC=75°，∠AOC=∠BAO-∠BOA=30°，∠DOC=∠AOC=30°，证△OAC≌△ODC 得AC=CD，再根据∠CAD=∠CDA=45°知∠ACD=90°，从而得AC⊥CD；（3）在x轴负半轴取点M，使得OM=AG=b，连接BG，先证△BAG≌△BOM得∠OBM=∠ABG、BM=BG，结合∠FBG=45°知∠ABG+∠OBF=45°，从而得∠OBM+∠OBF=45°，∠MBF=∠GBF，再证△MBF≌△GBF得MF=FG，即a+b=c，代入原式可得答案．【详解】（1）由题得m=2，n=2，∴A（2，2）；（2）如图1，连结OC，由（1）得AB=BO=2，∴△ABO为等腰直角三角形，∴∠BAO=∠BOA=45°，∵△ABC，△OAD为等边三角形，∴∠BAC=∠OAD=∠AOD=60°，OA=OD∴∠BAC-∠OAC=∠OAD-∠OAC即∠DAC=∠BAO=45°在△OBC中，OB=CB=2，∠OBC=30°，∴∠BOC=75°，∴∠AOC=∠BAO-∠BOA=30°，∴∠DOC=∠AOC=30°，在△OAC和△ODC中，∵OA ODAOC DOC OC OC⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△OAC≌△ODC，∴AC=CD，∴∠CAD=∠CDA=45°，∴∠ACD=90°，∴AC⊥CD；（3）如图，在x轴负半轴取点M，使得OM=AG=b，连接BG，在△BAG和△BOM中，∵BA BOA BOM AG OM⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△BAG≌△BOM∴∠OBM=∠ABG，BM=BG 又∠FBG=45°∴∠ABG+∠OBF=45°∴∠OBM+∠OBF=45°∴∠MBF=∠GBF在△MBF和△GBF中，∵BM BGMBF ABF BF BF⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△MBF≌△GBF∴MF=FG∴a+b=c代入原式=0．10．已知，如图1，正方形ABCD的边长为6，点E、F分别在边AB、AD的延长线上，且BE=DF，连接EF．（1）求∠E的度数；（2）将△AEF绕点A顺时针方向旋转，当旋转角α满足0°＜α＜45°时，设EF与射线AB交于点G，与AC交于点H，如图所示，试判断线段FH、HG、GE的数量关系，并说明理由．（3）若将△AEF绕点A旋转一周，连接DF、BE，并延长EB交直线DF于点P，连接PC，则点P的运动路径长为；线段PC的取值范围为．【答案】（1）∠E=45°；（2）FH2+GE2=HG2，理由见解析；（3）π，0≤PC．【分析】（1）先证明AE=AF，由等腰直角三角形的性质可求解；（2）如图2，作辅助线，构建全等三角形，先证明△AGH≌△AGK，得GH=GK，由△AFH≌△AEK，得∠AEK=∠AFH=45°，FH=EK，利用勾股定理得：KG2=EG2+EK2，根据相等关系线段等量代换可得结论：FH2+GE2=HG2；（3）如图3，先证明∠FPE=∠FAE=90°，根据90°的圆周角所对的弦是直径可得：点P 的运动路径是：以BD为直径的圆，如图4，可得PC的取值范围．【详解】（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠DAB=90°，∵BE=DF，∴AD+DF=AB+BE，即AF=AE，又∵∠F AE=90°，∴∠E=∠F=45°；（2）FH2+GE2=HG2，理由是：如图2，过A作AK⊥AC，截取AK=AH，连接GK、EK，∵∠CAB =45°，∴∠CAB =∠KAB =45°，在△AGH 和△AGK 中，AG AGHAG KAG AH AK=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AGH ≌△AGK （SAS ），∴GH =GK ，由旋转得：∠F AE =90°，AF =AE ，∵∠HAK =90°，∴∠F AH =∠KAE ，在△AFH 和△AEK 中，AF AEFAH KAE AH AK=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AFH ≌△AEK （SAS ），∴∠AEK =∠AFH =45°，FH =EK ，∵∠AEH =45°，∴∠KEG =45°+45°=90°，Rt △GKE 中，KG 2=EG 2+EK 2，即：FH 2+GE 2=HG 2；（3）解：如图3，∵∠BAD =90°，∠F AE =90°，AF =AE ，∴∠DAF =∠BAE ，在△DAF 和△BAE 中，AD AB DAF BAE AF AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DAF ≌△BAE （SAS ），∴∠DF A =∠BEA ，∵∠PNF =∠ANE ，∴∠FPE =∠F AE =90°，∴将△AEF 绕点A 旋转一周，总存在直线EB 与直线DF 垂直，∴点P 的运动路径是：以BD 为直径的圆，∵BD ==，∴点P 的运动路径长=d π=π；如图4，当P与C重合时，PC最小，PC=0，当P与A重合时，PC最大为∴线段PC的取值范围是：0≤PC≤故答案为：，0≤PC≤【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转变换的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理的应用，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，点的运动路径的概念，通过作辅助线构建全等三角形得出边相等和角相等，因此本题辅助线的作法是关键；故在几何证明中，恰当的作辅助线可以把四边形的问题转化为三角形的问题，使问题得以解决．11．（1）如图1所示，已知正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，=；且DF BE=．求证：CF CE（2）如图2所示，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果45∠=，GCE=+．请利用（1）中的结论证明：GE BE GD【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）根据正方形的性质，可直接证明△CBE≌△CDF，从而得出CE=CF；（2）延长AD至F，使DF=BE，连接CF，根据（1）知∠BCE=∠DCF，即可证明∠ECF=∠BCD=90°，根据∠GCE=45°，得∠GCF=∠GCE=45°，利用全等三角形的判定方法得出△ECG≌△FCG，即GE=GF，即可得出答案GE=DF+GD=BE+GD．【详解】解：（1）证明：如图1，在正方形ABCD中，∵BC=CD，∠B=∠CDF，BE=DF，∴△CBE≌△CDF，∴CE=CF；（2）证明：如图2，延长AD至F，使DF=BE，连接CF，由（1）知△CBE≌△CDF，∴∠BCE=∠DCF．∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD即∠ECF=∠BCD=90°，又∵∠GCE=45°，∴∠GCF=∠GCE=45°，∵CE=CF，∠GCE=∠GCF，GC=GC，∴△ECG≌△FCG，∴GE=GF，∴GE=DF+GD=BE+GD．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质以及正方形的性质，利用全等三角形的判定方法正确证明三角形全等是关键．12．（1）如图，在正方形ABCD 中，∠FAG=45°，请直接写出DG，BF 与FG 的数量关系，不需要证明．（2）如图，在Rt△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC，E，F 分别是BC 上两点，∠EAF=45°，①写出BE，CF，EF 之间的数量关系，并证明．②若将（2）中的△AEF 绕点A 旋转至如图所示的位置，上述结论是否仍然成立？若不成立，直接写出新的结论，无需证明．S= ．（3）如图，△AEF 中∠EAF=45°，AG⊥EF 于G，且GF=2，GE=3，则AEF【答案】（1）FG=BF+DG；（2）①EF2=BE2+FC2，理由见解析；②仍然成立；（3）15 【分析】（1）把△AGD绕点A逆时针旋转90°至△ABP，可使AD与AB重合，再证明△AFG≌△AFP进而得到PF=FG，即可得FG=BF+DG；（2）①根据△AFC绕点A顺时针旋转90°得到△AGB，根据旋转的性质，可知△ACF≌△ABG得到BG=FC，AG=AF，∠C=∠ABG，∠FAC=∠GAB，根据Rt△ABC 中的AB=AC得到∠GBE=90°，所以GB2+BE2=GE2，证△AGE≌△AFE，利用EF=EG 得到EF2=BE2+FC2；②将△ABE绕点A逆时针旋转使得AB与AD重合，点E的对应点是G，同上的方法证得GC2+CF2=FG2，再设法利用SAS证得△AFG≌△AFE即可求解；（3）将△AEG沿AE对折成△AEB，将△AFG沿AF对折成△AFD，延长BE、DF相交于C，构成正方形ABCD，在Rt△EFC中，利用勾股定理求得正方形的边长，即可求得AG的长，从而求得答案．【详解】（1）∵四边形ABCD 为正方形，∴AB=AD ，∠ADC=∠ABC=90°，∴把△AGD 绕点A 逆时针旋转90°至△ABP ，使AD 与AB 重合，∴∠BAP=∠DAG ，AP= AG ，∵∠BAD=90°，∠FAG=45°，∴∠BAF+∠DAG=45°，∴∠PAF=∠FAG=45°，∵∠ADC=∠ABC=90°，∴∠FBP=180°，点F 、B 、P 共线，在△AFG 和△AFP 中，AG APFAG FAP AF AF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AFG ≌△AFP （SAS ），∴PF=FG ，即：FG=BF+DG ；（2）①FC 2+BE 2=EF 2，证明如下：∵AB=AC ，∠BAC=90°，∴∠C=∠ABC=45°，将△AFC 绕点A 顺时针旋转90°得到△AGB ，∴△ACF ≌△ABG ，∴BG=FC ，AG=AF ，∠C=∠ABG=45°，∠FAC=∠GAB，∴∠GBE=∠ABG +∠ABC =90°，∴GB 2+BE 2=GE 2，又∵∠EAF=45°，∴∠BAE+∠FAC=45°，∴∠GAB+∠BAE=45°，即∠GAE=45°，在△AGE 和△AFE 中， GA FA EAG EAF AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AGE ≌△AFE （SAS ），∴GE=EF ，∴FC 2+BE 2=EF 2；②仍然成立，理由如下：如图，将△ABE 绕点A 逆时针旋转使得AB 与AD 重合，点E 的对应点为点G ，∴△ACG ≌△ABE ，∴CG=BE ，AG=AE ，∠ACG=∠ABE=45°，∠BAE=∠CAG ，∴∠GCB=∠ACB +∠ACG =90°，即∠GCF=90°，∴GC 2+CF 2=FG 2，∵∠BAE+∠EAC=∠BAC=90°，∴∠CAG+∠EAC=90°，又∵∠EAF=45°，∴∠GAF=90°-∠EAF=45°，∴∠GAF=∠EAF=45°，在△AFG 和△AFE 中，GA EA GAF EAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AFG ≌△AFE （SAS ），∴GF=EF ，∴FC 2+BE 2=EF 2；（3）将△AEG 沿AE 对折成△AEB ，将△AFG 沿AF 对折成△AFD ，延长BE 、DF 相交于C ，∴△AEG ≅△AEB ，△AFG ≅△AFD ，∴AB=AG=AD ，BE=EG=3，DF=FG=2，∠EAG=∠EAB ，∠FAG=∠FAD ，∠B=∠D=90°， ∵∠EAF=45°，∴∠EAB+∠FAD=∠EAG+∠FAG=∠EAF=45°，∴∠BAD=90°，∴四边形ABCD 为正方形，设AG =x ，则AB=BC=CD=x ，在Rt △EFC 中，EF=3+2=5，EC=BC-BE=3x -，FC=CD-DF= 2x -， ∴222FC EC EF +=，故()()222 2?35x x -+-=， 解得：11x =-（舍去），26x =，∴AG=6， ∴AEF 11561522S EF AG ==⨯⨯=． 故答案为：15．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，折叠的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的面积等知识，同时考查了学生的阅读理解能力与知识的迁移能力，综合性较强，难度适中．13．正方形ABCD 中，E 为BC 上的一点，F 为CD 上的一点，BE DF EF +=，求EAF ∠的度数．【答案】45°【分析】延长EB 使得BG=DF ，易证△ABG ≌△ADF （SAS ）可得AF=AG ，进而求证△AEG ≌△AEF 可得∠EAG=∠EAF ，再求出∠EAG+∠EAF=90°即可解题．【详解】解：如图，延长EB 到点G ，使得BG DF =，连接AG ．在正方形ABCD 中，90D ABC ∠=∠=︒，AB AD =， 90ABG ADF ∴∠=∠=︒．在ABG 和ADF 中，AB AD ABG ADF BG DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABG ADF SAS ∴≌，DAF BAG ∴∠=∠，AF AG =．又EF DF BE BG BE EG =+=+=，∴在AEG △和AEF 中，AE AE GE FE AG AF =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()AEG AEF SSS ∴≌，EAG EAF ∴∠=∠．90DAF EAF BAE ∠+∠+∠=︒，90BAG EAF BAE ∴∠+∠+∠=︒，90EAG EAF ∴∠+∠=︒，45EAF ∴∠=︒．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，作出辅助线构造出全等三角形是解决此题的关键．14．如图，正方形ABCD 中，E 、F 分别在边BC 、CD 上，且∠EAF ＝45°，连接EF ，这种模型属于“半角模型”中的一类，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的分析思路．例如图中△ADF 与△ABG 可以看作绕点A 旋转90°的关系．这可以证明结论“EF ＝BE ＋DF ”，请补充辅助线的作法，并写出证明过程．（1）延长CB 到点G ，使BG ＝ ，连接AG ；（2）证明：EF ＝BE ＋DF【答案】（1）DF ；（2）见解析【分析】（1）由于△ADF 与△ABG 可以看作绕点A 旋转90°的关系，根据旋转的性质知BG=DF ，从而得到辅助线的做法；（2）先证明△ADF ≌△ABG ，得到AG=AF ，∠GAB=∠DAF ，结合∠EAF ＝45°，易知∠GAE=45°，再证明△AGE ≌△AFE 即可得到EF ＝GE=BE+GB=BE ＋DF【详解】解：（1）根据旋转的性质知BG=DF ，从而得到辅助线的做法：延长CB 到点G ，使BG=DF ，连接AG ；（2）∵四边形ABCD 为正方形，∴AB=AD ，∠ADF=∠ABE=∠ABG=90°，在△ADF 和△ABG 中AD AB ADF ABG DF BG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADF ≌△ABG （SAS ），∴AF=AG ，∠DAF=∠GAB ，∵∠EAF=45°，∴∠DAF+∠EAB=45°，∴∠GAB+∠EAB=45°，∴∠GAE=∠EAF =45°，在△AGE 和△AFE 中0AG AF GAE FAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADF ≌△ABG （SAS ），∴GE=EF ，∴EF ＝GE=BE+GB=BE ＋DF【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查正方形的性质及全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用旋转方法提示构造全等三角形，属于中考常考题型．15．已知在正方形ABCD 和正方形CEFG 中，直线BG ，DE 交于点H ．（1）如图1，当B ，C ，E 共线时，求证：BH ⊥DE ．（2）如图2，把正方形CEFG 绕C 点顺时针旋转α度（0＜α＜90），M ，N 分别为BG ，DE 的中点，探究HM ，HN ，CM 之间的数量关系，并证明你的结论．（3）如图3，∠PDG ＝45°，DH ⊥PG 于H ，PH ＝2，HG ＝4．直接写出DH 的长．【答案】（1）见解析；（2）MH2+HN2＝2CM2，理由见解析；（3）【分析】（1）根据正方形的性质得到BC＝CD，CG＝CE，∠BCG＝∠DCE＝90°，根据全等三角形的性质得到∠CBG＝∠CDE，根据余角的性质即可得到结论；（2）根据正方形的性质得到BC＝CD，CG＝CE，∠BCD＝∠GCE＝90°，由全等三角形的性质得到∠CBG＝∠CDE，BG＝DE，求得∠MHN＝90°，得到BM＝DN，根据全等三角形的性质得到CM＝CN，∠BCM＝∠DCN，根据勾股定理即可得到结论；（3）根据折叠的性质得到AD＝DH＝CD，∠A＝∠C＝∠DHP＝90°，∠ADP＝∠HDP，∠GDH＝∠GDC，AP＝PH＝2，CG＝HG＝4，根据正方形的性质得到∠B＝90°，设DH ＝AD＝AB＝BC＝x，根据勾股定理列方程即可得到结论．【详解】解：（1）证明：∵在正方形ABCD和正方形CEFG中，BC＝CD，CG＝CE，∠BCG＝∠DCE＝90°，∴△BCG≌△DCE（SAS），∴∠CBG＝∠CDE，∵∠CDE+∠DEC＝90°，∴∠HBE+∠BEH＝90°，∴∠BHE＝90°，∴BH⊥DE；（2）解：MH2+HN2＝2CM2，理由：∵在正方形ABCD和正方形CEFG中，BC＝CD，CG＝CE，∠BCD＝∠GCE＝90°，∴∠BCG＝∠DCE，∴△BCG≌△DCE（SAS），∴∠CBG＝∠CDE，BG＝DE，∵∠DPH＝∠CPM，∴∠DHP＝∠BCP＝90°，∴∠MHN＝90°，∵M，N分别为BG，DE的中点，∴BM＝12BG，DN＝12DE，∴BM＝DN，∵BC＝CD，∴△BCM≌△DCN（SAS），∴CM＝CN，∠BCM＝∠DCN，∴∠MCN＝∠BCP＝90°，∴MH2+HN2＝CM2+CN2＝2CM2；（3）解：∵DH⊥PG，∴∠DHP＝∠DHG＝90°，把△PDH沿着PD翻折得到△APD，把△GDH沿着DG翻折得到△DGC，∴AD＝DH＝CD，∠A＝∠C＝∠DHP＝90°，∠ADP＝∠HDP，∠GDH＝∠GDC，AP ＝PH＝2，CG＝HG＝4，∵∠PDG＝45°，∴∠ADC＝90°，延长AP，CG交于B，则四边形ABCD是正方形，∴∠B＝90°，设DH＝AD＝AB＝BC＝x，∴PB＝x﹣2，BG＝x﹣4，∵PG2＝PB2+BG2，∴62＝（x﹣2）2+（x﹣4）2，解得：x＝3，∴DH＝3．【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，综合性较强，熟知正方形性质，根据题意构造正方形是解题关键．对于此类分步骤的综合题，每一步解题都为后续解题提供了解题条件或解题思路，要深刻领会并善于运用这一点进行解题．16．已知：如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边BC 和CD 上．（1）若BE ＝DF ，①求证：∠BAE ＝∠DAF ；②联结AC 交EF 于点O ，过点F 作FM ∥AE ，交AC 的延长线于M ，联结EM ，求证：四边形AEMF 是菱形．（2）联结BD ，交AE 、AF 于点P 、Q ．若∠EAF ＝45°，AB ＝1，设BP x =，DQ y =，求y 关于x 的函数关系及定义城．【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）y =02x ≤≤) 【分析】 （1）①证明△ABE ≌△ADF （SAS ），即可推出∠BAE=∠DAF ．②证明△FOM ≌△EOA （ASA ），推出AE=FM ，由FM ∥AE ，可得四边形AEMF 是平行四边形，再根据AE=AF 可得结论．（2）如图2中，将△ADQ 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABT ，连接PT ．证明△APQ ≌△APT（SAS ），推出PQ=PT ，由题意，推出x y -，在Rt △TBP 中，根据222PT BT PB =+，构建关系式即可解决问题．【详解】（1）①证明：如图1中，∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠D=90°，AB=AD，∵BE=DF，∴△ABE≌△ADF（SAS），∴∠BAE=∠DAF；②证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC=∠DAC=45°，∵∠BAE=∠DAF，∴∠EAO=∠FAO，∵△BAE≌△DAF，∴AE=AF，∴AC⊥EF，OE=OF，∵FM∥AE，∴∠OFM=∠OEA，∵∠FOM=∠EOA，∴△FOM≌△EOA（ASA），∴AE=FM，∵FM∥AE，∴四边形AEMF是平行四边形，∵AE=AF，∴四边形AEMF是菱形；（2）解：如图2中，将△ADQ绕点A顺时针旋转90°得到△ABT，连接PT．∵△ADQ≌△ABT，∴AQ=AT，∠ADQ=∠ABT=45°，∠DAQ=∠BAT，∵∠ABD=45°，∴∠TBP=90°，∵∠EAF=45°，∠BAD=90°，∴∠DAQ+∠BAP=∠BAT+∠BAP=45°，∴∠PAT=∠PAQ=45°，∵PA=PA，AT=AQ，∴△APQ≌△APT（SAS），∴PQ=PT，∵AB=AD=1，∠BAD=90°，∴BD=2222+=+=，112AB AD∴x y -，在Rt △TBP 中，∵222PT BT PB =+，∴)222x y y x -=+，∴y = ∵点E 、F 分别在边BC 和CD 上，∴122x BP BD ≤==，∴y =0x ≤≤)． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，旋转的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．17．如图，过线段AB 的端点B 作射线BG ⊥AB ，P 为射线BG 上一点，以AP 为边作正方形APCD ，且点C 、D 与点B 在AP 两侧，在线段DP 上取一点E ，使∠EAP ＝∠BAP ，直线CE 与线段AB 相交于点F （点F 与点A 、B 不重合）．（1）求证：AEP △≌CEP △；（2）判断CF 与AB 的位置关系，并说明理由；（3）试探究AE+EF+AF 与2AB 是否相等，并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）CF⊥AB，见解析；（3）AE+EF+AF＝2AB，见解析【分析】（1）四边形APCD正方形，则DP平分∠APC，PC＝PA，∠APD＝∠CPD＝45°，即可求解；（2）△AEP≌△CEP，则∠EAP＝∠ECP，而∠EAP＝∠BAP，则∠BAP＝∠FCP，令CF与线段AP交于点M，则∠FCP+∠CMP＝90°，则∠AMF+∠PAB＝90°即可求解；（3）证明△PCN≌△APB（AAS），则CN＝PB＝BF，PN＝AB，即可求解．【详解】解：（1）证明：∵四边形APCD正方形，∴DP平分∠APC，PC＝PA，∴∠APD＝∠CPD＝45°，∵PE＝PE，∴△AEP≌△CEP（SAS）；（2）CF⊥AB，理由如下：∵△AEP≌△CEP，∴∠EAP＝∠ECP，∵∠EAP＝∠BAP，∴∠BAP＝∠FCP，令CF与线段AP交于点M，∵∠FCP+∠CMP＝90°，∠AMF＝∠CMP，∴∠AMF+∠PAB＝90°，∴∠AFM＝90°，∴CF⊥AB；（3）过点C作CN⊥PB．∵CF⊥AB，BG⊥AB，∴FC∥BN，∴∠CPN＝∠PCF＝∠EAP＝∠PAB，又AP＝CP，∴△PCN≌△APB（AAS），∴CN＝PB＝BF，PN＝AB，∵△AEP≌△CEP，∴AE＝CE，∴AE+EF+AF＝CE+EF+AF＝BN+AF＝PN+PB+AF＝AB+CN+AF＝AB+BF+AF＝2AB ，即AE+EF+AF ＝2AB ．【点睛】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定及其性质、平行线的性质、等量代换等知识点，解题的关键是熟练运用全等三角形的判定方法及其性质．三、填空题18．如图，在正方形ABCD 中，点M 、N 为边BC 和CD 上的动点（不含端点），MAN 45∠=︒，下列三个结论：①当MN 时，则22.5BAM ∠=︒；②290AMN MNC ∠-∠=︒；③△MNC 的周长不变；④∠AMN －∠AMB ＝60°．其中正确结论的序号是________．【答案】①②③【分析】①先用勾股定理求得MC ＝NC ，则易得△ABM ≌△ADN （SAS ），再结合∠MAN ＝45°，可得答案；②将△ABM 绕点A 顺时针旋转90°得△ADE ，证明△EAN ≌△MAN （SAS ），再利用四边形内角和及邻补角关系，可证得结论；③由△EAN≌△MAN，可得MN＝BM＋DN，从而将△MNC的三边相加即可得答案；④将△ADN绕点A顺时针旋转90°得△ABF，证明△MAF≌△MAN（SAS），再全等三角形的性质，可证得结论．【详解】①∵正方形ABCD中，∠C＝90°∴MN2＝MC2＋NC2当MN时，MN2＝2MC2∴MC2＝NC2∴MC＝NC∴BM＝DN易证△ABM≌△ADN（SAS）∴∠BAM＝∠DAN∵∠MAN＝45°∴∠BAM＝22.5°，故①正确；②如图，将△ABM绕点A顺时针旋转90°得△ADE，则∠EAN＝∠EAM−∠MAN＝90°−45°＝45°则在△EAN和△MAN中，AE＝AM，∠EAN＝∠MAN，AN＝AN，∴△EAN≌△MAN（SAS）∴∠AMN＝∠AED∴∠AED＋∠EAM＋∠ENM＋∠AMN＝360°∴2∠AMN＋90°＋（180°−∠MNC）＝360°∴2∠AMN−∠MNC＝90°故②正确；③∵△EAN≌△MAN∴MN＝EN＝DE＋DN＝BM＋DN∴△MNC的周长为：MC＋NC＋MN＝（MC＋BM）＋（NC＋DN）＝DC＋BC ∵DC和BC均为正方形ABCD的边长，故△MNC的周长不变；④将△ADN绕点A顺时针旋转90°得△ABF，则∠FAM＝∠FAN−∠MAN＝90°−45°＝45°则在△FAM和△MAN中，AF＝AN，∠FAM＝∠MAN，AM＝AM，∴△MAF≌△MAN（SAS），∴∠AMB＝∠AMN，故④错误；。

