2019-2020年高三数学人教版一轮课件：第三篇第1节任意角和弧度制及任意角的三角函数

怎 么 考
本节是三角函数的基础，高考偶尔以选择题的形式
进行考查，考点主要集中在三角函数在各象限的符号问 题以及终边相同角的三角函数问题，这也代表了高考的 一种重要考向.
1．角的有关概念 (1)从运动的角度看，角可分为正角、 负角 和 零角 ．
(2)从终边位置来看，可分为 象限角 和轴线角．
(3)若α与β是终边相同的角，则β可用α表示为S＝{β|β 360°，k∈Z }(或{β|β＝ ＝α＋k· α＋2kπ，k∈Z })．
4.任意角的三角函数
三角函数
பைடு நூலகம்
正弦
余弦
正切
设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x， y)，那么
定义
y 叫做α的正弦函 数，记作sin α
y 叫做α的正 x 余弦函数， 切函数，记作
x 叫做α的 记作cos α tan α
4.任意角的三角函数
三角函数
各象 限符 号 Ⅰ 正 正 负 负
正弦
正
余弦
集合是{α|0°<α<90°}，第一象限角的集合为
{α|k· 360°<α<k· 360°＋90°，k∈Z}． (2)终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同， 终边相同的角的同一三角函数值相等．
2．三角函数定义的理解 (1)三角函数的定义中，当P(x，y)是单位圆上的点时有sin α＝y， y cos α＝x，tan α＝x，但是若不是单位圆时，如圆的半径为r， y x y 则sin α＝ r，cos α＝ r ，tan α＝x. (2)若已知角α的终边上有异于原点的点的坐标A(x，y)，求角α的 y 三角函数值时，则应先求|OA|＝r，然后再利用定义sin α＝ r， x y cos α＝ r ，tan α＝x求解．

[自主解答] (1)∵在(0，π)内终边在直线 y＝ 3x 上的角 是π3，∴终边在直线 y＝ 3x 上的角的集合为
α|α＝π3＋kπ，k∈Z. (2)∵θ＝67π＋2kπ(k∈Z)， ∴θ3＝27π＋2k3π(k∈Z)． 依题意 0≤27π＋2k3π＜2π⇒－37≤k＜178，k∈Z.
[备考方向要明了]
考什么 1.了解任意角的概念． 2.了解弧度制的概念，能进
行弧度与角度的互化． 3.理解任意角三角函数(正
弦、余弦、正切)的定 义．
1.三角函怎数么的定考义与三 角恒等变换等相结 合，考查三角函数
求 值问 题，如2008
年 高考T15等.
[归纳
1．角的有关概念
知识整合]
角的特点
三角函数线
有向线段 ____ 有向线段____ 有向线段____
MP
OM
AT
为正弦线
为余弦线
为正切线
[探究] 3.三角函数线的长度及方向各有什么 意义？
提示：三角函数线的长度表示三角函数值的绝 对值，方向表示三角函数值的正负．
[自测 牛刀小试] 1．(教材习题改编)下列与94π的终边相同的角 α 的集合为___．
解析：∵94π＝94×180°＝360°＋45° ∴与94π 终边相同的角可表示为 k·360°＋45°(k∈Z)
答案：{α|α＝k·360°＋ 45°(k∈Z)}
2．(教材习题改编)若角θ同时满足sin θ＜0且tan θ＜0， 则角θ的终边一定落在第________象限． 解析：由sin θ＜0，可知θ的终边可能位于第三或第 四象限，也可能与y轴的非正半轴重合．由tan θ＜0， 可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限，可知θ的
2．弧度的概念与公式

3.任意角的三角函数 (1)定义：设 α 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点
P(x，y)，则 sin α＝ y ，cos α＝ x ，tan α＝yx(x≠0)．
(2)几何表示(单位圆中的三角函数线)：图中的有向线段
OM，MP，AT 分别称为角 α 的 余弦线 、正弦线 和 正切线 ．
教材拓展
A．－13
B．13
C．－23
D．23
解析解法一由三角函数的定义可知，sin
θ＝
25，cos
θ＝
1， 5
2
则ssiinn（θ＋ π－coθs）θ ＝sin
sin θ θ＋cos
＝ θ
2
5 ＋
1
＝2.故选 3
D.
55
解法二由三角函数定义可知 sin θ＝ 25，cos θ＝ 15，∴tan θ＝csoins θθ＝2，
田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝1(弦×矢＋矢 2)， 2
弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”
等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为2π，半径等于 3
4
米的弧田，
按照上述经验公式计算所得弧田面积约是( B )
A．6 平方米 C．12 平方米
B．9 平方米 D．15 平方米
A．4 5
B．－4 5
C．4 3
D．－4 3
[解] (1)∵tan θ＝－ －21＝2， ∴tan 2θ＝12－ ×222＝－43.
(2)已知角α的终边过点 P(－8m，－6sin 30°)，且
cos α＝－45，则 m 的值为( B )
A．－1 2
B．1 2
C．－ 3 2

