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高等数学基础综合练习题解答一．填空题1．函数ln(1)y x =-的定义域为 12x x >≠且 。
()40410121ln 1011x x x x x x x x +≥⎧≥-⎧⎪⎪->⇒⇒>≠>⎨⎨⎪⎪-≠-≠⎩⎩解：且2．函数y =的定义域是 12x -<< 。
2101122240x x x x x +>>-⎧⎧⇒⇒-<<⎨⎨-<<->⎩⎩解： 3．函数y =的定义域是 23x x ≥-≠且 。
202303x x x x +≥≥-⎧⎧⇒⎨⎨-≠≠⎩⎩解： 4．设2(2)2f x x +=-，则)(x f 246x x -+ 。
解：设2x t +=，则2x t =-且原式2(2)2f x x +=-即()2()22f t t =--＝242t t -+亦即()f x =242x x -+4．若函数4(1),0(),x x x f x k x ⎧⎪-≠=⎨⎪=⎩在0x =处连续，则k = 4e - 。
()()()()()()()4144004lim lim 1lim ,lim 1(0)xxx x x f x x x e f k k e -⨯--→→→→-=-=-==∴==x 0函数f x 在x=0连0 续x 则f f5．曲线x y e -=在0x =处的切线方程为 1y x -=- 。
曲线()y f x =在点()00,x y 处的切线方程为()000x y y y x x '-=-解：()001xx x y e-=='=-=-，00001x y e ===时，1(0)1y x y x -=--⇒-=-，6. 函数ln(3)1x y x +=+的连续区间为 ()()3,1,1,---+∞ 。
初等函数在其定义区间连续。
ln(3)1x y x +=+⇒3010x x +>⎧⎨+≠⎩⇒3x >-且1x ≠-⇒()()3,1,1,---+∞7．曲线ln y x =在点(1,0)处的切线方程为 1y x =- 。
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未经允许，请勿外传！高等数学基础归类复习一、单项选择题1-1下列各函数对中，（ C ）中的两个函数相等．A. 错误!未找到引用源。
，错误!未找到引用源。
B. 错误!未找到引用源。
，错误!未找到引用源。
C.错误!未找到引用源。
，错误!未找到引用源。
D. 错误!未找到引用源。
，错误!未找到引用源。
1-⒉设函数错误!未找到引用源。
的定义域为错误!未找到引用源。
，则函数错误!未找到引用源。
的图形关于（C ）对称．A. 坐标原点B. 错误!未找到引用源。
轴C. 错误!未找到引用源。
轴D. 错误!未找到引用源。
设函数错误!未找到引用源。
的定义域为错误!未找到引用源。
，则函数错误!未找到引用源。
的图形关于（D ）对称．A. 错误!未找到引用源。
B. 错误!未找到引用源。
轴C. 错误!未找到引用源。
轴D. 坐标原点.函数错误!未找到引用源。
的图形关于（A ）对称．(A) 坐标原点(B) 错误!未找到引用源。
轴(C) 错误!未找到引用源。
轴(D) 错误!未找到引用源。
1-⒊下列函数中为奇函数是（B ）．A. 错误!未找到引用源。
B. 错误!未找到引用源。
C. 错误!未找到引用源。
D. 错误!未找到引用源。
下列函数中为奇函数是（A ）．A. 错误!未找到引用源。
B. 错误!未找到引用源。
C. 错误!未找到引用源。
D. 错误!未找到引用源。
下列函数中为偶函数的是（ D ）．A 错误!未找到引用源。
B 错误!未找到引用源。
C 错误!未找到引用源。
D 错误!未找到引用源。
2-1 下列极限存计算不正确的是（ D ）．A. 错误!未找到引用源。
B. 错误!未找到引用源。
C. 错误!未找到引用源。
D. 错误!未找到引用源。
2-2当错误!未找到引用源。
时，变量（ C ）是无穷小量．A. 错误!未找到引用源。
B. 错误!未找到引用源。
C. 错误!未找到引用源。
D. 错误!未找到引用源。
当错误!未找到引用源。
时，变量（ C ）是无穷小量．A 错误!未找到引用源。
2014电大《高等数学基础》期末复习资料（例题附答案1）高等数学基础学习辅导（1）函数部分例题讲解例1 若函数，则＝( C ).A. 0B. 1C.D.解: 22)4sin()4(=-=-ππf 故选项C 正确。
例2 下列函数对中，哪一对函数表示的是同一个函数？CA ．2ln )(,ln 2)(x x g x x f ==B ．12ln)(+-=x x x f ，)1ln()2ln()(+--=x x x g C ．x e x x g x e x x x f xx -=-=)(,)()(2D ．1)(,11)(2-=+-=x x g x x x f 解: A,B,D 中两个函数的定义域都不相同，故它们不是同一函数，C 中函数2)()(xe x x xf x -=的定义域是0≠x ，对应关系可化为 )()()(2x g x e x x e x x x f xx =-=-=故这两个函数是相同的函数。
