利用全等思想解决动点问题的应用举例

全等三角形动点全等三角形动点问题，这可是中学数学里的一个“小调皮”，常常让同学们又爱又恨。

记得我曾经教过一个班，有个叫小李的同学，他在面对全等三角形动点问题时，那叫一个头疼。

每次看到这类题目，他的眉头就皱得能夹死一只苍蝇。

全等三角形动点问题，简单来说，就是在三角形中，有一个或多个点在按照一定的规律移动，然后让我们去探究在这个移动过程中，三角形的全等情况或者相关线段、角度的变化。

这就好像是一场三角形的“追逐游戏”，点在跑，我们得努力追上它的脚步，搞清楚它的行踪。

比如说，有这样一道题：在三角形 ABC 中，AB ＝ AC，点 D 在BC 边上从 B 向 C 移动，速度为每秒 1 个单位长度。

问在什么时刻，三角形 ABD 和三角形 ACD 全等。

这时候，我们就得先看看这两个三角形已经有哪些条件是相等的，因为 AB ＝ AC ，AD 是公共边，所以只需要 BD ＝ CD 时，这两个三角形就全等啦。

那根据点 D 的移动速度，就能算出时间。

再比如，有一个直角三角形 ABC，∠C ＝ 90°，点 P 从 A 点出发，沿着 AB 边以每秒 2 厘米的速度移动，同时点 Q 从 B 点出发，沿着BC 边以每秒 1 厘米的速度移动。

问经过多少秒，三角形 PCQ 与三角形 ABC 全等。

这可就有点复杂啦，我们得分别考虑两种情况，一种是当 CP ＝ CA ，CQ ＝ CB 时，另一种是当 CP ＝ CB ，CQ ＝ CA 时。

然后根据它们的移动速度和距离关系，列出方程来求解。

解决全等三角形动点问题，关键是要抓住“全等”的条件。

就像抓小偷一样，得先知道小偷的特征，才能把他抓住。

我们要仔细观察题目中给出的条件，看看哪些边相等，哪些角相等，然后根据点的移动情况，找出变化中的不变量。

还有一次课堂练习，大部分同学都被一道动点题难住了。

题目是这样的：在等边三角形 ABC 中，点 E 在 AB 上，点 F 在 AC 上，BE ＝AF ，点 D 是 BC 的中点，当点 E 、F 分别从 B 、A 两点同时出发，以相同的速度沿 BA 、AC 方向运动，连接 DE 、DF 。

全等三角形中的动态问题解决动点问题的常见思路：1、注意分类讨论；2、仔细探究全等三角形对应边与对应角的变化；3、利用速度×时间表示处相应线段或边的长度，列出方程求解。

例1如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB=8，AC=4，射线BM⊥AB，垂足为点B，一动点E从A点出发以2厘米/秒的速度沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED=CB，当点E离开点A后，运动多少秒时，△DEB与△BCA全等。

例2已知，如图，在长方形ABCD中，AB=4，AD=6，延长BC到点E，使CE=2，连接DE，动点P 从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC—CD—DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为何值时，△ABP与△DCE全等。

练习：1、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=7厘米，BC=3厘米，CD为AB边上的高，点E从点B出发沿直线BC以2厘米/秒的速度移动，过点E作BC的垂线交直线CD于点F。

（1）证明：∠A=∠BCD；（2）当点E运动多长时间时，CF=AB。

请说明理由。

2、如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为A（0，m），B（n，0），且｜m−n−3｜+2n−6=0，点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线AO匀速运动，设点P的运动时间为t秒。

（1）求OA、OB的长；（2）连接PB，设△POB的面积为S，用含t的式子表示S；（3）过点P作直线AB的垂线，垂足为D，直线PD与x轴交于点E，在点P运动的过程中，是否存在这样的点P，使△EOP≌△AOB？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由。

例3如图，点C在线段BD上，AB⊥BD于B，ED⊥BD于D，∠ACE=90°，且AC=5cm，CE=6cm，点P以2cm/s的速度沿A—C—E向终点E运动，同时点Q以3cm/s的速度从E开始在线段EC上往返运动，当点P到达终点时，P、Q同时停止运动。

