【精选】人教版2020届高考数学(理)一轮复习课时作业5

第三节 等比数列及其前n 项和课时作业1．已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7＝( ) A ．21 B ．42 C ．63D ．84解析：设数列{a n }的公比为q ，则a 1(1＋q 2＋q 4)＝21，又a 1＝3，所以q 4＋q 2－6＝0，所以q 2＝2(q 2＝－3舍去)，所以a 3＝6，a 5＝12，a 7＝24，所以a 3＋a 5＋a 7＝42.故选B.答案：B2．等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( ) A.13 B ．－13 C.19D ．－19解析：由题知公比q ≠1，则S 3＝a 11－q 31－q＝a 1q ＋10a 1，得q 2＝9，又a 5＝a 1q 4＝9，则a 1＝19，故选C. 答案：C3．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝2，S 6＝18，则S 10S 5等于( ) A ．－3 B ．5 C ．－31D ．33解析：设等比数列{a n }的公比为q ，则由已知得q ≠1. ∵S 3＝2，S 6＝18， ∴1－q 31－q 6＝218，得q 3＝8， ∴q ＝2.∴S 10S 5＝1－q 101－q5＝1＋q 5＝33，故选D.答案：D4．在等比数列{a n }中，a 1＝2，公比q ＝2.若a m ＝a 1a 2a 3a 4(m ∈N *)，则m ＝( ) A ．11 B ．10 C ．9D ．8解析：a m ＝a 1a 2a 3a 4＝a 41qq 2q 3＝24×26＝210＝2m，所以m ＝10，故选B. 答案：B5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n ＋3)(n ∈N *)在函数y ＝3×2x的图象上，等比数列{b n }满足b n ＋b n ＋1＝a n (n ∈N *)，其前n 项和为T n ，则下列结论正确的是( ) A ．S n ＝2T nB ．T n ＝2b n ＋1C ．T n ＞a nD ．T n ＜b n ＋1解析：因为点(n ，S n ＋3)(n ∈N *)在函数y ＝3×2x的图象上，所以S n ＝3·2n－3，所以a n ＝3·2n－1，所以b n ＋b n ＋1＝3·2n －1，因为数列{b n }为等比数列，设公比为q ，则b 1＋b 1q ＝3，b 2＋b 2q＝6，解得b 1＝1，q ＝2，所以b n ＝2n －1，T n ＝2n－1，所以T n ＜b n ＋1，故选D.答案：D6．(2018·郑州质检)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 25＝2a 3a 6，S 5＝－62，则a 1的值是________．解析：设{a n }的公比为q .由a 25＝2a 3a 6得(a 1q 4)2＝2a 1q 2·a 1q 5，∴q ＝2，∴S 5＝a 11－251－2＝－62，a 1＝－2. 答案：－27．已知等比数列{a n }为递增数列，a 1＝－2，且3(a n ＋a n ＋2)＝10a n ＋1，则公比q ＝________. 解析：因为等比数列{a n }为递增数列且a 1＝－2<0，所以0<q <1，将3(a n ＋a n ＋2)＝10a n ＋1两边同除以a n 可得3(1＋q 2)＝10q ，即3q 2－10q ＋3＝0，解得q ＝3或q ＝13，而0<q <1，所以q＝13. 答案：138．若数列{a n ＋1－a n }是等比数列，且a 1＝1，a 2＝2，a 3＝5，则a n ＝__________. 解析：∵a 2－a 1＝1，a 3－a 2＝3，∴q ＝3， ∴a n ＋1－a n ＝3n －1，∴a n －a 1＝a 2－a 1＋a 3－a 2＋…＋a n －1－a n －2＋a n －a n －1＝1＋3＋…＋3n －2＝1－3n －11－3， ∵a 1＝1，∴a n ＝3n －1＋12. 答案：3n －1＋129．(2018·昆明市检测)数列{a n }满足a 1＝－1，a n ＋1＋2a n ＝3. (1)证明{a n －1}是等比数列，并求数列{a n }的通项公式； (2)已知符号函数sgn(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0，设b n ＝a n ·sgn(a n )，求数列{b n }的前100项和．解析：(1)因为a n ＋1＝－2a n ＋3，a 1＝－1， 所以a n ＋1－1＝－2(a n －1)，a 1－1＝－2，所以数列{a n －1}是首项为－2，公比为－2的等比数列．故a n －1＝(－2)n ，即a n ＝(－2)n＋1.(2)b n ＝a n ·sgn(a n )＝⎩⎪⎨⎪⎧2n＋1，n 为偶数，2n－1，n 为奇数，设数列{b n }的前n 项和为S n ，则S 100＝(2－1)＋(22＋1)＋(23－1)＋…＋(299－1)＋(2100＋1)＝2＋22＋23＋…＋2100＝2101－2.10．(2018·合肥质检)在数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝n ＋12n a n ，n ∈N *.(1)求证：数列{a nn}为等比数列； (2)求数列{a n }的前n 项和S n . 解析：(1)证明：由a n ＋1＝n ＋12n a n 知a n ＋1n ＋1＝12·a nn， ∴{a n n }是以12为首项、12为公比的等比数列．(2)由(1)知{a n n }是首项为12，公比为12的等比数列，∴a n n ＝(12)n ，∴a n ＝n2n ， ∴S n ＝121＋222＋…＋n2n ，①则12S n ＝122＋223＋…＋n2n ＋1，② ①－②得：12S n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n 2n ＋1＝1－n ＋22n ＋1，∴S n ＝2－n ＋22n.B 组——能力提升练1．(2018·长春调研)等比数列{a n }中，a 3＝9，前三项和S 3＝27，则公比q 的值为( ) A ．1 B ．－12C ．1或－12D ．－1或－12解析：当公比q ＝1时，a 1＝a 2＝a 3＝9，∴S 3＝3×9＝27. 当q ≠1时，S 3＝a 1－a 3q1－q，∴27＝a 1－9q1－q∴a 1＝27－18q ， ∴a 3＝a 1q 2，∴(27－18q )·q 2＝9， ∴(q －1)2(2q ＋1)＝0， ∴q ＝－12.综上q ＝1或q ＝－12.选C.答案：C2．数列{a n }满足：a n ＋1＝λa n －1(n ∈N *，λ∈R 且λ≠0)，若数列{a n －1}是等比数列，则λ的值等于( )A ．1B ．－1 C.12D ．2解析：由a n ＋1＝λa n －1，得a n ＋1－1＝λa n －2＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －2λ.由于数列{a n －1}是等比数列，所以2λ＝1，得λ＝2.答案：D3．(2018·彬州市模拟)已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －a ，则a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝( ) A ．(2n －1)2B ．13(2n－1) C ．4n－1D ．13(4n－1) 解析：∵S n ＝2n－a ，∴a 1＝2－a ，a 1＋a 2＝4－a ，a 1＋a 2＋a 3＝8－a ， 解得a 1＝2－a ，a 2＝2，a 3＝4，∵数列{a n }是等比数列，∴22＝4(2－a )，解得a ＝1. ∴公比q ＝2，a n ＝2n －1，a 2n ＝22n －2＝4n －1.则a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝4n－14－1＝13(4n－1)．答案：D4．设数列{a n }是公比为q (|q |＞1)的等比数列，令b n ＝a n ＋1(n ∈N *)，若数列{b n }有连续四项在集合{－53，－23，19,37,82}中，则q ＝( ) A.32B ．－43C ．－32D ．－52解析：数列{b n }有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，且b n ＝a n ＋1(n ∈N *)，∴a n ＝b n －1，则{a n }有连续四项在{－54，－24,18,36,81}中， ∵数列{a n }是公比为q (|q |＞1)的等比数列， 等比数列中有负数项，则q ＜0，且负数项为相隔两项∵|q |＞1，∴等比数列各项的绝对值递增，按绝对值的顺序排列上述数值18，－24,36，－54,81，相邻两项相除－2418＝－43，－3624＝－32，－5436＝－32，81－54＝－32，∵|q |＞1，∴－24,36，－54,81是{a n }中连续的四项，此时q ＝－32.答案：C5．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋3S 2＝0，则公比q ＝________.解析：由S 3＋3S 2＝0，得a 1＋a 2＋a 3＋3(a 1＋a 2)＝0，即4a 1＋4a 2＋a 3＝0，即4a 1＋4a 1q ＋a 1q 2＝0，即q 2＋4q ＋4＝0，所以q ＝－2. 答案：－26．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝32a n －1(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2log 3a n 2＋1，求1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n －1b n.解析：(1)当n ＝1时，a 1＝32a 1－1，∴a 1＝2，当n ≥2时，∵S n ＝32a n －1，①∴S n －1＝32a n －1－1(n ≥2)，②①－②得a n ＝(32a n －1)－(32a n －1－1)，即a n ＝3a n －1，∴数列{a n }是首项为2，公比为3的等比数列， ∴a n ＝2×3n －1.(2)由(1)得b n ＝2log 3a n2＋1＝2n －1，∴1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n －1b n＝11×3＋13×5＋…＋12n －32n －1＝12(1－13＋13－15＋…＋12n －3－12n －1)＝n －12n －1. 7．数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝n ＋12na n (n ∈N *)． (1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等比数列，并求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝a n4n －a n，若数列{b n }的前n 项和是T n ，求证：T n <2. 证明：(1)由题设得a n ＋1n ＋1＝12·a n n ，又a 11＝2，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项为2，公比为12的等比数列，所以a n n ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝22－n ，a n ＝n ·22－n＝4n 2n .(2)b n ＝a n4n －a n＝4n 2n 4n －4n 2n＝12n－1，因为对任意n ∈N *,2n－1≥2n －1，所以b n ≤12n －1.所以T n ≤1＋12＋122＋123＋…＋12n －1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n <2.。

2019-2020年高考数学一轮总复习第五章数列5.3等比数列及其前n 项和课时跟踪检测理[课 时 跟 踪 检 测][基 础 达 标]1．已知数列{a n }为等比数列，若a 4＋a 6＝10，则a 7(a 1＋2a 3)＋a 3a 9的值为( ) A ．10 B ．20 C ．100D ．200解析：a 7(a 1＋2a 3)＋a 3a 9＝a 7a 1＋2a 7a 3＋a 3a 9＝a 24＋2a 4a 6＋a 26＝(a 4＋a 6)2＝102＝100. 答案：C2．设等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A.18 B ．－18C.578D ．558解析：因为a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，且S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列，即8，－1，S 9－S 6成等比数列，所以8(S 9－S 6)＝1，即S 9－S 6＝18.所以a 7＋a 8＋a 9＝18.答案：A3．已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)的值是( )A ．－5B ．－15C ．5D ．15解析：∵log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1，∴a n ＋1＝3a n . ∴数列{a n }是公比q ＝3的等比数列． ∵a 5＋a 7＋a 9＝q 3(a 2＋a 4＋a 6)，∴log 13(a 5＋a 7＋a 9)＝log 13(9×33)＝log 1335＝－5.答案：A4．(xx 届太原一模)在单调递减的等比数列{a n }中，若a 3＝1，a 2＋a 4＝52，则a 1＝( )A ．2B ．4 C. 2D ．2 2解析：在等比数列{a n }中，a 2a 4＝a 23＝1，又a 2＋a 4＝52，数列{a n }为递减数列，所以a 2＝2，a 4＝12，所以q 2＝a 4a 2＝14，所以q ＝12，a 1＝a 2q＝4.答案：B5．(xx 届莱芜模拟)已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝b 1＝3，a n ＋1－a n ＝b n ＋1b n＝3，n ∈N *，若数列{c n }满足c n ＝ba n ，则c 2 017＝( )A ．92 016B ．272 016C ．92 017D ．272 017解析：由已知条件知{a n }是首项为3，公差为3的等差数列，数列{b n }是首项为3，公比为3的等比数列，所以a n ＝3n ，b n ＝3n. 又c n ＝ba n ＝33n， 所以c 2 017＝33×2 017＝272 017.答案：D6．(xx 届海口市调研测试)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，a 2－8a 5＝0，则S 8S 4的值为( )A.12 B ．1716 C ．2D ．17解析：设{a n }的公比为q ，依题意得a 5a 2＝18＝q 3，因此q ＝12.注意到a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝q 4(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)，即有S 8－S 4＝q 4S 4，因此S 8＝(q 4＋1)S 4，S 8S 4＝q 4＋1＝1716，选B.答案：B7．(xx 届衡阳模拟)在等比数列{a n }中，a 1＝2，前n 项和为S n ，若数列{a n ＋1}也是等比数列，则S n ＝( )A ．2n ＋1－2 B ．3n C ．2nD ．3n－1解析：因为数列{a n }为等比数列，a 1＝2，设其公比为q ，则a n ＝2qn －1，因为数列{a n ＋1}也是等比数列，所以(a n ＋1＋1)2＝(a n ＋1)(a n ＋2＋1)⇒a 2n ＋1＋2a n ＋1＝a n a n ＋2＋a n ＋a n ＋2⇒a n ＋a n＋2＝2a n ＋1⇒a n (1＋q 2－2q )＝0⇒q ＝1，即a n ＝2，所以S n ＝2n ，故选C.答案：C8．(xx 届广州市五校联考)已知数列{a n }的首项a 1＝2，数列{b n }为等比数列，且b n ＝a n ＋1a n，若b 10b 11＝2，则a 21＝( )A ．29B ．210C ．211D ．212解析：由b n ＝a n ＋1a n ，且a 1＝2，得b 1＝a 2a 1＝a 22，a 2＝2b 1；b 2＝a 3a 2，a 3＝a 2b 2＝2b 1b 2；b 3＝a 4a 3，a 4＝a 3b 3＝2b 1b 2b 3；…；a n ＝2b 1b 2b 3…b n －1，所以a 21＝2b 1b 2b 3…b 20，又{b n }为等比数列，所以a 21＝2(b 1b 20)(b 2b 19)…(b 10b 11)＝2(b 10b 11)10＝211. 