湖南省怀化市2019届高三下学期第一次数学(文)模拟试卷及参考答案

怀化市中小学课程改革教育质量监测试卷2019届高三一模 文科数学参考答案9提示:AQ OA S OAQ 弧扇形⋅=2，AP OA S OAP ⋅=∆2,又AP AQ =弧 ∴OAP OAQ S S ∆=扇形, 21S S =∴10提示：设),(11y x A ，),(22y x B ，则32221121=⋅=x y x y k k ，又1212x y =，2222x y =， ∴621=y y .将直线l ：b my x +=代入x y 22=，得0222=--b my y ，∴6221-=-=b y y∴3-=b .即直线l ：3-=my x ，所以l 过定点），（03-11提示：⎪⎭⎫ ⎝⎛+==AC AB AD AG 3132∵ 120=∠A ，2-=⋅AC AB ，∴2120cos -==⋅ AC AB设yx ==, ∴4= 即4=xy()21133AG AB AC AB AC ∴=+=+22123AB AC AB AC=++⋅13= 而8222=≥+xy y x （当且仅当y x =取等号）∴32≥即的最小值为 12提示：图象法，作|ln |,x y x y a ==的图象，不妨设12,x x <则0<121,x x <<从而12ln 0,ln 0,x x <>所以1212ln ,ln ,x x x a x a -== 故12121212ln()ln +ln +0,0<1x x x x x x a a x x ==-<<所以 .二、填空题（4520''⨯=）：13. 4; 14. 12； 15.32； 16.216提示（法一）:双曲线的渐近线方程为x ab y ±=，焦点为()0,1c F -，()0,2c F ， 由题意可得00x a b y =，①又21MF MF ⊥，可得10000-=-⋅+c x y c x y ， 即为22020c x y =+，② 由222c b a =+，联立①②可得a x =0，b y =0，由F 为焦点的抛物线2C ：px y 22=()0>p 经过点M ，可得pa b 22=，c p =2， 即有2224a c ac b -==， 由ac e =，可得0142=--e e ， 解得52+=e （法二） 21MF MF ⊥ ，O 为21F F 中点，∴c F F OM ==2121 ()b a M ,∴ 又p c 21=， ca b 42=∴ （下同法一） 17解：（I ）设等差数列{}n a 的公差为d.因为3105,100.a S ==所以11251045100+=⎧⎨+=⎩a d a d ……………2分 解得112=⎧⎨=⎩a d ………………4分 所以1=+1)21n a a n d n -=-（.……………6分（II ）由（I ）可知221111()(5)(24)(2)22n n b n a n n n n n n ====-++++……………8分∴n n b b b T +⋅⋅⋅++=21⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+⋅⋅⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21111115131412131121n n n n ……………10分 ∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-=)2)(1(322321n n n T n ……………12分18（I ）证明：因为四边形ABCD 是菱形，所以BD AC ⊥……………2分∴⊥PA 平面ABCD ，⊂BD 平面ABCD ，∴BD PA ⊥……………4分又A AC PA =⋂，∴⊥BD 平面PAC ，又⊂BD 平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面PAC ……………6分（II ）连接OE ，由（Ⅰ）知⊥BD 平面PAC ，⊂OE 平面PAC ，∴OE BD ⊥……………7分∵8=BD ，由()421min =⋅=∆OE BD S BDE 得：()1min =OE ……………8分 ∴当PC OE ⊥时，OE 取到最小值1……………9分 此时22132222=-=-=OE OC CE ……………10分作PA EH //交AC 于H ，∵⊥PA 平面ABCD ，∴⊥EF 平面ABCD ……………11分由EH ＝＝．得点E 到底面ABCD 的距离322=EH ……………12分 19解：（Ⅰ）由题意得，557ˆ 6.684b =≈.......................2分 33 6.626138.6ˆa =-⨯=-..............................4分关于的线性回归方程为： 6.6138.6ˆy x =-..........................6分（Ⅱ）线性回归方程对应的相关指数为： 9398.00602.01393064.23612=-≈-=R ......................8分 因为.....................9分所以回归方程，比线性回归方程 6.6138.6ˆy x =-拟合效果更好..............10分 由知，当温度时，..................................11分 即当温度为时该批紫甘薯死亡株数为190.............................12分20解：（I ）设椭圆C 的方程为12222=+by a x ()0>>b a ，则由题意知1=b ……………2分 ∴552222=-a b a ．即552112=-a ∴52=a ……………4分 ∴椭圆C 的方程为1522=+y x ……………5分∴y ∴x ()i ˆ 6.6138.6yx =-0.93980.9522<0.2303ˆ0.06x ye =()ii ()i 35x C =︒0.230335ˆ0.060.063167190ye ⨯=≈⨯≈35C ︒（II ）设A 、B 、M 点的坐标分别为()11,y x A ，()22,y x B ，()0,0y M ．又易知F 点的坐标为()0,2 ……………6分显然直线l 存在的斜率，设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程是)2(-=x k y ……………7分 将直线l 的方程代入到椭圆C 的方程中，消去y 并整理得052020)51(2222=-+-+k x k x k ……………8分 ∴22215120k k x x +=+ ，222151520k k x x +-=……………9分 ∵AF m MA = ， BF n MB =∴将各点坐标代入得112x x m -=，222x x n -=……………11分 ∴10)(242)(222212121212211-=⋅⋅⋅=++--+=-+-=+x x x x x x x x x x x x n m ……………12分 21解：（I ）)(x f 的定义域为),0(+∞，()b ax x x f --='1……………1分 由0)1(=f ，得a b -=1．∴()xx ax a ax x x f )1)(1(11-+-=-+-='……………2分 ①若0≥a ，由()0='x f ，得1=x ．当10<<x 时，()0>'x f ，此时)(x f 单调递增；当1>x 时，()0<'x f ，此时)(x f 单调递减． 所以1=x 是)(x f 的极大值点……………3分②若0<a ，由()0='x f ，得1=x ，或a x 1-=． 因为1=x 是)(x f 的极大值点，所以11>-a，解得01<<-a ……………4分 综合①②：a 的取值范围是1->a ……………5分（II ）因为方程2mf （x ）＝x 2有唯一实数解，所以x 2﹣2mlnx ﹣2mx ＝0有唯一实数解……………6分设g （x ）＝x 2﹣2mlnx ﹣2mx ，则()x m mx x x g 2222--='……………7分 令()x g '＝0，x 2﹣mx ﹣m ＝0．因为m ＞0，x ＞0，所以02421<+-=m m m x （舍去），2422m m m x ++=……………8分 当x ∈（0，2x ）时，()x g '＜0，g （x ）在（0，2x ）上单调递减， 当x ∈（2x ，+∞）时，()x g '＞0，g （x ）在（2x ，+∞）单调递增 当x ＝2x 时，()x g '＝0，g （x ）取最小值g （2x ）……………9分则()()⎩⎨⎧='=0022x g x g 即⎪⎩⎪⎨⎧=--=--02ln 22222222m mx x mx x m x ……………10分 所以2mlnx 2+mx 2﹣m ＝0，因为m ＞0，所以2lnx 2+x 2﹣1＝0（*）设函数h （x ）＝2lnx +x ﹣1，因为当x ＞0时，h （x ）是增函数，所以h （x ）＝0至多有一解……………11分因为h （1）＝0，所以方程（*）的解为x 2＝1，即1242=++m m m ，解得21=m ……………12分 22解（Ⅰ）∵曲线C 的参数方程为()为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==sin 3cos 2y x , ∴曲线C 的普通方程为＝1........................................2分 ∵直线l 的极坐标方程是：6sin cos 21θθρ+= ∴6sin cos 2=+θρθρ，....................................................3分∴直线l 的直角坐标方程为062=-+y x ．..............................5分（Ⅱ）∵点P 是曲线C 上的动点，∴设P （2cos φ，3sin φ），则P 到直线l 的距离： ()56sin 5146sin 3cos 4-+=+-+=θϕϕϕd ,tan θ＝34..................8分 ∴当sin （θϕ+）＝﹣1时，点P 到直线l 距离取最大值d max ＝＝...............9.分 当sin （θϕ+）＝1时，点P 到直线l 距离取最小值d min ＝＝．.............................10分23解：（I ）由已知可得12,0()1,0121,1x x f x x x x -<⎧⎪=≤≤⎨⎪->⎩，所以m i n ()1f x = 因为()|1|f x m ≥-恒成立，所以|1|1m -≤，从而可得02m ≤≤ 所以实数m 的最大值M=2……………5分（II ）由（I ）知，M=2，所以222,a b +=要证2.a b ab +≥，只需证22()(2),a b ab +≥即证22224,ab a b +≥即证22210,a b ab --≤即(21)(1)0,ab ab +-≤又因为,a b 是正数，所以210,ab +>故只需证10,ab -≤即1,ab ≤而2=222a b ab +≥，可得1,ab ≤故原不等式成立………10分。

