2014电大《高等数学基础》期末复习资料(例题附答案7)

高等数学基础综合练习题解答一．填空题1．函数ln(1)y x =-的定义域为 12x x >≠且 。

()40410121ln 1011x x x x x x x x +≥⎧≥-⎧⎪⎪->⇒⇒>≠>⎨⎨⎪⎪-≠-≠⎩⎩解：且2．函数y =的定义域是 12x -<< 。

2101122240x x x x x +>>-⎧⎧⇒⇒-<<⎨⎨-<<->⎩⎩解： 3．函数y =的定义域是 23x x ≥-≠且 。

202303x x x x +≥≥-⎧⎧⇒⎨⎨-≠≠⎩⎩解： 4．设2(2)2f x x +=-，则)(x f 246x x -+ 。

解：设2x t +=，则2x t =-且原式2(2)2f x x +=-即()2()22f t t =--＝242t t -+亦即()f x =242x x -+4．若函数4(1),0(),x x x f x k x ⎧⎪-≠=⎨⎪=⎩在0x =处连续，则k = 4e - 。

()()()()()()()4144004lim lim 1lim ,lim 1(0)xxx x x f x x x e f k k e -⨯--→→→→-=-=-==∴==x 0函数f x 在x=0连0 续x 则f f5．曲线x y e -=在0x =处的切线方程为 1y x -=- 。

曲线()y f x =在点()00,x y 处的切线方程为()000x y y y x x '-=-解：()001xx x y e-=='=-=-，00001x y e ===时，1(0)1y x y x -=--⇒-=-，6. 函数ln(3)1x y x +=+的连续区间为 ()()3,1,1,---+∞ 。

初等函数在其定义区间连续。

ln(3)1x y x +=+⇒3010x x +>⎧⎨+≠⎩⇒3x >-且1x ≠-⇒()()3,1,1,---+∞7．曲线ln y x =在点(1,0)处的切线方程为 1y x =- 。

tanx+C.
若，贝寸—9sin3x.
5-23.0.0下列积分计算正确的是（B）.
ABCD
三、计算题
（
（1）利用极限的四则运算法则，主要是因式分解，消去零因子。
（2）利用连续函数性质：有定义，则极限 类型1:利用重要极限|,,|计算
1-1求.解：
1-2
1-3求解：=
类型2：因式分解并利用重要极限，化简计算。
1-1
解：
1-2
解：
1-3设，求.
解：
类型2:加减法与复合函数混合运算的求导，先加减求导，后复合求导
2-1，求解
2-2，求
解：
2-3，求，
解：
类型3：
乘积与复合函数混合运算的求导，先乘积求导，后复合求导
，求。
解：
其他：，求。
解：
0807.设，
求解：
0801.设，
求解：
0707.设，
求解：
0701.设，
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高等数学基础归类复习
、单项选择题
1-1下列各函数对中，（C）中的两个函数相等.
1-2.设函数的定义域为，则函数的图形关于（C）对称.
A.坐标原点轴轴
设函数的定义域为，则函数的图形关于（D）对称.
轴轴D.坐标原点
.函数的图形关于（A）对称.
（A）坐标原点（B）轴（C）轴（D）
1.函数的定义域是（3,+8）.
函数的定义域是（2,3）U（3,4
函数的定义域是（—5,2）
若函数，则1.
2若函数，在处连续，则e.
.函数在处连续，则2函数的间断点是x=0.
函数的间断点是x=3^函数的间断点是x=2

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未经允许，请勿外传！高等数学基础归类复习一、单项选择题1-1下列各函数对中，（ C ）中的两个函数相等．A. 错误!未找到引用源。

，错误!未找到引用源。

B. 错误!未找到引用源。

，错误!未找到引用源。

C.错误!未找到引用源。

，错误!未找到引用源。

D. 错误!未找到引用源。

，错误!未找到引用源。

1-⒉设函数错误!未找到引用源。

的定义域为错误!未找到引用源。

，则函数错误!未找到引用源。

的图形关于（C ）对称．A. 坐标原点B. 错误!未找到引用源。

轴C. 错误!未找到引用源。

轴D. 错误!未找到引用源。

设函数错误!未找到引用源。

的定义域为错误!未找到引用源。

，则函数错误!未找到引用源。

的图形关于（D ）对称．A. 错误!未找到引用源。

B. 错误!未找到引用源。

轴C. 错误!未找到引用源。

轴D. 坐标原点.函数错误!未找到引用源。

的图形关于（A ）对称．(A) 坐标原点(B) 错误!未找到引用源。

轴(C) 错误!未找到引用源。

轴(D) 错误!未找到引用源。

1-⒊下列函数中为奇函数是（B ）．A. 错误!未找到引用源。

B. 错误!未找到引用源。

C. 错误!未找到引用源。

D. 错误!未找到引用源。

下列函数中为奇函数是（A ）．A. 错误!未找到引用源。

B. 错误!未找到引用源。

C. 错误!未找到引用源。

D. 错误!未找到引用源。

下列函数中为偶函数的是（ D ）．A 错误!未找到引用源。

B 错误!未找到引用源。

C 错误!未找到引用源。

D 错误!未找到引用源。

2-1 下列极限存计算不正确的是（ D ）．A. 错误!未找到引用源。

B. 错误!未找到引用源。

C. 错误!未找到引用源。

D. 错误!未找到引用源。

2-2当错误!未找到引用源。

时，变量（ C ）是无穷小量．A. 错误!未找到引用源。

B. 错误!未找到引用源。

C. 错误!未找到引用源。

D. 错误!未找到引用源。

当错误!未找到引用源。

时，变量（ C ）是无穷小量．A 错误!未找到引用源。

2014电大《高等数学基础》期末复习资料（例题附答案1）高等数学基础学习辅导（1）函数部分例题讲解例1 若函数，则＝( C ).A. 0B. 1C.D.解: 22)4sin()4(=-=-ππf 故选项C 正确。

例2 下列函数对中，哪一对函数表示的是同一个函数？CA ．2ln )(,ln 2)(x x g x x f ==B ．12ln)(+-=x x x f ，)1ln()2ln()(+--=x x x g C ．x e x x g x e x x x f xx -=-=)(,)()(2D ．1)(,11)(2-=+-=x x g x x x f 解: A,B,D 中两个函数的定义域都不相同，故它们不是同一函数，C 中函数2)()(xe x x xf x -=的定义域是0≠x ，对应关系可化为 )()()(2x g x e x x e x x x f xx =-=-=故这两个函数是相同的函数。