例3 下列各对函数中，（C ）是相同的。
A.x x g x x f ==)(,)(2； B.f x x g x x ()ln ,()ln ==22；C.f x x g x x ()ln ,()ln ==33； D.f x x x g x x (),()=-+=-2111解： A 中两函数的对应关系不同,x x x ≠=2， B, D 三个选项中的每对函数的定义域都不同，所以A B, D 都不是正确的选项；而选项C 中的函数定义域相等，且对应关系相同，故选项C 正确。
例4 下列函数中，哪个函数是奇函数？A ．)12sin()(++=x x x fB ．)1ln()(2++=x x x fC ．x e x x f x-=)(D ．x xx x f sin 1)(2⋅-= 解： 由奇函数的定义验证A,C 可知它们都不满足)()(x f x f -=-，D 满足)()(x f x f =-，即它为偶函数 验证B )1)(()1)((ln )1)(ln()(22222x x x x x x x f ++--+-=+-+-=-)()1ln(11ln22x f x x xx -=++-=++=故此函数是奇函数。
《高等数学基础》期末试题及答案一、选择题（每题5分，共25分）1. 函数f(x) = x² - 2x + 1在x = 1处的导数是（）A. 0B. 2C. -2D. 1答案：A2. 函数y = ln(e²x)的导数是（）A. 2xB. 2C. e²xD. 1答案：A3. 下列极限中，正确的是（）A. lim(x→0) sinx/x = 0B. lim(x→0) sinx/x = 1C. lim(x→0) sinx/x = ∞D. lim(x→0) sinx/x = -1答案：B4. 函数y = x²e²x的极值点为（）A. x = 0B. x = 1C. x = -1D. x = 2答案：C5. 定积分∫(0→1) x²dx的值是（）A. 1/3B. 1/2C. 1D. 2答案：A二、填空题（每题5分，共25分）6. 函数y = 2x³ - 3x² + 2x + 1的一阶导数是______。
答案：6x² - 6x + 27. 函数y = x²e²x的二阶导数是______。
答案：4x²e²x + 4xe²x8. 极限lim(x→∞) (1 + 1/x)²ⁿ = ______。
答案：e9. 定积分∫(0→π) sinx dx的值是______。
答案：210. 定积分∫(0→π/2) eˣdx的值是______。
答案：eπ/2 - 1三、解答题（每题25分，共75分）11. 设函数f(x) = x³ - 3x² + 4，求f'(x)和f''(x)。
解：f'(x) = 3x² - 6x，f''(x) = 6x - 6。
12. 求函数f(x) = x²e²x的极值点和极值。
2014电大《高等数学基础》期末复习资料(例题附答案5)高 等 数 学 基 础 学 习 辅 导（5）导 数 与 微 分 例 题 讲 解（二）例题讲解1. 函数⎪⎩⎪⎨⎧=01sin)(2x x x f00=≠x x 在点0x 处是否可导。
解：∵xx f x f y ∆∆=-∆+=∆1sin)()0()0(2xx x x x x y ∆∆=∆∆∆=∆∆1sin .1sin)(2 ∴01sin .lim lim)0('00=∆∆=∆∆=→∆→∆xx x y f x x 即0)0('=f ，函数在0=x 处可导。
2. 求xx x y 1=的导数解：∵874743231.111-=====xxxx xx xx x y∴8151878787'----=-=x x y3.)1cosln(2xx y +=，求y '。
解： )1c o s (1c o s122'++='x x xx y])1(cos 1cos 211[1cos 1222'++=x xxx)]1)(1sin (1cos 21cos211[1cos 1222x x x xxx --⋅++=)1c o s22s i n 1(1c o s1222xx x xx ++=4. 设解：5. 2tg 1sinx e xy ⋅=，求y d 。
解：2tg 2)1(1cosx e xx y -⋅='＋22tg sec 21sin 2x x e x x ⋅⋅则y d 2tg 21cos 1(x e x x⋅-=＋x x ex x x d )sec 1sin 222tg 2⋅6. 设解：7. 由方程)0()cos(2π<<=+y x y x 确定了y 是x 的函数，求y '（0）。
解：方程两端对x 求导，得1)22)(sin(2='++-yy x y x故]2)sin(1[22x y x y y -+-='将x =0代入原方程中，得0cos =y ，4,22π=π=y y于是y '（0）＝π-。
