人教版八年级数学上册多边形知识要点梳理与典型例题及答案解析

11.3 多边形及其内角和1．多边形及其有关概念(1)多边形定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形． 多边形按组成它的线段的条数分为三角形、四边形、五边形、六边形、……由n 条线段组成的多边形就叫做n 边形．如图，是一个五边形，可表示为五边形ABCDE .三角形是最简单，边数最少的多边形.(2)多边形的边：(3)多边形的内角、外角：(4)多边形的对角线： ①定义：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．如图，AC ，AD 就是五边形ABCDE 中的两条对角线．②拓展理解：一个n 边形从一个顶点可以引(n －3)条对角线，把n 边形分成(n －2)个三角形．一个n边形一共有n (n －3)2条对角线． (5)凸多边形和凹多边形：没有特殊说明，今后学习中所指的多边形都是凸多边形．【例1】 填空：(1)十边形有________个顶点，________个内角，________个外角，从一个顶点出发可画________条对角线，它共有________条对角线．(2)从多边形一个顶点出发画对角线将它分成了四个三角形，这个多边形是________边形．2．正多边形(1)定义：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．如等边三角形、正方形等．(2)特点：不仅边都相等，角也都相等，两个条件必须同时具备才是正多边形．如长方形四个角都是直角，都相等，但边不等，所以不是正多边形．【例2】下列说法正确的个数有()．(1)由四条线段首尾顺次相接组成的图形是四边形；(2)各边都相等的多边形是正多边形；(3)各角都相等的多边形一定是正多边形；(4)正多边形的各个外角都相等．A．1 B．2 C．3 D．43．多边形的内角和(1)公式：n边形内角和等于(n－2)×180°.(2)探究过程：如图，以五边形、六边形为例．【例3】选择：(1)十边形的内角和为()．A．1 260°B．1 440°C．1 620°D．1 800°(2)一个多边形的内角和为720°，那么这个多边形的对角线共有()．A．6条B．7条C．8条D．9条4．多边形的外角和(1)公式：多边形的外角和等于360°.(2)探究过程：如图，以六边形为例．【例4】填空：(1)一个多边形每个外角都是60°，这个多边形是__________边形，它的内角和是__________度，外角和是__________度；(2)多边形边数每增加一条，它的内角和会增加__________，外角和增加__________．5．多边形内角和公式的应用【例5－1】若一个四边形的四个内角度数的比为3∶4∶5∶6，则这个四边形的四个内角的度数分别为__________．【例5－2】一个多边形的内角和等于1 440°，则它的边数为__________．【例5－3】一个多边形的内角和不可能是()．A．1 800°B．540°C．720°D．810°6.多边形外角、外角和公式的应用【例6－1】 如图所示，已知∠ABE ＝138°，∠BCF ＝98°，∠CDG ＝69°，则∠DAB ＝__________.【例6－2】 如图，在四边形ABCD 中，∠1，∠2分别是∠BCD 和∠BAD 的邻补角，且∠B ＋∠ADC ＝140°，则∠1＋∠2等于( )．A ．140°B ．40°C ．260°D ．不能确定7.正多边形知识的应用【例7－1】 若八边形的每个内角都相等，则其每个内角的度数是__________．【例7－2】 一个多边形的每一个外角都等于30°，这个多边形的边数是__________，它的内角和是__________．【例7－3】 一个多边形的每一个内角都等于144°，求这个多边形的边数．8．边数、顶点数、内角和、对角线条数之间关系的综合应用在多边形问题中，当多边形的边数n 一定时，不论多边形形状如何，多边形的内角和也是一定的，是(n －2)×180°，多边形对角线的条数也是一定的，是n (n －3)2，并且从一个顶点引出的对角线的条数也是一定的，是(n －3)条，所以在多边形问题中，在这些量中，只要知道其中一个量，就可以求出所有的量．【例8－1】 过n 边形的一个顶点的所有对角线，把多边形分成8个三角形，则这个多边形的边数是( )．A ．8B ．9C ．10D ．11【例8－2】 多边形的每一个内角都是150°，则此多边形的一个顶点引出的对角线的条数是( )．A ．7B ．8C ．9D ．10【例8－3】 一个多边形的对角线的条数等于它的边数的4倍，求这个多边形的内角和．9.将多边形截去一个角问题的探讨【例9－1】 一个多边形截去一个角后，变为十六边形，则原来的多边形的边数为( )．A ．15或17B ．16或17C ．16或18D ．15或16或17【例9－2】 一个多边形截去一个角(截线不过顶点)之后，所形成的一个多边形的内角和是2 520°，那么原多边形的边数是( )．A ．13B ．15C ．17D ．19【例9－3】如果一个多边形的边数增加一倍，它的内角和是2 880°，那么原来的多边形的边数是()．A．10 B．9 C．8 D．710.多边形内角和少算或多算一个角类型题目探索【例10－1】一个多边形除了一个内角之外，其余内角之和为2 670°，求这个多边形的边数和少加的内角的大小．【例10－2】若多边形所有内角与它的一个外角的和为600°，求这个多边形的边数及内角和．。

第十一章三角形11.3.2多边形的内角和一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若一个多边形的内角和等于1080°，则这个多边形的边数为A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【解析】设多边形边数有x条，由题意得：180（x−2）=1080，解得x=8，故选C．2．已知一个多边形的外角和是内角和的2倍，则这个多边形是A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形【答案】A3．如果一个正多边形的一个内角和它相邻外角的比是3∶1，那么这个多边形是A．正六边形B．正八边形C．正十边形D．正十二边形【答案】B【解析】设这个多边形的边数是n，则(2)180nn-⋅∶360n=3∶1，解得n=8．故选B．4．设四边形的内角和等于a，五边形的外角和等于b，则a与b的关系是A．a>b B．a=b C．a<b D．b=a+180°【答案】B【解析】∵四边形的内角和等于a，∴a=（4-2）·180°=360°．∵五边形的外角和等于b，∴b=360°，∴a=b．故选B．学科&网二、填空题：请将答案填在题中横线上．5．若正多边形的一个外角为40°，则这个正多边形是__________边形．【答案】九【解析】根据正多边形的外角和为360°，正多边形的每个外角都相等，可得360÷40=9，因此这个正多边形是正九边形．故答案为：九．6．若一个多边形的边数增加1，则它的内角和增加__________．【答案】180°【解析】设多边形边数为n，那么增加1条即为n+1，原来内角和：（n-2）×180°=n×180°-360°，现在内角和：（n+1-2）×180°=n×180°-180°，内角和增加了180°，故答案为：180°．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．7．某多边形的内角和与外角和的总和为2160°，求此多边形的边数．【解析】设这个多边形的边数为n，根据题意得（n-2）·180+360=2160，解得x=12，所以此多边形的边数是12．8．某同学采用把多边形内角逐个相加的方法计算多边形的内角和，求得一个多边形的内角和为1520°，当他发现错了以后，重新检查，发现少加了一个内角．问：这个内角是多少度？他求的这个多边形的边数是多少？。