例3 下列各对函数中，（C ）是相同的。

A.x x g x x f ==)(,)(2； B.f x x g x x ()ln ,()ln ==22；C.f x x g x x ()ln ,()ln ==33； D.f x x x g x x (),()=-+=-2111解： A 中两函数的对应关系不同,x x x ≠=2， B, D 三个选项中的每对函数的定义域都不同，所以A B, D 都不是正确的选项；而选项C 中的函数定义域相等，且对应关系相同，故选项C 正确。

例4 下列函数中，哪个函数是奇函数？A ．)12sin()(++=x x x fB ．)1ln()(2++=x x x fC ．x e x x f x-=)(D ．x xx x f sin 1)(2⋅-= 解： 由奇函数的定义验证A,C 可知它们都不满足)()(x f x f -=-，D 满足)()(x f x f =-，即它为偶函数 验证B )1)(()1)((ln )1)(ln()(22222x x x x x x x f ++--+-=+-+-=-)()1ln(11ln22x f x x xx -=++-=++=故此函数是奇函数。

《高等数学基础》期末试题及答案一、选择题（每题5分，共25分）1. 函数f(x) = x² - 2x + 1在x = 1处的导数是（）A. 0B. 2C. -2D. 1答案：A2. 函数y = ln(e²x)的导数是（）A. 2xB. 2C. e²xD. 1答案：A3. 下列极限中，正确的是（）A. lim(x→0) sinx/x = 0B. lim(x→0) sinx/x = 1C. lim(x→0) sinx/x = ∞D. lim(x→0) sinx/x = -1答案：B4. 函数y = x²e²x的极值点为（）A. x = 0B. x = 1C. x = -1D. x = 2答案：C5. 定积分∫(0→1) x²dx的值是（）A. 1/3B. 1/2C. 1D. 2答案：A二、填空题（每题5分，共25分）6. 函数y = 2x³ - 3x² + 2x + 1的一阶导数是______。

答案：6x² - 6x + 27. 函数y = x²e²x的二阶导数是______。

答案：4x²e²x + 4xe²x8. 极限lim(x→∞) (1 + 1/x)²ⁿ = ______。

答案：e9. 定积分∫(0→π) sinx dx的值是______。

答案：210. 定积分∫(0→π/2) eˣdx的值是______。

答案：eπ/2 - 1三、解答题（每题25分，共75分）11. 设函数f(x) = x³ - 3x² + 4，求f'(x)和f''(x)。

解：f'(x) = 3x² - 6x，f''(x) = 6x - 6。

12. 求函数f(x) = x²e²x的极值点和极值。

2014电大《高等数学基础》期末复习资料(例题附答案5)高 等 数 学 基 础 学 习 辅 导（5）导 数 与 微 分 例 题 讲 解（二）例题讲解1. 函数⎪⎩⎪⎨⎧=01sin)(2x x x f00=≠x x 在点0x 处是否可导。

解：∵xx f x f y ∆∆=-∆+=∆1sin)()0()0(2xx x x x x y ∆∆=∆∆∆=∆∆1sin .1sin)(2 ∴01sin .lim lim)0('00=∆∆=∆∆=→∆→∆xx x y f x x 即0)0('=f ，函数在0=x 处可导。

2. 求xx x y 1=的导数解：∵874743231.111-=====xxxx xx xx x y∴8151878787'----=-=x x y3.)1cosln(2xx y +=，求y '。

解： )1c o s (1c o s122'++='x x xx y])1(cos 1cos 211[1cos 1222'++=x xxx)]1)(1sin (1cos 21cos211[1cos 1222x x x xxx --⋅++=)1c o s22s i n 1(1c o s1222xx x xx ++=4. 设解：5. 2tg 1sinx e xy ⋅=，求y d 。

解：2tg 2)1(1cosx e xx y -⋅='＋22tg sec 21sin 2x x e x x ⋅⋅则y d 2tg 21cos 1(x e x x⋅-=＋x x ex x x d )sec 1sin 222tg 2⋅6. 设解：7. 由方程)0()cos(2π<<=+y x y x 确定了y 是x 的函数，求y '（0）。

解：方程两端对x 求导，得1)22)(sin(2='++-yy x y x故]2)sin(1[22x y x y y -+-='将x =0代入原方程中，得0cos =y ，4,22π=π=y y于是y '（0）＝π-。