考点1、旋转、中心对称与平行四边形知识框架⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩多边形的相关概念平行四边形的性质平行四边形的判定定理中心对称图形三角形的中位线定理反证法中心对称图形的识别与平行四边形性质有关的计算平行四边形的判定平行四边形相关的证明三角形的中位线的应用平行四边形的存在性（探索性）问题平行四边形中的基础知识点重难点动题型态问题基础知识点知识点1.1多边形的相关概念1）多边形定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形．2）相关概念：边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n 边形有n 个内角.n 边形的内角和为(n -2)ꞏ180°(n ≥3)．外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫多边形的外角.多边形的外角和：多边形的外角和为360°．对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．过n 边形的一个顶点可以引(n -3)条对角线，n 边形对角线的条数为(3)2n n -．1．（2021ꞏ邢台市第六中学九年级零模）嘉淇用一些完全相同的ABC 纸片，已知六个ABC 纸片按照图1所示的方法拼接可得外轮廓是正六边形图案，若用n 个ABC 纸片按图2所示的方法拼接，那么可以得到外轮廓的图案是（）A ．正十二边形B ．正十边形C ．正九边形D．正八边形2．（2021ꞏ江苏苏州市ꞏ九年级零模）一个n边形的每个外角都是45°，则这个n边形的内角和是（）A．1080°B．540°C．2700°D．2160°3．（2021ꞏ广西河池市ꞏ八年级期末）已知一个n边形的每一个外角都相等，一个内角与其相邻的一个外角的度数之比是7:2，则n的值是（）A．8B．9C．10D．124．（2021ꞏ兰州市第三十六中学七年级期末）过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成5个三角形，则这个多边形是________边形．5．（2021ꞏ陕西西安市ꞏ西北工业大学附属中学九年级一模）从正多边形一个顶点最多可以作7条对角线，这个正多边形每个内角的大小是_____．6．（2021ꞏ河北沧州市ꞏ八年级期末）一个凸多边形的每一个内角都等于140°，则这个多边形的对角线的条数是（）A．9条B．54条C．27条D．6条知识点1.2平行四边形的性质1）平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形。