全等三角形动点在初中数学的学习中，全等三角形是一个重要的知识点，而其中的动点问题更是让许多同学感到头疼。

今天，咱们就来好好聊聊全等三角形动点这个话题。

首先，咱们得明白啥是动点。

简单说，动点就是在平面内按照某种规律移动的点。

在全等三角形中出现动点，那就意味着三角形的形状、大小或者位置可能会随着这个动点的移动而发生变化。

那为啥要研究全等三角形动点问题呢？这可大有用处！通过解决这类问题，咱们能更好地锻炼逻辑思维能力、空间想象力，还能加深对全等三角形性质和判定的理解。

比如说，有这样一道题：在三角形 ABC 中，∠B ＝ 90°，AB ＝BC，点 D 是 AC 边上的一个动点。

当 BD 平分∠ABC 时，求证：△ABD 全等于△EBD。

遇到这种问题，咱们先别慌。

先看看已知条件，因为 BD 平分∠ABC，所以∠ABD ＝∠EBD。

又因为 AB ＝ BC，还有一个公共边BD，根据全等三角形的判定定理（SAS），就能证明这两个三角形全等啦。

再来看一个稍微复杂点的例子。

在三角形 ABC 中，AB ＝ AC，D是直线 BC 上的一个动点（不与 B、C 重合）。

以 AD 为一边在 AD 的右侧作三角形 ADE，使 AD ＝ AE，∠DAE ＝∠BAC，连接 CE。

这时候，咱们就得仔细分析动点 D 的位置。

当 D 在线段 BC 上时，因为∠DAE ＝∠BAC，所以∠BAD ＝∠CAE。

又因为 AB ＝ AC，AD ＝ AE，根据全等三角形的判定定理（SAS），可以得出△ABD 全等于△ACE。

那要是 D 在线段 BC 的延长线上呢？同样的道理，还是能通过角的关系和边的长度证明△ABD 全等于△ACE。

解决全等三角形动点问题，关键是要抓住不变的量。

比如说上面例子中的边相等、角相等，这些不变的条件往往是解决问题的突破口。

另外，咱们还得学会分类讨论。

就像刚才说的，动点的位置不同，可能导致图形的关系也不同，所以要把各种可能的情况都考虑到。

全等三角形动点问题的解题技巧全等三角形动点问题的解题技巧1. 引言全等三角形动点问题是解决三角形相关问题的一种重要方法，它可以帮助我们深入理解全等三角形的定义和性质。