高等数学基础复习资料复习资料一一、单项选择题1.设函数)(x f 的定义域为)(∞+-∞，，则函数)(x f +)(x f - 的图形关于（C ）对称。

A .x y = B .x 轴 C .y 轴 D .坐标原点2.当0→x 时，变量（D ）是无穷小量。

A ．x 1 B . xx sin C . x2 D . )1ln(+x 3．下列等式中正确的是（B ）． A ．xdx x d arctan )11(2=+ B . 2)1(xdx x d -= C . dx d xx 2)2ln 2(= D . xdx x d cot )(tan = 4．下列等式成立的是（A ）． A ．)()(x f dx x f dx d=⎰B . )()(x f dx x f ='⎰C . )()(x f dx x f d =⎰D . )()(x f x df =⎰5．下列无穷积分收敛的是（C ）． A ．⎰+∞11dx xB .⎰+∞11dx xC . ⎰+∞1341dx xD .⎰+∞1sin xdx二、填空题 1．函数24)(2--=x x x f 的定义域是22>-≤x x 或．2．函数12++=x x y 的间断点是1-=x ． 3．曲线xx f 1)(=在点（1，1）处的切线的斜率是21-=k ． 4．函数)1ln(2x y +=的单调增加区间是[)∞+，0． 5．⎰-dx ed x 2=dx e x 2-．三、计算题1．计算极限4586lim 224+-+-→x x x x x ．解：原式=)4)(1()4)(2(lim4----→x x x x x =12lim 4--→x x x =32． 2．设x x x y ln tan 2+=，求y '．解：xx x x x y 1ln 2sec 22⨯++='=x x x x ++ln 2sec 23．设x x y 35ln +=，求y '．解：)(ln ln 3524'⨯+='x x x y =xxx 24ln 35+4．设52cos x x y -=，求dy ．解：45)sin (cos 2x x x y --='=452sin x x --dx y dy '==dx x x )52sin (4--5．设53cos x x y -=，求dy ．解：425)sin (cos 3x x x y --='=425sin cos 3x x x --dx y dy '==dx x x x )5sin cos 3(42--6.设x x e y 3sin +=，求dy 解：3ln 3)(sin sin x xx ey +'⨯='=3ln 3cos sin x x x e +dx y dy '==dx x e x x)3ln 3cos (sin +7．设2cos ln x y =，求dy ． 解：)(cos cos 122'='x x y =x x x2)sin (cos 122⨯-=2tan 2x x -． 8．设)(x y y =是由方程yxy x 2sin 2=确定的函数，求y '． 解：方程两边同时对x 求导得：2222cos sin 2yy x y y y x y x '-='+ 移项合并同类项得：y xy y y x y y x sin 22)2cos (222-='+再移项得：xy y x yxy y y 2cos sin 22222+-='9．计算不定积分⎰dx xx cos ．解：原式=⎰x d x cos 2=C x +sin 210．计算定积分⎰exdx x 1ln ．解：原式=⎰-e x d x e x x 122)(ln 21ln 2=⎰-e xdx e 12212=141222e x e -=4141222+-e e =4142+e11．计算定积分⎰2sin πxdx x ．解：原式=⎰---20)cos (02cos ππdx x x x =02sin )00(πx +-=1四、应用题1．求曲线x y =2上的点，使其到点)03(，A 的距离最短． 解：设曲线x y =2上的点)(y x ，到点)03(，A 的距离为d ，则 22)3(y x d +-==x x +-2)3(=952+-x x求导得：952522+--='x x x d令0='d 得驻点25=x ，将25=x 带入x y =2中得210±=y ，有实际问题可知该问题存在最大值，所以曲线x y =2上的点)21025(，和点)21025(-，到点)03(，A 的距离最短． 五、证明题当0>x 时，证明不等式)1ln(x x +>． 证明：设)1ln(x x y +-= ∵ 0=x 时，0=y 求导得：x y +-='111=xx +1 当0>x ，0>'y 即)1ln(x x y +-=为增函数∴ 当0>x 时，0)1ln(>+-=x x y 即 )1ln(x x +>成立复习资料二一、单项选择题1．设函数)(x f 的定义域为)(∞+-∞，，则函数)(x f -)(x f - 的图形关于（D ）对称． A .x y = B .x 轴 C .y 轴 D .坐标原点 2．当0→x 时，变量（C ）是无穷小量。

高等数学基础复习资料复习资料一一、单项选择题1.设函数)(x f 的定义域为)(∞+-∞，，则函数)(x f +)(x f - 的图形关于（C ）对称。

A.x y = B.x 轴 C.y 轴 D.坐标原点2.当0→x 时，变量（D ）是无穷小量。

A ．x 1 B. xxsin C. x 2 D. )1ln(+x 3．下列等式中正确的是（B ）． A ．xdx x d arctan )11(2=+ B. 2)1(xdx x d -= C. dx d xx 2)2ln 2(= D. xdx x d cot )(tan = 4．下列等式成立的是（A ）． A ．)()(x f dx x f dx d=⎰B. )()(x f dx x f ='⎰C. )()(x f dx x f d =⎰D. )()(x f x df =⎰ 5．下列无穷积分收敛的是（C ）． A ．⎰+∞11dx xB. ⎰+∞11dx x C. ⎰+∞1341dx x D. ⎰+∞1sin xdx 二、填空题 1．函数24)(2--=x x x f 的定义域是22>-≤x x 或．2．函数12++=x x y 的间断点是1-=x ． 3．曲线xx f 1)(=在点（1，1）处的切线的斜率是21-=k ． 4．函数)1ln(2x y +=的单调增加区间是[)∞+，0． 5．⎰-dx ed x 2=dx e x 2-．三、计算题1．计算极限4586lim 224+-+-→x x x x x ．解：原式=)4)(1()4)(2(lim4----→x x x x x =12lim 4--→x x x =32．2．设x x x y ln tan 2+=，求y '．解：xx x x x y 1ln 2sec 22⨯++='=x x x x ++ln 2sec 23．设x x y 35ln +=，求y '．解：)(ln ln 3524'⨯+='x x x y =xxx 24ln 35+4．设52cos x x y -=，求dy ．解：45)sin (cos 2x x x y --='=452sin x x --dx y dy '==dx x x )52sin (4--5．设53cos x x y -=，求dy ．解：425)sin (cos 3x x x y --='=425sin cos 3x x x --dx y dy '==dx x x x )5sin cos 3(42--6.设x xey 3sin +=，求dy解：3ln 3)(sin sin x xx ey +'⨯='=3ln 3cos sin x x x e +dx y dy '==dx x ex x)3ln 3cos (sin +7．设2cos ln x y =，求dy ． 解：)(cos cos 122'='x x y =x x x2)sin (cos 122⨯-=2tan 2x x -． 8．设)(x y y =是由方程yxy x 2sin 2=确定的函数，求y '． 解：方程两边同时对x 求导得：2222cos sin 2yy x y y y x y x '-='+ 移项合并同类项得：y xy y y x y y x sin 22)2cos (222-='+再移项得：xy y x yxy y y 2cos sin 22222+-='9．计算不定积分⎰dx xx cos ．解：原式=⎰x d x cos 2=C x +sin210．计算定积分⎰exdx x 1ln ．解：原式=⎰-e x d x e x x 122)(ln 21ln 2=⎰-e xdx e 12212=141222e x e -=4141222+-e e =4142+e11．计算定积分⎰2sin πxdx x ．解：原式=⎰---20)cos (02cos ππdx x x x =02sin )00(πx +-=1四、应用题1．求曲线x y =2上的点，使其到点)03(，A 的距离最短． 解：设曲线x y =2上的点)(y x ，到点)03(，A 的距离为d ，则22)3(y x d +-==x x +-2)3(=952+-x x求导得：952522+--='x x x d令0='d 得驻点25=x ，将25=x 带入x y =2中得210±=y ，有实际问题可知该问题存在最大值，所以曲线x y =2上的点)21025(，和点)21025(-，到点)03(，A 的距离最短． 五、证明题当0>x 时，证明不等式)1ln(x x +>． 证明：设)1ln(x x y +-= ∵ 0=x 时，0=y 求导得：x y +-='111=xx +1 当0>x ，0>'y 即)1ln(x x y +-=为增函数 ∴ 当0>x 时，0)1ln(>+-=x x y 即 )1ln(x x +>成立复习资料二一、单项选择题1．设函数)(x f 的定义域为)(∞+-∞，，则函数)(x f -)(x f - 的图形关于（D ）对称． A.x y = B.x 轴 C.y 轴 D.坐标原点 2．当0→x 时，变量（C ）是无穷小量。

