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第四章一元函数微积分的应用内容提要：一元函数微分学的应用很广：导数与切线的关系直接从导数的定义上就可以得到，它也进一步反应了微分学的基本思想：“以曲代直”；导数与单调性的关系是中值定理的推论，它不但可以帮助我们很方便地计算函数的单调区间，还是我们证明很多不等式的重要思路；函数的极值点与拐点是重要的考点，考生需要理解并掌握它们的定义和判别定理，它们也都可以通过函数的单调性来理解。
一元函数微分学的应用在考试中出现的频率很高，但总体难度不大，只要记住相应的定理和计算公式即可。
定积分的应用分为几何应用和物理应用两部分。
几何应用包括通过定积分计算平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积和侧面积；物理应用主要是通过定积分计算一些物理量：变力做的功，液体的静压力，平面图形的质心或形心等。
定积分的应用的理论基础是定积分的定义，它的基本思想是微元法，微元法可以概括为分割、近似、求和、取极限，其中近分割和近似是这四步的关键。
考生复习时应该掌握常见的几何量和物理量的计算公式，同时还要深入理解微元法的思想，对主要公式要掌握其推导过程。
第一节导数的应用Ⅰ考点精讲1.导数与切线设函数可导，则曲线在任意一点的切线斜率等于该点的导数值。
也就是说，曲线在处的切线方程可表示为，该点的法线方程可表示为。
2.单调性定理：设函数在上连续，在上可导。
（1）如果在上有，那么函数在上单调递增。
（2）如果在上有，那么函数在上单调递减。
（单调性定理也是中值定理的推论，考生可以尝试自行推导）3.函数极值点及其判定方法1）.极值点设函数在点的某领域内有定义，如果对任意的，有，则称是函数的一个极大值（或极小值）。
2）.极值点的判别定理a.(必要条件)设函数在处可导，并在处取得极值，那么。
（罗尔定理的推论）b.(第一充分条件)设函数在处连续，并在的某去心邻域内可导。
ⅰ）若时，而时，则在处取得极大值；ⅱ）若时，而时，则在处取得极小值；ⅲ）若时，符号保持不变，则则在处没有极值；c.(第二充分条件)设函数在处存在二阶导数且，那么ⅰ）若则在处取得极小值；ⅱ）若则在处取得极大值。
专升本培训教育一元微积分学讲义王子包子王王子包2011-5-26按照安徽省专升本2011考试大纲整理微积分2011年安徽省专升本考试大纲1．函数：函数的概念、函数的几种常见性态、反函数与复合函数、初等函数；2．极限与连续：极限的概念及运算、极限存在准则、两个重要极限、无穷大量与无穷小量、函数的连续性；3．导数与微分：导数的概念、基本公式与运算法则、隐函数的导数、高阶导数、函数的微分；4．导数的应用：微分中值定理（Rolle定理，Lagrange中值定理）洛比达法则、函数的单调性及其极值；函数的最大值和最小值、曲线的凹凸性与拐点；5．不定积分：不定积分的概念、性质与基本积分公式、换元积分法、分部积分法、简单的有理函数积分；6．定积分及其应用：定积分的概念、性质、定积分与不定积分的关系、定积分的换元积分法和分部积分法、无穷区间上的广义积分；定积分的应用（平面图形的面积、旋转体的体积）；7．多元函数微分法：多元函数的概念、偏导数、全微分、复合函数的微分法；8．二重积分：二重积分的概念、性质与计算（直角坐标与极坐标）；9．微分方程：微分方程的基本概念、一阶微分方程（分离变量、齐次、线性）；10．无穷级数：数项级数的概念和性质、正项级数及其审敛法、幂级数的收敛半径及收敛域。
