2021年上海市高考数学试卷(理科)

2021年上海市高考数学试卷（理科）

一、填空题（共14题，满分56分）

1．（4分）（2021•上海）函数y=1﹣2cos2（2x）的最小正周期是

_________

．

2．（4分）（2021•上海）若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则（z+）•= _________ ．

3．（4分）（2021•上海）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为 _________ ．

4．（4分）（2021•上海）设f（x）=，若f（2）=4，则a的取值范围为 _________ ．

5．（4分）（2021•上海）若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为 _________ ．

6．（4分）（2021•上海）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为

_________ （结果用反三角函数值表示）．

7．（4分）（2021•上海）已知曲线C的极坐标方程为ρ（3cosθ﹣4sinθ）=1，则C与极轴的交点到极点的距离是 _________ ．

8．（4分）（2021•上海）设无穷等比数列{an}的公比为q，若a1=（a3+a4+…an），则q=

_________ ．

9．（4分）（2021•上海）若f（x）=﹣，则满足f（x）＜0的x的取值范围是 _________ ．

10．（4分）（2021•上海）为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是 _________ （结果用最简分数表示）．

11．（4分）（2021•上海）已知互异的复数a，b满足ab≠0，集合{a，b}={a2，b2}，则a+b=

_________ ．

12．（4分）（2021•上海）设常数a使方程sinx+cosx=a在闭区间[0，2π]上恰有三个解x1，x2，x3，则x1+x2+x3= _________ ．

13．（4分）（2021•上海）某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分，若E（ξ）=4.2，则小白得5分的概率至少为 _________ ．

14．（4分）（2021•上海）已知曲线C：x=﹣，直线l：x=6，若对于点A（m，0），存在C上的点P和l上的Q使得+=，则m的取值范围为 _________ ．

二、选择题（共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分

15．（5分）（2021•上海）设a，b∈R，则“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的（ ）

A． 充分非必要条件 B． 必要非充分条件

C． 充要条件 D． 既非充分又非必要条件

16．（5分）（2021•上海）如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，Pi（i=1，2，…8）是上底面上其余的八个点，则•（i=1，2，…，8）的不同值的个数为（ ）

A． 1 B． 2 C． 3 D． 4

17．（5分）（2021•上海）已知P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况是（ ）

A．无论k，P1，P2如何，总是无解 B． 无论k，P1，P2如何，总有唯一解

C．存在k，P1，P2，使之恰有两解 D． 存在k，P1，P2，使之有无穷多解

18．（5分）（2021•上海）设f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为（ ）

A．[﹣1，2] B．[﹣1，0] C．[1，2] D． [0，2]

三、解答题（共5题，满分72分）

19．（12分）（2021•上海）底面边长为2的正三棱锥P﹣ABC，其表面展开图是三角形P1P2P3，如图，求△P1P2P3的各边长及此三棱锥的体积V．

20．（14分）（2021•上海）设常数a≥0，函数f（x）=．

（1）若a=4，求函数y=f（x）的反函数y=f﹣1（x）；

（2）根据a的不同取值，讨论函数y=f（x）的奇偶性，并说明理由．

21．（14分）（2021•上海）如图，某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，CB长80米，设点A、B在同一水平面上，从A和B看D的仰角分别为α和β．

（1）设计中CD是铅垂方向，若要求α≥2β，问CD的长至多为多少（结果精确到0.01米）？

（2）施工完成后，CD与铅垂方向有偏差，现在实测得α=38.12°，β=18.45°，求CD的长（结果精确到0.01米）．

22．（16分）（2021•上海）在平面直角坐标系xOy中，对于直线l：ax+by+c=0和点P1（x1，y1），P2（x2，y2），记η=（ax1+by1+c）（ax2+by2+c），若η＜0，则称点P1，P2被直线l分隔，若曲线C与直线l没有公共点，且曲线C上存在点P1、P2被直线l分隔，则称直线l为曲线C的一条分隔线．

（1）求证：点A（1，2），B（﹣1，0）被直线x+y﹣1=0分隔；

（2）若直线y=kx是曲线x2﹣4y2=1的分隔线，求实数k的取值范围；

（3）动点M到点Q（0，2）的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨迹为曲线E，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分隔线．

