北京市八一学校2021届高三上学期10月月考数学试题+含答案

2023北京八一学校高三10月月考数 学本试卷共4页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合{}3A x x =<，{}2N2B x x =∈<∣，则A B =（ ）A. {0,1}B. {1,2}C. {1,1}−D. {1,0,1}−2. 已知角α终边经过点(2,1)P ，则sin α=（ ） A. 12D. 23. 已知命题(0,)x ∃∈+∞，1ln 1x x≥−，则p ⌝为（ ） A. (0,)∀∈+∞x ，1ln 1x x≥−B. (0,)x ∃∈+∞，1ln 1x x≤− C. (0,)∀∈+∞x ，1ln 1x x<− D. (0,)x ∀∉+∞，1ln 1x x≥−4. 已知1ln 2a =，121log 3b =，122c −=，则（ ） A. b c a >>B. b a c >>C. c a b >>D. c b a >>5.已知sin cos αα+=，则cos 2=α（ ）A. 0B. 1C. 1−D.6. 若0a b +<，且0b >，则（ ） A. 22ab a b <<B. 22a b ab <<−C. 22b ab a <−<D. 22a ab b <−<7. 已知函数()tan f x x =和直线:l y x a =+，那么“直线l 与曲线()y f x =相切”是“0a =”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8. 已知函数()sin y A x ωϕ=+的部分图象如图所示，将该函数的图象向左平移t （0t >）个单位长度，得到函数()y f x =的图象．若函数()y f x =的图象关于原点对称，则t 的最小值（ ）A.π12B.π6C.π4D.π39. 某批救灾物资随41辆汽车从某市以v km/h 的速度匀速直达灾区，已知两地公路线长360km ，为安全起见，两辆汽车的间距不得小于2km 900v （车长忽略不计），要使这批物资尽快全部到达灾区，则=v （ ） A. 70B. 80C. 90D. 10010. 已知奇函数f (x )的定义域为(,),22ππ−且()f x '是f (x )的导函数.若对任意(,0),2x π∈−都有()cos ()sin 0,f x x f x x '+<则满足()2cos ()3f f πθθ<⋅的θ的取值范围是（ ）A. (,)23ππ− B. (,)(,)2332ππππ−−⋃ C.(,)33ππ−D. (,)32ππ第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分.11. 在复平面内，复数12z i =−对应的点到原点的距离是_______．12. 函数1,Q()0,Q x f x x ∈⎧=⎨∉⎩，则f=______.13. 若函数()2cos()1f x x ωϕ=++，其中0ω>对任意的x 都有()(2)f x f x =−，写出一组符合条件的ω，ϕ的值______.14. 设函数()()1xf x xe a x =−−，其中1a <，若存在唯一整数0x ，使得()0f x a <，则a 的取值范围是__________．15. 已知函数(()ln f x ax =，则下列说法正确的是______.①函数()f x 的定义域为R . ②R a ∃∈，函数()f x 为奇函数.③[0)a ∀∈+∞,，函数()f x 在(0,)+∞为增函数. ④R a ∃∈，函数()f x 有极小值点.三、解答题：共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. 已知函数()cos cos 2(R)f x x x x x =−∈. （1）求()f x 的单调递增区间；（2）求()f x 的最小正周期，对称轴，对称中心； （3）设π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()f x 的值域.17. 在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足()())sin sin sin b a B A c B C −+=−（1）求角A 的大小；（2）已知①2a =，②π4B =，③c =在这三个条件中任选两个，补充在下面的问题中，并解玦该问题.已知____________，____________，若ABC 存在，求ABC 的面积；若不存在，说明理由. 18. 已知函数π()sin()0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>≤⎪⎝⎭在一个周期内的图象如图所示，其中，点P 的坐标为(6,0)−，点Q 是()f x 图象上的最低点且坐标为(2,3)−−，点R 是()f x 图象上的最高点.（1）求函数()f x 的解析式；（2）记RPO α∠=，QPO β∠=（α，β均为锐角），求()tan 2αβ+的值.19. 已知函数()21exax x f x +−=. （1）求曲线()y f x =在点()0,1−处的切线方程； （2）若函数()f x 的极大值点为2，求a 的取值范围； （3）证明：当1a ≥时，()e 0f x +≥20. 已知函数()cos f x x x ax a =−+，π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，(0)a ≠.（1）当1a ≥时，求()f x 的单调区间； （2）求证：()f x 有且仅有一个零点.21. 已知x 为实数，用[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[]1.21=，[]1.22−=−，[]11=.对于函数()f x ，若存在m R ∈且m Z ∉，使得()[]()f m fm =，则称函数()f x 是“和谐”函数.（1）判断函数()213f x x x =−，()sin g x x π=是否是“和谐”函数；（只需写出结论） （2）设函数()f x 是定义在R 上的周期函数，其最小周期为T ，若()f x 不是“和谐”函数，求T 的最小值.（3）若函数()af x x x=+是“和谐”函数，求a 的取值范围.参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 【答案】A【分析】根据绝对值不等式的解法化简集合A ，根据一元二次不等式的解法及自然数集化简集合B ，然后利用交集运算求解即可.【详解】因为集合{}{}333A x x x x =<=−<<，{}{}2N20,1B x x =∈<=∣， 所以A B ={0,1}.故选：A. 2. 【答案】B【分析】由三角函数的定义即可求解.【详解】由三角函数的定义可知，角α终边经过点(2,1)P，故sin 5α==. 故选：B 3. 【答案】C【分析】由存在命题的否定是全称命题即可得出答案. 【详解】命题(0,)x ∃∈+∞，1ln 1x x≥−， 则p ⌝为：(0,)∀∈+∞x ，1ln 1x <. 故选：C . 4. 【答案】A【分析】根据对数函数的单调性得1,0b a ><，由指数函数的性质得01c <<，即可比较. 【详解】1lnln102a =<=，12221log log 3log 213b ==>=，又1020221c −<=<=，所以10b c a >>>>，即b c a >>. 故选：A. 5. 【答案】A【分析】根据辅助角公式化简sin cos αα+=α，进而可得cos 2α.【详解】sin cos αα+=π4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭πsin 14α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故()ππ2π,Z 42k k α+=+∈，()π2π,Z 4k k α=+∈.故()Z c πos π402cos ,2k k α⎛⎫=⎪= ⎭+∈⎝. 故选：A 6. 【答案】C【分析】根据不等式的性质可得22a b <，排除ABD ，再根据不等式性质判断C 即可.【详解】对ABD ，因为0a b +<，故b a <−，又0b >，故0b a <<−，故()2220b a a <<−=，即22b a <，故ABD 错误；对C ，()20b ab b a b +=+<，故2b ab <−，又()2a ab a a b +=+，因为0a b +<，且0b >，故a<0，故()0a a b +>，即2ab a −<，则22b ab a <−<，故C 正确； 故选：C 7. 【答案】B【分析】根据导数的几何意义求解a ，再根据充分、必要条件的概念判断即可. 【详解】设直线:l y x a =+与曲线()tan f x x =相切于点00(,)x y ，由()tan f x x =可得()()22cos cos sin sin 1cos cos x x x x f x x x ⋅−⋅−='=，于是有：20000011cos tan xy x a y x⎧=⎪⎪⎪=+⎨⎪=⎪⎪⎩， 所以20000cos 1tan 0x a x y x ⎧=⎪=−⎨⎪==⎩，所以0π,Z π,Z x k k a k k =∈⎧⎨=−∈⎩，当0k =时，0a =，所以0a =时，直线l 与曲线()y f x =相切， 但是直线l 与曲线()y f x =相切时，a 不一定为0，即“直线l 与曲线()y f x =相切”是“0a =”的必要不充分条件. 故选：B 8. 【答案】B【分析】结合函数图像求出函数()sin y A x ωϕ=+的图像距离原点最近的点的坐标，即可确定t 的值 【详解】解：如图设函数()sin y A x ωϕ=+的部分图像与x 轴的交点为,,A B C ，由图可知,62f a f a ππ⎛⎫⎛⎫−==− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以62f f ππ⎛⎫⎛⎫−=− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以点,6a π⎛⎫−⎪⎝⎭与点,2a π⎛⎫− ⎪⎝⎭关于点A 对称， 设(,0)A A x ，则262A x ππ−+=，解得6A x π=，因为将函数()sin y A x ωϕ=+函数的图像向左平移t （0t >）个单位长度，得到函数()y f x =的图像，且图像关于原点对称，所以平移后的函数()y f x =为奇函数，即(0)0f =相当于把()sin y A x ωϕ=+的图像与x 轴最近的交点平移到坐标原点即，由图可知此点为,06A π⎛⎫⎪⎝⎭， 所以6t π=，故选：B 9. 【答案】C【分析】根据题意列式后由基本不等式求解 【详解】第一辆汽车到达灾区所用的时间为360h v， 由题意，知最短每隔2900h 900v v v =到达一辆，则最后一辆汽车到达灾区所用的时间为36040h 900v v ⎛⎫+⨯ ⎪⎝⎭， 要使这批物资尽快全部到达灾区，即要求最后一辆汽车到达灾区所用的时间最短.又360360240890045v v v v +⨯=+≥=，当且仅当360245v v =，即90v =时等号成立. 故选：C 10. 【答案】D 【分析】令()()cos f x g x x =，先判断函数()g x 为奇函数，再判断函数()g x 在区间(2π−，)2π上单调递减，由()2cos ()3f f πθθ<⋅，得()()3g g πθ<，即可求出．【详解】令()()cos f x g x x=，(2x π∈−，)2π，()f x 为奇函数，cos y x =为偶函数，()g x ∴为奇函数．(2x π∀∈−，0)，有()cos ()sin 0f x x f x x '+<，2()cos ()sin ()0f x x f x xg x cos x'+∴'=<，()g x ∴在区间(2π−，0)上单调递减，又()g x 为奇函数，()g x ∴在区间(2π−，)2π上单调递减， 当(2x π∈−，)2π，cos 0x >，()2cos ()3f f πθθ<⋅，∴()()3cos cos 3f f πθπθ<， ()()3g g πθ∴<，∴32ππθ<<故选：D【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小,属于难题.联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分.11.【详解】因为复数12z i =−，所以z ==12z i =−12. 【答案】0【分析】根据分段函数解析式求值即可.Q ，所以0f =.故答案为：013. 【答案】1,-1（答案不唯一）【分析】根据余弦函数的对称性建立方程，然后赋值即可求解. 【详解】由()(2)f x f x =−得直线1x =是()f x 的一个对称轴， 令π,Z x k k ωϕ+=∈得π,Z k x k ϕωω=−∈，当0k =时，x ϕω=−，不妨取1ϕω−=，即ϕω=−， 则符合题意的一组ω，ϕ的值为1,-1（答案不唯一）. 故答案为：1,-1（答案不唯一）. 14. 【答案】211,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】令()xg x xe =，h （x ）＝ax ，求出()g x '后画出()g x 、()h x 的图象，数形结合建立不等式组，即可得解.【详解】存在唯一整数0x ，使得()0f x a <，即存在唯一整数0x ，使得000xx e ax <令()xg x xe =，()h x ax =，则()(1)x x x g x xe e x e '=+=+，∴当1x <−时，()0g x '<，则函数()g x 在(),1−∞−上单调递减； 当1x >−时，()0g x '>，则函数()g x 在()1,−+∞上单调递增； 而21(1),(0)0,(2)2g g g e e−−=−=−=−；当x →−∞时，0x e →，所以0x xe →且当0x <时，0x xe < 因为存在唯一的整数x 0使得000x x eax <．当直线()h x ax =与()x g x xe =相切时， 设切点为000(,)xx x e ，则切线的斜率为()001x kx e =+，又直线()h x ax =过原点，所以此时()00()1xh x x e x += 由切点再切线上，可得()000001x x x ex e x +=，解得00x =所以()0011ak e ==+=所以当直线()h x ax =与()x g x xe =相切时，1a = 因为0x ≥时，1x e ≥，0x <时，1x e < 所以()10xx xex x e −=−≥，则()()h x g x ≤，此时不满足条件.所以结合图形知：当0a ≤时，有无数多个整数x 0使得()0f x a <，故不满足题意. 又1a <，由图可知当直线()h x ax =在1l 与2l 之间时，满足条件的整数x 0只有1−11110l e k e−−==−− ，22220120l e k e −−==−− 所以满足条件的a 的范围是：211a e e≤< 故答案为：211,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 15. 【答案】②③④【分析】举反例判断①，根据奇函数的性质和对数运算法则判断②，利用导数法判断函数单调性判断③，举例说明判断存在量词命题的正确性判断④. 【详解】对于①，当2a =−时，(()ln 2f x x =−，令20x −+>，解得x <，其定义域为⎛−∞ ⎝⎭，不是R .，错误；对于②，因为函数(()ln f x ax =+是奇函数，所以()()((ln ln 0f x f x ax ax +−=++−+=，即()222ln 10a x x −++=，所以22210a x x −++=，即()2210ax−=，所以210a −=，解得1a =±，经检验符合题意，即R a ∃∈，函数()f x 为奇函数，正确；对于③，(()ln f x ax =+，则()f x '=，因为0a ≥，0x >，所以()0f x '>，所以[0)a ∀∈+∞,，函数()f x 在(0,)+∞为增函数，（利用增函数的性质判断增函数也可以），正确； 对于④，当0a =时，()21()lnln 12f x x ==+，则2()1x f x x =+'， 令()0f x '=，得0x =，令0f x ，得0x >，令()0f x '<，得0x <，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，在(,0)−∞上单调递减，所以函数()f x 有极小值点0，故R a ∃∈，函数()f x 有极小值点，正确.故答案为：②③④.【点睛】关键点点睛：利用导数判断函数的单调性是解题的关键点，另外举反例判定全称量词命题为假命题，利用特例法判断存在量词命题为真命题也是解决难题的方法之一.三、解答题：共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. 【答案】（1）πππ,π63k k ，Z k ∈ （2）()f x 的最小正周期为π；()f x 的对称轴为ππ23k x =+，Z k ∈ .()f x 的对称中心为()ππ,0Z 212k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭. （3）[]1,2−【分析】（1）利用二倍角公式及和（差）角公式将函数解析式化简，再根据正弦函数的性质计算可得. （2）根据三角函数基本性质求得最小正周期、对称轴和对称中心.（3）根据正弦函数图象性质求得区间内的值域.【小问1详解】π()cos cos 22cos 22sin 26f x x x x x x x ⎛⎫=−=−=− ⎪⎝⎭， 令πππ2π22π262k x k −≤−≤+，Z k ∈，解得ππππ63k x k −≤≤+，Z k ∈， 所以函数的单调递增区间为πππ,π63k k ，Z k ∈. 【小问2详解】()f x 的最小正周期为2ππ2=.令ππ2π62x k −=+，Z k ∈得ππ23k x =+，Z k ∈，故()f x 的对称轴为ππ23k x =+，Z k ∈. 令π2π6x k −=，Z k ∈得ππ212k x =+，Z k ∈，故()f x 的对称中心为()ππ,0Z 212k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭. 【小问3详解】 因为π03x ≤≤，所以πππ2662x −≤−≤，所以1πsin 2126x ⎛⎫−≤−≤ ⎪⎝⎭， 所以π12sin 226x ⎛⎫−≤−≤ ⎪⎝⎭，即()12f x −≤≤，所以()f x 在π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[]1,2−. 17. 【答案】（1）π6A =（2）答案见解析【分析】（1）根据正弦定理，结合余弦定理进行求解即可；（2）若选择①②：根据正弦定理、两角和正弦公式、三角形面积公式进行求解即可；若选择②③：根据正弦定理进行求解判断即可；若选择①③：根据余弦定理、三角形面积公式进行求解即可.【小问1详解】根据正弦定理由()())()())sin sin sin b a B A c B C b a b a c c −+=−⇒−+=−222222b a c a b c ⇒−=−⇒=+，由余弦定理可知：2222cos a b c bc A =+−，因此2cos cos 2A A =⇒=， 因为()0,πA ∈，所以π6A =； 【小问2详解】选择①②：①2a =，②π4B =，由正弦定理可得222ππ1sin sin 642b b ⨯=⇒==ππππππππsin sin πsin sin cos cos sin 46464646C ⎛⎫⎛⎫=−−=+=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以ABC 的面积为1212⨯⨯=； 选择②③：②π4B =，③c =，由（1）知π6A =，所以ππππππππsin sin πsin sin cos cos sin 46464646C ⎛⎫⎛⎫=−−=+=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为sin sin 2c C b B ===≠ 所以不存在ABC ；选择①③：①2a =，③c =，由（1）知π6A =，由余弦定理定理可知：222222cos 412227a b c bc A b b b b =+−⇒=+−⋅⋅⇒=，即7c ==， 所以ABC的面积为1127727⨯⨯⨯=. 18. 【答案】（1）()ππ3sin 84f x x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭ （2）7736【分析】（1）由图象可得A ()y f x =的最小正周期求得ω的值，利用正弦函数的对称中心结合ϕ的取值范围可求得ϕ的值，即可求得函数()f x 的解析式；（2）利用函数周期求得(6,3)R ，由两点式斜率公式及诱导公式求得1tan 4α=，3tan 4β=，进而利用二倍角正切公式和两角和的正切公式求解即可.【小问1详解】由图象及(6,0)P −，(2,3)Q −−可知，3A =，又函数()f x 的最小正周期()42616T ⎡⎤=−−−=⎣⎦，所以2ππ8T ω==， 因为点(6,0)P −为函数()f x 的一个对称中心，所以()π6π,Z 8k k ϕ⨯−+=∈，即3ππ,Z 4k k ϕ=+∈， 又π2ϕ≤，所以π0,4k ϕ==−，所以()ππ3sin 84f x x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭. 【小问2详解】由（1）函数周期及最值知(6,3)R ，因为RPO α∠=，QPO β∠=，(6,0)P −，(2,3)Q −−，所以()301tan 664PR k α−===−−，()()303tan πtan 264PQ k ββ−−−=−===−−−−，即3tan 4β=， 所以22122tan 84tan 21tan 15114ααα⨯===−⎛⎫− ⎪⎝⎭， 所以()83tan 2tan 77154tan 2831tan 2tan 361154αβαβαβ+++===−⋅−⋅. 