高等数学基础复习资料复习资料一一、单项选择题1.设函数)(x f 的定义域为)(∞+-∞，，则函数)(x f +)(x f - 的图形关于（C ）对称。
A .x y = B .x 轴 C .y 轴 D .坐标原点2.当0→x 时，变量（D ）是无穷小量。
A ．x 1 B . xx sin C . x2 D . )1ln(+x 3．下列等式中正确的是（B ）． A ．xdx x d arctan )11(2=+ B . 2)1(xdx x d -= C . dx d xx 2)2ln 2(= D . xdx x d cot )(tan = 4．下列等式成立的是（A ）． A ．)()(x f dx x f dx d=⎰B . )()(x f dx x f ='⎰C . )()(x f dx x f d =⎰D . )()(x f x df =⎰5．下列无穷积分收敛的是（C ）． A ．⎰+∞11dx xB .⎰+∞11dx xC . ⎰+∞1341dx xD .⎰+∞1sin xdx二、填空题 1．函数24)(2--=x x x f 的定义域是22>-≤x x 或．2．函数12++=x x y 的间断点是1-=x ． 3．曲线xx f 1)(=在点（1，1）处的切线的斜率是21-=k ． 4．函数)1ln(2x y +=的单调增加区间是[)∞+，0． 5．⎰-dx ed x 2=dx e x 2-．三、计算题1．计算极限4586lim 224+-+-→x x x x x ．解：原式=)4)(1()4)(2(lim4----→x x x x x =12lim 4--→x x x =32． 2．设x x x y ln tan 2+=，求y '．解：xx x x x y 1ln 2sec 22⨯++='=x x x x ++ln 2sec 23．设x x y 35ln +=，求y '．解：)(ln ln 3524'⨯+='x x x y =xxx 24ln 35+4．设52cos x x y -=，求dy ．解：45)sin (cos 2x x x y --='=452sin x x --dx y dy '==dx x x )52sin (4--5．设53cos x x y -=，求dy ．解：425)sin (cos 3x x x y --='=425sin cos 3x x x --dx y dy '==dx x x x )5sin cos 3(42--6.设x x e y 3sin +=，求dy 解：3ln 3)(sin sin x xx ey +'⨯='=3ln 3cos sin x x x e +dx y dy '==dx x e x x)3ln 3cos (sin +7．设2cos ln x y =，求dy ． 解：)(cos cos 122'='x x y =x x x2)sin (cos 122⨯-=2tan 2x x -． 8．设)(x y y =是由方程yxy x 2sin 2=确定的函数，求y '． 解：方程两边同时对x 求导得：2222cos sin 2yy x y y y x y x '-='+ 移项合并同类项得：y xy y y x y y x sin 22)2cos (222-='+再移项得：xy y x yxy y y 2cos sin 22222+-='9．计算不定积分⎰dx xx cos ．解：原式=⎰x d x cos 2=C x +sin 210．计算定积分⎰exdx x 1ln ．解：原式=⎰-e x d x e x x 122)(ln 21ln 2=⎰-e xdx e 12212=141222e x e -=4141222+-e e =4142+e11．计算定积分⎰2sin πxdx x ．解：原式=⎰---20)cos (02cos ππdx x x x =02sin )00(πx +-=1四、应用题1．求曲线x y =2上的点，使其到点)03(，A 的距离最短． 解：设曲线x y =2上的点)(y x ，到点)03(，A 的距离为d ，则 22)3(y x d +-==x x +-2)3(=952+-x x求导得：952522+--='x x x d令0='d 得驻点25=x ，将25=x 带入x y =2中得210±=y ，有实际问题可知该问题存在最大值，所以曲线x y =2上的点)21025(，和点)21025(-，到点)03(，A 的距离最短． 五、证明题当0>x 时，证明不等式)1ln(x x +>． 证明：设)1ln(x x y +-= ∵ 0=x 时，0=y 求导得：x y +-='111=xx +1 当0>x ，0>'y 即)1ln(x x y +-=为增函数∴ 当0>x 时，0)1ln(>+-=x x y 即 )1ln(x x +>成立复习资料二一、单项选择题1．设函数)(x f 的定义域为)(∞+-∞，，则函数)(x f -)(x f - 的图形关于（D ）对称． A .x y = B .x 轴 C .y 轴 D .坐标原点 2．当0→x 时，变量（C ）是无穷小量。