专题11.7多边形及其内角和（知识梳理与考点分类讲解）第一部分【知识点归纳】【知识点一】多边形及其相关概念1.多边形的概念：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.如果一个多边形由n（n是大于或等于3的自然数）条线段组成，那么这个多边形就叫做n边形.2.多边形的相关概念（1）多边形的边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边.（2）多边形的顶点：相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点.（3）多边形的内角：多边形相邻两边所组成的在多边形内部的角叫做多边形的内角，简称多边形的角.（4）多边形的外角：多边形的一边和它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.（5）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线.特别提醒：①多边形的边数、顶点数及角的个数相等；②把多边形问题转化成三角形问题求解的常用方法是连接对角线.【知识点二】正多边形各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形.正多边形必须满同时满足以下两个条件：①各边都相等；②各角都相等.【知识点三】凸多边形与凹多边形如图①所示，画出四边形ABCD的任何一条边所在的直线，整个图形都在这条直线的同一侧，这样的多边形成为凸多边形；而图②就不满足上述凸多边形的特征，因为我们画出CD所在的直线，整个多边形不都在这条直线的同一侧，所以我们称它为凹多边形.我们在学习中提到的多边形大都是凸多边形.【知识点四】多边形内角和定理n 边形的内角和等于（n-2）×180°.特别地，正n 边形每个内角的度数是（n−2）×180°.【知识点五】多边形外角和定理1.多边形的外角和：在多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和.2.多边形外角和定理：多边形的外角和等于360°.第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】由多边形内角和公式求度数【例1】（23-24八年级上·河南许昌·阶段练习）求图中的x 的值(1)(2)【答案】(1)80；(2)110【分析】本题主要考查了多边形内角和定理：（1）根据四边形内角和为360度列出方程求解即可；（2）根据五边形内角和为()18052︒⨯-列出方程求解即可．（1）解：由题意得，1802509060360x x -+-++=，解得80x =；（2）解：由题意得，()20109018052x x x x +++-++=⨯-，解得110x =．【变式1】（23-24七年级下·全国·假期作业）若多边形的边数增加1，则其内角和的度数（）A ．增加180︒B ．为360︒C ．不变D ．减少【答案】A【分析】本题主要考查了多边形的内角和，掌握多边形的内角和公式()2180n -⋅︒（n 为多边形的边数）成为解题的关键.根据多边形的内角和公式()2180n -⋅︒（n 为多边形的边数），然后进行判断解答.解：设多边形的边数为n ，则原多边形的内角和为()2180n -⋅︒，边数增加1后的多边形的内角和为()12180n +-⋅︒，∴()()121802180180n n +-⋅︒--⋅︒=︒，∴其内角和的度数增加180︒．故选A ．【变式2】（2024·四川自贡·中考真题）凸七边形的内角和是度．【答案】900【分析】本题主要考查了多边形内角和定理．应用多边形的内角和公式计算即可．解：七边形的内角和()()218072180900n =-⨯︒=-⨯︒=︒，故答案为：900．【题型2】由多边形内角和公式求边数【例2】（23-24八年级上·江西赣州·期末）下面是正多边形M 和N 的对话：求M 和N 的边数．【答案】M 和N 的边数分别是4和6【分析】本题主要考查多边形的内角和，掌握多边形内角和的计算方法以及多边形的性质是正确解答的关键．根据对话和多边形的内角和公式列方程求解即可；解：设M 的边数为2n ，N 的边数为3n ，由题意得：()()18022180321080n n ︒⨯-+︒⨯-=︒解得：2n =，24n ∴=，36n =，∴M 和N 的边数分别是4和6．【变式1】（22-23八年级上·山东威海·期末）如果一个正多边形每个内角都为140︒，那么该正多边形的边数是（）A ．六B ．七C ．八D ．九【答案】D【分析】此题主要考查了多边形的外角与内角．首先根据求出外角度数，再利用外角和定理求出边数．解：∵正多边形的一个内角是140︒，∴它的外角是：18014040︒-︒=︒，360409︒÷︒=．即这个正多边形是九边形．故选：D ．【变式2】一个正多边形的内角和是1440︒，则这个多边形的边数．【答案】10【分析】本题考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键．根据多边形的内角和公式列式求解即可．解：设这个多边形的边数是n ，则(2)1801440n -⋅︒=︒，解得10n =．故答案为：10．【题型3】由多边形内角和与外角和度数求边数【例3】（23-24七年级下·福建泉州·期中）已知一个多边形的内角和与外角和的差刚好等于一个十边形的内角和，求这个多边形的边数．【答案】这个多边形的边数为12．【分析】设这个多边形的边数为n ，根据题意得出方程()()2180360102180n -⨯︒-︒=-⨯︒，求出方程的解即可．解：设这个多边形的边数为n ，根据题意得：()()2180360102180n -⨯︒-︒=-⨯︒，解得：12n =．答：这个多边形的边数为12．【变式】（23-24八年级下·浙江温州·期中）若n 边形的内角和等于外角和的3倍，则边数n 是（）A ．10B ．9C ．8D ．7【答案】C 【分析】本题主要考查了多边形的内角和以及多边形的外角和；利用多边形的外角和是360度，一个n 边形的内角和等于它外角和的3倍，则内角和是3360⨯︒，而n 边形的内角和是()2180n -︒，则可得到方程，解方程即可．解：根据题意列方程，得：()21803360n -︒=⨯︒，解得：8n =，故选：C ．【题型4】由多边形内、外角和公式求角度【例4】（23-24八年级下·湖南永州·期中）一个正多边形的内角和是外角和的32倍，求这个正多边形一个内角的度数．【答案】108︒【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和，设此多边形的边数为n ，根据题意得出()321803602n -⨯︒=⨯︒，求出n 的值即可．解：∵该正多边形的内角和等于外角和的32倍，∴设此多边形的边数为n ，则有：()321803602n -⨯︒=⨯︒，解得：5n =，∴内角的度数为()521801085-⨯︒=︒．【变式1】（2024八年级下·全国·专题练习）如图，在四边形ABCD 中，AB CD ，ABE ∠是四边形ABCD 的外角，且ABE D ∠=∠，110C ∠=︒，则A ∠的度数是（）A ．110︒B ．50︒C ．70︒D ．35︒【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质和多边形内角和定理，掌握边形内角和定理是解题的关键．根据AB CD ，得出70ABC ∠=︒，再求出110D ∠=︒，根据四边形的内角和定理解答即可．解：∥ AB CD ，110C ∠=︒，180ABC C ∴∠+∠=︒，70ABC ∴∠=︒，ABE ∠ 是四边形ABCD 的外角，110ABE ∴∠=︒，ABE D ∠=∠ ，110D ∴∠=︒，3603607011011070A ABC C B ∴∠=︒-∠-∠-∠=︒-︒-︒-=︒．故选：C【变式2】（23-24七年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，在五边形ABCDE 中，,1,2,3AB ED ∠∠∠∥分别是,,ABC BCD CDE ∠∠∠的外角，则123∠+∠+∠的度数为．【答案】180︒/180度【分析】此题主要考查了多边形的内角和，平行线的性质，熟练掌握多边形的内角和，平行线的性质是解决问题的关键．先根据多边形的内角和定理求出540A E ABC BCD CDE ∠+∠+∠+∠+∠=︒，再根据AB ED ∥得180A E ∠+∠=︒，进而得360ABC BCD CDE ∠+∠+∠=︒，然后根据邻补角的定义的1180ABC ∠=︒-∠，2180BCD ∠=︒-∠，3180CDE ∠=︒-∠，由此可得123∠+∠+∠的度数．解：∵五边形的内角和为：()52180540-⨯︒=︒，∴540A E ABC BCD CDE ∠+∠+∠+∠+∠=︒，∵AB ED ∥，∴180A E ∠+∠=︒，∴360ABC BCD CDE ∠+∠+∠=︒，∵1180ABC ∠=︒-∠，2180BCD ∠=︒-∠，3180CDE ∠=︒-∠，∴()123540180ABC BCD CDE ∠+∠+∠=︒-∠+∠+∠=︒．故答案为：180︒．【题型5】由多边形对角线数量求角度或对角线条数【例5】（23-24八年级上·安徽阜阳·期中）【观察思考】【规律发现】（1）七边形的对角线条数为______．（2）三边形的对角线条数可表示为302⨯，四边形对角线条数可表示为412⨯，五边形的对角线条数可表示为522⨯，…，n 边形的对角线条数可表示为______．(3)【规律应用】若一个多边形的内角和为1620︒，求这个多边形的边数和对角线的条数．【答案】(1)14；(2)()32n n -(3)这个多边形的边数为11，对角线的条数为44．【分析】此题考查多边形对角线计算公式，多边形内角和公式，图形类规律探究，（1）根据各图形分别求出对角线条数，由规律即可得到答案；（2）利用（1）的计算结果即可得到规律；（3）设多边形的边数为n ，则列方程为()21801620n -⨯︒=︒，解得9n =，再根据（2）求出对角线．（1）三边形的对角线条数可表示为302⨯，四边形对角线条数可表示为412⨯，五边形对角线条数可表示为522⨯，六边形对角线条数可表示为632⨯，七边形对角线条数可表示为74142⨯=，故答案为：14；（2）三边形的对角线条数可表示为302⨯，四边形对角线条数可表示为412⨯，五边形对角线条数可表示为522⨯，…n 边形的对角线条数可表示为()32n n -，故答案为：()32n n -；（3）设多边形的边数为n ，则()21801620n -⨯︒=︒，解得11n =，对角线为()11113442⨯-=（条），∴这个多边形的边数为11，对角线的条数为44．【变式1】（23-24八年级上·河北唐山·期中）若从一个正多边形的一个顶点出发，最多可以引6条对角线，则它的一个内角为（）A ．1080︒B ．720︒C ．140︒D ．135︒【答案】C【分析】此题主要考查了多边形的对角线，多边形内角和公式及正多边形的内角，根据n 边形从一个顶点出发可引出()3n -条对角线，求得多边形的边数，结合多边形内角和公式及正多边形的内角求解是解决问题的关键．解：设正多边形边数为n ，由题意得：36n -=，可得9n =，则内角和：()180921260︒⨯-=︒，∴它的一个内角度数为：12609140︒÷=︒，故选：C ．【变式2】（2024·陕西咸阳·三模）已知某正多边形的每个外角均为72︒，则该正多边形的对角线共有条．【答案】5【分析】根据正多边形的每一个外角都相等，多边形的边数36072=︒÷︒，进而求得多边形的对角线条数．本题考查了多边形的内角与外角的关系，熟记正多边形的边数与外角的关系是解题的关键．解：这个正多边形的边数：360725︒÷︒=，则对角线的条数是：15(53)52⨯⨯-=．故答案为：5．【题型6】由多边形截角问题【例6】（22-23八年级上·广东惠州·阶段练习）阅读下题及解题过程．如图（1），我们知道四边形的内角和为()42180360-⨯= ，现在将一张四边形的纸剪掉一个角后，剩余纸所有内角的和是多少？如图（2），剩余纸为五边形，所以剩余纸所有内角的和为()52180540-⨯= ．上面的解答过程是否正确？若正确，说出你的判断根据；若不正确，请说明原因，并写出你认为正确的结论．【答案】不正确，见解析，正确结论是将一张四边形纸剪掉一个角后，剩余纸所有内角的和是540︒或180︒或360︒．【分析】一个多边形切去一个角后形成的多边形边数有三种可能：比原多边形边数小1、相等、大1，由此即可解决问题，考虑到不过顶点，只有一种情形，据此分析即可得出答案．上面的解答不正确，出错的原因是思考问题不全面．除了题目中的解法外，还要补充正确的解答如下：如图（1）所示，剪掉一个角后，剩余纸的所有内角的和是180︒；如图（2）所示，剪掉一个角后，剩余纸的所有内角的和是360︒．所以将一张四边形纸剪掉一个角后，剩余纸所有内角的和是540︒或180︒或360︒．【点拨】本题考查了多边形的内角和公式，解题的关键是记住一个多边形截去一个角后它的边数可能增加1，可能减少1，或不变，掌握多边形的内角和公式是解题的关键．【变式1】（22-23八年级上·贵州安顺·期末）将一个五边形纸片，剪去一个角后得到另一个多边形，则得到的多边形的内角和是（）A ．360︒B ．540︒C ．360︒或540︒D ．360︒或540︒或720︒【答案】D 【分析】本题考查了多边形的内角和，找出五边形纸片剪去一个角出现的情况，再根据n 边形内角和公式()2180n -︒得出多边形的内角和，即可解题．解：如图，将一个五边形沿虚线裁去一个角后得到的多边形的边数是4或5或6，其中四边形内角和为360︒，五边形内角和为()52180540-⨯︒=︒，六边形内角和为()62180720-⨯︒=︒，∴得到的多边形的内角和是360︒或540︒或720︒，故选：D ．【变式2】（23-24八年级下·全国·课后作业）小明同学在计算一个多边形的内角和时，由于粗心少算一个内角，结果得到的结果是2022︒，则少算的这个内角的度数为．【答案】138︒/138度【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，解不等式，设多边形的边数是n （3n ≥，且n 为整数），根据多边形内角和定理列出不等式()21802022n -⋅︒≥︒，进而求出14n =，再计算出该多边形内角和即可得到答案．解：设多边形的边数是n （3n ≥，且n 为整数），依题意得()21802022n -⋅︒≥︒，解得71330n ≥．∵少算一个内角，且该内角小于180︒，∴14n =．∴多边形的内角和是()1421802160-⨯︒=︒，∴少算的这个内角的度数为21602022138︒-︒=︒，故答案为：138︒．第三部分【中考链接与拓展延伸】1、直通中考【例1】（2022·四川攀枝花·中考真题）同学们在探索“多边形的内角和”时，利用了“三角形的内角和”．请你在不直接运用结论“n 边形的内角和为(2)180n -⋅︒”计算的条件下，利用“一个三角形的内角和等于180°”，结合图形说明：五边形ABCDE 的内角和为540°．【分析】如下图，连接AD ，AC ，将五边形分成三个三角形，然后利用三角形的内角和定理求解即可．解：连接AD ，AC ，∴五边形ABCDE 的内角和等于AED ∆，ADC ∆，ABC ∆的内角和的和，∴五边形ABCDE 的内角和1803540=︒⨯=︒．【点拨】此题考查了三角形的内角和定理，熟练运用三角形内角和定理，并将五边形转化为三个三角形是解答此题的关键．【例2】（2024·四川遂宁·中考真题）佩佩在“黄娥古镇”研学时学习扎染技术，得到了一个内角和为1080︒的正多边形图案，这个正多边形的每个外角为（）A ．36︒B ．40︒C ．45︒D ．60︒【答案】C【分析】本题考查了正多边形的外角，设这个正多边形的边数为n ，先根据内角和求出正多边形的边数，再用外角和360︒除以边数即可求解，掌握正多边形的性质是解题的关键．解：设这个正多边形的边数为n ，则()21801080n -⨯︒=︒，∴8n =，∴这个正多边形的每个外角为360845︒÷=︒，故选：C ．2、拓展延伸【例1】（23-24七年级下·江苏·期中）在平面内有n 个点，其中每三个点都能构成等腰三角形，我们把具有这样性质的n 个点构成的点集称为爱尔特希点集，如图，四边形ABCD 的四个顶点构成爱尔特希点集，若平面内存在一个点P 与A ，B ，C ，D 也构成爱尔特希点集，则APB ∠=．【答案】36︒或72︒【分析】本题考查了等腰三角形的性质，正多边形的内角，三角形内角和定理；由题意知,,,A B C D 为某正五边形的任意四个顶点时，即满足题意，分点P 为正五边形的中心和顶点两种情况讨论．解：依题意，当P 为正五边形的中心点时即满足题意，360725APB ︒∴∠==︒．当P 为正五边形的顶点时即满足题意，∴()1180108362APB ∠=︒-︒=︒故答案为：36︒或72︒．【例2】一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分：又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去，最后得到了45个48边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（）A ．2022B ．2023C ．2024D ．2025【答案】C 【分析】根据题意，用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，每剪开一次，则各部分的内角和增加360︒．于是，剪过k 次后，可得()1k +个多边形，这些多边形的内角和为()1360k +⨯︒．因为这()1k +个多边形中有45个48边形，可求它们的内角和，其余多边形有()14544k k +-=-（个），而这些多边形的内角和不少于()44180k -⨯︒．可得不等式()()1360454618044180k k +⨯︒≥⨯⨯︒+-⨯︒，解不等式即可求得答案．解：根据题意，用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，每剪开一次，则各部分的内角和增加360︒．于是，设剪过k 次后，可得()1k +个多边形，这些多边形的内角和为()1360k +⨯︒．因为这()1k +个多边形中有45个48边形，它们的内角和()454821804546180⨯-⨯︒=⨯⨯︒，其余多边形有()14544k k +-=-（个），而这些多边形的内角和不少()44180k -⨯︒．所以()()1360454618044180k k +⨯︒≥⨯⨯︒+-⨯︒，解得：2024k ≥．故至少要剪的刀数是2024刀．故选C ．【点拨】此题考查了多边形的内角和的应用，关键是理解用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，每剪开一次，使得各部分的内角和增加360︒．。

第2讲多边形及其内角和知识定位讲解用时：5分钟A、适用范围：人教版初二，基础一般；B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要学习多边形及其内角和，首先要学会判断凸多边形和凹多边形，然后要学会计算多边形的内角和和外角和，能够处理多边形的一些基础题目。

知识梳理讲解用时：20分钟凸多边形、凹多边形1、多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。

2、凸多边形：如果把一个多边形的所有边中，有一条边向两方无限延长成为一直线时，其他各边不都在此直线的同旁，那么这个多边形就叫做凹多边形，其内角中至少有一个钝角。

3、凹多边形：如果把一个多边形的所有边中，任意一条边向两方无限延长成为一直线时，其他各边都在此直线的同旁，那么这个多边形就叫做凸多边形，其内角应该全不是钝角，任意两个顶点间的线段位于多边形的内部或边上。

目前我们研究的都是凸多边形1、多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。

2、多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。

3、多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。

4、正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。

从同一个顶点引出对角线的条数：0 1 2 3 n-3 （n≥3）分割出三角形的个数：0 2 3 4 n-2 （n≥3）多边形内角和：180° 360° 540° 720° (n-2)·180°课堂精讲精练【例题1】设四边形内角和等于，五边形外角和等于，则与之间的关系是（ ） A.B.C.D.【答案】B【解析】四边形的内角和是360°，多边形的内角和也是360°.解：多边形边数为，则内角和为，四边形内角和，多边形外角和为， 五边形外角和， 因此． 故正确答案为：．讲解用时：2分钟解题思路：此题比较简单，熟记多边形的内角和和外角和公式做题即可. 教学建议：掌握多边形的内角和和外角和公式，灵活做题.难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无 年份：2018【练习1.1】下列图形中，多边形有（ ）总结：1、多边形对角线的条数：（1）从n 边形的一个顶点出发可以引（n-3）条对角线，把多边形分词（n-2）个三角形。