学科：数学教学内容：正方形【学习目标】1．掌握正方形的定义、性质和判定方法．2．能正确区别平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系．3．能运用正方形的性质和判定方法进行有关的计算和证明．【主体知识归纳】1．正方形：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．2．正方形的性质：正方形除具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质外，还具有：（1）正方形的四个角都是直角，四条边都相等；（2）正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．3．正方形的判定（1）根据正方形的定义；（2）有一组邻边相等的矩形是正方形；（3）有一个角是直角的菱形是正方形；（4）既是矩形又是菱形的四边形是正方形．【基础知识精讲】1．掌握正方形定义是学好本节的关键，正方形是在平行四边形的前提下定义的，它包含两层意思：正方形矩形平行四边形并且有一个角是直角的菱形四边形有一组邻边相等的平行⎭⎬⎫)()2()()1( 正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是特殊的矩形，又是特殊的菱形．2．正方形的性质可归纳如下：边：对边平行，四边相等；角：四个角都是直角；对角线：对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．此外：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°；正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴，学习时，应熟悉这些最基本的内容．【例题精讲】［例1］如图4－50，已知矩形ABCD 中，F 为CD 的中点，在BC 上有一点E ，使AE ＝DC ＋CE ，AF 平分∠EAD ．求证：矩形ABCD 是正方形．图4—50剖析：欲证矩形ABCD是正方形，只要证明有一组邻边相等即可，由已知AE＝DC＋CE，容易想到若能证明AE＝AD＋CE便可证得AD＝DC，由于AF平分∠EAD，因此可在AE上截取AG＝AD，再证GE＝CE，就可得出要证的结论．证明：在AE上截取AG＝AD，连结FG、FE．∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠C＝90°．∵AD＝AG，∠DAF＝∠GAF，AF＝AF∴△ADF≌△AGF，∴DF＝GF，∠D＝∠AGF＝90°．∵DF＝CF，∴GF＝CF．∵∠FGE＝∠C＝90°，FE＝FE，∴Rt△GFE≌Rt△CFE．∴GE＝CE，∴AD＋CE＝AE．又DC＋CE＝AE，∴AD＝DC．∴矩形ABCD是正方形．说明：要判定一个四边形是正方形，可先判定这个四边形是矩形，再证明有一组邻边相等；或先判定它是菱形，再证明有一个角是直角．［例2］如图4－51，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，过点A作AG⊥EB，垂足为G，AG交BD于点F，则OE＝OF．图4—51对上述命题的证明如下：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BOE＝∠AOF＝90°，BO＝AO．∴∠3＋∠2＝90°，∵AG⊥BE，∴∠1＋∠3＝90°．∴∠1＝∠2，∴△BOE≌△AOF，∴OE＝OF问题：对于上述命题，若点E在AC延长线上，AG⊥EB，交EB的延长线于G，AG的延长线交DB的延长线于点F，其他条件不变（如图4－52），结论“OE＝OF”还成立吗?如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．图4—52剖析：可仿上述的证明，证△BOE≌△AOF．解：结论OE＝OF仍然成立，证明如下：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BOE＝∠AOF＝90°，BO＝AO，∴∠OFA＋∠FAE＝90°又∵AG⊥EB，∴∠OEB＋∠EAF＝90°，∴∠OEB＝∠OFA，∴△BOE≌△AOF，∴OE＝OF．［例3］有一正方形池塘，池塘四个角上有四棵树，现计划把此池塘改为面积扩大一倍的正方形，能否不毁掉树木而达到要求？请你设计出方案来．图4—53剖析：新改造的池塘的面积是原面积的2倍，因此，新边长应为原边长的2倍，而正方形的对角线是边长的2倍，故以原对角线的长为边长构造新的正方形．答案：如图4－53，分别过B、D作AC的平行线，分别过A、C作BD的平行线，四条线分别交于A′、B′、C′、D′，则四边形A′B′C′D′为要求的正方形．【同步达纲练习】1．选择题（1）下列命题中，假命题的个数是（）①四边都相等的四边形是正方形②对角线互相垂直的平行四边形是正方形③四角都相等的四边形是正方形④对角线相等的菱形是正方形A．1 B．2 C．3 D．4（2）正方形具有而菱形不具有的性质是（）A．对角线互相垂直平分B．对角线相等C．邻边相等D．每条对角线平分一组对角（3）正方形的对角线与边长之比为（）A．1∶1 B．2∶1 C．1∶2 D．2∶1（4）以等边△ABC的边BC为边向外作正方形BCDE，则①∠ABD＝105°，②∠ACD＝150°，③∠DAE＝30°，④△ABE≌△ACD，其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个（5）在正方形ABCD中，P、Q、R、S分别在边AB、BC、CD、DA上，且AP＝BQ＝CR＝DS ＝1，AB＝5，那么四边形PQRS的面积等于（）A．17 B．16 C．15 D．9（6）如图4－54，正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，过O点作OE⊥OF分别交AB、BC于E、F，若AE＝4，CF＝3，则EF等于（）图4—54A．7 B．5 C．4 D．3（7）在正方形ABCD中，E、F两点分别是BC、CD边上的点，若△AEF是边长为2的等边三角形，则正方形ABCD的边长为（）A．213+B．213-C．3 D．2（8）如图4－55，在正方形ABCD中，CE＝MN，∠MCE＝35°，那么∠ANM等于（）图4—55A．45°B．55°C．65°D．75°2．填空题（1）已知正方形的面积是16 cm2，则它的一边长是_____，一条对角线长是_____．（2）已知正方形的对角线长为22，则此正方形的周长为_____，面积为_____．（3）在正方形ABCD 中，两条对角线相交于O ，∠BAC 的平分线交BD 于E ，若正方形ABCD 的周长是16 cm ，则DE ＝_____cm ．（4）在正方形ABCD 的边BC 的延长线上取一点E ，使CE ＝AC ，连结AE 交CD 于F ，那么∠AFC 等于_____度．3．如图4－56，已知正方形ABCD 中，E 为CD 边上一点，F 为BC 延长线上一点，且CE ＝CF ．图4—56（1）求证：△BCE ≌△DCF ；（2）若∠BEC ＝60°，求∠EFD 的度数．4．已知：如图4－57，在正方形ABCD 中，E 是CB 延长线上一点，EB ＝21BC ，如果F 是AB 的中点，请你在正方形ABCD 上找一点，与F 点连结成线段，并证明它和AE 相等．图4—575．以△ABC 的AB 、AC 为边，向三角形外作正方形ABDE 及ACGF ，作AN ⊥BC 于点N ，延长NA 交EF 于M 点．（1）求证：EM ＝FM ；（2）若使AM ＝21EF ，则△ABC 必须满足什么条件呢？图4—586．如图4－58，已知正方形ABCD 中，M 、F 分别在边AB 、AD 上，且MB ＝FD ，E 是AB 延长线上一点，MN ⊥DM ，MN 与∠CBE 的平分线相交于N ．求证：DM ＝MN ．7．如图4－59，已知C是线段AB上的一点，分别以AC、BC为边作正方形ACDE和BCFG．图4—59求证：AF＝DB；若点C在线段AB的延长线上，猜想上述结论是否正确，如果正确，请加以证明，如果不正确，请说明理由．【思路拓展题】你会设计吗今有一片正方形土地，要在其上修筑两条笔直的道路，使道路把这片地分成形状相同且面积相等的4部分，若道路的宽度忽略不计，请设计三种不同的修筑方案．（在给出如图4－60的三张正方形纸片上分别画图，并简述画图步骤）图4—60参考答案【同步达纲练习】1．（1）C （2）B （3）B （4）D （5）A （6）B （7）A（8）B2．（1）4 42（2）8 4 （3）4 （4）112.53．（1）略（2）15°4．连结CF，可证△ABE≌△CBF或连结DF，让△ABE≌△DAF。

学科：数学教学内容：正方形【学习目标】1．探索并掌握正方形的概念及特征，并学会识别正方形．2．能正确理解平行四边形、矩形、菱形、正方形的区别与联系．【基础知识概述】1．正方形定义：(1)有一组邻边相等并且有—个角是直角的平行四边形叫做正方形．(2)正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有—个角是直角的菱形．(3)既是矩形又是菱形的四边形是正方形．2．正方形的特征：正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切特征．(1)边——四边相等、邻边垂直、对边平行．(2)角——四角都是直角．(3)对角线——①相等；②互相垂直平分；③每条对角线平分一组对角．(4)是轴对称图形，有4条对称轴．3．正方形的识别方法：(1)一组邻边相等的矩形是正方形．(2)—个角是直角的菱形是正方形．4．正方形与矩形、菱形、平行四边形的关系：矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，它们的包含关系如图12-2-13．5．正方形的面积：正方形的面积等于边长的平方或者等于两条对角线乘积的一半．【例题精讲】例1如图12-2-14，已知过正方形ABCD对角线BD上一点P，作PE⊥BC于E，作PF⊥CD于F．试说明AP＝EF．分析：由PE⊥BC，PF⊥CD知，四边形PECF为矩形，故有EF＝PC，这时只需证AP＝CP，由正方形对角线互相垂直平分知AP＝CP．解：连结AC、PC，∵四边形ABCD为正方形，∴BD垂直平分AC，∴AP＝CP．∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠BCD＝90°，∴四边形PECF为矩形，∴PC＝EF，∴AP＝EF．注意：①在正方形中，常利用对角线互相垂直平分证明线段相等．②无论是正方形还是矩形经常通过连结对角线证题，这样可以使分散条件集中．思考：由上述条件是否可以得到AP⊥EF．提示：可以，延长AP交EF于N，由PE∥AB，有∠NPE＝∠BAN．又∠BAN＝∠BCP，而∠BCP＝∠PFE，故∠NPE＝∠PFE，而∠PFE＋∠PEF＝90°，所以∠NPE＋∠PEF＝90°，则AP⊥EF．例2如图12-2-15，△ABC中，∠ABC＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB，试说明四边形BEDF是正方形．解：∵∠ABC＝90°，DE⊥BC，∴DE∥AB，同理，DF∥BC，∴BEDF是平行四边形．∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB，∴DE＝DF．又∵∠ABC＝90°，BEDF是平行四边形，∴四边形BEDF是正方形．思考：还有没有其他方法？提示：(有一种方法可以证四边形DFBE为矩形，然后证BE＝DE，可得．另一种方法，可证四边形DFBE 为菱形，后证一个角为90°可得)注意：灵活选择正方形的识别方法．例3 如图12-2-16所示，四边形ABCD是正方形，△ADE是等边三角形，求∠BEC的大小．分析：等边三角形和正方形都能提供大量的线段相等和角相等，常能产生一些等腰三角形，十分便于计算．在本题中，必须注意等边三角形与正方形不同的位置关系．在(1)图中，△ABE和△DCE都是等腰三角形，顶角都是150°，可得底角∠AEB与∠DEC都是15°，则∠BEC为30°．而在(2)图中，等边三角形在正方形内部，△ABE和△DCE是等腰三角形，顶角是30°，可得底角∠AEB和∠DEC为75°，再利用周角可求得∠BEC ＝150°．解：(1)当等边△ADE在正方形ABCD外部时，AB＝AE，∠BAE＝90°＋60°＝150°，所以∠AEB＝15°．同理可得∠DEC＝15°，则∠BEC＝60°－15°－15°＝30°．(2)当等边△ADE在正方形ABCD内部时，AB＝AE，∠BAE＝90°－60°＝30°，所以∠AEB＝75°．同理可得∠DEC＝75°，则∠BEC＝360°－75°－75°－60°＝150°．【中考考点】会用正方形的性质来解决有关问题，并能用正方形的定义来判断四边形是否为正方形．【命题方向】本节出题比较灵活，填空题、选择题、证明题均可出现．正方形是特殊的平行四边形，考查正方形的内容，实质上是对平行四边形知识的综合，涉及正方形知识的题型较多，多以证明题形式出现．【常见错误分析】已知如图12-2-18，△ABC中，∠C＝90°，分别以AC和BC为边向外作正方形ACFH和正方形BCED，HM ⊥BA的延长线于M，DK⊥AB的延长线于K．试说明AB＝DK＋HM．错解：延长DK到S，使KS＝HM，连结SB．∵∠2＝∠3，∠2＋∠4＝90°，∴∠3＋∠4＝90°．在△ABC和△SDB中，∵∠ACB＝∠SBD＝90°，BC＝BD，∠2＝90°－∠4＝∠5∴△ABC与△SDB重合，∴AB＝SD＝SK＋DK，即AB＝HM＋DK．分析指导：由于S、B、C三点共线未经证明，所以∠2＝∠3的理由是不充足的，因此又犯了思维不严密的错误．正解：如图12-2-18，延长DK交CB延长线于S，下面证KS＝MH．在△ACB和△SBD中，∵BD＝BC，∠SBD＝∠ACB＝90°，又∠2＝∠3＝∠5，∴△ACB与△SBD重合，∴AB＝DS，BS＝AC＝AH．在△BKS和△AMH中，∵∠1＝∠2＝∠3，∠AMH＝∠SKB＝90°，BS＝AH，∴△BKS与△AMH重合，∴KS＝HM，∴AB＝DK＋HM．【学习方法指导】正方形是最特殊的平行四边形，它既是一组邻边相等的矩形，又是有一个角为直角的菱形，所以它的性质最多，易混淆．故最好把平行四边形、矩形、菱形、正方形列表写出它们的定义、性质、判定，这样更容易记忆和区分．【同步达纲练习】一、填空题1．正方形既是________相等的矩形，又是有一个角是________的菱形．2．正方形ABCD中，对角线AC＝24，P是AB边上一点，则点P到对角线AC、BD的距离和为________．3．已知对角线AC、BD相交于O，(1)若AB＝BC，则是________；(2)若AC＝BD，则是________；(3)若∠BCD＝90°，是________；(4)若OA＝OB，则是________；(5)若AB＝BC，且AC＝BD，则是________．4．在边长为2的正方形中有一点P，那么这个点P到四边的距离之和是________．5．如图12-2-19，正方形ABCD的面积等于2cm4，则阴影部分的面积S＝9，正方形DEFG的面积等于2cm________2cm．6．如图12-2-20，下面由火柴棒拼出的一系列图形中，第n个图形由n个正方形组成，通过观察可以发现：(1)第4个图形中火柴棒的根数是________；(2)第n个图形中火柴棒的根数是________．7．已知E、F为正方形ABCD的边BC、CD上的点，AE、AF分别与对角线BD相交于M、N，若∠EAF＝50°，则∠CME＋∠CNF＝________．二、解答题8．如图12-2-21所示，四边形ABCD是正方形，延长BC到点E，使CE＝AC，连结AE，交CD于F，求∠AFC的度数．9．如图12-2-22，已知正方形ABCD中，BE∥AC，AE＝AC，试说明CE＝CF．10．如图12-2-23，正方形ABCD中，AC与BD相交于O，E、F分别是DB、BD延长线上的点，且BE＝DF，试说明∠E＝∠F．11．如图12-2-24所示，点G是边长为4的正方形ABCD边上的一点，矩形DEFG的边EF过点A，已知DG ＝5，求FC的值．参考答案【同步达纲练习】1．邻边，直角2．123．(1)菱形 (2)矩形 (3)矩形 (4)矩形 (5)正方形4．475．26．(1)13 (2)3n＋17．100°8．在正方形ABCD 中，∠ACB ＝45°(正方形的每条对角线平分一组对角)．已知AC ＝CE ，所以∠CAE ＝∠E ，所以∠CAE ＋∠E ＝45°，所以∠E ＝22.5°．因为∠DCE ＝90°，∠AFC ＝∠DCE ＋∠E ＝90°＋22.5°＝112.5°．9．过点E 作EG ⊥AC 于G ，连结BD ，∵EG ⊥AC ，BD ⊥AC ，∴EG ∥BD ．又AC ∥BE ，∴四边形EGOB 是矩形，∴EG ＝BO ．∵BD ＝AC ， ∴AE 21AC 21EG ==， ∴∠EAG ＝30°．∵△ACE 是等腰三角形， ∴︒=︒-︒=∠75)30180(21AEC ． ∵AC 是正方形ABCD 的对角线，∴∠ACB ＝45°．∵∠CFE ＝∠EAC ＋∠FCA ＝30°＋45°＝75°，即∠CFE ＝∠CEF ，∴CF ＝CE ．10．提示：易知OF ＝OE ，且AC ⊥BD 于O ，∴AC 为EF 的中垂线，∴EC ＝CF ，∴∠E ＝∠F ．11．连结AG ，过点A 作AH ⊥GD ，过点G 作GP ⊥AD ，垂足分别为H 、P ，易知AH ＝FG ，PG ＝AB ，所以依题意有PG AD 21AH DG 21S AGD ⨯⨯=⨯⨯=∆，即4421AH 521⨯⨯=⨯⨯，所以AH ＝3.2，即FG ＝3.2．专项训练二 概率初步一、选择题1．(徐州中考)下列事件中的不可能事件是( )A ．通常加热到100℃时，水沸腾B ．抛掷2枚正方体骰子，都是6点朝上C ．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯D ．任意画一个三角形，其内角和是360°2．小张抛一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上的可能性是( )A．25% B．50% C．75% D．85%3．(2016·贵阳中考)2016年5月，为保证“中国大数据产业峰会及中国电子商务创新发展峰会”在贵阳顺利召开，组委会决定从“神州专车”中抽调200辆车作为服务用车，其中帕萨特60辆、狮跑40辆、君越80辆、迈腾20辆，现随机从这200辆车中抽取1辆作为开幕式用车，则抽中帕萨特的概率是( )A.110B.15C.310D.254．(金华中考)小明和小华参加社会实践活动，随机选择“打扫社区卫生”和“参加社会调查”其中一项，那么两人同时选择“参加社会调查”的概率为( )A.14B.13C.12D.345．在一个不透明的袋中装着3个红球和1个黄球，它们只有颜色上的区别，随机从袋中摸出2个小球，两球恰好是一个黄球和一个红球的概率为( )A.12B.13C.14D.166．现有两枚质地均匀的正方体骰子，每枚骰子的六个面上都分别标有数字1、2、3、4、5、6.同时投掷这两枚骰子，以朝上一面所标的数字为掷得的结果，那么所得结果之和为9的概率是( )A.13B.16C.19D.1127．分别转动图中两个转盘一次，当转盘停止转动时，两个指针分别落在某个数所表示的区域，则两个数的和是2的倍数或3的倍数的概率等于( ) A.316 B.38 C.58 D.1316第7题图 第8题图 8．(2016·呼和浩特中考)如图，△ABC 是一块绿化带，将阴影部分修建为花圃，已知AB ＝15，AC ＝9，BC ＝12，阴影部分是△ABC 的内切圆，一只自由飞翔的小鸟将随机落在这块绿化带上，则小鸟落在花圃上的概率为( )A.16B.π6C.π8D.π5二、填空题9．已知四个点的坐标分别是(－1，1)，(2，2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫23，32，⎝⎛⎭⎪⎫－5，－15，从中随机选取一个点，在反比例函数y ＝1x 图象上的概率是________．10．(黄石中考)如图所示，一只蚂蚁从A 点出发到D ，E ，F 处寻觅食物．假定蚂蚁在每个岔路口都可能随机选择一条向左下或右下的路径(比如A 岔路口可以向左下到达B 处，也可以向右下到达C 处，其中A ，B ，C 都是岔路口)．那么，蚂蚁从A 出发到达E 处的概率是________．11．(贵阳中考)现有50张大小、质地及背面图案均相同的《西游记》任务卡片，正面朝下放置在桌面上，从中随机抽取一张并记下卡片正面所绘人物的名字后原样放回，洗匀后再抽．通过多次试验后，发现抽到绘有孙悟空这个人物卡片的频率约为0.3.估计这些卡片中绘有孙悟空这个人物的卡片张数约为________．12．(荆门中考)荆楚学校为了了解九年级学生“一分钟内跳绳次数”的情况，随机选取了3名女生和2名男生，则从这5名学生中，选取2名同时跳绳，恰好选中一男一女的概率是________．13．(重庆中考)点P 的坐标是(a ，b )，从－2，－1，0，1，2这五个数中任取一个数作为a 的值，再从余下的四个数中任取一个数作为b 的值，则点P (a ，b )在平面直角坐标系中第二象限内的概率是________．14．★从－1，1，2这三个数字中，随机抽取一个数记为a ，那么，使关于x 的一次函数y ＝2x ＋a 的图象与x 轴、y 轴围成的三角形的面积为14，且使关于x 的不等式组⎩⎨⎧x ＋2≤a ，1－x ≤2a有解的概率为________． 三、解答题15．(南昌中考)在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的10个小球，其中红球4个，黑球6个．(1)先从袋子中取出m (m ＞1)个红球，再从袋子中随机摸出1个球，将“摸出黑球”记为事件A ，请完成下列表格： 事件A 必然事件 随机事件(2)先从袋子中取出m个红球，再放入m个一样的黑球并摇匀，随机摸出1个黑球的概率等于45，求m的值．16．(菏泽中考)锐锐参加我市电视台组织的“牡丹杯”智力竞答节目，答对最后两道单选题就顺利通关，第一道单选题有3个选项，第二道单选题有4个选项，这两道题锐锐都不会，不过锐锐还有两个“求助”可以用(使用“求助”一次可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项)．(1)如果锐锐两次“求助”都在第一道题中使用，那么锐锐通关的概率是________；(2)如果锐锐两次“求助”都在第二道题中使用，那么锐锐通关的概率是________；(3)如果锐锐将每道题各用一次“求助”，请用树状图或者列表来分析他顺利通关的概率．17．(丹东中考)甲、乙两人进行摸牌游戏．现有三张形状大小完全相同的牌，正面分别标有数字2，3，5.将三张牌背面朝上，洗匀后放在桌子上．(1)甲从中随机抽取一张牌，记录数字后放回洗匀，乙再随机抽取一张．请用列表法或画树状图的方法，求两人抽取相同数字的概率；(2)若两人抽取的数字之和为2的倍数，则甲获胜；若抽取的数字之和为5的倍数，则乙获胜．这个游戏公平吗？请用概率的知识加以解释．18．一只不透明的袋子中装有4个质地、大小均相同的小球，这些小球分别标有数字3，3，5，x，甲、乙两人每次同时从袋中各随机摸出1个球，并计算摸出的这2个球上数字之和，记录后将小球放回袋中搅匀，进行重复实验．实验数据如下表：(1)如果实验继续进行下去，根据上表数据，出现“和为8”的频率稳定在它的概率附近，估计出现“和为8”的概率是________；(2)如果摸出的这两个小球上数字之和为9的概率是13，那么x的值可以取4吗？请用列表法或画树状图法说明理由；如果x的值不可以取4，请写出一个符合要求的x的值．参考答案与解析1．D 2.B 3.C 4.A 5.A 6.C 7.C8．B 解析：∵AB ＝15，BC ＝12，AC ＝9，∴AB 2＝BC 2＋AC 2，∴△ABC 为直角三角形，∴△ABC 的内切圆半径为12＋9－152＝3，∴S △ABC ＝12AC ·BC ＝12×12×9＝54，S 圆＝9π，∴小鸟落在花圃上的概率为9π54＝π6.9.12 10.12 11.15 12.35 13.15 14.13 15．解：(1)4 2或3 (2)根据题意得6＋m 10＝45，解得m ＝2，所以m 的值为2. 16．解：(1)14 解析：第一道肯定能对，第二道对的概率为14，所以锐锐通关的概率为14；(2)16 解析：锐锐两次“求助”都在第二道题中使用，则第一道题对的概率为13，第二道题对的概率为12，所以锐锐能通关的概率为12×13＝16；(3)锐锐将每道题各用一次“求助”，分别用A ，B 表示剩下的第一道单选题的2个选项，a ，b ，c 表示剩下的第二道单选题的3个选项，树状图如图所示．共有6种等可能的结果，锐锐顺利通关的只有1种情况，∴锐锐顺利通关的概率为16.17．解：(1)所有可能出现的结果如下表，从表格可以看出，总共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，其中两人抽取相同数字的结果有3种，所以两人抽取相同数字的概率为13；(2)不公平．从表格可以看出，两人抽取数字之和为2的倍数有5种，两人抽取数字之和为5的倍数有3种，所以甲获胜的概率为59，乙获胜的概率为13.∵59＞13，∴甲获胜的概率大，游戏不公平．2 3 52 2 23 2 5 2 3 2 3 3 3 5 3 52 53 5 5 518．解：(1)0.33(2)图略，当x 为4时，数字和为9的概率为212＝16≠13，所以x 不能取4；当x ＝6时，摸出的两个小球上数字之和为9的概率是13.。

