高考数学总复习经典测试题解析版2.6 对数与对数函数

专题3.6 对数与对数函数1．（2021·安徽高三其他模拟（理））函数()ln ||f x x x =+的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】确定函数的奇偶性，排除两个选项，再由0x >时的单调性排除一个选项，得正确选项．【详解】易知()ln ||f x x x =+是非奇非偶函数，所以排除选项A ，C ；当x >0时，()f x 单调递増､所以排除选项B.故选：D ．2．（2021·江西南昌市·高三三模（文））若函数()3log ,12,1x x x f x x ≥⎧=⎨<⎩．则()0f f ⎡⎤=⎣⎦（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】A 【解析】利用函数()f x 的解析式由内到外逐层计算可得()0f f ⎡⎤⎣⎦的值.练基础()3log ,12,1x x x f x x ≥⎧=⎨<⎩，则()0021f ==，因此，()()301log 10f f f ===⎡⎤⎣⎦.故选：A.3．（2021·浙江高三其他模拟）已知a 为正实数，则“1a >”是“32212log log a a ->”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】利用充分、必要条件的定义，即可推出“1a >”与“32212log log a a ->”的充分、必要关系.【详解】因为32212log log a a ->等价于3222log log a a >，由a 为正实数且1a >，故有32a a >，所以3222log log a a >成立；由a 为正实数，3222log log a a >且函数2log y x =是增函数，有32a a >，故()210aa ->，所以1a >成立.故选：C ．4．（2021·浙江高三专题练习）已知函数f (x )＝1331,,log 1x x x x ⎧≤⎪⎨>⎪⎩则函数y ＝f (1－x )的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】由()f x 得到()1f x -的解析式，根据函数的特殊点和正负判断即可.因为函数()f x 133,1log ,1x x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，所以函数()1f x -()1133,0log 1,0x x x x -⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩，当x ＝0时，y ＝f (1)＝3，即y ＝f (1－x )的图象过点(0，3)，排除A ；当x ＝－2时，y ＝f (3)＝－1，即y ＝f (1－x )的图象过点(－2，－1)，排除B ；当0x <时，()1311,(1)log 10x f x x ->-=-<，排除C ，故选：D ．5．（2021·江苏南通市·高三三模）已知1331311log 5,,log 26a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a>>D ．c a b>>【答案】D 【解析】由于1331log g 66lo c ==，再借助函数3log y x =的单调性与中间值1比较即可.【详解】1331log g 66lo c ==，因为函数3log y x =在()0,∞上单调递增，所以333131log 31log 5log 6log 6a c =<=<<=，因为函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，所以10312112b <⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎝⎭=⎭，所以c a b >>故选：D6．（2021·辽宁高三月考）某果农借助一平台出售水果，为了适当地给鲜杏保留空气呼吸，还会在装杏用的泡沫箱用牙签戳上几个小洞，同时还要在鲜杏中间放上冰袋，来保持泡沫箱内部的温度稳定，这样可以有效延长水果的保鲜时间．若水果失去的新鲜度h 与其采摘后时间t （小时）满足的函数关系式为t h m a =⋅．若采摘后20小时，这种杏子失去的新鲜度为10%，采摘后40小时，这种杏子失去的新鲜度为20%．在这种条件下，杏子约在多长时间后会失去一半的新鲜度（ ）（已知lg 20.3≈，结果取整数）A ．42小时B ．53小时C ．56小时D ．67小时【答案】D 【解析】利用指数的运算得出1202a =，再利用对数的运算即可求解.【详解】由题意可得200010m a =⋅，①400020m a =⋅，②②÷①可得202a =，解得1202a =，所以0050t m a =⋅，③ ③÷①可得205t a -=，所以202025t -=，即20lg 2lg 51lg 20.720t -==-=，解得67t ≈（小时）.故选：D7．【多选题】（2021·辽宁高三月考）已知2log 3a =，34b =，22log 31c =+，则下列结论正确的是（ ）A ．a c <B ．2ab =C ．1abc a =+D ．22bc b =+【答案】BCD 【解析】先判断1a >，即可判断A ； 利用222log 3b a==判断B ；利用B 的结论判断C ；利用C 的结论判断D.【详解】因为2log 31a =>，所以22log 3112c a a c a =+=+<⇒<，即A 不正确；因为33222log 42log 2log 3b a====，所以2ab =，即B 正确；由2ab =可知，21abc c a ==+，C 正确；由1abc a =+可知，2ab c ab b =+，则22bc b =+，即D 正确．故选：BCD.8．【多选题】（2021·山东日照市·高三一模）已知113log 0x x +=，222log 0xx +=，则（ ）A ．2101x x <<<B ．1201x x <<<C ．2112lg lg 0x x x x -<D ．2112lg lg 0x x x x ->【答案】BC 【解析】根据对数函数的性质可判断AB 正误，由不等式的基本性质可判断CD 正误.【详解】由131log 0x x =->可得101x <<，同理可得201x <<，因为(0,1)x ∈时，恒有23log log x x<所以122231log log 0x x x x -=-<，即12x x <，故A 错误B 正确；因为1201x x <<<，所以12lg lg 0x x <<，即210lg lg x x <-<-，由不等式性质可得1221lg lg x x x x -<-，即2112lg lg 0x x x x -<，故C 正确D 错误.故选：BC9．（2021·浙江高三期末）已知2log 3a =，则4a =________．【答案】9【解析】把2log 3a =代入4a 可得答案.【详解】因为2log 3a =，所以222log 3log 34429a ===.故答案为：9.10．（2021·河南高三月考（理））若41log 32a =，则39a a +=___________；【答案】6【解析】首先利用换底公式表示3log 2a =，再代入39a a +求值.【详解】由条件得331log 4log 22a ==，所以3333log 2log 2log 2log 4393933246a a +=+=+=+=.故答案为：61．（2021·浙江高三专题练习）如图，直线x t =与函数()3log f x x =和()3log 1g x x =-的图象分别交于点A ，B ，若函数()y f x =的图象上存在一点C ，使得ABC V 为等边三角形，则t 的值为（ ）ABCD．3+【答案】C 【解析】由题意得()3,log A t t ，()3,log 1B t t -，1AB =，根据等边三角形的性质求得C点的横坐标x t =-，结合A ，B两点的纵坐标和中点坐标公式列方程t =，解方程即可求得t 的值.【详解】由題意()3,log A t t ，()3,log 1B t t -，1AB =.设()3,log C x x ，因为ABC V 是等边三角形，所以点C 到直线AB所以t x -=，x t =-根据中点坐标公式可得练提升33333log log 11log log log 22t t t t ⎛+-==-= ⎝，所以t -=，解得t =故选：C2．（2021·安徽高三其他模拟（文））已知函数()()14,12ln 1,1xx f x x x ⎧⎛⎫-≤-⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪+>-⎩，若()0f f x <⎡⎤⎣⎦，则x 的取值范围为（ ）A ．()2,0-B ．21,1e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．212,1e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．()212,11,0e ⎛⎫--⋃-⎪⎝⎭【答案】D 【解析】先由()0f f x <⎡⎤⎣⎦可得出()20f x -<<，然后再分1x ≤-、1x >-两种情况解不等式()20f x -<<，即可得解.【详解】若()1f x ≤-，则()()1402f x f f x ⎛⎫=-<⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，解得()2f x >-，此时，()21f x -<≤-；若()1f x >-，则()()ln 10f f x f x =+<⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，可得()011f x <+<，解得()10f x -<<.综上，()20f x -<<.若1x ≤-，由()20f x -<<可得12402x ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭，可得1242x⎛⎫<< ⎪⎝⎭，解得21x -<<-，此时21x -<<-；若1x >-，由()20f x -<<可得()2ln 10x -<+<，可得2111x e <+<，解得2110x e -<<，此时，2110x e -<<.综上，满足()0f f x <⎡⎤⎣⎦的x 的取值范围为()212,11,0e ⎛⎫--⋃- ⎪⎝⎭.故选：D.3．（2021·全国高三三模）已知函数()xxf x e e-=+，若()()4561log ,log 6,log 45a f b f c f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系正确的是（ ）A ．b a c >>B ．a b c >>C ．c b a >>D ．c a b>>【答案】B 【解析】先判断函数的奇偶性，再利用导数判断函数的单调性，最后根据对数函数的性质，结合基本不等式、比较法进行判断即可.【详解】因为()()xx f x ee f x --=+=，所以()f x 为偶函数，()21x xxxe x ee f e --=='-，当0x >时，()0f x '>，函数单调递增，当0x <时，()0f x '<，函数单调递减，()()()()444561log log 5log 5,log 6,log 45a f f f b f c f ⎛⎫==-=== ⎪⎝⎭，因为lg4lg6+>故2222lg4lg6lg 24lg25lg4lg6(lg5)242+⎛⎫⎛⎫⋅<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭245lg5lg6lg 5lg4lg6log 5log 60lg4lg5lg4lg5-⋅-=-=>⋅所以456log 5log 61log 40>>>>，则.a b c >>故选：B.4．【多选题】（2021·辽宁高三月考）若1a b >>，则（ ）A ．log 3log 3a b <B ．33a b <C ．11log ()log 21ab ab a b+≥-D ．11+11a b <+【答案】ACD 【解析】由已知，A 选项，借助对数换底公式及对数函数单调性可判断；B 选项，利用幂函数单调性可判断；C 选项，利用对数函数单调性可判断；D 选项，利用反比例函数单调性可判断.【详解】对于A 选项：3log y x =在(0,+∞)上单调递增，1a b >>，则333311log log 0log log a b a b>>⇒<，即log 3log 3a b <，A 正确；对于B 选项：函数y =x 3在R 上递增，则33a b >，B 错误；对于C 选项：1a b >>，则ab >1，a +b >2，11log ()log log ()1ab ab ab a ba b a b ab++==+-log 21ab >-，有11log (log 21ab ab a b+≥-成立，即C 正确；对于D 选项：1112a b a b >>⇒+>+>，而函数1y x =在(0,+∞)上递减，则有11+11a b <+，即D 正确.故选：ACD5．【多选题】（2021·全国高三专题练习（理））已知0a b >>，且4ab =，则（ ）A ．21a b ->B ．22log log 1a b ->C ．228a b +>D ．22log log 1a b ⋅<【答案】ACD 【解析】利用不等式的性质和基本不等式的应用，结合指数函数与对数函数的单调性，对选项逐一分析判断.【详解】因为0a b >>，且4ab =，对A ，0a b ->，所以0221a b ->=，故A 正确；对B ，取83,32a b ==，所以2222216log log log log log 219a ab b -==<=，故B 错误；对C，22a b ≥+，当且仅当a b =取等号，又因为4a b +≥=，当且仅当a b =取等号，所以228a b ≥≥=+，当且仅当a b =取等号，因为0a b >>，所以不能取等号，故C 正确；对D ，当10>>>a b ，22log 0,log 0a b ><，所以22log log 1a b ⋅<；当1a b >>，22log 0,log 0a b >>，所以()()2222222log log log log log 144a b ab a b +⋅≤==，当且仅当a b =取等号，因为0a b >>，所以不能取等号，故D 正确.故选：ACD.6．【多选题】（2021·湖南高三二模）若正实数a ，b 满足a b >且ln ln 0a b ⋅>，下列不等式恒成立的是（ ）A ．log 2log 2a b >B ．ln ln a a b b ⋅>⋅C ．122ab a b ++>D ．log 0a b >【答案】CD 【解析】由已知不等式，求出,a b 之间的关系，结合选项一一判断即可．【详解】由ln ln 0a b ⋅>有01b a <<< 或1a b >> ，对于选项A ，当01b a <<<或1a b >>都有log 2log 2a b < ，选项A 错误；对于选项B ，比如当11,24a b == 时，有211111111ln ln 2ln ln 44424222⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭故ln ln a a b b ⋅>⋅不成立，选项B 错误；对于C ，因为()()1110ab a b a b +--=-->，所以1ab a b +>+ ，则122ab a b ++> ，选项C 正确；对于选项D ，因为ln ln 0a b ⋅>，所以ln log 0ln a bb a=>，选项D 正确，故选：CD ．