《角的平分线的性质(2)》名师教案(人教版八年级上册数学)-教学文档

12.3 角的平分线的性质（2）（杨香胜）一、教学目标（一）学习目标1.了解角的平分线的判定定理；2.理解角平分线性质和判定的区别与联系；3.会利用角的平分线的判定进行证明与计算.（二）学习重点角平分线的判定及其应用.（三）学习难点灵活应用角平分线的性质和判定解决问题.二、教学设计（一）课前设计1.预习任务（1）角平分线的判定定理：角的内部到角两边的距离相等的点在角平分线上（2）角平分线判定定理的符号语言：∵PA⊥OM，PB⊥ON，PA＝PB∴∠1＝∠2（OP平分∠MON）2.预习自测（1）到角的两边距离相等的点在上.（2）到三角形三边的距离相等的点是三角形（）A.三条边上的高线的交点B. 三个内角平分线的交点C.三条边上的中线的交点D.以上结论都不对（3）在△ABC中，∠C=90°,AD平分∠BAC，BC=5cm,BD=3cm,则D到AB的距离是________，∠B=40°，则∠CDA= .预习自测答案：（1）角平分线（2）B （3）2cm，65°(二)课堂设计1.知识回顾（1）角的平分线性质定理的内容是什么？其中题设、结论是什么？[生] 角的平分线上的点到角的两边的距离相等；题设是一个点在角平分线上，结论是这个点到角两边的距离相等.（2）角平分线性质定理的作用是证明什么？[生]证明垂线段相等（3）填空如图：∵OC平分∠AOB， OA⊥AC,OB⊥BC .∴AC=BC（角平分线性质定理）2. 问题探究探究一角平分线的判定●活动①（回顾旧知，回忆类活动）把角平分线性质定理的题设、结论交换后，得出什么命题？猜想：它正确吗？由学生抢答，然后师生归纳：到角两边距离相等的点在角平分线上；它是正确的. 【设计意图】由性质到判定强化二者的关系●活动②证明上面的猜想学生依据猜测写出已知、求证，并画图，而后独立写出证明过程.展示学生的学习成果：已知： OM⊥PA于A，ON⊥PB于B，AP=BP求证： OC平分∠MON证明：∵PA⊥OM，BP⊥ON∴∠OAP=∠OBP=90°在Rt△AOP和Rt△BOP中∴Rt△AOP≌Rt△BOP（HL）∴∠1=∠2∴OC平分∠MON【设计意图】进一步巩固全等三角形的判定.●活动③归纳角平分线的判定定理：到一角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上.∵PA⊥OM，PB⊥ON，PA＝PB∴∠1＝∠2（OP平分∠MON）【设计意图】培养学生的归纳概括能力.探究二角平分线性质和判定的区别与联系●活动①现有一条题目，两位同学分别用两种方法证明，他们的做法正确吗？哪一种方法好？已知： CA⊥OA于A，BC⊥OB于B，AC=BC求证： OC平分∠AOB证法1：∵CA⊥OA，BC⊥OB∴∠A=∠B在△AOC和△BOC中∴△AOC≌△BOC（HL）∴∠AOC=∠BOC ∴OC平分∠AOB证法2：∵CA⊥OA于A，BC⊥OB于B， AC=BC∴OC平分∠AOB（角平分线判定定理）先让学生回答，最后老师归纳：两种方法都正确，“方法2”好，证角平分线不再用证三角形全等后再证角相等得出，可直接运用角平分线判定定理.【设计意图】让学生体会角平分线判定定理的作用.●活动②学生结合图形完善表中内容，教师对个别学生教学指导.●活动③提问：角平分线的性质和判定之间有什么关系？先让学生回答，最后由师生归纳：角平分线性质的题设是角平分线判定的结论，角平分线性质的结论是角平分线判定的题设；角平分线性质的作用是证明线段相等，角平分线判定的作用是证明平分角；角平分线性质定理和角平分线判定定理是互为逆定理.【设计意图】培养学生的归纳概括能力.探究三利用角平分线的判定进行证明与计算●活动①（基础性例题）今天我们学习了关于角平分线的两个性质：①角平分线上的点到角的两边的距离相等；②到角的两边距离相等的点在角的平分线上．它们具有互逆性，随着学习的深入，解决问题越来越简便了．像与角平分线有关的求证线段相等、角相等问题，我们可以直接利用角平分线的性质，而不必再去证明三角形全等而得出线段相等．例1. 已知：如图所示，∠C＝∠C′＝90°，AC＝AC′．求证：（1）∠ABC＝∠ABC′；（2）BC＝BC′（要求：不用三角形全等判定）．【知识点】角平分线的性质和判定.【思路点拨】由条件∠C＝∠C′＝90°，AC＝AC′，可以把点A看作是∠CBC′平分线上的点，由此可打开思路．【解题过程】证明：（1）∵∠C＝∠C′＝90°（已知），∴AC⊥BC，AC′⊥BC′（垂直的定义）．又∵AC＝AC′（已知），∴点A在∠CBC′的角平分线上（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）．∴∠ABC＝∠ABC′．