答案：A
2.(2023 年佛山市校级月考)《九章算术》是一部中国古代的数 学专著.全书分为九章，共收有 246 个问题，内容丰富，而且大多 与生活实际密切联系.第一章《方田》收录了 38 个问题，主要讲各 种形状的田亩的面积计算方法，其中将圆环或不足一匝的圆环形 天地称为“环田”.书中提到这样一块“环田”：中周九十二步， 外周一百二十二步，径五步，如图 3-1-2 所示，则其所在扇形的圆 心角大小为(单位：弧度)( )
【高分训练】
1.已知点 P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在( )
A.第一象限 C.第三象限
B.第二象限 D.第四象限
解析：因为 tan α＜0，cos α＜0，所以α在第二象限.故选 B. 答案：B
2.若角 α 的终边落在直线 y＝ 3x 上，角 β 的终边与单位圆交 于点21，m，且 sin α·cos β<0，则 cos α·sin β＝________.
【题后反思】(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条 件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然
后通过对集合中的参数 k(k∈Z)赋值来求得所需的角. (2)判断象限角的两种方法 ①图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角
的定义直接判断已知角是第几象限角；
②转化法：先将已知角化为 k·360°＋α(0°≤α<360°，k∈Z) 的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限 判断已知角是第几象限角.
注：匝，意为周，环绕一周叫一匝.
图 3-1-2
A.4
B.5
C.6
D.7
解析：设内弧半径为 r，外弧半径为 R，扇形的圆心角为θ， 由题意可得 R＝r＋5，可得9122＝2＝rθ(r，＋5)θ， 解得 r＝436，可得

D. 3
答案 C
答案
解析 由三角函数的定义得sinα·cosα＝
a －42＋a2 ·
－4 －42＋a2
＝
－－442＋a a2＝ 43，即 3a2＋16a＋16 3＝0，解得a＝－4 3或a＝－433.故选
C.
解析
触类旁通 三角函数定义问题的常见类型及解题策略
(1)已知角α终边上一点P的坐标，可求角α的三角函数值：先求点P到原 点的距离，再用三角函数的定义求解．
1．(2019·山东模拟)设角α的终边与单位圆相交于点P 35，－45 ，则sinα －cosα的值是( )
A．－75
B．－15
1
7
C.5
D.5
答案 A
答案
解析 由题意知sinα＝－45，cosα＝35，所以sinα－cosα＝－45－35＝－75.故 选A.
解析
2．若sinθcosθ<0，则角θ是( ) A．第一或第二象限角 B．第二或第三象限角 C．第三或第四象限角 D．第二或第四象限角
π 2
＜2＜3＜π＜4＜
3π 2
，∴sin2＞0，cos3＜0，tan4＞0.∴
sin2·cos3·tan4＜0.选A.
解析
角度3 利用三角函数的定义求参数
例4
(1)已知角α的终边过点P(－8m，－6sin30°)，且cosα＝－
4 5
，则m的
值为( )
A．－12
B.12
C．－
3 2
D.
3 2
答案 B
A．2 2
C弦长为2，则这个圆心角所 )
B．2sin1
D．sin2
答案 C
答案
解析 ∵2Rsin1＝2，∴R＝si1n1，l＝|α|R＝si2n1.故选C.