7．【多选题】（2021·山东临沂市·高三二模）若5log 2a =，1ln 22b =，1ln 55c =，则（ ）A ．a b >B ．b c>C ．c a>D ．2a b>【答案】AB 【解析】对四个选项一一验证：对于A ：利用换底公式，化为同底结构，利用函数的单调性比较大小；对于B ：利用换底公式，化为同底结构，利用函数的单调性比较大小；对于C ：利用不等式的传递性比较大小；对于D ：利用换底公式，化为同底结构，利用函数的单调性比较大小；【详解】对于A ：522221111ln o 21l g 2,log 522log log a b e e ====⨯=，又25e >，且2log y x =为增函数，所以222l l g 5og o e <，所以22251l og 1l og e <，即a b >.故A 正确；对于B：1ln 22b ==，1ln 55c ==因为101052232,525,ln y x =====为增函数，所以b c >；故B 正确；对于C ：因为a b >，b c >，所以a c >，故C 错误；对于D ：因为1ln 22b =，所以212ln 2log b e ==，而521log 2,log 5a ==又5e <，所以22log log 5e <，所以2211log log 5e >，所以2b a >，故D 错误.故选：AB.8．（2021·浙江高三专题练习）已知函数()f x 满足()(1)f x f x =-+，当(0,1)x ∈时，函数()3x f x =，则13(log 19)f =__________．【答案】2719-【解析】由()(1)f x f x =-+得函数的周期为2，然后利用周期和()(1)f x f x =-+对13(log 19)f 化简可得13(log 19)f 33927(log 1)(log 1919f f =-+=-，从而可求得结果【详解】解：由题意，函数()f x 满足()(1)f x f x =-+，化简可得()(2)f x f x =+，所以函数()f x 是以2为周期的周期函数，又由(0,1)x ∈时，函数()3x f x =，且()(1)f x f x =-+，则133339(log 19)(log 19)(log 192)(log 19f f f f =-=-+=327log 193392727(log 1)(log 3191919f f =-+=-=-=-．故答案为：2719-．9．（2021·千阳县中学高三其他模拟（文））已知函数()()()11330log 0x x f x x x +⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则不等式()1f x >的解集为___________.【答案】11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】根据分段函数的定义，分段讨论即可求解.【详解】解：()()()11330log 0x x f x x x +⎧≤⎪=⎨>⎪⎩ ，()10131x x f x +≤⎧∴>⇔⎨>⎩或130log 1x x >⎧⎪⎨>⎪⎩，解得10-<≤x 或103x <<，即113x -<<，∴不等式()1f x >的解集为11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭.10．（2021·浙江丽水市·高三期末）已知()()()1log 1log 01a a a a a ++<<<，则a 的取值范围是__________.【答案】⎫⎪⎪⎭【解析】通过作差将()()()1log 1log 01a a a a a ++<<<转化为(1)log (1)log 0++-<a a a a ，利用换底公式计算可得[][](1)lg(1)lg lg(1)lg log (1)log lg lg(1)++-+++-=+a a a a a a a a a a ，分别判断每个因式的正负，最终转化为211()124+->a 成立，结合二次函数图像，即可求得a 的取值范围.【详解】∵(1)lg(1)lg log (1)log lg lg(1)a a a aa a a a +++-=-+22lg (1)lg lg (1)a aalg a +-=+[][]lg(1)lg lg(1)lg lg lg(1)a a a a a a +-++=+而当01a <<时，lg 0a <，g(0)l 1a +>，1lg(1)lg lglg10a a a a++-=>=211lg(1)lg lg (1)lg (24a a a a a ⎡⎤++=+=+-⎢⎥⎣⎦，所以()()()1log 1log 01a a a a a ++<<<即为211lg ()024⎡⎤+->⎢⎥⎣⎦a ，由于lg u 单调递增，所以211(124+->a .211()24u a =+-的图象如图，当1u =时，0a =，1a <<时，12u <<，lg 0u >，可得()()log 1log 10a a a a a +-+<.故答案为：⎫⎪⎪⎭1.（2020·全国高考真题（文））设3log 42a =，则4a-=（ ）练真题A ．116B ．19C ．18D ．16【答案】B 【解析】由3log 42a =可得3log 42a=，所以49a =，所以有149a-=，故选：B.2.（2020·全国高考真题（理））设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x )（ ）A ．是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B ．是奇函数，且在11(,22-单调递减C ．是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增D ．是奇函数，且在1(,2-∞-单调递减【答案】D 【解析】由()ln 21ln 21f x x x =+--得()f x 定义域为12x x ⎧⎫≠±⎨⎬⎩⎭，关于坐标原点对称，又()()ln 12ln 21ln 21ln 21f x x x x x f x -=----=--+=-，()f x ∴为定义域上的奇函数，可排除AC ；当11,22x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()()()ln 21ln 12f x x x =+--，()ln 21y x =+Q 在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，()ln 12y x =-在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，()f x ∴在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，排除B ；当1,2x ⎛⎫∈-∞-⎪⎝⎭时，()()()212ln 21ln 12ln ln 12121x f x x x x x +⎛⎫=----==+ ⎪--⎝⎭，2121x μ=+- 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，()ln f μμ=在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：()f x 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，D 正确.故选：D.3．（2020·天津高考真题）设0.80.70.713,,log 0.83a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a<<D ．c a b<<【答案】D 【解析】因为0.731a =>，0.80.80.71333b a -⎛⎫==>= ⎪⎝⎭，0.70.7log 0.8log 0.71c =<=，所以1c a b <<<.故选：D.4.（2019年高考全国Ⅲ卷理）设是定义域为R 的偶函数，且在单调递减，则A ．（log 3）＞（）＞（）B ．（log 3）＞（）＞（）C ．（）＞（）＞（log 3）D ．（）＞（）＞（log 3）【答案】C【解析】是定义域为的偶函数，．，又在(0，+∞)上单调递减，∴，即.故选C ．5.（2020·全国高考真题（理））若2233x y x y ---<-，则（ ）()f x ()0,+∞f 14f 322-f 232-f 14f 232-f 322-f 322-f 232-f 14f 232-f 322-f 14()f x R 331(log (log 4)4f f ∴=223303322333log 4log 31,1222,log 422---->==>>∴>> ()f x 23323(log 4)22f f f --⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A ．ln(1)0y x -+>B ．ln(1)0y x -+<C ．ln ||0x y ->D ．ln ||0x y -<【答案】A 【解析】由2233x y x y ---<-得：2323x x y y ---<-，令()23t t f t -=-，2x y = 为R 上的增函数，3x y -=为R 上的减函数，()f t ∴为R 上的增函数，x y ∴<，0y x ->Q ，11y x ∴-+>，()ln 10y x ∴-+>，则A 正确，B 错误；x y -Q 与1的大小不确定，故CD 无法确定.故选：A.6.（2019·天津高考真题（文））已知a =log 27，b =log 38，c =0.30.2，则a ,b ,c 的大小关系为（ ）A.c <b <a B.a <b <c C.b <c <a D.c <a <b【答案】A 【解析】c =0.30.2<0.30=1；log 27>log 24=2；1<log 38<log 39=2.故c <b <a .故选A.。

高三数学对数与对数函数试题答案及解析1.函数（其中且）的图像恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为 .【答案】2【解析】由y＝log（x＋3）－1经过的定点为（－2，－1）a于是－2m－n＋4＝0，得2m＋n＝4，且mn＞0，于是m＞0，n＞0所以＝2当且仅当m＝1，n＝2时等号成立，即的最小值为2.【考点】函数图象过定点，基本不等式(2x－1)的定义域为________________.2.函数f(x)＝log2【答案】(，＋∞)【解析】由2x－1＞0，得x＞.注意写成集合或者区间形式.考点:函数的定义域，对数函数的性质3.计算的结果是（）A．B．2C．D．3【答案】B【解析】，选B【考点】对数基本运算.4.若的最小值是A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意，且，所以又，所以，，所以，所以，当且仅当，即，时，等号成立.故选D.【考点】1、对数的运算；2、基本不等式.5.若，则＝．【答案】【解析】∵，，∴.【考点】分段函数的函数值、三角函数值的计算、对数式的计算.6.设a＝lg e，b＝(lg e)2，c＝lg，则()A．a>b>c B．a>c>bC．c>a>b D．c>b>a【答案】B【解析】∵1<e<3，则1<<e<e2<10.∴0<lg e<1.则lg＝lg e<lg e，即c<a.又0<lg e<1，∴(lg e)2<lg e，即b<a.同时c－b＝lg e－(lg e)2＝lg e(1－2 lg e)＝lg e·lg>0.∴c>b.故应选B.7.函数y＝(x2－6x＋17)的值域是________．【答案】(－∞，－3]【解析】令t＝x2－6x＋17＝(x－3)2＋8≥8，y＝为减函数，所以有≤＝－3.8.已知f(x)＝logax(a>0且a≠1)，如果对于任意的x∈都有|f(x)|≤1成立，试求a的取值范围．【解析】解：当a>1时，f(x)＝logax在上单调递增，要使x∈都有|f(x)|≤1成立，则有解得a≥3.∴此时a的取值范围是a≥3.当0<a<1时，f(x)＝logax在上单调递减，要使x∈都有|f(x)|≤1成立，则有，解得0<a≤.∴此时，a的取值范围是0<a≤.综上可知，a的取值范围是∪[3，＋∞)．9.（5分）（2011•重庆）设a=，b=，c=log3，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a【答案】B【解析】可先由对数的运算法则，将a和c化为同底的对数，利用对数函数的单调性比较大小；再比较b和c的大小，用对数的换底公式化为同底的对数找关系，结合排除法选出答案即可．解：由对数的运算法则，a=log32＞c；排除A和C．因为b=log23﹣1，c=log34﹣1=，因为（log23）2＞2，所以log23＞，所以b＞c，排除D故选B．点评：本题考查对数值的大小比较，考查对数的运算法则和对数的换底公式，考查运算能力．10.函数的值域为 .【答案】【解析】由得 ,所以函数的定义域是：设点=所以，,所以答案填：【考点】1、对数函数的性质；2、数形结合的思想.11.函数的定义域是A．[1，2]B．C．D．【答案】C【解析】根据函数定义域的要求得：.【考点】（1）函数的定义域；（1）对数函数的性质.12.对任意实数a,b定义运算如下，则函数的值域为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，对任意实数a,b定义运算如下，所以，==，故，选B.【考点】分段函数，对数函数的性质，新定义.13.已知函数f(x)＝log2x－2log2(x＋c)，其中c>0，若对任意x∈(0，＋∞)，都有f(x)≤1，则c的取值范围是________．【答案】c≥【解析】由题意，在x∈(0，＋∞)上恒成立，所以c≥14. 若函数f(x)＝log 2|ax －1|(a ＞0)，当x≠时，有f(x)＝f(1－x)，则a ＝________． 【答案】2【解析】由f(x)＝f(1－x)，知函数f(x)的图象关于x ＝对称， 而f(x)＝log 2＋log 2|a|，从而＝，所以a ＝2.15. 已知两条直线l 1：y ＝m 和l 2：y ＝，l 1与函数y ＝|log 2x|的图象从左至右相交于点A 、B ，l 2与函数y ＝|log 2x|的图象从左至右相交于点C 、D.记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为a 、b.当m 变化时，求的最小值． 【答案】8【解析】由题意得x A ＝m，x B ＝2m ，x C ＝，x D ＝，所以a ＝|x A －x C |＝，b ＝|x B －x D |＝，即＝＝·2m ＝2＋m.因为＋m ＝ (2m ＋1)＋－≥2－＝，当且仅当 (2m ＋1)＝，即m ＝时取等号．所以，的最小值为＝8.16. 设则a ，b ，c 的大小关系为 A ．a ＜c ＜b B ．b ＜a ＜c C ．a ＜b ＜c D ．b ＜c ＜a【答案】B 【解析】因为所以显然，所以的值最大.