【名师整理 真题感悟】2014高考数学(苏教版)常考问题专项冲关突破：常考问题4 导数的简单应用

常考问题5 导数的综合应用[真题感悟](2013·江苏卷)设函数f(x)＝ln x－ax，g(x)＝e x－ax，其中a为实数．(1)若f(x)在(1，＋∞)上是单调减函数，且g(x)在(1，＋∞)上有最小值，求a的取值范围；(2)若g(x)在(－1，＋∞)上是单调增函数，试求f(x)的零点个数，并证明你的结论．解(1)令f′(x)＝1x－a＝1－axx<0，考虑到f(x)的定义域为(0，＋∞)，故a>0，进而解得x>a－1，即f(x)在(a－1，＋∞)上是单调减函数．同理，f(x)在(0，a－1)上是单调增函数．由于f(x)在(1，＋∞)上是单调减函数，故(1，＋∞)⊆(a－1，＋∞)，从而a－1≤1，即a≥1.令g′(x)＝e x－a＝0，得x＝ln a．当x<ln a时，g′(x)<0；当x>ln a时，g′(x)>0.又g(x)在(1，＋∞)上有最小值，所以ln a>1，即a>e.综上，有a∈(e，＋∞)．(2)当a≤0时，g(x)必为单调增函数；当a>0时，令g′(x)＝e x－a>0，解得a<e x，即x>ln a，因为g(x)在(－1，＋∞)上是单调增函数，类似(1)有ln a≤－1，即0<a≤e－1.结合上述两种情况，有a≤e－1.(ⅰ)当a＝0时，由f(1)＝0以及f′(x)＝1x>0，得f(x)存在唯一的零点；(ⅱ)当a<0时，由于f(e a)＝a－a e a＝a(1－e a)<0，f(1)＝－a>0，且函数f(x)在[e a,1]上的图象不间断，所以f(x)在(e a,1)上存在零点．另外，当x>0时，f′(x)＝1 x－a>0，故f(x)在(0，＋∞)上是单调增函数，所以f(x)只有一个零点．(ⅲ)当0<a≤e－1时，令f′(x)＝1x－a＝0，解得x＝a－1.当0<x<a－1时，f′(x)>0，当x>a－1时，f′(x)<0，所以，x＝a－1是f(x)的最大值点，且最大值为f(a－1)＝－ln a－1.①当－ln a－1＝0，即a＝e－1时，f(x)有一个零点x＝e.②当－ln a－1>0，即0<a<e－1时，f(x)有两个零点．实际上，对于0<a<e－1，由于f(e－1)＝－1－a e－1<0，f(a－1)>0，且函数f(x)在[e －1，a－1]上的图象不间断，所以f(x)在(e－1，a－1)上存在零点．另外，当x∈(0，a－1)时，f′(x)＝1x－a>0，故f(x)在(0，a－1)上是单调增函数，所以f(x)在(0，a－1)上只有一个零点．下面考虑f(x)在(a－1，＋∞)上的情况．先证f(e a－1)＝a(a－2－e a－1)<0.为此，我们要证明：当x>e时，e x>x2.设h(x)＝e x－x2，则h′(x)＝e x－2x，再设l(x)＝h′(x)＝e x－2x，则l′(x)＝e x－2.当x>1时，l′(x)＝e x－2>e－2>0，所以l(x)＝h′(x)在(1，＋∞)上是单调增函数．故当x>2时，h′(x)＝e x－2x>h′(2)＝e2－4>0，从而h(x)在(2，＋∞)上是单调增函数．进而当x>e时，h(x)＝e x－x2>h(e)＝e e－e2>0.即当x>e时，e x>x2.当0<a<e－1，即a－1>e时，f(e a－1)＝a－1－a e a－1＝a(a－2－e a－1)<0，又f(a－1)>0，且函数f(x)在[a－1，e a－1]上的图象不间断，所以f(x)在(a－1，e a－1)上存在零点．又当x>a－1时，f′(x)＝1x－a<0，故f(x)在(a－1，＋∞)上是单调减函数，所以f(x)在(a－1，＋∞)上只有一个零点．综合(ⅰ)，(ⅱ)，(ⅲ)，当a≤0或a＝e－1时，f(x)的零点个数为1，当0<a<e－1时，f(x)的零点个数为2.[考题分析]高考对本内容的考查主要有：(1)导数在实际问题中的应用为函数应用题注入了新鲜的血液，使应用题涉及到的函数模型更加宽广，要求是B级；(2)导数还经常作为高考的压轴题，能力要求非常高，它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本技能，还要求考生具有较强的分析能力和计算能力．估计以后对导数的考查力度不会减弱．作为导数综合题，主要是涉及利用导数求最值解决恒成立问题，利用导数证明不等式等，常伴随对参数的讨论，这也是难点之所在.When you are old and grey and full of sleep,And nodding by the fire, take down this book, And slowly read, and dream of the soft look Your eyes had once, and of their shadows deep; How many loved your moments of glad grace, And loved your beauty with love false or true, But one man loved the pilgrim soul in you,And loved the sorrows of your changing face; And bending down beside the glowing bars, Murmur, a little sadly, how love fledAnd paced upon the mountains overheadAnd hid his face amid a crowd of stars.The furthest distance in the worldIs not between life and deathBut when I stand in front of youYet you don't know thatI love you.The furthest distance in the worldIs not when I stand in front of youYet you can't see my loveBut when undoubtedly knowing the love from bothYet cannot be together.The furthest distance in the worldIs not being apart while being in loveBut when I plainly cannot resist the yearningYet pretending you have never been in my heart.The furthest distance in the worldIs not struggling against the tidesBut using one's indifferent heartTo dig an uncrossable riverFor the one who loves you.倚窗远眺，目光目光尽处必有一座山，那影影绰绰的黛绿色的影，是春天的颜色。

常考问题15 概率与统计[真题感悟]1．(2013·江苏卷)现有某类病毒记作X m Y n，其中正整数m，n(m≤7，n≤9)可以任意选取，则m，n都取到奇数的概率为________．解析基本事件总数为N＝7×9＝63，其中m，n都为奇数的事件个数为M＝4×5＝20，所以所求概率P＝MN＝2063.答案20 632．(2013·江苏卷)抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下：运动员第1次第2次第3次第4次第5次甲8791908993乙8990918892 则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为________．解析对于甲，平均成绩为x甲＝15(87＋91＋90＋89＋93)＝90，所以方差为s2甲＝15(32＋12＋02＋12＋32)＝4；对于乙，平均成绩为x乙＝15(89＋90＋91＋88＋92)＝90，所以方差为s2乙＝15(12＋02＋12＋22＋22)＝2，由于2<4，所以乙的平均成绩为稳定．答案 23．(2012·江苏卷)某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3∶3∶4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取________名学生．解析由已知，高二人数占总人数的310，所以抽取人数为310×50＝15.答案154．(2012·江苏卷)现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是________．解析满足条件的数有1，－3，－33，－35，－37，－39；所以p＝610＝35.答案3 5[考题分析]高考对本内容的考查主要有：(1)抽样方法的选择、与样本容量相关的计算，尤其是分层抽样中的相关计算，A级要求．(2)图表中的直方图、茎叶图都可以作为考查点，尤其是直方图更是考查的热点，A级要求．(3)特征数中的方差、标准差计算都是考查的热点，B级要求．(4)随机事件的概率计算，通常以古典概型、几何概型的形式出现，B级要求.。

2014届高考数学（文科，某某专版）大二轮专题复习-审题·解题·回扣 word版（要点回扣+易错警示+查缺补漏）：第一篇审题是解题的开端，深入细致的审题是成功解题的必要前提．著名数学教育家波利亚说，“最糟糕的情况就是学生没有弄清问题就进行演算和作图．”为此波利亚总结出一X“怎样解题表”，将解题的过程分为四个阶段．其中第一步弄清问题就是我们常说的审题．审题就是多角度地观察，由表及里，由条件到结论，由数式到图形，洞察问题实质，选择正确的解题方向．事实上，很多考生往往对审题掉以轻心，或不知从何处入手进行审题，致使解题失误而丢分，真是令人痛心不已．本讲结合实例，教你正确的审题方法，给你制订一条“审题路线图”，破解高考不再难．一审条件挖隐含任何一个数学问题都是由条件和结论两部分构成的．条件是解题的主要素材，充分利用条件间的内在联系是解题的必经之路．条件有明示的，有隐含的，审视条件更重要的是要充分挖掘每一个条件的内涵和隐含的信息，发挥隐含条件的解题功能．例1已知0≤α<β<γ<2π，且sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，求β－α.审题路线图条件sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0根据审题路线图，可以规X 地将题目解出．解 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋sin β＝－sin γ， ①cos α＋cos β＝－cos γ， ②①2＋②2得2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝1， 故cos(β－α)＝－12.由0≤α<β<γ<2π，知0<β－α<2π，所以β－α＝2π3或β－α＝4π3.同理可得cos(γ－α)＝－12，0<γ－α<2π，所以γ－α＝2π3或γ－α＝4π3.由于β<γ，得β－α<γ－α，所以β－α取小值，γ－α取大值，即β－α＝2π3.设α，β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则cos β等于( ) A.2525B.255C.2525或255 D.55或525答案 A解析 依题意得sin α＝1－cos 2α＝255， cos(α＋β)＝±1－sin2α＋β＝±45.又α，β均为锐角，所以0<α<α＋β<π，cos α>cos(α＋β)． 因为45>55>－45，所以cos(α＋β)＝－45.于是cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝－45×55＋35×255＝2525.故选A.二审结论会转换问题解决的最终目标就是求出结论或说明已给结论正确或错误．因而解决问题时的思维过程大多都是围绕着结论这个目标进行定向思考的．审视结论，就是在结论的启发下，探索已知条件和结论之间的内在联系和转化规律．善于从结论中捕捉解题信息，善于对结论进行转化，使之逐步靠近条件，从而发现和确定解题方向．例2 已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，A 、B 是抛物线C 上异于坐标原点O 的不同两点，抛物线C 在点A ，B 处的切线分别为l 1，l 2，且l 1⊥l 2，l 1与l 2相交于点D . (1)求点D 的纵坐标； (2)证明：直线AB 过定点． 审题路线图通过审视结论，我们画出了审题路线图，根据审题路线图，即可规X 求解． (1)解 如图，设点A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)． ∵l 1，l 2分别是抛物线C 在点A ，B 处的切线， ∴直线l 1的斜率k 1＝y ′|x ＝x 1＝x 1p， 直线l 2的斜率k 2＝y ′|x ＝x 2＝x 2p. ∵l 1⊥l 2，∴k 1k 2＝－1，得x 1x 2＝－p 2.