结构函数与均方根分形表征效果的比较_朱华
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图 1 W eierstrass-Ma ndelbrot 曲线 Fig. 1 W eierstrassM a ndelbrot curv es
为了将结构函数和均方根两种分形表征的结 果表示在同一双对数图中 , 将式 ( 1)和式 ( 4)写成统 一形式的幂律关系式 , 即 M (f ) = Cf ,
第4 期 朱 华等 : 结构函数与均方根分形表征效果的比较
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1 /2 ( 2- D )
有统计自仿射分形特征 , 结构函数法和均方根法两 种测度方法比较适合于这类粗糙工程表面的分维 计算 . 然而 从实际 应用 看 , 结构 函数 方法V 4 - 2D
n 数;V 表示随机轮廓的空间频率 , 即决定表面粗糙
度的频谱 ; nl 为与轮廓最低截止频 率相对应的序 数 . D 不仅反映轮廓曲线的复杂和不规则程度 , 而 且与 G一样能反映表面轮廓的高度 . 式 ( 1)中的 f 是测量的尺度 , S (f )是测度 ,它们 之间具有式中所表示的幂律关系 . 对式 ( 1)两边取 对数 ,在双对数坐标中为一直线 , 由直线的斜率 T s, 得分形维数 D = 2- T s /2. 由直线与纵轴的截距可得特征尺度系数 G. 1. 2 均方根测度维数法 均方根测度分维计算表达式为 [ 3] e = 〈 ( Z ( x ) ) 2〉1 /2 = ( 3)
L
,
( 4)
,均方根方法还没有得到很好的应用 . 本文旨
式中 : L 为取样长度 , 是尺度 ; e 是测度 ; 其它符号 的意义同上 . 由上式 在双对数坐标中直线的斜率 T m 得到分形维数 D = 2- T m. ( 5) 同样 , 由直线与纵轴的截距可得到尺度系数 G. 除了结构函数和均方根两种分维计算方法之 外 , 还有盒计数法 、功率谱法和变差法等 . 但研究表 明 , 盒计数法不适合自仿射轮廓的分维计算 ; 功 率谱法虽然适合于自仿射分形曲线 , 但在用于工程 表面轮廓曲线的分维计算时 , 其幂律关系不很明 显 , 因而计算精度较低 ; 变差法相对于功率谱法 的 表征效果 较好 , 但 不如结构 函数法 [13 ] . 研究表 明 , 对于具有统计自仿射分形特征的工程表面 , 结 构函数和均方根两种方法能有效地计算它们的分 形维数 . 其 中 , 结 构 函 数 方 法 自 1990年 被 [2 ] Majumdar A和 Bhushan B 引入摩擦学分维计算 以 来 , 已得到了 较多的应用 [4-8 ] , 而均方 根方法自 1997 年由文献 提出以来 , 或许还不为多数人所熟 悉.
2 结构函数与均方根方法的比较
2. 1 模拟轮廓曲线的分形表征 图 1是用 Weierst rass-M andelbro t 分形 函数模 拟的表面轮廓曲线 . 取 G= 0. 01,V = 1. 5, x∈ [ 200, 700 ] , Δ x = 0. 1; 分别取 D = 1. 2, 1. 4 和 1. 6 三种分 形维数 , 得到如图 1 所示的三条模拟轮廓曲线 . 从图 1 可以看出 , 分形维数小 , 轮 廓曲线则简 单 , 而轮廓幅值大 , 即表面粗糙 ; 分形维数大 , 轮廓 曲线则复杂 , 而轮廓高度小 , 即表面光洁 . 因此 , 分 形维数刻划了工程表面的粗 糙和复杂、 不规则程 度 , 是一个能够反映表面内禀特性的特征参数 .