2019年湖南省怀化市高考数学模拟试卷（文科）（一）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知i 为虚数单位，则复数z =i 32−i 的虚部为（ ）A.−25i| B.−25 C.25D.25i【答案】 B【考点】复数的运算 【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【解答】∵ z =i 32−i =−i2−i =−i(2+i)(2−i)(2+i)=15−25i ． ∴ 复数z 的虚部为−25．2. 已知集合M ＝{(x, y)|y|x|}，N ＝{(x, y)|y1}，若A ⊆(M ∩N)，则集合A 的个数为（ ） A.2 B.3 C.4 D.8 【答案】 C【考点】集合的包含关系判断及应用 【解析】推导出M ∩N ={(x,y)|{y =|x|y =1 }={(−1, 1), (1, 1)}，再由A ⊆(M ∩N)，能求出集合A 的个数． 【解答】∵ 集合M ＝{(x, y)|y|x|}，N ＝{(x, y)|y1}， ∴ M ∩N ={(x,y)|{y =|x|y =1}={(−1, 1), (1, 1)}，∵ A ⊆(M ∩N)，∴ 集合A 的个数为22＝4．3. 已知数列{a n }满足a n+12＝a n a n+2(n ∈N ∗)，若a 3＝1，a 7＝4a 3，则a 4a 5a 6＝（ ）A.±8B.−8C.8D.16 【答案】 C【考点】等比数列的性质 【解析】由数列{a n }满足a n+12＝a n a n+2(n ∈N ∗)，得到{a n }是等比数列，推导出a 5=√a 3a 7=2，a 4a 5a 6=a 53，由此能求出结果． 【解答】∵ 数列{a n }满足a n+12＝a n a n+2(n ∈N ∗)，∴{a n}是等比数列，∴a3，a5，a7同号，∵a3＝1，a7＝4a3，∴a5=√a3a7=2，∴a4a5a6=a53=8．4. 已知圆锥曲线x22+y2cosθ=1(0<θ<π,θ≠π2)的离心率为√426，则cosθ＝（）A.−13B.13C.2√23D.−2√23【答案】A【考点】双曲线的离心率【解析】判断曲线是双曲线，利用离心率列出方程求解即可．【解答】圆锥曲线x22+y2cosθ=1(0<θ<π,θ≠π2)的离心率为√426>1，所以曲线是双曲线，可得：e2=c2a2=2−cosθ2=76，解得cosθ=−13．5. 某网店2018年全年的月收支数据如图所示，则针对2018年这一年的收支情况，说法错误的是（）A.月收入的极差为60B.7月份的利润最大C.这12个月利润的中位数与众数均为30D.这一年的总利润超过400万元【答案】D【考点】众数、中位数、平均数频率分布折线图、密度曲线【解析】根据所给的折线图逐项分析即可．【解答】由图可知月收入的极差为90−30＝60，故A正确；1至12月份的利润分别为20，30，20，10，30，30，60，40，30，30，50，30.7月份的利润最高，故B正确；易求得总利润为380万元，众数为30，中位数为30，故C正确，D错误．6. 已知命题p：“∃x0∈R，1x0+1>0”的否定是“∀x∈R,1x+1≤0”；命题q：“x<2020”的一个充分不必要条件是“x<2019”，则下列命题为真命题的是（）A.p∧qB.￢qC.p∨(￢q)D.(￢p)∧q 【答案】D【考点】复合命题及其真假判断【解析】根据条件分别判断命题p，q的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可．【解答】命题p：“∃x0∈R，1x0+1>0”的否定是“∀x∈R，1x+1<0或x+1＝0”；则命题p是假命题，命题q：“x<2020”的一个充分不必要条件是“x<2019”，为真命题，则(￢p)∧q为真命题，其余为假命题，7. 《九章算术》勾股章有一问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何？其意思是：现有正方形水池边长为1丈（一丈等于十尺），芦苇生长在水的中央，长出水面的部分为1尺，将芦苇向池岸牵引，恰巧与水岸齐接（如图所示），问水深、芦苇的长度是多少？现从静止的芦苇上任取一点，则该点取自水面以下的概率为（）A.11 12B.1213C.113D.910【答案】B【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）【解析】由题意画出图形，设芦苇长AB＝AE＝x尺，则水深AC＝(x−1)尺，求解三角形求得x 值，再由测度比是长度比得答案．【解答】依题意画出图形，设芦苇长AB＝AE＝x尺，则水深AC＝(x−1)尺，由池宽B′E＝10尺，得CE＝5尺，在RT△ACE中，由勾股定理，得52+(x−1)2＝x2，解得x＝13．即水深12尺，芦苇长13尺，∴所求的概率为P=ACAB =1213．8. 设实数a，b满足log b2<log a2<0，则a a，a b，b a的大小关系是（）A.b a>a b>a aB.b a>a a>a bC.a a>b a>a bD.a a>a b>b a【答案】B【考点】对数函数的单调性与特殊点【解析】先判断0<a<b<1，再利用指数函数、幂函数的单调性，得出结论．【解答】∵实数a，b满足log b2<log a2<0，∴0<a<b<1，∴y＝a x在R上是单调递减函数，故a a>a b，∵y＝x a在(0, +∞)上单调递增，∴b a>a a，则a a，a b，b a的大小关系为b a>a a>a b，9. 某四棱锥的三视图如图所示，其中俯视图为正方形，则该四棱锥的外接球的表面积为（）A.2πB.3πC.√32π D.4π【答案】B【考点】由三视图求体积【解析】由该棱锥的三视图判断出该棱锥的几何特征，以及相关几何量的数据，再求出该棱锥外接球的半径和体积．【解答】由该棱锥的三视图可知，该棱锥是以边长为1的正方形为底面，高为1的四棱锥，做出其直观图所示：则PD＝1，BD=√2，PD⊥面ABCD，PB=√3，所以PC即为该棱锥的外接球的直径，则R=√32，即该棱锥外接球的表面积S＝4πR2＝3π，10. 已知函数f(x)＝Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0, φ<π)的部分图象如图所示，将函数f(x)的图象向左平移π6个单位，得到函数g(x)的图象，则当x∈[0, π]时，不等式g(x)< 1的解集为（）A.[0,π4] B.(7π12,π]C.[0,π4)∪(7π12,π] D.(π4,7π12)【答案】C【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】由图象可知A，根据周期求出ω，将(7π12,2)代入求出φ的值，可得f(x)的解析式，再利用函数y＝Asin(ωx+φ)的图象变换规律，可得结论．【解答】由图象可知A＝2，周期34T=7π12−(−π6)，∴T＝π，则ω＝2，∴f(x)＝2sin(2x+φ)，图象过点(7π12,2)带入可得2sin(2×7π12+φ)＝2，∵−π<φ<π，∴φ=−2π3，∴f(x)＝2sin(2x−2π3)，f(x)的图象向左平移π6个单位，y＝2sin[2(x+π6)−2π3]＝2sin(2x−π3)，∴函数g(x)＝2sin(2x−π3)，不等式g(x)<1，即sin(2x−π3)<12，当x∈[0, π]时，则2x−π3∈[−π3, 5π3]，结合正弦函数图象可得：−π3≤2x−π3<π6或5π6<2x−π3≤5π3，解得0<x≤π4或7π12<x≤π，11. 在正方体ABCD−A1B1C1D1中，过AB作一垂直于BA的平面交平面ADD1A1于直线l，动点M在l上，则直线BM与CD1所成角的余弦值的最大值是（）A.√32B.√22C.12D.1【答案】A【考点】异面直线及其所成的角【解析】先作出异面直线直线BM与CD1所成角，再结合图象得当A1M最小时，sin∠A1BM取最小值，此时cos∠A1BM取最大值，运算即可得解．【解答】设该正方体的棱长为1，如图，易知与B1C垂直且过AB的平面即为平面ABC1D1，故直线l即为直线AD1，又CD1 // A1B，则直线CD1与直线BM所成角即为∠A1BM（或其补角），连接A1M，显然当A1M最小时，sin∠A1BM取最小值，此时cos∠A1BM取最大值，当点M为AD1的中点时，A1M最小，其值为√22，此时sinA1BM=A1MA1B=√22√2=12，即cos∠A1BM=√32，12. 对于函数：y＝f(x)与y＝g(x)，若存在x0，使f(x0)＝g(−x0)，则称M（x0, f(x0)），N（−x o, g(−x o)）是函数f(x)与g(x)图象的一对“隐对称点已知函数f(x)＝m(x+1)，(x∈R)，g(x)是定义在R上的函数，且满足g(x)+g(2−x)＝0，当：x>1时，g(x)＝x2−4x+5，若函数g(x)与g(x)的图象恰好存在五对“隐对称点”，则实数m的取值范围为若函数f(x)与g(x)的图象恰好存在两对“隐对称点”，则实数m的取值范围为（）A.(1−√2, 0) B.(2−√2, −1)C.(−∞, 2−2√2)D.(0, 2−√2)【答案】C【考点】函数与方程的综合运用【解析】利用函数f(x)与g(x)图象的一对“隐对称点”的定义，函数的对称和函数的导数解得函数切线方程的切点，由对称和数形结合可得m的范围；【解答】设y＝(x)与y＝f(x)的图象关于y轴对称，则ℎ(x)＝f(−x)＝m(1−x)＝−m(x−1)，由g(x)+g(2−x)＝0，知g(x)的图象关于点(1, 0)对称，且g(1)＝0．当：x>1时，g(x)＝x2−4x+5，若函数g(x)与g(x)的图象恰好存在五对“隐对称点”，由题意知函数ℎ(x)与g(x)的图象恰有5个交点，g(x)的图象如下图所示：设直线y ＝−m(x −1)与曲线y ＝g(x)(x >1)的切点为(x 0, y 0)， 则−m ＝g′(x 0)＝2x 0−4，∴ 切线方程为y −y 0＝(2x 0−4)(x −x 0)，即y −x 02+4x 0−5＝(2x 0−4)(x −x 0)，因为点(1, 0)在切线上，∴ −x 02+4x 0−5＝(2x 0−4)(1−x 0)，解得x 0＝1+√2，或x 0＝1−√2（舍去），此时−m ＝2(1+√2)−4＝2√2−2， 因为f(−x)，g(x)的图象均关于点(1, 0)对称，且f(−1)＝0， 结合图象可知，所以实数−m >2√2−2， 即m <2−2√2， 故选：C ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分．已知向量a →，b →的夹角为l20∘，|a →−2b →|＝2|a →|＝2，则|b →|＝________．【答案】√13−14【考点】向量的概念与向量的模 【解析】由题意利用两个向量的数量积的定义，求向量的模的方法，求得|b →|． 【解答】向量a →，b →的夹角为l20∘，|a →−2b →|＝2|a →|＝2， ∴ (a →−2b →)2=4，|a →|＝1． ∴ a →2−4a →⋅b →+4b →2=4，即 1−4⋅1⋅|b →|⋅cos120∘+4|b →|2=4， 求得|b →|=−1+√134，已知x 3(3−1x )n ,(n ∈N ∗)的展开式的系数和为16，则展开式中的常数项为________． 【答案】 −12【考点】二项式定理及相关概念 【解析】由题意利用二项式系数的性质求出n 的值，再利用二项展开式的通项公式，求得展开式中的常数项． 