∵A ，B 是抛物线C 上的点，∴y 1＝x 212p ，y 2＝x 222p .∴直线l 1的方程为y －x 212p ＝x 1p (x －x 1)，直线l 2的方程为y －x 222p ＝x 2p(x －x 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y －x 212p ＝x 1px －x 1y －x 222p ＝x2px －x 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22y ＝－p2.∴点D 的纵坐标为－p2.(2)证明 ∵F 为抛物线C 的焦点，∴F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2.∴AF →＝⎝⎛⎭⎪⎫－x 1，p 2－x 212p ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 1，p 2－x 212p ，BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2，p 2－x 222p ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2，p 2－x 222p . ∵p 2－x 212p p 2－x 222p＝p 2－x 21p 2－x 22＝－x 1x 2－x 21－x 1x 2－x 22＝x 1x 2， ∴AF →∥BF →，即直线AB 过定点F .已知椭圆x 22＋y 24＝1的上、下焦点分别为F 1、F 2，点P 在第一象限且是椭圆上一点，并满足PF 1→·PF 2→＝1，过P 作倾斜角互补的两条直线PA 、PB 分别交椭圆于A 、B 两点．(1)求证：直线AB 的斜率为定值； (2)求△PAB 面积的最大值．(1)证明 由条件可得F 1(0，2)，F 2(0，－2)， 设P (x 0，y 0) (x 0>0，y 0>0)，则PF 1→＝(－x 0，2－y 0)，PF 2→＝(－x 0，－2－y 0)， 所以PF 1→·PF 2→＝x 20－(2－y 20)＝1， 又点P (x 0，y 0)在椭圆上， 所以x 202＋y 204＝1，所以x 2＝4－y 202，从而4－y 202－(2－y 20)＝1，得y 0＝ 2.则点P 的坐标为(1，2)．因为直线PA 、PB 的斜率必存在，故不妨设直线PB 的斜率为k (k >0)，则直线PB 的方程为y －2＝k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －2＝k x －1x 22＋y 24＝1，消去y ，得(2＋k 2)x 2＋2k (2－k )x ＋(2－k )2－4＝0， 设B (x B ，y B )，A (x A ，y A )，则1＋x B ＝2k k －22＋k2，x B ＝2k k －22＋k 2－1＝k 2－22k －22＋k2， 同理可得x A ＝k 2＋22k －22＋k2， 则x A －x B ＝42k2＋k2，y A －y B ＝－k (x A －1)－k (x B －1)＝8k 2＋k2. 所以直线AB 的斜率k AB ＝y A －y Bx A －x B＝2为定值． (2)解 由(1)可设直线AB 的方程为y ＝2x ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m x 22＋y 24＝1，消去y ，得4x 2＋22mx ＋m 2－4＝0， 由Δ＝(22m )2－16(m 2－4)>0，得m 2<8， 即－22<m <22，又点P 到直线AB 的距离为d ＝|m |3，则S △PAB ＝12|AB |d ＝121＋2|x A －x B |d＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫4－12m 2×3×|m |3＝18m 2－m 2＋8≤18⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2－m 2＋822＝ 2. 当且仅当m ＝±2时取等号． 所以△PAB 面积的最大值为 2. 三审图形抓特点在不少数学高考试题中，问题的条件往往是以图形的形式给出，或将条件隐含在图形之中，因此在审题时，要善于观察图形，洞悉图形所隐含的特殊的关系、数值的特点、变化的趋势．抓住图形的特征，运用数形结合的数学思想方法，是破解考题的关键． 例3 给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为120°.如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动，若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，则x ＋y 的最大值是______．审题路线图〈观察方向一〉〈观察方向二〉〈观察方向三〉解析建立如图所示的坐标系，则A(1,0)，B(cos 120°，sin 120°)，即B (－12，32)．设∠AOC ＝α，则OC →＝(cos α，sin α)． ∵OC →＝xOA →＋yOB →＝(x,0)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－y2，32y ＝(cos α，sin α)．∴⎩⎪⎨⎪⎧x －y2＝cos α，32y ＝sin α.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin α3＋cos α，y ＝2sin α3，∴x ＋y ＝3sin α＋cos α＝2sin(α＋30°)． ∵0°≤α≤120°，∴30°≤α＋30°≤150°. ∴x ＋y 有最大值2，当α＝60°时取最大值． 答案 2点评 从上面三种审题角度看，认真审图，抓住图形特征，解题又快又准，所以观察方向三值得考虑．如图是半径为2，圆心角为90°的直角扇形OAB ，Q 为AB 上一点， 点P 在扇形内(含边界)，且OP →＝tOA →＋(1－t )OB →(0≤t ≤1)，则OP →·OQ →的最大值为________． 答案 4解析 ∵OP →＝tOA →＋(1－t )OB →， ∴B ，P ，A 三点共线，∴BP →＝tBA →， 又0≤t ≤1，∴P 在线段BA 上运动． ∵Q 为AB 上一点，设∠POQ ＝θ，∴OP →·OQ →＝|OP →||OQ →|cos θ＝2|OP →|cos θ≤2|OP →|≤2×2＝4， 即当P ，Q 重合且位于A 或B 处时，OP →·OQ →取得最大值4. 四审结构定方案数学问题中的条件和结论，很多都是以数式的结构形式进行搭配和呈现的．在这些问题的数式结构中，往往都隐含着某种特殊关系，认真审视数式的结构特征，对数式结构进行深入分析，加工转化，可以寻找到突破问题的方案．例4 在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若b a ＋a b ＝6cos C ，则tan C tan A ＋tan Ctan B的值是________． 审题路线图 〈观察方向一〉〈观察方向二〉解析 由b a ＋a b＝6cos C ，得b 2＋a 2＝6ab cos C . 化简整理得2(a 2＋b 2)＝3c 2，将tan C tan A ＋tan C tan B 切化弦，得sin C cos C ·(cos A sin A ＋cos Bsin B ) ＝sin C cos C ·sin A ＋Bsin A sin B ＝sin C cos C ·sin Csin A sin B＝sin 2Ccos C sin A sin B . 根据正、余弦定理得 sin 2Ccos C sin A sin B＝c 2ab ·a 2＋b 2－c 22ab＝2c 2a 2＋b 2－c 2＝2c 232c 2－c 2＝4. 答案 4点评 观察方向二从数式的特点出发，选择特殊化方法，这种解题方案往往会达到令人非常满意的效果．已知O 是锐角△ABC 的外接圆的圆心，且∠A ＝θ，若cos B sin C ·AB →＋cos C sin B·AC→＝2mAO →，则m ＝________(用θ的三角函数表示)． 答案 sin θ解析 方法一 设AB ＝c ，AC ＝b ，AO ＝R ， 将等式cos B sin C ·AB →＋cos C sin B ·AC →＝2mAO →两边平方，得cos 2B ·⎝⎛⎭⎪⎫c sin C 2＋cos 2C ·⎝ ⎛⎭⎪⎫b sin B 2＋2cos B cos C ·c sin C ·b sin B ·cos θ＝4m 2R 2.设△ABC 的外接圆半径为R ，由正弦定理，得 cos 2B ＋cos 2C ＋2cos B cos C cos θ＝m 2.降幂，得1＋12cos 2B ＋12cos 2C ＋2cos B cos C cos θ＝m 2，则m 2＝1＋12cos[(B ＋C )＋(B －C )]＋12cos[(B ＋C )－(B －C )]＋2cos B cos C cos θ， 将上式右边展开并化简，得m 2＝1＋cos θcos(B ＋C )＝1－cos 2θ＝sin 2θ.注意到m >0，可知m ＝sin θ. 方法二 设AB ＝c ，AC ＝b ，AO ＝R ， ∠BAO ＝α，∠CAO ＝β.等式cos B sin C ·AB →＋cos C sin B ·AC →＝2mAO →两边同时乘以AO →，得cos B sin C ·cR cos α＋cos C sin B ·bR cos β＝2mR 2， 由正弦定理及cos α＝c2R＝sin C ，cos β＝b2R ＝sin B ，得cos B sin C ＋cos C sin B ＝m ，所以m ＝sin(C ＋B )＝sin θ.方法三 设A ＝B ＝C ＝θ＝60°，AB ＝AC ＝1， 则AB →＋AC →＝23mAO →，上式两边平方，得1＋1＋1＝4m 2，注意到m >0， 所以m ＝32＝sin 60°＝sin θ. 五审图表、数据找规律题目中的图表、数据包含着问题的基本信息，往往也暗示着解决问题的目标和方向．在审题时，要认真观察分析图表、数据的特征和规律，常常可以找到解决问题的思路和方法．例5(2012·某某)某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数(人)x 3025y 10结算时间(分钟/人)1 1.52 2.5 3已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过．．．2分钟的概率．(将频率视为概率) 审题路线图解(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10100＝1.9(分钟)．(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2，A3分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”．将频率视为概率得P(A1)＝15100＝320，P(A2)＝30100＝310，P (A 3)＝25100＝14. 因为A ＝A 1∪A 2∪A 3，且A 1，A 2，A 3是互斥事件， 所以P (A )＝P (A 1∪A 2∪A 3) ＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3) ＝320＋310＋14＝710. 故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为710.对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M 名学生作为样本，得到这M 名学生参加社区服务 的次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图：次数分组 频数 频率 [10,15) 10 0.25[15,20) 25n [20,25) mp[25,30) 20.05 合计M1(1)求出表中的M 、p 及图中a 的值；(2)若该校高一年级有学生360人，试估计他们参加社区服务的次数在区间[15,20)内的人数；(3)在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间[20,25)内的概率．解 (1)由区间[10,15)内的频数是10，频率是0.25知，10M＝0.25，所以M ＝40.因为频数之和为40，所以10＋25＋m ＋2＝40，解得m ＝3，p ＝m M ＝340，n ＝2540＝0.625.因为a 是区间[15,20)内的频率组距，所以a ＝n5＝0.125.(2)参加社区服务的次数在区间[15,20)内的人数约为360×0.625＝225.(3)在样本中，在区间[20,25)内的人数为3，可分别记为A ，B ，C ，在区间[25,30)内的人数为2，可分别记为a ，b .