（2）∵∠C＝∠C′，∠ABC＝∠ABC′，∴180°－（∠C＋∠ABC）＝180°－（∠C′＋∠ABC′）即∠BAC＝∠BAC′，∵AC⊥BC，AC′⊥BC′，∴BC＝BC′（角平分线上的点到这个角两边的距离相等）．【设计意图】区别角平分线的性质和判定.练习：如图，已知AB=AC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且DE=DF.求证：BD=DC【知识点】角平分线的判定；三角形全等的判定和性质.【思路点拨】由DE=DF，可得∠BAD=∠CAD（角平分线的判定），则△ADB≌△ADC，所以BD=CD【解题过程】证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，且DE=DF∴∠BAD=∠CAD又∵AB=AC，AD=AD∴△ADB≌△ADC∴BD=CD【设计意图】进一步加深对角平分线判定的认识.●活动2 （提升型例题）例2．如图，△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等；∠A=40°，则∠BOC=（）A．110°B．120°C．130°D．140°【知识点】角的平分线的判定；角平分线的定义；三角形内角和定理.【思路点拨】由已知，O到三角形三边距离相等，得O是内心，再利用三角形内角和定理即可求出∠BOC=的度数.【解题过程】由已知，O到三角形三边距离相等，所以O是内心，即三角形角平分线交点，AO、BO、CO都是角平分线，所以有∠CBO=∠ABO=12∠ABC，∠BCO=∠ACO=12∠ACB，∠ABC+∠ACB=180°−40°=140°，∠OBC+∠OCB=70°，∠BOC=180°−70°=110°故选A.【答案】A【设计意图】利用角平分线的判定求有关的角.练习：如图，△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等；∠A=52°，则∠BOC=（）A．128°B．116°C．75°D．52°【知识点】角的平分线的判定；角平分线的定义；三角形内角和定理.【思路点拨】根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB=128°，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等判断出点O是△ABC角平分线的交点，再根据角平分线的定义求出∠OBC+∠OCB的度数，然后在△OBC中，利用三角形内角和定理列式进行计算即可得解．【解答过程】解：如图，∵∠A=52°，∴∠ABC+∠ACB=180°-52°=128°，∵点O到△ABC三边的距离相等，∴点O是△ABC角平分线的交点，在△OBC中，∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-64°=116°．故答案为：116°．【答案】B【设计意图】利用角平分线的判定求有关的角.例3. 已知：如图，AD、BE是△ABC的两个角平分线，AD、BE相交于O点.求证：O在∠C的平分线上.【知识点】角的平分线的性质与判定的综合应用.【思路点拨】由AD、BE是△ABC的两个角平分线，可以得到垂线段OG与ON相等，OG与OM相等，再由垂线段ON与OM相等，得到O在∠C的角平分线上. 【解题过程】证明：过O作OG⊥AB，OM⊥BC，ON⊥AC，∵AO平分∠BAC，∴OG=ON，∵BO平分∠ABC，∴OG=OM，∴ON=OM，∴O在∠C的平分线上.【设计意图】进一步理解角平分线的性质与判定的关系.练习：如图，BP是△ABC的外角平分线，点P在∠BAC的角平分线上．求证：CP 是△ABC的外角平分线．【知识点】角的平分线的性质与判定的综合应用.【思路点拨】根据角平分线的性质可得PD=PF，PD=PE，由此可得PE=PF，根据角平分线的判定可得PC平分∠BCE【解题过程】证明：过P作三边AB、AC、BC的垂线段PD、PE、PF，∵BP是△ABC的外角平分线，PD⊥AD，PF⊥BC，∴PD=PF（角平分线上的点到角两边的距离相等），∵点P在∠BAC的角平分线上，PD⊥AD，PE⊥AE，∴PD=PE（角平分线上的点到角两边的距离相等），∴PF=PE，PF⊥BC，PE⊥AE，∴CP是△ABC的外角平分线（在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上）．【设计意图】进一步理解角平分线的性质与判定的关系●活动3 （探究型例题）例4. 如图，BE=CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB=DC，求证：AD是∠BAC的平分线．