答案：C9．由正数组成的等比数列{a n }满足a 3a 8＝32，则log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 10＝________. 解析：log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 10＝log 2(a 1a 10)·(a 2a 9)·…·(a 5a 6)＝log 2(a 3a 8)5＝log 2225＝25.答案：2510．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝1，且3S 1,2S 2，S 3成等差数列，则a n ＝________. 解析：因为3S 1,2S 2，S 3成等差数列，所以4S 2＝3S 1＋S 3，即4(a 1＋a 2)＝3a 1＋a 1＋a 2＋a 3.化简得a 3a 2＝3，即等比数列{a n }的公比q ＝3，故a n ＝1×3n －1＝3n －1.答案：3n －111．(xx 届南昌模拟)已知公比不为1的等比数列{a n }的首项a 1＝12，前n 项和为S n ，且a 4＋S 4，a 5＋S 5，a 6＋S 6成等差数列．(1)求等比数列{a n }的通项公式；(2)对n ∈N *，在a n 与a n ＋1之间插入3n 个数，使这3n＋2个数成等差数列，记插入的这3n个数的和为b n ，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)因为a 4＋S 4，a 5＋S 5，a 6＋S 6成等差数列， 所以a 5＋S 5－a 4－S 4＝a 6＋S 6－a 5－S 5， 即2a 6－3a 5＋a 4＝0， 所以2q 2－3q ＋1＝0， 因为q ≠1， 所以q ＝12，所以等比数列{a n }的通项公式为a n ＝12n .(2)b n ＝a n ＋a n ＋12·3n＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ，T n ＝34×32－⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ＋11－32＝94⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1.12．设数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)．已知a 1＝1，a 2＝32，a 3＝54，且当n ≥2时，4S n＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1. (1)求a 4的值；(2)证明：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 为等比数列．解：(1)当n ＝2时，4S 4＋5S 2＝8S 3＋S 1，即4⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32＋54＋a 4＋5⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32＝81＋32＋54＋1，解得a 4＝78.(2)证明：由4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1(n ≥2)， 得4S n ＋2－4S n ＋1＋S n －S n －1＝4S n ＋1－4S n (n ≥2)， 即4a n ＋2＋a n ＝4a n ＋1(n ≥2)．∵4a 3＋a 1＝4×54＋1＝6＝4a 2符合上式，∴4a n ＋2＋a n ＝4a n ＋1(n ≥1)， ∴a n ＋2－12a n ＋1a n ＋1－12a n＝4a n ＋2－2a n ＋14a n ＋1－2a n＝4a n ＋1－a n －2a n ＋14a n ＋1－2a n ＝2a n ＋1－a n 22a n ＋1－a n ＝12，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 是以a 2－12a 1＝1为首项，12为公比的等比数列．[能 力 提 升]1．若{a n }是正项递增等比数列，T n 表示其前n 项之积，且T 10＝T 20，则当T n 取最小值时，n 的值为________．解析：T 10＝T 20⇒a 11…a 20＝1⇒(a 15a 16)5＝1⇒a 15a 16＝1，又{a n }是正项递增等比数列，所以0<a 1<a 2<…<a 14<a 15<1<a 16<a 17<…，因此当T n 取最小值时，n 的值为15.答案：152．(xx 届山西吕梁质检)已知数列2,8,4，12，…，该数列的特点是从第2项起，每一项都等于它的前后两项之积，则这个数列的前2 018项之积T 2 018等于________．解析：数列2,8,4，12，…，该数列的特点是从第2项起，每一项都等于它的前后两项之积，这个数列的前8项分别为2,8,4，12，18，14，2,8，易得从第7项起，数字重复出现，所以此数列为周期数列，且周期为6，前6项积为2×8×4×12×18×14＝1.又因为2 018＝336×6＋2，所以这个数列的前2 018项之积T 2 018＝1336×2×8＝16. 答案：163．已知数列{a n }满足a 1＝5，a 2＝5，a n ＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)． (1)求证：{a n ＋1＋2a n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)证明：∵a n ＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)， ∴a n ＋1＋2a n ＝3a n ＋6a n －1＝3(a n ＋2a n －1)(n ≥2)． ∵a 1＝5，a 2＝5，∴a 2＋2a 1＝15， ∴a n ＋2a n －1≠0(n ≥2)，∴a n ＋1＋2a na n ＋2a n －1＝3(n ≥2)，∴数列{a n ＋1＋2a n }是以15为首项，3为公比的等比数列． (2)由(1)得a n ＋1＋2a n ＝15×3n －1＝5×3n，则a n ＋1＝－2a n ＋5×3n， ∴a n ＋1－3n ＋1＝－2(a n －3n)．又∵a 1－3＝2，∴a n －3n≠0，∴{a n －3n}是以2为首项，－2为公比的等比数列． ∴a n －3n＝2×(－2)n －1，即a n ＝2×(－2)n －1＋3n.2019-2020年高考数学一轮总复习第五章数列5.4数列求和课时跟踪检测理[课 时 跟 踪 检 测][基 础 达 标]1．已知数列{a n }是等差数列，a 1＝tan225°，a 5＝13a 1，设S n 为数列{(－1)na n }的前n 项和，则S 2 014＝( )A ．2 015B ．－2 015C ．3 021D ．－3 022解析：由题知a 1＝tan(180°＋45°)＝1，∴a 5＝13 ∴d ＝a 5－a 15－1＝124＝3. ∴a n ＝1＋3(n －1)＝3n －2. 设b n ＝(－1)na n ＝(－1)n(3n －2)，∴S 2 014＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋(－6 037＋6 040)＝3×1 007＝3 021.故选C. 答案：C2．设{a n }是公差不为零的等差数列，a 2＝2，且a 1，a 3，a 9成等比数列，则数列{a n }的前n 项和S n ＝( )A.n 24＋7n 4 B ．n 22＋3n 2C.n 24＋3n4D ．n 22＋n2解析：设等差数列{a n }的公差为d ，则 由a 23＝a 1a 9得(a 2＋d )2＝(a 2－d )(a 2＋7d )， 代入a 2＝2，解得d ＝1或d ＝0(舍)． ∴a n ＝2＋(n －2)×1＝n ， ∴S n ＝a 1＋a n n2＝1＋n n 2＝n 22＋n 2.故选D. 答案：D3．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 2a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5＝( )A ．29B ．31C ．33D ．36解析：设等比数列{a n }的公比为q 则a 21q 3＝2a 1，①a 1q 3＋2a 1q 6＝52，②解得a 1＝16，q ＝12，∴S 5＝a 11－q 51－q＝31，故选B.答案：B4．已知等比数列{a n }的各项均为正数，a 1＝1，公比为q ；等差数列{b n }中，b 1＝3，且{b n }的前n 项和为S n ，a 3＋S 3＝27，q ＝S 2a 2.(1)求{a n }与{b n }的通项公式；(2)设数列{c n }满足c n ＝32S n ，求{c n }的前n 项和T n .解：(1)设数列{b n }的公差为d ， ∵a 3＋S 3＝27，q ＝S 2a 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧q 2＋3d ＝18，6＋d ＝q 2.求得q ＝3，d ＝3，∴a n ＝3n －1，b n ＝3n .(2)由题意得S n ＝n 3＋3n2，c n ＝32S n ＝32×23×1n n ＋1＝1n －1n ＋1. ∴T n ＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1.5．(xx 届广州综合测试)已知数列{a n }是等比数列，a 2＝4，a 3＋2是a 2和a 4的等差中项． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2log 2a n －1，求数列{a n b n }的前n 项和T n . 解：(1)设数列{a n }的公比为q ， 因为a 2＝4，所以a 3＝4q ，a 4＝4q 2. 因为a 3＋2是a 2和a 4的等差中项， 所以2(a 3＋2)＝a 2＋a 4， 化简得q 2－2q ＝0. 因为公比q ≠0，所以q ＝2. 所以a n ＝a 2qn －2＝4×2n －2＝2n (n ∈N *)．(2)因为a n ＝2n，所以b n ＝2log 2a n －1＝2n －1， 所以a n b n ＝(2n －1)2n，则T n ＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n －3)2n －1＋(2n －1)2n，①2T n ＝1×22＋3×23＋5×24＋…＋(2n －3)2n＋(2n －1)·2n ＋1.②由①－②得，－T n ＝2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n －(2n －1)2n ＋1＝2＋2×41－2n －11－2－(2n －1)2n ＋1＝－6－(2n －3)2n ＋1，所以T n ＝6＋(2n －3)2n ＋1.6．S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a n >0，a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3. (1)求{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和．解：(1)由a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3，① 可知a 2n ＋1＋2a n ＋1＝4S n ＋1＋3.②②－①，得a 2n ＋1－a 2n ＋2(a n ＋1－a n )＝4a n ＋1， 即2(a n ＋1＋a n )＝a 2n ＋1－a 2n ＝(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n )． 由a n >0，得a n ＋1－a n ＝2.又a 21＋2a 1＝4a 1＋3，解得a 1＝－1(舍去)或a 1＝3. 所以{a n }是首项为3，公差为2的等差数列， 通项公式为a n ＝2n ＋1. (2)由a n ＝2n ＋1可知b n ＝1a n a n ＋1＝12n ＋12n ＋3＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3.设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3＝n32n ＋3.7．已知数列{a n }与{b n }满足a n ＋1－a n ＝2(b n ＋1－b n )(n ∈N *)． (1)若a 1＝1，b n ＝3n ＋5，求数列{a n }的通项公式；(2)若a 1＝6，b n ＝2n(n ∈N *)且λa n >2n ＋n ＋2λ对一切n ∈N *恒成立， 求实数λ的取值范围．解：(1)因为a n ＋1－a n ＝2(b n ＋1－b n )，b n ＝3n ＋5， 所以a n ＋1－a n ＝2(b n ＋1－b n )＝2(3n ＋8－3n －5)＝6， 所以{a n }是等差数列，首项为1，公差为6， 即a n ＝6n －5. (2)因为b n ＝2n， 所以a n ＋1－a n ＝2(2n ＋1－2n )＝2n ＋1，当n ≥2时，a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2n ＋2n －1＋…＋22＋6＝2n ＋1＋2，当n ＝1时，a 1＝6，符合上式，所以a n ＝2n ＋1＋2，由λa n >2n＋n ＋2λ得λ>2n＋n 2n ＋1＝12＋n 2n ＋1，令f (n )＝12＋n 2n ＋1，因为f (n ＋1)－f (n )＝n ＋12n ＋2－n 2n ＋1＝1－n 2n ＋2≤0， 所以12＋n2n ＋1在n ≥1时单调递减，所以当n ＝1,2时，2n＋n 2n ＋1取最大值34，故λ的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫34，＋∞. [能 力 提 升]1．已知数列{a n }的首项为a 1＝1，前n 项和为S n ，且数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是公差为2的等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝(－1)na n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)由已知得S n n＝1＋(n －1)×2＝2n －1， 所以S n ＝2n 2－n ， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－n －[2(n －1)2－(n －1)]＝4n －3. a 1＝1＝4×1－3，所以a n ＝4n －3，n ∈N *.(2)由(1)可得b n ＝(－1)na n ＝(－1)n(4n －3)． 当n 为偶数时，T n ＝(－1＋5)＋(－9＋13)＋…＋[－(4n －7)＋(4n －3)]＝4×n2＝2n ，当n 为奇数时，n ＋1为偶数，T n ＝T n ＋1－b n ＋1＝2(n ＋1)－(4n ＋1)＝－2n ＋1，综上，T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ，n ＝2k ，k ∈N *，－2n ＋1，n ＝2k －1，k ∈N *.2．在数列{a n }中，已知a n >1，a 1＝1＋3，且a n ＋1－a n ＝2a n ＋1＋a n －2，记b n ＝(a n －1)2，n ∈N *.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)设数列{b n }的前n 项和为S n ，证明：13≤1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n <34.解：(1)因为a n ＋1－a n ＝2a n ＋1＋a n －2，所以a 2n ＋1－a 2n －2a n ＋1＋2a n ＝2， 即(a n ＋1－1)2－(a n －1)2＝2. 又b n ＝(a n －1)2，n ∈N *，所以b n ＋1－b n ＝2，数列{b n }是以b 1＝(1＋3－1)2＝3为首项，2为公差的等差数列， 故b n ＝2n ＋1，n ∈N *. (2)证明：由(1)得S n ＝n 3＋2n ＋12＝n (n ＋2)，所以1S n ＝1nn ＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2，n ∈N *， 所以1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1n ＋1－1n ＋2＝34－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2<34.记T n ＝1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n，因为1S n>0，n ∈N *，所以T n 单调递增．故T n ≥T 1＝1S 1＝13.综上13≤1S 1＋1S 2＋…＋1S n <34.3．已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 2n ＋a n ＝2S n . (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：S n2<S 1＋S 2＋…＋S n <S n ＋1－12.解：(1)因为当n ∈N *时，a 2n ＋a n ＝2S n ， 故当n >1时，a 2n －1＋a n －1＝2S n －1，两式相减得，a 2n －a 2n －1＋a n －a n －1＝2S n －2S n －1＝2a n ， 即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1)＝a n ＋a n －1.因为a n >0，所以a n ＋a n －1>0，所以当n >1时，a n －a n －1＝1.又当n ＝1时，a 21＋a 1＝2S 1＝2a 1，得a 1＝1， 所以数列{a n }是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以a n ＝n .(2)证明：由(1)及等差数列的前n 项和公式知S n ＝n n ＋12，所以S n ＝ n n ＋12>n 22＝n2， 所以S 1＋S 2＋…＋S n >12＋22＋…＋n 2＝ 1＋2＋…＋n 2＝S n 2. 又S n ＝ n n ＋12<n ＋122＝n ＋12， 所以S 1＋S 2＋…＋S n <22＋32＋…＋n ＋12＝1＋2＋…＋n ＋12－12＝S n ＋1－12， 所以S n2<S 1＋S 2＋…＋S n <S n ＋1－12.。