故排除A,D 选项.又因为，所以.即.综上.故选B.本小题关键是进行对数的运算.【考点】1.对数的运算.2.数的大小比较的方法.17. 函数y=log a (x-1)+2(a>0,且a≠1)的图象恒过定点 . 【答案】(2,2)【解析】∵log a 1=0,∴x-1=1,即x=2,此时y=2,因此函数恒过定点(2,2).18. 已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ∈(0，＋∞)时，都有不等式f (x )＋xf ′(x )＞0成立，若a ＝40.2f (40.2)，b ＝(log 43)f (log 43)，c ＝f，则a ，b ，c 的大小关系是________．【答案】c ＞a ＞b【解析】由f (x )＋xf ′(x )＞0得(xf (x ))′＞0，令g (x )＝xf (x )，则g (x )在(0，＋∞)递增，且为偶函数，且a ＝g (40.2)，b ＝g (log 43)，c ＝g ＝g (－2)＝g (2)，因为0＜log 43＜1＜40.2＜2，所以c ＞a＞b .19. 在ABC 中，若，则A=（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由，整理得，又，选C.【考点】对数及其运算，余弦定理的应用.20.已知函数（1）若x=2为的极值点，求实数a的值；（2）若在上为增函数，求实数a的取值范围.【答案】(1);(2)【解析】(1)通过求导可得.又因为x=2是极值点.即可求得.（2）通过对对数的定义域可得符合题意的不等式.在上恒成立.所以转化为研究二次函数的最值问题.通过对称轴研究函数的单调性即可得到结论.本题的的关键是对含参的函数的最值的讨论.以二次的形式为背景紧扣对称轴这个知识点.试题解析：（1）因为.因为x=2为f(x)的极值点.所以即.解得.又当时.从而x=2为f(x)的极值点成立. （2）因为f(x)在区间上为增函数.所以.在区间上恒成立. ①当时. 在上恒成立.所以f(x)在上为增函数.故符合题意.②当时.由函数f(x)的定义域可知，必须有时恒成立.故只能.所以在区间上恒成立.令g(x)= .其对称轴为.因为.所以<1.从而g(x) 在上恒成立.只需要g(3) 即可.由g(3)= .解得：.因为.所以.综上所述. 的取值范围为.【考点】1.对数函数的知识点.2.最值问题.3.含参的讨论.21.已知函数的两个极值点分别为，且，，点表示的平面区域为，若函数的图象上存在区域内的点，则实数的取值范围为 .【答案】【解析】的两根x1,x2满足0<x1<1<x2,则x1+x2=-m,x1x2=，(x1-1)(x2-1)=x1x2-(x1+x2)+1=+m+1<0,即∴-m<n<-3m-2,为平面区域D,∴m<-1,n>1,因为的图像上存在区域D内的点，所以，，因为，所以，所以解得.【考点】1.函数的导数；2.对数的性质.22.设是定义在上的偶函数，对任意的，都有，且当时，，若关于的方程在区间内恰有三个不同实根，则实数的取值范围是 .【答案】【解析】∵对于任意的x∈R，都有f（2-x）=f（x+2），∴函数f（x）的图象关于直线x=2对称，又∵当x∈[-2，0]时，f（x）=-1，且函数f（x）是定义在R上的偶函数，若在区间（-2，6）内关于x的方程f（x）-loga （x+2）=0恰有3个不同的实数解，则函数y=f（x）与y=loga（x+2）在区间（-2，6）上有三个不同的交点，如下图所示：又f（-2）=f（2）=3，则有 loga （2+2）＜3，且loga（6+2）≥3，解得.【考点】1.指数函数与对数函数的图象与性质；2.函数的零点与方程根的关系23.对于以下结论：①.对于是奇函数，则；②.已知：事件是对立事件；：事件是互斥事件；则是的必要但不充分条件；③.若，，则在上的投影为；④.(为自然对数的底)；⑤.函数的图像可以由函数图像先左移2个单位，再向下平移1个单位而来.其中，正确结论的序号为__________________.【答案】③④⑤【解析】对①，不一定有意义，所以不正确；对②，是的充分但不必要条件；所以不正确；对③，易得在上的投影为；所以正确；对④，构造函数，则.由此可得在上单调递减，故成立；所以正确；对⑤，原函数可变为：，所以将函数图像先左移2个单位，再向下平移1个单位可得函数的图像.正确.【考点】1、函数的性质；2、随机事件及二项分布；3、向量的投影；4、充分必要条件.24.设，，，则( )A．c>b>a B．b>c>a C．a>c>b D．a>b>c【答案】D【解析】，，，又，，，，所以，所以.【考点】对数与对数运算25.函数f(x)＝lnx的图象与函数g(x)＝x2－4x＋4的图象的交点个数为（）A．0B．1C．2D．3【答案】C【解析】将题中所给的函数画出如下：，根据图像，易知有2个交点.【考点】1.函数的零点；2.函数的图像画法.26.不等式的解集为_____________.【答案】【解析】原不等式等价于，解得.【考点】对数函数的定义与性质27.已知函数f(x)=|lg(x-1)|若a≠b,f(a)=f(b),则a+2b的取值范围是．【答案】【解析】由得，且，由对数函数的特征得，所以，故.【考点】对数函数性质、基本不等式.28.已知函数．(1) 当时，函数恒有意义，求实数a的取值范围；(2) 是否存在这样的实数a，使得函数在区间上为增函数，并且的最大值为1．如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)；(2)存在，.【解析】(1)首先根据对数函数的底数，得到为减函数，最小值是，再根据对数函数的真数大于0，得到恒成立，在范围内解不等式即可；(2)先看真数部分是减函数，由已知“在区间上为增函数”可得，为减函数，此时得到；根据“的最大值为1”，结合对数函数的真数大于0，可知，解出，再判断它是不是在的范围内，在这个范围内，那么得到的的值满足题目要求，不在这个范围内就说明满足题目要求的是不存在的.试题解析：(1)∵，设，则为减函数，时，t最小值为， 2分当，恒有意义，即时，恒成立．即；4分又，∴ 6分(2)令，则；∵，∴函数为减函数，又∵在区间上为增函数，∴为减函数，∴，8分所以时，最小值为，此时最大值为；9分又的最大值为1，所以， 10分∴，即，所以，故这样的实数a存在． 12分【考点】1.对数函数的定义及定义域；2.对数函数的单调性及其应用；3.对数函数的值域与最值；4.简单复合函数的单调性；5.解不等式29.若函数(其中为常数且)，满足，则的解集是 .【答案】【解析】函数定义域为，由，知函数为单调递减函数，所以.由知，满足：，解得.【考点】1.不等式求解；2.对数的单调性；3.函数的定义域.30.已知函数（为常数，为自然对数的底）（1）当时，求的单调区间；（2）若函数在上无零点，求的最小值；（3）若对任意的，在上存在两个不同的使得成立，求的取值范围．【答案】（1）的减区间为，增区间为；（2）的最小值为；（3）的取值范围是.【解析】（1）将代入函数的解析式，利用导数求出的单调递增区间和递减区间；（2）将函数在上无零点的问题转化为直线与曲线在区间上无交点，利用导数确定函数在区间上的图象，进而求出参数的取值范围，从而确定的最小值；（3）先研究函数在上的单调性，然后再将题干中的条件进行适当转化，利用两个函数的最值或端点值进行分析，列出相应的不等式，从而求出的取值范围.试题解析：（1）时，由得得故的减区间为增区间为 3分（2）因为在上恒成立不可能故要使在上无零点，只要对任意的，恒成立即时， 5分令则再令于是在上为减函数故在上恒成立在上为增函数在上恒成立又故要使恒成立，只要若函数在上无零点，的最小值为 8分（3）当时，，为增函数当时，，为减函数函数在上的值域为 9分当时，不合题意当时，故① 10分此时，当变化时，，的变化情况如下时，，任意定的，在区间上存在两个不同的使得成立，当且仅当满足下列条件即②即③ 11分令令得当时，函数为增函数当时，函数为减函数所以在任取时有即②式对恒成立 13分由③解得④由①④当时对任意，在上存在两个不同的使成立【考点】1.函数的单调区间；2.函数的零点；3.函数的存在性问题31.设函数,若对任意实数，函数的定义域为，则的取值范围为____________.【答案】【解析】函数的定义域为，则满足，即对任意实数恒成立，只要比的最大值大即可，而的最大值为，即．【考点】函数的定义域恒成立问题，学生的基本运算能力与逻辑推理能力．32.设，，则 ( )A．B．C．D．【答案】D．【解析】是上的增函数，又．【考点】对数值大小的比较．33.，，，则与的大小关系为（）A．B．C．D．不确定【答案】C【解析】因为，，即，所以，故选C.【考点】对数的运算34.函数的定义域为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】要使函数解析式有意义需满足：解得且，即选D.【考点】1.对数函数；2.一元二次不等式.35.若，则（）A．<<B．<<C．<<D．<<【答案】C【解析】因为所以，而，故，又，而，故，综上，，选C.【考点】对数函数.36.设，，，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】一般地，只要涉及3个及以上的数比较大小，应找一中间量来比较，比如0、1.由对数的性质知：，，。

第六讲 对数及对数函数【套路秘籍】一．对数的概念 (1)对数的定义①一般地，如果a (a >0，a ≠1)的b 次幂等于N ，即a b＝N ，那么称b 是以a 为底N 的对数，记作b ＝log a N ，其中，a 叫做对数的底数，N 叫做真数．②底数的对数是1，即log a a ＝1,1的对数是0，即log a 1＝0. (2)几种常见对数4.对数的性质与运算法则 (1)对数的性质 ①log a Na＝N (a >0且a ≠1，N >0)；②log a a N＝N (a >0且a ≠1)． (2)对数的重要公式①换底公式：log b N ＝log a Nlog a b (a ，b 均大于零且不等于1，N >0)；②log a b ＝1log b a (a ，b 均大于零且不等于1)．(3)对数的运算法则如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a M N＝log a M －log a N ； ③log a M n＝n log a M (n ∈R )； ④log m na M ＝n mlog a M . 二．对数函数的定义1.形如y ＝log a x (a >0，a ≠1)的函数叫作对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． 2．对数函数的图象与性质定义域：(0，＋∞)3.反函数指数函数y ＝a x(a >0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．【套路修炼】考向一 对数的运算【例1】（1）lg 22·lg 250＋lg 25·lg 40＝ . （2）若3a=5b=225，则1a +1b= 。

（4）若log a 2=m ，log a 5=n ，则a 3m+n =( 。

2-61．(2018·广州一测)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≤0，1－log 2x ，x >0，则f (f (3))＝( )A.43B.23 C ．－43D ．－3【解析】 因为f (3)＝1－log 23＝log 223<0，所以f (f (3))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 223＝＝43，故选A. 【答案】 A2．设a ＝log 37，b ＝21.1，c ＝0.83.1，则( ) A ．b <a <c B ．c <a <b C ．c <b <aD ．a <c <b【解析】 ∵a ＝log 37，∴1<a <2. ∵b ＝21.1， ∴b >2. ∵c ＝0.83.1， ∴0<c <1. 即c <a <b ，故选B. 【答案】 B3．函数f (x )＝ln(x 2＋1)的图象大致是( )【解析】 函数f (x )＝ln(x 2＋1)是偶函数，排除C ；当x ＝0时，f (x )＝0，排除B 、D ，故选A.【答案】 A4．(2018·吉林模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2（5－x ），x ≤1，f （x －1）＋1，x >1，则f (2 018)等于( )A ．2 019B ．2 018C ．2 017D ．2 016【解析】 由已知f (2 018)＝f (2 017)＋1 ＝f (2 016)＋2＝f (2 015)＋3＝…＝f (1)＋2 017＝log 2(5－1)＋2 017＝2 019. 【答案】 A5．(2017·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )，则( ) A ．f (x )在(0，2)单调递增 B ．f (x )在(0，2)单调递减C ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称D ．y ＝f (x )的图象关于点(1，0)对称 【解析】 f (x )的定义域为(0，2)．f (x )＝ln x ＋ln(2－x )＝ln[x (2－x )]＝ln(－x 2＋2x )．设u ＝－x 2＋2x ，x ∈(0，2)，则u ＝－x 2＋2x 在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减．又y ＝ln u 在其定义域上单调递增，∴f (x )＝ln(－x 2＋2x )在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减． ∴选项A ，B 错误．∵f (x )＝ln x ＋ln(2－x )＝f (2－x )，∴f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴选项C 正确．∵f (2－x )＋f (x )＝[ln(2－x )＋ln x ]＋[ln x ＋ln(2－x )]＝2[ln x ＋ln(2－x )]，不恒为0，∴f (x )的图象不关于点(1，0)对称，∴选项D 错误． 故选C. 【答案】 C6．(2017·全国Ⅰ卷)设x ，y ，z 为正数，且2x＝3y＝5z，则( ) A ．2x <3y <5z B ．5z <2x <3y C ．3y <5z <2x D ．3y <2x <5z 【解析】 令t ＝2x＝3y＝5z， ∵x ，y ，z 为正数，∴t >1.则x ＝log 2t ＝lg t lg 2，同理y ＝lg t lg 3，z ＝lg tlg 5.∴2x －3y ＝2lg t lg 2－3lg t lg 3＝lg t （2lg 3－3lg 2）lg 2×lg 3＝lg t （lg 9－lg 8）lg 2×lg 3>0，∴2x >3y .又∵2x －5z ＝2lg t lg 2－5lg t lg 5＝lg t （2lg 5－5lg 2）lg 2×lg 5＝lg t （lg 25－lg 32）lg 2×lg 5<0，∴2x <5z ， ∴3y <2x <5z . 故选D. 【答案】 D7．lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝________．