【知识点】全等三角形的判定和性质；角平分线的判定定理.【思路点拨】由BE=CF， DB=DC，可得Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），所以DE=DF,根据平分线的判定定理可得AD是∠BAC的平分线．【解题过程】证明：∵DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，∴∠BED=∠CFD，∴△BDE与△CDF是直角三角形，∴Rt△BDE≌Rt△CDF，∴DE=DF，∴AD是∠BAC的平分线．【设计意图】进一步体会用角平分线的判定定理证明角相等.练习：如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，BE＝CF. 求证：AD 是△ABC的角平分线.【知识点】角平分线的判定；三角形全等.【思路点拨】由D是BC的中点，BE＝CF，可得Rt△BDE≌Rt△DCF（HL）则DE=DF，所以AD是△ABC的角平分线.【解答过程】证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴△BDE和△CDF是直角三角形．∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），∴DE=DF，又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD是角平分线．【设计意图】进一步体会用角平分线的判定证明角相等.3. 课堂总结知识梳理（以课堂内容为根据，结合教学目标的几点要求，对涉及到的知识细致梳理）（1）能证明角平分线判定定理；（2）理解角平分线的性质和判定的关系；（3）能利用角平分线的性质和判定进行证明和计算.重难点归纳（本节课的中心知识点在此进行回顾，对课堂上的典型方法、特殊例题进行归纳点拨）（1）理解角平分线性质与判定的关系；（2）灵活利用角平分线性质与判定解决线段和角有关的问题.（三）课后作业基础型自主突破1．如图，∠AOB=60°，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，且CD=CE，则∠DOC=_________. 【知识点】角平分线的判定【思路点拨】由CD⊥OA，CE⊥OB，CD=CE，可得∠AOC=∠BOC=30°【解答过程】解：∵CD⊥OA，CE⊥OB，CD=CE，∴∠AOC=∠BOC∵∠AOB=60°，【答案】30°2.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°,∠A=40°，DE⊥AC且DB=DE,则∠BCD=______.【知识点】角平分线的判定；三角形内角和定理。

第2课时角的平分线的性质(2)教学目标1．掌握角平分线的判定方法，会运用此方法判定角的平分线．2．会应用角平分线的性质和判定方法解决实际问题．3．在探索问题的过程中体会知识间的关系，能够利用所学知识解决相应的问题．教学重难点角平分线的性质是重点，灵活应用两个定理解决问题是难点．教学过程导入新课【复习提问】角平分线有什么性质？【提出问题】我们已经知道角平分线上的点到角两边的距离相等，那么若一个点到角两边的距离相等，这个点是否在这个角的平分线上呢？推进新课如图，已知PD⊥OA，PE⊥OB，且PD=PE，那么P点在∠AOB的平分线上吗？为什么？学生活动：学生独立思考，自主探索，利用三角形全等解决问题．考虑连接OP，由条件OP=OP，PD=PE，可以判断Rt△OPD≌Rt△OPE，于是得到∠DOP=∠EOP，即OP平分∠AOB.教师活动：引导学生对所得出的结论进行推理，在推理的过程中注重学生语言的准确性和简洁性，最后归纳：角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上．用数学语言表示：∵PE⊥OB，PF⊥OA，PE=PF，∴点P在∠AOB的平分线上．【应用提高】问题1：要在S区建立一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，且离公路与铁路的交叉处500米．这个集贸市场应建于何处(比例尺为1∶20 000)?学生活动：学生小组合作，在独立思考的基础上小组交流，发现若到公路、铁路的距离相等，则集贸市场一定在上述角的平分线上，于是可以用尺规作出角平分线，然后根据比例尺画出集贸市场所在地即可．教师活动：组织学生思考、讨论、交流，引导学生发现集贸市场所在地应在角平分线上这个结论．(解答)略．问题2：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于一点P.