专题11.5多边形-重难点题型【人教版】【知识点1多边形的概念】平面内，由一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形，叫做多边形.【题型1多边形的概念】【例1】（2020秋•太康县期末）下列图形中，多边形有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据多边形的定义：平面内不在一条直线上的线段首尾顺次相接组成的图形叫多边形．【解答】解：由多边形的概念可知第四个、第五个是多边形共2个．故选：B．【点评】本题考查了认识平面图形．注意，多边形是由3条或3条以上的线段首尾顺次连接而成的图形，故多边形中没有曲线．【变式1-1】如图所示的图形中，属于多边形的有个．【分析】根据多边形的定义：平面内不在同一条直线上的几条线段首尾顺次相接组成的图形叫多边形．显然只有第一个、第二个、第五个．【解答】解：所示的图形中，属于多边形的有第一个、第二个、第五个，共有3个．故答案是：3．【点评】本题主要考查了多边形的定义，理解多边形的定义，根据定义进行正确判断．【变式1-2】如图，下列图形是多边形的有（填序号）．【分析】根据多边形的定义，可得答案．【解答】解：下列图形是多边形的有③④，故答案为：③④．【点评】本题考查了多边形，各边都相等，各角都相等的多边形是正多边形，一个n边形（n＞3）有n 条边，n个内角，oK3)2条对角线．【变式1-3】如图，图中有个四边形．【分析】在平面内，由4条线段首尾顺次相接组成的图形叫做四边形，然后再依次数出四边形的个数即可．【解答】解：四边形ABMS，四边形SMNZ，四边形ZNHY，四边形ABNZ，四边形SMHY，四边形ABHY，四边形ACDS，四边形BCDM，四边形LSZP，四边形LPNM，四边形LPED，四边形MNDE，四边形SZED，四边形ZVFE，四边形NHFE，四边形BCNE，四边形MDFH，共17个，故答案为：17．【点评】此题主要考查了多边形，关键是在数数的过程中，要细心，做到不重不漏．【知识点2多边形的不稳定性】多边形具有不稳定性.【题型2多边形的不稳定性】【例2】（2020秋•德州校级月考）要使一个五边形具有稳定性，则需至少添加（）条对角线．A．1B．2C．3D．4【分析】根据三角形具有稳定性，过一个顶点作出所有对角线即可得解．【解答】解：如图需至少添加2条对角线．故选：B．【点评】本题考查了三角形具有稳定性的应用，作出图形更形象直观．【变式2-1】（2020春•费县期末）下列图形中具有稳定性有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】根据三角形具有稳定性，只要图形分割成了三角形，则具有稳定性．【解答】解：根据三角形具有稳定性，只要图形分割成了三角形，则具有稳定性．显然（2）、（4）、（5）三个．故选B．【点评】注意根据三角形的稳定性进行判断．【变式2-2】（2020春•浦东新区校级月考）以线段a＝7，b＝8，c＝9，d＝10为边作四边形，可以作（）A．1个B．2个C．3个D．无数个【分析】根据四边形具有不稳定性，可知四条线段组成的四边形可有无数种变化．【解答】解：四条线段组成的四边形可有无数种变化．故选：D．【点评】本题主要考查四边形的不稳定性，理清题意，熟记四边形的不稳定性是解答本题的关键．【变式2-3】如图所示，要使一个六边形木架在同一平面内不变形，至少还要再钉上几根木条？要使一个n 边形（n≥4）木架在同一平面内不变形，至少还要再钉上几根木条？【分析】从一个多边形的一个顶点出发，能做（n﹣3）条对角线，把三角形分成（n﹣2）个三角形．【解答】解：根据三角形的稳定性，要使六边形木架不变形，至少再钉上3根木条；要使一个n边形木架不变形，至少再钉上（n﹣3）根木条．【点评】本题考查了多边形以及三角形的稳定性；掌握从一个顶点把多边形分成三角形的对角线条数是n﹣3．【题型3多边形的截角问题】【例3】（2020秋•巴州区期末）若一个多边形截去一个角后，变成十四边形，则原来的多边形的边数可能为（）A．14或15B．13或14C．13或14或15D．14或15或16【分析】根据不同的截法，找出前后的多边形的边数之间的关系得出答案．【解答】解：如图，n边形，A1A2A3…A n，若沿着直线A1A3截去一个角，所得到的多边形，比原来的多边形的边数少1，若沿着直线A1M截去一个角，所得到的多边形，与原来的多边形的边数相等，若沿着直线MN截去一个角，所得到的多边形，比原来的多边形的边数多1，因此将一个多边形截去一个角后，变成十四边形，则原来的多边形的边数为13或14或15，故选：C．【点评】考查多边形的意义，根据截线的不同位置得出不同的答案，是解决问题的关键．【变式3-1】（2020秋•海淀区期末）如图，将五边形ABCDE沿虚线裁去一个角得到六边形ABCDGF，则该六边形的周长一定比原五边形的周长（填：大或小），理由为．【分析】利用“两点之间，线段最短”可以得出结论．【解答】解：将五边形ABCDE沿虚线裁去一个角得到六边形ABCDGF，则该六边形的周长一定比原五边形的周长小，理由是两点之间，线段最短．故答案为：小；两点之间，线段最短．【点评】本题主要考查了多边形，熟知“两点之间，线段最短”是解答本题的关键．【变式3-2】（2020春•文登区期末）将一个多边形纸片沿一条直线剪下一个三角形后，变成一个六边形，则原多边形纸片的边数不可能是（）A．5B．6C．7D．8【分析】实际画图，动手操作一下，可知六边形可以是五边形、六边形、七边形截去一个角后得到．【解答】解：如图可知，原来多边形的边数可能是5，6，7．不可能是8．故选：D．【点评】此题主要考查了多边形，此类问题要从多方面考虑，注意不能漏掉其中的任何一种情况．【变式3-3】（2020秋•肇源县期末）把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个18边形，则原多边形纸片的边数不可能是（）A．16B．17C．18D．19【分析】一个n边形剪去一个角后，剩下的形状可能是n边形或（n+1）边形或（n﹣1）边形．【解答】解：当剪去一个角后，剩下的部分是一个18边形，则这张纸片原来的形状可能是18边形或17边形或19边形，不可能是16边形．故选：A．【点评】此题主要考查了多边形，剪去一个角的方法可能有三种：经过两个相邻顶点，则少了一条边；经过一个顶点和一边，边数不变；经过两条邻边，边数增加一条．【题型4多边形的对角线】【例4】分别画出下列各多边形的对角线，并观察图形完成下列问题：（1）试写出用n边形的边数n表示对角线总条数S的式子：．（2）从十五边形的一个顶点可以引出条对角线，十五边形共有条对角线：（3）如果一个多边形对角线的条数与它的边数相等，求这个多边形的边数．【分析】（1）根据多边形对角线的条数的公式即可求解；（2）根据多边形对角线的条数的公式代值计算即可求解；（3）根据等量关系：一个多边形对角线的条数与它的边数相等，列出方程计算即可求解．【解答】解：如图所示：（1）用n边形的边数n表示对角线总条数S的式子：S=12n（n﹣3）；（2）十五边形从一个顶点可引出对角线：15﹣3＝12（条），共有对角线：12×15×（15﹣3）＝90（条）；（3）设多边形有n条边，则12n（n﹣3）＝n，解得n＝5或n＝0（应舍去）．故这个多边形的边数是5．故答案为：S=12n（n﹣3）；12，90．【点评】本题主要考查了多边形对角线的条数的公式总结，熟记公式对今后的解题大有帮助．【变式4-1】（2020春•杜尔伯特县期末）一个边数为2n的多边形内所有对角线的条数是边数为n的多边形内所有对角线条数的6倍，求这两个多边形的边数．【分析】根据多边形的对角线公式12n（n﹣3）进行计算即可得解．【解答】解：依题意有12×2n（2n﹣3）＝6×12n（n﹣3），解得n＝6，2n＝12．故这两个多边形的边数是6，12．【点评】本题考查了多边形的对角线，熟记对角线公式是解题的关键．【变式4-2】（2020春•福清市校级期末）阅读下列内容，并答题：我们知道计算n边形的对角线条数公式为oK3)2，如果有一个n边形的对角线一共有20条，则可以得到方程oK3)2=20，去分母得n（n﹣3）＝40；∵n为大于等于3的整数，且n比n﹣3的值大3，∴满足积为40且相差3的因数只有8和5，符合方程n（n﹣3）＝40的整数n＝8，即多边形是八边形．根据以上内容，问：（1）若有一个多边形的对角线一共有14条，求这个多边形的边数；（2）A同学说：“我求得一个多边形的对角线一共有30条．”你认为A同学说地正确吗？为什么？【分析】（1）由题意得oK3)2=14，进而可得n（n﹣3）＝28，然后再找出满足积为28且相差3的因数即可；（2）由题意得oK3)2=30，进而可得n（n﹣3）＝60，然后再找出满足积为60且相差3的因数，发现没有这样的两个数，因此A同学说法是不正确的．【解答】（1）解：方程oK3)2=14，去分母得：n（n﹣3）＝28；∵n为大于等于3的整数，且n比n﹣3的值大3，∴满足积为28且相差3的因数只有7和4，符合方程的整数n＝7，即多边形是七边形．（2）解：A同学说法是不正确的，∵方程oK3)2=30，去分母得n（n﹣3）＝60；符合方程n（n﹣3）＝60的正整数n不存在，即多边形的对角线不可能有30条．【点评】此题主要考查了多边形的对角线，关键是正确理解题意，掌握n边形的对角线条数公式为oK3)2．【变式4-3】（2020秋•东湖区校级月考）如图，先研究下面三角形、四边形、五边形、六边形…多边形的边数n及其对角线条数t的关系，再完成下面问题：（1）若一个多边形是七边形，它的对角线条数为，n边形的对角线条数为t＝（用n表示）．（2）求正好65条对角线的多边形是几边形．【分析】（1）根据图形用类比方法求解即可．（2）根据多边形有65条对角线，列出方程求解即可．【解答】解：（1）若一个多边形是七边形，它的对角线条数为7×(7−3)2=14，n边形的对角线条数为t=oK3)2（用n表示）．（2）设正好65条对角线的多边形是x边形，依题意有oK3)2=65，解得x1＝13，x2＝﹣10．故正好65条对角线的多边形是13边形．故答案为：14，oK3)2．【点评】考查了多边形的对角线，本题需注意：重复一次要想算出准确结果，重复的结果应除以2．【知识点4正多边形的概念】各个角都相等,各条边都相等的多边形，叫做正多边形.【题型5正多边形的概念】【例5】下列图形为正多边形的是（）A．B．C．D．【分析】根据正多边形的定义；各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形可得答案．【解答】解：正五边形五个角相等，五条边都相等，故选：D．【点评】此题主要考查了正多边形，关键是掌握正多边形的定义．【变式5-1】如图，若集合A表示四边形，集合B表示正多边形，则阴影部分表示．【分析】直接利用多边形的定义分析得出答案．【解答】解：由题意可得：四边形中正多边形只有正方形．故答案为：正方形．【点评】此题主要考查了多边形，正确把握相关定义是解题关键．【变式5-2】如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是．【分析】第1个图形是2×3﹣3，第2个图形是3×4﹣4，第3个图形是4×5﹣5，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是（n+1）（n+2）﹣（n+2）＝n2+2n．【解答】解：第一个是1×3，第二个是2×4，第三个是3×5，…第n个是n•（n+2）＝n2+2n故答案为：n2+2n．【点评】首先计算几个特殊图形，发现：数出每边上的个数，乘以边数，但各个顶点的重复了一次，应再减去．【变式5-3】如图所示，①中多边形（边数为12）是由正三角形“扩展”而来的，②中多边形是由正方形“扩展”而来的，…，依此类推，则由正n边形“扩展”而来的多边形的边数为．【分析】①边数是12＝3×4，②边数是20＝4×5，依此类推，则由正n边形“扩展”而来的多边形的边数为n（n+1）．【解答】解：∵①正三边形“扩展”而来的多边形的边数是12＝3×4，②正四边形“扩展”而来的多边形的边数是20＝4×5，③正五边形“扩展”而来的多边形的边数为30＝5×6，④正六边形“扩展”而来的多边形的边数为42＝6×7，∴正n边形“扩展”而来的多边形的边数为n（n+1）．故答案为：n（n+1）．【点评】首先要正确数出这几个图形的边数，从中找到规律，进一步推广．正n边形“扩展”而来的多边形的边数为n（n+1）．【题型6多边形的计算】【例6】如下图，多边形任意相邻两边互相垂直，则这个多边形的周长为．【分析】观察图形，可以把水平的线段平移到下边计算，把铅垂的线段平移到一起整体计算．它的周长＝2m+2n．【解答】解：这个多边形的周长为2m+2n．【点评】此题只需把线段进行平移，水平线即是2n，铅垂线即是2m．【变式6-1】（2020秋•日照期末）已知：从n边形的一个顶点出发共有4条对角线；从m边形的一个顶点出发的所有对角线把m边形分成6个三角形；正t边形的边长为7，周长为63．求（n﹣m）t的值．【分析】根据题意，由多边形的性质，分析可得答案．【解答】解：依题意有n＝4+3＝7，m＝6+2＝8，t＝63÷7＝9则（n﹣m）t＝（7﹣8）9＝﹣1．【点评】本题考查正多边形的性质，从n边形的一个顶点出发，能引出（n﹣3）条对角线，一共有oK3)2条对角线，经过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成（n﹣2）个三角形．这些规律需要学生牢记．【变式6-2】一个四边形的周长是46cm，已知第一条边长是acm，第二条边长比第一条边长的三倍还少5cm，第三条边长等于第一、第二条边长的和．（1）写出表示第四条边长的式子；（2）当a＝7cm还能得到四边形吗？为什么？此时的图形是什么形状？【分析】（1）根据题意分别运用代数式表示其它各边，再根据周长进行计算；（2）注意根据（1）中的式子代入进行计算分析．【解答】解：（1）根据题意得：第二条边是3a﹣5，第三条边是a+3a﹣5＝4a﹣5，则第四条边是46﹣a﹣（3a﹣5）﹣（4a﹣5）＝56﹣8a．答：第四条边长的式子是56﹣8a．（2）当a＝7cm时不是四边形，因为此时第四边56﹣8a＝0，只剩下三条边，三边长为：a＝7cm，3a﹣5＝16cm，4a﹣5＝23，由于7+16＝23，所以，图形是线段．答：当a＝7cm不能得到四边形，此时的图形是线段．【点评】首先根据第一条边长表示出第二条边，然后表示出第三条边，最后根据周长表示出第四条边．其中要注意合并同类项法则．（2）中，只需根据（1）中所求的代数式，把字母的值代入计算，然后进行分析图形的形状．【变式6-3】已知正n边形的周长为60，边长为a（1）当n＝3时，请直接写出a的值；（2）把正n边形的周长与边数同时增加7后，假设得到的仍是正多边形，它的边数为n+7，周长为67，边长为b．有人分别取n等于3，20，120，再求出相应的a与b，然后断言：“无论n取任何大于2的正整数，a与b一定不相等．”你认为这种说法对吗？若不对，请求出不符合这一说法的n的值．【分析】（1）边长＝周长÷边数；（2）分别表示出a和b的代数式，让其相等，看是否有相应的值．【解答】解：（1）a＝20；（2）此说法不正确．理由如下：尽管当n＝3、20、120时，a＞b或a＜b，但可令a＝b，得60=60+7r7，即60=67r7．∴60n+420＝67n，解得n＝60，经检验n＝60是方程的根．∴当n＝60时，a＝b，即不符合这一说法的n的值为60．【点评】读懂题意，找到相应量的等量关系是解决问题的关键．。

