高考数学一轮复习课时规范练33均值不等式及其应用理新人教B版

课时作业(三十三) [第33讲 不等关系与不等式](时间：35分钟 分值：80分)基础热身1．[教材改编试题] 若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式中成立的是( ) A.1a <1bB ．a 2>b 2 C.ac 2＋1>b c 2＋1D ．a |c |>b |c | 2．若x ≠2且y ≠－1，M ＝x 2＋y 2－4x ＋2y ，N ＝－5，则M 与N 的大小关系是( )A ．M >NB ．M <NC ．M ＝ND ．M ≥N3．[2012·西安模拟] 若a ，b 为实数，则“0<ab <1”是“b <1a”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4．[2012·济南二模] 若a ＞b ＞0，则下列不等式不．成立的是( ) A ．a ＋b <2ab B ．a 12>b 12C ．ln a ＞ln bD ．0.3a <0.3b能力提升5．[2012·威海调研] 已知y >x >0，且x ＋y ＝1，那么( )A ．x <x ＋y 2<y <2xy B ．2xy <x <x ＋y 2<y C ．x <x ＋y 2<2xy <y D ．x <2xy <x ＋y 2<y 6．[2012·西城一模] 已知a ，b ∈R ，下列四个条件中，使a >b 成立的必要而不充分的条件是( )A ．a >b －1B ．a >b ＋1C ．|a |>|b |D ．2a >2b7．如果a ∈R ，且a 2＋a <0，那么a ，a 2，－a ，－a 2的大小关系为( )A ．a 2>a >－a 2>－aB ．－a >a 2>－a 2>aC ．－a >a 2>a >－a 2D ．a 2>－a >a >－a 28．已知下列三个不等式：①ab >0；②c a >d b ；③bc >ad .以其中两个作条件余下一个作结论，则可以组成的正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．09．[2012·兰州一中月考] 若0<α<π，则sin2α与2sin α的大小关系是sin2α________2sin α(用“>”“<”“≥”或“≤”填空)．10．给出下列命题：①a >b 与b <a 是同向不等式；②a >b 且b >c 等价于a >c ；③a >b >0，d >c >0，则a c >b d ；④a >b ⇒ac 2>bc 2；⑤a c 2>b c 2⇒a >b .其中真命题的序号是________．11．给出下列三个命题：①若a >b >0，则1a >1b； ②若a >b >0，则a －1a >b －1b； ③设a ，b 是互不相等的正数，则|a －b |＋1a －b≥2. 其中正确命题的序号是________．(把你认为正确命题的序号都填上)12．(13分)已知0<α－β<π2，π2<α＋2β<3π2，求α＋β的取值范围．难点突破13．(12分)已知函数f(x)＝|log2(x＋1)|，实数m，n在其定义域内，且m＜n，f(m)＝f(n)．求证：(1)m＋n＞0；(2)f(m2)＜f(m＋n)＜f(n2)．课时作业(三十三)【基础热身】1．C [解析] 方法一：用排除法．取a ＝1，b ＝－2，排除A.取a ＝0，b ＝－1，排除B ；取c ＝0，排除D.故应该选C.方法二：∵c 2＋1>0，a >b ，∴a c 2＋1>bc 2＋1.故选C. 2．A [解析] M －N ＝(x －2)2＋(y ＋1)2>0.3．D [解析] 因为a 可能大于0，也可能小于0，所以“0<ab <1”是“b <1a”的既不充分又不必要条件．故选D.4．A [解析]根据幂函数、对数函数、指数函数性质可知选项B ，C ，D 中的表达式成立，选项A 中的表达式不成立．故选A.【能力提升】5．D [解析] ∵y >x >0，且x ＋y ＝1，取特殊值：x ＝14，y ＝34，则x ＋y 2＝12，2xy ＝38，∴x <2xy <x ＋y 2<y .故选D.6．A [解析] 由a >b ⇒a >b －1，但由a >b －1不能得到a >b ，故a >b －1为a >b 成立的必要而不充分的条件．故答案为A.7．B [解析] 因为a 2＋a <0，即a (a ＋1)<0，所以－1<a <0，因此－a >a 2>0，且0>－a 2>a ，所以－a >a 2>－a 2>a .故选B.此题也可以用特殊值法求解：如取a ＝－12 8．C [解析] 由不等式性质得：⎭⎪⎬⎪⎫ab >0c a >d b ⇒ ⎭⎪⎬⎪⎫ab >0bc －ad ab >0⇒bc >ad ； ⎭⎪⎬⎪⎫ab >0bc >ad ⇒c a >d b ； ⎭⎪⎬⎪⎫c a >d b bc >ad ⇒ ⎭⎪⎬⎪⎫bc －ad ab >0bc －ad >0⇒ab >0.故选C. 9．< [解析] 0<α<π，故sin2α＝2sin αcos α<2sin α.10．③⑤ [解析] ①中两个不等式为异向不等式；②中只能确定⎩⎪⎨⎪⎧a >b ，b >c ⇒a >c ，不是等价不等式；由a >b >0，d >c >0得ad >bc >0，∴a c >b d ，故③正确；当c ＝0时④不正确；在已知条件下1c 2>0恒成立，∴⑤正确．故填③⑤.11．