求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等．学生活动：学生自主探索，可以考虑过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，由P在∠ABC 的平分线上可以得到PD＝PE，同理得到PE＝PF，进而得到PD＝PE＝PF.教师活动：引导学生作出辅助线，然后利用角的平分线的性质得到相应的距离相等，在得到所需结论后，提醒学生由PD＝PF，得到P应在∠A的平分线上．在这个问题的解决过程中应注意：(1)为什么要作辅助线；(2)如何得到线段(距离)相等；(3)学生如何说明三条线段相等．最后引导学生归纳：三角形的三条角平分线相交于一点．问题3：(对上一问题的变式思考)：如图，已知△ABC的外角∠CBM和∠BCN的平分线相交于点E，求证：点E在∠MAN的平分线上．学生根据上一问题的解决过程独立解决本问题，在必要时教师适当引导．证明：如图，作EH⊥AM于点H，ED⊥BC于点D，EP⊥AN于点P.∵BE是∠MBC的平分线，∴EH＝ED(角平分线上的点到角两边的距离相等)．同理ED＝EP.∴EH＝EP.∴点E在∠MAN的平分线上(到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上)．本课小结我们学习了关于角平分线的两个性质，它们具有互逆性．点在角平分线上⇔点到这个角的两边距离相等．与角平分线有关的求证线段相等、角相等问题，我们可以直接利用角平分线的性质，而不必再去证明三角形全等而得出线段或角相等．【例1】如图，已知在△ABC中，∠B＝60°，△ABC的角平分线AD，CE相交于点O，求证：AE＋CD＝AC.证明：在AC上截取CF＝CD.连接OF.∵CE为∠ACB的平分线，∴∠FCO＝∠DCO.又∵CF＝CD，CO＝CO，∴△FCO ≌△DCO ，∴∠DOC ＝∠FOC .∵AD ，CE 分别为∠BAC ，∠ACB 的平分线，∴∠AOC ＝180°－∠OAC －∠OCA ＝180°－∠BAC ＋∠BCA 2＝180°－180°－∠B 2＝120°. ∴∠DOC ＝60°.∴∠AOF ＝∠FOC ＝∠AOE ＝60°.在△AOE 和△AOF 中，∵∠EAO ＝∠F AO ，AO ＝AO ，∠AOE ＝∠AOF ，∴△AOE ≌△AOF .∴AE ＝AF .∴AC ＝AF ＋FC ＝AE ＋CD .【例2】 如图，已知在△ABC 中，AD 是角平分线，AB >AC ，求证：BD >DC .证明：延长AC 到E ，使AE ＝AB ，连接DE .∵AD 为角平分线，易知△ADB ≌△ADE (SAS)，∴∠B ＝∠E ，BD ＝ED .∵∠BCE ＝∠B ＋∠BAC >∠B ，∴∠BCE >∠E .∴DE >DC .故BD >DC .。

人教版义务教育课程标准实验教科书八年级上册
12.3 角的平分线的性质(2)教学设计
一、教材分析
（一）、地位作用：角的平分线的性质(2)是角的平分线的性质(1)的延续和发展，角的平分线的性质的研究过程为以后运用平分线的性质解决问题提供了思路和方法。

本课题设计思路按操作、猜想、验证的学习过程，遵循学生的认知规律，体现了数学学习的必然性。

教材始终围绕着问题而展开，先从出示问题开始，鼓励学生思考，探索问题中所包含的数学知识，而设计了第一个数学活动—折纸，让学生体验三角形角平分线交于一点的事实，并得出了进一步的猜想，紧接着推出第二个数学活动——尺规作图，以达到复习旧知和再次验证猜想的目的，猜想是否正确，还得进行证明，从而激发了学生学习的兴趣和欲望，使教学目标顺利达成。

（二）、教学目标
（1）、会叙述角的平分线的性质及“到角两边距离相等的点在角的平分线上”。

（2）、能应用这两个性质解决一些简单的实际问题。

（3）、通过折纸、画图、文字及符号的数学活动，培养学生的联想、探索、概括归纳的能力，激发学生的学习兴趣。

教学重、难点
教学重点：角平分线性质和判定的应用．
教学难点：运用角平分线性质和判定证明及解决实际问题．
突破难点的方法：
二、教学准备：多媒体课件、导学案、
三、教学过程：
G
M
H
（二）变式训练：如图，在△ABC中，D是BC的中
垂足分别是E，F，且BE＝
A。

