下载文档原格式
2015-2016学年河南省洛阳市高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．若函数f（x）=的定义域为R，则实数m的取值范围是（）A．（0，）B．（0，]C．[0，]D．[0，）2．下列结论正确的是（）A．当x＞0且x≠1时，lgx+≥2 B．6﹣x﹣的最大值是2C．的最小值是2 D．当x∈（0，π）时，sinx+≥43．设命题p：函数y=sin2x的最小正周期为，命题q：函数y=cosx的图象关于点（π，0）中心对称，则下列判断正确的是（）A．p为真B．q为真C．p∧q为假D．p∨q为真4．“2＜m＜6”是“方程（6﹣m）x2+（m﹣2）y2=﹣m2+8m﹣12表示椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．已知定义在R上的函数f（x）=e x+x2﹣x+sinx，则曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程是（）A．y=x+1 B．y=x+2 C．y=﹣x+1 D．y=﹣x+26．各项都是正数的等比数列{a n}中，a2，a3，a1成等差数列，则的值为（）A．B．C．﹣D．或7．已知F是双曲线﹣=1的右焦点，点P的坐标为（3，1），点A在双曲线上，则|AP|+|AF|的最小值为（）A．+4 B．﹣4 C．﹣2D．+28．设双曲线的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率等于（）A．B．2 C．D．9．若x，y满足不等式组，且z=2x+y的最大值是最小值的3倍，则a=（）A．B．0 C．D．110．已知直线y=kx+1，当k变化时，此直线被椭圆+y2=1截得的最大弦长是（）A．4 B．C．D．11．设F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线C在第一象限的交点为P，若双曲线的离心率为5，则cos∠PF1F2=（）A．B．C．D．12．若函数f（x）=x2+ax+在[，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是（）A．[﹣1，0]B．[0，]C．[，+∞）D．[9，+∞）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.、共20分.13．若函数f（x）=x3﹣6bx+3b在（0，1）内有极小值，则实数b的取值范围是．14．在△ABC中，若a=2，b+c=7，cosB=﹣，则b=．15．已知数列{a n}满足a1=33，a n+1﹣a n=2n，则的最小值为．16．设F为抛物线C：y2=4x的焦点，过点P（﹣1，0）的直线l交抛物线C 于两点A，B，点Q为线段AB的中点，若|FQ|=2，则直线l的斜率等于．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知p：2a≤x≤a2+1，q：x2﹣3（a+1）x+6a+2≤0，若p是q的充分条件，求实数a取值范围．18．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c=asinC﹣ccosA．（1）求A；（2）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．19．已知等差数列{a n}的首项a1=1，公差d＞0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{b n}的第2项、第3项、第4项．（1）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（2）设数列{c n}对任意n∈N*均有++…+=a n+1成立，求c1+c2+c3+…+c2015的值．20．已知抛物线E：x2=2py（p＞0），直线y=kx+2与E交于A、B两点，且•=2，其中O为原点．（1）求抛物线E的方程；（2）点C坐标为（0，﹣2），记直线CA、CB的斜率分别为k1，k2，证明：k12+k22﹣2k2为定值．21．已知函数f（x）=x2﹣ln．（1）求函数f（x）在[，e2]上的最大值和最小值；（2）证明：当x∈（1，+∞）时，函数g（x）=x3+x2的图象在y=f（x）的图象上方．22．设F1，F2分别是椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，过F1且斜率为1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．（1）求E的离心率；（2）设A，B两点都在以P（﹣2，0）为圆心的同一圆上，求E的方程．2015-2016学年河南省洛阳市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．若函数f（x）=的定义域为R，则实数m的取值范围是（）A．（0，）B．（0，]C．[0，]D．[0，）【考点】函数的定义域及其求法．【分析】问题转化为mx2+4mx+3≠0恒成立，通过讨论m的范围，结合二次函数的性质判断即可．【解答】解：若函数f（x）=的定义域为R，则mx2+4mx+3≠0恒成立，m=0时，成立，m≠0时，△=16m2﹣12m＜0，解得：0＜m＜，综上，0≤m＜，故选：D．2．下列结论正确的是（）A．当x＞0且x≠1时，lgx+≥2 B．6﹣x﹣的最大值是2C．的最小值是2 D．当x∈（0，π）时，sinx+≥4【考点】基本不等式．【分析】由基本不等式的规律，逐个选项验证可得．【解答】解：选项A，lgx可能为负值，故lgx+≥2错误；选项B，6﹣x﹣=6﹣（x+），而x+=4，或x+≤﹣2=﹣4，故6﹣（x+）≤2或6﹣（x+）≥10，故B错误；选项C，==+≥2，当且仅当=即=1时取等号，此时x2=﹣3，故等号取不到，故＞2，取不到2，故错误；选项D，当x∈（0，π）时，sinx＞0，由基本不等式可得sinx+≥2=4，故正确．故选：D3．设命题p：函数y=sin2x的最小正周期为，命题q：函数y=cosx的图象关于点（π，0）中心对称，则下列判断正确的是（）A．p为真B．q为真C．p∧q为假D．p∨q为真【考点】复合命题的真假．【分析】由题设条件可先判断出两个命题的真假，再根据复合命题真假的判断规则判断出选项中复合命题的真假即可得出正确选项．【解答】解：由于函数y=sin2x的最小正周期为π，故命题p是假命题；函数y=cosx的图象关于直线x=kπ对称，k∈Z，故q是假命题；结合复合命题的判断规则知：p∧q为假命题，p∨q为是假命题；故选：C．4．“2＜m＜6”是“方程（6﹣m）x2+（m﹣2）y2=﹣m2+8m﹣12表示椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】求出方程表示椭圆的充要条件：分母都大于0且不等；求出m的范围；利用充要条件的定义判断前者是后者的什么条件．【解答】解：（6﹣m）x2+（m﹣2）y2=﹣m2+8m﹣12=（m﹣2）（6﹣m）表示椭圆的充要条件是：，解得2＜m＜6但m≠4；当2＜m＜6推不出2＜m＜6但m≠4；2＜m＜6但m≠4成立时能推出2＜m＜6；故2＜m＜6是方程表示椭圆的必要不充分条件．故选：B．5．已知定义在R上的函数f（x）=e x+x2﹣x+sinx，则曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程是（）A．y=x+1 B．y=x+2 C．y=﹣x+1 D．y=﹣x+2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出原函数的导函数，得到函数在x=0时的导数，然后由直线方程的斜截式得答案．【解答】解：由f（x）=e x+x2﹣x+sinx，得f′（x）=e x+2x﹣1+cosx，∴f（0）=1，f′（0）=1，则曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程是y=x+1，故选：A．6．各项都是正数的等比数列{a n}中，a2，a3，a1成等差数列，则的值为（）A．B．C．﹣D．或【考点】等差数列的性质；等比数列的性质．【分析】由a2，a3，a1成等差数列可得a1、a2、a3的关系，结合等比数列的通项公式即可求出q，而由等比数列的性质可得=q，故本题得解．【解答】解：设{a n}的公比为q（q＞0），由a3=a2+a1，得q2﹣q﹣1=0，解得q=．∴=q=．故选B．7．已知F是双曲线﹣=1的右焦点，点P的坐标为（3，1），点A在双曲线上，则|AP|+|AF|的最小值为（）A．+4 B．﹣4 C．﹣2D．+2【考点】双曲线的简单性质．【分析】设双曲线的左焦点为F'，求出双曲线的a，b，c，运用双曲线的定义可得|AP|+|AF|=|AP|+|AF'|﹣2，考虑A在左支上运动到与P，F'共线时，取得最小值，即可得到所求值．【解答】解：由题意可得A在双曲线的左支上，双曲线﹣=1的a=，b=2，c=3，设双曲线的左焦点为F'，即有F （3，0），F'（﹣3，0），由双曲线的定义可得|AF'|﹣|AF|=2a=2，即有|AP|+|AF|=|AP|+|AF'|﹣2，当A 在左支上运动到P ，A ，F'共线时，|AP|+|AF'|取得最小值|PF'|==，则有|AP|+|AF|的最小值为﹣2．故选：C ．8．设双曲线的渐近线与抛物线y=x 2+1相切，则该双曲线的离心率等于（ ）A ．B ．2C ．D ．【考点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】先求出渐近线方程，代入抛物线方程，根据判别式等于0，找到a 和b 的关系，从而推断出a 和c 的关系，答案可得．【解答】解：由题双曲线的一条渐近线方程为，代入抛物线方程整理得ax 2﹣bx+a=0，因渐近线与抛物线相切，所以b 2﹣4a 2=0，即，故选择C ．9．