最新重庆市中考数学压轴题(华师版)

华师大的中考数学挑战压轴题和万唯的数学压轴题
华师大的中考数学挑战压轴题和万唯的数学压轴题都是中考数学中比较有难度的题目，它们通常出现在试卷的最后部分，用于区分高分段的学生。

华师大的中考数学挑战压轴题通常涉及一些比较新颖的数学思想和解题技巧，难度相对较大。

这些题目通常需要学生具备较强的数学思维能力和分析问题的能力，才能正确解答。

万唯的数学压轴题也是比较有难度的题目，但相对来说，其难度通常比华师大的中考数学挑战压轴题略低一些。

这些题目通常涉及一些常见的数学思想和解题技巧，但也需要学生具备一定的数学思维能力和分析问题的能力才能正确解答。

总的来说，华师大的中考数学挑战压轴题和万唯的数学压轴题都是比较有难度的题目，需要学生在平时的学习中注重积累数学思想和解题技巧，并且进行大量的练习和总结。

对于想要在中考数学中取得高分的学生来说，这些题目都是必须要攻克的难点。

2024年重庆市中考数学压轴题一、在直角三角形ABC中，角C为直角，AC等于3，BC等于4，以点C为圆心，半径为2的圆与AB边的位置关系是？A. 相离B. 相切C. 相交D. 无法确定（答案）B。

解析：首先利用勾股定理计算出斜边AB的长度，AB等于根号下（AC平方加BC 平方）等于5。

接着计算点C到AB边的距离，即直角三角形ABC的面积除以AB边的一半，面积等于二分之一乘以AC乘以BC等于6，所以点C到AB边的距离为6除以5等于1.2，小于圆的半径2，但圆的半径又小于AB边的一半（5除以2等于2.5），因此圆与AB边相切。

二、已知二次函数y等于ax平方加bx加c的图像经过点（1，0），（2，0），（0，2），则a的值为？A. 1B. -1C. 2D. -2（答案）B。

解析：将三个点的坐标代入二次函数，可以得到三个方程：a加b加c等于0，4a加2b加c等于0，c等于2。

解这个方程组，可以得到a等于-1，b等于1，c等于2。

三、一个正方体的内切球半径为2，则这个正方体的体积为？A. 8B. 32C. 64D. 128（答案）C。

解析：正方体的内切球半径等于正方体边长的一半，所以正方体的边长为4，体积为边长的三次方，即4的三次方等于64。

四、在平行四边形ABCD中，E为AD的中点，F为BC上的一点，且BF等于四分之一BC，连接EF，与对角线AC相交于点G，则AG与GC的比值为？A. 1:2B. 1:3C. 2:3D. 3:4（答案）C。

解析：过E做BC的平行线，交AC于H，则EH等于四分之一BC，且EH平行于FC，所以三角形EHG与三角形CFG相似，且相似比为1:3，所以AG与GC的比值为2:3。

五、已知等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为？A. 9B. 12C. 15D. 18（答案）C。

解析：等腰三角形的两边长相等，且大于第三边，所以腰长为6，底边长为3，周长为6加6加3等于15。

2023初中数学重庆压轴题
2023初中数学重庆压轴题指的是在2023年重庆市初中数学考试中作为最后一道题的试题。

压轴题通常是一道难度较大的题目，旨在考察考生综合运用数学知识解决问题的能力。

以下是一道示例2023初中数学重庆压轴题：
题目：已知二次函数 y = ax^2 + bx + c 的图象经过点 A(1,0)，B(3,0)，C(0,3)，求该二次函数的解析式。

要求：
1.写出该二次函数的解析式。

2.若点 D 在该二次函数的图象上，且四边形 ABCD 为梯形，求点 D 的坐标。

3.在线段 AC 上方作等腰三角形 ADE，问 E 点在何处时，等腰三角形 ADE 的
面积最大？并求出最大面积。

重庆市中考数学压轴题及答案15例1.如图，已知与x 轴交于点(10)A ，和(50)B ，的抛物线1l 的顶点为(34)C ，，抛物线2l 与1l 关于x 轴对称，顶点为C '．（1）求抛物线2l 的函数关系式；（2）已知原点O ，定点(04)D ，，2l 上的点P 与1l 上的点P '始终关于x 轴对称，则当点P 运动到何处时，以点D O P P '，，，为顶点的四边形是平行四边形？（3）在2l 上是否存在点M ，使ABM △是以AB 为斜边且一个角为30的直角三角形？若存，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．解：（1）由题意知点C '的坐标为(34)-，． 设2l 的函数关系式为2(3)4y a x =--． 又点(10)A ，在抛物线2(3)4y a x =--上，2(13)40a ∴--=，解得1a =．∴抛物线2l 的函数关系式为2(3)4y x =--（或265y x x =-+）．（2）P 与P '始终关于x 轴对称，PP '∴与y 轴平行．设点P 的横坐标为m ，则其纵坐标为265m m -+，4OD =，22654m m ∴-+=，即2652m m -+=±．当2652m m -+=时，解得36m =± 当2652m m -+=-时，解得32m =．∴当点P 运动到(362)-，或(362)+，或(322)--，或(322)+-，时， P P OD ' ∥，以点D O P P '，，，为顶点的四边形是平行四边形．（3）满足条件的点M 不存在．理由如下：若存在满足条件的点M 在2l 上，则90AMB ∠=，30BAM ∠=（或30ABM ∠=），114222BM AB ∴==⨯=． 过点M 作ME AB ⊥于点E ，可得30BME BAM ∠=∠=．112122EB BM ∴==⨯=，3EM =，4OE =． ∴点M 的坐标为(43)-，． 但是，当4x =时，246451624533y =-⨯+=-+=-≠∴不存在这样的点M 构成满足条件的直角三角形．2.如图，抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A (1，0)，B (－3，0)两点． （1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y 轴于C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在（1）中的抛物线上的第二象限内是否存在一点P ，使△PBC 的面积最大？，若存在，求出点P 的坐标及△PBC 的面积最大值；若不存在，请说明理由．解：（1）将A (1，0)，B (－3，0)代入y ＝－x 2＋bx ＋c 得⎩⎨⎧03901＝＋－－＝＋＋－c b c b ············································································ 2分 解得⎩⎨⎧32＝＝－c b ························································································ 3分 ∴该抛物线的解析式为y ＝－x 2－2x ＋3． ············································ 4分 （2）存在． ································································································· 5分该抛物线的对称轴为x ＝－)(－－122⨯＝－1∵抛物线交x 轴于A 、B 两点，∴A 、B 两点关于抛物线的对称轴x ＝－1对称． 由轴对称的性质可知，直线BC 与x ＝－1的交点即为所求的Q 点，此时△QAC 的周长最小，如图1．将x ＝0代入y ＝－x 2－2x ＋3，得y ＝3． ∴点C 的坐标为(0，3)．设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋b 1，将B (－3，0)，C (0，3)代入，得⎩⎨⎧30311＝＝＋－b b k 解得⎩⎨⎧311＝＝b k ∴直线BC 的解析式为y ＝x ＋3． ··············· 6分 联立⎩⎨⎧31＋＝＝－x x y 解得⎩⎨⎧21＝＝－y x∴点Q 的坐标为(－1，2)． ································································· 7分 （3）存在． ································································································· 8分设P 点的坐标为（x ，－x 2－2x ＋3）（－3＜x ＜0），如图2． ∵S △PBC ＝S 四边形PBOC －S △BOC ＝S 四边形PBOC －21×3×3＝S 四边形PBOC －29当S 四边形PBOC 有最大值时，S △PBC 就最大．∵S 四边形PBOC ＝S Rt △PBE ＋S 直角梯形PEOC ························································· 9分＝21BE ·PE ＋21(PE ＋OC )·OE ＝21(x ＋3)(－x 2－2x ＋3)＋21(－x 2－2x ＋3＋3)(－x ) ＝－23(x ＋23)2＋29＋827当x ＝－23时，S 四边形PBOC 最大值为29＋827．∴S △PBC 最大值＝29＋827－29＝827． ·············· 10分当x ＝－23时，－x 2－2x ＋3＝－(－23)2－2×(－23)＋3＝415．∴点P 的坐标为(－23，415)． ···························································· 11分3.如图，已知抛物线y ＝a (x －1)2＋33(a ≠0)经过点A (－2，0)，抛物线的顶点为D ，过O 作射线OM ∥AD ．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结BC ． （1）求该抛物线的解析式；（2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为t （s ）．问：当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？ （3）若OC ＝OB ，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t （s ），连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长．解：（1）把A (－2，0)代入y ＝a (x －1)2＋33，得0＝a (－2－1)2＋33．∴a ＝－33 ························································································· 1分 ∴该抛物线的解析式为y ＝－33(x －1)2＋33 即y ＝－33x 2＋332x ＋338． ·························································· 3分 （2）设点D 的坐标为(x D ，y D )，由于D 为抛物线的顶点∴x D ＝－)(－332332 ＝1，y D ＝－33×1 2＋332×1＋338＝33． ∴点D 的坐标为(1，33)．如图，过点D 作DN ⊥x 轴于N ，则DN ＝33，AN ＝3，∴AD ＝22333)＋(＝6．∴∠DAO ＝60° ··················································································· 4分 ∵OM ∥AD①当AD ＝OP 时，四边形DAOP 为平行四边形． ∴OP ＝6∴t ＝6（s ） ······························································ 5分 ②当DP ⊥OM 时，四边形DAOP 为直角梯形． 过点O 作OE ⊥AD 轴于E ．在Rt △AOE 中，∵AO ＝2，∠EAO ＝60°，∴AE ＝1． （注：也可通过Rt △AOE ∽Rt △AND 求出AE ＝1） ∵四边形DEOP 为矩形，∴OP ＝DE ＝6－1＝5．∴t ＝5（s ） ························································································· 6分 ③当PD ＝OA 时，四边形DAOP 为等腰梯形，此时OP ＝AD －2AE ＝6－2＝4． ∴t ＝4（s ）综上所述，当t ＝6s 、5s 、4s 时，四边形DAOP 分别为平行四边形、直角梯形、等腰梯形．····················································································· 7分（3）∵∠DAO ＝60°，OM ∥AD ，∴∠COB ＝60°．又∵OC ＝OB ，∴△COB 是等边三角形，∴OB ＝OC ＝AD ＝6．∵BQ ＝2t ，∴OQ ＝6－2t （0＜t ＜3） 过点P 作PF ⊥x 轴于F ，则PF ＝23t ． ··············································· 8分 ∴S 四边形BCPQ ＝S △COB －S △POQ＝21×6×33－21×(6－2t )×23t＝23(t －23)2＋8363 ····················································· 9分 ∴当t ＝23（s ）时，S 四边形BCPQ 的最小值为8363． ······························ 10分此时OQ ＝6－2t ＝6－2×23＝3，OP ＝23，OF ＝43，∴QF ＝3－43＝49，PF ＝433．∴PQ ＝22QF PF ＋＝2249433)＋()(＝233 ····································· 11分 4.如图，已知直线y ＝－21x ＋1交坐标轴于A 、B 两点，以线段AB 为边向上作正方形ABCD ，过点A ，D ，C 的抛物线与直线另一个交点为E ．（1）请直接写出点C ，D 的坐标； （2）求抛物线的解析式；（3）若正方形以每秒5个单位长度的速度沿射线AB 下滑，直至顶点D 落在x 轴上时停止．设正方形落在x 轴下方部分的面积为S ，求S 关于滑行时间t 的函数关系式，并写出相应自变量t 的取值范围；（4）在（3）的条件下，抛物线与正方形一起平移，直至顶点D 落在x 轴上时停止，求抛物线上C 、E 两点间的抛物线弧所扫过的面积．解：（1）C (3，2)，D (1，3)； ·············································································· 2分（2）设抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，把A (0，1)，D (1，3)，C (3，2)代入得⎪⎩⎪⎨⎧23931＝＋＋＝＋＋＝c b a c b a c 解得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧161765＝＝＝－c b a ················································· 4分∴抛物线的解析式为y ＝－65x 2＋617x ＋1； ······································· 5分（3）①当点A 运动到点F （F 为原B 点的位置）时∵AF ＝2221＋＝5，∴t ＝55＝1（秒）．当0＜ t ≤1时，如图1． B ′F ＝AA ′＝5t∵Rt △AOF ∽Rt △∠GB ′F ，∴OFOA ＝F B GB ''． ∴B ′G ＝OFOA ·B ′F ＝21×5t ＝25t正方形落在x 轴下方部分的面积为S 即为△B ′FG 的面积S △B ′FG∴S ＝S △B ′FG ＝21B ′F ·B ′G ＝21×5t ×25t ＝45t 2 ······························ 7分②当点C 运动到x 轴上时∵Rt △BCC ′∽Rt △∠AOB ，∴BC CC ＝OAOB． ∴CC ′＝OA OB ·BC ＝12×5＝52，∴t ＝552＝2（秒）． 当1＜ t ≤2时，如图2．∵A ′B ′＝AB ＝5，∴A ′F ＝5t －5． ∴A ′G ＝255－t ∵B ′H ＝25t∴S ＝S 梯形A ′B ′HG ＝21(A ′G ＋B ′H )·A ′B ′ ＝21(255－t ＋25t )·5 ＝25t －45 ··································································· 9分 ③当点D 运动到x 轴上时DD ′＝53 t ＝553＝3（秒）当2＜ t ≤3时，如图3．∵A ′G ＝255－t∴GD ′＝5－255－t ＝2553t－ ∴D ′H ＝53－t 5 ∴S △D ′GH ＝21(2553t －)(53－t 5)＝(2553t －)2∴S ＝S 正方形A ′B ′C ′D ′ －S △D ′GH＝(5)2－(2553t －)2＝－45t 2＋215t －425 ··································································· 11分（4）如图4，抛物线上C 、E 两点间的抛物线弧所扫过的面积为图中阴影部分的面积．∵t ＝3，BB ′＝AA ′＝DD ′＝53∴S 阴影＝S 矩形BB ′C ′C ············································································ 13分＝BB ′·BC ＝53×5＝15 ······················································································· 14分5.已知：抛物线y ＝x 2－2x ＋a （a ＜0）与y 轴相交于点A ，顶点为M ．直线y ＝21x －a 分别与x轴，y 轴相交于B ，C 两点，并且与直线AM 相交于点N ．（1）填空：试用含a 的代数式分别表示点M 与N 的坐标，则M （ ， ），N （ ， ）； （2）如图，将△NAC 沿y 轴翻折，若点N 的对应点N ′恰好落在抛物线上，AN ′与x 轴交于点D ，连结CD ，求a 的值和四边形ADCN 的面积； （3）在抛物线y ＝x 2－2x ＋a （a ＜0）上是否存在一点P ，使得以P ，A ，C ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，试说明理由．解：（1）M (1，a －1)，N (34a ，－31a )． ······························································ 4分（2）∵点N ′是△NAC 沿y 轴翻折后点N 的对应点∴点N ′与点N 关于y 轴对称，∴N ′(－34a ，－31a )．将N ′(－34a ，－31a )代入y ＝x 2－2x ＋a ，得－31a ＝(－34a )2－2×(－34a )＋a整理得4a 2＋9a ＝0，解得a 1＝0（不合题意，舍去），a 2＝－49． ···· 6分∴N ′(3，34)，∴点N 到y 轴的距离为3．∵a ＝－49，抛物线y ＝x 2－2x ＋a 与y 轴相交于点A ，∴A (0，－49)．∴直线AN ′的解析式为y ＝x －49，将y ＝0代入，得x ＝49．∴D (49，0)，∴点D 到y 轴的距离为49． ∴S 四边形ADCN ＝S △ACN ＋S △ACN ＝21×29×3＋21×29×49＝16189············· 8分（3）如图，当点P 在y 轴的左侧时，若四边形ACPN 是平行四边形，则PN 平行且等于AC ．∴将点N 向上平移－2a 个单位可得到点P ，其坐标为(34a ，－37a )，代入抛物线的解析式，得：－37a ＝(34a )2－2×34a ＋a ，整理得8a 2＋3a ＝0．解得a 1＝0（不合题意，舍去），a 2＝－83．∴P (－21，87) ················································································· 10分当点P 在y 轴的右侧时，若四边形APCN 是平行四边形， 则AC 与PN 互相平分．∴OA ＝OC ，OP ＝ON ，点P 与点N 关于原点对称．∴P (－34a ，31a )，代入y ＝x 2－2x ＋a ，得31a ＝(－34a )2－2×(－34a )＋a ，整理得8a 2＋15a ＝0．解得a 1＝0（不合题意，舍去），a 2＝－815． ∴P (25，－85) ·················································································· 12分∴存在这样的点P ，使得以P ，A ，C ，N 为顶点的四边形是平行四边形，点P 的坐标为(－21，87)或(25，－85)．43 x 的图6．如图，已知一次函数y = － x +7与正比例函数y =象交于点A ， 且与x 轴交于点B .（1）求点A 和点B 的坐标；（2）过点A 作AC ⊥y 轴于点C ，过点B 作直线l ∥y轴． 动点P 从点O 出发，以每秒1个单位长的速度，沿O —C —A 的路线向点A 运动；同时直线l 从点B 出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l 交x 轴于点R ，交线段BA 或线段AO 于点Q ．当点P 到达点A 时，点P 和直线l 都停止运动．在运动过程中，设动点P 运动的时间为t 秒.①当t 为何值时，以A 、P 、R 为顶点的三角形的面积为8？②是否存在以A 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧y =-x +7y=43x ，解得 ⎩⎨⎧x =3y =4，∴A (3，令y =－x +7=0，得x =7．∴B （7，0）. （2）①当P 在OC 上运动时，0≤t ＜4. 由S △APR =S 梯形COBA －S △ACP －S △P OR －S △ARB =8，得 12(3+7)×4－12×3×(4－t )－ 12t(7－t )－ 12t ×4=8 ly APlRP C AB Oyx整理,得t2－8t +12=0, 解之得t1=2,t2=6（舍）当P在CA上运动，4≤t＜7.由S△APR= 12×(7－t) ×4=8，得t=3（舍）∴当t=2时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8.②当P在OC上运动时，0≤t＜4. 此时直线l交AB于Q。