目录第一章函数、极限、连续 (1)1.1 函数 (1)1. 函数的定义： (1)2. 函数的简单性态 (1)3. 反函数 (2)4. 复合函数 (2)6. 初等函数 (3)1.2 极限 (4)一、极限的概念与基本性质 (4)二、无穷小量 (5)三、求极限的方法 (6)典型例题 (7)1.3 连续 (13)一、函数连续的概念 (13)二、函数的间断点及其分类 (13)三、初等函数的连续性 (14)四、闭区间上连续函数的性质 (14)典型例题 (15)第二章一元函数微分学 (17)2.1 导数与微分 (17)一、导数与微分概念 (17)二、导数与微分计算 (19)典型例题 (22)2.2 微分中值定理 (26)一、罗尔定理 (26)二、拉格朗日中值定理 (26)典型例题 (27)2.3 导数的应用 (29)一、判断函数的单调性 (29)二、函数的极值 (29)三、函数的最大值和最小值 (30)四、凹凸性与拐点 (32)典型例题 (33)第三章一元函数积分学 (35)3.1 不定积分 (35)一、基本概念与性质 (35)二、换元积分法 (36)三、分部积分法 (37)四、简单的有理函数积分 (37)典型例题 (41)3.2 定积分 (43)一、定积分的概念 (43)二、定积分的性质 (43)三、基本定理 (44)四、定积分的还原积分法和分部积分法 (44)五、无穷区间上的广义积分 (45)六、奇偶函数的积分 (45)典型例题 (46)3.3 定积分的应用 (50)一、平面图形的面积 (50)二、绕坐标轴旋转的旋转体的体积 (50)典型例题 (51)附一元积分学07-10年真题 (54)一元微积分部分讲义第一章函数、极限、连续1.1 函数1. 函数的定义：如果当变量x在其变化范围内任意取定一个数值时，变量y按照一定的法则f总有确定的数值与它对应，则称y是x的函数。
高等院校非数学类本科数学课程大学数学（一）——一元微积分学第三十二讲一元微积分的应用(五)——平面曲线的曲率第六章一元微积分的应用本章学习要求：▪熟练掌握求函数的极值、最大最小值、判断函数的单调性、判断函数的凸凹性以及求函数拐点的方法。
▪能运用函数的单调性、凸凹性证明不等式。
▪掌握建立与导数和微分有关的数学模型的方法。
能熟练求解相关变化率和最大、最小值的应用问题。
▪知道平面曲线的弧微分、曲率和曲率半径的概念，并能计算平面曲线的弧微分、曲率、曲率半径和曲率中心。
▪掌握建立与定积分有关的数学模型的方法。
▪熟练掌握“微分元素法”，能熟练运用定积分表达和计算一些几何量与物理量：平面图形的面积、旋转曲面的侧面积、平行截面面积为已知的几何体的体积、平面曲线的弧长、变力作功、液体的压力等。
▪能利用定积分定义式计算一些极限。
第六章一元微积分的应用第七节平面曲线的曲率一、曲率的概念二、曲率的计算公式请点击三、参数方程下曲率的计算公式四、曲率圆、曲率中心一、曲率的概念我们已经讨论过曲线的凹凸性, 知道如何判断曲线的弯曲方向, 但是还不能描述和判定曲线的弯曲程度. 而在许多实际问题中都必须考虑曲线的弯曲程度, 例如, 道路的弯道设计, 梁的弯曲程度, 曲线形的切削工具的设计等等.你认为应该如何描述曲线的弯曲程度?Oxy⋅⋅MM ')(x f y =αα∆.)( 1C x f y ∈=设沿曲线运动到点点M 相应地切线转时 , M '),( 称为转角过角度α∆. 称弧的改变量为s ∆.,具有方向性与其中s ∆∆α单位弧长上的转角︵. 的平均曲率为M M 's∆∆=αk 曲率的概念ss k k s s d d lim lim 00αα=∆∆==→∆→∆. )( 处的曲率在点称为曲线M x f y =. 极限的方法又是平均值+例1解求半径为R 的圆上任意一点处的曲率. ⋅⋅⋅MM 'α∆α∆如图所示, 在圆上任取一点M , 则R ||||M M s '=∆︵α∆⋅=R 故=∆∆→∆s s α0lim即圆上点的曲率处处相同：Rk 1=半径越小的圆, 弯曲得越厉害.R R s 1lim 0=∆⋅∆→∆ααO设曲线方程为, )(x f y =, )(二阶可导x f 则在曲线上点) ,(y x M 处的曲率为)1( 232y y k '+''=二、曲率的计算公式Oxy⋅⋅MM ')(x f y =αα∆证如图所示,曲线在处切线的斜率为点 M αtan ='y 故y '=arctan αx y y x d d 11d d 2'⋅'+=α21y y '+''=又xy s d 1 d 2'+=从而 )1( d d 232y y s k '+''==αx y y d 1d 2'+''=α例2解.