高等数学基础复习资料复习资料一一、单项选择题1.设函数)(x f 的定义域为)(∞+-∞，，则函数)(x f +)(x f - 的图形关于（C ）对称。
A.x y = B.x 轴 C.y 轴 D.坐标原点2.当0→x 时，变量（D ）是无穷小量。
A ．x 1 B. xxsin C. x 2 D. )1ln(+x 3．下列等式中正确的是（B ）． A ．xdx x d arctan )11(2=+ B. 2)1(xdx x d -= C. dx d xx 2)2ln 2(= D. xdx x d cot )(tan = 4．下列等式成立的是（A ）． A ．)()(x f dx x f dx d=⎰B. )()(x f dx x f ='⎰C. )()(x f dx x f d =⎰D. )()(x f x df =⎰ 5．下列无穷积分收敛的是（C ）． A ．⎰+∞11dx xB. ⎰+∞11dx x C. ⎰+∞1341dx x D. ⎰+∞1sin xdx 二、填空题 1．函数24)(2--=x x x f 的定义域是22>-≤x x 或．2．函数12++=x x y 的间断点是1-=x ． 3．曲线xx f 1)(=在点（1，1）处的切线的斜率是21-=k ． 4．函数)1ln(2x y +=的单调增加区间是[)∞+，0． 5．⎰-dx ed x 2=dx e x 2-．三、计算题1．计算极限4586lim 224+-+-→x x x x x ．解：原式=)4)(1()4)(2(lim4----→x x x x x =12lim 4--→x x x =32．2．设x x x y ln tan 2+=，求y '．解：xx x x x y 1ln 2sec 22⨯++='=x x x x ++ln 2sec 23．设x x y 35ln +=，求y '．解：)(ln ln 3524'⨯+='x x x y =xxx 24ln 35+4．设52cos x x y -=，求dy ．解：45)sin (cos 2x x x y --='=452sin x x --dx y dy '==dx x x )52sin (4--5．设53cos x x y -=，求dy ．解：425)sin (cos 3x x x y --='=425sin cos 3x x x --dx y dy '==dx x x x )5sin cos 3(42--6.设x xey 3sin +=，求dy解：3ln 3)(sin sin x xx ey +'⨯='=3ln 3cos sin x x x e +dx y dy '==dx x ex x)3ln 3cos (sin +7．设2cos ln x y =，求dy ． 解：)(cos cos 122'='x x y =x x x2)sin (cos 122⨯-=2tan 2x x -． 8．设)(x y y =是由方程yxy x 2sin 2=确定的函数，求y '． 解：方程两边同时对x 求导得：2222cos sin 2yy x y y y x y x '-='+ 移项合并同类项得：y xy y y x y y x sin 22)2cos (222-='+再移项得：xy y x yxy y y 2cos sin 22222+-='9．计算不定积分⎰dx xx cos ．解：原式=⎰x d x cos 2=C x +sin210．计算定积分⎰exdx x 1ln ．解：原式=⎰-e x d x e x x 122)(ln 21ln 2=⎰-e xdx e 12212=141222e x e -=4141222+-e e =4142+e11．计算定积分⎰2sin πxdx x ．解：原式=⎰---20)cos (02cos ππdx x x x =02sin )00(πx +-=1四、应用题1．求曲线x y =2上的点，使其到点)03(，A 的距离最短． 解：设曲线x y =2上的点)(y x ，到点)03(，A 的距离为d ，则22)3(y x d +-==x x +-2)3(=952+-x x求导得：952522+--='x x x d令0='d 得驻点25=x ，将25=x 带入x y =2中得210±=y ，有实际问题可知该问题存在最大值，所以曲线x y =2上的点)21025(，和点)21025(-，到点)03(，A 的距离最短． 五、证明题当0>x 时，证明不等式)1ln(x x +>． 证明：设)1ln(x x y +-= ∵ 0=x 时，0=y 求导得：x y +-='111=xx +1 当0>x ，0>'y 即)1ln(x x y +-=为增函数 ∴ 当0>x 时，0)1ln(>+-=x x y 即 )1ln(x x +>成立复习资料二一、单项选择题1．设函数)(x f 的定义域为)(∞+-∞，，则函数)(x f -)(x f - 的图形关于（D ）对称． A.x y = B.x 轴 C.y 轴 D.坐标原点 2．当0→x 时，变量（C ）是无穷小量。