高等数学基础1、函数为基本初等函数.A. 是B. 否正确答案：B2、一切初等函数在其定义区间内都是连续的。

A. 是B. 否正确答案：A4、1755年，_________给出了另一个定义：“如果某些变量，以某一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为后面变量的函数。

”A. 欧拉B. 伽利略C. 梅根D. 柯西正确答案：A7、设Δx是曲线y=f(x)上的点M的在_____上的增量，Δy是曲线在点M对应Δx在_____上的增量，dy是曲线在点M的切线对应Δx在纵坐标上的增量。

A. 纵坐标；横坐标B. 横坐标；纵坐标C. 横坐标D. 以上都不对正确答案：B10、印度喀拉拉学校也曾发现可用于计算圆周率的无穷级数，并利用它将圆周率的值精确到小数点后第9位和第10位，后来又精确到第（）位。

A. 18B. 15C. 17D. 19正确答案：C11、1821年，_________从定义变量起给出了定义：“在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着而确定时，则将最初的变数叫自变量，其他各变数叫做函数。

”A. 康托B. 梅根C. 欧拉D. 柯西正确答案：D12、变量x的变化范围叫做这个函数的？A. 值B. 定义域C. 真集D. 以上都不是正确答案：B14、如果变量的变化是连续的，则常用（）来表示其变化范围。

A. 区间B. 集合C. 子集D. 补集正确答案：A15、十七世纪_________在《两门新科学》一书中，几乎全部包含函数或称为变量关系的这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系。

A. 笛卡尔B. 伽利略C. 柯西D. 欧拉正确答案：B16、两偶函数和为（）函数。

A. 奇B. 偶C. 反D. 以上都不对正确答案：B18、定积分的大小。

A. 与y＝f(x)和积分区间[a，b]有关，与ξi的取法无关B. 与y＝f(x)有关，与积分区间[a，b]和ξi的取法无关C. 与y＝f(x)和ξi的取法有关，与积分区间[a，b]无关D. 与y＝f(x)、积分区间[a，b]、ξi的取法均无关正确答案：A19、微分可以近似地描述当函数_____的变化量取值作足够小时，函数的值是怎样改变的。

电大高等数学基础考试答案完整版高等数学基础复一、单项选择题1.下列各函数中，（C）中的两个函数相等。

A。

f(x) = x^2.g(x) = xB。

f(x) = x^2.g(x) = x^2C。

f(x) = ln(x^3)。

g(x) = 3ln(x)D。

f(x) = x+1.g(x) = (x-1)/(x-1)2.设函数f(x)的定义域为(-∞,+∞)，则函数f(x)+f(-x)的图形关于（C）对称。

A。

坐标原点B。

x轴C。

y轴D。

y=x3.下列函数中为奇函数是（B）。

A。

y=ln(1+x^2)B。

y=xcosxC。

y=ax+a^-xD。

y=ln(1+x)4.下列函数中为偶函数的是（D）。

A。

y=(1+x)sinxB。

y=x^2C。

y=xcosxD。

y=ln(1+x^2)^(2-1)5.下列极限计算不正确的是（D）。

A。

lim(x^2/(x^2+2))=1B。

lim(ln(1+x))=xC。

lim(sin(x)/x)=1D。

lim(xsin(x))=1 (应为无穷大)6.当x→0时，变量（C）是无穷小量。

A。

sinx/xB。

1/xC。

xsin(1/x)D。

ln(x+2)7.下列变量中，是无穷小量的为（B）。

A。

sin(1/x) (x→0)B。

ln(x+1) (x→0)C。

e^x (x→∞)D。

(x-2)/(x^2-4) (x→2)二、XXX答题1.求函数f(x)=x^3-3x的单调区间和极值。

答：f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0，得x=±1，f''(x)=6x，f''(1)>0，故x=1是极小值点，f(1)=-2；f''(-1)0，故f(x)在(-1,1)单调递增；当x>1时，f'(x)>0，故f(x)在(1,+∞)单调递增。

2.求函数f(x)=x^3-3x的图像的拐点和凹凸性。

答：f''(x)=6x，令f''(x)=0，得x=0，f'''(x)=6，故x=0是拐点；当x0时，f''(x)>0，故f(x)在(0,+∞)上是上凸的。

电大高等数学基础期末考试复习试题及答案 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】高等数学（1）学习辅导(一)第一章 函数⒈理解函数的概念；掌握函数)(x f y =中符号f ( )的含义；了解函数的两要素；会求函数的定义域及函数值；会判断两个函数是否相等。

两个函数相等的充分必要条件是定义域相等且对应关系相同。

⒉了解函数的主要性质，即单调性、奇偶性、有界性和周期性。

若对任意x ，有)()(x f x f =-，则)(x f 称为偶函数，偶函数的图形关于y 轴对称。

若对任意x ，有)()(x f x f -=-，则)(x f 称为奇函数，奇函数的图形关于原点对称。

掌握奇偶函数的判别方法。

掌握单调函数、有界函数及周期函数的图形特点。

⒊熟练掌握基本初等函数的解析表达式、定义域、主要性质和图形。

基本初等函数是指以下几种类型： ① 常数函数：c y = ② 幂函数：)(为实数ααx y = ③ 指数函数：)1,0(≠>=a a a y x ④ 对数函数：)1,0(log ≠>=a a x y a ⑤ 三角函数：x x x x cot ,tan ,cos ,sin ⑥ 反三角函数：x x x arctan ,arccos ,arcsin⒋了解复合函数、初等函数的概念，会把一个复合函数分解成较简单的函数。