从该5名同学中取出2人的取法有(A ，a )，(A ，b )，(B ，a )，(B ，b )，(C ，a )，(C ，b )，(A ，B )，(A ，C )，(B ，C )，(a ，b )，共10种，至多一人在区间[20,25)内的情况有(A ，a )，(A ，b )，(B ，a )，(B ，b )，(C ，a )，(C ，b )，(a ，b )，共7种，所以至多一人参加社区服务次数在区间[20,25)内的概率为710.六审细节更完善审题不仅要从宏观上、整体上去分析、去把握，还要更加注意审视一些细节上的问题．例如括号内的标注、数据的X 围、图象的特点等．因为标注、X 围大多是对数学概念、公式、定理中所涉及的一些量或解析式的限制条件．审视细节能适时地利用相关量的约束条件，调整解决问题的方向．所以说重视审视细节，更能体现审题的深刻性． 例6 各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝14a 2n ＋12a n (n ∈N *)．(1)求a n ；(2)令b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ， n 为奇数，b n2， n 为偶数，＝b 2n ＋4 (n ∈N *)，求{}的前n 项和T n .审题路线图解 (1)a 1＝S 1＝14a 21＋12a 1⇒14a 21－12a 1＝0，因为a 1>0，故a 1＝2； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1 ＝14a 2n ＋12a n －14a 2n －1－12a n －1， 所以14(a 2n －a 2n －1)－12(a n ＋a n －1)＝0，即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0.因为a n >0，所以a n －a n －1＝2，即{a n }为等差数列， 所以a n ＝2n (n ∈N *)．(2)c 1＝b 6＝b 3＝a 3＝6，c 2＝b 8＝b 4＝b 2＝b 1＝a 1＝2，n ≥3时，＝b 2n ＋4＝b 2n －1＋2＝b 2n －2＋1＝a 2n －2＋1＝2n －1＋2，此时，T n ＝8＋(22＋2)＋(23＋2)＋…＋(2n －1＋2)＝2n＋2n ；当n ＝2时，T 2＝22＋2×2＝8＝c 1＋c 2.所以T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6， n ＝1，2n ＋2n ， n ≥2且n ∈N *.点评 从审题路线图可以看出，细节对思维的方向不断地修正着．已知数列{a n }的首项a 1＝t >0，a n ＋1＝3a n 2a n ＋1，n ＝1,2，….(1)若t ＝35，求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是等比数列，并求出{a n }的通项公式； (2)若a n ＋1>a n 对一切n ∈N *都成立，求t 的取值X 围． (1)证明 由题意知a n >0，1a n ＋1＝2a n ＋13a n ＝13a n ＋23，1a n ＋1－1＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1，由于a 1＝t ＝35，所以1a 1－1＝23.所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是首项为23，公比为13的等比数列，1a n －1＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝23n ， 所以a n ＝3n3n ＋2.(2)解 由(1)知1a n ＋1－1＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1的通项为1a n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －1⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1，由a 1>0，a n ＋1＝3a n2a n ＋1知a n >0，又a n ＋1>a n ，得1a n ＋1<1a n.即⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －1⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1<⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －1⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＋1， 得1t－1>0，又t >0，所以t 的取值X 围是(0,1)．1．解题先审题，养成认真审题，缜密思考的良好习惯．2．审题要慢要细，要谨慎思考：(1)全部的条件和结论；(2)必要的图形和图表；(3)数学式子和数学符号．要善于捕捉题目中的有效信息，要有较强的洞察力和显化隐含条件的能力．要制订和用好审题路线图．3．审题路线图：一审条件挖隐含→二审结论会转换→三审图形抓特点→四审结构定方案→五审图表、数据找规律→六审细节更完善.。

2014届高考数学（文科，江苏专版）大二轮专题复习-审题·解题·回扣 word 版（要点回扣+易错警示+查缺补漏）：第一篇审题是解题的开端，深入细致的审题是成功解题的必要前提．著名数学教育家波利亚说，“最糟糕的情况就是学生没有弄清问题就进行演算和作图．”为此波利亚总结出一张“怎样解题表”，将解题的过程分为四个阶段．其中第一步弄清问题就是我们常说的审题．审题就是多角度地观察，由表及里，由条件到结论，由数式到图形，洞察问题实质，选择正确的解题方向．事实上，很多考生往往对审题掉以轻心，或不知从何处入手进行审题，致使解题失误而丢分，真是令人痛心不已．本讲结合实例，教你正确的审题方法，给你制订一条“审题路线图”，破解高考不再难．一审条件挖隐含任何一个数学问题都是由条件和结论两部分构成的．条件是解题的主要素材，充分利用条件间的内在联系是解题的必经之路．条件有明示的，有隐含的，审视条件更重要的是要充分挖掘每一个条件的内涵和隐含的信息，发挥隐含条件的解题功能．例1 已知0≤α<β<γ<2π，且sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，求β－α.审题路线图条件sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0根据审题路线图，可以规范地将题目解出．解 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋sin β＝－sin γ， ①cos α＋cos β＝－cos γ， ②①2＋②2得2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝1， 故cos(β－α)＝－12.由0≤α<β<γ<2π，知0<β－α<2π，所以β－α＝2π3或β－α＝4π3.同理可得cos(γ－α)＝－12，0<γ－α<2π，所以γ－α＝2π3或γ－α＝4π3.由于β<γ，得β－α<γ－α，所以β－α取小值，γ－α取大值，即β－α＝2π3.设α，β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则cos β等于 ( ) A.2525B.255C.2525或255D.55或525答案 A解析 依题意得sin α＝1－cos 2α＝255，cos(α＋β)＝±1－sin2α＋β＝±45.又α，β均为锐角，所以0<α<α＋β<π，cos α>cos(α＋β)． 因为45>55>－45，所以cos(α＋β)＝－45.于是cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝－45×55＋35×255＝2525.故选A.二审结论会转换问题解决的最终目标就是求出结论或说明已给结论正确或错误．因而解决问题时的思维过程大多都是围绕着结论这个目标进行定向思考的．审视结论，就是在结论的启发下，探索已知条件和结论之间的内在联系和转化规律．善于从结论中捕捉解题信息，善于对结论进行转化，使之逐步靠近条件，从而发现和确定解题方向．例2 已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，A 、B 是抛物线C 上异于坐标原点O 的不同两点，抛物线C 在点A ，B 处的切线分别为l 1，l 2，且l 1⊥l 2，l 1与l 2相交于点D . (1)求点D 的纵坐标； (2)证明：直线AB 过定点． 审题路线图通过审视结论，我们画出了审题路线图，根据审题路线图，即可规范求解． (1)解 如图，设点A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)． ∵l 1，l 2分别是抛物线C 在点A ，B 处的切线，∴直线l 1的斜率k 1＝y ′|x ＝x 1＝x 1p， 直线l 2的斜率k 2＝y ′|x ＝x 2＝x 2p. ∵l 1⊥l 2，∴k 1k 2＝－1，得x 1x 2＝－p 2.∵A ，B 是抛物线C 上的点，∴y 1＝x 212p ，y 2＝x 222p .∴直线l 1的方程为y －x 212p ＝x 1p (x －x 1)，直线l 2的方程为y －x 222p ＝x 2p(x －x 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y －x 212p ＝x 1px －x 1y －x 222p ＝x2px －x 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22y ＝－p2.∴点D 的纵坐标为－p2.(2)证明 ∵F 为抛物线C 的焦点，∴F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2.∴AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 1，p 2－x 212p ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 1，p 2－x 212p ，BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2，p 2－x 222p ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2，p 2－x 222p . ∵p 2－x 212p p 2－x 222p＝p 2－x 21p 2－x 22＝－x 1x 2－x 21－x 1x 2－x 22＝x 1x 2， ∴AF →∥BF →，即直线AB 过定点F .已知椭圆x 22＋y 24＝1的上、下焦点分别为F 1、F 2，点P 在第一象限且是椭圆上一点，并满足PF 1→·PF 2→＝1，过P 作倾斜角互补的两条直线PA 、PB 分别交椭圆于A 、B 两点． (1)求证：直线AB 的斜率为定值； (2)求△PAB 面积的最大值．(1)证明 由条件可得F 1(0，2)，F 2(0，－2)， 设P (x 0，y 0) (x 0>0，y 0>0)，则PF 1→＝(－x 0，2－y 0)，PF 2→＝(－x 0，－2－y 0)，所以PF 1→·PF 2→＝x 20－(2－y 20)＝1， 又点P (x 0，y 0)在椭圆上， 所以x 202＋y 204＝1，所以x 2＝4－y 202，从而4－y 202－(2－y 20)＝1，得y 0＝ 2.则点P 的坐标为(1，2)．因为直线PA 、PB 的斜率必存在，故不妨设直线PB 的斜率为k (k >0)，则直线PB 的方程为y －2＝k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －2＝k x －x 22＋y 24＝1，消去y ，得(2＋k 2)x 2＋2k (2－k )x ＋(2－k )2－4＝0， 设B (x B ，y B )，A (x A ，y A )，则1＋x B ＝2k k －22＋k2， x B ＝2k k －22＋k2－1＝k 2－22k －22＋k2， 同理可得x A ＝k 2＋22k －22＋k2， 则x A －x B ＝42k2＋k2，y A －y B ＝－k (x A －1)－k (x B －1)＝8k 2＋k2. 所以直线AB 的斜率k AB ＝y A －y Bx A －x B＝2为定值． (2)解 由(1)可设直线AB 的方程为y ＝2x ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m x 22＋y 24＝1，消去y ，得4x 2＋22mx ＋m 2－4＝0， 由Δ＝(22m )2－16(m 2－4)>0，得m 2<8， 即－22<m <22，又点P 到直线AB 的距离为d ＝|m |3，则S △PAB ＝12|AB |d ＝121＋2|x A －x B |d＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫4－12m 2×3×|m |3＝18m 2－m 2＋≤18⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2－m 2＋822＝ 2. 