T ( D)
式中 : M (f )为结构函数或均方根测度 ; f 为测量尺 度 ; C 为尺度系数 ; T ( D )为分 形维数的函数 , 在双 对数坐标中它是直线的斜率 ,由它可以得到结构函 数或均方根测度的分维数 . 图 2 是两种测度方法对
( 6)
中国矿业大学学报 第 33 卷 398
结构函数与均方根分形表征效果的比较
朱 华 , 葛世荣
(中国矿业大学 材料科学与工程学院 ,江苏 徐州 221008)
摘要: 为了比较结构函数与均方根两种测度方法的分形表征效果 , 模拟了具有不同理论分形维 数的 Weierst rass-Mandelbro t分形轮廓曲线 ; 制备了车削、磨削和砂纸打磨的不同粗糙表面 , 并提 取了它们的轮廓曲线 ; 然后用结构函数和均方根两种方法对理论和实际的轮廓曲线进行了分形 表征和分维计算 . 研究表明 , 两种测度方法对分形模拟轮廓曲线均具有较好的表征效果 ; 对于机 加工粗糙表面 , 均方根测度方法比结构函数测度方法的适应性强 ,无标度区间宽 , 表征效果好 ; 另 外 , 均方根测度方法还具有物理意义明确 , 分维计算简单和分形表征直观等优点 . 关键词: 结构函数法 ; 均方根法 ; 粗糙表面 ; 分形表征 ; 分维 中图分类号: T H 117. 2 文献标识码 : A
上述三条模拟曲线的分形表征结果 . 图 2 中分别表 示了结构函数 ( sf )和均方根 ( msr )测度 尺度的双
对数关系 ; 分形维数的理论值和计算值同时表示在 图2 中.
图2 模拟轮廓的 结构函数和均方根双对数图 Log-log plots o f th e mean squar e root and th e structur e func tion Fig. 2
2. 2 金属加工表面的分形表征 图3 所示为车削 、磨削和用砂纸打磨得到的三 种金属表面 , 它们的粗糙度 Ra 分别为 3. 09, 0. 94 和
0. 65 μ m. 在 1 200 μ m 的采样长度上对三种表面均 采集 8 000 个点 , 采样间距为 0. 15 μ m. 三种表面的 结构函数和均方根分形表征结果如图 4.
∞ - ( 2- D ) n n Z ( x ) = G( D - 1) ∑ V cos( 2 π V x) , n= n
l
( 2)
( 1 < D < 2, V> 1) , 式中: D 为轮廓分形维数 ; G 为特征尺度系数 ; x 为 轮廓水平坐标 ; f 为坐标位移增量 ; f 为大于 1 的常
图 3 车削 、磨削和砂纸打磨的表面 轮廓 Fig . 3 Profiles of the surfaces turned, g round and rubbed with emery papers
图4 加工表面轮廓 的结构函数和均方根双对数图 Fig. 4 Log-log plots o f th e mean squar e root and th e structur e func tion
: In order to compare the f ractal characterization ef fect s of the st ruct ure f unction method Abstract and the m ean square root method dif ferent Weierstrass-Mandelbrot f ract al profi le curv es were simulated wi th know n f ractal dimensions. Three roug h surfaces w ere machined by t urning , g rindi ng and rubbing w ith emery papers, and thei r profile curv es w ere collected with stylus m easurement and A / D techniques. And then, f ractal characterizations and dim ension calculations w ere conducted in tw o kinds of profile curves with the methods of the structure function and the m ean square root. The inv estigations show ed that f or the simulated f ractal curv es, good f ractal characteri zation ef fects w ere obtained by tw o methods; f or the machined rough surf aces, the m ean square root method has g ood adaptabilit y to di fferent surf aces ov er the st ruct ure function method. In addi tio n, the mean square root method possesses the adv ant ag es of defi ni te physical meani ngs and simple f ractal dimension calculations. Key words: st ruct ure f unction method; mean square root method; rough surface; f ractal characteri zation; f ractal di mension 人们在把分形几何应用于摩擦学研究的过程 中 , 首先要解决的问题是用分形几何理论实现粗糙 表面的有效表征 , 而在进行粗 糙表面的分形表征 时 , 必须首先选择合适的分形维数计算方法 . 到目 前为止 , 人们已引入了多种不 同的计算分维的方 法 , 如盒计数法 、变差法 、功率谱法 、均方根法和结 构函数法等 . 这些方法有各自的特点和适用范围 , 如果所采用的分维计算方法与实际分形集的类型 不相适应 , 就会导致较大的计算误差. 研究表 明
[ 3] [13] [ 12] [ 11 ]
在对粗糙表面的结构函数和均方根两种分形表征 方法的表征效果作一比较研究 .
1 结构函数与均方根分维计算方法
1. 1 结构函数测度维数法 粗糙表面轮廓曲线的结构函数测度分维计算 表达式为 [2 ] S (f ) = 〈 [Z ( x + f ) - Z ( x ) ]〉 = Γ( 2D - 3) sin [ ( 2D - 3)π / 2] 2( D - 1) 4- 2D G f ( 1) ( 4 - 2D ) ln V 式中 Z ( x )为 Weierstrass-Mandelbrot 分形函数 , 其表达式为 [9-10 ]