19. 【答案】（1）210x y −−=（2）1,2⎛⎫−+∞ ⎪⎝⎭（3）证明见解析【分析】（1）对函数求导，根据导函数的函数值等于原函数的图象在该点处的切线的斜率得到该点切线斜率，进而得到切线方程；（2）求导可得()()()21e xx ax f x −−−'=，再分情况讨论导数的根与函数单调性，进而分析是否满足极大值点为2即可； （3）分析可得()2211e e x xax x x x f x +−+−=≥，再利用导数研究函数的单调性、最值，从而证明21e 0ex x x +−+≥即可. 【小问1详解】由题意得()()2212e x ax a xf x −+−+'=，则()02f '=，因此曲线()y f x =在点()0,1−处的切线方程是21y x =−，即210x y −−=；【小问2详解】由题意()()()()221221e e x xax a x x ax f x −+−+−−−'==，设()()()21g x x ax =−−−， ①当0a =时，()2g x x =−，令()0g x >有2x <，令()0g x <有2x >，故()f x 在(),2−∞上单调递增，在()2,+∞上单调递减，满足()f x 的极大值点为2；②当0a >时，令()()()210g x x ax =−−−=有12x =，21x a =−，()g x 开口向下； 令()0g x >有12x a −<<，令()0g x <有1x a<−或2x >，故()f x 在1,a ⎛⎫−∞−⎪⎝⎭上单调递减，在1,2a ⎛⎫− ⎪⎝⎭上单调递增，在()2,+∞上单调递减，满足()f x 的极大值点为2； ③当a<0时，令()()()210g x x ax =−−−=有12x =，21x a =−，()g x 开口向上； i. 当12a −=，即12a =−时，()()()210g x x ax =−−−≥，()f x 在R 上单调递增，无极大值点； ii. 当12a −>，即102a −<<时，令()0g x <有12x a <<−，令()0g x >有1x a >−或2x <， 故()f x 在(),2−∞上单调递增，在12,a ⎛⎫−⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ∞⎛⎫−+ ⎪⎝⎭上单调递增，满足()f x 的极大值点为2；iii. 当12a −<，即12a <−时，令()0g x <有12x a −<<，令()0g x >有1x a <−或2x >， 故()f x 在1,a ⎛⎫−∞−⎪⎝⎭上单调递增，在1,2a ⎛⎫− ⎪⎝⎭上单调递减，在()2,+∞上单调递增，不满足()f x 的极大值点为2； 综上有当()f x 的极大值点为2时，a 的取值范围为1,2⎛⎫−+∞ ⎪⎝⎭【小问3详解】证明：当1a ≥时，()2211ex ax x x x f x +−+−=≥， 则()()21e 1e e x x f x x x +−+≥+−+，令()211e x g x x x +=+−+， 则()121e x g x x +=++'，易得()g x '在R 上单调递增，且()00121e g '−=−+=+，故当1x <−时，()()0,g x g x '<单调递减；当1x >−时，()()0,g x g x '>单调递增，所以()g x 在=1x −处取到极小值，也即最小值，所以()()10g x g ≥−=，因此()e 0f x +≥.20. 【答案】（1）()f x 的单调递减区间是π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，没有单调递增区间. （2）见解析【分析】（1）根据题意，求出函数()f x 的导数，设其导数为()g x ，求出()g x '，分析可得()g x 的最值，分子可得()0g x ≤，即()0f x '≤，即可求出答案；（2）分类讨论a 的范围，讨论()0f ，π2f ⎛⎫⎪⎝⎭的值，由函数的零点存在性定理求解即可. 【小问1详解】因为函数()cos f x x x ax a =−+，()cos sin f x x x x a −'=−，令()cos sin g x x x x a =−−，π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 则()2sin cos 0g x x x x −−'=≤，所以()g x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减， 当1a ≥时，()010g a =−≤，所以()0g x ≤，即()0f x '≤，所以()f x 的单调递减区间是π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，没有单调递增区间. 【小问2详解】由（1）知，()g x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，且()01g a =−，ππ22g a ⎛⎫=−− ⎪⎝⎭， 当1a ≥时，()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减， 因为()00f a =>，ππ1022f a ⎛⎫⎛⎫=−< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()f x 有且仅有一个零点. 当π02a −−≥，即π2a ≤−时，()0g x ≥，即()0f x '≥，()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增， 因为()00f a =<，ππ1022f a ⎛⎫⎛⎫=−> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()f x 有且仅有一个零点. 当π12a −<<，()010=−>g a ，ππ022g a ⎛⎫=−−< ⎪⎝⎭， 所以存在0π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x =，当00x x <<时，()0f x '>；当0π2x x <<时，()0f x '<， 所以()f x 在()00,x 上单调递增，在0π,2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，因为()0f a =，ππ122f a ⎛⎫⎛⎫=−⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且0a ≠， 所以()2ππ01022f f a ⎛⎫⎛⎫⋅=−< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 有且仅有一个零点. 综上所述，()f x 有且仅有一个零点.【点睛】方法点睛：函数的零点问题的求解，常用的方法有：（1）方程法（直接解方程得解）；（2）图象法（画出函数()f x 的图象分析得解）；（3）方程+图象法（令()0f x =得到()()g x h x =，再分析(),()g x h x 的图象得解）.要根据已知条件灵活选择方法求解.21. 【答案】（1）()213f x x x =−是“和谐”函数，()sing x x π=不是“和谐”函数.（2）最小值为1.（3）0a >且*k N ∀∈，2a k ≠且()1a k k ≠+【分析】（1）根据“和谐”函数的定义即可判断()213f x x x =−，()sing x x π=是否是“和谐”函数. （2）根据周期函数的定义，结合“和谐”函数的条件，进行判断和证明即可.（3）根据“和谐”函数的定义，分别讨论0a =，a<0和0a >时，满足的条件即可.【详解】（1）由题知：()213f x x x =−是“和谐”函数， ()sing x x π=不是“和谐”函数.（2）T 的最小值为1.因为()f x 是以T 为最小正周期的周期函数，所以()()0f T f =.假设1T <，则[]0T =，所以[]()()0fT f =，矛盾. 所以必有1T ≥，而函数()[]l x x x =−的周期为1，且显然不是“和谐”函数，综上，T 的最小值为1.（3）当函数()a f x x x=+是“和谐”函数时， 若0a =，则()f x x =显然不是“和谐”函数，矛盾.若a<0，则()2'10a f x x=−>， 所以()f x 在(),0∞−，()0,∞+上单调递增，此时不存在(),0m ∈−∞，使得()[]()f m f m =，同理不存在()0,m ∈+∞，使得()[]()f m f m =，又注意到[]0m m ≥，即不会出现[]0m m <<的情形，所以此时()a f x x x=+不是“和谐”函数. 当0a >时，设()[]()f m fm =， 所以[][]a a m m m m +=+，所以有[]a m m =，其中[]0m ≠， 当0m >时，因为[][]1m m m <<+，所以[][][][]()21m m m m m <<+， 所以[][][]()21m a m m <<+.当0m <时，[]0m <，因为[][]1m m m <<+，所以[][][][]()21m m m m m >>+， 所以[][][]()21m a m m >>+.记[]k m =，综上，我们可以得到“0a >且*k N ∀∈，2a k ≠且()1a k k ≠+”.【点睛】本题主要考查函数的新定义和函数的周期性，同时考查了学生的运算和推理能了，综合性较强，属于难题.。

2021年高三上学期10月月考数学试卷（文科）含解析）一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|x（x﹣1）＜0，x∈R}，B={x|﹣2＜x＜2，x∈R}，那么集合A∩B 是（）A．∅B．{x|0＜x＜1，x∈R} C．{x|﹣2＜x＜2，x∈R} D．{x|﹣2＜x＜1，x ∈R}2．i是虚数单位，计算=（）A．﹣1 B．1 C．i D．﹣i3．设向量=（1，x﹣1），=（x+1，3），则“x=2”是“∥”的（）A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．已知函数f（x）=x|x|﹣2x，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数，递增区间是（0，+∞）B．f（x）是偶函数，递减区间是（﹣∞，1）C．f（x）是奇函数，递减区间是（﹣1，1）D．f（x）是奇函数，递增区间是（﹣∞，0）5．已知数列{a n}中，a n=﹣4n+5，等比数列{b n}的公比q满足q=a n﹣a n（n≥2），且b1=a2，﹣1则|b1|+|b2|+…+|b n|=（）A．1﹣4n B．4n﹣1 C． D．6．设a=log0.80.9，b=log1.10.9，c=1.10.9，则a，b，c的大小关系是C（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜a＜b7．已知函数y=log b（x﹣a）（b＞0且b≠1）的图象如图所示，那么函数y=a+sinbx的图象可能是（）A． B． C．D．8．若存在负实数使得方程2x﹣a=成立，则实数a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（0，+∞）C．（0，2）D．（0，1）二．填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．）9．向量=（1，1），=（2，t），若⊥，则实数t的值为．10．在△ABC中，若cos2B+3cos（A+C）+2=0，则sinB的值为．11．已知tan（+α）=，α∈（，π），则tanα的值是；cosα的值是．12．已知角α的终边经过点（3a，4a）（a＜0），则cosα=．13．通项公式为a n=an2+n的数列{a n}，若满足a1＜a2＜a3＜a4＜a5，且a n＞a n对n≥8恒成立，+1则实数a的取值范围是．14．已知函数f（x）=对∀x1，x2∈R，x1≠x2有＜0，则实数a的取值范围是．三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．已知S n为等差数列{a n}的前n项和，且a3=S3=9（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若等比数列{b n}满足b1=a2，b4=S4，求{b n}的前n项和公式．16．已知函数f（x）=sinωx﹣sin2+（ω＞0）的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值及函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）当时，求函数f（x）的取值范围．17．在△ABC中，A=，cosB=，BC=6．（Ⅰ）求AC的长；（Ⅱ）求△ABC的面积．=1+S n（n∈N*）．18．设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，a n+1（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；与1+b1+b2+…+b n的（Ⅱ）若数列{b n}为等差数列，且b1=a1，公差为．当n≥3时，比较b n+1大小．19．已知f（x）=lg（﹣＜x，1）．（I）判断f（x）的奇偶性，并予以证明；（Ⅱ）设f（）+f（）=f（x0），求x0的值．（Ⅲ）求证：对于f（x）的定义域内的任意两个实数a，b，都有f（a）+f（b）=f（）．20．设函数y=f（x）的定义域为R，满足下列性质：（1）f（0）≠0；（2）当x＜0时，f（x）＞1；（3）对任意的实数x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y）成立．（I）求f（0）及f（x）*f（﹣x）的值；（Ⅱ）判断函数g（x）=是否具有奇偶性，并证明你的结论；（Ⅲ）求证：y=f（x）是R上的减函数；（Ⅳ）若数列{a n}满足a1=f（0），且f（a n）=（n∈N*），求证：{a n}是等差数列，并求{a n}+1的通项公式．xx学年北京交大附中高三（上）10月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|x（x﹣1）＜0，x∈R}，B={x|﹣2＜x＜2，x∈R}，那么集合A∩B是（）A．∅B．{x|0＜x＜1，x∈R}C．{x|﹣2＜x＜2，x∈R}D．{x|﹣2＜x＜1，x∈R}【考点】交集及其运算．【分析】先求解一元二次不等式化简集合A，然后直接利用交集的运算求解．【解答】解：由x（x﹣1）＜0，得0＜x＜1．所以A={x|x（x﹣1）＜0，x∈R}={x|0＜x＜1}，又B={x|﹣2＜x＜2，x∈R}，所以A∩B={x|0＜x＜1，x∈R}∩{x|﹣2＜x＜2，x∈R}={x|0＜x＜1，x∈R}．故选B．2．i是虚数单位，计算=（）A．﹣1 B．1 C．i D．﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】通过复数的分母实数化，即可得到结果．【解答】解：===i．故选：C．3．设向量=（1，x﹣1），=（x+1，3），则“x=2”是“∥”的（）A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平行向量与共线向量．【分析】利用向量共线的充要条件求出的充要条件，利用充要条件的定义判断出“x=2”是的充分但不必要条件．【解答】解：依题意，∥⇔3﹣（x﹣1）（x+1）=0⇔x=±2，所以“x=2”是“∥”的充分但不必要条件；故选A4．已知函数f（x）=x|x|﹣2x，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数，递增区间是（0，+∞）B．f（x）是偶函数，递减区间是（﹣∞，1）C．f（x）是奇函数，递减区间是（﹣1，1）D．f（x）是奇函数，递增区间是（﹣∞，0）【考点】函数奇偶性的判断．【分析】根据奇函数的定义判断函数的奇偶性，化简函数解析式，画出函数的图象，结合图象求出函数的递减区间．【解答】解：由函数f（x）=x|x|﹣2x 可得，函数的定义域为R，且f（﹣x）=﹣x|﹣x|﹣2（﹣x ）=﹣x|x|+2x=﹣f（x），故函数为奇函数．函数f（x）=x|x|﹣2x=，如图所示：故函数的递减区间为（﹣1，1），故选C．5．已知数列{a n}中，a n=﹣4n+5，等比数列{b n}的公比q满足q=a n﹣a n（n≥2），且b1=a2，﹣1则|b1|+|b2|+…+|b n|=（）A．1﹣4n B．4n﹣1 C． D．【考点】数列的求和．【分析】先由a n=﹣4n+5及q=a n﹣a n求出q，再由b1=a2，求出b1，从而得到b n，进而得到﹣1|b n|，根据等比数列前n项和公式即可求得|b1|+|b2|+…+|b n|．=（﹣4n+5）﹣[﹣4（n﹣1）+5]=﹣4，b1=a2=﹣4×2+5=﹣3，【解答】解：q=a n﹣a n﹣1所以=﹣3•（﹣4）n﹣1，|b n|=|﹣3•（﹣4）n﹣1|=3•4n﹣1，所以|b1|+|b2|+…+|b n|=3+3•4+3•42+…+3•4n﹣1=3•=4n﹣1，故选B．6．设a=log0.80.9，b=log1.10.9，c=1.10.9，则a，b，c的大小关系是C（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜a＜b【考点】对数值大小的比较．【分析】利用指数与对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵0＜a=log0.80.9＜1，b=log1.10.9＜0，c=1.10.9＞1，∴b＜a＜c．故选：C．7．已知函数y=log b（x﹣a）（b＞0且b≠1）的图象如图所示，那么函数y=a+sinbx的图象可能是（）A． B． C．D．【考点】函数的图象．【分析】先根据对数函数的图象和性质象得到a，b的取值范围，再根据正弦函数的图得到答案．【解答】解∵由对数函数图象可知，函数为增函数，∴b＞1，y=log b（x﹣a）函数的图象过定点（a+1，0），∴a+1=2，∴a=1∴函数y=a+sinbx（b＞0且b≠1）的图象，是有y=sinbx的图象向上平移1的单位得到的，由图象可知函数的最小正周期T=＜2π，故选：B8．若存在负实数使得方程2x﹣a=成立，则实数a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（0，+∞）C．（0，2）D．（0，1）【考点】特称命题．【分析】由已知，将a分离得出a=．令f（x）=，（x＜0）．a的取值范围为f（x）在（﹣∞，0）的值域．【解答】解：由已知，将a分离得出a=．令f（x）=，（x＜0）．已知在（﹣∞，0）上均为增函数，所以f（x）在（﹣∞，0）上为增函数．所以0＜f（x）＜f（0）=2，a的取值范围是（0，2）．故选C．二．填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．）9．向量=（1，1），=（2，t），若⊥，则实数t的值为﹣2．【考点】平面向量的坐标运算．【分析】利用两个向量垂直的性质，两个向量数量积公式，可得=2+t=0，由此求得t的值．【解答】解：∵向量=（1，1），=（2，t），若⊥，则=2+t=0，t=﹣2，故答案为：﹣2．10．在△ABC中，若cos2B+3cos（A+C）+2=0，则sinB的值为．【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】利用三角形内角和定理化简即可得到答案！【解答】解：∵B+A+C=π，∴A+C=π﹣B那么cos（A+C）=cos（π﹣B）=﹣cosB．则：cos2B+3cos（A+C）+2=0⇔cos2B﹣3cosB+2=0⇔2cos2B﹣1﹣3cosB+2=0⇔2cos2B﹣3cosB+1=0⇔（2cosB﹣1）（cosB﹣1）=0解得：cosB=1，此时B=0°，不符合题意．或cosB=，此时B=60°，符合题意．那么：sinB=sin60°=．故答案为：．11．已知tan（+α）=，α∈（，π），则tanα的值是﹣；cosα的值是﹣．【考点】两角和与差的正切函数；任意角的三角函数的定义．【分析】利用两角和与差的正切函数及任意角的三角函数的定义，即可求得tanα与cosα的值．【解答】解：tan（+α）=，∴tanα=tan[（+α）﹣]===﹣；又α∈（，π），∴cosα=﹣=﹣．故答案为：；．12．已知角α的终边经过点（3a，4a）（a＜0），则cosα=﹣．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】利用任意角的三角函数的定义，求得cosα的值．【解答】解：∵角α的终边经过点（3a，4a）（a＜0），∴x=3a，y=4a，r==5|a|=﹣5a，则cosα===﹣，故答案为：﹣．13．通项公式为a n=an2+n的数列{a n}，若满足a1＜a2＜a3＜a4＜a5，且a n＞a n对n≥8恒成立，+1则实数a的取值范围是．【考点】数列递推式；数列的应用．【分析】由a n=an2+n是二次函数型，结合已知条件得，由此可知答案．【解答】解：∵a n=an2+n是二次函数型，且a1＜a2＜a3＜a4＜a5，a n＞a n对n≥8恒成立，+1∴，解得﹣．故答案为：﹣．14．已知函数f（x）=对∀x1，x2∈R，x1≠x2有＜0，则实数a的取值范围是0≤a＜1或a＞3．【考点】分段函数的应用．【分析】由任意x1≠x2，都有＜0成立，得函数为减函数，根据分段函数单调性的性质建立不等式关系即可．【解答】解：∵f（x）满足对任意x1≠x2，都有＜0成立∴函数f（x）在定义域上为减函数，则满足，得0≤a＜1或a＞3，故答案为：0≤a＜1或a＞3．三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．