人教版2020版高考数学理科一轮复习课时作业一（共7篇）目录课时作业1集合 (3).................................................................. 错误！未定义书签。

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课时作业2命题及其关系、充分条件与必要条件 (10).................................................................. 错误！未定义书签。

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课时作业3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词. (16).................................................................. 错误！未定义书签。

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课时作业4函数及其表示. (22).................................................................. 错误！未定义书签。

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课时作业5函数的单调性与最值. (28).................................................................. 错误！未定义书签。

课时作业55 抛物线1．(2019·广东珠海模拟)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，点P 为抛物线上一点，且在第一象限，P A ⊥l ，垂足为A ，|PF |＝4，则直线AF 的倾斜角等于( B )A.7π12 B ．2π3 C.3π4D ．5π6解析：由抛物线y 2＝4x 知焦点F 的坐标为(1,0)，准线l 的方程为x ＝－1，由抛物线定义可知|P A |＝|PF |＝4，所以点P 的坐标为(3,23)，因此点A 的坐标为(－1,23)，所以k AF ＝23－0－1－1＝－3，所以直线AF的倾斜角等于2π3，故选B.2．(2019·湖北四地七校联考)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，点C (－4,0)，过抛物线的焦点作垂直于x 轴的直线，与抛物线交于A ，B 两点，若△CAB 的面积为24，则以直线AB 为准线的抛物线的标准方程是( D )A ．y 2＝4xB ．y 2＝－4xC ．y 2＝8xD ．y 2＝－8x解析：因为AB ⊥x 轴，且AB 过点F ，所以AB 是焦点弦，且|AB |＝2p ，所以S △CAB ＝12×2p ×⎝⎛⎭⎪⎫p 2＋4＝24，解得p ＝4或－12(舍)，所以抛物线方程为y 2＝8x ，所以直线AB 的方程为x ＝2，所以以直线AB 为准线的抛物线的标准方程为y 2＝－8x ，故选D.3．已知抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)，若直线y ＝2x 被抛物线所截弦长为45，则抛物线C 的方程为( C )A ．x 2＝8yB ．x 2＝4yC ．x 2＝2yD ．x 2＝y解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝2py ，y ＝2x ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4p ，y ＝8p ，即两交点坐标为(0,0)和(4p,8p )，则(4p )2＋(8p )2＝45，得p ＝1(舍去负值)， 故抛物线C 的方程为x 2＝2y .4．(2019·河南百校联盟联考)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点M 在抛物线C 上，且|MO |＝|MF |＝32(O 为坐标原点)，则OM →·MF →＝( A )A ．－74 B ．74 C.94D ．－94解析：不妨设M (m ，2pm )(m ＞0)，易知抛物线C 的焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，因为|MO |＝|MF |＝32， 所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2pm ＝94，m ＋p 2＝32，解得m ＝12，p ＝2，所以OM →＝⎝⎛⎭⎪⎫12，2，MF →＝⎝⎛⎭⎪⎫12，－2， 所以OM →·MF →＝14－2＝－74.故选A.5．如图，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是( A )A.|BF |－1|AF |－1 B ．|BF |2－1|AF |2－1C.|BF |＋1|AF |＋1D ．|BF |2＋1|AF |2＋1解析：过A ，B 点分别作y 轴的垂线，垂足分别为M ，N ， 则|AM |＝|AF |－1，|BN |＝|BF |－1.可知S △BCF S △ACF ＝12·|CB |·|CF |·sin ∠BCF12·|CA |·|CF |·sin ∠BCF ＝|CB ||CA |＝|BN ||AM |＝|BF |－1|AF |－1，故选A.6．(2019·江西六校联考)已知抛物线C ：y 2＝23x ，过焦点F 且斜率为3的直线与C 交于P ，Q 两点，且P ，Q 两点在准线上的射影分别为M ，N 两点，则S △MFN ＝( B )A ．8B ．2 3C ．4 3D ．8 3解析：法一：不妨设点P 在x 轴上方，如图，由抛物线定义可知|PF |＝|PM |，|QF |＝|QN |，设直线PQ 的倾斜角为θ，则tan θ＝3，所以θ＝π3， 由抛物线焦点弦的性质可知， |PF |＝p 1－cos θ＝31－cos π3＝23， |QF |＝p1＋cos θ＝31＋cos π3＝233， 所以|MN |＝|PQ |·sin θ＝(|PF |＋|QF |)·sin π3＝833×32＝4， 所以S △MFN ＝12×|MN |×p ＝12×4×3＝23，故选B. 法二：由题意可得直线PQ ：y ＝3⎝⎛⎭⎪⎫x －32＝3x －32，与抛物线方程y 2＝23x 联立，得⎝⎛⎭⎪⎫3x －322＝23x ，即3x 2－53x ＋94＝0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝533， 所以|PQ |＝x 1＋x 2＋p ＝533＋3＝833， 所以|MN |＝|PQ |sin π3＝4，所以S △MNF ＝12×4×3＝23，故选B.7．如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2 m ，水面宽4 m ．当水面宽为2 6 m 时，水位下降了 1 m.解析：以抛物线的顶点为坐标原点，水平方向为x 轴建立平面直角坐标系，设抛物线的标准方程为x 2＝－2py (p ＞0)，把(2，－2)代入方程得p ＝1，即抛物线的标准方程为x 2＝－2y .将x ＝6代入x 2＝－2y 得：y ＝－3，又－3－(－2)＝－1，所以水面下降了1 m.8．如图，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a ，b (a ＜b )，原点O 为AD 的中点，抛物线y 2＝2px (p ＞0)经过C ，F 两点，则b a＝ 1＋2 .解析：|OD |＝a2，|DE |＝b ，|DC |＝a ，|EF |＝b ，故C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，－a ，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋b ，b ， 又抛物线y 2＝2px (p ＞0)经过C 、F 两点，从而有⎩⎪⎨⎪⎧(－a )2＝2p ×a 2，b 2＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋b ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝p ，b 2＝ap ＋2bp ， ∴b 2＝a 2＋2ab ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2－2·ba －1＝0，又b a ＞1，∴ba ＝1＋ 2.9．已知抛物线C 1：y ＝ax 2(a ＞0)的焦点F 也是椭圆C 2：y 24＋x 2b 2＝1(b ＞0)的一个焦点，点M ，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，1分别为曲线C 1，C 2上的点，则|MP |＋|MF |的最小值为 2 .解析：将P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，1代入到y 24＋x 2b 2＝1中，可得14＋94b 2＝1，∴b ＝3，∴c ＝1，∴抛物线的焦点F 为(0,1)，∴抛物线C 1的方程为x 2＝4y ，准线为直线y ＝－1，设点M 在准线上的射影为D ，根据抛物线的定义可知|MF |＝|MD |，∴要求|MP |＋|MF |的最小值，即求|MP |＋|MD |的最小值，易知当D ，M ，P 三点共线时，|MP |＋|MD |最小，最小值为1－(－1)＝2.10．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝6x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足．若直线AF 的斜率k ＝－3，则线段PF 的长为 6 . 解析：由抛物线方程为y 2＝6x ，所以焦点坐标F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，准线方程为x ＝－32，因为直线AF 的斜率为－3，所以直线AF 的方程为y ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32，画图象如图．当x ＝－32时，y ＝33，所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，33，因为P A ⊥l ，A 为垂足，所以点P 的纵坐标为33，可得点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫92，33， 根据抛物线的定义可知 |PF |＝|P A |＝92－⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝6.11．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是过F 的直线与抛物线的两个交点，求证：(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24；(2)1|AF |＋1|BF |为定值；(3)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．证明：(1)由已知得抛物线焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0.由题意可设直线方程为x ＝my ＋p2，代入y 2＝2px ， 得y 2＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫my ＋p 2，即y 2－2pmy －p 2＝0.(*)因为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0在抛物线内部，所以直线与抛物线必有两交点． 则y 1，y 2是方程(*)的两个实数根， 所以y 1y 2＝－p 2.因为y 21＝2px 1，y 22＝2px 2， 所以y 21y 22＝4p 2x 1x 2， 所以x 1x 2＝y 21y 224p 2＝p 44p 2＝p 24.(2)1|AF |＋1|BF |＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p 2＝x 1＋x 2＋p x 1x 2＋p 2(x 1＋x 2)＋p 24. 因为x 1x 2＝p 24，x 1＋x 2＝|AB |－p ，代入上式，得1|AF |＋1|BF |＝|AB |p 24＋p 2(|AB |－p )＋p 24＝2p (定值)．(3)设AB 的中点为M (x 0，y 0)，如图所示，分别过A ，B 作准线l 的垂线，垂足为C ，D ，过M 作准线l 的垂线，垂足为N ，则|MN |＝12(|AC |＋|BD |) ＝12(|AF |＋|BF |)＝12|AB |.所以以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．12．(2019·武汉调研)已知直线y ＝k (x －2)与抛物线Γ：y 2＝12x 相交于A ，B 两点，M 是线段AB 的中点，过M 作y 轴的垂线交Γ于点N .(1)证明：抛物线Γ在点N 处的切线与直线AB 平行；(2)是否存在实数k 使NA →·NB →＝0？若存在，求k 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：由⎩⎨⎧y ＝k (x －2)，y 2＝12x消去y 并整理，得2k 2x 2－(8k 2＋1)x ＋8k 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝8k 2＋12k 2，x 1x 2＝4， ∴x M ＝x 1＋x 22＝8k 2＋14k 2，y M ＝k (x M －2)＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2＋14k 2－2＝14k. 由题设条件可知，y N ＝y M ＝14k ，x N ＝2y 2N ＝18k 2， ∴N ⎝ ⎛⎭⎪⎫18k 2，14k . 设抛物线Γ在点N 处的切线l 的方程为 y －14k ＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －18k 2，将x ＝2y 2代入上式， 得2my 2－y ＋14k －m8k 2＝0. ∵直线l 与抛物线Γ相切，∴Δ＝1－4×2m ×⎝ ⎛⎭⎪⎫14k －m 8k 2＝(m －k )2k 2＝0，∴m ＝k ，即l ∥AB .(2)假设存在实数k ，使NA →·NB →＝0， 则NA ⊥NB .∵M 是AB 的中点，∴|MN |＝12|AB |. 由(1)，得|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2＋12k 22－4×4 ＝1＋k 2·16k 2＋12k 2. ∵MN ⊥y 轴，∴|MN |＝|x M －x N |＝8k 2＋14k 2－18k 2＝16k 2＋18k 2.