【解答】已知x 3(3−1x )n ,(n ∈N ∗)的展开式的系数和为2n ＝16，∴ n ＝4，则展开式中的通项公式为 T r+1=C 4r⋅34−r ⋅(−1)r ⋅x 3−r ，令r ＝3，可得常数项为−12，已知中心在原点的椭圆C 的一个焦点F 恰为圆F:x 2+y 2−10√2y =0的圆心，直线l:y ＝3x −2截C 所得弦AB 的中点的横坐标为12，则C 的短轴长为________． 【答案】 10【考点】直线与椭圆的位置关系 椭圆的应用 【解析】椭圆被直线l:y ＝3x −2截得的弦的中点横坐标为12，可得中点M( 12, −12)．设椭圆标准方程为：y 2a 2+x 2b 2=1(a >b >0)．设直线l 与椭圆相交于点A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)．利用平方差法及其a 2−b 2＝50，联立解得a 2，b 2．【解答】椭圆C 的一个焦点F 恰为圆F:x 2+y 2−10√2y =0的圆心，所以c ＝5√2，椭圆被直线l:y ＝3x −2截得的弦的中点横坐标为12，可得中点的纵坐标：3×12−2=−12，所以中点M( 12, −12)． 设椭圆标准方程为：y 2a 2+x 2b 2=1(a >b >0)．设直线l 与椭圆相交于点A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)． 则y 12a 2+x 12b 2=1，y22a 2+x 22b 2=1，相减可得：(y 1+y 2)(y 1−y 2)a 2+(x 1+x 2)(x 1−x 2)b 2=0，又y 1+y 2＝−1，x 1+x 2＝1，y 1−y 2x1−x 2=a 2b 2=3，又a 2−b 2＝50，联立解得a 2＝75，b 2＝25． ∴ 则C 的短轴长为：10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中B 为钝角，b −√3asinA =bcos2A ，点P 在线段AC 上，且2AP ＝PC ，BP ＝2，则△ABC 面积的最大值为________． 【答案】9√3【考点】 正弦定理 【解析】由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sinB ，由B 为钝角，可得B =2π3，由题意2AP →=PC →，可得3BP →=2BA →+BC →，两边平方，利用平面向量数量积的运算，基本不等式可求|BA →||BC →|≤18，进而根据三角形的面积公式即可求解． 【解答】由b −√3asinA ＝bcos2A ，可得：sinB −√3sin 2A ＝sinB(1−2sin 2A)， 可得：√3sin 2A ＝2sinBsin 2A ， 可得：sinB =√32，由B 为钝角，可得B =2π3，由2AP ＝PC ，可得2AP →=PC →，∴ 2BP →−2BA →=BC →−BP →，即3BP →=2BA →+BC →，两边平方可得9BP →2＝4BA →2+BC →2+4BA →⋅BC →，即36＝4BA →2+BC →2+4|BA →||BC →|cos∠ABC ＝4BA →2+BC →2−2|BA →||BC →|≥2√4|BA →|2|BC →2|−2|BA →||BC →|＝2|BA →||BC →|，∴ |BA →||BC →|≤18，当且仅当2|BA →|＝|BC →|时取等号， ∴ S △ABC =12BA ⋅BC ⋅sin∠ABC ≤12×18×sin2π3=9√32．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．已知正项数列{a n }满足a 1＝1，2a n 2−a n−1a n −6a n−12＝0(n ≥2，且n ∈N ∗)设b n ＝log 2a n ．（1）求b 1，b 2b 3；（2）判断数列{b n }是否为等差数列，并说明理由；（3）{b n }的通项公式，并求其前n 项和为S n ． 【答案】a 1＝1，2a n 2−a n−1a n −6a n−12＝0，a n >0， 可得(2a n +3a n−1)(a n −2a n−1)＝0， 则a n ＝2a n−1，数列{a n }为首项为1，公比为2的等比数列， 可得a n ＝2n−1；b n ＝log 2a n ＝n −1， b 1＝0，b 2b 3＝1×2＝2；数列{b n }为等差数列，理由：b n+1−b n ＝n −(n −1)＝1， 则数列{b n }为首项为0，公差为1的等差数列； b n ＝log 2a n ＝log 22n−1＝n −1， 前n 项和为S n =12n(0+n −1)=n 2−n 2．【考点】 数列递推式 数列的求和 【解析】（1）运用因式分解和等比数列的定义，可得a n ，由对数的运算性质可得所求值；（2）运用等差数列的定义，即可得到结论；（3）由对数的运算性质可得b n ，再由等差数列的求和公式，可得所求和． 【解答】a 1＝1，2a n 2−a n−1a n −6a n−12＝0，a n >0， 可得(2a n +3a n−1)(a n −2a n−1)＝0， 则a n ＝2a n−1，数列{a n }为首项为1，公比为2的等比数列， 可得a n ＝2n−1；b n ＝log 2a n ＝n −1， b 1＝0，b 2b 3＝1×2＝2；数列{b n }为等差数列，理由：b n+1−b n ＝n −(n −1)＝1， 则数列{b n }为首项为0，公差为1的等差数列； b n ＝log 2a n ＝log 22n−1＝n −1， 前n 项和为S n =12n(0+n −1)=n 2−n 2．在五边形ABCDE 中，CD // BE ，AB ＝AE =√2，BA ⊥AE ，BC ⊥CD ，BE ＝2BC ＝2CD ，现将AABE 沿着BE 折起，使得点A 到达点P 的位置，且使平面PBE ⊥平面BCDE ，记线段PE 的中点为M ．（1）求证：MD // 平面PBC ；（2）求三棱锥M −PCD 的体积． 【答案】 证明：如图，取PB 中点N ，连接MN ，CN ， 则MN 为△PBE 的中位线， ∴ MN // BE ，且MN =12BE ，又CD // BE ，BE ＝2CD ， ∴ MN // CD ，且MN ＝CD ， ∴ 四边形CDMN 为平行四边形， ∴ MD // CN ，∵ MD 平面PBC ，CN ⊂平面PBC ， ∴ MD // 平面PBC ； ∵ M 为PE 的中点，∴ 点P 、E 到平面MCD 的距离相等，∴ V M−PCD ＝V P−MCD ＝V E−MCD ＝V M−CDE ， 取BE 的中点O ，连接PO ， 则由PB ＝PE ，得OP ⊥BE ，又平面PBE ⊥平面BCDE ，平面PBE ∩平面BCDE ＝BE ， ∴ OP ⊥平面BCDE ，即OP的长为点P到平面CDE的距离，由AB＝AE=√2，AB⊥AE，得BE＝2，∴OP=12BE=1，∴点M到平面CDE的距离d=12OP=12，又S△CDE=12CD×BC=12×1×1=12，∴V M−PCD=V M−CDE=13S△CDE×d=13×12×12=112，故三棱锥M−PCD的体积为112．【考点】柱体、锥体、台体的体积计算直线与平面平行【解析】（1）取PB中点N，去证MN，CD平行且相等，得到CDMN为平行四边形，进而得到MD，NC平行，得证；（2）把求M−PCD的体积转化为求M−ECD的体积，先取BE中点O，证得PO⊥平面BCDE，以下的求解不难．【解答】证明：如图，取PB中点N，连接MN，CN，则MN为△PBE的中位线，∴MN // BE，且MN=12BE，又CD // BE，BE＝2CD，∴MN // CD，且MN＝CD，∴四边形CDMN为平行四边形，∴MD // CN，∵MD平面PBC，CN⊂平面PBC，∴MD // 平面PBC；∵M为PE的中点，∴点P、E到平面MCD的距离相等，∴V M−PCD＝V P−MCD＝V E−MCD＝V M−CDE，取BE的中点O，连接PO，则由PB＝PE，得OP⊥BE，又平面PBE⊥平面BCDE，平面PBE∩平面BCDE＝BE，∴OP⊥平面BCDE，即OP的长为点P到平面CDE的距离，由AB＝AE=√2，AB⊥AE，得BE＝2，∴OP=12BE=1，∴点M到平面CDE的距离d=12OP=12，又S△CDE=12CD×BC=12×1×1=12，∴V M−PCD=V M−CDE=13S△CDE×d=13×12×12=112，故三棱锥M−PCD的体积为112．柴静《穹顶之下》的播出，让大家对雾霾天气的危害有了更近一步的认识，对于雾霾天气的研究也渐渐活跃起来，某镇团委对春节期间该镇燃放烟花爆竹的天数x与雾霾天数y进行统计分析，得出下表数据：（1）据统计表明，x与y之间具有线性相关关系，请用相关系数r加以说明；（若|r|> 0.75，则可认为y与x有较强的线性相关关系，r精确到0.01）（2）试用最小二乘法求出y关于工的线性回归方程（系数用分数表示），并预测：当x ＝25时，y的值；（精确到个位）（3）若在春节所在的那个月内，雾霾的天数y落在区间(y−2x, y+2s)的右侧（其中s 为标准差），则认为雾霾将对该镇人们的生产、生活造成较大的影响，镇政府将根据该结果出台限制节假日燃放烟花爆竹的条例，否则将暂不采取相应措施．现巳知2019年2月该镇雾霾天数为9，问：该镇是否需要出台限制节假日燃放烟花爆竹的条例，试说明理由．附：参考数据：∑5i=1x i y i＝537，∑5i=1x i2=1519，√(∑−i=15xi25x5)(∑−i=15yi25y2)≈27.2，s=√15∑5i=1(y i−y)2≈1.4．参考公式：回归方程y ^=b ^x +a ^中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b ^=∑−i=1n xiyi nxy∑−i=1n xi 2nx 2，a ^=y −b ^x ，相关系数r =∑i=1 xiyi √(∑−i=1n xi 2nx )(∑ i=1(y i −ny )． 【答案】由题意，计算x =15×(11+15+17+20+22)＝17，y =15×(4+5+6+7+8)＝6，所以相关系数r =5i=1i i √(∑ 5i=1x i −5x 2)(∑ 5i=1y i −5y 2)=537−5×17×627.2≈0.99>0.75，所以可以认为y 与x 有较强的线性关系；由（1）知，计算b ^=∑−i=1n xiyi nxy ∑−i=1n xi 2nx 2=537−5×17×61519−5×172=2774，a ^=y −b ^x =6−2774×17=−1574，所以y 关于x 的线性回归方程为y ^=2774x −1574；当x ＝25时，y ^=2774×25−1574≈9（天）；由题意知s =√15∑ 5i=1(y i −y)2≈1.4，所以(y −2s, y +2s)＝(3.2, 8.8)； 且9>8.8，所以该镇需要出台限制节假日燃放烟花爆竹的条例．【考点】求解线性回归方程 【解析】（1）由题意计算x 、y ，求出相关系数r ，即可得出y 与x 有较强的线性关系； （2）计算回归系数，写出线性回归方程，利用方程计算x ＝25时y ^的值； （3）由题意知s 的值，再求出(y −2s, y +2s)，即可得出结论． 【解答】由题意，计算x =15×(11+15+17+20+22)＝17，y =15×(4+5+6+7+8)＝6，所以相关系数r =5i=1i i √(∑ 5i=1x i −5x 2)(∑ 5i=1y i −5y 2)=537−5×17×627.2≈0.99>0.75，所以可以认为y 与x 有较强的线性关系；由（1）知，计算b ^=∑−i=1n xiyi nxy ∑−i=1n xi 2nx2=537−5×17×61519−5×172=2774， a ^=y −b ^x =6−2774×17=−1574，所以y 关于x 的线性回归方程为y ^=2774x −1574；当x ＝25时，y ^=2774×25−1574≈9（天）；由题意知s =√15∑ 5i=1(y i −y)2≈1.4，所以(y −2s, y +2s)＝(3.2, 8.8)；且9>8.8，所以该镇需要出台限制节假日燃放烟花爆竹的条例．