【解析】 lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝lg 52＋lg 22－2＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫52×4－2＝1－2＝－1.【答案】 －18．函数f (x )＝log 2x ·log 2(2x )的最小值为________． 【解析】 f (x )＝log 2x ·log2(2x )＝12log 2x ·2log 2(2x )＝log 2x (1＋log 2x )．设t ＝log 2x (t ∈R )，则原函数可以化为y ＝t (t ＋1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122－14(t ∈R )，故该函数的最小值为－14，故f (x )的最小值为－14.【答案】 －149．(2018·沈阳一监)已知函数f (x )＝|log 3x |，实数m ，n 满足0<m <n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，则nm＝________．【解析】 f (x )＝|log 3x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－log 3x （0<x <1），log 3x （x ≥1），所以f (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，由0<m <n 且f (m )＝f (n )，可得⎩⎪⎨⎪⎧0<m <1，n >1，log 3n ＝－log 3m ，则⎩⎪⎨⎪⎧0<m <1，n >1，mn ＝1，所以0<m 2<m <1，则f (x )在[m 2，1)上单调递减，在(1，n ]上单调递增，所以f (m 2)>f (m )＝f (n )，则f (x )在[m 2，n ]上的最大值为f (m 2)＝－log 3m 2＝2，解得m ＝13，则n ＝3，所以n m＝9.【答案】 910．(2018·南昌模拟)关于函数f (x )＝lg x 2＋1|x |(x ≠0，x ∈R )有下列命题：①函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称；②在区间(－∞，0)上，函数y ＝f (x )是减函数； ③函数f (x )的最小值为lg 2；④在区间(1，＋∞)上，函数f (x )是增函数． 其中是真命题的序号为________．【解析】 ∵函数f (x )＝lg x 2＋1|x |(x ≠0，x ∈R )，显然f (－x )＝f (x )，即函数f (x )为偶函数，图象关于y 轴对称，故①正确；当x >0时，f (x )＝lg x 2＋1|x |＝lg x 2＋1x ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ，令t (x )＝x ＋1x ，x >0，则t ′(x )＝1－1x2，可知当x ∈(0，1)时，t ′(x )<0，t (x )单调递减，当x ∈(1，＋∞)时，t ′(x )>0，t (x )单调递增，即在x ＝1处取得最小值为2.由偶函数的图象关于y 轴对称及复合函数的单调性可知②错误，③正确，④正确，故答案为①③④.【答案】 ①③④11．已知函数f (x )＝3－2log 2x ，g (x )＝log 2x .(1)当x ∈[1，4]时，求函数h (x )＝[f (x )＋1]·g (x )的值域；(2)如果对任意的x ∈[1，4]，不等式f (x 2)·f (x )＞k ·g (x )恒成立，求实数k 的取值范围．【解析】 (1)h (x )＝(4－2log 2x )·log 2x ＝－2(log 2x －1)2＋2， 因为x ∈[1，4]，所以log 2x ∈[0，2]， 故函数h (x )的值域为[0，2]． (2)由f (x 2)·f (x )＞k ·g (x )， 得(3－4log 2x )(3－log 2x )＞k ·log 2x ，令t ＝log 2x ，因为x ∈[1，4]，所以t ＝log 2x ∈[0，2]， 所以(3－4t )(3－t )＞k ·t 对一切t ∈[0，2]恒成立， ①当t ＝0时，k ∈R ；②当t ∈(0，2]时，k ＜（3－4t ）（3－t ）t 恒成立，即k ＜4t ＋9t－15，因为4t ＋9t ≥12，当且仅当4t ＝9t ，即t ＝32时取等号，所以4t ＋9t－15的最小值为－3.综上，实数k 的取值范围为(－∞，－3)． 12．(2018·厦门月考)已知函数f (x )＝lnx ＋1x －1. (1)求函数f (x )的定义域，并判断函数f (x )的奇偶性； (2)对于x ∈[2，6]，f (x )＝ln x ＋1x －1>ln m（x －1）（7－x ）恒成立，求实数m 的取值范围． 【解析】 (1)由x ＋1x －1>0，解得x <－1或x >1， ∴函数f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)， 当x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，f (－x )＝ln－x ＋1－x －1＝ln x －1x ＋1＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1－1＝－ln x ＋1x －1＝－f (x )，∴f (x )＝lnx ＋1x －1是奇函数． (2)由于x ∈[2，6]时，f (x )＝ln x ＋1x －1>ln m（x －1）（7－x ）恒成立， ∴x ＋1x －1>m（x －1）（7－x ）>0. ∵x ∈[2，6]，∴0<m <(x ＋1)(7－x )在x ∈[2，6]上恒成立． 令g (x )＝(x ＋1)(7－x ) ＝－(x －3)2＋16，x ∈[2，6]，由二次函数的性质可知，x ∈[2，3]时函数g (x )单调递增，x ∈[3，6]时函数g (x )单调递减，即x ∈[2，6]时，g (x )min ＝g (6)＝7， ∴0<m <7.。

高三数学对数与对数函数试题答案及解析1.已知函数f(x)＝x－1－(e－1)lnx，其中e为自然对数的底，则满足f(e x)＜0的x的取值范围为．【答案】(0，1)【解析】因为由得：，又，所以由f(e x)＜0得：【考点】利用导数解不等式2.函数f(x)＝log2(2x－1)的定义域为________________.【答案】(，＋∞)【解析】由2x－1＞0，得x＞.注意写成集合或者区间形式.考点:函数的定义域，对数函数的性质3.函数y＝(－x2＋6x)的值域()A．(0,6)B．(－∞，－2]C．[－2,0)D．[－2，＋∞)【答案】D【解析】∵－x2＋6x＝－(x－3)2＋9，∴0<－x2＋6x≤9，∴y≥9＝－2，故选D.4.设a＝log3π，b＝log2，c＝log3，则()A．a>b>c B．a>c>b C．b>a>c D．b>c>a 【答案】A【解析】∵a＝log3π>log33＝1，b＝log2<log22＝1，∴a>b，又＝＝(log23)2>1，∴b>c，故a>b>c.5.将函数的图象向左平移1个单位长度，那么所得图象的函数解析式为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，所以将其图象向左平移1个单位长度所得函数解析式为.故C正确.【考点】1对数函数的运算；2函数图像的平移.6.设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则a，b，c的大小关系为________．【答案】a＞b＞c【解析】a＝log36＝1＋log32，b＝log510＝1＋log52，c＝log714＝1＋log72，则只要比较log32，log52，log72的大小即可，在同一坐标系中作出函数y＝log3x，y＝log5x，y＝log7x的图像，由三个图像的相对位置关系，可知a＞b＞c.7. [2014·湛江模拟]已知函数y＝loga(2－ax)在区间[0,1]上是关于x的减函数，则a的取值范围是()A．(0,1)B．(1,2)C．(0,2)D．(2，＋∞)【答案】B【解析】由题意可知，a＞0，故内函数y＝2－ax必是减函数，又复合函数是减函数，所以a＞1，同时在[0,1]上2－ax＞0，故2－a＞0，即a＜2，综上可知，a∈(1,2)．8.已知上的增函数，那么的取值范围是A．B．C．D．【答案】C【解析】由题设，故选C.【考点】1、分段函数；2、对数函数的性质；3、不等式组的解法.9. 2log510+log50.25=（）A．0B．1C．2D．4【答案】C【解析】∵2log510+log50.25=log5100+log50.25=log525=2故选C．10.下列区间中，函数f（x）=|lg（2﹣x）|在其上为增函数的是（）A．（﹣∞，1]B．C．D．（1，2）【答案】D【解析】∵f（x）=|lg（2﹣x）|，∴f（x）=根据复合函数的单调性我们易得在区间（﹣∞，1]上单调递减在区间（1，2）上单调递增故选D11.方程的解是．【答案】1【解析】原方程可变为，即，∴，解得或，又，∴．【考点】解对数方程．12.(1)设a>1，函数f(x)＝logax在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差是，则a＝________；(2)若a＝log0.40.3，b＝log54，c＝log20.8，用小于号“<”将a、b、c连结起来________；(3)设f(x)＝lg是奇函数，则使f(x)<0的x的取值范围是________；(4)已知函数f(x)＝|log2x|，正实数m、n满足m<n且f(m)＝f(n)，若f(x)在区间[m2，n]上的最大值为2，则m、n的值分别为________.【答案】(1)4(2)c＜b＜a(3)－1＜x＜0(4)，2【解析】解析：(1)∵a>1，∴函数f(x)＝loga x在区间[a，2a]上是增函数，∴loga2a－logaa＝，∴a＝4.(2)由于a>1，0<b<1，c<0，所以c<b<a.(3)由f(－x)＋f(x)＝0，得a＝－1，则由lg<0，得解得－1<x<0.(4)结合函数f(x)＝|log2x|的图象，易知0<m<1，n>1，且mn＝1，所以f(m2)＝|log2m2|＝2，解得m＝，所以n＝2.13.已知函数f(x)＝log4(4x＋1)＋kx(k∈R)是偶函数．(1)求k的值；(2)设g(x)＝log4，若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．【答案】（1）k＝－.（2）{－3}∪(1，＋∞)．【解析】(1)由函数f(x)是偶函数，可知f(x)＝f(－x)，∴log4(4x＋1)＋kx＝log4(4－x＋1)－kx.log4＝－2kx，即x＝－2kx对一切x∈R恒成立，∴k＝－.(2)函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，即方程log4(4x＋1)－x＝log4有且只有一个实根，化简得方程2x＋＝a·2x－a有且只有一个实根．令t＝2x>0，则方程(a－1)t2－at－1＝0有且只有一个正根．①a＝1t＝－，不合题意；②a≠1时，Δ＝0a＝或－3.若a＝t＝－2，不合题意，若a ＝－3t＝；③a≠1时，Δ>0，一个正根与一个负根，即<0a>1.综上，实数a的取值范围是{－3}∪(1，＋∞)．14.已知实数a、b满足等式a＝b，下列五个关系式：①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a＝b.其中所有不可能成立的关系式为________．(填序号)【答案】③④【解析】条件中的等式Û2a=3bÛa lg2=b lg3．若a≠0，则∈（0，1）．（1）当a ＞0时，有a ＞b ＞0，即关系式①成立，而③不可能成立； （2）当a ＜0时，则b ＜0，b ＞a ，即关系式②成立，而④不可能成立； 若a =0，则b =0，故关系式⑤可能成立．15. 已知m 、n 为正整数，a ＞0且a≠1，且log a m ＋log a＋log a＋…＋log a＝log a m ＋log a n ，求m 、n 的值．【答案】【解析】左边＝log a m ＋log a＋log a＋…＋log a＝log a＝log a (m ＋n)，∴已知等式可化为log a (m ＋n)＝log a m ＋log a n ＝log a mn. 比较真数得m ＋n ＝mn ，即(m －1)(n －1)＝1. ∵m 、n 为正整数，∴解得16. 若|log a |=log a ,|log b a|=-log b a,则a,b 满足的条件是( ) A ．a>1,b>1 B ．0<a<1,b>1 C ．a>1,0<b<1 D ．0<a<1,0<b<1【答案】B【解析】先利用|m|=m,则m≥0,|m|=-m,则m≤0,将条件进行化简,然后利用对数函数的单调性即可求出a 和b 的范围. ∵|log a |=log a ,∴log a ≥0=log a 1,根据对数函数的单调性可知0<a<1. ∵|log b a|=-log b a,∴log b a≤0=log b 1,但b≠1,所以根据对数函数的单调性可知b>1.17. 已知a>0，且a≠1，log a 3<1，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0，1) B ．(0，1)∪(3，＋∞) C ．(3，＋∞) D ．(1，2)∪(3，＋∞)【答案】B【解析】由已知得log a 3<log a a.当a>1时，3<a ，所以a>3；当0<a<1时，3>a ，因此0<a<1.综合选B.18. 已知A=｛x|,x ∈R ｝，B=｛x||x-i|<，i 为虚数单位，x>0｝,则A B=（ ） A ．（0,1） B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)【答案】C 【解析】，即。