当且仅当m ＝±2时取等号． 所以△PAB 面积的最大值为 2. 三审图形抓特点在不少数学高考试题中，问题的条件往往是以图形的形式给出，或将条件隐含在图形之中，因此在审题时，要善于观察图形，洞悉图形所隐含的特殊的关系、数值的特点、变化的趋势．抓住图形的特征，运用数形结合的数学思想方法，是破解考题的关键． 例3 给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为120°.如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动，若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，则x ＋y 的最大值是______．审题路线图 〈观察方向一〉〈观察方向二〉〈观察方向三〉解析 建立如图所示的坐标系，则A (1,0)，B (cos 120°，sin 120°)， 即B (－12，32)．设∠AOC ＝α，则OC →＝(cos α，sin α)． ∵OC →＝xOA →＋yOB →＝(x,0)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－y2，32y ＝(cos α，sin α)．∴⎩⎪⎨⎪⎧x －y2＝cos α，32y ＝sin α.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin α3＋cos α，y ＝2sin α3，∴x ＋y ＝3sin α＋cos α＝2sin(α＋30°)． ∵0°≤α≤120°，∴30°≤α＋30°≤150°. ∴x ＋y 有最大值2，当α＝60°时取最大值． 答案 2点评 从上面三种审题角度看，认真审图，抓住图形特征，解题又快又准，所以观察方向三值得考虑．如图是半径为2，圆心角为90°的直角扇形OAB ，Q 为AB 上一点， 点P 在扇形内(含边界)，且OP →＝tOA →＋(1－t )OB →(0≤t ≤1)，则OP →·OQ →的最大值为________． 答案 4解析 ∵OP →＝tOA →＋(1－t )OB →， ∴B ，P ，A 三点共线，∴BP →＝tBA →， 又0≤t ≤1，∴P 在线段BA 上运动． ∵Q 为AB 上一点，设∠POQ ＝θ，∴OP →·OQ →＝|OP →||OQ →|cos θ＝2|OP →|cos θ≤2|OP →|≤2×2＝4， 即当P ，Q 重合且位于A 或B 处时，OP →·OQ →取得最大值4. 四审结构定方案数学问题中的条件和结论，很多都是以数式的结构形式进行搭配和呈现的．在这些问题的数式结构中，往往都隐含着某种特殊关系，认真审视数式的结构特征，对数式结构进行深入分析，加工转化，可以寻找到突破问题的方案．例4 在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若b a ＋ab ＝6cos C ，则tan C tan A ＋tan Ctan B的值是________． 审题路线图 〈观察方向一〉〈观察方向二〉解析 由b a ＋a b＝6cos C ，得b 2＋a 2＝6ab cos C . 化简整理得2(a 2＋b 2)＝3c 2，将tan C tan A ＋tan C tan B 切化弦，得sin C cos C ·(cos A sin A ＋cos Bsin B ) ＝sin C cos C ·A ＋Bsin A sin B ＝sin C cos C ·sin Csin A sin B＝sin 2Ccos C sin A sin B . 根据正、余弦定理得 sin 2Ccos C sin A sin B＝c 2ab ·a 2＋b 2－c 22ab＝2c 2a 2＋b 2－c 2＝2c 232c 2－c 2＝4. 答案 4点评 观察方向二从数式的特点出发，选择特殊化方法，这种解题方案往往会达到令人非常满意的效果．已知O 是锐角△ABC 的外接圆的圆心，且∠A ＝θ，若cos B sin C ·AB →＋cos C sin B·AC →＝2mAO →，则m ＝________(用θ的三角函数表示)．答案 sin θ解析 方法一 设AB ＝c ，AC ＝b ，AO ＝R ， 将等式cos B sin C ·AB →＋cos C sin B ·AC →＝2mAO →两边平方，得cos 2B ·⎝⎛⎭⎪⎫c sin C 2＋cos 2C ·⎝ ⎛⎭⎪⎫b sin B 2＋2cos B cos C ·c sin C ·b sin B ·cos θ＝4m 2R 2.设△ABC 的外接圆半径为R ，由正弦定理，得 cos 2B ＋cos 2C ＋2cos B cos C cos θ＝m 2.降幂，得1＋12cos 2B ＋12cos 2C ＋2cos B cos C cos θ＝m 2，则m 2＝1＋12cos[(B ＋C )＋(B －C )]＋12cos[(B ＋C )－(B －C )]＋2cos B cos C cos θ，将上式右边展开并化简，得m 2＝1＋cos θcos(B ＋C )＝1－cos 2θ＝sin 2θ.注意到m >0，可知m ＝sin θ. 方法二 设AB ＝c ，AC ＝b ，AO ＝R ， ∠BAO ＝α，∠CAO ＝β.等式cos B sin C ·AB →＋cos C sin B ·AC →＝2mAO →两边同时乘以AO →，得cos B sin C ·cR cos α＋cos C sin B ·bR cos β＝2mR 2， 由正弦定理及cos α＝c2R＝sin C ，cos β＝b2R ＝sin B ，得cos B sin C ＋cos C sin B ＝m ，所以m ＝sin(C ＋B )＝sin θ.方法三 设A ＝B ＝C ＝θ＝60°，AB ＝AC ＝1， 则AB →＋AC →＝23mAO →，上式两边平方，得1＋1＋1＝4m 2，注意到m >0， 所以m ＝32＝sin 60°＝sin θ. 五审图表、数据找规律题目中的图表、数据包含着问题的基本信息，往往也暗示着解决问题的目标和方向．在审题时，要认真观察分析图表、数据的特征和规律，常常可以找到解决问题的思路和方法．例5 (2012·湖南)某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.(1)确定x ，y 的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过．．．2分钟的概率．(将频率视为概率) 审题路线图解(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10100＝1.9(分钟)．(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2，A3分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”．将频率视为概率得P(A1)＝15100＝320，P(A2)＝30100＝310，P(A3)＝25100＝14.因为A＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3是互斥事件，所以P(A)＝P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝320＋310＋14＝710.故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为710.对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图：(1)(2)若该校高一年级有学生360人，试估计他们参加社区服务的次数在区间[15,20)内的人数；(3)在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间[20,25)内的概率．解 (1)由区间[10,15)内的频数是10，频率是0.25知，10M＝0.25，所以M ＝40.因为频数之和为40，所以10＋25＋m ＋2＝40，解得m ＝3，p ＝m M ＝340，n ＝2540＝0.625.因为a 是区间[15,20)内的频率组距，所以a ＝n5＝0.125.(2)参加社区服务的次数在区间[15,20)内的人数约为360×0.625＝225.(3)在样本中，在区间[20,25)内的人数为3，可分别记为A ，B ，C ，在区间[25,30)内的人数为2，可分别记为a ，b .从该5名同学中取出2人的取法有(A ，a )，(A ，b )，(B ，a )，(B ，b )，(C ，a )，(C ，b )，(A ，B )，(A ，C )，(B ，C )，(a ，b )，共10种，至多一人在区间[20,25)内的情况有(A ，a )，(A ，b )，(B ，a )，(B ，b )，(C ，a )，(C ，b )，(a ，b )，共7种，所以至多一人参加社区服务次数在区间[20,25)内的概率为710.六审细节更完善审题不仅要从宏观上、整体上去分析、去把握，还要更加注意审视一些细节上的问题．例如括号内的标注、数据的范围、图象的特点等．因为标注、范围大多是对数学概念、公式、定理中所涉及的一些量或解析式的限制条件．审视细节能适时地利用相关量的约束条件，调整解决问题的方向．所以说重视审视细节，更能体现审题的深刻性． 例6 各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝14a 2n ＋12a n (n ∈N *)．(1)求a n ；(2)令b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ， n 为奇数，b n2， n 为偶数，c n ＝b 2n ＋4 (n ∈N *)，求{c n }的前n 项和T n .审题路线图解 (1)a 1＝S 1＝14a 21＋12a 1⇒14a 21－12a 1＝0，因为a 1>0，故a 1＝2； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝14a 2n ＋12a n －14a 2n －1－12a n －1， 所以14(a 2n －a 2n －1)－12(a n ＋a n －1)＝0， 即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0.因为a n >0，所以a n －a n －1＝2，即{a n }为等差数列，所以a n ＝2n (n ∈N *)．(2)c 1＝b 6＝b 3＝a 3＝6，c 2＝b 8＝b 4＝b 2＝b 1＝a 1＝2， n ≥3时，c n ＝b 2n ＋4＝b 2n －1＋2＝b 2n －2＋1＝a 2n －2＋1＝2n －1＋2，此时，T n ＝8＋(22＋2)＋(23＋2)＋…＋(2n －1＋2) ＝2n ＋2n ；当n ＝2时，T 2＝22＋2×2＝8＝c 1＋c 2.所以T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 6， n ＝1，2n ＋2n ， n ≥2且n ∈N *.点评 从审题路线图可以看出，细节对思维的方向不断地修正着．已知数列{a n }的首项a 1＝t >0，a n ＋1＝3a n 2a n ＋1，n ＝1,2，…. (1)若t ＝35，求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是等比数列，并求出{a n }的通项公式； (2)若a n ＋1>a n 对一切n ∈N *都成立，求t 的取值范围．(1)证明 由题意知a n >0，1a n ＋1＝2a n ＋13a n ＝13a n ＋23，1a n ＋1－1＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1， 由于a 1＝t ＝35，所以1a 1－1＝23. 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是首项为23，公比为13的等比数列， 1a n －1＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝23n ， 所以a n ＝3n3n ＋2. (2)解 由(1)知1a n ＋1－1＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1， 数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1的通项为1a n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －1⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1， 由a 1>0，a n ＋1＝3a n 2a n ＋1知a n >0，又a n ＋1>a n ，得1a n ＋1<1a n .即⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －1⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1<⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －1⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＋1， 得1t－1>0，又t >0， 所以t 的取值范围是(0,1)．1． 解题先审题，养成认真审题，缜密思考的良好习惯．2． 审题要慢要细，要谨慎思考：(1)全部的条件和结论；(2)必要的图形和图表；(3)数学式子和数学符号．要善于捕捉题目中的有效信息，要有较强的洞察力和显化隐含条件的能力．要制订和用好审题路线图．3．审题路线图：一审条件挖隐含→二审结论会转换→三审图形抓特点→四审结构定方案→五审图表、数据找规律→六审细节更完善.。