已知S n为等差数列{a n}的前n项和，且a3=S3=9（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若等比数列{b n}满足b1=a2，b4=S4，求{b n}的前n项和公式．【考点】等比数列的前n项和；等差数列的通项公式．【分析】（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，由a3=S3=9，得，解出a1，d，由等差数列通项公式即可求得答案；（Ⅱ）设等比数列{b n}的公比为q，由b1=a2可得b1，由b4=S4可得q，由等比数列前n项和公式可得答案；【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d．因为a3=S3=9，所以，解得a1=﹣3，d=6，所以a n=﹣3+（n﹣1）•6=6n﹣9；（II）设等比数列{b n}的公比为q，因为b1=a2=﹣3+6=3，b4=S4=4×（﹣3）+=24，所以3q3=24，解得q=2，所以{b n}的前n项和公式为=3（2n﹣1）．16．已知函数f（x）=sinωx﹣sin2+（ω＞0）的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值及函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）当时，求函数f（x）的取值范围．【考点】二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；正弦函数的单调性．【分析】（Ⅰ）利用两角和的正弦公式，二倍角公式化简函数f（x）的解析式为，由此求得它的最小正周期．令，求得x的范围，即可得到函数f（x）的单调递增区间．（Ⅱ）因为，根据正弦函数的定义域和值域求得函数f（x）的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）==．…因为f（x）最小正周期为π，所以ω=2．…所以．由，k∈Z，得．所以函数f（x）的单调递增区间为[]，k∈Z．…（Ⅱ）因为，所以，…所以．…所以函数f（x）在上的取值范围是[]．…17．在△ABC中，A=，cosB=，BC=6．（Ⅰ）求AC的长；（Ⅱ）求△ABC的面积．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（Ⅰ）由已知结合平方关系求得sinB=，再由正弦定理求得AC的长；（Ⅱ）由sinC=sin（B+60°）展开两角和的正弦求得sinC，代入三角形的面积公式求得△ABC 的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵cosB=，B∈（0，π），又sin2B+cos2B=1，解得sinB=．由正弦定理得：，即，∴AC=4；（Ⅱ）在△ABC中，sinC=sin（B+60°）=sinBcos60°+cosBsin60°==．∴=．18．设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，a n+1=1+S n（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}为等差数列，且b1=a1，公差为．当n≥3时，比较b n+1与1+b1+b2+…+b n的大小．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I）由a n+1=1+S n（n∈N*），当n≥2时可得a n+1=2a n，当n=1时，=2，利用等比数列即可得出；（II）利用等差数列的通项公式可得：b n=2n﹣1．当n≥3时，b n+1=2n+1.1+b1+b2+…+b n=n2+1．通过作差即可比较出大小．【解答】解：（I）∵a n+1=1+S n（n∈N*），∴当n≥2时，a n=1+S n﹣1，∴a n+1﹣a n=a n，即a n+1=2a n，当n=1时，a2=1+a1=2，∴=2，综上可得：a n+1=2a n（n∈N*），∴数列{a n}是等比数列，公比为2，∴．（II）数列{b n}为等差数列，且b1=a1=1，公差为=2．∴b n=1+2（n﹣1）=2n﹣1．当n≥3时，b n+1=2n+1．1+b1+b2+…+b n=1+=n2+1．∴n2+1﹣（2n+1）=n（n﹣2）＞0，∴b n+1＜1+b1+b2+…+b n．19．已知f（x）=lg（﹣＜x，1）．（I）判断f（x）的奇偶性，并予以证明；（Ⅱ）设f（）+f（）=f（x0），求x0的值．（Ⅲ）求证：对于f（x）的定义域内的任意两个实数a，b，都有f（a）+f（b）=f（）．【考点】函数奇偶性的判断；抽象函数及其应用．【分析】（I）利用奇偶性的定义，看f（﹣x）和f（x）的关系，注意到和互为倒数，其对数值互为相反数；也可计算f（﹣x）+f（x）=0得到结论．（Ⅱ）根据题意得到关于x0的方程，解方程可得x0的值；（Ⅲ）将a与b代入函数f（x）=lg（﹣＜x，1）．求出f（a）+f（b）的值，然后计算出f（）的值，从而证得结论．【解答】解：（I）f（x）是奇函数，理由如下：f（x）的定义域为（﹣1，1）关于原点对称；又∵f（﹣x）=lg=﹣lg=﹣f（x），所以f（x）为奇函数；（Ⅱ）∵f（x）=lg（﹣1＜x＜1）．∴由f（）+f（）=f（x0）得到：lg+lg=lg，整理，得lg3×2=lg，∴=6，解得x0=；（Ⅲ）证明：∵f（x）=lg（﹣＜x，1）．∴f（a）+f（b）=lg+lg=lg•=lg，f（）=lg=lg，∴对于f（x）的定义域内的任意两个实数a，b，都有f（a）+f（b）=f（）．得证．20．设函数y=f（x）的定义域为R，满足下列性质：（1）f（0）≠0；（2）当x＜0时，f（x）＞1；（3）对任意的实数x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y）成立．（I）求f（0）及f（x）*f（﹣x）的值；（Ⅱ）判断函数g（x）=是否具有奇偶性，并证明你的结论；（Ⅲ）求证：y=f（x）是R上的减函数；（Ⅳ）若数列{a n}满足a1=f（0），且f（a n+1）=（n∈N*），求证：{a n}是等差数列，并求{a n}的通项公式．【考点】抽象函数及其应用．【分析】（I）令x=y=0得出f（0），令y=﹣x得出f（x）f（﹣x）=f（0）；（II）求出g（x）的定义域，计算g（﹣x）并化简得出结论；（III）设x1＜x2，根据f（x1）=f（x1﹣x2+x2）=f（x1﹣x2）f（x2）得出=f（x1﹣x2）＞1，得出结论；（IV）根据f（﹣x）f（x）=1得出a n+1﹣a n﹣2=0得出结论．【解答】解：（I）令x=y=0得f（0）=f2（0），又f（0）≠0，∴f（0）=1．令y=﹣x得f（x）f（﹣x）=f（0）=1．（II）∵f（x）f（﹣x）=1，∴f（﹣x）=，∵x＜0时，f（x）＞1，∴x＞0时，0＜f（x）＜1，由g（x）有意义得f（x）≠1，∴x≠0，即g（x）的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称．∴g（﹣x）====﹣g（x），∴g（x）是奇函数．证明：（III）设x1＜x2，则x1﹣x2＜0，∴f（x1﹣x2）＞1，∵f（x1）=f（x1﹣x2+x2）=f（x1﹣x2）f（x2），∴=f（x1﹣x2）＞1，∴f（x1）＞f（x2），∴f（x）是R上的减函数．（IV）∵f（a n+1）=，∴f（a n+1）f（﹣2﹣a n）=1，∵f（x）f（﹣x）=1，∴a n+1﹣a n﹣2=0，即a n+1﹣a n=2，又a1=f（0）=1，∴{a n}是以1为首项，以2为公差的等差数列，∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1．精品文档xx年11月30日39234 9942 饂cCK23691 5C8B 岋39065 9899 颙g29049 7179 煹34685 877D 蝽31197 79DD 秝&25755 649B 撛28880 70D0 烐实用文档。

2021届北京市八一学校高三十月月考数学试题一、单选题1．已知集合{}24A x x =∈<Z ，{}1,2B =-，则AB =（ ）A ．{}1-B ．{}1,2-C ．1,0,1,2D ．{}2,1,0,1,2--【答案】C【解析】先求出集合A ，再利用集合的并集运算即可得解. 【详解】因为{}{}241,0,1A x x =∈<=-Z ，{}1,2B =-，所以A B =1,0,1,2.故选：C. 【点睛】本题考查了集合的并集运算，属于基础题.2．已知向量(),1a t =，()1,2b =.若//a b ，则实数t 的值为（ ） A ．2- B ．2C ．12-D ．12【答案】D【解析】由向量平行的坐标表示求解即可. 【详解】//a b ，210t ∴-=，解得12t =故选：D 【点睛】本题主要考查了由向量平行求参数的值，属于基础题. 3．在下列函数中，定义域为实数集的偶函数为（ ） A ．sin y x = B ．cos y x =C ．||y x x =D ．ln ||y x =【答案】B【解析】根据函数奇偶性的定义判断奇偶性，结合定义域，即可得出答案. 【详解】对A 项，令()sin f x x =，定义域为R ，()sin()sin ()f x x x f x -=-=-=-，则函数sin y x =为奇函数，故A 错误；对B 项，令()cos f x x =，定义域为R ，()cos()cos ()f x x x f x -=-==，则函数cos y x =为偶函数，故B 正确；对C 项，令()||f x x x =，(1)1(1)1f f -=-≠=，则函数||y x x =不是偶函数，故C 错误；对D 项，ln ||y x =的定义域为{|0}x x ≠，故D 错误； 故选：B 【点睛】本题主要考查了判断函数的定义域和奇偶性，属于中档题. 4．设{}n a 是公比为的等比数列，则“”是“{}n a 为递增数列”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】试题分析：当时，不是递增数列；当且时，是递增数列，但是不成立，所以选D.【考点】等比数列5．为得到sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，只需要将sin 2y x =的图象（ ） A ．向左平移3π个单位 B ．向左平移6π个单位 C ．向右平移3π个单位D ．向右平移6π个单位【答案】D【解析】试题分析：因为，所以为得到sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需要将sin 2y x =的图象向右平移6π个单位；故选D ．【考点】三角函数的图像变换．6．在ABC 中，5AB =，sin 2sin A C =，cos 45B =，则ABC 的面积为（ ） A ．10 B ．15C ．20D ．30【答案】B【解析】先求出10a =，再求出3sin 5B =，最后求ABC 的面积即可. 【详解】解：在ABC 中，sin 2sin A C =，由正弦定理：2a c =，因为5AB c ==，所以10a =，因为cos 45B =，0B π<<，3sin 5B ==， 所以113sin 51015225S ac B ==⨯⨯⨯=，故选：B. 【点睛】本题考查正弦定理、三角形的面积公式、同角三角函数关系、是中档题.7．已知函数()3ln f x x m x =+在区间[]1,2上不是单调函数，则m 的取值范围是（ ） A ．(),3∞-- B ．[]24,3--C ．()24,3--D ．()24,-+∞【答案】C【解析】求导，分别对0m ≥，0m <分类讨论，确定()f x 的单调性，根据题意，列出不等式，即可得出答案. 【详解】323()3m x mf x x x x+'=+=当0m ≥时，()0f x '>，即函数()f x 在区间[]1,2上单调递增，不符合题意当0m <时，()0f x x '>⇒>()00f x x '<⇒<<则函数()f x 在区间⎛ ⎝上单调递减，在区间⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增要使得函数()3ln f x x m x =+在区间[]1,2上不是单调函数，则12<解得243m -<<- 故选：C 【点睛】本题主要考查了根据函数的单调性求参数的范围，属于中档题.8．已知函数()21f x x kx =--+恰有两个零点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()1,2D ．()2,+∞【答案】B【解析】先利用函数的零点转化成方程的根、函数图像的交点问题，再数形结合即得结果. 【详解】由函数()21f x x kx =--+有两个零点，即方程21x kx -+=有两个根，即函数()21g x x =-+与()h x kx =有两个交点，作图如下：()h x kx =恒过()0,0，旋转过程中，在直线12y x =和y x =之间时有两个交点， 故1,12k ⎛⎫∈⎪⎝⎭. 故选：B. 【点睛】本题考查了函数的零点与方程的根、函数图像的交点之间的等价转化，考查了数形结合思想，属于中档题.9．在ABC 中，90BAC ∠=︒，2BC =，点P 在BC 边上，且()1AP AB AC ⋅+=，则AP 的取值范围是（ ）A ．1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．22⎛⎤ ⎥ ⎝⎦C ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．22⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A【解析】以BC 的中点为原点，过O 垂直于BC 的直线为y 轴，BC 为x 轴，建立平面直角坐标系，再利用向量数量积的坐标运算以及向量模的坐标表示即可求解. 【详解】以BC 的中点为原点，过O 垂直于BC 的直线为y 轴，BC 为x 轴， 建立平面直角坐标系，如图：则()1,0B -，()1,0， 设(),0Px ，(),A a b ，1x ≤，1OA =，221a b +=，则由()1AP AB AC ⋅+=，得()()1,,2x a b a b --⋅--=， 化简12ax =， 所以()22222222AP x a b x ax a b x =-+=-++=， 由221a b +=，因为1a ≠±，所以1a <， 所以1122x a =>， 所以AP x =的取值范围为1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦. 故选：A 【点睛】本题考查了向量数量积的坐标表示、向量模的坐标表示，考查了基本运算求解能力，属于基础题.10．已知集合,A B 满足：（ⅰ）AB =Q ，A B =∅；（ⅱ）1x A ∀∈，若2x ∈Q 且21x x <，则2x A ∈； （ⅲ）1y B ∀∈，若2y ∈Q 且21y y >，则2y B ∈. 给出以下命题：①若集合A 中没有最大数，则集合B 中有最小数； ②若集合A 中没有最大数，则集合B 中可能没有最小数；③若集合A 中有最大数，则集合B 中没有最小数； ④若集合A 中有最大数，则集合B 中可能有最小数. 其中，所有正确结论的序号是( ) A ．①③ B ．②③C ．③④D ．①④【答案】B【解析】根据并集和交集的结果可知Q A C B =；由条件（ⅱ）（ⅲ）可知两集合的元素以1x 为分界，可确定集合,A B 的构成；当集合A 有最大数时，根据有理数的特点可知大于1x 的有理数无最小数，知③正确；当集合A 无最大数时，若1x a →中的a 为有理数或无理数，此时集合B 可能最小数为a 或无最小数，知②正确. 【详解】 若AB =Q ，AB =∅ Q AC B ∴=则集合A 为所有小于等于1x 的有理数的集合，集合B 为所有大于等于1y 的有理数的集合Q A C B = 1y ∴无限接近1x ，即集合B 为所有大于1x 的有理数的集合当集合A 有最大数，即1x 有最大值时，大于1x 的有理数无最小数，可知③正确； 当集合A 无最大数，即1x a →时，a 为集合B 中的最小数；也可能a 为无理数，则1y a →，集合B 中无最小数，可知②正确故选B 【点睛】本题考查根据并集和交集的结果确定集合、元素与集合关系的应用；本题的解题关键是明确有理数的特点：无最大数也无最小数；本题较为抽象，对于学生的分析和解决问题能力有较高要求.二、填空题11．已知复数2z i =-，则z =______.【解析】根据复数的模长的定义直接进行计算即可. 【详解】∵复数2z i =-，∴z ==【点睛】本题考查复数的模的概念及求法，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、模为(,)a b 、共轭为.-a bi12．设{}n a 是等差数列，且13a =，2536a a +=，则{}n a 的通项公式为__________． 【答案】63n a n =-【解析】先根据条件列关于公差的方程，求出公差后，代入等差数列通项公式即可. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，13334366a d d d =∴+++=∴=，，，36(1)6 3.n a n n ∴=+-=-【点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路，一是利用基本量，将多元问题简化为首项与公差（公比）问题，虽有一定量的运算，但思路简洁，目标明确：二是利用等差、等比数列的性质，性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.13．已知向量a 、b 的夹角为60，2a =，1b =，则2a b +=___________.【答案】【解析】利用平面向量数量积计算得出22a b +的值，进而可求得2a b +的值. 【详解】()222222224444cos 60a b a ba b a b a b a b +=+=++⋅=++⋅144421122=++⨯⨯⨯=， 因此，223a b +=.故答案为：【点睛】平面向量中涉及有关模长的问题时，常用到的通法是将模长进行平方，利用向量数量积的知识进行解答，很快就能得出答案；另外，向量是一个工具型的知识，具备代数和几何特征，在做这类问题时可以使用数形结合的思想，会加快解题速度.三、双空题14．已知函数()21,,x ax x af x x x ae-⎧<⎪=⎨≥⎪⎩（a 为常数）．若()112f -=，则a =________；若函数()f x 存在最大值，则a 的取值范围是________． 【答案】12(,0]-∞ 【解析】（1）分别在1a >-和1a ≤-两种情况下求得()1f -，利用()112f -=求得a ； （2）当x a ≥时，求导得()11x xf x e--'=；当1a ≥时，可知x a <时，()f x →+∞不存在最大值，不符合题意；当1a <时，可得()f x 在[),a +∞上的单调性，得到()()max 11f x f ==；分别在01a <<、0a =和0a <三种情况下验证x a <时函数的最大值，可得(],0a ∈-∞时，()()max 11f x f ==，从而得到结果. 【详解】（1）当1a >-时，()112f a -==，满足题意； 当1a ≤-时，()21112f e ---=≠，不合题意； 12a ∴=（2）当x a ≥时，()1x xf x e -= ()112211x x x x e xe xf x e e------'∴==①若1a ≥，则10x -≤ ()0f x '∴≤ ()f x ∴在[),a +∞上单调递减()()1max a a f x f a e -∴==此时，当x a <时，()2f x ax =，当x →-∞时，()f x →+∞，不合题意 ②若1a <，则1<<a x 时，()0f x '>；1x >时，()0f x '<()f x ∴在(),1a 上单调递增，在()1,+∞上单调递减 ()()max 11f x f ∴==此时，当x a <时，()2f x ax =若01a <<，则当x →-∞时，()f x →+∞，不合题意 若0a =，()()01f x f =<，此时()max 1f x =，满足题意若0a <，则()()()3max 01f x f a a f ==<<，此时()max 1f x =，满足题意综上所述：(],0a ∈-∞时，()f x 存在最大值 故答案为12；(],0-∞ 【点睛】本题考查根据分段函数的函数值求解自变量、根据分段函数的最值求解参数范围的问题；本题中根据最值求解参数范围的关键是能够通过分类讨论的方式，确定函数在不同情况下的单调性，进而得到最值取得的情况，从而分析得到结果.15．2019年7月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可．良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史．考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律．已知样本中碳14的质量N 随时间t （单位：年）的衰变规律满足573002tN N -=⋅（0N 表示碳14原有的质量），则经过5730年后，碳14的质量变为原来的________；经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的12至35，据此推测良渚古城存在的时期距今约在________年到5730年之间．（参考数据：22log 3 1.6,log 5 2.3≈≈） 【答案】124011 【解析】（1）根据衰变规律，令5730t =，代入求得012N N =； （2）令035N N =，解方程求得t 即可. 