高二数学椭圆试题答案及解析

高二数学椭圆试题答案及解析

1. 已知椭圆上存在两点、关于直线对称，求的取值范围.

【答案】．

【解析】

解题思路：利用直线与直线垂直，设出直线的方程，联立直线与椭圆方程，消去，整理成关于的一元二次方程，利用中点公式和判别式求出的范围.

规律总结：涉及直线与椭圆的位置关系问题，往往采用“设而不求”的方法进行求解..

试题解析：设直线方程为，联立

得

从而

则中点是，

则解得

由有实数解得即

于是则的取值范围是.

【考点】1.直线与椭圆的位置关系；2.对称问题.

2. 椭圆的两个焦点F1、F2，点P在椭圆C上，且PF1⊥F1F2,,|PF1|=,

|PF2|=.

（1）求椭圆C的方程；

（2）若直线L过圆（x+2）2+（y-1）2=5的圆心M交椭圆于A、B两点，且A、B关于点M对称，求直线L的方程。

【答案】(1);(2)8x-9y+25=0

【解析】(1)由椭圆的定义可知a=3，在Rt△PF1F2中，由勾股定理得c=,从而b2=4, 所以椭圆C的方程为＝1;(2) 法一：(韦达定理)设直线l的方程为y=k(x+2)+1,代入椭圆C的方程并化简得

（4+9k2）x2+(36k2+18k)x+36k2+36k－27=0.由A，B关于点M对称可得，结合韦达定理可得，所以直线l的方程为8x-9y+25=0.(经检验，符合题意)法二：(点差求斜率)因为A、B关于点M对称，所以x1+ x2=－4, y1+ y2=2,由题意x1x2且A、B的坐标满足椭圆方程，两式相减得直线l的斜率，因此直线l的方程为8x－9y+25=0.(经检验，符合题意.)

试题解析：(1)因为点P在椭圆C上，所以，a=3. 在Rt△PF1F2中，

故椭圆的半焦距c=,从而b2=a2－c2=4,

所以椭圆C的方程为＝1.

法一：设A，B的坐标分别为（x1,y1）、（x2,y2）,由圆的方程为（x+2）2+(y－1)2=5,所以圆心M的坐标为（－2，1）,从而可设直线l的方程为 y=k(x+2)+1, 代入椭圆C的方程得 （4+9k2）x2+(36k2+18k)x+36k2+36k－27=0.

因为A，B关于点M对称. 所以 解得，

所以直线l的方程为 即8x-9y+25=0. (经检验，符合题意)

法二：已知圆的方程为（x+2）2+(y－1)2=5,所以圆心M的坐标为（－2，1）.

设A，B的坐标分别为（x1,y1）,(x2,y2).由题意x1x2且

① ②

由①－②得 ③

因为A、B关于点M对称，所以x1+ x2=－4, y1+ y2=2, 代入③得＝，即直线l的斜率为，所以直线l的方程为y－1＝（x+2），即8x－9y+25=0.(经检验，所求直线方程符合题意.)

【考点】1.椭圆的定义与方程;2.直线与椭圆的位置关系

3. 如图，已知椭圆（a＞b＞0）的离心率，过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与原点的距离为．

（1）求椭圆的方程．

（2）已知定点E（-1，0），若直线y＝kx＋2（k≠0）与椭圆交于C、D两点．问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点?请说明理由.

【答案】(1）；（2).

【解析】（1）设椭圆的方程，用待定系数法求出的值；（2）解决直线和椭圆的综合问题时注意：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程.第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程.第三步：求解判别式：计算一元二次方程根.第四步：写出根与系数的关系.第五步：根据题设条件求解问题中结论.

试题解析：解：（1）直线AB方程为：bx-ay-ab＝0．

依题意 解得

∴椭圆方程为.[

（2）假若存在这样的k值，由得．

∴ ①

设，、，，则 ②

而． 要使以CD为直径的圆过点E（-1，0），当且仅当CE⊥DE时，则，即 ∴ ③

将②式代入③整理解得．经验证，，使①成立.

综上可知，存在，使得以CD为直径的圆过点E.

【考点】(1)椭圆的标准方程；（2）直线与椭圆的综合问题.

4. 如图，矩形ABCD中，|AB|＝4，|BC|＝2，E，F，M，N分别是矩形四条边的中点，G，H分别是线段ON，CN的中点．

（1）证明：直线EG与FH的交点L在椭圆W：上；

（2）设直线l：与椭圆W：有两个不同的交点P，Q，直线l与矩形ABCD有两个不同的交点S，T，求的最大值及取得最大值时m的值．

【答案】（1）证明见解析；（2）时，取最大值.

【解析】解题思路：（1）由点写出直线方程，联立直线方程得到交点坐标，，验证点满足椭圆方程；（2）联立直线与椭圆的方程，常用“设而不求”的方法，求弦长，进而求所求比值，常用换元法求最值.规律总结：直线与圆锥曲线的位置关系问题，一般综合性强.一般思路是联立直线与圆锥曲线的方程，整理得关于的一元二次方程，常用“设而不求”的方法进行求解.