在本文中，我们将探讨全等三角形动点问题的解题技巧，并通过具体例子来说明。

2. 全等三角形的定义和性质在开始解决全等三角形动点问题之前，我们首先需要了解全等三角形的定义和性质。

全等三角形指的是具有相等边长和相等角度的两个三角形。

全等三角形有如下性质：2.1 两个全等三角形的对应边对应角均相等。

2.2 两个全等三角形的相应边长比相等。

3. 解题技巧在解决全等三角形动点问题时，我们可以采用以下技巧：3.1 选取适当的动点在全等三角形动点问题中，我们需要选择一个适当的动点来进行分析。

通常情况下，我们可以选取一个顶点或者一个角度作为动点，并通过改变该动点的位置来观察全等三角形的变化。

3.2 确定动点的运动轨迹一旦我们选定了一个动点，我们需要确定它的运动轨迹。

通过观察，我们可以发现，在全等三角形中，动点的运动轨迹通常是一条直线、一条弧线或一个圆。

3.3 利用全等三角形的性质在确定了动点的运动轨迹后，我们需要利用全等三角形的性质来解决问题。

根据全等三角形的定义和性质，我们可以得到一些等式或比例关系，从而推导出所需的结论。

4. 例子分析为了更好地理解全等三角形动点问题的解题技巧，我们以一个具体例子进行分析。

假设我们需要证明一个三角形ABC与另一个三角形A'B'C'全等。

我们可以选择顶点A作为动点，并通过改变点A的位置来观察全等三角形的性质。

4.1 确定动点A的运动轨迹观察发现，当我们固定点B和点C不动时，点A可以在与线段BC平行的直线上自由移动。

点A的运动轨迹是一条平行于BC的直线。

4.2 利用全等三角形的性质由于我们已经确定了点A的运动轨迹，我们可以利用全等三角形的性质来解决问题。

根据全等三角形的性质，我们可以得到如下结论：4.2.1 边AC与A'C'相等4.2.2 角BAC与角B'A'C'相等等等。

1．如图，在等边ABC ∆的顶点A 、C 处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以每分钟1各单位的速度油A 向B 和由C 向A 爬行，其中一只蜗牛爬到终点时，另一只也停止运动，经过t 分钟后，它们分别爬行到D,E 处，请问（1）在爬行过程中，CD 和BE 始终相等吗？（2）若蜗牛沿着AB 和CA 的延长线爬行，EB 与CD 交于点Q ，其他条件不变，如图（2）所示，蜗牛爬行过程中CQE ∠的大小条件不变，求证：︒=∠60CQE（3）如果将原题中“由C 向A 爬行”改为“沿着BC 的延长线爬行，连接DE 交AC 于F ”，其他条件不变，则爬行过程中，DF 始终等于EF 是否正确1、如图，在等边△ABC 的顶点A 、C 处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以相同的速度由A 向B 和由C 向A 爬行，经过t 分钟后，它们分别爬行到D 、E 处，请问（1）在爬行过程中，CD 和BE 始终相等吗？（2）如果将原题中的“由A 向B 和由C 向A 爬行”，改为“沿着AB 和CA 的延长线爬行”，EB 与CD 交于点Q ，其他条件不变，如图（2）所示，蜗牛爬行过程中∠CQE 的大小保持不变．请利用图（2）情形，求证：∠ CQE =60°；（3）如果将原题中“由C向A爬行”改为“沿着BC的延长线爬行，连接DE交AC于F”，其他条件不变，如图（3），则爬行过程中，DF始终等于EF是否正确．解：（1）CD与BE相等。

证明：由于两只蜗牛同时以相同的速度爬行，所以路程相同，即AD=CE。

∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC，∠A=∠BCE；在△ADC与CEB中∴△ADC≌△CEB∴CD=BE由于t 为任意时刻，所以当t 为任意值时都有CD=BE，即CD和BE始终相等。

（2）证明：由于两只蜗牛以相同速度同时出发，所以路程相同，即AD=CE∵△ABC是等边三角形∴AB=AC，∴AD-AB=CE-AC，即AE=BD而由△ABC是等边三角形还可得AB=CB，∠CBD=∠BAE=120°在△EAB和△DBC中∴△EAB≌△DBC（SAS）∴∠1=∠4，而∠2=∠3∴∠1+∠2=∠3+∠4又∠CQE=∠1+∠2，∠5=∠3+∠4=60°∴∠CQE=∠5=60°。

一、动点问题概述动点问题是数学中的一个重要概念，它涉及到物体或点在特定条件下的运动轨迹和位置变化。

在数学中，我们常常会遇到关于动点问题的题目，通过对动点的运动进行分析和建模，从而得出数学解决方案。

在八年级上册数学学习中，动点问题也是一个重要的内容，尤其是在进行三角形全等的学习中，动点问题的应用更是凸显出其重要性。

二、三角形全等的概念1. 三角形全等是指在平面解析几何中，两个三角形在形状和大小上完全相同。

当两个三角形的对应边长相等，对应角度相等时，我们就可以认为它们是全等三角形。

2. 三角形全等的性质：全等的三角形，对应边相等，对应角相等，面积相等。

三、动点问题与三角形全等的联系1. 在动点问题中，三角形全等常常被用来描述动点的运动轨迹。

一个动点在平面内作定点旋转、平移等运动时，可以利用三角形全等的性质来描述动点的位置变化。

2. 通过观察动点在三角形内的运动，我们可以将动点与三角形全等的概念进行结合，从而更深刻地理解动点问题和三角形全等。

四、动点问题三角形全等的举例分析1. 假设动点A在平面内作匀速直线运动，点B、点C分别为该平面内两个定点，且直线AB与BC共线，以BC为直线方向。

如果C到A的距离等于B到A的距离，根据三角形全等的性质，我们可以推断出△ABC与△ACB是全等三角形，即两个三角形的三边和三个角都相等。

2. 再做一个动点问题的三角形全等的举例，如果A、B、C三个点共线，并且A点到B点的距离等于B点到C点的距离。

那么，如果D是AC 上的一个任意一点，那么我们可以得出△ABD与△BCD是全等三角形。

五、动点问题三角形全等的解题方法在解决动点问题与三角形全等的题目时，我们需要遵循以下步骤：1. 观察动点在平面内的运动轨迹，分析三角形的形状和位置变化。

2. 利用三角形全等的性质，建立动点与三角形全等的关系。

3. 根据题目给出的条件和要求，构建方程或等式，求解动点问题与三角形全等。

六、动点问题三角形全等的应用举例1. 在解析几何中，我们常常会遇到这样的动点问题：一个点以一定的规律在平面内作运动，问它经过的点的轨迹是什么形状？这种问题就可以通过分析三角形全等来解决。