常考问题18 二项式定理及数学归纳法[真题感悟](2013·江苏卷)设数列{a n }：1，－2，－2,3,3,3，－4，－4，－4，－4，…，(－1)k －1k ，…，(－1)k －1k ，…，即当(k －1)k 2<n ≤k (k ＋1)2(k ∈N *)时，a n ＝(－1)k －1k ，记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n (n ∈N *)．对于l ∈N *，定义集合P l ＝{n |S n 是a n 的整数倍，n ∈N *，且1≤n ≤l }．(1)求集合P 11中元素的个数；(2)求集合P 2 000中元素的个数．解 (1)由数列{a n }的定义得a 1＝1，a 2＝－2，a 3＝－2，a 4＝3，a 5＝3，a 6＝3，a 7＝－4，a 8＝－4，a 9＝－4，a 10＝－4，a 11＝5，所以S 1＝1，S 2＝－1，S 3＝－3，S 4＝0，S 5＝3，S 6＝6，S 7＝2，S 8＝－2，S 9＝－6，S 10＝－10，S 11＝－5，从而S 1＝a 1，S 4＝0×a 4，S 5＝a 5，S 6＝2a 6，S 11＝－a 11，所以集合P 11中元素的个数为5.(2)先证：S i (2i ＋1)＝－i (2i ＋1)(i ∈N *)．事实上，①当i ＝1时，S i (2i ＋1)＝S 3＝－3，－i (2i ＋1)＝－3，故原等式成立； ②假设i ＝m 时成立，即S m (2m ＋1)＝－m (2m ＋1)，则i ＝m ＋1时 ，S (m ＋1)(2m ＋3)＝S m (2m ＋1)＋(2m ＋1)2－(2m ＋2)2＝－m (2m ＋1)－4m －3＝－(2m 2＋5m ＋3)＝－(m ＋1)(2m ＋3)．综合①②可得S i (2i ＋1)＝－i (2i ＋1)．于是S (i ＋1)(2i ＋1)＝S i (2i ＋1)＋(2i ＋1)2＝－i (2i ＋1)＋(2i ＋1)2＝(2i ＋1)(i ＋1)． 由上可知S i (2i ＋1)是2i ＋1的倍数，而a i (2i ＋1)＋j ＝2i ＋1(j ＝1,2，…，2i ＋1)，所以S i (2i ＋1)＋j ＝S i (2i ＋1)＋j (2i ＋1)是a i (2i ＋1)＋j (j ＝1,2，…，2i ＋1)的倍数．又S (i ＋1)(2i ＋1)＝(i ＋1)·(2i ＋1)不是2i ＋2的倍数，而a (i ＋1)(2i ＋1)＋j ＝－(2i ＋2)(j ＝1,2，…，2i ＋2)，所以S (i ＋1)(2i ＋1)＋j ＝S (i ＋1)(2i ＋1)－j (2i ＋2)＝(2i ＋1)(i ＋1)－j (2i ＋2)不是a (i ＋1)(2i ＋1)＋j (j ＝1,2，…，2i ＋2)的倍数，故当l ＝i (2i ＋1)时，集合P l 中元素的个数为1＋3＋…＋(2i －1)＝i 2，于是，当l ＝i (2i ＋1)＋j (1≤j ≤2i ＋1)时，集合P l 中元素的个数为i 2＋j .又2 000＝31×(2×31＋1)＋47，故集合P 2 000中元素的个数为312＋47＝1 008.[考题分析]高考对本内容的考查主要有：(1) 二项式定理的简单应用，B级要求；(2)数学归纳法的简单应用，B级要求。

常考问题2 函数与方程及函数的应用[真题感悟]1．(2013·湖南卷改编)函数f (x )＝2ln x 的图象与函数g (x )＝x 2－4x ＋5的图象的交点个数为________．解析 由已知g (x )＝(x －2)2＋1，所以其顶点为(2,1)，又f (2)＝2ln 2∈(1,2)，可知点(2,1)位于函数f (x )＝2ln x 图象的下方，故函数f (x )＝2ln x 的图象与函数g (x )＝x 2－4x ＋5的图象有2个交点．答案 22．(2012·江苏卷)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x ＜0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫32，则a ＋3b 的值为________． 解析 因为函数f (x )是周期为2的函数，所以f (－1)＝f (1)⇒－a ＋1＝b ＋22，又f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－12⇒12b ＋232＝－12a ＋1，联立列成方程组解得a ＝2，b ＝－4，所以a ＋3b ＝2－12＝－10.答案 －103．(2013·新课标全国Ⅰ卷改编)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln (x ＋1)，x >0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是________．解析 当x ≤0时，f (x )＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤0，所以|f (x )|≥ax ，化简为x 2－2x ≥ax ，即x 2≥(a ＋2)x ，因为x ≤0，所以a ＋2≥x 恒成立，所以a ≥－2；当x >0时，f (x )＝ln(x ＋1)>0，所以|f (x )|≥ax 化简为ln(x ＋1)>ax 恒成立，由函数图象可知a ≤0，综上，当－2≤a ≤0时，不等式|f (x )|≥ax 恒成立． 答案 [－2,0]4．(2013·天一、淮阴、海门中学调研)将一个长宽分别是a ，b (0＜b ＜a )的铁皮的四角切去相同的正方形，然后折成一个无盖的长方体的盒子，若这个长方体的外接球的体积存在最小值，则ab的取值范围是________． 解析 设切去正方形的边长为x ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，b 2，则该长方体外接球的半径为 r 2＝14[(a －2x )2＋(b －2x )2＋x 2]＝14[9x 2－4(a ＋b )x ＋a 2＋b 2]，在x ∈⎝⎛⎭⎫0，b 2 存在最小值时，必有2(a ＋b )9＜b2，解得a b ＜54，又0＜b ＜a ⇒ab ＞1，故ab 的取值范围是⎝⎛⎭⎫1，54. 答案 ⎝⎛⎭⎫1，54 [考题分析]高考对本内容的考查主要有：(1)函数与方程是A 级要求，但经常与二次函数等基本函数的图象和性质综合起来考查，是重要考点；(2)函数模型及其应用是考查热点，要求是B 级；试题类型可能是填空题，也可能在解答题中与函数性质、导数、不等式综合考查.1．函数的零点与方程的根 (1)函数的零点对于函数f (x )，我们把使f (x )＝0的实数x 叫做函数f (x )的零点． (2)函数的零点与方程根的关系函数F (x )＝f (x )－g (x )的零点就是方程f (x )＝g (x )的根，即函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝g (x )的图象交点的横坐标． (3)零点存在性定理如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f (a )·f (b )<0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )使得f (c )＝0, 这个c 也就是方程f (x )＝0的根． 注意以下两点：①满足条件的零点可能不唯一； ②不满足条件时，也可能有零点．(4)二分法求函数零点的近似值，二分法求方程的近似解．2．应用函数模型解决实际问题的一般程序 读题(文字语言)⇒建模(数学语言)⇒求解(数学应用)⇒反馈(检验作答)与函数有关的应用题，经常涉及到物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题．解答这类问题的关键是确切的建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答．3．在求方程解的个数或者根据解的个数求方程中的字母参数的范围的问题时，数形结合是基本的解题方法，即把方程分拆为一个等式，使两端都转化为我们所熟悉的函数的解析式，然后构造两个函数f (x )，g (x )，即把方程写成f (x )＝g (x )的形式，这时方程根的个数就是两个函数图象交点的个数，可以根据图象的变化趋势找到方程中字母参数所满足的各种关系.热点一 函数与方程问题【例1】 (2013·苏锡常镇调研)已知直线y ＝mx 与函数f (x )＝⎩⎨⎧2－⎝⎛⎭⎫13x ，x ≤0，12x 2＋1，x >0的图象恰好有3个不同的公共点，则实数m 的取值范围是________．解析 作出函数f (x )＝⎩⎨⎧2－⎝⎛⎭⎫13x ，x ≤0，12x 2＋1，x >0的图象，如图所示．直线y ＝mx 的图象是绕坐标原点旋转的动直线．当斜率m ≤0时，直线y ＝mx 与函数f (x )的图象只有一个公共点；当m >0时，直线y ＝mx 始终与函数y ＝2－⎝⎛⎭⎫13x(x ≤0)的图象有一个公共点，故要使直线y ＝mx 与函数f (x )的图象有三个公共点，必须有直线y ＝mx 与函数y ＝12x 2＋1(x >0)的图象有两个公共点，即方程mx ＝12x 2＋1，在x >0时有两个不相等的实数根，即方程x 2－2mx ＋2＝0的判别式Δ＝4m 2－4×2>0，且m >0，解得m > 2.故所求实数m 的取值范围是()2，＋∞. 答案 (2，＋∞)[规律方法] 解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解．【训练1】 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥2，(x －1)3，x <2.若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________．解析 将方程有两个不同的实根转化为两个函数图象有两个不同的交点．作出函数f (x )的图象，如图，由图象可知，当0<k <1时，函数f (x )与y ＝k 的图象有两个不同的交点，所以所求实数k 的取值范围是(0,1)．答案 (0,1)热点二 函数的实际应用问题【例2】 已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内生产该品牌服装x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为R (x )万元，且R (x )＝⎩⎨⎧10.8－130x 2，0＜x ≤10，108x －1 0003x 2，x ＞10.(1)写出年利润W (万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；(2)年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大． (注：年利润＝年销售收入一年总成本) 解 (1)当0＜x ≤10时，W ＝xR (x )－(10＋2.7x )＝8.1x －x 330－10；当x ＞10时，W ＝xR (x )－(10＋2.7x )＝98－1 0003x－2.7x ，∴W ＝⎩⎨⎧8.1x －x 330－10，0＜x ≤10，98－1 0003x－2.7x ，x ＞10.(2)①当0＜x ≤10时， 由W ′＝8.1－x 210＝0，得x ＝9.当x ∈(0,9)时，W ′＞0； 当x ∈(9,10]时，W ′＜0， ∴当x ＝9时， W 取得最大值，即W max ＝8.1×9－130×93－10＝38.6.②当x ＞10时，W ＝98－⎝⎛⎭⎫1 0003x ＋2.7x ≤98－2 1 0003x×2.7x ＝38， 当且仅当1 0003x ＝2.7x ，即x ＝1009时，W 取得最大值38. 综合①②知：当x ＝9时， W 取得最大值38.6， 故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获的年利润最大． [规律方法] (1)关于解决函数的实际应用问题，首先要在阅读上下功夫，一般情况下，应用题文字叙述比较长，要耐心、细心地审清题意，弄清各量之间的关系，再建立函数关系式，然后借助函数的知识求解，解答后再回到实际问题中去．(2)对函数模型求最值的常用方法：单调性法、基本不等式法及导数法．【训练2】 (2012·江苏卷)如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y ＝kx －120(1＋k 2)x 2(k >0)表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由． 解 (1)令y ＝0，得 kx －120(1＋k 2)x 2＝0，由实际意义和题设条件知x >0，k >0， 故x ＝20k 1＋k2＝20k ＋1k ≤202＝10， 当且仅当k ＝1时取等号． 所以炮的最大射程为10千米． (2)因为a >0，所以炮弹可击中目标⇔存在k >0，使3.2＝ka －120(1＋k 2)a 2成立⇔关于k 的方程a 2k 2－20ak ＋a 2＋64＝0有正根⇔判别式Δ＝(－20a )2－4a 2(a 2＋64)≥0⇔a ≤6.所以当a 不超过6千米时，可击中目标.备课札记：。