主题：2023年重庆中考数学压轴题近年来，重庆中考数学试卷一直备受关注，各学校和考生对于数学压轴题的出现都抱有期待和好奇。

数学作为中考的重要科目之一，对考生的综合能力有着较高的要求，压轴题更是检验学生数学运用能力的重要环节。

在2023年重庆中考数学试卷中，更是出现了备受瞩目的数学压轴题，引发了广泛的讨论和解答。

一、数学压轴题的内容及难度2023年重庆中考数学压轴题以二次函数和立体几何为主题，难度较大。

其中，二次函数部分涉及函数的图像、最值、根的性质等内容，需要考生掌握扎实的函数知识和解题技巧。

而立体几何部分则涉及空间图形的性质、平行关系、相交条件等内容，考验考生对立体几何的理解和应用能力。

二、数学压轴题对考生的挑战和意义数学作为一门抽象的学科，对逻辑思维和数学运算能力有着较高的要求，数学压轴题的出现更是对考生综合能力的一次大考验。

通过解答数学压轴题，考生不仅可以检验自己的数学学习成果，同时也可以提升自己的解决问题的能力和抽象思维能力。

数学压轴题的出现，也能激发考生对数学学科的兴趣，促进学生的学习动力。

三、应对数学压轴题的有效方法和建议针对2023年重庆中考数学压轴题，考生可以采取如下有效方法和建议：1. 充分掌握基础知识。

在备考过程中，要加强对二次函数和立体几何等内容的学习，夯实基础知识。

2. 多做题多练习。

多做一些数学题，提高解题技巧和题目应用能力，增强对数学知识点的理解和应用。

3. 注重归纳总结。

重点总结数学压轴题的解题技巧和方法，形成自己的解题思路，有针对性地提高解题效率。

4. 勇于挑战和积极应对。

对于数学压轴题，要保持积极的心态，勇于挑战，相信自己的能力，尽力解答，做到尽力而为。

四、数学压轴题对教育教学的启示数学作为一门基础学科，对学生的综合能力有着较高的培养要求。

数学压轴题的出现，向教育教学提出了一定的启示：1. 注重知识的系统性和深度。

教师在教学中要注重知识的系统性，加强对基础知识的讲解和强化，培养学生的扎实基础。

华师版市级名校2024届中考数学押题卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．把边长相等的正六边形ABCDEF和正五边形GHCDL的CD边重合，按照如图所示的方式叠放在一起，延长LG 交AF于点P，则∠APG＝（）A．141°B．144°C．147°D．150°2．若分式11x-有意义，则x的取值范围是A．x＞1 B．x＜1 C．x≠1D．x≠03．估计40的值在（）A．4和5之间B．5和6之间C．6和7之间D．7和8之间4．某市今年1月份某一天的最高气温是3℃，最低气温是—4℃，那么这一天的最高气温比最低气温高A．—7℃B．7℃C．—1℃D．1℃5．如图，菱形OABC的顶点C的坐标为（3，4），顶点A在x轴的正半轴上．反比例函数kyx=(x>0)的图象经过顶点B，则k的值为A ．12B ．20C ．24D ．326．某学校举行一场知识竞赛活动，竞赛共有4小题，每小题5分，答对给5分，答错或不答给0分，在该学校随机抽取若干同学参加比赛，成绩被制成不完整的统计表如下． 成绩 人数（频数） 百分比（频率） 0 5 0.2 10 5 15 0.4 2050.1根据表中已有的信息，下列结论正确的是（ ） A ．共有40名同学参加知识竞赛B ．抽到的同学参加知识竞赛的平均成绩为10分C ．已知该校共有800名学生，若都参加竞赛，得0分的估计有100人D ．抽到同学参加知识竞赛成绩的中位数为15分7．如图，两个一次函数图象的交点坐标为(2,4)，则关于x ，y 的方程组111222,y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩的解为（ ）A ．2,4x y =⎧⎨=⎩B ．4,2x y =⎧⎨=⎩C ．4,0x y =-⎧⎨=⎩D ．3,0x y =⎧⎨=⎩8．已知关于x 的一元二次方程x 2+mx+n ＝0的两个实数根分别为x 1＝2，x 2＝4，则m+n 的值是（ ） A ．﹣10B ．10C ．﹣6D ．29．y=（m ﹣1）x |m|+3m 表示一次函数，则m 等于（ ） A ．1B ．﹣1C ．0或﹣1D ．1或﹣110．郑州地铁Ⅰ号线火车站站口分布如图所示，有A ，B ，C ，D ，E 五个进出口，小明要从这里乘坐地铁去新郑机场，回来后仍从这里出站，则他恰好选择从同一个口进出的概率是（ ）A ．13B ．14C ．15D ．1611．如图，已知菱形ABCD 的对角线AC ．BD 的长分别为6cm 、8cm ，AE ⊥BC 于点E ，则AE 的长是（）A ．53cmB ．25cmC ．48cm 5D ．24cm 512．一次函数1y kx b =+与2y x a =+的图象如图所示，给出下列结论：①k 0<；②0a >；③当3x <时，12y y <.其中正确的有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．如图，点G 是ABC 的重心，AG 的延长线交BC 于点D ，过点G 作GE //BC 交AC 于点E ，如果BC 6=，那么线段GE 的长为______．14．如图所示的网格是正方形网格，点P 到射线OA 的距离为m ，点P 到射线OB 的距离为n ，则m __________ n ．（填“>”，“=”或“<”）15．方程x-1=1x-的解为：______．16．如图，在矩形ABCD中，顺次连接矩形四边的中点得到四边形EFGH．若AB=8，AD=6，则四边形EFGH的周长等于__________．17．计算（x4）2的结果等于_____．18．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB边的中点，F是线段BC边上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B′D的最小值是______．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）计算：-2-2 - 12+2 1sin60π3⎛⎫-︒+-⎪⎝⎭20．（68﹣|﹣2|+（13）﹣1﹣2cos45°21．（6分）解不等式组43(2)52364x xxx--<-⎧⎪⎨-≥-⎪⎩并写出它的整数解．22．（8分）如图，在平面直角坐标系中有Rt△ABC，∠A=90°，AB=AC，A（﹣2，0），B（0，1）．（1）求点C的坐标；（2）将△ABC沿x轴的正方向平移，在第一象限内B、C两点的对应点B'、C'正好落在某反比例函数图象上．请求出这个反比例函数和此时的直线B'C'的解析式．（3）若把上一问中的反比例函数记为y1，点B′，C′所在的直线记为y2，请直接写出在第一象限内当y1＜y2时x的取值范围．23．（8分）某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元．求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．①求y关于x的函数关系式；②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调m（0＜m＜100）元，且限定商店最多购进A型电脑70台，若商店保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案．24．（10分）如图①，在正方形ABCD中，△AEF的顶点E，F分别在BC，CD边上，高AG与正方形的边长相等，求∠EAF的度数．如图②，在Rt△ABD中，∠BAD=90°，AB=AD，点M，N是BD边上的任意两点，且∠MAN=45°，将△ABM绕点A逆时针旋转90°至△ADH位置，连接NH，试判断MN2，ND2，DH2之间的数量关系，并说明理由．在图①中，若EG=4，GF=6，求正方形ABCD的边长．25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的三个顶点坐标分别为A（1，0），O（0，0），B（2，2）．以点O 为旋转中心，将△AOB逆时针旋转90°，得到△A1OB1．画出△A1OB1；直接写出点A1和点B1的坐标；求线段OB1的长度．26．（12分）已知，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L：y=x2-4x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），顶点为C．（1）求点C和点A的坐标．（2）定义“L双抛图形”：直线x=t将抛物线L分成两部分，首先去掉其不含顶点的部分，然后作出抛物线剩余部分关于直线x=t的对称图形，得到的整个图形称为抛物线L关于直线x=t的“L双抛图形”（特别地，当直线x=t恰好是抛物线的对称轴时，得到的“L双抛图形”不变），①当t=0时，抛物线L关于直找x=0的“L双抛图形”如图所示，直线y=3与“L双抛图形”有______个交点；②若抛物线L关于直线x=t的“L双抛图形”与直线y=3恰好有两个交点，结合图象，直接写出t的取值范围：______；③当直线x=t经过点A时，“L双抛图形”如图所示，现将线段AC所在直线沿水平（x轴）方向左右平移，交“L双抛图形”于点P，交x轴于点Q，满足PQ=AC时，求点P的坐标．27．（12分）如图，把△EFP按图示方式放置在菱形ABCD中，使得顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上，已知EP＝FP＝4，EF＝43，∠BAD＝60°，且AB＞43．（1）求∠EPF的大小；（2）若AP=6，求AE＋AF的值.参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、B【解题分析】先根据多边形的内角和公式分别求得正六边形和正五边形的每一个内角的度数，再根据多边形的内角和公式求得∠APG 的度数． 【题目详解】(6﹣2)×180°÷6＝120°， (5﹣2)×180°÷5＝108°，∠APG ＝(6﹣2)×180°﹣120°×3﹣108°×2 ＝720°﹣360°﹣216° ＝144°， 故选B ． 【题目点拨】本题考查了多边形内角与外角，关键是熟悉多边形内角和定理：(n ﹣2)•180 (n≥3)且n 为整数)． 2、C 【解题分析】分式分母不为0，所以10x -≠，解得1x ≠. 故选：C. 3、C 【解题分析】，可以估算出位于哪两个整数之间，从而可以解答本题． 【题目详解】<即67<<故选：C ． 【题目点拨】本题考查估算无理数的大小，解题的关键是明确估算无理数大小的方法． 4、B 【解题分析】求最高气温比最低气温高多少度，即是求最高气温与最低气温的差，这个实际问题可转化为减法运算，列算式计算即可． 【题目详解】 3-（-4）=3+4=7℃．故选B．5、D【解题分析】如图，过点C作CD⊥x轴于点D，∵点C的坐标为（3，4），∴OD=3，CD=4.∴根据勾股定理，得：OC=5.∵四边形OABC是菱形，∴点B的坐标为（8，4）.∵点B在反比例函数(x>0)的图象上，∴.故选D.6、B【解题分析】根据频数÷频率=总数可求出参加人数，根据分别求出5分、15分、0分的人数，即可求出平均分，根据0分的频率即可求出800人中0分的人数，根据中位数的定义求出中位数，对选项进行判断即可.【题目详解】∵5÷0.1=50（名），有50名同学参加知识竞赛，故选项A错误；∵成绩5分、15分、0分的同学分别有：50×0.2=10（名），50×0.4=20（名），50﹣10﹣5﹣20﹣5=10（名）∴抽到的同学参加知识竞赛的平均成绩为：0505030010050++++=10，故选项B正确；∵0分同学10人，其频率为0.2，∴800名学生，得0分的估计有800×0.2=160（人），故选项C错误；∵第25、26名同学的成绩为10分、15分，∴抽到同学参加知识竞赛成绩的中位数为12.5分，故选项D错误．故选：B．【题目点拨】本题考查利用频率估算概率，平均数及中位数的定义，熟练掌握相关知识是解题关键.7、A 【解题分析】根据任何一个一次函数都可以化为一个二元一次方程，再根据两个函数交点坐标就是二元一次方程组的解可直接得到答案． 【题目详解】解：∵直线y 1=k 1x+b 1与y 2=k 2x+b 2的交点坐标为（2，4），∴二元一次方程组111222,y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩的解为2,4.x y =⎧⎨=⎩故选A. 【题目点拨】本题主要考查了函数解析式与图象的关系，满足解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上的点，就一定满足函数解析式．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解． 8、D 【解题分析】根据“一元二次方程x 2+mx +n ＝0的两个实数根分别为x 1＝2，x 2＝4”，结合根与系数的关系，分别列出关于m 和n 的一元一次不等式，求出m 和n 的值，代入m +n 即可得到答案． 【题目详解】 解：根据题意得： x 1+x 2＝﹣m ＝2+4， 解得：m ＝﹣6， x 1•x 2＝n ＝2×4， 解得：n ＝8， m+n ＝﹣6+8＝2， 故选D ． 【题目点拨】本题考查了根与系数的关系，正确掌握根与系数的关系是解决问题的关键． 9、B 【解题分析】由一次函数的定义知，|m|=1且m-1≠0，所以m=-1，故选B. 10、C 【解题分析】列表得出进出的所有情况，再从中确定出恰好选择从同一个口进出的结果数，继而根据概率公式计算可得． 【题目详解】 解：列表得：∴一共有25种等可能的情况，恰好选择从同一个口进出的有5种情况， ∴恰好选择从同一个口进出的概率为525=15， 故选C ． 【题目点拨】此题主要考查了列表法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 11、D 【解题分析】根据菱形的性质得出BO 、CO 的长，在RT △BOC 中求出BC ，利用菱形面积等于对角线乘积的一半，也等于BC×AE ，可得出AE 的长度． 【题目详解】∵四边形ABCD 是菱形， ∴CO=12AC=3，BO=12BD=，AO ⊥BO ，∴BC 5===． ∴ABCD 11S BD AC 682422=⋅=⨯⨯=菱形． 又∵ABCD S BC AE =⋅菱形， ∴BC·AE=24，即()24AE cm 5=． 故选D ．点睛：此题考查了菱形的性质，也涉及了勾股定理，要求我们掌握菱形的面积的两种表示方法，及菱形的对角线互相垂直且平分．12、B【解题分析】仔细观察图象，①k 的正负看函数图象从左向右成何趋势即可；②a ，b 看y 2=x+a ，y 1=kx+b 与y 轴的交点坐标；③看两函数图象的交点横坐标；④以两条直线的交点为分界，哪个函数图象在上面，则哪个函数值大．【题目详解】①∵y 1=kx+b 的图象从左向右呈下降趋势，∴k ＜0正确；②∵y 2=x+a ，与y 轴的交点在负半轴上，∴a<0，故②错误；③当x<3时，y 1>y 2错误；故正确的判断是①．故选B ．【题目点拨】本题考查一次函数性质的应用.正确理解一次函数的解析式：y=kx+b （k≠0）y 随x 的变化趋势：当k ＞0时，y 随x 的增大而增大；当k ＜0时，y 随x 的增大而减小.二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13、2【解题分析】分析：由点G 是△ABC 重心，BC =6，易得CD =3，AG ：AD =2：3，又由GE ∥BC ，可证得△AEG ∽△ACD ，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得线段GE 的长．详解：∵点G 是△ABC 重心，BC =6，∴CD =12BC =3，AG ：AD =2：3， ∵GE ∥BC ，∴△AEG ∽△ADC ，∴GE ：CD =AG ：AD =2：3，∴GE =2.故答案为2.点睛：本题考查了三角形重心的定义和性质、相似三角形的判定和性质.利用三角形重心的性质得出AG：AD=2：3是解题的关键.14、>【解题分析】由图像可知在射线上有一个特殊点,点到射线的距离，点到射线的距离，于是可知,利用锐角三角函数,即可判断出【题目详解】由题意可知：找到特殊点，如图所示：设点到射线的距离，点到射线的距离由图可知，,,【题目点拨】本题考查了点到线的距离，熟知在直角三角形中利用三角函数来解角和边的关系是解题关键.x15、1【解题分析】两边平方解答即可．【题目详解】原方程可化为：（x-1）2=1-x，解得：x1=0，x2=1，经检验，x=0不是原方程的解，x=1是原方程的解故答案为1x=．【题目点拨】此题考查无理方程的解法，关键是把两边平方解答，要注意解答后一定要检验．16、20.【解题分析】分析：连接AC,BD,根据勾股定理求出BD,根据三角形中位线定理，菱形的判定定理得到四边形EHGF为菱形，根据菱形的性质计算．解答:连接AC,BD在Rt△ABD中，10,=∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD=10, ∵E、H分别是AB、AD的中点，∴EH∥BD,EF=12BD=5,同理，FG∥BD,FG=12BD=5,GH∥AC,GH=12AC=5, ∴四边形EHGF为菱形，∴四边形EFGH的周长=5×4=20，故答案为20.点睛：本题考查了中点四边形，掌握三角形的中位线定理、菱形的判定定理是解答本题的关键.17、x1【解题分析】分析：直接利用幂的乘方运算法则计算得出答案．详解：（x4）2=x4×2=x1．故答案为x1．点睛：本题主要考查了幂的乘方运算，正确掌握运算法则是解题的关键．18、﹣1【解题分析】如图所示点B′在以E为圆心EA为半径的圆上运动，当D、B′、E共线时时，此时B′D的值最小，根据勾股定理求出DE，根据折叠的性质可知B′E=BE=1，即可求出B′D．【题目详解】如图所示点B′在以E为圆心EA为半径的圆上运动，当D、B′、E共线时时，此时B′D的值最小，根据折叠的性质，△EBF≌△EB′F，∴EB′⊥B′F，∴EB′=EB，∵E是AB边的中点，AB=4，∴AE=EB′=1，∵AD=6，∴DE=2262210+=，∴B′D=110﹣1．【题目点拨】本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短的综合运用；确定点B′在何位置时，B′D的值最小是解题的关键．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19、753 4-【解题分析】直接利用负指数幂的性质以及零指数幂的性质和特殊角的锐角三角函数值分别化简，再根据实数的运算法则即可求出答案．【题目详解】解：原式=137523113 4242---+=【题目点拨】本题考查了负指数幂的性质以及零指数幂的性质和特殊角的锐角三角函数值，熟记这些运算法则是解题的关键. 202+1【解题分析】分析：直接利用二次根式的性质、负指数幂的性质和特殊角的三角函数值分别化简求出答案．详解：原式2﹣2+3﹣2×2 22+122+1．点睛：本题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题的关键．21、不等式组的解集是5＜x≤1，整数解是6，1【解题分析】先分别求出两个不等式的解，求出解集，再根据整数的定义得到答案.【题目详解】43(2)52364x x x x --<-⎧⎪⎨-≥-⎪⎩①② ∵解①得：x ＞5，解不等式②得：x ≤1，∴不等式组的解集是5＜x ≤1，∴不等式组的整数解是6，1．【题目点拨】本题考查求一元一次不等式组，解题的关键是掌握求一元一次不等式组的方法22、（1）C （﹣3，2）；（2）y 1=6x ， y 2=﹣13x+3； （3）3＜x ＜1． 【解题分析】分析：（1）过点C 作CN ⊥x 轴于点N ，由已知条件证Rt △CAN ≌Rt △AOB 即可得到AN=BO=1，CN=AO=2，NO=NA+AO=3结合点C 在第二象限即可得到点C 的坐标；（2）设△ABC 向右平移了c 个单位，则结合（1）可得点C′，B′的坐标分别为（﹣3+c ，2）、（c ，1），再设反比例函数的解析式为y 1=k x，将点C′，B ′的坐标代入所设解析式即可求得c 的值，由此即可得到点C′，B′的坐标，这样用待定系数法即可求得两个函数的解析式了；（3）结合（2）中所得点C′，B′的坐标和图象即可得到本题所求答案.详解：（1）作CN ⊥x 轴于点N ，∴∠CAN=∠CAB=∠AOB=90°，∴∠CAN+∠CAN=90°，∠CAN+∠OAB=90°，∴∠CAN=∠OAB ，∵A （﹣2，0）B （0，1），∴OB=1，AO=2，在Rt △CAN 和Rt △AOB ，∵ACN OAB ANC AOB AC AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴Rt△CAN≌Rt△AOB（AAS），∴AN=BO=1，CN=AO=2，NO=NA+AO=3，又∵点C在第二象限，∴C（﹣3，2）；（2）设△ABC沿x轴的正方向平移c个单位，则C′（﹣3+c，2），则B′（c，1），设这个反比例函数的解析式为：y1=kx，又点C′和B′在该比例函数图象上，把点C′和B′的坐标分别代入y1=kx，得﹣1+2c=c，解得c=1，即反比例函数解析式为y1=6x，此时C′（3，2），B′（1，1），设直线B′C′的解析式y2=mx+n，∵32 61m nm n+=⎧⎨+=⎩，∴133mn⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线C′B′的解析式为y2=﹣13x+3；（3）由图象可知反比例函数y1和此时的直线B′C′的交点为C′（3，2），B′（1，1），∴若y1＜y2时，则3＜x＜1．点睛：本题是一道综合考查“全等三角形”、“一次函数”、“反比例函数”和“平移的性质”的综合题，解题的关键是：（1）通过作如图所示的辅助线，构造出全等三角形Rt△CAN和Rt△AOB；（2）利用平移的性质结合点B、C的坐标表达出点C′和B′的坐标，由点C′和B′都在反比例函数的图象上列出方程，解方程可得点C′和B′的坐标，从而使问题得到解决.23、(1) 每台A型100元，每台B 150元;(2) 34台A型和66台B型;(3) 70台A型电脑和30台B型电脑的销售利润最大【解题分析】（1）设每台A型电脑销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元；根据题意列出方程组求解，（2）①据题意得，y=﹣50x+15000，②利用不等式求出x的范围，又因为y=﹣50x+15000是减函数，所以x取34，y取最大值，（3）据题意得，y=（100+m）x﹣150（100﹣x），即y=（m﹣50）x+15000，分三种情况讨论，①当0＜m＜50时，y 随x的增大而减小，②m=50时，m﹣50=0，y=15000，③当50＜m＜100时，m﹣50＞0，y随x的增大而增大，分别进行求解．【题目详解】解：（1）设每台A型电脑销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元；根据题意得解得100150 ab=⎧⎨=⎩答：每台A型电脑销售利润为100元，每台B型电脑的销售利润为150元．（2）①据题意得，y=100x+150（100﹣x），即y=﹣50x+15000，②据题意得，100﹣x≤2x，解得x≥3313，∵y=﹣50x+15000，﹣50＜0，∴y随x的增大而减小，∵x为正整数，∴当x=34时，y取最大值，则100﹣x=66，即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大．（3）据题意得，y=（100+m）x+150（100﹣x），即y=（m﹣50）x+15000，3313≤x≤70①当0＜m＜50时，y随x的增大而减小，∴当x=34时，y取最大值，即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大．②m=50时，m﹣50=0，y=15000，即商店购进A型电脑数量满足3313≤x≤70的整数时，均获得最大利润；③当50＜m＜100时，m﹣50＞0，y随x的增大而增大，∴当x=70时，y取得最大值．即商店购进70台A型电脑和30台B型电脑的销售利润最大．【题目点拨】本题主要考查了一次函数的应用，二元一次方程组及一元一次不等式的应用，解题的关键是根据一次函数x 值的增大而确定y 值的增减情况．24、 (1) 45°．(1) MN 1=ND 1+DH 1．理由见解析；（3）11.【解题分析】（1）先根据AG ⊥EF 得出△ABE 和△AGE 是直角三角形，再根据HL 定理得出△ABE ≌△AGE ，故可得出∠BAE=∠GAE ，同理可得出∠GAF=∠DAF ，由此可得出结论；（1）由旋转的性质得出∠BAM=∠DAH ，再根据SAS 定理得出△AMN ≌△AHN ，故可得出MN=HN ．再由∠BAD=90°，AB=AD 可知∠ABD=∠ADB=45°，根据勾股定理即可得出结论；（3）设正方形ABCD 的边长为x ，则CE=x-4，CF=x-2，再根据勾股定理即可得出x 的值．【题目详解】解：（1）在正方形ABCD 中，∠B=∠D=90°，∵AG ⊥EF ，∴△ABE 和△AGE 是直角三角形．在Rt △ABE 和Rt △AGE 中，AB AG AE AE =⎧⎨=⎩， ∴△ABE ≌△AGE （HL ），∴∠BAE=∠GAE ．同理，∠GAF=∠DAF ．∴∠EAF=∠EAG+∠FAG=12∠BAD=45°． （1）MN 1=ND 1+DH 1．由旋转可知：∠BAM=∠DAH ，∵∠BAM+∠DAN=45°，∴∠HAN=∠DAH+∠DAN=45°．∴∠HAN=∠MAN ．在△AMN 与△AHN 中， AM AH HAN MAN AN AN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AMN ≌△AHN （SAS ），∴MN=HN ．∵∠BAD=90°，AB=AD，∴∠ABD=∠ADB=45°．∴∠HDN=∠HDA+∠ADB=90°．∴NH1=ND1+DH1．∴MN1=ND1+DH1．（3）由（1）知，BE=EG=4，DF=FG=2．设正方形ABCD的边长为x，则CE=x-4，CF=x-2．∵CE1+CF1=EF1，∴（x-4）1+（x-2）1=101．解这个方程，得x1=11，x1=-1（不合题意，舍去）．∴正方形ABCD的边长为11．【题目点拨】本题考查的是几何变换综合题，涉及到三角形全等的判定与性质、勾股定理、正方形的性质等知识，难度适中．25、（1）作图见解析；（2）A1（0，1），点B1（﹣2，2）．（3）22【解题分析】（1）按要求作图.（2）由（1）得出坐标.（3）由图观察得到，再根据勾股定理得到长度.【题目详解】解：（1）画出△A1OB1，如图．（2）点A1（0，1），点B1（﹣2，2）．（3）OB1＝OB＝＝2．【题目点拨】本题主要考查的是绘图、识图、勾股定理等知识点，熟练掌握方法是本题的解题关键.26、（1）C（2，-1），A（1，0）；（2）①3，②0＜t＜1，③（2+2，1）或（-2+2，1）或（-1，0）【解题分析】（1）令y=0得：x2-1x+3=0，然后求得方程的解，从而可得到A、B的坐标，然后再求得抛物线的对称轴为x=2，最后将x=2代入可求得点C的纵坐标；（2）①抛物线与y轴交点坐标为（0，3），然后做出直线y=3，然后找出交点个数即可；②将y=3代入抛物线的解析式求得对应的x的值，从而可得到直线y=3与“L双抛图形”恰好有3个交点时t的取值，然后结合函数图象可得到“L 双抛图形”与直线y=3恰好有两个交点时t的取值范围；③首先证明四边形ACQP为平行四边形，由可得到点P的纵坐标为1，然后由函数解析式可求得点P的横坐标．【题目详解】（1）令y=0得：x2-1x+3=0，解得：x=1或x=3，∴A（1，0），B（3，0），∴抛物线的对称轴为x=2，将x=2代入抛物线的解析式得：y=-1，∴C（2，-1）；（2）①将x=0代入抛物线的解析式得：y=3，∴抛物线与y轴交点坐标为（0，3），如图所示：作直线y=3，由图象可知：直线y=3与“L双抛图形”有3个交点，故答案为3；②将y=3代入得：x2-1x+3=3，解得：x=0或x=1，由函数图象可知：当0＜t＜1时，抛物线L关于直线x=t的“L双抛图形”与直线y=3恰好有两个交点，故答案为0＜t＜1．③如图2所示：∵PQ∥AC且PQ=AC，∴四边形ACQP为平行四边形，又∵点C的纵坐标为-1，∴点P的纵坐标为1，将y=1代入抛物线的解析式得：x2-1x+3=1，解得：2+2或2．∴点P2，1）或（2+2，1），当点P（-1，0）时，也满足条件．2+2，1）或（2，1）或（-1，0）【题目点拨】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题需要同学们理解“L双抛图形”的定义，数形结合以及方程思想的应用是解题的关键．27、（1）∠EPF＝120°；（2）AE＋AF＝3【解题分析】试题分析: （1）过点P作PG⊥EF于G，解直角三角形即可得到结论；（2）如图2，过点P作PM⊥AB于M，PN⊥AD于N，证明△ABC≌△ADC，R t△PME≌R t△PNF，问题即可得证. 试题解析:（1）如图1，过点P作PG⊥EF于G，∵PE=PF，∴FG=EG=123，∠FPG=∠EPG＝12∠EPF，在△FPG中，sin∠FPG=3342FGPF==，∴∠FPG=60°，∴∠EPF=2∠FPG=120°；（2）如图2，过点P 作PM ⊥AB 于M ，PN ⊥AD 于N ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AD=AB ，DC=BC ，∴∠DAC=∠BAC ，∴PM=PN ，在R t △PME 于R t △PNF 中，PM PN PE PF ⎧⎨⎩═＝ ， ∴R t △PME ≌R t △PNF ，∴FN=EM ，在R t △PMA 中，∠PMA=90°，∠PAM=12 ∠DAB=30°， ∴3，同理3，∴AE+AF=（AM-EM ）+（AN+NF ）3.【题目点拨】运用了菱形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，最值问题，等腰三角形的性质，作辅助线构造直角三角形是解题的关键．。