高等数学基础1、函数为基本初等函数.A. 是B. 否正确答案：B2、一切初等函数在其定义区间内都是连续的。
A. 是B. 否正确答案：A4、1755年，_________给出了另一个定义：“如果某些变量，以某一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为后面变量的函数。
”A. 欧拉B. 伽利略C. 梅根D. 柯西正确答案：A7、设Δx是曲线y=f(x)上的点M的在_____上的增量，Δy是曲线在点M对应Δx在_____上的增量，dy是曲线在点M的切线对应Δx在纵坐标上的增量。
A. 纵坐标；横坐标B. 横坐标；纵坐标C. 横坐标D. 以上都不对正确答案：B10、印度喀拉拉学校也曾发现可用于计算圆周率的无穷级数，并利用它将圆周率的值精确到小数点后第9位和第10位，后来又精确到第（）位。
A. 18B. 15C. 17D. 19正确答案：C11、1821年，_________从定义变量起给出了定义：“在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着而确定时，则将最初的变数叫自变量，其他各变数叫做函数。
”A. 康托B. 梅根C. 欧拉D. 柯西正确答案：D12、变量x的变化范围叫做这个函数的？A. 值B. 定义域C. 真集D. 以上都不是正确答案：B14、如果变量的变化是连续的，则常用（）来表示其变化范围。
A. 区间B. 集合C. 子集D. 补集正确答案：A15、十七世纪_________在《两门新科学》一书中，几乎全部包含函数或称为变量关系的这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系。
A. 笛卡尔B. 伽利略C. 柯西D. 欧拉正确答案：B16、两偶函数和为（）函数。
A. 奇B. 偶C. 反D. 以上都不对正确答案：B18、定积分的大小。
A. 与y＝f(x)和积分区间[a，b]有关，与ξi的取法无关B. 与y＝f(x)有关，与积分区间[a，b]和ξi的取法无关C. 与y＝f(x)和ξi的取法有关，与积分区间[a，b]无关D. 与y＝f(x)、积分区间[a，b]、ξi的取法均无关正确答案：A19、微分可以近似地描述当函数_____的变化量取值作足够小时，函数的值是怎样改变的。
电大高等数学基础考试答案完整版高等数学基础复一、单项选择题1.下列各函数中，（C）中的两个函数相等。
A。
f(x) = x^2.g(x) = xB。
f(x) = x^2.g(x) = x^2C。
f(x) = ln(x^3)。
g(x) = 3ln(x)D。
f(x) = x+1.g(x) = (x-1)/(x-1)2.设函数f(x)的定义域为(-∞,+∞)，则函数f(x)+f(-x)的图形关于（C）对称。
A。
坐标原点B。
x轴C。
y轴D。
y=x3.下列函数中为奇函数是（B）。
A。
y=ln(1+x^2)B。
y=xcosxC。
y=ax+a^-xD。
y=ln(1+x)4.下列函数中为偶函数的是（D）。
A。
y=(1+x)sinxB。
y=x^2C。
y=xcosxD。
y=ln(1+x^2)^(2-1)5.下列极限计算不正确的是（D）。
A。
lim(x^2/(x^2+2))=1B。
lim(ln(1+x))=xC。
lim(sin(x)/x)=1D。
lim(xsin(x))=1 (应为无穷大)6.当x→0时，变量（C）是无穷小量。
A。
sinx/xB。
1/xC。
xsin(1/x)D。
ln(x+2)7.下列变量中，是无穷小量的为（B）。
A。
sin(1/x) (x→0)B。
ln(x+1) (x→0)C。
e^x (x→∞)D。
(x-2)/(x^2-4) (x→2)二、XXX答题1.求函数f(x)=x^3-3x的单调区间和极值。
答：f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0，得x=±1，f''(x)=6x，f''(1)>0，故x=1是极小值点，f(1)=-2；f''(-1)0，故f(x)在(-1,1)单调递增；当x>1时，f'(x)>0，故f(x)在(1,+∞)单调递增。
2.求函数f(x)=x^3-3x的图像的拐点和凹凸性。
答：f''(x)=6x，令f''(x)=0，得x=0，f'''(x)=6，故x=0是拐点；当x0时，f''(x)>0，故f(x)在(0,+∞)上是上凸的。
2014电大《高等数学基础》期末复习资料(例题附答案7)
高 等 数 学 基 础 学 习 辅 导（7）
导数的应用例题讲解（二）
（一）计算题
1.