多边形内角和（7种题型）【知识梳理】一、多边形内角和n 边形的内角和为(n-2)·180°(n ≥3)．要点诠释：(1)内角和公式的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；(2)正多边形；二、多边形的外角和多边形的外角和为360°．要点诠释：(1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n 边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关；(3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相等外角的度数．三．平面镶嵌（密铺）（1）平面图形镶嵌的定义：用形状，大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接．彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌．（2）正多边形镶嵌有三个条件限制：①边长相等；②顶点公共；③在一个顶点处各正多边形的内角之和为360°．判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成360°，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能．（3）单一正多边形的镶嵌：正三角形，正四边形，正六边形．（4）两种正多边形的镶嵌：3个正三角形和2个正方形、四个正三角形和1个正六边形、2个正三角形和2个正六边形、1个正三角形和2个正十二边形、1个正方形和2个正八边形等．（5）用任意的同一种三角形或四边形能镶嵌成一个平面图案．180°【考点剖析】题型一：利用内角和求边数例1.一个多边形的内角和为540°，则它是( )A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形解析：熟记多边形的内角和公式(n－2)·180°.设它是n边形，根据题意得(n－2)·180＝540，解得n＝5.故选B.方法总结：熟记多边形的内角和公式是解题的关键．【变式1】（2021·河北承德市·八年级期末）一个多边形的内角和是900°，这个多边形的边数是（）A．3 B．4 C．5 D．7【答案】D【分析】根据多边形的内角和公式：（n-2）•180°去求．【详解】解：设该多边形的边数为n则：（n-2）•180°=900°，解得：n=7．故选：D．【点睛】本题考查了多边形的内角和，关键是要记住公式并会解方程【变式2】（2021·浙江省余姚市实验学校八年级期中）若一个多边形的内角和是720°，则这个多边形的边数为（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】根据正多边形的内角和定义（n−2）×180°，先求出边数，再用内角和除以边数即可求出这个正多边形的每一个内角．【详解】解：（n−2）×180°＝720°，∴n−2＝4，∴n＝6．∴这个多边形的边数为6．故选：C．【点睛】考查了多边形内角与外角．解题的关键是掌握好多边形内角和公式：（n−2）×180°．题型二：求多边形的内角和例2.一个多边形的内角和为1800°，截去一个角后，得到的多边形的内角和为( )A．1620° B．1800°C．1980° D．以上答案都有可能解析：1800÷180＝10，∴原多边形边数为10＋2＝12.∵一个多边形截去一个内角后，边数可能减1，可能不变，也可能加1，∴新多边形的边数可能是11，12，13，∴新多边形的内角和可能是1620°，1800°，1980°.故选D.方法总结：一个多边形截去一个内角后，边数可能减1，可能不变，也可能加1.根据多边形的内角和公式求出原多边形的边数是解题的关键．【变式1】（2021·云南临沧·八年级期末）一个八边形的内角和度数为（）A．360°B．720°C．900°D．1080°【答案】D【分析】应用多边形的内角和公式计算即可．【详解】（n﹣2）•180＝（8﹣2）×180°＝1080°．故选：D．【点睛】此题主要考查了多边形内角和定理，关键是熟练掌握计算公式：（n−2）•180 （n≥3）且n为整数）．【变式2】（2021·广西来宾市·八年级期中）已知一个多边形的每一个内角都比它相邻的外角的4倍多30°，求这个多边形是几边形？并求出这个多边形的内角和．【答案】十二边形，1800°【分析】首先设外角为x°，则内角为（4x＋30）°，根据内角与相邻的外角是互补关系可得x＋4x＋30＝180，解方程可得x的值，再利用外角和360°÷外角的度数可得边数，进而求出内角和．【详解】解：设外角为x°，由题意得：x＋4x＋30＝180，解得：x＝30，360°÷30°＝12，∴（12−2）×180＝1800°，∴这个多边形的内角和是1800°，是十二边形．【点睛】本题主要考查多边形内角与外角的知识点，此题要结合多边形的内角和公式以及外角和，构建方程求解即可．【变式3】（2020·南京市宁海中学八年级开学考试）问题1：如图，我们将图（1）所示的凹四边形称为“镖形”．在“镖形”图中，∠AOC与∠A、∠C、∠P的数量关系为∠AOC=∠A+∠C+∠P．问题2：如图（2），已知AP平分∠BAD，CP平分∠BCD，∠B=28°，∠D=48°，求∠P的大小；小明认为可以利用“镖形”图的结论解决上述问题：由问题1结论得：∠AOC=∠PAO+∠PCO+∠APC，所以2∠AOC=2∠PAO+2∠PCO+2∠APC，即2∠AOC=∠BAO+∠DCO+2∠APC；由“”得：∠AOC=∠BAO+∠B，∠AOC=∠DCO+∠D．所以2∠AOC=∠BAO+∠DCO+∠B+∠D．所以2∠APC= ．所以∠APC= ．请帮助小明完善上述说理过程，并尝试解决下列问题（问题1、问题2中得到的结论可以直接使用，不需说明理由）；解决问题1：如图（3）已知直线平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的关系为解决问题2：如图（4），已知直线AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，则∠P与∠B、∠D的关系为【答案】问题1、问题2答案见解析；解决问题1：∠P=180°－12（∠B＋∠D）；解决问题2：∠P=90°＋12（∠B＋∠D）【分析】问题1：根据三角形的外角的性质即可得到结论；问题2：根据三角形外角的性质和问题1的结论求解即可；解决问题1：根据四边形的内角和等于360°可得（180°-∠1）+∠P+∠4+∠B=360°，∠2+∠P+（180°-∠3）+∠D=360°，然后整理即可得解；解决问题2：根据（1）的结论∠B+∠BAD=∠D+∠BCD，∠PAD+∠P=∠D+∠PCD，然后整理即可得解．【详解】解：问题1：连接PO并延长．则∠1=∠A＋∠2，∠3=∠C＋∠4，∵∠2＋∠4=∠P，∠1＋∠3=∠AOC，∴∠AOC=∠A＋∠C＋∠P；故答案为：∠AOC=∠A＋∠C＋∠P；问题2：如图2，由问题1结论得：∠AOC=∠PAO+∠PCO+∠APC，所以2∠AOC=2∠PAO+2∠PCO+2∠APC，即2∠AOC=∠BAO+∠DCO+2∠APC；由“三角形外角的性质”得：∠AOC=∠BAO+∠B，∠AOC=∠DCO+∠D．所以2∠AOC=∠BAO+∠DCO+∠B+∠D．所以2∠APC=∠B+∠D．所以∠APC= 12（∠B＋∠D）=38°．解决问题1：如图3，∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴（180°－2∠1）＋∠B=（180°－2∠4）＋∠D，在四边形APCB中，（180°－∠1）＋∠P＋∠4＋∠B=360°，在四边形APCD中，∠2＋∠P＋（180°－∠3）＋∠D=360°，∴2∠P＋∠B＋∠D=360°，∴∠P=180°－12（∠B＋∠D）；解决问题2：如图4，∵AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵（∠1＋∠2）＋∠B=（180°－2∠3）＋∠D，∠2＋∠P=（180°－∠3）＋∠D，∴2∠P=180°＋∠D＋∠B，∴∠P=90°＋12（∠B＋∠D）．故答案为：∠P=90°＋12（∠B＋∠D）．【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，角平分线的性质，四边形的内角和，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.题型三：复杂图形中的角度计算例3.如图，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝( )A．450° B．540° C．630° D．720°解析：如图，∵∠3＋∠4＝∠8＋∠9，∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝∠1＋∠2＋∠8＋∠9＋∠5＋∠6＋∠7＝五边形的内角和＝540°，故选B.方法总结：根据图形特点，将问题转化为熟知的问题，体现了转化思想的优越性．【变式1】（2021·全国八年级单元测试）如图，在五边形ABCDE中，∠D＝120°，与∠EAB相邻的外角是80°，与∠DEA，∠ABC相邻的外角都是60°，则∠C为________度．【答案】80【分析】利用邻补角的定义分别求出∠DEA，∠ABC，∠EAB的度数；再利用五边形的内角和为540毒，可求出∠C的度数．【详解】解：∵与∠EAB相邻的外角是80°，与∠DEA，∠ABC相邻的外角都是60°，∴∠DEA＝180°－60°＝120°，∠ABC＝180°－60°＝120°，∠EAB＝180°－80°＝100°；五边形的内角和为（5－2）×180°＝540°；∴∠C＝540°－120°－120°－120°－100°＝80°．故答案为：80．【点睛】此题考查了多边形内角和的性质，涉及了邻补角的定义，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．【变式2】（2020·南京市宁海中学八年级开学考试）如图，五边形ABCDE的两个内角平分线相交于点O，∠1，∠2，∠3是五边形的3个外角，若∠1+∠2+∠3=220°，则∠AOB=___________．【答案】70°【分析】先求出与∠EAB和∠CBA相邻的外角的度数和，然后根据多边形外角和定理即可求解．【详解】如图，∵∠1+∠2+∠3=220°，∴∠4+∠5=360°-220°=140°，∴∠EAB+∠CBA=220°，∵AO，BO分别平分∠EAB，∠ABC，∴∠OAB+∠OBA=110°，∴∠AOB=180°-（∠OAB+∠OBA）=70°．故答案是：70°．【点睛】本题主要考查了多边形外角和定理，三角形的内角和定理，熟练掌握多边形的外角和等于360°是解题的关键．【变式3】（2022春•武冈市期中）如图，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7的度数．【分析】利用三角形内角和定理将不规则图形转化成规则图形：五边形．【解答】解：如图，由三角形内角和定理得：∠1+∠5＝∠8+∠9，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝∠1+∠5+∠2+∠3+∠4+∠6+∠7＝∠8+∠9+∠2+∠3+∠4+∠6+∠7＝180°×（5﹣2）＝540°．【点评】本题主要考查多边形内角和，解题关键是利用三角形内角和定理将不规则图形转化成规则图形．【变式4】（2022春•宿城区校级月考）利用“模型”解决几何综合问题往往会取得事半功倍的效果．几何模型：如图（1），我们称它为“A”型图案，易证明：∠EDF＝∠A+∠B+∠C．运用以上模型结论解决问题：（1）如图（2），“五角星”形，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝？分析：图中A1A3DA4是“A”型图，于是∠A2DA5＝∠A1+∠A3+∠A4，所以∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝；（2）如图（3），“七角星”形，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5+∠A6+∠A7的度数．【分析】（1）根据三角形外角的性质把5个角转化到一个三角形中可得答案；（2）根据三角形外角的性质把7个角转化到一个三角形中可得答案．【解答】解：（1）如图，由三角形外角的性质可得，∠1＝∠A1+∠A4，∵∠A2DA5＝∠1+∠A3，∴∠A2DA5＝∠A1+∠A4+∠A3，∵∠A2DA5+∠A2+∠A5＝180°，∴∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝180°，故答案为：180°；（2）如图，由（1）得，∠1＝∠A1+∠A4+∠A5，∠2＝∠A2+∠A3+∠A6，∵∠1+∠2+∠A7＝180°，∴∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5+∠A6+∠A7＝180°．【点评】本题考查多边形的内角和与三角形外角的性质，能够根据三角形外角的性质进行转化是解题关键．题型四：利用方程和不等式确定多边形的边数例4.一个同学在进行多边形的内角和计算时，求得内角和为1125°，当他发现错了以后，重新检查，发现少算了一个内角，问这个内角是多少度？他求的是几边形的内角和？解析：本题首先由题意找出不等关系列出不等式，进而求出这一内角的取值范围；然后可确定这一内角的度数，进一步得出这个多边形的边数．解：设此多边形的内角和为x ，则有1125°＜x ＜1125°＋180°，即180°×6＋45°＜x ＜180°×7＋45°，因为x 为多边形的内角和，所以它是180°的倍数，所以x ＝180°×7＝1260°.所以7＋2＝9，1260°－1125°＝135°.因此，漏加的这个内角是135°，这个多边形是九边形．方法总结：解题的关键是由题意列出不等式求出这个多边形的边数． 【变式1】．（2023春·全国·八年级专题练习）看图回答问题：(1)内角和为2014°，小明为什么说不可能？(2)小华求的是几边形的内角和？【答案】(1)理由见详解(2)13【分析】（1（2）根据题意设多边形的边数为x ，根据多边形的内角和定理即可求解．【详解】（1）解：∵设多边形的边数为n ，则n 边形的内角和是180(2)n ︒⨯−，∴内角和一定是180︒度的倍数，∵20141801134÷=，∴内角和为2014︒不可能．（2）解：设多边形的边数为x ，∴180(2)2014x ︒⨯−<︒，解得，171390x <， ∴多边形的边数是13，∴小华求的是十三边形的内角和．【点睛】本题主要考查多边形的内角和定理，掌握多边形的内角和定理是解题的关键．【变式2】（2023春·全国·八年级专题练习）解决多边形问题：(1)一个多边形的内角和是外角和的3倍，它是几边形？(2)小华在求一个多边形的内角和时，重复加了一个角的度数，计算结果是1170︒，这个多边形是几边形？【答案】(1)八边形(2)八边形【分析】（1）根据多边形的内角和公式、多边形的外角和等于360︒建立方程，解方程即可得；（2）设这个多边形是n 边形，重复加的一个角的度数为x ，则0180x ︒<<︒，再根据多边形的内角和公式建立等式，结合0180x ︒<<︒建立不等式组，解不等式组即可得．【详解】（1）解：设这个多边形是n 边形，由题意得：()18023360n ︒−=⨯︒，解得8n =，答：这个多边形是八边形．（2）解：设这个多边形是n 边形，重复加的一个角的度数为x ，则0180x ︒<<︒，由题意得：()18021170n x ︒−+=︒，解得1530180x n =︒−︒，则01530180180n ︒<︒−︒<︒，即153018001530180180n n ︒−︒>︒⎧⎨︒−︒<︒⎩，解得151722n <<， n Q 为正整数，8n ∴=，答：这个多边形是八边形．【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和、一元一次不等式组的应用，正确建立方程和不等式组是解题关键．题型五：已知各相等外角的度数，求多边形的边数例5.正多边形的一个外角等于36°，则该多边形是正( )A ．八边形B ．九边形C ．十边形D ．十一边形解析：正多边形的边数为360°÷36°＝10，则这个多边形是正十边形．故选C.方法总结：如果已知正多边形的一个外角，求边数可直接利用外角和除以这个角即可．【变式1】．（2022春·八年级单元测试）已知一个多边形的每个外角都是30︒，那么这个多边形的边数是__________．【答案】12【分析】利用任何多边形的外角和是360︒除以外角度数即可求出答案．÷=，【详解】解：多边形的外角的个数是3603012所以多边形的边数是12，故答案为：12．【点睛】本题主要考查了多边形的外角和定理，已知外角求边数的这种方法是需要熟记的内容．【变式2】（2021·广西八年级期中）己知一个n边形的每一个外角都等于30°．（1）求n的值．（2）求这个n边形的内角和．【答案】（1）12；（2）1800°【分析】（1）用360°除以外角度数可得答案．（2）先求出每个内角的度数，再利用内角度数×内角的个数即可．【详解】解：（1）∵n边形的每一个外角都等于30°∴n＝360°÷30°＝12；（2）∵每个内角=180°-30°=150∴内角和=12×150°＝1800°．【点睛】此题主要考查了多边形的内角和、外角和，关键是掌握多边形的外交和等于360°．题型六：多边形内角和与外角和的综合运用例6.一个多边形的内角和与外角和的和为540°，则它是( )A．五边形 B．四边形 C．三角形 D．不能确定解析：设这个多边形的边数为n，则依题意可得(n－2)×180°＋360°＝540°，解得n＝3，∴这个多边形是三角形．故选C.方法总结：熟练掌握多边形的内角和定理及外角和定理，解题的关键是由已知等量关系列出方程从而解决问题．【变式1】（2021·陕西）一个多边形的内角和与外角和的度数之和为1260︒，求这个多边形的边数．【答案】多边形的边数为7【分析】设这个多边形的边数为n，根据这个多边形的内角和+外角和360°=1800°，列出方程求解即可．【详解】解：设多边形的边数是n，由题意得，()21803601260n−⨯︒+︒=︒，n=．解得：7答：多边形的边数为7．【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和定理，任意多边形的外角和都是360°，与边数无关，熟练多边形的内角和定理是解题的关键．【变式2】（2021·广西来宾市·八年级期中）已知一个多边形的每一个内角都比它相邻的外角的4倍多30°，求这个多边形是几边形？并求出这个多边形的内角和．【答案】十二边形，1800°【分析】首先设外角为x°，则内角为（4x＋30）°，根据内角与相邻的外角是互补关系可得x＋4x＋30＝180，解方程可得x的值，再利用外角和360°÷外角的度数可得边数，进而求出内角和．【详解】解：设外角为x°，由题意得：x＋4x＋30＝180，解得：x＝30，360°÷30°＝12，∴（12−2）×180＝1800°，∴这个多边形的内角和是1800°，是十二边形．【点睛】本题主要考查多边形内角与外角的知识点，此题要结合多边形的内角和公式以及外角和，构建方程求解即可．【变式3】（2021秋•泰州期末）【相关概念】将多边形的内角一边反向延长，与另一条边相夹形成的那个角叫做多边形的外角．如图，将△ABC中∠ACB的边CB反向延长，与另一边AC形成的∠ACD即为△ACB的一个外角．三角形外角和与三角形内角和对应，为与三个内角分别相邻的三个外角的和．【求解方法】借助一组内角与外角的数量关系，可以求出三角形的外角和．如图，△ABC的外角和＝（180°﹣∠ACB）+（180°﹣∠CAB）+（180°﹣∠ABC）＝540°﹣（∠ACB+∠ABC+∠CAB）＝540°﹣180°＝360°．【自主探究】根据以上提示，完成下列问题：（1）将下列表格补充完整．（2）如果一个八边形的每一个内角都相等，请用两种不同的方法求出这个八边形一个内角的度数．【分析】（1）根据n 边形的内角和为（n ﹣2）×180°，n 边形的外角和为360°即可得出答案；（2）根据多边形的内角和公式和多边形的外角和360°即可得出答案．【解答】解：（1）内角和分别为：四边形内角和是：（4﹣2）×180°＝360°，，五边形内角和是：（5﹣2）×180°＝540°，n 边形内角和是：180°（n ﹣2）；外角和分别为：360°、360°、360°；故答案为：360°、540°、180°（n﹣2），360°、360°、360°；（2）这个八边形一个内角的度数是：方法一：（8﹣2）×180°÷8＝135°，方法二：180°﹣360°÷8＝135°．【点评】本题考查了多边形内角与外角：n边形的内角和为（n﹣2）×180°；n边形的外角和为360°．题型七：平面镶嵌例7．（2022春·八年级单元测试）用同一种下列形状的图形地砖不能进行平面镶嵌的是（）A．正三角形B．长方形C．正八边形D．正六边形【答案】C【分析】分别求出各个正多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件即可求出答案．【详解】解：A．正三角形的每个内角是60︒，能整除360︒，能密铺，故A不符合题意；B．长方形的每个内角是90︒，能整除360︒，能密铺，故B不符合题意；C．正八边形的每个内角为：1803608135︒−︒÷=︒，不能整除360︒，不能密铺，故C符合题意；D．正六边形的每个内角为120︒度，能整除360︒，能密铺，故D不符合题意．故选：C．【点睛】本题主要考查了平面镶嵌，解题的关键是熟练掌握一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除360︒．【变式】（2022春·八年级单元测试）用正多边形来镶嵌平面的原理是共顶点的各个角之和必须等于360︒．现在有七种不同的正多边形：①正三角形、②正方形、③正六边形、④正八边形、⑤正十边形、⑥正十二边形、⑦正十五边形．请你用其中的不同的三种正多边形来镶嵌平面，这三种正多边形可以是：________．（请用序号表示，只需写出两种即可）【答案】①②③或①②⑥或②③⑥【分析】先分别求出正三角形、正方形、正五边形、正六边形、正七边形、正八边形的每个内角，然后根据平面镶嵌的条件解答即可．【详解】解：用公式()1802nn︒⨯−分别计算出正三角形的内角为60︒，正方形的内角为90︒，正六边形的内角为120︒，正八边形内角为135︒，正十边形的内角为144︒，正十二边形的内角为150︒，正十五边形的内角为156︒，∵609090120360︒+︒+︒+︒=︒，∴正三角形、正方形、正六边形可以进行平面镶嵌；∵606090150360︒+︒+︒+︒=︒，∴正三角形、正方形、正十二边形可以进行平面镶嵌；∵90120150360︒+︒+︒=︒，∴正方形、正六边形、正十二边形可以进行平面镶嵌；故答案为：①②③或①②⑥或②③⑥．【点睛】本题主要考查了镶嵌的条件，镶嵌的条件是看位于同一顶点处的几个角之和能否为360︒．【过关检测】一、单选题A．180︒B．360【答案】B【分析】根据多边形的外角和等于360︒解答即可．【详解】解：由多边形的外角和等于360︒可知，123456360∠+∠+∠+∠+∠+∠=︒，故选：B．【点睛】本题考查的是多边形的外角和，掌握多边形的外角和等于360︒是解题的关键．2．（2023春·山东泰安·八年级校考期末）正多边形的内角和为720︒，则这个多边形的一个内角为（）A．90︒B．60︒C．120︒D．135︒【答案】C【分析】由正多边形的内角和为720︒，可得()2180720n−︒=︒，再求解n可得答案．【详解】解：∵正多边形的内角和为720︒，∴()2180720 n−︒=︒，解得：6n=，∴这个多边形的一个内角为720=1206︒︒；故选C【点睛】本题考查的是正多边形的内角和问题，熟记多边形的内角和公式与正多边形的定义是解本题的关键．3．（2023春·浙江·八年级专题练习）一个多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个多边形是（）A．六边形B．七边形C．八边形D．九边形【答案】A【分析】设这个多边形的边数为n，根据多边形的内角和公式和多边形的外角和都是360︒，列出方程即可求出结论．【详解】解：设多边形的边数是n，根据题意得，()21802360n−⨯︒=⨯︒，解得：6n=，∴这个多边形为六边形．故选：A．【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，根据题意列出方程是解题的关键．4．（2023春·浙江·八年级专题练习）一个多边形的每个内角都相等，这个多边形的外角不可能是（）A．30︒B．40︒C．50︒D．60︒【答案】C【分析】根据多边形的每个内角都相等，则这个多边形的每一个外角均相等，根据外角和等于360︒即可求解．【详解】解：由题意得，多边形的每个内角都相等，∴这个多边形的每一个外角均相等．∴每一个外角的度数整除360︒，∵30︒、40︒、60︒均能整除360︒，50︒不能整除360︒，∴选项C 符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查了多边形的外角和，熟记知识点是解题关键． 5．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，A B C D E F ∠+∠+∠+∠+∠+∠等于（ ）A ．240︒B ．300︒C ．360︒D ．540︒【答案】C 【分析】连接BD ，根据四边形内角和可得360A ABO OBD BDO CDO C ∠+∠++∠+∠+∠=︒，再由“8”字三角形可得OBD ODB E F ∠+∠=∠+∠，进而可得答案．【详解】解：连接BD ，如图，∵360A ABO OBD BDO CDO C ∠+∠+∠+∠+∠+∠=︒，OBD ODB E F ∠+∠=∠+∠，∴360A ABO E F CDO C ∠+∠+∠+∠+∠+∠=︒，故选C ．【点睛】本题考查了多边形的内角和，以及“8”字三角形的特点，正确作出辅助线是解答本题的关键．6．（2022春·八年级单元测试）将一个多边形切去一个角后所得的多边形内角和为2520，则原多边形的边数为（ ）A ．15或16B ．16或17C ．15或16或17D ．16或17或18【答案】C【分析】因为一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，根据多边形的内角和即可解决问题．【详解】解：多边形的内角和可以表示成()2180n −⋅︒（3n ≥且n 是正整数），一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，根据题意得()21802520n −⋅︒=︒，解得：16n =，则多边形的边数是15或16或17，故C 正确．故选：C ．【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理，本题容易出现的错误是：认为截取一个角后角的个数减少1． 7．（2023秋·广西钦州·八年级统考期末）小红：我计算出一个多边形的内角和为2020︒；老师：不对呀，你可能少加了一个角！则小红少加的这个角的度数是（ ）A ．110︒B ．120︒C ．130︒D ．140︒【答案】D【分析】设这个多边形的边数为n ，少加的角的度数为x ，由多边形内角和定理可得等式：180(2)2020n x −=+，由n 为整数即可确定x 的值．【详解】设这个多边形的边数为n ，少加的角的度数为x ，由题意得：180(2)2020n x −=+，4013180xn +∴=+，由于n 为整数，x 为正数且小于180，40180x ∴+=，则140x =，故选：D ．【点睛】本题考查了多边形内角和定理，关键是设多边形的边数及少加的角的度数，由多边形内角和定理得到等式，根据边数为整数确定少加的角．8．（2023·全国·八年级假期作业）已知一个多边形内角和为1080︒，则这个多边形可连对角线的条数是（ ）A ．10B ．16C ．20D ．40【答案】C【分析】先根据多边形内角和计算公式求出这个多边形是八边形，再根据多边形对角线计算公式求解即可．【详解】解：设这个多边形为n边形，由题意得，()180210802n⨯−=，∴8n=，∴这个多边形为八边形，∴这个多边形可连对角线的条数是()883202⨯−=，故选C．【点睛】本题主要考查了多边形内角和定理，多边形对角线计算公式，熟知n边形的对角线条数是()32 n n−是解题的关键．9．（2023秋·八年级课时练习）一个多边形截去一角后，变成一个八边形，则这个多边形原来的边数是（）A．8或9B．7或8C．7或8或9D．8或9或10【答案】C【分析】画出所有可能的情况，即可作答．【详解】如图所示∴这个多边形原来是7边形或8边形或9边形故选C．【点睛】本题考查的知识点是多边形内角与外角，解题关键是注意分情况作答．二、填空题10．（2023春·安徽淮北·八年级淮北一中校联考阶段练习）若n边形的每个内角都是108，则边数n为___．【答案】5【分析】根据多边形的内角和公式()2180n︒−⋅列方程求解即可．【详解】解：由题意得， ()2180108n n ︒︒−⋅=⋅解得：5n =．故答案为：5．【点睛】本题考查了多边形的内角和，熟记内角和公式并列出方程是解题的关键． 11．（2022春·八年级单元测试）如图是由射线AB 、BC 、CD 、DA 组成的平面图形，则1234∠+∠+∠+∠=______°．【答案】360【分析】根据多边形的外角和为360︒求解即可．【详解】解：由图可知，1∠、2∠、3∠、4∠为组成的四边形的外角，∴1234360∠+∠+∠+∠=︒，故答案为：360．【点睛】本题考查多边形的外角性质，熟知多边形的外角和为360︒是解题的关键．12．（2023春·浙江宁波·八年级校联考期中）一个正n 多边形的一个内角是它的外角的4倍，则n =___________．【答案】10【分析】由多边形的每一个内角与相邻的这个外角互补先求解每一个外角，从而可得答案．【详解】解：∵一个正n 多边形的一个内角是它的外角的4倍，∴正多边形的每一个外角为：180365︒=︒，∴3601036n ︒==︒，故答案为：10．【点睛】本题考查的是正多边形的内角和与外角和的综合，熟记多边形的每一个内角与相邻的这个外角互补是解本题的关键．13．（2023春·全国·八年级专题练习）若一个多边形的每个外角均为36︒，则这个多边形的内角和为_______度．【答案】1440【分析】依据多边形外角和为360︒求得边数，再依据多边形内角和公式代入求解即可．【详解】解：因为多边形的每个外角均为36︒，且外角和为360︒，所以这个多边形边数：3603610︒÷︒=，则这个多边形的内角和为：()1021801440−⨯︒=︒，故答案为：1440．【点睛】本题考查了多边形内角和公式、外角和为360︒；通过外角和求得边数是解题的关键．【答案】12【分析】设这个多边形的边数为n，根据题意得多边形的内角和是外角和的5倍，列出方程求解即可．【详解】解：设这个多边形的边数为n，根据题意得多边形的内角和是外角和的5倍，∴() 36052180n⨯=−⨯，解得：12n=，所以这个多边形的边数为12．故答案为：12．【点睛】题目主要考查一元一次方程的应用及多边形的内角和与外角和等，理解题意，列出方程是解题关键．15．（2023春·陕西西安·八年级西安行知中学校考阶段练习）一个多边形的内角和是外角和的3倍，则它是____________边形．【答案】八【分析】多边形的外角和是360度，多边形的内角和是外角和的3倍，则多边形的内角和是()3603︒⨯度，根据多边形的内角和可以表示成()2180n−⋅︒，依此列方程可求解．【详解】解：设多边形边数为n．则() 36032180n⨯=−⋅，解得8n=．∴这个多边形是八边形．故答案为：八．【点睛】本题主要考查了多边形内角和公式及外角的特征．求多边形的边数，可以转化为方程的问题来解决．16．（2023·全国·八年级假期作业）一个n边形的所有内角和等于540︒，则n的值等于__．【答案】5【分析】已知n边形的内角和为540︒，根据多边形内角和的公式易求解．【详解】解：依题意有()2180540n−⋅︒=︒，解得5n=．故答案为：5．【点睛】主要考查的是多边形的内角和公式，本题的难度简单．掌握多边形的内角和为()2180n−⋅︒是解题的关键．【答案】1080°【分析】连KF，GI，根据n边形的内角和定理得到7边形ABCDEFK的内角和＝（7－2）×180°＝900°，则∠A ＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠1＋∠2）＝900°，由三角形内角和定理可得到∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H＝180°，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠3＋∠4）＋∠5＋∠6＋∠H＝900°＋180°，即可得到∠A ＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＋∠K的度数．【详解】解：连KF，GI，如图，。