如函数可以分解u y e =，2v u =，w v arctan =，x w +=1。

分解后的函数前三个都是基本初等函数，而第四个函数是常数函数和幂函数的和。

⒌会列简单的应用问题的函数关系式。

例题选解一、填空题⒈设)0(1)1(2>++=x x x x f ，则f x ()= 。

解：设x t 1=，则t x 1=，得故xx x f 211)(++=。

⒉函数x x x f -+-=5)2ln(1)(的定义域是 。

解：对函数的第一项，要求02>-x 且0)2ln(≠-x ，即2>x 且3≠x ；对函数的第二项，要求05≥-x ，即5≤x 。

高等数学基础复习指导注意：1 本次考试题型分为单选（20=4分*5）填空（20=4分*5）计算题（44=11分*4）应用题（16=16分*1）2 复习指导分为3个部分，第一部分配有详细解答，掌握解题方法，第二部分历年试题汇编，熟悉考试题型；第三部分中央电大今年的模拟真题，应该重点掌握。

3 复印的蓝皮书大家要掌握第5页的样卷和29页的综合练习。

第一部分（详细解答）一．填空题1．函数y =的定义域为 12x x >≠且 。

()40410121ln 1011x x x x x x x x +≥⎧≥-⎧⎪⎪->⇒⇒>≠>⎨⎨⎪⎪-≠-≠⎩⎩解：且 2．函数y =的定义域是12x -<< 。

2101122240x x x x x +>>-⎧⎧⇒⇒-<<⎨⎨-<<->⎩⎩解： 3．函数y =的定义域是 23x x ≥-≠且 。

202303x x x x +≥≥-⎧⎧⇒⎨⎨-≠≠⎩⎩解： 4．设2(2)2f x x +=-，则)(x f 246x x -+ 。

解：设2x t +=，则2xt =-且原式2(2)2f x x +=-即()2()22f t t =--＝242t t -+亦即()f x =242x x -+4．若函数4(1),0(),x x x f x k x ⎧⎪-≠=⎨⎪=⎩在0x =处连续，则k = 4e - 。

()()()()()()()414404lim lim 1lim ,lim 1(0)x xx x x f x x x e f k k e -⨯--→→→→-=-=-==∴==x 0函数f x 在x=0连0 续x 则f f5．曲线x y e -=在0x =处的切线方程为 1y x -=- 。

曲线()y f x =在点()00,x y 处的切线方程为()000x y y y x x '-=-解：()001x x x y e -=='=-=-，00001x y e ===时，1(0)1y x y x -=--⇒-=-，6. 函数ln(3)1x y x +=+的连续区间为 ()()3,1,1,---+∞ 。

2014电大《高等数学基础》期末复习资料（例题附答案2）高等数学基础学习辅导（2）极限部分例题讲解例1. 极限limsinsin x x x x →=021。

解： )s i n 1s i n (lim sin 1sinlim020xx x x x x x x x ⋅=→→ 010sin lim 1sin lim 00=⨯=⋅=→→x xx x x x 注意：01sin lim 0=→xx x （无穷小量乘以有界变量仍是无穷小量）111sin lim 1sin 1lim sin lim000====→→→xx x x x x x x x ，其中xx x sin lim 0→=1是第一重要极限。

应填： 0 例2. =→xxx 5sin lim0_______________。

解： xxx x x x 55s i n 5l i m 5s i n l i m00⋅=→→555sin lim50=⋅=→xxx应填： 5 例3. =∞→xxx 5sin lim__________________。

解： 05sin 1lim 5sin lim=⋅=∞→∞→x x xx x x应填： 0例4. =+∞→xx xk )1(lim ________________。

解： kk k xx x x e xk x k =+=+∞→∞→])1(lim [)1(lim应填：ke例5. 无穷小量与有界变量之积是________________。

解： 由无穷小的性质，应填：无穷小量。

例6. 已知)(x f 在a 点某一邻域内有定义，且A x f ax =→)(lim ，则（ ）。

（A ）)(a f A = （B ）A ＞)(a f（C ）A ＜)(a f （D ）A 与)(a f 无关解： 某点的极限与该点是否有定义无关，只要求该点的邻域内有定义。

故D 正确 应填：D例7. 已知，（A ≠B ），则（ ）。

（A ）（B ）（C）不存在（D）为A或B解：极限存在的充要条件是左、右极限存在且相等。

2014电大《高等数学基础》期末复习资料(例题附答案6)高 等 数 学 基 础 学 习 辅 导（6）导数的应用例题讲解（一）（一）填空题1. 函数)1ln(2x y +=的单调增加区间是 . 解：212xx y +='，当0>x 时0>'y .故函数的单调增加区间是),0(∞+. 故应填 ),0(∞+。

2．函数f (x )＝2x 3－9x 2＋12x －3在区间（1，2）内单调________。

解：，当x ∈(1，2) 时，， 故应填：减少。

3. 函数)1ln(2x y -=的单调减少区间是 . 解：212xx y +-='，当0>x 时0<'y .故函数的单调减少区间是),0(∞+. 故应填 ),0(∞+4．函数y ＝2x 2－4x ＋5的单调上升区间是_____________。

解：，当1>x 时0>'y ，该函数的单调上升区间为),1(∞+故应填 ),1(∞+5．函数x x y -=arctan 的单调下降区间是______________。

解：0<，其单调下降区间为：),(∞+-∞故应填 ),(∞+-∞6. 函数)e e (21)(x x x f -+=的极小值点为 。

解：)e e (21)(x x x f --='，令0)(='x f ，解得驻点0=x ， 又0<x 时，0)(<'x f ；0>x 时，0)(>'x f ，所以0=x 是函数)e e (21)(x x x f -+=的极小值点。

故填0=x 。

7．函数y ＝x －e x 的极大值是_______。

解：，驻点为x ＝0，01)0(,''"<-=-=y e y x 0=x 为极大值点，其极大值为：1)0(-=y故应填 1)0(-=y8．曲线y ＝x 3－5x 2＋3x －5的凹区间是__________，拐点是_________。

高等数学基础作业1 答案在后面第1章 函数第2章 极限与连续（一） 单项选择题⒈下列各函数对中，（ ）中的两个函数相等．A. 2)()(x x f =，x x g =)(B. 2)(x x f =，x x g =)(C. 3ln )(x x f =，x x g ln 3)(=D. 1)(+=x x f ，11)(2--=x x x g ⒉设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f -+的图形关于（ ）对称．A. 坐标原点B. x 轴C. y 轴D. x y =⒊下列函数中为奇函数是（ ）．A. )1ln(2x y += B. x x y cos = C. 2xx a a y -+= D. )1ln(x y += ⒋下列函数中为基本初等函数是（ ）．A. 1+=x yB. x y -=C. 2x y =D. ⎩⎨⎧≥<-=0,10,1x x y⒌下列极限存计算不正确的是（ ）．A. 12lim 22=+∞→x x x B. 0)1ln(lim 0=+→x x C. 0sin lim =∞→x x x D. 01sin lim =∞→xx x ⒍当0→x 时，变量（ ）是无穷小量．A. xx sin B. x 1 C. xx 1sin D. 2)ln(+x ⒎若函数)(x f 在点0x 满足（ ），则)(x f 在点0x 连续。