已知抛物线C:x 2＝2py(p >0)，过其焦点F 作斜率为1的直线交抛物线C 于两点，且线段的中点的横坐标为2．（1）求抛物线C 的标准方程；（2）过抛物线C 上非顶点的任一点M 作抛物线的切线l ′与直线y ＝−1交于点N ，问：在y 轴上是否存在定点P ，使得MP →⋅(MP →−MN →)=0？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】设A ，B 两点坐标为(x A , y A )，(x B , y B )，AB 的中点横坐标为x 0＝2，即x A 2＝2py A ，x A 2＝2py A ，两式相减得(x A +x B )(x A −x B )＝2p(y A −y B )，所以k AB =y A −yBx A−x B=x A +x B 2p=x 0p=1，所以p ＝2，即抛物线的方程为x 2＝4y ．设M(x 0, y 0)，则x 02＝2py 0， 由y =x 24，求导y′=x2，所以直线l′的方程为y −y 0=x 02(x −x 0)，令y ＝−1，得x =x 02−42x 0，则N(x 02−42x 0, −1)，假设存在点P ，使得MP →⋅(MP →−MN →)=0，即MP →⋅NP →=0，设P(0, t)，因此x 02−42x×x 0+(x 024−t)(−1−t)=0， 即(1−t)(x 024−t −2)=0，所以t ＝1，即存在定点P(0, 1)，使得MP →⋅(MP →−MN →)=0．【考点】直线与抛物线的位置关系 【解析】（1）利用点差法即可求得p 的值，求得抛物线方程；（2）利用导数求得M 的切线方程斜率及切线方程，求得N 点坐标，根据向量的坐标运算，求得P 点坐标． 【解答】设A ，B 两点坐标为(x A , y A )，(x B , y B )，AB 的中点横坐标为x 0＝2，即x A 2＝2py A ，x A 2＝2py A ，两式相减得(x A +x B )(x A −x B )＝2p(y A −y B )，所以k AB =y A −yBx A−x B=x A +x B 2p=x 0p=1，所以p ＝2，即抛物线的方程为x 2＝4y ．设M(x 0, y 0)，则x 02＝2py 0， 由y =x 24，求导y′=x2，所以直线l′的方程为y −y 0=x 02(x −x 0)，令y ＝−1，得x =x 02−42x 0，则N(x 02−42x 0, −1)，假设存在点P ，使得MP →⋅(MP →−MN →)=0，即MP →⋅NP →=0，设P(0, t)，因此x 02−42x×x 0+(x 024−t)(−1−t)=0， 即(1−t)(x 024−t −2)=0，所以t ＝1，即存在定点P(0, 1)，使得MP →⋅(MP →−MN →)=0．已知函数f(x)＝1−axlnx −ax(a ≠0)． （1）试讨论f(x)的单调性与极值；（2）当f(x)>0时，设函数g(x)＝x 2−3x +3+xlnx ，若∀x 1∈(0, +∞)，∀x 2∈(0, +∞)，使不等式g(x 1)+f(x 2)≥4成立，求实数a 的取值范围． 【答案】函数f(x)＝1−axlnx −ax(a ≠0)，x ∈(0, +∞)． f′(x)＝−a(lnx +2)．①当a <0时，可得：x ∈(0, 1e 2)，f′(x)<0，此时函数f(x)单调递减； x ∈(1e 2, +∞)，f′(x)<0，此时函数f(x)单调递增． ∴ x =1e 2时，函数f(x)取得极小值，f(1e 2)＝1+ae ．②当a >0时，可得：x ∈(0, 1e 2)，f′(x)>0，此时函数f(x)单调递增； x ∈(1e 2, +∞)，f′(x)<0，此时函数f(x)单调递减． ∴ x =1e 2时，函数f(x)取得极大值，f(1e 2)＝1+ae 2． 由题意可知：g(x)min −4≥[−f(x)]max ＝−f(x)min ． 由（1）可知：a >0时，−f(x)min ＝−f(1e 2)＝−1−ae 2．由g(x)＝x 2−3x +3+xlnx ，x ∈(0, +∞)． g′(x)＝2x −2+lnx ．则g(x)在x ∈(0, +∞)上单调递增．又g′(1)＝0，∴ 函数g(x)在(0, 1)上单调递减，在(1, +∞)上单调递增． ∴ x ＝1时，函数g(x)取得极小值即最小值，g(1)＝1． ∴ −3≥−1−ae 2，解得a ≥2e 2． ∴ 实数a 的取值范围是[2e 2, +∞)． 【考点】利用导数研究函数的极值 利用导数研究函数的单调性 【解析】（1）函数f(x)＝1−axlnx −ax(a ≠0)，x ∈(0, +∞)．f′(x)＝−a(lnx +2)．对a 分类讨论即可得出单调性．（2）由题意可知：g(x)min −4≥[−f(x)]max ＝−f(x)min ．由（1）可知：a >0时，−f(x)min ＝−f(1e 2)．由g(x)＝x 2−3x +3+xlnx ，x ∈(0, +∞)．利用导数研究其单调性即可得出极小值，进而得出结论． 【解答】函数f(x)＝1−axlnx −ax(a ≠0)，x ∈(0, +∞)． f′(x)＝−a(lnx +2)．①当a <0时，可得：x ∈(0, 1e 2)，f′(x)<0，此时函数f(x)单调递减； x ∈(1e 2, +∞)，f′(x)<0，此时函数f(x)单调递增．∴ x =1e 2时，函数f(x)取得极小值，f(1e 2)＝1+ae 2．②当a >0时，可得：x ∈(0, 1e 2)，f′(x)>0，此时函数f(x)单调递增； x ∈(1e 2, +∞)，f′(x)<0，此时函数f(x)单调递减． ∴ x =1e 2时，函数f(x)取得极大值，f(1e 2)＝1+ae ． 由题意可知：g(x)min −4≥[−f(x)]max ＝−f(x)min ． 由（1）可知：a >0时，−f(x)min ＝−f(1e 2)＝−1−ae 2．由g(x)＝x 2−3x +3+xlnx ，x ∈(0, +∞)． g′(x)＝2x −2+lnx ．则g(x)在x ∈(0, +∞)上单调递增．又g′(1)＝0，∴ 函数g(x)在(0, 1)上单调递减，在(1, +∞)上单调递增． ∴ x ＝1时，函数g(x)取得极小值即最小值，g(1)＝1． ∴ −3≥−1−ae 2，解得a ≥2e 2．∴ 实数a 的取值范围是[2e 2, +∞)．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4一4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =−√22t +1,y =√22t （t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝2√2cos(θ+π4)．（1）求直线l 的普通方程与圆C 在直角坐标系下的标准方程；（2）设圆C 与直线l 交于两点，若P 点的直角坐标为(1, 0)，求PA 2+PB 2的值． 【答案】由{x =−√22t +1,y =√22t（t 为参数），消去参数t ，得直线l 的普通方程为x +y −1＝0．由ρ＝2√2cos(θ+π4)，得ρ2＝2ρcosθ−2ρsinθ，∴ x 2+y 2−2x +2y ＝0，即圆C 在直角坐标系下的标准方程为(x −1)2+(y +1)2＝2； 点P(1, 0)在直线l 上且在圆C 内，将直线l 的参数方程代入x 2+y 2−2x +2y ＝0， 得t 2+√2t −1=0．设A ，B 所对应的参数分别为t 1，t 2， 则t 1+t 2=−√2，t 1t 2＝−1．∴ |PA|+|PB|＝|t 1−t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=√6，|PA||PB|＝|t 1t 2|＝1． ∴ PA 2+PB 2＝(|PA|+|PB|)2−2|PA||PB|＝6−2＝4． 【考点】圆的极坐标方程参数方程与普通方程的互化 【解析】（1）直接把直线参数方程中的参数t 消去，可得直线的普通方程，把ρ＝2√2cos(θ+π4)右边展开两角和的余弦，结合极坐标与直角坐标的互化可得曲线C 的直角坐标方程；（2）将直线l 的参数方程代入x 2+y 2−2x +2y ＝0，得到关于t 的一元二次方程，再由根与系数的关系及此时t 的几何意义求解． 【解答】由{x =−√22t +1,y =√22t（t 为参数），消去参数t ，得直线l 的普通方程为x +y −1＝0．由ρ＝2√2cos(θ+π4)，得ρ2＝2ρcosθ−2ρsinθ，∴ x 2+y 2−2x +2y ＝0，即圆C 在直角坐标系下的标准方程为(x −1)2+(y +1)2＝2； 点P(1, 0)在直线l 上且在圆C 内，将直线l 的参数方程代入x 2+y 2−2x +2y ＝0， 得t 2+√2t −1=0．设A ，B 所对应的参数分别为t 1，t 2， 则t 1+t 2=−√2，t 1t 2＝−1．∴ |PA|+|PB|＝|t 1−t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=√6，|PA||PB|＝|t 1t 2|＝1． ∴ PA 2+PB 2＝(|PA|+|PB|)2−2|PA||PB|＝6−2＝4． [选修4一5：不等式选讲]已知函数f(x)＝|2x +1|−2|x −3|． （1）解不等式f(x)<6；（2）已知a ，b ，c 都是正数，记f(x)的最大值为t ，若a +b +2c ＝t ，求证：1a+c +1b+c≥47． 【答案】f(x)＝|2x +1|−2|x −3|={7,x >34x −5,−12≤x ≤3−7,x <−12 ． ∵ f(x)<6，∴ {−12≤x ≤34x −5<6或x <−12，∴ x <114，∴ 不等式的解集为{x|x <114}；由（1）知，当x ≥3时，f(x)的最大值为t ＝7， ∴ a +b +2c ＝t ＝7．∴ 1a+c +1b+c =17[(a +c)+(b +c)]⋅(1a+c +1b+c ) =17(2+b +c a +c +a +c b +c )≥17[2+2√b +c a +c ⋅a +c b +c ] =47，当且仅当a ＝b 时取等号， ∴ 1a+c +1b+c ≥47．【考点】绝对值不等式的解法与证明 【解析】（1）将f(x)写为分段函数的形式，根据f(x)<6，然后分别解不等式即可； （2）由（1）可得a +b +2c ＝t ＝7，然后根据1a+c +1b+c =17[(a +c)+(b +c)]⋅(1a+c +1b+c )利用基本不等式求出最小值即可得证． 【解答】f(x)＝|2x +1|−2|x −3|={7,x >34x −5,−12≤x ≤3−7,x <−12． ∵ f(x)<6，∴ {−12≤x ≤34x −5<6或x <−12，∴ x <114，∴ 不等式的解集为{x|x <114}；由（1）知，当x ≥3时，f(x)的最大值为t ＝7， ∴ a +b +2c ＝t ＝7．∴ 1a+c +1b+c =17[(a +c)+(b +c)]⋅(1a+c +1b+c ) =17(2+b +c a +c +a +c b +c )≥17[2+2√b +c a +c ⋅a +c b +c]=47，当且仅当a＝b时取等号，∴1a+c +1b+c≥47．。