试题解析：（1）点，，，，

则直线EG：，直线FH：，

则直线EG与FH的交点，

因为，故直线EG与FH的交点L在椭圆W：上．

（2）联立方程组消去y，得，

设，，则，，

由，且得．

，由于时，直线l与矩形ABCD的边AB、CD相交，

所以，则，

所以时，取最大值．

【考点】直线与椭圆的位置关系.

5. 椭圆的两个焦点分别是，若上的点满足，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）

A． B． C． D．或 【答案】C.

【解析】设椭圆的方程为，，分别为其左右焦点，由椭圆的第二定义或焦半径公式知，.由得，即，再由即可求出离心率的取值范围.

【考点】椭圆的几何性质；椭圆的第二定义.

6. （本小题满分12分，（1）小问4分，（2）小问8分）已知为椭圆上两动点，分别为其左右焦点，直线过点，且不垂直于轴，的周长为，且椭圆的短轴长为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）已知点为椭圆的左端点，连接并延长交直线于点．求证：直线过定点．

【答案】（1）；（2）证明详见解析.

【解析】（1）结合图形及椭圆的定义先得到的周长为，进而根据条件列出方程组，从中求解即可得出的值，进而可写出椭圆的方程；（2）由（1）确定，进而设点，设直线，联立直线与椭圆的方程，解出点，设直线，可得，进而根据三点共线得出，将点的坐标代入并化简得到，进而求出点的坐标，，然后写出直线的方程并化简得到，从该直线方程不难得到该直线恒通过定点，问题得证.

（1）依题意有：的周长为

所以，则椭圆的方程为 4分

（2）由椭圆方程可知，点

设直线，由得，从而，，即点

同理设直线，可得 7分

由三点共线可得，即，代入两点坐标化简可得

9分

直线，可得点，即

从而直线的方程为 化简得，即，

从而直线过定点 12分.

【考点】1.椭圆的标准方程及其几何性质；2.直线与椭圆的位置关系.

7. 已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．

（1）求椭圆的方程；

（2）若过点(2，0)的直线与椭圆相交于两点，设为椭圆上一点，且满足（为坐标原点），当＜ 时，求实数取值范围．

【答案】（1） ；( Ⅱ).

【解析】（1）由题意知，所以．由此能求出椭圆C的方程．（2）由题意知直线AB的斜率存在．设AB：y=k（x-2），A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），由得（1+2k2）x2-8k2x+8k2-2=0再由根的判别式和嘏达定理进行求解．

解：（1）由题意知， 所以．

即． 2分

又因为，所以，．

故椭圆的方程为． 4分

（2）由题意知直线的斜率存在.

设：，，，，

由得.

，. 6分

，.

∵，∴，，

.

∵点在椭圆上，∴，

∴. 8分

∵＜，∴，∴

∴，

∴，∴. 10分

∴，∵，∴，

∴或，∴实数t取值范围为．（12分） 【考点】1. 椭圆的方程；2.直线与椭圆的方程.

8. 过点作倾斜角为的直线与曲线C交于不同的两点，求的取值范围.

【答案】.

【解析】设出直线的参数方程表示出，利用判别式求解.

设直线的参数方程为，代入曲线C的方程并整理得，设两点所对应的参数分别为，则

则，由得或所以的取值范围是.

【考点】直线与圆锥曲线的综合性问题.

9. 椭圆的左、右顶点分别为，点在上且直线的斜率的取值范围是，那么直线斜率的取值范围是（ ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由椭圆可知其左顶点A1（-2，0），右顶点A2（2，0）．设P（x0，y0）（x0≠±2），代入椭圆方程可得．利用斜率计算公式可得，再利用已知给出的的范围即可解出．

【考点】椭圆的性质.

10. 若点分别为椭圆的中心和左焦点，点为椭圆上的任意一点，则的最大值为 （ ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】因为，设，则又因为，所以因为对称轴，而，因此当时，的最大值为.

【考点】二次函数最值

11. 如果方程表示双曲线，那么下列椭圆中，与这个双曲线共焦点的是（ ） A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】由方程表示双曲线，可得c=，判断出A，C不表示椭圆，再求出B，D中的c，即可得出结论．

【考点】双曲线与椭圆的标准方程.

12. 椭圆的焦点分别为和，点在椭圆上，如果线段的中点在轴上，那么 。 【答案】 【解析】依题意，可求得a=2，b=，c=3，设P的坐标为（x，y），由线段PF1的中点在y轴上，可求得P（3，±），继而可求得|PF1|与|PF2|，利用余弦定理即可求得答案．

【考点】（1）椭圆定义；（2）余弦定理.

13.

已知两个同心圆，其半径分别为，为小圆上的一条定直径，则以大圆的切线为准线，且过两点的抛物线焦点的轨迹方程为( )（以线段所在直线为轴，其中垂线为轴建立平面直角坐标系）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】设在准线上的射影分别为，连接

则点在上，根据抛物线的定义，可得且

直线切大圆于点且，所以，在梯形中利用中位线定理，可得，所以

又是轴上两个定点，点到两个定点的距离和等于

根据椭圆的定义可知点的轨迹是以为焦点的椭圆，该椭圆的短半轴长为，则，该椭圆的方程为，由于点在轴上时，重合，不能作出抛物线，所以

因此可得动点的轨迹方程为，故选A.

【考点】1.轨迹方程；2.椭圆的定义及其标准方程.