∴16k 2＋18k 2＝121＋k 2·16k 2＋12k 2，解得k ＝±12.故存在k ＝±12，使得NA →·NB →＝0.13．(2019·福建六校联考)已知抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，过F 且斜率为1的直线交E 于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，其垂直平分线交x 轴于点C ，MN ⊥y 轴于点N .若四边形CMNF 的面积等于7，则抛物线E 的方程为( C )A ．y 2＝xB ．y 2＝2xC ．y 2＝4xD ．y 2＝8x解析：由题意，得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，直线AB 的方程为y ＝x －p2，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，联立y ＝x －p2和y 2＝2px 得，y 2－2py －p 2＝0，则y 1＋y 2＝2p ，所以y 0＝y 1＋y 22＝p ，故N (0，p )，又因为点M 在直线AB 上，所以x 0＝3p 2，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3p 2，p ，因为MC ⊥AB ，所以k AB ·k MC ＝－1，故k MC ＝－1，从而直线MC 的方程为y ＝－x ＋52p ，令y ＝0，得x ＝52p ，故C ⎝ ⎛⎭⎪⎫5p 2，0，四边形CMNF 的面积可以看作直角梯形CMNO 与直角三角形NOF 的面积之差， 即S 四边形CMNF ＝S 梯形CMNO －S △NOF ＝ 12⎝ ⎛⎭⎪⎫52p ＋32p ·p －12p ·p 2＝74p 2＝7，∴p 2＝4，又p ＞0，∴p ＝2，故抛物线E 的方程为y 2＝4x ，故选C. 14．抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB ＝120°，过AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则|MN ||AB |的最大值为( A ) A.33 B ．1 C.233 D ．2 解析：过A ，B 分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为A 1，B 1，如图，由题意知|MN |＝12(|AA 1|＋|BB 1|)＝12(|AF |＋|BF |)， 在△AFB 中，|AB |2＝|AF |2＋|BF |2－2|AF ||BF |·cos120°＝|AF |2＋|BF |2＋|AF ||BF |，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫|MN ||AB |2＝14·|AF |2＋|BF |2＋2|AF ||BF ||AF |2＋|BF |2＋|AF ||BF | ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋|AF ||BF ||AF |2＋|BF |2＋|AF ||BF | ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1|AF ||BF |＋|BF ||AF |＋1 ≤14×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋1＝13， 当且仅当|AF |＝|BF |时取等号， ∴|MN ||AB |的最大值为33. 15．设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆(x －5)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点．若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是 (2,4) . 解析：如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，两式相减得，(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)． 当l 的斜率k 不存在时，符合条件的直线l 必有两条． 当k 存在时，x 1≠x 2， 则有y 1＋y 22·y 1－y 2x 1－x 2＝2， 又y 1＋y 2＝2y 0，所以y 0k ＝2.由CM ⊥AB ，得k ·y 0－0x 0－5＝－1， 即y 0k ＝5－x 0，因此2＝5－x 0，x 0＝3， 即M 必在直线x ＝3上． 将x ＝3代入y 2＝4x ， 得y 2＝12，则有－23＜y 0＜2 3. 因为点M 在圆上，所以(x 0－5)2＋y 20＝r 2， 故r 2＝y 20＋4＜12＋4＝16. 又y 20＋4＞4(为保证有4条，在k 存在时，y 0≠0)， 所以4＜r 2＜16，即2＜r ＜4. 16．(2019·武汉调研)已知抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)和定点M (0,1)，设过点M 的动直线交抛物线C 于A ，B 两点，抛物线C 在A ，B 处的切线交点为N . (1)若N 在以AB 为直径的圆上，求p 的值； (2)若△ABN 面积的最小值为4，求抛物线C 的方程． 解：(1)可设AB ：y ＝kx ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将AB 的方程代入抛物线C ，得 x 2－2pkx －2p ＝0，显然方程有两个不等实根， 则x 1＋x 2＝2pk ，x 1x 2＝－2p .① 又x 2＝2py ，得y ′＝x p ， 则A ，B 处的切线斜率乘积为x 1x 2p 2＝－2p ＝－1， 则有p ＝2. (2)设切线AN 为y ＝x 1p x ＋b ， 又切点A 在抛物线y ＝x 22p 上， ∴y 1＝x 212p ，∴b ＝x 212p －x 21p ＝－x 212p ， ∴y AN ＝x 1p x －x 212p .同理y BN ＝x 2p x －x 222p .又∵N 在y AN 和y BN 上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 1p x －x 212p ，y ＝x 2p x －x 222p ，解得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，x 1x 22p . ∴N (pk ，－1)． |AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝1＋k 2·4p 2k 2＋8p ， 点N 到直线AB 的距离d ＝|kx N ＋1－y N |1＋k 2＝|pk 2＋2|1＋k 2， S △ABN ＝12·|AB |·d ＝p (pk 2＋2)3≥22p ， ∴22p ＝4，∴p ＝2. 故抛物线C 的方程为x 2＝4y .。

课时作业11 函数与方程1．(2019·烟台模拟)函数f (x )＝ln(x ＋1)－1x 的一个零点所在的区间是( B )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)解析：∵f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝ln2－1＜0，f (2)＝ln3－12＞0，∴f (x )的零点所在区间为(1,2)，故选B.2．下列函数中，在(－1,1)内有零点且单调递增的是( B ) A ．y ＝log 12x B ．y ＝2x －1 C ．y ＝x 2－12D ．y ＝－x 3解析：函数y ＝log 12x 在定义域上单调递减，y ＝x 2－12在(－1,1)上不是单调函数，y ＝－x 3在定义域上单调递减，均不符合要求．对于y ＝2x －1，当x ＝0∈(－1,1)时，y ＝0且y ＝2x －1在R 上单调递增，故选B.3．函数f (x )＝2x－2x －a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是( C )A ．(1,3)B ．(1,2)C ．(0,3)D ．(0,2)解析：因为f (x )在(0，＋∞)上是增函数，则由题意得f (1)·f (2)＝(0－a )(3－a )＜0，解得0＜a ＜3，故选C.4．(2019·安庆模拟)函数f (x )＝x 2－ax ＋1在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上有零点，则实数a 的取值范围是( D )A ．(2，＋∞)B ．[2，＋∞)C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，52 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，103 解析：由题意知方程ax ＝x 2＋1在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上有解， 即a ＝x ＋1x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上有解，设t ＝x ＋1x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3，则t 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，103. ∴实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，103. 5．(2019·安徽安庆模拟)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2，x ∈[0，1)，2－x 2，x ∈[－1，0)，且f (x ＋1)＝f (x －1)，若g (x )＝3－log 2x ，则函数F (x )＝f (x )－g (x )在(0，＋∞)内的零点个数为( B )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：由f (x ＋1)＝f (x －1)，知f (x )的周期是2，画出函数f (x )和g (x )的部分图象，如图所示，由图象可知f (x )与g (x )的图象有2个交点，故f (x )有2个零点，故选B.6．(2019·安徽马鞍山一模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3|x －1|，x ＞0，－x 2－2x ＋1，x ≤0，若关于x 的方程[f (x )]2＋(a －1)f (x )－a ＝0有7个不等的实数根，则实数a 的取值范围是( C )A ．[1,2]B ．(1,2)C ．(－2，－1)D ．[－2，－1]解析：函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3|x －1|，x ＞0，－x 2－2x ＋1，x ≤0的图象如图：关于x 的方程[f (x )]2＋(a －1)f (x )－a ＝0有7个不等的实数根，即[f (x )＋a ][f (x )－1]＝0有7个不等的实数根，易知f (x )＝1有3个不等的实数根，∴f (x )＝－a 必须有4个不相等的实数根，由函数f (x )的图象可知－a ∈(1,2)，∴a ∈(－2，－1)．故选C.7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1(0≤x ≤1)，f (x －1)＋m (x ＞1)在定义域[0，＋∞)上单调递增，且对于任意a ≥0，方程f (x )＝a 有且只有一个实数解，则函数g (x )＝f (x )－x 在区间[0,2n ](n ∈N *)上的所有零点的和为( B )A.n (n ＋1)2 B ．22n －1＋2n －1 C.(1＋2n )22D ．2n －1解析：函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1(0≤x ≤1)，f (x －1)＋m (x ＞1)在定义域[0，＋∞)上单调递增，且对于任意a ≥0，方程f (x )＝a 有且只有一个实数解，则f (x )是连续函数，可得m ＝1.画出y ＝f (x )与y ＝x 的图象如图，图象交点的横坐标就是函数g (x )＝f (x )－x 的零点．由图知，函数g (x )在区间[0,2n ](n ∈N *)上的所有零点的和为1＋2＋3＋…＋(2n－1)＋2n＝22n－1＋2n－1，故选B.8．(2019·广东茂名一模)定义在R上的奇函数f(x)满足条件f(1＋x)＝f(1－x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝x，若函数g(x)＝|f(x)|－a e－|x|在区间[－2 018,2 018]上有4 032个零点，则实数a的取值范围是(B)A．(0,1) B．(e，e3)C．(e，e2) D．(1，e3)解析：f(x)满足条件f(1＋x)＝f(1－x)且为奇函数，则f(x)的图象关于x＝1对称，且f(x)＝f(2－x)，f(x)＝－f(－x)，∴－f(－x)＝f(2－x)，即－f(x)＝f(2＋x)，∴f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)的周期为4.令m(x)＝|f(x)|，n(x)＝a e－|x|，画出m(x)、n(x)的图象如图，可知m(x)与n(x)为偶函数，且要使m(x)与n(x)图象有交点，需a ＞0，由题意知要满足g(x)在区间[－2 018，2 018]上有4 032个零点，只需m (x )与n (x )的图象在[0,4]上有两个交点，则⎩⎪⎨⎪⎧m (1)＜n (1)，m (3)＞n (3)，可得e＜a ＜e 3，故选B.9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤a ，x 2，x ＞a .若存在实数b ，使函数g (x )＝f (x )－b 有两个零点，则a 的取值范围是 (－∞，0)∪(1，＋∞) .解析：令φ(x )＝x 3(x ≤a )，h (x )＝x 2(x ＞a )，函数g (x )＝f (x )－b 有两个零点，即函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝b 有两个交点，结合图象(图略)可得a ＜0或φ(a )＞h (a )，即a ＜0或a 3＞a 2，解得a ＜0或a ＞1，故a ∈(－∞，0)∪(1，＋∞)．10．已知e 是自然对数的底数，函数f (x )＝e x ＋x －2的零点为a ，函数g (x )＝ln x ＋x －2的零点为b ，则f (a )，f (1)，f (b )的大小关系为 f (a )＜f (1)＜f (b ) .解析：由题意，知f ′(x )＝e x ＋1＞0恒成立， 所以函数f (x )在R 上是单调递增的， 而f (0)＝e 0＋0－2＝－1＜0， f (1)＝e 1＋1－2＝e －1＞0， 所以函数f (x )的零点a ∈(0,1)； 由题意，知g ′(x )＝1x ＋1＞0，所以函数g (x )在(0，＋∞)上是单调递增的，又g (1)＝ln1＋1－2＝－1＜0，g (2)＝ln2＋2－2＝ln2＞0， 所以函数g (x )的零点b ∈(1,2)． 综上，可得0＜a ＜1＜b ＜2. 因为f (x )在R 上是单调递增的， 所以f (a )＜f (1)＜f (b )．11．已知函数f (x )＝－x 2－2x ，g (x )＝⎩⎨⎧x ＋14x ，x ＞0，x ＋1，x ≤0.(1)求g (f (1))的值；(2)若方程g (f (x ))－a ＝0有4个不相等的实数根，求实数a 的取值范围．解：(1)利用解析式直接求解得 g (f (1))＝g (－3)＝－3＋1＝－2. (2)令f (x )＝t ，则原方程化为g (t )＝a ，易知方程f (x )＝t 在(－∞，1)上有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数y ＝g (t )(t ＜1)与y ＝a 的图象有2个不同的交点，作出函数y ＝g (t )(t ＜1)的图象如图，由图象可知，当1≤a ＜54时，函数y ＝g (t )(t ＜1)与y ＝a 有2个不同的交点，即所求a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，54. 12．已知二次函数f (x )的最小值为－4，且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤3，x ∈R }．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数g (x )＝f (x )x －4ln x 的零点个数．