高一数学兴趣小组讲义(等差数列与基本不等式) (2)

高一数学精品教案（二）等差数列一、知识点提要：1．等差数列定义：a n+1－a n =d （常数），即从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一常数，叫等差数列，此常数用d 表示，称为公差.当d=0时，数列为常数列. 2．通项公式：a n =a 1+(n －1)d3．前n 项的和：)0(2)1(2)(11≠-+=+=d d n n na a a n S n n1na S n = （d=0）4．等差中项：若a ，A ，b 成等差数列，则A 叫a,b 的等差中项，且2b a A +=5．等差数列的性质：（1）数列{a n }成等差数列，则 ①a n =a m +(n －m)d(m,n ∈N*)②若m+n=p+q ，则a m +a n =a p +a q (m,n,p,q ∈N*) 特别地：若2t=p+q ，则2a t =a p +a q（2）证明数列{a n }成等差数列的方法： 定义法：a n+1－a n =d （常数） 中项法：2a n+1=a n +a n+2. 二、重点难点突破：1．由等差数列的通项公式a n =a 1+(n －1)d 可知a n 是n 的一次函数，所以{a n }成等差数列B An a n +=⇔.2．由等差数列的前n 项的和公式2)1(1-+=n n na S n 可知{a n } 成等差数列.2Bn An S n +=⇔3．等差数列的前n 项的和S n 还有如下特点：（1）前m 项的和记为S 1，次m 项的和记为S 2，再m 项的和记为S 3……则数列{S n }也成等差数列.（2）若n 为奇数，则21+=n n na S ；n 为偶数则)(2122++=n n a a n n ；.21nd S S =-奇偶三、热点考题导析例1．在等差数列中，a 6+a 9+a 12+a 15=20，求S 20. 思路一：比较S 20与已知条件.解法一：∵a 6+a 9+a 12+a 15=20，∴4a 1+(5+8+11+14)d=20， ∴2a 1+19d=10，又),192(220120d a S +=∴S 20=100. 思路二：利用等差数列的性质.∵a 6+a 15=a 9+a 12=a 1+a 20，又由a 6+a 9+a 12+a 15=20，∴a 1+a 20=10，∴100)(22020120=+=a a S . 教师点评：在公式d n n na S n 2)1(1-+=中有4个字母已知其中三个就以求出另一个.已知两个条件也可以列出方程组解.由于2)(1n n a a n S +=如果求到1+a n ，也可以免去求a 1和d.本例中就无法确定a 1和d 的值.有时还可以设出S n =an 2+bn ，利用已知条件确定两个系数a 和b.再看例2．四个数成等差数列，把它们分别加上4，3，3，5后又依次成等比数列，求这四个数. 分析：四个数成等差数列，可依次设为a ―3d 、a ―d 、a+d 、a+3d ，然后列出a 、d 的方程组求解.解：设此四个数依次为a ―3d 、a ―d 、a+d 、a+3d ，依题意，得⎩⎨⎧+++-=+++++-=+-)53)(3()3()3)(43()3(22d a d a d a d a d a d a ∴ ⇒⎩⎨⎧=-+-=---0622403422d a d d a d{10==d a 或 {3=-=d a （不合舍去） ∴此四个数为―3，―1，1，3. 教师点评：这里使用了对称设元法，类似地，若三个数成等差数列，则可设三数为a －d ，a,a+d ，这种对称设元法可以简化运算.例3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3=12，S 12>0，S 13<0. （1）求公差d 的取值范围.（2）指出S 1，S 2，S 3，……，S 12中那个值最大，并说明理由. 解：（1）依题意，有{{6011202121313021112120011111312<+>+⇒⎪⎩⎪⎨⎧<⨯+>⨯+⇒<>d a d a d a d a S S 将a 3=a 1+2d=12代入得： 3724-><-d （2）由S 12=6（a 6+a 7）>0，S 13=13a 7<0. 即a 6+a 7>0，a 7<0，故a 6>0，∴S 6最大.教师点评：等差数列的结构是：单调递增，单调递减或常数列.若递减且a 1>0,则前n 项的和S n 存在最大值，前多少项和最大，就是数列中前若干个正项的个数，因此这种题型就是要找出数列中的正、负的分界线处.类似地若a 1<0且递增，则S n 存在最小值. 学生演板（1）{a n }为等差数列，且a n >0(n ∈N*)S 3=S 11，问此数列的前多少项的和最大？（n=7）（2）已知等差数列{a n }中，S m =S n (m ≠n)，求)0,021(1==-++⋅++n m n m S d n m a S 例4．两个等差数列{a n }，{b n }它们的前n 项和之比为1235-+n n 求这个两个数列第9项之比.分析：可直把S n 代入，把分子、分母变成通项的形式.解：（法一）d n b dn a d n n nb d n n na S S nn '-+-+='-+-+='21212)1(2)1(1111 令821=-n ∴n=17 ∴991717b a S S =' 而383811723175991717==-⨯+⨯='b a S S （法二）38117231752/)(172/)(17171717117117117199=-⨯+⨯='=++=++=S S b b a a b b a a b a 教师点评：解法二较一巧妙，主要是灵活地运用了等差数列的性质(2)从而沟通了a n 与S 2n －1的关系.