二重积分

二重积分通俗理解

一、什么是二重积分？

1.1 定义

二重积分是微积分中的重要概念之一，用于求解二元函数在有界闭区域上的积分。它是对一个区域上的函数进行“求和”的操作，可以用来计算该函数在该区域上的平均值、总体积、质心等。

1.2 符号表示

一般来说，用符号 ∬ 来表示二重积分。对于一个函数 𝑓(𝑥,𝑦)，其在区域 𝐷 上的二重积分可以表示为：

∬𝑓𝐷(𝑥,𝑦) 𝑑𝑥 𝑑𝑦,

其中 𝐷 表示一个有界闭区域， 𝑑𝑥 𝑑𝑦 表示在该区域内按照矩形的面积进行积分。

二、二重积分的计算方法

2.1 直角坐标系中的二重积分计算

在直角坐标系中，我们可以通过将区域 𝐷 分割成许多小矩形来进行计算。对于一个小矩形 𝑅𝑖，其面积可以表示为 𝛥𝐴𝑖=𝛥𝑥𝑖𝛥𝑦𝑖，其中 𝛥𝑥𝑖 和 𝛥𝑦𝑖 分别为矩形的宽度和高度。然后，我们选取矩形 𝑅𝑖 中点 (𝑥𝑖∗,𝑦𝑖∗)，计算函数在该点的值

𝑓(𝑥𝑖∗,𝑦𝑖∗)，并乘以该矩形的面积 𝛥𝐴𝑖。将所有小矩形的贡献相加，即可得到二重积分的近似值。

当矩形的宽度和高度趋近于零时，即 𝛥𝑥𝑖 和 𝛥𝑦𝑖 趋近于零，这时我们可以得到准确的二重积分。用极限的形式表示为：

∬𝑓𝐷(𝑥,𝑦) 𝑑𝑥 𝑑𝑦=lim𝛥𝑥𝑖→0𝛥𝑦𝑖→0∑𝑓𝑛𝑖=1(𝑥𝑖∗,𝑦𝑖∗)𝛥𝐴𝑖. 2.2 极坐标系中的二重积分计算

在极坐标系中，二重积分的计算可以更加简化。对于一个区域 𝐷，我们可以使用极坐标的面积元素 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃 来进行积分。其中 𝑟 表示极径， 𝜃 表示极角， 𝑑𝑟

和 𝑑𝜃 分别表示极径和极角的微小增量。则二重积分的计算公式为：

$$\iint_D f(x, y) \,dx\,dy = \iint_D f(r\cosθ, r\sinθ)

§5.7二重积分的计算（一）

教学目的：通过讲授，使学生理解二重积分如何化为二次积分，并掌握直角坐标系下二重积分的计算.

教学重点：直角坐标系下二重积分的计算.

教学难点：积分区域D的确定.

课堂安排：

一般情况下，直接利用二重积分的定义计算二重积分是非常困难的，二重积分的计算可以归结为求二次定积分（即二次积分）.下面我们由二重积分的几何意义导出二重积分的计算方法.

一 在直角坐标系下计算二重积分

若二重积分存在，和式极限值与区域D的分法无关，故在直角坐标系下我们用与坐标轴平行的两组直线把D划分成各边平行于坐标轴的一些小矩形（如图1所示），于是小矩形的面积yx，因此在直角坐标系下，面积元素为：

dxdyd

图1

于是二重积分可写成

Ddyxf),(Ddxdyyxf),(

下面根据二重积分的几何意义，结合积分区域的几种形状，推导二重积分的计算方法.

1．积分区域D为：

bxa，)()(21xyx

其中函数)(1x，)(2x在],[ba上连续（如图2所示）.

图2

不妨设0),(yxf，由二重积分的几何意义知，Ddxdyyxf),(表示以D为底，以曲面),(yxfz为顶的曲顶柱体的体积（如图3所示）.我们可以应用一元函数定积分的应用中计算“平行截面面积为巳知的立体的体积”的方法，来计算这个曲顶柱体的体积.