压轴大题突破练(三)(推荐时间：60分钟)1． 已知函数f (x )＝12x 2－2a ln x ＋(a －2)x ，a ∈R . (1)当a ＝1时，求函数f (x )图象在点(1，f (1))处的切线方程；(2)当a <0时讨论函数f (x )的单调性；(3)是否存在实数a ，对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2有f x 2－f x 1x 2－x 1>a 恒成立？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由．解 f ′(x )＝x －2a x ＋a －2＝x －2x ＋a x(x >0)． (1)当a ＝1时，f ′(x )＝x －x ＋x ，f ′(1)＝－2，∴所求的切线方程为y －f (1)＝－2(x －1)，即4x ＋2y －3＝0.(2)①当－a ＝2，即a ＝－2时，f ′(x )＝x －2x ≥0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增．②当－a <2，即－2<a <0时，∵0<x <－a 或x >2时，f ′(x )>0；－a <x <2时，f ′(x )<0，f (x )在(0，－a )，(2，＋∞)上单调递增，在(－a ，2)上单调递减；③当－a >2，即a <－2时，∵0<x <2或x >－a 时，f ′(x )>0；2<x <－a 时，f ′(x )<0，f (x )在(0，2)，(－a ，＋∞)上单调递增，在(2，－a )上单调递减．(3)假设存在这样的实数a 满足条件，不妨设x 1<x 2.由f x 2－f x 1x 2－x 1>a 知f (x 2)－ax 2>f (x 1)－ax 1成立， 令g (x )＝f (x )－ax ＝12x 2－2a ln x －2x ， 则函数g (x )在(0，＋∞)上单调递增，∴g ′(x )＝x －2a x－2≥0，即2a ≤x 2－2x ＝(x －1)2－1在(0，＋∞)上恒成立．∴a ≤－12，故存在这样的实数a 满足题意， 其范围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12. 2． 已知圆C ：(x ＋3)2＋y 2＝16，点A (3，0)，Q 是圆上一动点，AQ 的垂直平分线交CQ于点M ，设点M 的轨迹为E .(1)求轨迹E 的方程；(2)过点P (1，0)的直线l 交轨迹E 于两个不同的点A 、B ，△AOB (O 是坐标原点)的面积S ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45，若弦AB 的中点为R ，求直线OR 斜率的取值范围． 解 (1)由题意，得|MC |＋|MA |＝|MC |＋|MQ |＝|CQ |＝4>23，所以点M 的轨迹是以A ，C 为焦点，长轴长为4的椭圆，即轨迹的方程为x 24＋y 2＝1. (2)记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，R (x 0，y 0)，由题意，直线l 的斜率不可能为0，故可设直线l ：x ＝my ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋4y 2＝4，x ＝my ＋1消去x ，得(4＋m 2)y 2＋2my －3＝0. 所以⎩⎪⎨⎪⎧ y 1＋y 2＝－2m 4＋m 2，y 1·y 2＝－34＋m 2.S ＝12|OP |·|y 1－y 2|＝12y 1＋y 22－4y 1y 2 ＝2m 2＋3m 2＋4， 由S ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45，解得1<m 2<6， 即m ∈(－6，－1)∪(1，6)．因为R (x 0，y 0)是AB 的中点，所以y 0＝y 1＋y 22＝－m 4＋m 2，x 0＝my 0＋1＝44＋m2.故直线OR 的斜率k ＝y 0x 0＝－m 4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－64，－14∪⎝ ⎛⎭⎪⎫14，64. 3． 已知x ＝3是函数f (x )＝a ln(1＋x )＋x 2－10x 的一个极值点．(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间；(3)若直线y ＝b 与函数y ＝f (x )的图象有3个交点，求b 的的取值范围．解 (1)∵f ′(x )＝a 1＋x＋2x －10， ∴f ′(3)＝a4＋6－10＝0，故a ＝16. (2)由(1)，知f (x )＝16ln(1＋x )＋x 2－10x ，x ∈(－1，＋∞)， f ′(x )＝x 2－4x ＋1＋x ＝x －x －1＋x .当x ∈(－1，1)∪(3，＋∞)时，f ′(x )>0；当x ∈(1，3)时，f ′(x )<0.则f (x )的单调递增区间是(－1，1]和[3，＋∞)，单调递减区间是[1，3]．(3)由(2)知，f (x )在(－1，1)上单调递增，在(1，3)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增，且当x ＝1或x ＝3时，f ′(x )＝0.所以f (x )的极大值为f (1)＝16ln 2－9，极小值为f (3)＝32ln 2－21.所以在f (x )的三个单调区间(－1，1]，[1，3]，[3，＋∞)上，当且仅当f (3)<b <f (1)，直线y ＝b 与y ＝f (x )的图象有3个交点，如图所示．因此，b 的取值范围为(32ln 2－21，16ln 2－9)．4． 已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴，离心率为22，它的一个焦点恰好与抛物线y 2 ＝4x 的焦点重合．(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆的上顶点为A ，过A 作椭圆C 的两条动弦AB 、AC ，若直线AB 、AC 的斜率之积为14，试问直线BC 是否经过一定点？若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由． 解 (1)设所求椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，∵2p ＝4，∴p ＝2，抛物线的焦点为F (1，0)， ∴椭圆的一个焦点为F (1，0)，∴c ＝1.又∵c a ＝22，∴a ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝1，故所求椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由(1)知A (0，1)．当直线BC 的斜率不存在时，设BC ：x ＝x 0， 设B (x 0，y 0)，则C (x 0，－y 0)，k AB ·k AC ＝y 0－1x 0·－y 0－1x 0＝1－y 20x 20＝12x 20x 20＝12≠14，不合题意．故直线BC 的斜率存在，设直线BC 的方程为y ＝kx ＋m ， 并代入椭圆方程，整理得：(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2(m 2－1)＝0 ①由Δ＝(4km )2－8(1＋2k 2)(m 2－1)>0得2k 2－m 2＋1>0，②设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则x 1，x 2是方程①的两根，∴x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1·x 2＝m 2－1＋2k 2，由k AB ·k AC ＝y 1－1x 1·y 2－1x 2＝14得4y 1y 2－4(y 1＋y 2)＋4＝x 1x 2，即4(kx 1＋m )(kx 2＋m )－4(kx 1＋m ＋kx 2＋m )＋4＝x 1x 2， 亦即(4k 2－1)x 1x 2＋4k (m －1)(x 1＋x 2)＋4(m －1)2＝0，24k 2－1m 2－11＋2k 2－16k 2m m －11＋2k 2＋4(m －1)2＝0，整理得(m －1)(m －3)＝0，又∵m ≠1，∴m ＝3，此时直线的方程为y ＝kx ＋3， 所以直线BC 恒过一定点P (0，3)．。

第1讲函数与方程思想【高考考情解读】数学家华罗庚先生说过：数学是一个原则，无数内容，一种方法，到处可用．数学思想是中学数学的灵魂，在二轮复习过程中，我们要在把握知识主干这条复习主线的同时，活用数学思想，加强数学应用意识，方能跳出题海，轻松应对高考．1．函数与方程思想的含义(1)函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等．(2)方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决．方程的思想是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题．方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系．2．和函数与方程思想密切关联的知识点(1)函数与不等式的相互转化．对函数y＝f(x)，当y>0时，就化为不等式f(x)>0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式．(2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要．(3)在三角函数求值中，把所求的量看作未知量，其余的量通过三角函数关系化为未知量的表达式，那么问题就能化为未知量的方程来解．(4)解析几何中的许多问题，例如直线与二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决．这都涉及二次方程与二次函数的有关理论．(5)立体几何中有关线段的长、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决.类型一函数与方程思想在数列中的应用例1已知数列{a n}是各项均为正数的等差数列．(1)若a1＝2，且a2，a3，a4＋1成等比数列，求数列{a n}的通项公式a n；(2)在(1)的条件下，数列{a n }的前n 项和为S n ，设b n ＝1S n ＋1＋1S n ＋2＋…＋1S 2n，若对任意的n ∈N *，不等式b n ≤k 恒成立，某某数k 的最小值．解 (1)因为a 1＝2，a 23＝a 2·(a 4＋1)， 又因为{a n }是正项等差数列，故d ≥0，所以(2＋2d )2＝(2＋d )(3＋3d )，得d ＝2或d ＝－1(舍去)， 所以数列{a n }的通项公式a n ＝2n . (2)因为S n ＝n (n ＋1)，b n ＝1S n ＋1＋1S n ＋2＋…＋1S 2n＝1n ＋1n ＋2＋1n ＋2n ＋3＋…＋12n2n ＋1＝1n ＋1－1n ＋2＋1n ＋2－1n ＋3＋…＋12n －12n ＋1 ＝1n ＋1－12n ＋1＝n 2n 2＋3n ＋1＝12n ＋1n＋3， 令f (x )＝2x ＋1x(x ≥1)，则f ′(x )＝2－1x2，当x ≥1时，f ′(x )>0恒成立，所以f (x )在[1，＋∞)上是增函数，故当x ＝1时，[f (x )]min ＝f (1)＝3， 即当n ＝1时，(b n )max ＝16，要使对任意的正整数n ，不等式b n ≤k 恒成立， 则须使k ≥(b n )max ＝16，所以实数k 的最小值为16.