2023重庆中考数学b卷压轴题26题题目：已知二次函数y=x²-2x-3一、对题目进行分析，这道题主要考察二次函数的性质和图像，需要理解二次函数的表达式，掌握其对称轴和开口方向等信息。

二、解题步骤：1. 根据二次函数表达式，我们可以得到对称轴为直线x=1，开口向上。

2. 在B卷压轴题中，通常需要考生进行一些复杂的计算和推理。

首先，我们需要找到函数图像与x轴的交点，这可以通过令y=0来求解。

解方程x²-2x-3=0，得到x₁=3，x₂=-1。

也就是说，函数图像与x轴有两个交点(-1,0)和(3,0)。

3. 将已知的两个交点坐标代入图像中，可以得到图像大致呈抛物线形状，开口向上，与x轴有两个交点(-1,0)和(3,0)。

对称轴为直线x=1。

4. 接下来，我们需要根据题目要求，求出函数图像与直线y=4的交点坐标。

将直线y=4代入二次函数表达式中，得到一元二次方程x²-2x-7=0。

解得，该方程的两个解分别为x₃=5和x₄=-2。

也就是说，图像与直线y=4有两个交点(5,4)和(-2,4)。

5. 最后，根据题目要求，求出图像与直线y=-2的交点与对称轴的间距。

由于题目中未给出具体的坐标值，因此需要进行一些简单的代数计算。

综上，通过以上步骤的推理和计算，我们可以得出以下结论：当x=1时，y=2当x=-2时，y=-5当x=5时，y=4因此，函数图像与直线y=-2的交点坐标为(5,4)，该点与对称轴的距离为4。

三、总结：这道题考察了二次函数的性质和图像，需要考生具备一定的数学基础和推理能力。

解题的关键在于理解二次函数的表达式，掌握其对称轴和开口方向等信息，并能够进行一些复杂的计算和推理。

同时，考生还需要注意题目中的细节和要求，确保解题的准确性和完整性。

二轮复习2023-2024年中考数学重要考点名校模拟题分类汇编专题16——二次函数压轴题存在性三角形专项训练（重庆专用）(1)求直线AC的解析式；(2)如图1，连接BC，点P为直线AC、�1之间第二象限抛物线上的一动点，轴交直线�1点F，过点P作푃 ∥퐵 交AC于点E，求푃 +坐标；，进而可求．轴，∴��∥푃 ，∴퐵�푃�=퐵�� ，设�푃=�，则푃�,−12�2,+4∴푃 =3， =4−52=32，∴푃 =푃 2+ 2=325，∴抛物线向右平移3个单位，向上平移∴�=−�−3−�−3+4+当�=−3时，�=−23×−3+4=6，∴ −3,6，∴ =6−42+32=13，∴ ′�= ′ ′= =13，�∴ ∥ �， ∥ ′�， ′ =132，直线�2为：�=−23�，∵� ⊥�1，∴�2⊥�3，∴∠�1�퐵1=∠�2�퐵2，��(1)求抛物线的解析式；(2)如图2，若P点为抛物线上位于第一象限的点，连接�푃、퐵 交于点E，当푃 �大时，求P点的坐标及푃 � 的最大值；(3)如图3，在（2）中将△�� 沿直线� 平移得△�′�′ ′，点A、O、C的对应点分′′′′′′ ′푃为直角三角形时，请直接写出∵퐵6,0， 0,23，∴直线퐵 的解析式为�设푃�,−36�2+233�则��,−33�+23，�个单位，得到新抛物线的值，最后求最��+3与x轴交于�−1,0,퐵3,0两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；(2)如图，P为直线BC上方的抛物线上一点，푃�∥�轴交BC于D点，过点D作于E点．设�=푃�+102� ，求m的最大值及此时P点坐标；(3)在（2）中m取得最大值时条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移3个单位，点为平移后的抛物线的对称轴上一点．使得对于�=−�2+2�+3，当�=∴ (0，3)，设直线퐵 的解析式为�=푞�+把퐵(3,0)代入得，∴0=3푞+3，解得푞=−1，∴直线퐵 的解析式为�=−�+∴�(�，−�+3)，∴푃�=−�2+2�+3−−�+∵�(−1,0)， (0，3)，∴� =12+32=10，∴102� =12� ⋅� ，连接��，∴102� =12� ⋅� =�△�� ∵�△�� =�△�퐵 −�△��퐵，∴�△�� =1×4×3−1(−�+0,6．(1)求抛物线的解析式：(2)点P是直线퐵 上方抛物线上一点，过点P作푃 ∥�轴交퐵于点F，求 +퐵 的最小值，及此时点P的坐标；(3)如图2，x轴上有一点�−1,0，将抛物线向x轴正方向平移，使得抛物线恰好经过点得到新抛物线y1，点D是新抛物线�1与原抛物线的交点，点E是直线当△�� 是以��为腰的等腰三角形时，直接写出所有符合条件的点(1)求抛物线的解析式；(2)点�是位于直线� 上方的抛物线上任意一点，过点的坐标；∴푃�=−35�2−125�5�，∵푃 ∥퐵 交�轴于点∴∠푃 �=∠ 퐵�如图2，分别过F点向y轴作垂线，过C点向直线�=∴∠ =∠ � =90°，∵∠ =∠ �=90°，∴∠ =∠ �，∴∠ � =∠ =90°，∵∠ =90°，∠� +∠ �=90°=∴∠� =∠ ，∵ = ，�(1)求抛物线的解析式；(2)�为抛物线的顶点，连接퐵�，点푃为抛物线上点 、푃作푃�∥퐵�交直线퐵 于点�，连接��，求四边形点的坐标；−∵�=12�2−52�+2=12(�−52)2−∴顶点�(52,−98)，∵퐵 2+ �2=퐵�2，∴50+(�+1)2+(12�2−52�∴50+10�−15=5(�2−5∴�=8或�=−1（舍），∵퐵�2+ �2=퐵 2，∴(�+1)2+(12�2−52�−3)2∴(�+1)(�−4)(�−2)(�−∴�=4（与퐵重合，舍去）或�∵퐵�2+ 퐵2=� 2，∴(�−4)2+(12�2−52�+2)2+∴�=3或�=4（与퐵重合，舍去）∴�(3,−1)，【答案】（1）y=x2﹣2x﹣，﹣两点的坐标代入得，解得：；设P（x，x2﹣2x﹣3），设直线则，解得：，S四边形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ=AB•OC+QP•BF+QP•OF=×4×3+（﹣x2+3x）×3=﹣（x﹣）2+．当x=时，四边形ABPC的面积最大此时P点的坐标为（，﹣），四边形ABPC的面积的最大值为；（3）设点Q的坐标为（m，m﹣3），∵O（0，0），C（0，﹣3），∴OC=3，QC==|m|，QO=．△QOC为等腰三角形分三种情况：①当OC=QC时，3=|m|，解得：m=±，此时点Q的坐标为（，﹣3）或（﹣，﹣﹣3）；②当OC=QO时，3=，解得：m=3或m=0（舍去），此时点Q的坐标为（3，0）；③当QC=QO时，有|m|=，解得：m=，此时点Q的坐标为（，﹣）．点坐标为（，﹣（﹣，﹣﹣0）或（，﹣）依据二次函数的性质求解可得；在线段(1)求抛物线的函数解析式．(2)在第一象限的抛物线上有一动点P，过点P作푃 ∥�轴交直线交直线BD于点F．求23푃 −푃 的最大值，并求出此时点(3)在（2）的条件下，将原抛物线�=−22�2+��+�沿着射线得到新抛物线�'，新抛物线�'与原抛物线交于点Q，点）根据相似三角形的性质，把图象的平移转化为水平和左右平移，则设向下平移九年级重庆八中校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛(1)求该抛物线的函数表达式；(2)点P为线段퐵 上方抛物线上的一点，过点P作푃 ∥�푃 ∥� 交直线퐵 于点F，求△푃 周长的最大值及此时点(3)在（2）的条件下，将抛物线�=��2+��+4�≠0沿射线的周长最大，据此求解即可；。