【详解】当5730t =时，100122N N N -=⋅=∴经过5730年后，碳14的质量变为原来的12令035N N =，则5730325t-= 2223log log 3log 50.757305t ∴-==-≈- 0.757304011t ∴=⨯= ∴良渚古城存在的时期距今约在4011年到5730年之间故答案为12；4011 【点睛】本题考查根据给定函数模型求解实际问题，考查对于函数模型中变量的理解，属于基础题.四、解答题16．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，520S =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若等比数列{}n b 满足449a b +=，且公比为q ，从①2q；②12q =；③1q =-这三个条件中任选一个作为题目的已知条件，求数列{}n n a b -的前n 项和n T . 【答案】（1）1n a n =+；（2）答案见解析.【解析】（1）设等差数列{}n a 的d ，根据求和公式可得5101020S d =+=，又12a =，即可得解；（2）根据{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，则：11221212()()()()()n n n n n T a b a b a b a a a b b b =-+-++-=+++-+++，分组求和即可得解. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，又因为1(1)2n n n S na d -=+， 且12a =，所以5101020S d =+=，故1d =， 所以1n a n =+；（2）由（1）可知，45a =，又449a b +=，所以44b =. 若选择条件①2q，可得11312b b q ==， 11221212()()()()()n n n n n T a b a b a b a a a b b b =-+-++-=+++-+++111()(1)(3)1=22122n n n n a a b q n n q -+-+-=-+-；若选择条件②12q =，可得41332b b q ==， 11221212()()()()()n n n n n T a b a b a b a a a b b b =-+-++-=+++-+++6-11()(1)(3)=264212n nn n a a b q n n q +-+-=---；若选择条件③1q =-，可得4134b b q==-， 11221212()()()()()n n n n n T a b a b a b a a a b b b =-+-++-=+++-+++11()(1)(3)=+2(1(1))212n n n n a a b q n n q +-+-=---.【点睛】本题考查了等差数列、等比数列基本能量的运算，考查了数列的分组求和法，有一定的计算量，属于中档题. 17．在ABC 中，1cos 7A =，8BC =，7AC =. （1）求B 的大小；（2）若D 是BC 的中点，求AD 的长. 【答案】（1）3B π=；（2【解析】（1）利用同角三角函数的基本关系可得sin A =，再利用正弦定理即可求解.（2）利用余弦定理可得5AB =，由()12AD AB AC =+，再利用向量模的求解即可求解. 【详解】解：（1）∵在ABC 中，1cos 7A =，8BC =，7AC =，∴sin A ==， ∵由正弦定理sin sin BC ACA B=，可得7sin 7sin 8AC A B BC⋅===， 又AC BC <，可得B 为锐角， ∴3B π=.（2）∵在ABC 中，由余弦定理2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅⋅，可得222187277AB AB =+-⨯⨯⨯，可得：22150AB AB --=，∴解得5AB =或3-(舍去)，∵D 是BC 的中点， ∴()12AD AB AC =+，两边平方可得：()2222211125725721447AD AB AC AB AC ⎛⎫=++⋅=++⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭， ∴21AD =，即AD 的长为21.【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理，需熟记公式，考查了基本运算求解能力，属于基础题. 18．已知函数2()322cos ()f x x x m m R =++∈. （1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 的单调递增区间；（3）对于任意[0,]2x π∈都有()0f x <恒成立，求m 的取值范围. 【答案】（1）π；（2）[,]()36k k k Z ππππ-++∈；（3）(,3)-∞-.【解析】（1）将函数进行化简，根据三角函数的周期公式即可求函数f （x ）的最小正周期T ；（2）利用整体代入法求得函数()f x 的单调递增区间；（3）原问题等价于()f x 的最大值小于零，根据()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值列不等式，解不等式求得m 的取值范围. 【详解】（1）因为()23sin22cos f x x x m =++3sin2cos21x x m =+++，2sin 216x m π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭.所以()f x 的最小正周期2π2T π==.（2）由（1）知()2sin 216f x x m π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭. 又函数sin y x =的单调递增区间为ππ2,222k k ππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z).由222262k x k πππππ-+≤+≤+，k Z ∈，得36k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈.所以()f x 的单调递增区间为(),36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.（3）因为02x π≤≤，所以72666x πππ≤+≤. 所以1sin 2126x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭.所以2sin 2136m x m m π⎛⎫≤+++≤+ ⎪⎝⎭. 当262x ππ+=，即6x π=时，()f x 的最大值为3m +，又因为()0f x <对于任意0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，所以30m +<，即3m <-. 所以m 的取值范围是(),3-∞-. 【点睛】本小题主要考查三角恒等变换，考查三角函数最小正周期、单调区间、最值的求法，属于中档题.19．设函数2()ln ()f x x ax x a =+-∈R ． （1）若1a =，求函数()f x 的单调区间．（2）若函数()f x 在区间(0,1]上是减函数，求实数a 的取值范围． （3）过坐标原点O 作曲线()y f x =的切线，证明：切点的横坐标为1． 【答案】（1）单调减区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调增区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．（2）1a ≤-（3）见解析【解析】试题分析：（1）当1a =时，求出函数的导函数()()()211x x f x x-+'=，分别令()0f x '>和()0f x '<，解出不等式得单调区间；（2）函数()f x 在区间(]0,1上是减函数，即()0f x '≤对任意(]0,1x ∈恒成立，利用分离参数法可得最后结果；（3）设切点为()(),M t f t ，对函数进行求导，根据导数的几何意义得12k t a t=+-，根据切线过原点，可得斜率为()f t k t=，两者相等化简可得21ln 0t t -+=，先证存在性，再通过单调性证明唯一性.试题解析：（1）当1a =时，()2ln (0)f x x x x x =+->，()()()211121x x f x x x x='-+=+-，令()0f x '>，则12x >，令()0f x '<，则102x <<，∴函数()f x 的单调减区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调增区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．（2）()12f x x a x '=+-，∵()f x 在区间(]0,1上是减函数，∴()0f x '≤对任意(]0,1x ∈恒成立，即12a x x≤-对任意(]0,1x ∈恒成立，令()12g x x x=-，则()min a g x ≤，易知()g x 在(]0,1上单调递减，∴()()min 11g x f ==-，∴1a ≤-．（3）设切点为()(),M t f t ，()12f x x a x '=+-，∴切线的斜率12k t a t=+-， 又切线过原点，()f t k t=，∴()12f t t a tt=+-，即22ln 21t at t t at +-=+-，∴21ln 0t t -+=，存在性，1t =满足方程21ln 0t t -+=， 所以1t =是方程21ln 0t t -+=的根唯一性， 设()21ln t t t ϕ=-+，则()120t t tϕ'-+>，∴()t ϕ在()0,+∞上单调递增，且()10ϕ=，∴方程21ln 0t t -+=有唯一解1t =，综上，过坐标原点O 作曲线()y f x =的切线，则切点的横坐标为1．点睛：本题主要考察了导数与函数单调性的关系，导数的几何意义，属于中档题；由()0f x '>，得函数单调递增，()0f x '<得函数单调递减；函数单调递减等价于()0f x '≤恒成立，考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段．通过分离参数可转化为()a h x >或()a h x <恒成立，即()max a h x >或()min a h x <即可，利用导数知识结合单调性求出()max h x 或()min h x 即得解.20．已知函数()()ln 0xf x a x a=>+． （Ⅰ）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （Ⅱ）当1a =时，证明：()12x f x -≤； （Ⅲ）判断()f x 在定义域内是否为单调函数，并说明理由．【答案】（Ⅰ）(1)10x a y -+-=；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）函数()f x 在定义域内不是单调函数．理由见解析【解析】根据解析式可确定函数定义域并求得()f x '（Ⅰ）求得()1f 和()1f '，根据导数几何意义可知切线斜率为()1f '，从而得到切线方程；（Ⅱ）将所证不等式转化为22ln 10≤x x -+；令()22ln 1h x x x =-+，通过导数求得函数单调性，可得()max 0h x =，即()0h x ≤，从而证得结论； （Ⅲ）令()ln 1ag x x x=-++，通过导数可知()g x 单调递减；利用零点存在定理可知()g x 在()11,a e -内存在零点m ，从而得到()f x '的符号，进而得到()f x 单调性，说明()f x 不是单调函数. 【详解】由题意得：函数()f x 的定义域为()0,∞+，()()2ln 1a x x f x x a -++'=+ （Ⅰ）()10f =，()111f a '=+ ()y f x ∴=在点()()1,1f 处的切线方程为：()1011y x a -=-+ 即()110x a y -+-= （Ⅱ）当1a =时，()ln 1xf x x =+ 欲证()12x f x -≤，即证ln 112≤x x x -+，即证22ln 10≤x x -+令()22ln 1h x x x =-+，则()()()21122x x h x x x x--+'=-=．当x 变化时，(),()h x h x '变化情况如下表：∴函数()h x 的最大值为()10h =，故()0≤h x()12x f x -∴≤（Ⅲ）函数()f x 在定义域内不是单调函数．理由如下： 令()ln 1ag x x x =-++， ()2210a x ag x x x x+'=--=-< ()g x ∴在()0,∞+上单调递减()110g a =+>，()11111ln 110a a a a a g e e a e e ++++⎛⎫=-++=-< ⎪⎝⎭∴存在()11,a m e +∈，使得()0g m =当()0,x m ∈时，()0g x >，从而()0f x '>，所以函数()f x 在()0,m 上单调递增； 当(),x m ∈+∞时，()0g x <，从而()0f x '<，所以函数()f x 在(),m +∞上单调递减故函数()f x 在定义域内不是单调函数 【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到导数几何意义的应用、利用导数证明不等式、函数单调性的判断等知识；利用导数研究函数单调性时，若导函数零点不易求得，则可利用零点存在定理和导函数的单调性确定零点所在区间，进而得到函数的单调区间. 21．已知无穷数列{}{}{},,n n n a b c 满足：*n N ∀∈，1n n n a b c +=-，1n n n b c a +=-，1n n n c a b +=-．记{}max ,,n n n n d a b c =（{}max ,,x y z 表示3个实数,,x y z 中的最大值）．（Ⅰ）若11a =，22b =，33c =，求1b ，1c 的可能值； （Ⅱ）若11a =，12b =，求满足23d d =的1c 的所有值；（Ⅲ）设111,,a b c 是非零整数，且111,,a b c 互不相等，证明：存在正整数k ，使得数列{}{}{},,n n n a b c 中有且只有一个数列自第k 项起各项均为0．【答案】（Ⅰ）1183b c =⎧⎨=⎩或1183b c =⎧⎨=-⎩或1183b c =-⎧⎨=⎩或1183b c =-⎧⎨=-⎩；（Ⅱ）所有取值是2,1,1,2--；（Ⅲ）证明见解析【解析】（Ⅰ）依次代入2n =，3n =即可求得12,c a ，根据2133a b =-≥-可确定2a 和1b 的取值，从而得到结果；（Ⅱ）记1c x =，可表示出2d ，进而得到333,,a b c ，分别在01x ≤<、12x ≤<和2x ≥三种情况下利用32d d =求得x 的取值即可得到结果；（Ⅲ）假设对任意正整数3k ≥，,,k k k a b c 都不为0，由111,,k k k a b c +++可证得{}1111max ,,k k k k k d a b c d ++++=<，得到{}k d 严格单调递减；可知必存在正整数3m ≥，使得0≤m d ，与k d *∈N 矛盾，从而,,k k k a b c 中至少有一个为0；设0k a =，可知111k k k b c a ---=≠，则10k a +=，1k k b c +=，1k k k c b c +=-=-，依次类推可得对n k ∀≥，0n a =，1n k b c +=，1n k c c +=-且0k c ≠，从而证得结论. 【详解】（Ⅰ）由211b c a =-得：112c -= 13c ∴=± 由322c a b =-得：223a -= 25a ∴=± 又211133a b c b =-=-≥-，故25a =，18b =±11,b c ∴的所有可能值为1183b c =⎧⎨=⎩或1183b c =⎧⎨=-⎩或1183b c =-⎧⎨=⎩或1183b c =-⎧⎨=-⎩（Ⅱ）若11a =，12b =，记1c x =，则22a x =-，21b x =-，21c =-22,011,1||21,2x x d x x x ⎧-≤<⎪∴=≤<⎨⎪-≥⎩311a x =--，312b x =--，321c x x =---当01x ≤<时，3a x =-，31b x =-，31c =，31d =由32d d =得：1x =，不符合；当12x ≤<时，32a x =-，31b x =-，332c x =- 32,1 1.51,1.52x x d x x ⎧-≤<⎪∴=⎨-≤<⎪⎩由32d d =得：1x =，符合；当2x ≥时，32a x =-，33b x =-，31c =- 31,232,3x d x x ⎧≤<⎪∴=⎨-≥⎪⎩由32d d =得：2x =，符合； 综上所述：1c 的所有取值是2,1,1,2--.（Ⅲ）先证明“存在正整数3k ≥，使,,k k k a b c 中至少有一个为0” 假设对任意正整数3k ≥，,,k k k a b c 都不为0由111,,a b c 是非零整数，且111,,a b c 互不相等得：1d *∈N ，2d *∈N 若对任意3k ≥，,,k k k a b c 都不为0，则k d *∈N即对任意1k ，k d *∈N当1k时，{}1max ,k k k k k k a b c b c d +=-<≤，1k k k k b c a d +=-<，1k k k k c a b d +=-<{}1111max ,,k k k k k d a b c d ++++∴=< {}k d ∴严格单调递减2d 为有限正整数 ∴必存在正整数3m ≥，使得0≤m d ，矛盾 ∴存在正整数3k ≥，使,,k k k a b c 中至少有一个为0不妨设0k a =，且10a ≠，20a ≠，……，10k a -≠ 则11k k b c --=，且111k k k b c a ---=≠，否则，111k k k b c a ---==，由1110k k k a b c ---++=，必有1110k k k a b c ---===，矛盾∴110k k k b c a --=-≠，110k k k c a b --=-≠，且k k b c =- ∴10k a +=，1k k b c +=，1k k k c b c +=-=-依次递推，即有：对n k ∀≥，0n a =，1n k b c +=，1n k c c +=-且0k c ≠ 此时有且仅有一个数列{}n a 自第k 项起各项均为0综上，结论成立【点睛】本题考查数列中的新定义运算问题的求解，涉及到根据递推关系求解数列中的项、数列证明问题中的存在性与唯一性问题的证明；证明有且仅有一个数列满足题意的关键是能够首先证明存在性，即存在数列数列满足题意，再证明唯一性，即满足题意的数列有唯一的一个；本题对学生分析和推理能力有较高的要求，属于难题.。

2021年高三上学期10月月考试题数学（文）含答案(满分160分，考试时间120分钟)一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．）1、已知集合M ＝{x |x ＜1}，N ＝{x |lg(2x ＋1)＞0}，则M ∩N ＝ ．2、复数z ＝a ＋i 1－i 为纯虚数，则实数a 的值为 ．3、抛物线的焦点到准线的距离是 ．4、“”是“”的 条件．5、向量(1,2)、(－3,2)，若()∥()，则实数k ＝_________．6、已知m 为任意实数，则直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5必过定点_________．7、若关于x 的方程cos 2x ＋4sin x －a ＝0有解，则实数a 的取值范围是 ．8、将y ＝sin2x 的图像向右平移φ单位（φ＞0），使得平移后的图像仍过点⎝⎛⎭⎫π3，32，则φ的最小值为_______．9、若函数f (x )＝mx 2＋ln x －2x 在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围是_________． 10、已知x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是________．11、已知△ABC 是等边三角形，有一点D 满足→AB ＋12→AC ＝→AD ，且|→CD |＝3，那么→DA ·→DC ＝ ．12、已知椭圆的左右焦点分别为，点 P 是椭圆上某一点，椭圆的左准线为，于点，若四边形为平行四边形，则椭圆的离心率的取值范围是13、已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 2＋ax (x ≤1)2ax －5 (x ＞1)，若x 1, x 2∈R ，x 1≠x 2，使得f (x 1)＝f (x 2)成立，则实数a 的取值范围是 ．14、已知函数f (x )满足f (x )＝f (1x )，当x ∈[1,3]时，f (x )＝ln x ，若在区间[13,3]内，函数g (x )＝f(x )－ax 与x 轴有三个不同的交点，则实数a 的取值范围是 ．二、解答题（本大题共6小题，共90分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15、（本小题满分14分） 已知直线和．问：m 为何值时，有：（1）； （2）．16、（本小题满分14分）已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ) (ω＞0，0＜φ＜π)，其图像经过点M ⎝⎛⎭⎫π3，12，且与x 轴两个相邻的交点的距离为π． （1）求f (x )的解析式；（2）在△ABC 中，a ＝13，f (A )＝35，f (B )＝513，求△ABC 的面积．17、（本小题满分15分）已知|a |＝3，|b |＝2，a 与b 的夹角为120º，当k 为何值时， （1）k a －b 与a －k b 垂直；（2）|k a －2b |取得最小值？并求出最小值．18、（本小题满分15分）如图①，一条宽为1km的两平行河岸有村庄A和供电站C，村庄B与A、C的直线距离都是2km，BC与河岸垂直，垂足为D．现要修建电缆，从供电站C向村庄A、B供电．