多边形（基础）知识讲解【学习目标】1.理解多边形的概念；2.掌握多边形内角和与外角和公式；3.灵活运用多边形内角和与外角和公式解决有关问题，体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法，进一步培养说理和进行简单推理的能力.【要点梳理】知识点一、多边形的概念1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形． 2．相关概念：边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n 边形有n 个内角. 外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角. 对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．3. 多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形．如图：要点诠释：(1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可； (2)过n 边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n 边形对角线的条数为(3)2n n ； (3)过n 边形的一个顶点的对角线可以把n 边形分成(n-2)个三角形． 知识点二、多边形内角和n 边形的内角和为(n-2)·180°(n ≥3)． 要点诠释：(1)内角和公式的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；凸多边形凹多边形(2)正多边形的每个内角都相等，都等于(2)180nn°；知识点三、多边形的外角和多边形的外角和为360°．要点诠释：(1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关；(2)正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于360n°；(3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相等外角的度数．【典型例题】类型一、多边形的概念1．如图，在六边形ABCDEF中，从顶点A出发，可以画几条对角线？它们将六边形ABCDEF 分成哪几个三角形?【答案与解析】解：如图，P从顶点A出发，可以画三条对角线，它们将六边形ABCDEF分成的三角形分别是：△ABC、△ACD、△ADE、△AEF.【总结升华】从一个多边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数(n-3)条，分成的三角形数是个数（n-2）个．举一反三：【变式】过正十二边形的一个顶点有条对角线，一个正十二边形共有条对角线【答案】9，54。