图3

先计算截面面积.在区间],[ba中任意取定一点0x，过0x作平行于yoz面的平面0xx，这个平面截曲顶柱体所得截面是一个以区间)](),([0201xx为底，曲线),(0yxfz为曲边的曲边梯形（如图3所示），其面积为

)()(000201),()(xxdyyxfxA

一般地，过区间],[ba上任意一点x且平行于yoz面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为

)()(21),()(xxdyyxfxA

于是，由定积分的计算，得曲顶柱体的体积为

高等数学-二重积分

二重积分作为高等数学的一部分，是积分学的重要内容之一，也是微积分的一个重要分支。它可以用来求解平面图形的面积、质心、转动惯量等问题，同时也是理解三重积分和曲线积分的基础。

一、 二重积分的定义

对于平面直角坐标系中一个有界区域D，若在D内存在一个连续函数f(x,y)，则在D上的二重积分值记为：

∬Df(x,y)dxdy

其中，dxdy表示对于(x,y)在D上的每一个点，都有一个微小的面积dxdy。通常情况下，积分区域D是一个闭合区域，即被有限多条曲线所包围的区域。

1、线性性

若f(x,y)和g(x,y)在D上可积，则对于任意实数a和b，有：

∬D[af(x,y)+bg(x,y)]dxdy=a∬Df(x,y)dxdy+b∬Dg(x,y)dxdy

2、积分的可加性

若D可表示成D1和D2的并集，且D1和D2没有交集，则有：

4、积分与面积的关系

对于常数函数f(x,y)=1，在D上的二重积分值就是D的面积S。即有：

∬D1dxdy=S

1、利用基本公式

对于二重积分中的f(x,y)，若其为一元函数，则参照一元函数积分的公式进行计算即可。若其为二元函数，则按照二元函数积分的公式计算。

2、极坐标法

当积分区域D具有极轴对称性或者其中的许多边界方程可以转化为极坐标方程时，可以使用极坐标公式来求解。即有：

∬Df(x,y)dxdy=∫θ1θ2dθ∫r1r2f(r,θ)rdr

其中，r为极径，θ为极角。 3、换元法

当积分区域D无法采用基本公式或者极坐标法求解时，可以采用换元法来简化计算。具体而言，可以通过将坐标系进行转化，将D映射为一个较为简单的区域，从而进行二重积分的计算。

1、 面积计算

二重积分可以用来计算平面图形的面积。对于平面图形D，可设其边界方程为：

126 第五章 二 重 积 分

1.定义:nkkkkDfyxf10d),(limd),(

2.几何意义:

3.性质:

1) 比较定理: 若),(),(yxgyxf,则DDyxgyxf.d),(d),(

2) 估值定理: 若),(yxf在D上连续,则.d),(MSyxfmSD

3) 中值定理: 若),(yxf在D上连续,则SfyxfD),(d),(.

4.计算

1) 直角坐标:

2) 极坐标:

i) 适合用极坐标计算的被积函数:);(),(),(22yxfxyfyxf

ii)适合用极坐标的积分域:

3) 利用奇偶性.

①若积分域D关于y轴对称,则:

DDxxyxfyxfyxfdyxfx.),(0.),(d),(2),(0为奇函数关于为偶函数关于

②若积分域关于x轴对称,则

DDyyyxfyxfyxfdyxfy.),(0.),(d),(2),(0为奇函数关于为偶函数关于

4) 利用对称性:

若D关于xy对称,则`.d),(d),(DDxyfyxf

特别的： DDdyfdxf)()(

题型一 计算二重积分 127 例5.1计算Dxyexd)|(|2，其中D由曲线1||||yx所围成.

解 由奇偶性知

原式=14DDxddx （其中1D为D在第一象限的部分）

.3241010xxdydx

例5.2设区域D为222Ryx,则Dbyaxd)(2222=.

解法1

)11(4)sincos()(224320022222222baRdbaddbyaxRD.

解法2 由于积分域222:RyxD关于直线xy对称，则