解：(1)∵f (x )是二次函数，且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤3，x ∈R }，∴设f (x )＝a (x ＋1)(x －3)＝ax 2－2ax －3a ，且a ＞0. ∵f (x )min ＝f (1)＝－4a ＝－4，∴a ＝1. 故函数f (x )的解析式为f (x )＝x 2－2x －3.(2)∵g (x )＝x 2－2x －3x －4ln x ＝x －3x －4ln x －2(x ＞0)， ∴g ′(x )＝1＋3x 2－4x ＝(x －1)(x －3)x 2. 令g ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝3.当x 变化时，g ′(x )，g (x )的取值变化情况如下：当0＜x ≤3时，g (x )≤g (1)＝－4＜0. 又因为g (x )在(3，＋∞)上单调递增， 因而g (x )在(3，＋∞)上只有1个零点， 故g (x )在(0，＋∞)上仅有1个零点．13．(2019·河南安阳模拟)设函数f (x )＝ln(x ＋1)＋a ·(x 2－x )，若f (x )在区间(0，＋∞)上无零点，则实数a 的取值范围是( A )A ．[0,1]B ．[－1,0]C ．[0,2]D ．[－1,1]解析：令f (x )＝0，可得ln(x ＋1)＝－a (x 2－x )， 令g (x )＝ln(x ＋1)，h (x )＝－a (x 2－x )， ∵f (x )在区间(0，＋∞)上无零点，∴g (x )＝ln(x ＋1)与h (x )＝－a (x 2－x )的图象在y 轴右侧无交点．显然当a ＝0时符合题意；当a ＜0时，作出g (x )＝ln(x ＋1)与h (x )＝－a (x 2－x )的函数图象如图1所示，显然两函数图象在y 轴右侧必有一交点，不符合题意； 当a ＞0时，作出g (x )＝ln(x ＋1)与h (x )＝－a (x 2－x )的函数图象如图2所示，若两函数图象在y 轴右侧无交点， 则h ′(0)≤g ′(0)，即a ≤1. 综上，0≤a ≤1，故选A.图1图214．(2019·福建宁德一模)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧kx ＋3，x ≥0，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，x ＜0，若方程f (f (x ))－2＝0恰有三个实数根，则实数k 的取值范围是( C )A ．[0，＋∞)B ．[1,3] C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，－13 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－13 解析：∵f (f (x ))－2＝0，∴f (f (x ))＝2，∴f (x )＝－1或f (x )＝－1k (k ≠0)．(1)当k ＝0时，作出函数f (x )的图象如图①所示， 由图象可知f (x )＝－1无解， ∴k ＝0不符合题意；(2)当k ＞0时，作出函数f (x )的图象如图②所示， 由图象可知f (x )＝－1无解且f (x )＝－1k 无解， 即f (f (x ))－2＝0无解，不符合题意；(3)当k ＜0时，作出函数f (x )的图象如图③所示， 由图象可知f (x )＝－1有1个实根， ∵f (f (x ))－2＝0有3个实根， ∴f (x )＝－1k 有2个实根， ∴1＜－1k ≤3，解得－1＜k ≤－13.综上，k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，－13，故选C. 15．对任意实数a ，b 定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a －b ≥1，a ，a －b ＜1.设f (x )＝(x 2－1)⊗(4＋x )，若函数g (x )＝f (x )＋k 的图象与x 轴恰有三个不同的交点，则k 的取值范围是 [－2,1) .解析：解不等式x 2－1－(4＋x )≥1，得x ≤－2或x ≥3，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4，x ∈(－∞，－2]∪[3，＋∞)，x 2－1，x ∈(－2，3).函数g (x )＝f (x )＋k 的图象与x 轴恰有三个不同的交点转化为函数f (x )的图象和直线y ＝－k 恰有三个不同的交点．作出函数f (x )的图象如图所示，所以－1＜－k ≤2，故－2≤k ＜1.16．(2019·郑州模拟)若a ＞1，设函数f (x )＝a x ＋x －4的零点为m ，函数g (x )＝log a x ＋x －4的零点为n ，则1m ＋1n 的最小值为 1 .解析：设F (x )＝a x ，G (x )＝log a x ，h (x )＝4－x ，则h (x )与F (x )，G (x )的交点A ，B 横坐标分别为m ，n (m ＞0，n ＞0)．因为F (x )与G (x )关于直线y ＝x 对称， 所以A ，B 两点关于直线y ＝x 对称．又因为y ＝x 和h (x )＝4－x 交点的横坐标为2， 所以m ＋n ＝4.又m ＞0，n ＞0，所以1m ＋1n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n ·m ＋n 4＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋n m ＋m n ≥14⎝⎛⎭⎪⎫2＋2n m ×m n ＝1. 当且仅当n m ＝mn ，即m ＝n ＝2时等号成立． 所以1m ＋1n 的最小值为1.。

课时作业56 曲线与方程1．方程(x 2＋y 2－2x )x ＋y －3＝0表示的曲线是( D ) A ．一个圆和一条直线 B ．一个圆和一条射线 C ．一个圆D ．一条直线解析：依题意，题中的方程等价于①x ＋y －3＝0或②⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，x 2＋y 2－2x ＝0.注意到圆x 2＋y 2－2x ＝0上的点均位于直线x ＋y －3＝0的左下方区域，即圆x 2＋y 2－2x ＝0上的点均不满足x ＋y －3≥0，即②不表示任何图形，因此题中的方程表示的曲线是直线x ＋y －3＝0.2．(2019·兰州模拟)已知△ABC 的顶点A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是( C )A.x 29－y 216＝1 B ．x 216－y 29＝1 C.x 29－y 216＝1(x ＞3) D ．x 216－y 29＝1(x ＞4)解析：如图，|AD |＝|AE |＝8，|BF |＝|BE |＝2，|CD |＝|CF |，所以|CA |－|CB |＝8－2＝6＜10＝|AB |.根据双曲线定义，所求轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支(y ≠0)，方程为x 29－y 216＝1(x ＞3)．3．已知正方形的四个顶点分别为O (0,0)，A (1,0)，B (1,1)，C (0,1)，点D ，E 分别在线段OC ，AB 上运动，且|OD |＝|BE |，设AD 与OE 交于点G ，则点G 的轨迹方程是( A )A ．y ＝x (1－x )(0≤x ≤1)B ．x ＝y (1－y )(0≤y ≤1)C ．y ＝x 2(0≤x ≤1)D ．y ＝1－x 2(0≤x ≤1)解析：设D (0，λ)，E (1,1－λ)，0≤λ≤1，所以线段AD 的方程为x ＋yλ＝1(0≤x ≤1)，线段OE 的方程为y ＝(1－λ)x (0≤x ≤1)，联方方程⎩⎨⎧x ＋y λ＝1，0≤x ≤1，y ＝(1－λ)x ，0≤x ≤1(λ为参数)，消去参数λ得点G 的轨迹方程为y ＝x (1－x )(0≤x ≤1)．4．(2019·福建漳州八校联考)已知圆M ：(x ＋5)2＋y 2＝36，定点N (5，0)，点P 为圆M 上的动点，点Q 在NP 上，点G 在线段MP上，且满足N P →＝2 N Q →，G Q →·N P →＝0，则点G 的轨迹方程是( A )A.x 29＋y 24＝1 B ．x 236＋y 231＝1 C.x 29－y 24＝1D ．x 236－y 231＝1解析：由N P →＝2 N Q →，G Q →·N P →＝0知GQ 所在直线是线段NP 的垂直平分线，连接GN ，∴|GN |＝|GP |，∴|GM |＋|GN |＝|MP |＝6＞25，∴点G 的轨迹是以M ，N 为焦点的椭圆，其中2a ＝6,2c ＝25，∴b 2＝4，∴点G 的轨迹方程为x 29＋y 24＝1，故选A.5．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，A (1,0)，B (1,1)，C (0,1)，映射f 将xOy 平面上的点P (x ，y )对应到另一个平面直角坐标系uO ′v 上的点P ′(2xy ，x 2－y 2)，则当点P 沿着折线A －B －C 运动时，在映射f 的作用下，动点P ′的轨迹是( D )解析：当P 沿AB 运动时，x ＝1，设P ′(x ′，y ′)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2y ，y ′＝1－y2(0≤y ≤1)，故y ′＝1－x ′24(0≤x ′≤2,0≤y ′≤1)．当P 沿BC 运动时，y ＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝x 2－1(0≤x ≤1)，所以y ′＝x ′24－1(0≤x ′≤2，－1≤y ′≤0)，由此可知P ′的轨迹如D 所示，故选D.6．平面直角坐标系中，已知两点A (3,1)，B (－1,3)，若点C 满足O C →＝λ1 O A →＋λ2 O B →(O 为原点)，其中λ1，λ2∈R ，且λ1＋λ2＝1，则点C 的轨迹是( A )A ．直线B ．椭圆C ．圆D ．双曲线解析：设C (x ，y )，因为O C →＝λ1O A →＋λ2O B →，所以(x ，y )＝λ1(3,1)＋λ2(－1,3)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3λ1－λ2，y ＝λ1＋3λ2，解得⎩⎨⎧λ1＝y ＋3x 10，λ2＝3y －x 10，又λ1＋λ2＝1，所以y ＋3x 10＋3y －x10＝1，即x ＋2y ＝5，所以点C 的轨迹是直线，故选A.7．(2019·安徽六安一中月考)如图，已知F 1，F 2是椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点，P 是椭圆Γ上任意一点，过F 2作∠F 1PF 2的外角的平分线的垂线，垂足为Q ，则点Q 的轨迹为( B )A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线解析：延长F 2Q ，与F 1P 的延长线交于点M ，连接OQ .因为PQ 是∠F 1PF 2的外角的平分线，且PQ ⊥F 2M ，所以在△PF 2M 中，|PF 2|＝|PM |，且Q 为线段F 2M 的中点．又O 为线段F 1F 2的中点，由三角形的中位线定理，得|OQ |＝12|F 1M |＝12(|PF 1|＋|PF 2|)．根据椭圆的定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以|OQ |＝a ，所以点Q 的轨迹为以原点为圆心，半径为a 的圆，故选B.8．(2019·宿迁模拟)若曲线C 上存在点M ，使M 到平面内两点A (－5,0)，B (5,0)距离之差的绝对值为8，则称曲线C 为“好曲线”．以下曲线不是“好曲线”的是( B )A ．x ＋y ＝5B ．x 2＋y 2＝9 C.x 225＋y 29＝1D ．x 2＝16y解析：∵M 到平面内两点A (－5,0)，B (5,0)距离之差的绝对值为8，∴M 的轨迹是以A (－5,0)，B (5,0)为焦点的双曲线，方程为x 216－y 29＝1.A 项，直线x ＋y ＝5过点(5,0)，故直线与M 的轨迹有交点，满足题意；B 项，x 2＋y 2＝9的圆心为(0,0)，半径为3，与M 的轨迹没有交点，不满足题意；C 项，x 225＋y 29＝1的右顶点为(5,0)，故椭圆x 225＋y 29＝1与M 的轨迹有交点，满足题意；D 项，方程代入x 216－y 29＝1，可得y －y 29＝1，即y 2－9y ＋9＝0，∴Δ＞0，满足题意．9．(2019·江西九江联考)已知A (1,2)，B (－1,2)，动点P (x ，y )满足AP →⊥BP →，若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线与动点P 的轨迹没有公共点，则该双曲线的离心率的取值范围是 (1,2) .解析：由AP →⊥BP →，可得动点P (x ，y )的轨迹方程为x 2＋(y －2)2＝1，易知双曲线的一条渐近线方程为y ＝ba x ，由题意知圆心(0,2)到渐近线的距离大于半径1，所以2aa 2＋b 2>1，即3a 2>b 2.又b 2＝c 2－a 2，所以3a 2>c 2－a 2,4a 2>c 2，离心率e ＝ca <2，又双曲线的离心率e >1，所以1<e <2.10．已知△ABC 的顶点A ，B 坐标分别为(－4,0)，(4,0)，C 为动点，且满足sin B ＋sin A ＝54sin C ，则C 点的轨迹方程为 x 225＋y 29＝1(x ≠±5) .解析：由sin B ＋sin A ＝54 sin C 可知b ＋a ＝54c ＝10，则|AC |＋|BC |＝10＞8＝|AB |，∴满足椭圆定义．令椭圆方程为x 2a ′2＋y 2b ′2＝1，则a ′＝5，c ′＝4，b ′＝3，则轨迹方程为x 225＋y 29＝1(x ≠±5)．11．(2019·唐山五校联考)在直角坐标系xOy 中，长为2＋1的线段的两端点C ，D 分别在x 轴、y 轴上滑动，C P →＝ 2 P D →.记点P 的轨迹为曲线E .(1)求曲线E 的方程；(2)经过点(0,1)作直线与曲线E 相交于A ，B 两点，OM →＝O A →＋O B →，当点M 在曲线E 上时，求四边形AOBM 的面积．解：(1)设C (m,0)，D (0，n )，P (x ，y )．由C P →＝ 2 P D →，得(x －m ，y )＝2(－x ，n －y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －m ＝－2x ，y ＝2(n －y )，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝(2＋1)x ，n ＝2＋12y ，由|C D →|＝2＋1，得m 2＋n 2＝(2＋1)2， 所以(2＋1)2x 2＋(2＋1)22y 2＝(2＋1)2， 整理，得曲线E 的方程为x 2＋y22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由OM →＝O A →＋O B →，知点M 坐标为(x 1＋x 2，y 1＋y 2)． 由题意知，直线AB 的斜率存在．设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1，代入曲线E 的方程，得(k 2＋2)x 2＋2kx －1＝0，则x 1＋x 2＝－2k k 2＋2，x 1x 2＝－1k 2＋2.y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2＝4k 2＋2.由点M 在曲线E 上，知(x 1＋x 2)2＋(y 1＋y 2)22＝1，即4k 2(k 2＋2)2＋8(k 2＋2)2＝1，解得k 2＝2. 这时|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝ 3[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝322，原点到直线AB 的距离d ＝11＋k 2＝33， 所以平行四边形OAMB 的面积S ＝|AB |·d ＝62.12．(2019·惠州调研)已知C 为圆(x ＋1)2＋y 2＝8的圆心，P 是圆上的动点，点Q 在圆的半径CP 上，且有点A (1,0)和AP 上的点M ，满足M Q →·A P →＝0，A P →＝2 AM →.(1)当点P 在圆上运动时，求点Q 的轨迹方程；(2)若斜率为k 的直线l 与圆x 2＋y 2＝1相切，与(1)中所求点Q 的轨迹交于不同的两点F ，H ，O 是坐标原点，且34≤O F →·O H →≤45时，求k 的取值范围．解：(1)由题意知MQ 是线段AP 的垂直平分线， 所以|CP |＝|QC |＋|QP |＝|QC |＋|QA |＝22＞|CA |＝2，所以点Q 的轨迹是以点C ，A 为焦点，焦距为2，长轴长为22的椭圆，所以a ＝2，c ＝1，b ＝a 2－c 2＝1， 故点Q 的轨迹方程是x 22＋y 2＝1.(2)设直线l ：y ＝kx ＋t ，F (x 1，y 1)，H (x 2，y 2)， 直线l 与圆x 2＋y 2＝1相切⇒|t |k 2＋1＝1⇒t 2＝k 2＋1.