(1)等差(比)数列中各有5个基本量，建立方程组可“知三求二”；(2)数列的本质是定义域为正整数集或其有限子集的函数，数列的通项公式即为相应的解析式，因此在解决数列问题时，应注意用函数的思想求解．已知数列{a n }是等差数列，a 1＝1，a 2＋a 3＋…＋a 10＝144.(1)求数列{a n }的通项a n ； (2)设数列{b n }的通项b n ＝1a n a n ＋1，记S n 是数列{b n }的前n 项和，若n ≥3时，有S n ≥m 恒成立，求m 的最大值．解 (1)∵{a n }是等差数列，a 1＝1，a 2＋a 3＋…＋a 10＝144， ∴S 10＝145，∴S 10＝10a 1＋a 102，∴a 10＝28，∴公差d ＝3. ∴a n ＝3n －2(n ∈N *)． (2)由(1)知b n ＝1a n a n ＋1＝13n －23n ＋1＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －2－13n ＋1，∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n ＋1，∴S n ＝n 3n ＋1. ∵S n ＋1－S n ＝n ＋13n ＋4－n3n ＋1＝13n ＋43n ＋1>0，∴数列{S n }是递增数列． 当n ≥3时，(S n )min ＝S 3＝310，依题意，得m ≤310，∴m 的最大值为310.类型二 函数与方程思想在方程问题中的应用例2 如果方程cos 2x －sin x ＋a ＝0在(0，π2]上有解，求a 的取值X 围．解 方法一 设f (x )＝－cos 2x ＋sin x (x ∈(0，π2])．显然当且仅当a 属于f (x )的值域时，a ＝f (x )有解． ∵f (x )＝－(1－sin 2x )＋sin x ＝(sin x ＋12)2－54，且由x ∈(0，π2]知sin x ∈(0,1]．易求得f (x )的值域为(－1,1]． 故a 的取值X 围是(－1,1]．方法二 令t ＝sin x ，由x ∈(0，π2]，可得t ∈(0,1]．将方程变为t 2＋t －1－a ＝0. 依题意，该方程在(0,1]上有解． 设f (t )＝t 2＋t －1－a .其图象是开口向上的抛物线，对称轴t ＝－12，如图所示．因此f (t )＝0在(0,1]上有解等价于⎩⎪⎨⎪⎧f0<0f 1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧－1－a <01－a ≥0，∴－1<a ≤1.故a 的取值X 围是(－1,1]．研究此类含参数的三角、指数、对数函数等复杂方程解的问题，通常有两种处理思路：一是分离参数构建函数，将方程有解转化为求函数的值域；二是换元，将复杂方程问题转化为熟悉的二次方程，进而利用二次方程解的分布情况构建不等式或构造函数加以解决．当a 为何值时，方程lg(3－x )＋lg(x －1)＝lg(a －x )有两解？一解？无解？解 当⎩⎪⎨⎪⎧3－x >0，x －1>0，即1<x <3时，方程化为(x －1)(3－x )＝a －x ，即－x 2＋5x －3＝a .(*)作出函数y ＝－x 2＋5x －3 (1<x <3)的图象(如图)，该图象与直线y ＝a 的交点横坐标是方程(*)的解，也是原方程的解． 由图形易看出：当3<a <134时，原方程有两解；当1<a ≤3或a ＝134时，原方程有一解；当a >134或a ≤1时，原方程无解．类型三 函数与方程思想在不等式中的应用 例3 设f (x )＝ln x ＋x －1，证明：(1)当x >1时，f (x )<32(x －1)；(2)当1<x <3时，f (x )<9x －1x ＋5.证明 (1)方法一 记g (x )＝ln x ＋x －1－32(x －1)，则当x >1时，g ′(x )＝1x ＋12x －32<0.又g (1)＝0，所以有g (x )<0，即f (x )<32(x －1)．方法二 当x >1时，2x <x ＋1，故x <x 2＋12.①令k (x )＝ln x －x ＋1，则k (1)＝0，k ′(x )＝1x－1<0，故k (x )<0，即ln x <x －1.②由①②得，当x >1时，f (x )<32(x －1)．(2)方法一 记h (x )＝f (x )－9x －1x ＋5，由(1)得h ′(x )＝1x ＋12x －54x ＋52＝2＋x 2x －54x ＋52<x ＋54x －54x ＋52＝x ＋53－216x4x x ＋52. 令G (x )＝(x ＋5)3－216x ，则当1<x <3时，G ′(x )＝3(x ＋5)2－216<0，因此G (x )在(1,3)内是减函数．又由G (1)＝0，得G (x )<0，所以h ′(x )<0. 因此h (x )在(1,3)内是减函数． 又h (1)＝0，所以h (x )<0. 于是当1<x <3时，f (x )<9x －1x ＋5.方法二 记h (x )＝(x ＋5)f (x )－9(x －1)， 则当1<x <3时，由(1)得h ′(x )＝f (x )＋(x ＋5)f ′(x )－9 <32(x －1)＋(x ＋5)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋12x －9 ＝12x [3x (x －1)＋(x ＋5)(2＋x )－18x ] <12x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x x －1＋x ＋5⎝⎛⎭⎪⎫2＋x 2＋12－18x＝14x(7x 2－32x ＋25)<0. 因此h (x )在(1,3)内单调递减． 又h (1)＝0，所以h (x )<0，即f (x )<9x －1x ＋5.根据所证不等式的结构特征构造相应的函数，研究该函数的单调性是解决这一类问题的关键，体现了导数的工具性以及函数、方程的数学思想．(1)函数f (x )＝(2x －1)2，g (x )＝ax 2(a >0)，满足f (x )<g (x )的整数x 恰有4个，则实数a 的取值X 围是__________．(2)f (x )＝ax 3－3x ＋1对于x ∈[－1,1]总有f (x )≥0成立，则a ＝________. 答案 (1)⎝⎛⎦⎥⎤4916，8125 (2)4解析 (1)在同一坐标系内分别作出满足条件的函数f (x )＝(2x －1)2，g (x )＝ax 2的图象，则由两个函数的图象可知，y ＝f (x )，y ＝g (x )的图象在区间(0,1)内总有一个交点，令：h (x )＝f (x )－g (x )＝(4－a )x 2－4x ＋1，要使满足不等式(2x －1)2<ax 2的解集中的整数解恰有4个，则需⎩⎪⎨⎪⎧h 4<0，h5≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧49－16a <0，81－25a ≥0⇒4916<a ≤8125. (2)若x ＝0，则不论a 取何值，f (x )≥0显然成立； 当x >0即x ∈(0,1]时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≥3x 2－1x3. 设g (x )＝3x 2－1x 3，则g ′(x )＝31－2xx 4，所以g (x )在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上单调递减， 因此g (x )max ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝4，从而a ≥4； 当x <0即x ∈[－1,0)时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≤3x 2－1x 3，g (x )＝3x 2－1x3在区间[－1,0)上单调递增， 因此g (x )min ＝g (－1)＝4，从而a ≤4，综上a ＝4. 类型四 函数与方程思想在解析几何中的应用例4 已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，离心率为22，坐标原点O 到过右焦点F 且斜率为1的直线的距离为22. (1)求椭圆的方程；(2)设过右焦点F 且与坐标轴不垂直的直线l 交椭圆于P 、Q 两点，在线段OF 上是否存在点M (m,0)，使得以MP 、MQ 为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m 的取值X 围，若不存在，请说明理由．解 (1)由已知，椭圆方程可设为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，设F (c,0)，直线l ：x －y －c ＝0， 由坐标原点O 到l 的距离为22， 得|0－0－c |2＝22，解得c ＝1. 又e ＝ca ＝22，故a ＝2，b ＝1， ∴所求椭圆方程为x 22＋y 2＝1.(2)假设存在点M (m,0)(0≤m ≤1)满足条件，使得以MP ，MQ 为邻边的平行四边形是菱形． 因为直线与x 轴不垂直，所以设直线l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2y 2＝2，y ＝k x －1，可得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0.显然Δ>0恒成立，∴x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2.设线段PQ 的中点为N (x 0，y 0)， 则x 0＝x 1＋x 22＝2k 21＋2k 2，y 0＝k (x 0－1)＝－k1＋2k2. ∵以MP 、MQ 为邻边的平行四边形是菱形， ∴MN ⊥PQ ，∴k MN ·k PQ ＝－1.即－k 1＋2k 22k 21＋2k 2－m ·k ＝－1，∴m ＝k 21＋2k 2＝12＋1k 2， ∵k 2>0，∴0<m <12.本题主要考查直线方程、直线的斜率与倾斜角的关系、椭圆方程以及直线与椭圆的位置关系、函数与方程思想等知识，多知识点、多章节知识的交汇是综合题的出题方向．要熟练数学思想方法的应用．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x －y ＋6＝0相切，过点P (4,0)且不垂直于x 轴的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点．(1)求椭圆C 的方程； (2)求OA →·OB →的取值X 围；(3)若B 点关于x 轴的对称点是E ，证明：直线AE 与x 轴相交于定点．(1)解 由题意知e ＝c a ＝12，∴e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝14，即a 2＝43b 2，又b ＝61＋1＝3，∴a 2＝4，b 2＝3， 故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)解 由题意知直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y ＝k (x －4)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －4x 24＋y23＝1得(4k 2＋3)x 2－32k 2x ＋64k 2－12＝0，由Δ＝(－32k 2)2－4(4k 2＋3)(64k 2－12)>0得k 2<14.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝32k 24k 2＋3，x 1x 2＝64k 2－124k 2＋3，①∴y 1y 2＝k (x 1－4)k (x 2－4)＝k 2x 1x 2－4k 2(x 1＋x 2)＋16k 2， ∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)·64k 2－124k 2＋3－4k 2·32k 24k 2＋3＋16k 2＝25－874k 2＋3，∵0≤k 2<14，∴－873≤－874k 2＋3<－874，∴OA →·OB →∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－4，134，∴OA →·OB →的取值X 围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－4，134. (3)证明 ∵B 、E 两点关于x 轴对称，∴E (x 2，－y 2)， 直线AE 的方程为y －y 1＝y 1＋y 2x 1－x 2(x －x 1)， 令y ＝0得x ＝x 1－y 1x 1－x 2y 1＋y 2，又y 1＝k (x 1－4)，y 2＝k (x 2－4)， ∴x ＝2x 1x 2－4x 1＋x 2x 1＋x 2－8，将①代入上式得x ＝1，∴直线AE 与x 轴交于定点(1,0)．