若x ，y 满足不等式组，且z=2x+y 的最大值是最小值的3倍，则a=（ ）A ．B ．0C ．D ．1【考点】简单线性规划的应用．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x+y 表示直线在y 轴上的截距，只需求出可行域直线在y 轴上的截距最大最小值，再列方程求出a 即可．【解答】解：先根据约束条件画出可行域， 其中A （a ，2﹣a ），B （a ，a ），当直线z=2x+y过点（1，1）时，z最大是3，当直线z=2x+y过点B时，z最小是3a，∴3=3×3a，∴a=．故选A．10．已知直线y=kx+1，当k变化时，此直线被椭圆+y2=1截得的最大弦长是（）A．4 B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】直线y=kx+1恒过定点P（0，1），且是椭圆的短轴上顶点，因而此直线被椭圆截得的弦长，即为点P与椭圆上任意一点Q的距离，设椭圆上任意一点Q（2cosθ，sinθ），利用三角函数即可得到结论．【解答】解：直线y=kx+1恒过定点P（0，1），且是椭圆的短轴上顶点，因而此直线被椭圆截得的弦长，即为点P与椭圆上任意一点Q的距离，设椭圆上任意一点Q（2cosθ，sinθ）∴|PQ|2=（2cosθ）2+（sinθ﹣1）2=﹣3sin2θ﹣2sinθ+5，∴当sinθ=﹣时，|PQ|2ma x=，∴直线被椭圆+y2=1截得的最大弦长|PQ|ma x=．故选：B．11．设F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线C在第一象限的交点为P，若双曲线的离心率为5，则cos∠PF1F2=（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设|PF1|=m，|PF2|=n，由双曲线的定义知m﹣n=2a，由△PF1F2为直角三角形，知m2+n2=4c2，由双曲线的离心率为5，c=5a，由此能求出结果．【解答】解：设|PF1|=m，|PF2|=n，则由双曲线的定义知m﹣n=2a，①∵△PF1F2为直角三角形，∴m2+n2=4c2，②∵双曲线的离心率为5，∴，即c=5a，把①和②联立方程组，解得mn=2b2=2（c2﹣a2）=48a2，解方程组，得m=8a，n=6a，∴cos∠PF1F2====．故选C．12．若函数f（x）=x2+ax+在[，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是（）A．[﹣1，0]B．[0，]C．[，+∞）D．[9，+∞）【考点】二次函数的性质．【分析】函数f（x）=x2+ax+在[，+∞）上是增函数，则其导函数在[，+∞）上是非负值，又因导函数为递增函数，只需最小值非负即可．【解答】解：f（x）=x2+ax+在[，+∞）上是增函数，∴f'（x）=2x+a﹣在[，+∞）上是非负值，∵f'（x）=2x+a﹣在[，+∞）上递增，∴f'（）=﹣9+a≥0，∴a≥．故选：C．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.、共20分.13．若函数f（x）=x3﹣6bx+3b在（0，1）内有极小值，则实数b的取值范围是．【考点】函数在某点取得极值的条件．【分析】由题意知，f′（0）＜0，f′（1）＞0，解不等式组求得实数b的取值范围．【解答】解：由题意得，函数f（x）=x3﹣6bx+3b 的导数为f′（x）=3x2﹣6b 在（0，1）内有零点，且f′（0）＜0，f′（1）＞0．即﹣6b＜0，且（3﹣6b）＞0．∴0＜b＜，故答案为：．14．在△ABC中，若a=2，b+c=7，cosB=﹣，则b=4．【考点】解三角形．【分析】根据a=2，b+c=7，cosB=﹣，利用余弦定理可得，即可求得b的值．【解答】解：由题意，∵a=2，b+c=7，cosB=﹣，∴∴b=4故答案为：415．已知数列{a n}满足a1=33，a n+1﹣a n=2n，则的最小值为．【考点】数列递推式；基本不等式在最值问题中的应用．【分析】由累加法求出a n=33+n2﹣n，所以，设f（n）=，由此能导出n=5或6时f（n）有最小值．借此能得到的最小值．【解答】解：a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=2[1+2+…+（n﹣1）]+33=33+n2﹣n所以设f（n）=，令f′（n）=，则f（n）在上是单调递增，在上是递减的，因为n∈N+，所以当n=5或6时f（n）有最小值．又因为，，所以的最小值为16．设F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过点P （﹣1，0）的直线l 交抛物线C 于两点A ，B ，点Q 为线段AB 的中点，若|FQ|=2，则直线l 的斜率等于 不存在 ．【考点】直线与圆锥曲线的关系；直线的斜率．【分析】由题意设直线l 的方程为my=x+1，联立得到y 2﹣4my+4=0，△=16m 2﹣16=16（m 2﹣1）＞0．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），Q （x 0，y 0）．利用根与系数的关系可得y 1+y 2=4m ，利用中点坐标公式可得=2m ，x 0=my 0﹣1=2m 2﹣1．Q （2m 2﹣1，2m ），由抛物线C ：y 2=4x 得焦点F （1，0）．再利用两点间的距离公式即可得出m 及k ，再代入△判断是否成立即可．【解答】解：由题意设直线l 的方程为my=x+1，联立得到y 2﹣4my+4=0，△=16m 2﹣16=16（m 2﹣1）＞0．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），Q （x 0，y 0）．∴y 1+y 2=4m ，∴=2m ，∴x 0=my 0﹣1=2m 2﹣1． ∴Q （2m 2﹣1，2m ），由抛物线C ：y 2=4x 得焦点F （1，0）．∵|QF|=2，∴，化为m 2=1，解得m=±1，不满足△＞0． 故满足条件的直线l 不存在．故答案为不存在．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知p ：2a ≤x ≤a 2+1，q ：x 2﹣3（a+1）x+6a+2≤0，若p 是q 的充分条件，求实数a 取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】设A={x|2a ≤x ≤a 2+1}，B={x|（x ﹣2）[x ﹣（3a+1）]≤0}，由于p 是q 的充分条件，可得A ⊆B ．（1）当a ≥时，此时B={x|2≤x ≤3a+1}，可得．（2）当a ＜时，B={x|3a+1≤x ≤2}，可得．【解答】解：x 2﹣3（a+1）x+6a+2≤0，化为（x ﹣2）[x ﹣（3a+1）]≤0，设A={x|2a ≤x ≤a 2+1}，B={x|（x ﹣2）[x ﹣（3a+1）]≤0}，∵p 是q 的充分条件，∴A ⊆B ．（1）当a ≥时，B={x|2≤x ≤3a+1}，∴，解得1≤a ≤3．（2）当a ＜时，B={x|3a+1≤x ≤2}，∴，解得a=﹣1．∴实数a 取值范围是{a|1≤a ≤3，或a=﹣1}．18．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，c=asinC ﹣ccosA ． （1）求A ；（2）若a=2，△ABC 的面积为，求b ，c ．【考点】解三角形．【分析】（1）由正弦定理有： sinAsinC ﹣sinCcosA ﹣sinC=0，可以求出A ；（2）有三角形面积以及余弦定理，可以求出b 、c ．【解答】解：（1）c=asinC ﹣ccosA ，有正弦定理有：sinAsinC ﹣sinCcosA ﹣sinC=0，即sinC •（sinA ﹣cosA ﹣1）=0，又，sinC ≠0，所以sinA ﹣cosA ﹣1=0，即2sin （A ﹣）=1，所以A=；（2）S △AB C =bcsinA=，所以bc=4，a=2，由余弦定理得：a 2=b 2+c2﹣2bccosA ，即4=b 2+c 2﹣bc ，即有，解得b=c=2．19．已知等差数列{a n }的首项a 1=1，公差d ＞0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{b n }的第2项、第3项、第4项．（1）求数列{a n }与{b n }的通项公式；（2）设数列{c n }对任意n ∈N *均有++…+=a n +1成立，求c 1+c 2+c 3+…+c 2015的值．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）通过a 1=1，进而表示出b 2=a 2=1+d 、b 3=a 5=1+4d 、b 4=a 14=1+13d ，利用=b 2b 4计算可知d=2，从而a n =2n ﹣1，进而可知等比数列{b n }的公比q=3，计算即得结论；（2）通过++…+=a n +1与++…+=a n 作差，整理可知c n =2•3n ﹣1，进而可知数列{c n }的通项公式，利用等比数列的求和公式计算即得结论．【解答】解：（1）依题意，b 2=a 2=1+d ，b 3=a 5=1+4d ，b 4=a 14=1+13d ，∵=b 2b 4， ∴（1+4d ）2=（1+d ）（1+13d ），解得：d=2或d=0（舍），∴a n =1+2（n ﹣1）=2n ﹣1，∵等比数列{b n }的公比q====3，∴b n =3•3n ﹣2=3n ﹣1；（2）∵++…+=a n +1，∴当n ≥2时， ++…+=a n ，两式相减得： =a n +1﹣a n =2，∴c n =2b n =2•3n ﹣1，又∵c 1=a 2b 1=3不满足上式，∴c n =，∴c 1+c 2+c 3+…+c 2015=3+=3﹣3+32015=32015．20．已知抛物线E ：x 2=2py （p ＞0），直线y=kx+2与E 交于A 、B 两点，且•=2，其中O 为原点．