本题其实求任何的a k ∶b k 都可以.例5．已知数列{a n }中，a 1=1，)2(122≥-=n S S a n nn 求这个数列的前n 项的和S n .解：当n ≥2时，1212--==-n n n n nS S a S S ，∴1121222))(12(2---+--=--=n n n n n n n n n S S S S S S S S S ， ∴n n n n S S S S -=--112，即,2111=--n n S S ∴数列}1{n S 是首项为11111==a S 公差为2的等差数列， 122)1(111-=⨯-+=∴n n S S n ，故121-=n S n 教师点评：（1）n ≥2时，a n =S n ―S n ―1反映通项与前n 项的和的联系； （2）注意}1{nS 是等差数列利用性质求出S n . 例6．是否存在常数k 和等差数列{a n }，使Ka n 2―1=S 2n ―S n+1，其中S 2n ，S n+1分别是等差数列{a n }的前2n 项，前n+1项的和.若存在，试求出常数k 和{a n }的通项a n ；若不存在，请说明理由.解：这是一个探索性问题，一般先假设存在k.假设存在.设a n =pn+q(p,q 为常数)，则Ka n 2―1=kp 2n 2+2kpqn+kq 2―1,),()2(23,)1(21212q p n pq pn S S qn n pn S n n n +--+=-++=+ 则),()2(23122222q p n pq pn kq kpqn n kp +--+=-++故有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=--==)(1222322q p kq pq kpq p kp 由①得p=0或23=kp 当p=0时，由②得q=0，而p=q=0不适合③，故p ≠0把23=kp 代入②，得;4p q -=把4p q -=代入③，又6481,2782732,23=-===k q p kp 从而得故存在常数=6481及等差数列2782732-=n a n 满足题意 四、课堂练习（1）在等差数列{a n }中，a 3+a 7―a 10=8,a 11―a 4=4.记S n =a 1+a 2+ ……+a n ，求S 13（156） （2）数列{a n }的前n 项和是S n ，如果S n =3+2a n (n ∈N*)，则这个数列一定是（ ）A ．等比数列B ．等差数列C ．除去第一项后是等比数列D ．除去第一项后是等差数列 （A ）（3）设等差数列{a n }前n 项的和为S n ，已知331S 与441S 的等比中项为551S ，434131S S 与的等差中项为1，求数列的通项公式. （5325121+-==n a a n n 或）五、高考试题 （1）（2000年春季北京、安徽，13）已知等差数列{a n }满足a 1+a 2+…+a 101=0，则有（ ） A ．a 1+a 101>0 B ．a 2+a 100<0 C ．a 3+a 99=0 D ．a 51=51 答案：选 C分析：.0,0)(210109399310121=+∴=+=+++a a a a a a a 即① ② ③（2）（20XX 年全国理，3）设数列{a n }是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．6 答案：选B分析：∵前三项的和为12，∴a 1+a 2+a 3=12，332S a =∴ a 1a 2a 3=48，∵a 2=4，∴a 1a 3=12，a 1+a 3=8，把a 1,a 3作为方程的两根且a 1<a 3，∴x 2－8x+12=0，x 1=6，x 2=2，∴a 1=2，a 3=6.（3）（2000年全国文，18）设{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项的和，已知S 7=7，S 15=75，T n 为数列}{nS n的前n 项的和，求T n . 解：设等差数列{a n }的公差为d ，则,75,7,)1(211571==∴-+=S S d n n na S n{{=-+=∴=-==+=+=+=+∴d n a n S d a d a d a d a d a n )1(21.1,2571375105157217111111解得即 .4941211).1(21221n n T n S n S n n n n -=∴=-+-+-+评注：本题主要考查等差数列的基础知识和基本技能；运算能力. 六、考点检测（1）一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项与奇数项的和之比为2732，则公差d=( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6（2）等差数列{a n }的前m 项的和为30，前2m 项的和为100，则它的前3m 项的和为（ ） A ．130 B ．170 C ．210 D ．260 （3）100与200之间所有是7的倍数但不是2的倍数的自然数之和为 .（4）二数列{a n }，{b n }满足a n +a m =a m+n ，b n b m =b n+m ,(m,n ∈N*)、若a 1=1，则a n = .若b 1=2,则b n = .（5）数列{a n }的通项为a n =33－2n 。