高三数学对数与对数函数试题答案及解析1.函数的图象大致是()A． B． C． D．【答案】A【解析】因为f(－x)＝f(x)，可知函数图象关于y轴对称，且f(0)＝0，可知选A【考点】对数的性质，函数的图象2.函数f(x)＝log(2x－1)的定义域为________________.2【答案】(，＋∞)【解析】由2x－1＞0，得x＞.注意写成集合或者区间形式.考点:函数的定义域，对数函数的性质3.已知函数f（x）=，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c 的取值范围为（）A．（）B．（）C．（，12）D．（6，l2）【答案】B【解析】由,可知,,则, ,位于函数的减区间，所以将和代入，得到结果（），故选B.【考点】1.分段函数的图象；2.对勾函数求最值.4.等比数列的各项均为正数，且，则 .【答案】.【解析】由题意知，且数列的各项均为正数，所以，，.【考点】本题考查等比数列的基本性质与对数的基本运算，属于中等偏难题.5.若的最小值是A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意，且，所以又，所以，，所以，所以，当且仅当，即，时，等号成立.故选D.【考点】1、对数的运算；2、基本不等式.6. [2014·济南调研]下列区间中，函数f(x)＝|ln(2－x)|在其上为增函数的是()A．(－∞，1]B．C．D．[1,2)【答案】D【解析】当2－x≥1，即x≤1时，f(x)＝|ln(2－x)|＝ln(2－x)，此时函数f(x)在(－∞，1]上单调递减．当0＜2－x≤1，即1≤x＜2时，f(x)＝|ln(2－x)|＝－ln(2－x)，此时函数f(x)在[1,2)上单调递增．7.函数的定义域是．【答案】【解析】只需，∴，所以函数的定义域是.【考点】函数的定义域.8.若，且，则（）A．0B．C．1D．2【答案】D【解析】∵，∴，∴，∴，∴，∴.【考点】对数的运算.9.函数的值域为 .【答案】【解析】由得 ,所以函数的定义域是：设点=所以，,所以答案填：【考点】1、对数函数的性质；2、数形结合的思想.10.设且.若对恒成立,则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】时显然不成立.当时，结合图象可知：.【考点】对数函数与三角函数.11.定义两个实数间的一种运算“”：，、.对任意实数、、，给出如下结论：；②；③.其中正确的个数是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据题中的定义，对于命题，左边，右边，左边右边，命题正确；对于命题②，左边，右边左边，命题②正确；对于命题③，左边，右边，左边右边，命题③也正确.故选D.【考点】新定义12.函数，关于方程有三个不同实数解，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】函数，根据的图象，设，∵关于x的方程有有三个不同的实数解，即为有两个根，且一个在上，一个在上．设，①当有一个根为时，，，此时另一根为，符合题意．②当没有根为时，则：，解得，综上可得，m 的取值范围是．【考点】对数函数图象与性质的综合应用．13. 已知两条直线l 1：y ＝m 和l 2：y ＝，l 1与函数y ＝|log 2x|的图象从左至右相交于点A 、B ，l 2与函数y ＝|log 2x|的图象从左至右相交于点C 、D.记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为a 、b.当m 变化时，求的最小值． 【答案】8【解析】由题意得x A ＝m，x B ＝2m ，x C ＝，x D ＝，所以a ＝|x A －x C |＝，b ＝|x B －x D |＝，即＝＝·2m ＝2＋m.因为＋m ＝ (2m ＋1)＋－≥2－＝，当且仅当 (2m ＋1)＝，即m ＝时取等号．所以，的最小值为＝8.14. 计算：(lg5)2＋lg2×lg50＝________． 【答案】1【解析】原式＝(lg5)2＋lg2×(1＋lg5)＝lg5(lg2＋lg5)＋lg2＝1.15. 计算:lg -lg +lg7= .【答案】【解析】原式=lg4+lg2-lg7-lg8+lg7+ lg5=2lg2+(lg2+lg5)-2lg2=.16. 下列区间中，函数f(x)＝|ln(2－x)|在其上为增函数的是( ) A ．(－∞，1] B ．C ．D ．[1,2)【答案】D【解析】法一：当2－x>1，即x<1时，f(x)＝|ln(2－x)|＝ln(2－x)，此时函数f(x)在(－∞，1]上单调递减．当0<2－x≤1，即1≤x<2时，f(x)＝|ln(2－x)|＝－ln(2－x)，此时函数f(x)在[1,2)上单调递增，故选D.法二：f(x)＝|ln(2－x)|的图像如图所示．由图像可得，函数f(x)在区间[1,2)上为增函数，故选D.17.已知函数，则．【答案】【解析】.【考点】对数函数求值18.在各项均为正数的等比数列中，若，则．【答案】2【解析】因为，所以，所以，因为数列是等比数列，所以【考点】1.对数的运算；2.等比数列的性质。

第六讲 对数及对数函数一．对数的概念 (1)对数的定义①一般地，如果a (a >0，a ≠1)的b 次幂等于N ，即a b＝N ，那么称b 是以a 为底N 的对数，记作b ＝log a N ，其中，a 叫做对数的底数，N 叫做真数．②底数的对数是1，即log a a ＝1,1的对数是0，即log a 1＝0. (2)几种常见对数4.对数的性质与运算法则 (1)对数的性质 ①log a Na＝N (a >0且a ≠1，N >0)；②log a a N＝N (a >0且a ≠1)． (2)对数的重要公式①换底公式：log b N ＝log a Nlog a b (a ，b 均大于零且不等于1，N >0)；②log a b ＝1log b a (a ，b 均大于零且不等于1)．(3)对数的运算法则如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a M N＝log a M －log a N ； ③log a M n＝n log a M (n ∈R )； ④log m na M ＝n mlog a M .二．对数函数的定义1.形如y ＝log a x (a >0，a ≠1)的函数叫作对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． 2．对数函数的图象与性质定义域：(0，＋∞)3.反函数指数函数y ＝a x(a >0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．考向一 对数的运算【例1】（1）lg 22·lg 250＋lg 25·lg 40＝. （2）若3a=5b=225，则1a +1a= 。

（4）若log a 2=a ，log a 5=a ，则a 3a +a =( 。

【答案】（1）1 （2）12 （3）40【解析】（1）lg 22·lg 250＋lg 25·lg 40＝lg 22·⎝ ⎛⎭⎪⎫lg1 0004＋(1－lg 2)2·(2lg 2＋1) ＝lg 22·(3－2lg 2)＋(lg 22－2lg 2＋1)·(2lg 2＋1)＝1.（2）∵3a =5a =225∴a =log 3225, a =log 5225则1a +1a =log 2253+log 2255=log 22515=12 （3）∵log a 2=a ，log a 5=a ，∴a a =2，a a =5∴a 3a +a =a 3a ⋅a a =23⋅5=40【举一反三】1．已知a ＝log 32，那么log 38－2log 36用a 表示为． 【答案】 a －2【解析】 log 38－2log 36＝log 323－2(log 32＋log 33) ＝3log 32－2(log 32＋1)＝3a －2(a ＋1)＝a －2. 2．若3x ＝4y＝36，则2x ＋1y＝.【答案】 1【解析】 3x＝4y＝36，两边取以6为底的对数，得x log 63＝y log 64＝2， ∴2x ＝log 63，2y ＝log 64，即1y ＝log 62，故2x ＋1y＝log 63＋log 62＝1.3．设2a ＝5b＝m ，且1a ＋1b＝2，则m ＝.【答案】 10【解析】 由已知，得a ＝log 2m ，b ＝log 5m ，则1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2.解得m ＝10.4．计算：(1－log 63)2＋log 62·log 618log 64＝.【答案】 1【解析】 原式＝1－2log 63＋(log 63)2＋log 663·log 6(6×3)log 64＝1－2log 63＋(log 63)2＋1－(log 63)2log 64＝2(1－log 63)2log 62＝log 66－log 63log 62＝log 62log 62＝1.5.已知均不为1的正数a ，b ，c 满足a x ＝b y ＝c z，且1x ＋1y ＋1z＝0，求abc 的值．【答案】1【解析】 令a x ＝b y ＝c z＝k .由已知k >0且k ≠1，于是x lg a ＝y lg b ＝z lg c ＝lg k ，故1x ＝lg a lg k ，1y ＝lg b lg k ，1z ＝lg c lg k .因为1x ＋1y ＋1z ＝0，所以lg a ＋lg b ＋lg c lg k ＝0，即lg (abc )lg k ＝0.故lg(abc )＝0，得abc ＝1.6.设log a C ，log b C 是方程x 2－3x ＋1＝0的两根，求log a bC 的值．【答案】±55. 【解析】由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧log a C ＋log b C ＝3，log a C ·log b C ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧1log Ca ＋1log Cb ＝3，1log Ca ·log Cb ＝1，于是有⎩⎪⎨⎪⎧log C a ＋log C b ＝3，log C a ·log C b ＝1，(log C a －log C b )2＝(log C a ＋log C b )2－4log C a ·log C b ＝32－4＝5，故log C a －log C b ＝± 5.于是log a bC ＝⎝⎛⎭⎪⎫log C a b －1＝1log C a －log C b ＝±55.7.方程33x －56＝3x －1的实数解为．【答案】 x ＝log 32【解析】 原方程可化为2(3x )2＋5·3x－18＝0，即(3x－2)(2·3x＋9)＝0,3x＝2(2·3x＝－9舍去)，得x ＝log 32.考向二 对数函数的判断【例2】函数a (a )=(a 2+a −5)log a a 为对数函数，则a (18)等于( ) A ．3 B ．−3 C ．−log 36 D ．−log 38 【答案】B【解析】因为函数a (a ) 为对数函数，所以函数a (a )系数为1，即a 2+a −5=1，即a =2或−3，因为对数函数底数大于0，所以a =2，a (a )=log 2a ，所以a (18)=−3。

课时过关检测(十)对数与对数函数【原卷版】1．已知a＝log23，b＝log25，则log415＝()A．2a＋2b B．a＋bC．ab D．12a＋12b2．已知函数y＝f(x)的图象与函数y＝2x的图象关于直线y＝x对称，g(x)为奇函数，且当x＞0时，g(x)＝f(x)－x，则g(－8)＝()A．－5B．－6C．5D．63．已知函数f(x)＝ln x－1x＋1＋a sin x＋2，且f(m)＝5，则f(－m)＝()A．－5B．－3C．－1D．34．2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球土壤样品，在预定区域安全着陆．嫦娥五号是使用长征五号火箭发射成功的，在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v(单位：m/s)和燃料的质量M(单位：kg)、火箭(除燃料外)的质量m(单位：kg)的函数关系表达式为v＝212km/s，则燃料的质量与火箭的质量的关系是()A．M＝e6m B．Mm＝e6－1C．ln M＋ln m＝6D．Mm＝e6－15．若函数f(x)＝log a(x＋b)的图象如图所示，其中a，b为常数，则函数g(x)＝a x＋b的图象大致是()6．(多选)已知函数f(x)＝log2x的定义域是[4,8]，则下列函数中与f(x)值域相同的函数是()A．y＝f(x)＋1B．y＝f(x＋1)C．y＝－f(x)D．y＝|f(x)|7．(多选)关于函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(3－x)，下列结论正确的是()A．f(x)在(－1,3)上单调递增B．y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称C．y＝f(x)的图象关于点(1,0)对称D．f(x)的值域为R8．已知a>0，且a≠1，函数y＝log a(2x－3)＋2的图象恒过点P．若点P也在幂函数f(x)的图象上，则f(x)＝________．9．函数f(x)＝ln(x＋2)＋ln(4－x)的单调递减区间是________．10．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)＝log a(x＋1)(a>0，且a≠1)．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若－1<f(1)<1，求实数a的取值范围．11．已知函数f(x)＝|log2x|，当0<m<n时，f(m)＝f(n)，若f(x)在[m2，n]上的最大值为2，则nm＝()A．2B．52C．3D．412．(多选)函数f(x)＝log a|x－1|在(0,1)上是减函数，那么()A．f(x)在(1，＋∞)上递增且无最大值B．f(x)在(1，＋∞)上递减且无最小值C．f(x)的图象关于直线x＝1对称D．∃a＝2020，满足f(x)在(0,1)上是减函数13．已知函数f(x)满足：①定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)；②值域为R；③f(－x)＝f(x)．写出一个满足上述条件的函数f(x)＝________．14.已知函数f(x)＝log a(3－ax)(a>0，且a≠1)．(1)当x∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上单调递减，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．15．设实数a，b是关于x的方程|lg x|＝c的两个不同实数根，且a<b<10，则abc的取值范围是________．16．函数f(x)的定义域为D，若满足①f(x)在D内是单调函数；②存在[a，b]⊆D使f(x)在[a ，b ]上的值域为a 2，b 2，那么就称y ＝f (x )为“半保值函数”，若函数f (x )＝log a (a x ＋t 2)(a ＞0，且a ≠1)是“半保值函数”，求t 的取值范围．课时过关检测(十)对数与对数函数【解析版】1．已知a ＝log 23，b ＝log 25，则log 415＝()A ．2a ＋2bB ．a ＋bC ．abD ．12a ＋12b解析：Dlog 415＝12log 215＝12(log 23＋log 25)＝12a ＋12b ，故选D ．2．已知函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝2x 的图象关于直线y ＝x 对称，g (x )为奇函数，且当x ＞0时，g (x )＝f (x )－x ，则g (－8)＝()A ．－5B ．－6C ．5D ．6解析：C由已知，函数y ＝f (x )与函数y ＝2x 互为反函数，则f (x )＝log 2x ．由题设，当x＞0时，g (x )＝log 2x －x ，则g (8)＝log 28－8＝3－8＝－5．因为g (x )为奇函数，所以g (－8)＝－g (8)＝5，故选C ．3．已知函数f (x )＝ln x －1x ＋1＋a sin x ＋2，且f (m )＝5，则f (－m )＝()A ．－5B ．－3C ．－1D ．