12.3 角的平分线的性质第1课时角平分线的性质一、教学目标（一）知识与技能1.会作已知角的平分线；2.了解角的平分线的性质,能利用三角形全等证明角的平分线的性质；3.会利用角的平分线的性质进行证明与计算.（二）过程与方法在探究作角的平分线的方法及角的平分线的性质的过程中,进一步发展学生的推理证明意识和能力.（三）情感、态度与价值观在探究作角的平分线的方法及角的平分线的性质的过程中,培养学生探究问题的兴趣、合作交流的意识、动手操作的能力与探索精神,增强解决问题的信心,获得解决问题的成功体验.二、教学重点、难点重点：角的平分线的性质的证明及应用；难点：角的平分线的性质的探究.三、教法学法三步导学的教学模式；自主探索,合作交流的学习方式.四、教与学互动设计（一）激情导课如图是小明制作的风筝，他根据AB=AD，BC=DC.不用度量，就知道AC是∠DAB的角平分线，你知道其中的道理吗？（二）民主导学1、探究一：角的平分线的作法Ⅰ、议一议问题1请你拿出准备好的角，用你自己的方法画出它的角平分线. 问题2ABCECA BOBD 21ABOCADBMN如图是一个平分角的仪器，其中AB=AD ，BC=DC.将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两边放下，画一条射线AE ，AE 就是∠DAB 的平分线. 你能说明它的道理吗?问题3通过上面的探究，你有什么启发？你能用尺规作图作已知角的平分线吗？请你试着做一做，并与同伴交流.已知：∠MAN求作：∠MAN 的角平分线.作法：（1）以A 为圆心，适当长为半径画弧，交AM 于B ，交AN 于D.（2）分别以B 、D 为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠MAN 的内部交于点C.（3）画射线AC. ∴射线AC 即为所求. Ⅱ、练一练平分平角∠AOB.通过上面的步骤得到射线OC 以后，把它反向延长得到直线CD.直线CD 与直线AB 是什么关系？思考：你能总结出“过直线上一点作这条直线的垂线”的方法吗？请说明你的方法。

12．3角的平分线的性质第1课时角的平分线的性质(一)教学目标1．探索并证明角平分线的性质．2．会用尺规作一个已知角的平分线．3．能利用角平分线的性质解决问题．4．了解一个几何命题的证明步骤．教学重点探索并证明角平分线上的点到角两边距离相等．教学难点证明一个几何命题．教学设计一师一优课一课一名师(设计者：)教学过程设计一、创设情景，明确目标1．不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角．你有什么办法？2．如果前面活动中的纸片换成木板、钢板等没法折的角，又该怎么办呢？二、自主学习，指向目标学习至此：请完成《学生用书》相应部分．●合作探究达成目标探究点一用尺规作已知角的平分线的方法活动一：教材P48思考展示点评：相等的边有哪些？图形中隐含的条件是什么？作已知角的平分线的方法？为什么要用“大于MN的一半为半径画弧”？小组讨论：平分角的仪器的原理依据是什么？反思小结：理论依据是三角形全等的判定“SSS”．针对训练：见《学生用书》相应部分探究点二角平分线的性质与证明活动二：同学们结合折纸活动，猜想一下角平分线有怎样的性质呢？猜想：角平分线上的点到角的两边的距离相等．展示点评：请同学们证明上述猜想(写出已知、求证)：通过证明我们得出角平分线性质：________．用数学语言翻译描述上述性质：小组讨论：第一次对折可以得到什么结论？第二次为什么要折出一个直角？角平分线的性质内容？已知和求证分别是什么？如何证明？如何用几何语言叙述？基本图形是什么？反思小结：角平分线上的点到角两边的距离相等． 针对训练：见《学生用书》相应部分 探究点三 角平分线的运用活动三：如图，OC 平分∠AOB ，点P 为OC 上任意一点，PD ⊥OA 于D ，PE ⊥OB 于E ，猜想PD 与PE 的数量关系，并证明．展示点评：由角平分线可以得到哪些角相等？由垂直可以得到哪些角相等？由图形可挖掘什么条件？由三角形全等可以得到什么结论？如何写证明过程？小组讨论：本题有哪些不同的证明方法，哪种方法更简便？反思小结：用角平分线的性质证明线段相等比用全等三角形证明线段相等更方便． 针对训练：见《学生用书》相应部分 四、总结梳理，内化目标本节课学习了那些知识？有哪些运用？1．角平分线的性质定理：在角平分线上的点到角的两边的距离相等． 2．角平分线的性质定理是证明角相等、线段相等的新途径． 五、达标检测，反思目标1．三角形中，到三边距离相等的点是( C ) A ．三条高线交点 B ．三条中线交点 C ．三条角平分线交点 D ．三边垂直平分线交点 2．邻补角的平分线的夹角是( B )A ．80°B ．90°C ．45°D ．180°3．如图，OP 平分∠AOB ，PC ⊥OA ，垂足为C ，PD ⊥OB 于D ，则PC 与PD 的大小关系是( B ) A ．PC>PD B ．PC ＝PD C ．PC<PD D ．不能确定4．如图，BD 是∠ABC 的平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ，若S △ABC ＝36 cm 2，AB ＝18 cm ，BC ＝12 cm ，则DE 的长是( A )A.124cm B ．