② [解析] ①作差可得1a －1b ＝b －a ab ，而a >b >0，则b －a ab<0，此式错误；②a >b >0，则1a <1b ，进而可得－1a >－1b ，所以可得a －1a >b －1b正确；③a －b <0时此式不成立，错误． 12．解：设α＋β＝A (α－β)＋B (α＋2β)＝(A ＋B )α＋(2B －A )β，∴⎩⎪⎨⎪⎧A ＋B ＝1，2B －A ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧B ＝23，A ＝13，∴α＋β＝13(α－β)＋23(α＋2β)．∵α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴13(α－β)∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π6.∵α＋2β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，∴23(α＋2β)∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π.∴α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，7π6，即α＋β的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，7π6.【难点突破】13．证明：(1)方法一：由f (m )＝f (n )，得|log 2(m ＋1)|＝|log 2(n ＋1)|，即log 2(m ＋1)＝log 2(n ＋1)，①或log 2(m ＋1)＝－log 2(n ＋1)，②由①得m ＋1＝n ＋1，与m ＜n 矛盾，舍去，由②得m ＋1＝1n ＋1，即(m ＋1)(n ＋1)＝1.③∴m ＋1＜1＜n ＋1，∴m ＜0＜n ，∴mn ＜0，由③得mn ＋m ＋n ＝0，∴m ＋n ＝－mn ＞0.方法二：同方法一得(m ＋1)(n ＋1)＝1.∵0＜m ＋1＜n ＋1，∴（m ＋1）＋（n ＋1）2>（m ＋1）（n ＋1）＝1，∴m ＋n ＋2＞2，∴m ＋n ＞0.(2)当x ＞0时，f (x )＝|log 2(x ＋1)|＝log 2(x ＋1)在(0，＋∞)上为增函数． 由(1)知m 2－(m ＋n )＝m 2＋mn ＝m (m ＋n )，且m ＜0，m ＋n ＞0，∴m (m ＋n )＜0，∴m 2－(m ＋n )＜0，0＜m 2＜m ＋n ，∴f(m2)＜f(m＋n)．同理，(m＋n)－n2＝－mn－n2＝－n(m＋n)＜0，∴0＜m＋n＜n2，∴f(m＋n)＜f(n2)，∴f(m2)＜f(m＋n)＜f(n2)．。

课时规范练33基本不等式及其应用一、选择题1.“≤-2”是“a>0且b<0”的()A.必要不充分条件B.充要条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件答案:A解析:≤-2⇔+2=≤0⇔ab<0⇔故选A.2.下列命题中正确的是()A.函数y=x+的最小值为2B.函数y=的最小值为2C.函数y=2-3x-(x>0)的最小值为2-4D.函数y=2-3x-(x>0)的最大值为2-4答案:D解析:y=x+的定义域为{x|x≠0},当x>0时,有最小值2,当x<0时,有最大值-2,故A不正确;y=≥2,∵,∴取不到“=”,故B不正确;∵x>0时,3x+≥2·=4,当且仅当3x=,即x=时取“=”,∴y=2-有最大值2-4,故C不正确,D正确.3.已知不等式(x+y)≥9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为()A.2B.4C.6D.8答案:B解析:∵x,y∈(0,+∞),a>0,∴(x+y)=1+a+≥1+a+2(当且仅当y=x时等号成立),因此,若使不等式(x+y)·≥9对任意正实数x,y恒成立,则需1+a+2=(+1)2≥9,解得a≥4,即正实数a的最小值为4.故选B.4.a,b都为正实数,且=1,则的最大值为()A. B. C. D.答案:A解析:依题意得,=-=-的最大值是=0,即,因此选A.5.设a>0,b>0,且不等式≥0恒成立,则实数k的最小值等于()A.0B.4C.-4D.-2答案:C解析:由a>0,b>0,≥0,得k≥-,而+2≥4(a=b时取等号),所以-≤-4.因此要使k≥-恒成立,应有k≥-4,即实数k的最小值等于-4.故选C.6.若0<x<,则y=x(3-2x)的最大值是()A. B.C.2D.答案:D解析:∵0<x<,∴-x>0.∴y=x(3-2x)=2·x≤2,当且仅当x=-x,即x=时,取“=”,∴函数y=x(3-2x)的最大值为.二、填空题7.已知关于x的不等式2x+≥7在x∈(a,+∞)上恒成立,则实数a的最小值为.答案:解析:因为x>a,所以2x+=2(x-a)++2a≥2+2a=2a+4(当且仅当x=a+1时取等号),即2a+4≥7,所以a≥,即a 的最小值为.8.某公司一年购买某种货物400吨,每次都购买x吨,运费为4万元/次,一年的总存储费用为4x万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x=.