3解析：C 根据题意，函数f (x )＝ln x －1x ＋1＋a sin x ＋2，则f (－x )＝ln －x －1－x ＋1＋a sin(－x )＋2＝－lnx －1x ＋1－a sin x ＋2，则有f (x )＋f (－x )＝4，故f (m )＋f (－m )＝4，若f (m )＝5，则f (－m )＝－1，故选C ．4．2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球土壤样品，在预定区域安全着陆．嫦娥五号是使用长征五号火箭发射成功的，在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v (单位：m/s)和燃料的质量M (单位：kg)、火箭(除燃料外)的质量m (单位：kg)的函数关系表达式为v ＝212km/s ，则燃料的质量与火箭的质量的关系是()A ．M ＝e 6mB ．Mm ＝e 6－1C ．ln M ＋ln m ＝6D ．Mm ＝e 6－1解析：D 依题意可知v ＝212000，可得6，即1＋Mm＝e 6，可得M m ＝e 6－1．如果火箭的最大速度达到12km/s ，则燃料的质量与火箭的质量的关系是M m ＝e 6－1．故选D ．5．若函数f (x )＝log a (x ＋b )的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则函数g (x )＝a x ＋b 的图象大致是()解析：D 由f (x )的图象可知0<a <1,0<b <1，∴g (x )的图象应为D ．6．(多选)已知函数f (x )＝log 2x 的定义域是[4,8]，则下列函数中与f (x )值域相同的函数是()A ．y ＝f (x )＋1B ．y ＝f (x ＋1)C ．y ＝－f (x )D ．y ＝|f (x )|解析：BD 函数f (x )＝log 2x 在[4,8]单调递增，f (4)＝log 24＝2，f (8)＝log 28＝3，所以f (x )值域为[2,3]．对于选项A ：y ＝f (x )＋1值域为[3,4]，故选项A 不正确；对于选项B ：因为f (x )＝log 2x 的定义域是[4,8]，所以4≤x ＋1≤8，可得3≤x ≤7，f (x ＋1)＝log 2(x ＋1)∈[2,3]，所以y ＝f (x ＋1)值域为[2,3]，故选项B 正确；对于选项C ：y ＝－f (x )值域为[－3，－2]，故选项C 不正确；对于选项D ：y ＝|f (x )|的值域为[2,3]，故选项D 正确．故选B 、D ．7．(多选)关于函数f (x )＝ln(1＋x )－ln(3－x )，下列结论正确的是()A ．f (x )在(－1,3)上单调递增B ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称C ．y ＝f (x )的图象关于点(1,0)对称D ．f (x )的值域为R 解析：ACD函数f (x )的定义域是(－1,3)，f (x )＝lnx ＋13－x ．令t (x )＝x ＋13－x ＝－4x －3－1(x ≠3)，易知t (x )在(－1,3)上单调递增，所以t (x )>t (－1)＝0，所以f (x )＝ln t (x )在(－1,3)上单调递增，且值域为R ．故A 、D 正确．当x ∈(－2,2)时，1＋x ∈(－1,3)，1－x ∈(－1,3)，f (1＋x )＝ln 2＋x2－x，f (1－x )＝ln2－x2＋x，所以f (1＋x )＝－f (1－x )，f (1＋x )≠f (1－x )．所以y ＝f (x )的图象关于点(1,0)对称．故B 错误，C 正确．故选A 、C 、D ．8．已知a >0，且a ≠1，函数y ＝log a (2x －3)＋2的图象恒过点P ．若点P 也在幂函数f (x )的图象上，则f (x )＝________．解析：设幂函数为f (x )＝x α，因为函数y ＝log a (2x －3)＋2的图象恒过点P (2，2)，则2α＝2，所以α＝12，故幂函数为f (x )＝x 12．答案：x129．函数f (x )＝ln(x ＋2)＋ln(4－x )的单调递减区间是________．解析：＋2>0，－x >0，得－2<x <4，因此函数f (x )的定义域为(－2,4)．f (x )＝ln(x ＋2)＋ln(4－x )＝ln(－x 2＋2x ＋8)＝ln [－(x －1)2＋9]，设u ＝－(x －1)2＋9，又y ＝ln u 是增函数，u ＝－(x －1)2＋9在(1,4)上是减函数，因此f (x )的单调递减区间为(1,4)．答案：(1,4)10．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝log a (x ＋1)(a >0，且a ≠1)．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若－1<f (1)<1，求实数a 的取值范围．解：(1)当x <0时，－x >0，由题意知f (－x )＝log a (－x ＋1)，又f (x )是定义在R 上的偶函数，∴f (－x )＝f (x )．∴当x <0时，f (x )＝log a (－x ＋1)，∴函数f (x )的解析式为f (x )a (x ＋1)，x ≥0，a (－x ＋1)，x <0(a >0，且a ≠1)．(2)∵－1<f (1)<1，∴－1<log a 2<1，∴log a 1a<log a 2<log a a ．①当a >1，，解得a >2；②当0<a <1，，解得0<a <12．综上，实数a (2，＋∞)．11．已知函数f (x )＝|log 2x |，当0<m <n 时，f (m )＝f (n )，若f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，则n m＝()A ．2B ．52C ．3D ．4解析：D如图所示，根据函数f (x )＝|log 2x |的图象，得0<m <1<n ，所以0<m 2<m <1．结合函数图象，易知当x ＝m 2时f (x )在[m 2，n ]上取得最大值，所以f (m 2)＝|log 2m 2|＝2，又0<m <1，所以m ＝12，再结合f (m )＝f (n )，可得n ＝2，所以nm＝4．故选D ．12．(多选)函数f (x )＝log a |x －1|在(0,1)上是减函数，那么()A ．f (x )在(1，＋∞)上递增且无最大值B ．f (x )在(1，＋∞)上递减且无最小值C ．f (x )的图象关于直线x ＝1对称D ．∃a ＝2020，满足f (x )在(0,1)上是减函数解析：ACD由题意，函数f (x )＝log a |x －1|在(0,1)上是减函数，即f (x )＝log a (1－x )在(0,1)上是减函数，因为y ＝1－x 是减函数，根据复合函数的单调性的判定方法，可得a >1，当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＝log a |x －1|＝log a (x －1)，因为y ＝x －1是增函数，根据复合函数的单调性的判定方法，可得函数f (x )在(1，＋∞)上单调递增，且无最大值，所以A 正确，B 错误；又由f (2－x )＝log a |2－x －1|＝log a |x －1|＝f (x )，所以f (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以C 正确；由a >1可知，当a ＝2020时，函数f (x )在(0,1)上是减函数，所以D 正确．故选A 、C 、D ．13．已知函数f (x )满足：①定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)；②值域为R ；③f (－x )＝f (x )．写出一个满足上述条件的函数f (x )＝________．解析：f (x )＝ln|x |的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域为R ，且f (－x )＝ln|－x |＝ln|x |＝f (x )，因此f (x )＝ln|x |符合题意．答案：ln|x |(答案不唯一)15.已知函数f (x )＝log a (3－ax )(a >0，且a ≠1)．(1)当x ∈[0,2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上单调递减，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．解：(1)∵a >0且a ≠1，设t (x )＝3－ax ，则t (x )＝3－ax 为减函数，当x ∈[0,2]时，t (x )的最小值为3－2a ，∵当x ∈[0,2]时，f (x )恒有意义，即x ∈[0,2]时，3－ax >0恒成立．∴3－2a >0，∴a <32．又a >0且a ≠1，∴0<a <1或1<a <32，∴实数a 的取值范围为(0,1)(2)由(1)知函数t (x )＝3－ax 为减函数．∵f (x )在区间[1,2]上单调递减，∴y ＝log a t 在区间[1,2]上单调递增，∴a >1，当x ∈[1,2]时，t (x )的最小值为3－2a ，f (x )的最大值为f (1)＝log a (3－a )，∴－2a >0，a (3－a )＝1，<32，＝32.故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上单调递减，并且最大值为1．15．设实数a ，b 是关于x 的方程|lg x |＝c 的两个不同实数根，且a <b <10，则abc 的取值范围是________．解析：由题意知，在(0,10)上，函数y ＝|lg x |的图象和直线y ＝c 有两个不同交点(如图)，∴－lg a ＝lg b ．即ab ＝1,0<c <lg 10＝1，∴abc 的取值范围是(0,1)．答案：(0,1)16．函数f (x )的定义域为D ，若满足①f (x )在D 内是单调函数；②存在[a ，b ]⊆D 使f (x )在[a ，b ]上的值域为a 2，b 2，那么就称y ＝f (x )为“半保值函数”，若函数f (x )＝log a (a x ＋t 2)(a ＞0，且a ≠1)是“半保值函数”，求t 的取值范围．解：∵函数f (x )＝log a (a x ＋t 2)(a ＞0，且a ≠1)是“半保值函数”，且定义域为R ，当a ＞1时，z ＝a x ＋t 2在R 上单调递增，y ＝log a z 在(0，＋∞)上单调递增，可得f (x )为R 上的增函数；当0＜a ＜1时，f (x )仍为R 上的增函数，∴f (x )在定义域R 上为增函数，∴方程log a (a x ＋t 2)＝12x 有两个不同的根，∴a x ＋t 2＝a 12x ，即a x －a 12x ＋t 2＝0，令u ＝a 12x ，u ＞0，即u 2－u ＋t 2＝0有两个不同的正数根，可得1－4t 2＞0，且t 2＞0，1 2，解得t－。

高三数学对数与对数函数试题答案及解析1.函数f(x)＝log2(2x－1)的定义域为________________.【答案】(，＋∞)【解析】由2x－1＞0，得x＞.注意写成集合或者区间形式.考点:函数的定义域，对数函数的性质2.函数（且）的定义域是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】要使式子有意义，则，解得，故选A.考点: 对数函数定义域；指数函数图像与性质3.设a>0且a≠1，函数f(x)＝a lg(x2－2x＋3)有最大值，则不等式loga(x2－5x＋7)>0的解集为________．【答案】(2,3)【解析】∵函数y＝lg(x2－2x＋3)有最小值，f(x)＝a lg(x2－2x＋3)有最大值，∴0<a<1.∴由loga(x2－5x＋7)>0，得0<x2－5x＋7<1，解得2<x<3.∴不等式loga(x2－5x＋7)>0的解集为(2,3)．4.函数y＝的定义域为________．【答案】(－2,8]【解析】由题意可知，1－lg(x＋2)≥0，整理得lg(x＋2)≤lg 10，则，解得－2<x≤8，故函数y＝的定义域为(－2,8]．5.设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则a，b，c的大小关系为________．【答案】a＞b＞c【解析】a＝log36＝1＋log32，b＝log510＝1＋log52，c＝log714＝1＋log72，则只要比较log32，log52，log72的大小即可，在同一坐标系中作出函数y＝log3x，y＝log5x，y＝log7x的图像，由三个图像的相对位置关系，可知a＞b＞c.6.已知上的增函数，那么的取值范围是A．B．C．D．【答案】C【解析】由题设，故选C.【考点】1、分段函数；2、对数函数的性质；3、不等式组的解法.7.定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝，则f(2 013)＝________.【解析】当x＞0时，∵f(x)＝f(x－1)－f(x－2)，∴f(x＋1)＝f(x)－f(x－1)，∴f(x＋1)＝－f(x－2)，即f(x＋3)＝－f(x)，∴f(x＋6)＝f(x)，即当x＞0时，函数f(x)的周期是6.又∵f(2 013)＝f(335×6＋3)＝f(3)，2＝1，f(0)＝0，由已知得f(－1)＝log2f(1)＝f(0)－f(－1)＝0－1＝－1，f(2)＝f(1)－f(0)＝－1－0＝－1，f(3)＝f(2)－f(1)＝－1－(－1)＝0，∴f(2 013)＝0.8.函数f（x）=㏑x的图象与函数g（x）=x2﹣4x+4的图象的交点个数为（）A．0B．1C．2D．3【答案】C【解析】在同一个坐标系中，画出函数f（x）=㏑x 与函数g（x）=x2﹣4x+4=（x﹣2）2的图象，如图所示：故函数f（x）=㏑x的图象与函数g（x）=x2﹣4x+4的图象的交点个数为2，故选C．9.不等式的解集为( )A．B．C．D．【答案】【解析】要使原式有意义需满足：，解得原式可化为函数在是单调递增函数不等式的解集为故选【考点】对数不等式的解法；对数函数的单调性.10.设且.若对恒成立,则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】时显然不成立.当时，结合图象可知：.【考点】对数函数与三角函数.11.（1）设loga＜1，则实数a的取值范围是________；（2）已知函数f(x)＝lg(x2＋t)的值域为R，则实数t的取值范围是________；（3）若函数f(x)＝loga|x＋1|在(－1，0)上有f(x)>0，则函数f(x)的单调减区间是________；（4）若函数f(x)＝(x2－2ax＋3)在(－∞，1]内为增函数，则实数a的取值范围是________．【答案】(1)0＜a＜或a＞1(2)a≤0(3)(－1，＋∞)(4)[1，2)【解析】(1)分a＞1与a＜1两种情形进行讨论．(2)值域为R等价于x2＋a可以取一切正实数．(3)函数f(x)的图象是由y＝loga|x|的图象向左平移1个单位得到，∴0<a<1.(4)令g(x)＝x2－2ax＋3，则解得1≤a<2.12.已知函数，，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围为 .