修建地下电缆、水下电缆的费用分别是2万元/km、4万元/km．（1）已知村庄A与B原来铺设有旧电缆，但旧电缆需要改造，改造费用是0.5万元/km．现决定利用此段旧电缆修建供电线路，并要求水下电缆长度最短，试求该方案总施工费用的最小值．（2）如图②，点E在线段AD上，且铺设电缆的线路为CE、EA、EB．若∠DCE＝θ(0≤θ≤π3)，试用θ表示出总施工费用y (万元)的解析式，并求y的最小值．19、（本小题满分16分）已知椭圆的两个焦点为，离心率为，点是椭圆上某一点，的周长为，（1）求椭圆的标准方程；（2）以椭圆的上顶点为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形，设直线的斜率为（），求所有满足要求的．20、（本小题满分16分）已知a为实数，函数f(x)＝a·ln x＋x2－4x．（1）是否存在实数a，使得f (x)在x＝1处取极值？证明你的结论；（2）若函数f (x)在[2, 3]上存在单调递增区间，求实数a的取值范围；（3）设g(x)＝2a ln x＋x2－5x－1＋ax，若存在x0∈[1, e]，使得f(x0)＜g(x0)成立，求实数a的取值范围．高三数学(文科)月考试卷 答案xx.10.61、(0,1)2、13、4、充分不必要”5、－136、 (9,－4)7、[－4,4]8、π69、[12,＋∞) 10、411、3 12、 13、 (－∞,4) 14、⎣⎡ln33,⎭⎫1e15、解：（1）∵，∴，得或；当m ＝4时，l 1：6x ＋7y －5＝0，l 2：6x ＋7y ＝5,即l 1与l 2重合，故舍去． 当时，即 ∴当时，． ………7分 （2）由得或； ∴当或时，． ………14分16、解：（1）依题意知，T ＝2π，∴ω＝1，∴f (x )＝sin(x ＋φ)∵f (π3)＝sin(π3＋φ)＝12，且0＜φ＜π ∴π3＜π3＋φ＜4π3 ∴π3＋φ＝5π6 即φ＝π2∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝cos x ． ………6分（2）∵f (A )＝cos A ＝35，f (B )＝cos B ＝513， ∴A ,B ∈(0,π2)∴sin A ＝45，sin B ＝1213 ………8分∴sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝5665………10分 ∵在△ABC 中a sin A ＝bsin B ∴b ＝15. ………12分∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×13×15×5665＝84． ………14分17、解：（1）∵k a －b 与a －k b 垂直，∴(k a －b )·(a －k b )＝0．∴k a 2－k 2a ·b －b ·a ＋k b 2＝0．∴9k －(k 2＋1)×3×2·cos120°＋4k ＝0．∴3k 2＋13k ＋3＝0．∴k ＝－13±1336． ………7分（2）∵|k a －2b |2＝k 2a 2－4k a ·b ＋4b 2＝9k 2－4k ×3×2·cos120°＋4×4 ＝9k 2＋12k ＋16＝(3k ＋2)2＋12．∴当k ＝－23时，|k a －2b |取得最小值为23． ………15分18、解：（1）由已知可得△ABC 为等边三角形，∵AD ⊥CD ，∴水下电缆的最短线路为CD .过D 作DE ⊥AB 于E ，可知地下电缆的最短线路为DE 、AB . ………3分 又CD ＝1，DE ＝32，AB ＝2，故该方案的总费用为 1×4＋32×2＋2×0.5＝5＋ 3 （万元）． …………6分 （2）∵∠DCE ＝θ (0≤θ≤ π3)∴CE ＝EB ＝1cos θ，ED ＝tan θ，AE ＝3－tan θ.则y ＝1cos θ×4＋1cos θ×2＋(3－tan θ)×2＝2×3－sin θcos θ＋2 3 ……9分令f (θ)＝3－sin θcos θ (0≤θ≤ π 3)则f '(θ)＝－cos 2θ－(3－sin θ)(－sin θ)cos 2θ＝3sin θ－1cos 2θ ，……11分∵0≤θ≤ π 3，∴0≤sin θ≤32，记sin θ0＝13，θ0∈(0, π 3)当0≤θ＜θ0时，0≤sin θ＜13，∴f '(θ)＜0当θ0＜θ≤ π 3时，13＜sin θ≤32，∴f '(θ)＞0∴f (θ)在[0,θ0)上单调递减，在(θ0, π3]上单调递增．……13分∴f (θ)min ＝f (θ0)＝3－13223＝22，从而y min ＝42＋23，此时ED ＝tan θ0＝24，答：施工总费用的最小值为（42＋23）万元，其中ED ＝24. ……15分 19、解：（1）由题意得，椭圆的标准方程为： ---------------------6分 （2）设的直线方程为设，（不妨设） 由得，----------------------8分AB ∴==由得，即，即或 注：求出给2分20、解：（1）函数f (x )定义域为(0,＋∞)，f '(x )＝ax ＋2x －4＝2x 2－4x ＋a x假设存在实数a ，使f (x )在x ＝1处取极值，则f '(1)＝0，∴a ＝2， ……2分此时，f '(x )＝2(x －1)2x，∴当0＜x ＜1时，f '(x )＞0，f (x )递增；当x ＞1时，f '(x )＞0，f (x )递增． ∴x ＝1不是f (x )的极值点．故不存在实数a ，使得f (x )在x ＝1处取极值． ………4分（2）f '(x )＝2x 2－4x ＋a x ＝2(x －1)2＋a －2x，①当a ≥2时，∴f '(x )≥0，∴f (x )在(0,＋∞)上递增，成立； ………6分②当a ＜2时，令f '(x )＞0，则x ＞1＋1－a2或x ＜1－1－a 2，∴f (x )在(1＋1－a2,＋∞)上递增， ∵f (x )在[2, 3]上存在单调递增区间，∴1＋1－a2＜3，解得：6＜a ＜2 综上，a ＞－6． ………10分（3）在[1,e]上存在一点x 0，使得成立，即在[1,e]上存在一点，使得，即函数在[1,e]上的最小值小于零．有22221(1)(1)[(1)]()1a a x ax a x x a h x x x x x +--++-+'=--==①当，即时， 在上单调递减， 所以的最小值为，由可得，因为，所以； ………12分 ②当，即时，在上单调递增，所以最小值为，由可得； ………14分 ③当，即时，可得最小值为， 因为，所以，，故 此时不存在使成立．综上可得所求的范围是：或． ………16分解法二：由题意得，存在x ∈[1, e]，使得a (ln x －1x )＞x ＋1x成立．令m (x )＝ln x －1x ，∵m (x )在[1, e]上单调递增，且m (1)＝－1＜0, m (e)＝1－1e ＞0故存在x 1∈(1,e)，使得x ∈[1, x 1)时，m (x )＜0；x ∈(x 1, e]时，m (x )＞0 故存在x ∈[1, x 1)时，使得a ＜x 2＋1x ln x －1成立，·························(☆)或存在x ∈(x 1, e]时，使得a ＞x 2＋1x ln x －1成立，·························(☆☆) ………12分记函数F (x )＝x 2＋1x ln x －1，F '(x )＝(x 2－1)ln x －(x ＋1)2(x ln x －1)2当1＜x ≤e 时，(x 2－1)ln x －(x ＋1)2＝(x 2－1)·⎝⎛⎭⎪⎫ln x －x ＋1x －1∵G (x )＝ln x －x ＋1x －1＝ln x －2x －1－1递增，且G (e)＝－2e －1＜0∴当1＜x ≤e 时，(x 2－1)ln x －(x ＋1)2＜0，即F '(x )＜0∴F (x )在[1, x 1)上单调递减，在(x 1, e]上也是单调递减， ………14分 ∴由条件(☆)得：a ＜F (x )max ＝F (1)＝－2 由条件(☆☆)得：a ＞F (x )min ＝F (e)＝e 2＋1e －1综上可得，a ＞e 2＋1e －1或a ＜－2． ………16分~31922 7CB2 粲kw25948 655C 敜37280 91A0 醠22014 55FE 嗾39428 9A04 騄d27288 6A98 檘33985 84C1 蓁37111 90F7 郷23438 5B8E 宎@25055 61DF 懟。

北京市八一学校2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题一、单选题1．已知集合{}{}21,0,1,21A B x x ，=-=≤，则A B =I A ．{}1,0,1- B ．{}0,1C ．{}1,1-D ．{}0,1,2 2．已知命题p ：(0,)x ∀∈+∞，1ln 1x x ≥-，则p ⌝为（ ）A ．0(0,)x ∃∈+∞，001ln 1x x <-B ．(0,)x ∀∈+∞，1ln 1x x <-C ．0(0,)x ∃∈+∞，001ln 1x x ≥-D ．(0,)x ∀∉+∞，1ln 1x x≥- 3．下列函数中，既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递增的是（ ）A ．3y x =B ．ln ||y x =C ．2x y -=D ．22y x x =-4．已知ln3a =，0.3log 2b =，0.20.3c =，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b <<5．在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox为始边，终边与单位圆交于点，则()cos πα+=（ ）A．BC． D6．已知定义在R 上的奇函数()f x 在[0,)+∞单调递增．若(1)1f =，则不等式1(1)1f x -<-<的解集为（ ）A ．(1,1)-B ．(2,2)-C ．(0,1)D ．(0,2)7．已知函数()sin f x x =和直线:l y x a =+，那么“0a =”是“直线l 与曲线()y f x = 相切”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．苏格兰数学家纳皮尔（J.Napier ，1550-1617）发明的对数及对数表（部分对数表如下表所示），为当时的天文学家处理“大数”的计算大大缩短了时间．因为)10342102410,10⎡=∈⎣，所以102的位数为4（一个自然数数位的个数，叫做位数），已知30M 是24位数，则正整数M 的值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．89．先将函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向左平移2π个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到函数()g x 的图象，若方程()()f x g x =有实根，则ω的值可以为（ ）A ．12B ．1C ．2D ．410．已知函数2,0,(),0.x a x f x x x ⎧->=⎨-<⎩若()y f x =的图象上存在两个点,A B 关于原点对称，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[1,)-+∞B ．(1,)-+∞C ．[1,)+∞D ．(1,)+∞二、填空题11．已知函数2()log ()f x x a =+，若(2)2f =，则a =．12．函数4(1)1y x x x =+>-的最小值为． 13．曲线e x y =在0x =处的切线恰好是曲线()ln y x a =+的切线，则实数a =.14．已知函数()()sin f x x ωϕ=+满足π04f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭，()()0πf x f x -+=，且f (x )在ππ,42⎛⎫ ⎪⎝⎭内不存在零点，则函数f (x )的零点为．15．唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导.如图，某桨轮船的子的半径为3m ，它以1rad/s 的角速度逆时针旋转.轮子外边沿有一点P ， 点P 到船底的距离是H （单位：m ），轮子旋转时间为t （单位：s ）. 当0t =时，点P 在轮子的最高点处.①当点P 第一次入水时，t =；②当t t =0时，函数()H t 的瞬时变化率取得最大值，则0t 的最小值是.三、解答题16．已知函数()cos (sin )f x x x x =，x ∈R ． （Ⅰ）求f （x ）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）设α＞0，若函数g （x ）=f （x+α）为奇函数，求α的最小值．17．已知函数()sin ()(0||)2f x x ωϕωϕπ=+><,，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为一组已知条件，使()f x 的解析式唯一确定．(1)求()f x 的解析式；(2)设函数()()()6g x f x f x π=++，求()g x 在区间4[0]π,上的最大值．条件①：()f x 的最小正周期为π；条件②：()f x 为奇函数；条件③：()f x 图象的一条对称轴为4x π=．注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分．18．已知函数()()23ln 132f x ax x a x =-+-，其中a ∈R ．(1)若12x =是函数()f x 的极值点，求a 的值； (2)若0a <，讨论函数()f x 的单调性．19．已知函数()sin cos f x x x a x x =++，a ∈R ．(1)若曲线()y f x =在点ππ,22f ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线与1y x =-+平行，求a 的值； (2)当2a =时，求()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值； (3)当2a >时，若方程()30f x -=在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有唯一解，求a 的取值范围． 20．已知函数()()()22ln 1f x x x x ax ⎡⎤=+++⎣⎦．(1)若0a =，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；(2)当0a ≥时，求证：函数()f x 存在极小值；(3)请直接写出函数()f x 的零点个数.21．对于集合M ，定义函数()1,,1,.M x M f x x M -∈⎧=⎨∉⎩对于两个集合,M N ，定义集合 (1)写出()1A f 和()1B f 的值，并用列举法写出集合A B ∆；(2)用()Card M 表示有限集合M 所含元素的个数，求()()ΔΔCard X A Card X B +的最小值；(3)有多少个集合对(),P Q ，满足P ，Q A B 腿，且()()ΔΔΔΔP A Q B A B =？。

2021-2022学年北京市八一学校高一（上）第一次月考数学试卷（10月份）一、单选题（本大题共18小题，共82.0分）1.已知m，n是互不垂直的异面直线，平面α，β分别经过直线m，n，则下列关系中不可能成立的是()A. m//βB. α//βC. m⊥βD. α⊥β2.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，下列四个结论中错误的是()A. 直线B1C与直线AC所成的角为60°B. 直线B1C与平面AD1C所成的角为60°C. 直线B1C与直线AD1所成的角为90°D. 直线B1C与直线AB所成的角为90°3.已知直线l1：ax+4y−2=0与直线l2：2x−5y+b=0互相垂直，垂足为(1,c)，则a+b+c的值为()A. −4B. 20C. 0D. 244.将长、宽分别为4和3的长方形ABCD沿对角线AC折成直二面角，得到四面体A−BCD，则四面体A−BCD的外接球的表面积为()A. 25πB. 50πC. 5πD. 10π5.如图，已知在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=BC=4，CC1=2，则直线BC1和平面DBB1D1所成角的正弦值为()A. √32B. √52C. √105D. √10106.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，E、F分别为棱AD、BC的中点，则平面C1D1EF与底面ABCD所成的二面角的余弦值为()A. √22B. √55C. 2√55D. 3√557.已知点A(1,3)和点B(5,2)到直线l的距离相等，且l过点(3,−1)，则直线l的方程为()A. x+4y+1=0或x=3B. x+4y−1=0或x=3C. x+4y+1=0D. x+4y−1=08.若直线l：y=kx−√3与直线x+y−3=0相交，且交点在第一象限，则直线l的倾斜角θ的取值范围是()A. {θ|0<θ<60°}B. {θ|30°<θ<60°}C. {θ|30°<θ<90°}D. {θ|60°<θ<90°}9.若直线l1：y=kx−k+1与直线l2关于点(3,3)对称，则直线l2一定过定点()A. (3,1)B. (2,1)C. (5,5)D. (0,1)10.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M为棱AA1的中点，A1C1与B1D1相交于点N，P是底面ABCD内(含边界)的动点，总有A1P⊥MN，则动点P的轨迹的长度为()A. 2B. √5C. 2√2D. 311.已知全集U={1,2，3，4，5}，集合A={1,3，5}，则∁U A=()A. {2,4}B. {1,3，5}C. {1,2，3，4，5}D. ⌀12.命题“∀x∈R，x2+x+1>0”的否定为()A. ∀x∈R，x2+x+1≤0B. ∃x∈R，x2+x+1≤0C. ∃x∈R，x2+x+1<0D. ∃x∈R，x2+x+1>013.设集合A={x∈Z|x2≤4}，B={1,2，a}，且A⊇B，则实数a的取值集合为()A. {−2,−1,0}B. {−2,−1}C. {−1,0}D. {−2,−1,1}14.对于实数x，“x<0”是“x<1”的()条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要15.如果一元二次方程2x2+px+q=0的解集为{−1,2}，那么二次三项式2x2+px+q可分解为()A. (x+1)(x−2)B. (2x+1)(x−2)C. (x−1)(x+2)D. 2(x+1)(x−2)16.2019年文汇高中学生运动会，某班62名学生中有一半的学生没有参加比赛，参加比赛的学生中，参加田赛的有16人，参加径赛的有23人，则田赛和径赛都参加的学生人数为()A. 7B. 8C. 10D. 1217.设集合M={x|x=k2+14,k∈Z}，N={x|x=k4+12,k∈Z}，则()A. M=NB. M⫋NC. N⫋MD. M∩N=⌀18.用d(A)表示集合A中的元素个数，若集合A={x|(x2−ax)(x2−ax+1)=0}，B={0,1}，且|d(A)−d(B)|=1.设实数a的所有可能取值构成集合M，则d(M)=()A. 3B. 2C. 1D. 4二、单空题（本大题共9小题，共44.0分）19.m变化时，两平行线3x−4y+m−1=0和3x−4y+m2=0之间距离的最小值等于______．20.若直线ax−y+2=0与以点A(1,−2)，B(4,1)为端点的线段相交，则a的取值范围是______．21.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角．______(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．______(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角．______(4)两异面直线夹角的范围是(0,π2]，直线与平面所成角的范围是[0,π2]，二面角的范围是[0,π]．______(5)若二面角α−a−β的两个半平面α，β的法向量n1⃗⃗⃗⃗ ，n2⃗⃗⃗⃗ 所成角为θ，则二面角α−a−β的大小是π−θ．______22.如图，二面角α−l−β的大小是60°，线段AB⊂α.B∈l，AB与l所成的角为30°.则AB与平面β所成的角的正弦值是______．23.设U={1,2，3，4，5，6，7，8，9}，(∁U A)∩B={2,3，7}，(∁U B)∩A={1,8}，(∁U A)∩(∁U B)={4,6}，则集合A=______，B=______．24.若集合A={x|ax2−3x+1=0}中只含有一个元素，则a值为______；若A的真子集个数是3个，则a的范围是______．25.二元二次方程x2−2xy−8y2=0可以化成两个一次方程，那么这两个一次方程分别是______，______．26.已知一元二次方程x2+3x−1=0的两根分别是x1，x2，则x1+x2______；|x1−x2|______．27.已知a，b，c是△ABC的三边长，关于x的方程12x2+√bx+c−12a=0的解集中只有一个元素，方程3cx+2b=2a的根为x=0，则△ABC的形状为______；若a，b 为关于x2+mx−3m=0的两个实数根，则实数m的值______．三、多空题（本大题共1小题，共6.0分）28.直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2−4k+m=0的两根，若l1⊥l2，则m=(1)；若l1//l2，则m=(2)．四、解答题（本大题共8小题，共84.0分）29.在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(−3,2)，B(4,3)，C(−1,−2)．