矩形菱形正方形基本知识教案【知识梳理】一、矩形：1、定义：有一个角是角的平行四边形叫做矩形。

2、性质：⑴矩形的四个角都是；⑵矩形的对角线。

3、判定：⑴用定义判定；⑵有三个角是________的是矩形；⑶对角线的平行四边形是矩形。

特征总结：1、矩形既是又是对称图形，对称轴有条；2、矩形被它的对角线分成四个全等的三角形和两个全等的三角形；3、矩形中常见题目是对角线相交成600或1200角时，利用直角三角形、等边三角形等知识解决问题。

二、菱形：1、定义：有一组邻边的平行四边形叫做菱形。

2、性质：⑴菱形的四条边都；⑵菱形的对角线且每条对角线。

3、判定：⑴用定义判定；⑵对角线互相垂直的是菱形；⑶四条边都相等的是菱形。

特征总结：1、菱形既是对称图形，也是对称图形，它有条对称轴，分别是；2、菱形被对角线分成四个全等的三角形和两对全等的三角形；3、菱形的面积可以用平行四边形面积公式计算，也可以用两条对角线的积来计算；4、菱形常见题目是内角为1200或600时，利用等边三角形或直角三角形知识计算的题目。

【重点考点例析】考点一、矩形的性质与判定【例1】如图，在△ABC中，点O是AC边上(端点除外)的一个动点，过点O作直线MN ∥BC.设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F，连接AE，AF.那么当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．分析：判定一个四边形是矩形，可以先判定四边形是平行四边形，再找一个内角是直角或说明对角线相等．考点二：和矩形有关的折量问题【例2】如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC交DC的延长线于点E．（1）求证：BD=BE；（2）若∠DBC=30°，BO=4，求四边形ABED的面积．考点三：和菱形有关的对角线、周长、面积的计算问题【例3】如图，菱形ABCD的周长为20cm，且tan∠A BD=34，则菱形ABCD的面积为cm2．考点四：四边形综合性题目：【例5】如图，正方形ABCD与正三角形A EF的顶点A重合，将△AEF绕顶点A旋转，在旋转过程中，当BE=DF时，∠BAE的大小可以是．考点五:矩形、菱形、正方形的判定例1、如图，在等边△ABC中，点D是BC边的中点，以AD为边作等边△ADE．（1）求∠CAE的度数；（2）取AB边的中点F，连接CF、CE，试证明四边形AFCE是矩形．例2、如图，AB∥CD，∠B = 72°，∠D = 32°，求∠F的度数？变式1、如图，已知∠AEC=∠A+∠C，试说明：AB∥CD．变式2、如图，已知∠1=∠C,∠2=∠3, BE是否平分∠ABC？请说明理由。

精锐教育学科教师辅导讲义一、45度的辅助线怎么做？1．如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝135°，∠C ＝120°，AB =BC =4-CD ＝AD 边的长为（ ）． （A ）（B ）64（C ）64+ （D ）622+2．已知：如图，在正方形ABCD 外取一点E ，连接AE ，BE ，DE ．过点A 作AE 的垂线交ED 于点P ．若1AE AP ==， PD =3，PB ①△APD ≌△AEB ；②点B 到直线AE③EB ⊥EP ；④1APD APB S S ∆∆+=；⑤4ABCD S =正方形 ）A ．①③④B ．①②⑤C ．③④⑤D ．①③⑤3．（上海）如图，在半径为2的扇形AOB 中，∠AOB ＝90°，点C 是AB ︵上的一个动点（不与点A 、B重合），OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ． （1）当BC ＝1时，求线段OD 的长；（2）在△DOE 中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由；（3）设BD ＝x ，△DOE 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域．A E C DO B10APEDCB二、45度与圆与函数1、已知抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过A（3，0），B（4，1）两点，且与y轴交于点C．（1）求抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）的函数关系式及点C的坐标；（2）如图（1），连接AB，在题（1）中的抛物线上是否存在点P，使∆PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图（2），连接AC，E为线段AC上任意一点（不与A、C重合）经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F，当∆OEF的面积取得最小值时，求点E的坐标．2.（2012•济南）如图1，抛物线y=ax 2+bx+3与x 轴相交于点A （-3，0），B （-1，0），与y 轴相交于点C ，⊙O 1为△ABC 的外接圆，交抛物线于另一点D ． （1）求抛物线的解析式；（2）求cos ∠CAB 的值和⊙O 1的半径；（3）如图2，抛物线的顶点为P ，连接BP ，CP ，BD ，M 为弦BD 中点，若点N 在坐标平面内，满足△BMN ∽△BPC ，请直接写出所有符合条件的点N 的坐标．三、45度与旋转1、如图，在Rt △ABC 中，AB AC =，D 、E 是斜边BC 上两点，且∠DAE =45°，将△ADC 绕点A 顺时针旋转90︒后，得到△AFB ，连接EF ，下列结论： ①△AED ≌△AEF ； ②△ABE ∽△ACD ；③BE DC DE +=； ④222BE DC DE +=其中一定正确的是 A ．②④ B ．①③C ．②③D ．①④(第8题图）A B CD E F2、以△ABC 的边AB 、AC 为直角边向外作等腰直角△ABD 和等腰直角△ACE ，M 是BC 中点，连接A M 和DE ．（1）如图1，△ABC 中∠BAC=90°时，AM 与ED 大小的关系是？AM 与ED 的位置关系是？ （2）如图2，△ABC 为一般三角形时线段AM 与ED 的关系是？试证明你的结论；（3）如图3，若以△ABC 的边AB 、AC 为直角边，向内作等腰直角△ABE 和△ACD ，其它条件不变，试探究线段AM 与DE 之间的关系，不要求证明你的结论．3．（本小题满分14分）如图12，边长为1的正方形ABCD 被两条与边平行的线段EF GH 、分割成四个小矩形，EF 与GH 交于点P ．（1）若AG AE =，证明：AF AH =；（2）若45FAH ∠=°，证明：AG AE FH +=；（3）若Rt GBF △的周长为1，求矩形EPHD 的面积．A E DH G P BF C图124．（本小题满分12分）已知：在Rt △ABC 中，AB =BC ；在Rt △ADE 中，AD =DE ；连结EC ，取EC 的中点M ，连结DM 和BM ．（1）若点D 在边AC 上，点E 在边AB 上且与点B 不重合，如图8-①，求证：BM =DM 且BM ⊥DM ；（2）如果将图8-①中的△ADE 绕点A 逆时针旋转小于45°的角，如图8-②，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明．MD BACE5. （14分）如图7，⊙O 中AB 是直径，C 是⊙O 上一点，∠ABC=450，等腰直角三角形DCE 中∠DCE 是直角，点D 在线段AC 上。