精练14--二次函数压轴题1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC、BC．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点P为直线BC下方抛物线上一动点，连接OP交BC于点E，当的值最大时，求点P的坐标和的最大值；（3）把抛物线y＝x2+bx+c向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到新抛物线y′，M是新抛物线上一点，N是新抛物线对称轴上一点，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出所有符合条件的N点的坐标，并任选其中一个N点，写出求N点的坐标的过程．2．如图1，二次函数y ＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）、点B（点A在点B左侧），与y轴交于点C（0，3），tan∠CBO＝．（1）求二次函数解析式；（2）如图2，点P是直线BC上方抛物线上一点，PD∥y轴交BC于D，PE∥BC交x 轴于点E，求PD+BE的最大值及此时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，当PD+BE取最大值时，连接PC，将△PCD绕原点O顺时针旋转90°至△P'C'D'；将原抛物线沿射线CA方向平移个单位长度得到新抛物线，点M在新抛物线的对称轴上，点N为平面内任意一点，当以点M，N，C′，D′为顶点的四边形是矩形时，请直接写出点N的坐标．3．如图，已知直线BC的解析式为y＝x﹣3，抛物线y＝x2+bx+c与坐标轴交于A、B、C三点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若M（m，y1），N（4﹣m，y2）是第四象限内抛物线上的两个动点，且m ＜2．分别过点M，N作x轴的垂线，交线段BC于点D、E．通过计算证明四边形MDEN 是平行四边形，并求其周长的最大值；（3）抛物线y＝x2+bx+c沿射线CB方向平移个单位，得到新抛物线y1，点F为y1的对称轴上任意一点，若以点B，C，F为顶点的三角形是以BC为腰的等腰三角形，直接写出所有符合条件的点F的坐标．4．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+2的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．﹣1，3是关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0的两个根．（1）求该抛物线的解析式；（2）过点A作AD∥BC交抛物线于点D，AD与y轴交于点E，P为直线BC上方抛物线上的一个动点，连接P A交BC于点F，求S△PEF的最大值及此时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，点M为抛物线上一动点，在平面内找一点N，是否存在以点A，M，N，P为顶点的四边形是以P A为边的矩形？若存在，请直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由．5．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中A（﹣1，0），OB＝4OA，tan∠CAB＝3，连接AC、BC．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图2，过A作AD∥BC，交抛物线于点D，点P为直线BC下方抛物线上任意一点，连接DP，与BC交于点E，连接AE，当△APE面积最大时，求点P的坐标及△APE 面积的最大值；（3）如图3，在（2）的条件下，将抛物线先向右平移个单位，再向上平移3个单位后与x轴交于点F、G（点F在点G的左侧），点Q为直线AC上一点，连接QP、QG、PG，当△QPG是以PG为腰的等腰三角形时，请直接写出点Q的坐标．6．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c（b、c为常数）与y轴交于点C，对称轴为直线x＝﹣3，点N（﹣4，﹣5）在该抛物线上．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）连接CN，点P是直线CN下方抛物线上一动点，过点P作PH∥y轴交直线CN于点H，在射线CH上有一点G使得PH＝PG．当△PGH周长取得最大值时，求点P的坐标和△PGH周长的最大值；（3）如图2，在（2）的条件下，直线l：y＝x﹣与x轴、y轴分别交于点E、F，将原抛物线沿着射线FE方向平移，平移后的抛物线与x轴的右交点恰好为点E，动点M 在平移后的抛物线上，点T是平面内任意一点，是否存在菱形METP，若存在，请直接写出点T的横坐标，若不存在，请说明理由．7．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的图象与x轴交于点A（1，0）、B两点，与y轴交于点C（0，﹣3），且抛物线的对称轴为直线x＝﹣1．（1）求抛物线的解析式；（2）在直线BC下方的抛物线上有一动点P，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，交直线BC于点N，求PN+CN的最大值，并求出此时点P的坐标；（3）如图2，若抛物线沿射线AC方向平移个单位长度得到抛物线y'，点E为新抛物线y'上一点，点F为原抛物线对称轴上一点，取（2）中最大值时点P，是否存在以点B、P、E、F构成的平行四边形？若存在，直接写出点E的坐标，若不存在，请说明理由．8．如图1，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．（1）求此抛物线的解析式；（2）P是抛物线上位于直线BC上方的一个动点，过点P作PQ∥y轴交BC于点Q；过点P作PE⊥BC于点E，过点E作EF⊥y轴于点F，求出2PQ+EF的最大值及此时点P 的坐标；（3）如图2，将抛物线y＝ax2+bx+4沿着射线CB的方向平移，使得新抛物线y′过点（3，1），点D为原抛物线y与新抛物线y′的交点，若点G为原抛物线的对称轴上一动点，点H为新抛物线y′上一动点，直接写出所有使得以A，D，G，H为顶点的四边形为平行四边形的点H的坐标，并把求其中一个点H的坐标的过程写出来．9．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点P是直线上方抛物线上的一点，过点P作PD∥AC交BC于E，交x轴于点D，求PE+BE的最大值以及此时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，将抛物线沿着射线CA方向平移个单位长度得到新抛物线y1，新抛物线y1和原抛物线相交于点F．新抛物线y1的顶点为点G，点M是直线FG上的一动点，点N为平面内一点．若以P、G、M、N四点为顶点的四边形为菱形，请直接写出点N的坐标，并写出求解其中一个N点的过程．10．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+x﹣2与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）求点A的坐标；（2）如图1，连接AC，点D为线段AC下方抛物线上一动点，过点D作DE∥y轴交线段AC于E点，连接EO，记△ADC的面积为S1，△AEO的面积为S2，求S1﹣S2的最大值及此时点D的坐标；（3）如图2，将抛物线沿射线CB方向平移个单位长度得到新抛物线，动点N在原抛物线的对称轴上，点M为新抛物线与y轴的交点，当△AMN为以AM为腰的等腰三角形时，请直接写出点N的坐标．11．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线交于x轴上的点B，y轴上的点C，且其对称轴为直线．该抛物线与x轴的另一交点为点A，顶点为M．（1）求抛物线的解析式及顶点M的坐标；（2）如图2，长度为的线段DF在线段BC上滑动（点D在点F的左侧），过D，F 分别作y轴的平行线，交抛物线于E，P两点，连接PE．求四边形PFDE面积的最大值及此时点P坐标；（3）在（2）问条件下，当四边形PFDE面积有最大值时，记四边形PFDE为四边形P1F1D1E1．将四边形P1F1D1E1沿直线BC平移，点P1，E1关于直线BC的对称点分别是点P2，E2．在平移过程中，当点P2，E2中有一点落到抛物线上时，请直接写出点P2，E2的坐标．1 2．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B，交y轴于点C，．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，P点为一象限内抛物线上的一个动点，D点是BC中点，连接PD，BD，PB．求△BDP面积的最大值以及此时P点坐标；（3）如图2，将抛物线向左平移1个单位长度，得到新的抛物线y1，M为新抛物线对称轴上一点，N为直线AC上一动点，在（2）的条件下，是否存在点M，使得以点P、B、M、N为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于点A（﹣6，0），B（4，0），与y 轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图1，点D与点C关于抛物线的对称轴对称，连接BD交y轴于点G，作直线OD，点P为线段BD上方的抛物线上任意一点，过点P作PE∥y轴交BD于点E，过点P作PF⊥直线OD于点F．当PE+PF为最大时，求这个最大值及此时点P的坐标；（3）如图2，连接BC，CD，将△OCD绕点O顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到△OC'D'，使得C'D'∥BC，将线段OD'沿射线C'O平移得到O'D″，连接AO′，AD″，请问在平移过程中，是否存在△AO'D″是以O'D″为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出D″的坐标，若不存在，请说明理由.14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），交y轴于点C，且OC＝3．（1）求该抛物线的解析式；（2）点P为直线BC下方抛物线上的一点，连接AC、BC、CP、BP，求四边形PCAB 的面积的最大值，以及此时点P的坐标；（3）把抛物线y＝ax2+bx+c平移，使得新抛物线的顶点为（2）中求得的点P，R为新抛物线上一点，S是新抛物线对称轴上一点，直接写出所有使得以点A，C，R，S为顶点的四边形是平行四边形的点R的坐标，并把其中一个求点R的坐标过程写出来．15．如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且点A的坐标为（﹣2，0），直线BC的解析式为y＝x﹣4．（1）求抛物线的解析式．（2）如图1，过点A作AD∥BC交抛物线于点D（异于点A），P是直线BC下方抛物线上一点，过点P作PQ∥y轴，交AD于点Q，过点Q作QR⊥BC于点R，连接PR．求△PQR面积的最大值及此时点P的坐标．（3）如图2，点C关于x轴的对称点为点C′，将抛物线沿射线C′A的方向平移2个单位长度得到新的抛物线y′，新抛物线y′与原抛物线交于点M，原抛物线的对称轴上有一动点N，平面直角坐标系内是否存在一点K，使得以D，M，N，K为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由．16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A、B两点（点A在点B左侧），交y轴于点C，一次函数y＝kx+b（k≠0）与抛物线交于B、D两点，已知cos∠ABD＝．（1）求点D的坐标；（2）点F是抛物线的顶点，连接BF．P是抛物线上F、D两点之间的任意一点，过点P 作PE∥BF交BD于点E，连接PF、PD、FE．求四边形PFED面积的最大值及相应的点P的坐标；（3）连接AC，将抛物线沿射线AC方向平移个单位长度得到新抛物线y'，新抛物线与原抛物线交于点G．S是原抛物线对称轴上一点，T是平面内任意一点，G、S、A、T四点能否构成以AS为边的菱形？若能，请直接写出点T的坐标；若不能，请说明理由．精练14--二次函数压轴题1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC、BC．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点P为直线BC下方抛物线上一动点，连接OP交BC于点E，当的值最大时，求点P的坐标和的最大值；（3）把抛物线y＝x2+bx+c向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到新抛物线y′，M是新抛物线上一点，N是新抛物线对称轴上一点，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出所有符合条件的N点的坐标，并任选其中一个N点，写出求N点的坐标的过程．【解答】解：（1）将A（﹣2，0），B（4，0）代入y＝x2+bx+c，得，解得，∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣x﹣4．（2）如图1，作PG⊥x轴于点G，交BC与点F，抛物线y＝x2﹣x﹣4，当x＝0时，y＝﹣4，∴C（0，﹣4），设直线BC的函数表达式为y＝kx﹣4，则4k﹣4＝0，解得k＝1，∴直线BC的函数表达式为y＝x﹣4，设P（x，x2﹣x﹣4），则F（x，x﹣4），∴PF＝x﹣4﹣（x2﹣x﹣4）＝﹣x2+2x，∵PF∥OC，∴△PEF∽△OEC，∴＝＝（﹣x2+2x）＝﹣（x﹣2）2+，∴当x＝2时，的值最大，最大值为，此时P（2，﹣4），∴点P的坐标为（2，﹣4），的最大值为．（3）∵y＝x2﹣x﹣4＝（x﹣1）2﹣，∴该抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的新抛物线为y′＝（x﹣2）2﹣，即y′＝x2﹣2x﹣，该抛物线的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，﹣），如图2，BC的中点为Q（2，﹣2），当点M与抛物线的顶点重合时，则点N与点M（2，﹣）关于点Q（2，﹣2）对称，∵BQ＝CQ，MQ＝NQ，∴四边形BMCN是平行四边形，此时N（2，）；如图3，四边形BCMN是平行四边形，且点M在直线x＝2的左侧，过点M作直线x＝2的垂线，垂足为点R，∵MN∥BC，QN∥y轴，∴∠MNR＝∠BQN＝∠BCO，∵MN＝BC，∠MRN＝∠BOC＝90°，∴△MRN≌△BOC（AAS），∴RN＝OC＝4，RM＝OB＝4，∴点M的横坐标为﹣2，抛物线y′＝x2﹣2x﹣，当x＝﹣2时，y′＝，∴M（﹣2，），R（2，），∴y N＝+4＝，∴N（2，）；如图4，四边形BCNM是平行四边形，且点M在直线x＝2的右侧，过点M作直线x＝2的垂线，垂足为点H，∵MN∥BC，QN∥y轴，∴∠MNH＝∠BQH＝∠BCO，∵MN＝BC，∠MHN＝∠BOC＝90°，∴△MHN≌△BOC（AAS），∴HN＝OC＝4，HM＝OB＝4，∴点M的横坐标为6，抛物线y′＝x2﹣2x﹣，当x＝6时，y′＝，∴M（6，），H（2，），∴y N＝﹣4＝﹣，∴N（2，﹣），综上所述，点N的坐标为（2，）或（2，）或（2，﹣）．2．如图1，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）、点B（点A在点B左侧），与y轴交于点C（0，3），tan∠CBO＝．（1）求二次函数解析式；（2）如图2，点P是直线BC上方抛物线上一点，PD∥y轴交BC于D，PE∥BC交x 轴于点E，求PD+BE的最大值及此时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，当PD+BE取最大值时，连接PC，将△PCD绕原点O顺时针旋转90°至△P'C'D'；将原抛物线沿射线CA方向平移个单位长度得到新抛物线，点M在新抛物线的对称轴上，点N为平面内任意一点，当以点M，N，C′，D′为顶点的四边形是矩形时，请直接写出点N的坐标．【解答】解：（1）∵点C的坐标为（0，3），∴OC＝3，∵tan∠CBO＝＝，∴OB＝6，∴点B的坐标为（6，0），由抛物线经过点A（﹣2，0），B（6，0）设抛物线的解析式为y＝a（x+2）（x﹣6），将点C（0，3）代入解析式为a×（0+2）×（0﹣6）＝3，∴a＝﹣，∴抛物线的解析式为y＝﹣（x+2）（x﹣6）＝﹣x2+x+3．（2）过点P作PF∥x轴交BC于点F，∵PE∥BC，∴四边形PEBF为平行四边形，∴PF＝BE，∴PD+BE＝PD+PF，设直线BC的解析式为y＝kx+b，则，解得：，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，设点P的坐标为（m，﹣m2+m+3），则点D的坐标为（m，﹣m+3），∴PD＝﹣m2+m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+m，∵PF∥x轴，∴点F和点P的纵坐标相等，即﹣x+3＝﹣m2+m+3，∴x＝m2﹣2m，∴点F的坐标为（m2﹣2m，﹣m2+m+3），∴PF＝m﹣（m2﹣2m）＝﹣m2+3m，∴PD+BE＝﹣m2+m+（﹣m2+3m）＝﹣m2+m＝﹣（m﹣3）2+，∴当m＝3时，PD+BE的最大值为，此时，点P的坐标为（3，）；（3）由（2）中得，点P的坐标为（3，），∴点D的坐标为（3，），∵△PCD绕着点O顺时针旋转90°得到△P'C'D'，C（0，3），∴点C'的坐标为（3，0），点D'的坐标为（，﹣3），∵A（﹣2，0），C（0，3），∴AC＝＝，∵抛物线沿射线CA方向平移，∴抛物线向左平移了1个单位长度，向下平移了个单位长度，∴平移后抛物线的对称轴为直线x＝＝1，设点M（1，y），N（a，b），C'（3，0），D'（，﹣3），①以MN为对角线时，如图①，有x M+x N＝x C'+x D'，y M+y N＝y C'+y D'，C'M2+C'N2＝MN2，∴，解得：或，∴点N的坐标为（，﹣+）或（，﹣﹣）；②以MC'为对角线时，如图②，有x M+x C'＝x N+x D'，y M+y C'＝y N+y D'，C'M2＝C'N2+MN2，∴，解得：，∴点N的坐标为（，）；③以MD'为对角线时，如图③，有x M+x D'＝x N+x C'，y M+y D'＝y N+y C'，C'M2+MN2＝C'N2，∴，解得：，∴点N的坐标为（﹣，﹣2）；综上所述，当以点M，N，C′，D′为顶点的四边形是矩形时，点N的坐标为（，﹣+）或（，﹣﹣）或（，）或（﹣，﹣2）．3．如图，已知直线BC的解析式为y＝x﹣3，抛物线y ＝x2+bx+c与坐标轴交于A、B、C三点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若M（m，y1），N（4﹣m，y2）是第四象限内抛物线上的两个动点，且m ＜2．分别过点M，N作x轴的垂线，交线段BC于点D、E．通过计算证明四边形MDEN 是平行四边形，并求其周长的最大值；（3）抛物线y＝x2+bx+c沿射线CB方向平移个单位，得到新抛物线y1，点F为y1的对称轴上任意一点，若以点B，C，F为顶点的三角形是以BC为腰的等腰三角形，直接写出所有符合条件的点F的坐标．【解答】解：（1）∵直线BC的解析式为y＝x﹣3，令y＝0，则x＝4，即点B是（4，0）令x＝0，则y＝﹣3，即点C是（0，﹣3）．把点B（4，0），点C（0，﹣3）．代入到抛物线y＝x2+bx+c中．得．∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣3（2）∵若M（m，y1），N（4﹣m，y2）是第四象限内抛物线上的两个动点，∴y1＝m2−m−3，y2＝（4﹣m）2−（4﹣m）−3．∵直线BC的解析式为y＝x﹣3．∵过点M，N作x轴的垂线，分别交线段BC于点D，E，∴D（m，m−3），E（4﹣m，﹣m）．∴MD＝﹣（m2﹣m﹣3）﹣（3﹣m）＝﹣m2+4m，∴EN＝﹣（4﹣m）2+4（4﹣m）＝﹣m2+4m．∴MD＝EN．∵过点M，N作x轴的垂线，分别交线段BC于点D，E，∴MD∥EN．∴四边形MDEN为平行四边形．过D作DF⊥NE于F，则DF＝4﹣2m，如图，∵B（4，0），C（0，﹣3）．∴OB＝4，OC＝3．∴BC＝5．∵DF∥OB．∴∠EDF＝∠OBC．∵∠COB＝∠DFE＝90°，∴△DFE∽△BOC．∴＝．∴＝．∴DE＝（2﹣m）．∴平行四边形MDEN的周长＝2MD+2DE＝2（﹣m2+4m）+2×（2﹣m）＝﹣2m2+3m+10．