(1)在△ABC中，求BC边上的高线所在的直线方程；(2)求△ABC的面积．30.已知四棱锥P−ABCD，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，PD⊥平面ABCD，PD=AD，点E为AB中点，点F为PD中点．(1)证明：平面PED⊥平面PAB；(2)求二面角P−AB−F的平面角的余弦值．31.如图，四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，点P为侧棱CC1上的一点，且AA1=3AB=3．(Ⅰ)若点P为CC1的中点，求证：AC1//平面PBD；(Ⅱ)若PCCC1=13，求直线A1P与平面PBD所成角的正弦值；(Ⅲ)若二面角B−PD−C的余弦值为23，求PC的长．32.已知U=R，且A={x|−4<x<4}，B={x|x≤1或x≥3}.求：(Ⅰ)A∩B；(Ⅱ)A∪B；(Ⅲ)(∁U A)∩B．33.设集合A={x|x2−3x+2=0}，B={x|x2+(a−1)x+a2−5=0}．(1)若A∩B={2}，求实数a的值；(2)若A∪B=A，求实数a的取值范围．34.已知p：−2≤x≤10，q：1−m≤x≤1+m，若q是p的必要不充分条件，求实数m的取值范围．35.已知命题p：∃x∈R，使mx2−4x+2=0为假命题．(Ⅰ)求实数m的取值集合B；(Ⅱ)设A={x|3a<x<a+2}为非空集合，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求实数a的取值范围．36.以某些整数为元素的集合P具有以下两个性质：(1)P中的元素有正整数，也有负整数；(2)x，y∈P，则x+y∈P．(Ⅰ)若x∈P，求证：3x∈P；(Ⅱ)求证：0∈P；(Ⅲ)判断集合P是有限集还是无限集？请说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】解：若m⊥β，则m垂直于面β内的任意一条直线，则m⊥n，与已知条件矛盾故选：C．结合点线面位置关系的判定定理和性质定理，和必要的空间模型，可得答案本题考察直线、平面的位置关系，要求熟练掌握平行和垂直的判定定理与性质定理，有较好的空间想象力2.【答案】B【解析】解：连接AB1，∵△AB1C为等边三角形，∴∠ACB1=60°，即直线B1C与AC所成的角为60°，故选项A正确；连接B1D1，∵AB1=B1C=CD1=AD1，∴四面体AB1CD1是正四面体，∴点B1在平面AD1C上的投影为△AD1C的中心，设为点O，连接B1O，OC，则OC=√63BC，设直线B1C与平面AD1C所成的角为θ，则cosθ=OCB1C =√63BC√2BC=√33≠12，故选项B错误；连接BC1，∵AD1//BC1，且B1C⊥BC1，∴直线B1C与AD1所成的角为90°，故选项C正确；∵AB⊥平面BCC1B1，∴AB⊥B1C，即直线B1C与AB所成的角为90°，故选项D正确．故选：B．连接AB1，求出∠ACB1可判断选项A；连接B1D1，找出点B1在平面AD1C上的投影O，设直线B1C与平面AD1C所成的角为θ，由cosθ=OC B1C可判断选项B；利用平移法找出选项C 和D涉及的异面直线夹角，再进行相关运算，即可得解．本题考查异面直线夹角、线面角的求法，利用平移法找出异面直线夹角，以及理解线面角的定义是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题．3.【答案】A【解析】解；∵直线l1：ax+4y−2=0与直线l2：2x−5y+b=0互相垂直∴−a4×25=−1解得：a=10∴直线l1：5x+2y−1=0∵(1,c)在直线5x+2y−1=0上∴5+2c−1=0解得：c=−2又∵(1,−2)也在直线l2：2x−5y+b=0上∴2×1+5×2+b=0解得：b=−12∴a+b+c=10−12−2=−4故选：A．首先根据垂直得出−a4×25=−1从而求出a的值，再由(1,c)在直线5x+2y−1=0和2x−5y+b=0上求出c和b的值，即可得出结果．本题考查两直线垂直的性质，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：由题意可知，直角三角形斜边的中线是斜边的一半，所以长宽分别为3和4的长方形ABCD沿对角线AC折起直二面角，得到四面体A−BCD，则四面体A−BCD的外接球的半径，是12AC=52所求球的表面积为：4×π(52)2=25π故选：A．折叠后的四面体的外接球的半径，就是长方形ABCD沿对角线AC的一半，求出球的半径即可求出球的表面积．本题考查球的内接多面体，求出球的半径，是解题的关键，考查空间想象能力，计算能力．5.【答案】C【解析】解：由题意，连接A1C1，交B1D1于点O∵长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=BC=4∴C1O⊥B1D1∴C1O⊥平面DBB1D1，所以∠OBC1为直线BC1和平面DBB1D1所成角，在Rt△BOC1中，OC1=2√2，BC1=2√5∴直线BC1和平面DBB1D1所成角的正弦值为√105，故选：C．要求线面角，先寻找斜线在平面上的射影，因此，要寻找平面的垂线，利用已知条件可得．本题的考点是直线与平面所成的角，主要考查线面角，关键是寻找线面角，通常寻找斜线在平面上的射影．6.【答案】B【解析】【分析】本题考查了二面角的平面角的定义及求法，考查了计算能力，属于基础题．根据题意可知，∠D1ED是平面C1D1EF与底面ABCD所成的二面角的平面角，然后在Rt△D1ED中，求出cos∠D1ED即可．【解答】解：根据题意，易得EF⊥平面ADD1A1，∴ED1⊥EF，ED⊥EF，∴∠D1ED是平面C1D1EF与底面ABCD所成的二面角的平面角，在Rt△D1ED中，ED=12,ED1=√1+14=√52，∴cos∠D1ED=12√52=√55．故选：B．【解析】解：∵点A(1,3)和点B(5,2)，∴k AB =2−35−1=−14，∵点A(1,3)和点B(5,2)到直线l 的距离相等，且l 过点(3,−1)，∴直线l 与直线AB 平行，且直线l 过点(3,−1)，或直线l 的方程为x =3，∴直线l 的方程为：y +1=−14(x −3)，或x =3，整理得：x +4y +1=0或x =3．故选：A ．先求出直线AB 的斜率，由点A(1,3)和点B(5,2)到直线l 的距离相等，且l 过点(3,−1)，得到直线l 与直线AB 平行，且直线l 过点(3,−1)，或直线l 的方程为x =3，由此能求出直线l 的方程．本题考查直线方程的求法，考查直线的斜率公式、直线的点斜式方程等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.【答案】C【解析】解：由题意可知，k ≠−1，联立方程{y =kx −√3x +y −3=0，解得{x =3+√31+k y =3k−√31+k ， ∴两直线的交点坐标为(3+√31+k ,3k−√31+k )，∵两直线的交点在第一象限，∴{3+√31+k>03k−√31+k >0，解得k >√33， ∴tanθ>√33， ∴30°<θ<90°，故选：C ．由题意可知k ≠−1，联立两直线方程求出交点坐标，再由交点在第一象限列出不等式组，解出k 的取值范围，再利用直线倾斜角与斜率关系求出倾斜角的范围即可． 本题主要考查了直线的交点坐标，考查了直线的倾斜角与斜率的关系，是基础题．【解析】【分析】本题考查直线过定点问题，考查对称问题，属于基础题．先找出直线l 1恒过定点(1,1)，进而求出其关于点(3,3)的对称点，可得直线l 2恒过定点．【解答】解：由于直线l 1：y =k(x −1)+1恒过定点P(1,1)，设点P 关于点(3,3)的对称点为Q(a,b)，则{1+a 2=31+b2=3，解得a =5，b =5．∴直线l 2恒过定点(5,5)．故选：C ．10.【答案】C【解析】解：如图∵MN//AC 1，AC 1⊥面A 1DB ，∴MN ⊥面A 1DB ，即可得MN 垂直面A 1BD 内任意直线，当P 在底面ABCD 内(含边界)时，总有A 1P ⊥MN ，则P 的运动轨迹就是线段BD ，则动点P 的轨迹的长度为2√2．故选：C ．由MN//AC 1，AC 1⊥面A 1DB ，可得MN ⊥面A 1DB ，即可得当P 在底面ABCD 内(含边界)时，总有A 1P ⊥MN ，则P 的运动轨迹就是线段BD ，求得DB 的长度即可． 本题考查了空间线线、线面位置关系，考查了空间动点轨迹问题，属于中档题．11.【答案】A【解析】解：∵全集U ={1,2，3，4，5}，集合A ={1,3，5}∴∁U A ={2,4}故选A数一下不属于集合A 的元素即可得解本题考查集合运算，当集合是用列举法表示的且元素个数比较少时，可数一下元素，用观察法做题．属简单题12.【答案】B【解析】解：由题意∀x∈R，x2+x+1>0，否定是∃x∈R，x2+x+1≤0故选：B．根据含有量词的命题的否定为：将任意改为存在，结论否定，即可写出命题的否定．本题的考点是命题的否定，主要考查含量词的命题的否定形式：将任意与存在互换，结论否定即可．13.【答案】A【解析】解：集合A={x∈Z|x2≤4}={−2,−1,0，1，2}，B={1,2，a}，且A⊇B，可得实数a的取值集合为{−2,−1,0}．故选：A．求出集合A，利用集合的包含关系，转化求解a即可．本题考查集合的包含关系，集合中元素的性质，是基础题．14.【答案】A【解析】解：由x<0，可知x<1，反之不成立，∴“x<0是“x<1”的充分不必要条件．故选：A．解出不等式x2<1，即可判断出关系．本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15.【答案】D【解析】解：因为一元二次方程2x2+px+q=0的两个根为−1和2，所以2(x+1)(x−2)=0，所以2x2+px+q=0可分解为2(x+1)(x−2)．根据一元二次方程2x2+px+q=0的两个根为−1和2，可得2x2+px+q=0可分解为2(x+1)(x−2)．本题考查解一元二次方程的能力，根据不同的方程选择合适的方法是解题的关键．16.【答案】B【解析】解：设田赛和径赛都参加的学生人数为x因为62名学生中有一半的学生没有参加比赛，所以参加比赛的学生有31人；故16−x+x+23−x=31⇒x=8，故田赛和径赛都参加的学生人数为8，故选：B．根据题意画出对应的Venn图，进而求出结论．本题考查集合中元素个数的求法，考查集合的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．17.【答案】B【解析】解：∵若x∈M，则x=k2+14=12+2k−14，k∈Z，2k−1∈Z，即M中元素都是N中元素；所以，M⊆N．而当k=−2时，0∈N，0∉M ∴M⫋N故选：B．由已知中集合M={x|x=k2+14,k∈Z}，N={x|x=k4+12,k∈Z}，我们可得满足集合M性质的元素，均满足集合N的性质，进而得到∀x∈m，都有x∈N，然后在集合N中存在元素0，使得0∉M，根据集合子集和真子集的定义，易得到答案．本题考查的知识点是集合的包含关系判断及应用，属于基础题．【解析】解：由题意，d(B)=2，∵|d(A)−d(B)|=1，∴d(A)=1或3， 方程(x 2−ax)(x 2−ax +1)=0可化为x 2−ax =0或x 2−ax +1=0，即x =0或x =a 或x 2−ax +1=0，①若d(A)=1，则方程(x 2−ax)(x 2−ax +1)=0有且只有一个解，故a =0，此时方程x 2(x 2+1)=0有且只有一个解；②若d(A)=3，则方程(x 2−ax)(x 2−ax +1)=0有三个不同的解，则{ a ≠0a 2−4=0，解得，a =±2， 经检验，a =±2时，方程(x 2−ax)(x 2−ax +1)=0有三个不同的解，综上所述，M ={0,−2,2}，故d(M)=3，故选：A ．由题意得d(B)=2，从而解得d(A)=1或3，而方程(x 2−ax)(x 2−ax +1)=0的解可化为x =0或x =a 或x 2−ax +1=0，从而分类讨论求解．本题考查了集合中的元素的个数问题，同时考查了二次方程的解的个数问题，考查了分类讨论的思想与转化思想应用，属于中档题．19.【答案】320【解析】解：由于两平行线3x −4y +m −1=0和3x 一4y +m 2=0之间距离为d =2√9+16=|(m−12)2+34|5， 故当m =12时，d 取得最小值为320，故答案为：320．由条件利用两平行线间的距离公式，二次函数的性质，求得两平行线3x −4y +m −1=0和3x 一4y +m 2=0之间距离的最小值．本题主要考查两平行线间的距离公式的应用，要注意先把两直线的方程中x 、y 的系数化为相同的，然后才能用两平行线间的距离公式，二次函数的性质，属于基础题． 20.【答案】[−4,−14]【解析】解：∵直线ax−y+2=0与以点A(1,−2)，B(4,1)为端点的线段相交，∴A，B在直线的两侧或其中一点在直线上，则[a×1−(−2)+2]⋅(a×4−1×1+2)≤0，即(a+4)(4a+1)≤0，解得−4≤a≤−14．∴a的取值范围是[−4,−14].故答案为：[−4,−14].由题意可得A，B在直线的两侧或其中一点在直线上，由此列关于a的不等式求解．本题考查平面内两直线的位置关系，考查线性规划的应用，属于基础题．21.【答案】×××√×【解析】解：(1)两条异面直线的夹角等于它们的方向向量所成的角或其补角，故(1)错误；(2)若直线的方向向量与平面的法向量所成的角为β，则直线与该平面的夹角为β−90°或90°−β，故(2)错误；(3)两个平面所成的角等于这两个平面的法向量所成的角或其补角，故(3)错误；(4)两异面直线夹角的范围是(0,π2]，直线与平面所成角的范围是[0,π2]，二面角的范围是[0,π]，故(4)正确；(5)若二面角α−a−β的两个半平面α，β的法向量n1⃗⃗⃗⃗ ，n2⃗⃗⃗⃗ 所成角为θ，则二面角α−a−β的大小是θ或π−θ，故(5)错误．故答案为：(1)×；(2)×；(3)×；(4)√；(5)×．利用异面直线所成的角与两条直线方向向量夹角之间的关系，二面角与两个平面的法向量的夹角之间的关系分析判断即可．本题考查了空间角的理解与应用，考查了异面直线所成的角与两条直线方向向量夹角之间的关系，二面角与两个平面的法向量的夹角之间的关系，属于中档题．22.【答案】√34【解析】【分析】本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，以及直线与平面所成角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．过点A作平面β的垂线，垂足为C，在β内过C作l的垂线．垂足为D，连接AD，从而∠ADC为二面角α−l−β的平面角，连接CB，则∠ABC为AB与平面β所成的角，在直角三角形ABC中求出此角即可．【解答】解：过点A作平面β的垂线，垂足为C，在β内过C作l的垂线．垂足为D连接AD，有三垂线定理可知AD⊥l，故∠ADC为二面角α−l−β的平面角，为60°又由已知，∠ABD=30°连接CB，则∠ABC为AB与平面β所成的角设AD=2，则AC=√3，CD=1AB=ADsin300=4∴sin∠ABC=ACAB =√34；故答案为√34．23.【答案】{1,5，8，9}{2,3，5，7，9}【解析】解：因为U={1,2，3，4，5，6，7，8，9}，(∁U A)∩B={2,3，7}，所以B集合中含有2，3，7这几个元素且A集合中不含有2，3，7这几个元素，因为(∁U B)∩A={1,8}，则集合A中含有1，8这两个元素，集合B中不含1，8这两个元素，因为(∁U A)∩(∁U B)={4,6}，则集合A，集合B都不含有4，6两个元素，所以A={1,5，8，9}，B={2,3，5，7，9}．故答案为：{1,5，8，9}；{2,3，5，7，9}．利用补集与交集的定义，分别判断集合A，B中含有的元素以及不含的元素，即可得到答案．本题考查了集合的运算，主要考查了集合的补集与交集定义的理解与应用，元素与集合关系的应用，考查了逻辑推理能力，属于基础题．24.【答案】0或94 (−∞,0)∪(0,94)【解析】解：∵集合A ={x|ax 2−3x +1=0}中只含有一个元素，∴a =0或{a ≠0△=9−4a =0， 解得a =0或a =94．故a 值为0或94；∵A 的真子集个数是3个，∴ax 2−3x +1=0有两个实数根，∴{a ≠0△=9−4a >0，解得a <0或0<a <94， ∴a 的范围是(−∞,0)∪(0,94).故答案为：0或94；(−∞,0)∪(0,94).由集合A ={x|ax 2−3x +1=0}中只含有一个元素，得到a =0或{a ≠0△=9−4a =0，由此能求出a 值；由A 的真子集个数是3个，得到ax 2−3x +1=0有两个实数根，由此能求出a 的范围．本题考查实数值、实数的取值范围的求法，考查子集、集合中元素个数等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．25.【答案】x +4y =0 x −2y =0【解析】解：x 2−2xy −8y 2=0可化为(x +4y)(x −2y)=0，即x +4y =0或x −2y =0，故答案为：x +4y =0，x −2y =0．利用因式分解x 2−2xy −8y 2=0可化为(x +4y)(x −2y)=0，即可求出答案． 本题考查了利用因式分解解二元二次方程，属于基础题．26.【答案】1 √13【解析】解：因为一元二次方程x2+3x−1=0的两根分别是x1，x2，所以x1+x2=−3，x1x2=−1所以|x1−x2|=√(x1+x2)2−4x1x2=√(−3)2+4=√13，故答案为：1，√13．由韦达定理可得x1+x2，x1x2，|x1−x2|，即可得出答案．本题考查一元二次方程的根与系数关系，属于基础题．27.【答案】等边三角形−12【解析】解：(1)∵方程12x2+√bx+c−12a=0的解只有一个元素，∴△=0，∴(√b)2−4⋅12⋅(c−12a)=0，∴a+b=2c，∵3cx+2b=2a的根为0，∴代入可得a=b∴a=b=c，故为△ABC的形状为等边三角形．(2)∵a，b为方程x2+mx−3m=0的两根，∵由(1)知a=b，∴△=0，∴m2−4⋅(−3m)=0解得m1=0，m2=−12，∵a，b是△ABC的边长，∴a>0，故m1=0不符合题意，∴m=−12，故答案为：等边三角形，−12．(1)由方程12x2+√bx+c−12a=0的解只有一个元素，根据判别式可得(√b)2−4⋅12⋅(c−12a)=0可求得a+b=2c.又由方程3cx+2b=2a的根为0，可得a=b.则可求得a=b=c即可得△ABC为等边三角形；(2)由a=b可得判别式m2−4⋅(−3m)=0即可求得m的值．此题考查了根的判别式，方程的解，等边三角形的判定及一元二次方程的求解方法，属于中档题．28.【答案】−22【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、相互垂直及平行与斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2−4k+.再利用根据相互垂直、m=0的两根，利用根与系数的关系可得：k1+k2=2，k1k2=m2平行与斜率之间的关系即可得出．【解答】解：直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2−4k+m=0的两根，∴k1+k2=2，k1k2=m，2=−1，解得m=−2；①若l1⊥l2，则k1k2=m2②若l1//l2，则k1=k2，，又k1+k2=2，k1k2=m2联立解得m=2．故答案为：−2，2．=1．29.【答案】解：(1)直线BC的斜率k BC=3+24+1∴BC边上的高线斜率k=−1，∴BC边上的高线方程为：y−2=−(x+3)，∴BC边上的高线所在的直线方程为x+y+1=0．(2)∵B(4,3)，C(−1,−2)，∴|BC|=√(−2−3)2+(−1−4)2=5√2，由B(4,3)，C(−1,−2)得直线BC的方程为：x−y−1=0．=3√2，∴A到直线BC的距离d=√2×5√2×3√2=15．∴△ABC的面积S=12【解析】(1)求出直线BC的斜率，从而得到BC边上的高线斜率，由此能求出BC边上的高线所在的直线方程．(2)求出|BC|和直线BC的方程，再求出A到直线BC的距离，由此能求出△ABC的面积．本题考查直线方程、三角形面积的求法，考查直线的斜率、直线垂直、直线方程、两点间距离公式、点到直线的距离等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想，是基础题．30.【答案】(1)证明：连接BD.∵AB=AD，∠DAB=60°，∴△ADB为等边三角形．∵E是AB中点，∴AB⊥DE.(2分)∵PD⊥面ABCD，AB⊂面ABCD，∴AB⊥PD．∵DE⊂面PED，PD⊂面PED，DE∩PD=D，∴AB⊥面PED.(4分)∵AB⊂面PAB，∴面PED⊥面PAB.(6分)(2)解：∵AB⊥平面PED，PE⊂面PED，∴AB⊥PE．连接EF，∵EF⊂PED，∴AB⊥EF.∴∠PEF为二面角P−AB−F的平面角．(9分)设AD=2，那么PF=FD=1，DE=√3．在△PEF中，PE=√7,EF=2,PF=1，∴cos∠PEF=(√7)2+22−12×2√7=5√714，即二面角P−AB−F的平面角的余弦值为5√714.(12分)【解析】(1)先由已知条件证明∴△ADB为等边三角形，AB⊥DE，易证AB⊥PD，得到AB⊥面PED，进而证明面PED⊥面PAB．(2)先由二面角的定义找出二面角的平面角，把二面角的平面角放在一个三角形中，求出此角的余弦值．本小题主要考查空间中的线面关系，四棱锥的有关概念及余弦定理等基础知识，考查空间想象能力和推理能力．31.【答案】解：(Ⅰ)证明：连接AC，交BD于O，连接OP，∵底面ABCD 是正方形，∴O 是AC 的中点，∵点P 为CC 1的中点，∴OP//AC 1，∵AC 1⊄平面PBD ，OP ⊂平面PBD ，∴AC 1//平面PBD ．