（1）求抛物线E 的方程；（2）点C 坐标为（0，﹣2），记直线CA 、CB 的斜率分别为k 1，k 2，证明：k 12+k 22﹣2k 2为定值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）将直线与抛物线联立，消去y，得到关于x的方程，得到两根之和、两根之积，设出A、B的坐标，代入到•=2中，化简表达式，再将上述两根之和两根之积代入得到p，从而求出抛物线标准方程．（2）先利用点A，B，C的坐标求出直线CA、CB的斜率，再根据抛物线方程轮化参数y1，y2，得到k和x的关系式，将上一问中的两根之和两根之积代入，化简表达式得到常数即可．【解答】（1）解：将y=kx+2代入x2=2py，得x2﹣2pkx﹣4p=0，其中△=4p2k2+16p＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=2pk，x1x2=﹣4p，∴===﹣4p+4，由已知，﹣4p+4=2，解得p=，∴抛物线E的方程为x2=y．（2）证明：由（1）知x1+x2=k，x1x2=﹣2，===x1﹣x2，同理k2=x2﹣x1，∴=2（x1﹣x2）2﹣2（x1+x2）2=﹣8x1x2=16．21．已知函数f（x）=x2﹣ln．（1）求函数f（x）在[，e2]上的最大值和最小值；（2）证明：当x∈（1，+∞）时，函数g（x）=x3+x2的图象在y=f（x）的图象上方．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的最小值和最大值即可；（2）令F（x）=g（x）﹣f（x），求出函数的导数，得到函数的单调性，从而证出结论．【解答】解：（1）f′（x）=2x+，∵x≥，∴f′（x）＞0，f（x）在[，e2]上递增，∴f （x ）最小值=f （）=﹣1，f （x ）最大值=f （e 2）=e 4+2；（2）证明：令F （x ）=g （x ）﹣f （x ）=x 3﹣x 2﹣lnx ，则F ′（x ）=，令h （x ）=2x 3﹣x 2﹣1，∵x ＞1，∴h ′（x ）=2x （3x ﹣1）＞0，h （x ）在（1，+∞）递增，h （x ）＞h （1）=0，∴x ∈（1，+∞）时，F ′（x ）＞0，∴F （x ）在（1，+∞）递增，F （x ）＞F （1）=＞0，即g （x ）＞f （x ），∴x ∈（1，+∞）时，函数g （x ）的图象在y=f （x ）图象的上方．22．设F 1，F 2分别是椭圆E ： +=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，过F 1且斜率为1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB|，|BF 2|成等差数列．（1）求E 的离心率；（2）设A ，B 两点都在以P （﹣2，0）为圆心的同一圆上，求E 的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）根据|AF 2|，|AB|，|BF 2|成等差数列，可得2|AB|=|AF 2|+|BF 2|，利用椭圆定义可得|AB|=a ．设l ：x=y ﹣c ，代入椭圆C 的方程，整理得（a 2+b 2）y 2﹣2b 2cy ﹣b 4=0（*），利用韦达定理化简可得a=b ，从而可证b=c ； （2）设AB 的中点为N （x 0，y 0），运用中点坐标公式，可得N 的坐标，根据|PA|=|PB|知PM 为AB 的中垂线，可得k PN =﹣1，从而可求b=6，进而可求椭圆E 的方程．【解答】解：（1）∵|AF 2|，|AB|，|BF 2|成等差数列，∴2|AB|=|AF 2|+|BF 2|，由椭圆定义可得，|AB|+|AF 2|+|BF 2|=4a ，∴|AB|=a ，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），F 1（﹣c ，0），l ：x=y ﹣c ，代入椭圆C的方程，整理得（a2+b2）y2﹣2b2cy﹣b4=0，（*）则|AB|2=（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2=2（y1﹣y2）2=2[（y1+y2）2﹣4y1y2]=2[（）2+]=•2a2，化简得a=b，故b=c．所以椭圆的离心率e==；（2）设AB的中点为N（x0，y0），由（1）可得，x0==﹣c=c﹣c=﹣c，y0=x0+c=c，由|PA|=|PB|，可得k PN=﹣1，即=﹣1，化简为c=c﹣2，解得c=6，a=6，b=6．即有椭圆的方程为+=1．2016年7月6日。
洛阳市2016-2017学年度高二年级质量检测数学试卷（文科）第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求. 1.若i 为虚数单位，,a b R ∈且2a ib i i+=+，则ab = A. -1 B. 1 C. -2 D.2 2. 设0x >，由不等式2314272,3,4,x x x x x x +≥+≥+≥L ，类比推广到1n ax n x+≥+，则a =A. n nB. 2nC. 2nD. n3.设双曲线()222109x y a a -=>的渐近线为320x y ±=，则a 的值为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 44.用反证法证明“,a b N *∈，如果,a b 能被2017整除，那么,a b 中至少有一个能被2017整除”时，假设的内容是A. a 不能被2017整除B. a 不能被2017整除C. ,a b 都不能被2017整除D. ,a b 中至多有一个能被2017整除 5.为了考查某种中成药预防流感的效果，抽样调查了40人，得到如下数据：6.已知函数()ln 3f x x x =-，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为A. 1B.12 C. 14 D.187.若圆的方程为12cos 32sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数）直线的方程为2161x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数），则直线与圆为位置关系是A. 相交且过圆心B.相交但不过圆心C. 相切D.相离 8.下列命题中正确的是A. 命题“00,sin 1x R x ∃∈>”的否定是“,sin 1x R x ∀∈>”B.“若0xy =，则0x =或0y =”的逆否命题是 “若0x ≠或0y ≠，则0xy ≠”C. 在ABC ∆中，A B >是sin sin A B >的充分不必要条件D.若()p q ∧⌝为假，()p q ∨⌝为真，则,p q 同真或同假 9.若0ab >，且直线20ax by +-=过点()2,1，则12a b+的最小值为 A.92 B. 4 C.72D.310. 已知抛物线2y =的焦点为F,A,B 为抛物线上两点，若3AF FB =u u u r u u u r，O 为坐标原点，则ABO ∆的面积为A. 11.设等差数列{}n a 满足()()5100810081201611,a a -+-=()()5100910091201611a a -+-=-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则A. 2016100810092016,S a a =>B. 2016100810092016,S a a =->C. 2016100810092016,S a a =<D.2016100810092016,S a a =-<12.若函数()22f x x ax b =++在区间()0,1和区间()1,2上各有一个零点，则31a b a +--的取值范围是 A. 1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭ B.33,42⎛⎫ ⎪⎝⎭ C.15,44⎛⎫ ⎪⎝⎭ D. 5,24⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.将点P的极坐标32,4π⎛⎫⎪⎝⎭化为直角坐标为 .14.设A,B分别是复数12,z z在复平面内对应的两点，O为坐标原点，若1212z z z z+=-，则AOB∠的大小为 .15.某企业想通过做广告提高销售额，经预测可知本企业产品的广告费x（单位：百万元）与销售额y（单位：百万元）之间有如下对应数据：由表中数据得线性回归方程为ˆˆˆy bx a=+，其中ˆ 6.5b=，由此可预测等广告费为7百万元时，销售额为（百万元）.16.如图，已知双曲线()222210,0x ya ba b-=>>的左右焦点分别为12,F F，124F F=，P是双曲线右支上一点，直线2PF交y轴于点A，2APF∆的内切圆的切1PF边于点Q，若1PQ=，则双曲线的离心率为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分10分）在平面直角坐标系xoy中，直线1C的参数方程为11232x ty t⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C的极坐标方程为()2212sin3ρθ+=（1）求曲线1C的普通方程和2C的直角坐标方程；（2）若直线1C与曲线2C相交于A,B两点，点()1,0M，求MA MB-的值.18.（本题满分12分）在ABC∆中，角,,A B C的对边分别为,,a b c，已知()2cos14cos cos.B C B C+-=（1）求A ； （2）若7,a ABC =∆的面积为332，求b c +19.（本题满分12分）已知数列{}n a 的首项为11a =，且1,.21nn n a a n N a *+=∈+（1）证明：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）设1n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和.n T .20.（本题满分12分）如图，在四棱锥S ABCD -中，ABD ∆是正三角形，,.CB CD SC BD =⊥ （1）求证：SA BD ⊥;（2）若120,BCD M ∠=o为棱SA 的中点，求证：//DM 平面SBC .21.（本题满分12分）设函数()()()2,ln 0.x x af xg x x a e x==+>（1）求函数()f x 的极值；（2）若()12,0,x x ∃∈+∞，使得()()12g x f x ≤成立，求a 的取值范围.22.（本题满分12分）已知椭圆C 的方程为()222210x y a b a b +=>>，双曲线22221x y a b-=的一条渐近线与x 轴所成的角为30o ，且双曲线的焦距为4 2.（1）求椭圆C 的方程；（2）过右焦点F 的直线l 交椭圆于A,B 两点，记AOF ∆的面积为1S ，BOF ∆的面积为2S ，当122S S =时，求OA OB ⋅u u u r u u u r的值.。
