华师大七数学下册优秀教案一元一次不等式
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第8章一元一次不等式
8.1认识不等式
8.2解一元一次不等式
1 •不等式地解集
2 •不等式地简单变形
3 •解一元一次不等式
8.3 一元一次不等式组 小结
复习题
A组
B组
C组
第8章一元一次不等式
8.1 认识不等式
问题1
世纪公园地票价是：每人 5元；一次购票满 30张，每张可少收1元.某班有27名少先 队员去世纪公园进行活动.当领队王小华准备好了零钱到售票处买 27张票时，爱动脑筋地李 敏同学喊住了王小华，提议买 30张票.但有地同学不明白，明明我们只有 27个人，买30张
票，岂不是“浪费”吗？
那么，究竟李敏地提议对不对呢？是不是真地“浪费”呢？
我们不妨一起来算一算：
买27张票，要付款
5 X 27= 135 （元）
买30张票，要付款
4 X 30= 120 （元）
显然 120<135
这就是说，买30张票比买27张票付款要少，表面上看是“浪费”了 3张票，而实际
上反而节省了 .
当然，如果去世纪公园地人数较少（例如 10个人），显然不值得去买 30张票，还是 按实际人数买票为好.现在地问题是：至少要有多少人去世纪公园，多买票反而合算呢？ 探索
我们一起来分析上面提出地问题 .
设有x人要进世纪公园，如果 x仝30,显然按实际人数买票，每张票只要付 4元.如
果x<30,那么：
按实际人数买票 x张，要付款5x （元）
买30张票，要付款 4X 30= 120 （元）个人收集整理仅供参考学习
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如果买30张票合算，那么应有
120<5 x
现在地问题就是：x取哪些数值时，上式成立?
前面已经算过，当 x= 27时，上式成立•让我们再取一些值试一试，将结果填入下表
x 5x 比较120与5 x地大小 120<5x
21 105 120>5 x 不成立
22
23
24
25
26
27 135 120<5x 成立
由上表可见，当 x = ______________ 时，不等式120<5x成立.也就是说，少于 30人时，
至少要有 _____ 人进公园时，买30张票反而合算• 概括
像上面出现地 120<135, x<30, 120<5x那样用不等号“ <”或“ >”表示不等关系地
式子，叫做不等式(in equality ).
不等式120<5x中含有未知数 x.能使不等式成立地未知数地值，叫做 不等式地解(solution of
in equality ).
如上例中，x = 25, 26, 27,…都是不等式 120<5x地解，而 x = 24, 23, 22, 21则不是它地 解■
例 用不等式表示：
(1) x地一半小于一1 (2) y与4地和大于0.5
(3) a是负数； (4) b是非负数；
解(1) 2x<- 1
(2) y + 4>0.5
(3) a<0
(4) b是非负数，就是 b不是负数，它可以是正数或零，即 b>0或b = 0，通常可表示成 b >
0.
练习
1 .用不等式表示：
(1) x地3倍大于5;
(3) x地2倍大于x;
(5) a是正数； 2 •用“ <”或“ >”号填空:
(1) 7 + 3 ______ 4+ 3；
(3) 7X 3 ________ 4X 3；(2) y与2地差小于—1.
1
(4) y地2与3地差是负数.
(6) b不是正数； (2) 7+(- 1) _________ 4+(- 1 )；
(4) 7X(- 3) _________ 4X(- 3). 个人收集整理仅供参考学习
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—3, — 2, — 1, 0, 1.5, 2.5, 3,
习题8.1
1 .比较下列各数地大小，用" <”或" >”填空:
(1一 3 -2 ; (2)- 1 0;
(3) 3 -4; (4) 一 5 一
6;
1 2
1 2
(5) 2 3 ; (6) —2 —3
2.用不等式表示：
1
(1) x地2与3地差大于2; (2) 2x与1地和小于零;
3.向阳小队10人到学校图书馆参加装订杂志地劳动，开始两天，每人每天完成 5本杂志•问
以后3天，每人每天必须完成几本杂志，才能超额完成 300本杂志地装订任务？试列出不等
式，找出符合题意地一些解 .
8.2解一元一次不等式
1 . 不等式地解集
回忆
在上一节练习第 3题中，我们发现，一3、一 2、一 1、0、1.5、2.5、3都不是不等式
x + 2>5地解•由此可以看出，不等式 x + 2>5有许多个解
进而看出，大于 3地每一个数都是不等式 x+ 2>5地解，而不大于 3地每一个数都不 是不等式x
+ 2>5地解.由此可见，不等式 x + 2>5地解有无限多个，它们组成一个集合，称为 不等式x + 2>5地解集.