上任意一点处的曲率求直线bxay+=,0,=''='yay)1(232='+''=∴yyk.)(Rx∈∀直线上任意一点处的曲率均为零.俗话说, 直线不弯曲.例3解,)0(sin,cos上椭圆>>==babyaxθθ哪一点曲率最大, 哪一点曲率最小.利用参数方程求导法求出:dddd22xyxy和,sinddθθax-=,cosddθθby=,cosdd22θθax-=,sindd22θθby-=θθθcotsincosddababxy-=-=)cos (cot d d )(22'-='θθa a b x y θ32sin 1a b -=='+''= )1( 232y y k 23)cos sin (2222θθb a ab +故, 0)cos sin (cos sin )(3d d 23222222=+--=θθθθθb a b a ab k 令得驻点,23 , , 2 , 0πππθ=, b a >因为故在各象限中的符号依次为d d θk++ⅣⅢⅡⅠ--由此可得:取最大值时当k , , 0 πθ=2max b ak =取最小值时当k , 23 , 2 ππθ=2min ab k =23)])(())([(|)()()()( |22θθθθθθy x x y x y k '+''''-'''=则二阶可导若 , )(, )( , )()( θθθθy x y y x x ⎩⎨⎧==, )()(d d θθx y x y ''=322))(()()()()(d d θθθθθx x y x y x y ''''-'''=将它们代入曲率计算公式中即可得：三、参数方程下曲率的计算公式例4解. 0) (0, 4 2处的曲率在点求抛物线x y = , 2 x y ±=如果用会出现导数的分母为零的情形, 的图形与但 44 22yx x y ==相同,对称, 故原问题可以转为求曲线的与而 44 22xy y x ==图形关于在42xy =.)0 ,0( 处的曲率点x y =, 0)41 (020='='==x x x y , 21) 21 (0='=''==x x x y 在 42xy =处的曲率为点 )0 ,0( 21)1( 2321='+''=y y k 处的曲率为在点故 0) (0, 4 2x y =.21=k在有些实际问题中,, 1 || <<'y 若.|| y k ''≈则可取现在问你一下: (假设单位是统一的)如果告诉你一条曲线在点M 处的曲率为,51你能想象出它的弯曲程度吗？如果告诉你有一个半径为5 的圆, 你能想象出该圆上任何一点处的弯曲程度吗？由此及前面讲的例题1 , 你有什么想法？M⋅OM⋅O.5 , 51==R k M 在点曲率圆曲率半径曲率中心处可用一个相应的圆来描述曲线的弯曲程度曲率曲率半径1=四、曲率圆、曲率中心1.曲率圆、曲率中心的概念2. 曲率圆的性质请点击3. 曲率中心的坐标) ,( )( y x M x f y 上一点过光滑曲线=作其法线, 在法线指向曲线凹向的一侧上取一点Q ,使R MQ = || ),(2 )1( 123y x M y y k '''+==以Q 为中心, R 为半径所作的圆称为曲线在点M 处的曲率圆, 圆心Q 称为曲率中心, R 称为曲率半径.)(处的曲率为曲线在点M k 1.曲率圆、曲率中心的概念2. 曲率圆的性质曲率圆与曲线在点M 处相切, 且在点M 处两者曲率相同.曲率圆与曲线在点M处具有相同的一、二阶导数.当讨论曲线在点M处与一、二阶导数有关的局部性质时,可以通过讨论其相应的曲率圆的局部性质来实现.)