答案:20解析:该公司一年购买货物400吨,每次都购买x吨,则需要购买次,又运费为4万元/次,所以一年的总运费为·4万元,又一年的总存储费用为4x万元,则一年的总运费与总存储费用之和为·4+4x万元,·4+4x≥160,当=4x,即x=20时,一年的总运费与总存储费用之和最小.9.若log m n=-1,则3n+m的最小值是.答案:2解析:∵log m n=-1,∴m-1=n,∴mn=1.∵n>0,m>0且m≠1,∴3n+m≥2=2.当且仅当3n=m,即n=,m=时等号成立.10.若正实数x,y满足2x+y+6=xy,则xy的最小值是.答案:18解析:由基本不等式得xy≥2+6,令=t得不等式t2-2t-6≥0,解得t≤-(舍去)或者t≥3,故xy的最小值为18.11.已知向量a=(3,-2),b=(x,y-1),若a∥b,则4x+8y的最小值为.答案:4解析:∵a∥b,∴3(y-1)-(-2)x=0,∴2x+3y=3.∴4x+8y=22x+23y≥2=2=4,当且仅当2x=3y,即x=,y=时等号成立.三、解答题12.函数y=log a(x+3)-1(a>0,且a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny+1=0上(其中m,n>0),求的最小值.解:依题意,点A的坐标为(-2,-1),则-2m-n+1=0,即2m+n=1(m>0,n>0),所以(2m+n)=4+≥4+2=8,当且仅当,即n=2m=时取等号,即的最小值是8.13.已知直线l过点P(2,1),且与x轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,O为坐标原点,求三角形OAB 面积的最小值.解:设直线l为=1(a>0,b>0),则有关系=1.对=1应用基本不等式,得1=≥2,即ab≥8.于是,△OAB面积为S=ab≥4,即△OAB的面积最小值为4.14.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,BC边上的高AD=BC,求的取值范围.解:因为+2cos A,S△ABC=·AD·BC=a2,又a2=S△ABC=bc sin A,所以=sin A,故=sin A+2cos A=sin(A+φ)≤.又≥2=2,所以2≤,即的取值范围是[2,].15.已知lg(3x)+lg y=lg(x+y+1),(1)求xy的最小值;(2)求x+y的最小值.解:由lg(3x)+lg y=lg(x+y+1),得(1)∵x>0,y>0,∴3xy=x+y+1≥2+1.∴3xy-2-1≥0,即3()2-2-1≥0,∴(3+1)(-1)≥0.∴≥1.∴xy≥1.当且仅当x=y=1时,等号成立.∴xy的最小值为1.(2)∵x>0,y>0,∴x+y+1=3xy≤3·.∴3(x+y)2-4(x+y)-4≥0.∴[3(x+y)+2][(x+y)-2]≥0.∴x+y≥2.当且仅当x=y=1时取等号,∴x+y的最小值为2.四、选做题1.若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是()A. B.C.5D.6答案:C解析:∵x+3y=5xy,∴=5,∵x>0,y>0,∴(3x+4y)+9+4≥2+13=25,∴5(3x+4y)≥25,∴3x+4y≥5,当且仅当x=2y时取等号.∴3x+4y的最小值是5.2.设x>0,y>0,x+y-x2y2=4,则的最小值为.答案:4解析:x>0,y>0,x+y-x2y2=4,同除以xy,得=xy+≥4.3.若实数a,b满足ab-4a-b+1=0(a>1),求(a+1)(b+2)的最小值.解:∵ab-4a-b+1=0,∴ab=4a+b-1,∴(a+1)(b+2)=ab+2a+b+2=6a+2b+1=6a+·2+1=6a++1=6a+8++1=6(a-1)++15.∵a>1,∴a-1>0.∴原式=6(a-1)++15≥2+15=27.当且仅当(a-1)2=1,即a=2时成立.∴(a+1)(b+2)的最小值为27.。

课时规范练(A)课时规范练1集合的概念与运算课时规范练3命题及其关系、充要条件课时规范练5函数及其表示课时规范练7函数的奇偶性与周期性课时规范练9指数与指数函数课时规范练11函数的图象课时规范练13函数模型及其应用课时规范练15利用导数研究函数的单调性课时规范练17定积分与微积分基本定理课时规范练19同角三角函数基本关系式及诱导公式课时规范练21简单的三角恒等变换课时规范练23函数y=A sin(ωx+φ)的图象及三角函数的应用课时规范练25平面向量的概念及线性运算课时规范练27平面向量的数量积及其应用课时规范练29数列的概念课时规范练31等比数列课时规范练33二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课时规范练35合情推理与演绎推理课时规范练37数学归纳法课时规范练39空间几何体的表面积与体积课时规范练41空间直线、平面的平行关系课时规范练43空间向量及其运算课时规范练45直线的倾斜角、斜率与直线的方程课时规范练47圆的方程课时规范练49椭圆课时规范练51抛物线课时规范练53算法初步课时规范练55用样本估计总体课时规范练57分类加法计数原理与分步乘法计数原理课时规范练59二项式定理课时规范练61古典概型与几何概型课时规范练63二项分布与正态分布课时规范练65极坐标方程与参数方程课时规范练67绝对值不等式课时规范练(B)课时规范练2简单不等式的解法课时规范练4简