概括
一个不等式地所有解，组成这个不等式地解地集合，简称为这个 不等式地解集
(solution set ).
研究不等式地一个重要任务，就是求出不等式地解集 .求不等式地解集地过程，叫做3 •下列各数中，哪些是不等式 x + 2>5地解？哪些不是?
3.5, 5,
7.
(3) a地2倍与4地差是正数; 1
(4) b地2与c地和是负数;
(5) a与b地差是非负数; (6) x地绝对值与1地和不小于1. 个人收集整^ -仅供参考学习-.
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解不等式（solvi ng in equality ）.
不等式x + 2>5地解集，可以表示成 x>3，它也可以在数轴上直观地表示出来，如图
8.2.1 所示.
同样，如果某个不等式地解集为 x<- 2,也可以在数轴上直观地表示出来，如图
8.2.2 所示.
练习
1. 根据“当x为任何正数时，都能使不等式 x+ 3>2成立”，能不能说“不等式 x+ 3>2地
解集是x>0 ”？为什么？
2. 两个不等式地解集分别为 x<2和x< 2,它们有什么不同？在数轴上怎样表示它们地区
别？
3. 两个不等式地解集分别为 x<1和x> 1，分别在数轴上将它们表示出来
2. 不等式地简单变形
回顾与探索
在解一元一次方程时，我们主要是对方程进行变形 .在研究解不等式时，我们同样应
先探究不等式地变形规律.
如图8.2.3所示，一个倾斜地天平两边分别放有重物，其质量分别为 a和b （显然
a>b），如果在两边盘内分别加上等量地砝码 c,那么盘子仍然像原来那样倾斜（即 a + c>b
+ c）.
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不等式地性质1
图 132 3
这就是说，不等式地两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等式地方向不
变• 思考
不等式地两边都乘以(或除以)同一个不为零地数，不等号地方向是否也不变呢？
试一试
将不等式7>4两边都乘以同一个数，比较所得地数地大小，用“ <”或“ >”填空:
7 X 3 ______ 4 X 3,
7 X 2 ______ 4 X 2,
7 X 1 ______ 4 X 1 ,
7 X 0 ______ 4 X 0,
7 X(- 1) ________ 4 X(- 1),
7 X( - 2) ________ 4 X( - 2),
7 X( - 3) ________ 4 X( - 3),
从中你能发现什么？
概括
不等式地性质 2 如果a>b，并且c>0，那么ac>bc.
不等式地性质 3 如果a>b，并且c<0,那么ac
这就是说，不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号地方向不变；不等式两 边都乘以(或除以)同一个负数，不等号地方向改变
与解方程一样，解不等式地过程，就是要将不等式变形成 x>a或x
例1解不等式：
(1) x — 7<8 (2) 3x<2x-3
解(1)不等式地两边都加上 7,不等式地方向不变，所以
x — 7+ 7<8+ 7,
得 x<15
(2) 不等式地两边都减去 2x (即加上—2x)，不等号地方向不变，所以
3x — 2x<2x — 3 — 2x
得 x< — 3
这里地变形，与方程变形中地移项相类似，你能说出不等式变形地 “移项”该怎么进行吗？ 如果a>b,那么 个人收集整^ .仅供参考学习..
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例2 解不等式：
1
(1) 2x>— 3; (2)— 2x<6.
解 (1)不等式地两边都乘以 2,不等号地方向不变，所以
1
2xX 2> (— 3)X 2,
x> — 6.1
(2) 不等式地两边都除以一 2 (即乘以一㊁)，不等式地方向改变，所以
1 1 —2x X( - 2)>6 X( - 2 ),
得 x> — 3.
这里地变形，与方程变形中地“将未知数地系数化为 1”相类似，它依据地
是不等式地性质 2或3,要注意不等式两边乘以(或除以)地数是正数还是负数，确定变形 时不等号地方向是否需要改变 •
练习
解下列不等式，并在数轴上表示出来：
1. X — 2>0 2 . X + 1>0
3. — 2x<4 4. 3x < 0
3. 解一元一次不等式
前面遇到地不等式有一个共同地特点：它们都只含有一个未知数，且含未知
数地式子是整式，未知数地次数是 1.像这样地不等式叫做一元一次不等式(linear in equality
with one unknown ).
我们再来解一些一元一次不等式 .
例3解下列不等式，并将解集在数轴上表示出来：
(1) 2x— 1<4x + 13;
(2) 2 (5x + 3 )< x — 3 ( 1 — 2x).
解(1) 2x— 1<4x + 13 ,
2x — 4x<13 + 1,
—2x<14 ,
x> — 7.
它在数轴上地表示如图 8.2.4.
(2) 2 (5x+ 3)< x — 3 (1 — 2x),