(Ⅱ)以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系， ∵AA 1=3AB =3，PC CC 1=13， ∴A 1(1,0，3)，P(0,1，2)，B(1,1，0)，D(0,0，0)，A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1，−1)，DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1，0)，DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1，2)，设平面PBD 的法向量n⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x +y =0n ⃗ ⋅DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =y +2z =0，取x =2，得n ⃗ =(2,−2,1)， 设直线A 1P 与平面PBD 所成角为θ，则直线A 1P 与平面PBD 所成角的正弦值为：sinθ=|A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√3⋅√9=5√39．(Ⅲ)设PC =t ，则P(0,1，t)，DP⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1，t)，DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1，0)， 平面PDC 的法向量p⃗ =(1,0，0)， 设平面PBD 的法向量m⃗⃗⃗ =(a,b ，c)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =b +tc =0m ⃗⃗⃗ ⋅DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a +b =0，取a =1，得m ⃗⃗⃗ =(1,−1,1t )， ∵二面角B −PD −C 的余弦值为23，∴|cos <m ⃗⃗⃗ ,p ⃗ >|=|m ⃗⃗⃗ ⋅p ⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|p ⃗ |=√2+1t 2=23， 解得t =2，或t =−2(舍)，∴PC 的长为2．【解析】(Ⅰ)连接AC ，交BD 于O ，连接OP ，推导出OP//AC 1，由此能证明AC 1//平面PBD ．(Ⅱ)以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线A 1P 与平面PBD 所成角的正弦值．(Ⅲ)设PC =t ，求出平面PDC 的法向量和平面PBD 的法向量，由二面角B −PD −C 的余弦值为23，利用向量法能求出PC 的长．本题考查线面平行的证明，考查二面角的正弦值、满足条件的线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．32.【答案】解：(Ⅰ)因为U=R，且A={x|−4<x<4}，B={x|x≤1或x≥3}，则A∩B={x|−4<x≤1或3≤x<4}；(Ⅱ)A∪B=R；(Ⅲ)∁U A={x|x≤−4或x≥4}，则(∁U A)∩B={x|x≤−4或x≥4}．【解析】(Ⅰ)利用集合交集的定义求解即可；(Ⅱ)利用集合并集的定义求解即可；(Ⅲ)利用集合补集与交集的定义求解即可．本题考查了集合的运算，解题的关键是掌握集合并集、补集与交集的定义，属于基础题．33.【答案】解：(1)集合A={x|x2−3x+2=0}={1,2}，若A∩B={2}，则x=2是方程x2+(a−1)x+a2−5=0的实数根，可得：a2+2a−3=0，解得a=−3或a=1，经检验，a=−3或a=1均符合题意，故a=−3或a=1；(2)∵A∪B=A，∴B⊆A，当B=⌀时，方程x2+(a−1)x+a2−5=0无实数根，即(a−1)2−4(a2−5)<0；解得a<−3或a>73当B≠⌀时，方程x2+(a−1)x+a2−5=0有实数根，若有两个相等实根，则Δ=(a−1)2−4(a2−5)=0，；解得a=−3或a=73经检验仅当a=−3时符合题意；若有两个不相等的实数根，即x=1或x=2，则(a−1)=−3且a2−5=2，故无解；}.综上可得实数a的取值范围是{a|a≤−3或a>73【解析】本题考查了并，交集及其运算，考查分类讨论思想，属于中档题．(1)根据A ∩B ={2}，可知B 中有元素2，带入求解a 即可；(2)根据A ∪B =A ，得B ⊆A ，建立关系即可求解实数a 的取值范围．34.【答案】解：因为q 是p 的必要不充分条件，即p 对应的集合是q 对应集合的真子集，所以{1+m ≥101−m ≤−2，可得{m ≥9m ≥3， 所以m ≥9，实数m 的取值范围：[9,+∞)．【解析】p 对应的集合是q 对应集合的真子集，列出不等式组，求解即可． 本题考查充要条件的应用，不等式的解法，是基础题．35.【答案】解：(Ⅰ)∃x ∈R ，使mx 2−4x +2=0为假命题，则∀x ∈R ，mx 2−4x +2≠0为真命题，即关于x 的方程mx 2−4x +2=0无解， 当m =0时，方程有解x =12，故不成立，当m ≠0，△=16−8m <0，解得：m >2，m 的取值集合B ={m|m >2}；(Ⅱ)A ={x|3a <x <a +2}为非空集合，则a +2>3a ，解得：a <1，因为x ∈A 是x ∈B 成立的充分不必要条件，所以A 是B 的真子集，则{a <13a >2，解得：23≤a <1， 故a 的取值范围为{a|23≤a <1}．【解析】(Ⅰ)通过讨论m 的范围，结合二次函数的性质求出B 即可；(Ⅱ)根据充分必要条件的定义得到关于a 的不等式组，解出即可．本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系以及二次函数的性质，是基础题．36.【答案】(Ⅰ)证明：由(2)若x ，y ∈P ，则x +y ∈P ，可得若x ∈P ，则x +x =2x ∈P ，x +2x =3x ∈P ．(Ⅱ)证明：由(1)，可设x ，y ∈P 且x >0，y <0，即x 为正整数，−y 为正整数， 由(2)可知，x 个y 相加属于集合P ，即xy ∈P ，同理，−y个x相加属于集合P，即−yx∈P，所以0=−yx+xy∈P．(Ⅲ)集合P为无限集，证明如下：假设集合P为有限集，则集合P中必最大值，且最大值为正数，不妨设最大值为m，由(2)若x，y∈P，则x+y∈P，可得2m∈P与集合P的最大值为m矛盾，所以集合P为无限集．【解析】(Ⅰ)由性质(1)即可证明3x∈P；(Ⅱ)由性质(1)可设x，y∈P且x>0，y<0，即x为正整数，−y为正整数，由性质(2)可得xy∈P，−yx∈P，从而证得0∈P；(Ⅲ)集合P为无限集，利用反证法假设集合P为有限集，则集合P中必最大值m，且最大值为正数，由性质(2)可得2m∈P，与假设矛盾，从而得证．本题考查了元素与集合的关系，需要反复推理运算，属于中档题．。

2021-2022学年度第一学期教学质量检测高三数学试题参考答案一.单项选择题.1-4:CDDA 5-8:DABB二.多项选择题9.BC 10.AD 11.AD 12.AB三.填空题.13.4⎤⎦14.e 115.3316.1681,4(四.解答题.17.解：（1）不等式105x x -≤-，即为()()150x x --≤，且5x ≠，解得15x ≤<，所以[1,5)A =，因为“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，所以B ⊆A ，又集合B 是非空集合，所以122125a a +≥⎧⎨+<⎩，解得122a ≤<；（2）由（1）知：(,1)[5,)R A =-∞⋃+∞ð，因为命题“x B ∃∈，x A ∈R ð”是真命题，所以R B A ≠∅ ð，所以125a +≥，解得2a ≥.18.解：角α的终边经过点(2,-，其中0απ<<，tan y x α==23πα=．10sin cos 2sin cos 2cos 219924cos 2sin 1818186πππαααππππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭==-=⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）()()()sin 222sin 22sin 233f x x x x x ππααα⎛⎫⎛⎫=-+-=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以2,336x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，()max 16f x f π⎛⎫== ⎪⎝⎭．19.解:（1）作出函数()f x 的图象，如图，由图象可知，当且仅当2a =或2a =-时，直线y a =与函数()y f x =的图象有三个不同的交点，∴当且仅当2a =或2a =-时，函数()g x 恰有三个不相同的零点.（2）由()f x 的图象可知，当11a -<<时，()g x 有6个不同的零点，设这6个零点从左到右依次为1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x ，则1210x x +=-，5610x x +=，3x 是方程370x a -+-=的解，4x 是方程370x a ---=的解.∴3337()10log (7)log (7)10log 7a h a a a a+=---+++=-当11a -<<时，714341,7743a a a+⎛⎫=-∈ ⎪--⎝⎭，∵()33()12log 2,2log 21h a ∈--20.解:（1）()0ϕ表示不安装设备时，每年缴交水费为4万元.（2）由()045050k ϕ==⨯+∴200k =200400.10.155010y x x x x =+=+++()4000.110110x x ⎡⎤=++-⎢⎥+⎣⎦∵0x ≥∴1010x +≥∴()4000.11010.121310y x x ⎡⎤=++-≥⨯=⎢⎥+⎣⎦（万元）当且仅当4001010x x +=+即10x =时取“=”答：y 的最小值为3万元.21.解:因为)14(log )()(4+=+x x g x f 所以以x -代替x 得:xx g x f x x -+=+=-+--)14(log )14(log )()(44即:xx g x f x -+=-)14(log )()(4解得:2)14(log )(4x x f x -+=;2)(x x g =.(1))222.(log 212)14(log )222.(log 21)()(242a a x a a x f x h x x x +--+=+-=0)222.(log 212)12(log 21222=+--+=a a x x x 即:)222.(log 22(log 2122a a x x x +=+所以012.222)1(2=-+-x x a a ,令02>=x t ,即方程01.22)1(2=-+-t a t a 只有一个大于0的根.①当1=a 时,42=t 符合题意;②当01>-a ,即当1>a 时,方程有一个大于0的根,一个小于0的根,符合题意,③当01<-a ,即当1<a 时,需方程有两个相等的正实根,即:0)1(482=-+=∆a a 所以1-=a 或21=a .当21=a 时,2=t 符合条件;当1-=a 时,22-=t 不符合条件.综上所述:21=a 或1≥a .22.解:（1）因为()1ln f x ax x =-+，所以0x >，11()ax f x a x x+'=+=，当0a ≥时，1()0ax f x x +'=>，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0a <时，由()0f x '=得1x a=-.当10,x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '>；当1,x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<.所以函数()f x 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减.综上所述：当0a ≥时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0a <时，函数()f x 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减.（2）证明：要证1()ex xf x ≥-，只需证e (1ln )0x x x x -+-+≥，即证2e ln 0x x x x x -+-+≥即可，设2()e ln x h x x x x x -=+-+，0x >.则()e 2ln x h x x x -'=-++，1()e 20x h x x-''=++>，所以函数()e 2ln x h x x x -'=-++在(0,)+∞上单调递增.又e 112e 10e e h -⎛⎫'=-+-< ⎪⎝⎭，1(1)20e h '=-+>，故()e 2ln x h x x x -'=-++在1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上存在唯一的零点0x ，即000e 2ln 0x x x --++=.所以当()00,x x ∈时，()0h x '<；当()0x x ∈+∞时，()0h x '>，所以函数()h x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，故()0200000()e ln x h x h x x x x x -≥=+-+，所以只需证()0200000e ln 0x h x x x x x -=+-+≥即可.由000e 2ln 0x x x --++=，得000e 2ln x x x -=+，所以()()()00001ln h x x x x =++.又010x +>，所以只要00ln 0x x +≥即可.当00ln 0x x +<时，000000ln e e 0x x x x x x --<-⇒<⇒-+<，所以0000e ln 0x x x x --+++<与000e 2ln 0x x x --++=矛盾.故00ln 0x x +≥，故()0h x ≥，即1()e x xf x ≥-得证.。

2021-2021中学高三上学期10月月考数学试题（解析版）数学高三第一学期期末20XX-2021中学高三上学期10月月考数学试题一、单选题1．若，则（）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【详解】由题意可得：，且：，据此有：.本题选择D选项.2．若集合,集合,则图中阴影部分表示A.B.C.D.【答案】A 【解析】将阴影部分对应的集合的运算表示出来，然后根据集合表示元素的范围计算结果.【详解】因为阴影部分是：；又因为，所以或，所以或，所以，又因为，所以，故选：A.【点睛】本题考查根据已知集合计算图所表示的集合，难度较易.对于图中的阴影部分首先要将其翻译成集合间运算，然后再去求解相应值.3．设，是非零向量，“”是“”的（）A.充分而不必要条B.必要而不充分条C.充分必要条D.既不充分也不必要条【答案】A 【解析】，由已知得，即，.而当时，还可能是，此时，故“”是“”的充分而不必要条，故选A.【考点】充分必要条、向量共线.4．设,,则A.B.C.D.【答案】A 【解析】根据指数函数、对数函数单调性比较数值大小.【详解】因为，，，所以，故选：A.【点睛】本题考查利用指、对数函数的单调性比较数值大小，难度一般.利用指、对数函数单调性比较大小时，注意利用中间量比较大小，常用的中间量有：.5．若直线被圆截得弦长为4，则的最小值是（）A．9B．4C．D．【答案】A 【解析】圆的标准方程为：（x+1）2+（y﹣2）2 =4，它表示以（﹣1，2）为圆心、半径等于2的圆；设弦心距为d，由题意可得22+d2=4，求得d=0，可得直线经过圆心，故有﹣2a﹣2b+2=0，即a+b=1，再由a＞0，b＞0，可得 =（）（a+b）=5+≥5+2 当且仅当=时取等号，∴的最小值是9．故选：A．点睛：本题主要考查基本不等式，其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表示内接正方形的边长.在用基本不等式求最值时，应具备三个条：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.6．函数在的图像大致是( )A.B.C.D.【答案】B 【解析】先判断奇偶性，然后通过计算导函数在特殊点的导函数值正负来判断相应结果.【详解】因为定义域关于原点对称且，所以是偶函数，排除A、C；又因为，所以，所以时对应的切线斜率大于零，所以排除D，故选：B.【点睛】本题考查函数图象的辨别，难度一般.辨别函数图象一般可通过奇偶性、单调性、特殊点位置、导数值正负对应的切线斜率变化等来判断.7．如图,长方体中,,点分别是的中点,则异面直线与所成角的余弦值是A.B.C.D.【答案】D 【解析】以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，可得和的坐标，进而可得，从而可得结论.【详解】以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，则可得，，设异面直线与所成的角为, 则，故选D.【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，属于中档题.求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.8．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，，则△ABC的形状一定是（）A．正三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形【答案】B 【解析】在△ABC中，利用二倍角的余弦与正弦定理可将已知cos2，转化为cosA，整理即可判断△ABC的形状．【详解】在△ABC中，∵cos2，∴ ∴1+cosA1，即cosA，∴cosAsinC＝sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC，∴sinAcosC＝0，∵sinA≠0，∴cosC＝0，∴C为直角．故选：B．【点睛】本题考查三角形的形状判断，着重考查二倍角的余弦与正弦定理，诱导公式的综合运用，属于中档题．9．若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D 【解析】求出函数的导数，结合二次函数的性质得到关于a的不等式组，解出即可．【详解】的定义域是（0，+∞），，若函数有两个不同的极值点，则在（0，+∞）由2个不同的实数根，故，解得：，故选：D．【点睛】本题考查了函数的极值问题，考查导数的应用以及二次函数的性质，是一道中档题．10．如图，在中，已知，，，，则A.-45B.13C.-13D.-37 【答案】D 【解析】先用和表示出再根据，用用和表示出，再根据求出的值，最后将的值代入，从而得出答案．【详解】∵，∴ 整理可得：，∴，∴ 故选：D．【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算，注意运用平面向量的基本定理，以及向量的数量积的性质，考查了运算能力，属于中档题．11．定义在上的偶函数满足，对且，都有，则有（）A.B.C.D.【答案】A 【解析】试题分析：因为，所以，及是周期为的函数，结合是偶函数可得，，再由且，得在上递增，因此，即，故选A．【考点】1、函数的周期性；2、奇偶性与单调性的综合．12．设函数的定义域为，若满足条：存在，使在上的值域为，则称为“倍缩函数”．若函数为“倍缩函数”，则实数的取值范围是A.（﹣∞，ln2﹣1）B.（﹣∞，ln2﹣1]C.（1﹣ln2，+∞）D.[1﹣ln2，+∞）【答案】C 【解析】∵函数f（x）=lnx+t为“倍缩函数”，且满足存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域是[]，∴f （x）在[a，b]上是增函数；∴ ，即在（0，+∞）上有两根，即y=t和g（x）=﹣lnx 在（0，+∞）有2个交点，g′（x）=，令g′（x）＞0，解得：x＞2，令g′（x）＜0，解得：0＜x＜2，故g（x）在（0，2）递减，在（2，+∞）递增，故g （x）≥g（2）=1﹣ln2，故t＞1﹣ln2，故选C：．点睛：由于函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的根，所以在研究方程的有关问题时，如比较方程根的大小、确定方程根的分布、证明根的存在性等，都可以将方程问题转化为函数问题解决.此类问题的切入点是借助函数的零点，结合函数的图象，采用数形结合思想加以解决二、填空题13．已知向量,的夹角为,且,则=______．【答案】【解析】将待求向量的模长平方后再开方，中间根据数量积计算公式计算.【详解】.【点睛】本题考查向量模长的计算，难度较易.计算两个向量相加或者相减所得到的向量的模长，可通过先将模长平方再开方，中间利用数量积公式和已知条去计算结果.14．若x，y满足约束条，则z=3x﹣4y的最小值为________．【答案】【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函数z=3x﹣4y的最小值．【详解】由z=3x﹣4y，得y=x﹣，作出不等式对应的可行域（阴影部分），平移直线y=x﹣，由平移可知当直线y=x﹣，经过点A（1，1）时，直线y=x﹣的截距最大，此时z取得最小值，将A的坐标代入z=3x﹣4y=3﹣4=﹣1，即目标函数z=3x﹣4y的最小值为﹣1．故答案为：﹣1．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．15．在△ABC中，边a，b，c所对的角分别为A，B，C，若a2＝b2+c2bc，sinC＝2cosB，则B的大小为________________ 【答案】【解析】先根据余弦定理求解的值，然后利用三角恒等变换求解的大小.