( , )( 存在且设曲线方程为x f x f y ''=, 0)(0≠''x f 则曲线在点的坐标为中心 ) ,( βαD 处的曲率 ) ,(00y x M , )1(20y y y x '''+'-=α, 120y y y '''++=β. M x f y y y 处的导数在点是与式中 )( ='''3. 曲率中心的坐标证处的在点设曲线 ) ,( )( 00y x M x f y =, ) ,( , βαD R 曲率中心为曲率半径为则曲线在点) ,(00处的曲率圆方程为y x M 222)()(R y x =-+-βα.) ,( , 是曲率圆上的点点其中y x 23222)1(1y y k R '''+==由于, ) ,( 00在曲率圆上又点y x M 故有=-+-2020)()(βαy x 232)1(y y '''+, 处的法线上位于曲线在点又M DM 其斜率为αβ--=00x y k 法曲线在点M 处切线的斜率为, y '从而, 有βα---='00y x y (1)(2)由(1) , (2) 两式消去得 , 0α-x22220)1()(y y y '''+=-β由于曲率圆总是位于曲线凹向的一侧, 所以 , 是反号的与β-''y y 故对上式两边开方得y y y '''++=201β由(2) 式, 得y y y x '''+'-=)1(20α画画图更清楚例5解处的在点求抛物线 )1 ,1( 2x y =曲率半径、曲率中心和曲率圆方程.,2211=='==x x x y ,21=''=x y 处的曲率半径为在点 1) (1, )1( 232y y R '''+=21252)21(232=+=,1 , 100==y x曲率中心为y y y x '''+'-=)1(20α42)21(212-=+-=y y y '''++=201β2722112=++=曲率圆的方程为. )27 , 4( -D 曲率中心：4125)27()4(22=-++y x。
一元微积分微积分是数学中最重要的分支之一，它被广泛应用于自然科学、工程学、经济学、金融学等领域。
在微积分中，学生学习如何利用极限、导数、积分等概念来解决许多与连续变量相关的问题。
本篇文章将重点介绍一元微积分的基本概念和应用。
一、导数导数是微积分中最基础的概念之一。
在数学中，导数可以理解为函数在某点处的斜率。
更准确地说，函数f(x)在点x_0处的导数定义为：f'(x_0) = lim_(h->0) [f(x_0 + h) - f(x_0)] / h.其中，"lim"是取极限的符号，"h"是一个趋近于零的数，表示x_0点向左或向右的距离。
当h足够小的时候，我们可以近似地认为f(x_0+h)和f(x_0)之间的差值和f'(x_0)之间的比率相等。
这个比率称为斜率，它在概念上等于函数f(x)在x_0处的导数。
导数有许多有用的性质，其中最常见的是导数的求导法则。
其中包括：常数法则、幂法则、求和法则和乘积法则。
这些规则使得求导变得更加容易和直观化。
二、微分微分是导数的一种表达方式。
函数f(x)的微分df(x)定义为：df(x) = f'(x) dx,其中dx是一个无穷小的微小量，它表示x轴上的一个非常小的增量。
微分可以用来求解函数的局部变化和线性逼近等问题。
三、积分积分是微积分中的另一个核心概念。
在数学中，积分可以看作是导数的反运算。
给定一条导数，我们可以通过积分来求出原函数。
也就是说，积分可以通过对导数反复求积来追溯函数的起源。
积分的符号表示为∫，读作“积分”。
它的基本形式为：∫f(x)dx，其中f(x)是被积函数，dx表示积分变量。
函数f(x)的积分可以看作是将函数曲线下面的面积求和。
这个面积可以通过求和近似，也可以通过解析方法解决。
四、微积分的应用微积分是一门广泛应用的数学科目。
它可以用来解决许多与连续变量相关的问题。
以下是微积分的一些常见应用：1. 切线和曲率微积分可以用来计算给定点上曲线的切线和曲率。