全等三角形动点问题解析全等三角形动点问题是数学中的一个常见题型，主要涉及到全等三角形的特性和动点的运动规律。

在这类问题中，我们需要根据给定的条件，寻找满足条件的动点位置。

本文将对该问题的一般解法进行详细解析。

题目背景我们先来看一个典型的全等三角形动点问题的例子。

例题：已知一直角三角形ABC，其中∠ABC=90°,AC=5。

D为BC的中点，以D为圆心作一条半径为AD的圆交于E点，连接CE。

若点P在AC上，且满足∠BPC=∠CPA，求满足上述条件的点P的位置。

解题思路要解决这个问题，我们可以采用以下步骤：步骤1：根据题目给出的条件，通过画图并标记已知条件，包括所给的角度、边长、中点等。

在这个例子中，我们可以画出直角三角形ABC，并在BC边上标记中点D。

然后以点D为圆心，将半径调整为AD，并在圆上标记点E。

步骤2：观察题目中所问的点P在AC上，并满足∠BPC=∠CPA，即点P满足圆上的某个性质。

由于已知点C和点E在圆上，我们可以利用圆的性质来解决这个问题。

步骤3：观察点P在三角形ABC中的位置，我们可以发现点P处在直角三角形ABC所在的圆外。

我们进一步观察可以发现，点P与点C的连线延长后与圆交于C的另外一个点Q。

因此，我们可以将问题转化为求点Q的位置。

步骤4：通过观察几何图形，我们可以发现点Q与点E在直角三角形ABC上具有相同的高。

根据全等三角形的性质，我们可以断言，在两个全等三角形中，所有对应的边和角都是相等的。

因此，我们可以得出∠CQD=∠EPD，进一步得出∠BPC=∠QDC。

步骤5：根据步骤4的结论，我们可以在图上得出∠BPC与∠QDC的关系。

通过分析可得，在圆上任意一点M与半径所形成的角，等于角所对应的圆心角的一∠CQD，根据已知条件∠BPC=∠QDC，我们可以得出半。

因此，我们有∠QDC=12∠CQD。

∠BPC=12步骤6：通过步骤5的推导，我们将问题转化为求点CQD的位置。

通过观察我们可以发现，点Q与点D相连并延长后，与直角三角形ABC所在的圆交于另外一个点R。

全等三角形动点问题典型题目
全等三角形的动点问题是几何学中的经典题目之一，它涉及到
平面几何和坐标几何的知识。

一般来说，这类问题会给出一个或多
个三角形，然后要求找到一个点，使得这个点满足某种条件，比如
使得与三角形的三个顶点连线的长度相等，或者使得与三角形的某
条边垂直平分等等。

下面我将从几何和代数两个角度来解释这类问题。

从几何角度来看，全等三角形的动点问题通常可以通过构造几
何图形来解决。

我们可以利用全等三角形的性质，比如边长相等、
角度相等等性质，来构造等式或者方程，从而找到满足条件的动点。

通常情况下，我们可以利用相似三角形的性质，或者利用垂直平分线、角平分线等性质来解决这类问题。

从代数角度来看，我们可以引入坐标系，通过假设动点的坐标，并利用坐标几何的方法来解决问题。

我们可以假设动点的坐标为(x, y)，然后根据全等三角形的性质建立方程，通过求解方程来找到动
点的坐标。

这种方法通常需要运用距离公式、中点公式、斜率公式
等知识来解决问题。

综上所述，全等三角形的动点问题是一个涉及到几何和代数知识的综合性问题，需要我们灵活运用几何性质和代数方法来解决。

在解决这类问题时，我们需要画图、列方程、解方程等多种方法结合，才能全面地解决问题。

希望以上解释能够帮助你更好地理解全等三角形的动点问题。