解：
2. x
x x 2tan )
3sin 1ln(lim
0+→
解：x
x x 2tan )3sin 1ln(lim 0+→＝x x x
x 22sec 3sin 13cos 3lim 20+→ ＝2
3
2cos )3sin 1(23cos 3lim
20=⋅+→x x x x
3.
解：
4. x x e x x 2sin 1
cos lim 0-→
解： x
x e x x 2sin 1cos lim 0-→
＝x
x e x e x x x 22cos sin cos lim 0-→＝21 5. 求函数)1ln(x x y +-=的单调区间。
解：函数)1ln(x x y +-=的定义区间为),1(+∞-， 由于 x
x
x y +=+-
='1111 令0='y ，解得0=x ，这样可以将定义区间分成)0,1(-和),0(+∞两个区间来讨论。
当01<<-x 时，0<'y ；当+∞<<x 0是，0>'y 。
由此得出，函数)1ln(x x y +-=在)0,1(-内单调减少，在),0(+∞内单调增加。
6. 求y ＝x －ln(1＋x )的单调区间 解： y 的定义域为（－1，＋∞）
令
，得驻点：x ＝0。
列表如下：
即 单调减少区间为（－1，0），单调增加区间为（0，＋∞）。
7. 求y＝x2e－x的极值
解：函数y的定义域是（－∞，＋∞）
，得驻点：x1＝0，x2＝2。
列表如下：
令
即极小值为：y(0)＝0，极大值为：y(2)＝4e－2 8. 求曲线y＝2x3＋3x2－12x＋1的凹凸区间及拐点解：函数y的定义域是（－∞，＋∞）
令。
列表如下：
即凹区间为：，凸区间为：
拐点为：
9. 求曲线1
)(2+=
=x x
x f y 的单调区间、极值点、凹凸区间和拐点。
解： 令0)
1(12
22
=+-='x x y ,驻点为1±=x 单调区间分为 )1,(--∞,)1,1(-,),1(+∞
)1,(--∞∈x ,0<'y ,)(x f 单调减少 )1,1(-∈x ,0>'y ,)(x f 单调增加 ),1(+∞∈x ,0<'y ,)(x f 单调减少 1
)(2+=
=x x
x f y 单调增加区间是)1,1(-， 单调减少区间是),1(),1,(+∞--∞
极大值点是1=x ，极小值点是1-=x
0)1()3(23
22=+-=''x x x y 令,解得01=x ,33,2±=x
凹凸区间分为 )3,(--∞,)0,3(-,)3,0(,),3(+∞
)3,(--∞∈x ,0"<y ,)(x f 是凸的 )0,3(-∈x , 0">y ,)(x f 是凹的 )3,0(∈x , 0"<y ,)(x f 是凸的
),3(+∞∈x , 0">y ,)(x f 是凹的
则1
)(2
+=
=x x
x f y 的凹区间是),3(),0,3(+∞-， 凸区间是)3,0(),3,(--∞
拐点是)0,3(),0,0(),0,3(-。
(二)、应用题
1. 求曲线y x 2=上的点，使其到点A (,)30的距离最短.