2015-2016学年河南省洛阳市高二（下）期末数学试卷（文科）（A卷）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．用分析法证明：欲使①A＞B，只需②C＜D，这里①是②的（）A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．命题“若﹣1＜x＜0，则x2＜1”的逆否命题是（）A．若x≥0或x≤﹣1，则x2≥1B．若x2＜1，则﹣1＜x＜0C．若x2＞1，则x＞0或x＜﹣1D．若x2≥1，则x≥0或x≤﹣13．对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据：（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n），则下列说法中不正确的是（）A．由样本数据得到的回归方程=x+必过样本中心（，）B．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好C．用相关指数R2来刻画回归效果，R2越小，说明模型的拟合效果越好D．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于14．如图，程序输出的结果s=11880，则判断框中应填（）A．i≥11？B．i≥10？C．i≤9？D．i≥9？5．若a＞0，b＞0且ln（a+b）=0，则的最小值是（）A． B．1C．4D．86．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=1，B=，△ABC的面积S=2，则的值为（）A．5B．5C． D．7．若函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是（）A．（﹣1，2）B．（﹣∞，﹣3）∪（6，+∞）C．（﹣3，6）D．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）8．在极坐标系中，已知直线方程为ρsin（θ+）=，则点A（2，）到这条直线的距离为（）A． B．2﹣C． D．9．设变量x、y满足约束条件，则z=2x×（）y的最小值为（）A． B． C． D．10．下列类比推理的结论正确的是（）①类比“实数的乘法运算满足结合律”，得到猜想“向量的数量积运算满足结合律”；②类比“平面内，同垂直于一直线的两直线相互平行”，得到猜想“空间中，同垂直于一直线的两直线相互平行”；③类比“设等差数列{a n}的前n项和为S n，则S4，S8﹣S4，S12﹣S8成等差数列”，得到猜想“设等比数列{b n}的前n项积为T n，则T4，，成等比数列”；④类比“设AB为圆的直径，p为圆上任意一点，直线PA，PB的斜率存在，则k PA．k PB为常数”，得到猜想“设AB为椭圆的长轴，p为椭圆上任意一点，直线PA，PB的斜率存在，则k PA．k PB为常数”．A．①②B．③④C．①④D．②③11．已知双曲线与抛物线y2=8x有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P，若|PF|=5，则双曲线的渐近线方程为（）A． B． C． D．12．已知偶函数F（x）=，且f（﹣1）=0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）D．（0，1）∪（1，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
河南省洛阳市数学高二下学期理数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）（）A .B .C .D .2. （2分） dx＝（）A . 4B . 6C . 3D . 13. （2分） (2019高三上·沈阳月考) 已知箱中共有6个球，其中红球、黄球、蓝球各2个，每次从该箱中取1个球（每球取到的机会均等），取出后放回箱中，连续取三次．设事件“第一次取到的球和第二次取到的球颜色不相同”，事件“三次取到的球颜色都不相同”，则（）A .B .C .D .4. （2分） (2016高二下·玉溪期中) 有4位学生和3位老师站在一排拍照，任何两位老师不站在一起的不同排法共有（）A . (4!)2种B . 4!·3!种C . ·4!种D . ·4!种5. （2分）已知，那么n等于（）A . 14B . 12C . 13D . 156. （2分） (2018高二下·巨鹿期末) 已知圆 A :x2+y2=1 . 在伸缩变换的作用下变成曲线 C ,则曲线 C 的方程为（）A .B .C .D .7. （2分）(2017·长春模拟) 将一枚硬币连续抛掷n次，若使得至少有一次正面向上的概率不小于，则n的最小值为（）A . 4B . 5C . 68. （2分）将5,6,7,8四个数填入中的空白处以构成三行三列方阵，若要求每一行从左到右、每一列从上到下依次增大，则满足要求的填法种数为（）A . 24B . 18C . 12D . 69. （2分）已知函数f（x）=3x﹣x3 ，则函数f（x）的极大值点为（）A . ﹣1B . 1C . （﹣1，﹣2）D . （1，2）10. （2分）设随机变量ξ～N（2，4），若P（ξ＞a+2）=P（ξ＜2a﹣3），则实数a的值为（）A . 1B .C . 5D . 911. （2分） (2018高二下·阿拉善左旗期末) 用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为（）A . 243B . 252C . 26112. （2分） (2018高二下·遵化期中) 设，分别是定义在上的奇函数和偶函数，当时，，且，则不等式的解集是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2020高一上·林芝期末) 已知直线经过点，且与直线平行，则该直线方程为________．14. （1分）(2016·孝义模拟) 若将函数f（x）=（x﹣1）7表示为f（x）=a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a7（x+1）7 ，其中（ai∈R，i=0，1，2，…，7）为实数，则a4等于________．15. （1分）在极坐标系中，以A（0，2）为圆心，2为半径的圆的极坐标方程为________．16. （1分） (2017高二下·成都期中) 已知函数，若存在唯一的正整数x0 ，使得f（x0）≥0，则实数m的取值范围为________．三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分） (2016高二下·珠海期末) 某媒体为了解某地区大学生晚上放学后使用手机上网情况，随机抽取了100名大学生进行调查．如图是根据调查结果绘制的学生每晚使用手机上网平均所用时间的频率分布直方图．将时间不低于40分钟的学生称为“手机迷”．（1）样本中“手机迷”有多少人？（2）根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料判断是否有95%的把握认为“手机迷”与性别有关？（3）将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量大学生中，采用随机抽样方法每次抽取1名大学生，抽取3次，经调查一名“手机迷”比“非手机迷”每月的话费平均多40元，记被抽取的3名大学生中的“手机迷”人数为X，且设3人每月的总话费比“非手机迷”共多出Y元，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和Y的期望EY18. （10分） (2016高二下·辽宁期中) 已知（x+1）n=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+a3（x﹣1）3+…+an（x ﹣1）n ，（其中n∈N*）（1）求a0及Sn=a1+2a2+3a3+…+nan；（2）试比较Sn与n3的大小，并说明理由．19. （10分） (2018高二下·双流期末) 在直角坐标系中，是过点且倾斜角为的直线.以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 .（1）求直线的参数方程与曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线交于两点，，求 .20. （10分） (2016高二下·高密期末) 某校高二八班选出甲、乙、丙三名同学参加级部组织的科学知识竞赛．在该次竞赛中只设成绩优秀和成绩良好两个等次，若某同学成绩优秀，则给予班级10分的班级积分，若成绩良好，则给予班级5分的班级积分．假设甲、乙、丙成绩为优秀的概率分别为，，，他们的竞赛成绩相互独立．（1）求在该次竞赛中甲、乙、丙三名同学中至少有一名成绩为优秀的概率；（2）记在该次竞赛中甲、乙、丙三名同学所得的班级积分之和为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ．21. （10分）假设某设备的使用年限x(年)和所支出的维修费用y(万元)有如下的统计资料：x23456y 2.2 3.8 5.5 6.57.0试求：（1） y与x之间的回归方程；（2）当使用年限为10年时，估计维修费用是多少？22. （10分） (2018高三上·昆明期末) 已知函数．（1）若函数在区间上为增函数,求的取值范围；（2）当且时,不等式在上恒成立,求的最大值．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分) 17-1、17-2、17-3、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、。