A. )()(lim 00x f x f x x =→ B. )(x f 在点0x 的某个邻域内有定义 C. )()(lim 00x f x f x x =+→ D. )(lim )(lim 00x f x f x x x x -+→→= （二）填空题 ⒈函数)1ln(39)(2x x x x f ++--=的定义域是 ． ⒉已知函数x x x f +=+2)1(，则=)(x f ． ⒊=+∞→x x x)211(lim ．⒋若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+<+=0,0,)1()(1x k x x x x f x ，在0=x 处连续，则=k ．⒌函数⎩⎨⎧≤>+=0,sin 0,1x x x x y 的间断点是 ． ⒍若A x f x x =→)(lim 0，则当0x x →时，A x f -)(称为 （二）计算题⒈设函数⎩⎨⎧≤>=0,0,e )(x x x x f x 求：)1(,)0(,)2(f f f -． ⒉求函数21lg x y x-=的定义域．⒊在半径为R 的半圆内内接一梯形，梯形的一个底边与半圆的直径重合，另一底边的两个端点在半圆上，试将梯形的面积表示成其高的函数．⒋求xx x 2sin 3sin lim0→．⒌求)1sin(1lim 21+--→x x x ．⒍求xx x 3tan lim 0→．⒎求xx x sin 11lim 20-+→．⒏求x x x x )31(lim +-∞→．⒐求4586lim 224+-+-→x x x x x ．⒑设函数⎪⎩⎪⎨⎧-<+≤≤->-=1,111,1,)2()(2x x x x x x x f讨论)(x f 的连续性，并写出其连续区间．《高等数学基础》第二次作业第3章 导数与微分（一）单项选择题⒈设0)0(=f 且极限x x f x )(lim0→存在，则=→xx f x )(lim 0（ ）． A. )0(f B. )0(f 'C. )(x f 'D. 0cvx⒉设)(x f 在0x 可导，则=--→hx f h x f h 2)()2(lim000（ ）． A. )(20x f '- B. )(0x f 'C. )(20x f 'D. )(0x f '-⒊设x x f e )(=，则=∆-∆+→∆xf x f x )1()1(lim 0（ ）． A. e B. e 2C. e 21D. e 41 ⒋设)99()2)(1()(---=x x x x x f ，则=')0(f （ ）． A. 99 B. 99-C. !99D. !99-⒌下列结论中正确的是（ ）．A. 若)(x f 在点0x 有极限，则在点0x 可导．B. 若)(x f 在点0x 连续，则在点0x 可导．C. 若)(x f 在点0x 可导，则在点0x 有极限．D. 若)(x f 在点0x 有极限，则在点0x 连续．（二）填空题⒈设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin )(2x x x x x f ，则=')0(f ． ⒉设x x x f e 5e )e (2+=，则=xx f d )(ln d ⒊曲线1)(+=x x f 在)2,1(处的切线斜率是⒋曲线x x f sin )(=在)1,4π(处的切线方程是 ⒌设x x y 2=，则='y⒍设x x y ln =，则=''y（三）计算题⒈求下列函数的导数y '： ⑴x x x y e )3(+=⑵x x x y ln cot 2+= ⑶x x y ln 2=⑷32cos x x y x +=⑸x x x y sin ln 2-=⑹x x x y ln sin 4-=⑺x x x y 3sin 2+= ⑻x x y x ln tan e +=⒉求下列函数的导数y '： ⑴21ex y -=⑵3cos ln x y =⑶x x x y =⑷3x x y +=⑸x y e cos 2=⑹2e cos x y =⑺nx x y n cos sin =⑻2sin 5x y =⑼x y 2sin e =⑽22e x x x y +=⑾xx x y e e e +=⒊在下列方程中，y y x =()是由方程确定的函数，求'y ：⑴y x y 2e cos =⑵x y y ln cos =⑶yx y x 2sin 2=⑷y x y ln +=⑸2e ln y x y =+⑹y y x sin e 12=+⑺3e e y x y -=⑻y x y 25+=⒋求下列函数的微分y d ：⑴x x y csc cot +=⑵x x y sin ln =⑶x x y +-=11arcsin⑷311x x y +-=⑸xy e sin 2=⑹3e tan x y =⒌求下列函数的二阶导数：⑴x x y ln =⑵x x y sin =⑶x y arctan =⑷23x y =（四）证明题设)(x f 是可导的奇函数，试证)(x f '是偶函数．《高等数学基础》第三次作业第4章 导数的应用（一）单项选择题⒈若函数)(x f 满足条件（ ），则存在),(b a ∈ξ，使得ab a f b f f --=')()()(ξ． A. 在),(b a 内连续 B. 在),(b a 内可导C. 在),(b a 内连续且可导D. 在],[b a 内连续，在),(b a 内可导⒉函数14)(2-+=x x x f 的单调增加区间是（ ）．A. )2,(-∞B. )1,1(-C. ),2(∞+D. ),2(∞+-⒊函数542-+=x x y 在区间)6,6(-内满足（A ）．A. 先单调下降再单调上升B. 单调下降C. 先单调上升再单调下降D. 单调上升⒋函数)(x f 满足0)(='x f 的点，一定是)(x f 的（ ）．A. 间断点B. 极值点C. 驻点D. 拐点⒌设)(x f 在),(b a 内有连续的二阶导数，),(0b a x ∈，若)(x f 满足（ ），则)(x f 在0x 取到极小值．A. 0)(,0)(00=''>'x f x fB. 0)(,0)(00=''<'x f x fC. 0)(,0)(00>''='x f x fD. 0)(,0)(00<''='x f x f⒍设)(x f 在),(b a 内有连续的二阶导数，且0)(,0)(<''<'x f x f ，则)(x f 在此区间内是（ ）．A. 单调减少且是凸的B. 单调减少且是凹的C. 单调增加且是凸的D. 单调增加且是凹的（二）填空题⒈设)(x f 在),(b a 内可导，),(0b a x ∈，且当0x x <时0)(<'x f ，当0x x >时0)(>'x f ，则0x 是)(x f 的 点．⒉若函数)(x f 在点0x 可导，且0x 是)(x f 的极值点，则=')(0x f ． ⒊函数)1ln(2x y +=的单调减少区间是 ．⒋函数2e )(x x f =的单调增加区间是⒌若函数)(x f 在],[b a 内恒有0)(<'x f ，则)(x f 在],[b a 上的最大值是 ． ⒍函数3352)(x x x f -+=的拐点是 ．（三）计算题⒈求函数2(1)(5)y x x =+-的单调区间和极值．⒉求函数223y x x =-+在区间]3,0[内的极值点，并求最大值和最小值．⒊试确定函数d cx bx ax y +++=23中的d c b a ,,,，使函数图形过点)44,2(-和点)10,1(-，且2-=x 是驻点，1=x 是拐点．