普通高等学校招生全国统一考试模拟试卷（一）文科数学本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

第I卷1至2页。

第Ⅱ卷3至4页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。

请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无．．．．．．．．效．。

3．第I卷共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

一、选择题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题列出的4个选项中，选出符合题目要求的一项。

1、设集合M＝{x|x2－2x<0}，N＝{x|y＝lg(4－x2)}，则()A．M∪N＝M B．(∁R M)∩N＝R C．(∁R M)∩N＝∅D．M∩N ＝M2、若θ∈(3π4，5π4)，则复数(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i 在复平面内所对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3、某流程如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是( )A ．f (x )＝x 2B ．f (x )＝1x C ．f (x )＝ln x ＋2x －6D ．f (x )＝sin x4、函数y ＝lg|x |x的图象大致是 ( )5、、等比数列{a n }中，T n 表示前n 项的积，若T 5＝1，则 ( )A ．a 1＝1B ．a 3＝1C ．a 4＝1D ．a 5＝16、已知f (x )＝sin x ＋3cos x (x ∈R )，函数y ＝f (x ＋φ)的图象关于直线x ＝0对称，则φ的值可以是 ( )A.π2B.π3C.π4D.π67、若|a |＝1，|b |＝2，且a ⊥(a －b )，则向量a ，b 的夹角为 ( )A ．45°B ．60°C ．120°D ．135°8、设不等式组⎩⎨⎧≤≤≤≤20,20y x ，表示平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是 ( )（A ）4π（B ）22π- （C ）6π（D ）44π- 9、在△ABC 中，∠BAC ＝60°，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为边BC 的三等分点，则AE →·AF →＝( ) ． A.53B.54C.109D.15810若曲线C 1：x 2＋y 2－2x ＝0与曲线C 2：y (y －mx －m )＝0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是 ( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，33C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞ 11、设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线Γ上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则曲线Γ的离心率等于( )A .12或32B .23或2C .12或2D .23或3212、已知函数f (x )＝x 3＋2bx 2＋cx ＋1有两个极值点x 1，x 2，且x 1∈[－2，－1]，x 2∈[1,2]，则f (－1)的取值范围是( )． A.⎣⎡⎦⎤－32，3B.⎣⎡⎦⎤32，6 C ．[3,12]D.⎣⎡⎦⎤－32，12第Ⅱ卷注意事项：1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码。

2019年高三第一次模拟考试数学含答案本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填在试题卷和答题纸指定位置上。

2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。

3. 填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题纸上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、已知集合，，若，则（ ）Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ. 2、已知，则（ ）Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ. 3、已知函数，则下列结论正确的是（ ） Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.4、设，则“”是“”的（ ）Ａ. 充分不必要条件 Ｂ. 必要不充分条件 Ｃ. 充要条件 Ｄ. 既不充分也不必要条件 5、若，，则（ ）Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.6、等差数列中，则310122log (2222)aaaa⋅⋅⋅⋅=…（ ） Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.7、在不等式组00x y x y y a -≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩确定的平面区域中，若的最大值为，则的值为（ ）Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ. 8、若，则（ ）Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.9、小王从甲地到乙地往返的时速分别为，其全程的平均时速为，则（ ） Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.10、已知关于的方程的解集为，则中所有元素的和可能是（ ） Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.11、已知点是直线上的动点，点为圆上的动点，则的最小值为（ ） Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.12、已知定点，是圆上的任意一点，点关于点的对称点为，线段的中垂线与直线相交于点，则点的轨迹是（ ）Ａ. 椭圆 Ｂ. 双曲线 Ｃ. 抛物线 Ｄ. 圆第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13、已知满足，则 。