【详解】因为，所以，所以，所以；又，所以，所以，所以，因为，所以.【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形以及三角恒等变换的应用，难度一般.三角形中已知一个角，给出另外两个角的三角函数关系时，可通过将角度统一然后利用辅助角公式等完成角度的求解.16．已知函数,则下列命题正确的是______填上你认为正确的所有命题的序号函数的单调递增区间是；函数的图像关于点对称；函数的图像向左平移个单位长度后,所得的图像关于y轴对称,则m的最小值是；若实数m使得方程在上恰好有三个实数解,,,则．【答案】①③④ 【解析】先利用辅助角公式将函数化简，然后再从单调区间、对称中心、图象平移、函数与方程四个方面逐项分析.【详解】，令，所以，因为，所以令，则，所以单调增区间是，故正确；因为，所以不是对称中心，故错误；的图像向左平移个单位长度后得到，且是偶函数，所以，所以且，所以时，，故正确；因为，作出在上的图象如下图所示：与有且仅有三个交点：所以，又因为时，且关于对称，所以，所以，故正确；故填写：①③④.【点睛】本题考查三角函数的图象与性质的综合应用，难度一般.（1）的对称中心处所对应的函数值为，对称轴处所对应的函数值为最值；（2）分析方程的解的个数时，可以借助两个函数图象的交点个数来分析.三、解答题17．已知,,且函数．求的对称轴方程；在锐角中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,,,求b的值．【答案】（1）,；（2）.【解析】（1）根据向量坐标形式下的数量积运算写出表达式，然后再根据对称轴公式求解对称轴；（2）先根据条计算的值，再根据正弦定理计算的值.【详解】解：,令, 可得,即的对称轴方程为,；,,得, 当时,,,, 由正弦定理可得,．【点睛】本题考查向量数量积、三角恒等变换、解三角形的综合应用，难度一般.（1）辅助角公式的运用要熟练：；（2）利用正、余弦定理去解三角形时注意边角关系的对应.18．某机构为调查我国公民对申办奥运会的态度，选了某小区的100位居民调查结果统计如下：支持不支持合计年龄不大于50岁 80 年龄大于50岁10 合计 70100（1）根据已有数据，把表格数据填写完整；（2）能否在犯错误的概率不超过5%的前提下认为不同年龄与支持申办奥运无关？（3）已知在被调查的年龄大于50岁的支持者中有5名女性，其中2位是女教师，现从这5名女性中随机抽取3人，求至多有1位女教师的概率.附：，0.100 0.050 0.025 0.0102.7063.841 5.024 6.635 【答案】（1）见解析（2）能在犯错误的概率不超过5%的前提下认为不同年龄与支持申办奥运无关（3）【解析】试题分析：（1）根据条中所给的数据，列出列联表，填上对应的数据，得到列联表．（2）假设不同年龄与支持申办奥运无关没有关系，根据上一问做出的列联表，把求得的数据代入求观测值的公式求出观测值，把观测值同临界值进行比较得到结论．（3）列举法确定基本事，即可求出概率．试题解析：（1）（2）所以能在犯错误的概率不超过5%的前提下认为不同年龄与支持申办奥运无关.（3）记5人为，其中表示教师，从5人任意抽3人的所有等可能事是：，，，，，，，，，共10个，其中至多1为教师有7个基本事：，，，，，，所以所求概率是.19．在平面直角坐标系中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线L：,曲线C 的参数方程为（为参数）求直线L和曲线C的普通方程；在曲线C上求一点Q,使得Q到直线L的距离最小,并求出这个最小值【答案】（1）直线L的普通方程为：；曲线C的普通方程为（x-5）2+y2=1；（2）点Q坐标为，距离最小值为2.【解析】（1）根据极坐标与直角坐标的互化得到的普通方程，根据圆的参数方程相关知识得到的普通方程；（2）设出点的参数形式，利用点到直线的距离公式以及三角函数有界性计算点到直线距离的最小值.【详解】解：（1）∵直线L：ρcosθ-ρsinθ+1=0，∴直线L的普通方程为：，∵曲线C的参数方程为（α为参数），∴曲线C的普通方程为（x-5）2+y2=1．（2）设Q（5+cosα，sinα），Q到直线L的距离：，当时，即，dmin=2，此时点Q坐标为．【点睛】本题考查极坐标方程、参数方程与直角坐标方程的互化以及求曲线上一点到直线距离的最值，难度一般.（1）极坐标与直角坐标的互化公式；（2）求解曲线上一点到直线的距离最值，常用的方法是：设出点的参数形式（三角函数形式更方便），利用点到直线的距离公式结合三角函数中的辅助角公式即可计算出对应的距离最值，同时注意取等号的条.20．已知函数，．（）解不等式．（）若对任意，都有，使得成立，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）或．【解析】（1）利用||x﹣1|+2|＜5，转化为﹣7＜|x﹣1|＜3，然后求解不等式即可．（2）利用条说明{y|y＝f（x）}⊆{y|y＝g（x）}，通过函数的最值，列出不等式求解即可．【详解】（）由，得，∴，得不等式的解为．故解集为：（）因为任意，都有，使得成立，所以，又，，所以，解得或，所以实数的取值范围为或．【点睛】本题考查函数的恒成立，绝对值不等式的解法，考查分析问题解决问题的能力以及转化思想的应用．21．已知椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，离心率为，过F1的直线l与椭圆C交于M，N两点，且△MNF2的周长为8．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线y＝kx＋b与椭圆C分别交于A，B两点，且OA⊥OB，试问点O到直线AB的距离是否为定值，证明你的结论．【答案】（1）；（2）见解析.【解析】(1)根据三角形周长为8，结合椭圆的定义可知，，利用，即可求得和的值,求得椭圆方程；(2)分类讨论，当直线斜率斜存在时,联立，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算,求得和的关系，利用点到直线的距离公式即可求得点到直线的距离是否为定值.【详解】（1）由题意知，4a=8，则a=2，由椭圆离心率，则b2=3．∴椭圆C的方程；（2）由题意，当直线AB的斜率不存在，此时可设A（x0，x0），B（x0，-x0）．又A，B两点在椭圆C上，∴，∴点O到直线AB的距离，当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+b．设A（x1，y1），B（x2，y2）联立方程，消去y得（3+4k2）x2+8kbx+4b2-12=0．由已知△＞0，x1+x2=，x1x2=，由OA⊥OB，则x1x2+y1y2=0，即x1x2+（kx1+b）（kx2+b）=0，整理得：（k2+1）x1x2+kb（x1+x2）+b2=0，∴ ．∴7b2=12（k2+1），满足△＞0．∴点O到直线AB的距离为定值．综上可知：点O到直线AB的距离d=为定值．【点睛】本题主要考查椭圆的定义及椭圆标准方程、圆锥曲线的定值问题以及点到直线的距离公式，属于难题.探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：①从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.22．已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）当时，证明：对任意的,．【答案】（1）函数在区间上单调递增，在区间上单调递减。

北京市2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题（答案在最后）(清华附中朝阳望京学校)2024.10.10姓名____________一、选择题共10小题,每小题4分,共40分．在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项．1.已知全集{}0U x x =>，集合{}23A x x =≤≤，则U A =ð（）A.(][)0,23,+∞B.()()0,23,+∞ C.(][),23,-∞⋃+∞ D.()(),23,-∞⋃+∞【答案】B 【解析】【分析】由补集定义可直接求得结果.【详解】()0,U =+∞ ，[]2,3A =，()()0,23,U A ∴=+∞ ð.故选：B.2.若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足11a b =，222a b ==，48a =，则{}n b 的公比为（）A.2B.2- C.4D.4-【答案】B 【解析】【分析】根据等差数列的基本量运算可得111a b ==-，然后利用等比数列的概念结合条件即得.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，则242822a a d d +=+==，所以3d =，∴22123b a a ===+，111a b ==-，所以212b q b ==-.故选：B.3.在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于直线y x =对称．若3sin 5α=，则cos β=（）A.45-B.45C.35-D.35【答案】D 【解析】【分析】根据对称关系可得()22k k παβπ+=+∈Z ，利用诱导公式可求得结果.【详解】y x = 的倾斜角为4π，α\与β满足()22242k k k ππαβππ+=⨯+=+∈Z ，3cos cos 2cos sin 225k ππβπααα⎛⎫⎛⎫∴=+-=-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：D.4.若点()1,1M 为圆22:40C x y x +-=的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（）A.20x y --=B.20x y +-=C.0x y -=D.0x y +=【答案】C 【解析】【分析】由垂径定理可知MC AB ⊥，求出直线AB 的斜率，利用点斜式可得出直线AB 的方程.【详解】圆C 的标准方程方程为()2224x y -+=，()221214-+< ，即点M 在圆C 内，圆心()2,0C ，10112MC k -==--，由垂径定理可知MC AB ⊥，则1AB k =，故直线AB 的方程为11y x -=-，即0x y -=.故选：C.5.已知D 是边长为2的正△ABC 边BC 上的动点，则AB AD ⋅的取值范围是（）A.B.2]C.[0,2]D.[2,4]【答案】D 【解析】【分析】根据向量数量积的几何意义可得||cos [1,2]AD DAB ∠∈ ，再由||||cos AD AB D A A B AD B =∠⋅即可求范围.【详解】由D 在边BC 上运动，且△ABC 为边长为2的正三角形，所以03DAB π≤∠≤，则[]cos 1,2AB DAB ∠∈ ，由||||cos [2,4]AD AB D D B A A A B =∠⋅∈.故选：D6.若0a b >>，则①11b a >；②11a ab b +>+>的序号是（）A.①②B.①③C.②③D.①②③【答案】A 【解析】【分析】对①，由a b >两边同除ab 化简即可判断；对②，由a b >得a ab b ab +>+，两边同除()1b b +化简即可判断；>>【详解】对①，0a b a b ab ab>>⇒>，即11b a >，①对；对②，由()()011a b a ab b ab a b b a >>⇒+>+⇒+>+，则()()()()111111a b b a a a b b b b b b +++>⇒>+++，②对；对③，由>，>，与0a b >>矛盾，③错；故选：A7.若命题“2,20x x x m ∃∈++≤R ”是真命题，则实数m 的取值范围是（）A.1m < B.1m ≤ C.1m > D.1m ≥【答案】B 【解析】【分析】不等式能成立，等价于方程有实数解，用判别式计算求参数即可.【详解】由题可知，不等式220x x m ++≤在实数范围内有解，等价于方程220x x m ++=有实数解，即440m ∆=-≥，解得1m ≤.8.“1a =”是“函数()22x x af x a+=-具有奇偶性”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据充分、必要性的定义，及奇偶性的定义求参数a ，判断题设条件间的关系即可.【详解】当1a =时21()21x x f x +=-，则定义域为{|0}x x ≠，211221()()211221x x x x xx f x f x --+++-===-=----，故()f x 为奇函数，充分性成立；若2()2x x af x a+=-具有奇偶性，当()f x 为偶函数，则212()()212x x x xa a f x f x a a --++⋅-===--⋅，所以212212x xx xa a a a ++⋅=--⋅恒成立，可得0a =；当()f x 为奇函数，则212()()212x x x xa a f x f x a a --++⋅-===---⋅，所以212212x xx xa a a a ++⋅-=--⋅恒成立，可得1a =或=−1；所以必要性不成立；综上，“1a =”是“函数()22x x af x a+=-具有奇偶性”的充分而不必要条件.故选：A9.已知函数()32x x f x =-，则（）A.()f x 在R 上单调递增B.对R,()1x f x ∀∈>-恒成立C.不存在正实数a ，使得函数()xf x y a=为奇函数D.方程()f x x =只有一个解【答案】B【分析】对()f x 求导，研究()f x '在0x ≥、0x <上的符号，结合指数幂的性质判断()f x '零点的存在性，进而确定单调性区间、最小值，进而判断A 、B 的正误；利用奇偶性定义求参数a 判断C ；由(0)0f =、(1)1f =即可排除D.【详解】由3ln 3ln 22[(ln 3ln ()322]2x x x xf x =-'=-，而20x >，当0x ≥时()0f x '>，即(0,)+∞上()f x 递增，且(30)2x x f x =->恒成立；而0x <，令()0f x '=，可得3ln 2()2ln 3x=，所以00x x ∃=<使03ln 2(2ln 3x =，综上，0(,)x -∞上()0f x '<，()f x 递减；0(,)x +∞上()0f x '>，()f x 递增；故在R 上不单调递增，A 错误；所以0x x =时，有最小值0000002()323()3ln 3[1]3(1)ln 2x x x x xf x ===---，而0031x <<，ln 310ln 2<-，所以0ln 3ln 4111ln 2()ln 2f x >-->=-，故R,()1x f x ∀∈>-恒成立，B 正确；令()()x f x y g x a ==为奇函数且0a >，则3232()()x x x x x xg x g x a a ------==-=-恒成立，所以6(23)23x x x x x xxaa --=恒成立，则a =满足要求，C 错误；显然000)20(3f -==，故0x =为一个解，且(1)321f =-=，即1x =为另一个解，显然不止有一个解，D 错误.故选：B【点睛】关键点点睛：A 、B 判断注意分类讨论()f x '的符号，结合指数幂的性质确定导函数的零点位置，C 、D 应用奇偶性定义得到等式恒成立求参、特殊值法直接确定()f x x =的解.10.如图为某无人机飞行时，从某时刻开始15分钟内的速度()V x （单位：米/分钟）与时间x （单位：分钟）的关系．若定义“速度差函数”()v x 为无人机在时间段[]0,x 内的最大速度与最小速度的差，则()v x 的图像为（）A. B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】根据速度差函数的定义，分[0,6],[6,10],[10,12],[12,15]x x x x ∈∈∈∈四种情况，分别求得函数解析式，从而得到函数图像.【详解】由题意可得，当[0,6]x ∈时，无人机做匀加速运动，40()603V x x =+，“速度差函数”40()3v x x =；当[6,10]x ∈时，无人机做匀速运动，()140V x =，“速度差函数”()80v x =；当[10,12]x ∈时，无人机做匀加速运动，()4010V x x =+，“速度差函数”()2010v x x =-+；当[12,15]x ∈时，无人机做匀减速运动，“速度差函数”()100v x =，结合选项C 满足“速度差函数”解析式，故选：C.二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11.函数()1ln 1f x x x =+-的定义域是____________.【答案】()()0,11+，⋃∞.【解析】【分析】根据分母不为零、真数大于零列不等式组，解得结果.【详解】由题意得，10x x -≠⎧⎨>⎩故答案为：()()0,11,+∞ .【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.12.直线:1l x y +=截圆22220x y x y +--=的弦长=___________.【答案】【解析】【分析】由圆的弦长与半径、弦心距的关系，求直线l 被圆C 截得的弦长．【详解】线l 的方程为10x y +-=，圆心(1,1)C 到直线l 的距离2d ==．∴此时直线l 被圆C 截得的弦长为=．.13.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，2PA AB ==，E 为线段PB 的中点，F 为线段BC 上的动点，平面AEF 与平面PBC ____________（填“垂直”或“不垂直”）；AEF △的面积的最大值为_____________．【答案】①.垂直②.【解析】【分析】根据线面垂直的的性质定理，判定定理，可证AE ⊥平面PBC ，根据面面垂直的判定定理，即可得证.分析可得，当点F 位于点C 时，面积最大，代入数据，即可得答案.【详解】因为PA ⊥底面ABCD ，⊂BC 平面ABCD ，所以PA BC ⊥，又底面ABCD 为正方形，所以AB BC ⊥，又AB PA A = ，,AB PA ⊂平面PAB ，所以⊥BC 平面PAB ，因为AE ⊂平面PAB ，所以BC AE ⊥，又2PA AB ==，所以PAB 为等腰直角三角形，且E 为线段PB 的中点，所以AE PB ⊥，又BC PB B ⋂=，,BC PB ⊂平面PBC ，所以AE ⊥平面PBC ，因为AE ⊂平面AEF ，所以平面AEF ⊥与平面PBC .因为AE ⊥平面PBC ，EF ⊂平面PBC ，所以AE EF ⊥，所以当EF 最大时，AEF △的面积的最大，当F 位于点C 时，EF 最大且EF ==，所以AEF △的面积的最大为12⨯⨯=.14.设函数()221,,x x af x x a x a⎧-<=⎨+≥⎩①若2a =-，则()f x 的最小值为__________.②若()f x 有最小值，则实数a 的取值范围是__________.【答案】①.2-②.1a ≤-【解析】【分析】对①，分别计算出每段的范围或最小值即可得；对②，由指数函数在开区间内没有最小值，可得存在最小值则最小值一定在x a ≥段，结合二次函数的性质即可得.【详解】①当2a =-时，()221,22,2x x f x x x ⎧-<-=⎨-≥-⎩，则当2x <-时，()3211,4xf x ⎛⎫=-∈--⎪⎝⎭，当2x ≥-时，()222f x x =-≥-，故()f x 的最小值为2-；②由()221,,x x a f x x a x a⎧-<=⎨+≥⎩，则当x a <时，()()211,21x af x =-∈--，由()f x 有最小值，故当x a ≥时，()f x 的最小值小于等于1-，则当1a ≤-且x a ≥时，有()min 1f x a =≤-，符合要求；当1>-a 时，21y x a a =+≥>-，故不符合要求，故舍去.综上所述，1a ≤-.故答案为：2-；1a ≤-.15.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a >，21(R)n n n a a a λλ+-=∈．给出下列四个结论：①{}n a 是递增数列；②{}R,n a λ∀∈都不是等差数列；③当1λ=时，1a 是{}n a 中的最小项；④当14λ≥时，20232022S >．其中所有正确结论的序号是____________．【答案】③④【解析】【分析】利用特殊数列排除①②，当0λ≠时显然有0n a ≠，对数列递推关系变形得到1n n na a a λ+=+，再判断③④即可.【详解】当数列{}n a 为常数列时，210n n n a a a +-=，{}n a 不是递增数列，是公差为0的等差数列，①②错误；当1λ=时，211n n na a a +-=，显然有0n a ≠，所以11n n na a a +=+，又因为10a >，所以由递推关系得0n a >，所以110n n na a a +-=>，故数列{}n a 是递增数列，1a 是{}n a 中的最小项，③正确；当14λ≥时，由③得0n a >，所以由基本不等式得11n n n a a a λ+=+≥=≥，当且仅当n na a λ=时等号成立，所以2320232022a a a ++⋅⋅⋅+≥，所以20232022S >，④正确.故选：③④.三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c 已知222b c a bc +=+.（1）求A 的大小；（2）如果cos 2B b ==，求ABC V 的面积.【答案】（1）3π；（2）2【解析】【分析】（1）利用余弦定理的变形：222cos 2b c a A bc+-=即可求解.（2）利用正弦定理求出3a =，再根据三角形的内角和性质以及两角和的正弦公式求出sin C ，由三角形的面积公式即可求解.【详解】（1）222b c a bc +=+。