人教版初二数学8年级下册 第18章（平行四边形）微专题7 正方形中45°角的问题1.如图，在四边形ABCD 中，∠BAD ＝45°，∠BCD ＝90°，CA 平分∠BCD ，若AC ＝，BD ＝5，求四边形ABCD 的面积.2.如图，在四边形AECD 中，∠E ＝∠C ＝90°，AE ＝CE ，M 为EC 上一点，若∠MAD ＝45°，CD ＝6，CM ＝8，求EM 的长.ABC DM AE CD3.如图，在正方形ABCD 中，E 为CD 中点, ∠1＝∠2.(1)求证：AE ＝45°(2)求BFCF4.如图，在正方形ABCD 中，点E 是AD 上的一动点，连接BE .将△ABE 沿直线BE 折叠，A 落在正方形ABCD 形内的点F ，直线CF 交直线BE 于P ，求证：CFEF PA B C D5．如图，正方形ABCD 的边长为2，点E 、F 分别为边AD 、BC 上的点，EF，点G 、H 别为AB 、CD 边上的点，连接GH ，若线段GH 与EF 的夹角为45°，求GH 的长．6．已知，正方形ABCD 中，点M 、N 为AB 、CD 上的点，AP ⊥M 于E ，交BC 于P ．(1)如图1，求证：AP =MN ；(2)如图2，若EA =EF ，连CF ，点G 为CF 中点，连DG 、DE ，求证：DE；(3)在(2)的条件下，若DA =DE ，且DN =32，BM =2，则DGHGF E DCB A A BC DE N MM E A B C D F G N7．点P 为正方形ABCD 外一点(1)如图1，∠APB =45°，∠ABP =30°，求证：ABAP(2)如图2，PB 平分∠APC ，AE ⊥BP ，连DP ，求证：PB +PD =2BE ；(3)如图3，AB =1，PA//BD ，PB =BD ，则PAAPB =30°DC B A P P A B CDE P A B CD微专题7 正方形中45°角的问题1.如图，在四边形ABCD 中，∠BAD ＝45°，∠BCD ＝90°，CA 平分∠BCD ，若AC ＝，BD ＝5，求四边形ABCD 的面积.解：过点A 作AQ ⊥CD ，AP ⊥BC ，垂足分别为Q 、P ，则四边形AQCP 为正方形延长BP 至G ，使GP ＝DQ ，易证△AGP ≌△ADQ (SAS )，则AG ＝AD ，∠GAP ＝∠DAQ由∠BAD ＝45°可得∠GAB ＝45°，则△GAB ≌△BAD (SAS )∴BD ＝GB s ＝S 正方形APCQ －S △AGB ＝36－12GB ×AP ＝36－12×5×6＝212.如图，在四边形AECD 中，∠E ＝∠C ＝90°，AE ＝CE ，M 为EC 上一点，若∠MAD ＝45°，CD ＝6，CM ＝8，求EM 的长.解：延长CD ，作AF ⊥CD 于点F ，则四边形AECF 为正方形延长CF 至B ，使BF ＝ME ，易证△AEM ≌△AFB (SAS )，则AM ＝AB ，∠EAM ＝∠FAB由∠BAD ＝45°,则∠EAM ＋∠DAF ＝45°∴∠DAB ＝45°,则△MAD ≌△BAD (SAS ) ∴BD ＝MD ＝10设EM ＝x ∴DF ＝10－x ＝8＋x －6； x ＝4，即EM ＝4AB C D G P QABCD3.如图，在正方形ABCD 中，E 为CD 中点, ∠1＝∠2.(1)求证：AE ＝45°(2)求BFCF(1)证明：过A 作AM ⊥EF ∵AB ∥CD ∴∠AED ＝∠1∵∠1＝∠2 ∴∠AED ＝∠2 又∵AE ＝AE ∠D ＝∠AME ＝90°∴△AEM ≌△AED (AAS ) ∴AM ＝AD ∠MAE ＝∠DAE同理可证△ABF ≌△AMF ∴∠BAF ＝∠FAM ∴∠FAE ＝12∠BAD ＝45°(2)解：设正方形边长为2a BF ＝x ∵E 为CD 中点，∴DE ＝CE ＝a ，CF ＝2a －x由(1)知FE ＝BF ＋DE ＝a ＋x 在Rt △CEP 中，由勾股定理得a 2＋(2a －x )2＝(a ＋x )2∴x ＝23a ∴BF CF ＝124.如图，在正方形ABCD 中，点E 是AD 上的一动点，连接BE .将△ABE 沿直线BE 折叠，A 落在正方形ABCD 形内的点F ，直线CF 交直线BE 于P ，求证：CF证明：作DQ ⊥PC ，BH ⊥FC ，易证△DQC ≌△CHB ∴DQ ＝HC ＝HF易证BH ＝HP ＝QC ∴PQ ＝HC ＝HF ∴PDPQHC而FC ＝2HC ，∴ FCPDM A E C DM BFA ECD5．如图，正方形ABCD 的边长为2，点E 、F 分别为边AD 、BC 上的点，EF，点G 、H 别为AB 、CD 边上的点，连接GH ，若线段GH 与EF 的夹角为45°，求GH 的长．解：过B 作BM//EF ，BN//GH 由题意得∠MBN =45∴AM +CN =MN又∵EF，AB =2，∴AM =1，设NC =x∴DN =2－x ，MN =x +1∴(x +1)2=(2－x )2+1，∴x =23∴GH =BN6．已知，正方形ABCD 中，点M 、N 为AB 、CD 上的点，AP ⊥M 于E ，交BC 于P ．(1)如图1，求证：AP =MN ；(2)如图2，若EA =EF ，连CF ，点G 为CF 中点，连DG 、DE ，求证：DE；(3)在(2)的条件下，若DA =DE ，且DN =32，BM =2，则DG证明：(1)作BF//MN ，∴四边形MBFN 为平行四边形∴MN =BF可证△BFC ≌△APB ，∴BF =AP ，∴AP =MN(2)连EG 并延长使得EG =QG ，连CQ ，∴CQ 平行且等于EFEF PA B C D HQ E FP A BC D HGF E DCB A A BC DE N MM E A B C D F G N连DQ ，可证∠DCQ =∠CNE =∠EAD 且CQ =EF =AE∴易证△DAE ≌△DCQ ，∴DE ⊥DQ 且DE =DQ∴△DEG 为等腰Rt △，∴DE7．点P 为正方形ABCD 外一点(1)如图1，∠APB =45°，∠ABP =30°，求证：ABAP(2)如图2，PB 平分∠APC ，AE ⊥BP ，连DP ，求证：PB +PD =2BE ；(3)如图3，AB =1，PA//BD ，PB =BD ，则PAAPB =30°证明：(1)作AM ⊥BP ，设AM =aAP，而AB =2a ，∴ABAP(2)作BM ⊥PC ，BN ⊥AP∴BP 平分∠APC ，∴BN =BM ，又∵BA =BC ，∴△ABN ≌△CBM ，∴∠MAB =∠MCB ∴∠BAP +∠BCP =180°，∴∠ABC +∠APC =180°，∴∠APB =∠BPC =45°作CQ ⊥PC 交PB 的延长线于点Q ，可证△PDC ≌△QBC∴∠Q =∠DPC =45°，∴PD +PBPC过C 作CH ⊥BP ，可证CH =BE又∵PCHC ，∴PCBE ，∴PB +PD =2BE D C B A P PAB C D E PA B CD。

中考数学解题策略研究之正方形与45度角专题当神奇的正方形与美丽的45度角不期而遇，它们之间会产生怎样的火花，生成怎样令人难忘的故事？今天我们浅谈几道与正方形中45度角有关的好题目，开启一段神奇之旅！题1：如图1，已知四边形ABCD是正方形，等腰直角△AEF的直角顶点E在直线BC上（不与点B，C重合），FM⊥AD，交射线AD于点M．(1)当点E在边BC上，点M在边AD的延长线上时，如图1-1，求证：AB+BE=AM；(2)当点E在边CB的延长线上，点M在边AD上时，如图1-2；当点E在边BC的延长线上，点M在边AD上时，如图5-3；请分别写出线段AB、BE及AM之间的数量关系，不需要证明；(3)在(1)，(2)的条件下，若BE=sqrt（3），∠AFM=15°，则AM= ．简析：本题中三种情形下都有一个等腰直角△AEF（含45度角），这里可采取常用的“见等腰直角三角形，造一线三直角”或者说成更一般意义上的“三垂直结构”等垂直处理策略；对于前两问统一处理如下：情形一：当点E在边BC上，点M在边AD的延长线上时，如图1-4所示，依托于等腰直角△AEF的三个顶点作相关“水平—竖直辅助线”，构造“一线三直角”结构，或者说是“三垂直结构”，即Rt△ABE≌Rt△ENF，则有AB+BE=EN+BE=BN=AM，第(1)问得解；情形二：当点E在边CB的延长线上，点M在边AD上时，如图1-5所示，依托于等腰直角△AEF的三个顶点寻找相关“水平—竖直线”，识别“一线三直角”结构，或者说是“三垂直结构”，即Rt△ABE≌Rt△ENF，则有AM+BE=BN+BE=EN=AB，即AM+BE=AB；其实这里的“三垂直结构”根本没添加任何辅助线，如果执意采取“见等腰直角三角形，造K字型”的策略作一些“水平—竖直辅助线”，本质上并无什么太大差别，不再赘述，但我们之所以选择前者，是基于以最少的辅助线去解决问题的情怀与追求；情形三：当点E在边BC的延长线上，点M在边AD上时，如图1-6所示，依托于等腰直角△AEF的三个顶点寻找相关“水平—竖直线”，识别“一线三直角”结构，或者说是“三垂直结构”，即Rt△ABE≌Rt△ENF，则有AM+AB=BN+EN=BE，即AM+AB=BE；综合情形二与情形三这两种情况下的结论，第(2)问得解；解题后反思：对于前两问，不知同学们有没有发现，三种情形图形变化了，但其证明的思路几乎没什么变化，无论是全等的两个三角形还是全等后相关边长的转化，包括最终结论的形式等都几乎都是一致的，这种图形变换问题中解题策略的“统一性”是极其重要的，很多综合题都可以采取这种策略去寻找突破口，进而顺利解决问题；建议同学们在表示角的时候用三个大写字母来表示，为什么这么说呢？这是因为当你会解决第一个图形后，后续图形变化的情形就可以执着这些用三个大写字母表示的角以及三角形等去寻找解决问题的途径与方法；很多时候，解答过程中甚至于可能连每一个字母都没有任何变化，这就是“图形变了，方法不变，甚至于连表示角或三角形等的字母顺序都一点儿变化都没有”，体现了“变中不变”的统一性；不相信你再回头看一看题1的分析过程，去对比三种情形下的思路、方法、甚至于表示三角形的字母等几乎都没啥变化，最后的结论形式上也基本是相同的！下面再来看看第(3)小问：首先审题要细致，有时真要做到“咬文嚼字”，去揣摩命题人的意图，去琢磨命题人刻意留给你的台阶；当读到第一句话“在(1)，(2)的条件下”，很明显就要进行分类讨论了啊，而且前面两问分了三种情形，这里自然也应该三种情形都要考虑到位；这道题编制的巧妙之处就是题目已经将三种情形下的图形画给学生了，不用学生自己去画了，可以说给学生的台阶已经铺垫到了极致，当然这也就顺带失去了对学生画图意识与画图能力的考察；此问还有一个比较“扎眼”的条件，那就是∠AFM=15°，难道直接应用这个15°角？难道要用所谓“倍半角模型”？切记，轻易不要使用“倍半角模型”，当我们无路可走时，再去尝试用这个模型去解决，尤其是平时解题以及反思题目，一定要有寻找简单几何方法的意识；这里的15°角还真的可以不直接使用，而是间接推出一个更特殊的30°角，且往下看；情形一：如图1-7所示，当点E在边BC上，点M在边AD的延长线上时，由∠AFM=15°且∠AFE=45°得∠EFN=120°，而∠N=90°，这显然是不可能的，故排除；此外也可以这样说理：由∠AFM=15°知∠FAB=15°，而∠AFE=45°，这是不可能的，故排除；这种情形虽然不符合题意，但肯定还是要考虑到位并且作必要的解释的，体现了数学思维的严密性；情形二：如图1-8所示，当点E在边CB的延长线上，点M在边AD上时，由∠AFM=15°得∠FAB=15°，又由∠FAE=45°得∠BAE=30°；瞧，30°角出现了！接下来，锁定Rt△ABE，由BE=sqrt（3）及∠BAE=30°口算出AB=3；题目要求的是AM的长，大家千万别忘记“回头看”策略，第(2)小问中不是刚刚探索了三条线段AB、BE及AM之间的关系，现在AB、BE已经有了，要求的正是AM，“前戏”已足，胜利就在眼前；由(2)中的结论知AM+BE=AB，故所求AM=AB-BE=3-sqrt（3）；情形三：如图1-9所示，当点E在边BC的延长线上，点M在边AD上时，由∠AFM=15°得∠FAB=15°，又由∠FAE=45°得∠BAE=60°，故∠AEB=30°；笔者想告诉同学们一个秘密，“我偷了个懒”，仅仅将情形二中的思路分析复制过来，果然依然适用于情形三啊，仅仅是最后∠BAE由=30°变为了60°，仅此而已，前者由“45°-15°”而来，而后者由“45°+15°”而来；瞧，多有趣啊！类比思想是一种重要的数学思想方法，同学们对于这种图形变换题型，不妨就采取这种策略去分析问题，尝试用已经解决的问题思路去分析后续变化的情形，很有可能就能寻找到解决问题的金钥匙，下面的思路也几乎没有什么根本性的改变，不信你看；瞧，30°角又出现了！接下来，依然锁定Rt△ABE，由BE=sqrt（3）及∠AEB=30°口算出AB=1；题目要求的是AM的长，大家千万别忘记“回头看”策略，第(2)小问中不是刚刚探索了三条线段AB、BE及AM之间的关系，现在AB、BE已经有了，要求的正是AM，“前戏”已足，胜利就在眼前；由(2)中的结论知AM+AB=BE，故所求AM=BE-AB=sqrt（3）-1；综上所述：所求AM=3-sqrt（3）或者sqrt（3）-1，问题得解；解题后反思：本题中神奇的正方形遇到了美丽的等腰直角三角形（含45°角），采取“垂直处理”中的构造“三垂直结构”策略，得到全等三角形，继而转化相关边长，得到目标三条线段之间的和关系，有趣的是，三种情形下，每一条边长都作为最大边长出现过一次，这就是本题的巧妙之处；本题另一个巧妙之处，那就是题目的层层铺垫、步步为营已经到了极致，为学生搭的台阶平缓到给人以如履平地之感，当然前提是，学生要把握这种铺垫，不能自己分离几个小问，也不要孤立几种情形，而要用联系的眼光、发展的眼光看问题，这样这道中考题变成了简单的送分题，不然就是丢分的要命题；当然此题若是我们认真去分析反思图形，其实第三种情形图有个小漏洞，不知道大家有没有发现，第三种情形中Rt△AEF的三个字母顺序是依次按顺时针排序的，但如果按照前面两种情形的排序应该是逆时针顺序，这一点本人觉得是此题图形变换的一个小漏洞，当然题目通过“如图所示”以及“当点E在边BC的延长线上，点M在边AD上时”这样的表述很好地避免了这个问题，其实我想主要也是为第(3)小问铺垫的，不然图形就变为图1-10了，同情形一，∠AFM=15°就不存在了，不再详述；当然这个小毛病对解决本题无伤大雅，我想表达的主要是解题后反思、解题后琢磨的好习惯，还有学习中一定要有质疑的好精神，多问几个问什么，我想学习的提升一定不是多么难的事情吧！无独有偶，下面这道中考真题与题1有很多相似之处，依然是神奇的正方形邂逅了美丽的45°角，它们之间又会续写怎样的传奇故事呢？瞅瞅看呗．题2：如图2-1，已知正方形ABCD的边长为4，一个以点A为顶点的45°角绕点A旋转，角的两边分别与边BC、DC的延长线交于点E、F，连接EF．设CE=a，CF=b．(1)如图2-1，当∠EAF被对角线AC平分时，求a、b的值；(2)当△AEF是直角三角形时，求a、b的值；(3)如图2-3，探索∠EAF绕点A旋转的过程中a、b满足的关系式，并说明理由．简析：(1)第一小问的特殊性就在于“当∠EAF被对角线AC平分时”这个条件，毫无疑问这就是这一问的关键条件，突破了这个条件，知道这个特殊条件能起到什么作用，这一问就可迎刃而解，这就是“寻找题目特殊性”的解题意识，同学们要有主动寻找特殊性的意识，尤其是题目明确给定特殊条件的时候，更要毫不犹豫地去抓住这些特殊性去认真分析、转化，同学们要有意识地自我培养这种果决感；∠EAF被对角线AC平分时，由∠EAF=45°知∠EAC=∠FAC=22.5°，如图2-4所示，将目光聚焦在△EAC中，由“外角原理”或者“内角和定理”都可轻易推出∠EAC=∠AEC=22.5°，则有CE=CA=4sqrt（2），即所求a=4sqrt（2）；同理，如图2-5所示，可推得△FAC也是一个等腰三角形，即CF=CA=4sqrt（2），即所求b=4sqrt（2）；解题后反思：特殊条件即为关键条件，抓住特殊条件，主动探寻题目中的特殊性，是一种可贵的解题品质，同学们要有自我意识地去培养、训练，长此以往，你就会大大提升题感，迅速锁定关键之所在，如本题第(1)小问，简而言之，就是抓住“当∠EAF被对角线AC平分时”这个特殊条件，通过导角，推出特殊等腰三角形的存在，进而口算结果，干净利落！(2)第二小问依然有其自身的特殊性，即“当△AEF是直角三角形时”，再结合∠EAF=45°可知，一方面△AEF不仅是直角三角形，而且还是等腰直角三角形；另一方面本来要分三类讨论直角三角形的存在性问题的，但已确定∠EAF=45°，故只要分两类讨论即可；情形一：当∠AFE=90°时，依托于等腰Rt△AEF的三个顶点作系列“水平—竖直辅助线”，如图2-6所示，即“见等腰直角三角形，造K字型全等”，则易知b=CF=EH=FG=AD=4，a=CE=FH=AG=DF=DC+CF=4+4=8；情形二：当∠AEF=90°时，同理，依托于等腰Rt△AEF的三个顶点作系列“水平—竖直辅助线”，如图2-7所示，即“见等腰直角三角形，造K字型全等”，则易知a=CE=FH=EG=AB=4，b=CF=EH=AG=BE=BC+CE=4+4=8；综上两种情形，问题可解；解题后反思：在平面直角坐标系中，当我们过一些已知点及目标点作系列“水平—竖直辅助线”时，无论怎么作都可以解决问题，其本质相通；但所作辅助线有多少之分，一般情况下，同学们要有用最少的辅助线来解决问题的追求；拿第(2)小问l来说，虽然上面的“见等腰直角三角形，造K字型全等”可以顺利解决此问，但辅助线还是稍显多了些，其实我们甚至一条辅助线都不作，就可以轻松解决问题，而且与上面的解法本质想通，何乐而不为呢！如图2-8及图2-9所示，任何辅助线不添加，就可以利用等腰Rt△AEF，在原题图中主动寻找“水平—竖直线”，识别到全等直角三角形；其实这里的全等直角三角形跟上面的解法本质一模一样，都隶属于“一线三直角”模型，图2-8中的三个直角都在直线DC上，而图2-9中的三个直角都在直线BC上，而且这两组全等直角三角形与上面的所谓“K字型全等”直角三角形相互之间都是全等的，即图2-8中的两个直角三角形与图2-6中的两个直角三角形，共四个直角三角形都是全等的；而图2-9与图2-7亦然；所以笔者更习惯将其命名为具有更一般意义地所谓“三垂直结构”，它是“垂直处理”的一种重要的几何策略。