14、已知递增的等差数列满足，则 。

15、设是线段的中点，点在直线外，，，则 。

2019-2020年高三下学期一模考试数学（文）试题含解析一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.设集合0,1{}A =，集合{|}B x x a =>，若AB =∅，则实数a 的范围是（ ）（A ）1a ≤ （B ）1a ≥ （C ）0a ≥ （D ）0a ≤ 【答案】B 【解析】 试题分析：因为AB =∅，所以0{|}x x a ∉>，且1{|}x x a ∉>，即0a ≥且1a ≥，从而1a ≥，选B.考点：集合的运算.2.复数z 满足i 3i z ⋅=-，则在复平面内，复数z 对应的点位于（ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 【答案】C 【解析】试题分析：由i 3i z ⋅=-得3i13iz i -==--，对应点为(1,3)--，位于第三象限，选C. 考点：复数运算3.关于函数3()log ()f x x =-和()3x g x -=，下列说法中正确的是（ ）（A ）都是奇函数 （B ）都是偶函数 （C ）函数()f x 的值域为R （D ）函数()g x 的值域为R 【答案】C 【解析】试题分析：3()log ()f x x =-的定义域为(0)-∞，，所以()f x 为非奇非偶函数，()f x 在定义域上为单调减函数，值域为R ；()3x g x -=的定义域为(+)-∞∞，，且()3(),x g x g x -=≠±，所以()g x 为非奇非偶函数，()g x 在定义域上为单调减函数，值域为(0,).+∞；因此选C.考点：函数性质4.执行如图所示的程序框图，若输入的x 的值为3，则输出的n 的值为______.（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7【答案】B 【解析】试题分析：第一次循环：9,2;x n ==第二次循环：27,3;x n ==第三次循环：81,4;x n ==第四次循环：243100,5;x n =>=结束循环，输出5,n =选B. 考点：循环结构流程图5.设,P Q 分别为直线0x y -=和圆22(6)2x y +-=上的点，则||PQ 的最小值为（ ） （A） （B）（C）（D ）4 【答案】A 【解析】试题分析：设圆心为C ，直线:0l x y -=，则||||C l PQ PC r d r -≥-≥-==以选A.考点：直线与圆位置关系6.设函数()f x 的定义域为R ，则“x ∀∈R ，(1)()f x f x +>”是“函数()f x 为增函数”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】试题分析：由增函数定义知：若函数()f x 为增函数，则x ∀∈R ，(1)()f x f x +>，必要性成立；反之充分性不成立，如非单调函数()=[x]f x （取整函数），满足x ∀∈R ，(1)()f x f x +>，所以选B. 考点：充要关系7.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的是（ ） （A ）7 （B ）152 （C ）233 （D ）476【答案】D 【解析】试题分析：几何体为一个正方体截去一个角（三棱锥），所以体积为321147211326-⨯⨯⨯=，选D.考点：三视图8.已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰与4枝康乃馨的价格之和小于20元，那么2枝玫瑰和3枝康乃馨的价格的比较结果是（ ）（A ）2枝玫瑰的价格高 （B ）3枝康乃馨的价格高 （C ）价格相同 （D ）不确定 【答案】A 【解析】试题分析：设1枝玫瑰与1枝康乃馨的价格分别为,x y 元，则6324,442028,5x y x y x y x y +>+<⇒+>+< ，因此侧(左)视图 正(主)视图 俯视图235(2)8()58850x y x y x y -=+-+>⨯-⨯=，因此2枝玫瑰的价格高，选A.考点：不等式比较大小第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9.已知平面向量,a b 满足(1,1)=-a ，()()+⊥-a b a b ，那么|b |= ____.【解析】试题分析：22()()()()0||+⊥-⇒+⋅-=⇒=⇒=a b a b a b a b a b b |a 考点：向量运算10.函数22()sin cos f x x x =-的最小正周期是____. 【答案】π 【解析】试题分析：因为22()sin cos cos2f x x x x =-=-，所以其最小正周期是2=π.2π考点：三角函数周期11.在区间[2,1]-上随机取一个实数x ，则x 使不等式1|1|x -≤成立的概率为____. 【答案】13【解析】试题分析：102|1|x x ⇒≤≤-≤，又[2,1]x ∈-，所以[0,1]x ∈，因为测度为长度，所以所求概率为101.1(2)3-=--考点：几何概型概率12.已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点是抛物线28y x =的焦点，且双曲线 C 的离心率为2，那么双曲线C 的方程为____；渐近线方程是____.【答案】2213y x -=,y =【解析】试题分析：抛物线28y x =的焦点为(2,0)，所以2c =，又双曲线 C 的离心率为2，所以1,a b =因此双曲线C 的方程为2213y x -=，渐近线方程是2203y x -=，即y =考点：双曲线方程及渐近线13.设函数20,1,()4,0.x x x f x x x x -⎧+>⎪=⎨⎪-<⎩则[(1)]f f -=____；函数()f x 的极小值是____. 【答案】103,2 【解析】试题分析：110[(1)](14)(3)333f f f f -=-+==+=，当0x >时，211()()1f x x f x x x'=+=-，，，由()0f x '=得1x =，（负值舍去），因此当0,1)(x ∈时，()0f x '<；当1,)(x +∞∈时，()0f x '>；从而函数()f x 在1x =取极小值为2；当0x <时，2()4x f x x -=-，，因此当2,0)(x ∈-时，()f x 单调递减；当(,2)x ∈-∞-时，()f x 单调递增；从而函数()f x 在2x =-取极大值为4； 从而函数()f x 的极小值是2 考点：分段函数求值，函数极值14.某赛事组委会要为获奖者定做某工艺品作为奖品，其中一等奖奖品3件，二等奖奖品6件.制作一等奖和二等奖奖品所用原料完全相同，但工艺不同，故价格有所差异. 现有甲、乙两家工厂可以制作奖品（一等奖、二等奖奖品均符合要求)，甲厂收费便宜，但原料有限，最多只能制作4件奖品，乙厂原料充足，但收费较贵，其具体收费情况如下表：则组委会定做该工艺品的费用总和最低为 元. 【答案】4900 【解析】试题分析：设在甲厂做一等奖奖品x 件，二等奖奖品y 件，则[0,3],[0,6],4,,x y x y x y N ∈∈+≤∈,组委会定做该工艺品的费用总和为500400800(3)600(6)100(6032)z x y x y x y =++-+-=--，可行域为一个直角梯形OABC 内整数点（包含边界）,其中(0,0),(3,0),(3,1),(0,4).O A B C 当直线100(6032)z x y =--过点(3,1)B 时费用总和取最小值：4900考点：线性规划求最值三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.（本小题满分13分）如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，且4AD DC =.（Ⅰ）求BD 的长； （Ⅱ）求sin CBD ∠的值.【答案】（Ⅰ）5104=BD（Ⅱ）sin CDB ∠=【解析】试题分析：（Ⅰ）在直角三角形ABC 中，易得5=AC ，从而有1=DC ，在BCD ∆中，由余弦定理，可得2222cos BD BC CD BC CD C =+-⋅223323123155=+-⨯⨯⨯=，即5104=BD （Ⅱ）在BCD ∆中，由正弦定理，得sin sin CD BD CBD C =∠，所以sin 10CDB ∠=. 试题解析：（Ⅰ）解：因为 90=∠ABC ，4=AB ，3=BC ， 所以3cos 5C =，4sin 5C =，5=AC ， ..................... 3分 又因为DC AD 4=，所以4=AD ，1=DC . (4)分在BCD ∆中，由余弦定理，得2222cos BD BC CD BC CD C =+-⋅ ………………… 7分B CAD223323123155=+-⨯⨯⨯=，所以 5104=BD . (9)分（Ⅱ）在BCD ∆中，由正弦定理，得sin sin CD BDCBD C=∠，所以154sin 5CBD=∠， ………………… 12分所以sin CDB ∠=………………… 13分 考点：正余弦定理 16.（本小题满分13分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足32a =，57S a =． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a 及n S ；（Ⅱ）若444,,m n a a a ++（*,m n ∈N ）成等比数列，求n 的最小值． 【答案】（Ⅰ）24n a n =-,23n S n n =-（Ⅱ）6． 【解析】试题分析：（Ⅰ）求等差数列{}n a 的通项公式，一般利用待定系数法，即设公差为d ，则可得方程组11122,15546,2a d a d a d +=⎧⎪⎨+⨯⨯=+⎪⎩解得12a =-，2d =，所以2(1)224n a n n =-+-⨯=-，212(1)232n S n n n n n =-+-⨯=-（Ⅱ）因为444,,m n a a a ++成等比数列，可得等量关系2(24)4(24)m n +=+，可看做二次函数21(2)22n m =+-，根据对称轴及正整数限制条件可得当2m =时，n 有最小值6． 试题解析：（Ⅰ）解：设公差为d ，由题意，得11122,15546,2a d a d a d +=⎧⎪⎨+⨯⨯=+⎪⎩ ………………… 4分 解得12a =-，2d =，…………………5分所以2(1)224n a n n =-+-⨯=-， ………………… 6分212(1)232n S n n n n n =-+-⨯=-． ………………… 7分（Ⅱ）解：因为444,,m n a a a ++成等比数列，所以2444m n a a a ++=， ………………… 9分即2(24)4(24)m n +=+， ………………… 10分化简，得21(2)22n m =+-， ………………… 11分考察函数21()(2)22f x x =+-，知()f x 在(0,)+∞上单调递增，又因为5(1)2f =，(2)6f =，*n ∈N ，所以当2m =时，n 有最小值6． ………………… 13分 考点：等差数列的通项及和项 17.（本小题满分14分）如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为正方形，//EF AD ， 平面ADEF ⊥平面ABCD ，且2BC EF =,AE AF =，点G 是EF 的中点. （Ⅰ）证明：AG ⊥CD ； （Ⅱ）若点M 在线段AC 上，且13AM MC=，求证：GM //平面ABF ；（Ⅲ）已知空间中有一点O 到,,,,A B C D G 五点的距离相等，请指出点O 的位置. (只需写出结论)FCA DBG EFCADBG EMN【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）点O 为线段GC 的中点. 【解析】试题分析：（Ⅰ）由面面垂直性质定理，可得线面垂直：AG ⊥平面ABCD ，再由线面垂直性质定理可得AG ⊥CD .注意写全定理条件（Ⅱ）证明线面平行，一般利用其判定定理，即从线线平行出发，利用平几知识，可过点M 作MN //BC ，且交AB 于点N ，从而可推出GF //MN ，GF MN =.即四边形GFNM 是平行四边形. 所以 //GM FN .（Ⅲ）利用直角三角形斜边中线等于斜边一半，可找出满足条件的点O 为GC 的中点. 试题解析：（Ⅰ）证明：因为AE AF =，点G是EF 的中点，所以 AG EF ⊥. …………………1分 又因为 //EF AD ，所以 AG AD ⊥.…………………2分因为平面ADEF ⊥平面ABCD ，且平面ADEF 平面ABCD AD =，AG ⊂平面ADEF ，所以 AG ⊥平面ABCD . …………………4分 因为 CD ⊂平面ABCD ，所以 AG ⊥CD . …………………5分 （Ⅱ）证明：如图，过点M 作MN //BC ，且交AB 于点N ，连结NF ， 因为13AM MC=，所以14MN AM BCAC==， …………………6分因为 2BC EF =，点G 是EF 的中点， 所以 4BC GF =，又因为 //EF AD ，四边形ABCD 为正方形， 所以 GF //MN ，GF MN =. 所以四边形GFNM 是平行四边形.所以 //GM FN . ……………8分 又因为GM ⊄平面ABF ，FN ⊂平面ABF ，所以 GM //平面ABF . …………………11分 （Ⅲ）解：点O 为线段GC 的中点. …………………14分考点：面面垂直性质定理，线面平行判定定理 18.（本小题满分13分）2014年12月28日开始，北京市公共电汽车和地铁按照里程分段计价. 具体如下表.（不考虑公交卡折扣情况）已知在北京地铁四号线上，任意一站到陶然亭站的票价不超过5元，现从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中随机选出120人，他们乘坐地铁的票价统计如图所示．（Ⅰ）如果从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中任选1人，试估计此人乘坐地铁的票价小于5元的概率；（Ⅱ）已知选出的120人中有6名学生，且这6人乘坐地铁的票价情形恰好与按票价．．．从．这．120人中．．分层．．抽样．．所选的结果相同，现从这6人中随机选出2人，求这2人的票价和恰好为8元的概率；（Ⅲ）小李乘坐地铁从A 地到陶然亭的票价是5元，返程时，小李乘坐某路公共电汽车所花交通费也是5元，假设小李往返过程中乘坐地铁和公共电汽车的路程均为s 公里，试写出s 的取值范围．(只需写出结论)【答案】（Ⅰ）56（Ⅱ）415（Ⅲ）(20,22]s ∈【解析】试题分析：（Ⅰ）由票价统计图知120人中票价为3元、4元、5元的人数分别为60，40，20（人），所以票价小于5元的有6040100+=（人）．从而根据古典概型概率计算得56（Ⅱ）先根据分层抽样，确定6名学生中票价为3元、4元、5元的人数分别为3，2，1（人）.再根据枚举法列出基本事件，最后确定2人的票价和恰好为8元基本事件包含数，求出其概率（Ⅲ）由题意得乘坐地铁12公里至22公里（含）5元，所以(12,22]s ∈,乘公共电汽车10公里（含）内2元；10公里以上部分，每增加1元可乘坐5公里（含）.因此5元乘公里数必大于10+52=20⨯，所以(20,22]s ∈试题解析：（Ⅰ）解：记事件A 为“此人乘坐地铁的票价小于5元”， …………………1分由统计图可知，得120人中票价为3元、4元、5元的人数分别为60，40，20（人）. 所以票价小于5元的有6040100+=（人）． …………………2分故120人中票价小于5元的频率是10051206=． 所以估计此人乘坐地铁的票价小于5元的概率5()=6P A ． …………………4分（Ⅱ）解：记事件B 为“这2人的票价和恰好为8元”， …………………5分 由统计图，得120人中票价为3元、4元、5元的人数比为60:40:203:2:1=，则6名学生中票价为3元、4元、5元的人数分别为3，2，1（人）. …………6分 记票价为3元的同学为,,a b c ，票价为4元的同学为,d e ，票价为5元的同学为f ， 从这6人中随机选出2人，所有可能的选出结果共有15种，它们是：(,),(,)c a b a ， (,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)d e f c d e f d e f e a a a b b b b c c c d , (,),(,)f f d e . …………………8分 其中事件B 的结果有4种，它们是： (,),(,),(,),(,)f f f e a b c d . …………9分 所以这2人的票价和恰好为8元的概率为4()15P B =. ………………… 10分（Ⅲ）解：(20,22]s ∈． …………………13分 考点：古典概型概率，分层抽样 19.（本小题满分14分）设点F 为椭圆2222 1(0)x y E a b a b+=>>：的右焦点，点3(1,)2P 在椭圆E 上，已知椭圆E 的离心率为12.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设过右焦点F 的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，记ABP ∆三条边所在直线的斜率的乘积为t ，求t 的最大值.【答案】（Ⅰ）22143x y +=（Ⅱ）964【解析】试题分析：（Ⅰ）求椭圆标准方程，一般需列出两个独立条件：21=a c 及点)23,1(P 在椭圆上，解方程组得椭圆方程为 22143x y +=. （Ⅱ）由题意得需根据直线l 斜率表示ABP ∆三条边所在直线的斜率的乘积，由直线与椭圆联立方程组解得2221438k k x x +=+，212241234k x x k -=+，从而PA PB t k k k =⨯⨯1212332211y y k x x --=⨯⨯--12121233[(1)][(1)]22()1k x k x k x x x x --⨯--=⨯-++122121239(2)24[]()1k x x k k x x x x -+-+=+⨯-++233()44k k k k =--⨯=--，再根据二次函数求出其最大值.试题解析：（Ⅰ）解：设22b ac -=，由题意，得21=a c ，所以 2a c =，b =. …………………2分则椭圆方程为 2222143x y c c+=，又点)23,1(P 在椭圆上， 所以2213144c c+=，解得21c =， 故椭圆方程为 22143x y +=. ………………… 5分（Ⅱ）解：由题意，直线l 的斜率存在，右焦点(1,0)F ， ………………… 6分 设直线l 的方程为(1)y k x =-，与椭圆的交点A(x1，y1)，B(x2，y2)， ……… 7分由 22(1),1,43y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y ，得 2222(34)84120k x k x k +-+-=. ………………… 8分由题意，可知0>∆，则有 2221438kk x x +=+，212241234k x x k -=+， ………… 9分 所以直线PA 的斜率11321PAy k x -=-，直线PB 的斜率22321PB y k x -=-， …………… 10分 所以PA PB t k k k =⨯⨯1212332211y y k x x --=⨯⨯--12121233[(1)][(1)]22()1k x k x k x x x x --⨯--=⨯-++2121212121239[()1](2)24()1k x x x x k x x k x x x x -++-+-+=⨯-++122121239(2)24[]()1k x x k k x x x x -+-+=+⨯-++233()44k k k k =--⨯=--. ………………… 12分 即 22339()4864t k k k =--=-++，所以当38k =-时，ABP ∆三条边所在直线的斜率的乘积t 有最大值964. ………14分考点：椭圆方程，直线与椭圆位置关系 20.（本小题满分13分）设*n ∈N ，函数ln ()n x f x x =，函数e ()xn g x x=，(0,)x ∈+∞.（Ⅰ）判断函数()f x 在区间(0,)+∞上是否为单调函数，并说明理由；（Ⅱ）若当1n =时，对任意的12,(0,)x x ∈+∞， 都有12()()g x f x t ≤≤成立，求实数t 的取值范围；（Ⅲ）当2n >时，若存在直线l y t =：（t ∈R ），使得曲线()y f x =与曲线()y g x =分别位于直线l 的两侧，写出n 的所有可能取值. (只需写出结论) 【答案】（Ⅰ）不是单调函数（Ⅱ）1e et ≤≤（Ⅲ）{3,4} 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据导数研究函数单调性，先求导数：11ln ()n n xf x x +-'=，再求导函数零点1e nx =，列表分析得函数()f x 在区间1(0,e )n上为单调递增，区间1(e ,)n+∞上为单调递减.即函数()f x 在区间(0,)+∞上不是单调函数. （Ⅱ）先转化条件为：当(0,)x ∈+∞时，max min ()()g f x t x ≤≤，因此求实数t 的取值范围，就是分别求max min ()()g f x x ，，这可利用导数求函数最值（Ⅲ）由题意得：直线l 为曲线()y f x =与曲线()y g x =分割线，由（Ⅱ）得1()()ng f e n ≤，因此n 的所有可能取值为{3,4}试题解析：（Ⅰ）解：结论：函数()f x 在区间(0,)+∞上不是单调函数. …………………1分 求导，得 11ln ()n n xf x x +-'=， …………………2分 令 ()0f x '=，解得1e n x =.当x 变化时，()f x '与()f x 的变化如下表所示：所以函数()f x 在区间1(0,e )n上为单调递增，区间1(e ,)n+∞上为单调递减. 所以函数()f x 在区间(0,)+∞上不是单调函数. …………………4分（Ⅱ）解：当1n =时，函数ln ()x f x x =，e ()xg x x=，0x >.由题意，若对任意的12,(0,)x x ∈+∞， 都有12()()g x f x t ≤≤恒成立，只需当(0,)x ∈+∞时，max min ()()g f x t x ≤≤. …………………5分 因为 21ln ()xf x x-'=. 令()0f x '=，解得e x =.当x 变化时，()f x '与()f x 的变化如下表所示：所以max ()(e)ef x f ==. …………………7分 又因为2e (1)()x x g x x-'=. 令 ()0g x '=，解得1x =.当x 变化时，()g x '与()g x 的变化如下表所示：所以min ()(1)e g x g ==. …………………9分 综上所述，得1e et ≤≤. …………………10分 （Ⅲ）解：满足条件的n 的取值集合为{3,4}. …………………13分 考点：利用导数研究函数单调性，利用导数研究函数最值。