⒋求曲线x y 22=上的点，使其到点)0,2(A 的距离最短．⒌圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为L ，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？⒍一体积为V 的圆柱体，问底半径与高各为多少时表面积最小？⒎欲做一个底为正方形，容积为62.5立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？（四）证明题⒈当0>x 时，证明不等式)1ln(x x +>．⒉当0>x 时，证明不等式1e +>x x ．《高等数学基础》第四次作业第5章 不定积分第6章 定积分及其应用（一）单项选择题⒈若)(x f 的一个原函数是x1，则=')(x f （ ）． A. x ln B. 21x - C. x 1 D. 32x ⒉下列等式成立的是（ ）．A )(d )(x f x x f ='⎰ B. )()(d x f x f =⎰ C. )(d )(d x f x x f =⎰ D. )(d )(d d x f x x f x =⎰⒊若x x f cos )(=，则='⎰x x f d )(（ ）．A. c x +sinB. c x +cosC. c x +-sinD. c x +-cos⒋=⎰x x f x xd )(d d 32（ ）． A. )(3x f B. )(32x f x C.)(31x f D. )(313x f ⒌若⎰+=c x F x x f )(d )(，则⎰=x x f xd )(1（ ）． A. c x F +)( B. c x F +)(2 C. c x F +)2( D.c x F x +)(1⒍由区间],[b a 上的两条光滑曲线)(x f y =和)(x g y =以及两条直线a x =和b x =所围成的平面区域的面积是（ ）．A. ⎰-ba x x g x f ]d )()([ B.⎰-b ax x f x g ]d )()([ C. ⎰-ba x x g x f d )()( D. ⎰-b a x x g x f ]d )()([（二）填空题⒈函数)(x f 的不定积分是 ．⒉若函数)(x F 与)(x G 是同一函数的原函数，则)(x F 与)(x G 之间有关系式 ． ⒊=⎰x x d e d 2⒋='⎰x x d )(tan⒌若⎰+=c x x x f 3cos d )(，则=')(x f⒍⎰-=+335d )21(sin x x ⒎若无穷积分⎰∞+1d 1x x p收敛，则（三）计算题⒈c x x d x x x x +-=-=⎰⎰1sin )1(1cos d 1cos2⒉⎰⎰+==c ex d e x xxx x22d e⒊⎰⎰+==c x x d xx x x )ln(ln )(ln ln 1d ln 1⒋c x x x xdx x x x x x ++-=+-=⎰⎰2sin 412cos 212cos 212cos 21d 2sin⒌⎰⎰=+=++=+e 11e 121)ln 3(21)ln 3d()ln 3(d ln 3e x x x x x x⒍414141212121d e 21022102102102+=--=+-=------⎰⎰e e e dx e x e x x x x x x⒎41221ln 2d ln 2112e 1+=-=⎰⎰e xdx x x x x x e e ⒏⎰⎰+-=--=+-=e e e ex e dx x x x x x x 1121e1212111ln 1d ln （四）证明题⒈证明：若)(x f 在],[a a -上可积并为奇函数，则0d )(=⎰-aax x f ．⒉证明：若)(x f 在],[a a -上可积并为偶函数，则⎰⎰=-aaax x f x x f 0d )(2d )(．⒊证明：⎰⎰-+=-aaax x f x f x x f 0d )]()([d )(答案：高等数学基础作业1⒋若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+<+=0,0,)1()(1x k x x x x f x ，在0=x 处连续，则=k e ．⒌函数⎩⎨⎧≤>+=0,sin 0,1x x x x y 的间断点是 0x = ．⒍若A x f x x =→)(lim 0，则当0x x →时，A x f -)(称为 0x x →时的无穷小量 ．（三） 计算题 ⒈设函数⎩⎨⎧≤>=0,0,e )(x x x x f x 求：)1(,)0(,)2(f f f -．解：()22f -=-，()00f =，()11f e e ==⒉求函数21lgx y x-=的定义域． 解：21lg x y x -=有意义，要求21x x x -⎧>⎪⎪⎨⎪≠⎪⎩解得1020x x x ⎧⎪⎪><⎨⎪≠⎪⎩或则定义域为1|02x x x ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或⒊在半径为R 的半圆内内接一梯形，梯形的一个底边与半圆的直径重合，另一底边的两个端点在半圆上，试将梯形的面积表示成其高的函数． 解：DA RO h EB C设梯形ABCD 即为题中要求的梯形，设高为h ，即OE=h ，下底CD ＝2R 直角三角形AOE 中，利用勾股定理得AE =则上底＝2AE =故((222hS R R h R =+=+ ⒋求xxx 2sin 3sin lim 0→．解：000sin3sin33sin3333lim lim lim sin 2sin 2sin 22222x x x x xxx x x x x x xx x→→→⨯==⨯⨯＝133122⨯=⒌求)1sin(1lim 21+--→x x x ．解：21111(1)(1)111limlim lim 2sin(1)sin(1)sin(1)11x x x x x x x x x x x →-→-→---+---====-++++ ⒍求x xx 3tan lim 0→．解：000tan3sin31sin311lim lim lim 3133cos33cos31x x x x x x x x x x x →→→==⨯⨯=⨯⨯=⒎求xx x sin11lim 20-+→．解：20001lim sin x x x x→→→-==()0lim0sin 1111)x xxx→===+⨯⒏求xx x x )31(lim +-∞→． 解：1143331111(1)[(1)]1lim()lim()lim lim 33311(1)[(1)]3x x x x x x x x x x x e x x x e x e x x x----→∞→∞→∞→∞--+--=====++++ ⒐求4586lim 224+-+-→x x x x x ．解：()()()()2244442682422lim limlim 54411413x x x x x x x x x x x x x →→→---+--====-+----⒑设函数⎪⎩⎪⎨⎧-<+≤≤->-=1,111,1,)2()(2x x x x x x x f讨论)(x f 的连续性，并写出其连续区间． 