2015—2016学年第二学期期中试卷高二数学（文科）注意事项：⑴答题前考生务必将自己的姓名和学号写在答题卡和答题页规定的位置上。
⑵答选择题时，必须使用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
第Ⅰ卷一、 选择题（本小题共12小题,每小题5分，在每小题给出的四个 选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1． 计算（5-5i ）+（-2-i ）-（3+4i ）=（ ）A -2iB -2C 10D -10i2． 在复平面内，复数2(1)对应的点位于（ ）A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限 3． 在一次实验中，测得(),x y的四组值分别是()1,2A ，()2,3B ，()3,4C ，()4,5D ，则y 与x 之间的回归直线方程为（ ）A y=2x+1B y=x+2C y=x+1D y=x-14．下面对相关系数r 描述正确的是（ ）A r ＞0表明两个变量负相关B r ＞1表明两个变量正相关C ︱r ︱越接近于0，两个变量相关关系越弱D r 只能大于零5. 有一段演绎推理：“直线平行于平面,则这条直线平行于平面内所有直线；已知直线b ⊄平面α，直线⊂a 平面α，直线b ∥平面α，则直线b ∥直线a ”的结论是错误的，这是因为( )A 推理形式错误B 大前提错误C 小前提错误D 非以上错误 6．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°时，反设正确的是（ ）A 假设三内角都大于60°B 假设三内角至多有两个大于60°C 假设三内角至多有一个大于 60°D 假设三内角都不大于 60° 7． 设点P 对应的复数为-3+3i ，以原点为极点,实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标为（ ）A (3，π45)B (23-，π45)C (23，π43)D (-3，π43)8. 曲线的极坐标方程为θρsin 4=化成直角坐标方程为( )A 4)2(22=-+y xB 4)2(22=++y xC 4)2(22=+-y xD 4)2(22=++y x 9．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ）A. 16B.2524C. 34D.111210. 根据下列算法语句, 当输入x 为60时, 输出y 的值为 ( ) A 31 B 30 C 25 D 6111. 已知点P 的极坐标是（1，π），则过点P 且垂直极轴的直线方程是（ ） A 1=ρB θρcos =C θρcos 1= D θρcos 1-=12． 对于任意的两个实数对（a , b ）和(c, d),规定（a , b ）＝(c, d)当且仅当a ＝c,b ＝d; 运算“⊗”为：),(),(),(ad bc bd ac d c b a +-=⊗，运算“⊕”为：),(),(),(d b c a d c b a ++=⊕，设R q p ∈,，若)0,5(),()2,1(=⊗q p则=⊕),()2,1(q p ( )A )2,0(B )0,4(C )0,2(D )4,0(-输入xIf x ≤50 Theny = 0.5 * x Else y = 25 + 0.6*(x -50) End If 输出y第二部分（非选择题、共90分）二、填空题（共4小题、每题5分）13．复数1,1z i=+ 则z =___________. 14. 在同一平面直角坐标系中，直线21x y -=变成直线42='-'y x 的伸缩变换是____________________；15. 已知直线l 的极坐标方程为sin()4πρθ-=，点A 的极坐标为74A π⎛⎫⎪⎝⎭，则点A 到直线l 的距离为 16．观察下列等式：1－1122= 1－1111123434+-=+1－1111111123456456+-+-=++…………据此规律，第n 个等式可为_____________________ _____ _.三、解答题（共6小题，总分70分，解答写出文字说明、演算步骤或证明过程）17.（本小题10分）:0,a >>已知 18．（本小题12分）实数m 取什么值时，复数z=(m 2+m-12)+(m 2-3m)i 是（1）虚数？（2）实数？（3）纯虚数？ 19．（本小题12分）已知数列{n a }的前n 项和为S n ，31=a ,满足)N (261*+∈-=n a S n n ， （1）求432,,a a a 的值；（2）猜想n a 的表达式。
洛阳市2016-2017学年高二年级质量检测数学试卷（文）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若i 为虚数单位，,a b R Î，且2a ib i i+=+，则ab =（ ） A.1-B.1C.2-D.22.设0x >，由不等式12x x +?，243x x +?，3274x x +?，…，类比推广到1n ax n x+?，则a =（ ）A.n nB.2nC.2nD.n3.设双曲线()222109x y a a -=>的渐近线方程为320x y ?，则a 的值为（ ）A.1B.2C.3D.44.用反证法证明“*,a b N Î，如果a 、b 能被2017整除，那么,a b 中至少有一个能被2017整除”时，假设的内容是（ ）A.a 不能被2017整除B.b 不能被2017整除C.,a b 都不能被2017整除D.,a b 中至多有一个能被2017整除5.为了考察某种中成药预防流感的效果，抽样调查40人，得到如下数据根据表中数据，通过计算统计量()()()()()2n ad bc K a b c d a c b d -=++++，并参考以下临界数据：A.0.05B.0.025C.0.01D.0.0056.已知函数()ln 3f x x x =-，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（ ） A.1B.12C.14D.187.若圆的方程为12cos 32sin x y q q ì=-+ïí=+ïî（q 为参数），直线的方程为2161x t y y ì=-ïí=-ïî（t 为参数），则直线与圆的位置关系是（ ）A.相交过圆心B.相交而不过圆心C.相切D.相离8.下列命题中正确的是（ ）A.命题“0x R $?，0sin 1x >”的否定是“x R "?，sin 1x >”B.“若0xy =，则0x =或0y =”的逆否命题为“若0x ¹或0y ¹，则0xy ¹”C.在ABC △中，A B >是sin sin A B >的充分不必要条件D.若()p q 儇为假，()p q 谪为真，则,p q 同真或同假 9.若0ab >且直线20ax by +-=过点()2,1P ，则12a b+的最小值为（ ） A.92B.4C.72D.310.已知抛物线2y =的焦点为F ，A ，B 为抛物线上两点，若3AF FB =，O 为坐标原点，则AOB △的面积为（ ）A.B.C.11.设等差数列{}n a 满足()()5100810081201611a a -+-=，()()5100910091201611a a -+-=-，数列{}n a 的前n 项和记为S ，则（ ）A.20162016S =，10081009a a >B.20162016S =-，10081009a a >C.20162016S =，10081009a a <D.20162016S =-，10081009a a <12.若函数()22f x x ax b =++在区间()0,1和()1,2内各有一个零点，则31a b a +--的取值范围是（ ） A.1,14骣琪琪桫B.33,42骣琪琪桫C.15,44骣琪琪桫D.5,24骣琪琪桫第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.将点P 的极坐标34p化成直角坐标为 ． 14.设,A B 分别是复数12,z z ，在复平面上对应的两点，O 为原点，若1212z z z z +=-，则AOB ∠的大小为 ． 15.某企业想通过做广告来提高销售额，经预测可知本企业产品的广告费x （单位：百万元）与销售额y （单位：百万元）之间有如下对应数据：由表中的数据得线性回归方程为y bx a =+，其中 6.5b =，由此预测当广告费为7百万元时，销售额为 万元．16.如图，已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ，124F F =，P 是双曲线右支上一点，直线2PF 交y 轴于点A ，1APF △的内切圆切边1PF 与点Q ，若1PQ =，则双曲线的离心率为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在直角坐标系xOy 中，直线1C的参数方程为112x t y ì=+ïïíïïî（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为()2212sin 3r q +=. （1）写出1C 的普通方程为2C 的直角坐标方程；（2）直线1C 与曲线2C 相交于,A B 两点，点()1,0M ，求MA MB -.18.