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词课时规范练6函数的单调性与最大(小)值课时规范练8幂函数与二次函数课时规范练10对数与对数函数课时规范练12函数与方程课时规范练14导数的概念及运算课时规范练16利用导数研究函数的极值、最大(小)值课时规范练18任意角、弧度制及任意角的三角函数课时规范练20两角和与差的正弦、余弦与正切公式及二倍角公式课时规范练22三角函数的图象与性质课时规范练24余弦定理、正弦定理及应用举例课时规范练26平面向量基本定理及向量坐标运算课时规范练28复数课时规范练30等差数列课时规范练32数列求和课时规范练34基本不等式及其应用课时规范练36直接证明与间接证明课时规范练38空间几何体的结构及其三视图、直观图课时规范练40空间点、直线、平面之间的位置关系课时规范练42空间直线、平面的垂直关系课时规范练44空间几何中的向量方法课时规范练46点与直线、两条直线的位置关系课时规范练48直线与圆、圆与圆的位置关系课时规范练50双曲线课时规范练52直线与圆锥曲线的位置关系课时规范练54随机抽样课时规范练56变量间的相关关系、统计案例课时规范练58排列与组合课时规范练60随机事件的概率课时规范练62离散型随机变量及其分布列课时规范练64离散型随机变量的均值与方差课时规范练66极坐标方程与参数方程的应用课时规范练68不等式的证明解答题专项解答题专项一函数与导数的综合问题第1课时利用导数证明不等式第2课时利用导数研究不等式恒(能)成立问题第3课时利用导数研究函数的零点解答题专项二三角函数与解三角形解答题专项三数列解答题专项四立体几何中的综合问题解答题专项五直线与圆锥曲线第1课时圆锥曲线中的最值(或范围)问题第2课时圆锥曲线中的定点(或定值)问题第3课时圆锥曲线中的存在性(或证明)问题解答题专项六概率与统计单元质检卷单元质检卷一集合与常用逻辑用语单元质检卷二函数单元质检卷三导数及其应用单元质检卷四三角函数、解三角形单元质检卷五平面向量、数系的扩充与复数的引入单元质检卷六数列单元质检卷七不等式、推理与证明单元质检卷八立体几何单元质检卷九解析几何单元质检卷十算法初步、统计与统计案例单元质检卷十一计数原理单元质检卷十二概率。

课时标准练33均值不等式及其应用基础巩固组1.以下不等式必然成立的是()+14>lg x(x>0)x+1sin x≥2(x≠kπ,k∈Z)+1≥2|x|(x∈R)D.1x2+1<1(x∈R)2.若a,b都是正数,则1+x x1+4x x的最小值为()3.(2018四川成都二诊,11)已知函数f(x)=log a(x+4)-1(a>0且a≠1)的图象恒过定点A,假设直线x x+x x=-2(m,n>0)也通过点A,则3m+n的最小值为()4.(2018江西南昌测试三,10)假设正数x,y知足x+4y-xy=0,则3x+x的最大值为()A.1 3B.38C.375.(2018江西新余四中适应性考试,9)设正数x,y知足x>y,x+2y=3,则1x-x +9x+5x的最小值为()A.8 3C.32D.2√336.(2018辽宁辽南协作校一模拟,6)若lg a+lg b=0且a≠b,则2x+1x的取值范围为()A.[2√2,+∞)B.(2√2,+∞)C.[2√2,3)∪(3,+∞)D.(2√2,3)∪(3,+∞)7.(2018天津十二中学联考一,12)已知a>b>0,则2a+3x+x +2x-x的最小值为()√2+2√3 B.√2+√3√2+√3 D.√2+√328.(2018安徽亳州最后一卷,10)设函数f(x)=|lg x|,假设存在实数0<a<b,知足f(a)=f(b),则M=log2x2+x28,N=log21√x+√x2,Q=ln1e2的关系为()>N>Q>Q>N>Q>M>M>Q9.假设关于任意x>0,xx2+3x+1≤a恒成立,则a的取值范围是. 10.(2018河北唐山二模,理23)已知a>0,b>0,c>0,d>0,a2+b2=ab+1,cd>1.(1)求证:a+b≤2;(2)判定等式√xx+√xx=c+d可否成立,并说明理由.11.已知a>0,b>0,a+b=1,求证:(1)1x+1x+1xx≥8;(2)1+1x1+1x≥9.综合提升组12.(2018湖北宜昌一中适应性考试,11)若P是面积为1的△ABC内一点(不含边界),△PAB,△PAC和△PBC的面积别离为x,y,z,则x+x x+1x+x的最小值是()B.√3+23C.1 3D.2√3+1313.(2018河北衡水联考,9)已知x+y=1x+4x+8(x,y>0),则x+y的最小值为()√3+√2614.(2018湖南澧县一中一检,14)已知二次函数f(x)=ax2+2x+c(x∈R)的值域为[0,+∞),则x+1x+x+1x 的最小值为.创新应用组15.(2018河南信阳二模,11)点M(x,y)在曲线C:x2-4x+y2-21=0上运动,t=x2+y2+12x-12y-150-a,且t的最大值为b,若a>0,b>0,则1x+1+1x的最小值为()课时标准练33均值不等式及其应用当x>0时,x2+14≥2·x·12=x,因此lg x2+14≥lg x(x>0),应选项A不正确;运用均值不等式时需保证“一正”“二定”“三相等”,而当x≠kπ,k∈Z时,sin x的正负不定,应选项B不正确;由均值不等式可知,选项C正确;当x=0时,有1x2+1=1,应选项D不正确.