【答案】或【解析】对任意的，都有成立，即.观察的图象可知，当时，函数；因为，所以所以，，解得或，故答案为或．【考点】分段函数，对数函数、二次函数的性质.13.实数a=0.,b=log30.3,c=的大小关系正确的是()A．a<c<b B．a<b<cC．b<a<c D．b<c<a【答案】C【解析】∵函数y=在(0,+∞)上是增函数,∴0<0.<,即c>a>0,而b=log30.3<0,∴c>a>b,即b<a<c.14.已知函数f(x)=log(3-ax).a(1)当x∈[0,2]时,函数f(x)恒有意义,求实数a的取值范围.(2)是否存在这样的实数a,使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为1?如果存在,试求出a的值;如果不存在,请说明理由.【答案】(1) (0,1)∪(1,) (2) 不存在，理由见解析【解析】(1)由题设,3-ax>0对一切x∈[0,2]恒成立,设g(x)=3-ax,∵a>0,且a≠1,∴g(x)=3-ax在[0,2]上为减函数.从而g(2)=3-2a>0,∴a<.∴a的取值范围为(0,1)∪(1,).(2)假设存在这样的实数a,由题设知f(1)=1,(3-a)=1,∴a=.即loga此时f(x)=lo(3-x),当x=2时,f(x)没有意义,故这样的实数a不存在.15.若函数f(x)=,则函数f(x)的定义域是()A．(1,+∞)B．(0,1)∪(1,+∞)C．(-∞,-1)∪(-1,0)D．(-∞,0)∪(0,1)【答案】D【解析】由lg(1-x)≠0得∴x<1且x≠0,∴函数f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,1).16.已知函数，则的值是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为函数，所以，，所以=，选A.【考点】分段函数，对数运算，指数运算.17.设函数，则方程的根有（）A．1个B． 2个C．3个D．无数个【答案】C【解析】由题意在同一个坐标系中作出函数和的图象（如图），可知两函数的图形仅有A、B、C三个公共点，故方程有3个根，选C.【考点】函数的零点，对数函数的图象和性质.18.已知函数．（Ⅰ）当时，求函数的定义域；（2）若关于的不等式的解集是，求的取值范围．【答案】（Ⅰ）函数的定义域为；（Ⅱ）的取值范围是．【解析】（Ⅰ）当时，求函数的定义域，求函数定义域首先考虑，分母不等于零，偶次方根被开方数大于等于零，对数的真数大于零，此题将代入后，考虑对数的真数大于零，即，这是一个解绝对值不等式，可分类讨论来解，也可数形结合，从而解出不等式，得函数的定义域；（Ⅱ）若关于的不等式的解集是，求的取值范围，这是一个恒成立问题，首先利用对数函数的单调性，去掉对数符号，转化为代数不等式，然后把不等式化为含的放到不等式一边，不含的放到不等式另一边，转化为求最大值与最小值问题，本题整理得，只需求出的最小值即可．试题解析：（Ⅰ）由题设知：，不等式的解集是以下不等式组解集的并集：，或，或解得函数的定义域为；（Ⅱ）不等式即，时，恒有，不等式解集是R，的取值范围是【考点】函数的定义域，绝对值不等式的解法．19.若函数的图像上存在点，满足约束条件，则实数的最大值为（）A．B．C．D．【解析】依题意，直线与对数函数的图象交于，如图，要实数取得最大值，必须直线经过点，即在直线的位置，所以实数取得最大值为1.选B.【考点】对数函数的性质，线性规划，函数的最值.20.已知，则的大小关系为____________.【答案】【解析】因为，，由，所以，.【考点】对数的性质及其运算21.先后抛掷两枚均匀的正方体骰子，记骰子落地后朝上的点数分别为、，则的概率为【答案】【解析】根据题意，可得的情况有6种，的情况也有6种，则骰子朝上的点数分别为、的情况数目有6×6=36种，若，则=2，其情况有1、2，2、4，3、6，共3种，则满足的概率是，故答案为.【考点】古典概型、对数的性质.22.已知函数满足：，则；当时，则( ) A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以.又，所以，即.故选D.【考点】1.分段函数求值；2.对数值比较大小.23.如果函数图像上任意一点的坐标都满足方程，那么正确的选项是（）A．是区间上的减函数，且B．是区间上的增函数，且C．是区间上的减函数，且D．是区间上的增函数，且【解析】由题意知，，由基本不等式知，解得；由得，因，所以是区间上的减函数，且.【考点】1.函数的单调性；2.基本不等式求最值；3.对数运算.24.若函数，满足对任意实数、，当时，，则实数的取值范围为 .【答案】【解析】根据满足对任意实数、，当时，可知函数在区间上单调递增，于是.【考点】函数的定义域、函数的单调性.25.函数的单调递减区间是 .【答案】【解析】因为，，所以，或.∵抛物线开口向上，对称轴方程为，∴根据复合函数的单调性的性质，知函数的单调递减区间是.故答案为.【考点】二次函数、对数函数的单调性，复合函数的单调性.26.设，，则 ( )A．B．C．D．【答案】D．【解析】是上的增函数，又．【考点】对数值大小的比较．27.下列命题：①函数的单调区间是 .②函数有2个零点.③已知函数的图像为曲线C，若曲线C存在与直线垂直的切线，则实数m 的取值范围是.④若函数对任意的都有则实数的取值范围是（-].其中正确命题的序号为_________.【答案】②③【解析】函数的单调区间是或，所以①错；，设切点为（a，b），则切线的斜率k= ，所以，所以③正确；=，由函数f（x）的图象可知，其图像与x轴由2个交点，所以函数f（x）有2个零点，所以②正确；因为对任意的都有所以f（x）是减函数，则当x<1时，f(x)=(3a-1)x+4a是减函数，则3a-1<0,,解得a<；当x≥1时，f（x）=减函数，则0<a<1；又因为x<1时，f(x)=(3a-1)x+4a<3a-1+4a=7a-1，x=1时，f(x)= =0而f（x）是减函数，所以7a-1>0，解得a>，综上可知<a<,所以④错误.【考点】1.分段函数；2.对数函数和一次函数的性质.28.已知，且，，则实数的取值范围是( )A．B．C．D．【答案】B【解析】当时，，符合题意；当时，，.故选B.29.已知函数且则的值为（）A．B．C．D．．【答案】C【解析】由，即，所以.【考点】对数的运算.30.函数y=ln(1-x)的定义域为（）A．(0,1)B．[0,1)C．(0,1]D．[0,1)【答案】D【解析】为使函数有意义，须，解得，所以，函数定义域为[0,1)，选D。

§对数与对数函数最新考纲考情考向剖析1.理解对数的观点及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转变成自然对数或常用对数；认识对数在简化运算中的作用．2.理解对数函数的观点及其单一性，以比较对数函数值大小的形式考察函掌握对数数的单一性；以复合函数的形式考察对函数图象经过的特别点，会画底数为2,3,10，数函数的图象与性质，题型一般为选1，1的对数函数的图象．择、填空题，中低档难度.233.领会对数函数是一类重要的函数模型．4.认识指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)互为反函数.1．对数的观点一般地，假如a x＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，此中__a__叫做对数的底数，__N__叫做真数．2．对数的性质与运算法例(1)对数的运算法例假如a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：log a(MN)＝log a M＋log a N；M②log a N ＝log a M－log a N；log a M n＝nlog a M(n∈R)．(2)对数的性质a log a N＝__N__；②log a a N＝__N__(a>0，且a≠1)．(3)对数的换底公式log c blog a b＝log c a(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)．3．对数函数的图象与性质y ＝log a xa>10<a<1图象定义域(1)(0，＋∞)值域(2)R(3)过定点(1,0)，即x ＝1时，y ＝0(4)当x>1时，y>0；当0<x<1时，(5)当x>1时，y<0；当0<x<1时，性质y<0y>0(6)在(0，＋∞)上是增函数(7)在(0，＋∞)上是减函数4.反函数指数函数y ＝a x (a>0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x(a>0且a ≠1)互为反函数，它们的图象对于直线y ＝x 对称．知识拓展1．换底公式的两个重要结论1(1)log a b ＝ ；log a m bn ＝n log a b.m此中a>0且a ≠1，b>0且b ≠1，m ，n ∈R .2．对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y ＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0<c<d<1<a<b.由此我们可获得以下规律：在第一象限内从左到右底数渐渐增大．题组一 思虑辨析1．判断以下结论能否正确(请在括号中打“√”或“×” )(1)若MN>0，则log a (MN)＝log a M ＋log a N.(× )(2)对数函数 y ＝log a x(a>0且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( × )1＋x与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域同样．(√)(3)函数y＝ln1－x1，－1，函数图象只在第(4)对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)的图象过定点(1,0)且过点(a,1)，a一、四象限．(√)题组二教材改编2．[P68T4]log29·log34·log45·log52＝________.答案21113．[P82A组T6]已知a＝23，b＝log23，c＝log213，则a，b，c的大小关系为________．答案c>a>b分析∵0<a<1，b<0，c＝log 1213＝log23>1.c>a>b.4．[P74A组T7]函数y＝log2(2x1)的定义域是______．3答案1，1 2分析由log2(2x1)≥0，得0<2x－1≤1.31<x≤1.∴2∴函数y＝log2(2x1)的定义域是1，1.32题组三易错自纠5．已知b>0，log5b＝a，lgb＝c,5d＝10，则以下等式必定建立的是()A．d＝acB．a＝cdC．c＝adD．d＝a＋c答案B6．已知函数y＝log a(x＋c)(a，c为常数，此中a>0，a≠1)的图象如图，则以下结论建立的是()A．a>1，c>1B．a>1,0<c<1C ．0<a<1，c>1D ．0<a<1,0<c<1答案D分析 由该函数的图象经过第一、二、四象限知该函数为减函数，∴0<a<1，∵图象与x 轴的交点在区间 (0,1)之间，∴该函数的图象是由函数 y ＝log a x 的图象向左平移不到 1个单位后获得的，∴0<c<1.37．若log a 4<1(a>0且a ≠1)，则实数 a 的取值范围是 ______________．3∪(1，＋∞)答案 0，4分析当0<a<1时，log a 3<log a a ＝1，∴0<a< 3；4 43当a>1时，log a 4<log a a ＝1，∴a>1.3∴实数a 的取值范围是0，4∪(1，＋∞).题型一 对数的运算1．设2a＝5b＝m ，且1＋1＝2，则m 等于()abA.10B ．10C ．20D ．100答案 A分析 由已知，得 a ＝log 2m ，b ＝log 5m ，1 1 1 1则a ＋b ＝log 2m ＋log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2.解得m ＝ 10.1－lg251÷2＝________. 2．计算：lg 4100答案 －2011分析 原式＝(lg2－2－lg52)×1002 ＝lg 22×52×10＝ lg10－2×10＝－2×10＝－20.3．计算： 1－log 632＋log62·log 618＝________.log 64答案 1分析 原式2 61－2log 63＋log 63 ＋log 63·log 66×3＝log 641－2log 63＋log 632＋1－log 632＝log 64 21－log63＝log 66－log 63＝log 62＝1. 2log 62log 62log 62思想升华 对数运算的一般思路(1)拆：第一利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式， 使幂的底数最简，而后利用对数运算性质化简归并．(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，而后逆用对数的运算性质，转变成同底对数真数的积、商、幂的运算．题型二 对数函数的图象及应用典例 (1)若函数y ＝log a x(a>0且a ≠1)的图象以下图，则以下函数图象正确的选项是()答案 B分析 由题意y ＝log a x(a>0且a ≠1)的图象过(3,1)点，可解得a ＝3.选项A 中，y ＝3－x＝1 x ，3明显图象错误；选项B 中，y ＝x 3，由幂函数图象性质可知正确； 选项C 中，y ＝(－x)3＝－x 3，明显与所绘图象不符；选项D 中，y ＝log 3(－x)的图象与 y ＝log 3x 的图象对于 y 轴对称，明显不符，应选B.(2)当0<x≤1时，4x<log a x，则a的取值范围是() 222 A.0，2 B.2，1 C．(1，2)D．(2，2)答案B分析由题意得，当0<a<1时，要使得4x<log a x0<x≤1，即当0<x≤1时，函数y＝4x的图221时，1＝2，即函数y＝4x的图象过点1，2.把点象在函数y＝log a x图象的下方．又当x＝42221代入y＝log a x，得a＝2y＝4x的图象在函数y＝log a x图象的下方，则需2，22.若函数22<a<1(以下图)．当a>1时，不切合题意，舍去．所以实数a的取值范围是2. 2，1引申研究若本例(2)变成方程4x＝log a x在0，1上有解，则实数a的取值范围为__________．2答案20，2分析若方程4x＝log a在0，1上有解，则函数y＝4x和函数y＝log a x在0，1上有交点，x220<a<1，21解得0<a≤由图象知2.log a≤2，2思想升华(1)对一些可经过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单一性(单一区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形联合思想求解．(2)一些对数型方程、不等式问题常转变成相应的函数图象问题，利用数形联合法求解．追踪训练(1)函数y＝2log4(1－x)的图象大概是()C答案分析函数y＝2log4(1－x)的定义域为(－∞，1)，清除A，B；又函数y＝2log4(1－x)在定义域内单一递减，清除 D.