6 cm C ．4 cm D ．2 cm5．如图所示，在△ABC 中，外角∠CBD 、∠BCE 的平分线交于O 点，OF ⊥AD ，OG ⊥AE ，垂足分别为F 、G ，则OF__＝__OG(填“>”“<”或“＝”)．6．在△ABC中，∠C＝90°，AD为∠BAC的角平分线，BC＝64，BD：DC＝9：7，求D到AB的距离．第5题图第6题图解：作DE⊥AB于E，∵∠C＝90°，∴DC⊥AC.又∵AD平分∠BAC，∴DC＝DE.又∵BC＝64，BD：DC＝9：7，∴DC＝716×64＝28.∴DE＝28.●布置作业，巩固目标教学难点1．上交作业习题12.3 2、3、4、5.2．课后作业见《学生用书》．第2课时角的平分线的性质(二)教学目标1．探索并证明角平分线性质定理的逆定理．2．能应用这两个性质解决一些简单的实际问题．教学重点理解并证明“到角的两边距离相等的点在角的平分线上”．教学难点“到角的两边距离相等的点在角的平分线上”这个结论的证明及应用．教学设计一师一优课一课一名师(设计者：)教学过程设计一、创设情景，明确目标1．会用尺规作角的平分线．2．角的平分线的性质：反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？二、自主学习，指向目标学习至此：请完成《学生用书》相应部分．三、合作探究，达成目标探究点一角平分线判定活动一：如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500米．思考：这个集贸市场应建于何处(在图上标出它的位置，比例尺为1：20000)?根据上题我们猜想：角的内部到角的两边的距离相等的点在________．展示点评：请大家尝试证明上述猜想(注意：写出已知、求证)经过证明，我们可以得出角的平分线判定：________________________________________________________________________.写出角平分线判定的数学语言描述：小组讨论：根据证明的结果可以得到什么结论？如何用几何语言叙述？基本图形是什么？反思小结：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上．针对训练：见《学生用书》相应部分探究点二角平分线性质的应用活动二：见教材P50例(答案见课本)展示点评：通过经过点P向三边作垂线，把问题转化为角平分线性质的基本图形，从而解决问题．小组讨论：点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形三条角平分线有什么关系？反思小结：三角形三条内角平分线相交于一点，且该点到三边的距离相等．四、总结梳理，内化目标到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．用数学语言表示为：∵QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE.∴点Q在∠AOB的平分线上．五、达标检测，反思目标1．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB于E，DE＝2 cm，BD＝3 cm，则BC等于( A )A．5 cm B．6 cm C．7 cm D．8 cm第1题图第2题图2．BD是△ABC的角平分线，自D向AB、BC两边作垂线，垂足为E，F，那么下列结论中错误的是( B )A．DE＝DF B．AD＝DCC．BE＝BF D．∠BDE＝∠BDF3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC∶∠B＝2∶1，AD是∠BAC的角平分线，DE ⊥AB于E，AC＝3 cm，则BE的长是__3_cm__．第3题图第4题图4．三条公路两两相交，交点分别为A，B，C现计划修一个油库，要求到三条公路的距离相等，可供选择的地址有__4__处．5．如图，△ABC中，AD是它的角平分线，P是AD上一点，过点P作PE∥AB交BC于E，点F在BC上，连接PF，已知D到PE的距离与D到PF的距离相等．求证：PF∥AC.证明：∵点D到PE与PF的距离相等，∴PD平分∠EPF，∴∠3＝∠4又∵AD平分∠BAC∴∠1＝∠2∵PE∥AB，∴∠1＝∠3∴∠2＝∠4∴PF∥AC●布置作业，巩固目标教学难点1．上交作业习题12.3 6、7.2．课后作业见《学生用书》．。