2．弧度制的定义和公式
(1)定义：把长度等于
的弧所对的圆心端角点叫做 1 弧度的角，弧度记作 rad.
(2)公式：①角度与弧度的换算：
a．1°＝1π80 rad；b.1 rad＝1π8象0正限°角.角
负角
零角
②弧长公式：l＝r|α|.
③扇形面积公式：S＝
＝12r2α.
1
半径长
2lr
3．任意角的三角函数
3．客观题主要涉及三角函数的求值，函数的图象及性质，解答题主要以三角 变换为工具，综合考查函数的图象与性质；或以正、余弦定理为工具，结合三角 变换考查解三角形的有关知识．
4．高考命题中，三角函数常与解三角形相结合，既可以考查三角恒等变换， 又可以考查正、余弦定理的综合应用，符合高考命题“要在知识点的交汇处命题” 的要求．
2014 年 全国卷Ⅰ·T6 全国卷Ⅱ·T12
全国卷Ⅱ·T14
全国卷Ⅰ·T16 全国卷Ⅱ·T4
2013 年 全国卷Ⅰ·T15
2012 年 全国卷·T9
全国卷Ⅰ·T15 全国卷Ⅱ·T15
全国卷Ⅰ·T17 全国卷Ⅱ·T17
全国卷·T17
[重点关注] 1．三角函数、解三角形是全国卷高考命题的重点，分值为 15 分或 17 分，一 般是三道客观题或一道客观题、一道解答题，以中档题为主． 2．主要考查三角函数的图象与性质，简单的三角恒等变换，正、余弦定理及 其应用，且题目常考常新．
(2)抛物线方程 y＝－14x2 可化为 x2＝－4y， ∴抛物线的准线方程为 y＝1. ∵点 A 在抛物线 y＝－14x2 的准线上， ∴A(－ 3，1)，由三角函数的定义得 sin α＝yr＝
－ 132＋12＝12.]
[规律方法] 1.用定义法求三角函数值的两种情况． (1)已知角 α 终边上一点 P 的坐标，则可先求出点 P 到原点的距离 r，然后用 三角函数的定义求解； (2)已知角 α 的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此 点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题． 2．确定三角函数值的符号，可以从确定角的终边所在象限入手进行判断．

高频考点全通关——三角函数的定义
闯关四：及时演练，强化提升解题技能
1. 点 P 从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动2π弧长到达 3
Q 点，则点 Q 的坐标为( )
－1， 3
－ 3，－1
－1，－ 3
－ 3，1
A. 2 2 B. 2 2 C. 2 2 D. 2 2
解析：选 A 由三角函数定义可知点 Q 的坐标(x，y)满足
高频考点全通关——三角函数的定义 闯关二：典题针对讲解——与向量等问题形成交汇问题
[例 3] (2012·山东高考) 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，
一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)， 此时圆上一点 P 的位置在(0,0)，圆在 x 轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心 位于(2,1)时，OP 的坐标为___________．
(2)三角函数值的符号及角的位置的判断． 已知一角的三角函数值(sin α，cos α，tan α)中任意两个的符号，可分别确定 出角终边所在的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置．注意终边在坐 标轴上的特殊情况．
(3)与向量等问题形成的交汇问题． 抓住问题的实质，寻找相应的角度，然后通过解三角形求得解．
[例 2] (2014·日照模拟)已知点 P(sin θcos θ，2cos θ)
位于第三象限，则角θ是第________象限角．
【解析】因为点 P(sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，
所以
sin
θcos
θ＜0,2cos
θ＜0，即
sin θ＞0， cos θ＜0，
所以θ为第二象限角．
【答案】 二
【解析】如图，连接 AP，分别过 P，A 作 PC，AB 垂直 x 轴于

π＋2nπ＜ ＜ 7 ＋2nπ(n∈Z)；
3 6
当k＝3n＋2(n∈Z)时，
5 11 ＋2n＜ ＜ ＋2n n Z ． 3 3 6 所以 的终边在第一、三、四象限． 3
(2)由α是第三象限的角得π＋2kπ＜α＜ 所以－ 即
＋2kπ＜－α＜π＋2kπ(k∈Z)， 2
3 －2kπ＜－α＜－π－2kπ(k∈Z)， 2
3 ＋2kπ(k∈Z)， 2
所以角－α的终边在第二象限. 由π＋2kπ＜α＜
3 ＋2kπ(k∈Z)，得2π＋4kπ＜2α＜3π 2
＋4kπ(k∈Z)．所以角2α的终边在第一、二象限及y轴的非负 半轴．
≤135°+k·360°,k∈Z}∪{α|270°+k·360°≤α≤315°+k·
360°,k∈Z}
={α|90°+2k·180°≤α≤135°+2k·180°,k∈Z}∪
{α|90°+(2k+1)·180°≤α≤135°+(2k+1)·180°,k∈Z}
={α|90°+n·180°≤α≤135°+n·180°,n∈Z}. 答案:{α|90°+n·180°≤α≤135°+n·180°,n∈Z}
【解题视点】(1)先写出在0°～360°范围内满足条件的角,再 由终边相同角的关系写出集合. (2)由α的范围写出-α与2α的范围,再由终边相同角的关系判
断.
【规范解答】(1)在0°～360°范围内,终边落在阴影内的角为
90°≤α≤135°或270°≤α≤315°.所以终边落在阴影所表
示的范围内的角α的集合为{α|90°+k·360°≤α
x轴上.
4.弧长为3π ，圆心角为135°的扇形半径为 为 .