∵﹣2m2+3m+10＝﹣2（m−）2+，又﹣2＜0，∴当m＝时，四边形MDEN的周长有最大值．（3）设平移后的抛物线的解析式为：y1＝x2+b1x+c1，点C平移后对应的点C1的坐标为（t，t﹣3），点B平移后对应的点B1的坐标为（s，t﹣3），其中，t＞0，s＞4．∵抛物线y＝x2+bx+c沿射线CB方向平移个单位，C（0，﹣3），B（4，0），∴CC1＝＝，BB1＝＝．解得：t＝，s＝．∴C1的坐标为（，﹣），B1的坐标为（，﹣）．∴，解得：．∴y1＝x2﹣6x+．∴抛物线的对称轴为直线：x＝3．∵点F为y1的对称轴上任意一点，∴设点F的坐标为（3，n）．∵B（4，0），C（0，﹣3），∴BC＝．∵以点B，C，F为顶点的三角形是以BC为腰的等腰三角形，∴当BF＝BC时，＝5，解得：n＝+2．∴点F的坐标为（3，2）或（3，﹣2）．当CF＝BC时，＝5，解得：n＝1或﹣7．∴点F的坐标为（3，1）或（3﹣7）．综上所述：符合条件的点F的坐标为（3，2）或（3，﹣2）或（3，1）或（3，﹣7）．4．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+2的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．﹣1，3是关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0的两个根．（1）求该抛物线的解析式；（2）过点A作AD∥BC交抛物线于点D，AD与y轴交于点E，P为直线BC上方抛物线上的一个动点，连接P A交BC于点F，求S△PEF的最大值及此时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，点M为抛物线上一动点，在平面内找一点N，是否存在以点A，M，N，P为顶点的四边形是以P A为边的矩形？若存在，请直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵﹣1，3是关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0的两个根，∴，解得，∴该抛物线的解析式为y＝x2+x+2．（2）如图1，作PH⊥x轴，交AD于点H，作PG⊥AD于点G，作BK⊥AD于点K．当y＝0时，x1＝﹣1，x2＝3，则A（﹣1，0）、B（3，0）；当x＝0时，y＝2，则C（0，2）．设直线BC的解析式为y＝kx+2，则3k+2＝0，解得k＝，∴y＝x+2；设直线AD的解析式为y＝x+c，则+c＝0，解得c＝，∴y＝x，E（0，），∵OA＝1，OE＝，∠AOE＝90°，∴AE＝＝，∴OE：OA：AE＝2：3：．∴BK＝AB•sin∠OAE＝（3+1）×＝，∴S△AEF＝××＝，设P（x，x2+x+2），则H（x，x），∴PH＝x2+x+2+x+＝x2+2x+，∵PH∥y轴，∴∠PHG＝∠AEO，∴PG＝PH•sin∠AEO＝（x2+2x+），∴S△PEF＝××（x2+2x+）＝x2+x＝（x）2+，∴当x＝时，S△PEF的面积最大，最大值为，此时P（，）．（3）存在．如图2，设直线AP交y轴于点R，直线AM交y轴于点Q，直线AP的解析式为y＝px+q，由（1）得P（，），则，解得，∴y＝x+1，R（0，1），OA＝OR＝1．当矩形AMNP以AP、AM为邻边时，则∠RAQ＝90°，PN∥AM，MN∥AP．∵∠OAR＝∠ORA＝45°，∠AOR＝∠AOQ＝90°，∴∠OAQ＝∠OQA＝45°，∴OQ＝OA＝1，Q（0，﹣1）；设直线AM的解析式为y＝mx﹣1，则﹣m﹣1＝0，解得m＝﹣1，∴y＝﹣x﹣1；设直线PN的解析式为y＝﹣x+n，则+n＝，解得n＝4，∴y＝﹣x+4．由，得，，∴M（，）；设直线MN的解析式为y＝x+r，则+r＝，解得r＝﹣10，∴y＝x﹣10，由，得，∴N（7，﹣3）；设PN交抛物线于另一点M′，作M′N′∥AP交AM于点N′．由，得，，∴M′（2，2），设直线M′N′的解析式为y＝x+d，则2+d＝2，解得d＝0，∴y＝x，由，得，当矩形AN′M′P以AP、PM′为邻边，则N′（，）．综上所述，点N的坐标为（7，﹣3）或（，）．5．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中A（﹣1，0），OB＝4OA，tan∠CAB＝3，连接AC、BC．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图2，过A作AD∥BC，交抛物线于点D，点P为直线BC下方抛物线上任意一点，连接DP，与BC交于点E，连接AE，当△APE面积最大时，求点P的坐标及△APE 面积的最大值；（3）如图3，在（2）的条件下，将抛物线先向右平移个单位，再向上平移3个单位后与x轴交于点F、G（点F在点G的左侧），点Q为直线AC上一点，连接QP、QG、PG，当△QPG是以PG为腰的等腰三角形时，请直接写出点Q的坐标．【解答】解：（1）∵A（﹣1，0），OB＝4OA，∴B（4，0），∵tan∠CAB＝3，∴＝3，∴C（0，﹣3），将A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c得：，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣3；（2）过P作PF∥AD交x轴于F，连接DF，如图：设经过B（4，0），C（0，﹣3）的直线为y＝dx+e，则，解得，∴直线BC为y＝x﹣3，由AD∥BC，设直线AD为y＝x+f，把A（﹣1，0）代入得：0＝﹣+f，解得f＝，∴直线AD为y＝x+，解得或，∴D（5，），∵AD∥BC，∴S△ADE＝S△ADB，而S△ADB＝AB•|y D|＝×5×＝，∴S△ADE＝，设P（m，m2﹣m﹣3），而PF∥AD，设直线PF为y＝x+g，则m2﹣m﹣3＝m+g，解得g＝m2﹣3m﹣3，∴直线PF为y＝x+m2﹣3m﹣3，令y＝0得x＝﹣m2+4m+4，∴F（﹣m2+4m+4，0），∵PF∥AD，∴S△ADF＝S△ADP，而S△ADF＝AF•|y D|＝＝[﹣m2+4m+4﹣（﹣1）]•＝﹣m2+9m+，∴S△ADP＝﹣m2+9m+，∴S△APE＝S△ADP﹣S△ADE＝﹣m2+9m＝﹣（m﹣2）2+9，∴m＝2时，S△APE最大，最大值为9，∴P（2，﹣）；（3）将抛物线y＝x2﹣x﹣3先向右平移个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线解析式为y＝（x﹣）2﹣（x﹣）﹣3+3＝x2﹣3x+，令y＝0得x＝或x＝，∴G（，0），∵A（﹣1，0），C（0，﹣3），∴直线AC的解析式为y＝﹣3x﹣3，设Q（n，﹣3n﹣3），则QG2＝（n﹣）2+（﹣3n﹣3）2，QP2＝（n﹣2）2+（﹣3n﹣3+）2，PG2＝（﹣2）2+（）2＝，△QPG是以PG为腰的等腰三角形，分两种情况：①PG＝QG时，（n﹣）2+（﹣3n﹣3）2＝，解得n＝或n＝，∴Q（，）或（，）；②PG＝QP时，（n﹣2）2+（﹣3n﹣3+）2＝，解得n＝或n＝，∴Q（，）或（，），综上所述，Q的坐标为：（，）或（，）或（，）或（，）．6．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c（b、c为常数）与y轴交于点C，对称轴为直线x＝﹣3，点N（﹣4，﹣5）在该抛物线上．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）连接CN，点P是直线CN下方抛物线上一动点，过点P作PH∥y轴交直线CN于点H，在射线CH上有一点G使得PH＝PG．当△PGH周长取得最大值时，求点P的坐标和△PGH周长的最大值；（3）如图2，在（2）的条件下，直线l：y＝x﹣与x轴、y轴分别交于点E、F，将原抛物线沿着射线FE方向平移，平移后的抛物线与x轴的右交点恰好为点E，动点M 在平移后的抛物线上，点T是平面内任意一点，是否存在菱形METP，若存在，请直接写出点T的横坐标，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）根据题意得：，解得：，∴该抛物线的函数表达式为y＝x2+6x+3；（2）如图1，过点P作PK⊥CN于点K，设直线CN交x轴于点M，令x＝0，得y＝3，∴C（0，3），设直线CN的解析式为y＝kx+n，把C（0，3）、N（﹣4，﹣5）代入得：，解得：，∴直线CN的解析式为y＝2x+3，令y＝0，得2x+3＝0，解得：x＝﹣，∴M（﹣，0），∴OM＝，∵C（0，3），∴OC＝3，在Rt△CMO中，CM＝＝＝，设P（t，t2+6t+3），则H（t，2t+3），∴PH＝（2t+3）﹣（t2+6t+3）＝﹣t2﹣4t，∴PG＝﹣t2﹣4t，∵PH＝PG，PK⊥HG，∴HG＝2HK，∵PK⊥CN，∴∠PKH＝∠MOC＝90°，∵PH∥y轴，∴∠PHK＝∠MCO，∴△PHK∽△MCO，∴＝，即＝∴HK＝（﹣t2﹣4t），∴HG＝（﹣t2﹣4t），∴△PGH周长＝PH+PG+HG＝（﹣t2﹣4t）+（﹣t2﹣4t）+（﹣t2﹣4t）＝﹣（t2+4t）＝﹣（t+2）2+，∵﹣＜0，﹣4＜t＜0，∴当t＝﹣2时，△PGH周长取得最大值，此时点P的坐标为（﹣2，﹣5）；（3）联立方程组得，解得：，，∴E′（﹣1，﹣2），在y＝x﹣中，令y＝0，得x﹣＝0，解得：x＝3，∴E（3，0），∵原抛物线上的点E′（﹣1，﹣2）平移后得到E（3，0），∴原抛物线向右平移4个单位，向上平移2个单位，∵原抛物线y＝x2+6x+3＝（x+3）2﹣6，顶点坐标为（﹣3，﹣6），∴平移后的抛物线顶点坐标为（1，﹣4），∴平移后的抛物线解析式为：y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3，∵动点M在平移后的抛物线上，∴设M（m，m2﹣2m﹣3），∵菱形METP，∴PE和MT为对角线，∴MP＝ME，∵P（﹣2，﹣5），E（3，0），∴MP2＝[m﹣（﹣2）]2+[m2﹣2m﹣3﹣（﹣5）]2ME2＝（m﹣3）2+（m2﹣2m﹣3﹣0）2，∵MP＝ME，∴MP2＝ME2，解得m＝或，∴m2﹣2m﹣3＝或∴M点的坐标为（，）或（，），①当M点的坐标为（，）时：如图所示，过点M作MJ⊥x轴于J，过T作y轴的平行线与过P点且平行于x轴的平行线交点L，过点M作MV∥x轴与ET交点V，则J（，0），MV∥PL，∴JE＝3﹣＝，MJ＝，∠JEM＝∠EMV，∵四边形METP为菱形，∴ME＝PT，ME∥PT，∴∠EMV＝∠TPL，∴∠MEJ＝∠TPL，在△MJE和△TLP中，，∴△MJE≌△TLP（AAS），∴MJ＝TL＝，PL＝JE＝，∴点T的横坐标为﹣2+＝，纵坐标为﹣5+＝，∴T点的坐标为（，﹣），②当M点的坐标为（，）时：同理①可得T点的坐标为（，），综上所述，T点的坐标为（，）或（，）．7．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的图象与x轴交于点A（1，0）、B两点，与y轴交于点C（0，﹣3），且抛物线的对称轴为直线x＝﹣1．（1）求抛物线的解析式；（2）在直线BC下方的抛物线上有一动点P，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，交直线BC于点N，求PN+CN的最大值，并求出此时点P的坐标；（3）如图2，若抛物线沿射线AC方向平移个单位长度得到抛物线y'，点E为新抛物线y'上一点，点F为原抛物线对称轴上一点，取（2）中最大值时点P，是否存在以点B、P、E、F构成的平行四边形？若存在，直接写出点E的坐标，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）将点A（1，0），C（0，﹣3）分别代入y＝ax2+bx+c得，，解得：b＝﹣a+3，∵函数的对称轴为直线x＝﹣1，∴﹣＝﹣1，即b＝2a，∴﹣a+3＝2a，∴a＝1，b＝2，c＝﹣3，∴二次函数的解析式为y＝x2+2x﹣3．（2）当y＝0时，x2+2x﹣3＝0，解得：x＝1或x＝﹣3，∴B（﹣3，0），过点C作直线PM的垂线，垂足为点H，∵点B（﹣3，0），点C（0，﹣3），∴OB＝OC＝3，∴△OBC是等腰直角三角形，∴△CHN是等腰直角三角形，∴CN＝CH，∴PN+CN＝PN+2CH，设直线BC的解析式为y＝kx+b，则，解得：，∴直线BC的解析式为y＝﹣x﹣3，设点P的坐标为（x，x2+2x﹣3），则点N的坐标为（x，﹣x﹣3），∴PN＝﹣x﹣3﹣（x2+2x﹣3）＝﹣x2﹣3x，CH＝﹣x，∴PN+CN＝﹣x2﹣3x+2（﹣x）＝﹣x2﹣5x＝﹣（x+）2+，∴PN+CN的最大值为，此时点P的坐标为（﹣，﹣）．（3）∵点A（1，0），点C（0，﹣3），∴OA＝1，OC＝3，∴AC＝，∵抛物线沿射线AC方向平移个单位长度得到抛物线y'，∴抛物线先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到y'，∴抛物线y'的解析式为y＝（x+）2+2（x+）﹣3﹣＝x2+3x﹣，设点E（e，e2+3e﹣），点F（﹣1，f），B（﹣3，0），P（﹣，﹣），①以FE为对角线时，，解得：，∴点E的坐标为（﹣，）；②以FP为对角线时，，解得：，∴点E的坐标为（﹣，﹣）；③以FB为对角线时，，解得：，∴点E的坐标为（﹣，﹣）；综上所述，点E的坐标为（﹣，）或（﹣，﹣）或（﹣，﹣）．8．如图1，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．（1）求此抛物线的解析式；（2）P是抛物线上位于直线BC上方的一个动点，过点P 作PQ∥y轴交BC于点Q；过点P作PE⊥BC于点E，过点E作EF⊥y轴于点F，求出2PQ+EF的最大值及此时点P的坐标；（3）如图2，将抛物线y＝ax2+bx+4沿着射线CB的方向平移，使得新抛物线y′过点（3，1），点D为原抛物线y与新抛物线y′的交点，若点G为原抛物线的对称轴上一动点，点H为新抛物线y′上一动点，直接写出所有使得以A，D，G，H为顶点的四边形为平行四边形的点H的坐标，并把求其中一个点H的坐标的过程写出来．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣2，0），B（4，0）两点，∴，解得：，∴此抛物线的解析式为y＝x2+x+4；（2）如图1，延长FE交PQ于点G，则FG⊥PQ，∵抛物线y＝x2+x+4与y轴交于点C，∴C（0，4），∵B（4，0），∴OB＝OC＝4，∵∠BOC＝90°，∴△BOC是等腰直角三角形，∠CBO＝∠BCO＝45°，设直线AC的解析式为y＝kx+n，将B（4，0），C（0，4）代入得，解得：，∴直线AC的解析式为y＝﹣x+4，∵点P在抛物线上，PQ∥y轴交BC于点Q，∴设P（m，m2+m+4），则Q（m，﹣m+4），其中0＜m＜4，∴PQ＝m2+m+4﹣（﹣m+4）＝m2+2m，∵PE⊥BC，PQ∥y轴，∴∠PEQ＝90°，∠PQE＝∠BCO＝45°，∴△PEQ是等腰直角三角形，∵EG⊥PQ，∴EG＝PQ＝×（m2+2m）＝﹣m2+m，∴EF＝FG﹣EG＝m﹣（﹣m2+m）＝m2，∴2PQ+EF＝2×（m2+2m）+m2＝﹣m2+4m＝﹣（m﹣）2+，∵﹣＜0，∴当m＝时，2PQ+EF最大值为，此时P（，）；（3）∵B（4，0），C（0，4），y＝x2+x+4＝（x﹣1）2+，∴将抛物线y＝x2+x+4沿着射线CB的方向平移，即向右平移t个单位，向下平移t 个单位，∴平移后的新抛物线解析式为y＝（x﹣1﹣t）2+﹣t，∵新抛物线y′过点（3，1），∴1＝（3﹣1﹣t）2+﹣t，解得：t＝﹣1（不符合题意，舍去）或t＝3，∴新抛物线的解析式为y＝（x﹣4）2+＝x2+4x﹣，由得，∴D（，），∵点G为原抛物线的对称轴上一动点，点H为新抛物线y′上一动点，∴设G（1，s），H（r，r2+4r﹣），而A（﹣2，0），①以AH、DG为对角线时，则，解得：r＝，∴r2+4r﹣＝﹣×（）2+4×﹣＝﹣，∴H（，﹣）；②以AG、DH为对角线时，则，解得：r＝，∴r2+4r﹣＝﹣×（﹣）2+4×（﹣）﹣＝﹣，∴H（，）；③以AD、GH为对角线时，则，解得：r＝，∴r2+4r﹣＝﹣×（）2+4×﹣＝﹣，∴H（，﹣）；综上所述，H的坐标为：H（，﹣）或H（，）或H（，﹣）．9．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），与y 轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点P是直线上方抛物线上的一点，过点P作PD∥AC交BC于E，交x轴于点D，求PE+BE的最大值以及此时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，将抛物线沿着射线CA方向平移个单位长度得到新抛物线y1，新抛物线y1和原抛物线相交于点F．新抛物线y1的顶点为点G，点M是直线FG上的一动点，点N为平面内一点．若以P、G、M、N四点为顶点的四边形为菱形，请直接写出点N的坐标，并写出求解其中一个N点的过程．【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入，得，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．（2）如图，过点E作x轴的平行线，过点P作PJ⊥x轴于J，并与过E点的平行线交点H，过点B作BK⊥EH的延长线于K，则可得四边形HKBJ为矩形，由（1）可得C（0，3），则有Rt△AOC中，CO＝3，OA＝1，AC＝，∵AC∥DP，EK∥x轴，KB⊥x轴，CO⊥x轴，∴∠CAO＝∠PDJ＝∠PEH，∠OCB＝∠EBK，∴，，∴，，∴PH＝，，∴+＝PH+BK＝PH+HJ＝PJ，∵当P在抛物线的顶点时，有PJ的最大值，∴当P在抛物线顶点时，有+最大值，∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，求得抛物线的顶点坐标为（1，4），∵当P点坐标为（1，4）时，PJ＝4，∴当+最大时，P点坐标为（1，4），∴＝2•（+）＝8，此时点P的坐标为（1，4）．（3）∵抛物线沿射线CA方向平移个单位得到新的抛物线y1，且CA＝，∴平移之后原来的C点到了A点的位置，∴原抛物线的平移可看作先向下平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度，∵新抛物线的解析式为，∴y1的顶点坐标为G（0，1），∵﹣x2+1＝﹣x2+2x+3，解得x＝﹣1，则﹣x2+1＝0，∴F（﹣1，0），①当P，G，M，N四点为顶点的菱形如图所示时（PG＝PN）：∵M为平面内任意一点，∴此情况时，只要求PN＝PG即可，∵F（﹣1，0），G（0，1），∴可求出FG的解析式为y＝x+1，∴设N（n，n+1）∵P（1，4），G（0，1），PG＝PN，∴PG＝＝＝PN＝，求得n＝4，∴n+1＝5，∴N坐标为（4，5）．②当P，G，M，N四点为顶点的菱形如图所示时（GP＝GN）：同理①可求出N（），③当P，G，M，N四点为顶点的菱形如图所示时（GP＝GN）：同理①可求出N（），④当P，G，M，N四点为顶点的菱形如图所示时（NP＝NG）：同理①可求出N（），综上所述，N坐标为（4，5）或（）或（）或（）．10．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+x﹣2与x轴交于A、B两点（点A 在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）求点A的坐标；（2）如图1，连接AC，点D为线段AC下方抛物线上一动点，过点D作DE∥y轴交线段AC于E点，连接EO，记△ADC的面积为S1，△AEO的面积为S2，求S1﹣S2的最大值及此时点D的坐标；（3）如图2，将抛物线沿射线CB方向平移个单位长度得到新抛物线，动点N在原抛物线的对称轴上，点M为新抛物线与y轴的交点，当△AMN为以AM为腰的等腰三角形时，请直接写出点N的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线，与x轴交于A、B两点，令y＝0，得，解得x1＝﹣3，x2＝1，∵点A在点B的左侧，∴点A的坐标为（﹣3，0）；（2）如图1，延长DE交x轴于点K，∵抛物线与y轴交于点C，∴C（0，﹣2），设直线AC的函数表达式为y＝kx+n（k≠0），∵A（﹣3，0），C（0，﹣2），∴，解得，∴直线AC的函数表达式为，设，其中﹣3＜t＜0，∴，K（t，0），∴DE＝﹣t2﹣2t，∵＝（﹣t2﹣2t）＝﹣t2﹣3t，＝（t+2）＝t+3，∴S1﹣S2＝﹣t2﹣3t﹣t﹣3＝﹣t2﹣4t﹣3＝﹣（t+2）2+1，∴当t＝﹣2时，S1﹣S2取得最大值，最大值为1，此时点D的坐标为（﹣2，﹣2）；（3）∵C（0，﹣2），B（1，0），∴＝，∵抛物线沿射线CB方向平移个单位长度，∴抛物线向右平移个单位长度，向上平移3个单位长度，。