高中数学基本不等式教案设计（优秀3篇）篇一：高中数学教学设计篇一教学目标1、明确等差数列的定义。

2、掌握等差数列的通项公式，会解决知道中的三个，求另外一个的问题3、培养学生观察、归纳能力。

教学重点1、等差数列的概念；2、等差数列的通项公式教学难点等差数列“等差”特点的理解、把握和应用教具准备投影片1张教学过程（I）复习回顾师：上两节课我们共同学习了数列的定义及给出数列的两种方法通项公式和递推公式。

这两个公式从不同的角度反映数列的特点，下面看一些例子。

（放投影片）（Ⅱ）讲授新课师：看这些数列有什么共同的特点？1，2，3，4，5，6；①10，8，6，4，2，…；②生：积极思考，找上述数列共同特点。

对于数列①（1≤n≤6）；（2≤n≤6）对于数列②—2n（n≥1）（n≥2）对于数列③（n≥1）（n≥2）共同特点：从第2项起，第一项与它的前一项的差都等于同一个常数。

师：也就是说，这些数列均具有相邻两项之差“相等”的特点。

具有这种特点的数列，我们把它叫做等差数。

一、定义：等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与空的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。

如：上述3个数列都是等差数列，它们的公差依次是1，—2……二、等差数列的通项公式师：等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得。

若一等差数列的首项是，公差是d，则据其定义可得：若将这n—1个等式相加，则可得：即：即：即：……由此可得：师：看来，若已知一数列为等差数列，则只要知其首项和公差d，便可求得其通项。

如数列①（1≤n≤6）数列②：（n≥1）数列③：（n≥1）由上述关系还可得：即：则：=如：三、例题讲解例1：（1）求等差数列8，5，2…的第20项（2）—401是不是等差数列—5，—9，—13…的项？如果是，是第几项？解：（1）由n=20，得（2）由得数列通项公式为：由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n，使得—401=—5—4（n—1）成立解之得n=100，即—401是这个数列的第100项。