第三课时——多边形及其内角和知识点一：多边形及其相关概念：1.多边形的概念：在平面内，由多条线段首位顺次连接所组成的图形是多边形。

组成的线段有多少条，则图形就是一个几边形。

如图：多边形ACDE是四边形，多边形ABCDE是五边形。

2.多边形的边：组成多边形的叫做多边形的边。

如图：AB、BC、CD、DE、AE是五边形的边。

3.多边形的内角：多边形两边组成的角叫多边形的内角。

如图：∠ABC、∠BCD、∠CDE、∠DEA、∠BAE是五边形的内角。

4.多边形的外角：多边形的边与它的邻边的构成的角是多边形的外角。

如图：∠BAF是五边形的其中一个外角。

5.多边形的对角线：连接任意两个不相邻的顶点得到的叫做多边形的对角线。

如图：AC是五边形的一条对角线。

6.凸多边形：作多边形任意一边所在直线，多边形在直线的，则这样的多边形是凸多边形。

7.凹多边形：如果作多边其中一边的直线，多边形在直线的，则这样的多边形是凹多边形。

【类型一：多边形的简单认识】1．如图所示的图形中，属于多边形的有（）A．3个B．4个C．5个D．6个2．下列平面图形中，属于八边形的是（）A．B．C．D．知识点一：多边形的有关计算1.多边形的对角线数量计算：总结规律：（下列式子中出现的n都是多边形的边数）多边形一个顶点引出的对角线条数为：条。

多边形所有对角线条数为：条。

2.多边形一个顶点的对角线分多边形的成三角形的数量计算：由上图总结：一个顶点的对角线分多边形成三角形的个数为：个。

3.多边形的内角和计算：由上图可知，多边形的内角和等于图中所有三角形的内角和之和。

即：。

特别提示：多边形的内角和一定是180的整数倍。

多边形每增加一边，内角和增加180°。

4.多边形的外角和计算：任意多边形的外角和都等于。

证明提示：多边形相邻的内外角之和等于180°，所以所有外角之和为：()︒1802n180n⋅360⋅=︒--︒【类型一：内外角和公式的理解】3．下列各度数不是多边形的内角和的是（）A．540°B．900°C．1080°D．1700°4．当多边形的边数增加1时，它的内角和与外角和（）A．都不变B．都增加180°C．内角和增加180°，外角和减少180°D．内角和增加180°，外角和不变【类型二：根据公式求内角和】5．湖南革命烈士纪念塔是湖南烈士公园的标志性建筑，塔于1959年建成，以纪念近百年为人民解放事业献身的革命先烈，塔底平面为八边形，这个八边形的内角和是（）A．720°B．900°C．1080°D．1440°6．如图，足球图片中的一块黑色皮块的内角和是（）A．720°B．540°C．360°D．180°7．七边形的内角和是（）A．360°B．540°C．720°D．900°【类型二：利用内角和求多边形的边数】8．若一个多边形的内角和是1440°，则此多边形的边数是（）A．十二B．十C．八D．十四9．若多边形的内角和是1980°，则此多边形的边数为（）A．16B．15C．14D．1310．一个正多边形的内角和是900度，则这个多边形是（）A．正六边形B．正七边形C．正八边形D．正九边形【类型二：利用多边形内外角关系计算】11．一个多边形的内角和是其外角和的6倍，则这个多边形的边数是（）A．12边B．14边C．16边D．18边12．如果一个多边形的内角和是外角和的4倍，那么这个多边形是（）A．四边形B．六边形C．八边形D．十边形13．某多边形的内角和是其外角和的2倍，则此多边形的边数为（）A．3B．4C．5D．6【类型二：多边形截角计算】14．一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为900°，那么原多边形的边数为（）A．5B．5或6C．6或7或8D．7或8或915．一个多边形减去一个角后，所得多边形的内角和是720°，则这个多边形的边数不可能是（）A．4B．5C．6D．716．用剪刀将一个四边形沿直线剪去一部分，剩下部分的图形的内角和将（）A．增加180°B．减少180°C．不变D．以上三种情况都有可能17．在一个凸n边形的纸板上切下一个三角形后，剩下的是一个内角和为2160°的多边形，则n的值为（）A．只能为13B．只能为14C．只能为15D．以上都不对知识点一：正多边形：1.正多边形的定义：每条边都，每个内角都的多边形是正多边形。

【解析】略。
【答案】九边形。
6.(1)一个多边形的内角和是外角和的一半，它是几边形?
(2)一个多边形的内角和是外角和的2倍，它是几边形?
【解析】根据多边形的内角和与外角和的关系建立方程求解。则
(1)(n-2)×180=360÷2，(2)(n-2)×180=2×360
【答案】(1)三角形；(2)六边形。
答案：(1)∠1080°；(2) 13.
【指点迷津】解决与多边形的角有关的问题，要注意灵活运用多边形的内角和、外角和公式，有时直接计算，有时根据公式列方程求解。
例3求出下图中x的值。
解析：在多边形每个顶点处的内角和外角
组成一个平角，因此图中两个直角顶点处
的外角都为90°.根据多边形的外角和等于
360°，得方程3x+90×2=360即可求出x的值。
3.画出多边形任意一边的直线，整个多边形都在这条直线的同一侧，这样的多边形叫做凸多边形，不在同一侧叫做凹多边形。
4.各个角都相等、各条边都相等的多边形叫做正多边形。
5.多边形的外角与相邻的内角组成一个。
6.从n边形的一个顶点出发，有条对角线，把n边形分成
个三角形。
7.n边形的内角和等于。
8.多边形的外角和等于。
【解析】根据多边形的边数，利用多边形的内角和公式列方程解答。
(1)图是五边形，则4x+60=(5-2)×180；
(2)图是四边形，则3x+3x+2x+4x=(4-2)×180；
(3)图是五边形，∵AB∥CD, ∴∠B=180°-∠C=120°.
∴x+150+60+120+135=(5-2)×180.
教学难点
能灵活运用多边形的内角和、外角和公式解决问题。

精讲精练【考点精讲】1. 多边形的定义在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。

注意：（1）理解多边形的定义要从以下两方面考虑：一是“在同一平面内”；二是“一些线段首尾顺次相接”；两者缺一不可。

（2）多边形通常以边数来命名，具有n条边的多边形叫n边形。

三角形、四边形都属于多边形。

2. 多边形的内角、外角、对角线的概念多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角。

多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。

连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。

注意：从n边形的一个顶点可以引出（n－3）条对角线，过n个顶点有)3(-⨯nn条对角线，但每条对角线都计算了两遍，所以n边形共有2)3(-nn条对角线。

3. 正多边形的概念各边相等各角也相等的多边形称为正多边形。

注意：正多边形必须同时满足两个条件：一是“各边相等”、二是“各角也相等”，两者缺一不可。

例如，各角都相等的四边形是矩形；各边相等的四边形是菱形。

只有各角相等，各边也相等的四边形是正方形（正四边形）。

【典例精析】例题1 在凸多边形中，四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，经过观察、探索、归纳，你认为凸八边形的对角线条数应该是多少条? 简单扼要地写出你的思考过程。

思路导航：对角线是由不相邻的两个顶点相连接而构成的，因此应从顶点入手。

可先探求从一个顶点出发可以画出多少条对角线，当归纳出对角线的条数与多边形顶点的个数之间的关系后，就可以解决本题了。

凸n边形每个顶点不能和它自己以及与它相邻的两个顶点作对角线，所以可作对角线的条数是（n－3）条，凸n边形有n个顶点，所以可作n（n－3）条。

由于每条对角线有两个端点，也就是每条对角线被计算了两次，所以凸n边形共有1(3)2n n-条对角线。

当n=8时，有18(83)45202⨯⨯-=⨯=条对角线。

答案：凸八边形的对角线应该是20条。

点评：本题主要对同学们探究问题的过程进行考查，可以通过类比多边形的内角和的探究方法来进行，所以我们在平时的学习中，不仅要牢记某些结论，还要多体验探究这些结论的方法，并能灵活运用。

多边形和内角和练习题温故而知新：1.多边形多边形的内角和：n边形内角和等于＿（n-2)·180°＿＿多边形的外角和：任意多边形外角和等于＿＿360°＿多边形的对角线：凸n边形共有＿1(3)2n n-＿条对角线.2.平面镶嵌定义：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面(或平面镶嵌）问题.说明：正三角形、正方形和正六边形可以镶嵌平面图案,正五边形不能镶嵌平面图案.多边形的对角线例 1 今年暑假，佳一学校安排全校师生的假期社会实践活动，将每班分成三个组，每组派1名教师作为指导教师，为了加强同学间的联系，学校要求该班每两人之间（包括指导教师）每周至少通一次电话，现知该校七（1）班共有50名学生,那么该班师生之间每周至少要通几次电话?为了解决这一问题，小明把该班师生人数n与每周至少通话次数s之间的关系用下列模型表示，如图。

解析：师生53人看作是53边形的53个顶点，n边形的对角线条数公式为：1(3)2n n-。

答案：解：将七（1）班师生53人看作是53边形的53个顶点,由多边形对角线条数公式1(3)2n n-得1⨯⨯-=53(533)13252所以1325+53=1378次。

答：该班每周师生之间至少要通1378次电话小结：(1)建立数学模型是解决实际问题的基本方法;（2）n边形的对角线的条数公式是1(3)n n-2多边形的内角和与外角和例2 已知一个多边形的外角和等于内角和的1/3，求这个多边形的边数。

解析：多边形的外角和为360°，根据多边形的内角和及外角和列方程。

答案：解:设这个多边形的边数为n，根据题意,得1n-⨯=(2)1803603解得 n=8答：这个多边形的边数是8.小结：利用方程求解是解决此类问题的一般方法.例3 如图,小陈从O点出发,前进5米后向右转20°，再前进5米后又向右转20°，……这样一直走下去，他第一次回到出发点O时一共走了（）A。

第十一章三角形11.3.1多边形一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列说法不正确的是A．各边都相等的多边形是正多边形B．正多形的各边都相等C．正三角形就是等边三角形D．各内角相等的多边形不一定是正多边形【答案】A2．如果从一个多边形的一个顶点出发作它的对角线，最多能将多边形分成5个三角形，那么这个多边形的对角线的条数是A．13 B．14C．15 D．5【答案】B【解析】设多边形有n条边，则n-2=5，解得：n=7．所以这个多边形的边数是7，这个七边形一共有12×7×（7-3）=14（条）对角线．故选B．3．十五边形从一个顶点出发有__________条对角线．A．11 B．12C．13 D．14【答案】B【解析】n边形（n>3）从一个顶点出发可以引（n−3）条对角线，所以十五边形从一个顶点出发有：15−3=12（条）对角线．故选B．4．将一个四边形截去一个角后，它不可能是A．六边形B．五边形C．四边形D．三角形【答案】A二、填空题：请将答案填在题中横线上．5．在平面内，由一些线段__________相接组成的__________叫做多边形．【答案】首尾顺次；图形【解析】在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形．故答案为：首尾顺次；图形．6．若一个六边形的各条边都相等，当边长为3 cm时，它的周长为__________cm．【答案】18【解析】6×3=18 cm．故答案为：18．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．7．画出如图多边形的全部对角线．【解析】此图为六边形，有6(63)2-=9（条）对角线，依次画出图形如图所示：8．（1）如图（1）所示是四边形，小明作出它对角线为2条，算法为4(43)2⨯-=2；（2）如图（2）是五边形，小明作出它的对角线有5条，算法为5(53)2⨯-=5；（3）如图（3）是六边形，可以作出它的对角线有__________条，算法为__________；（4）猜想边数为n的多边形对角线条数的算法及条数．。