在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()2cos 14cos cos B C B C --=. （1）求A ；（2）若a ABC △，求b c +. 19.已知数列{}n a 的首项11a =，且()*121nn n a a n N a +=?+.（1）证明：数列1n a 禳镲睚镲铪是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）设1n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .20.如图，四棱锥S ABCD -中，ABD △是正三角形，CB CD =，SC BD ^. （1）求证：SA BD ^；（2）若120BCD =∠°，M 为棱SA 的中点，求证：DM ∥平面SBC.21.设函数()2xx f x e=，()()ln 0ag x x a x=+>. （1）求函数()f x 的极值； （2）若()12,0,x x $??，使得()()12g x f x £成立，求a 的取值范围.22.已知椭圆C 的方程为()222210x y a b a b +=>>，双曲线22221x y a b-=的一条渐近线与x 轴所成的夹角为30°，且双曲线的焦距为（1）求椭圆C 的方程；（2）过右焦点F 的直线l ，交椭圆于,A B 两点，记AOF △的面积为1S ，BOF △的面积为2S ，当122S S =时，求OA OB ×的值.洛阳市2016-2017学年高二年级质量检测数学试卷参考答案（文）一、选择题1-5:CABCA 6-10:CBDBB 11、12：CD二、填空题13.()1,1- 14.2p15.63 16.2 三、解答题17.（1）曲线1C0y --，曲线2C 的直角坐标方程为2213x y +=.（2）将直线1C 的参数方程代入2C 的直角坐标方程得：25240t t +-=， 1225t t +=-， 由t 的几何意义可知：1225MA MB t t -=+=. 18.（1）∵()2cos cos sin sin 14cos cos B C B C B C +-=， ∴2cos cos 2sin sin 1B C B C -=-， ∴()2cos 1B C +=-，∴1cos 2A =. 由0A p <<，3A p =. （2）由(1)得sin A ，由面积公式1sin 2bc A 可得6bc =.①根据余弦定理得2222271cos 2122b c a b c A bc +-+-===，则()222213b c b c bc +=+-=.② ①②两式联立可得5b c +=. 19.(1)由121n n n a a a +=+可得1112n n a a +=+，即1112n na a +-=， 又11a =，即111a =，∴数列1n a 禳镲睚镲铪是首项为1，公差为2的等差数列，∴()111221n n n a =+-?-，即121n a n =-.(2)由于111122121n n n b a a n n +骣琪==-琪-+桫， ∴12111111123352121n n T b b b n n 骣琪=+++=-+-++-琪-+桫 (11122121)nn n 骣琪=-=琪++桫. 20.证明：(1)连结AC 交BD 于O ，由于CB CD =，AB AD =，知AC BD ^，∵SC BD ^，SC CA C =， ∴BD ^平面SAC ， 又SA Ì平面SAC ， ∴SA BD ^.(2)取AB 的中点N ，连结MN ，DN ， ∵M 是SA 中点，∴MN BS ∥， ∴MN ∥平面SBC ，∵ABD △是正三角形，∴ND AB ^，∵120BCD =∠°得30CBD =∠°，∴90ABC =∠°，即BC AB ^， ∴ND BC ∥，∴ND ∥平面SBC ， ∵MNND N =，∴平面MND ∥平面SBC ，又DM Ì平面MND ， ∴DM ∥平面SBC .21.(1)由()2x x f x e =得()22'xx x f x e -=，令()'0f x =得2x =或0x =.当x 变化时，()'f x 与()f x 的变化情况如下表：故函数()f x 的极大值为2e ，极小值为0. (2)()12,0,x x $??，使得()()12g x f x £，等价于当()0,x ??时，()()min max g x f x £，由()ln a g x x x =+得()2'x ag x x-=，当()0,x a Î时，()'0g x <，()g x 递减，当(),x a ??时，()'0g x >，()g x 递增，所以当0x >时，()()min 1ln g x g a a ==+. 由(1)知()()2max42f x f e ==，解241ln a e+?得241e a e -£.故a 的取值范围是2410,e e -纟çúçú棼.22.(1)由一条渐近线与x 轴所成的夹角为30°知tan 30b a ==°223a b =，又双曲线中c =228a b +=，解得26a =，22b =，所以椭圆C 的方程为22162x y +=.(2)由(1)知()2,0F ，设直线AB 的方程为2x ty =+，()11,A x y ，()22,B x y ， 联立221622x y x ty ìï+=ïíï=+ïî得()223420t y ty ++-=， 所以1221224323ty y t y y t ì-+=ïï+í-ï=ï+î①②由题意122S S =知122y y =- ③ 由①②③得215t =.将215t =代入②，得1258y y =-，又()()()2121212122722248x x ty ty t y y t y y =++=+++=， 所以121227511884OA OB x x y y ?+=-=.。
2015—2016学年第二学期期中试卷高二数学（文科）注意事项：⑴答题前考生务必将自己的姓名和学号写在答题卡和答题页规定的位置上。
⑵答选择题时，必须使用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
第Ⅰ卷一、 选择题（本小题共12小题,每小题5分，在每小题给出的四个 选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1． 计算（5-5i ）+（-2-i ）-（3+4i ）=（ ）A -2iB -2C 10D -10i2． 在复平面内，复数2(1)对应的点位于（ ）A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限 3． 在一次实验中，测得(),x y的四组值分别是()1,2A ，()2,3B ，()3,4C ，()4,5D ，则y 与x 之间的回归直线方程为（ ）A y=2x+1B y=x+2C y=x+1D y=x-14．下面对相关系数r 描述正确的是（ ）A r ＞0表明两个变量负相关B r ＞1表明两个变量正相关C ︱r ︱越接近于0，两个变量相关关系越弱D r 只能大于零5. 有一段演绎推理：“直线平行于平面,则这条直线平行于平面内所有直线；已知直线b ⊄平面α，直线⊂a 平面α，直线b ∥平面α，则直线b ∥直线a ”的结论是错误的，这是因为( )A 推理形式错误B 大前提错误C 小前提错误D 非以上错误 6．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°时，反设正确的是（ ）A 假设三内角都大于60°B 假设三内角至多有两个大于60°C 假设三内角至多有一个大于 60°D 假设三内角都不大于 60° 7． 设点P 对应的复数为-3+3i ，以原点为极点,实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标为（ ）A (3，π45)B (23-，π45)C (23，π43)D (-3，π43)8. 曲线的极坐标方程为θρsin 4=化成直角坐标方程为( )A 4)2(22=-+y xB 4)2(22=++y xC 4)2(22=+-y xD 4)2(22=++y x 9．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ）A. 16B.2524C. 34D.111210. 根据下列算法语句, 当输入x 为60时, 输出y 的值为 ( ) A 31 B 30 C 25 D 6111. 已知点P 的极坐标是（1，π），则过点P 且垂直极轴的直线方程是（ ） A 1=ρB θρcos =C θρcos 1= D θρcos 1-=12． 对于任意的两个实数对（a , b ）和(c, d),规定（a , b ）＝(c, d)当且仅当a ＝c,b ＝d; 运算“⊗”为：),(),(),(ad bc bd ac d c b a +-=⊗，运算“⊕”为：),(),(),(d b c a d c b a ++=⊕，设R q p ∈,，若)0,5(),()2,1(=⊗q p则=⊕),()2,1(q p ( )A )2,0(B )0,4(C )0,2(D )4,0(-输入xIf x ≤50 Theny = 0.5 * x Else y = 25 + 0.6*(x -50) End If 输出y第二部分（非选择题、共90分）二、填空题（共4小题、每题5分）13．复数1,1z i=+ 则z =___________. 14. 在同一平面直角坐标系中，直线21x y -=变成直线42='-'y x 的伸缩变换是____________________；15. 已知直线l 的极坐标方程为sin()4πρθ-=，点A 的极坐标为74A π⎛⎫⎪⎝⎭，则点A 到直线l 的距离为 16．观察下列等式：1－1122= 1－1111123434+-=+1－1111111123456456+-+-=++…………据此规律，第n 个等式可为_____________________ _____ _.三、解答题（共6小题，总分70分，解答写出文字说明、演算步骤或证明过程）17.（本小题10分）:0,a >>已知 18．（本小题12分）实数m 取什么值时，复数z=(m 2+m-12)+(m 2-3m)i 是（1）虚数？（2）实数？（3）纯虚数？ 19．（本小题12分）已知数列{n a }的前n 项和为S n ，31=a ,满足)N (261*+∈-=n a S n n ， （1）求432,,a a a 的值；（2）猜想n a 的表达式。