∵a,b都是正数,∴1+xx 1+4xx=5+xx+4xx≥5+2√x x·4x x=9,当且仅当b=2a>0时取等号.应选C.由题意,函数f(x)=log a(x+4)-1(a>0且a≠1),令x+4=1,可得x=-3,代入可得y=-1,∴图象恒过定点A(-3,-1).∵直线xx +xx=-2(m,n>0)也通过点A,∴3x+1x=2,即32x+12x=1.有3m+n=(3m+n)32x +12x=92+12+3x2x+3x2x≥2√3x2x×3x2x+5=8.(当且仅当n=m=2时,取等号)∴3m+n的最小值为8.应选B.因为x+4y-xy=0,化简可得x+4y=xy,左右两边同时除以xy,得1x +4x=1,求3x+x的最大值,即求x+x 3=x3+x3的最小值,因此x3+x3×1=x3+x3×1x+4x=x3x+4x3x+13+43≥2√x3x×4x3x+13+43≥3,当且仅当x3x =4x3x时取等号,因此3x+x的最大值为13,因此选A.因为x+2y=3,因此2x+4y=6,因此(x-y)+(x+5y)=6,因此1x-x +9x+5x=161x-x+9x+5x×6=161 x-x +9x+5x[(x-y)+(x+5y)]=1610+x+5xx-x+9(x-x)x+5x≥16(10+2√9)=83,当且仅当x=2,y=12时取最小值.应选A.∵lg a+lg b=0且a≠b,∴lg ab=0,即ab=1.∴2x +1x·ab=2b+a≥2√2xx=2√2,当且仅当a=2b=√2时取等号.∴2x +1x的取值范围为[2√2,+∞),应选A.∵a>b>0,2a+3x+x +2x-x=a+b+a-b+3x+x+2x-x,∴a+b+3x+x ≥2√3,当且仅当a+b=√3时取等号;a-b+2x-x≥2√2,当且仅当a-b=√2时取等号.∴联立{x +x =√3,x -x =√2,解得{x =√3+√22,x =√3-√22.∴当{x =√3+√22,x =√3-√22时,a+b+a-b+3x +x +2x -x≥2√2+2√3,即2a+3x +x +2x -x取得最小值2√2+2√3.∵f (a )=f (b ),∴|lg a|=|lg b|,∴lg a+lg b=0,即ab=1,√x +√x2=1x +x +2=1x +1x +2<12+2=14,因此N=log 2√x +√x2<-2,又x 2+x28>xx 4=14,∴x 2+x 28>14,因此M=log 2x 2+x 28>-2,又因为Q=ln 1e2=-2,∴M>Q>N ,应选B .9.15,+∞x x 2+3x +1=13+x +1x,因为x>0,因此x+1x≥2(当且仅当x=1时取等号),则13+x +1x≤13+2=15,即xx 2+3x +1的最大值为15,故a ≥15.10.(1)证明 由题意得(a+b )2=3ab+1≤3x +x 22+1,当且仅当a=b 时,取等号.解得(a+b )2≤4,又a>0,b>0,因此a+b ≤2. (2)解 不能成立.√xx +√xx ≤x +x 2+x +x 2,因为a+b ≤2,因此√xx +√xx ≤1+x +x 2,因为c>0,d>0,cd>1, 因此c+d=x +x 2+x +x 2≥x +x 2+√xx >x +x 2+1,故√xx +√xx =c+d 不能成立. 11.证明 (1)∵a+b=1,a>0,b>0,∴1x +1x+1xx=1x+1x+x +x xx =21x +1x=2x +x x +x +xx=2x x +xx+4≥4√x x ·xx +4=8(当且仅当a=b=12时,等号成立),∴1x +1x +1xx ≥8. (2)∵1+1x1+1x =1x +1x +1xx +1,由(1)知1x +1x +1xx ≥8.∴1+1x1+1x ≥9.∵x+y+z=1,∴x +x x +1x +x=1-xx+11-x=1-xx+x +1-x 1-x=1-xx+x 1-x +1≥2√1-x x ·x 1-x+1=3,当且仅当x=12时取等号,∴x +x x +1x +x的最小值为3,应选A . x+y=1x +4x +8⇒x+y-8=1x +4x ,两边同时乘“x+y ”得(x+y-8)(x+y )=1x +4x(x+y ),因此(x+y-8)(x+y )=5+xx +4xx ≥9,当且仅当y=2x 时等号成立,令t=x+y ,因此(t-8)·t ≥9,解得t ≤-1或t ≥9,因为x+y>0,因此x+y ≥9,即(x+y )min =9,应选B .由题意知,a>0,Δ=4-4ac=0,∴ac=1,c>0,则x +1x +x +1x=x x +1x +x x +1x =x x +xx+1x+1x≥2+2√1xx=2+2=4,当且仅当a=c=1时取等号.∴x +1x +x +1x的最小值为4.曲线C :x 2-4x+y 2-21=0可化为(x-2)2+y 2=25,表示圆心为A (2,0),半径为5的圆.t=x 2+y 2+12x-12y-150-a=(x+6)2+(y-6)2-222-a ,(x+6)2+(y-6)2能够看做点M 到点N (-6,6)的距离的平方,圆C 上一点M 到N 的距离的最大值为|AN|+5,即点M 是直线AN 与圆C 的离点N 最远的交点,因此直线AN 的方程为y=-34(x-2),由{x =-34(x -2),(x -2)2+x 2=25,解得{x 1=6,x 1=-3或{x 2=-2,x 2=3(舍去),∴当{x =6,x =-3时,t 取得最大值,且t max =(6+6)2+(-3-6)2-222-a=b , ∴a+b=3,∴(a+1)+b=4,∴1x +1+1x =141x +1+1x[(a+1)+b ]=14x x +1+x +1x+2≥1,当且仅当xx +1=x +1x ,且a+b=3,即a=1,b=2时等号成立. 应选A .。