联立，得⎩⎨⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋t⇒(1＋2k 2)x 2＋4ktx ＋2t 2－2＝0，Δ＝16k 2t 2－4(1＋2k 2)(2t 2－2)＝8(2k 2－t 2＋1)＝8k 2＞0⇒k ≠0， x 1＋x 2＝－4kt 1＋2k 2，x 1x 2＝2t 2－21＋2k 2，所以O F →·O H →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋kt (x 1＋x 2)＋t 2＝(1＋k 2)(2t 2－2)1＋2k 2＋kt －4kt 1＋2k 2＋t 2＝(1＋k 2)2k 21＋2k 2－4k 2(k 2＋1)1＋2k2＋k 2＋1＝1＋k 21＋2k 2， 所以34≤1＋k 21＋2k 2≤45⇒13≤k 2≤12⇒33≤|k |≤22， 所以－22≤k ≤－33或33≤k ≤22.故k 的取值范围是[－22，－33]∪[33，22]．13．(2019·葫芦岛调研)在△ABC 中，已知A (2,0)，B (－2,0)，G ，M 为平面上的两点且满足G A →＋G B →＋G C →＝0，|M A →|＝|M B →|＝|M C →|，GM →∥A B →，则顶点C 的轨迹为( B )A ．焦点在x 轴上的椭圆(长轴端点除外)B ．焦点在y 轴上的椭圆(短轴端点除外)C ．焦点在x 轴上的双曲线(实轴端点除外)D ．焦点在x 轴上的抛物线(顶点除外) 解析：设C (x ，y )(y ≠0)，由G A →＋G B →＋G C →＝0，即G 为△ABC 的重心，得G ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3，y 3.又|M A →|＝|M B →|＝|M C →|， 即M 为△ABC 的外心， 所以点M 在y 轴上， 又GM →∥A B →，则有M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 3.所以x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －y 32＝4＋y29， 化简得x 24＋y 212＝1，y ≠0.所以顶点C 的轨迹为焦点在y 轴上的椭圆(除去短轴端点)． 14．在平面直角坐标系中，定义d (P ，Q )＝|x 2－x 1|＋|y 2－y 1|为两点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)之间的“折线距离”，则下列命题中：①若A (－1,3)，B (1,0)，则有d (A ，B )＝5；②到原点的“折线距离”等于1的所有点的集合是一个圆； ③若C 点在线段AB 上，则有d (A ，C )＋d (C ，B )＝d (A ，B )； ④到M (－1,0)，N (1,0)两点的“折线距离”相等的点的轨迹是直线x ＝0.真命题的个数为( C ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：①d (A ，B )＝|－1－1|＋|3－0|＝5，对；②设点A (x ，y )，则d (A ，O )＝|x |＋|y |＝1，不是圆，错； ③若点C 在线段AB 上，设C 点坐标为(x 0，y 0)，x 0在x 1，x 2之间，y 0在y 1，y 2之间，则d (A ，C )＋d (C ，B )＝|x 0－x 1|＋|y 0－y 1|＋|x 2－x 0|＋|y 2－y 0|＝|x 2－x 1|＋|y 2－y 1|＝d (A ，B )成立，对；④|x ＋1|＋|y |＝|x －1|＋|y |， 由|x ＋1|＝|x －1|，解得x ＝0，对．15．(2019·河北衡水一模)已知点Q 在椭圆C ：x 216＋y 210＝1上，点P 满足O P →＝12(OF 1→＋O Q →)(其中O 为坐标原点，F 1为椭圆C 的左焦点)，则点P 的轨迹方程为⎝⎛⎭⎪⎫x ＋6224＋2y 25＝1 .解析：因为点P 满足O P →＝12(OF 1→＋O Q →)，所以点P 是线段QF 1的中点．设P (x ，y )，由F 1为椭圆C ：x 216＋y 210＝1的左焦点，得F 1(－6，0)，故Q (2x ＋6，2y )，又点Q 在椭圆C ：x 216＋y 210＝1上，则点P 的轨迹方程为(2x ＋6)216＋(2y )210＝1，即⎝⎛⎭⎪⎫x ＋6224＋2y 25＝1.16．如图，P 是圆x 2＋y 2＝4上的动点，P 点在x 轴上的射影是D ，点M 满足DM →＝12D P →.(1)求动点M 的轨迹C 的方程，并说明轨迹是什么图形； (2)过点N (3,0)的直线l 与动点M 的轨迹C 交于不同的两点A ，B ，求以OA ，OB 为邻边的平行四边形OAEB 的顶点E 的轨迹方程．解：(1)设M (x ，y )，则D (x,0)， 由DM →＝12D P →，知P (x,2y )， ∵点P 在圆x 2＋y 2＝4上，∴x 2＋4y 2＝4，故动点M 的轨迹C 的方程为x 24＋y 2＝1，且轨迹C 是以(－3，0)，(3，0)为焦点，长轴长为4的椭圆．(2)设E (x ，y )，由题意知l 的斜率存在．设l ：y ＝k (x －3)，代入x 24＋y 2＝1，得(1＋4k 2)x 2－24k 2x ＋36k 2－4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝24k 21＋4k 2， ∴y 1＋y 2＝k (x 1－3)＋k (x 2－3)＝k (x 1＋x 2)－6k＝24k 31＋4k 2－6k ＝－6k 1＋4k 2. ∵四边形OAEB 为平行四边形，∴O E →＝O A →＋O B →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫24k 21＋4k 2，－6k 1＋4k 2， 又O E →＝(x ，y )，∴⎩⎨⎧x ＝24k 21＋4k 2，y ＝－6k 1＋4k 2，消去k 得，x 2＋4y 2－6x ＝0，由Δ＝(－24k 2)2－4(1＋4k 2)(36k 2－4)＞0，得k 2＜15，∴0＜x ＜83.∴顶点E 的轨迹方程为x 2＋4y 2－6x ＝0⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜x ＜83.。

专题突破练(5)立体几何的综合问题2.如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，A1A＝AB＝2，BC＝1，AC＝5，若规定正视方向垂直平面ACC1A1，则此三棱柱的侧视图的面积为()45C.5 D．6答案C折成四面体A′－BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，则下列结论正确的是()A．A′C⊥BDB.∠BA′C＝90°5.[2018·河南豫东、豫北十校测试]鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即榫卯结构)啮合，十分巧妙，原为木质结构，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称．从外表上看，六根等长的正四棱柱体分成三组，经90度榫卯起来，若正四棱柱体的高为4，底面正方形的边长为1，则该鲁班锁的表面积为 ( )A.48 B ．60 C ．72 D ．846．如图所示，已知在多面体ABC －DEFG 中，AB ，AC ，AD 两两垂直，平面ABC ∥平面DEFG ，平面BEF ∥平面ADGC ，AB ＝AD ＝DG ＝2，AC ＝EF ＝1，则该多面体的体积为( )A.2 B ．4 C ．6 D ．8答案 B解析 如图所示，将多面体补成棱长为2的正方体，那么显然所求的多面体的体积即为该正方体体积的一半，于是所求几何体的体积为V ＝12×23＝4.选B.7.[2017·湖北黄冈中学二模]一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为2的等边三角答案 B解析 由三视图可知，该几何体是半圆锥，其展开图如图所示，则依题意，点A ，M 的最短距离，即为线段AM .∵P A ＝PB ＝2，半圆锥的底面半圆的弧长为π，∴展开图中的∠BPM ＝πPB＝π2， π5π5π答案 B解析 如图所示，为组合体的轴截面，记BO 1的长度为x ，由相似三角形的比例关系，得PO 13R＝x R，则PO 1＝3x ，圆柱的高为3R －3x ，所以圆柱的表面积为S ＝2πx 2＋2πx ·(3R －3x )＝－4πx 2＋6πRx ，则当x ＝34R 时，S 取最大值，S max ＝94πR 2.选B.9．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 为正方形A 1B 1C 1D 1四边上的动点，O 为底面正方形ABCD的中心，M ，N 分别为AB ，BC 边的中点，点Q 为平面ABCD 内一点，线段D 1Q 与OP 互相平分，则满足MQ →＝λMN →的实数λ的值有( )A.0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个10. [2017·东北三省三校二模]已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1，侧棱BB 1⊥平面ABC ，AB ＝2，AC ＝3，AA 1＝14，AC ⊥BC ，将其放入一个水平放置的水槽中，使AA 1在水槽底面内，平面ABB 1A 1与水槽底面垂直，且水面恰好经过棱BB 1，现水槽底面出现一个小洞，水位下降，则在水位下降过程中，几何体露出水面部分的面积S 关于水位下降的高度h 的函数图象大致为( )答案 A1x 时，正四棱锥的体积最大，则x 为 ( )A ．0.5B ．0.8C ．0.2D ．1答案 C二、填空题13．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为棱DC的中点，则D1P与BC1所在直线所成角的余弦值等于________.10514.如图，已知球O的面上有四点A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝2，则球O的体积等于________.答案6π解析如图，以DA，AB，BC为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O的半径为R，则正方体的体对角线长即为球O的直径，所以64πR315．如图，用一个边长为2的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个巢，将半径为1的球体放入其中，则球心与巢底面的距离为__________.3＋12解析 由题意知，折起后原正方形顶点间最远的距离为1，如图中的DC ；折起后原正方形顶点到底面的距离为12，如图中的BC .由图知球心与巢底面的距离OF ＝1－122＋12＝3＋12. 16.[2017·安徽黄山第二次质检]如图所示，正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的棱长为1，E ，F 分别是棱AA ′，CC ′的中点，过直线EF 的平面分别与棱BB ′，DD ′交于点M ，N ，设BM＝x ，x ∈[0,1]．给出以下五个命题：①当且仅当x ＝0时，四边形MENF 的周长最大；17．[2017·河南洛阳月考]如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，AA1＝BC＝2AC＝4.(1)若点P为AA的中点，求证：平面B CP⊥平面B C P；值；若不存在，说明理由.解(1)证明：如图，以C为原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A(2,0,0)，B1(0,4,4)，C1(0,0,4)，P(2，0,2)，B(0,4,0)，→→118.719.[2018·广东韶关调研]已知四棱锥P－ABCD中，P A⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，∠ABC(2)由(1)得AE，AD，AP两两垂直，连接AM，以AE，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系.520.[2017·湖北黄冈期末]如图，在各棱长均为2的三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面A1ACC1⊥底面ABC，∠A1AC＝60°.(1)求侧棱AA与平面AB C所成角的正弦值的大小；1故以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，。

课时作业56 最|值、范围、证明问题第|一次作业 根底稳固练1．动圆C 与圆C 1：(x －2)2＋y 2＝1相外切 ,又与直线l ：x ＝－1相切．(1)求动圆圆心轨迹E 的方程；(2)假设动点M 为直线l 上任一点 ,过点P (1,0)的直线与曲线E 相交于A ,B 两点 ,求证：k MA ＋k MB ＝2k MP .解：(1)由题知 ,动圆C 的圆心到点(2,0)的距离等于到直线x ＝－2的距离 ,所以由抛物线的定义可知 ,动圆C 的圆心轨迹是以(2,0)为焦点 ,x ＝－2为准线的抛物线 ,所以动圆圆心轨迹E 的方程为y 2＝8x .(2)证明：由题知当直线AB 的斜率为0时 ,不符合题意 ,所以可设直线AB 的方程为x ＝my ＋1 ,联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1y 2＝8x消去x ,得y 2－8my－8＝0 ,Δ＝64m 2＋32>0恒成立 ,设A (x 1 ,y 1) ,B (x 2 ,y 2) ,M (－1 ,t ) ,那么y 1＋y 2＝8m ,y 1·y 2＝－8 ,x 1＋x 2＝8m 2＋2 ,x 1·x 2＝1 , 而2k MP ＝2·t－1－1＝－t ,k MA ＋k MB ＝y 1－tx 1＋1＋y 2－tx 2＋1 ＝y 1x 2＋y 2x 1＋y 1＋y 2－t (x 1＋x 2)－2t x 1x 2＋x 1＋x 2＋1＝18y 1y 2(y 1＋y 2)＋y 1＋y 2－t (x 1＋x 2)－2t x 1x 2＋x 1＋x 2＋1＝－t (8m 2＋4)8m 2＋4＝－t , 所以k MA ＋k MB ＝2k MP .2. 如图 ,椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点为A ,右焦点为F (1,0) ,过点A 且斜率为1的直线交椭圆E 于另一点B ,交y 轴于点C ,AB →＝6BC →.(1)求椭圆E 的方程；(2)过点F 作直线l 与椭圆E 交于M ,N 两点 ,连接MO (O 为坐标原点)并延长交椭圆E 于点Q ,求△MNQ 面积的最|大值及取最|大值时直线l 的方程．解：(1)由题知A (－a,0) ,C (0 ,a ) ,故B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－a 7 6a 7 , 代入椭圆E 的方程得149＋36a 249b 2＝1 ,结合a 2－b 2＝1 ,得a 2＝4 ,b 2＝3 ,故椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题知 ,直线l 不与x 轴重合 ,故可设l ：x ＝my ＋1 ,代入x 24＋y 23＝1得(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0 ,设M (x 1 ,y 1) ,N (x 2 ,y 2) ,那么y 1＋y 2＝－6m 3m 2＋4 ,y 1y 2＝－93m 2＋4 ,连接ON ,由Q 与M 关于原点对称知 , S △MNQ ＝2S △MON ＝|y 1－y 2| ＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝12m 2＋13m 2＋4＝123m 2＋1＋1m 2＋1,∵m 2＋1≥1 , ∴3m 2＋1＋1m 2＋1≥4 , ∴S △MNQ ≤3 ,当且仅当m ＝0时 ,等号成立 ,∴△MNQ 面积的最|大值为3 ,此时直线l 的方程为x ＝1. 3．(2021·河南洛阳统考)抛物线C ：x 2＝2py (p >0) ,过焦点F 的直线交C 于A ,B 两点 ,D 是抛物线的准线l 与y 轴的交点．(1)假设AB ∥l ,且△ABD 的面积为1 ,求抛物线的方程； (2)设M 为AB 的中点 ,过M 作l 的垂线 ,垂足为N .证明：直线AN 与抛物线相切．解：(1)∵AB ∥l ,∴|FD |＝p ,|AB |＝2p . ∴S △ABD ＝p 2＝1.∴p ＝1 ,故抛物线C 的方程为x 2＝2y .(2)证明：显然直线AB 的斜率存在 ,设其方程为y ＝kx ＋p 2,A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1 x 212p ,B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2 x 222p . 