23．（16分）（2021•上海）已知数列{an}满足an≤an+1≤3an，n∈N*，a1=1．

（1）若a2=2，a3=x，a4=9，求x的取值范围；

（2）设{an}是公比为q的等比数列，Sn=a1+a2+…an，若Sn≤Sn+1≤3Sn，n∈N*，求q的取值范围．

（3）若a1，a2，…ak成等差数列，且a1+a2+…ak=1000，求正整数k的最大值，以及k取最大值时相应数列a1，a2，…ak的公差．

2021年上海市高考数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、填空题（共14题，满分56分）

1．（4分）（2021•上海）函数y=1﹣2cos2（2x）的最小正周期是 ．

考点：二倍角的余弦；三角函数的周期性及其求法．

专题：三角函数的求值．

分析：由二倍角的余弦公式化简，可得其周期．

解答：解：y=1﹣2cos2（2x）=﹣[2cos2（2x）﹣1]=﹣cos4x，

∴函数的最小正周期为T== 故答案为：

点评：本题考查二倍角的余弦公式，涉及三角函数的周期，属基础题．

2．（4分）（2021•上海）若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则（z+）•= 6 ．

考点：复数代数形式的乘除运算．

专题：数系的扩充和复数．

分析：把复数代入表达式，利用复数代数形式的混合运算化简求解即可．

解答：解：复数z=1+2i，其中i是虚数单位，

则（z+）•=

=（1+2i）（1﹣2i）+1

=1﹣4i2+1

=2+4

=6．

故答案为：6

点评：本题考查复数代数形式的混合运算，基本知识的考查．

3．（4分）（2021•上海）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为 x=﹣2 ．

考点：椭圆的简单性质．

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析：由题设中的条件y2=2px（p＞0）的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，故可以先求出椭圆的右焦点坐标，根据两曲线的关系求出p，再由抛物线的性质求出它的准线方程

解答：解：由题意椭圆+=1，故它的右焦点坐标是（2，0），

又y2=2px（p＞0）的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，

故p=4，

∴抛物线的准线方程为x=﹣2．

故答案为：x=﹣2

点评：本题考查圆锥曲线的共同特征，解答此类题，关键是熟练掌握圆锥曲线的性质及几何特征，熟练运用这些性质与几何特征解答问题．

4．（4分）（2021•上海）设f（x）=，若f（2）=4，则a的取值范围为

（﹣∞，2] ．

考点：分段函数的应用；真题集萃．

专题：分类讨论；函数的性质及应用．

分析：可对a进行讨论，当a＞2时，当a=2时，当a＜2时，将a代入相对应的函数解析式，从而求出a的范围．

解答：解：当a＞2时，f（2）=2≠4，不合题意；

当a=2时，f（2）=22=4，符合题意；

当a＜2时，f（2）=22=4，符合题意；

∴a≤2，故答案为：（﹣∞，2]．

点评：本题考察了分段函数的应用，渗透了分类讨论思想，本题是一道基础题．

5．（4分）（2021•上海）若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为 2 ．

考点：基本不等式．

专题：不等式的解法及应用．

分析：由已知可得y=，代入要求的式子，由基本不等式可得．

解答：解：∵xy=1，∴y=

∴x2+2y2=x2+≥2=2，

当且仅当x2=，即x=±时取等号， 故答案为：2

点评：本题考查基本不等式，属基础题．

6．（4分）（2021•上海）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为

arccos

（结果用反三角函数值表示）．

考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．

专题：空间位置关系与距离．

分析：由已知中圆锥的侧面积是底面积的3倍，可得圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，在轴截面中，求出母线与底面所成角的余弦值，进而可得母线与轴所成角．

解答：解：设圆锥母线与轴所成角为θ，

∵圆锥的侧面积是底面积的3倍，

∴==3，

即圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，

故圆锥的轴截面如下图所示：

则cosθ==，

∴θ=arccos，

故答案为：arccos

点评：本题考查的知识点是旋转体，其中根据已知得到圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，是解答的关键．

7．（4分）（2021•上海）已知曲线C的极坐标方程为ρ（3cosθ﹣4sinθ）=1，则C与极轴的交点到极点的距离是 ．

考点：简单曲线的极坐标方程．

专题：计算题；坐标系和参数方程．

分析：由题意，θ=0，可得C与极轴的交点到极点的距离．

解答：解：由题意，θ=0，可得ρ（3cos0﹣4sin0）=1，

∴C与极轴的交点到极点的距离是ρ=．