中考数学：当神奇的正方形邂逅美丽的45°角当神奇的正方形与美丽的45度角不期而遇，它们之间会产生怎样的火花，生成怎样令人难忘的故事？今天我们浅谈几道与正方形中45度角有关的好题目，开启一段神奇之旅！神奇正方形邂逅美丽45°角，还会发生怎样的故事呢？！Go！题3：（来源：高邮市赞化学校九年级二轮复习图形变换专题作业）问题：如图5-1，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=CB，∠DCE=45°，试探究AD、DE、EB满足的等量关系．[探究发现]小聪同学利用图形变换，将△CAD绕点C逆时针旋转90°得到△CBF，连接EH，由已知条件易得∠EBF=90°，∠ECF=∠ECB+∠BCF=∠ECB+∠ACD=45°．根据“边角边”，可证△CEF≌，得EF=ED．在Rt△FBE中，由定理，可得BF^2+EB^2=EF^2，由BF=AD，可得AD、DE、EB之间的等量关系是．[实践运用]（1）如图5-2，在正方形ABCD中，△AEF的顶点E、F分别在BC、CD边上，高AG与正方形的边长相等，求∠EAF的度数；（2）在（1）条件下，连接BD，分别交AE、AF于点M、N，若BE=2，DF=3，BM=2，运用小聪同学探究的结论，求正方形的边长及MN的长．简析：本题就是几何里等腰直角三角形及正方形中半角模型与代数里方程思想的综合好题，下面就不按部就班地解此题了，关键是说清这里的模型及如何列方程即可搞定，下面一一列出，其实这里的模型在本人“成名之作”《旋转那些事》中已作介绍，这里我会详细展开；（二）模型简证：既然可以将点D关于边CE对称，当然也可以将点E关于CD对称，学生自行探究，不再赘述；类比方法二与方法一，相当于第一步与第二步颠倒了个顺序，但前者可用旋转的眼光看问题，而后者却可以用翻折（对称）的眼光看图形，本质上还是有一定的差异的！至此，原问题中的[探究发现]可得到深入解决！模型二（正方形中“半角模型”）：（一）模型结论：如图5-13所示，在正方形ABCD中，∠EAF=45°（即为直角∠BAD的一半，“半角”之名由此而来），则BE+DF=EF（三条线段满足和关系）.（二）模型简证：方法一（旋转：绕点A逆转90度）：第一步：如图5-14所示，旋转变换；第二步：如图5-15所示，全等变换（SAS），由此得BE+DF=EF；既然可以逆转90度，当然也可以顺转90度，请自行探究，不再赘述；值得一提的是，这里证明出△AEF≌△AE’F（SAS）后，容易得出系列“副产品”：(1)在图5-16中，∠1=∠2，即∠AFE=∠AFE’；(2)得出∠1=∠2后，“见角平分线，作双垂”，如图5-17所示，此时再过点A作AG⊥EF于点G，则易证明出Rt△AGF≌△Rt△ADF（AAS），这样立即可得到AG=AD；也就是说，△AEF的高AG与正方形ABCD的边长相等；这个结论的由来是非常有趣的！若是一开始就过点A作AG⊥EF，想要通过全等去证明AG=AD，进而证明BE+DF=EF成立，是一件很麻烦或者说不可能的事情（虽然可以通过同一法或者共线法等方式说明，但这对于学生而言已经不太适合）！峰回路转，我们上面先通过旋转方法，证明出BE+DF=EF后，竟然神奇般地又得到了AG=AD这个有趣的结论；(3)得到AG=AD=AB后，容易证明Rt△AGE≌△Rt△ABE（HL），这样又有∠3=∠4，即∠AEB=∠AEG成立；上面这三个有关边与角相等的结论，是在证明BE+DF=EF的过程中，几乎一气呵成自然生成的“附产结论”，同学们可对这里的逻辑顺序再认真反思一遍！方法二（对称：将点E关于AF对称）：未说明清晰，这里先隐去一些干扰线条，防止同学们受这里最麻烦的“共线”干扰，具体分析如下：第一步：如图5-16所示，对称变换，将点E关于边AF对称；第二步：如图5-17所示，连接DE’，全等变换（SAS）；注意：这里还暂时得不出E’、D、F、C共线，这也是此法最麻烦的地方，也是我隐去一部分干扰线条的原因之所在，需要同学们用心体悟琢磨，如果绕不过来就PASS，只要学会旋转方法一，足矣；第三步：如图5-18所示，还原线段CD，容易推出∠FDE’=180°，故点E’、D、F、C四点共线，由此易得BE+DF=EF；既然可以将点E关于边AF对称，当然也可以将点F关于AE对称，学生自行探究，不再赘述；类比方法二与方法一，相当于第一步与第二步颠倒了个顺序，但前者可用旋转的眼光看问题，而后者却可以用翻折（对称）的眼光看图形，本质上还是有一定的差异的，而且这个差异产生了第三步中证明“四点共线（或三点共线）”的麻烦，值得深思，“共线”的证明一直是学生的软肋，容易被忽略！方法三（两次对称：同时将点B关于AE对称，点D关于AF对称）：第一步：对称变换，如图5-19所示，将点B关于AE对称；第二步：对称变换，如图5-20所示，将点D关于AF对称；值得一提的是，这里的两个对称点D’与B’恰好重合，主要原因就是“半角”所致，即∠EAF=45°，为直角∠BAD的一半导致的；当然第一次对称点A后，也可以证明Rt△DAF≌△B’AF（SAS），这样也可以达到同样的目的；由此易得BE+DF=EF；而原问题中的[实践运用]中∠EAF=45°跟上面的“两次全等”证法一致，不再赘述；另一方面得到正方形中“半角模型”结论BE+DF=EF后，已知BE=2，DF=3，可得EF=5；接下来要求正方形的边长，应该结合“方程思想”，即设BC=CD=x，则EC=x-2，FC=x-3，如图5-21所示，锁定Rt△EFC，有勾股定理列方程即可求出x的值为6，不再赘述；至于最后一个小问题求MN的长，其实就是在此正方形中识别到前面已解决的等腰直角三角形“半角模型”，结合“方程思想”即可轻松搞定，具体可如下操作：有趣的是，这道题还是本人主备任务里的作业题，还是本人得意门生张李同学提出了这个质疑，值得表扬；我想表达的是，一方面学生及教师要有质疑的精神，这种质疑精神可能比解题能力还要重要；另一方面，命题人除了要考虑到题目方法的合理性，还要检验题目条件的合理性，这也是我想表达的解题后检验或验算的好习惯！下面笔者对正方形中“半角模型”的一些常用结论，分几个层次总结如下：（一点说明：这个模型中的结论几乎可以说成“取之不尽、用之不竭”，笔者也仅仅是略懂皮毛，这里主要起到抛砖引玉之效，主要还是针对学生层面而言！）第二层次：若是将图5-23补成如图5-24所示，则有：(1)∠ACP=∠QCA=135°，∠CAP=∠CQA，且∠CPA=∠CAQ（这里通过简单的导角即可）；(2)△CAP∽△CQA，即为前面扬州中考题里提及的“等边相似”基本型；第三层次：既然引出了相似的眼光，接下来，大家细细品味此图，会一发不可收拾地得到“无数组”与相似基本型有关的结论，一定会让你大开眼界以至于“大跌眼镜”，不信你看：既然识别到了这两组“母子型相似”基本结构，紧接着一个很自然的问题随之产生，在这个图中还有没有其他的“母子型相似”结构？还有没有其他的相似基本图形？让我们“相似到底”！第四层次：上面出现了“平行型8字型”相似结构，其实这里面还有极其丰富的“相交型8字型”结构，进而可以推出系列更有趣的结论；如图5-34所示，易得△NAM∽△NDF∽△EBM，结合前面的结论，这样就有5个三角形两两均相似，即△NAM∽△NBA∽△ADM∽△NDF∽△EBM；若是此时再结合“四点共圆”（遗憾地是，稍微超纲，了解也罢）的知识，就更有趣了，如图5-35所示，A、B、E、N四点共圆；同理可得：如图5-36所示，A、D、F、M四点共圆；上面我们通过“四点共圆”的相关知识，很简单地说明了△ANE及△AMF都是等腰直角三角形，但稍遗憾地是，这里的“四点共圆”属超纲内容，学生了解即可，不宜作为主流方法；下面提供两种方式可有效避开“四点共圆”；同理，如图5-40所示，△AMF也是等腰直角三角形，不再赘述；值得一提的是，这里用到了“两次相似”，且第二次相似是通过所谓“SAS”（课堂上本人与学生已约定俗称，虽课本上并无此种说法）证明的；同理，如图5-42所示，△AMF也是等腰直角三角形，不再赘述；值得一提的是，这里依然要用到“两次相似”，且第二次相似也是通过所谓“SAS”（课堂上本人与学生已约定俗称，虽课本上并无此种说法）证明的；上面避开“四点共圆”的两种方式都是通过“两次相似”来解决的，且第二次相似都是通过所谓“SAS”（课堂上本人与学生已约定俗称，虽课本上并无此种说法）证明的，有惊人的相似之处，越类比越有趣，同学们要养成这种“琢磨精神”！得到△EAF∽△NAM后，再去导角，你会有更有趣的发现：如图5-42所示，由△EAF∽△NAM知∠5=∠2；如图5-43所示，易得∠5=∠1，从而回到图5-42中有∠1=∠2=∠5成立；同理可得∠3=∠4=∠6成立；且慢，我们在前面第一层次中不是得到过正方形中“半角模型”的一些“附产结论”嘛！其中就有∠1=∠2以及∠3=∠4啊，即FA平分∠DFE且EA平分∠BEF；这样△EAF与△NAM完全可以只通过导角就可以轻松搞定了啊，即易知∠5=∠1且∠2=∠1，由此得到∠5=∠2，再加之∠EAF=∠NAM=45°是公共角或者继续通过导角得出∠6=∠3都可以得到△EAF∽△NAM这个有趣的相似结论；强调一下，前面我们通过“导边”，利用所谓“SAS”得出△EAF∽△NAM再导角，竟然得出了前文早就得出的正方形中“半角模型”角平分线的相关结论，然后回头反思，也可以反其道而行，即先利用正方形中“半角模型”角平分线的结论导角推出△EAF∽△NAM后再去“导边”，上面的结论依然可以得到，极其有趣！这里说的啰嗦了些，请同学们想一想有没有道理即可！下面笔者对上述所有的结论，分类作一次小结，这里不考虑结论说理的顺序性，如图5-44所示：(2)从角的角度有结论：∠1=∠2=∠5，∠3=∠4=∠6（对顶角、直角、45度角等就不列举了）；∠CAP=∠CQA，∠CPA=∠CAQ（还有“四点共圆”后好多相等的圆周角等，不再列举）；(3)从全等的角度有结论：Rt△AGF≌△Rt△ADF（AAS）、Rt△AGE≌△Rt△ABE（HL）等；(4)从相似的角度有结论：△EAC∽△EQA∽△NAD∽△NQB；△FAC∽△FPA∽△MAB∽△MPD；△NAM∽△NBA∽△ADM∽△NDF∽△EBM；△CAP∽△CQA，△EMN∽BMA，△EAN∽△CAD，△EAF∽△NAM；详见上述的分析过程，一个字“爽”！此图形“宝库”中还有很多结论值得挖掘，几乎可以说是“取之不尽用之不竭”，不再展开！。