解： 曲线y x 2=上的点到点A (,)30的距离公式为
22)3(y x d +-=
d 与2d 在同一点取到最大值，为计算方便求2d 的最大值点，
将y x 2=代入得 x x d +-=22)3( 求导得 1)3(2)(2+-='x d 令0)(2='d 得25=
x .并由此解出2
10±=y ， 由于该问题确实有最小值 曲线y x 2=上的点)2
10
,
25(和点)210,25(-
到点A (,)30的距离最短.
2. 试在椭圆
上求一点P ，使它与定点（1，0）的距离最短。
解： 设该点为P(x ，y )，则它满足椭圆方程，有
它与定点（1，0）的距离平方为：
S ＝d 2＝(x －1)2＋y 2＝
令
，此时，
由于该问题确实有最小值，故所求P 点为
3. 欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，怎样做法所用材料最省？
解：设底边边长为x ，高为h ，所用材料为y
且 22
108
,108x
h h x == xh x y 42+= 22
224321084x
x x x
x +=+= 2
3243224322x
x x x y -=-+=' 令0='y 得60)216(23=⇒=-x x ，
且因为0,6;0,6<'<>'>y x y x ，所以108,6==y x 是极小值值也是最小值.此时3=h 。
于是以6米为底边长，3米为高做长方体容器用料最省。
4. 要造一个容积为V 的圆柱形容器（无盖），问底半径和高分别为多少时，所用材料最省？
解：设圆柱形容器的底半径和高分别为r 、h ，
则有 V ＝πr 2h 或
所用材料就是其表面积（即侧面积和底面积），为
令
由于该问题确有最小值，故当底半径和高都为
时，所用材料最省。
5. 要建造一个容积为V 的有盖圆柱形仓库，问其高和底半径为多少时用料最省？
解：设圆柱形容器的底半径和高分别为r 、h ，
则有 V ＝πr 2h 或
所用材料就是其表面积（即侧面积和上、下底面积），为
令
由于实际问题确有最小值，故当底半径和高分别为
时，所用材料最省。
6. 在半径为R 的半球内作一内接圆柱体，求其体积最大时的底面半径和高。
解： 设圆柱体的底面半径为x ，则其高为22x R -， 于是圆柱体体积为222x R x V -=π 求导得 2
2
222
2
3
2
2
)
32(2x
R x R x x
R x x R x V x --=
--
-='πππ
令0='x V ，得驻点R x x 3
2,0±
== 根据实际意义知R x x 3
2
,0-
==应舍去， 故取R x 32=。
因R x 3
2>时，0>'x V ； R x 32<
时，0<'x V ，故R x 3
2=是V 的极大值点，从而也是V 的最大值点。
故体积最大时，底面半径和高分别是
R 3
2
和R 31。
7. 圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为l ，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？
解： 如图所示，圆柱体高h 与底半径r 满足
2
22l r h =+
圆柱体的体积公式为h r V 2
π=
将222h l r -=代入得 h h l V )(2
2-=π
求导得
)3())(2(22222h l h l h V -=-+-='ππ
令0='V 得l h 33=
，并由此解出l r 3
6=. 由于实际问题确有最小值 则当底半径l r 36=，高l h 3
3=时，圆柱体的体积最大. (三)、证明题： 1. 证明不等式
)0()1ln(1><+<+x x x x
x
证明: 设函数)1ln()(u u f +=，则有u
u f +='11)(，并且对任意0>x ，函数)(u f 在区间],0[x 上应用拉格朗日中值定理，
得到 )0)(()0()(-'=-x c f f x f 其中x c <<0，即c
x x +=+1)1ln( 又由于x c +<+<111，有 x x x
+<+<1)
1ln(1
同时除以x 得 x
x x x +<+<1)ln(11 即
x x x
x
<+<+)1ln(1 成立.
2. 当1>x 时，证明不等式 e e x x
>
证 设函数x x f ln )(=，因为)(x f 在),0(+∞上连续可导，所以)(x f 在],1[x 上满足拉格朗日中值定理条件，有公式可得
)1)(()1()(-'=-x c f f x f 其中x c <<1，
即 )1(1
1ln ln -=
-x c
x 又由于1>c ，有
11
<c
故有 1ln -<x x
两边同时取以e 为底的指数，有1ln e e
-<x x
即 e
e x
x <
所以当1>x 时，有不等式 e e x x
> 成立.。