360n =注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡上。

2．考生作答时，选择题、填空题、解答题均须做在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题。

3．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并收回。

4．本试题卷共4页，如有缺页，考生须声明，否则后果自负。

怀化市中小学课程改革教育质量监测试卷2019年高三第一次模考 文科数学命题人：湖天中学 梁牡娟 审题人：刘春锦、张庭贤、谭娜、张理科 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分. 时量：120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共计60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填涂在答题卡上。

1.已知复数311Z i i=++（i 为虚数单位），则复数Z 的模为 A ．2 B ．410C ．210D ．1-2.下列命题正确的是 A ．“2-<x ”是“0232>++x x ”的必要不充分条件.B ．对于命题R x p ∈∃0:，使得01020<-+x x ，则:p x R ⌝∀∈，均有210x x +-≥.C ．命题“若2320x x -+=，则2x =”的否命题为若2320x x -+=，则2x ≠.D ．若p q ∧为假命题，则,p q 均为假命题.3.已知全集R U =，集合1|22xA x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，{}3|log 1B x x =<，则()U A C B 为A.(1,)-+∞B.[3,)+∞C.(1,0)(3,)-+∞D.(1,0][3,)-+∞4.已知函数x x x f cos sin )(-=，把函数()f x 的图象上每个点的横坐标扩大到原来的2倍，再向右平移3π，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的一条对称轴方程为A ．6x π=B ．4x π=C ．3x π= D ．116x π=5.某几何体的三视图如图，它的侧视图与正视 图相同，则它的体积为 A ．3242π+B ．3284π+C ．3282π+D ．3244π+6. 等腰直角三角形ABC 中， 90=∠C ，2==BC AC ，点P 是ABC ∆斜边上任意一点，则线段CP 的长度不大于3的概率是A ．22 B ．42 C ．21 D ．467.公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时， 多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”.利用“割圆术”刘徽得 到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”.如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n 的值为 （参考数据：sin150.2588=，sin 7.50.1305=）A ．16 B.20 C.24 D.488.已知圆C ：()()22122x y -+-=与y 轴在第二象限所围区域的面积为S ，直线3y x b =+分圆C 的内部为两部分，其中一部分的面积也为S ，则b 的值为A.101±-B.101+C.101--D.101±9.正项等比数列{}n a 中，存在两项m a 、n a 12a =，且6542a a a =+，则14mn+的最小值 是 A ．23 B ．2 C ．37 D ．49 10.设函数⎩⎨⎧>≤++=0,ln 0,)(2x x x c bx x x f ,若(4)(0)f f -=，(2)2f -=-，则关于x 的方程()f x x =的根的个数为A.1B.2C.3D.411.过双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左焦点()(),00F c c ->作圆：2229a x y +=的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，O 为坐标原点，若()12OE OF OP =+，则双曲线的离心率为3 C.2 D.10212.已知函数)(x f 的定义域为R ，对任意12x x <，有1212()()1f x f x x x ->--，且(1)1f =，则不等式|13|log 2|)13|(log 22--<-x x f 的解集为A.(,1)-∞B.(1,0)(0,3)-C.(,0)(0,1)-∞ D.(,0)-∞第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上的相应横线上.13.设向量),4(m a =，)2,1(-=b ，且b a ⊥，则=-|2|———.1AABC1D1C 1BED14.若x ，y 满足约束条件20210220x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩，则22yx Z +=的最小值为 .15.在锐角ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2sin b C B =,ABC ∆的面积为83，则2a 的最小值为______. 16.定义一：对于一个函数()()f x x D ∈，若存在两条距离为d 的直线1y kx m =+和2y kx m =+，使得x D ∈时，12()kx m f x kx m +≤≤+恒成立，则称函数()f x 在D 内有一个宽度为d 的通道. 定义二：若一个函数()f x 对于任意给定的正数ε，都存在一个实数0x ，使得函数()f x 在0[,)x +∞内有一个宽度为ε的通道，则称()f x 在正无穷处有永恒通道. 下列函数①()ln f x x =；②sin ()x f x x=；③()f x =2()f x x =；⑤()xf x e -=. 其中在正无穷处有永恒通道的函数序号是 .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

数 学(文史类）(试卷分值:150分 考试时间：120分钟）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 集合A={0>12|-x x }，B={0 <12|2--x x x }。

若A B ⊆，则 A. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧=3< <21|x x B A I B. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧=1< <21|x x B A I C. {}3< <1|x x B A -=YD. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧=21>|x x B A Y 2.高三第一学期甲、乙两名同学5次月考的地理学科得分的茎叶图如图所示，其中两竖线之间是得分的十位数，两边分别是甲、乙得分的个位数。

则下列结论正确的是 A.甲得分的中位数是78B. 甲得分的平均敢等于乙得分的平均数 C 乙得分的平均数和众数都是75 D.乙得分的方差大于甲得分的方差3.已知复数z 满足i i z 43)1(2-=-，其中i 是虚数单位，则=||zA.225 B.25 C. 25 D.454.从1,2,3.4中选取两个不同数字组成两位数，则这个两位数能被4整除的概率为 A.31 B. 41 C. 61 D.1215. 已知R n m ∈,，则“01=-nm”是“0=-n m ”成立的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件C. 充分必要条件D.既不充分也不必要条件6. 已知抛物线x y 42=焦点为F ，抛物线上一点P 满足4||=PF ，则△OPF 的面积为 A.1 B. 3 C.2 D. 327. 榫卯是我国古代工匠极为精巧的发明，广泛用于建筑，榫卯是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式，榫卯结构中凸出的部分叫榫 (或叫榫头)。