∵（∠3+∠9+∠10）+（∠5+∠11+∠12）+（∠7+∠13+∠14）=180°×3=540°， ∴（∠3+∠5+∠7）+（∠9+∠10+∠11+∠12+∠13+∠14）=540°， ∴∠3+∠5+∠7=540°﹣（∠9+∠10+∠11+∠12+∠13+∠14）， ∵五边形 ABCDE 的内角和为（5﹣2）×180°=540°， ∴540°=∠1+∠2+∠9+∠10+∠4+∠11+∠12+∠6+∠13+∠14+∠8 =（∠1+∠2+∠4+∠6+∠8）+（∠9+∠10+∠11+∠12+∠13+∠14） =（m°+n°）+（∠9+∠10+∠11+∠12+∠13+∠14）， ∴∠9+∠10+∠11+∠12+∠13+∠14=540°﹣（m°+n°）． ∴∠3+∠5+∠7=540°﹣[540°﹣（m°+n°）]=m°+n°．
随练 1.5 请总结规律，完成下表：
拓展 1 下列说法中错误的有（ ）
①各边都相等的多边形是正多边形．②多边形的外角和是指多边形所有外角相加的和．③四个内角均为直
角的四边形是正四边形．④多边形的内角和与外角和均与边数有关．⑤正多边形的内角度数与边数无关．⑥
多边形的内角和与外角和加起来，应为边数与 180°的乘积．

多边形及其内角和基础题1．下列图中不是凸多边形的是A．B．C．D．2．已知一个多边形的每一个外角都等于36°，下列说法错误的是A．这个多边形是十边形B．这个多边形的内角和是1800°C．这个多边形的每个内角都是144°D．这个多边形的外角和是360°3．下列图形中，内角和与外角和相等的是A．B．C．D．4．如果一个多边形的内角和是它的外角和的n倍，则这个多边形的边数是A．n B．2n-2 C．2n D．2n+25．多边形的内角和不可能为A．180°B．680°C．1080°D．1980°6．一个多边形的内角和比外角和的3倍多180°，则它的边数是___________．7．某正n边形的一个内角为108°，则n=___________．8．如果铺满地面，那么用正方形和等边三角形，正六边形三种组合的比例应为__________．9．根据图中所表示的已知角的度数，可以求出∠α=__________°．10．如图，已知△ABC为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于__________．11．若一个多边形除了一个内角外，其余各内角之和为2570°，求这个内角的度数．能力题12．不能够铺满地面的组合图形是A．正八边形和正方形B．正方形和正三角形C．正六边形和正方形D．正六边形和正三角形13．下列说法正确的有①由一些线段首位顺次相接组成的封闭图形叫做多边形；②多边形的两边所在直线组成的角是这个多边形的内角或外角；③各条边都相等的多边形是正多边形．A．0个B．1个C．2个D．3个14．一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的A．内角和增加180°B．外角和增加360°C．对角线增加一条D．内角和增加360°15．如图，小亮从A点出发，沿直线前进10米后向左转30°，再沿直线前进10米，又向左转30°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了___________米．16．如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=___________．17．若一个多边形的内角和等于720°，则从这个多边形的一个顶点引出对角线__________条．18．已知：四边形ABCD如图所示，（1）填空：∠A+∠B+∠C+∠D=__________°．（2）请用两种方法证明你的结论．19．若一个多边形的边数增加一条，其内角和变为1440 ，求原多边形的边数．20．一个多边形的各内角都相等，且每个内角与外角之差的绝对值为60°，求此多边形的边数．参考答案1．【答案】A【解析】A．不是凸多边形，整个多边形不是都在每条边所在直线的同侧；B．是凸多边形，符合凸多边形的定义；C．是凸多边形，符合凸多边形的定义；D．是凸多边形，符合凸多边形的定义，故选A．2．【答案】B【解析】多边形的边数为：360°÷36°=10，所以，多边形的内角和为：（10-2）·180°=1440°，每一个内角为：180°-36°=144°，多边形的外角和为：360°，所以，说法错误的是B选项．故选B．3．【答案】B【解析】根据多边形内角和公式（n–2）×180°与多边形的外角和定理列式进行计算即可得解．设多边形的边数为n，根据题意得（n–2）×180°=360°，解得n=4．故选B．4．【答案】D【解析】设多边形边数为x，则（x-2）·180°=n·360°，即x=2n+2，故选D．5．【答案】B【解析】A．∵180º÷180º=1，故A是多边形的内角和；B．∵680°÷180º=2……14，故B不是多边形的内角和；C．∵1080º÷180º=6，故C是多边形的内角和；D．∵1980º÷180º=11，故D是多边形的内角和，故选B．6．【答案】9【解析】(n−2)⋅180°=3×360°+180°，所以(n−2)⋅180°=6×180°+180°，n−2=7，解得：n=9．则这个多边形的边数是9．故答案为：9．7．【答案】5【解析】．∵正n边形的一个内角为108°，∴正n边形的一个外角为180°–108°=72°，∴n=360°÷72°=5．故答案为：5．8．【答案】2∶1∶1【解析】∵正方形、等边三角形和正六边形的内角的度数分别是90，60，120，∴正方形、等边三角形和正六边形三种组合的比例应为2∶1∶1，故答案为：2∶1∶1．9．【答案】50【解析】∵图中110°角的外角为180°–110°=70°，∴∠α=360°–120°–120°–70°=50°．故答案为：50．10．【答案】270°【解析】∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，∴∠1+∠2=360°–（∠A+∠B）=270°，故答案为：270°．11．【解析】设这个内角度数为x°，边数为n，则（n-2）×180°-x=2570°，n×180°=2930°+x，即x=n×180°-2930°，∵0°<x<180°，解得16.2<n<17.2，又∵n为正整数，∴n=17，则这个内角度数为180°×（17-2）-2570°=130°．12．【答案】C【解析】A、正八边形和正方形内角分别为135°、90°，由于135×2+90=360，故能铺满，不符合题意；B、正三角形和正方形内角分别为60°、90°，由于60×3+90×2=360，故能铺满，不符合题意；C、正方形的每个内角是90°，正六边形的每个内角是120°，90m+120n=360°，m=4-43n，显然n取任何正整数时，m不能得正整数，故不能够铺满，符合题意；D、正六边形的每个内角是120°，正三角形的每个内角是60°，由于2×120°+2×60°=360°，或120°+4×60°=360°，故能够铺满，不符合题意，故选C．13．【答案】A【解析】①中缺少“在平面内”这一前提，故错误；②中多边形的两边所在直线组成的角中有一个角是多边形内角的对顶角，它既不是多边形的内角，也不是多边形的外角，故错误；③中缺少“各个角都相等”这一条件，故错误．故选A．14．【答案】A【解析】因为n边形的内角和是（n–2）•180°，外角和为360°，对角线的条数为(3)2n n-，当边数增加一条就变成n+1，则内角和是（n–1）•180°，内角和增加：（n–1）•180°–（n–2）•180°=180°；根据多边形的外角和特征，边数变化外角和不变；对角线的条数为(2)(1)2n n-+．所以只有A正确，故选A．15．【答案】120【解析】根据多边形的外角和为360°，因为360°÷30°=12，所以他需要走12次才会回到原来的起点，即一共走了12×10=120米．故答案为：120．16．【答案】360°【解析】∵∠7=∠4+∠6，∠8=∠1+∠5，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=∠2+∠3+∠7+∠8=360°．故答案为：360°．17．【答案】3【解析】设多边形的边数是n，则（n-2）·180°=720°，解得n=6，∴从这个多边形的一个顶点引出对角线是：6-3=3（条），故答案为：3．18．【解析】（1）四边形ABCD中，∠A+∠B+∠C+∠D=360︒．（2）证法一：如图1，连接AC，∵∠BAC+∠B+∠ACB=180°，∠ACD+∠D+∠DAC=180°，∴∠BAC+∠B+∠ACB+∠ACD+∠D+∠DAC=360°，∴∠DAB+∠B+∠BCD+∠D=360°．证法二：如图2，在四边形ABCD内取一点P，连接PA、PB、PC、PD，∵∠PAB+∠ABP+∠APB=180°，∠BPC+∠PBC+∠BCP=180°，∠DPC+∠PCD+∠CDP=180°，∠APD+∠ADP+∠DAP=180°，∴∠DAB+∠ABC+∠BCD+∠ADC=180°×4–360°=360°．19．【解析】设原多边形的边数为n，则增加一边后的边数为1n+．由多边形内角和定理得(12)1801440n+-⨯︒=︒，解得9n=，故原多边形的边数为9．解答本例也可以利用多边形边数每增加1，其内角和就增加180︒这一规律来解，即原多边形的内角和为1440180︒-︒，若设原多边形的边数为n，则可得方程(2)1801440180n-⨯︒=︒-︒，解得9n=．20．【解析】设一个内角与其外角分别为x°，y°，则有180 ||60 x yx y+=⎧⎨-=⎩，解得11120 60x y =⎧⎨=⎩或2260120xy=⎧⎨=⎩，∴此多边形的边数为：360°÷60°=6或360°÷120°=3，∴此多边形的边数为6或3．。