洛阳市2016年第一学期期末考试高二数学文科试题卷一、选择题1. 若函数24()43x f x mx mx -=++的定义域为R ，则实数m 的取值范围是（）A. (0,34)B. (0,34]C. [0,34]D. [0,34) 答案：D详细分析：分母不为零，不等式转化为二次方程求解，由于定义域为R ，因此要求无解，解题目标转化为二次函数无零点问题 二次函数首先讨论二次项系数为零的情况，发现m=0也符合题意22430,16120mx mx m m ++=∆=-<，故选D 2. 下列结论正确的是（） A.当x>0且x ≠1时，1lg 2lg x x+≥ B.46x x--的最大值是2 2的最小值是2D.当(0,)x π∈时4sin 4sin x x+≥ 答案：D详细分析：考查基本不等式的一正二定三相等 A 中lgx 不满足正项条件 B 中x 不满足正项条件C 22=≥，但等号不能成立排除法，故选D3. 设命题p:函数sin 2y x =的最小正周期为π/2；命题q:函数cos y x =的图像关于点(π,0)中心对称，则下列判断正确的是（）A.p 为真B.q 为真C.p q ∧为假D. p q ∨为真 答案：C详细分析：命题p 为假，命题q 亦为假4. “26m <<”是“222(6)(2)812m x m y m m -+-=-+-表示椭圆”的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案：B详细分析：考查椭圆定义等式右端因式分解为(m 6)(m 2)---，转化为椭圆标准方程为22126x y m m+=-- 要求两个分母均为正且不相等(m ≠4)，故选D 5. 已知定义在R 上的函数2()sin x f x e x x x =+-+，则曲线()y f x =在点(0,f(0))处的切线方程是（）A. y=x+1B. y=x+2C. y=-x+1D. y=-x+2 答案：A详细分析：考查导数首先，f(0)=1，其次求导得斜率'()21cos x f x e x x =+-+仍为1 切线方程为y=x+1，故选A6. 各项都是正数的等比数列{}n a 中，1321,,2a a a 成等差数列，则4534a aa a ++的值为（）A.12B.12C.2D.1122OR答案：B详细分析：查考等比数列和等差数列 由等差中项得312a a a =+，即21q q =+解得12q ±=（正项数列取正号） 34452334a a q q q a a q q++==++，故选B 7. 已知F 是双曲线22154x y -=的右焦点，点P 的坐标为（3,1），点A 在双曲线上，则AP+AF 的最小值为（）A.37+4B.37-4C.37-2 5D.37+2 5答案：C详细分析：考查双曲线定义，设左焦点为F ’(-3,0)已知F(3,0)，P(3,1)，首先判断定点P 在双曲线右支内部AP+AF=AP+AF ’－2a ，因此可知F ’AP 三点共线时距离最短，即F ’P －2a由标准方程得2a = C8. 双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线与抛物线21y x =+相切，则该双曲线的离心率为（）A. 3B. 2C. 5D. 6答案：C详细分析：转化为二次方程判别式问题首先写出渐近线直线方程b y x a =，联立抛物线方程得210bx x a-+=判别式2240b a∆=-= 因此22241b e a ==-，故选C9. 已知x,y 满足不等式2y x x y x a ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，且2z x y =+的最大值是最小值的3倍，则a的值为（）A.0B.1/3C.2/3D.1 答案：B详细分析：考查简单线性规划10. 已知直线1y kx =+，当k 变化时，此直线被椭圆2214x y +=截得的最大弦长是（）A.4B.433C. 3D. 233答案：B详细分析：直线过定点，即椭圆上顶点B(1,0)，设弦为AB 把椭圆标准方程转换为参数方程2cos ,sin x y θθ== 因此22224cos (1sin )3sin 2sin 5AB θθθθ=+-=--+换元化简得2325(35)(1t)t t t --+=+-，因此对称轴1/3t =-处取最大值AB =故选B11. 设12,F F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点，以两焦点为直径的圆与双曲线C 在第二象限的交点为P ，若双曲线C 的离心率为5，则21sin PF F ∠=（） A.35 B.34 C.45 D.56 答案：A详细分析：考查双曲线的性质由双曲线定义可知两焦半径m,n 之差为2,()m n a m n -=> 直径所对圆周角为直角，由勾股定理得2224m n c += 联立解得：222(2)4a n n c ++=整理为关于t=n/c 的二次方程22510480t t +-= 即(56)(58)0t t -+=因此63,sin 525n n c c α===，故选A 12. 若函数21()f x x ax x =++在1[,)3+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是（）A.[-1,0]B.[0,253]C.[253,+∞) D. [9,+∞) 答案：C详细分析：考查导数21'()2f x x a x =+-，当13x ≥时导数恒大于零，此时导函数是增函数，只要最小值2903a +-≥即可，故选C二、填空题13. 若函数3()63f x x bx b =-+在(0,1)内有极小值，则实数b 的取值范围是___详细分析：2'()36f x x b =-，求导为零得x =01<<解得102b <<14. 在ABC ∆中，若a=2，b+c=7，cosB ＝－1/4，则b 的值为___详细分析：由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-且c=7-b 代入得224(7)(7)b b b =+-+-，解得b=415. 已知数列{}n a 满足1133,2n n a a a n +=-=，则/n a n 的最小值为___详细分析：由累加法得1(1)n a a n n =+-，33()1n a f n n n n==+-由对勾函数性质可知n =f(5)或f(6)，比较可知min (6)10.5f == 16. 设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，过点P(-1,0)的直线l 交抛物线C 于A,B 两点，点Q 为线段AB 的中点，若FQ=2，则直线l 的斜率等于___详细分析：考查抛物线性质，焦点(1,0)，准线x=-1设弦AB 中点00(,)Q x y ，弦直线方程为(1)y k x =+，因此00y kx k =+ 根据抛物线定义得012FQ x =+=，因此02y k =， 由中点斜率公式02ky p ==得21k = 三、解答题17. （10分）已知2:21p a x a ≤≤+，2:3(1)620q x a x a -+++≤，若p 是q 的充分条件，求实数a 的取值范围.详细分析：若P 是Q 的子集，则x P ∈是x Q ∈的充分条件:(2)((31))0q x x a --+≤当3a+1≥2时，222131a a a ≥⎧⎨+≤+⎩解得[1,3]当3a+1≤2时，223112a a a ≥+⎧⎨+≤⎩解得a=-1综上，131a a ≤≤=-或 18. 已知a,b,c分别为ABC ∆的三个内角A,B,C的对边，cos sin 0a C C b c --=. (1)求角A;(2)若a=2，ABC ∆面积为 3 求b,c. 详细分析：考查正弦和余弦定理(1)由正弦定理得sin cos sin sin sin 0A C A C B C --=其中sin sin()B A C =+sin cos sin sin 0A C A C C --=由于sin 0C ≠，化简为cos 1A A -=即2sin(/6)1A π-= 因此/6/6A ππ-=，/3A π=(2) ABC ∆面积为 3转换为1sin 424S bc A bc ==⇒=由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，因此228b c += 综上，b=c=219. 已知等差数列{}n a 的首项11a =，公差d>0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{}n b 的第2项、第3项、第4项. (1)求数列{}n a 与{}n b 的通项公式; (2)设数列{}n c 对于任意*n N ∈均有3121123...n n nc c c c a b b b b +++++=成立，求12320...c c c c++++的值.详细分析：(1)依题意得221b a a d ==+，3514b a a d ==+，414113b a a d ==+ 由等比中项得2(14)(1)(113)d d d +=++，解得d=2或0（舍） 因此12(1)21n a n n =+-=-2343,9,27b b b ===故首项为1，公比为3 因此13n n b -= (2)考查通项作差法31121231...n n n c c c c a b b b b --++++= 作差得1123n nn n n nc a ad c b -+=-=⇒=⨯， 注意到12113c a c b =⇒=因此数列131231n n n c n -=⎧=⎨⨯>⎩ 因此2014201520156(13)3313S -=+=-20. 