2008年10月线性代数(经管类)试题及答案

全国2008年10月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案

课程代码：04184

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

1．设A为3阶方阵，且3131A，则||A（ A ）

A．-9 B．-3 C．-1 D．9

3131A，31||313A，9||A．

2．设A、B为n阶方阵，满足22BA，则必有（ D ）

A．BA B．BA C．||||BA D．22||||BA

3．已知矩阵A=1011，B=1101，则BAAB（ A ）

A．1201 B．1011 C．1001 D．0000

BAAB1011110111011011=11120111=1201．

4．设A是2阶可逆矩阵，则下列矩阵中与A等价的矩阵是（ D ）

A．0000 B．0001 C．0011 D．1011

5．设向量),,(),,,(22221111cbacba，),,,(),,,,(2222211111dcbadcba，下列命题中正确的是（ B ）

A．若21,线性相关，则必有21,线性相关 B．若21,线性无关，则必有21,线性无关

C．若21,线性相关，则必有21,线性无关

D．若21,线性无关，则必有21,线性相关

6．已知132,121是齐次线性方程组Ax=0的两个解，则矩阵A可为（ A ）

A．)1,3,5( B．112135 C．712321

D．135221121

)1,3,5(0121，)1,3,5(0132．

7．设m×n矩阵A的秩r(A)=n-3（n>3），,,是齐次线性方程组Ax=0的三个线性无关的解向量，则方程组Ax=0的基础解系为（ D ）

A．,, B．,, C．,,

D．,,

其中只有,,线性无关．

8．已知矩阵A与对角矩阵D=100010001相似，则2A（ C ）

A．A B．D C．E D．E 存在P，使DAPP1，1PDPA，EPPPEPPPDA11122．

9．设矩阵A=001010100，则A的特征值为（ D ）

A．1，1，0 B．-1，1，1 C．1，1，1 D．1，-1，-1

)1()1()1)(1(11)1(0101010||22AE．

10．设A为n（2n）阶矩阵，且EA2，则必有（ C ）

A．A的行列式等于1 B．A的逆矩阵等于E

C．A的秩等于n D．A的特征值均为1

1||2A，0||A，A的秩等于n．

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

11．已知行列式011103212a，则数a =__3__．

0)3(3323111103203111103212aaaa，3a．

12．设方程组02022121kxxxx有非零解，则数k = __4__．

04221kk，4k． 13．设矩阵A=311102，B=753240，则BAT19119753333．

BAT311012753240=19119753333．

14．已知向量组4212,0510,2001321t的秩为2，则数t=__3__．

000300110201000250110201402250110201ttt，秩为2，则3t．

15．设向量)1,21,1,2(，则的长度为__5/2__．

16．设向量组)3,2,1(1，)6,5,4(2，)3,3,3(3与向量组321,,等价，则向量组321,,的秩为__2__．

000630321630630321333654321，秩为2．

17．已知3阶矩阵A的3个特征值为3,2,1，则||A__36__．

||A36)321(||||221AAn．

18．设3阶实对称矩阵A的特征值为0,3321，则r(A)= __2__． A相似于000030003，r(A)=2．

19．矩阵A=314122421对应的二次型f =32312123222128432xxxxxxxxx．

20．设矩阵A=1002，则二次型AxxT的规范形是2221yy．

222122212yyxxAxxT，其中21xy，122xy．

三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

21．计算行列式D=5021011321014321的值．

解：93253100271264122271216413000122215021011321014321

24)1527(293532．

22．已知A=2141，B=1102，C=1013，矩阵X满足AXB=C，求解X．

解：),(EA100121411101604111036012311216003

6/16/13/23/16001，1A6/16/13/23/1； )(EB10011102200122022101200212/102/11001，1B12/102/1．

11CBAX6/16/13/23/1101312/102/1=114212110132101

=03661212101=031212121=04/111．

23．求向量T)2,1,3(在基T)2,1,1(1，T)1,3,1(2，T)1,1,1(3下的坐标，并将用此基线性表示．

解：设332211xxx，即TTTTxxx)1,1,1()1,3,1()2,1,1()2,1,3(321，得

22133321321321xxxxxxxxx，A211211313111413040403111413010103111

110010103111110010103111110010102011110010101001，

11x，12x，13x．

在基321,,下的坐标是)1,1,1(，321．

24．设向量组321,,线性无关，令311，32222，3213352，试确定向量组321,,的线性相关性．

解：设0332211kkk，即

0)352()22()(3213322311kkk， 0)32()52()2(3321232131kkkkkkk，

由321,,线性无关，得032052023213231kkkkkkk，

05252321520520321520201，有非零解，321,,线性相关．

25．已知线性方程组322321321321xxxxxxxxx，

（1）讨论为何值时，方程组无解、有惟一解、有无穷多个解．

（2）在方程组有无穷多个解时，求出方程组的通解（用一个特解和导出组的基础解系表示）．

解：),(bA3112112113311001102112

)1(3)2)(1(000110211．

（1）2时无解，2且1时惟一解，1时有无穷多个解．

（2）1时，),(bA000000002111，33223212xxxxxxx，通解为

10101100221kk． 26．已知矩阵A=111111111，求正交矩阵P和对角矩阵，使APP1．

解：111111111)3(113113113111111111||AE

)3(0101001)3(2，特征值021，33．

对于021，解齐次线性方程组0)(xAE：

000000111111111111AE，3322321xxxxxxx，基础解系为0111，1012，正交化：令10111，12/12/101121101||),(1211222，单位化：令02/12/101121||1111，6/26/16/112/12/162||1222；