专题03 多边形及其内角和一、多边形1．下列选项中不是凸多边形的是(D)A B C D2．下列命题正确的是(D)A．各角都相等的多边形为正多边形B．各边都相等的多边形为正多边形C．经过n边形的一个顶点可引(n－2)条对角线D．正方形是正多边形3．如图11－3－1，五边形ABCDE是一个__凸__五边形，∠E是它的一个__内角__，∠F AE是它的一个__外角__，AD是它的一条__对角线__．图11－3－14．过四边形一个顶点的对角线可以把四边形分成两个三角形；过五边形的一个顶点的对角线有__2__条，可以把五边形分成__3__个三角形；过n边形的一个顶点的对角线有多少条，可以把n边形分成多少个三角形？(用含n的代数式表示)【解析】运用不完全归纳法，从特例出发，进行归纳和小结(如答图所示)．第4题答图解： 如答图，从n 边形的一个顶点出发可以画(n －3) 条对角线，它们把n 边形分成(n －2) 个三角形． 5．若一个多边形从一个顶点可以引5条对角线，则它是( D ) A ．五边形 B ．六边形 C ．七边形D ．八边形【解析】 设它是n 边形，则从一个顶点可以引(n －3) 条对角线，∴n －3＝5，∴n ＝8.6．从一个n 边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，若把这个多边形分割成6个三角形，则n 的值是( C ) A ．6B ．7C ．8D ．9【解析】 根据从一个n 边形的某个顶点出发，可以引(n －3) 条对角线，把n 边形分为(n －2) 个三角形，则n －2＝6，解得n ＝8.7．P n 表示n 边形的对角线的交点个数(指落在其内部的交点)，如果这些交点都不重合，那么P n 与n 的关系式是P n ＝n （n －1）24·(n 2－an ＋b )(其中a ，b 是常数，n ≥4)．(1)通过画图，可得四边形时，P 4＝__1__(填数字)；五边形时，P 5＝__5__(填数字)； (2)请根据四边形和五边形对角线交点的个数，结合关系式，求a ，b 的值． 解： (1)如答图，第7题答图当n ＝4时，P 4＝1；当n ＝5时，P 5＝5； (2)将上述数值代入公式，得⎩⎨⎧4×（4－1）24×（16－4a ＋b ）＝1，①5×（5－1）24×（25－5a ＋b ）＝5，②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝6.8．你会用画多边形的对角线来解决生活中的数学问题吗？比如，学校举办足球赛，共有5个班级的足球队参加，每个队都要和其他各队比赛一场，最后根据积分排列名次．请问学校一共要安排多少场比赛？我们画出5个点，每个点各代表一个足球队，两个队之间比赛一场就用一条线段把它们连接起来．由于每个队都要与其他各队比赛一场，这样每个点与另外4个点都会有一条线段连接，如图11－3－2所示．现在我们只要数一数五边形的边数和它的对角线条数就可以了．由图可知，五边形的边数和对角线条数都是5，所以学校一共要安排10场比赛．同学们，请用类似的方法来解决下面的问题：姣姣、林林、可可、飞飞、红红和娜娜六人参加一次会议，见面时他们相互握手问好．已知姣姣已握了5次手，林林已握了4次手，可可已握了3次手，飞飞已握了2次手，红红握手1次，请推算出娜娜目前已和哪几个人握了手．图11－3－2 第8题答图解：先画出6个点，A，B，C，D，E，F各个点依次代表姣姣、林林、可可、飞飞、红红和娜娜，凡是两人之间握过手，就把代表他们的这两点用一条线段连接起来，如答图所示．先看姣姣A和红红E，姣姣已握手5次，说明姣姣与另外5人都握了手，因此代表姣姣的A点与B，C，D，E，F这5点都有一条线段连接；红红握手1次，他只能是与姣姣握的手了，所以E点只能与A点之间有线段连接，与其他各点没有线段连接；然后看林林B，林林已握手4次，由于他不可能与红红握过手，所以只能是与剩下的四个人姣姣、可可、飞飞和娜娜握过手了，因此，点B与A，C，D，F四点之间有线段连接；再看飞飞D，飞飞已握手2次，而代表飞飞的D点已与A，B两点有线段连接了，所以D点与其他的点不再有线段连接；最后看可可C，可可与3人握了手，但不是与飞飞和红红握手，所以代表可可的点C只能与A，B，F三点有线段连接．现在观察图形，与代表娜娜的点F连接的线段有3条，即AF，BF和CF，这说明姣姣、林林和可可三人已与娜娜握了手．新人教部编版初中数学“活力课堂”精编试题二、多边形的内角和1．一个五边形的内角和为( A ) A ．540° B ．450° C ．360°D ．180°2．一个多边形的内角和比其外角和的2倍多180°，则该多边形的对角线的条数是( C ) A ．12B ．13C ．14D ．15【解析】 设多边形的边数是n ，据题意，得(n －2)×180°＝2×360°＋180°，解得n ＝7.七边形的对角线的条数是7×（7－3）2＝14.3．如图11－3－3，一个含60°角的三角形纸片，剪去这个60°角后，得到一个四边形，则∠1＋∠2的度数为( C )图11－3－3 A ．120° B ．180° C ．240°D ．300°【解析】 ∠1＋∠2＝360°－(180°－60°)＝240°.4．如图11－3－4，小华从A 点出发，沿直线前进10 m 后左转24°，再沿直线前进10 m ，又向左转24°…照这样走下去，他第一次回到出发地A 点时，一共走的路程是( B )图11－3－4A ．140 mB ．150 mC ．160 mD ．240 m【解析】 ∵多边形的外角和为360°，而每一个外角为24°，∴多边形的边数为360°÷24°＝15，∴一共走的路程是15×10＝150(m)．5．若正多边形的内角和是1 080°，则该正多边的边数是__8__．6．若正多边形的每一个内角为135°，则这个正多边形的边数是__8__．7．一个正多边形的每个外角为60°，那么这个正多边形的内角和是__720°__．8．一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是__8__．【解析】设边数为n，则(n－2)×180°＝360°×3，解得n＝8.9．通过画出多边形的对角线，可以把多边形内角和问题转化为三角形的内角和问题．如果从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有2条，那么该多边形的内角和是__540__°.【解析】由从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有2条，可知将此多边形分成3个三角形，故其内角和为3×180°＝540°.10．如果一个正方形被截掉一个角后，得到一个多边形，那么这个多边形的内角和是__180°或360°或540°__．【解析】如答图，一个正方形被截掉一个角后，可能得到如下的多边形：第10题答图∴这个多边形的内角和是180°或360°或540°.11．一个多边形，它的内角和比外角和的4倍多180°，求这个多边形的边数及内角和度数．解：设这个多边形的边数为n.根据题意，得(n－2)×180°＝360°×4＋180°，解得n＝11，(n－2)×180°＝1 620°.答：这个多边形的边数是11，内角和是1 620°.12．已知n边形的内角和θ＝(n－2)×180°.(1)甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ也能取630°.甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n.若不对，请说明理由；(2)若n边形变为(n＋x)边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x.解：(1)∵把θ＝360°代入公式可解得n＝4，而把θ＝630°代入公式解得n不是正整数，∴甲的说法对，乙的说法不对，甲同学说的边数n 是4；(2)根据题意，得(n ＋x －2)×180°－(n －2)×180°＝360°，解得x ＝2.13．一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1 080°，那么原多边形的边数为( D ) A ．7 B ．7或8 C ．8或9D ．7或8或9【解析】 设内角和为1 080°的多边形的边数是n ， 则(n －2)×180°＝1 080°，解得n ＝8. ∴原多边形的边数为7或8或9.14．边长相等的正五边形和正六边形如图11－3－5所示拼接在一起，则∠ABC ＝__24__°.图11－3－5【解析】 正六边形的一个内角＝16×(6－2)×180°＝120°.正五边形的一个内角＝15×(5－2)×180°＝108°.∴∠BAC ＝360°－(120°＋108°)＝132°. ∵两个正多边形的边长相等，即AB ＝AC ， ∴∠ABC ＝12×(180°－132°)＝24°.15．如图11－3－6，将一块正六边形硬纸片，做成一个底面仍为正六边形且高相等的无盖纸盒(侧面均垂直于底面，如图②)，需在每一个顶点处剪去一个四边形，如图①中的四边形AGA ′H ，那么∠GA ′H 的大小是__60°__．图11－3－6【解析】 由题图可知A ′H 与A ′G 重合，纸盒的六个侧面均为矩形，即当∠A ′HA ＝∠A ′GA ＝90°时才能满足这个条件．∵∠A′HA＋∠A′GA＋∠HAG＋∠GA′H＝360°，6∠HAG＝(6－2)×180°＝720°，∴∠HAG＝120°，∴∠GA′H＝60°.16．如图11－3－7，在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，若BE∥DF，求证：△DCF为直角三角形．图11－3－7证明：∵在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，∴∠ABC＋∠ADC＝360°－180°＝180°，∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，∴∠CDF＋∠EBF＝90°，∵BE∥DF，∴∠EBF＝∠DFC，∴∠CDF＋∠DFC＝90°，∴△DCF为直角三角形．17．(1)阅读理解：如图11－3－8①是二环三角形，可得S＝∠A2A1A6＋∠A2＋…＋∠A6＝360°.图11－3－8①理由：连接A1A4，∵∠1＋∠2＋∠A1OA4＝180°，∠A5＋∠A6＋∠A5OA6＝180°，又∵∠A1OA4＝∠A5OA6，∴∠1＋∠2＝∠A5＋∠A6，∴∠A2＋∠3＋∠1＋∠2＋∠4＋∠A3＝360°，∴∠A2＋∠3＋∠A5＋∠A6＋∠4＋∠A3＝360°，即S＝360°；(2)延伸探究：图11－3－8②图11－3－8③Ⅰ.如图②是二环四边形，可得S＝∠A1＋∠A2＋…＋∠A8＝720°，请你加以证明；Ⅱ.如图③是二环五边形，可得S＝__1__080°__，聪明的你，请根据以上的规律直接写出二环n边形(n≥3的整数)中，S＝__(n－2)×360__°.(用含n的代数式表示最后的结果)解：(2)Ⅰ.如答图①所示，第17题答图则S＝∠A2A1A8＋∠A2＋…＋∠A8＝∠A1＋∠A2＋…＋∠A4A5A6＋∠M＋∠1＋∠2＝(6－2)×180°＝720°；Ⅱ.如答图②，当是二环五边形时，S为(5＋5－2) 边形内角和，即S＝(5＋5－2－2)×180°＝1 080°.以此类推，当是二环n边形时，补全图形后，S相当于补全图形的内角和，该图形原有n条边，补全后增加了(n－2) 条边，为(n＋n－2) 边形，即S＝(n＋n－2－2)×180°＝(n－2)×360°.。

人教版八年级数学11.3多边形及其内角和（含答案）知识要点：1.多边形：在平面内，由一些线段首位顺次相接组成的封闭图形叫做多边形．2.正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．3.多边形内角和定理：n 边形内角和等于(2)180n -⨯︒．4.多边形内角和定理的推理过程：（1）从n 边形的一个顶点出发，可以引出(3)n -条对角线，这(3)n -条对角线把n 边形分成(2)n -个三角形，又每个三角形的内角和是180︒，所以n 边形的内角和是(2)180n -⨯︒．（2）在n 边形内任取一点P ，连接1PA ，2PA ，…，n PA ，把n 边形分成n 个三角形，这n 个三角形的内角和为180n ⋅︒，再减去中间的一个周角，即得n 边形的内角和为(2)180n -⨯︒．5.多边形的外角和定理：多边形的外角和为360︒．6.多边形的外角和定理的推理过程：多边形的每个内角同与它相邻的外角都是邻补角，所以n 边形的内角和加上外角和为180n ⋅︒，外角和等于180(2)180360n n ⋅︒--⨯︒=︒．一、单选题1．一个多边形截去一个角后，形成新多边形的内角和为2520°，则原多边形边数为（）A ．13B ．15C ．13或14或15D ．15或16或17【答案】D解：设新多边形的边数是n ，则（n-2）•180°=2520°，解得n=16，∵截去一个角后的多边形与原多边形的边数可以相等，多1或少1，∴原多边形的边数是15，16，17，故选：D．2．如图，七边形ABCDEFG中，AB，ED的延长线交于点O，若∠1，∠2，∠3，∠4的度数为（）的外角和等于210°，则BODA．30°B．35°C．40°D．45°【答案】A∵∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为210°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+210°=4×180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4=510°，∵五边形OAGFE内角和=(5−2)×180°=540°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠BOD=540°，∴∠BOD=540°−510°=30°，故选：A．3．一幅美丽的图案是由四个边长相等的正多边形镶嵌而成，其中的三个分别为正三角形、正四边形、正六边形，那么另外一个为（）A．正三角形B．正四边形C．正五边形D．正六边形【答案】B∵正三角形、正四边形、正六边形的内角分别为60°、90°、120°，又∵360°-60°-90°-120°=90°，∴另一个为正四边形，故选B．4．下列正多边形中，能够铺满地面的是（）A．正十边形B．正五边形C．正八边形D．正六边形【答案】DA．正十边形每个内角为144°，不能整除360°，所以不能铺满地面；B．正五边形每个内角为108°，不能整除360°，所以不能铺满地面；C．正八边形每个内角为135°，不能整除360°，所以不能铺满地面；D．正六边形每个内角为120°，能整除360°，所以能铺满地面；故选D．5．一个多边形的每个内角均为150°，则这个多边形是()A．九边形B．十边形C．十二边形D．十五边形【答案】C解：∵多边形的每个内角都等于150°，∴多边形的每个外角都等于180°﹣150°＝30°，∴边数n＝360°÷30°＝12，故选：C．6．下面哪一个度数可以是某个多边形的内角和()．A．1060°B．1080°C．1100°D．1200°【答案】B四个选项中只有1080°是180°的倍数，其余的都不是180°的倍数，因此是某多边形的内角和的是1080°，故选B．7．如图，∠2+∠3+∠4＝320°，则∠1＝（）A．60度B．40度C．50度D．75度【答案】B由多边形的外角和等于360°，有∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝360°，∠2＋∠3＋∠4=320°，所以∠1＝360°－320°＝40°.8．一个多边形的内角和为540°，则它的对角线共有（）A．3条B．5条C．6条D．12条【答案】B解：设该多边形的边数为n，∴（n﹣2）•180°＝540°，解得n＝5；∴这个五边形共有对角线12×5×（5﹣3）＝5条．故选：B．9．如果一个多边形的每一个外角都等于60°，这个多边形的边数是（）A．4B．5C．6D．7【答案】C∵一个多边形的每一个外角都等于60°，且多边形的外角和等于360°，∴这个多边形的边数是：360÷60=6．故选C．10．正五边形的每一个外角的度数是（）A．60°B．108°C．72°D．120°【答案】C多边形的外角和为360°，正多边形的每一个外角都相等，所以正五边形的每个外角的度数为360°÷5=72°.故选:C.11．如图所示，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝_____（）A．180°B．360°C．540°D．不能确定【答案】B如图所示．∵∠1+∠5=∠8，∠4+∠6=∠7．又∵∠2+∠3+∠7+∠8=360°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360°．故选B．12．把边长相等的正五边形ABCDE和正方形ABFG按照如图所示的方式叠合在一起，则∠EAG的度数是（）A．18°B．20°C．28°D．30°【答案】A∠EAG=180°-360°÷5-90°=18°.二、填空题13．一个多边形的内角和是1080°，这个多边形的边数是_____．【答案】8解：设多边形边数有x条，由题意得：180（x﹣2）＝1080，解得：x＝8，故答案为：8．14．如图,∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＝_____°．【答案】360°由图形可知：∠AMQ=∠A+∠B，∠CNA=∠C+∠D，∠CPE=∠E+∠F，∠EQG=∠G+∠H，∵∠AMQ+∠CNA+∠CPE+∠EQG=360°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H=∠AMQ+∠CNA+∠CPE+∠EQG=360°，故答案为：360°．15．六边形有m条对角线，五边形有n条对角线，则m﹣n=________．【答案】4∵六边形有()6632⨯-=9条对角线，∴m=9，∵五边形有()5532⨯-=5条对角线，∴n=5，∴m-n=9-5=4，故答案为：4．16．一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1260°，则原多边形的边数是为_______________.【答案】8或9或10设多边形截去一个角的边数为n，根据题意得：（n﹣2）•180°=1260°解得：n=9．∵截去一个角后边上可以增加1，不变，减少1，∴原多边形的边数是8或9或10．故答案为：8或9或10．17．如图，一块直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，点D对应的刻度是58°，则∠ACD的度数为_________．【答案】61°首先连接OD，由直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，可得点A，B，C，D共圆，又由点D对应的刻度是58°，利用圆周角定理求解即可求得∠BCD=1∠BOD=29°，2继而求得∠ACD=90°﹣∠BCD=61°．考点：圆周角定理18．根据如图所示的已知角的度数，求出其中∠α的度数为______．【答案】50度如图所示，由图可得，∠ACD=180°-120°=60°,∠ADC=180°-120°=60°.所以由四边形内角和等于360°可以求得∠BAD=360°-110°-60°-60°=130°，所以∠α=180°-∠BAD=50°，故答案为50度。

多边形（提高）知识讲解【学习目标】1.理解多边形的概念；2.掌握多边形内角和与外角和公式；3.灵活运用多边形内角和与外角和公式解决有关问题，体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法，进一步培养说理和进行简单推理的能力.【要点梳理】知识点一、多边形的概念1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形．2．相关概念：边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角。

外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。

对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．3. 多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形。

如图：要点诠释：(1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可；(2)过n边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n边形对角线的条数为(3)2n n；(3)过n边形的一个顶点的对角线可以把n边形分成(n-2)个三角形．知识点二、多边形内角和定理n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)．要点诠释：(1)内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；凸多边形凹多边形(2)正多边形的每个内角都相等，都等于(2)180nn-g°；知识点三、多边形的外角和多边形的外角和为360°．要点诠释：(1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关；(2)正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于360n°；(3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相等外角的度数．【典型例题】类型一、多边形的概念1．（2014春•定陶县期末）观察下面图形，解答下列问题：（1）观察规律，把下表填写完整：（2）若一个多边形的内角和为1440°，求这个多边形的边数和对角线的条数．【思路点拨】（1）过n边形的一个顶点可画出（n﹣3）条对角线，那么过n个顶点可以画出n（n﹣3）条对角线，根据两点确定一条直线，再把所得结果除以2即可求得多边形的对角线的总条数；（2）根据内角和公式可得多边形的边数，把边数代入（1）得到的公式即可求得相应的对角线条数．【答案与解析】解：（1）9,14，(3)2n n-.（2）设多边形的边数为n．则（n﹣2）×180=1440，解得n=10．∴对角线的条数为：=35（条）．【总结升华】主要考查三角形的内角和公式及n边形对角线的条数的规律．根据一个顶点处的对角线条数得到n边形对角线的条数的相应规律是解决本题的难点．举一反三：【变式1】如图，四边形ABCD中，∠B＝40°，沿直线MN剪去∠B，则所得五边形AEFCD中，∠1+∠2＝。