解：分别对分段点1,1x x =-=处讨论连续性 （1）()()()1111lim lim 1lim lim 1110x x x x f x x f x x →-+→-+→--→--==-=+=-+=所以()()11lim lim x x f x f x →-+→--≠，即()f x 在1x =-处不连续（2）()()()()()221111lim lim 2121lim lim 111x x x x f x x f x x f →+→+→-→-=-=-====所以()()()11lim lim 1x x f x f x f →+→-==即()f x 在1x =处连续由（1）（2）得()f x 在除点1x =-外均连续 故()f x 的连续区间为()(),11,-∞--+∞《高等数学基础》第二次作业第3章 导数与微分（一）单项选择题⒈设0)0(=f 且极限x x f x )(lim0→存在，则=→xx f x )(lim 0（C ）．A. )0(fB. )0(f 'C. )(x f 'D. 0cvx⒉设)(x f 在0x 可导，则=--→hx f h x f h 2)()2(lim000（D ）． A. )(20x f '- B. )(0x f ' C. )(20x f ' D. )(0x f '-⒊设xx f e )(=，则=∆-∆+→∆xf x f x )1()1(lim 0（A ）．A. eB. e 2C. e 21D. e 41⒋设)99()2)(1()(---=x x x x x f ，则=')0(f （D ）．A. 99B. 99-C. !99D. !99- ⒌下列结论中正确的是（ C ）．A. 若)(x f 在点0x 有极限，则在点0x 可导．B. 若)(x f 在点0x 连续，则在点0x 可导．C. 若)(x f 在点0x 可导，则在点0x 有极限．D. 若)(x f 在点0x 有极限，则在点0x 连续．（二）填空题⒈设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin )(2x x xx x f ，则=')0(f 0 ．⒉设x xxf e 5e)e (2+=，则=x x f d )(ln d xx x 5ln 2+． ⒊曲线1)(+=x x f 在)2,1(处的切线斜率是21=k⒋曲线x x f sin )(=在)1,4π(处的切线方程是)41(2222π-==x y ⒌设xx y 2=，则='y )ln 1(22x x x +⒍设x x y ln =，则=''y x1（三）计算题⒈求下列函数的导数y '：⑴xx x y e )3(+= xxe x e x y 212323)3(++='⑵x x x y ln cot 2+= x x x x y ln 2csc 2++-='⑶x x y ln 2= x xx x y 2ln ln 2+=' ⑷32cos x x y x += 4)2(cos 3)2ln 2sin (x x x x y x x +-+-=' ⑸x x x y sin ln 2-= xx x x x x x y 22sin cos )(ln )21(sin ---=' ⑹x x x y ln sin 4-= x x xx x y ln cos sin 43--='⑺xx x y 3sin 2+= x x x x x x x y 2233ln 3)(sin )2(cos 3+-+='⑻x x y xln tan e += xx e x e y x x 1cos tan 2++=' ⒉求下列函数的导数y '：⑴21ex y -=2112x xey x -='-⑵3cos ln x y =32233tan 33cos sin x x x xx y -=-=' ⑶x x x y =87x y = 8187-='x y⑷3x x y +=)211()(31213221--++='x x x y⑸xy e cos 2=)2sin(x x e e y -='⑹2ecos x y =22sin 2x x exe y -='⑺nx x y ncos sin =)sin(sin cos cos sin 1nx x n nx x x n y n n -='-⑻2sin 5x y =2sin 25cos 5ln 2x x x y ='⑼xy 2sin e=xxey 2sin 2sin ='⑽22ex x x y +=222)ln 2(x x xex x x x y ++='⑾xxxy e e e+=xe x xe e e x e xe xy x x++=')ln (⒊在下列方程中，y y x =()是由方程确定的函数，求'y ： ⑴yx y 2ecos =y e x y x y y '=-'22sin cosye x xy y 22cos sin -=' ⑵x y y ln cos =xy x y y y 1.cos ln .sin +'=')ln sin 1(cos x y x yy +='⑶yx y x 2sin 2=222sin 2.cos 2y y x yx y y y x '-=+' y y yxy x y x y sin 22)cos 2(222-=+'22cos 2sin 22x y xy y y xy y +-='⑷y x y ln +=1+'='y y y 1-='y y y⑸2e ln y x y =+ y y y e xy '='+21)2(1y e y x y -='⑹y y xsin e 12=+x x e y y y e y y .sin .cos 2+'='ye y ye y xx cos 2sin -='⑺3e e y xy-=y y e y e x y '-='2323y ee y y x+='⑻yx y 25+=2ln 25ln 5y x y y '+='2ln 215ln 5yx y -='⒋求下列函数的微分y d ： ⑴x x y csc cot +=dx x xx dy )sin cos cos 1(22--= ⑵x x y sin ln =dx x x x x x dy 2sin cos ln sin 1-= ⑶x xy +-=11arcsindx x x x dx x x x xx dy 2222)1(11)1()1()1()11(11++-=+--+-+--=⑷311xxy +-= 两边对数得：[])1ln()1ln(31ln x x y +--=)1111(31x x y y +---=' )1111(11313xx x x y ++-+--='⑸xy e sin 2=dx e e dx e e e dy x x x x x )2sin(sin 23==⑹3e tan x y =xdx e x dx x e dy x x 2222sec 33sec 33==⒌求下列函数的二阶导数： ⑴x x y ln =x y ln 1=='xy 1=''⑵x x y sin =x x x y sin cos +=' x x x y cos 2sin +-=''⑶x y arctan =211x y +='22)1(2x xy +-='' ⑷23x y =3ln 322x x y =' 2233ln 23ln 3422x x x y ⋅+=''（四）证明题设)(x f 是可导的奇函数，试证)(x f '是偶函数． 证：因为f(x)是奇函数 所以)()(x f x f -=-两边导数得：)()()()1)((x f x f x f x f =-'⇒'-=--' 所以)(x f '是偶函数。