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋p 2x 2＝2py消去y 整理得 ,x 2－2kpx －p 2＝0.∴x 1＋x 2＝2kp ,x 1x 2＝－p 2.∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫kp k 2p ＋p 2 ,N ⎝ ⎛⎭⎪⎫kp －p 2.∴k AN ＝x 212p ＋p 2x 1－kp ＝x 212p ＋p 2x 1－x 1＋x 22＝x 21＋p 22p x 1－x 22＝x 21－x 1x 22p x 1－x 22＝x 1p .又x 2＝2py ,∴y ′＝xp .∴抛物线x 2＝2py 在点A 处的切线斜率k ＝x 1p .∴直线AN 与抛物线相切．4．椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点为F 2(1,0) ,且该椭圆过定点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1 22.(1)求椭圆E 的标准方程；(2)设点Q (2,0) ,过点F 2作直线l 与椭圆E 交于A ,B 两点 ,且F 2A →＝λF 2B →,λ∈[－2 ,－1] ,以QA ,QB 为邻边作平行四边形QACB ,求对角线QC 长度的最|小值．解：(1)由题易知c ＝1 ,1a 2＋12b 2＝1 , 又a 2＝b 2＋c 2 ,解得b 2＝1 ,a 2＝2 , 故椭圆E 的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)设直线l ：x ＝ky ＋1 ,由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ky ＋1x 22＋y 2＝1得(k 2＋2)y 2＋2ky －1＝0 ,Δ＝4k 2＋4(k 2＋2)＝8(k 2＋1)>0.设A (x 1 ,y 1) ,B (x 2 ,y 2) ,那么可得y 1＋y 2＝－2k k 2＋2 ,y 1y 2＝－1k 2＋2.QC →＝QA →＋QB →＝(x 1＋x 2－4 ,y 1＋y 2)＝⎝⎛⎭⎪⎪⎪⎫－4(k 2＋1)k 2＋2－2k k 2＋2 , ∴|QC →|2＝|QA →＋QB →|2＝16－28k 2＋2＋8(k 2＋2)2,由此可知 ,|QC →|2的大小与k 2的取值有关．由F 2A →＝λF 2B →可得y 1＝λy 2 ,λ＝y 1y 2,1λ＝y 2y 1(y 1y 2≠0)．从而λ＋1λ＝y 1y 2＋y 2y 1＝(y 1＋y 2)2－2y 1y 2y 1y 2＝－6k 2－4k 2＋2,由λ∈[－2 ,－1]得⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋1λ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－52 －2 ,从而－52≤－6k 2－4k 2＋2≤－2 ,解得0≤k 2≤27.令t ＝1k 2＋2,那么t ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤716 12 , ∴|QC →|2＝8t 2－28t ＋16＝8⎝⎛⎭⎪⎫t －742－172 ,∴当t ＝12时 ,|QC |min ＝2.5．(2021·合肥模拟)中|心在原点 ,焦点在y 轴上的椭圆C ,其上一点P 到两个焦点F 1 ,F 2的距离之和为4 ,离心率为32.(1)求椭圆C 的方程；(2)假设直线y ＝kx ＋1与曲线C 交于A ,B 两点 ,求△OAB 面积的取值范围．解：(1)设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0) ,由条件知 ,⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝4 e ＝c a ＝32a 2＝b 2＋c 2解得a ＝2 ,c ＝ 3 ,b ＝1 , 故椭圆C 的方程为y 24＋x 2＝1. (2)设A (x 1 ,y 1) ,B (x 2 ,y 2) ,由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1 y ＝kx ＋1得(k 2＋4)x 2＋2kx －3＝0 ,故x 1＋x 2＝－2k k 2＋4 ,x 1x 2＝－3k 2＋4 ,设△OAB 的面积为S , 由x 1x 2＝－3k 2＋4<0 ,知S ＝12×1×|x 1－x 2| ＝12(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2k 2＋3(k 2＋4)2,令k 2＋3＝t ,知t ≥3 ,∴S ＝21t ＋1t ＋2. 对函数y ＝t ＋1t (t ≥3) ,知y ′＝1－1t 2＝t 2－1t 2>0 ,∴y ＝t ＋1t 在t ∈[3 ,＋∞)上单调递增 ,∴t ＋1t ≥103 , ∴0<1t ＋1t ＋2≤316 ,∴0<S ≤32.故△OAB 面积的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤0 32.第二次作业 （高|考）·模拟解答题体验1．(2021·四川成都七中模拟)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1 ,F 2 ,且离心率为22 ,过左焦点F 1的直线l 与C 交于A ,B 两点 ,△ABF 2的周长为4 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)当△ABF 2的面积最|大时 ,求l 的方程． 解：(1)由椭圆的定义知4a ＝4 2 ,a ＝ 2 , 由e ＝ca 知c ＝ea ＝1 ,b 2＝a 2－c 2＝1. 所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由(1)知F 1(－1,0) ,F 2(1,0) ,|F 1F 2|＝2 ,设A (x 1 ,y 1) ,B (x 2 ,y 2) ,l ：x ＝my －1 ,联立x ＝my －1与x 22＋y 2＝1 ,得(m 2＋2)y 2－2my －1＝0 ,|y 1－y 2|＝22m 2＋1m 2＋2 , S △ABF 2＝22m 2＋1(m 2＋2)2＝221m 2＋1＋1m 2＋1＋2, 当m 2＋1＝1 ,m ＝0时 ,S △ABF 2最|大为 2 ,l ：x ＝－1.2．(2021·广东佛山模拟)中|心在坐标原点 ,焦点在x 轴上的椭圆M 的离心率为12 ,椭圆上异于长轴顶点的任意点A 与左、右两焦点F 1 ,F 2构成的三角形中面积的最|大值为 3.(1)求椭圆M 的标准方程；(2)假设A 与C 是椭圆M 上关于x 轴对称的两点 ,连接CF 2与椭圆的另一交点为B ,求证：直线AB 与x 轴交于定点P ,并求P A →·F 2C →的取值范围．解：(1)由题意知c a ＝12 ,12·2c ·b ＝ 3 ,a 2＝b 2＋c 2 ,解得c ＝1 ,a ＝2 ,b ＝ 3.所以椭圆M 的标准方程是x 24＋y 23＝1.(2)证明：设A (x 1 ,y 1) ,B (x 2 ,y 2) ,C (x 1 ,－y 1) ,直线AB ：y ＝kx ＋m . 将y ＝kx ＋m ,代入x 24＋y 23＝1得 , (4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0. 那么x 1＋x 2＝－8km4k 2＋3 ,x 1x 2＝4m 2－124k 2＋3.因为B ,C ,F 2共线 ,所以kBF 2＝kCF 2 , 即kx 2＋m x 2－1＝－(kx 1＋m )x 1－1, 整理得2kx 1x 2＋(m －k )(x 1＋x 2)－2m ＝0 , 所以2k 4m 2－124k 2＋3－(m －k )8km 4k 2＋3－2m ＝0 ,解得m ＝－4k .所以直线AB ：y ＝k (x －4) ,与x 轴交于定点P (4,0)．因为y 21＝3－34x 21 ,所以P A →·F 2C →＝(x 1－4 ,y 1)·(x 1－1 ,－y 1)＝x 21－5x 1＋4－y 21＝74x 21－5x 1＋1＝74⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－1072－187.因为－2<x 1<2 ,所以P A →·F 2C →的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－187 18.3．(2021·广东华南师大附中模拟)点C 是圆F ：(x －1)2＋y 2＝16上任意一点 ,点F ′与圆心F 关于原点对称．线段CF ′的中垂线与CF 交于P 点．(1)求动点P 的轨迹方程E ；(2)设点A (4,0) ,假设直线PQ ⊥x 轴且与曲线E 交于另一点Q ,直线AQ 与直线PF 交于点B ,证明：点B 恒在曲线E 上 ,并求△P AB 面积的最|大值．解：(1)由题意得 ,F 点坐标为(1,0) ,因为P 为CF ′中垂线上的点 ,所以|PF ′|＝|PC |.又|PC |＋|PF |＝4 ,所以|PF ′|＋|PF |＝4>|FF ′|＝2 ,由椭圆的定义知 ,2a ＝4 ,c ＝1 ,所以动点P 的轨迹方程E 为x 24＋y 23＝1.(2)设P 点坐标为(m ,n )(n ≠0) ,那么Q 点的坐标为(m ,－n ) ,且3m 2＋4n 2＝12 ,所以直线QA ：y ＝n4－m (x －4) ,即nx －(4－m )y －4n ＝0 ,直线PF ：y ＝nm －1(x －1) ,即nx －(m －1)y －n ＝0.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧nx －(4－m )y －4n ＝0nx －(m －1)y －n ＝0解得x B ＝5m －82m －5 ,y B ＝3n2m －5,那么x 2B 4＋y 2B 3＝(5m －8)24(2m －5)2＋(3n )23(2m －5)2 ＝25m 2－80m ＋64＋12n 24(2m －5)2 ＝16m 2－80m ＋1004(2m －5)2＝1 , 所以点B 恒在椭圆E 上．设直线PF ：x ＝ty ＋1 ,P (x 1 ,y 1) ,B (x 2 ,y 2) ,那么由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ty ＋13x 2＋4y 2＝12 消去x 整理得(3t 2＋4)y 2＋6ty －9＝0 ,所以y 1＋y 2＝－6t 3t 2＋4 ,y 1y 2＝－93t 2＋4, 所以|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝(－6t 3t 2＋4)2＋363t 2＋4＝12t 2＋13t 2＋4, 从而S △P AB ＝12|F A ||y 1－y 2|＝18t 2＋13t 2＋4＝18t 2＋13(t 2＋1)＋1＝183t 2＋1＋1t 2＋1. 令μ＝t 2＋1(μ≥1) ,那么函数g (μ)＝3μ＋1μ在[1 ,＋∞)上单调递增 ,故g (μ)min ＝g (1)＝4 ,所以S △P AB ≤184＝92 ,即当t ＝0时 ,△P AB 的面积取得最|大值 ,且最|大值为92.4．(2021·河北邢台模拟)椭圆W ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的焦距与椭圆Ω：x 24＋y 2＝1的短轴长相等 ,且W 与Ω的长轴长相等 ,这两个椭圆在第|一象限的交点为A ,直线l 与直线OA (O 为坐标原点)垂直 ,且l 与W 交于M ,N 两点．(1)求W 的方程；(2)求△MON 的面积的最|大值．解：(1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝4a 2－b 2＝1 ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4b 2＝3 故W 的方程为y 24＋x 23＝1. (2)联立⎩⎪⎨⎪⎧ y 24＋x 23＝1 x 24＋y 2＝1 得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝3613 y 2＝413∴y 2x 2＝19.又A 在第|一象限 ,∴k OA ＝y x ＝13.故可设l 的方程为y ＝－3x ＋m .联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－3x ＋m y 24＋x 23＝1得31x 2－18mx ＋3m 2－12＝0.设M (x 1 ,y 1) ,N (x 2 ,y 2) ,那么x 1＋x 2＝18m 31 ,x 1x 2＝3m 2－1231.∴|MN |＝1＋(－3)2×(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝10×4331－m 231. 又O 到直线l 的距离为d ＝|m |10, 那么△MON 的面积S ＝12d ·|MN | ＝23|m |31－m 231, ∴S ＝23m 2(31－m 2)31≤331(m 2＋31－m 2)＝ 3 ,当且仅当m 2＝31－m 2 ,即m 2＝312时 ,满足Δ>0 , 故△MON 的面积的最|大值为 3. 5．(2021·天津卷)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ,上顶点为B ,椭圆的离心率为53 ,点A 的坐标为(b,0) ,且|FB |·|AB |＝6 2.(1)求椭圆的方程；(2)设直线l ：y ＝kx (k >0)与椭圆在第|一象限的交点为P ,且l 与直线AB 交于点Q .假设|AQ ||PQ |＝524sin ∠AOQ (O 为原点) ,求k 的值． 解：(1)设椭圆的焦距为2c ,由有c 2a 2＝59 ,又由a 2＝b 2＋c 2 ,可得2a ＝3b .由可得 ,|FB |＝a ,|AB |＝2b ,由|FB |·|AB |＝6 2 ,可得ab ＝6 ,从而a ＝3 ,b ＝2.所以 ,椭圆的方程为x 29＋y 24＝1.(2)设点P 的坐标为(x 1 ,y 1) ,点Q 的坐标为(x 2 ,y 2)．由有y 1>y 2>0 ,故|PQ |sin ∠AOQ ＝y 1－y 2.又因为|AQ |＝y 2sin ∠OAB, 而∠OAB ＝π4 ,故|AQ |＝2y 2.由|AQ ||PQ |＝524sin ∠AOQ ,可得5y 1＝9y 2.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx x 29＋y 24＝1 消去x ,可得y 1＝6k 9k 2＋4 .易知直线AB 的方程为x ＋y －2＝0 ,由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kxx ＋y －2＝0消去x ,可得y 2＝2k k ＋1. 由5y 1＝9y 2 ,可得5(k ＋1)＝39k 2＋4 ,两边平方 ,整理得56k 2－50k ＋11＝0 ,解得k ＝12 ,或k ＝1128.所以 ,k 的值为12或1128.。