1．在高中数学的各个部分，都有一些公式和定理，这些公式和定理本身就是一个方程，如等差数列的通项公式、余弦定理、解析几何的弦长公式等，当题目与这些问题有关时，就需要根据这些公式或者定理列方程或方程组求解需要的量．2．当问题中涉及一些变化的量时，就需要建立这些变化的量之间的关系，通过变量之间的关系探究问题的答案，这就需要使用函数思想．3．借助有关函数的性质，一是用来解决有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值X 围等问题，二是在问题的研究中，可以通过建立函数关系式或构造中间函数来求解．4．许多数学问题中，一般都含有常量、变量或参数，这些参变量中必有一个处于突出的主导地位，把这个参变量称为主元，构造出关于主元的方程，主元思想有利于回避多元的困扰，解方程的实质就是分离参变量.1．若2x ＋5y ≤2－y ＋5－x，则下列关系正确的是________．(填序号)①x ＋y ≥0 ②x ＋y ≤0 ③x －y ≤0 ④x －y ≥0 答案 ②解析 把不等式变形为2x－5－x≤2－y－5y ，构造函数y ＝2x －5－x，其为R 上的增函数，所以有x ≤－y .2．设f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x <0时，f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0，且g (－3)＝0，则不等式f (x )g (x )<0的解集是__________．答案 (－∞，－3)∪(0,3)解析 设F (x )＝f (x )g (x )，由于f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，得F (－x )＝f (－x )g (－x )＝－f (x )g (x )＝－F (x )，即F (x )为奇函数．又当x <0时，F ′(x )＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0， 所以x <0时，F (x )为增函数．因为奇函数在对称区间上的单调性相同， 所以x >0时，F (x )也是增函数．因为F (－3)＝f (－3)g (－3)＝0＝－F (3)． 所以F (x )<0的解集是(－∞，－3)∪(0,3)(如图)．3．已知数列{a n }满足a 1＝33，a n ＋1－a n ＝2n ，则a n n的最小值为________．答案212解析 a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝2[1＋2＋…＋(n －1)]＋33＝33＋n 2－n ，∴a n n＝33n＋n －1. 设f (x )＝33x ＋x －1，令f ′(x )＝－33x2＋1>0，则f (x )在(33，＋∞)上单调递增， 在(0，33)上单调递减． ∵n ∈N *，f (5)＝535，f (6)＝212，∴a n n 的最小值为a 66＝212. 4．长度都为2的向量OA →，OB →的夹角为60°，点C 在以O 为圆心的圆弧AB (劣弧)上，OC →＝mOA →＋nOB →，则m ＋n 的最大值是________．答案233解析 建立平面直角坐标系，设向量OA →＝(2,0)，向量OB →＝(1，3)．设向量OC →＝(2cosα，2sin α)，0≤α≤π3.由OC →＝mOA →＋nOB →，得(2cos α，2sin α)＝(2m ＋n ，3n )， 即2cos α＝2m ＋n,2sin α＝3n ，解得m ＝cos α－13sin α，n ＝23sin α.故m ＋n ＝cos α＋13sin α＝233sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3≤233. 5．已知f (x )＝x ln x ，g (x )＝－x 2＋ax －3.若对一切x ∈(0，＋∞)，2f (x )≥g (x )恒成立，则实数a 的取值X 围为________．答案 a ≤4解析 由题意，得当x ∈(0，＋∞)时，有2x ln x ≥－x 2＋ax －3，则a ≤2ln x ＋x ＋3x. 设h (x )＝2ln x ＋x ＋3x (x >0)，则h ′(x )＝x ＋3x －1x 2，当x ∈(0,1)时，h ′(x )<0，h (x )单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )>0，h (x )单调递增，所以h (x )min ＝h (1)＝4.因为对一切x ∈(0，＋∞)，2f (x )≥g (x )恒成立，所以a ≤h (x )min ＝4.6．若a 、b 是正数，且满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值X 围为________．答案 [9，＋∞)解析 方法一 (看成函数的值域)∵ab ＝a ＋b ＋3，∴a ≠1，∴b ＝a ＋3a －1，而b >0，∴a ＋3a －1>0， 即a >1或a <－3，又a >0，∴a >1，故a －1>0.∴ab ＝a ·a ＋3a －1＝a －12＋5a －1＋4a －1＝(a －1)＋4a －1＋5≥9. 当且仅当a －1＝4a －1，即a ＝3时取等号． ∴ab 的取值X 围是[9，＋∞)．方法二 (看成不等式的解集)∵a ，b 为正数，∴a ＋b ≥2ab ，又ab ＝a ＋b ＋3，∴ab ≥2ab ＋3.即(ab )2－2ab －3≥0，解得ab ≥3或ab ≤－1(舍去)，∴ab ≥9.∴ab 的取值X 围是[9，＋∞)． 方法三 若设ab ＝t ，则a ＋b ＝t －3，∴a ，b 可看成方程x 2－(t －3)x ＋t ＝0的两个正根． 从而有⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝[－t －3]2－4t ≥0a ＋b ＝t －3>0ab ＝t >0，即⎩⎪⎨⎪⎧ t ≤1或t ≥9t >3t >0，解得t ≥9，即ab ≥9.∴ab 的取值X 围是[9，＋∞)． 7．已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2a 2－1＝1(a >1)，⊙M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，P 为椭圆 G 上一点，过P 作⊙M 的两条切线PE 、PF ，E 、F 分别为切点．(1)求t ＝|PM →|的取值X 围；(2)把PE →·PF →表示成t 的函数f (t )，并求出f (t )的最大值、最小值．解 (1)设P (x 0，y 0)，则x 20a 2＋y 20a 2－1＝1(a >1)， ∴y 20＝(a 2－1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 20a 2， ∴t 2＝|PM →|2＝(x 0＋1)2＋y 20＝(x 0＋1)2＋(a 2－1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 20a 2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x 0＋a 2， ∴t ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1a x 0＋a . ∵－a ≤x 0≤a ，∴a －1≤t ≤a ＋1(a >1)．(2)∵PE →·PF →＝|PE →||PF →|cos∠EPF＝|PE →|2(2cos 2∠EPM －1)＝(|PM →|2－1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2|PM →|2－1|PM |2－1 ＝(t 2－1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2t 2－1t 2－1 ＝t 2＋2t2－3，∴f(t)＝t2＋2t2－3(a－1≤t≤a＋1)．对于函数f(t)＝t2＋2t2－3(t>0)，显然在t∈(0，42]时，f(t)单调递减，在t∈[42，＋∞)时，f(t)单调递增．因此，对于函数f(t)＝t2＋2t2－3(a－1≤t≤a＋1)，当a>42＋1，即a－1>42时，[f(t)]max＝f(a＋1)＝a2＋2a－2＋2a＋12，[f(t)]min＝f(a－1)＝a2－2a－2＋2a－12；当1＋2≤a≤42＋1时，[f(t)]max＝f(a＋1)＝a2＋2a－2＋2a＋12，[f(t)]min＝f(42)＝22－3；当1<a<1＋2时，[f(t)]max＝f(a－1)＝a2－2a－2＋2a－12，[f(t)]min＝f(42)＝22－3.。

2014年江苏省高考数学试卷解析参考版答案仅供参考一、填空题（每题5分，满分70分，将答案填在答题纸上）．【答案】{1,3}- 【解析】由题意得{1,3}A B =-．【考点】集合的运算【答案】21【解析】由题意22(52)25252(2)2120z i i i i =+=+⨯⨯+=+，其实部为21． 【考点】复数的概念．【答案】5【解析】本题实质上就是求不等式220n>的最小整数解．220n>整数解为5n ≥,因此输出的5n =【考点】程序框图．【答案】13【解析】从1,2,3,6这4个数中任取2个数共有246C =种取法，其中乘积为6的有1,6和2,3两种取法，因此所求概率为2163P ==． 【考点】古典概型．【答案】6π 【解析】由题意cossin(2)33ππϕ=⨯+，即21sin()32πϕ+=，2(1)36k k ππϕπ+=+-⋅，()k Z ∈，因为0ϕπ≤<，所以6πϕ=．【考点】三角函数图象的交点与已知三角函数值求角．6。

【答案】24【解析】由题意在抽测的60株树木中，底部周长小于100cm 的株数为(0.0150.025)106024+⨯⨯=． 【考点】频率分布直方图．【答案】4【解析】设公比为q ，因为21a =，则由8642a a a =+得6422q q a =+，4220q q --=，解得22q =，所以4624a a q ==．【考点】等比数列的通项公式．【答案】32【解析】设甲、乙两个圆柱的底面和高分别为11r h 、，22r h 、，则112222r h r h ππ=，1221h r h r =，又21122294S r S r ππ==,所以1232r r =，则222111111212222222221232V r h r h r r r V r h r h r r r ππ==⋅=⋅==．【考点】圆柱的侧面积与体积．【答案】2555【解析】圆22(2)(1)4x y -++=的圆心为(2,1)C -，半径为2r =，点C 到直线230x y +-=的距离为2222(1)33512d +⨯--==+，所求弦长为22925522455l r d =-=-=．【考点】直线与圆相交的弦长问题．【答案】2(2-【解析】据题意222()10,(1)(1)(1)10,f m m m f m m m m ⎧=+-<⎪⎨+=+++-<⎪⎩解得202m -<<． 【考点】二次函数的性质．【答案】2-【解析】曲线2b y ax x =+过点(2,5)P -,则452b a +=-①，又2'2b y ax x =-，所以7442b a -=-②，由①②解得1,1,a b =-⎧⎨=-⎩所以b=—2，a+b=-3．【考点】导数与切线斜率．【答案】22【解析】由题意，14AP AD DP AD AB =+=+，3344BP BC CP BC CD AD AB =+=+=-， 所以13()()44AP BP AD AB AD AB ⋅=+⋅-2213216AD AD AB AB =-⋅-， 即1322564216AD AB =-⋅-⨯，解得22AD AB ⋅=． 【考点】向量的线性运算与数量积．【答案】1(0,)2【解析】作出函数21()2,[0,3)2f x x x x =-+∈的图象,可见1(0)2f =,当1x =时，1()2f x =极大，7(3)2f =，方程()0f x a -=在[3,4]x ∈-上有10个零点，即函数()y f x =和图象与直线y a =在[3,4]-上有10个交点，由于函数()f x 的周期为3，因此直线y a =与函数21()2,[0,3)2f x x x x =-+∈的应该是4个交点,则有1(0,)2a ∈．【考点】函数的零点，周期函数的性质，函数图象的交点问题．62- 【解析】由已知sin 22sin A B C =及正弦定理可得22a b c +=，2222222(2cos 22a b a b a b cC abab++-+-==223222262262a b ab ab ab +---=≥=，当且仅当2232a b =即23a b =时等号成立，所以cos C 62- 【考点】正弦定理与余弦定理．二、解答题 （本大题共6小题，共90分。