2019年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题文科数学（一）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知i 为虚数单位，则复数i i z -=23的虚部为 A. |52i -B. 52-C. 52D. i522.已知集合A={x y y x =),(}，N={1),(=y y x }，若)(N M A ⊆，则集合A 的个数为 A. 2B. 3C. 4D. 83.已知数列{na }满足),(221*+∈=+N n a a a n n n ，若aa a 4,173==,则=654a a aA. 8±B.-8C.8D. 164. 已知圆锥曲线)2,<<0(1cos 222πθπθθ≠=+且y x 的离心率为642，则=θcos A. 31-B. 31C. 322D.322-5. 某网店2018年全年的月收支数据如图所示，则针对2018年这一年的收支情况，说法错误的是 A.月收入的极差为60 B.7月份的利润最大C.这12个月利润的中位数与众数均为30D.这一年的总利润超过400万元6. 已知命题"0>11,:"00+∈x R x p 的否定是“01x 1,≤+∈∀R x ”；命题"2020<:"x p 的一个充分不必要条件是"2019<"x ，则下列命题为真命题的是A. q p ∧B. qC. )(q p ∨D.q p ∧)(7. 7.《九章算术》勾股章有一问题:今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴 岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何？其意思是：现有正方形水池边长为1丈 (一丈等于十尺），芦苇生长在水的中央，长出水面的部分为1尺，将芦苇向池 岸牵引，恰巧与水岸齐接（如图所示），问水深、芦苇的长度是多少？现从静止 的芦苇上任取一点，则该点取自水面以下的概率为A.1211B.1312C.131D.1098. 设实数b a ,满足log 62<log a 2<0,则a a ，a b ，b a 的大小关系是 A. ba>ab>aa B. ba>aa>ab C. aa>ba>ab D. aa>ab>ba9. 某四棱锥的三视图如图所示，其中俯视图为正方形，则该四棱锥的外接球的表面积为A. π2B. π3C.π23D.π410.已知函数)<0,>0,>)(sin()(πϕωϕωA x A x f +=的部分图象如图所示，将函数)(x f 的图象向左平移6π个单位，得到函数)(x f 的图象，则当],0[π∈x 时，不等式1<)(x g 的解集为A.]4,0[π B.],127(ππC.],127()4,0[πππD.)127,4(ππ11. 在正方体ABCD —A1B1C1D1中，过AB 作一垂直于BA 的平面交平面ADD1A1于直线l ， 动点M 在l 上，则直线BM 与CD1所成角的余弦值的最大值是A.23B.22 C.21D.112. 对于函数: )(x f y =与)(x g y =，若存在0x，使)()(00x g x f -=，则称))(,()),(,(00o o x g x N x f x M --是函数)(x f 与)(x g 图象的一对“隐对称点已知函数)(),(),1()(x g R x x m x f ∈+=是定义在R 上的函数，且满足0)2()(=-+x g x g ，当：1>x 时，54)(2+-=x x x g ，若函数)(x g 与)(x g 的图象恰好存在五对“隐对称点”，则实数m 的取值范围为若函数)(x f 与)(x g 的图象恰好存在两对“隐对称点”，则实数m 的取值范围为A.(21-，0)B.(22-,一1)C.(-∞，22-)D.(0,22-)第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2019年怀化市高考数学第一次模拟试卷(附答案)一、选择题1．已知回归直线方程中斜率的估计值为1.23，样本点的中心()4,5，则回归直线方程为（ ）A ． 1.2308ˆ.0yx =+ B ．0.0813ˆ.2yx =+ C ． 1.234ˆyx =+ D ． 1.235ˆyx =+ 2．已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数3x =， 3.5y =，则由该观测的数据算得的线性回归方程可能是( ) A ．0.4 2.3y x =+ B ．2 2.4y x =- C ．29.5y x =-+ D ．0.3 4.4y x =-+3．若圆与圆222:680C x y x y m +--+=外切，则m =（ ）A ．21B ．19C ．9D ．-114．给出下列说法：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线； ②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥； ③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等. 其中正确说法的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．35．若以连续掷两颗骰子分别得到的点数m ，n 作为点P 的横、纵坐标，则点P 落在圆229x y +=内的概率为（ ）A ．536B ．29C ．16D ．196．设ω>0,函数y=sin(ωx+3π)+2的图象向右平移43π个单位后与原图象重合，则ω的最小值是A ．23B ．43C ．32D ．37．设i 为虚数单位，复数z 满足21ii z=-，则复数z 的共轭复数等于（ ） A ．1-iB ．-1-iC ．1+iD ．-1+i8．正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点，那么EF =（ ）A ．1123AB AD - B ．1142AB AD + C ．1132AB DA + D ．1223AB AD -. 9．已知当m ，[1n ∈-，1)时，33sin sin22mnn m ππ-<-，则以下判断正确的是( )A ．m n >B ．||||m n <C ．m n <D ．m 与n 的大小关系不确定10．已知,a b ∈R ，函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩，若函数()y f x ax b =--恰有三个零点，则（ ）A ．1,0a b <-<B ．1,0a b <->C ．1,0a b >-<D ．1,0a b >->11．若0,0ab >>，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件12．已知抛物线22(0)y px p =>交双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线于A ，B 两点（异于坐标原点O 5AOB ∆的面积为32，则抛物线的焦点为（ ） A ．(2,0)B ．(4,0)C ．(6,0)D ．(8,0)二、填空题13．若x ，y 满足约束条件x y 102x y 10x 0--≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则xz y 2=-+的最小值为______．14．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为________．15．已知复数z=1+2i （i 是虚数单位），则|z|= _________ ．16．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为 ▲ 17．若45100a b ==，则122()a b+=_____________． 18．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos 1cos2cos 1cos2b C Cc B B+=+，C 是锐角，且27a =1cos 3A =，则ABC △的面积为______． 19．34331654+log log 8145-⎛⎫+= ⎪⎝⎭________. 20．函数232x x --的定义域是 .三、解答题21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的一个焦点为)5,05（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若动点()00,P x y 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程.22．已知等差数列{}n a 满足：12a =，且1a ，2a ，5a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，是否存在正整数n ，使得60800n S n >+ ？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由.23．如图，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF ⊥平面ABCD ，//EF AB ，90BAF ∠=︒，2AD =，1AB AF ==，点P 在线段DF 上.（1）求证：AF ⊥平面ABCD ； （2）若二面角D AP C --的余弦值为6，求PF 的长度. 24．红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A 、B 、C 进行围棋比赛，甲对A ，乙对B ，丙对C 各一盘，已知甲胜A ，乙胜B ，丙胜C 的概率分别为0.6，0.5，0.5，假设各盘比赛结果相互独立．（I ）求红队至少两名队员获胜的概率；（II ）用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望E ξ． 25．已知函数()ln f x x x =. （1）若函数2()1()f x g x x x=-，求()g x 的极值； （2）证明：2()1xf x e x +<-.（参考数据：ln20.69≈ ln3 1.10≈ 32 4.48e ≈ 27.39e ≈）26．如图所示，已知正方体1111ABCD A B C D -中，E F ，分别为11D C ，11C B 的中点，ACBD P =，11A C EF Q =.求证：（1）D B F E ，，，四点共面；（2）若1A C 交平面DBEF 于R 点，则P Q R ，，三点共线.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A 解析：A 【解析】 【分析】由题意得在线性回归方程ˆy bx a =+中 1.23b =，然后根据回归方程过样本点的中心得到a 的值，进而可得所求方程．【详解】设线性回归方程ˆy bx a =+中，由题意得 1.23b =， ∴ 1.23ˆy x a =+．又回归直线过样本点的中心()4,5， ∴5 1.234a =⨯+， ∴0.08a =，∴回归直线方程为 1.2308ˆ.0yx =+． 故选A ． 【点睛】本题考查线性回归方程的求法，其中回归直线经过样本点的中心时解题的关键，利用这一性质可求回归方程中的参数，也可求样本数据中的未知参数，属于基础题．2．A解析：A 【解析】试题分析：因为与正相关，排除选项C 、D ，又因为线性回归方程恒过样本点的中心，故排除选项B ；故选A ．考点：线性回归直线.3．C解析：C 【解析】试题分析：因为()()22226803425x y x y m x y m +--+=⇒-+-=-,所以250m ->25m ⇒<且圆2C 的圆心为()3,4,25m -根据圆与圆外切的判定(圆心距离等于半径和)可得()()223040125m -+-=-9m ⇒=,故选C.考点：圆与圆之间的外切关系与判断4．A解析：A 【解析】 【分析】①②③根据定义得结论不一定正确.④画图举出反例说明题目是错误的. 【详解】解：①不一定，只有这两点的连线平行于轴时才是母线;②不一定,因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”,如图（1）所示;③不一定．当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图（2）所示,它是由两个同底圆锥组成的几何体;④错误,棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形,各侧棱延长线交于一点,但是侧棱长不一定相等． 故答案为:A【点睛】(1)要想真正把握几何体的结构特征,必须多角度、全面地去分析,多观察实物,提高空间想象能力;(2)紧扣结构特征是判断的关键,熟悉空间几何体的结构特征,依据条件构建几何模型,在条件不变的情况下,变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素,然后再依据题意判定; (3)通过反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的,只要举出一个反例即可．5．D解析：D 【解析】掷骰子共有36个结果,而落在圆x 2+y 2=9内的情况有(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)这4种,∴P=41369=. 故选D6．C解析：C 【解析】 函数sin 23y x πω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象向右平移43π个单位后44sin 2sin 23333w y w x wx ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++=+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 所以有43332013222w kk k w w k w ππ=∴=>∴≥∴=≥ 故选C7．B解析：B 【解析】 【分析】利用复数的运算法则解得1i z =-+，结合共轭复数的概念即可得结果. 【详解】∵复数z 满足21ii z=-，∴()()()2121111i i i z i i i i +===---+， ∴复数z 的共轭复数等于1i --，故选B. 【点睛】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8．D解析：D 【解析】 【分析】用向量的加法和数乘法则运算。