已知抛物线2:2(0)E x py p => 直线2y kx =+ 与E 交于A,B 两点，且2OA OB ⋅=其中O 为原点.(1)求抛物线E 的方程；(2)已知点C(0,-2)，记直线CA ，CB 的斜率分别为k1,k2，求222122k k k +-的值.详细分析：(1)平面向量坐标运算，故设1122(,),(,)A x y B x y 联立直线与抛物线方程得2240x pkx p --=因此12122,4x x pk x x p +==-，212121212(2)(2)2()44y y kx kx k x x k x x =++=+++= 由数量积得12122x x y y +=，即p=1/2，故抛物线方程为2x y = (2)由(1)知1212,2x x k x x +==-依题意得2211221211222222,y x y x k k x x x x ++++====22222222121212122222212221112121222121212222()()2()22()()2()2()2()816x x k k k x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +++-=+-+++=+-+=--+=-=21. 已知函数21()lnf x x x=-. (1)求函数f(x)在21[,]e e上的最值；(2)证明：当(1,)x ∈+∞时，函数3221()32g x x x =+的图像在()y f x =的图像上方. 详细分析：先化简2()ln f x x x =+，因此1'()2f x x x=+导函数为对勾函数，当x>0时1'()2f x x x=+≥因此函数f(x)在21[,]e e 上单调递增，最小值211()1f e e=-，最大值24()2f e e =+构造3221()()()ln 32F x g x f x x x x =-=--求导得322121'()2x x F x x x x x--=--=令32()21h x x x =--，2'()622(31)0,(1)h x x x x x x =-=->> 故'()0F x >，且()21110326F =-=>，即()()g x f x >22. 设12,F F 分别是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左右焦点，过左焦点且斜率为1的直线l 与E 相交于A,B 两点，且22,,AF AB BF 成等差数列. (1)求E 的离心率；(2)设A,B 两点都在以P(-2,0)为圆心的同一圆上，求E 的方程. 详细分析：(1)由等差中项得222AB AF BF =+ 焦点弦三角形周长224AB AF BF a ++= 综上可得AB=4a/3求离心率可以根据求弦长分为两种方法方法一：过左焦点(-c,0)的直线方程为y x c =+，设A,B 两点坐标1242()3a AB a e x x =++=，故1223ax x e+=-，且12122y y x x c +=++根据概率公式可得212121y y e x x +=-+即22131e e -=-解得2e = 方法二：根据焦点弦长公式可得2222222244cos 23ab ab aAB a c a c θ===--解得222,2a c e =(2)设弦AB 的中点00(,)M x y ，P(-2,0) 等腰PAB ∆中三线合一，MP 斜率为－1012y k x ==-+ 由(1)知12023x x a x e +==-，120223x x c a y c e ++==- 因此233a a c e e -=-解得6b c == 故2217236x y +=。
洛阳市2016-2017学年度高二年级质量检测数学试卷（理科）第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求. 1.若i 为虚数单位，,a b R 且2a i b i i ，则复数a bi 的模等于 A. 2 B. 3 C. 5 D.62.命题“若a b ，则ac bc ”的逆否命题是A. 若a b ，则ac bcB. 若ac bc ，则a bC. 若ac bc ，则a bD. 若a b ，则ac bc 3.设0x ，由不等式2314272,3,4,x x x x x x L ，类比推广到1n ax n x ，则aA. 2nB. 2nC. 2nD.nn 4.设随机变量2,1N :，若3P m ，则13P 等于 A. 122m B. 1m C. 12m D.12m 5.抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记事件A=“两次的点数均为奇数”，B=“两次的点数之和小于7”，则|P B A A. 13 B.49 C. 59 D.236.用数学归纳法证明“1111232n F n L ”时，由n k 不等式成立，证明1n k 时，左边应添加的项数是 A. 12k B. 21k C. 2k D.21k 学生会为了调查学生对2018年俄罗斯世界杯的关注是否与性别有关，抽样调查100人，得到如下数据：7.若由此认为“学生对2018年俄罗斯世界杯的关注与否与性别有关”，则此结论的错误的概率不超过A. 0.10B. 0.05C. 0.025D. 0.018.某教师有相同的语文参考书3本，相同的数学参考书4本，从中取出4本不同的书赠送给4位同学，每位同学1本，则不同的赠送方法有 A. 20种 B.15种 C. 10种 D.4种9.设随机变量2,X B p :，随机变量3,y B p :，若519P X ，则31D Y A. 2 B. 3 C. 6 D. 710.已知抛物线243y x 的焦点为F,A,B 为抛物线上两点，若3AF FB uu u r u u u r ，O 为坐标原点，则ABO 的面积为 A. 83 B. 43 C. 23 D.311.设等差数列n a 满足5100810081201611,a a 5100910091201611a a ，数列n a 的前n 项和为n S ，则 A. 2016100810092016,S a a B. 2016100810092016,S a a C. 2016100810092016,S a a D.2016100810092016,S a a 12.设函数2ln ,021,0x xf x x x x ，若f a f bf c f d ，其中,,,a b c d 互不相等，则对于命题:0,1p abcd 和命题122:2,2q a b c d e e e e 真假的判断，正确的是A. p 假q 真B. p 假q 假C.p 真q 真 D. p 真q 假二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.设函数3,01,1x x f x x x ，则定积分20f x dx 为 .14.某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：由表中数据得线性回归方程???y bx a 的?20b ，预测当产品价格定为9.5元时，销量为 . 15.已知,x y 满足约束条件02323xx yx y ，若y x 的最大值为a ，则二项式61ax x 的展开式中的常数项为.（用数字作答）16.若函数320h x ax bx cx d a 图象的对称中心为00,M x h x ，记函数h x 的导函数为g x ，则有00g x ，设函数3232f xx x ，则12403240332017201720172017f f f f L .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17.（本题满分10分）已知ABC 的三个内角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，且满足1cos .2b C c a （1）求ABC 的内角B 的大小；（2）若ABC 的面积为234b ，试判断ABC 的形状.18.（本题满分12分）已知正项数列n a 的首项为11a ，且221110n n n n n a a a na 对n N 都成立.（1）求n a 的通项公式；（2）记2121n n n b a a ，数列n b 的前n 项和为n T ，证明：12n T .19.（本题满分12分）第35届牡丹花会期间，我班有5名同学参加志愿者服务活动，服务场所是王城公园和牡丹园.（1）若学生甲和乙必须在同一公园，且甲和丙不能在同一公园，则共有多少种不同的分配方案；（2）每名学生都被随机分配到其中的一个公园，设,X Y 分别表示5名学生分配到王城公园和牡丹园的人数，记X Y ，求随机变量的分布列和数学期望E .20.（本题满分12分）如图，已知矩形11BB C C 所在平面与底面1ABB N 垂直，在直角梯形1ABB N 中，111//,,.2AN BB ABAN CB BA AN BB （1）求证：BN 平面11B C N ；（2）求二面角11C C N B 的大小.21.（本题满分12分）已知椭圆C 的方程为222210xy a b a b ，双曲线22221xy a b 的一条渐近线与x 轴所成角为30o ，且双曲线的焦距为4 2.（1）求椭圆C 的方程；（2）设12,F F 分别是椭圆C 的左、右焦点，过2F 作直线l （与x 轴不重合）交椭圆C 与A,B 两点，线段AB 的中点为E,记直线1F E 的斜率为k ，求k 的取值范围.22.（本题满分12分）设函数ln ,.f x x x ax a R （1）当1a 时，求曲线yf x 在点1,1f 处的切线方程；；（2）.若对1,1x f x b a x b 恒成立，求整数b 的最大值.。