2024年重庆市中考数学b卷压轴题一、在直角坐标系中，点A(3,4)关于x轴对称的点B的坐标是？A. (-3,4)B. (3,-4)C. (4,3)D. (-3,-4)（答案）B解析：点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数。

所以点A(3,4)关于x轴对称的点B的坐标是(3,-4)。

二、若一元二次方程x² - 2x - 3 = 0的两个根为x₁和x₂，则x₁ + x₂的值为？A. -2B. 2C. -3D. 3（答案）B解析：根据一元二次方程的根与系数的关系，x₁ + x₂ = -(-2) = 2。

三、一个正六边形的内角和为？A. 360°B. 540°C. 720°D. 900°（答案）C解析：正六边形可以被划分成4个三角形，每个三角形的内角和为180°，所以正六边形的内角和为4 × 180° = 720°。

四、函数y = 2x - 1与y = -x + 4的交点坐标是？A. (1,3)B. (2,3)C. (3,1)D. (3,5)（答案）C解析：联立两个方程2x - 1 = -x + 4，解得x = 3，代入任一方程得y = 1，所以交点坐标为(3,1)。

五、若一个长方形的长是宽的2倍，且面积为128平方厘米，则长方形的长为？A. 8厘米B. 16厘米C. 32厘米D. 64厘米（答案）B解析：设长方形的宽为x厘米，则长为2x厘米，根据面积公式得x × 2x = 128，解得x = 8，所以长为2x = 16厘米。

六、下列哪个数不是有理数？A. √4B. √5C. 3.14D. -2/3（答案）B解析：√4 = 2，3.14和-2/3都可以表示为两个整数的比，所以它们都是有理数。

而√5不能表示为两个整数的比，所以它是无理数。

七、一个圆锥的底面半径为3厘米，高为4厘米，则它的体积为？A. 12π立方厘米B. 36π立方厘米C. 48π立方厘米D. 144π立方厘米（答案）B解析：圆锥的体积公式为V = (1/3)πr²h，代入r = 3厘米，h = 4厘米，得V = (1/3)π× 3²× 4 = 36π立方厘米。

一．压轴题专题训练1.问题：如图1，在等边三角形ABC 内有一点P，且PA=2，PB= 3，PC=1．求∠BPC度数的大小和等边三角形ABC 的边长．李明同学的思路是：将△BPC 绕点B 逆时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图2）．连接PP′，可得△P′B P是等边三角形，而△PP′A又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证）．所以∠AP′B=150°，而∠BPC=∠AP′B=150°．进而求出等边△ABC 的边长为7 ．问题得到解决．请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图3，在正方形ABCD 内有一点P，且PA= 5 ，BP= 2 ，PC=1．求∠BPC 度数的大小和正方形ABCD 的边长．图3图1 图22.阅读下列材料，并解决后面的问题．在锐角△A BC 中，∠ A 、∠B、∠C 的对边分别是a、b、c．过 A 作AD ⊥BC 于D（如图），则s inB= A D ，sinc= AD ，即AD=csinB ，AD=bsinC ，c b于是csinB=bsinC ，即 bsin Bcsin Cc a a b．同理有，sin C sin A sin A sin B．a b c∴⋯⋯⋯⋯⋯⋯（*）sin A sin B sin C即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．（1）在锐角三角形中，若已知三个元素a、b、∠A ，运用上述结论（* ）和有关定理就可以求出其余三个未知元素c、∠B、∠C，请你按照下列步骤填空，完成求解过程：用关系式求出第一步，由条件∠B；用关系式求出第二步，由条件∠C；用关系式求出第三步，由条件c．o（2）一货轮在 C 处测得灯塔A 在货轮的北偏西30 的方向上，随后货轮以28.4o海里/时的速度按北偏东45 的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得灯塔A 在货轮的北偏西o70 的方向上（如图11），求此时货轮距灯塔A 的距离AB （结果精确到0.1．参考数据：sin 40o =0.643，sin 65o =0.906，sin70o =0.904，sin 75o =0.966）．3. 对于三个数a、b、c，M｜a，b，c｜表示这三个数的平均数，min { a，b，c}表示a、b、c这三个数中最小的数，如：M{ －1，2，3} 1 23343，min {－1，2，3} ＝－1；M{ －1，2，a} ＝1 2 a a3 31，m{ －1，2，a} ＝a(a1(a1),1),解决下列问题：(1)填空：min { sin30°，cos45°，tan30°} ＝________；若min { 2，2x＋2，4－2x} ＝2，则x 的取值范围是________；(2)①若M{ 2，x＋1，2x} ＝min { 2，x＋1，2x} ，那么x＝________；②根据①，你发现结论“若M {a，b，c} ＝min{ a，b，c}，那么________”(填a，b，c 大小关系)；③运用②，填空：若M{ 2x＋y＋2，x＋2y，2x－y} ＝min { 2x＋y＋2，x＋2y，2x－y} ，则x＋y＝________；2，y＝2－x 的图 (3)在同一直角坐标系中作出函数y＝x＋1，y＝(x－1)象(不需列表，描点)，通过图象，得出min { x＋1，(x－1)2，2－x}最大值为________．4.定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”．性质：如果两个三角形是“友好三角形”，那么这两个三角形的面积相等．理解：如图①，在△ABC中，CD是AB边上的中线，那么△ACD和△BCD是“友好三角形”，并且S△ACD=S．△BCD应用：如图②，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E在AD上，点F在BC上，AE=BF，AF与BE交于点O．（1）求证：△AOB和△AOE是“友好三角形”；（2）连接OD，若△AOE和△DOE是“友好三角形”，求四边形CDOF的面积．探究：在△ABC中，∠A=30°，AB=4，点D在线段AB上，连接CD，△ACD和△BCD是“友好三角形”，1 将△ACD沿CD所在直线翻折，得到△A′CD，若△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的，4 请直接写出△ABC的面积．2bx a6.如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ax8(0)与x轴交于A、B两点、与月y轴交于点C经过点B的直线y x4与y轴交于点D，点P在抛物线的对称轴上，且P点的横坐标是1．(1)求该抛物线的解析式；(2)在第一象限的抛物线上有一个动点M，过点M作直线MN x轴于点N，交直线BD 于点E，若点M到直线BD的距离与BN的长度之比为22：1，求点M坐标；(3)如图2，若点P位于x轴上方，且PAB60，点Q是对称轴上的一个动点，将BPQ绕点P顺时针旋转60°得到船B'PQ'(B的对应点为B'，Q的对应点为Q')，是否存在点Q，使BQQ'的面积是34，若存在，请求出PQ的长：若不存在，说明理由．全等三角形问题中常见的辅助线的作法三角形辅助线做法图中有角平分线，可向两边作垂线。

2023年重庆中考第26题压轴题专题：几何变换综合题1．（2023•重庆）如图，在等边△ABC中，AD⊥BC于点D，E为线段AD上一动点（不与A，D重合），连接BE，CE，将CE绕点C顺时针旋转60°得到线段CF，连接AF．（1）如图1，求证：∠CBE＝∠CAF；（2）如图2，连接BF交AC于点G，连接DG，EF，EF与DG所在直线交于点H，求证：EH＝FH；（3）如图3，连接BF交AC于点G，连接DG，EG，将△AEG沿AG所在直线翻折至△ABC所在平面内，得到△APG，将△DEG沿DG所在直线翻折至△ABC所在平面内，得到△DQG，连接PQ，QF．若AB＝4，直接写出PQ+QF的最小值．2．（2023•渝中区校级二模）如图，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为AB边上一点，连接CD，AE ⊥CD于E点．（1）如图1，过B作BF⊥AB交AE的延长线于点F．若BD＝1，BF＝2，求AE的长度；（2）如图2，将AE绕A点逆时针旋转90°到AF，连接BF交AE于点H，猜想AH和CE之间存在的数量关系，并证明你的猜想；（3）如图3，在第（2）问的条件下，将△ABH沿着AB翻折得到△ABP，连接PC，当线段PC取得最大值，请直接写出的值．3．（2023•渝中区校级一模）如图，△ABC是等边三角形，D为AB上一点，连接CD，将CD绕点C顺时针旋转120°至CE，连接BE，分别交AC、CD于点F、G．（1）若AD＝3，BD＝1，求△BCE的面积；（2）请猜想线段AF，BD，CF之间的数量关系，并证明你的猜想；（3）当△BCE周长最小时，请直接写出的值．4．（2023•沙坪坝区校级一模）在等腰三角形ABC中，AB＝AC．点E为AC上一点，连接BE．（1）如图1，若∠BAC＝90°，过点C作CD⊥BE交BE延长线于点D，连接AD，过点A作AF⊥AD交BD于点F，连接CF，求证：FC2＝FB2+2FA2；（2）如图2，过A作AD∥BC交BE延长线于点D，将AD绕着点A逆时针旋转至AN，连接DN，使得DN⊥AC于点G，AN与BD交于点M，若点M为BD的中点，且∠DAM＝∠DMA，猜想线段AM与DE之间的数量关系，并证明你的猜想；（3）如图3，若∠BAC＝60°，，将AC沿着AP翻折得到AC′（∠CAC′＜120°），点C′落在BE延长线上，BC′交AP于点P，点Q、R分别是射线AC、AB上的点，连接CP、PQ、QR，满足，当BP取得最大值时，直接写出的最小值的平方．。

全国中考数学压轴题全析全解1、（重庆）如图1所示；一张三角形纸片ABC ；∠ACB=90°,AC=8,BC=6.沿斜边AB 的中线CD 把这张纸片剪成11AC D ∆和22BC D ∆两个三角形（如图2所示）.将纸片11AC D ∆沿直线2D B （AB ）方向平移（点12,,,A D D B 始终在同一直线上）；当点1D 于点B 重合时；停止平移.在平移过程中；11C D 与2BC 交于点E,1AC 与222C D BC 、分别交于点F 、P. (1) 当11AC D ∆平移到如图3所示的位置时；猜想图中的1D E 与2D F 的数量关系；并证明你的猜想；(2) 设平移距离21D D 为x ；11AC D ∆与22BC D ∆重叠部分面积为y ；请写出y 与x 的函数关系式；以及自变量的取值范围；（3）对于（2）中的结论是否存在这样的x 的值；使重叠部分的面积等于原ABC ∆面积的14. 若存在；求x 的值；若不存在；请说明理由.[解]（1）12D E D F =.因为1122C D C D ∥；所以12C AFD ∠=∠.又因为90ACB ∠=︒；CD 是斜边上的中线；所以；DC DA DB ==；即112221C D C D BD AD === 所以；1C A ∠=∠；所以2AFD A ∠=∠ 所以；22AD D F =.同理：11BD D E =.又因为12AD BD =；所以21AD BD =.所以12D E D F =CB D A 图1122图3C 2D 2C 1BD 1A 图2P（2）因为在Rt ABC ∆中；8,6AC BC ==；所以由勾股定理；得10.AB = 即1211225AD BD C D C D ====又因为21D D x =；所以11225D E BD D F AD x ====-.所以21C F C E x == 在22BC D ∆中；2C 到2BD 的距离就是ABC ∆的AB 边上的高；为245. 设1BED ∆的1BD 边上的高为h ；由探究；得221BC D BED ∆∆∽；所以52455h x-=. 所以24(5)25x h -=.121112(5)225BED S BD h x ∆=⨯⨯=- 又因为1290C C ∠+∠=︒；所以290FPC ∠=︒.又因为2C B ∠=∠；43sin ,cos 55B B ==. 所以234,55PC x PF x == ；22216225FC P S PC PF x ∆=⨯=而2212221126(5)22525BC D BED FC P ABC y S S S S x x ∆∆∆∆=--=--- 所以21824(05)255y x x x =-+≤≤ (3) 存在. 当14ABC y S ∆=时；即218246255x x -+= 整理；得2320250.x x -+=解得；125,53x x ==.即当53x =或5x =时；重叠部分的面积等于原ABC ∆面积的142、（浙江金华）如图,平面直角坐标系中,直线AB 与x 轴,y 轴分别交于A (3,0),B (0,3)两点, ,点C 为线段AB 上的一动点,过点C 作CD ⊥x 轴于点D .(1)求直线AB 的解析式; (2)若S 梯形OBCD ＝433,求点C 的坐标; (3)在第一象限内是否存在点P ,使得以P,O,B 为顶点的 三角形与△OBA 相似.若存在,请求出所有符合条件 的点P 的坐标;若不存在,请说明理由.[解] （1）直线AB 解析式为：y=33-x+3．（2）方法一：设点Ｃ坐标为（x ；33-x+3）；那么OD ＝x ；CD ＝33-x+3． ∴OBCD S 梯形＝()2CD CD OB ⨯+＝3632+-x ． 由题意：3632+-x ＝334；解得4,221==x x （舍去） ∴ Ｃ（２；33） 方法二：∵ 23321=⨯=∆OB OA S AOB ,OBCD S 梯形＝334；∴63=∆ACD S ． 由OA=3OB ；得∠BAO ＝30°；AD=3CD ．∴ ACD S ∆＝21CD ×AD ＝223CD ＝63．可得CD ＝33． ∴ AD=１；OD ＝２．∴C （２；33）． （３）当∠OBP ＝Rt ∠时；如图①若△BOP ∽△OBA ；则∠BOP ＝∠BAO=30°；BP=3OB=3；∴1P （3；33）． ②若△BPO ∽△OBA ；则∠BPO ＝∠BAO=30°,OP=33OB=1． ∴2P （1；3）．当∠OPB ＝Rt ∠时③ 过点P 作OP ⊥BC 于点P(如图)；此时△PBO ∽△OBA ；∠BOP ＝∠BAO ＝30° 过点P 作PM ⊥OA 于点M ．方法一： 在Rt △PBO 中；BP ＝21OB ＝23；OP ＝3BP ＝23． ∵ 在Rt △P ＭO 中；∠OPM ＝30°； ∴ OM ＝21OP ＝43；PM ＝3OM ＝433．∴3P （43；433）．方法二：设Ｐ（x ；33-x+3）；得OM ＝x ；PM ＝33-x+3 由∠BOP ＝∠BAO,得∠POM ＝∠ABO ．∵tan ∠POM==OMPM =x x 333+-；tan ∠ABOC=OBOA =3．∴33-x+3＝3x ；解得x ＝43．此时；3P （43；433）．④若△POB ∽△OBA(如图)；则∠OBP=∠BAO ＝30°；∠POM ＝30°． ∴ PM ＝33OM ＝43． ∴ 4P （43；43）（由对称性也可得到点4P 的坐标）． 当∠OPB ＝Rt ∠时；点P 在ｘ轴上,不符合要求.综合得；符合条件的点有四个；分别是：1P （3；33）；2P （1；3）；3P （43；433）；4P （43；43）．3、（山东济南）如图1；已知Rt ABC △中；30CAB ∠=；5BC =．过点A 作AE AB ⊥；且15AE =；连接BE 交AC 于点P ．（1）求PA 的长；（2）以点A 为圆心；AP 为半径作⊙A ；试判断BE 与⊙A 是否相切；并说明理由；（3）如图2；过点C 作CD AE ⊥；垂足为D ．以点A 为圆心；r 为半径作⊙A ；以点C 为圆心；R 为半径作⊙C ．若r 和R 的大小是可变化的；并且在变化过程中保持⊙A 和⊙C 相．切．；且使D 点在⊙A 的内部；B 点在⊙A 的外部；求r 和R 的变化范围．[解]A BCP E PＤ图1图2（1）在Rt ABC △中；305CAB BC ∠==，；210AC BC ∴==．AE BC ∥；APE CPB ∴△∽△． ::3:1PA PC AE BC ∴==． :3:4PA AC ∴=；3101542PA ⨯==． （2）BE 与⊙A 相切．在Rt ABE △中；53AB =；15AE =；tan 353AE ABE AB ∴∠===；60ABE ∴∠=． 又30PAB ∠=；9090ABE PAB APB ∴∠+∠=∴∠=，；BE ∴与⊙A 相切．（3）因为553AD AB ==，；所以r 的变化范围为553r <<．当⊙A 与⊙C 外切时；10R r +=；所以R 的变化范围为10535R -<<； 当⊙A 与⊙C 内切时；10R r -=；所以R 的变化范围为151053R <<+． 4、（山东烟台）如图；已知抛物线L 1: y=x 2-4的图像与x 有交于A 、C 两点；（1）若抛物线l 2与l 1关于x 轴对称；求l 2的解析式； （2）若点B 是抛物线l 1上的一动点（B 不与A 、C 重合）；以AC 为对角线；A 、B 、C 三点为顶点的平行四边形的第四个顶点定为D ；求证：点D 在l 2上；（3）探索：当点B 分别位于l 1在x 轴上、下两部分的图像上时；平行四边形ABCD 的面积是否存在最大值和最小值？若存在；判断它是何种特殊平行四边形；并求出它的面积；若不存在；请说明理由。