课时作业52 直线与圆、圆与圆的位置关系1．若直线x ＋my ＝2＋m 与圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0相交，则实数m 的取值范围为( D ) A ．(－∞，＋∞) B ．(－∞，0) C ．(0，＋∞) D ．(－∞，0)∪(0，＋∞) 解析：圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心C (1,1)，半径r ＝1.因为直线与圆相交，所以d ＝|1＋m －2－m |1＋m 2＜r ＝1.解得m ＞0或m ＜0，故选D. 2．平行于直线2x ＋y ＋1＝0且与圆x 2＋y 2＝5相切的直线的方程是( A ) A ．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0 B ．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0 C ．2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0 D ．2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0 解析：切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，故可设切线方程为2x ＋y ＋c ＝0(c ≠1)，结合题意可得|c |5＝5，解得c ＝±5.故选A. 3．若a 2＋b 2＝2c 2(c ≠0)，则直线ax ＋by ＋c ＝0被圆x 2＋y 2＝1所截得的弦长为( D ) A.12 B ．1 C.22 D. 2 解析：因为圆心(0,0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离d ＝|c |a 2＋b 2＝|c |2|c |＝22，因此根据直角三角形的关系，弦长的一半就等于1－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝22，所以弦长为 2. 4．过三点A (1,3)，B (4,2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M ，N 两点，则|MN |＝( C ) A ．26 B ．8 C ．46 D ．10 解析：方法一：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 将点A (1,3)，B (4,2)，C (1，－7)的坐标代入得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ D ＋3E ＋F ＋10＝0，4D ＋2E ＋F ＋20＝0，D －7E ＋F ＋50＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝－2，E ＝4，F ＝－20，所以圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0，即(x －1)2＋(y ＋2)2＝25， 所以|MN |＝225－1＝4 6. 方法二：因为k AB ＝－13，k BC ＝3， 所以k AB k BC ＝－1，所以AB ⊥BC ， 所以△ABC 为直角三角形，所以△ABC 的外接圆圆心为AC 的中点(1，－2)，半径r ＝12|AC |＝5， 所以|MN |＝225－1＝4 6. 方法三：由AB →·BC →＝0得AB ⊥BC ，下同方法二． 5．(2019·湖北四地七校联考)若圆O 1：x 2＋y 2＝5与圆O 2：(x ＋m )2＋y 2＝20相交于A ，B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是( B ) A ．3 B ．4 C ．2 3 D ．8 解析：连接O 1A 、O 2A ，如图，由于⊙O 1与⊙O 2在点A 处的切线互相垂直， 因此O 1A ⊥O 2A ，所以O 1O 22＝O 1A 2＋O 2A 2， 即m 2＝5＋20＝25，设AB 交x 轴于点C . 在Rt △O 1AO 2中，sin ∠AO 2O 1＝55， ∴在Rt △ACO 2中，AC ＝AO 2·sin ∠AO 2O 1＝25×55＝2，∴AB ＝2AC ＝4.故选B. 6．(2019·山西太原五中模拟)已知k ∈R ，点P (a ，b )是直线x ＋y ＝2k 与圆x 2＋y 2＝k 2－2k ＋3的公共点，则ab 的最大值为( B ) A ．15 B ．9 C ．1 D ．－53 解析：由题意得，原点到直线x ＋y ＝2k 的距离d ＝|－2k |2 ≤k 2－2k ＋3，且k 2－2k ＋3＞0，解得－3≤k ≤1，因为2ab ＝(a ＋b )2－(a 2＋b 2)＝4k 2－(k 2－2k ＋3)＝3k 2＋2k －3，所以当k ＝－3时，ab 取得最大值9，故选B. 7．(2019·河南郑州外国语中学调研)已知圆C 1：(x ＋2a )2＋y 2＝4和圆C 2：x 2＋(y －b )2＝1只有一条公切线，若a ，b ∈R 且ab ≠0，则1a 2 ＋1b 2的最小值为( D ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．9 解析：由题意可知，圆C 1的圆心为(－2a,0)，半径为2，圆C 2的圆心为(0，b )，半径为1，因为两圆只有一条公切线，所以两圆内切， 所以(－2a －0)2＋(0－b )2＝2－1， 即4a 2＋b 2＝1. 所以1a 2＋1b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋1b 2·(4a 2＋b 2)＝5＋b 2a 2＋4a 2b 2≥5＋2b 2a 2·4a 2b 2＝9，当且仅当b 2a 2＝4a 2b 2，且4a 2＋b 2＝1，即a 2＝16，b 2＝13时等号成立，所以1a 2＋1b 2的最小值为9，故选D. 8．在平面直角坐标系xOy 中，点A (0,3)，直线l ：y ＝2x －4，设圆C 的半径为1，圆心在l 上．若圆C 上存在点M ，使MA ＝2MO ，则圆心C 的横坐标a 的取值范围是( A ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125 B ．[0,1] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，125 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，125 解析：因为圆心在直线y ＝2x －4上， 所以圆C 的方程为(x －a )2＋[y －2(a －2)]2＝1. 设点M (x ，y )，因为MA ＝2MO ， 所以x 2＋(y －3)2＝2x 2＋y 2， 化简得x 2＋y 2＋2y －3＝0， 即x 2＋(y ＋1)2＝4， 所以点M 在以D (0，－1)为圆心，2为半径的圆上． 由题意，点M (x ，y )在圆C 上， 所以圆C 与圆D 有公共点， 则|2－1|≤CD ≤2＋1， 即1≤a 2＋(2a －3)2≤3. 由a 2＋(2a －3)2≥1得5a 2－12a ＋8≥0，解得a ∈R ； 由a 2＋(2a －3)2≤3得5a 2－12a ≤0，解得0≤a ≤125.所以点C 的横坐标a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125.故选A. 9．已知圆C 1：x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋2x ＋2y－8＝0解析：两式相减整理得x －2y ＋4＝0，即为两圆公共弦所在直线的方程． 解法一：设两圆相交于点A ，B ， 则A ，B 两点的坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋4＝0，x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－4，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝2. 所以|AB |＝(0＋4)2＋(2－0)2＝25， 即公共弦长为2 5. 解法二：由x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0， 得圆心坐标为(1，－5)，半径r ＝5 2. 圆心到直线x －2y ＋4＝0的距离d ＝|1－2×(－5)＋4|12＋(－2)2＝35， 设两圆的公共弦长为l ， 由r 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫l 22， 得l ＝2r 2－d 2＝2(52)2－(35)2＝25， 即两圆的公共弦长为2 5. 10．(2019·湖南湘中名校联考)已知m ＞0，n ＞0，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，则m ＋n 的取值范围是 解析：因为m ＞0，n ＞0，直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，所以圆心C (1,1)到直线的距离为半径1， 所以|m ＋1＋n ＋1－2|(m ＋1)2＋(n ＋1)2＝1， 即|m ＋n |＝(m ＋1)2＋(n ＋1)2.两边平方并整理得mn ＝m ＋n ＋1. 由基本不等式mn ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 22可得m ＋n ＋1≤⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 22， 即(m ＋n )2－4(m ＋n )－4≥0， 解得m ＋n ≥2＋2 2. 当且仅当m ＝n 时等号成立． 11．(2019·广东深圳联考)如图，直角三角形ABC 的顶点A 的坐标为(－2,0)，直角顶点B 的坐标为(0，－22)，顶点C 在x 轴上，点P 为线段OA 的中点．(1)求BC 边所在直线方程； (2)若M 为直角三角形ABC 外接圆的圆心，求圆M 的方程； (3)在(2)的条件下，若动圆N 过点P 且与圆M 内切，求动圆N 的圆心的轨迹方程． 解：(1)易知k AB ＝－2，AB ⊥BC ， ∴k CB ＝22， ∴BC 边所在直线方程为y ＝22x －2 2. (2)由(1)及题意得C (4,0)，∴M (1,0)， 又∵AM ＝3， ∴外接圆M 的方程为(x －1)2＋y 2＝9. (3)∵圆N 过点P (－1,0)，∴PN 是动圆的半径，又∵动圆N 与圆M 内切， ∴MN ＝3－PN ，即MN ＋PN ＝3， ∴点N 的轨迹是以M ，P 为焦点，长轴长为3的椭圆． ∵P (－1,0)，M (1,0)， ∴a ＝32，c ＝1，b ＝a 2－c 2＝54， ∴所求轨迹方程为x 294＋y 254＝1，即4x 29＋4y 25＝1. 12．(2019·河北武邑中学模拟)已知⊙H 被直线x －y －1＝0，x ＋y －3＝0分成面积相等的四部分，且截x 轴所得线段的长为2. (1)求⊙H 的方程； (2)若存在过点P (a,0)的直线与⊙H 相交于M ，N 两点，且|PM |＝|MN |，求实数a 的取值范围． 解：(1)设⊙H 的方程为(x －m )2＋(y －n )2＝r 2(r ＞0)， 因为⊙H 被直线x －y －1＝0，x ＋y －3＝0分成面积相等的四部分，所以圆心H (m ，n )一定是两互相垂直的直线x －y －1＝0，x ＋y －3＝0的交点，易得交点坐标为(2,1)，所以m ＝2，n ＝1. 又⊙H 截x 轴所得线段的长为2，所以r 2＝12＋n 2＝2. 所以⊙H 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝2. (2)设N (x 0，y 0)，由题意易知点M 是PN 的中点， 所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋a 2，y 02. 因为M ，N 两点均在⊙H 上， 所以(x 0－2)2＋(y 0－1)2＝2，① ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋a 2－22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 02－12＝2， 即(x 0＋a －4)2＋(y 0－2)2＝8，② 设⊙I ：(x ＋a －4)2＋(y －2)2＝8， 由①②知⊙H 与⊙I ：(x ＋a －4)2＋(y －2)2＝8有公共点，从而22－2≤|HI |≤22＋2，即2≤(a －2)2＋(1－2)2≤32， 整理可得2≤a 2－4a ＋5≤18， 解得2－17≤a ≤1或3≤a ≤2＋17， 所以实数a 的取值范围是[2－17，1]∪[3,2＋17]．13．若a ，b 是正数，直线2ax ＋by －2＝0被圆x 2＋y 2＝4截得的弦长为23，则t ＝a 1＋2b 2取得最大值时a 的值为( D ) A.12 B.32 C.34 D.34 解析：由已知可得圆心到直线2ax ＋by －2＝0的距离d ＝24a 2＋b 2，则直线被圆截得的弦长为24－44a 2＋b 2＝23，化简得4a 2＋b 2＝4. ∴t ＝a 1＋2b 2＝122·(22a )·1＋2b 2 ≤142[(22a )2＋(1＋2b 2)2]＝142(8a 2＋2b 2＋1)＝942，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ 8a 2＝1＋2b 2，4a 2＋b 2＝4时等号成立，即t 取最大值，此时a ＝34(舍负)，故选D. 14．(2019·江西新余五校联考)已知圆O ：x 2＋y 2＝9，过点C (2,1)的直线l 与圆O 交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，直线l 的方程为( D ) A ．x －y －3＝0或7x －y －15＝0 B ．x ＋y ＋3＝0或7x ＋y －15＝0 C ．x ＋y －3＝0或7x －y ＋15＝0 D ．x ＋y －3＝0或7x ＋y －15＝0 解析：当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x ＝2， 则P ，Q 的坐标为(2，5)，(2，－5)，所以S △OPQ ＝12×2×25＝2 5. 当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y －1＝k (x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫k ≠12， 则圆心到直线PQ 的距离d ＝|1－2k |1＋k 2， 由平面几何知识得|PQ |＝29－d 2， S △OPQ ＝12·|PQ |·d ＝12·29－d 2·d ＝(9－d 2)d 2≤ ⎝ ⎛⎭⎪⎫9－d 2＋d 222＝92，当且仅当9－d 2＝d 2，即d 2＝92时，S △OPQ 取得最大值92. 因为25＜92，所以S △OPQ 的最大值为92， 此时4k 2－4k ＋1k 2＋1＝92，解得k ＝－1或k ＝－7，此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0或7x ＋y －15＝0. 15．在平面直角坐标系xOy 中，A (－12,0)，B (0,6)，点P 在圆O ：x 2＋y 2＝50上．若P A →·PB →≤20，则点P 的横坐标的取值范围是解析：解法一：设P (x ，y )，则由P A →·PB →≤20可得， (－12－x )(－x )＋(－y )(6－y )≤20， 即(x ＋6)2＋(y －3)2≤65， 所以P 为圆(x ＋6)2＋(y －3)2＝65上或其内部一点． 又点P 在圆x 2＋y 2＝50上， 联立得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝50，(x ＋6)2＋(y －3)2＝65， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝7或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－5，y ＝－5， 即P 为圆x 2＋y 2＝50的劣弧MN 上的一点(如图)，易知－52≤x ≤1. 解法二：设P (x ，y )，则由P A →·PB →≤20， 可得(－12－x )(－x )＋(－y )(6－y )≤20， 即x 2＋12x ＋y 2－6y ≤20， 由于点P 在圆x 2＋y 2＝50上， 故12x －6y ＋30≤0，即2x －y ＋5≤0， ∴点P 为圆x 2＋y 2＝50上且满足2x －y ＋5≤0的点，即P 为圆x 2＋y 2＝50的劣弧MN 上的一点(如图)，同解法一，可得N (1,7)，M (－5，－5)， 易知－52≤x ≤1. 16．已知点G (5,4)，圆C 1：(x －1)2＋(y －4)2＝25，过点G 的动直线l 与圆C 1相交于E ，F 两点，线段EF 的中点为C ，且C 在圆C 2上． (1)若直线mx ＋ny －1＝0(mn ＞0)经过点G ，求mn 的最大值； (2)求圆C 2的方程； (3)若过点A (1,0)的直线l 1与圆C 2相交于P ，Q 两点，线段PQ 的中点为M .l 1与l 2：x ＋2y ＋2＝0的交点为N ，求证：|AM |·|AN |为定值．【人教版】红对勾2020届高考一轮数学（理）复习：课时作业解：(1)∵点G(5,4)在直线mx＋ny－1＝0上，∴5m＋4n＝1,5m＋4n≥220mn(当且仅当5m＝4n时取等号)，∴1≥80mn，即mn≤180，∴(mn)max＝180.(2)由已知得圆C1的圆心为(1,4)，半径为5，设C(x，y)，则C1C→＝(x－1，y－4)，CG→＝(5－x,4－y)，由题设知C1C→·CG→＝0，∴(x－1)(5－x)＋(y－4)(4－y)＝0，即(x－3)2＋(y－4)2＝4，∴C2的方程是(x－3)2＋(y－4)2＝4.(3)证明：当直线l1的斜率不存在时，直线l1与圆C2相切，当直线l1的斜率为0时，直线l1与圆C2相离，故设直线l1的方程为kx－y－k＝0(k≠0)．由直线l1与圆C2相交，得|3k－4－k|k2＋1＜2，解得k＞34.由⎩⎪⎨⎪⎧x＋2y＋2＝0，kx－y－k＝0得N⎝⎛⎭⎪⎫2k－22k＋1，－3k2k＋1，又直线C2M与l1垂直，由⎩⎨⎧y＝kx－k，y－4＝－1k(x－3)得M⎝⎛⎭⎪⎫k2＋4k＋31＋k2，4k2＋2k1＋k2，∴|AM|·|AN|＝⎝⎛⎭⎪⎫k2＋4k＋31＋k2－12＋⎝⎛⎭⎪⎫4k2＋2k1＋k22·⎝⎛⎭⎪⎫2k－22k＋1－12＋⎝⎛⎭⎪⎫－3k2k＋12＝2|2k＋1|1＋k2·1＋k2·31＋k2|2k＋1|＝6(定值)．。