12.3角的平分线的性质第2课时角平分线的判定教学目标：1.探究并证明角平分线的判定方法.2.会用角的平分线的判定解决实际问题.3.熟练掌握角的平分线的性质和角的平分线的判定的综合运用.教学重难点：重点:角平分线的判定.难点:三角形的内角平分线的应用.教学过程：课堂导入我们知道,角的平分线上的点到角的两边的距离相等,反过来,到角的两边的距离相等的点是否在这个角的平分线上呢?这节课我们来对这个问题进行探究.讲授新课知识点1角平分线的判定定理角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上吗?也就是交换角的平分线的性质中的已知和结论.下面我们证明这个命题的正确性.已知:如图所示,PD⊥OA,PE⊥OB,PD=PE.求证:点P在∠AOB的平分线上(OP平分∠AOB).证明:因为PD⊥OA,PE⊥OB(已知),所以∠PDO=∠PEO=90°.在Rt△PDO和Rt△PEO中,{PO=PO,PD=PE,所以Rt△PDO≌Rt△PEO(HL).所以∠POD=∠POE.即点P在∠AOB的平分线上.[归纳]角的平分线的判定定理:角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.注意:(1)使用该判定定理的前提是这个点必须在角的内部;(2)角的平分线的判定定理是证明两角相等的重要办法.几何语言:如图所示,因为点P 是∠AOB 内的一点,PD ⊥OA,PE ⊥OB,垂足分别为D,E,且PD=PE, 所以点P 在∠AOB 的平分线OC 上.范例应用例1 如图所示,要在S 区建一个集贸市场,使它到公路、铁路的距离相等,并且离公路和铁路的交叉处500 m.这个集贸市场应建于何处(在图上标出它的位置,比例尺为1∶20 000)? 解:因为图上距离500=120000, 所以图上距离=0.025 m=2.5 cm.如图所示,P 点即为所求.理由:P 点在这个交叉口的角平分线上,所以P 点到公路与铁路的距离相等.知识点2 角的平分线的性质定理与判定定理的关系点在角的平分线上(角的内部)点到角的两边的距离相等.正确理解两个定理的条件和结论,性质定理和判定定理的条件和结论是相反的,性质定理是证明两条线段相等的依据,判定定理是证明两个角相等的依据.知识点3 三角形三个内角平分线的性质1.如图所示,三角形的三个内角的角平分线已画出,从位置上你能观察出什么结论? 答案:三角形三个内角的平分线的交点位于三角形的内部.2.如图所示,过交点分别作三角形三边的垂线,根据角平分线的性质定理你能得出什么结论? 答案:过交点作的三角形三边的垂线段相等.范例应用例2 如图所示,△ABC 的角平分线AD,BE,:点P 到△ABC 三边AB,BC,CA 的距离相等. 证明:如图所示,过点P 作PM ⊥BC ,PN ⊥AC ,PO ⊥AB ,垂足分别为M ,N ,O.因为AD为△ABC的角平分线,所以PN=PO.因为BE为△ABC的角平分线,所以PM=PO.因为CF为△ABC的角平分线,所以PM=PN.所以PM=PN=PO,即点P到△ABC三边AB,BC,CA的距离相等.课堂训练1.判断题:(1)如图(1)所示,若QM=QN,则OQ平分∠AOB.(×)(2)如图(2)所示,若QM⊥OA于点M,QN⊥OB于点N,则OQ平分∠AOB.(×)2.如图所示,表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有(D)处处处处第2题图第3题图3.如图所示,O是△ABC内一点,O到三边AB,BC,CA的距离分别为OF,OD,OE,且OF=OD=OE,若∠BAC=70°,则∠BOC=125°.4.如图所示,:AP平分∠BAC.证明:如图所示,作PQ⊥BC,PM⊥AE,PN⊥AF,垂足分别为Q,M,N.因为P点在∠CBE和∠BCF的平分线上,所以PM=PQ,PN=PQ.所以PM=PN.又PM⊥AE,PN⊥AF,所以AP平分∠BAC.课堂小结1.三角形的三条角平分线的交点有且只有一个,且一定在三角形的内部.2.证明三线共点的思路:先设其中的两线交于一点,再证明该交点也在第三条直线上.3.在三角形内部,要找一点到三边距离相等时,只要作出两个角的平分线,其交点即是.4.角平分线的判定与性质的关系:由角平分线的判定方法知这个结论的逆命题也是正确的,即在三角形内,到三角形三边的距离相等的点是三角形三条角平分线的交点.板书设计第2课时角平分线的判定角平分线的判定{学会用添加辅助线的方法解题判定定理——角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上应用——综合利用角的平分线的性质和判定来解决实际问题教学反思本课时教学应重视以下几点:(1)由定理得到它的逆命题,并证明它的正确性,把两个定理正确地运用;(2)尽力体现数学与生活的联系,从实际中学习新知,使学生认识这种学习方法.(3)课堂中,可采用口答、动手做等方式组织学生比赛,教师依据具体情形予以点评指点,查缺补漏,使学生从本质上理解知识.。