重庆市2019中考数学压轴题训练（华师版）1. （2018•绍兴）小敏思考解决如下问题：原题：如图1，点P，Q分别在菱形ABCD的边BC，CD上，∠PAQ=∠B，求证：AP=AQ．（1）小敏进行探索，若将点P，Q的位置特殊化；把∠PAQ绕点A旋转得到∠EAF，使AE⊥BC，点E，F分别在边BC，CD上，如图2．此时她证明了AE=AF，请你证明．（2）受以上（1）的启发，在原题中，添加辅助线：如图3，作AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F．请你继续完成原题的证明．（3）如果在原题中添加条件：AB=4，∠B=60°，如图1，请你编制一个计算题（不标注新的字母），并直接给出答案（根据编出的问题层次，给不同的得分）．2.（2018•重庆A卷）如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是BC上一点，且AB=AE，连接EO并延长交AD于点F．过点B作AE的垂线，垂足为H，交AC于点G．（1）若AH=3，HE=1，求△ABE的面积；（2）若∠ACB=45°，求证：DF=√2CG．（m为常数，m＞1，3.（2018.长沙）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y=mxx＞0）的图象经过点P（m，1）和Q（1，m），直线PQ与x轴，y轴分别交于C，D两点，点M（x，y）是该函数图象上的一个动点，过点M分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为A，B．（1）求∠OCD的度数；（2）当m=3，1＜x＜3时，存在点M使得△OPM∽△OCP，求此时点M的坐标；（3）当m=5时，矩形OAMB与△OPQ的重叠部分的面积能否等于4.1？请说明你的理由．5. （2018•重庆A卷）如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=-x2+4x上，且横坐标为1，点B与点A关于抛物线的对称轴对称，直线AB与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，点E的坐标为（1，1）．（1）求线段AB的长；（2）点P为线段AB上方抛物线上的任意一点，过点P作AB的垂线交AB于点H，FO的最小值；点F为y轴上一点，当△PBE的面积最大时，求PH+HF+12FO取得最小值时，将△CFH绕点C顺时针旋转60°后（3）在（2）中，PH+HF+12得到△CF′H′，过点F'作CF′的垂线与直线AB交于点Q，点R为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点S，使以点D，Q，R，S为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点S的坐标，若不存在，请说明理由．6.（2018•重庆B卷）抛物线y=﹣x2﹣x+与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）如图1，连接CD，求线段CD的长；（2）如图2，点P是直线AC上方抛物线上一点，PF⊥x轴于点F，PF与线段AC交于点E；将线段OB沿x轴左右平移，线段OB的对应线段是O1B1，当PE+EC的值最大时，求四边形PO1B1C周长的最小值，并求出对应的点O1的坐标；（3）如图3，点H是线段AB的中点，连接CH，将△OBC沿直线CH翻折至△O2B 2 C的位置，再将△O2B2C绕点B2旋转一周，在旋转过程中，点O2，C的对应点分别是点O3，C1，直线O3C1分别与直线AC，x轴交于点M，N．那么，在△O2B2C的整个旋转过程中，是否存在恰当的位置，使△AMN是以MN为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的线段O2M的长；若不存在，请说明理由．7.(2018.安徽) 如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为边AC上一点，DE⊥AB 于点E．点M为BD中点，CM的延长线交AB于点F．（1）求证：CM=EM；（2）若∠BAC=50°，求∠EMF的大小；（3）如图2，若△DAE≌△CEM，点N为CM的中点，求证：AN∥EM．10.（2018.泰安）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c交x轴于点A（-4，0）、B（2，0），交y轴于点C（0，6），在y轴上有一点E（0，-2），连接AE．（1）求二次函数的表达式；（2）若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求△ADE面积的最大值；（3）抛物线对称轴上是否存在点P，使△AEP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P点的坐标，若不存在请说明理由．11. （2018.泰安）如图，在菱形ABCD中，AC与BD交于点O，E是BD上一点，EF∥AB，∠EAB=∠EBA，过点B作DA的垂线，交DA的延长线于点G．（1）∠DEF和∠AEF是否相等？若相等，请证明；若不相等，请说明理由；（2）找出图中与△AGB相似的三角形，并证明；（3）BF的延长线交CD的延长线于点H，交AC于点M．求证：BM2=MF•MH．12. （2018.聊城）如图，已知反比例函数y=k1x （x ＞0）的图象与反比例函数y=k2x （x ＜0）的图象关于y 轴对称，A （1，4），B （4，m ）是函数y=k1x （x ＞0）图象上的两点，连接AB ，点C （-2，n ）是函数y=k2x （x ＜0）图象上的一点，连接AC ，BC ．（1）求m ，n 的值；（2）求AB 所在直线的表达式； （3）求△ABC 的面积．14.(2018聊城) 如图，已知抛物线y=ax2+bx 与x 轴分别交于原点O 和点F （10，0），与对称轴l 交于点E （5，5）．矩形ABCD 的边AB 在x 轴正半轴上，且AB=1，边AD ，BC 与抛物线分别交于点M ，N ．当矩形ABCD 沿x 轴正方向平移，点M ，N 位于对称轴l 的同侧时，连接MN ，此时，四边形ABNM 的面积记为S ；点M ，N 位于对称轴l 的两侧时，连接EM ，EN ，此时五边形ABNEM 的面积记为S ．将点A 与点O 重合的位置作为矩形ABCD 平移的起点，设矩形ABCD 平移的长度为t （0≤t ≤5）．（1）求出这条抛物线的表达式； （2）当t=0时，求S △OBN 的值；（3）当矩形ABCD 沿着x 轴的正方向平移时，求S 关于t （0＜t ≤5）的函数表达式，并求出t 为何值时，S 有最大值，最大值是多少？15.（2018.东莞）如图，已知顶点为C （0，-3）的抛物线y=ax ²+b （a ≠0）与x 轴交于A ，B 两点，直线y=x+m 过顶点C 和点B ． （1）求m 的值；（2）求函数y=ax ²+b （a ≠0）的解析式；（3）抛物线上是否存在点M ，使得∠MCB=15°？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．19．（2018.武汉）已知点A （a ，m ）在双曲线y= 8x 上且m ＜0，过点A 作x 轴的垂线，垂足为B ．（1）如图1，当a=-2时，P （t ，0）是x 轴上的动点，将点B 绕点P 顺时针旋转90°至点C ．①若t=1，直接写出点C 的坐标； ②若双曲线y= 8x 经过点C ，求t 的值．（2）如图2，将图1中的双曲线y= 8x （x ＞0）沿y 轴折叠得到双曲线y=- 8x （x ＜0），将线段OA 绕点O 旋转，点A 刚好落在双曲线y=- 8x （x ＜0）上的点D （d ，n ）处，求m 和n 的数量关系．。