解决此类问题的关键是抓住三角函数定义，在确定旋转角后，利用定 义写出点的坐标值．
[对点训练] 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0，1)， 此时圆上一点 P 的位置在(0，0)，圆在 x 轴上沿正向滚动，当圆滚动到圆 心位于(2，1)时，O→P的坐标为___________．
1．下列与94π的终边相同的角的表达式中正确的是( C )
A．2kπ－45°(k∈Z)
B．k·360°＋94π(k∈Z)
C．k·360°－315°(k∈Z)
D．kπ＋54π(k∈Z)
解析：与94π的终边相同的角可以写成 2kπ＋94π(k∈Z)，但是角度制与弧度
制不能混用，所以只有 C 正确．
2．单位圆中，200°的圆心角所对的弧长为( D )
解析：由题意可得∠AOB＝23π，OA＝4．在 Rt△AOD 中，易得∠AOD＝π3， ∠DAO＝π6，OD＝12OA＝12×4＝2，可得矢＝4－2＝2．由 AD＝AOsinπ3＝ 4× 23＝2 3，可得弦 AB＝2AD＝4 3．所以弧田面积＝12(弦×矢＋矢 2) ＝12×(4 3×2＋22)＝4 3＋2． 答案：4 3＋2
题型三 三角函数的定义
[例] (1)若 sin α·tan α＜0，且ctaons αα＜0，则角 α 是( C )
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
Hale Waihona Puke (2)已知角 α 的终边上一点 P(－ 3，m)(m≠0)，且 sin α＝ 24m，求 cos α， tan α 的值．
[解析] (1)由 sin α·tan α＜0 可知 sin α，tan α 异号，从而 α 为第二或第三

答案：－675° 或－315°
解析 答案
考点一
考点二
考点三
2．求终边在直线 y＝ 3x 上的角的集合．
在坐标系中画出直线 y＝ 3x， π 可以发现它与 x 轴正半轴的夹角是 ， 3 终边在直线 y＝ 3x 上的角的集合为
π α|α＝kπ＋ ，k∈Z. 3
解析
)
答案
考点一
考点二
考点三
2kπ π π (1)由 α＝ ＋ ，k∈Z，当 k＝0 时，α＝ ，终边在第一象 3 6 6 2π π 5π 限．当 k＝1 时，α＝ ＋ ＝ ，终边在第二象限． 3 6 6 2π π π 当 k＝－1 时， α＝－ ＋ ＝－ ， 终边在 y 轴的非正半轴上， 3 6 2 故选 D.
解析 答案
考点一
考点二
考点三
[易错提醒] 1． 对于用 k(k∈Z)表示的角度， 要尽量对 k 多代入几个整数， 使之能代表全体角度． 2．注意函数值正负与角所在象限关系． 如 sin α＞0，α 可在第一、二象限也可在 y 轴的上半轴上． 3．表示终边相同角的时候，角的单位要统一． 4．注意“顺转减，逆转加”的应用，如角 α 的终边逆时针 旋转 180° 可得角 α＋180° 的终边，类推可知 α＋k· 180° (k∈ Z)表示终边落在角 α 的终边所在直线上的角．
4．终边相同的角的三角函数 sin(α＋k· 2π)＝ sin α ， cos(α＋k· 2π)＝ cos α ， tan(α＋k· 2π)＝ tan α (其中 k∈Z)， 即终边相同的角的同一三角函数的值相等．
[三基自测] 1．单位圆中，200° 的圆心角所对的弧长为( D ) A．10π 9π C. 10 B．9π 10π D. 9