勾股定理全章复习与巩固（提高）【学习目标】1.了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法；2.理解并掌握勾股定理及逆定理的内容；3.能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题. 【知识网络】【要点梳理】【高清课堂 勾股定理全章复习 知识要点】 要点一、勾股定理 1.勾股定理：直角三角形两直角边a b 、的平方和等于斜边c 的平方.（即：222a b c +=） 2.勾股定理的应用勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：（1）已知直角三角形的两边，求第三边；（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；（3）求作长度为的线段.要点二、勾股定理的逆定理 1.原命题与逆命题如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题. 2.勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a b c 、、，满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形. 应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤： （1）首先确定最大边，不妨设最大边长为c ；（2）验证2c 与22a b +是否具有相等关系，若222a b c +=，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形，反之，则不是直角三角形. 3.勾股数满足不定方程222x y z +=的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x y z 、、为三边长的三角形一定是直角三角形.常见的勾股数：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41. 如果(a b c 、、)是勾股数，当t 为正整数时，以at bt ct 、、为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征： 1.较小的直角边为连续奇数；2.较长的直角边与对应斜边相差1.3.假设三个数分别为a b c 、、，且a b c <<，那么存在2a b c =+成立.（例如④中存在27＝24＋25、29＝40＋41等）要点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关.【典型例题】类型一、勾股定理及逆定理的应用1、如图所示，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝90°，AD ＝35，AB ＝105，BC 85=，E 是AB 上一点，且AE ＝45，求点E 到CD 的距离EF ．【思路点拨】连接DE 、CE 将EF 转化为△DCE 一边CD 上的高，根据题目所给的条件，容易求出△CDE 的面积，所以利用面积法只需求出CD 的长度，即可求出EF 的长度，过点D 作DH ⊥BC 于H ，在Rt △DCH 中利用勾股定理即可求出DC ． 【答案与解析】解：过点D 作DH ⊥BC 于H ，连接DE 、CE ，则AD ＝BH ，AB ＝DH ，∴ CH ＝BC －BH ＝853555-= DH ＝AB ＝105，在Rt △CDH 中，22222(105)(55)625CD DH CH =+=+=，∴ CD ＝25，∵ CDE ADE BCE ABCD S S S S =--△△△梯形111()222AD BC AB AD AE BC BE =+--g g g 111(3585)10535458565125222=⨯+⨯-⨯⨯-⨯⨯=又∵ 12CDE S DC EF =g △， ∴1251252EF ⨯=g ，∴ EF ＝10． 【总结升华】（1）多边形的面积可通过辅助线转化为多个三角形的面积，利用面积法求三角形一边上的高是一种常用的简易方法．（2）利用勾股定理求边长、面积时要注意边长、面积之间的转换． 举一反三：【变式】如图所示，在△ABC 中，D 是BC 边上的点，已知AB ＝13，AD ＝12，AC ＝15，BD ＝5，求DC 的长．【答案】解：在△ABD 中，由22212513+=可知：222AD BD AB +=，又由勾股定理的逆定理知∠ADB ＝90°．在Rt △ADC 中，222215129DC AC AD =-=-=．类型二、勾股定理与其他知识结合应用2、如图所示，牧童在A 处放牛，其家在B 处，A 、B 到河岸的距离分别为AC ＝400米，BD ＝200米，CD ＝800米，牧童从A 处把牛牵到河边饮水后再回家．试问在何处饮水，所走路程最短？最短路程是多少？【思路点拨】作点A 关于直线CD 的对称点G ，连接GB ，交CD 于点E ，利用“两点之间线段最短”可知应在E 处饮水，再根据对称性知GB 的长为所走的最短路程，然后构造直角三角形，利用勾股定理可解决． 【答案与解析】解：作点A 关于直线CD 的对称点G ，连接GB 交CD 于点E ，由“两点之间线段最短”可以知道在E 点处饮水，所走路程最短．说明如下：在直线CD 上任意取一异于点E 的点I ，连接AI 、AE 、BE 、BI 、GI 、GE ． ∵ 点G 、A 关于直线CD 对称，∴ AI ＝GI ，AE ＝GE ．由“两点之间线段最短”或“三角形中两边之和大于第三边”可得GI ＋BI ＞GB ＝AE ＋BE ，于是得证．最短路程为GB 的长，自点B 作CD 的垂线，自点G 作BD 的垂线交于点H ，在直角三角形GHB 中，∵ GH ＝CD ＝800，BH ＝BD ＋DH ＝BD ＋GC ＝BD ＋AC ＝200＋400＝600，∴ 由勾股定理得222228006001000000GB GH BH =+=+=．∴ GB ＝1000，即最短路程为1000米．【总结升华】这是一道有关极值的典型题目．解决这类题目，一方面要考虑“两点之间线段最短”；另一方面，证明最值，常常另选一个量，通过与求证的那个“最大”“最小”的量进行比较来证明，如本题中的I 点．本题体现了勾股定理在实际生活中的应用． 举一反三：【变式】如图所示，正方形ABCD 的AB 边上有一点E ，AE ＝3，EB ＝1，在AC 上有一点P ，使EP ＋BP 最短．求EP ＋BP 的最小值．【答案】解：根据正方形的对称性可知：BP ＝DP ，连接DE ，交AC 于P ，ED ＝EP ＋DP ＝EP ＋BP ， 即最短距离EP ＋BP 也就是ED ．∵ AE ＝3，EB ＝1，∴ AB ＝AE ＋EB ＝4，∴ AD ＝4，根据勾股定理得：222223425ED AE AD =+=+=．∵ ED ＞0，∴ ED ＝5，∴ 最短距离EP ＋BP ＝5．3、如图所示，等腰直角△ABC 中，∠ACB ＝90°，E 、F 为AB 上两点(E 左F 右)，且∠ECF ＝45°，求证：线段AE,BF,EF 之间的数量关系.【思路点拨】：由于∠ACB ＝90°，∠ECF ＝45°，所以∠ACE ＋∠BCF ＝45°，若将∠ACE 和∠BCF 合在一起则为一特殊角45°，于是想到将△ACE 旋转到△BCF 的右外侧合并，或将△BCF 绕C 点旋转到△ACE 的左外侧合并，旋转后的BF 边与AE 边组成一个直角，联想勾股定理即可证明． 【答案与解析】解：(1)222AE BF EF +=，理由如下：将△BCF 绕点C 旋转得△ACF ′，使△BCF 的BC 与AC 边重合， 即△ACF ′≌△BCF ，∵ 在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，∴ ∠CAF ′＝∠B ＝45°，∴ ∠EAF ′＝90°． ∵ ∠ECF ＝45°，∴ ∠ACE ＋∠BCF ＝45°． ∵ ∠ACF ′＝∠BCF ，∴ ∠ECF ′＝45°． 在△ECF 和△ECF ′中：45CE CE ECF ECF CF CF =⎧⎪'∠=∠=⎨⎪'=⎩°∴ △ECF ≌△ECF ′(SAS)，∴ EF ＝EF ′． 在Rt △AEF ′中，222AE F A F E ''+=， ∴ 222AE BF EF +=．【总结升华】若一个角的内部含有同顶点的半角，(如平角内含直角，90°角内含45°角，120°角内含60°角)，则常常利用旋转法将剩下的部分拼接在一起组成又一个半角，然后利用角平分线、全等三角形等知识解决问题．4、（2014•顺义区一模）在△ABC 中，BC=a ，AC=b ，AB=c ，设c 为最长边．当a 2+b 2=c2时，△ABC 是直角三角形；当a 2+b 2≠c 2时，利用代数式a 2+b 2和c 2的大小关系，可以判断△ABC 的形状（按角分类）．（1）请你通过画图探究并判断：当△ABC 三边长分别为6，8，9时，△ABC 为 三角形；当△ABC 三边长分别为6，8，11时，△ABC 为 三角形．（2）小明同学根据上述探究，有下面的猜想：“当a 2+b 2＞c 2时，△ABC 为锐角三角形；当a 2+b 2＜c 2时，△ABC 为钝角三角形．”请你根据小明的猜想完成下面的问题：当a=2，b=4时，最长边c在什么范围内取值时，△ABC是直角三角形、锐角三角形、钝角三角形？【思路点拨】（1）利用勾股定理列式求出两直角边为6、8时的斜边的值，然后作出判断即可；（2）根据三角形的任意两边之和大于第三边求出最长边c点的最大值，然后得到c的取值范围，然后分情况讨论即可得解．【答案与解析】解：（1）∵两直角边分别为6、8时，斜边==10，∴△ABC三边分别为6、8、9时，△ABC为锐角三角形；当△ABC三边分别为6、8、11时，△ABC为钝角三角形；故答案为：锐角；钝角；（2）∵c为最长边，2+4=6，∴4≤c＜6，a2+b2=22+42=20，①a2+b2＞c2，即c2＜20，0＜c＜2，∴当4≤c＜2时，这个三角形是锐角三角形；②a2+b2=c2，即c2=20，c=2，∴当c=2时，这个三角形是直角三角形；③a2+b2＜c2，即c2＞20，c＞2，∴当2＜c＜6时，这个三角形是钝角三角形．【总结升华】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，读懂题目信息，理解理解三角形为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形时的三条边的数量关系是解题的关键．类型三、本章中的数学思想方法1.转化的思想方法：我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常常作垂线，构造直角三角形，将问题转化为直角三角形问题来解决．5、如图所示，△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF，若BE＝12，CF＝5．求线段EF的长.【答案与解析】解：连接AD．因为∠BAC＝90°，AB＝AC．又因为 AD为△ABC的中线，所以 AD＝DC＝DB．AD⊥BC．且∠BAD＝∠C＝45°．因为∠EDA＋∠ADF＝90°．又因为∠CDF＋∠ADF＝90°．所以∠EDA＝∠CDF．所以△AED≌△CFD（ASA）．所以 AE＝FC＝5．同理：AF＝BE＝12．在Rt△AEF中，由勾股定理得：，所以EF＝13.【总结升华】此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识.通过此题，我们可以知道：当已知的线段和所求的线段不在同一三角形中时，应通过适当的转化把它们放在同一直角三角形中求解.举一反三：【变式】已知凸四边形ABCD中，∠ABC＝30°，∠ADC＝60°，AD＝DC，求证：【答案】解：将△ABD绕点D顺时针旋转60°．由于DC＝AD，故点A转至点C．点B转至点E，连结BE．∵ BD＝DE，∠BDE＝60°∴△BDE为等边三角形，BE＝BD易证△DAB≌△DCE，∠A＝∠2，CE＝AB∵四边形ADCB中∠ADC＝60°，∠ABC＝30°∴∠A＋∠1＝360°－60°－30°＝270°∴∠1＋∠2＝∠1＋∠A＝270°∴∠3＝360°－(∠1＋∠2)＝90°∴∴2.方程的思想方法6、如图所示，已知△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，，求、、的值.【答案与解析】解：在Rt △ABC 中，∠A ＝60°，∠B ＝90°－∠A ＝30°，则 ，由勾股定理，得.因为，所以，，，.【总结升华】在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半. 举一反三：【变式1】直角三角形周长为12cm ，斜边长为5cm ，求直角三角形的面积. 【答案】解：设此直角三角形两直角边长分别是x y ，，根据题意得：由（1）得：7x y +=，∴()249x y +=，即22249x xy y ++= (3)(3)－(2)，得：12xy = ∴直角三角形的面积是12xy ＝12×12＝6（2cm ） 【变式2】（2014春•防城区期末）如图所示，在△ABC 中，AB ：BC ：CA=3：4：5，且周长为36cm ，点P 从点A 开始沿边向B 点以每秒1cm 的速度移动；点Q 从点B 沿BC 边向点C 以每秒2cm 的速度移动，如果同时出发，问过3秒时，△BPQ 的面积为多少？【答案】解：设AB为3xcm，BC为4xcm，AC为5xcm，∵周长为36cm，AB+BC+AC=36cm，∴3x+4x+5x=36，得x=3，∴AB=9cm，BC=12cm，AC=15cm，∵AB2+BC2=AC2，∴△ABC是直角三角形，过3秒时，BP=9﹣3×1=6（cm），BQ=2×3=6（cm），∴S△PBQ=BP•B Q=×（9﹣3）×6=18（cm2）．故过3秒时，△BPQ的面积为18cm2．。

正方形中的45度解答篇上（谢科安）
邪神是我们敬佩的解题大神，45度篇一直流传江湖，今天再发一次！
中考只剩一个多月了，我们的数学的学习需要回归基础，难题部分做适度训练，不要过难过偏！前几天发了近10年真题的题位练习！今
天发6年副题！可以成套练习！
需要学习题位练习的可以点下面链接：
题位训练（1-5）
题位训练（6-10）
题位训练（15-19）
题位训练（20-23）
题位训练24
题位训练25
《五大解析》系列各分册上市时间以及内容：
解析一（高新一模、工大一模、交大一二模、师大一二模共六套）上市时间：2019年3月8日
解析二（高新二模、工大二模、交大三模、师大三模、铁一一模、
某校点考共六套）上市时间：2019年3月25日
解析三（工大三模、铁一二、三模、高新三模、工大四模、师大四模，交大四模共七套）上市时间：2019年4月25日
解析四（铁一4、5模、工大5、6模、交大5、6模、师大5模、高新4模……）上市时间：2019年6月2日
解析五：？
解析合辑：（包含2019年所有的五大名校模考试卷+2019年中考真题欣赏）预计上市时间：7月底！。

思维特训(十四)顶点在正方形顶点上的45 °角方法点津基本模型：图14－S－1解题思维切入角度：利用旋转的思想构造全等三角形解题．典题精练1．如图14－S－2，正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF＝45°，延长CD到点G，使DG＝BE，连接EF，AG.求证：EF＝FG.图14－S－22．如图14－S－3，已知正方形ABCD的边长为1，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF＝45°，求△CEF的周长．图14－S－33．如图14－S－4，四边形ABCD是正方形，∠MAN＝45°，它的两边AM，AN与CB，DC分别交于点M，N，连接MN，作AH⊥MN，垂足为H，如图14－S－4，猜想AH 与AB有什么数量关系，并证明．图14－S－44．如图14－S－5，在正方形ABCD中，∠EAF＝45°，点E，F在BD上，求证：BE2＋FD2＝EF2.图14－S－5图14－S－65．如图14－S－6，已知M，N两点在正方形ABCD的对角线BD上移动，∠MCN＝45°，连接AM，AN，并延长与BC，CD分别交于E，F两点，则∠CME＋∠CNF＝________．典题讲评与答案详析1．证明：在正方形ABCD中，∠ABE＝∠ADC＝90°，AB＝AD，∴∠ABE＝∠ADG＝90°.又∵BE＝DG，∴△ABE≌△ADG(SAS)，∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，∴∠EAG＝90°，∴∠EAF＝∠GAF＝45°.又∵AF＝AF，∴△F AE≌△F AG(SAS)，∴EF＝FG.2．解：延长CD到点H，使DH＝BE，连接AH，易证△ABE≌△ADH，∴AH＝AE，∠DAH＝∠BAE，∴∠F AH＝∠DAH＋∠DAF＝∠BAE＋∠DAF＝90°－∠EAF.∵∠EAF＝45°，∴∠F AH＝90°－45°＝45°，∴∠F AH＝∠EAF.又∵AF＝AF，∴△AEF≌△AHF(SAS)，∴EF＝FH，∴△CEF的周长＝EF＋CF＋CE＝FH＋CF＋CE＝DF＋DH＋CF＋CE＝DF＋BE＋CF ＋CE＝(BE＋CE)＋(DF＋CF)＝BC＋CD.∵正方形ABCD的边长为1，∴△CEF的周长为1＋1＝2.3．解：猜想：AH＝AB.证明：如图，延长CB至点E，使BE＝DN，连接AE，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠ABC＝∠D＝90°，∴∠ABE＝∠D＝90°，∴△ABE≌△ADN(SAS)，∴∠1＝∠2，AE＝AN.∵∠BAD＝90°，∠MAN＝45°，∴∠2＋∠3＝90°－∠MAN＝45°，∴∠1＋∠3＝45°，即∠MAE＝∠MAN＝45°.又∵AM＝AM，∴△EAM≌△NAM(SAS)．又∵EM和NM是对应边，∴AB＝AH(全等三角形对应边上的高相等)．4．证明：过点A作F A的垂线，并在垂线上截取AG＝AF，连接BG，EG. ∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∴∠BAG＝∠DAF，∴△ABG≌△ADF，∴BG＝FD，∠ABG＝∠ADF＝45°.∵∠EAF＝45°，∴∠GAE＝∠BAG＋∠BAE＝∠DAF＋∠BAE＝45°，∴∠GAE＝∠EAF. 又∵AE＝AE，AG＝AF，∴△AEG≌△AEF(SAS)，∴EG＝EF.在正方形ABCD中，∠ABE＝45°，∴∠GBE＝90°，∴BE2＋BG2＝EG2，即BE2＋FD2＝EF2.5．90° [解析] 由正方形的对称性可得∠MAN＝∠MCN＝45°，∠2＝∠4，∠1＝∠3，∴∠ANC＋∠AMC＝2(∠1＋∠2)＝270°，∴∠CME＋∠CNF＝180°＋180°－270°＝90°.。