高中数学等差数列教案指导手册，新手教师必备！在高中数学教学中，等差数列是一个非常重要的知识点，具有广泛的应用。

掌握好等差数列的基本概念和性质，对学生发展数学思维、培养逻辑思维、提高数学素养具有重要的启示和帮助。

为了帮助新手教师更好地掌握等差数列的教学方法和技巧，本指导手册提供一些实用的教学案例和指导建议，供大家参考。

一、基本概念和性质1.等差数列的基本概念等差数列是指数列中任意相邻两项之差相等的数列，其通项公式为：a_n = a_1 + (n - 1)d，其中a_1为首项，d为公差。

2.等差数列的性质（1）等差数列的前n项和为Sn = [(a_1 + a_n)n]/2。

（2）等差数列的相邻两项差为公差d，任意两项之差为n倍公差。

（3）等差数列中相等的项数对应的项和相等。

（4）等差数列的前n项和可以表示成各项的平均数与项数的乘积。

二、教学案例及指导建议1.教学案例（1）高一数学等差数列课堂教学案例知识点：等差数列的基本概念和性质。

学习目标：通过本课的学习，学生能够掌握等差数列的基本概念和性质，并能运用所学知识解决实际问题。

教学过程第一步：引入通过举例引入等差数列的基本概念，鼓励学生积极思考，自主学习。

第二步：阐述讲解等差数列的基本概念和性质，鼓励学生积极思考，帮助学生理解公差的概念和作用。

第三步：拓展以实际情境拓展等差数列的应用，培养学生数学思维和解决实际问题的能力。

第四步：应用在学生已经掌握等差数列的基本概念和性质后，设计一些实际问题，让学生运用所学知识解决问题。

第五步：总结让学生回顾本课的学习内容，总结所学知识，并提出疑问和困惑。

指导建议（1）把握好教学的重点和难点，灵活运用不同教学方法，提高学生的学习兴趣和参与度。

（2）通过实际问题的引入和拓展，培养学生数学思维和解决实际问题的能力。

（3）充分利用教材和教具，让学生动手操作，加深对知识点的理解和记忆。

（4）及时反馈学生的学习情况，帮助学生发现和解决自己存在的问题。

等差数列复习讲义【基础知识点】1.一般数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系：a n =⎩⎨⎧≥-=-)2()1(11n S S n S n n2.等差数列的通项公式：a n =a 1+(n-1)d ； a n =a k +(n-k)d (其中a 1为首项、a k 为已知的第k 项)当d ≠0时，a n 是关于n 的一次式； 当d=0时，a n 是一个常数。