12.3 角的平分线的性质教学目标1. 角的平分线的性质.2．会叙述角的平分线的性质及“到角两边距离相等的点在角的平分线上”．3．能应用这两个性质解决一些简单的实际问题．重点难点重点：角平分线的性质及其应用．难点：灵活应用两个性质解决问题．教学过程Ⅰ．创设情境，引入新课拿出课前准备好的折纸与剪刀，剪一个角，把剪好的角对折，使角的两边叠合在一起，再把纸片展开，看到了什么？把对折的纸片再任意折一次，然后把纸片展开，又看到了什么？分析：第一次对折后的折痕是这个角的平分线；再折一次，又会出现两条折痕，而且这两条折痕是等长的．这种方法可以做无数次，所以这种等长的折痕可以折出无数对．Ⅱ．导入新课角平分线的性质即已知角的平分线，能推出什么样的结论．折出如图所示的折痕PD、PE．画一画：按照折纸的顺序画出一个角的三条折痕，并度量所画PD、PE是否等长？投影出下面两个图形，让学生评一评，以达明确概念的目的．结论：同学乙的画法是正确的．同学甲画的是过角平分线上一点画角平分线的垂线，而不是过角平分线上一点作两边的垂线段，所以他的画法不符合要求．问题1：如何用文字语言叙述所画图形的性质吗？[生]角平分线上的点到角的两边的距离相等．问题2：能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两边的距离相等”这句话．请填下表：已知事项：OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，D、E为垂足．由已知事项推出的事项：PD=PE．于是我们得角的平分线的性质：在角的平分线上的点到角的两边的距离相等．[师]那么到角的两边距离相等的点是否在角的平分线上呢？（出示投影）问题3：根据下表中的图形和已知事项，猜想由已知事项可推出的事项，并用符号语言填写下表：[生讨论]已知事项符合直角三角形全等的条件，所以Rt△PEO≌Rt△PDO（HL）．于是可得∠PDE=∠POD．由已知推出的事项：点P在∠AOB的平分线上．由此我们又可以得到一个性质：到角的两边距离相等的点在角的平分线上．这两个性质有什么联系吗？分析：这两个性质已知条件和所推出的结论可以互换．思考：如图所示，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，•离公路与铁路交叉处500m，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1:20 000）？1．集贸市场建于何处，和本节学的角平分线性质有关吗？用哪一个性质可以解决这个问题？2．比例尺为1:20 000是什么意思？结论：1．应该是用第二个性质．这个集贸市场应该建在公路与铁路形成的角的平分线上，并且要求离角的顶点500米处．2．在纸上画图时，我们经常在厘米为单位，而题中距离又是以米为单位，•这就涉及一个单位换算问题了．1 m=100 cm，所以比例尺为1:20 000，其实就是图中1 cm表示实际距离200 m的意思．作图如下：第一步：尺规作图法作出∠AOB的平分线OP．第二步：在射线OP上截取OC=2.5 cm，确定C点，C点就是集贸市场所建地了．总结：应用角平分线的性质，就可以省去证明三角形全等的步骤，•使问题简单化．所以若遇到有关角平分线，又要证线段相等的问题，•我们可以直接利用性质解决问题．III．例题与练习例如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P．求证：点P到三边AB、B C、CA的距离相等．分析：点P到AB、BC、CA的垂线段PD、PE、PF的长就是P点到三边的距离，也就是说要证：PD=PE=PF．而BM、CN分别是∠B、∠C的平分线，•根据角平分线性质和等式的传递性可以解决这个问题．证明：过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足为D、E、F．因为BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，所以PD=PE．同理PE=PF．所以PD=PE=PF，即点P到三边AB、BC、CA的距离相等．练习：1．课本练习．2．课本习题．强调：条件充足的时候应该直接利用角平分线的性质，无须再证三角形全等．IV．课时小结今天，我们学习了关于角平分线的两个性质：①角平分线上的点到角的两边的距离相等；②到角的两边距离相等的点在角的平分线上．它们具有互逆性，随着学习的深入，解决问题越来越简便了．像与角平分线有关的求证线段相等、角相等问题，我们可以直接利用角平分线的性质，而不必再去证明三角形全等而得出线段相等．Ⅴ．课后作业1、课本习题。