课时规范练33均值不等式及其应用基础巩固组1.下列不等式一定成立的是()A.lg x2+>lg x(x>0)B.sin x+≥2(x≠kπ,k∈Z)C.x2+1≥2|x|(x∈R)D.<1(x∈R)2.若a,b都是正数,则1+1+的最小值为()A.7B.8C.9D.103.(2018四川成都二诊,11)已知函数f(x)=log a(x+4)-1(a>0且a≠1)的图象恒过定点A,若直线=-2(m,n>0)也经过点A,则3m+n的最小值为()A.16B.8C.12D.144.(2018江西南昌测试三,10)若正数x,y满足x+4y-xy=0,则的最大值为()A. B. C. D.15.(2018江西新余四中适应性考试,9)设正数x,y满足x>y,x+2y=3,则的最小值为()-A. B.3 C. D.6.(2018辽宁辽南协作校一模拟,6)若lg a+lg b=0且a≠b,则的取值范围为()A.[2,+∞)B.(2,+∞)C.[2,3)∪(3,+∞)D.(2,3)∪(3,+∞)的最小值为()7.(2018天津十二中学联考一,12)已知a>b>0,则2a+-A.2+2B.C.2D.8.(2018安徽亳州最后一卷,10)设函数f(x)=|lg x|,若存在实数0<a<b,满足f(a)=f(b),则M=log2,N=log22,Q=ln的关系为()A.M>N>QB.M>Q>NC.N>Q>MD.N>M>Q9.若对于任意x>0,≤a恒成立,则a的取值范围是.10.(2018河北唐山二模,理23)已知a>0,b>0,c>0,d>0,a2+b2=ab+1,cd>1.(1)求证:a+b≤2;(2)判断等式=c+d能否成立,并说明理由.11.已知a>0,b>0,a+b=1,求证:(1)≥8;(2)1+1+≥9.综合提升组12.(2018湖北宜昌一中适应性考试,11)若P是面积为1的△ABC内一点(不含边界),△PAB,△PAC和△PBC的面积分别为x,y,z,则的最小值是()A.3B.C. D.13.(2018河北衡水联考,9)已知x+y=+8(x,y>0),则x+y的最小值为()A.5B.9C.4+D.1014.(2018湖南澧县一中一检,14)已知二次函数f(x)=ax2+2x+c(x∈R)的值域为[0,+∞),则的最小值为.创新应用组15.(2018河南信阳二模,11)点M(x,y)在曲线C:x2-4x+y2-21=0上运动,t=x2+y2+12x-12y-150-a,且t的最大值为b,若a>0,b>0,则的最小值为()A.1B.2C.3D.4课时规范练33均值不等式及其应用1.C当x>0时,x2+2·x=x,所以lg x2+≥lg x(x>0),故选项A不正确;运用均值不等式时需保证“一正”“二定”“三相等”,而当x≠kπ,k∈Z时,sin x的正负不定,故选项B不正确;由均值不等式可知,选项C正确;当x=0时,有=1,故选项D不正确.2.C∵a,b都是正数,∴1+1+=5+5+2=9,当且仅当b=2a>0时取等号.故选C.3.B由题意,函数f(x)=log a(x+4)-1(a>0且a≠1),令x+4=1,可得x=-3,代入可得y=-1,∴图象恒过定点A(-3,-1).∵直线=-2(m,n>0)也经过点A,=2,即=1.有3m+n=(3m+n)=2+5=8.(当且仅当n=m=2时,取等号) ∴3m+n的最小值为8.故选B.4.A因为x+4y-xy=0,化简可得x+4y=xy,左右两边同时除以xy,得=1,求的最大值,即求的最小值,所以×1=×=23,当且仅当时取等号,所以的最大值为,所以选A.5.A因为x+2y=3,所以2x+4y=6,所以(x-y)+(x+5y)=6,所以--×6=-[(x-y)+(x+5y)]=10+--(10+2)=,当且仅当x=2,y=时取最小值.故选A.6.A∵lg a+lg b=0且a≠b,∴lg ab=0,即ab=1.∴·ab=2b+a≥2=2,当且仅当a=2b=时取等号的取值范围为[2,+∞),故选A.7.A∵a>b>0,2a+-=a+b+a-b+-,∴a+b+2,当且仅当a+b=时取等号;a-b+-2,当且仅当a-b=时取等号.∴联立-解得-∴当-时,a+b+a-b+-2+2,即2a+-取得最小值2+28.B∵f(a)=f(b),∴|lg a|=|lg b|,∴lg a+lg b=0,即ab=1,2=,所以N=log22<-2,又,,所以M=log2>-2,又因为Q=ln=-2,∴M>Q>N,故选B.9.,+∞,因为x>0,所以x+2(当且仅当x=1时取等号),则,即的最大值为,故a10.(1)证明由题意得(a+b)2=3ab+1≤32+1,当且仅当a=b时,取等号.解得(a+b)2≤4,又a>0,b>0,所以a+b≤2.(2)解不能成立,因为a+b≤2,所以1+,因为c>0,d>0,cd>1,所以c+d=+1,故=c+d不能成立.11.证明(1)∵a+b=1,a>0,b>0,=2=2=2+4≥4+4=8(当且仅当a=b=时,等号成立),8.(2)∵1+1+=+1,由(1)知8.