3.等差数列的前n 项和公式：S n =d n n na 2)1(1-+； S n =2)(1n a a n + ； S n =d n n na n 2)1(--当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0；当d=0时（a 1≠0），S n =na 1是关于n 的正比例式. 4.性质：①等差数列{a n }的任意连续m 项的和构成的数列S m 、S 2m -S m 、S 3m -S 2m 、S 4m - S 3m 、……仍为等差数列 ②等差数列{a n }中，若m+n=p+q=2s ，则2m n p q s a a a a a +=+= ③等差数列{a n }的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列 ④在等差数列{}n a 中：（1）若项数为n 2，则 nd S S =-奇偶nn a a S S 1+=奇偶 （2）若数为12+n 则，1+=-n a S S 偶奇 nn S S 1+=偶奇， 211(21)n n S n a ++=+ 【练习】 一、填空题1.,…则是该数列的第 项.2.数列{a n }中，a 1=1,对所有n ∈N +都有a 1a 2…a n =n 2，则a 3+ a 5=3.在等差数列{a n }中，14812152a a a a a ---+=，则313a a +=4.在等差数列{a n }中，已知32na n =-，则该数列前20项之和是5.两等差数列{a n }、{b n }的前n 项和的比'5327n n S n S n +=+，则55a b 的值是 6.设S n 是等差数列{}n a 的前n 项和，若==5935,95S Sa a 则 7.{a n }是等差数列，10110,0S S ><，则使0n a <的最小的n 值是8.已知数列{a n }中，122n n n a a a +=+对任意正整数n 都成立，且712a =，则5a =9.若等差数列{a n }多项依次递减，且有24645a a a =，24615a a a ++=，则通项公式na =10.数列{x n }满足x 1=1,x 2= 23 ，且1x n -1 +1x n+1 = 2x n (x ≥2)，则x n =11.等差数列{a n }中，10a <，n S 为第n 项，且316S S =，则nS取最小值时，n =12.一个有限项的等差数列，前4项之和为40，最后4项之和是80，所有项之和是210，则此数列的项数为 13.在等差数列{a n }中，已知45131477a a a a ++++=…，则11a = ．14．在公差不为0的等差数列{a n }中，a 1和a 2 是方程2340x a x a -+=的两根，则n a = ．二、解答题15. 成等差数列的四个数的和为26，第二数与第三数之积为40，求这四个数.16．设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a3=12, S12＞0，S13＜0.（1）求公差d的取值范围；（2）指出S1, S2,…, S12中哪一个值最大，并说明理由.17. 等差数列{a n}的项数为奇数，a1=1, {a n}的奇数项和为175，偶数项和为150，求这个等差数列的公差.18.已知数列{a n}成等差数列，b n=a n+12-a n2,求证：数列{b n}成等差数列.19. 在等差数列{a n}中，已知S4=1,S8=4,求a17+a18+a19+a20的值.20. 等差数列{a n}中，它的前n项和为S n=10n-n2，而数列{| a n | }的前n项和为T n，你能求出S n与T n之间的关系吗？。

微专题49 等差数列性质一、基础知识：1、定义：数列{}n a 若从第二项开始，每一项与前一项的差是同一个常数，则称{}n a 是等差数列，这个常数称为{}n a 的公差，通常用d 表示2、等差数列的通项公式：()11n a a n d =+-，此通项公式存在以下几种变形：（1）()n m a a n m d =+-，其中m n ≠：已知数列中的某项m a 和公差即可求出通项公式（2）n ma a d n m -=-：已知等差数列的两项即可求出公差，即项的差除以对应序数的差（3）11n a a n d-=+：已知首项，末项，公差即可计算出项数3、等差中项：如果,,a b c 成等差数列，则b 称为,a c 的等差中项（1）等差中项的性质：若b 为,a c 的等差中项，则有c b b a -=-即2b a c =+ （2）如果{}n a 为等差数列，则2,n n N *∀≥∈，n a 均为11,n n a a -+的等差中项（3）如果{}n a 为等差数列，则m n p q a a a a m n p q +=+⇔+=+注：①一般情况下，等式左右所参与项的个数可以是多个，但要求两边参与项的个数相等。

比如m n p q s +=++，则m n p q s a a a a a +=++不一定成立② 利用这个性质可利用序数和与项数的特点求出某项。

例如：478920a a a a +++=，可得478977777420a a a a a a a a a +++=+++==，即可得到75a =，这种做法可称为“多项合一”4、等差数列通项公式与函数的关系：()111n a a n d d n a d =+-=⋅+-，所以该通项公式可看作n a 关于n 的一次函数，从而可通过函数的角度分析等差数列的性质。

例如：0d >，{}n a 递增；0d <，{}n a 递减。

5、等差数列前n 项和公式：12nn a a S n +=⋅，此公式可有以下变形： （1）由m n p q m n p q a a a a +=+⇔+=+可得：()12p qn a a S n p q n +=⋅+=+，作用：在求等差数列前n 项和时，不一定必须已知1,n a a ，只需已知序数和为1n +的两项即可（2）由通项公式()11n a a n d =+-可得：()()1111122n a a n dn n S n a n d ++--=⋅=+作用：① 这个公式也是计算等差数列前n 项和的主流公式 ② ()21111222n n n d S a n d n a d n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，即n S 是关于项数n 的二次函数()n N *∈，且不含常数项，可记为2n S An Bn =+的形式。