八年级数学下册考点知识与题型专题讲解与提升练习专题45 正方形的折叠问题一、单选题1．如图所示，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打3个洞，则纸片展开后是A．B．C．D．2．如图，先将正方形纸片对折，折痕为MN，再把B点折叠在折痕MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为H，则HBC∠的度数为（）A．30︒B．22.5︒C．15︒D．12.5︒3．如图，正方形ABCD的边长为6，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为CH．若:2:1BE EC=，则线段CH的长是（）．A．3 B．4 C．38D．834．如图，正方形ABCD的边长为8，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH．若BE＝EC，则线段CH的长是（）A．3 B．4 C．5 D．65．如图，已知正方形ABCD，沿直线BE将A∠折起，使点A落在对角线BD上的A'处，连结A C'，则BA C'∠=（）A．45°B．60°C．67.5°D．75°6．如图是一张矩形纸片ABCD，AD＝10cm，若将纸片沿DE折叠，使DC落在DA上，点C 的对应点为点F，若BE＝6cm，则CD＝( )A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm7．如图，在边长为8的正方形纸片ABCD中，E是边BC上的一点，6,BE=连结AE,将正方形纸片折叠，使点D落在线段AE上的点G处，折痕为AF．则DF的长为( )A．2B．3C．4D．58．如图，先将正方形纸片对折，折痕为MN，再把点B折叠在折痕MN上，折痕为AE，点E在CB上，点B在MN上的对应点为H，连接DH，则下列选项错误的是（）A．△ADH是等边三角形B．NE=14BCC．∠BAE=15°D．∠MAH+∠NEH=90°9．娜娜跟奶奶学习剪纸艺术，想把一张正方形纸片从中间剪出一个如图a的形状.现在将正方形纸片按如图所示的步骤①，②沿虚线对折两次，然后沿虚线剪去一个角，展开铺平，娜娜的剪裁方法应该是（）A．B．C．D．10．将一个正方形纸片按如图所示的方式进行折叠两次，在最后的三角形中按虚线剪开，得到的图案是下列中的（）.A．B．C．D．11．将一正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线剪去上方的小三角形，将纸片展开，得到的图形是( ).A．B．C．D．12．将一张正方形纸片按如图1，图2所示的方向对折，然后沿图3中的虚线剪裁得到图形，再将图形的纸片展开铺平，得到的图案是（）A．B．C．D．13．如图，先将正方形纸片对折，折痕为EF，再把点C折叠到EF上，折痕为DN，点C 在EF上的对应点为M，则下列结论中（1）AM=AB；（2）∠MCE=15°；（3）△AMD是等边三角形；（4）CN=NE，正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个14．如图，在边长为12的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF 交BC 于点G ，则BG 的长为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．215．如图，将矩形纸片ABCD 折叠，使点A 落在BC 上的点F 处，折痕为BE ，若沿EF 剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是（ ）A ．邻边相等的矩形是正方形B ．对角线相等的菱形是正方形C ．两个全等的直角三角形构成正方形D ．轴对称图形是正方形16．将正方形纸片两次对折，并剪出一个菱形小洞后铺平，得到的图形是（）A ．B ．C ．D ．17．如图．已知正方形ABCD 的边长为12．BE EC =，将正方形的边CD 沿DE 折叠到DF ，延长EF 交AB 于G ，连接DG ．现有如下3个结论；①AG EC GE +=；②45GDE ∠=︒；③BGE △的周长是24．其中正确的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．318．如图是一张矩形纸片ABCD ，8cm AD =，若将纸片沿DE 折叠，使DC 落在DA 上，点C 的对应点为点F ，若5cm BE =，则CD =（）A ．3cmB ．5cmC ．D ．8cm19．欧几里得在《几何原本》中，记载了用图解法解方程22x ax b +=的方法，类似地可以用折纸的方法求方程210x x +-=的一个正根，如图，裁一张边长为1的正方形的纸片ABCD ，先折出BC 的中点E ，再折出线段AE ，然后通过折叠使EB 落在线段EA 上，折出点B 的新位置F ，因而EF EB =，类似地，在AB 上折出点M 使AM AF =，表示方程210x x +-=的一个正根的线段是（）A ．线段BMB ．线段AMC ．线段AED ．线段EM20．如图，已知在正方形ABCD 中，E 是BC 上一点，将正方形的边CD 沿DE 折叠到DF ，延长EF 交AB 于点G ，连接DG ．现有如下4个结论：①AG＝GF ；②AG 与EC 一定不相等；③45GDE ∠=︒；④BGE △的周长是一个定值．其中正确的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．421．如图，正方形ABCD 的边长为6，点E 在边CD 上，且CD ＝3DE ．将ADE ∆沿AE 对折至AFE ∆，延长EF 交边BC 于点G ，连接AG 、CF ．则下列结论：①ABG AFG ∆∆≌；②BG＝CG ；③//AG CF ；④EGC AFE S S ∆∆＝；⑤∠AGB+∠AED＝135°．其中正确的个数是（ ）A ．5B ．4C ．3D ．222．如图，将一边长为12的正方形纸片ABCD 的顶点A 折叠至DC 边上的点E ，使DE=5，折痕为PQ ，则PQ 的长为（）A ．12B ．13C ．14D ．1523．如图，在正方形ABCD 中，6,AB =点E 在边CD 上，且3,CD DE =将ADE 沿AE 对折至,AEF 延长EF 交边BC 于点,G 连接,AG CF ，下列结论：①BG CG =；②//AG FC ；③910FGC S =△．其中正确的是（）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③24．如图，在正方形ABCD 中，=6AB ，点E 在边CD 上，且=3CD DE ，将ADE 沿AE 对折至AFE △，延长EF 交BC 于点G ，连结AG ，CF ，下列结论：①ABG AFG △≌△；②=BG CG ；③18=AGE S ；④=45GAE ∠︒，其中正确的是（ ）A ．①②③B ．②③④C ．③④①D ．①②④25．如图，正方形ABCD 中，AB ＝6，点E 在边CD 上，且CD ＝3DE ，将ADE 沿AE 对折至AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，连接AG 、CF ，则FGC S △＝（）A ．6B ．2.4C ．3.6D ．4.826．如图，在正方形ABCD 中，6AB =，点E 在边CD 上，且2CE DE =，将ADE 沿AE 折叠得到AFE △，延长EF 交边BC 于点G ，则BG 的长为（）A ．2B ．52C ．3D ．10327．如图，正方形ABCD 中，3AB =，点E 在边CD 上，且2CE DE =；将ADE ∆沿AE 对折至AFE ∆，延长EF 交边BC 于点G ，连结AG 、CF ，下列结论中，正确的个数为（） ①BG GC =；②45GAE ∠=︒；③//AG CF ；④910FGC S ∆=A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个28．如图，在正方形ABCD 中，E 为边BC 上一点，将ABE ∆沿AE 折叠至'AB E ∆处，'B E 与AC 交于点F ，若69EFC ︒∠=，则CAE ∠的大小为（）A ．10︒B ．12︒C ．14︒D ．15︒29．寒假丽丽用一块边长为10的正方形彩纸为她的人偶玩具做了一件披风，如图所示，先将正方形纸片ABCD 对折，展平后得到中线MN ，再分别沿折痕EB ，FC 将点A ，点D 都折到MN 上点O 处，此时领口EF 的长为（）A ．30B ．103C ．3D ．2030．如图，在正方形ABCD 中，6AB =，将ADE 沿AE 折叠至AFE △，延长EF 交BC 于点G ，G 刚好是BC 边的中点，则ED 的长是（）A ．1B ．1．5C ．2D ．2．531．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是正方形，点A 的坐标是(4，0)，点P 为边AB 上一点，∠CPB=60°，沿CP 折叠正方形，折叠后，点B 落在平面内点'B 处，则'B 点的坐标为（）A ．(2，2)B ．(32，3)C ．(2，4-)D ．(32，4-) 32．如图，正方形ABCD 中，AB =6，点E 在边CD 上，且CD =3DE ．将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，连结AG 、CF ．下列结论：①△ABG ≌△AFG ；②BG =GC ；③AG ∥CF ；④6GCE S =△．其中正确结论的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．133．如图所示，正方形纸片ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，折叠正方形纸片ABCD ，使AD 落在BD 上，点A 恰好与BD 上的点F 重合，展开后折痕DE 分别交AB ，AC 于点E ，G ，连接GF ，给出下列结论：①∠ADG=22.5°；②tan∠AED=2；③S△AGD=S△OGD；④四边形AEFG 是菱形；⑤BE=2OG；⑥若S△OGF=1，则正方形ABCD 的面积是，其中正确的结论个数有（）A ．2个B ．4个C ．3个D ．5个34．如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 边上的一点，4BE =，8CE =，将正方形边AB 沿AE 折叠到AF ，延长EF 交DC 于G ．连接AG ，现在有如下四个结论：①45EAG ∠=︒；②FG FC =；③FC ∥AG ；④14GFC S ∆=; 其中结论正确的个数是（）A．1 B．2C．3 D．435．如图，矩形ABCD，∠DAC＝65°，点E是CD上一点，BE交AC于点F，将△BCE沿BE 折叠，点C恰好落在AB边上的点C′处，则∠AFC′等于（）A．25°B．30°C．35°D．40°36．如图．将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、CB均落在对角线BD上，得折痕BE、BF，则∠EBF的大小为A．15°B．30°C．45°D．60°37．如图，将正方形ABCD沿BE对折，使点A落在对角线BD上的A′处，连接A′C，则∠DA′C的度是（）A ．122.5°B ．112.5°C ．112.25°D ．120°38．如图，正方形ABCD 中，AB=6，G 是BC 的中点．将△ABG 沿AG 对折至△AFG，延长GF 交DC 于点E ，则DE 的长是 ( )A ．1B ．1.5C ．2D ．2.5第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题39．如图，M 、N 分别是正方形ABCD 边DC 、AB 的中点，分别以AE 、BF 为折痕，使点D 、点C 落在MN 的点G 处，则ABG 是_______________三角形．40．如图，矩形纸片ABCD 中，已知4=AD ，3AB =，点E 在BC 边上，沿AE 折叠纸片，使点B 落在点'B 处，连结'CB ，当'CEB ∆为直角三角形时，BE 的长为______.41．如图，正方形ABCD，边长为4，点E是CD边的中点，F在边BC上，沿AF对折△ABF，点B落在AE上的G点处，则CF=________．42．如图，先将正方形纸片对折，折痕为MN，再把点B折叠到折痕MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为H，则ABH∠=______°．43．如图，在正方形ABCD中，点E是BC边上的一点，BE＝4，EC＝8，将正方形边AB沿AE折叠到AF，延长EF交DC于点G，连接AG，现在有如下四个结论：①∠EAG＝45°；＝14.4．其中结论正确的序号是________．②FG＝FC；③//FC AG；④S△GFC44．如图，将正方形ABCD沿MN对折，点M、N分别是AD、BC的中点，再将点C折至点H 的位置，点H 在MN 上，折痕是BQ ，则RN RQ______．45．把边长为4的正方形纸片ABCD 对折，使边AB 与CD 重合，展开后得到折痕EF ．如图①：点M 为CF 上一点，将正方形纸片ABCD 沿直线DM 折叠，使点C 落在EF 上的点N 处，展开后连接DN ，MN ，AN ，如图②则图②中，∠CMD ＝__，线段NF ＝_____．46．如图，已知正方形,ABCD 边长为10,E 是AB 边上的一点，连接,DE 将DAE △沿DE 所在直线折叠，使点A 的对应点1A 落在正方形的边CD 或BC 的垂直平分线上，则AE 的长度是___________．47．使AD 落在BD 上，点A 恰好与BD 上的点F 重合，展开后，折痕DE 分别交AB 、AC 于点E、G，连接GF，下列结论中正确的是_____．（填序号）①∠AGE=67.5°；②四边形AEFG是菱形；③BE=2OF；④DG=CO．48．如图，正方形ABCD中，AB=6，F为AB边上一点，H是BC延长线上一点，将△BHF沿HF翻折，使点B恰好落在AD边上的点E处，EH与CD交于点G，连接BG，与HF交于点M，若BG平分∠CGE，AE=4，则FM=___．49．如图，正方形ABCD的边长为6，点E、F分别在边AD、BC上．将该纸片沿EF折叠，使点A的对应点G落在边DC上，折痕EF与AG交于点Q，点K为GH的中点，则随着折痕EF位置的变化，△GQK周长的最小值为____．三、解答题50．如图，将边长为8的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F 处，折痕为MN．（1）求线段CN的长；（2）求以线段MN为边长的正方形的面积．B C'=．将纸51．如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，B'为CD边上的点，3片沿某条直线折叠，使点B落在点B'处，点A的对应点为A'，折痕分别与AD，BC边交于点M，N．求BN的长．52．如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH．若BE：EC＝2：1，求线段EC，CH的长．53．如图，将一块边长为9的正方形纸片ABCD的顶点A折叠至DC边上的点E，使3DE=，折痕为PQ，连接AE交PO于点M．求：（1）PA的长；（2）PM的长．54．如图，将对角线BD长为ABCD折叠，使点B落在DC边的中点Q处，点A落在P处，折痕为EF．（1）求线段AB和线段CF的长：（2）连接EQ，求EQ的长．55．如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的正方形纸片，点O与坐标原点OC=，点E在边BC上，点N的坐标为(3,0)，重合，点A在x轴上，点C在y轴上，5过点N且平行于y轴的直线MN与EB交于点M．现将纸片折叠，使顶点C落在MN上，并与MN上的点G重合，折痕为OE．（1）求点G的坐标，并求直线OG的解析式；=+平行于直线OG，且与长方形ABMN有公共点，请直接写出n （2）若直线:l y mx n的取值范围．（3）设点P 为x 轴上的点，是否存在这样的点P ，使得以,,P O G 为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．56．如图，将一张边长为8的正方形纸片OABC 放在直角坐标系中，使得OA 与y 轴重合，OC 与x 轴重合，点P 为正方形AB 边上的一点（不与点A 、点B 重合）．将正方形纸片折叠，使点O 落在P 处，点C 落在G 处，PG 交BC 于H ，折痕为EF ．连接OP ，OH ．初步探究：（1）当4AP =时，点E 的坐标____；深入探究：（2）当点P 在边AB 上移动时，APO ∠与OPH ∠的度数总是相等，请说明理由．拓展应用：（3）当点P 在边AB 上移动时，PBH △的周长是否发生变化？并证明你的结论．57．如图，在边长为8的正方形ABCD 中，E 是边CD 的中点，将ADE 沿AE 对折至AFE △，延长EF 交边BC 于点G ，连接AG ．（1）求证：ABG AFG△≌△；的度数；（2）求EAG（3）求线段BG的长度．58．如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN，再过点B 折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE，若AB的长为2，求FM的长．59．如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交BC于点G，连接AG．（1）求证：△ABG≌△AFG；（2）求BG的长．60．解答题．（1）如图，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN，求线段CN的长．（2）已知实数x ，y ()22350x y --=，求8x y -的平方根和立方根． 61．在正方形ABCD 中，点G 是边DC 上的一点，点F 是直线BC 上一动点，FE AG ⊥于H ，交直线AD 于点E ．（1）当点F 运动到与点B 重合时(如图1)，线段EF 与AG 的数量关系是________．（2）若点F 运动到如图2所示的位置时，（1）探究的结论还成立吗？如果成立，请给出证明：如果不成立，请说明理由．（3）如图3，将边长为6的正方形ABCD 折叠，使得点A 落在边CD 的中点M 处，折痕为PQ ，点P 、Q 分别在边AD 、BC 上，请直接写出折痕PQ 的长．62．Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，（1）如图1，分别以AB 、AC 、BC 为边向外作正方形ABFG 、ACPE 、BCDE ，其面积分别记为S 1，S 2，S 3，①若AB ＝5，AC ＝12，则S 3＝；②如图2，将正方形BCDE 沿C 折，点D 、E 的对应点分别记为M 、M ，若点从M 、N 分别在直线FG 和PH 上，且点M 是GO 中点时，求S 1∶S 2∶S 3；③如图3，无论Rt△ABC三边长度如何变化，点M必定落在直线FG上吗？请说明理由；（2）如图4，分别以AB，AC，BC为边向外作正三角形ABD，ACF，BCE，再将三角形BCE保持不变，随着AC的长度变化，点P也沿BC翻折，点E的对应点记为P，若AB＝2随之运动，试探究AP的值是否变化，若不变，直接写出AP的值；若改变，直接写出AP 的最小值．63．如图，现有一张边长为ABCD，点P 为正方形 AD 边上的一点（不与点A、点D 重合），将正方形纸片折叠，使点 B 落在 P 处，点 C 落在 G 处，PG 交DC 于H，折痕为 EF，连接 BP，BH.（1）求证：EPB EBP∠=∠；（2）求证：APB BPH∠=∠；（3）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？不变化，求出周长，若变化，说明理由；（4）设AP为x，四边形EFGP的面积为S，求出S与x的函数关系式.。