∴1+1+≥9.12.A∵x+y+z=1,-------+1≥2--+1=3,当且仅当x=时取等号,的最小值为3,故选A.13.B x+y=+8⇒x+y-8=,两边同时乘“x+y”得(x+y-8)(x+y)=(x+y),所以(x+y-8)(x+y)=5+≥9,当且仅当y=2x时等号成立,令t=x+y,所以(t-8)·t≥9,解得t≤-1或t≥9,因为x+y>0,所以x+y≥9,即(x+y)min=9,故选B.14.4由题意知,a>0,Δ=4-4ac=0,∴ac=1,c>0,则=+≥2+2=2+2=4,当且仅当a=c=1时取等号的最小值为4.15.A曲线C:x2-4x+y2-21=0可化为(x-2)2+y2=25,表示圆心为A(2,0),半径为5的圆.t=x2+y2+12x-12y-150-a=(x+6)2+(y-6)2-222-a,(x+6)2+(y-6)2可以看作点M到点N(-6,6)的距离的平方,圆C上一点M到N的距离的最大值为|AN|+5,即点M是直线AN与圆C的离点N最远的交点,所以直线AN的方程为y=-(x-2),由---解得-或-(舍去),∴当-时,t取得最大值,且t max=(6+6)2+(-3-6)2-222-a=b, ∴a+b=3,∴(a+1)+b=4,[(a+1)+b]=+2≥1,当且仅当,且a+b=3,即a=1,b=2时等号成立.故选A.。

考点规范练33 基本不等式及其应用一、基础巩固1.下列不等式一定成立的是( )A.lg (x 2+14)>lg x (x>0) B.sin x+1sin x ≥2(x ≠k π,k ∈Z ) C.x 2+1≥2|x|(x ∈R ) D.1x 2+1>1(x ∈R )x>0,所以x 2+14≥2·x ·12=x ,所以lg (x 2+14)≥lg x (x>0),故选项A 不正确; 当x ≠k π,k ∈Z 时,sin x 的正负不定,故选项B 不正确; 由基本不等式可知选项C 正确; 当x=0时,1x 2+1=1,故选项D 不正确.2.已知a>0,b>0,a ,b 的等比中项是1,且m=b+1x,n=a+1x,则m+n 的最小值是( )A.3B.4C.5D.6ab=1,则m=b+1x=2b ,n=a+1x=2a ,故m+n=2(a+b )≥4√xx =4(当且仅当a=b=1时,等号成立).3.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a<b ),其全程的平均时速为v ,则( ) A.a<v<√xxB.v=√xxC.√xx <v<x +x 2D.v=x +x 2s ,则小王往返两地用时为x x +xx ,从而v=2x x x +x x=2xxx +x .∵0<a<b ,∴√xx <x +x 2,2xxx +x>2xx 2x=a ,∴2x +x <√xx,即2xxx +x <√xx ,∴a<v<√xx . 4.已知圆x 2+y 2+4x-2y-1=0上存在两点关于直线ax-2by+2=0(a>0,b>0)对称,则1x +4x 的最小值为( ) A.8 B.9 C.16 D.18,直线ax-2by+2=0必过圆心(-2,1),所以a+b=1.所以1x +4x =(1x +4x )(a+b )=5+x x+4xx≥5+4=9,当且仅当xx=4xx,即2a=b=23时等号成立,故选B .5.若正数x ,y 满足4x 2+9y 2+3xy=30,则xy 的最大值是( ) A.43B.53C.2D.54x>0,y>0,得4x 2+9y 2+3xy ≥2×(2x )×(3y )+3xy (当且仅当2x=3y 时等号成立),则12xy+3xy ≤30,即xy ≤2,故xy 的最大值为2.6.若两个正实数x ,y 满足2x+1x =1,且x+2y>m 2+2m 恒成立,则实数m 的取值范围是( )A.(-∞,-2)∪[4,+∞)B.(-∞,-4]∪[2,+∞)C.(-2,4)D.(-4,2)x>0,y>0,2x +1x=1,所以x+2y=(x+2y)(2x +1x)=2+4xx+xx+2≥8,当且仅当4xx =xx,即x=2y时等号成立.由x+2y>m2+2m恒成立,可知m2+2m<8,即m2+2m-8<0,解得-4<m<2.7.设x,y∈R,a>1,b>1,若a x=b y=3,a+b=2√3,则1x +1x的最大值为()A.2B.32C.1 D.12a x=b y=3,1x +1x=1log x3+1log x3=lg x+lg xlg3=lg(xx)lg3,又a>1,b>1,所以ab≤(x+x2)2=3, 所以lg(ab)≤lg3,从而1x +1x≤lg3lg3=1,当且仅当a=b=√3时等号成立.8.已知x>1,则log x9+log27x的最小值是.x>1,∴log x9+log27x=2lg3lg x +lg x3lg3≥2√23=2√63,当且仅当x=3√6时等号成立.∴log x9+log27x的最小值为2√63.9.某公司购买一批机器投入生产,据市场分析,每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位:万元)与机器运转时间x(单位:年)的关系为y=-x2+18x-25(x∈N*).则当每台机器运转年时,年平均利润最大,最大值是万元.8x 年的年平均利润为x x =18-(x +25x ),而x>0,所以xx ≤18-2√25=8,当且仅当x=5时,年平均利润最大,最大值为8万元.10.