1. （2018•绍兴）小敏思考解决如下问题：原题：如图1，点P ，Q 分别在菱形ABCD 的边BC ，CD 上，∠PAQ=∠B ，求证：AP=AQ ． （1）小敏进行探索，若将点P ，Q 的位置特殊化；把∠PAQ 绕点A 旋转得到∠EAF ，使AE ⊥BC ，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，如图2．此时她证明了AE=AF ，请你证明．（2）受以上（1）的启发，在原题中，添加辅助线：如图3，作AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，垂足分别为E ，F ．请你继续完成原题的证明．（3）如果在原题中添加条件：AB=4，∠B=60°，如图1，请你编制一个计算题（不标注新的字母），并直接给出答案（根据编出的问题层次，给不同的得分）．【考点】．【专题】几何综合题．【分析】（1）根据菱形的性质、结合已知得到AF ⊥CD ，证明△AEB ≌△AFD ，根据全等三角形的性质证明；（2）由（1）的结论得到∠EAP=∠FAQ ，证明△AEP ≌△AFQ ，根据全等三角形的性质证明；（3）根据菱形的面积公式、结合（2）的结论解答． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 是菱形， ∴∠B+∠C=180°，∠B=∠D ，AB=AD ， ∵∠EAF=∠B ，∴∠EAF+∠C=180°， ∴∠AEC+∠AFC=180°， ∵AE ⊥BC ， ∴AF ⊥CD ，在△AEB 和△AFD 中，{∠AEB =∠AFD∠B =∠D AB =AD,∴△AEB ≌△AFD ， ∴AE=AF ；（2）证明：由（1）得，∠PAQ=∠EAF=∠B ，AE=AF ， ∴∠EAP=∠FAQ ，在△AEP 和△AFQ 中，{∠AEP =∠AFQ =90°AE ＝AF ∠EAP ＝∠FAQ,∴△AEP ≌△AFQ ， ∴AP=AQ ；（3）解：已知：AB=4，∠B=60°， 求四边形APCQ 的面积， 解：连接AC 、BD 交于O ， ∵∠ABC=60°，BA=BC ， ∴△ABC 为等边三角形， ∵AE ⊥BC ， ∴BE=EC ，同理，CF=FD ，∴四边形AECF 的面积= 12×四边形ABCD 的面积， 由（2）得，四边形APCQ 的面积=四边形AECF 的面积， OA= 12AB=2，OB=√32AB=2√3， ∴四边形ABCD 的面积=12×2×2√3×4=8√3， ∴四边形APCQ 的面积=4√3．【点评】本题考查的是菱形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握菱形的性质、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．2.（2018•重庆A 卷）如图，在平行四边形ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点，点E 是BC 上一点，且AB=AE ，连接EO 并延长交AD 于点F ．过点B 作AE 的垂线，垂足为H ，交AC 于点G ．（1）若AH=3，HE=1，求△ABE 的面积； （2）若∠ACB=45°，求证：DF=√2CG ． 【考点】；．【专题】多边形与平行四边形．【分析】（1）利用勾股定理即可得出BH 的长，进而运用公式得出△ABE 的面积；（2）过A 作AM ⊥BC 于M ，交BG 于K ，过G 作GN ⊥BC 于N ，判定△AME ≌△BNG （AAS ），可得ME=NG ，进而得出BE=√2GC ，再判定△AFO ≌△CEO （AAS ），可得AF=CE ，即可得到DF=BE=√2CG ． 【解答】解：（1）∵AH=3，HE=1， ∴AB=AE=4，又∵Rt △ABH 中，BH=√AB 2−AH 2=√7， ∴S △ABE = 12AE ×BH =12×4×√7=2√7；（2）如图，过A 作AM ⊥BC 于M ，交BG 于K ，过G 作GN ⊥BC 于N ，则∠AMB=∠AME=∠BNG=90°， ∵∠ACB=45°，∴∠MAC=∠NGC=45°，∵AB=AE ， ∴BM=EM=12BE ，∠BAM=∠EAM ，又∵AE ⊥BG ，∴∠AHK=90°=∠BMK ，而∠AKH=∠BKM ，∴∠MAE=∠NBG，设∠BAM=∠MAE=∠NBG=α，则∠BAG=45°+α，∠BGA=∠GCN+∠GBC=45°+α，∴AB=BG，∴AE=BG，在△AME和△BNG中，{∠AME=∠BNG ∠MAE=∠NBGAE=BG,∴△AME≌△BNG（AAS），∴ME=NG，在等腰Rt△CNG中，NG=NC，∴GC=√2NG=√2ME=√22BE，∴BE=√2GC，∵O是AC的中点，∴OA=OC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∴∠OAF=∠OCE，∠AFO=∠CEO，∴△AFO≌△CEO（AAS），∴AF=CE，∴AD-AF=BC-EC，即DF=BE，∴DF=BE=√2CG．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质以及勾股定理的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形以及等腰直角三角形，利用全等三角形的对应边相等得出结论．3.（2018.长沙）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y=mx（m为常数，m＞1，x＞0）的图象经过点P（m，1）和Q（1，m），直线PQ与x轴，y轴分别交于C，D两点，点M（x，y）是该函数图象上的一个动点，过点M分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为A，B．（1）求∠OCD的度数；（2）当m=3，1＜x＜3时，存在点M使得△OPM∽△OCP，求此时点M的坐标；（3）当m=5时，矩形OAMB与△OPQ的重叠部分的面积能否等于4.1？请说明你的理由．【考点】．【专题】代数几何综合题．【分析】（1）想办法证明OC=OD即可解决问题；①1＜x＜5时，如图1中，∴E（1X ，5X），F（x,15x），5. （2018•重庆A 卷） 如图，在平面直角坐标系中，点A 在抛物线y=-x2+4x 上，且横坐标为1，点B 与点A 关于抛物线的对称轴对称，直线AB 与y 轴交于点C ，点D 为抛物线的顶点，点E 的坐标为（1，1）． （1）求线段AB 的长； （2）点P 为线段AB 上方抛物线上的任意一点，过点P 作AB 的垂线交AB 于点H ，点F 为y 轴上一点，当△PBE 的面积最大时，求PH+HF+12FO 的最小值； （3）在（2）中，PH+HF+12FO 取得最小值时，将△CFH 绕点C 顺时针旋转60°后得到△CF ′H ′，过点F'作CF ′的垂线与直线AB 交于点Q ，点R 为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点S ，使以点D ，Q ，R ，S 为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点S 的坐标，若不存在，请说明理由．【考点】．【专题】代数几何综合题．【分析】（1）求出A 、B 两点坐标，即可解决问题；（2）如图1中，设P （m ，-m2+4m ），作PN ∥y 轴交BE 于N ．构建二次函数利用二次函数的性质求出满足条件的点P 坐标，作直线OG 交AB 于G ，使得∠COG=30°，作HK ⊥OG 于K 交OC 于F ，因为FK=12OF ，推出PH+HF+12FO=PH+FH+Fk=PH+HK ，此时PH+HF+OF 的值最小，解直角三角形即可解决问题； （3）分两种情形分别求解即可； 【解答】解：（1）由题意A （1，3），B （3，3）， ∴AB=2．（2）如图1中，设P （m ，-m ²+4m ），作PN ∥y 轴J 交BE 于N ．∵直线BE 的解析式为y=x ， ∴N （m ，m ），∴S △PEB = 12×2×（-m ²+3m ）=-m ²+3m ， ∴当m=32时，△PEB 的面积最大，此时P （ 32， 154 ），H （32 ，3），属于中考压轴题．6.（2018•重庆B卷）抛物线y=﹣x2﹣x+与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）如图1，连接CD，求线段CD的长；（2）如图2，点P是直线AC上方抛物线上一点，PF⊥x轴于点F，PF与线段AC交于点E；将线段OB沿x轴左右平移，线段OB的对应线段是O1B1，当PE+EC的值最大时，求四边形PO1B1C周长的最小值，并求出对应的点O1的坐标；（3）如图3，点H是线段AB的中点，连接CH，将△OBC沿直线CH翻折至△O2B 2 C的位置，再将△O2B2C绕点B2旋转一周，在旋转过程中，点O2，C的对应点分别是点O3，C1，直线O3C1分别与直线AC，x轴交于点M，N．那么，在△O2B2C的整个旋转过程中，是否存在恰当的位置，使△AMN 是以MN 为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的线段O 2M 的长；若不存在，请说明理由．【考点】HF ：二次函数综合题． 【专题】16：压轴题．【分析】（1）分别表示C 和D 的坐标，利用勾股定理可得CD 的长； （2）令y=0，可求得A （﹣3，0），B （，0），利用待定系数法可计算直线AC 的解析式为：y=，设E （x ，），P （x ，﹣x 2﹣x+），表示PE 的长，利用勾股定理计算AC 的长，发现∠CAO=30°，得AE=2EF=，计算PE+EC ，利用配方法可得当PE+EC 的值最大时，x=﹣2，此时P （﹣2，），确定要使四边形PO 1B 1C 周长的最小，即PO 1+B 1C 的值最小，将点P 向右平移个单位长度得点P 1（﹣，），连接P 1B 1，则PO 1=P 1B 1，再作点P 1关于x 轴的对称点P 2（﹣，﹣），可得结论；（3）先确定对折后O 2C 落在AC 上，△AMN 是以MN 为腰的等腰三角形存在四种情况：①如图4，AN=MN ，证明△C 1EC ≌△B 2O 2M ，可计算O 2M 的长； ②如图5，AM=MN ，此时M 与C 重合，O 2M=O 2C=；③如图6，AM=MN ，N 和H 、C 1重合，可得结论；④如图7，AN=MN ，过C 1作C 1E ⊥AC 于E 证明四边形C 1EO 2B 2是矩形，根据O 2M=EO 2+EM 可得结论．【解答】解：（1）如图1，过点D 作DK ⊥y 轴于K ， 当x=0时，y=，∴C （0，），y=﹣x 2﹣x+=﹣（x+）2+，∴D （﹣，）， ∴DK=，CK=﹣=，∴CD===；（4分）（2）在y=﹣x 2﹣x+中，令y=0，则﹣x 2﹣x+=0，解得：x 1=﹣3，x 2=，∴A （﹣3，0），B （，0），∵C （0，），易得直线AC 的解析式为：y=， 设E （x ，），P （x ，﹣x 2﹣x+），∴PF=﹣x 2﹣x+，EF=，Rt △ACO 中，AO=3，OC=，∴AC=2，∴∠CAO=30°， ∴AE=2EF=， ∴PE+EC=（﹣x 2﹣x+）﹣（x+）+（AC ﹣AE ），=﹣﹣x+[2﹣（）]，=﹣﹣x ﹣x ，=﹣（x+2）2+，（5分）∴当PE+EC 的值最大时，x=﹣2，此时P （﹣2，），（6分）∴PC=2， ∵O 1B 1=OB=，∴要使四边形PO 1B 1C 周长的最小，即PO 1+B 1C 的值最小， 如图2，将点P 向右平移个单位长度得点P 1（﹣，），连接P 1B 1，则PO 1=P 1B 1，再作点P 1关于x 轴的对称点P 2（﹣，﹣），则P 1B 1=P 2B 1，∴PO 1+B 1C=P 2B 1+B 1C ，∴连接P 2C 与x 轴的交点即为使PO 1+B 1C 的值最小时的点B 1， ∴B 1（﹣，0），将B 1向左平移个单位长度即得点O 1，此时PO1+B1C=P2C==，对应的点O1的坐标为（﹣，0），（7分）∴四边形PO1B1C周长的最小值为+3；（8分）（3）O2M的长度为或或2+或2．（12分）理由是：如图3，∵H是AB的中点，∴OH=，∵OC=，∴CH=BC=2，∴∠HCO=∠BCO=30°，∵∠ACO=60°，∴将CO沿CH对折后落在直线AC上，即O2在AC上，∴∠B2CA=∠CAB=30°，∴B2C∥AB，∴B2（﹣2，），①如图4，AN=MN，∴∠MAN=∠AMN=30°=∠O2B2O3，由旋转得：∠CB2C1=∠O2B2O3=30°，B2C=B2C1，∴∠B2CC1=∠B2C1C=75°，过C1作C1E⊥B2C于E，∵B2C=B2C1=2，∴=B2O2，B2E=，∵∠O2MB2=∠B2MO3=75°=∠B2CC1，∠B2O2M=∠C1EC=90°，∴△C1EC≌△B2O2M，∴O2M=CE=B2C﹣B2E=2﹣；②如图5，AM=MN，此时M与C重合，O2M=O2C=，③如图6，AM=MN，∵B2C=B2C1=2=B2H，即N和H、C1重合，∴∠CAO=∠AHM=∠MHO2=30°，∴O2M=AO2=；④如图7，AN=MN，过C1作C1E⊥AC于E，∴∠NMA=∠NAM=30°，∵∠O3C1B2=30°=∠O3MA，∴C1B2∥AC，∴∠C1B2O2=∠AO2B2=90°，∵∠C1EC=90°，∴四边形C1EO2B2是矩形，∴EO2=C1B2=2，，∴EM=，∴O2M=EO2+EM=2+，综上所述，O2M的长是或或2+或2．【点评】本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、轴对称变换、勾股定理、等腰三角形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建轴对称解决最值问题，对于第3问等腰三角形的判定要注意利用数形结合的思想，属于中考压轴题．7.(2018.安徽) 如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为边AC上一点，DE⊥AB 于点E．点M为BD中点，CM的延长线交AB于点F．（1）求证：CM=EM；（2）若∠BAC=50°，求∠EMF的大小；（3）如图2，若△DAE≌△CEM，点N为CM的中点，求证：AN∥EM．【考点】．【专题】几何综合题．【分析】（1）利用直角三角形斜边中线的性质定理即可证明；（2）利用四边形内角和定理求出∠CME即可解决问题；（3）首先证明△ADE 是等腰直角三角形，△DEM 是等边三角形，设FM=a ，则AE=CM=EM=√3a ，EF=2a ，推出 FMMN =2√33 ，EFAE=2√33，由此即可解决问题； 【解答】（1）证明：如图1中，∵DE ⊥AB ，∴∠DEB=∠DCB=90°， ∵DM=MB ，∴CM=12DB ，EM=12DB ，∴CM=EM ．（2）解：∵∠AED=90°，∠A=50°， ∴∠ADE=40°，∠CDE=140°， ∵CM=DM=ME ，∴∠MCD=∠MDC ，∠MDE=∠MED ， ∴∠CME=360°-2×140°=80°， ∴∠EMF=180°-∠CME=100°．（3）证明：如图2中，设FM=a ．∵△DAE ≌△CEM ，CM=EM ，∴AE=ED=EM=CM=DM ，∠AED=∠CME=90°∴△ADE 是等腰直角三角形，△DEM 是等边三角形， ∴∠DEM=60°，∠MEF=30°， ∴AE=CM=EM=√3 a ，EF=2a ， ∵CN=NM ， ∴MN=2√33a ， ∴FM MN =2√33 ，EFAE =2√33， ∴FMMN =EF AE ，∴EM ∥AN ．（也可以连接AM 利用等腰三角形的三线合一的性质证明）【点评】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题． 10.（2018.泰安） 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax 2+bx+c 交x 轴于点A （-4，0）、B （2，0），交y 轴于点C （0，6），在y 轴上有一点E （0，-2），连接AE ．（1）求二次函数的表达式；（2）若点D 为抛物线在x 轴负半轴上方的一个动点，求△ADE 面积的最大值； （3）抛物线对称轴上是否存在点P ，使△AEP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P 点的坐标，若不存在请说明理由． 【考点】．【专题】压轴题．【分析】（1）把已知点坐标代入函数解析式，得出方程组求解即可；（2）根据函数解析式设出点D 坐标，过点D 作DG ⊥x 轴，交AE 于点F ，表示△ADE 的面积，运用二次函数分析最值即可；（3）设出点P 坐标，分PA=PE ，PA=AE ，PE=AE 三种情况讨论分析即可．【解答】解：（1）∵二次函数y=ax 2+bx+c 经过点A （-4，0）、B （2，0），C （0，6），∴ {16a −4b +c ＝04a +2b +c ＝0c ＝6，（2）由A （-4，0），E （0，-2），可求AE 所在直线解析式为y=−12x−2， 过点D 作DN ⊥x 轴，交AE 于点F ，交x 轴于点G ，过点E 作EH ⊥DF ，垂足为H ，如图设D （m ，−34m 2−32m+6），则点F （m ，−12m −2）， ∴DF=−34m 2−32m+6-（−12m −2）=−34m 2−m+8 ,论； （3）先判断出BM=DM ，∠ADM=∠ABM ，进而得出∠ADM=∠H ，判断出△MFD ∽△MDH ，即可得出结论，【解答】解：（1）∠DEF=∠AEF ， 理由：∵EF ∥AB ，∴∠DEF=∠EBA ，∠AEF=∠EAB ， ∵∠EAB=∠EBA ， ∴∠DEF=∠AEF ；（2）△EOA ∽△AGB ，理由：∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB=AD ，AC ⊥BD ，∴∠GAB=∠ABE+∠ADB=2∠ABE ， ∵∠AEO=∠ABE+∠BAE=2∠ABE ，∵∠GAB=∠AEO ，∠AGB=∠AOE=90°， ∴△EOA ∽△AGB ；（3）如图，连接DM ，∵四边形ABCD 是菱形， 由对称性可知，BM=DM ，∠ADM=∠ABM ， ∵AB ∥CH ， ∴∠ABM=∠H ， ∴∠ADM=∠H ， ∵∠DMH=∠FMD ， ∴△MFD ∽△MDH ， ∴DMMH=MFDM ， ∴DM 2=MF •MH ， ∴BM 2=MF •MH ．【点评】此题是相似形综合题，主要考查了菱形的性质，对称性，相似三角形的判定和性质，判断出△EOA ∽△AGB 是解本题的关键．12. （2018.聊城）如图，已知反比例函数y=k1x （x ＞0）的图象与反比例函数y=k2x （x ＜0）的图象关于y 轴对称，A （1，4），B （4，m ）是函数y=k1x （x ＞0）图象上的两点，连接AB ，点C （-2，n ）是函数y=k2x （x ＜0）图象上的一点，连接AC ，BC ．（1）求m ，n 的值；（2）求AB 所在直线的表达式； （3）求△ABC 的面积． 【考点】；；． 【专题】常规题型． 【分析】（1）先由点A 确定k ，再求m 的值，根据关于y 轴对称，确定k2再求n ；（2）先设出函数表达式，再代入A 、B 两点，得直线AB 的表达式；（3）过点A 、B 作x 轴的平行线，过点C 、B 作y 轴的平行线构造矩形，△ABC 的面积=矩形面积-3个直角三角形的面积．【解答】解：（1）因为点A 、点B 在反比例函数y=k1x （x ＞0）的图象上， ∴k1=1×4=4， ∴m ×4=k1=4， ∴m=1∵反比例函数y=k1x （x ＞0）的图象与反比例函数y=k2x （x ＜0）的图象关于y 轴对称．∴k2=-k1=-4 ∴-2×n=-4， ∴n=2（2）设直线AB 所在的直线表达式为y=kx+b 把A （1，4），B （4，1）代入，得 {4＝k +b 1＝4k +b解得 {k ＝−1b ＝5∴AB 所在直线的表达式为：y=-x+5（3）如图所示：过点A 、B 作x 轴的平行线，过点C 、B 作y 轴的平行线，它们的交点分别是E 、F 、B 、G ． ∴四边形EFBG 是矩形．则AF=3，BF=3，AE=3，EC=2，CG=1，GB=6，EG=3 ∴S △ABC =S 矩形EFBG-S △AFB -S △AEC -S △CBG =BG ×EG-12AF ×FB- 12AE ×EC-12BG ×CG =18- 92-3-3 =152【点评】本题考查了反比例函数的图形及性质、待定系数法确定一次函数解析式及面积的和差关系．题目具有综合性．注意图形的面积可以用割补法也可以用规则的几何图形求和差． 14.(2018聊城) 如图，已知抛物线y=ax2+bx 与x 轴分别交于原点O 和点F （10，0），与对称轴l 交于点E （5，5）．矩形ABCD 的边AB 在x 轴正半轴上，且AB=1，边AD ，BC 与抛物线分别交于点M ，N ．当矩形ABCD 沿x 轴正方向平移，点M ，N 位于对称轴l 的同侧时，连接MN ，此时，四边形ABNM 的面积记为S ；点M ，N 位于对称轴l 的两侧时，连接EM ，EN ，此时五边形ABNEM 的面积记为S ．将点A 与点O 重合的位置作为矩形ABCD 平移的起点，设矩形ABCD 平移的长度为t （0≤t ≤5）．（1）求出这条抛物线的表达式； （2）当t=0时，求S △OBN 的值；（3）当矩形ABCD 沿着x 轴的正方向平移时，求S 关于t （0＜t ≤5）的函数表达式，并求出t 为何值时，S 有最大值，最大值是多少？ 【考点】．【专题】函数的综合应用．【分析】（1）根据点E 、F 的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式； （2）找出当t=0时，点B 、N 的坐标，进而可得出OB 、BN 的长度，再根据三角形的面积公式可求出S △OBN 的值； （3）分0＜t ≤4和4＜t ≤5两种情况考虑：①当0＜t ≤4时（图1），找出点A 、B 、M 、N 的坐标，进而可得出AM 、BN 的长度，利用梯形的面积公式即可找出S 关于t 的函数关系式，再利用二次函数的性质即可求出S 的最大值；②当4＜t ≤5时，找出点A 、B 、M 、N 的坐标，进而可得出AM 、BN 的长度，将五边形分成两个梯形，利用梯形的面积公式即可找出S 关于t 的函数关系式，再利用二次函数的性质即可求出S 的最大值．将①②中的S 的最大值进行比较，即可得出结论． 【解答】解：（1）将E （5，5）、F （10，0）代入y=ax ²+bx ， {25a +5b ＝5100a +10b ＝0, 解得： {a ＝15b =2,（2）当t=0时，点B 的坐标为（1，0），点N 的坐标为（1 , 95 ），∴BN= 95，OB=1， ∴S △OBN = 12BN •OB= 910．（3）①当0＜t ≤4时（图1），点A 的坐标为（t ，0），点B 的坐标为（t+1，0），∴点M 的坐标为（t ，−15t 2+2t ），点N 的坐标为（t+1，−15(t +1)2+2(t +1)， ∴AM=−15t 2+2t ，BN=−15(t +1)2+2(t +1)，∴S= 12（AM+BN ）•AB= 12×1×[−15t 2+2t −15(t +1)2+2(t +1)]，=−15t 2+95t +910， =−15(t −92)2+9920， ∵−15＜0，∴当t=4时，S 取最大值，最大值为9910；②当4＜t ≤5时（图2），点A 的坐标为（t ，0），点B 的坐标为（t+1，0）， ∴点M 的坐标为（t ，−15t 2+2t ），点N 的坐标为（t+1，−15(t +1)2+2(t +1)），∴AM=−15t 2+2t ，BN=−15(t +1)2+2(t +1)， ∴S= 12（5-t ）（−15t 2+2t ）+ 12（t-4）[5-−15(t +1)2+2(t +1)]， = −310t 2+2710t −1110 =−310(t −92)2+19940，∵−310＜0，∴当t=92时，S 取最大值，最大值为19940． ∵4910= 19640＜19940， ∴当t= =92时，S 有最大值，最大值是 19940．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、梯形的面积以及三角形的面积，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数关系式；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征求出当t=0时点N 的坐标；（3）分0＜t ≤4和4＜t ≤5两种情况找出S 关于t 的函数关系式．15.（2018.东莞）如图，已知顶点为C （0，-3）的抛物线y=ax ²+b （a ≠0）与x 轴交于A ，B 两点，直线y=x+m 过顶点C 和点B ． （1）求m 的值；（2）求函数y=ax ²+b （a ≠0）的解析式；（3）抛物线上是否存在点M，使得∠MCB=15°？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】．【专题】函数及其图象．【分析】（1）把C（0，-3）代入直线y=x+m中解答即可；（2）把y=0代入直线解析式得出点B的坐标，再利用待定系数法确定函数关系式即可；（3）分M在BC上方和下方两种情况进行解答即可．【解答】解：（1）将（0，-3）代入y=x+m，可得：m=-3；（2）将y=0代入y=x-3得：x=3，所以点B的坐标为（3，0），将（0，-3）、（3，0）代入y=ax²+b中，可得：{b＝−3 9a+b＝0解得：{a＝13 b＝−3，所以二次函数的解析式为：y=13x²-3；（3）存在，分以下两种情况：①若M在B上方，设MC交x轴于点D，则∠ODC=45°+15°=60°，∴OD=OC•tan30°= √3，设DC为y=kx-3，代入（√3，0），可得：k= √3，联立两个方程可得：{y=√3x−3y=13x²−3，解得：{x1=0y1=−3 ,{x2=3√3y2=6所以M1（3√3，6）；②若M 在B 下方，设MC 交x 轴于点E ，则∠OEC=45°+15°=60°，综上所述M 的坐标为（3√3，6）或（√3，-2）．【点评】此题主要考查了二次函数的综合题，需要掌握待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式等知识是解题关键．19．（2018.武汉）已知点A （a ，m ）在双曲线y= 8x 上且m ＜0，过点A 作x 轴的垂线，垂足为B ．（1）如图1，当a=-2时，P （t ，0）是x 轴上的动点，将点B 绕点P 顺时针旋转90°至点C ．①若t=1，直接写出点C 的坐标； ②若双曲线y= 8x 经过点C ，求t 的值．（2）如图2，将图1中的双曲线y= 8x （x ＞0）沿y 轴折叠得到双曲线y=- 8x （x ＜0），将线段OA 绕点O 旋转，点A 刚好落在双曲线y=- 8x （x ＜0）上的点D （d ，n ）处，求m 和n 的数量关系．【考点】．【专题】代数几何综合题．如对你有帮助，请购买下载打赏，谢谢！【分析】（1）①如图1-1中，求出PB、PC的长即可解决问题；②图1-2中，由题意C（t，t+2），理由待定系数法，把问题转化为方程解决即可；（2）分两种情形①当点A与点D关于x轴对称时，A（a，m），D（d，n），可得m+n=0．上，作D′H⊥y轴，则②当点A绕点O旋转90°时，得到D′，D′在y=-8x△ABO≌△D′HO，推出OB=OH，AB=D′H，由A（a，m），推出D′（m，-a），上，可得mn=-8；即D′（m，n），由D′在y=-8x【解答】解：（1）①如图1-1中，由题意：B（-2，0），P（1，0），PB=PC=3，∴C（1，3）．②图1-2中，由题意C（t，t+2），上，∵点C在y=8x∴t（t+2）=8，∴t=-4 或2，（2）如图2中，①当点A与点D关于x轴对称时，A（a，m），D（d，n），∴m+n=0．上，②当点A绕点O旋转90°时，得到D′，D′在y=-8x作D′H⊥y轴，则△ABO≌△D′HO，∴OB=OH，AB=D′H，∵A（a，m），∴D′（m，-a），即D′（m，n），上，∵D′在y=-8x∴mn=-8，综上所述，满足条件的m、n的关系是m+n=0或mn=-8．【点评】本题考查反比例函数综合题、旋转变换、待定系数法、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．。