应选C.log2x，x>0，且对于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一(2)(2017衡·水调研)已知函数f(x)＝3x，x≤0，个实根，则实数a的取值范围是________．答案(1，＋∞)分析如图，在同一坐标系中分别作出y＝f(x)与y＝－x＋a的图象，此中a表示直线在y轴上的截距．由图可知，当a>1时，直线y＝－x＋a与y＝log2x只有一个交点．题型三对数函数的性质及应用命题点1对数函数的单一性典例(1)(2018届河南信阳高中大考)设a＝log412，b＝log515，c＝log618，则()A．a>b>c B．b>c>aC．a>c>b D．c>b>a答案A分析a＝1＋log43，b＝1＋log53，c＝1＋log63，log43>log53>log63，∴a>b>c.(2)(2017江·西九江七校联考)若函数f(x)＝log2(x2－ax－3a)在区间(－∞，－2]上是减函数，则实数a的取值范围是()A．(－∞，4)B．(－4,4]C．(－∞，－4)∪[－2，＋∞)D．[－4,4)答案D分析由题意得x2－ax－3a>0在区间(－∞，－2]上恒建立且函数y＝x2－ax－3a在(－∞，－2]上单一递减，则a≥－2且(－2)2－(－2)a－3a>0，解得实数a的取值范围是[－4,4)，2应选D.命题点2和对数函数相关的复合函数典例已知函数f(x)＝log a(3－ax)(a>0且a≠1)．(1)当x∈[0,2]时，函数f(x)恒存心义，务实数a的取值范围；(2)能否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，而且最大值为1？假如存在，试求出a的值；假如不存在，请说明原因．解(1)∵a>0且a≠1，设t(x)＝3－ax，则t(x)＝3－ax为减函数，x∈[0,2]时，t(x)的最小值为3－2a，当x∈[0,2]时，f(x)恒存心义，即x∈[0,2]时，3－ax>0恒建立．3∴3－2a>0.∴a<2.3又a>0且a≠1，∴a的取值范围为(0,1)∪1，2.(2)假定存在这样的实数 a.t(x)＝3－ax，∵a>0，∴函数t(x)为减函数．∵f(x)在区间[1,2]上为减函数，∴y＝log a t为增函数，∴a>1，x∈[1,2]时，t(x)的最小值为3－2a，f(x)的最大值为f(1)＝log a(3－a)，33－2a>0，a<2，∴即log a3－a＝1，3a＝2.故不存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，而且最大值为1.思想升华(1)利用对数函数单一性时要注意真数一定为正，明确底数对单一性的影响．(2)解决与对数函数相关的复合函数问题，第一要确立函数的定义域，依据“同增异减”原则判断函数的单一性，利用函数的最值解决恒建立问题．追踪训练(1)设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则()A．a>c>b B．b>c>aC．c>b>a D．c>a>b答案D分析a＝log32<log33＝1，b＝log52<log55＝1.12又c＝log23>log22＝1，所以c最大．3 1由1<log23<log25，得log23>log25，即a>b，所以c>a>b.(2)已知函数f(x)＝log a(8－ax)(a>0，且a≠1)，若f(x)>1在区间[1,2]上恒建立，则实数a的取值范围是__________．答案81，3分析当a>1时，f(x)＝log a(8－ax)在[1,2]上是减函数，由f(x)>1在区间[1,2]上恒建立，则f(x)min＝log a(8－2a)>1，且8－2a>0，8解得1<a<3.当0<a<1时，f(x)在[1,2]上是增函数，由f(x)>1在区间[1,2]上恒建立，则f(x)min＝log a(8－a)>1，且8－2a>0.∴a>4，且a<4，故不存在．8综上可知，实数a的取值范围是1，3.比较指数式、对数式的大小考点剖析比较大小问题是每年高考的必考内容之一．(1)比较指数式和对数式的大小，能够利用函数的单一性，引入中间量；有时也可用数形联合的方法．(2)解题时要依据实质状况来结构相应的函数，利用函数单一性进行比较，假如指数同样，而底数不一样则结构幂函数，若底数同样而指数不一样则结构指数函数，若引入中间量，一般选0或1.典例(1)设a＝log3π，b＝log23，c＝log32，则()A．a>b>c B．a>c>bC．b>a>c D．b>c>a答案A1分析由于a＝logπ>logb2log23＝(log23)23<log22＝1，所以a>b，又c＝1>1，333＝1，b＝log22log32 c>0，所以b>c，故a>b>c.(2)(2017新·乡二模)设a＝6，b＝log，c＝log8，则a，b，c的大小关系是()A．a<b<c B．c<b<aC．c<a<b D．b<c<a答案B分析∵a＝6>1，b＝log∈(0,1)，c＝log80.4<0，∴a>b>c.应选B.(3)若实数a，b，c知足log a2<log b2<log c2，则以下关系中不行能建立的是()A．a<b<c B．b<a<cC．c<b<a D．a<c<b答案A分析由log a2<log b2<log c2的大小关系，可知a，b，c有以下四种可能：①1<c<b<a；0<a<1<c<b；③0<b<a<1<c；④0<c<b<a<1.比较选项可知A中关系不行能建立．(4)(2017石·家庄一模)已知函数y＝f(x＋2)的图象对于直线x＝－2对称，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝|log2x|，若a＝f(－3)，b＝f 1，c＝f(2)，则a，b，c的大小关系是() 4A．a>b>c B．b>a>c C．c>a>b D．a>c>b 答案B分析易知y＝f(x)是偶函数．当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝f 1＝|log2x|，且当x∈[1，＋∞)时，x1f(x)＝log2x单一递加，又a＝f(－3)＝f(3)，b＝f4＝f(4)，所以b>a>c.1．设a＝log37，b＝2，c＝，则()A．b<a<cB．c<a<b C．c<b<aD．a<c<b 答案B分析∵a＝log37，∴1<a<2.∵b＝2，∴b>2.c＝，∴0<c<1.即c<a<b，应选B.2．(2017·义模拟孝)函数y＝lnsinx(0<x<π)的大概图象是()答案C分析由于0<x<π，所以0<sinx≤1，所以lnsinx≤0，应选C.3．已知函数log2x，x>0，则f(f(1))＋flog31的值是()－f(x)＝3x＋1，x≤0，2A．5B．37 C．－1 D.2答案A分析由题意可知f(1)＝log21＝0，f(f(1))＝f(0)＝30＋1＝2，1－1log32＋1＝3log32＋1＝2＋1＝3，flog3＝321所以f(f(1))＋flog32＝5.4．(2017北·京)依据相关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观察宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则以下各数中与M最靠近的是()(参照数据：lg3≈0.48) NA．1033B．1053C．107393D．10答案D由题意，lg M336136180分析N＝lg1080＝lg3－lg10361lg3－80lg10≈361×－80×1＝93.28.又lg1033＝33，lg1053＝53，lg1073＝73，lg1093＝93，故与MN最靠近的是1093.应选D.exe 2e2012e 5．(2017江·西红色七校二模 )已知函数f(x)＝ln e －x ，若f2013 ＋f2013＋＋f2013 ＝503(a ＋b)，则a 2＋b 2的最小值为( ) A ．6 B ．8 C ．9 D ．12答案 B分析 ∵f(x)＋f(e －x)＝2，e2e 2012e∴f 2013＋f2013＋＋f 2013 ＝2012，∴503(a ＋b)＝2012，∴a ＋b ＝4.∴a 2＋b 2≥a ＋b 2＝8，2当且仅当 a ＝b ＝2时取等号．6．若函数23 1，＋∞内恒有f(x)>0，则f(x)的单一递加f(x)＝log a x＋x(a>0，a ≠1)在区间 22区间为( )A ．(0，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(1，＋∞)1，＋∞D.2答案 A231分析 令M ＝x ＋2x ，当x ∈ 2，＋∞时，M ∈(1，＋∞)，f(x)>0，所以a>1，所以函数y ＝log a M 为增函数，又M ＝x ＋32－ 9，416所以M 的单一递加区间为－3，＋∞.4233又x ＋ 2x>0，所以x>0或x<－2，所以函数 f(x)的单一递加区间为 (0，＋∞)．7．函数f(x)＝log 5(2x ＋1)的单一递加区间是__________．1答案 －，＋∞1分析 函数f(x)的定义域为－2，＋∞，令t ＝2x ＋1(t>0)．由于y ＝log 5t 在(0，＋∞)上为增函数，t ＝2x ＋1在－1，＋∞上为增函数，2所以函数y ＝log 5－1，＋∞.(2x ＋1)的单一递加区间是221－x ，x ≤1，8．设函数f(x)＝则知足f(x)≤2的x 的取值范围是__________．1－log 2x ，x>1，答案 [0，＋∞)分析 当x ≤1时，由21－x ≤2，解得x ≥0，所以0≤x ≤1；1当x>1时，1－log 2x ≤2，解得x ≥2，所以x>1.综上可知 x ≥0.9．(2017·昌模拟南)设实数a ，b 是对于x 的方程|lgx|＝c 的两个不一样实数根，且a<b<10，则abc 的取值范围是________．答案(0,1)分析由题意知，在(0,10)上，函数y ＝|lgx|的图象和直线y ＝c有两个不一样交点，∴ab ＝1,0<c<lg10＝1，∴abc 的取值范围是(0,1)．10．已知a>b>1.若log a b ＋log b a ＝ 5，a b ＝b a ，则a ＝________，b ＝________.2答案 425 1 5 1分析 令log a b ＝t ，∵a>b>1，∴0<t<1，由log a b ＋log b a ＝2，得t ＋t ＝2，解得t ＝ 2或t ＝2( 舍 去)，即log a b ＝1，∴b ＝a ，又a ba，即a ＝a，解得a ＝＝b a ，∴a a ＝(a)a ，即aa＝a 24，22b ＝2.1 211．已知函数 f(x)＝log a (2x －a)在区间 2，3上恒有f(x)>0，则实数a 的取值范围是________．1答案3，1分析 当0<a<1时，函数f(x)在区间1，2上是减函数，所以 4－a4，2 3 log a 3>0，即0<3－a<111 41又2×2－a>0 ，解得 3<a<3，且a<1 ，故 3<a<1；1 2当a>1时，函数f(x)在区间2，3上是增函数，1所以log a (1－a)>0，即1－a>1，且2×2－a>0，解得a<0，且a<1，此时无解．综上所述，实数a 的取值范围是1，1 .312．(2018·沙模拟长)已知函数 f(x)是定义在R 上的偶函数，f(0)＝0，当x>0时，f(x)＝ log 1x .2(1)求函数f(x)的分析式；2(2)解不等式 f(x －1)>－2.解(1)当x<0时，－x>0，则f(－x)＝log 1( x)．2由于函数 f(x)是偶函数，所以 f(－x)＝f(x)．所以x<0时，f(x)＝log 1(x)，2所以函数f(x)的分析式为log 1x ，x>0，2f(x)＝0，x ＝0，log 1(x)，x<0.2(2)由于f(4)＝log 14＝－2，f(x)是偶函数， 2所以不等式 f(x 2－1)>－2可化为f(|x 2－1|)>f(4)．又由于函数 f(x)在(0，＋∞)上是减函数，所以0<|x 2－1|<4，解得－ 5<x<5且x ≠±1，而x 2－1＝0时，f(0)＝0>－2，所以－5<x<5.13．已知a，b＞0且a≠1，b≠1，若log a b＞1，则()A．(a－1)(b－1)＜0B．(a－1)(a－b)＞0C．(b－1)(b－a)＜0D．(b－1)(b－a)＞0答案D分析由a，b＞0且a≠1，b≠1，及log a b＞1＝log a a可得，当a＞1时，b＞a＞1，当0＜a 1时，0＜b＜a＜1，代入考证只有D知足题意．14．已知函数f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝1x－m，若对?x1∈[0,3]，?x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)，2则实数m的取值范围是()1，＋∞B.－∞，1A.441D.－∞，－1C.2，＋∞2答案A分析当x∈[0,3]时，f(x)min＝f(0)＝0，当x∈[1,2]时，g(x)min＝g(2)＝1－m，由题意可知原条4件等价于f(x)min≥g(x)min，11即0≥4－m，所以m≥4，应选A.x2＋115．对于函数f(x)＝lg|x|(x≠0，x∈R)有以下命题：①函数y＝f(x)的图象对于y轴对称；②在区间(－∞，0)上，函数y＝f(x)是减函数；③函数f(x)的最小值为lg2；④在区间(1，＋∞)上，函数f(x)是增函数．此中是真命题的序号为________．答案①③④分析x2＋1∵函数f(x)＝lg(x≠0，x∈R)，明显f(－x)＝f(x)，|x|即函数f(x)为偶函数，图象对于y轴对称，故①正确；x 2＋1x 2＋1 1 1 1当x>0时，f(x)＝lg|x|＝lgx＝lgx ＋x ，令t(x)＝x ＋x ，x>0，则t ′(x)＝1－x 2，可知当x ∈(0,1)时，t ′(x)<0，t(x)单一递减，当 x ∈(1，＋∞)时，t ′(x)>0，t(x)单一递加，即f(x)在x ＝1处获得最小值lg2.由偶函数的图象对于 y 轴对称及复合函数的单一性可知②错误，③正确，④正确，故答案为①③④.x ＋116．(2017厦·门月考)已知函数f(x)＝ln x －1.(1)求函数f(x)的定义域，并判断函数f(x)的奇偶性；x ＋1m恒建立，务实数m 的取值范围．(2)对于x ∈[2,6]，f(x)＝ln x －1>ln x －17－x解(1)由x ＋1>0，解得x<－1或x>1，x －1∴函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，当x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，f(－x)＝ln－x ＋1x －1＝ln－x －1x ＋1x ＋1 －1＝－lnx ＋1＝ln＝－f(x)， x －1x －1∴f(x)＝ln x ＋1是奇函数．x －1x ＋1 m x ＋1 m(2)∵x ∈[2,6]时，f(x)＝ln >lnx －17－x恒建立，∴>>0，x －1x －1x －17－xx ∈[2,6]，∴0<m<(x ＋1)(7－x)在[2,6]上恒建立． 令g(x)＝(x ＋1)(7－x)＝－(x －3)2＋16，x ∈[2,6]，由二次函数的性质可知， x ∈[2,3]时函数g(x)单一递加，x ∈[3,6]时函数g(x)单一递减，∴当x ∈[2,6]时，g(x)min ＝g(6)＝7，∴ 0<m<7.。