(2018天津,文13)已知a ,b ∈R ,且a-3b+6=0,则2a+18x 的最小值为 .a-3b+6=0,∴a-3b=-6.∵a ,b ∈R ,∴2a >0,18x >0. ∴2a +18x ≥2√2x -3x =2√2-6=14,当且仅当2a=18x ,即a=-3,b=1时取等号.11.某种饮料分两次提价,提价方案有两种,方案甲:第一次提价p %,第二次提价q %;方案乙:每次都提价x +x 2%,若p>q>0,则提价多的方案是 .a ,则方案甲提价后为a (1+p %)(1+q %),方案乙提价后为a (1+x +x 2%)2.由于(1+p %)(1+q %)<[(1+x %)+(1+x %)2]2=(1+x +x 2%)2,因此提价多的是方案乙.12.设a ,b 均为正实数,求证:1x 2+1x 2+ab ≥2√2.a ,b 均为正实数,所以1x2+1x2≥2√1x2·1x2=2xx,当且仅当1x 2=1x 2,即a=b 时,等号成立,又因为2xx +ab ≥2√2xx ·xx =2√2, 当且仅当2xx =ab 时,等号成立,所以1x 2+1x 2+ab ≥2xx +ab ≥2√2,当且仅当{1x 2=1x 2,2xx =xx ,即a=b=√24时,等号成立.二、能力提升13.已知不等式2x 2-axy+y 2≥0对任意x ∈[1,2]及y ∈[1,3]恒成立,则实数a 的取值范围是( ) A.a ≤2√2 B.a ≥2√2C.a ≤113D.a ≤922x 2-axy+y 2≥0,且y ≠0,所以2(x x )2-a xx +1≥0.令t=xx ,则不等式变为2t 2-at+1≥0. 由x ∈[1,2],y ∈[1,3],可知t ∈[13,2], 即2t 2-at+1≥0在t ∈[13,2]时恒成立.由2t 2-at+1≥0可得a ≤2x 2+1x,即a ≤2t+1x .又2t+1x≥2√2x ·1x=2√2.当且仅当2t=1x,即t=√22时等号成立,所以2t+1x取得最小值2√2,所以有a ≤2√2,故选A .14.已知不等式|y+4|-|y|≤2x+x2x 对任意实数x ,y 都成立,则实数a 的最小值为( ) A.1 B.2C.3D.4f (y )=|y+4|-|y|,则f (y )≤|y+4-y|=4,即f (y )max =4.∵不等式|y+4|-|y|≤2x +x2x 对任意实数x ,y 都成立, ∴2x +x2x ≥f (y )max =4,∴a ≥-(2x )2+4×2x =-(2x -2)2+4恒成立;令g (x )=-(2x )2+4×2x,则a ≥g (x )max =4,∴实数a 的最小值为4. 15.已知x>0,a 为大于2x 的常数. (1)求函数y=x (a-2x )的最大值; (2)求y=1x -2x -x 的最小值.∵x>0,a>2x ,∴y=x (a-2x )=12×2x (a-2x )≤12×[2x +(x -2x )2]2=x 28,当且仅当x=x4时取等号,故函数y=x (a-2x )的最大值为x 28.(2)y=1x -2x-x=1x -2x +x -2x 2−x 2≥2√12−x 2=√2−x 2,当且仅当x=x -√22时取等号.故y=1x -2x -x 的最小值为√2−x2.16.某工厂某种产品的年固定成本为250万元,每生产x 千件,需另投入成本为C (x )(单元:万元),当年产量不足80千件时,C (x )=13x 2+10x (单位:万元).当年产量不少于80千件时,C (x )=51x+10000x-1450(单位:万元).每件商品售价为0.05万元.通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完. (1)写出年利润L (x )(单位:万元)关于年产量x (单位:千件)的函数解析式; (2)当年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?因为每件商品售价为0.05万元,则x 千件商品销售额为0.05×1000x 万元,依题意得,当0<x<80时,L (x )=(0.05×1000x )-13x 2-10x-250=-13x 2+40x-250;当x ≥80时,L (x )=(0.05×1000x )-51x-10000x+1450-250=1200-(x +10000x),则L (x )={-13x 2+40x -250,0<x <80,1200-(x +10000x ),x ≥80.(2)当0<x<80时,L (x )=-13(x-60)2+950,此时,当x=60时,L (x )取得最大值L (60)=950.当x≥80时,L(x)=1200-(x+10000x )≤1200-2√x·10000x=1200-200=1000,当且仅当x=10000x时,即x=100时,L(x)取得最大值1000.因为950<1000,所以当年产量为100千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大.最大利润为1000万元.三、高考预测17.若a,b满足ab=a+b+3,求ab的取值范围.ab=a+b+3,∴a+b=ab-3,∴(a+b)2=(ab-3)2.∵(a+b)2≥4ab,∴(ab-3)2≥4ab,即(ab)2-10ab+9≥0,故ab≤1或ab≥9.因此ab的取值范围是(-∞,1]∪[9,+∞).。